无正项刨法——一种与欧拉(Euler)函数殊途同归的研究方法

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《逻辑学》完整版笔记整理

第一章绪言第一节“逻辑”的含义一、逻辑的词源1. 逻辑一词源出于希腊文的“逻各斯”（logos，复数形式是logoi).·古希腊的哲学家赫拉克利特据说有专论逻各斯的著作《逻各斯》。

·逻各斯的基本词义是言辞、秩序和规律。

言语是这一语词的原创义，然后在此基本词义基础上派生出理性、理想、推理论证等词义.2。

逻各斯演变为“逻辑”一词·最先是由斯多葛学派使用；看作是由论辩术和修辞学两部分构成的理论。

·古罗马和欧洲中世纪的逻辑学家也在这种意义上来看待“逻辑”一词.·其后，逻辑一词的含义就一直和推理与论辩的方法和原则相关。

3。

逻辑一词传入中国·严复开始，“按逻辑此翻名学。

其名义始于希腊,为逻各斯一根之转”.·严复翻译的时间大约在19世纪末;·再过十多年后,由章士钊正式在汉语中定名，作为讨论思维、讨论推理的规范和秩序的学问4. 为什么logic要翻译为逻辑？逻辑学是有点特殊的学科。

特殊在什么地方？学科名的特殊和学科内容的特殊。

中国历史上和逻辑对应的学科?逻辑究竟研究什么?二、什么是逻辑？1. 逻辑是一门和方法、原则、规范紧密相关的人文学科。

她探索和研究的是我们进行推理（reasoning，inference）时应该使用的方法、技巧、标准和原则。

逻辑是一门讲道理的学科. 逻辑总是和语言相关.逻辑总是和论证证明推理相关。

p2 2。

三个方向的推理追寻历史:一个事件出现了，我们寻求其产生的原因，案件、历史、文物等，向后的推导.确定目标：未来可能出现的事件,这是向前的推理。

演绎推理:没有时空条件的推理，数学和逻辑。

几何证明和数学计算。

第二节逻辑历史简述一、古典逻辑1. 古希腊哲学家亚里士多德公认为是逻辑学之父.2。

亚里士多德创立逻辑学科的标志是他所撰写的逻辑专著，这些讨论逻辑问题的专著有《范畴篇》、《解释篇》、《分析前篇》、《分析后篇》、《论辩篇》和《辩谬篇》,这些篇章后来合编为《工具论》一书。

张晔：矢志创新，倾心探索“反问题”

张晔：矢志创新，倾心探索“反问题”文/王超世上万事万物，有阴就有阳，有矛就有盾，有正就有反。

比如说，有黑暗就有光明，有邪恶就有正义，有物质就有反物质。

那么是不是以此可以类推，有问题就有反问题呢？答案是肯定的。

反问题就像正问题的“反面”，把输入和输出反过来，形成了一个新的问题。

学术界通常会研究已知原因、过程，然后探索结果，这就是正问题。

那么，相对应的就有两种反问题：一种是已知模型和输出，去寻找未知的输入，另一种则是已知输入和输出来反求模型或模型参数的系统辨识问题。

北京理工大学教授、博士生导师、深圳北理莫斯科大学双聘教授张晔，就是一位专门研究不适定性反问题的正则化理论，还有具体物理学中反问题的算法设计的专家。

他还是深圳北理莫斯科大学数学系的中方主任，以及莫大-北理-深北莫计算数学与控制联合研究中心的执行主任呢。

他的主要研究领域是数学物理反问题的数学建模、数学理论和科学计算。

经过多年在反问题领域的深入研究，他积累了深厚的学术知识和理论基础，并且在实践中发展应用，为我国的反问题研究领域做出了很大的贡献。

兴趣指引，负笈海外求真知数学物理反问题是源于物理、生物、医学、地质等众多科学领域中的实际问题，经过数学建模而产生的一个新兴交叉学科领域。

顾名思义，反问题是相对于正问题而言的。

所谓正问题，一般是按着这种自然顺序来研究事物的演化过程或分布形态，起着由因推果的作用。

反问题则是根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响，由表及里，索隐探秘，起着倒果求因的作用。

可以看出，正、反两方面都是科学研究的重要内容。

反问题其实是无处不在的，在关系国家命脉的经济生产和国防军事领域中，反问题更是常见。

比如，跟人类健康福祉密切相关的无痛无损伤、在体表进行测量的医学诊疗方法；还有与环境控制相关联的污染源探测；材料科学中从材料表面探测内部缺陷的无损探伤，还有海洋探测、空间探测、医学成像等等。

近三十多年来，数学物理反问题已经成为了应用数学中发展最快、成长最迅速的领域之一啦。

雷蒙德三段论

雷蒙德三段论从前有个名叫雷蒙德的哲学家，他有两个弟子，一个叫布利丹，另一个叫霍列纳。

三段论是由法国数学家雷蒙德发明的。

雷蒙德是个无神论者，他一生最大的成就就是发明了三段论。

三段论又称“皮尔士三段论”或“皮尔士—雷蒙德三段论”。

是由法国数学家雷蒙德首先提出并加以系统阐述的。

雷蒙德是法国人，当时的法国社会充满着迷信，他们相信巫师和术士，并因此在很多问题上都不得要领。

于是，雷蒙德就决心发明一种简便、容易理解的科学的方法来解释数学，并用这种方法解释现实世界中各种事物之间的联系，即现代意义上的逻辑。

雷蒙德把自己研究的成果写成了三篇论文，分别发表在当时最著名的三种期刊《爱弥儿》、《伽利略》和《柏林数学杂志》上。

第一篇论文主要是关于用词汇表示命题及其逻辑关系，第二篇论文论述了用证明的方法证明命题，第三篇论文讨论用例子来说明如何进行类比推理。

这三篇论文立即引起了数学界的注意。

因为它们用简单的语言说明了一系列重要的概念和定律，给予了这些概念、原理以严格而准确的定义。

雷蒙德认为，任何科学问题只能通过思维和语言来解决，思维所凭借的工具只有三样：逻辑符号、语言和文字。

而想使思维达到精密、深刻，除了使用这些工具外，还必须使思维获得严密性。

同时，他又认为语言和文字是沟通思维与存在的桥梁，离开语言和文字，我们将难以认识事物的本质，更无法实现思维与存在的沟通。

因此，雷蒙德提出：凡能帮助我们解决问题的东西，都应该收集起来，归纳整理，写成文字，而且尽可能地形式化、标准化，使之成为常规的语言。

所谓文字，就是能把思维中的每一个概念、命题，都用适当的语言形式固定下来，以便日后检查思维的正确性。

正是在这样的理论指导下，雷蒙德最终建立了三段论。

可见，三段论既是数学问题，也是科学问题。

雷蒙德指出，任何命题都有真假，没有真假的命题是没有的。

他曾对许多试图用语言文字表示的事物进行观察，并仔细分析他们之间的区别和联系，但都未能找到令人满意的结果。

直到三段论的发现，雷蒙德的思维才得以完美，思想才得以升华，智慧才得以闪光。

伽罗瓦定理真的错了吗

‘中国科技史杂志“第45卷(2024年)第1期:67 76The Chinese Journal for the History of Science and Technology ㊀Vol.45(2024)No.1伽罗瓦定理真的错了吗?杨保强(延安大学数学与计算机科学学院,延安716000)摘㊀要㊀1830年,伽罗瓦提出有关本原方程的一个定理㊂在数学史上,很多学者认为该定理对于本原群的刻画是错误的,但有一些研究者猜想伽罗瓦的定理可能无误,也许伽罗瓦的本原群隐含地假设了二重传递性㊂本文通过引入与之相应的二重传递方程的概念,利用古证复原或数学实操的方法复原伽罗瓦对于本原方程的真实认识,证实伽罗瓦定理中的本原方程实际所指乃二重传递方程,对应于二重传递群的结果,伽罗瓦的定理并无差错㊂关键词㊀伽罗瓦㊀本原方程㊀二重传递群㊀数学实操㊀古证复原中图分类号㊀N09ʒO151.1文献标识码㊀A㊀㊀㊀㊀文章编号㊀1673-1441(2024)01-0067-10㊀㊀㊀收稿日期:2023-01-25;修回日期:2023-07-03㊀㊀㊀作者简介:杨保强,1993年生,延安大学数学与计算机科学学院讲师,研究方向为近现代数学史㊂㊀㊀㊀基金项目:延安大学博士科研启动项目本原方程的历史研究 (项目编号:YDBK2022-64);国家自然科学基金地区科学基金项目非欧几何学的若干历史问题研究 (项目编号:12161086)㊂1　问题的提出1828年,挪威数学家阿贝尔(Niels Henrik Abel,1802 1829)提出:代数方程的基本问题是根式可解方程的确定和分类([1],pp218 219)㊂阿贝尔之后,伽罗瓦(Évariste Galois,1811 1832)㊁若尔当(Camille Jordan,1838 1922)等很多数学家都是在这个问题的驱动下去研究代数方程的㊂([2],pp34 38)在彻底解决了素数次不可约方程根式可解的问题之后,伽罗瓦将寻找合数次根式可解的不可约方程的问题简化为寻找素数幂次根式可解的本原方程的问题([3],p286)㊂其中,本原方程(primitive equations)是指方程的伽罗瓦群为本原群的一类不可约方程([4],p119),它并非现代意义中的本原多项式方程㊂1830年4月,伽罗瓦发表了他研究本原方程的结果㊂为刻画素数幂次根式可解的本原方程的类型,伽罗瓦给出这样一个定理:伽罗瓦定理.除了9次和25次方程,素数幂次本原方程根式可解的必要条件是,已知它的两个根,其余的根都可以表示为它们的有理函数㊂([5],p271)伽罗瓦对他的定理并没有太多的解释,也未留下证明㊂两个月后,伽罗瓦更加精确地86中㊀国㊀科㊀技㊀史㊀杂㊀志45卷表述了这一必要条件,并认定它也是该定理的一个充分条件㊂([6],p435)伽罗瓦是通过对素数幂次根式可解的本原方程的伽罗瓦群的刻画来表述它的可解条件的㊂上升到现代群论的认识,他的定理等价于:除了9次和25次方程,该方程的伽罗瓦群同构于1维仿射半线性群AΓL(1,F p n)的一个子群([7],p35)㊂然而,事实并非如此㊂正确的结果应当是,它的伽罗瓦群同构于n维仿射一般线性群AGL(n,F p)的一个子群([8],p452)㊂当n 不等于1时,这两个群是完全不同的㊂因此,正如英国学者纽曼(Peter M.Neumann, 1940 2020)所述,伽罗瓦的结果是完全错误的 ([7],p35)㊂事实上,伽罗瓦定理的错误最早由法国数学家若尔当在1867年指出㊂([9], p108)若尔当发现,素数平方次的本原方程并不适用伽罗瓦的定理,以此作为伽罗瓦定理的反例,揭示了它的错误性: 伽罗瓦已经提出,根式可解的本原方程属于一种类型,但不包括9次与25次方程㊂根据上面的论述,我们必须取几乎完全相反的断言 ([10], p113)㊂若尔当之后,了解这段历史的研究者纽曼也对伽罗瓦的定理持否定的态度㊂([11],p49)尽管如此,一些学者猜想伽罗瓦的定理也许并无差错㊂1957年,群论专家于佩尔(Bertram Huppert,1927 )得到关于可解二重传递置换群的一个分类定理:于佩尔定理.除了当p n是32,52,72,112,232,34时的情形,任何p n次[p为素数]的可解二重传递置换群同构于1维仿射半线性群AΓL(1,F p n)的一个子群㊂([12], p379)本原群未必都是二重传递的,但是,如果伽罗瓦的本原 (primitive)实际所指乃二重传递 (doubly transitive)的话,那么,不考虑伽罗瓦未找到的例外,伽罗瓦的定理已经近乎于佩尔的结果了,而不至于说它存在根本性的错误㊂就像考克斯(David A.Cox, 1948 )2012年评述的那样:若尔当的结果揭示出伽罗瓦对可解本原群的刻画有一定的差距㊂然而,伽罗瓦或许隐含地假设了二重传递性㊂如果是这样的话,那么他的描述(除了上面的例外)就非常接近于完整了㊂([13],p57)在2002年的文章中,拉德洛夫(Ivo Radloff)也假定伽罗瓦的定理是作了二重传递性的假设,只有在此条件下,伽罗瓦的定理才不致有误㊂([14],p133)根据于佩尔的定理,伽罗瓦的定理在二重传递群的条件下才能成立,由这两个数学定理的相似性,拉德洛夫和考克斯猜测伽罗瓦的本原群或许假设了二重传递性㊂如此猜想有一定的合理性,因为,伽罗瓦将本原群理解为二重传递群这一点是可能的㊂原因在于,在群论研究的初期,伽罗瓦对于本原群的认识本来就很模糊,比如,他也曾将本原群混同于拟本原群 (其任意非平凡的正规子群皆为传递群)的概念[15];而且,在生命的最后,伽罗瓦给出了关于可解本原群的正确的定理([11],p87),伽罗瓦的本原群概念可能发生了改变,伽罗瓦之前的定理很大可能是他将本原群限制于二重传递群得到的㊂不过,归于历史问题的分析,想要证实伽罗瓦的本原群作了二重传递性的假设,无疑是困难的:一方面,伽罗瓦并未证明他的定理,除了定理本身之外, 很难确切地知道伽罗瓦是怎么想的 ([8],p452);另一方面,伽罗瓦没有对他的本原群的概念作出任何解释,㊀1期杨保强:伽罗瓦定理真的错了吗?96更何况二重传递群的概念在伽罗瓦逝世三十年后才出现㊂那么,如何证实伽罗瓦的定理是没错的猜想呢?前人是将伽罗瓦的定理上升至现代群论的认识而猜想它可能没错的,但伽罗瓦最初的定理针对的却是本原方程㊂因此,无论如何,我们都必须返回伽罗瓦的原始表述,通过探析伽罗瓦定理当中的本原方程概念来厘定伽罗瓦定理现存的争议㊂伽罗瓦到底错了还是没有?这个问题在很大程度上取决于伽罗瓦的定理或许没错的猜想能否得到证实㊂如果不能证实这一点,伽罗瓦可能没错的猜想将依旧止步于猜想,数学史界对于天才数学家伽罗瓦的评定也将存在两种截然相反且并不容中的观点,这是史学研究的科学性所不允许的㊂然而,如果这一猜想可以得到证实,那么,数学史上认为伽罗瓦定理错了的认识将被修正㊂本文是古证复原或数学实操范式于近现代数学史研究的一例应用[16 19]㊂伽罗瓦对此并没有留下太多的文字,更不用说明确的答案,这就决定了我们必须从间接㊁断裂㊁残缺的原始材料的推理分析入手,复原伽罗瓦对于本原方程概念的实际所指㊂2　本原方程与二重传递方程一个不可约方程是本原的还是非本原的,由它的伽罗瓦群所决定㊂在早期,数学家们以置换群来表述方程的伽罗瓦群,它由作用于方程之根且保持根的有理函数不变的置换全体构成㊂([20],p55)不可约方程的伽罗瓦群是一个传递群([21],p131),一个群作用于一个非空集合传递是指,它存在置换使得该集合中的任意两个元素相互变动㊂进一步地,传递群又可一分为二:一个传递群作用于一个非空集合为非本原群,是指该集合存在相等基数的非平凡互斥子集的一个划分,使得在该群的置换作用下,其中的每个子集仍变为某个子集;相反,若该集合不存在满足如上条件的划分,或者其划分是平凡的,即子集为原集合本身或子集中的元素个数均为1,则这样的传递群就是本原群㊂([22],页112)如果一个不可约方程的伽罗瓦群为本原群,那么,这样的方程就是本原方程;反之,则为非本原方程㊂伽罗瓦虽未证明本原方程与本原群的一一对应,但他在论述中隐含使用了如此假设([11],pp171 191)㊂伽罗瓦将不是非本原的方程称之为本原方程:借助一个m次方程,那些可以分解为m个n次方程的mn次方程称之为非本原方程,这是高斯先生的方程,本原方程是不满足这样一种简化的方程㊂([5],p271)非本原方程所对应的多项式可以通过添加基本域上的一个辅助方程的所有根,在基本域的扩域上分解为次数相等且形式相同的因式乘积①,高斯处理过的分圆方程便是一例㊂([15],pp383 385)相反,一个不可约方程如果不是非本原的,即不满足如上性质,那它就是本原方程,比如素数次不可约方程([23],p295)㊂虽然非本原方程的相反情形可以想象,但对于本原方程,这样的描述仍然是模糊的,①不包含只在分裂域上分解为一次因式的不可约方程,因为,此时其伽罗瓦群作用的集合所满足的划分是平凡的,这样的方程是本原方程㊂07中㊀国㊀科㊀技㊀史㊀杂㊀志45卷因为,我们无法获知本原方程确切的类别和特征,这也为伽罗瓦经由不明确的本原方程得到不同的定理而埋下了伏笔㊂传递群的概念可以进一步拓展㊂如果作用于一个非空集合的传递群存在置换,使得该集合中的任意两个不同的元素变动到另外两个不同的元素,那么,这样的传递群就是二重传递群㊂我们已经知道,若一个不可约方程的伽罗瓦群是本原群,则该方程就是本原方程,那么,如果一个不可约方程的伽罗瓦群是二重传递群,它所对应的方程又是怎样的类型呢?假设一个m次多项式f(x)ɪK[x]在域K上不可约,由不可约方程与传递群的对应,知其伽罗瓦群Gal(f,K)传递㊂去掉f(x)=0的任意一根,比如:α1,可以得到扩域K(α1)上的一个多项式f1(x)=f(x)(x-α1)=x m-1+b1x m-2+ +b m-1ɪK(α1)x[].此时,Gal(f,K)二重传递当且仅当f1(x)在K(α1)上不可约㊂([24],p69)伽罗瓦群为二重传递群的不可约方程是这样的类型:在添加其一根所得的基本域的扩域上,它所对应的多项式除去包含此根的一次因式之后仍是不可约的㊂在代数学史上,很多方程的概念都是按照方程与群的对应来命名的,由此,我们不妨将其伽罗瓦群为二重传递群的不可约方程称之为二重传递方程 (doubly transitive equations)㊂按照现代群论,二重传递群必然是本原群([25],p15),故二重传递方程必然也是本原方程,这是伽罗瓦可能将二重传递方程这一特殊类型的方程理解成一般的本原方程的前提,但问题在于,伽罗瓦的数学中存在二重传递方程吗?他又在什么意义上会将二重传递方程等同于本原方程?在伽罗瓦的卷宗(Dossier.16)中有一片段,伽罗瓦考虑了方程可以分解为两个或者两个以上因式的这样一种特殊情形:令U=0是一个方程,且U=VT,V与T是这样的函数,其系数可由原方程系数及添加量有理确定显然,如果给方程U=0添加V=0的所有根,方程U=0将分解为一些因式,其中一个将是T=0,且其他的将是V的单因式㊂([11],p305)根据拉克鲁瓦(Sylvestre François Lacroix,1765 1843)的‘代数基础“(伽罗瓦读过此书,[11],p5),在伽罗瓦的时代, 单因式 (simple factor)是指形如x-a的一次因式([26],p185)㊂贯通起来,伽罗瓦文本的意思是:给原方程所在的基本域添加其部分根之后,原方程所对应的多项式将在扩域上分解为某个因式与包含这部分根的一些一次因式的乘积,即U=T㊃(x-a)(x-b)而且,伽罗瓦对此情形的讨论建立在这样一个基本假设之上:简单来讲,是在方程无有理因式的情形下㊂事实上,如果我们接受在这种情况下它已经被证明,我们假设一个方程可以分解为两个本身无有理因式的因式㊂([11], p307)伽罗瓦讲一个方程无有理因式即指其在基本域上不可约㊂上述文字说明,在伽罗瓦所谓的特殊情形中,原方程在基本域上是不可约的,而且,更重要的是,在添加其部分根之后,它所对应的多项式在基本域的扩域上所分解的各个因式也是不可约的㊂㊀1期杨保强:伽罗瓦定理真的错了吗?17伽罗瓦的特殊情形当然包含最简单的情况:设U=0是基本域K上的一个不可约方程,将它的一个根α添加到基本域K,则在扩域K(α)上,原方程所对应的多项式U分解为两个因式:U=(x-α)㊃T㊂按照伽罗瓦的设定,T在K(α)上也是不可约的㊂此时,伽罗瓦所表述的方程U(x)=0正是域K上的一个二重传递方程㊂伽罗瓦的表述揭示出二重传递方程必然是本原方程㊂因为,按照伽罗瓦的描述,它一定不是非本原的:非本原方程所对应的多项式通过添加一个辅助方程的所有根,会在基本域的某个扩域上分解为次数相等且形式相同的因式乘积,但二重传递方程所对应的多项式通过逐一添加原方程之根,只在分裂域上分解为一次因式的乘积,而在中间任何基本域的扩域上都不存在非本原方程所满足的分解㊂通过以上解读和分析,可以发现,伽罗瓦的手稿不仅包含二重传递方程的等价表述,而且他的表述也暗示了二重传递方程是本原方程㊂在此基础上,伽罗瓦将二重传递方程这种特殊类型的本原方程当成一般意义的本原方程是可能的㊂3　伽罗瓦的本原方程 :二重传递方程伽罗瓦定理中的本原方程是否指代二重传递方程?这是我们评判伽罗瓦定理正确与否的关键,而想要揭开这层历史迷雾,就得使伽罗瓦的真实所想复见于纸上㊂在1832年的遗书 (The Testamentary Letter)中,伽罗瓦记述了他研究本原方程的概况:最简单的分解就是高斯先生的方法中出现的那些分解㊂无论何时,只要添加一方程的一个根,这个方程将变得可约这些分解是显然的,即使是在方程具体形式中,所以没有必要在这个主题上浪费时间㊂对于一个不能用高斯的方法简化的方程,怎样的分解才是可行的呢?我称那些不能用高斯的方法简化的方程为本原[方程];这些方程并不是真的不能被分解,因为它们甚至可能是根式可解的㊂作为根式可解的本原方程的理论的一个引理,我已经于1830年的6月在费吕萨克通报上发表了关于数论的一个虚数分析㊂同时附之以下定理的证明:1.一个可以根式求解的本原方程,其次数必为p v,p是一个素数㊂2.这类方程的所有置换将具有这样的形式x k,l,m, /x ak+bm+cl+ +f,a1k+b1m+c1l+ +g,其中k,l,m, 是n个指标,每个都取p个值,它们代表所有的根㊂这些指标是模p 而取的,也就是说当给这些指标之一加上p的倍数时,所得的根将是一样的㊂([11],p87)伽罗瓦这次给出了关于素数幂次根式可解的本原方程的正确结果,也就是上述定理2㊂对应于现代群论的表述,该定理是指:一个根式可解的p n(p为素数)次的本原方程的伽罗瓦群同构于n维仿射一般线性群AGL(n,F p)的一个子群㊂27中㊀国㊀科㊀技㊀史㊀杂㊀志45卷值得注意的是,伽罗瓦在原始手稿中划去了这么一句无论何时,只要添加一方程的一个根,这个方程将变得可约 ,这句话正好成为解开这个历史谜题的关键㊂此句的意思是,每当添加不可约方程f(x)=0(fɪK x[])的一个根x1,该方程将在扩域K(x1)上变得可约㊂这句本身无误,它相当于今天的因式定理的事实:如果域K上的不可约方程f(x)=0有一个根x1,那么,在扩域K(x1)上,x-x1将整除f(x),此即f(x)在K(x1)上可约㊂根据上下文的语境,这一句似乎是在解释非本原方程的概念,因为,在舍略文本的前后,伽罗瓦都说的是可以按照高斯简化方法分解的非本原方程的情形,但对比伽罗瓦关于非本原方程的表述,就会发现,事实并非如此:因为,依照伽罗瓦的表述,非本原方程涉及的是添加另一个辅助方程之所有根的情形,而划去的这句描述的则是添加原方程的一个根的情况㊂伽罗瓦为什么会想到这么一句,而最后又划掉了它?我们知道,二重传递方程的概念有这样两个要点:首先,它在基本域上不可约,但只要通过添加原方程的一个根,它将变得可约,即在基本域的扩域上,它所对应的多项式将分解为包含此根的一次因式与另外一个因式的乘积;其次,第二个因式在新的扩域上也是不可约的㊂显然,伽罗瓦的舍略文本描绘的正是给基本域添加原方程的一个根的情形㊂因伽罗瓦划掉了这句,丢失了文本间的联系,所以伽罗瓦划掉的这句应当意在文外,其中所略需要我们稍作复原㊂事实上,如果顺着伽罗瓦的逻辑,就会发现,他当时想要说明的是:尽管任何不可约方程可以通过添加它的一个根而在基本域的扩域上变得可约,但本原方程这种特殊情形则对应的是,除去包含原方程之一根的一次因式的方程,在添加此根所得基本域的扩域上仍然是不可约的(二重传递方程)㊂如果按照这种语言逻辑表述下去,伽罗瓦所要表达的本原方程概念就会被解释为二重传递方程,但他在下文给出了关于本原方程可解条件的正确定理,这至少说明,相较之前的错误定理,此时,他对于本原方程的概念已经有了正确的认识㊂因此,这样的解释如果还写在这里,显然是有悖于下文的真理的㊂所以,伽罗瓦划掉了此句㊂伽罗瓦划去的文本本身是没有错误的,伽罗瓦划掉此句只能是出于与所述事实不符的考虑㊂伽罗瓦划去的这句非常贴近他之前对于二重传递方程的描述,因为仅是二重传递方程才涉及添加原方程之一根的情形㊂故在关于本原方程与非本原方程的语境中,所删文本如果不是指非本原方程的情形,那只能是:伽罗瓦在通过对二重传递方程的刻画来解释他所理解的本原方程 !因此,伽罗瓦最初所理解的本原方程概念对应的是二重传递方程㊂而且,在陈述了本原方程正确的定理之后,伽罗瓦对最初所给的定理作了评注,他表述道: 我在费吕萨克通报中所指明的本原方程根式可解的条件限制性太强㊂ ([11],p 89)伽罗瓦讨论本原方程,却得到一个只在二重传递方程概念下才成立的定理,伽罗瓦自己的评论也暗合了他的定理是将本原方程限定于二重传递方程这种特殊的本原方程的理解而得到的㊂所以,伽罗瓦的定理是从二重传递方程的概念出发的㊂综上,伽罗瓦定理中的本原方程实际所指应当是二重传递方程㊂而且,伽罗瓦也㊀1期杨保强:伽罗瓦定理真的错了吗?37提到他的定理例外很少,但还是有一些 ([11],p89)㊂这样,伽罗瓦的定理其实是:伽罗瓦定理.除了9次和25次方程[等],素数幂次[二重传递]方程根式可解的必要条件是,已知它的两个根,其余的根都可以表示为它们的有理函数㊂二重传递方程的伽罗瓦群是二重传递群,该定理正好对应于群论中于佩尔的定理㊂伽罗瓦从二重传递方程出发,得到一个关于二重传递方程的结果,又何错之有呢?或许我们还会有质疑,伽罗瓦明明讨论的是本原方程,却把它理解成二重传递方程去处理,而得到一个二重传递方程的结果,伽罗瓦还是错了,他误解且混淆了本原方程的概念㊂这样的疑问其实带有一种以今度古的倾向㊂首先,这种错误已经不再是伽罗瓦定理错误与否的问题;其次,伽罗瓦对基本概念的误解其实也不能算是错误,它只是名与实的指代和对应问题㊂举个数学史上类似的例子:1853年,克罗内克(Leopold Kronecker,1823 1891)将其伽罗瓦群为循环群的不可约方程称之为阿贝尔方程 (Abelian equations),但若尔当在1870年建议,应该用阿贝尔方程指代阿贝尔所考虑过的更为一般的方程,即其伽罗瓦群是阿贝尓群或交换群的不可约方程㊂克罗内克于1877年接受了若尔当的建议,为作区别,他将之前认识到的循环群所对应的方程改称为简单阿贝尔方程㊂([27],p9)即使这样,博尔萨(Oskar Bolza,1857 1942)在1893年的书评文章中却一仍其旧,把循环群对应的方程称之为阿贝尔方程㊂([28],p103)如此,我们能说后者错了吗?并不能㊂因为,在数学史上,数学家们对于概念的认识本来就是递进的,如同奋身黑夜,每个人的行程长短有限,探见的光亮大小不同,在新的命名方式被认可之前,当然可以用同一个术语指代两种既有融合又互有边界的概念㊂伽罗瓦对本原方程的认识受时代约束本来就是不明确的㊂原因在于,本原方程是通过本原群来界定的,但伽罗瓦对于本原群的理解却是模糊的,比如,他也会把本原群与拟本原群等同起来㊂所以,看待伽罗瓦错误与否须得将评判标准转向伽罗瓦究竟从哪种概念出发本原方程背后的真实所指才是合理允当的,而这又回到了我们的问题和论证:虽然伽罗瓦定理中的方程名为本原方程 ,但其实,伽罗瓦却是将二重传递方程当作本原方程来理解的,而在二重传递方程的条件下伽罗瓦的定理又是对的,因此,伽罗瓦的定理本身无误㊂4　结论伽罗瓦的定理真的错了吗?数学史界对此历来存有争议㊂将伽罗瓦的定理上升于群论的认识之后,评判伽罗瓦定理正确与否的关键在于伽罗瓦的本原群是否是二重传递的㊂不过,由于史料不足,该问题在群的视角下很难得到答案,更何况,伽罗瓦定理的原始表述针对的是本原方程㊂所以,我们通过引入与二重传递群相对应的二重传递方程的概念,从方程的角度来考证伽罗瓦定理中的本原方程是否指代二重传递方程㊂伽罗瓦对本原方程的表述并不确切,他只提到本原方程不是非本原的㊂在伽罗瓦的卷宗中,我们找到了有关二重传递方程概念的表述,同时,伽罗瓦的描述也暗示了二重传递方程正是本原方程,因为它并不满足非本原方程所满足的分解㊂这两点为伽罗瓦将中㊀国㊀科㊀技㊀史㊀杂㊀志45卷二重传递方程这种特殊类型的本原方程当作一般的本原方程提供了可能㊂伽罗瓦定理中的本原方程实际所指乃二重传递方程㊂通过对伽罗瓦的遗书其间舍略文本的语境修复和整体性分析,我们揭示出,伽罗瓦最初的本原方程概念是指二重传递方程㊂而且,根据伽罗瓦之后对该定理的评注从旁推断出,伽罗瓦的定理是将他所考虑的本原方程限制于二重传递方程这种特殊类型的本原方程得到的㊂从二重传递方程的概念出发,伽罗瓦得到了一个二重传递方程的结果,而且,按照方程与群的对应,如不考虑伽罗瓦未找到的例外(但他承认还有例外),它正好对应群论中的于佩尔定理㊂因此,伽罗瓦的定理并无差错㊂以此,我们修正了数学史上认为伽罗瓦定理错误的观点㊂前人学者所认为的伽罗瓦定理的错误实际上是一种被误解的错误 ,在他们看来,伽罗瓦定理当中的本原方程就是我们今天所指的一般意义的本原方程,但根据我们的考证,事实并非如此,伽罗瓦的定理只针对于这种特殊的本原方程二重传递方程㊂有趣的是,这种被误解的错误亦已成为过去数学史的一部分,对后世数学家若尔当的研究以及代数学的发展产生了深远的影响㊂[29 30]图1㊀伽罗瓦定理的认知图数学家的想法,不为载录的,一经过往,便成为历史的一部分,而止于文字的,又未必是我们所理解的真实㊂这就要求我们,在提出或者采信某种数学史观点时应当设身处地地接近古人㊂数学家从不同的概念出发,会得到不同的数学真实,比如,二重传递群的定理㊁本原群的定理,但我们要寻找的历史真实只有一个,那就是:伽罗瓦的定理究竟是二重传递群的定理还是本原群的定理?数学真实不能完全再现历史真实,但它可以引导我们揣思历史真实,而无记述的历史真实可以通过古证复原或数学实操等史学研究方法揭示出来㊂致㊀谢㊀感谢西北大学的曲安京教授对本研究的启发和指导,谢谢京都大学的上野健尔(Kenji Ueno )教授提供了伽罗瓦手稿的相关资料!向匿名审稿人的宝贵意见与建议表达衷心的谢忱!参㊀考㊀文㊀献1㊀Abel N H.Sur la Résolution Algébrique des Equations[A].Sylow L,Lie S(eds.).Oeuvres Complètes de Niels Henrik Abel [C].Christiania:Grøndahl,1881.2㊀Jordan C.Notice sur les Travaux de M.Camille Jordan L appui de sa Candidature L Académie des Sciences[J].47。

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(非数学专业组)

附件1：中国大学生数学竞赛竞赛大纲(非数学专业组)中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1.导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2.基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6.洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7.函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8.函数最大值和最小值及其简单应用.9.弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念.2.不定积分的基本性质、基本积分公式.3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6.广义积分.7.定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y ′=′′),(y y f y ′=′′.4.线性微分方程解的性质及解的结构定理.5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler )方程.8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5.二阶偏导数、方向导数和梯度.6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式.8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss )公式、斯托克斯(Stokes )公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p 级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz )判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。

《采用合理的论证方法》课件高中语文选择性必修上册

“兼听”的原则是独立思考、为我所用。
运用掌握的逻辑方法，完成下列任务。
任务1：搜集典型议论性文章，分析其中的逻辑链条。(小组合作，先分头搜集典型的议论性文章，再共同剖析文章的论证过程，理清其中包含的逻辑链条，推敲其论证的逻辑性，思考如何在自己的议论文写作中学习借鉴。)
《六国论》围绕先秦六国破灭的原因，先后从不同角度写了如下内容： ①提出论点：弊在赂秦朝 ②揭示原因：赂秦力亏 ③回应“论敌”：不赂者以赂者丧 ④失土情况比较：所亡百倍于战败所亡 ⑤失土过程描述：奉之弥繁，侵之愈急 ⑥解释特殊情况：齐亲附秦；燕赵用兵有效却智力孤危，又行刺容，诛良臣
部编版高中语文选择性必修上册——第四单元
学习活动三采用合理的论证方法
学习目标
1.剖析论证过程，理解论证的作用和论辩的魅力 2.能够借助逻辑知识、采取恰当的论证方法进行论证
论证的概念
论证，就是用某些论据去支持或反驳某个观点。支持和反驳都属于论证。论证要素和推理要素具有一一对应的关系。一个完整的推理有三个要素：前提、推理形式、结论。一个完整的论证也有三个要素：论点、论证形式、论据。
把温饱定义为或温或饱对正方有利，那么，不温饱就变成了既不温又不饱，在同等条件下这就要比温而不饱或饱而不温更难以谈道德。
相对于把温饱界定为或温或饱而言，界定为既温且饱对正方更加不利，既温且饱，意思就是只有两样都具备才能谈道德，无形之中抬高了谈道德的条件，论证的难度也增加了。
（3）论证思路以下的论证思路是正方的还是反方的？分析这样设计论证思路的理由。
③齐王听了“宫妇左右”“朝廷之臣”“四境之内”的声音还不算“兼听” 吗？而李世民有时听魏征一个人的就够了。究竟达到什么程度才算兼听？
为了应对质疑、驳斥攻击、解释反例，写作者就得对“兼听”的内涵作出阐述，对现有的例子进行分析，甚至还要主动对论点的适用范围进行限定。由此，改进论证提纲如下：

微积分中数学符号的由来

微积分中数学符号的由来介绍了积分符号∫、无穷大符号∞、极限符号lim、数集符号、判别式符号？驻、自然对数底数符号e、属于符号∈等微积分中常见数学符号的由来，帮助学生更好地掌握这一学科知识，激发学生学习兴趣，培养学生的数学素质。

标签：微积分数学符号由来“使用符号，是数学史上的一件大事。

一套合适的符号，绝不仅仅是起速记、节省时间的作用。

它能够精确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系。

一个较复杂的公式，如果不用符号而用日常语言来叙述，往往十分冗长而且含糊不清。

”（引自我国数学史家梁宗巨的《世界数学史简编》）。

1 积分符号∫的由来积分的本质是无穷小的和，拉丁文中“Summa”表示“和”的意思。

将“Summa”的头一个字母“S”拉长就是∫。

发明这个符号的人是德国数学家莱布尼茨（Friedrich ，Leibniz）。

莱布尼兹具有渊博的知识，在数学史上他是最伟大的符号学者，并且具有符号大师的美誉。

莱布尼兹曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动。

”莱布尼兹创设了积分、微分符号，以及商“a/b”，比“a：b”，相似“∽”，全等“≌”，并“∪”，交“∩”等符号。

牛顿和莱布尼茨在微积分方面都做出了巨大贡献，只是两者在选择的方法和途径方面存在一定的差异。

在研究力学的基础上，牛顿利用几何的方法对微积分进行研究；在对曲线的切线和面积的问题进行研究的过程中，莱布尼兹采用分析学方法，同时引进微积分要领。

在研究微积分具体内容的先后顺序方面，牛顿是先有导数概念，后有积分概念；莱布尼兹是先有求积概念，后有导数概念。

在微积分的应用方面，牛顿充分结合了运动学，并且造诣较深；而莱布尼兹则追求简洁与准确。

另外，牛顿与莱布尼兹在学风方面也迥然不同。

牛顿作为科学家，具有严谨的治学风格。

牛顿迟迟没有发表他的微积分著作《流数术》的原因，主要是他没有找到科学、合理的逻辑基础，另外，可能也是担心别人的反对。

那些论文中出现的“数理逻辑”证明方法之反证法与归谬法

那些论文中出现的“数理逻辑”证明方法之反证法与归谬法直到在读研期间，我才开始了解到，当年高中三年，苦练数学证明题的意义。

那些一道道题目，看似惨无人道，实则是为了帮助我们训练“数理逻辑”的思维能力。

最近在读Paper的过程中，发现很多证明方法，都和高中时代学习的证明方法类似，故记录之。

一则，是为了证明数学有用，二则，是为了巩固知识，第三，为了掌握解题的基本方法，训练自己的数理逻辑。

归谬法归谬法（Reductio ad absurdum）是一种论证方式。

先假设一个命题成立，然后推断出矛盾的、与已知事实不符的、或者荒谬的、不可接受的结果，从而得出一个命题不成立的结论。

- 根据假设推理出不符已知事实的结果。

假设总统是女人，女人应该有突出的乳房，但总统曾裸露上身跑步，而从新闻录像可看到他并没有突出的乳房，因此总统不会是女人。

在上面的推理中，事实是总统曾经赤裸上身跑步，没有看到突出的乳房，这是众所周知的事实。

根据假设，如果总统是女性，他应该有突出的胸部。

因为根据假设结果不成立，所以假设不成立。

因此，总统不是女性。

反证法归谬法(又称悖论)是一种论证方式。

他先假设一个命题不成立(即在原命题的条件下结论不成立)，然后推断出明显矛盾的结果，从而得出原假设不成立，原命题得到证明的结论。

举例：例：在△ABC中,已知AB＝c,BC＝a,CA＝b,且∠C≠90°.求证；a2＋b2≠c2.假设a2＋b2＝c2,则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°,这与已知条件∠C≠90°产生矛盾,因此,假设a2＋b2＝c2是错误的.所以a2＋b2≠c2是正确的•使用“反证法”来进行证明的论文（非本专业同学，可忽略）- （推理出矛盾的结果）《The Byzantine generalProblem》在该论文中，已知在3将军问题（一个叛徒），拜占庭将军问题不可解。

文中有一个结论，假设一个有m个叛徒，当总将军数不少于3m+1时，拜占庭将军问题有解。

新《形式逻辑》习题集

第一章引论一、思考题1．在现代汉语中，‚逻辑‛一词的含义主要有哪些? 2．什么是思维内容?什么是思维形式?举例说明什么是思维的逻辑形式。

3．逻辑形式由哪两个部分构成?举例说明什么是逻辑常项，什么是逻辑变项。

在逻辑形式中起决定作用的是逻辑常项还是逻辑变项?为什么?4．形式逻辑具有怎样的学科性质?5．形式逻辑对人们的思维及其成果的表达起什么作用?试举例说明。

9．你认为怎样才能学好形式逻辑。

二、练习题（一）指出下列各段文字中“逻辑”一词的含义。

1．写文章要讲逻辑，就是要注意整篇文章的布局，开头部分、主体部分、结尾部分要有一种内在的联系。

2．‚人不为己，天诛地灭‛，这是极端个人主义者的逻辑。

3．在以往的全部哲学中还仍旧独立存在的，就只有关于思维及其规律的学说——逻辑和辩证法。

4．只有更多地深入实际、深入生活，创作出的作品才能真实地反映现实生活的逻辑。

（二）分析下列逻辑形式，指出其逻辑常项和逻辑变项。

1．所有S都不是P。

2．只有p，才q；非p；所以非q。

第二章概念一、思考题1.什么是事物的属性?谈谈你是如何对事物的属性进行分类的?2.概念的两个基本的逻辑特征是什么?什么是概念的内涵和外延?试举例说明。

概念的内涵和外延为何会常常发生变化?3.什么是集合概念和非集合概念?怎样区别集合概念和非集合概念?试举例说明同一语词有时表达的是集合概念，有时表达的是非集合概念。

4.什么是正概念和负概念?什么是论域?5.什么是属概念、种概念、邻近属概念?6.简述概念限制的含义和方法，概念概括的含义和方法。

7.什么是定义?它有几种?8.实质定义有哪些规则?试举例说明违反这些规则的情况（分别说出错误类型）。

9.简述定义的作用。

10.举例说明什么是一次划分、连续划分，什么是二分法、多分法?什么是一般划分、科学划分? 11.试谈谈列举与划分的关系。

二、练习题（一）分析下列各段文字，指出其括号内的语词或语句是从内涵方面还是从外延方面来说明标有横线的概念的。

专业英语词汇(信号与系统)

《信号与系统》专业术语中英文对照表第 1 章绪论信号（signal)系统（system）电压（voltage)电流（current）信息(information）电路（circuit）网络(network）确定性信号（determinate signal）随机信号（random signal）一维信号（one–dimensional signal）多维信号（multi–dimensional signal）连续时间信号（continuous time signal）离散时间信号（discrete time signal）取样信号（sampling signal）数字信号(digital signal）周期信号(periodic signal）非周期信号（nonperiodic（aperiodic) signal）能量（energy）功率（power)能量信号(energy signal）功率信号(power signal)平均功率（average power）平均能量(average energy)指数信号（exponential signal）时间常数（time constant）正弦信号（sine signal）余弦信号（cosine signal）振幅（amplitude）角频率（angular frequency）初相位(initial phase)周期(period)频率(frequency）欧拉公式（Euler’s formula）复指数信号（complex exponential signal）复频率（complex frequency)实部（real part)虚部（imaginary part）抽样函数Sa（t)(sampling（Sa）function）偶函数（even function）奇异函数（singularity function)奇异信号(singularity signal)单位斜变信号（unit ramp signal）斜率(slope)单位阶跃信号（unit step signal）符号函数(signum function）单位冲激信号(unit impulse signal）广义函数(generalized function）取样特性（sampling property)冲激偶信号（impulse doublet signal）奇函数（odd function）偶分量（even component）奇分量（odd component)正交函数(orthogonal function)正交函数集（set of orthogonal function）数学模型（mathematics model）电压源（voltage source）基尔霍夫电压定律（Kirchhoff's voltage law（KVL））电流源（current source）连续时间系统(continuous time system）离散时间系统（discrete time system)微分方程（differential function)差分方程(difference function）线性系统(linear system）非线性系统（nonlinear system）时变系统（time–varying system）时不变系统（time–invariant system）集总参数系统（lumped–parameter system）分布参数系统（distributed–parameter system）偏微分方程（partial differential function)因果系统（causal system）非因果系统（noncausal system）因果信号(causal signal)叠加性（superposition property）均匀性（homogeneity）积分（integral)输入–输出描述法（input–output analysis)状态变量描述法（state variable analysis）单输入单输出系统(single–input and single–output system）状态方程（state equation）输出方程（output equation）多输入多输出系统（multi–input and multi–output system）时域分析法(time domain method）变换域分析法（transform domain method)卷积（convolution）傅里叶变换（Fourier transform）拉普拉斯变换（Laplace transform）第 2 章连续时间系统的时域分析齐次解（homogeneous solution)特解（particular solution）特征方程（characteristic function）特征根（characteristic root）固有（自由）解（natural solution）强迫解（forced solution）起始条件（original condition)初始条件（initial condition）自由响应(natural response)强迫响应（forced response)零输入响应（zero-input response）零状态响应（zero—state response）冲激响应（impulse response)阶跃响应（step response）卷积积分（convolution integral）交换律（exchange law）分配律（distribute law）结合律(combine law）第3 章傅里叶变换频谱（frequency spectrum）频域(frequency domain）三角形式的傅里叶级数（trigonomitric Fourier series）指数形式的傅里叶级数（exponential Fourier series）傅里叶系数（Fourier coefficient)直流分量（direct composition）基波分量（fundamental composition）n 次谐波分量（n th harmonic component)复振幅（complex amplitude）频谱图(spectrum plot(diagram））幅度谱（amplitude spectrum)相位谱（phase spectrum）包络（envelop)离散性（discrete property）谐波性(harmonic property)收敛性（convergence property）奇谐函数（odd harmonic function）吉伯斯现象(Gibbs phenomenon）周期矩形脉冲信号(periodic rectangular pulse signal）周期锯齿脉冲信号（periodic sawtooth pulse signal）周期三角脉冲信号（periodic triangular pulse signal）周期半波余弦信号（periodic half–cosine signal）周期全波余弦信号（periodic full–cosine signal）傅里叶逆变换（inverse Fourier transform）频谱密度函数（spectrum density function）单边指数信号（single–sided exponential signal)双边指数信号（two–sided exponential signal）对称矩形脉冲信号（symmetry rectangular pulse signal）线性（linearity)对称性（symmetry）对偶性（duality)位移特性（shifting)时移特性（time–shifting）频移特性(frequency–shifting）调制定理（modulation theorem）调制（modulation）解调(demodulation）变频（frequency conversion）尺度变换特性（scaling）微分与积分特性（differentiation and integration）时域微分特性(differentiation in the time domain）时域积分特性（integration in the time domain）频域微分特性(differentiation in the frequency domain）频域积分特性（integration in the frequency domain)卷积定理（convolution theorem）时域卷积定理（convolution theorem in the time domain)频域卷积定理(convolution theorem in the frequency domain）取样信号（sampling signal）矩形脉冲取样（rectangular pulse sampling）自然取样（nature sampling）冲激取样（impulse sampling）理想取样（ideal sampling）取样定理(sampling theorem)调制信号（modulation signal）载波信号（carrier signal）已调制信号（modulated signal)模拟调制（analog modulation)数字调制(digital modulation）连续波调制（continuous wave modulation）脉冲调制（pulse modulation)幅度调制(amplitude modulation)频率调制(frequency modulation)相位调制(phase modulation）角度调制(angle modulation）频分多路复用（frequency–division multiplex（FDM））时分多路复用(time–division multiplex（TDM））相干（同步）解调（synchronous detection）本地载波(local carrier）系统函数（system function）网络函数（network function）频响特性（frequency response）幅频特性（amplitude frequency response）相频特性（phase frequency response）无失真传输（distortionless transmission）理想低通滤波器（ideal low–pass filter）截止频率（cutoff frequency)正弦积分(sine integral）上升时间(rise time）窗函数（window function)理想带通滤波器（ideal band–pass filter)第 4 章拉普拉斯变换代数方程（algebraic equation)双边拉普拉斯变换（two-sided Laplace transform）双边拉普拉斯逆变换（inverse two—sided Laplace transform）单边拉普拉斯变换（single—sided Laplace transform）拉普拉斯逆变换（inverse Laplace transform)收敛域（region of convergence（ROC)）延时特性(time delay）s 域平移特性（shifting in the s—domain）s 域微分特性（differentiation in the s—domain）s 域积分特性（integration in the s—domain)初值定理（initial-value theorem)终值定理（expiration—value)复频域卷积定理(convolution theorem in the complex frequency domain）部分分式展开法（partial fraction expansion）留数法(residue method)第 5 章策动点函数（driving function）转移函数（transfer function）极点（pole）零点(zero）零极点图（zero—pole plot)暂态响应(transient response）稳态响应（stable response)稳定系统（stable system）一阶系统（first order system)高通滤波网络（high-low filter）低通滤波网络（low-pass filter）二阶系统(second system)最小相移系统(minimum-phase system）维纳滤波器（Winner filter）卡尔曼滤波器（Kalman filter）低通（low—pass）高通（high—pass)带通（band—pass）带阻（band—stop）有源（active）无源(passive）模拟（analog）数字(digital)通带（pass—band）阻带(stop-band）佩利－维纳准则（Paley—Winner criterion) 最佳逼近（optimum approximation）过渡带（transition—band）通带公差带(tolerance band)巴特沃兹滤波器（Butterworth filter)切比雪夫滤波器(Chebyshew filter)方框图（block diagram）信号流图（signal flow graph）节点（node）支路（branch）输入节点（source node）输出节点（sink node）混合节点(mix node)通路（path）开通路（open path）闭通路（close path）环路（loop)自环路（self—loop）环路增益（loop gain）不接触环路(disconnect loop）前向通路（forward path）前向通路增益（forward path gain）梅森公式（Mason formula）劳斯准则（Routh criterion）第 6 章数字系统（digital system）数字信号处理(digital signal processing）差分方程（difference equation)单位样值响应（unit sample response）卷积和（convolution sum）Z 变换（Z transform）序列（sequence）样值（sample)单位样值信号（unit sample signal）单位阶跃序列（unit step sequence)矩形序列(rectangular sequence）单边实指数序列（single sided real exponential sequence）单边正弦序列(single sided exponential sequence）斜边序列(ramp sequence）复指数序列（complex exponential sequence)线性时不变离散系统(linear time-invariant discrete-time system）常系数线性差分方程(linear constant—coefficient difference equation)后向差分方程（backward difference equation）前向差分方程（forward difference equation)海诺塔（Tower of Hanoi）菲波纳西（Fibonacci）冲激函数串（impulse train）第7 章数字滤波器（digital filter)单边Z 变换(single-sided Z transform）双边Z 变换(two-sided (bilateral）Z transform）幂级数（power series）收敛（convergence)有界序列（limitary-amplitude sequence）正项级数（positive series）有限长序列（limitary—duration sequence）右边序列（right-sided sequence）左边序列（left—sided sequence)双边序列（two—sided sequence）Z 逆变换（inverse Z transform）围线积分法（contour integral method)幂级数展开法（power series expansion）z 域微分（differentiation in the z—domain）序列指数加权（multiplication by an exponential sequence）z 域卷积定理(z-domain convolution theorem）帕斯瓦尔定理（Parseval theorem）传输函数(transfer function）序列的傅里叶变换（discrete—time Fourier transform：DTFT）序列的傅里叶逆变换（inverse discrete—time Fourier transform：IDTFT）幅度响应（magnitude response）相位响应（phase response）量化(quantization）编码（coding）模数变换（A/D 变换：analog-to—digital conversion）数模变换（D/A 变换：digital—to- analog conversion）第8 章端口分析法（port analysis)状态变量（state variable）无记忆系统（memoryless system）有记忆系统（memory system）矢量矩阵(vector-matrix ）常量矩阵(constant matrix ）输入矢量(input vector）输出矢量(output vector）直接法（direct method）间接法（indirect method）状态转移矩阵（state transition matrix）系统函数矩阵(system function matrix）冲激响应矩阵（impulse response matrix)朱里准则（July criterion)。

费马引理的证明

费马引理的证明费马引理是数论领域的一个重要命题，其几个著名证明在历史上产生了广泛影响。

费马引理的原始版本是在17世纪由法国数学家费马提出的，它涉及了数的幂方的整数解的存在性问题。

费马引理在数论学科中有着广泛的应用，也是许多数学分支的基础。

费马引理主要是要证明对于任意大于2的整数n，方程x^n + y^n = z^n 在整数域上没有正整数解。

这个问题也即是所谓的费马大定理，对其证明的研究历经400多年，直到1994年由英国数学家安德鲁·怀尔斯发表的证明才完全解决了费马大定理。

费马引理的证明有多种方法，其中最著名的是通过使用无穷降序法。

这个证明方法追溯到17世纪的数学家弗拉马.斯摩·埃托阿尔巴蒂。

他提出，假设方程有解，我们可以找到一组整数解(x,y,z)使得它们的最小公约数是素数p。

根据费马引理，可以把n限制在大于2的整数。

当n=2的时候，问题可以简化为勾股定理，已有完备的解决方法，所以我们只需考虑n>2的情况。

使用无穷降序法，我们可以得到一个等式：(x/p)^n + (y/p)^n = (z/p)^n。

观察到等式左边每一项都能被p整除，所以我们可以继续将这些解分别除以p，得到一个新的解。

但是这与我们之前设定的(x,y,z)使得最小公约数为素数p相矛盾。

这个证明方法的关键之处在于反证法，通过无限次降序，我们可以一直找到新的解，而这些解的最小公约数却不断减小，最终将与我们假设的最小公约数为素数矛盾，从而证明了费马引理。

费马引理的证明不仅是对这个命题的验证，更重要的是它为数论领域的研究提供了一种新的证明思路。

这个证明方法在数论中得到广泛应用，为许多问题的解决提供了指导。

费马引理的证明过程漫长而曲折，著名数学家勾股也曾研究过此问题，但未能完美解决。

而费马大定理的证明更是历经了四个世纪之久，许多数学家为此努力不懈。

安德鲁·怀尔斯的证明是一个伟大的成就，也为数学史上增添了浓墨重彩的一笔。

霍曼斯六个命题的举实例论证

霍曼斯六个命题的举实例论证
霍曼斯六个命题是指霍曼斯在形式逻辑中提出的六个基本命题，分别是：命题真值、合取、析取、条件命题、双条件命题和否定。

下面我将为你举例子来论证这六个命题。

1. 命题真值：假设我们有一个命题P：“今天是星期一”。

如果今天确实是星期一，那么P的真值为真（T），否则为假（F）。

2. 合取：假设我们有两个命题P：“今天天气晴朗”和Q：“温度适宜”。

如果两个命题都为真，即今天天气晴朗且温度适宜，那么合取命题P∧Q的真值为真（T），否则为假（F）。

3. 析取：假设我们有两个命题P：“我喜欢篮球”和Q：“我喜欢足球”。

如果两个命题中至少有一个为真，即我喜欢篮球或者我喜欢足球，那么析取命题P∨Q的真值为真（T），否则为假（F）。

4. 条件命题：假设我们有两个命题P：“如果下雨，我就带伞”和Q：“现在下雨”。

如果条件命题的前提为真且结论也为真，即下雨并且我带伞了，那么条件命题P→Q的真值为真（T），否则为假（F）。

5. 双条件命题：假设我们有两个命题P：“我会游泳”和Q：“我去海边”。

如果两个命题同时为真或同时为假，即我会游泳并且我去海边，或者我不会游泳且我不去海边，那么双条件命题P↔Q的真值为真（T），否则为假（F）。

6. 否定：假设我们有一个命题P：“今天是晴天”。

如果今天确实是晴天，那么命题P的真值为真（T）。

否定命题¬P表示“今天不是晴天”，真值为假（F）。

以上就是对霍曼斯六个命题的举例论证。

通过对命题的真值、合取、析取、条件命题、双条件命题和否定的分析，可以更好地理解和运用形式逻辑中的命题逻辑。

关于数学的传奇人物故事-秦九韶

关于数学的传奇人物故事-秦九韶秦九韶想必知道他的人其实是比较少的，所以小编想把他的事迹告诉大家，让更多人认识到我们祖国曾经有过这么伟大的数学家!简介秦九韶(1208年-1268年)，字道古，汉族，生于普州安岳(今四川省安岳县)人，祖籍鲁郡(今河南范县)。

南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。

精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，1247年完成著作《数书九章》，其中的大衍求一术(一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理)、三斜求积术和秦九韶算法(高次方程正根的数值求法)是有世界意义的重要贡献，表述了一种求解一元高次多项式方程的数值解的算法——正负开方术。

人物生平秦九韶，字道古。

普州安岳(今四川安岳)人，祖籍鲁郡(今河南范县)。

中国古代数学家。

南宋嘉定元年(1208年)生;约景定二年(1261年)被贬至梅州，咸淳四年(1268)二月，在梅州辞世，时年61岁。

秦九韶其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。

秦九韶聪敏勤学。

宋绍定四年(1231)，秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。

先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，不久死于任所。

他在政务之余，对数学进行潜心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。

宋淳祜四至七年(1244至1247)，他在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。

被称为“中国剩余定理”。

他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。

世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。

秦九韶祖籍鲁郡(今河南范县)，其父秦季槱，字宏父，绍熙四年(1193)进士，后任巴州(今四川巴中)守.嘉定十二年(1219)三月，兴元(今陕西汉中)军士张福、莫简等发动兵变，入川后攻取利州(今广元)、阆州(今阆中)、果州(今南充)、遂宁(今遂宁)、普州(今安岳)等地.在哗变军队进占巴州时，秦季槱弃城逃走，携全家辗转抵达南宋都城临安(今杭州)。

rouche定理判断根的个数

rouche定理判断根的个数摘要：1.罗切斯特定理概述2.罗切斯特定理的证明思路3.罗切斯特定理在判断根个数中的应用4.实例分析5.总结与展望正文：【1】罗切斯特定理概述罗切斯特定理（Rouche"s Theorem）是一种关于多项式根的定理。

它指出，对于两个次数相同的多项式f(x)和g(x)，如果f(x)在区间[a, b]上连续，g(x)在区间[a, b]上单调，并且g(a)和g(b)异号，那么在区间[a, b]上，多项式f(x)至多有一个根。

同时，如果f(a)和f(b)异号，那么f(x)在区间[a, b]上至少有一个根。

【2】罗切斯特定理的证明思路罗切斯特定理的证明可以通过分析函数的零点与极值点之间的关系来完成。

首先，根据魏尔斯特拉斯定理，我们知道在闭区间[a, b]上连续的函数至多有一个极值点。

然后，通过分析f(x)和g(x)的零点个数，我们可以得出f(x)在区间[a, b]上的根的个数。

【3】罗切斯特定理在判断根的个数中的应用利用罗切斯特定理，我们可以判断一个多项式在指定区间上的根的个数。

这在与根有关的问题中具有很大的实用价值，例如在求解方程、不等式和最值问题等方面。

通过罗切斯特定理，我们可以简化问题，避免使用复杂的计算方法。

【4】实例分析例如，给定多项式f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)，我们需要判断f(x)在区间[0, 4]上的根的个数。

首先，我们可以计算出f(0) = -2，f(4) = 12。

由于f(0)和f(4)异号，根据罗切斯特定理，我们知道f(x)在区间[0, 4]上至少有一个根。

然后，我们可以通过计算f(x)在区间[0, 4]上的极值点来确定根的个数。

计算过程如下：f"(x) = 3x^2 - 12x + 6令f"(x) = 0，得到x = 1或x = 2。

这两个点分别是f(x)的极小值点和极大值点。

由于f(1) = -2，f(2) = 0，f(1)和f(2)异号，根据罗切斯特定理，我们知道f(x)在区间[0, 4]上至多有两个根。

2013年考研数学一考试大纲(免费word版)06564

2013年全国硕士研究生入学考试数学(一)考试大纲考试科目：数学高等数学、线性代数、概率论与数理统计试卷结构（一）题分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

（二）内容比例高等数学约60％线性代数约20%概率论与数理统计约20％（三）题型比例填空题与选择题约40％解答题(包括证明题) 约60%一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性(有界和收敛的关系存在正数M 使f(x)<M 恒成立则有界，不存在M 则无界，注意与无穷大的区别-如振荡型函数)、单调性、周期性(注意周期函数的定积分性质)和奇偶性(奇偶性的前提是定义域关于原点对称) 复合函数(两个函数的定义域值域之间关系)、反函数(函数必须严格单调，则存在单调性相同的反函数且与其原函数关于y=x 对称)、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立(应用题) 0sin lim 1x x x →= 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭数列极限(转化为函数极限单调有界定积分夹逼定理)与函数极限(四则变换无穷小代换积分中值定理洛必塔法则泰勒公式-要齐次展开)的定义及其性质(局部保号性) 函数的左极限与右极限(注意正负号) 无穷小(以零为极限)和无穷大(大于任意正数)的概念及其关系无穷小的性质(和性质积性质)及无穷小的比较(求导定阶) 极限的四则运算(要在各自极限存在的条件下) 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限 :函数连续的概念(点极限存在且等于函数值) 函数间断点的类型(第一型(有定义)：可去型，跳跃型第二型(无定义)：无穷型，振荡型) 初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质(零点定理介值定理) 考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念(点可导与域可导的关系)导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数(数学归纳法赖布妮子公式法) 一阶微分形式的不变性微分中值定理(闭区间连续开区间可导ζ不是常数)洛必达（L’Hospital）法则(注意使用条件洛必塔求解不存在时，原极限可能存在)函数单调性的判别(利用导数) 函数的极值(极值的判定：定义一阶去心邻域可导且左右邻域导数异号二阶可导且该点一阶导为零)函数图形的凹凸性(证明)、拐点及渐近线(求解步骤：垂直水平斜)函数图形的描绘函数最大值和最小值弧微分曲率的概念(有绝对值注意参数方程公式)曲率半径考试要求1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分(后面要加上dx)．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数5．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理(典型函数的展开)，了解并会用柯西中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．(洛必达法则受阻时：拆项积分中值中值定理)7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法(一阶导定点二阶导定性)，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念(被积函数的要求连续只是原函数存在的充分条件)不定积分的基本性质(线性和差与求导互逆)基本积分公式定积分的概念(求极限的应用)和基本性质(注意上下限的位置线性分区间上限大于下限时比大小估值定理)定积分中值定理用定积分表达和计算质心积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法(换元要彻底，不要忘了dx 定积分换元要注意上下限也要换)与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分广义积分概定积分的应用考试要求1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法(常见代换：倒代换三角换元万能代换不要跳步计算，以免出现毁灭性的低级失误)．3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数(用处远非于此，常与罗尔定理结合解决零点问题)，掌握牛顿一莱布尼茨公式．5．了解广义积分的概念，会计算广义积分(用极限的观点)．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力）及函数的平均值等．四、向量代数和空间解析几何考试内容向量的概念(自由移动)向量的线性运算向量的数量积(是数可交换)和向量积(是向量交换后变号)向量的混合积(交换的性质与行列式性质相同几何意义用于求异面直线的距离)两向量垂直(数量积为零)、平行(向量积与零向量)的条件两向量的夹角(面面线线线面)向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程(点法式截距式一般式平面束方程)、直线方程(对称式参数式一般式)平面与平面、平面与直线、直线与直线的以及平行、垂直的条件(转化为向量之间的关系)点到平面和点到直线的距离(利用平行四边形)球面母线平行于坐标轴的柱面旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程考试要求1. 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

数学史古希腊数学

▪ 即
▪ 两角1 和的余 c 弦公式2 ： r c 0 d c r 1 r d 8 c d c 0 r 1 r d 8 d0
▪即
co s cc oo s ss i sn in
1 c 1 2 r 8 0 d c 0 1 r c 8 d 1 r 0 8 c d0 rd
从而估测圆周率为3. ▪ 圆周率 ▪ 海伦借助阿基米德的结论计算密率为 ▪即
211872 195882
67441 62351
3.14159 043.1 24 71601578
亚历山大里亚时期的希腊数学
▪ 弓形面积
B
D
E
▪ 其推A导思路1是bhh
2
▪ （1）取弧AB，BC中点M，N，得
A
C
▪ （2）同理，继续分割，得弓形面积
sin 1 Crd2
120
弦表(相当于正弦三角函数表): 给出了(1/2) 0 到1800 每隔 (1/2) 0 的圆心角所对的弦的长度，相当于给出了从 00 到 900 每隔 (1/4)0 的角的正弦。
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对对边长乘积之和。
《大成》中的球面三角关系 C
海伦公式
▪ 《量度》共三卷 ▪ 斜三角形面积 ▪ 已知三角形的三条边求其面积的海伦公式.
S p p a p b p c
p a b c 2
H
A
F
E
O
B
C
KD
L
亚历山大里亚时期的希腊数学
▪ 圆内接正多边形面积与边长的关系 ▪ 依次计算正三角形、正五边形、六边形、…、正十二边形的面积与边长的关系，得出圆内接正多边形面积，
▪ 《圆锥曲线》 ▪ 《圆锥曲线》分8卷，共487个命题。现存前7卷，共382个命题。 ▪ 第一卷给出了圆锥曲线的定义和基本性质。 ▪ 从一个对顶（直圆或斜圆）锥得到3种圆锥曲线。双曲线有两个分支，也是他首先发现的。

数学文化题目及解答

数学文化题目及解答（一）1、毕达哥拉斯学派发现第一个不能被整数比的数是根号二2、数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式：恩格斯3、四色猜想的提出者：英国人古德里4、不属于数学起源的河谷地带：密西西比河5、平面图形对称中用到的三种运动：平移折叠旋转7、现代数学起源于：19世纪20年8、相容的体系一定是不完全的,得出这个结论的是：哥德尔第一定理9、高等数学的研究范围不包括：常量10、反证法是依据逻辑学中的：排中律11、被称为理发师悖论的悖论是：罗素悖论12:、上海路佳明发现的元朝玉桂：1986年13、1993年，经哥德尔证明，把“连续统假设”加紧急合论的zf系统中是相容的，不会导致矛盾：康托集合论14、被积函数不连续，其定积分也可能存在的理论的提出者：黎曼15、根据两个事物之间的相同或相拟之处，推知她们在其他方面也有可能相同或相拟的推理方法：类比16、极限理论的创立者：柯西18、.下列不属于黄金分割点的是（C）A．印堂 B. 膝盖 C.鼻子D都不对19、5个平面分空间，最多可分为（C）A22 B25 C26 D2820、.Ｓ（Ｎ）中任意两个元素，相继作用的结果仍保持Ｎ整体不变，仍在Ｓ（Ｎ）中，称之为Ｓ（Ｎ）中的运算满足（Ｂ）A幺元律B封闭率C结合律D都不对21、南开大学每年出的杂志，收录数学文化课的学生优秀读书报告：数学之美22、下列公式中不对称的是（Ａ）A．勾股定理B海伦定理C正玄定理D都不对23、为了庆祝毕达哥拉斯定理的发现，当时的毕达哥拉斯学派宰了什么：牛24、《几何学》的作者是：笛卡尔25、直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一定理在西方叫做毕达哥拉斯定理26、1820-1870年是现代数学的（C）A．形成阶段 B.繁荣阶段 C.酝酿阶段 D.衰落阶段27、下列不属于形式的公理化方法在逻辑上所要满足的要求的是：客观性28、数学文化这个词最早出现于（C）A．1986 B. 1974 C.1990 D.199629、大多数植物的花瓣数都符合（C）A．黄金分割 B.素数分割C裴波那契数列 D.都不对1、保持平面上任意两点间距离不变的运动是保距变换：对2、父女关系与夫妻关系是一种对称关系：不是，错3、之有数学专业的人在需要数学素养：错4、不懂数学的人也可以搞社会学：错5、数学的研究对象和具体的自然科学的研究对象很不一样，具有、、、：对6、近代数学时期是公元17世纪到19世纪，和工业革命、天文、航天业的发展有关。

顾樵数学物理方法

顾樵数学物理方法
顾樵是中国著名的数学家和物理学家，他的研究领域主要涉及数学和物理的交叉领域，特别是数学物理方法在量子场论和弦论中的应用。

顾樵的数学物理方法主要包括以下几个方面：
1.微分几何和拓扑学方法：这是顾樵在数学物理领域最为擅长的方面，他运用微分几何和拓扑学的方法研究了一系列复杂的数学和物理问题，如黎曼流形上的量子场论、线丛上的Dirac算子和Chern数、量子Hall效应等。

2.表示论方法：表示论是数学中的一个重要分支，它研究了代数结构（如群、环、域等）中的表示和表示的性质。

顾樵在表示论方面的研究为理解量子场论和弦论提供了重要的工具和方法，如他提出的Yang-Mills方程中的规范场可以看作另一种Lie代数的表示。

3.非线性方程的数学分析方法：非线性方程是物理学中非常常见的一类方程，它们的解析解往往非常困难。

顾樵运用了一系列非线性方程的数学分析方法，如拓扑幺模子、Krichever-Novikov方程、零点分布等，成功地得到了许多非线性方程的解析解。

总的来说，顾樵的数学物理方法是一种庞大而复杂的体系，涉及了微分几何、拓扑学、表示论、非线性方程等多个数学和物理领域，为理解和解决许多前沿科学
问题提供了重要的工具和方法。

picard定理的证明

picard定理的证明Picard 定理Picard 定理是复分析中一个重要的定理，它为复变函数的孤立奇点的局部性态提供了有力的保证。

对于一个孤立奇点，Picard 定理揭示了函数在奇点附近可能表现出的行为。

定理陈述Picard 定理：如果 f(z) 是定义在复平面 C 上的非恒定全纯函数，且 z0 是f(z) 的一个孤立奇点，那么以下三者之一成立：1. f(z) 在 z0 点有零点。

2. f(z) 在 z0 点有极点。

3. f(z) 在 z0 点取遍复平面 C 上除了一个可能为∞ 的值之外的所有值，即 f(z) 在 z0 点的像集为 C - {a} 或 C - {∞}。

证明引理 1：如果 f(z) 是定义在复平面 C 上的非恒定全纯函数，且 z0 是f(z) 的一个孤立奇点，那么存在一个正实数 r 和一个点a0 ∈ C，使得对于 0 < |z - z0| < r，有f(z) ≠ a0。

证明：假设对于任意的正实数 r 和点a0 ∈ C，总存在一个点z1 ∈ C，使得 |z1 - z0| < r 且 f(z1) = a0。

那么，对于任意的正实数r，存在一个无限序列 {zn}，其中zn ∈ C 且 |zn - z0| < r，使得 f(zn) = a0。

根据柯西收敛定理，这个序列在 z0 点收敛到某个点z∞ ∈ C。

由于 f(z) 是连续的，所以f(z∞) = a0。

这与f(z0) 是孤立奇点的假设矛盾，因为这表明 f(z) 在 z0 点有零点。

因此，引理成立。

引理 2：如果 f(z) 是定义在复平面 C 上的非恒定全纯函数，且 z0 是f(z) 的一个孤立奇点，那么对于任意的复数 a，存在一个正实数 r，使得对于 0 < |z - z0| < r，有f(z) ≠ a。

证明：根据引理 1，存在一个正实数 r1 和一个点a1 ∈ C，使得对于 0 < |z - z0| < r1，有f(z) ≠ a1。