中考试题自主招生考试题选讲(一)

泉港三川中学2015年自主招生考试数学题选讲（一）本试卷满分120分，考试时间150分钟）一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得5分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．1 如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．2 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A 出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S △EPF，则y与t的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ． 思路分析：分三段考虑，①点P 在AD 上运动，②点P 在DC 上运动，③点P 在BC 上运动，分别求出y 与t 的函数表达式，继而可得出函数图象．解：在Rt △ADE 中，AD=2213AE DE +=，在Rt △CFB 中，BC=2213BF CF +=，①点P 在AD 上运动：过点P 作PM ⊥AB 于点M ，则PM=APsin ∠A=1213t ， 此时y=12EF ×PM=3013t ，为一次函数； ②点P 在DC 上运动，y=12EF ×DE=30； ③点P 在BC 上运动，过点P 作PN ⊥AB 于点N ，则PN=BPsin ∠B=1213（AD+CD+BC-t ）=12(31)13t -， 则y=12EF ×PN=30(31)13t -，为一次函数． 综上可得选项A 的图象符合．故选A ．点评：本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y 与t 的函数关系式，当然在考试过程中，建议同学们直接判断是一次函数还是二次函数，不需要按部就班的解出解析式．3已知点P （0, -3）与点Q(2a+b ，a+2b)关于原点对称，则a b 的值为 ( )A.2B. -2C. 0.5D. -0.54已知点P（x, x），则点P一定（）（A）在第一象限（B）在第一或第二象限（C）在x轴上方（D）不在x轴下方5已知数轴上三点A、B、C分别表示有理数a、1、－1，那么a1表示（）（A）A、B两点的距离（B）A、C两点的距离（C）A、B两点到原点的距离之和（D）A、C两点到原点的距离之和6．如图，BE是半径为6的D的14圆周，C点是BE上的任意一点，ABD△是等边三角形，则四边形ABCD的周长p的取值范围是（ C ）Ａ．1218p <≤Ｂ．1824p <≤ Ｃ．181862p <+≤ Ｄ．121262p <+≤ 7．如图，O 为原点，点A 的坐标为(3，0)，点B 的坐标 为(0，4)，⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为弧ABO 上的一点(不与O 、A 两点重合)，则cos C 的值是【 D 】A ． 3 4B ． 3 5C ． 4 3D ． 4 58世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：1112 1213 16 1314 112 112 1415 120 130 120 1516 130 160 160 130 1617 142 1105 1140 1105 142 17……………………………………………………第8题图则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ B ）A ．1132 B ．1360 C ．1495 D ．1660二、填空题（每小题4分，共20分）1随意抛一粒豆子，恰好落在如图5的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子落在黑色方格中的概率是 .A O CB y x2. 如果将电影票上“6排3号”简记为，那么“10排10号”可表示为 ；表示的含义是 .【答案】 ;7排1号 3. 已知点P （3，－1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a +b ，1－b ），则a b 的值为__________.4如图，AC 是O 的直径，60ACB ∠=， 连接AB ，过AB ，两点分别作O 的切线，两切线交于点P ． 若已知⊙O 的半径为１，则PAB △的周长为 33 ．三．能力（5分）选做题每问5分必选一题。

1 正方形ABCD 的顶点A 在直线MN 上，点O 是对角线AC 、BD 的交点，过点O 作OE ⊥MN 于点E，过点B 作BF ⊥MN 于点F ．（1）如图1，当O 、B 两点均在直线MN 上方时，易证：AF+BF=2OE （2）当正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF 、BF 、OE 之间又有怎样的关系？请直接写出你60的猜想，并选择一种情况给予证明．思路分析：（1）过点B 作BG ⊥OE 于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；（2）选择图2，过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；选择图3同理可证．解：（1）证明：如图，过点B 作BG ⊥OE 于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE-GE=OE-BF ，∴AF-OE=OE-BF ，∴AF+BF=2OE ；（2）图2结论：AF-BF=2OE ，图3结论：AF-BF=2OE ．对图2证明：过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE+GE=OE+BF ，∴AF-OE=OE+BF ，∴AF-BF=2OE ；若选图3，其证明方法同上．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．四、解答题（共5小题，满分55分）1（本小题10分）阅读理解：如图1，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=2，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 和BC 的数量关系．（3）利用折叠找出图中相等的线段和相等的角；由相似找出图中相等的角；可知30=∠BCE ，由直角三角形的性质可得EC BE 21=,而AB CD EC ==,所以AB BE 21=，由33tan ==∠BC BE BCE 可得332=BC AB 试题解析：（2）作图如下：考点：1、相似三角形的判定.2、利用直径所对的圆周角是直角找符合条件的点.3、三角函数.2.（7分）如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．-π.【答案】（1）相切，理由见解析；（2）244【解析】考点：1.圆周角定理；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.切线的判定；5.平行四边形的判定和性质；6.扇形面积的计算；7.转换思想的应用.考点：1.动点问题；2. 切线的性质；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.垂径定理；6.三角形的面积；7.分类思想的应用.3．（本小题满分9分）已知：如图，O 为平面直角坐标系的原点，半径为1的B 经过点O ，且与x y ，轴分交于点A C ，，点A的坐标为()，AC 的延长线与B 的切线OD 交于点D ． （1）求OC 的长和CAO ∠的度数；（2）求过D 点的反比例函数的表达式．3．解：（1）90AOC =∠，AC ∴是B 的直径，2AC ∴=······················· 1分 又点A的坐标为(，OA ∴=1OC ∴=== ··················· 2分 1sin 2OC CAO AC ∴==∠，30CAO ∴=∠ ·················· 3分 （2）如图，连接OB ，过点D 作DE x ⊥轴于点E ··············· 4分 OD 为B 的切线，OB OD ∴⊥，90BOD ∴=∠······················· 5分 AB OB =，30AOB OAB ∴==∠∠，3090120AOD AOB BOD ∴=+=+=∠∠∠，在AOD △中，1801203030ODA OAD =--==∠∠OD OA ∴== ····························· 6分 在Rt DOE △中，18012060DOE =-=∠1cos 6022OE OD OD ∴===，3sin 602ED OD ==∴点D 的坐标为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ························· 7分 设过D 点的反比例函数的表达式为k y x=32k ∴== ···························· 8分y ∴=································ 9分 4．（本小题满分9分）已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，90ACB ∠=，点A C ，的坐标分别为(30)A -，，(10)C ，，3tan 4BAC ∠=． （1）求过点A B ，的直线的函数表达式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB △与ABC △相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP DQ m ==，问是否存在这样的m 使得APQ △与ADB △相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．4．解：（1）点(30)A -，，(10)C ，4AC ∴=，3tan 434BC BAC AC =⨯=⨯=∠，B 点坐标为(13)， ········ 1分 设过点A B ，的直线的函数表达式为y kx b =+，由0(3)3k b k b=⨯-+⎧⎨=+⎩ 得34k =，94b = ···················· 2分 ∴直线AB 的函数表达式为3944y x =+分 （2）如图1，过点B 作BD AB ⊥，交x 轴于点D ， 在Rt ABC △和Rt ADB △中，QBAC DAB =∠∠ Rt Rt ABC ADB ∴△∽△，D ∴点为所求 ················· 4分 又4tan tan 3ADB ABC ==∠∠， 49tan 334CD BC ADB ∴=÷=÷=∠ ···················· 5分 134OD OC CD ∴=+=，1304D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， ···················· 6分 （3）这样的m 存在 ···························· 7分 在Rt ABC △中，由勾股定理得5AB =如图1，当PQ BD ∥时，APQ ABD △∽△ 则133413534m m +-=+，解得259m = ········ 8分 如图2，当PQ AD ⊥时，APQ ADB △∽△ 则133413534m m +-=+，解得12536m = ···················· 9分5.（10分）如图所示，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，直线BD 的函数表达式为333y x =-+，抛物线的对称轴l 与直线BD 交于点C 、与x 轴交于点E ．⑴求A 、B 、C 三个点的坐标．⑵点P 为线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），以点A 为圆心、以AP 为半径的圆弧与线段AC 交于点M ，以点B 为圆心、以BP 为半径的圆弧与线段BC 交于点N ，分别连接AN 、BM 、MN ．①求证：AN =BM ．②在点P 运动的过程中，四边形AMNB 的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.5.解：⑴令2230x x -++=，解得：121,3x x =-=，∴A (－1，0)，B (3，0) ······· 2分A B C D O y x P∵223y x x =-++=2(1)4x --+，∴抛物线的对称轴为直线x =1，将x =1代入y =+y∴C （1，. ········ 3分⑵①在Rt △ACE 中，tan ∠CAE =CE AE= ∴∠CAE =60º，由抛物线的对称性可知l 是线段AB 的垂直平分线，∴AC=BC ，∴△ABC 为等边三角形， ················· 4分 ∴AB = BC =AC = 4，∠ABC=∠ACB = 60º，又∵AM=AP ，BN=BP ，∴BN = CM ，∴△ABN ≌△BCM ，∴AN =BM . ························ 5分 ②四边形AMNB 的面积有最小值． ············· 6分 设AP=m ，四边形AMNB 的面积为S ，由①可知AB = BC= 4，BN = CM=BP ，S △ABC 42= ∴CM=BN= BP=4－m ，CN=m ，过M 作MF ⊥BC ,垂足为F ,则MF =MC •sin60º)m -，∴S △CMN =12CN MF =12m )m -=2， ······ 7分 ∴S =S △ABC －S △CMN=－（2+） ·················· 8分=22)m -+····················· 9分初中数学试卷。