2018-2019学年辽宁省大连市西岗区九年级上学期期末数学试卷[详解版]

2018-2019学年辽宁省大连市西岗区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）下面数学符号，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sin A的值为（）A．B．C．D．4．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，且∠ABC＝70°，则∠AOC的度数是（）A．35°B．140°C．70°D．70°或140°5．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是（）A．4.5B．8C．10.5D．146．（3分）已知扇形的弧长为3πcm，半径为6cm，则此扇形的圆心角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（3分）已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t （单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（）A．t＝20v B．t＝C．t＝D．t＝8．（3分）如图，P（x，y）是反比例函数y＝的图象在第一象限分支上的一个动点，P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积（）A．不变B．增大C．减小D．无法确定9．（3分）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入300美元，预计2018年年收入将达到1500美元，设2016年到2018年该1243轴的另一个交点坐标是（））C．（3，小题，每小题3分，共18分）＝的自变量的取值范围是OD＝3，13．（3分）点A（1，6）、B（2，n）都在反比例函数的图象上，则n的值为．14．（3分）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE 与△ABC相似，则需要添加即可（只需添加一个条件）．15．（3分）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，此时A′B′⊥AC于D，已知∠A＝51°，则∠B′CB的度数是．16．（3分）如图，已知双曲线y＝（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝．三、解答题（本题共4小题，17、18、19各10分，20题9分，共39分）17．（10分）（1）解方程：x2+4x﹣5＝0（2）+（）﹣1﹣2cos30°+（2﹣π）018．（10分）如图，已知等腰三角形ADC，AD＝AC，B是线段DC上的一点，连结AB，且有AB＝DB．（1）求证：△ADB∽△CDA；（2）若DB＝2，BC＝3，求AD的值．19．（10分）如图，建筑物的高CD为17.32米，在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为30°，请你计算旗杆的高度．（≈1.732，结果精确到0.1米）20．（9分）某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB＝4米，顶部C 离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．22．（9分）【发现】x4﹣5x2+4＝0是一个一元四次方程．【探索】根据该方程的特点，通常用“换元法”解方程：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为．解得：y1＝1，y2＝．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝时，x2＝，∴x＝；原方程有4个根，分别是．【应用】仿照上面的解题过程，求解方程：＝2．23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为BE上一点，以OB为半径的⊙O交AB于点E，交AC于点D．BD平分∠ABC．（1）求证：AC为⊙O切线；（2）点F为的中点，连接BF，若BC＝，BD＝8，求⊙O半径及DF的长．五、解答题（本题共3小题，其中2411分，25、26题各12分，共35分）24．（11分）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，过点C作CE⊥AD于点E，CE＝4，△CDE沿射线DA平移，当CE经过点B时，运动停止．设点D的平移距离为x，平移后的三角形与四边形ABCD的重合部分面积为y，y与x的函数图象如图2所示：（1）图中DE＝；（2）求BC的长；（3）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．25．（12分）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在三角形内取一点D，AD＝AC，∠CAD＝30°，求∠ADB．小明通过探究发现，∠DAB＝∠DCB＝15°，BC＝AD，这样就具备了一边一角的图形特征，他果断延长CD至点E，使CE＝AB，连接EB，造出全等三角形，使问题得到解决．（1）按照小明思路完成解答，求∠ADB；（2）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：如图2，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别为BC、AC、AB上一点，连接DE，延长FE、DF分别交BC、CA延长线于点G、H，若∠DHC＝∠EDG＝2∠G．①在图中找出与∠DEC相等的角，并加以证明；②若BG＝kCD，猜想DE与DG的数量关系并证明．26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且过点（2，﹣3a）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，过点P作PM⊥BD，垂足为点M，PM＝2DM？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）在（2）的条件下，求△PMD的面积．2018-2019学年辽宁省大连市西岗区九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一个选项正确）1．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．2．【解答】解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选：D．3．【解答】解：根据题意画出图形如图所示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3．则sin A＝．故选：A．4．【解答】解：∵A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×70°＝140°．故选：B．5．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝＝，解得：EC＝8．故选：B．6．【解答】解：∵l＝，l＝3πcm，r＝6cm，∴3π＝，解得n＝90°．故选：D．7．【解答】解：由题意得：vt＝20，t＝，故选：B．8．【解答】解：依题意有矩形OAPB的面积＝2×|k|＝3，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变．故选：A．9．【解答】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为：300（1+x）2＝1500．故选：A．10．【解答】解：由表格可知，当x＝0时和x＝2时对应的函数值相等，∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝＝1，∵该函数与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴该函数与x轴的另一个交点坐标为（3，0），故选：C．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．【解答】解：由题意，得x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．12．【解答】解：∵OC⊥AB，∴D为AB的中点，即AD＝BD＝AB，在Rt△AOD中，OA＝5，OD＝3，根据勾股定理得：AD＝＝4，则AB＝2AD＝8．故答案为：8．13．【解答】解：∵点A（1，6），B（2，n）都在反比例函数y＝的图象上，∴1×6＝2n＝k，∴n＝3，故答案为：3．14．【解答】解：∵∠A是公共角，如果∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ABC；如果＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，故答案为：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝．15．【解答】解：∵AC⊥A′B，∴∠CDA′＝90°，∵∠A＝∠A′＝51°，∴∠ACA′＝39°，∵∠BCA＝∠BCA′，∴∠BCB′＝∠ACA′＝39°，故答案为39°．16．【解答】解：过D点作DE⊥x轴，垂足为E，∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∴DE∥AB，∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D，∴DE为Rt△OAB的中位线，∴DE∥AB，∴△OED∽△OAB，∴两三角形的相似比为：＝∵双曲线y＝（k＞0），可知S△AOC＝S△DOE＝k，∴S△AOB＝4S△DOE＝2k，由S△AOB﹣S△AOC＝S△OBC＝3，得2k﹣k＝3，解得k＝2．故本题答案为：2．三、解答题（本题共4小题，17、18、19各10分，20题9分，共39分）17．【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，（x+5）（x﹣1）＝0，∴x+5＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣5，x2＝1；（2）原式＝2+2﹣2×+1＝2+2﹣+1＝3﹣．18．【解答】（1）证明：∵AD＝AC，∴∠D＝∠C，又∵AB＝DB，∴∠D＝∠DAB，∴∠DAB＝∠D＝∠C．又∵∠D＝∠D，∴△ADB∽△CDA；（2）∵△ADB∽△CDA，∴，∵DB＝2，BC＝3，∴CD＝5，∴AD2＝BD•CD＝2×5＝10，∴AD＝．19．【解答】解：Rt△BCE中，∠BEC＝90°，tanα＝，∴CE＝≈＝10（米），在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，tanβ＝，∴AE＝CE•tan30°≈10×＝5.77（米），∴AB＝AE+BE＝17.32+5.77＝23.09≈23.1（米），答：旗杆的高约为23.1米．20．【解答】解：根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），设这个函数为y＝kx2．将A的坐标代入，得y＝﹣1.1x2，∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，∴将x＝1.2代入函数式，得y≈﹣1.6，∴GH＝CH﹣CG＝4.4﹣1.6＝2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门．四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21．【解答】解：（1）将点B（3，2）代入y2＝，得：k＝3×2＝6，则y2＝，当x＝﹣1时，y2＝﹣6，则点C（﹣1，﹣6），将点B（3，2），C（﹣1，﹣6）代入y1＝ax+b，得：，解得，∴y1＝2x﹣4；（2）由函数图象知﹣1＜x＜0或x＞3．22．【解答】解：【探索】设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为：y2﹣5y+4＝0．解得：y1＝1，y2＝5．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝5 时，x2＝5，∴x＝±；原方程有4个根，分别是x1＝﹣1，x2＝1，x3＝，x4＝﹣．故答案为：y2﹣5y+4＝0，5，5，5，，x1＝﹣1，x2＝1，x3＝，x4＝﹣．【应用】设＝a，则＝，原方程可化为a+＝2，a2﹣2a+1＝0解得a1＝a2＝1．经检验：a＝1是分式方程的解，由＝1，得2x＝x+1，x＝1．经检验原方程的解为x＝1．23．【解答】（1）证明：连接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠OBD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠ADO＝∠C＝90°，∴OD⊥AC，∴AC为⊙O切线；（2）解：∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠C＝∠BDE，∵∠CBD＝∠EBD，∴△CBD∽△DBE，∴，即＝，∴BE＝10，∴⊙O半径OB＝5；∴DE＝6，∵点F为的中点，∴＝，∴∠EDF＝∠BDF＝45°，过B作BM⊥DF于M，过E作EN⊥DF于N，连接EF，∴BM＝BD＝4，EN＝DE＝3，EF＝BE＝5，∴S四边形BDEF＝S△BEF+S△BDE＝S△DEF+S△DBF，∴×5×5+×6×8＝×3DF+×4DF，∴DF＝7．五、解答题（本题共3小题，其中2411分，25、26题各12分，共35分）24．【解答】解：（1）由图2可知，△DEC的面积为4，∵CE⊥DE，∴×DE×EC＝4，∴×DE×4＝4，∴DE＝2．故答案为2．（2）作AH⊥CD于H．由题意：AE＝3，∵DE＝2，∴AD＝5，在Rt△DEC中，∵EC＝4，DE＝2，∴CD＝＝2，∵∠D＝∠D，∠CED＝∠AHD＝90°，∴△CED∽△AHD，∴＝，∴＝，∴AH＝2，∵AB∥CD，BC⊥CD，∴∠B＝∠BCH＝∠AHC＝90°，∴四边形AHCB是矩形，∴BC＝AH＝2．（3）①如图1﹣1中，当0≤x≤3时，重叠部分是四边形MNE′D′．y＝S△E′C′D′﹣S△MNC′＝4﹣•x•x＝4﹣x2．②如图1﹣2中，当3＜x≤4时，重叠部分是五边形AD′MNH，y＝S△E′C′D′﹣S△MNC′﹣S△E′AH＝4﹣•x•x﹣•（x﹣5）×2（x﹣5）＝4﹣x2﹣（x﹣5）2＝﹣x2+10x﹣21．综上所述，y＝．25．【解答】解：（1）延长CD至点E，使CE＝AB，连接EB∵，∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA＝45°∵AD＝AC，∠CAD＝30°∴BC＝AD，∠ACD＝∠ADC＝＝75°，∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝15°∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°即∠DAB＝∠BCD在△DAB与△BCE中，∴△DAB≌△BCE（SAS）∴∠ADB＝∠CBE，∠ABD＝∠E，BD＝BE∴∠BDE＝∠E设∠CBD＝x，则∠ABD＝45°﹣x，∠BDE＝∠BCD+∠CBD＝15°+x ∴∠ABD＝∠E＝∠BDE＝15°+x∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD∴45°＝15°+x+x，得：x＝15°∴∠CDB＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝180°﹣15°﹣15°＝150°∴∠ADB＝360°﹣∠ADC﹣∠CDB＝360°﹣75°﹣150°＝135°（2）①∠HDC＝∠DEC，证明如下：∵∠DHC＝∠EDG∴∠HDC＝∠HDE+∠EDG＝∠HDE+∠DHC＝∠DEC∴∠HDC＝∠DEC②猜想DG＝kDE，证明如下：在FG的上方作∠FGM＝∠FGD，使∠FGM的一边与BA延长线交于M ∵∠DHC＝∠EDG＝2∠FGD∴∠DHC＝∠EDG＝∠MGD∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB∴∠M＝180°﹣∠B﹣∠MGD＝180°﹣∠ACB﹣∠EDC＝∠DEC∴∠M＝∠HDC在△MFG与△DFG中，∴△MFG≌△DFG（AAS）∴MG＝DG∵∠B＝∠ACB，∠EDG＝∠MGD∴△BGM∽△CDE∴∵BG＝kCD∴∴DG＝MG＝kDE26．【解答】解：（1）将点的坐标（2，﹣3a）代入抛物线表达式得：﹣3a＝4a﹣4a﹣3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，解得：x＝3或﹣1，即点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），函数对称轴为x＝1，则点D的坐标为（1，﹣4）；（2）存在．理由：将点B、D的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，即：直线BD的表达式为：y＝2x﹣6，过点M作GH∥y轴，分别过点P、点D作x轴的平行线交于点G、H，∵∠PMG+∠DMH＝90°，∠DMH+∠MDH＝90°，∴∠PMG＝∠MDH，∠PGM＝∠MHD＝90°，∴△PGM∽△MHD，∴＝＝＝2，设点M、P的横坐标分别为m，n，则其坐标分别为（m，2m﹣6）、（n，n2﹣2n﹣3），则：PG＝m﹣n，MH＝2m﹣6﹣（﹣4）＝2m﹣2，即：m﹣n＝4m﹣4…①，GM＝n2﹣2n﹣3﹣2m+6＝n2﹣2n﹣2m+3，DH＝m﹣1，即：n2﹣2n﹣2m+3＝2m﹣2…②①②联立并解得：n＝1或﹣（n＝1不合题意，舍去），则n＝﹣，m＝，点M坐标为（，﹣），故点P的坐标为（﹣，﹣）；（3）由勾股定理得：PM＝＝，DM＝＝，S＝PM•DM＝．第21页（共21页）。