运筹学1.1.9
运筹学 填空题 及基础知识
8．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡= Y﹡b。
9．若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX≤Yb。
10．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡=Y*b。
6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。
7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。
9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。
14.(单纯形法解基的形成来源共有三 种
15.在大M法中，M表示充分大正数。
七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
第四章 线性规划的对偶理论
一、填空题
1．线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大值的线性规划问题，都有一个求最小值/极小值的线性规划问题与之对应，反之亦然。
5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。
6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。
7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。
8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。
9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。
第五章 线性规划的灵敏度分析
一、填空题
1、灵敏度分析研究的是线性规划模型的原始、最优解数据变化对产生的影响。
运筹学知识点
运筹学知识点：绪论1.运筹学的起源2.运筹学的特点第一章线性规划及单纯形法1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。
2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。
3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。
线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。
4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解8.用图解法只有解决两个变量的决策问题9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。
10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。
11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。
12.单纯形法的计算过程，可能出计算题13.入单纯形表前首先要化成标准形式。
14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。
15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。
16.人工变量的系数为足够大的一个负值，用—M代表17.一般线性规划问题的数学建模题（生产计划问题、人才资源分配问题、混合配料问题等）第二章对偶问题1.原问题和对偶问题数学模型的对应关系，可能出填空题和数学模型题2.每一个线性规划必然有与之相伴而生的对偶问题3.对偶问题的性质：弱对偶性、无界性、强对偶性、最优性、互补松弛性，其中互补松弛性可能出计算题4.原问题与其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题变量5.影子价格的定义，用互补松驰性理解影子价格的含义6.影子价格与企业的生产任务、产品结构、技术状况等相关，与市场需求无关7.理解影子价格是机会成本第三章运输问题1.运输问题的数学模型，出建模题2.掌握三个数字：m+n、m*n、m+n-13.解的退化及处理4.运输规划问题本质仍然是线性规划，系数矩阵的特殊性，利用表上作业法求解，核心依然是单纯形法5.表上作业法的计算过程，可能出大题6.什么是基格和空格及含义以及检验数的经济意义7.初始方案的方法，计算检验数的方法，调整方案的方法8.检验数的含义及检验规划与一般线性规划问题的差别9.产销不平衡问题的处理，包括产大于销和销大于产，假想地的单位运价设为零第四章整数规划1.整数规划的分类：纯整数、混合整数、0-1整数2.指派问题的数学模型，可能出建模题3.匈牙利法的计算过程4.解矩阵的特点：n个解1位于不同行不同列上5.分枝定界法分枝和定界的依据以及如何分枝和如何定界6.整数规划问题的求解方法及适用条件7.整数规划问题与其松弛问题解的关系第五章目标规划1.线性规划的局限：严格约束、单目标、约束同等重要2.目标规划问题的数学模型，可能会出建模题，强调目标函数由偏差变量、优先因素和权系数构成3.偏差变量的含义及特点，成对出现，非负且至少有一个为零4.目标约束是等式，等式左边添加一对偏差变量相减5.目标规划问题求解的单纯形表计算停止的规划：要么所有行的检验数均为非负，要么前i行检验数为非负，第i+1行存在负的检验数，但在负检验数上面存在正检验数6.目标规划的达成函数中的偏差变量的选择第六章图论与网络优化1.图论中的图研究对象间的关系，只关心图中有多少个点及点间有线相连2.树的定义及性质3.最小树的求解方法：避圈法和破圈法4.狄克斯屈拉算法的特点：不仅求出从始点到终点的最短路，还求出从始点其他任何各点的最短路5.有向图（点弧）非对称关系和无向图（点边）对称关系的应用6.可行流的定义：两大类的三个条件7.增广链的定义及特点8.最大流最小割定理9.用ford-fulkerson算法求网络中的最大流的计算过程10.算法的核心和实质是判断是否存在增广链，，即网络达到最大流的条件是网络中不存在增广链第七章网络计划技术1.关键路线的定点：持续时间最长、节点时差为零、不止一条2.工作持续时间的确定方法及使用条件3.节点最早时间、节点最迟时间的理解4.工作时间参数着重理解总时差和自由时差，即总时差是若干项工作共同拥有的机动时间，自由时差是某项工作单独拥有的机动时间5.绘制网络技术图的规则第八章动态规划1.动态规划是研究多阶段决策问题的理论和方法2.状态必须具备无后效性，及无后效性的定义3.动态规划和顺序解法和逆序解法的路径及应用条件。
运筹学教程（第二版）（胡运权）课后答案（清华大学出版社）
运筹学教程（第⼆版）（胡运权）课后答案（清华⼤学出版社）运筹学教程（第⼆版）习题解答第⼀章习题解答运筹学教程1.1 ⽤图解法求解下列线性规划问题。
并指出问题具有惟⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解还是⽆可⾏解。
1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5 x 1 + 6 x 2≤ 82 5 ≤ x ? 1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3) 1 2 x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 21 2 ? ≥ 12 2 1 ? x , x ≥ 0 .? ?2 x 1 + x 2 ≤ 2st ?3x + 4 x (2) max Z = 3x 1 + 2 x 2x , x ≥ 0 1 2该问题⽆解≥ 12 2 1 ? ? 2 x 1 + x 2 ≤ 2st .?3 x +4 x ( 2 ) max Z = 3 x 1 + 2 x 2第⼀章习题解答3 2 1x = 1, x = 1, Z = 3是⼀个最优解⽆穷多最优解，1 2x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 2该问题有⽆界解1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5x 1 + 6 x 2第⼀章习题解答唯⼀最优解， x 1 = 10, x 2 = 6, Z = 16 ≤ 82 5 ≤ x ?1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3)第⼀章习题解答运筹学教程1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。
运筹学教案
第一章 线性规划（Linear Programming）本章重点：线性规划的建模、图解法、单纯形法、对偶问题、灵敏度分析本章难点：单纯形法的原理及终表分析、对偶问题的互补松弛定理、线性规划的灵敏度分析线性规划是运筹学中最基本和有代表性的内容，其理论方法体系相对成熟完整，在实际中有广泛的应用。
本章将介绍线性规划的问题与模型建立、模型的解的概念和求解方法、线性规划的对偶理论和灵敏度分析以及0-1规划。
1.1模型与图解法1.1.1线性规划问题及其数学模型1．线性规划的问题在生产管理和经营活动中经常需要解决：如何合理地利用有限的资源，以得到最大的效益。
例1.1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、电、油三种资源。
有关数据如表1.1所示：表1.1 例1.1的数据表试拟订使总收入最大的生产方案。
2．线性规划的模型通过线性规划求解该问题，需明确线性规划模型的三要素： （1）决策变量：需决策的量，即待求的未知数； 本例中即甲、乙产品的计划产量，记为x 1、x 2（2）目标函数：需优化的量，即欲达的目标，用决策变量的表达式表示；本例中即总收入，记为z ，则z =7x 1+12x 2，为体现对其追求极大化，在z 的前面冠以极大号Max ；（3）约束条件：为实现优化目标需受到的限制，用决策变量的等式或不等式表示； 本例中即分别来自资源煤、电、油限量的约束，和产量非负的约束，表示为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+0,3001032005436049..21212121x x x x x x x x t s (1-1)所以，该问题的最终模型为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+≤++=0,3001032005436049..1272121212121x x x x x x x x t s x x Maxz (1-2) 注：线性规划模型的一个基本特点：目标和约束均为变量的线性表达式。
如果模型中出现如32211ln 2x x x −+的非线性表达式，则属于非线性规划。
运筹学1.1.9
0.6X1+0.27X2+0.68X3+0.3X4>=1
17.5X1+7.5X2+30X4>=30 X1,X2,X3,X4>=0
:B
:C
例 1.3 (切割损失问题)。假定某个造纸厂 接到三份订购卷纸的定单，其长和宽的要 求如下：
定单号码
1 2 3
宽（米）
0.5 0.7 0.9
长（米）
1 000 3 000 2 000
《 运 筹 学》
(Operations Research)
主讲：刘春丽
Office: 红瓦楼 729
Mail: liu.chunli@
课程概述
教材：
– 《运筹学》赵可培 上海财经大学出版社
参考教材
– 《运筹学》胡运权 清华大学出版社
考评：平时成绩 30% 期末成绩 70% 答疑时间：周五上午9:30~11:30
解： 设 X1、X2、X3 是 甲，乙，丙三种产品的 产量，Z 是工厂的总利润。那么 Z = 3X1+2X2+5X3 这里 Z 称为目标函数，而 X1、X2、X3称为决策 变量。由于各种产品在三道工序的加工时间不能超过 现有的加工能力，所以，
工序
每件产品加工时间（分钟） 每天加工能力 甲（ X1） 乙（X2）丙（X3） （分钟）
17.5X1+7.5X2+30X4>=30
X1,X2,X3,X4>=0
: C
所以这个问题是要求出X1，X2，X3，X4，它 们满足以上的约束条件并使目标函数M的值最小。 该问题的数学模型是： 求M=0.8X1+0.5X2+0.9X3+1.5X4 的最小值
运筹学教案
第 1 次课 2 学时绪 论运筹学（operations research ）是用数学方法研究各类系统最优化问题的学科。
运筹学通过建立系统的数学模型并求解，为决策者制定最优决策提供科学依据。
一、运筹学简史二、运筹学的主要分支1. 线性规划（Linear Programming ）2. 目标规划（Goal Programming ）3. 整数规划（Integer Programming ）4. 非线性规划（Nonlinear Programming ）5. 动态规划（Dynamic Programming ）6. 图论与网络分析（Graph Theory and Network Analysis ）7. 排队论（Queuing Theory ）8. 存贮论（Inventory Theory ）9. 对策论（Game Theory ） 10. 决策论（Decision Theory ） 三、运筹学的工作步骤 1. 提出和形成问题 2. 收集资料，确定参数 3. 建立模型4. 模型求解和检验5. 解的控制第一章 线性规划与单纯形法 §1.1 线性规划的基本概念§1.1.1线性规划的数学模型 特点：（1）每个行动方案可用一组变量（x 1，…，x n ）的值表示，这些变量一般取非负值； （2）变量的变化要受某些限制，这些限制条件用一些线性等式或不等式表示； （3）有一个需要优化的目标，它也是变量的线性函数。
具备以上三个特点的数学模型称为线性规划（Linear Programming ，简记为LP ），一般形式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥=≤+++≥=≤+++≥=≤++++++=0,,),(),(),( max(min)21221122222121112121112211n mn mn m m n n n n n n x x x bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z 采用求和符号Σ，可以简写为：⎪⎩⎪⎨⎧=≥==≥≤=∑∑==n j x m i b x a x c z ji nj jij nj jj ,,2,1 0,,2,1 ),( max(min)11§1.1.2图解法 1. 唯一最优 例4⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤++=0,124 202582 52 max 212212121x x x x x x x x x z图1-12. 无穷多最优3. 无界解（无最优解）第 2 次课 2 学时§1.2 线性规划的标准形式和解的性质§1.2.1 LP 的标准形式⎪⎩⎪⎨⎧=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z ji nj jij nj jj ,,2,1 0 ,,2,1 max 11变换一般LP 为标准形式的方法：（1）如果原问题目标函数求极小值：∑==nj j jx cz 1min令z 1=－z ，转化为求∑=-=nj j jx cz 11)( max 。
运筹学教材习题答案详解
B1：2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
(2)
【解】最优解X＝（3/4，7/2）；最优值Z=－45/4
(3)
【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10
(4)
【解】最优解X＝（3/2，1/4）；最优值Z=7/4
(5) 【解】最优解X＝（3，0）；最优值Z=3
(6)
【解】无界解。
(7)
【解】无可行解。
(8)
【解】最优解X＝（2，4）；最优值Z=13
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
1.3建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：
表1－23窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度（m）
运筹学完整版
绪论
国际上运筹学的思想可追溯到1914年，当时的 兰彻斯特提出了军事运筹学的作战模型。1917年， 丹麦工程师埃尔朗在研究自动电话系统中通话线路 与用户呼叫的数量关系问题时，提出了埃尔朗公式， 研究了随机服务系统中的系统排队与系统拥挤问题。 存储论的最优批量公式是( Operations Research )
第一章
运
决
筹
胜
帷 幄之
绪论
千
里
中
之
外
Introduction
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在经济管理中的应用
绪论
绪论
绪论
20世纪50年代中期，钱学森、许国志等教授在国内全面介 绍和推广运筹学知识，1956年，中国科学院成立第一个运筹学研 究室，1957年运筹学运用到建筑和纺织业中，1958年提出了图上 作业法，山东大学的管梅谷教授提出了“中国邮递员问题”， 1970年，在华罗庚教授的直接指导下，在全国范围内推广统筹方 法和优选法。
1978年11月，在成都召开了全国数学年会，对运筹学的理论 与应用研究进行了一次检阅，1980年4月在山东济南正式成立了 “中国数学会运筹学会”，1984年在上海召开了“中国数学会运 筹学会第二届代表大会暨学术交流会”，并将学会改名为“中国 运筹学会”。
绪论
运筹学的发展趋势
成熟的学科分支向纵深发展 新的研究领域产生 与新的技术结合 与其他学科的结合加强 传统优化观念不断变化
x1 0xn 0
n
简写为： max(min)Z cj xj j1
n
aij xj ( ) bi (i 1 2m)
《运筹学》复习资料
《运筹学》复习资料注：如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、客观部分：（单项选择、多项选择、判断）（一）多选题1．线性规划模型由下面哪几部分组成？（ABC）A决策变量 B约束条件 C目标函数 D 价值向量★考核知识点: 线性规划模型的构成.（1.1）附1.1.1（考核知识点解释）：线性规划模型的构成：实际上，所有的线性规划问题都包含这三个因素：（1）决策变量是问题中有待确定的未知因素。
例如决定企业经营目标的各产品的产量等。
（2）目标函数是指对问题所追求的目标的数学描述。
例如利润最大、成本最小等。
（3）约束条件是指实现问题目标的限制因素。
如原材料供应量、生产能力、市场需求等，它们限制了目标值所能到达的程度。
2．下面关于线性规划问题的说法正确的是（AB）A．线性规划问题是指在线性等式的限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）的问题。
B．线性规划问题是指在线性不等式的限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）的问题。
C．线性规划问题是指在一般不等式的限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）的问题。
D．以上说法均不正确★考核知识点: 线性规划模型的线性含义.（1.1）附1.1.2（考核知识点解释）：所谓“线性”规划，是指如果目标函数是关于决策变量的线性函数，而且约束条件也都是关于决策变量的线性等式或线性不等式，则相应的规划问题就称为线性规划问题。
3．下面关于图解法解线性规划问题的说法不正确的是（ BC ）A在平面直角坐标系下，图解法只适用于两个决策变量的线性规划B 图解法适用于两个或两个以上决策变量的线性规划C 图解法解线性规划要求决策变量个数不要太多，一般都能得到满意解D 以上说法A正确，B，C不正确★考核知识点: 线性规划图解法的条件. （1.2）附 1.1.3（考核知识点解释）：线性规划图解法的条件：对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标上作图.4．在下面电子表格模型中，“决策变量”的单元格地址为（ AB ）A . C12B . D12C . C4 D. D4★考核知识点: 电子表格中如何建立线性数学模型. （1.3）附1.1.4（考核知识点解释）：电子表格中的数学模型的建立：（1）要做出的决策是什么？（决策变量）；（2）在做出这些决策时有哪些约束条件？（约束条件）；（3）这些决策的目标是什么？（目标函数），将对应的问题数据放在相应的电子表格中即可.5．通常，在使用“给单元格命名”时，一般会给（ABCD ）有关的单元格命名A 公式B 决策变量C 目标函数D 约束右端值★考核知识点: 给单元格命名的原则. （1.3）附1.1.5（考核知识点解释）：给单元格命名的原则：一般给跟公式和模型有关的四类单元格命名。
运筹学1-9
b1 b1 M M b = br → b = br M M b b m m
而其他参数不变时，问 br 在什么范围内变化时，最 而其他参数不变时， 在什么范围内变化时， 优基B不变 不变？ 优基 不变？ 因为b的变化不影响检验数 因为 的变化不影响检验数 y0 j = cj − CBB pj， 分析： 分析： 所以当 b → b 时，在最优表中 B −1 b → B −1 b ， 仍 0 0 则最优基B不变 不变。 则最优基 不变。 但最优解和最优值都发生变化： 但最优解和最优值都发生变化：
x j进基做基变量可使目标值 ↓ 非退化） （非退化）
(P )的最优性判别定理： 2 的最优性判别定理：
B−1b 对于基B 若 的最优解。 对于基 ， B−1b ≥ 0, C − CB B−1 A ≤ 0 则 X∗ = 是(P2)的最优解。 的最优解 0 若有某个 y0 j = cj −cBB−1 pj > 0,
第一章 线性规划
第九节 线性规划问题的灵敏度分析
目标函数成本系数C的灵敏度分析 目标函数成本系数 的灵敏度分析 约束右端项b的灵敏度分析 约束右端项 的灵敏度分析 约束矩阵A的灵敏度分析 约束矩阵 的灵敏度分析
例1-20 某工厂计划生产三种产品 A1 , A2 , A3 ，三种产品每件 的收益分别是2,3,1，资源总数为：人工为 ，材料为 。 的收益分别是 ，资源总数为：人工为1，材料为3。 每件产品所需人工和材料 A3 资源 A1 A2 数如右表， 数如右表，试决定最优的 1 人工 13 13 13 生产方案使该厂收益最大。 生产方案使该厂收益最大。 材料 13 4 3 7 3 3 解： A1 , A2 , A3 的产量分 设 1 收益 2 3 别为 x1 , x 2 , x 3 maxS = 2x1 + 3x2 + x3 maxS = 2x1 + 3x2 + x3 1 x + 1 x + 1 x ≤1 1 x + 1 x + 1 x + x =1 1 2 3 3 3 3 3 1 3 2 3 3 4 标准形 1 x +4 x +7 x ≤3 1 x +4 x +7 x + x =3 3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3 5
运筹学(第五版) 习题答案
Max =-2 -3 - +0 +0 -M -M
S.T.
+4 +2 - + =4
3 +2 - + =6
, , , ， , ， 0
（单纯性表计算略）
线性规划最优解X=（4/5，9/5，0，0，0，0
目标函数最优值min z=7
非基变量 的检验数 =0，所以有无穷多最优解。
两阶段法：
第一阶段最优解X=（4/5，9/5，0，0，0，0 是基本可行解,min w=0
（1）max
5 +10 50
+ 1
4
， 0
（2）min z= +1.5
+3 3
+ 2
， 0
（3）max z=2 +2
- -1
-0.5 + 2
， 0
（4）max z= +
- 0
3 - -3
， 0
解：
（1）（图略）有唯一可行解，max z=14
（2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4
（3）（图略）无界解
1.5以1.4题（1）为例，具体说明当目标函数中变量的系数怎样变动时，满足约束条件的可行域的每一个顶点，都可能使得目标函数值达到最优。
解：目标函数：max z= +
(1)当 0时
=-（ / ） +z/ 其中，k=- /
=-3/5， =-3
k 时， ， 同号。
当 0时，目标函数在C点有最大值
当 0时，目标函数在原点最大值。
基b
d
4
1
0
0
2
-1
-3
0
运筹学(重点)
两个约束条件
(1/3)x1+(1/3)x2=1
及非负条件x1,x2 0所代表的公共部分
－－图中阴影区, 就是满足所有约束条件和非负
条件的点的集合, 即可行域。在这个区域中的每
一个点都对应着一个可行的生产方案。
22
5–
最优点
4–
l1 3B E
2D
（1/3）x1+(4/3)x2=3
l2 1–
0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
运筹学 Operational Research
运筹帷幄，决胜千里
史记《张良传》
1
目录
绪论 第一章 线性规划 第二章 运输问题 第三章 整数规划 第四章 动态规划 第五章 目标规划 第六章 图与网络分析
2
运筹学的分支 数学规划: 线性规划、非线性规划、整数规划、 动态规划、目标规划、多目标规划 图论与网络理论 随机服务理论: 排队论 存储理论 决策理论 对策论 系统仿真: 随机模拟技术、系统动力学 可靠性理论
32
西北角
(一)西北角法
销地
产地
B1
0.3
A1
300
0.1 A2
0.7 A3
销量 300
B2
1.1
400
0.9
200
0.4
600
B3
0.3
0.2
200
1.0
300 500
B4
产量
1.0
700 ②
0.8
400 ④
0.5
600
900 ⑥
600
2000
①
③
⑤
⑥
34
Z
cij xij 0.3 300 1.1 400 0.9 200
运筹学知识点
运筹学知识点运筹学是一门应用广泛的学科，旨在通过科学的方法和技术来解决各种决策和优化问题。
它综合运用数学、统计学、计算机科学等多学科知识，为管理和决策提供有力的支持。
下面让我们来了解一些运筹学的重要知识点。
一、线性规划线性规划是运筹学中最基本也是最重要的内容之一。
它研究的是在一组线性约束条件下，如何找到目标函数的最优解。
例如，一家工厂生产两种产品 A 和 B，生产单位 A 产品需要消耗 2 单位的原材料和 1 单位的劳动力，生产单位 B 产品需要消耗 3 单位的原材料和 2 单位的劳动力。
工厂现有 100 单位的原材料和 80 单位的劳动力，A 产品的单位利润是 5 元，B 产品的单位利润是 8 元。
那么，如何安排生产才能使工厂的利润最大化？解决这个问题，首先要建立线性规划模型。
设生产 A 产品 x 件，生产 B 产品 y 件，目标函数就是利润最大化：Z ＝ 5x ＋ 8y。
约束条件包括原材料限制：2x ＋3y ≤ 100；劳动力限制：x ＋2y ≤ 80；以及非负限制：x ≥ 0，y ≥ 0。
通过求解这个线性规划模型，可以得到最优的生产方案，即生产多少 A 产品和多少 B 产品能够使利润达到最大值。
二、整数规划整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量必须取整数的规划问题。
比如，一个项目需要选择一些地点建设仓库，每个地点的建设成本和运营效益不同。
由于仓库的数量必须是整数，这就构成了一个整数规划问题。
整数规划的求解比线性规划更加复杂，常用的方法有分支定界法、割平面法等。
三、动态规划动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。
以资源分配问题为例，假设一家公司有一定数量的资金要在多个项目中进行分配，每个项目在不同的投资水平下有不同的收益。
要在有限的资金条件下，使总收益最大。
这个问题就可以用动态规划来解决。
动态规划的核心思想是将一个复杂的多阶段决策问题分解为一系列相互关联的子问题，通过求解子问题的最优解来逐步得到原问题的最优解。
运筹学第一课.ppt
其特征是： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的
线性函数，通常是求最大值或 最小值； 2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量 的线性不等式或等式。
2 人力资源分配的问题
例2．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30
• 利润 = 总收入 - 总成本 = 甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量 - 甲乙 丙使用的原料单价*原料数量，故有
目标函数
Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65 （x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
0
x4 + x5 x4 ≥ 100 2x4 + x5 ≥ 100 + 3x5 ≥ 100
9
• 用软件计算得出最优下料方案：按方案1下料30根；按方案 2下料10根；按方案4下料50根。
即 x1=30;
x2=10； x3=0； x4=50； x5=0；
只需90根原材料就可制造出100套钢架。
• 注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号 比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会 多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用 等于号，这一方案就不是可行解了。
运筹学_第1章_线性规划习题
第一章线性规划习题1.1（生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何安排生产计划使企业利润最大？解：设x1、x2分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。
依题意，问题可转换成求变量x1、x2的值，使总利润最大，即ma x z=50x1+100x2且称z=50x1+100x2为目标函数。
同时满足甲、乙两种产品所消耗的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，即可分别表示为x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250且称上述三式为约束条件。
此外，一般实际问题都要满足非负条件，即x1≥0、x2≥0。
这样有ma x z=50x1+100x2x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250x1、x2≥0习题1.2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。
两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。
从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。
环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。
两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。
现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。
解：设x 1、x 2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m 3)。
则问题的目标可描述为min z =1000x 1+800x 2 约束条件有第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求 (2－x 1)/500 ≤0.2% 第二段河流（工厂2以下河段）环保要求 [0.8(2－x 1) +(1.4－x 2)]/700≤0.2% 此外有x 1≤2； x 2≤1.4 化简得到min z =1000x 1+800x 2 x 1 ≥1 0.8x 1 + x 2 ≥1.6 x 1 ≤2 x 2≤1.4 x 1、x 2≥0习题1.3ma x z =50x 1+100x 2x 1 + x 2≤300 2x 1 + x 2≤400x 2≤250图1—1 x 2x1、x2≥0用图解法求解。
运筹学知识点总结
运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
第一章、线性规划的图解法1.基本概念线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。
线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。
目标函数：是变量的线性函数。
约束条件：变量的线性等式或不等式。
可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
可行域：可行解的集合称为可行域。
最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。
唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。
凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。
等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。
松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。
剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。
2.线性规划的标准形式约束条件为等式（=）约束条件的常数项非负（b j≥0）决策变量非负（x j≥0）3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对最优解产生什么影响。
4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。
5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。
当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。
第二章、线性规划问题在工商管理中的应用1.人力资源分配问题（P41）设x i为第i班次开始上班的人数。
2.生产计划问题（P44）3.套材下料问题（P48）下料方案表（P48）设x i为按各下料方式下料的原材料数量。
4.配料问题（P49）设x ij为第i种产品需要第j种原料的量。
《运筹学》全套课件(完整版)
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
运筹学教材习题答案详解
显然用料最少的方案最优。
1.4A、B两种产品，都需要经过前后两道工序加工，每一个单位产品A需要前道工序1小时和后道工序2小时，每一个单位产品B需要前道工序2小时和后道工序3小时．可供利用的前道工序有11小时，后道工序有17小时．
3
B1：2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
《运筹学》
第1章线性规划
第2章线性规划的对偶理论
第3章整数规划
第4章目标规划
第5章运输与指派问题
第6章网络模型
第7章网络计划
第8章动态规划
第9章排队论
第10章存储论
第11章决策论
第12章对策论
习题一
1.1讨论下列问题：
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绪
言
1. 什么是运筹学? 运用科学的数量方法﹝主要是数 学模型﹞，研究对人力、财力和物力 进行合理的筹划和运用，以寻求管理 及决策最优化的综合性学科 。 是系统工程学和现代管理科学中 的一种基础理论和不可缺少的方法、 手段和工具。运筹学已被应用到各种 管理工程中。
科学技术：科学技术是第一生产力
发 展 经 济
解： 设 X1、X2、X3 是 甲，乙，丙三种产品的 产量，Z 是工厂的总利润。那么 Z = 3X1+2X2+5X3 这里 Z 称为目标函数，而 X1、X2、X3称为决策 变量。由于各种产品在三道工序的加工时间不能超过 现有的加工能力，所以，
工序
每件产品加工时间（分钟） 每天加工能力 甲（ X1） 乙（X2）丙（X3） （分钟）
所以这个问题就是要求出 X1、X2、X3，它们 满足以上约束条件，并使 Z = 3X1+2X2+5X3 的值 最大。该问题的数学模型为：
求 Z = 3X1+2X2+5X3 的最大值 约束条件 X1+2X2+X3<=430 3X1 +2X3<=460 <=420
X1+4X2 X1>=0，
X2>=0， X3>=0
例 1.4 （产品配套问题）假定一个工厂的甲、 乙、丙三个车间生产同一种产品， 每件产品包括四 个Ａ零件和三个Ｂ零件。这两种零件由两种不同的 原材料制成， 而这两种原材料的现有数额分别是 100公斤和200公斤。每个生产班的原材料需要量和 零件产量如下： 车间 每班进料数（公斤） 每班产量（个数）
0.8
0.5
0.9
1.5
现在我们希望每天得到的维生素不少于所规定 的最低需要量，问应该如何搭配各种食品才能使所 花的费用最少？
维生素
单位
甲
乙
丙
丁
每人每天
Ａ Ｂ C
单价(元)
X1 X2 X3 X4 最低需要 国际单位 1 000 1 500 1 750 3 250 4 000 毫克 0.6 0.27 0.68 0.8 1 毫克 17.5 7.5 0 80 30 0.8 0.5 0.9 1.5
§1.1线性规划的数学模型及其标准形式
通常在线性规划中讨论的决策问题， 1。问题往往有若干个（有限或无限）决策方案 可供选择，需要确定的决策方案或未知数即称为决 策变量。 2。把决策要达到的目标（只能是一个）表示成 这些决策变量即可供选择的决策方案的函数，称为 目标函数。 3。在现实目标函数最优化的过程中，必然会有 各种客观的限制条件。它们是有关决策方案（变量） 的等式或不等式，称为约束条件。 线性规划模型要求这些函数及约束条件都是决 策变量的线性函数或线性方程。
一 二 三
１ ３ １
２ ０ ４
１ ２ ０
４３０ ４６０ ４２０
利润 (元) ３ ２ 对于第一道工序，有：
对于第二道工序，有： 对于第三道工序，有：
５ X1+2X2+X3<=430
3X1 +2X3<=460 <=420 X1+4X2
这些限制变量的条件称为约束条件.又由于X1， X2，X3是表示产量,当然有: X1>=0， X2>=0， X3>=0 这些称为决策变量非负性约束条件。
由于在最后装配数ｙ达到最大的时候， 它的上限是由上面两个不等式中左边较小 的一个来确定的，所以这个问题是求X1， X2，X3。
使ｚ=ｙ最大
约束条件：
7x 1 6x 2 8x 3 - 4y 0 5x 1 9x 2 4x 3 - 3y 0 8x 1 5x 2 3x 3 100 6x 1 9x 2 8x 3 200 x 1 0, x 2 0, x 3 0, y 0
一、建立决策问题数学模型的一般方法。 1、确定决策变量和有关参数 决策什么？有那些可供选择的方案？将 不同的选择方案数量化，设成决策变量。 2、确定目标函数 决策问题的决策目标是什么？它们是决 策变量（各种可选方案）的函数。（本章线 性规划讨论的数学模型仅有一个决策目标） 3、确定约束或限制条件（等式或不等式 方程组）
３．运筹学研究的基本思想和方法：
现实世界系统
假定的
计算
数学模型
现实世界
对复杂的现实世界系统，进行归纳，分析， 整理，从中抽象出数学模型，然后利用数学方 法，以计算机为工具，求解出最优的方案，并 可对得出的方案作种种分析。
４．运筹学的主要分支： 由于客观世界的多样性，复杂性，对不 同的问题，需归结出不同类型的数学模型， 从而有不同的计算方法，所以《运筹学》按 不同的数学模型类型有很多分支。 如“线性规划”、“运输问题”、“目 标规划”、“动态规划”、“整数规划”、 “图与网络”、“存储问题”、“决策和对 决策”、“排队论”和“模拟”等。
0.6X1+0.27X2+0.68X3+0.3X4>=1
17.5X1+7.5X2+30X4>=30 X1,X2,X3,X4>=0
:B
:C
例 1.3 (切割损失问题)。假定某个造纸厂 接到三份订购卷纸的定单，其长和宽的要 求如下：
定单号码
1 2 3
宽（米）
0.5 0.7 0.9
长（米）
1 000 3 000 2 000
该厂生产１米和２米两种标准宽度的卷 纸。假定卷纸的长度无限制，即可以连接起 来达到所需要的长度，问应如何切割才能使 切割损失的面积最小？
解： 每一种标准卷纸可以有好几种切
割的方式。例如 ２米宽的卷纸可以切成四个 0.5 米宽的卷纸，也可以切成二个 0.5 米宽和 一个 0.9 米宽的卷纸，同时产生 0.1米宽的边 上的切割损失等等。
科学管理 决策
定性分析方法
概率统计分析 方法 定量分 析方法
最优化分析方法 （运筹学） 其它数学模型分 析方法
２、运筹学的发展历史： （１）运筹学的思想在我国很早就产生了， 如公元前四世纪春秋战国时 “ 田忌赛马 ” 的故事。 （２）在我们的日常生活，工作中也在有意 无意地运用运筹学的朴素的思想与方法。 （３）作为一门学科，是社会生产力发展到 一定程度的产物，产生于第二次世界大战期间 ，应用到军事系统。 (Operations Research)
这个目标函数是非线性的，但可以通 过适当的变换把它化为线性的。设：
7x 1 6x 2 8x 3 5x 1 9x 2 4x 3 y min , 4 3
因为不知道哪一个比较小，固上式等价于：
7x 1 6x 2 8x 3 5x 1 9x 2 4x 3 y 和 y 4 3
6X1+9X2+8X3<=200
这三个车间所生产的
Ａ零件总数是7X1+6X2+8X3，
Ｂ零件总数是5X1+9X2+4X3
因为目的是要使产品的配套数最大， 而每件产品需要四个Ａ零件和三个Ｂ零件， 所以产品的最大产量将不超过
7X1+6X2+8X3 4
和
5X1+9X2+4X3 3
中较小的一个。
如果设Ｚ是产品的配套数，那么 7x 1 6x 2 8x 3 5x 1 9x 2 4x 3 z min , 4 3
设Ｘij是第 i 种标准卷纸按照第 j 种方式 的切割的长度。那么两种标准卷纸所有可能 采用的切割方式及其边上的切割损失如下表。
宽度 （米）
1米宽卷纸 X11 X12 X13
２米宽卷纸 需要量 X21 X22 X23 X24 X25 X26 (米)
0.5
0.7
2
0
0
1
0
0
4
0
2
1
2
0
1
2
0
1
0
0
1 000
解：设 X1、X2、X3和 X4 是每天采购甲、乙、丙、 丁四种食品的数量，M是每天采购食品的费用，那么 M=0.8X1+0.5X2+0.9X3+1.5X4（求最小值） 约束条件：1 000X1+1 500X2+1 750X3+3250X4>=4 000 : A
0.6X1+0.27X2+0.68X3+0.3X4>=1 : B
（４） 二次大战后，英美等国把对运筹学 的研究从军事部门转移到工业，商业等部门， 对企业管理作出了很大的贡献。 （５） 近年来，随着计算机技术的飞速发 展，运筹学本身的发展与完善，它已应用到 今日经济管理的各个领域，发挥着极为重要 的作用。 作为一门较年青的学科，运筹学本身仍 在不断的发展与完善中．新的模型，新的算 法，新的思想仍在不断涌现。
工序 每件产品加工时间（分钟） 每天加工能力 甲产品 乙产品 丙产品 （分钟）
一 二 三
利润 (元)
１ ３ １
３
２ ０ ４
２
１ ２ ０
５
４３０ ４６０ ４２０
工序
每件产品加工时间（分钟） 每天加工能力 甲产品 乙产品 丙产品 （分钟）
一 二 三
利润 (元)
１ ３ １
３
２ ０ ４
２
１ ２ ０
５
４３０ ４６０ ４０
0.9 0.7
0.4
1000米
可得到0.9宽度的纸3000米，0.7宽度的 纸3000米，而客户需要的0.9宽度的纸只有 2000米，造成0.9米宽的纸的长度上1000米 的浪费。
于是： Z = 0.3X12 + 0.1X13 + 0.3X22 + 0.1X23 +0.1X24 +0.4X25+ 0.2X26 + 0.5S1 + 0.7S2 + 0.9S3 约束条件是： 2X11+4X21+2X22+2X23+X24-S1=1 000 X12+X22+2X24+X25 -S2=3 000 X13+X23+X25+2X26 -S3=2 000 Xij>=0, Si>=0, 对一切 i和 j 。 所以这个问题就是要求出上面所规定的 各个Ｘij和Ｓi，它们满足以上的约束条件并使 Ｚ的值最小。