4单纯形方法

d1 −1 d 3 = − B −1A = 1 d 5 = 1, d 2 = d 4 = 0 , 5 d6 −1 −1 d7
yT = xT + θd T = (2 - θ 0 2 + θ 0 θ 1 − θ 4 − θ)
下一个问题y ≥ 0吗 ? 若d ≥ 0, ⇒ y = x + θd ≥ 0。 于是可以任意减小费用，从而问题无下界,于是 有如下定理.
− B −1 A j − B −1 N 记d j = − 边方向, D = (d j ) j∈N = e j IN
i∈N i∈N i∈N
3.1.线性规划-单纯形方法 单纯形方法5 单纯形方法
∵ ∴ ∴ y ≥ 0且xi = 0, i ∈ N , di = yi - xi ≥ 0, i ∈ N c′d = c′( y - x) ≥ 0 ⇒ c′y ≥ c′x ⇒ x为最优。
由上知,要减少费用, 只有当 C 0时才可能，即
*
单纯形法
步1: 找出初始可行基B = [ AB (1) , AB (2) ,..., AB ( m ) ]及初始可行解x；
y j = θ*，yB i） = xB (i ) − θ*u得新可行解y，转步1。 （
3.1线性规划-单纯形方法 单纯形方法12 单纯形方法
Th3.4(单纯形法的收敛性） 对于相容的非退化(每个基可行解都是非退的)LP问 题， 那么经过有限次迭代后，单纯形法或者得到 最优的BFS(最优可行基B）或有一个方向d:
*
• 正确性如何？ 显然按上述取法，是可以保证y≥0的。y还是 基本可行解吗？
3.1线性规划-单纯形方法 单纯形方法10 单纯形方法
−
xB(t ) d B(t )
xi * = min − = θ {i =1,2,..,m:d B ( i ) <0} di ----最小比值原则
−1
0 0 0 1
c = c − cB B A = (0,5,0,0, −1, 2,0)
r5 = −1, x5入基
3.1线性规划-单纯形方法 单纯形方法20
−1 d1 0 d − B −1 N −1 = 3 D= , − B A5 = 1 d4 IN 0 d7 d5 = 1, d 2 = d 6 = 0 2 θ ′ = − , l = 1, x1出基 −1
1 1 B= 0 0
c =(0
1 0 0 0 1 0 0 0 −1 1 −1 ,B = −1 1 1 1 0 1 0 1 −1 1
0 0 0 0 , 1 0 0 1
7 0 2 -3 0 0) T
r5 = −3 < 0, x5入基
3.1线性规划-单纯形方法 单纯形方法16
Ad = 0, d ≥ 0, c′d < 0
且最优的费用为-∞.
3.1线性规划-单纯形方法 单纯形方法13 单纯形方法
• 例1
min x1 + 5 x2 − 2 x3 s .t . x1 + x2 + x3 ≤ 4 x1 ≤2 x3 ≤ 3 3 x 2 + x3 ≤ 6 xi ≥ 0, i = 1, 2, 3
1 θ ′ = − , l = 5, x5出基 −1
y ′ = ( 2 , 0 , 3 ,1, 0 , 3 )
3.1线性规划-单纯形方法 单纯形方法19
新的基为B=(A1, A3, A4, A7)
1 1 B= 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 1 , B = 1 −1 − 1 1 0 0 1 0 1 0 0 −1
最优化理论与算法
北京邮电大学数学系 §4， 线性规划的单纯形方法
第三章 单纯形方法
1，单纯形方法原理 两阶段法和大Mf Mf法 2，两阶段法和大Mf法 3，退化情形 4，修正单纯形方法
3.1线性规划-单纯形方法1 单纯形方法1 单纯形方法
单纯形法的基本思路 是有选择地取（而不是枚举所有的） 基本可行解，即是从可行域的一个顶点出发，沿着可行域的 边界移到另一个相邻的顶点，要求新顶点的目标函数值不比 原目标函数值差，如此迭代，直至找到最优解，或判定问题 无界。 如何给出初 初始基本可行解 单 始基可行解? 始基可行解 纯 形 N 是否最优解或 法 沿边界找 无界解? 无界解? 的 新的基本 迭代如何进行? 迭代如何进行 基 可行解 Y 本 过 结束 怎么判断达到最优解? 怎么判断达到最优解 程
′ B −1 Aj < 0 假设c j = c j − cB
3.1线性规划-单纯形方法 单纯形方法6 单纯形方法
若让上式x j 增加，即取新的可行解y = x + ∆x, 则可降低目标值。如何增加？∆x = ?
让 d B = B −1 Aj , d j = 1, di = 0, i ≠ B (1), B(2),..B(m), j.其中B(1), B(2),..B(m)是基矩阵B对应的列指标.于是由它组成向量d .
3.1线性规划-单纯形方法 单纯形方法18
1 d1 0 d − B −1 N −1 = 3 D= , − B A4 = −1 d5 IN 0 d7 d 4 = 1, d 2 = d 6 = 0
3.1线性规划-单纯形方法 单纯形方法3 单纯形方法
于是目标函数 z = c′ x + c′ x B B N N
= c′ ( B −1b − B −1 NxN ) + c′ xN B N ′ ′ = cB B −1b + (c′ − cB B −1 N ) xN N
′ ′ (c′ − cB B −1 N )的分量c j = c j − cB B −1 Aj : 约化(缩减)费用 N
y是任意可行解，则 d = y - x, Ax = Ay = b ⇒ Ad = 0 ⇒ Bd B + ∑ Ai di = 0
i∈N
⇒ d B = −∑ B −1 Ai di
i∈N
′ ′ ⇒ c′d = cB d B + ∑ ci di = ∑ (ci − cB B −1 Ai )di = ∑ ci di
x1 x2 4 x3 2 x4 = 3 x5 6 x6 x 7
B=[A1 ,A3 , A6 , A7 ] BFS:x = (2 0 2 0 0 1 4)
T
3.1线性规划-单纯形方法15 单纯形方法
Th3.3 设x*为LP的BFS，若非基变量xq 对应的判别数 cq < 0, 并且边方向d q ≥ 是一个可行方向，则按最小 比值检验的步长机制将产生一个新的BFS，使得目标 函数值减小。
3.1线性规划-单纯形方法 单纯形方法11 单纯形方法
′ 步2 : 计算c j = c j − cB B −1 Aj 若c j ≥ 0，x则为最优解，停止 否则，选取j，c j < 0. 步3 : 计算u= -d =B −1 Aj 若u < 0，x则费用无界=1,2,..,m:u i >0 ui u t 步4 : 用Aj替代AB (t ) , 得一新的基，
xB(i ) 1 4 2 θ = min − = min − , − , − {i =1,2,..,m:d B ( i ) <0} −1 −1 −1 di
*
此时, l = 6，x6出基
3.1线性规划-单纯形方法 单纯形方法17
新的解:y=(1 0 3 0 1 0 3) T 新的基 : B = (A1 , A 3 , A 5 A 7 )
j
若 d ≥ 0, y = x + θ d 可 行 吗 ？ 显 然 要 看 θ怎 样 取 值 了 。
3.1线性规划-单纯形方法 单纯形方法9 单纯形方法 若∃di < 0, 则要让y可行,必需
xi xi + θdi ≥ 0 ⇒ θ ≤ − , i ∈ N di ∴ xi xi θ = min − = min − {i:di <0} di {i =1,2,..,m:d B ( i ) <0} di
min x1 + 5 x2 − 2 x3 s .t . x1 + x2 + x3 + x4 x1 x3 3 x 2 + x3 xi ≥ 0, i = 1, 2,...,7 + x5 + x6 =4 =2 =3 +x7 = 6
3.1线性规划-单纯形方法 单纯形方法14
A1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 3 1 0 0 0 1
3.1线性规划-单纯形方法 单纯形方法2 单纯形方法
给定标准形式的LP 给定标准形式的LP
s.t. min cx Ax = b, x ≥ 0, i = 1, 2,...m (3.1)
利用分块矩阵
x = ( xB , xN ), xB 为基变量, xN 为非基变量
A = [ B, N ] Ax = b ⇒ BxB + NxN = b ⇒ xB + B−1 NxN = B−1b ⇒ xB = B−1b − B−1 xN
3.1线性规划-单纯形方法 单纯形方法8 单纯形方法
Th3.2 设x * 是LP的基本可行解，既约费用向量
T c = (cT − cB B −1 A)T = (c1 ,..., cn ),
若与非基变量x j 对应的判别数c j < 0, 且可行的 边方向d j (形式见上)存在，则沿此方向移动可以 减小目标函数值，特别的, d ≥ 0时LP无下界。