第二章单纯形法(1基本思路和原理)
3.12 4单纯形法(人工变量法)3.12
一个x12方x程12把中x第去2x二2个x方5x程3直接x加4
4 6
x1 , x一2个, 变x3量,(人x4工, 变x量5 ) 0
规范化
考虑一般问题：
bi > 0 ， i = 1 , … , m
Max Z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2 … am1 x1+ am2 x2+…+ amn xn = bm
jm 1 j j
i1 i
i
j m 1 ij j
m
n
m
c b (c c a )x
i1 n i i
jm 1
j
i 1 i ij
j
n
Z (c z )x
0
j 1
j
j
j
n
Z C jx
0
j 1
j
其 Z m c 中 b ,C j c z ,z m c a
一、单纯形法的基本原理
（一）基本变量： 如果变量xj在某一方程中系数为1，而在其它一切方
程中的系数为零，则称xj为该方程中的基本变量。否则 为非基本变量。 （二）基本解：
在典型方程中，设非基本变量为零，求解基本变量 得到的解，称为基本解 。 （三）基本可行解：
基本变量为非负的一组基本解称为基本可行解 。
（２）最优解判别 如果任何一个非基变量的值增加都不能
使目标函数值增加，即所有检验数非正，则 当前的基本可行解就是最优解，计算结束。
第二章 单纯形法
最小比值规则
当确定进基变量后, 当确定进基变量后,以进基变量的系数列向量 中的正数为分母, 中的正数为分母,以相应的方程右端常数为分子求 最小比值,所得到的最小比值的分母就是主元 主元. 最小比值,所得到的最小比值的分母就是主元.主 元所在的方程中的基变量就是离基变量 离基变量. 元所在的方程中的基变量就是离基变量.即:
bi bl min α ik > 0 = a ik a lk
令新的非基变量 x3 = x 4 = 0 ,得到新的 基本可行解: 基本可行解: T 经济含义—— 经济含义—— 分别生产甲,乙产品20 20个 分别生产甲,乙产品20个,此时可获得 利润200百元. 200百元 利润200百元.
几个名词
进基, 进基,进基变量 离基, 离基,离基变量 最大检验数规则 最小比值规则 主元/ 主元/主方程 迭代(旋转运算) 迭代(旋转运算)
增加单位产品甲比乙对目标函数 的贡献值大(600>400),故先把非 的贡献值大(600>400),故先把非 ), 变成基变量, 基变量 x1 变成基变量,称为让 x1 进基, 进基变量. 进基,同时称 x1 为进基变量.
R( A) = R( A, b ) = 3 < 5
则该函数约束等式方程组有无穷多组解. 则该函数约束等式方程组有无穷多组解.
分析目标函数表达式
max z = 6 x1 + 4 x 2 + 0 x3 + 0 x 4
非基变量的系数都是正数,若将它们转换 非基变量的系数都是正数, 为基变量,目标函数值则就会可能增加. 为基变量,目标函数值则就会可能增加. 经济含义:每分别多生产一个单位产品甲, 经济含义:每分别多生产一个单位产品甲, 目标函数值分别增加6 乙,目标函数值分别增加6,4,即利润分 别增加600 600元 400元 别增加600元, 400元.
第二章 单纯形法(1基本思路和原理)
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划问题
max z = n ∑ a ij x j=1 x ≥ 0 j
最优解： 最优解： 使目标函数（Ｅ）达到最大值的可行解称为最优解． 使目标函数（Ｅ）达到最大值的可行解称为最优解． （Ｅ）达到最大值的可行解称为最优解
∑
j
n
c
j=1
j
x
j
(i=1,…，m) (j=1,…，n)
1 1 0 B3 = 1 0 0 1 0 1
为零, 令这个基的非基变量 x1, x2 为零, 这时约束方程就变为基变量 即: 0 x2 + s1 = 300 1 1 1 0 0 x2 300 s1 = 400 2 1 0 1 0 ⋅ x2 = 400 0 1 0 0 1 0 x + s = 250 250 s 2 3 3 求解,即可得到基变量的唯一一组解: 求解,即可得到基变量的唯一一组解: x2= 400 , s1= -100 , s3= -150 加上非基变量: 得到此线性规划的一个基解. 加上非基变量: x1= 0, s2 = 0, 得到此线性规划的一个基解. 的约束方程: 的约束方程:
可行解： 可行解： 满足上述约束条件（Ｆ），（Ｇ）的解 满足上述约束条件（Ｆ），（Ｇ）的解 （Ｆ），（Ｇ）
∑
j
n
c
j=1
j
x
j
(i=1,…，m) (j=1,…，n)
(Ｅ) (Ｆ) (Ｇ)
= b
i
X = ( x1 ,L, xn )
T，Leabharlann 称为线性规划问题的可行解．全部可行解的集合称为可行域． 称为线性规划问题的可行解．全部可行解的集合称为可行域．
运筹学单纯形法
单纯形表
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
Cj CB XB b 0 0 Z X3 3 X4 1 0 1 2 0 0
标准化
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
Z=x1+2x2 x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 单纯形表
Cj
1
2
0
0
单纯形法原理 单纯形表 CB XB b
z=x1+2x2 x3 =3-x1-x2 x4=1 -x2
x2进基，x4离基
X1 X2 X3 X4
3/1 11
0
1 0
1 1
1 1
2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 -1 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2, x3, x40
x1=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,1,2,0), z=2 C (x1,x2,x3,x4)= (2,1,0,0), z=4,最优解
B
x4=0 x3=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,0,3,1), z=0
1 0
0 0
0 1
0
CB XB b 0 2 Z Cj CB XB b 1 2 Z X1 2 X2 1 4 X3 2 X2 1 2 1 1 0 0
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 -1
第二章 单纯形法
求解线性规划： 求解线性规划： max z = 3x1 + 5x2 s.t. x1 ≤ 8 2x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤36 x1, x2 ≥ 0
解：将原问题转化为标准 型模型： 型模型：
Max z = 3 x1 + 5 x2 s.t. x1 + x3 = 8 x2 + x4 = 12 3x1+ 4x2 + x5 = 36 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
=0 =8 =12 =36
z
-3x1 x1 x2 3x1
+5/2x4 +x3 +1/2x4 -2x4 +x5
=30 =8 =6 =12
z +x3 x2 x1
+1/2x4 +x5 =42 +2/3x4 -1/3x5 =4 +1/2x4 =6 -2/3 x4 +1/3x5 =4
方程组形式的求解过程
max z = 10 x1 + 5 x2 3x1 + 4 x2 + x3 = 9 s.t 5 x1 + 2 x2 + x4 = 8 x ,x ,x ,x ≥0 1 2 3 4
4 在所有σj<0中，只要有一个σr<0说对应 中 说对应 的系数列向量a 的系数列向量 r ≤0，即一切 ir ≤0（i=1， ，即一切a （ ， 2，m），则该 问题无最优解，停止计 ， ），则该LP问题无最优解 ），则该 问题无最优解， 算，否则转5。 否则转 。 5 按最小检验数规则
确定进基变量x 和主列a 确定进基变量 k和主列 k；再按最小比值规 则
•转换为典则形式 转换为典则形式
运筹学单纯形法
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
运筹学02-单纯形法
反之，若经过迭代，不能把人工变量都变
为非基变量，则表明原LP问题无可行解。
19
第2章
单纯形法
2.3 人工变量法
2.3.1 大M法
在原问题的目标函数中添上全部人工变量，并令其系数 都为-M，
而M是一个充分大的正数。即
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxn – M( xn+1 + xn+2 +…+ xn+m )
思路：由一个基本可行解转化为另一个基本可行解。 等价改写为 目标方程 max z max z = 3x1+5x2 z -3x1 -5x2 = 0 z -3x1 -5x2 x1 +x3 x1 +x3 = 8 2x2 +x4 2x2 +x4 = 12 s.t. s.t. 3x1+4x2 +x5 3x1 + 4x2 +x5 = 36 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 ≥ 0
以主列中正值元素为分母，同行右端常数为分子，求比值；
6
第2章
单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
(Ⅰ)
用换基运算 将X0 转化为 另一个基本 可行解 X1。
z- 3x1 -5x2 = 0 0 换基运算—— x1 +x3 = 8 ① 方程组的初等变换 目的是把主列变为 22x2 +x4 = 12 ② 单位向量：主元变 3x1 + 4x2 +x5 = 36 ③ 为1，其余变为0。 X0 = ( 0, 0, 8, 12, 36 )T z0 = 0
⑴ 当前基：m阶排列阵
第二章 单纯形法
15
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法的求解步骤
重复步骤2~5，直到终止。
判优换基迭代
判优换基迭代 判优换基迭代 判优 最优解
运筹学Leabharlann 16华东交通大学工业工程与物流管理系
基本可行解的改进
• 换入变量的确定——最大增加原则
假设检验向量σN＝(CN- CB B-1N )=(σm+1, σm+2, …,σn), 若其中有两个以上的检验数为正，选取最大正检验数所对应的 非基变量为换入变量。 若：max{σj| σj>0,m+1≤j≤n}= σm+K 则选取对应的xm+k为换入变量。
1 0 B 0 1
2 / 5 3 / 5 1 / 5 N 6 / 5 1 / 5 2 / 5
17 / 5 b 6/5
CB (3,5), CN (2,1,1)
再转向步骤（2） 运筹学
25
华东交通大学工业工程与物流管理系
（2）检验X’=(0,0,4,0,3)T是否最优：
检验向量 N CN CB B N
1
1 / 2 1 1 / 2 N (5,2,1) (3,1) (1,4,2) 5 / 2 3 1 / 2
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法
线性规划问题的几何意义： • 凸集：没有凹入部分，内部没有空洞。实习圆、实 心球体、实心立方体都是凸集；两个凸集的交集是 凸集。 • 若线性规划问题存在可行域，则可行域是凸集。 • 线性规划问题的基可行解对应可行域的顶点。 • 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以 在其可行域的顶点上达到最优。
由最优解判别定理，非基变量检验数σ1＝1>0， 所 以X‘=(0,0,4,0,3)T不是最优解
单纯形法原理
单纯形法原理
单纯形法是线性规划中常用的一种方法，用于求解极值问题。
它的基本思想是通过不断迭代的方式，逐渐接近最优解。
单纯形法的基本步骤如下：
1. 将线性规划问题转化为标准型。
标准型的约束条件为≤，目标函数为最大化，且所有变量的取值范围为非负数。
2. 利用人为变量引入的方法，将标准型问题转化为初始单纯形表。
3. 选择合适的初始基变量，并计算出对应的基变量解。
4. 计算单纯形表中的评价函数。
如果所有评价函数中的系数都为非负数，则当前基变量解为最优解，过程结束。
否则，继续进行下一步。
5. 选择进入变量和离开变量。
进入变量是指取值为负的评价函数系数对应的变量，离开变量是指进入变量在当前基变量解中最先达到0的变量。
6. 迭代计算，通过变换基变量，逐渐接近最优解。
具体的计算方式为将进入变量对应列调整为单位向量，同时更新初始单纯形表中其它列的数值。
7. 重复步骤4至步骤6，直至得到最优解为止。
值得注意的是，单纯形法的执行依赖于初始基变量的选择，不同的初始基变量可能会得到不同的最优解。
因此，在实际应用中，需要通过灵活选择初始基变量来提高求解效果。
运筹学第2章单纯形法
① ② ③
－２Ｘ４＋Ｘ５ ＝１２
得到新的基本可行解 X1 =(0,6,8,0,12)T
(1)、决定进基变量：1=--3, X1进基 (2)、决定离基变量：最小比值规则来确定主 元与离基变量.
则Xl为进基变量。 MIN(8/1,-,12/3)=12/3 此时可以确定X5为离基变量
Z
X(0) =(0, 0, 10, 15 )T
Z0 =0
Z-30X1-20X2 =0 选中X1从0↗，X2 =0 X3=10-(-X1 )0
X4=15-(-3X1 )0 求X1， X1→+ ,Z→+
2.2.3 单纯形法计算之例
2-3 人工变量法 (Artificial Variable)
+1/2X4
+X5 =42 =6
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4
X1 -2/3X4+1/3X5=4 令X4 =X5 =0 X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2,
Z值不 再增大了,X值是最优基本解
5
=1,
* T * 即:X =(4,6) ,Z =42
检验数
当目标方程中基变量系数全为0时，非基 变量的系数可以作为检验当前的基本可 行解是否最优的标志，称之为检验数。
(2)、判定解是否最优 Z-3X1-5X2 =0 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗ ∴ X0 不是最优解
(3)、由一个基可行解→另一个基可行解。 ∵ -5<-3 选X2从0↗，X1 =0 X3 =8 X4 =12-2X2 0 X2 12/2
N
沿边界找新 的基本可行解
结束
单纯形法原理
单纯形法原理单纯形法是一种用于求解线性规划问题的数学方法，它通过不断地移动可行解，逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是从一个基本可行解出发，通过有限次迭代，逐步向着最优解靠近。
这种方法的优点是能够有效地处理大规模的线性规划问题，并且在实际应用中取得了很好的效果。
单纯形法的原理可以通过以下步骤来进行解释：首先，我们需要将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束，并引入松弛变量。
这样，原始的线性规划问题就可以表示为一个矩阵形式Ax=b的形式，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n维向量，b是一个m维向量。
接下来，我们需要找到一个初始的基本可行解。
这个基本可行解对应于一个m×m的单位矩阵Im，以及一个n维的零向量。
我们可以通过将单位矩阵对应的列向量代入原始的线性规划问题中，来求解初始的基本可行解。
然后，我们需要计算出一个非基本变量的非负进入向量。
这个向量对应于目标函数的系数向量与A的转置矩阵的乘积。
通过计算这个进入向量，我们可以确定哪一个非基本变量可以进入基本变量集合，从而使得目标函数值增加。
接着，我们需要计算出一个基本变量的非正离开向量。
这个向量对应于基本变量对应的列向量与A的转置矩阵的乘积。
通过计算这个离开向量，我们可以确定哪一个基本变量可以离开基本变量集合，从而使得目标函数值继续增加。
最后，我们需要进行基本变量与非基本变量的交换，并更新基本可行解。
这个过程可以通过一系列的矩阵运算来实现，从而得到一个新的基本可行解。
然后，我们可以继续重复上述步骤，直到找到最优解为止。
通过上述步骤，我们可以看出单纯形法的原理是通过不断地移动可行解，逐步接近最优解。
这种方法的优点是能够有效地处理大规模的线性规划问题，并且在实际应用中取得了很好的效果。
总之，单纯形法是一种用于求解线性规划问题的有效方法，它的原理是通过不断地移动可行解，逐步接近最优解。
在实际应用中，单纯形法已经取得了很好的效果，能够有效地处理大规模的线性规划问题。
线性规划(2单纯形法) (1)
X1 X 2 0 3
X4 -15 X3 9
作主元运算, 得到新的基础可行解: X(2)=(0,0,9,1,0)t S= 35
C CB -1 4 σ XB 10 3 4 X3 0 1 -1 X4 1 0 1 X5 -2 1 1 9 35 b Θ
X1 X 2 0 3
X4 -15 X3 9
判断是否最优解:X(2)=(0,0,9,1,0)T S= 35 计算检验数,所有检验数全小于零,达到最优解, X*=(0,0,9,1,0)T S = 35
=
CB B-1b
0 CN-CB B-1N
二、判别
•若检验数全小于等于零，则基B所对应 的基础可行解X就是最优解，终止。 •若存在检验数大于零，但所对应的进 基变量XS的系数向量PS小于等于零，则 原问题无最优解，终止。
•若存在检验数大于零，且对应的常数 项大于零，则需要换基迭代。
三、换基迭代 •确定进基变量XS，其中 max( Ơj | Ơj > 0 ) = Ơs
•继续寻找更优的基础可行解，进一步改进目 标函数值。当某一个基础可行解不能再改善 时，该解就是最优解。
一、已知初始可行基求最优解
线性规划标准型的矩阵形式(3)：
Max S = CX
(1-17)
s.t. AX=b
X0
(1-18)
(1-19)
a11 a12 …. a1n
b1
A=
a21 a22 …. a2n
第一行加上第二行的（-6）倍
C CB -1 1 σ XB 10 X1 3 X2 0 1 6 4 X3 0 1/3 5 -1 X4 1 0 0 1 X5 -2 1/3 0 1 3 -10 b Θ
X4 -15 X5 3 4
单纯形法
单纯形法一、基本概念二、思路与原理三、基本步骤一、基本概念LP: Max(Min)Z = CX (1)AX=b (2)X≥ 0 (3)其中，A=(aij)m×n，一般，m<n，且R(A)=m。
1.基：已知A=(aij)m×n ，其秩为m(R(A)=m) 。
从A中任取m个线性无关的列向量构成的矩阵B，（即B是A中m×m阶非奇异子矩阵（即可逆矩阵）），则称B是线性规划问题中的一个基。
注：一个LP问题的基的个数是不唯一的，最多为：个。
2.基向量,非基向量：基B中的一列pi称为一个基向量。
A中基B之外的一列pj称为一个非基向量。
注：一个LP有m个基向量， n－m个非基向量。
3.基变量,非基变量：与基向量pi相应的变量xi称基变量；与非基向量pj相应的变量xj称非基变量。
注：一个LP有m个基向量， n－m个非基向量。
4.基本解,基本可行解,基本最优解对于一个基B，令所有的非基变量为0，求得满足（2）式的解，称作一个基本解。
注：即求解一个m元的线性方程组，由线性代数知识得知，可得到唯一的一组解。
若求得的基本解又满足（3）式，则称此基本解为基本可行解。
若基本可行解又满足（1）式，即使得目标函数达到最优值，则又称此基本可行解为基本最优解。
5.可行基，最优基与基本可行解相对应的基称作可行基；与基本最优解相对应的基称作最优基。
注：基本可行解可行基例：求出下列LP问题的所有基本解，基本可行解，基本最优解。
MaxZ = 50 x1 + 100 x2x1 + x2 ≤ 3002 x1 + x2 ≤ 400s.t. x2 ≤ 250x1 , x2 ≥ 0标准化，得：MaxZ = 50 x1 + 100 x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5x1 + x2 + x3 = 3002 x1 + x2 + x4= 400s.t. x2 + x5= 250xj≥ 0(j=1～5)其中， 1 1 1 0 0 ,基有 -1=9个。
单纯形算法一般原理
单纯形算法的一般原理单纯形法的基本思路是有选择地取基本可行解，即是从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。
考虑到如下线性规划问题：其中Ａ一个m ×n 矩阵，且秩为m ，ｂ总可以被调整为一个m 维非负列向量，Ｃ为n 维行向量，Ｘ为n 维列向量。
根据线性规划基本定理：如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界，则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶点上达到。
这个重要的定理启发了Dantzig 的单纯形法，即将寻优的目标集中在D 的各个顶点上。
Dantzig 的单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解（即可行域顶点）中。
其基本思路是从一个初始的基本可行解出发，寻找一条达到 最优基本可行解的最佳途径。
单纯形法的一般步骤如下：（1）寻找一个初始的基本可行解。
（2）检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优，则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。
（3）移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解，然后转会到步骤（2）。
求解思想如下图所示：maxZ=CX AX=b X 0⎧⎨≥⎩确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基，一旦初始的可行基确定了，那么对应的初始基本可行解也就唯一确定为了讨论方便，不妨假设在标准型线性规划中，系数矩阵Ａ中前m 个系数列向量恰好构成一个可行基，即Ａ=（ＢＮ），其中Ｂ=（Ｐ1，Ｐ2，…Ｐm ）为基变量x1，x2，…xm 的系数列向量 构成的可行基，Ｎ=(Ｐm+1，Pm+2， …Pn)为非基变量xm+1，xm+2， …xn 的 系数列向量构成的矩阵。
那么约束方程AX=b 就可表示为：用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得：若令所有非基变量 ，则基变量由此可得初始的基本可行解B B N N X AX=(BN)=BX +NX =b X ⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1B N X =B b-B NX N X =0-1B X =B b 1B b X=0-⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1-1B N B N N B AX=b BX +NX =b X =B b-B NX X =0,X =B b →→→● 问题：➢ 要判断m 个系数列向量是否恰好构成一个基并不是一件容易的事。
单纯形法
z z0 j x j
j m 1
n(1.2.21)称 j ( j m 1 ,, n ) 为检验数。
定理1.2.1 设（1.2.17）和（1.2.21）是最大
化线性规划问题关于当前基本可行解x*的两个典式。
若关于非基变量的所有检验数σ j≤0成立，则当前
基本可行解x*就是最优解。 将σ j≤0称为最大化问题的最优性准则。显然， 对于最小化问题最优性准则应是σ j≥0。
30x1 + x3 = 160 - 20x2 5x1 = 15 - x2 - x4 （1.2.6） x1 + x5 = 4 进一步分析，用消元法将（1.2.6）中x1的系数列向量 （30,5,1）T 化成(1.2.3)中x4的系数矩阵（0,1,0）T
的形式。得到：
x3 = 70 - 14x2 + 6x4 x1 = 3 - 1/5x2 - 1/5x4
(b'1, b'2, … , b'm ,0 , …, 0)T是当前基本可行解。若有一个非
基变量xm+t的检验数σ
m+t>0，且xm+t对应的系数列向量
P'm+t=(a'1,m+t,a'2,m+t,„，a'm,m+t)中，所有分量a'i,m+t≤0，则该 线性规划问题具有无界解（或称无最优解）。
1.2.2 单纯形表
x2= 5 - 1/14x3 + 3/7x4
x1 = 2 + 1/70x3 - 2/7x4
（1.2.11）
x5 = 2 - 1/70x3+ 2/7x4
将（1.2.11）代入目标函数式，得到用非基变 量x 3
第二章单纯形法
5
B
G
2 x1 3
C x1
x2 x2 x2
x3 x4 x5
10 8 7
f(x) = 3 6
4
x1 , x 2 , x 3 , x2 4 , x 5 0
3 最优解
2
:
x
K
1
2, 1
x2
6,
1 max f ( x ) 36 .
D
否 确定改善方向
求新的基础可行解
求最优解的目标函数值
1、初始基本可行解的确定
对目标函数为(MAX≤)形式的线性规划背景模型，通过标准化， 每一个约束方程引入一个松弛变量，松弛变量为基变量，其 他变量为非基变量，得到一个初始基本可行解。
n
max f (x) cj xj j 1
s.t.
1、可行解：满足约束条件 (2)和(3)的解称为可行解。 2、基及基变量：设矩阵A的秩为m（n≥m）,则A中任何一组m个 线性无关的列向量构成的子矩阵,称为该问题的一个基(basis), 基中的这些列向量对应的变量称为基变量(basic variable)
3、基本解：对于基,令非基变量为零,求得满足（2） 的唯一解，称为基对应的线性规划的基本解（basic solution）。 4、基本可行解：满足（3）的基本解称为基本可行解 （basic feasible solution）；基可行解的非零分
2、最优解检验（根据线性规划问题的典式）
max z c B B 1 b ( c N c B B 1 N ) x N
s .t
x
B
B
1 Nx
单纯形算法原理与计算步骤详解
单纯形算法原理与计算步骤详解单纯形算法是一种常用于线性规划问题求解的优化算法，其基本思想是通过不断迭代改变可行解，使目标函数值逐渐趋近最优解。
本文将详细介绍单纯形算法的原理和计算步骤。
一、单纯形算法原理单纯形算法基于以下原理：假设存在一个线性规划问题，其中目标函数需要最小化，约束条件为一组线性等式和不等式。
算法通过在可行域内循环改变基变量，以求得最优解。
算法的基本思想是从初始可行解出发，不断迭代地转移到更优的解，直到找到最优解。
单纯形算法的迭代过程中，每一次迭代都会选择一个非基变量进行转移，使目标函数值逐步减小。
二、单纯形算法的计算步骤下面将详细介绍单纯形算法的计算步骤，以帮助读者更好地理解该算法。
1. 初始化阶段在初始化阶段，需要将线性规划问题转化为标准型，并找到初始可行解。
标准型的要求是：目标函数为最小化，约束条件为等式和非负约束。
2. 检验阶段在检验阶段，需要进行基变量的选择和检验是否达到最优解。
首先选择一个入基变量，该变量的选择通常基于某些准则，如最大增量准则、最小比率准则等。
3. 转换阶段在转换阶段，需要进行基变量的转换，使目标函数值不断减小。
通过将选定的入基变量与已有的基变量组成一个新的基，进而得到新的可行解。
在转换过程中，还需要进行非基变量的选择和计算。
选择一个出基变量，使得目标函数值减小的幅度最大。
然后，通过高斯消元法计算出相应的新基。
4. 终止判断阶段在每次迭代后，都需要判断是否已达到最优解或存在无界解。
如果目标函数不能减小或者无界，则算法终止。
否则，返回检验阶段继续迭代。
5. 结果输出阶段当算法终止时，需要输出最优解以及最优解对应的目标函数值。
三、单纯形算法的优化尽管单纯形算法是一种常用的线性规划求解方法，但在某些情况下，其迭代次数可能会非常大。
为了优化算法效率，可以采用以下方法：1. 人工变量法当初始可行解需要引入人工变量时，可以通过人工变量法来优化算法。
该方法通过对目标函数引入人工变量，并对目标函数进行最小化，从而减少迭代次数。
第2章 单纯形法
换基运算即对当前方程组进行一系列初等变换，其目的是：
将主列化成单位向量，以符合典式。 （1）将主元化为1。
用主元的倒数乘以主方程，得到新方程（a），称为源方程。
（2）载将主列中其余元素全部消去，都化为0.
欲消去主列中哪行非0元素，就用其相反数乘以源方程（a）后，再
（0） ① ② ③
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
1.转换规则——主元的确定
（2） 确定离基变量合主元的规则——最小比值规则
根据主列中ak中的一切正数aik＞0 i 1, 2, , m 按照式 bi bl =min |aik＞0 2 3b a a lk ik 确定最小比值，以及 对应的第l行（方程）为主行（主方程），主行中的原 基变量xr 就是离基变量，同时确定主列中的主行元素alk 为主元。
x3 6 -x1 0 x1 6 x4 8 0 x 18-2 x 0 x 18 2 1 1 5
2-1
故有：x1 min 6,18 2 =6 （2-2）
即有：x1 = min 6,18 2 =6 不能取x1 6 , 否则x3，x4，x5全都为正数，无一离基。所以式（2-2）只能取等式，
加给该非0元素所在行。反复这样，主列化成单位列向量。
15
山西大学经济与管理学院 范建平
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
范例的可行基变换
(1)由于主元为1，已经符合要求；
将主方程①填写入新方程组 Ⅱ Ⅰ 中，仍置于原行序①处，作为 源方程，表上记号（如打√）， 以备正确识别、援用。
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§5.1 单纯形法的基本思路和原理
可以看到 s1, s2, s3的系数列向量
1 p3 0 0 .
0 p4 1 0
.
0 p5 0 1
.
是线性独立的,这些向量构成一个基
1 0 0 这是由三个五元线性方程组成的方程组，它的系数矩阵为 : B p3, p4, p5 0 1 0 11 100 0 0 1
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
定理:
线性规划问题的基可行解 X 对应线性规划问题可行域
的顶点.
在这里，可行域的顶点已不再像图解法中那样直接可见
了。在单纯形法中的可行域的顶点叫做基可行解，第一 个找到的可行域的顶点叫做初始基可行解。
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
例：找出下述线性规划问题的全部基解，指出其中 的基可行解，并确定最优解：
j
n
c
j1
j
x
j
(i=1,…，m)
(j=1,…，n)
(Ｅ) (Ｆ) (Ｇ)
b
i
， X x , , x 1 n
T
称为线性规划问题的可行解．全部可行解的集合称为可行域．
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划问题
max z n a ij x j1 x j 0
应的变量s1, s2, s3是基变量。除了基变量以外的变量 x1, x2是非基变量。
A (p ,p ,p ,p ,p ) 2101 0 . 1 2 3 4 5 Ｂ中的每一个列向量p3, p4, p5 是基向量，与其对 0 1 0 0 1
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
x1 1 1 1 0 0 x2 300 s 2 1 0 1 0 400 1 0 1 0 0 1 s2 250 s 3
1 1 B3 1 0 1 0
1 1 B3 1 0 1 0
0 0 1
令这个基的非基变量 x1, x2 为零, 这时约束方程就变为基变量 即: 0 x 2 s1 300 1 1 1 0 0 x2 300 2 1 0 1 0 s1 400 x 2 400 0 1 0 0 1 0 x s 250 250 s 2 3 3 求解,即可得到基变量的唯一一组解: x2= 400 , s1= -100 , s3= -150 加上非基变量: x1= 0, s2 = 0, 得到此线性规划的一个基解.
1 1 B3 1 0 1 0
0 0 1
均为基
可行基
不是可行基
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
由于在这个基解中s1＝－100，s3＝－150，不满足该线 性规划最后一个变量非负的约束条件，显然不是此线性规划
的可行解，一个基解可以是可行解，也可以是非可行解，它
们之间的主要区别在于其所有变量的解是否满足非负的条件。
的约束方程:
x1= 0, x2= 400, s1= -100, s2= 0, s3= -150,
矩阵方程 AX = b
我们找到A 的一个基:
x1 1 1 1 0 0 x2 300 s 2 1 0 1 0 400 1 0 1 0 0 1 s2 250 s 3
a 11 a 1 m P B , , P 1 m a m 1 a mm
Ｂ中的每一个列向量Ｐj（j＝１，…，m）称为基向量，与基向 量Ｐj对应的变量xj称为基变量。线性规划中除了基变量以外的变 量称为非基变量。
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
的约束方程:
x1=0, x2=0, s1=300
s2=400
s3=250
x1=0, x2=0, s1=300 s2=400 s3=250
x1= 0, x2= 400, s1= -100, s2= 0, s3= -150, 均为基解
基可行解
不是基可行解
1 B2 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 0 1
都是该线性规划的一个基。 这些基都是由3个线性无关的系数列向量组成的,对应的基变量
分别为 x1 , x2 , s1 ; s1, s2, s3; x2 ,s1,s3。
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
基解： 在约束方程组（E）中，令所有的非基变量：
x x x 0 m 1 m 2 n
又因为有
B 0 ，根据克莱姆法则，由m个约束方程可以解
T 出m个基变量的唯一解 X 。将这个解加上非 x , , x b 1 m
T，称X为线性规划问 基变量取0的值有 X x , , x , 0 , , 0 b 1 m
题的基解。
矩阵方程 AX = b
我们找到A 的一个基:
(Ｅ) (Ｆ) (Ｇ)
b
i
基可行解：
满足变量非负约束条件 ( G ) 的基解称为基可行解。
可行基： 对应于基可行解的基称为可行基。
矩阵方程 AX = b
我们找到A 的一个基:
x1 1 1 1 0 0 x2 300 s 2 1 0 1 0 400 1 0 1 0 0 1 s2 250 s 3
基： 设Ａ为约束方程组（Ｆ）的m×n阶系数矩阵，（设n＞m）， 其秩为m，Ｂ是矩阵Ａ中的一个m×m的满秩子矩阵，称Ｂ 是线性规划问题的一个基．不失一般性，设
a 11 a 1 m P
Ｂ中的每一个列向量Ｐj（j＝１，…，m）称为基向量，与基向 量Ｐj对应的变量xj称为基变量。线性规划中除了基变量以外的变 量称为非基变量。
111 0 0 A (p ,p ,p ,p ,p ) 210 1 0 . 1 2 3 4 5 0 1 0 0 1
在此例题中：
1 2 0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 1
第二章 单纯形法
Singlex Method
第二章 单纯形法
对于只有两个决策变量的线性规划问 题，可以在平面直角坐标系上作图表 我们在第三章所介绍的线性规划问题的计 示线性规划问题的有关概念，并求解 .
算机解法就是基于单纯形法编程来解决可 以含有上千个决策变量的及上千个约束条 由美国数学家丹捷格 件的复杂的线性规划问题。 (G.B.Dantzig)提出的，得到最
最优解： 使目标函数（Ｅ）达到最大值的可行解称为最优解．
j
n
c
j1
j
x
j
(i=1,…，m)
(j=1,…，n)
(Ｅ) (Ｆ) (Ｇ)
b
i
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
基： 设Ａ为约束方程组（Ｆ）的m×n阶系数矩阵，（设n＞m）， 其秩为m，Ｂ是矩阵Ａ中的一个m×m的满秩子矩阵，称Ｂ 是线性规划问题的一个基．不失一般性，设
的约束方程:
s2=0
s3=-150
矩阵方程 AX = b
我们找到A 的一个基:
x1 1 1 1 0 0 x2 300 s 2 1 0 1 0 400 1 0 1 0 0 1 s2 250 s 3
广泛应用的线性规划的代数算法
－－单纯形法，这恐怕是在运筹
学发展史上最辉煌的一笔。
第五章 单纯形法
• 5.1 单纯形法的基本思路和原理
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划问题
max z n a ij x j1 x j 0
可行解： 满足上述约束条件（Ｆ），（Ｇ）的解
标准形式为: 目标函数：max z = 50x1+100x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1 + x2 +s1 = 300 2x1 + x2 +s 2 = 400 x2 +s3 = 250 x1, x2, s1, s2, s3≥0。 这是由三个五元线性方程组成的方程组，它的系数矩阵为:
11100 A (p ,p ,p ,p ,p ) 2101 0 . 1 2 3 4 5 0 1 0 0 1
1 B2 0 0 0 1 0 0 0 1
令这个基的非基变量 x1, s2 为零, 这时约束方程就变为基变量 即: 0 s 1 300 1 1 1 0 0 0 300 s 2 1 0 1 0 1 400 s 2 400 0 1 0 0 1 s2 250 s 250 s 3 3 求解,即可得到基变量的唯一一组解: s1=300 , s2=-400 , s3=250 加上非基变量: x1= 0, x2 = 0, 得到此线性规划的一个基解.
T，称X为线性规划问 基变量取0的值有 X x , , x , 0 , , 0 b 1 m
题的基解。
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划问题
max z n a ij x j1 x j 0
j
n
c
j1
j
x
j
(i=1,…，m)
(j=1,…，n)
0 0 1
令这个基的非基变量 x1, s2 为零, 这时约束方程就变为基变量 即: 0 x 2 s1 300 1 1 1 0 0 x2 300 x1=0, 2 1 0 1 0 s1 400 x 2 400 0 1 0 0 1 0 x s 250 250 x2=400 s 2 3 3 求解,即可得到基变量的唯一一组解: x2= 400 , s1= -100 , s3= -150 s1=-100 加上非基变量: x1= 0, s2 = 0, 得到此线性规划的一个基解.