2012高考秘笈8

适用：全国各地区
三角函数与平面向量热点交汇题型预测
三角函数与平面向量交汇题型在高考试卷中一般出现在解答题的第一题，也就是第17题。

多为中档题，其难度不会太大，但是，需要我们熟悉考查形式以及热点题型，方可以做到心中有数，以不变应万变。

正是出于这一目的，我们三角函数与平面向量交汇热点题型做了预测、归纳、总结。

以便指导同学们明确所要应对的题型方向、熟悉解题的思路。

预测题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合
解题指导：此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.
【例1】已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.
（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2
的最大值.
【分析】首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A 角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A 、B 、C 三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B 的表达式，再根据B 的范围求最值.
【解】 （Ⅰ）∵→p 、→q 共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA ＋sinA)(cosA －sinA)，则sin 2
A ＝34，
又A 为锐角，所以sinA ＝
32，则A ＝π3
. （Ⅱ）y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2＝2sin 2
B ＋cos (π－π
3－B)－3B
2
＝2sin 2
B ＋cos(π3－2B)＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32
sin2B
＝
32sin2B －12cos2B ＋1＝sin(2B －π
6
)＋1. ∵B∈(0，π2)，∴2B－π6∈(－π6，5π6)，∴2B－π6＝π2，解得B ＝π
3
，y max ＝2.
【点评】本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B 角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.
预测题型二：三角函数与平面向量垂直的综合
解题指导：此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等. 【例2】已知向量→a ＝(3sin α,cos α)，→b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈(3π2
，2π)，且→a ⊥→b ．（Ⅰ）
求tan α的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π
3
)的值．
【分析】第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手，建立关于α的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值；第(Ⅱ)小题根据所求得的tan α的结果，利用二倍角公式求得tan α
2的值，再利用
两角和与差的三角公式求得最后的结果．
【解】（Ⅰ）∵→a ⊥→b ∴→a ·→b ＝0．而→a ＝（3sin α，cos α），→b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，故→a ·→b
＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2
α＝0．
由于cos α≠0 ∴6tan 2
α＋5tan α－4＝0．解得tan α＝－43 或tan α＝12
．
∵α∈（3π2，2π） tan α＜0，故tan α＝12（舍去） ∴tan α＝－4
3
．
（Ⅱ）∵α∈（3π2，2π），∴α2∈（3π
4，π）．
由tan α＝－43，求得tan α2＝－12，tan α2＝2（舍去）．∴sin α2＝55，cos α2＝－25
5
，
∴cos(α2＋π3)＝cos α2cos π3－sin α2sin π
3＝－255×12－55×32＝－25＋1510
【点评】本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（Ⅰ）小题的解答中用到“弦化切”的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法.
预测题型三：三角函数与平面向量的模的综合
解题指导：此类题型主要是利用向量模的性质|→a |2＝→a 2
，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种
方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.
【例3】已知向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)，|→a －→b |＝2
5 5.
(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π
2且sin β＝－513
，求sin α的值.
【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题则可变角α＝
(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cos β即可.
【解】 (Ⅰ)∵|→a －→b |＝255，∴→a 2－2→a ·→b ＋→b 2
＝45，
将向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)代入上式得 12－2(cos αcos β＋sin αsin β)＋12
＝45，∴cos(α－β)＝－35.
(Ⅱ)∵－π2＜β＜0＜α＜π
2
，∴0＜α－β＜π
由cos(α－β)＝－35 得sin(α－β)＝45 又sin β＝－513 ∴cos β＝12
13
∴sin α＝sin ［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝33
65
.
点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答
中要注意两点：(1)化|→a －→b |为向量运算|→a －→b |2＝(→a －→b )2
；(2)注意解α－β的范围.整个解答过
程体现方程的思想及转化的思想.
预测题型四：三角函数与平面向量数量积的综合
解题指导：此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.
【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x∈R，且f(π
2)＝2.（Ⅰ）
求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.
分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式，第（Ⅰ）小题直接利用条件f(π
2)＝2可以求得，而第(Ⅱ)小题利用三角
函数函数的有界性就可以求解.
解：（Ⅰ）f(x)＝→a ·→b ＝m(1＋sinx)＋cosx 由f(π2)＝2得m(1＋sin π2)＋cos π
2
＝2，解得m ＝1.
(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx ＋cosx ＋1＝2sin(x ＋π
4)＋1，
当sin(x ＋π
4
)＝－1时，f(x)的最小值为1－ 2.
点评：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解．。