单纯形法的基本思路和原理
第三节 单纯形法
θi 32.5 40 25
5 7. 5
注意：单纯形法中， 注意：单纯形法中， 1.每一步运算只能用矩阵初等行 1.每一步运算只能用矩阵初等行 变换； 变换； 2.表中第3列的数总应保持非负 2.表中第 表中第3 （≥ 0）； 3.当所有检验数均非正（≤ 0） 3.当所有检验数均非正 当所有检验数均非正（ 得到最优单纯形表。 时，得到最优单纯形表。
8
1.初始单纯形表： 1.初始单纯形表： 初始单纯形表
CB XB b b1 b2 ┇ bm f
m
cn+1 xn+1 cn+2 xn+2 ┇ ┇ cn+m xn+m m -z
c1 x1 a11 a21 ┇ am1 σ1
… … … … ┇ … …
cn xn a1n a2n ┇ amn σn
m
cn+1 xn+1 1 0 ┇ 0 m 0
-z
15
在最优单纯形表中，非基变量的检验数不 在最优单纯形表中， 是正数,于是得到最优解为X 是正数,于是得到最优解为X*=(15,10,0,0,45)T 最优目标值为z =32500。注意到非基变量x 最优目标值为z*=32500。注意到非基变量x4 的检验数是0 如果选x 为进基变量， 的检验数是0，如果选x4为进基变量，迭代 还可以进行下去，但是最优值不会增大， 还可以进行下去，但是最优值不会增大， 而只有最优解改变，这就是多解的情况。 而只有最优解改变，这就是多解的情况。 下面再迭代一步，如表2 所示。 下面再迭代一步，如表2-9所示。
19
解：单纯形法求解过程如下表。 单纯形法求解过程如下表。
CB XB
0 0 0 -z 7 0 0 -z x1 x6 x7 x5 x6 x7
运筹学第五
第 六 次课 2学时本次课教学重点：单纯形法原理、基变换、最优检验 本次课教学难点：单纯形法原理、基变换、最优检验 本次课教学内容：第五章 单 纯 形 法§1 单纯形法的基本思路和原理一、 单纯形法的基本思路：从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。
直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。
通过第二章例1的求解来介绍单纯形法:在加上松弛变量之后我们可得到标准型如下： 目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1≤300， 2x1+x2+s2≤400， x2+s3≤250.xj ≥0 （j=1，2）,sj ≥0 （j=1，2,3） 它的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==100100101200111),,,,(54321p p p p p A其中pj 为系数矩阵A 第j 列的向量。
A 的秩为3,A 的秩m 小于此方程组的变量的个数n ，为了找到一个初始基本可行解，先介绍以下几个线性规划的基本概念。
二、基本概念基： 已知A 是约束条件的m ×n 系数矩阵，其秩为m 。
若B 是A 中m ×m 阶非奇异子矩阵（即可逆矩阵），则称B 是线性规划问题中的一个基。
基向量：基B 中的一列即称为一个基向量。
基B 中共有m 个基向量。
非基向量：在A 中除了基B 之外的一列则称之为基B 的非基向量。
基变量：与基向量pi 相应的变量xi 叫基变量，基变量有m 个。
非基变量：与非基向量pj 相应的变量xj 叫非基变量，非基变量有n －m 个。
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m 元线性方程组就可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到了 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010010113B 为A 的一个基，令这个基的非基变量x １，s2为零，这时约束方程就变为基变量的约束方程：x2+s1≤300，x2=400， x2+s3=250.求解得到此线性规划的一个基本解：x1=0，x2=400，s1=－100，s2=0，s3=－150由于在这个基本解中s1=－100，s3=－150，不满足该线性规划s1≥0，s3≥0的约束条件，显然不是此线性规划的可行解，一个基本解可以是可行解，也可以是非可行解，它们之间的主要区别在于其所有变量的解是否满足非负的条件。
单纯形法的基本原理
单纯形法的基本原理单纯形法是一种用于求解线性规划问题的数学方法，它的基本原理是通过不断地移动解空间中的顶点来逼近最优解。
在解决实际问题中，我们经常会遇到一些资源有限，而需要在这些资源限制下最大化或最小化某个指标的情况，这时就需要用到线性规划问题。
而单纯形法正是针对这类问题提出的一种高效的求解方法。
单纯形法的基本原理可以用几个关键步骤来概括。
首先，我们需要将线性规划问题转化为标准型，即目标函数为最大化，约束条件为等式的形式。
接着，我们需要找到一个初始可行解，这个可行解需要满足所有的约束条件。
然后，我们通过一系列的基本变量的替换，不断地移动解空间中的顶点，直到找到最优解为止。
在单纯形法中，我们需要利用单纯形表来进行计算。
单纯形表是一个表格，其中包含了目标函数、约束条件、基本变量等信息。
通过对单纯形表的不断变换和计算，我们可以逐步逼近最优解。
在每一步的计算中，我们需要选择一个入基变量和一个出基变量，通过一系列的行变换和列变换来更新单纯形表，直到找到最优解为止。
单纯形法的基本原理虽然看起来比较复杂，但实际上它是建立在一些简单的数学原理之上的。
通过对解空间中的顶点进行移动，我们可以逐步逼近最优解，这是单纯形法能够高效求解线性规划问题的关键所在。
在实际应用中，单纯形法已经被证明是一种非常有效的方法，它可以帮助我们在资源有限的情况下做出最优的决策。
总的来说，单纯形法是一种用于求解线性规划问题的高效方法，它的基本原理是通过不断地移动解空间中的顶点来逼近最优解。
通过对单纯形表的计算和变换，我们可以逐步找到最优解。
在实际应用中，单纯形法已经被广泛地应用于各个领域，它为我们解决资源有限的最优化问题提供了一个强大的工具。
希望本文对单纯形法的基本原理有所帮助，谢谢阅读！。
运筹学第5章 单纯形法
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的 各列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基 本可行解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作 为初始可行基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
8Leabharlann §1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划解之间的关系：
1.可行解与最优解： 最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。
2. 可行解与基本解： 基本解不一定是可行解，可行解也不一定是基本解。
3. 可行解与基本可行解： 基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。
4. 基本解与基本可行解： 基本可行解一定是基本解， 但基本解不一定是基本可行解。
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如
果所有检验数 j≤0，则这个基本可行解是最优解。 下面我
们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量表示
的目标函数为: z z0 j xj jJ 由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的 j都小
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找
到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就
可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到
1 1 0 B3 1 0 0
为A的一个基，令这个基的非
1 0 1
基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
第五章 单 纯 形 法
运筹学单纯形法
单纯形表
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
Cj CB XB b 0 0 Z X3 3 X4 1 0 1 2 0 0
标准化
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
Z=x1+2x2 x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 单纯形表
Cj
1
2
0
0
单纯形法原理 单纯形表 CB XB b
z=x1+2x2 x3 =3-x1-x2 x4=1 -x2
x2进基，x4离基
X1 X2 X3 X4
3/1 11
0
1 0
1 1
1 1
2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 -1 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2, x3, x40
x1=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,1,2,0), z=2 C (x1,x2,x3,x4)= (2,1,0,0), z=4,最优解
B
x4=0 x3=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,0,3,1), z=0
1 0
0 0
0 1
0
CB XB b 0 2 Z Cj CB XB b 1 2 Z X1 2 X2 1 4 X3 2 X2 1 2 1 1 0 0
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 -1
线性规划中的单纯形法优化思路
线性规划中的单纯形法优化思路线性规划是一种优化问题的数学建模工具，通过数学模型的建立和求解，寻找使目标函数取得最大或最小值的变量取值。
而在线性规划中，单纯形法是一种经典的解法，通过迭代比较线性规划问题的可行解，逐步接近最优解的方法。
在本文中，将详细介绍单纯形法的优化思路。
1. 线性规划问题概述在介绍单纯形法之前，先了解线性规划问题的基本概念和常见形式。
线性规划问题由目标函数和约束条件构成，其中目标函数是一个线性函数，约束条件也是一组线性不等式或等式。
线性规划问题的求解目标是找到满足所有约束条件下使目标函数取得最优值的变量取值。
2. 单纯形法的基本思路单纯形法是一种通过不断迭代改进可行解来求解线性规划问题的方法。
其基本思路是从一个初等可行解开始，通过不断地迭代，每次选取一个更优的可行解，最终达到最优解。
3. 单纯形法的步骤3.1 初等可行解的选取单纯形法的第一步是选取一个初等可行解，该可行解必须满足所有约束条件，并且可以通过线性规划问题的约束条件和目标函数来确定。
3.2 进行单纯形表的构造单纯形表是单纯形法中的一种重要表格，通过将线性规划问题的约束条件和目标函数进行整理，能够更清晰地观察问题的结构和计算过程。
3.3 计算单纯形表中的优化函数值在单纯形表的基础上，通过计算表中各行最右侧的数值，可以得出当前目标函数的值，并判断是否满足最优解的条件。
3.4 确定进入变量和离开变量单纯形法中，每一次迭代都需要选择一个进入变量和一个离开变量来进行优化。
进入变量被选取为能够提高目标函数值最多的变量，而离开变量则是根据约束条件限制来确定的。
3.5 更新单纯形表通过选择好进入变量和离开变量后，需要对单纯形表进行更新，以得出下一次迭代的最优解。
3.6 终止条件的判断在每一次迭代过程中，都需要判断是否满足终止条件，即最优解的判断。
如果不满足终止条件，则继续进行下一次迭代，直到达到最优解。
4. 单纯形法的优化思路单纯形法的优化思路在于不断地找到使目标函数值更优的可行解，通过迭代的方式逐步接近最优解。
运筹学教程 第五章 单纯形法(2表格形式)
r2 ÷ 6
b
15 24 5
x1 = 4 x2 = 0 x3 = 15 x4 = 0 x5 = 1
P P P P P 1 2 3 4 5
b
P 1
P2
P3
P4
P5
b
0 5 1 0 0 1 1/ 3 0 1 / 6 0 1 1 0 0 1
元数a 元数a21决定了从一个基可行解到相邻基可行解 的转移去向，取名主元 的转移去向，取名主元
§5.2单纯形法的表格形式
第3步:迭代。 步
1.确定入基变量 确定入基变量 2.确定出基变量 确定出基变量 3.用入基变量替换出基变量，得到一个新的基； 用入基变量替换出基变量， 用入基变量替换出基变量 得到一个新的基； 对应这个基可以找到一个新的基可行解； 对应这个基可以找到一个新的基可行解； 并画出一个新的单纯形表。 并画出一个新的单纯形表。
§5.2单纯形法的表格形式
迭代 次数 基 x3 x4 0 x5 CB 0 0 0 x1 2 0 6 1 x2 1 5 2 1 0 1 x3 0 1 0 0 0 0 x4 0 0 1 0 0 0 x5 0 0 0 1 0 0 b 15 24 5 Z=0 比值 24/6 5
zj σj= cj -zj
? 0
z = c 3 × b1 + c 4 × b2 + c 5 × b3 = 0 × 15 + 0 × 24 + 0 × 5 = 0
§5.2单纯形法的表格形式
迭代 次数 基 x3 x4 0 x5 CB 0 0 0 x1 2 0 6 1 0 2 x2 1 5 2 1 0 1 x3 0 1 0 0 0 0 x4 0 0 1 0 0 0 x5 0 0 0 1 0 0 b 15 24 5 Z=0 比值 24/6 5
5.1单纯形法的基本思路和原理
§1
单纯形法的基本思路和原理
这时目标函数值为 50x1+100x2=50×0+100×250=25 000 显然比初始基本可行解 x1=0，x2=0，s1=300，s2=400， s3=250 时的目标函数值为 0 要好得多。 下面再重新检验其解的最优性，若不是最优解还要 继续进行基变换，直至找到最优解，或者能够判断出 线性规划无最优解为止。
b1 300 300, a12 1 b3 250 b2 400 400, 250 a22 1 a32 1
23
§1
b3 此时a32
单纯形法的基本思路和原理
最小，从而对应原基变量中 s3 为出基变
量，变换为 x2，s1，s2 为基变量，x1，s3 为非基变量。 令非基变量为零，得 x2 + s1 = 300， x2 + s2 = 400， x2 = 250. 求解得到新的基本可行解 x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0.
25
一、找出一个初始基本可行解 下面通过第二章例1的求解来介绍单纯形法。 在加上松弛变量之后得到此线性规划的标准形式。 目标函数：max 50x1+100x2
约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250， xi ≥0（i=1,2），sj≥0（j=1,2,3）。
5
§1
20
§1
单纯形法的基本思路和原理
如何在求解以前来确定 出基变量，使得求出的 解是可行解？
21
§1
单纯形法的基本思路和原理
确定出基变量的方法如下： 把已确定的入基变量在各约束方程中的正系数除 其所在约束方程中的常数项，把最小比值所在的约束 方程中的原基变量确定为出基变量。 在下一步迭代的矩阵变换中可以确保新得到的 bj 值都≥0。
运筹学第2章 单纯形法
所有检验数 j 0 ，则这个基本可行解是最优解。
n
z z0 j x j
j m 1
m
j ciaij c j =CTBa j c j
i 1
m
m
z0 c j x j = cibi =CBT b
j 1
i 1
✓对于求目标函数最小值的情况，只需 σj≤0
0
XB
b
x1
-1 x5 0
0
0 x4 3
1
-3 0
0
00
x2
x3
x4
0
-2 0
2
-2 1
0 10
-1 bi/aik
x5
1
0
0
29 2020/3/4
2、无界解
在求目标函数最大值的问题中，所谓无界解是指在约束条件 下目标函数值可以取任意的大。
•存在着一个小于零的检验数，并且该列的系数向量的每个元素 都小于或等于零，则此线性规划问题是无界的，一般地说此类
2x1 x2 x3 x5 2
s.t. x1 2x2
x4
3
x1,
x2 , x3, x4 , x5 0
✓添加人工变量x5来人为的创造一个单位矩阵作为基 ✓M叫做罚因子，任意大的数。 ✓人工变量只能取零值。必须把x5从基变量中换出去，否 则无解。
cj
3
2
00
CB XB
2020/3/4
14
(2)出基变量和主元的确定——最小比值规则
min
bi aik
aik
0
bl alk
确定出基变量的方法：把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数
单纯形法原理
单纯形法原理
单纯形法是线性规划中常用的一种方法，用于求解极值问题。
它的基本思想是通过不断迭代的方式，逐渐接近最优解。
单纯形法的基本步骤如下：
1. 将线性规划问题转化为标准型。
标准型的约束条件为≤，目标函数为最大化，且所有变量的取值范围为非负数。
2. 利用人为变量引入的方法，将标准型问题转化为初始单纯形表。
3. 选择合适的初始基变量，并计算出对应的基变量解。
4. 计算单纯形表中的评价函数。
如果所有评价函数中的系数都为非负数，则当前基变量解为最优解，过程结束。
否则，继续进行下一步。
5. 选择进入变量和离开变量。
进入变量是指取值为负的评价函数系数对应的变量，离开变量是指进入变量在当前基变量解中最先达到0的变量。
6. 迭代计算，通过变换基变量，逐渐接近最优解。
具体的计算方式为将进入变量对应列调整为单位向量，同时更新初始单纯形表中其它列的数值。
7. 重复步骤4至步骤6，直至得到最优解为止。
值得注意的是，单纯形法的执行依赖于初始基变量的选择，不同的初始基变量可能会得到不同的最优解。
因此，在实际应用中，需要通过灵活选择初始基变量来提高求解效果。
第三章2 单纯形法1
，可以构成基本矩
阵 （单位矩阵） 因而不需要加任何变量直接就能求出基本可行解。 ，
第二节 单纯形法
再看课本 20 页的例题 1，当化为标准型后，变量 x3 的系数列
0 向量为 1 1 ， 所以只需要再构造出一个变量的系数列向量为 0
第二节 单纯形法
本节主要介绍单纯形法的计算步骤及线性 规划解的讨论方面的内容
一．单纯形法的基本思路 求出线性规划问题的初始基本可行解X（0），并充分 运用它提供的信息，编制初始单纯形表。 （0）是否最优？为此，需要建立一个判别标准。 判别X 如X（0）不是最优，就将一个基变量换出，将一个非 基变量换入，组成另一组基本可行解，迭代为另一张 单纯形表，使新的目标函数值较原有的为优。如此逐 步迭代，若问题有最优解，那么经有限次迭代就可求 出最优解。
只要有一个人工变量不 为零，目标函数将永远 不能求得最大值
xj ≥ 0 j=1,2,3,4,5,6
由人工变量 x5，x6 系数列向量构成的矩阵（单位矩阵）就是一个 满秩矩阵，以它为基本矩阵，x5，x6 为基变量求得的基本解为： （x1，x2， x3，x4， x5，x6）=（0， 0，0，0，2，5）
第二节 单纯形法
大家前面已经学过，化一般线性规划模型为标准型时，对“≤”约束 引入了松弛变量，松弛变量对应的系数列向量是非常特殊的。在课本例题2 中（16 页） 4,x5 是松弛变量，对应的系数列向量组成的矩阵为 0 1 ，由 ，x 文献（3）中的知识可知该矩阵是形式最简单的满秩矩阵（单位矩阵） ，因而 可以作为基本矩阵。 2．求基本解的方法： 令所有的非基变量全为零，就可以解出基变量的值。例 2 中由单位矩 阵解出的基本解为 x4= 100，x5 =120。此时，线性规划问题的基本解为： （x1，x2，x3，x4，x5）=（0，0，0，100，120） 非基变量 基变量
单纯形法
单纯形法一、单纯形法的原理线性方程组的解：⎩⎨⎧=----=+-+-4322425432154321x x x x x x x x x x （1） 5个未知数，两个方程组。
方程的解多于1个。
两种初等变换：51）方程组的任一方程乘上一个不为零的数。
2）方程组的任一方程两边同乘上一个常数，分别加到另一个方程的两边。
式（1）做变换得到：（①×-1）⎩⎨⎧=-+-=+-+-2322242543254321x x x x x x x x x （2） 式（2）做变换得到：（②×2）⎩⎨⎧=-+-=---232642354325431x x x x x x x x （3）方程组（1）、（2）、（3）同解，可令0543===x x x 。
得到：61=x ，22=x 。
选择3x ，4x ，5x 不同的值，相应地有不同的1x 和2x 的值，因此方程组有多组解。
基本变量：如果变量i x 的系数在某一个方程为1，而在其它所有方程为0，则称i x 为该方程组中的基本变量。
非基本变量：凡不是基本变量的变量都叫做非基本变量。
1x ，2x 为基本变量；3x ，4x ，5x 为非基本变量。
旋转运算：运用初等变换，可使一给定变量化为基本变量，这一运算，成为旋转运算。
基本变量的个数，与方程的个数相同。
基本解：设非基本变量为0，求得相应的基本变量的值，得到一组解，这组解称为基本解。
基本可行解：基变量的值为非负时的基本解称为基本可行解。
单纯形法的思路；1）先不考虑目标函数，从满足约束条件开始，寻求一个初始基本可行解； 2）求具有较佳目标函数值的另一个基本可行解，以改进初始解；3）对目标函数做有限次的改善。
当某一个基本可行解不能再得到改善时，即求得最优解，单纯形法结束。
二、单纯形算法例：54321325max x x x x x Z +-++= 约束条件为：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≥≥=+++=+++0,0,0,0,0743********53214321x x x x x x x x x x x x x （5） 以上线性规划问题中，具有： 1）全部变量非负；2）全部约束条件都是等式；5 3）右端常数都是正的。
运筹学第一章 1.3.1 单纯形法的基本思路
L L
L L cn + m
0 0 M 1
b1 b2 M bm 0
-Z，Xn+1，…，Xn+m所对应的系数 列向量构成一个基
用矩阵的初等行变换将该基变成单位阵, 用矩阵的初等行变换将该基变成单位阵 , 变成0 这时 c n +1 , c n + 2 , L , c n + m 变成0，相应的增广 矩阵变成如下形式： 矩阵变成如下形式：
第二步：寻求初始可行基， 第二步：寻求初始可行基，确定基变量
1 2 1 0 0 A = ( P1，P2，P3，P4，P5 ) = 4 0 0 1 0 0 4 0 0 1
对应的基变量是
x3 x4 x5
第三步： 第三步：写出初始基本可行解和相应的 目标函数值
两个关键的基本表达式： 两个关键的基本表达式： ①用非基变量表示基变量的表达式
max Z = 2 x1 + 3 x2 x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x ≤ 16 1 4 x2 ≤ 12 x1 , x2 ≥ 0
第一步：引入非负的松弛变量和剩余变量 第一步： x3,x4,x5, 将该LP化为标准型 将该LP化为标准型
max Z = 2 x1 + 3x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 x1 + 2 x2 + x3 = 8 4 x1 + x4 = 16 4 x2 + x5 = 12 x j ≥ 0, j = 1, 2,L ,5
（2）表格设计依据： 表格设计依据： 将 -Z 看作不参与基变换的基变量 ， 把目 看作不参与基变换的基变量， 标函数表达式改写成方程的形式， 标函数表达式改写成方程的形式 ， 和原有的 m 个约束方程组成一个具有 n+m+1 个变量 、 个约束方程组成一个具有n+m+1 个变量、 m+1个方程的方程组： m+1个方程的方程组： a11x1 + a12 x2 + L+ a1n xn + xn+1 = b1 a x + a x + L+ a x + x = b 2n n n+2 2 21 1 22 2 L L L a x + a x + L+ a x + x = b mn n n+m m m1 1 m2 2 − Z + c1 x1 + c2 x2 + Lcn xn + cn+1 xn+1 + Lcn+m xn+m = 0
单纯形法
XB =B-1b-B-1NX N 代入目标函数，使目标函数用非基变量
表示，即：
Z=cT X=(cTB
cTN) XB XN =cTBXB +cTN XN =cTB (B-1b-B-1NXN )+cTN XN
=cTBB-1b+(cTN -cTBB-1N)XN cBT B-1b+σNXN cBT B-1b+(σm+1,σm+1,
Z=CTBB-1b+(σm+1 ,
σm+k ,
xm+1
σ
n
)
CTB B-1b+σ m+k
xn
因为 m+k 0, 故当λ→+∞时，Z→－∞。
18
表格单纯形法
B
N
b
CBT
CNT
I
B-1N
B-1b
0
CNT -CBT B-1N
19
可将这些重要结论的计算设计成如下一个简单的表格， 即单纯形表来完成：
min z=－6x1－4x2
x3 =100－2x1－3x2
+x4 =120－4x1－2x2
令 有 则有：
XN=(0,0)T XB=(100,120)T X（1）=（0，0，100，120）T为对应于基B1的基可行解。
问：
X（1）是否最优呢？——否
因为： x1和x2在目标函数中的系数为正，当x1↑，z ；x2↑，z 。
础上寻找一个新的基本可行解，并使目标函数值有所改善。
具体做法是：
先从检验数为负的非基变量中确定一个换入变量，使它从非基
第五章 单纯形法
3.人工变量法
用单纯形法求最小值问题，与求最大值问题 类似，其区别在于判别数为零或者正值，即
Cj-Zj≥0时得到最优解，在决定“换入”及“换 时得到最优解，在决定“换入” 时得到最优解 变量时， 出”变量时，取Cj-Zj为负且绝对值最大者为主 为负且绝对值最大者为主 元列，其余步骤同求最大值问题。 元列，其余步骤同求最大值问题。 这种求线性规划的方法，称为“人工变量法” 这种求线性规划的方法，称为“人工变量法”或 称为“ 称为“大M”法，这就是当一个 线性规划问题在 法 仍不能提供基本可行解时， 增加了松弛变量后 仍不能提供基本可行解时， 需要采用“人工变量” 需要采用“人工变量”来获得一个初始的基本可 行解。 行解。
将线性规划问题转化为标准型 编制初始单纯行表 判别基本可行解是否为最优 找出“换入” 换出”变量， 找出“换入”或“换出”变量，以便进行换基
对于求最大值问 题，全部判别数 为零与负数时， 为零与负数时， ≤0， 即Cj-Zj ≤0，得最 优解
先找出主元行与主元列：对于求极大值问题， 先找出主元行与主元列：对于求极大值问题，取Cj-Zj 为正数且最大者所在的列为主元列， 为正数且最大者所在的列为主元列，取bi/aij为正数且最 大者所在的行为主元行， 大者所在的行为主元行，主元行与主元列之交点元素称 为主元素，在右上方记“ ” 为主元素，在右上方记“*”主元素正上方对应的变量 换入”变量，主元素左边对应的基变量为“换出” 为“换入”变量，主元素左边对应的基变量为“换出” 变量。 变量。
第五章
单纯形法
5.1 线性规划求解的相关概念
一、相关定理 定理1 线性规划问题的可行解集S是凸集。 定理1 线性规划问题的可行解集S是凸集。 定理2 线性规划问题的基本可行解X 定理2 线性规划问题的基本可行解X对应于可 行域S的顶点。也就是说， 行域S的顶点。也就是说，可行域的顶点就 是线性规划问题的基本可行解。 是线性规划问题的基本可行解。 定理3 若线性规划问题有最优解， 定理3 若线性规划问题有最优解，它一定在 其可行域的顶点上达到。 其可行域的顶点上达到。
第五章 单纯形法
x4 0 1 0
x5 0 0 1
基变量
b
300 400 250
基向量
非基向量
0
对应基本解：（0，0，300，400，250）
一、问题的提出
基 B1=(p1 ,p2 ,p3) B2=(p1,p2 ,p4 ) B3=(p1 ,p2 ,p5) B4=(p1 ,p3 ,p4) B5=(p1 ,p3 ,p5) B6=(p1 ,p4 ,p5) B7=(p2 ,p3,p4) B8=(p2 ,p3,p5) 基向量 基变量 非基 向量 p4 ,p5 p3 ,p5 p3 ,p4 p2 ,p5 p2 ,p4 p2 ,p3 p1 ,p5 p1 ,p4 非基 变量 x4 ,x5 x3 ,x5 x3 ,x4 x2 ,x5 x2 ,x4 x2 ,x3 x1 ,x5 x1 ,x4 基本解 (75,250,-25,0,0) (50,250,0,50,0) (100,200,0,0,50) 不存在 (200,0,100,0,50) (300,0,0,-200,-50) (0,250,50,150,0) (0,400,-100,0,150) 是 否 是 否 是否可行 否 是 是 p1 ,p2 ,p3 x1 ,x2 ,x3 p1 ,p2 ,p4 x1 ,x2 ,x4 p1 ,p2 ,p5 x1 ,x2 ,x5 p1 ,p3 ,p4 x1 ,x3 ,x4 p1 ,p3 ,p5 x1 ,x3 ,x5 p1 ,p4 ,p5 x1 ,x4 ,x5 p2 ,p3 ,p4 x2 ,x3 ,x4 p2 ,p3 ,p5 x2 ,x3 ,x5
一、问题的提出
既然如此，如果我们在技术矩阵中取出三列， 组成一个可逆阵，令其余两列对应的变量为 零，则一定可以得到一个解。
一、问题的提出
单纯形算法一般原理
单纯形算法的一般原理单纯形法的基本思路是有选择地取基本可行解，即是从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。
考虑到如下线性规划问题：其中Ａ一个m ×n 矩阵，且秩为m ，ｂ总可以被调整为一个m 维非负列向量，Ｃ为n 维行向量，Ｘ为n 维列向量。
根据线性规划基本定理：如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界，则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶点上达到。
这个重要的定理启发了Dantzig 的单纯形法，即将寻优的目标集中在D 的各个顶点上。
Dantzig 的单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解（即可行域顶点）中。
其基本思路是从一个初始的基本可行解出发，寻找一条达到 最优基本可行解的最佳途径。
单纯形法的一般步骤如下：（1）寻找一个初始的基本可行解。
（2）检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优，则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。
（3）移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解，然后转会到步骤（2）。
求解思想如下图所示：maxZ=CX AX=b X 0⎧⎨≥⎩确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基，一旦初始的可行基确定了，那么对应的初始基本可行解也就唯一确定为了讨论方便，不妨假设在标准型线性规划中，系数矩阵Ａ中前m 个系数列向量恰好构成一个可行基，即Ａ=（ＢＮ），其中Ｂ=（Ｐ1，Ｐ2，…Ｐm ）为基变量x1，x2，…xm 的系数列向量 构成的可行基，Ｎ=(Ｐm+1，Pm+2， …Pn)为非基变量xm+1，xm+2， …xn 的 系数列向量构成的矩阵。
那么约束方程AX=b 就可表示为：用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得：若令所有非基变量 ，则基变量由此可得初始的基本可行解B B N N X AX=(BN)=BX +NX =b X ⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1B N X =B b-B NX N X =0-1B X =B b 1B b X=0-⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1-1B N B N N B AX=b BX +NX =b X =B b-B NX X =0,X =B b →→→● 问题：➢ 要判断m 个系数列向量是否恰好构成一个基并不是一件容易的事。
运筹学4单纯形法迭代原理
CB XB
b
xl x1 x2 … xm
xm+1
xm…t xn
c1 x1 b1' 1 0 .*.. 0 a1',m1 .0.. a1'n
c2 x2 b2' 0 1 ..*.. 0 a2',m1 .0... a2'n
: : : . cm+t xm+t b'm+t 0 .0 .*... 0. . a'l,m+1 ..1. .a'ln
0 0
0 ... 1
am,m1
... amn
bm
1 c1 c2 ... cm cm1 ... cn 0
第-Z一行x1 是x2价…值系xm数行，标xm+出1 了决策…变量xj的x价n 值系数右cj端
第0二行1 是0标.示.. 行0，标出a了1,m表1 中主体.各.. 行的含a1义n 。
xk1 i
bi'
a' i,mt
xmt
xik
a' i,mt
xmt
xk1 i
xik
a' i,mt
xmt
0
n
Z Z0 j x j
jm1
a' i ,mt < =
xmt
xik
a' i ,mt
xmt
若 mt 0 且pm' t 0
则该LP无最优解。
>
当
a' i,mt
0 时，为使
xik
a' i,mt
xmt
单纯形法
z z0 j x j
j m 1
n(1.2.21)称 j ( j m 1 ,, n ) 为检验数。
定理1.2.1 设（1.2.17）和（1.2.21）是最大
化线性规划问题关于当前基本可行解x*的两个典式。
若关于非基变量的所有检验数σ j≤0成立，则当前
基本可行解x*就是最优解。 将σ j≤0称为最大化问题的最优性准则。显然， 对于最小化问题最优性准则应是σ j≥0。
30x1 + x3 = 160 - 20x2 5x1 = 15 - x2 - x4 （1.2.6） x1 + x5 = 4 进一步分析，用消元法将（1.2.6）中x1的系数列向量 （30,5,1）T 化成(1.2.3)中x4的系数矩阵（0,1,0）T
的形式。得到：
x3 = 70 - 14x2 + 6x4 x1 = 3 - 1/5x2 - 1/5x4
(b'1, b'2, … , b'm ,0 , …, 0)T是当前基本可行解。若有一个非
基变量xm+t的检验数σ
m+t>0，且xm+t对应的系数列向量
P'm+t=(a'1,m+t,a'2,m+t,„，a'm,m+t)中，所有分量a'i,m+t≤0，则该 线性规划问题具有无界解（或称无最优解）。
1.2.2 单纯形表
x2= 5 - 1/14x3 + 3/7x4
x1 = 2 + 1/70x3 - 2/7x4
（1.2.11）
x5 = 2 - 1/70x3+ 2/7x4
将（1.2.11）代入目标函数式，得到用非基变 量x 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
18
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
1．入基变量的确定
当某 σj＞0 ，非基变量 xj 变为基变量，不取0值可使 目标函数值增大，故选基检验数大于0的非基变量换到基 变量中。
若有两个以上 σj＞0，为使目标函数更大，一般选 σj 较大者的非基变量为入基变量。例题中 σ2=100 是最大的 非负检验数，故选 x2 为入基变量。
基变量均≥0，只有检验数都为0，才有σ s x s =0;非基变 量的检验数均 ≤0，只有非基变量都为0，才有σ t x t=0 。 此时目标函数才能取最大值z0。
17
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
三、基变换 例题中 σ1，σ2>0，即该基本可行解不是最优解，需
进行基变换。
具体做法：更换可行基中的一个列向量，得到新的 可行基，求出新的基本可行解使目标函数值更优。
非基 变量
与非基向量 pj 相应的变量 xj 叫非基变量，非基变量有n‒m 个。
7
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
若在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令其非 基变量为零，再求解该 m 元线性方程组可得到唯一 解，该解称之为线性规划的基本解。
此例题找到 A 的一个基 B3（可逆子阵）：
1 1 0
B3 1
管理运筹学
第五章 单纯形法
北京理工大学 韩伯棠 教授
本章内容
1
2
单纯形法的表格形式
3
求目标函数值最小的线性规划问题的单 纯形表解法
4
几种特殊情况
2
本章内容
1
2
单纯形法的表格形式
3
求目标函数值最小的线性规划问题的单 纯形表解法
4
几种特殊情况
3
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
单纯形法的基本思路：
选取可行域某顶点 (更优顶点)
1．最优性检验的依据——检验数 σj
目标函数
基变量&非基变量
约束等式中，非基变 量移到右边，用非基 变量表示基变量
目标函数
非基变量
则目标函数中变量系数即为其检验数，把 xi 的检验数 记为 σi。所有基变量检验数为0。
14
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
例题中找到一个初始可行基：
1 0 0
B2
0
5
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
该线性规划问题的系数矩阵为：
1 1 1 0 0
A
(
p1 ,
p2
,
p3
,
p4
,
p5
)
2
1
0
1
0
0 1 0 0 1
其中 pj 为系数矩阵 A 第 j 列的向量.A 的秩为3,方程 组变量个数大于 A 的秩，从方程组的无数组解中找 一个初始可行解。
6
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
如何找初始基本可行解？ 基本概念
基
Am×n 是约束条件系数矩阵，秩为 m。若 Bm×m 是 A 的子阵， 且可逆，称 B 为一个基。
基向量 基 B 中的一列即称为一个基向量。
非基 向量
在 A 中除了基 B 之外的一列称之为基 B 的非基向量。
基变量 与基向量 pi 相应的变量 xi 叫基变量，基变量有m个。
1
0
0 0 1
目标函数为50x1+100x2，由于初始可行解中x1，x2 为 非基变量，所以此目标函数已经用非基变量表示了，无
需代换出基变量。各检验数为：
σ1=50，σ2=100，σ3=0，σ4=0，σ5=0
15
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
2．最优解判别定理 求最大目标函数的问题中，若某个基本可行解所有 检验数 σj ≤0，则该解是最优解。 通俗地解释最优解判别定理，设用非基变量表示的 目标函数如下所示：
b1 300 300, b2 400 400, b3 250 250
a12 1
a22 1
a32 1
23
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
b3
此时a32 最小，从而对应原基变量中 s3 为出基变 量，变换为 x2，s1，s2 为基变量，x1，s3 为非基变量。
令非基变量为零，得 x2 + s1 = 300， x2 + s2 = 400， x2 = 250.
本例中找到了一个基是单位矩阵：
1 0 0
B2
0
1
0
0 0 1
令其非基变量 x1=x2=0，得初始基本可行解：
x1=0，x2=0，s1=300，s2=400，s3=250
注：若找不到单位矩阵（各列可以乱序）的基作为初始可行基，
需要构造初始可行基。
13
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
二、最优性检验 判断已求得的基本可行解是否是最优解。
下面再重新检验其解的最优性，若不是最优解还要 继续进行基变换，直至找到最优解，或者能够判断出 线性规划无最优解为止。
25
z z0 j xj jJ
注：对于求目标函数最小值的情况，只需把σj ≤0改为σj ≥0。
16
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
当所有的 x j ≥0，且σj ≤0，此时
分析目标函数：
j xj 0
jJ
z z0 j xj z0 （
s xs）（
t xt）
jJ
xs为基向量
xt 为非基向量
20
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
如何在求解以前来确定 出基变量，使得求出的 解是可行解？
21
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
确定出基变量的方法如下： 把已确定的入基变量在各约束方程中的正系数除 其所在约束方程中的常数项，把最小比值所在的约束 方程中的原基变量确定为出基变量。 在下一步迭代的矩阵变换中可以确保新得到的 bj 值都≥0。
min bi/aij，其中aij > 0，对应的基变量为出基变量 基变量
22
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
在本例题中约束方程为
x1 + x2 + s1 = 300,
2x1 + x2 + s2 = 400,
x2 + s3 = 250. 在第二步中已经知道 x2 为入基变量，把各约束方 程中 x2 的为正的系数除对应的常量，得
求解得到新的基本可行解
x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0. 24
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
这时目标函数值为 50x1+100x2=50×0+100×250=25 000
显然比初始基本可行解 x1=0，x2=0，s1=300，s2=400， s3=250 时的目标函数值为 0 要好得多。
max σj ，其中 σj＞0，对应的非基变量为入基变量 基变量
19
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
2．出基变量的确定
确定入基变量后，需在原来的基变量 s1，s2，s3 中 选一个出基变量。若 s3 作为出基变量，则新的基变量为 x2，s1，s2 ，非基变量 x1=s3=0，方程组变为：
x2 + s1 = 300， x2 + s2 = 400， x2 = 250. 得基本解：x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0。此解 满足非负条件，是基本可行解。
是
输出 最优解
是否为最优解
否
否
是 是否无最优解
终止
4
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
一、找出一个初始基本可行解 下面通过第二章例1的求解来介绍单纯形法。 在加上松弛变量之后得到此线性规划的标准形式。
目标函数：max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250， xi ≥0（i=1,2），sj≥0（j=1,2,3）。
由于该基本解中 s1=−100，s3=−150 ,
不满足决策变量非负的约束条件，不是可行解。 满足非负条件的基本解叫做基本可行解，
并把这样的基叫做可行基。
10
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
一般来说判断一个基是否是可行基，只有在求出 其基本解以后。
能否在求解之前，找到一个可行基呢？ 也就是能否找到的一个基保证在求解之 后得到的解一定是基本可行解呢？
11
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
由于线性规划的标准型中要求 bj ≥0，若能找到一 个基是单位矩阵（各列向量顺序无关重要），例如：
0 0 1
1
0
0
0 1 0
所得基本解一定是基本可行解，解中的各个变量或 等于某个 bj 或等于零。
12
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
第一次找到的可行基为单位矩阵（各列可以乱 序），称之为初始可行基，相应的基本可行解叫初始 基本可行解。
0
0
1 0 1
令非基变量 x1=0 ,s2=0 , 约束方程变为基变量的方程。
8
§ 1 单纯形法的基本思路和原理
基变量的约束方程: x2+s1=300， x2 =400， x2+s3=250，
求解得到此线性规划的一个基本解： x1=0，x2=400，s1=−100，s2=0，形法的基本思路和原理