第二章 单纯形法1基本思路和原理
单纯形法的基本原理
单纯形法的基本原理单纯形法是一种用于线性规划问题求解的数学方法，它的基本原理是通过不断地在可行解空间中移动，寻找到最优解的过程。
在实际应用中，单纯形法被广泛地应用于生产调度、资源分配、运输优化等领域，它的高效性和可靠性使得它成为了解决复杂实际问题的重要工具。
单纯形法的基本原理可以简单地概括为以下几个步骤：1. 初始可行解的构造。
在单纯形法中，首先需要构造一个初始的可行解。
这个可行解需要满足线性规划问题的约束条件，并且需要在可行解空间内。
构造初始可行解的方法有多种，常见的方法包括人工构造、单纯形表法等。
2. 迭代移动。
一旦得到了初始可行解，单纯形法就开始了迭代移动的过程。
在每一步迭代中，单纯形法会根据当前的可行解，寻找一个移动方向，并且沿着这个方向进行移动。
移动的目的是寻找到更优的解，直到找到最优解为止。
3. 优化目标的改善。
在每一步迭代中，单纯形法都会尝试改善优化目标的值。
优化目标通常是线性规划问题的目标函数值，单纯形法的目标是找到一个可行解，使得优化目标的值最小或最大。
4. 终止条件的判断。
单纯形法在迭代移动的过程中，需要不断地判断是否满足终止条件。
终止条件通常包括目标函数值不再改善、可行解空间已经被完全搜索等情况。
通过以上几个基本步骤，单纯形法可以在有限的迭代次数内找到线性规划问题的最优解。
它的高效性和可靠性使得它成为了解决实际问题的重要工具。
在实际应用中，单纯形法还可以通过一些改进的方法来提高求解效率，例如对初始可行解的选择、对移动方向的选择、对终止条件的判断等方面进行优化。
这些改进方法可以使得单纯形法更加适用于复杂的实际问题。
总的来说，单纯形法是一种强大的数学方法，它具有较高的求解效率和可靠性，可以被广泛地应用于各种领域的实际问题求解中。
通过深入理解单纯形法的基本原理，我们可以更好地应用它来解决复杂的实际问题，为各种决策问题提供科学的决策支持。
3.12 4单纯形法(人工变量法)3.12
一个x12方x程12把中x第去2x二2个x方5x程3直接x加4
4 6
x1 , x一2个, 变x3量,(人x4工, 变x量5 ) 0
规范化
考虑一般问题：
bi > 0 ， i = 1 , … , m
Max Z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2 … am1 x1+ am2 x2+…+ amn xn = bm
jm 1 j j
i1 i
i
j m 1 ij j
m
n
m
c b (c c a )x
i1 n i i
jm 1
j
i 1 i ij
j
n
Z (c z )x
0
j 1
j
j
j
n
Z C jx
0
j 1
j
其 Z m c 中 b ,C j c z ,z m c a
一、单纯形法的基本原理
（一）基本变量： 如果变量xj在某一方程中系数为1，而在其它一切方
程中的系数为零，则称xj为该方程中的基本变量。否则 为非基本变量。 （二）基本解：
在典型方程中，设非基本变量为零，求解基本变量 得到的解，称为基本解 。 （三）基本可行解：
基本变量为非负的一组基本解称为基本可行解 。
（２）最优解判别 如果任何一个非基变量的值增加都不能
使目标函数值增加，即所有检验数非正，则 当前的基本可行解就是最优解，计算结束。
第二章 单纯形法
最小比值规则
当确定进基变量后, 当确定进基变量后,以进基变量的系数列向量 中的正数为分母, 中的正数为分母,以相应的方程右端常数为分子求 最小比值,所得到的最小比值的分母就是主元 主元. 最小比值,所得到的最小比值的分母就是主元.主 元所在的方程中的基变量就是离基变量 离基变量. 元所在的方程中的基变量就是离基变量.即:
bi bl min α ik > 0 = a ik a lk
令新的非基变量 x3 = x 4 = 0 ,得到新的 基本可行解: 基本可行解: T 经济含义—— 经济含义—— 分别生产甲,乙产品20 20个 分别生产甲,乙产品20个,此时可获得 利润200百元. 200百元 利润200百元.
几个名词
进基, 进基,进基变量 离基, 离基,离基变量 最大检验数规则 最小比值规则 主元/ 主元/主方程 迭代(旋转运算) 迭代(旋转运算)
增加单位产品甲比乙对目标函数 的贡献值大(600>400),故先把非 的贡献值大(600>400),故先把非 ), 变成基变量, 基变量 x1 变成基变量,称为让 x1 进基, 进基变量. 进基,同时称 x1 为进基变量.
R( A) = R( A, b ) = 3 < 5
则该函数约束等式方程组有无穷多组解. 则该函数约束等式方程组有无穷多组解.
分析目标函数表达式
max z = 6 x1 + 4 x 2 + 0 x3 + 0 x 4
非基变量的系数都是正数,若将它们转换 非基变量的系数都是正数, 为基变量,目标函数值则就会可能增加. 为基变量,目标函数值则就会可能增加. 经济含义:每分别多生产一个单位产品甲, 经济含义:每分别多生产一个单位产品甲, 目标函数值分别增加6 乙,目标函数值分别增加6,4,即利润分 别增加600 600元 400元 别增加600元, 400元.
第二章 单纯形法(1基本思路和原理)
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划问题
max z = n ∑ a ij x j=1 x ≥ 0 j
最优解： 最优解： 使目标函数（Ｅ）达到最大值的可行解称为最优解． 使目标函数（Ｅ）达到最大值的可行解称为最优解． （Ｅ）达到最大值的可行解称为最优解
∑
j
n
c
j=1
j
x
j
(i=1,…，m) (j=1,…，n)
1 1 0 B3 = 1 0 0 1 0 1
为零, 令这个基的非基变量 x1, x2 为零, 这时约束方程就变为基变量 即: 0 x2 + s1 = 300 1 1 1 0 0 x2 300 s1 = 400 2 1 0 1 0 ⋅ x2 = 400 0 1 0 0 1 0 x + s = 250 250 s 2 3 3 求解,即可得到基变量的唯一一组解: 求解,即可得到基变量的唯一一组解: x2= 400 , s1= -100 , s3= -150 加上非基变量: 得到此线性规划的一个基解. 加上非基变量: x1= 0, s2 = 0, 得到此线性规划的一个基解. 的约束方程: 的约束方程:
可行解： 可行解： 满足上述约束条件（Ｆ），（Ｇ）的解 满足上述约束条件（Ｆ），（Ｇ）的解 （Ｆ），（Ｇ）
∑
j
n
c
j=1
j
x
j
(i=1,…，m) (j=1,…，n)
(Ｅ) (Ｆ) (Ｇ)
= b
i
X = ( x1 ,L, xn )
T，Leabharlann 称为线性规划问题的可行解．全部可行解的集合称为可行域． 称为线性规划问题的可行解．全部可行解的集合称为可行域．
运筹学单纯形法
单纯形表
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
Cj CB XB b 0 0 Z X3 3 X4 1 0 1 2 0 0
标准化
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
Z=x1+2x2 x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 单纯形表
Cj
1
2
0
0
单纯形法原理 单纯形表 CB XB b
z=x1+2x2 x3 =3-x1-x2 x4=1 -x2
x2进基，x4离基
X1 X2 X3 X4
3/1 11
0
1 0
1 1
1 1
2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 -1 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2, x3, x40
x1=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,1,2,0), z=2 C (x1,x2,x3,x4)= (2,1,0,0), z=4,最优解
B
x4=0 x3=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,0,3,1), z=0
1 0
0 0
0 1
0
CB XB b 0 2 Z Cj CB XB b 1 2 Z X1 2 X2 1 4 X3 2 X2 1 2 1 1 0 0
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 -1
单纯形法原理 单纯形表
单纯形法原理单纯形表单纯形法原理与单纯形表的详实解析在数学领域中，特别是在线性规划问题的研究中，单纯形法是一种十分重要的求解方法。
它是由美国数学家乔治·丹齐格在1947年提出的一种迭代算法，用于解决具有多个变量和约束条件的优化问题。
本文将围绕单纯形法的原理和单纯形表这两个核心概念进行详细的解析。
一、单纯形法原理单纯形法的基本思想是通过一系列可行解逐步逼近目标函数的最大值或最小值。
这些可行解形成一个点集，称为单纯形。
每次迭代过程中，算法都会选择一个新的顶点作为下一个单纯形的顶点，这个新的顶点应该使目标函数有所改进。
重复这一过程，直到达到最优解或者满足停止准则为止。
单纯形法的步骤如下：1. 构造初始单纯形：首先，需要找到一个包含至少两个可行解的多边形，这就是初始单纯形。
2. 判断是否达到最优解：如果当前顶点的目标函数值已经是全局最优解，那么算法结束。
3. 选择换入变量：如果当前顶点不是最优解，那么需要选择一个非基变量来替换基变量。
这个被选中的非基变量应该是能够使目标函数最大化的变量。
4. 计算换出变量：确定了换入变量后，需要计算相应的换出变量。
这可以通过解一个线性方程组来实现。
5. 更新单纯形：用新选出的变量替换旧的变量，得到新的单纯形。
6. 回到第二步，继续判断是否达到最优解。
二、单纯形表单纯形表是单纯形法的重要工具，它记录了单纯形法每一步的详细信息。
每个列代表一个基变量，而每个行则代表一个约束条件。
表中还包括目标函数的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。
在单纯形表中，每一行代表一个约束条件，包括它的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。
每一列则代表一个基变量，包括它的系数和该变量对应的值。
在每一步迭代过程中，单纯形表都会被更新以反映当前的解状态。
通过观察单纯形表的变化，我们可以清楚地看到迭代过程是如何进行的，以及如何通过调整基变量来改进目标函数的值。
总结来说，单纯形法是一种有效的解决线性规划问题的方法，其核心在于构造并不断更新单纯形表，通过迭代寻找最优解。
运筹学-单纯形法证明
否最优，直到找到最优的方案。
School of Information Management ,CCNU
2
《运筹学》
2.1 单纯形法的基本思路：
从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是 最优解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更 优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。
Nx N
11
《运筹学》
B -1 Bx B + B -1 Nx N = B -1b Þ x B + B -1 Nx N = B -1b
Þ x B = B -1b - B -1 Nx N
令xN = 0
x B1 x B2
Bb-11 b1 = Bb-21b2
x Bm
Bb-m1 b m
B -1 Bx B = Ex B = x B
定理1
D = { x Î R n | Ax = b , x ³ 0 } 是 凸 集 .
证 任 取 x , y Î D ， w = l x + (1 - l ) y ， 其 中
l Î [0 ,1]. 由于 x ³ 0， y ³ 0，故w ³ 0. 又 Ax = b ， Ay = b ， 故
Aw = l Ax + (1 - l ) Ay = b
顶 点
School of Information Management ,CCNU
8
《运筹学》
从图解法的几何直观容易得到下面两个重要结论：
⑴．线性规划的可行区域D是若干个半平面的 交集， 它形成了一个有界的或无界的凸 多边形.
⑵．对于给定的线性规划问题，如果它有最优 解，最优解总可以在D的某个顶点上达到.
B -1 Nx N
运筹学单纯形法
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
第二章 单纯形法
15
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法的求解步骤
重复步骤2~5，直到终止。
判优换基迭代
判优换基迭代 判优换基迭代 判优 最优解
运筹学Leabharlann 16华东交通大学工业工程与物流管理系
基本可行解的改进
• 换入变量的确定——最大增加原则
假设检验向量σN＝(CN- CB B-1N )=(σm+1, σm+2, …,σn), 若其中有两个以上的检验数为正，选取最大正检验数所对应的 非基变量为换入变量。 若：max{σj| σj>0,m+1≤j≤n}= σm+K 则选取对应的xm+k为换入变量。
1 0 B 0 1
2 / 5 3 / 5 1 / 5 N 6 / 5 1 / 5 2 / 5
17 / 5 b 6/5
CB (3,5), CN (2,1,1)
再转向步骤（2） 运筹学
25
华东交通大学工业工程与物流管理系
（2）检验X’=(0,0,4,0,3)T是否最优：
检验向量 N CN CB B N
1
1 / 2 1 1 / 2 N (5,2,1) (3,1) (1,4,2) 5 / 2 3 1 / 2
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法
线性规划问题的几何意义： • 凸集：没有凹入部分，内部没有空洞。实习圆、实 心球体、实心立方体都是凸集；两个凸集的交集是 凸集。 • 若线性规划问题存在可行域，则可行域是凸集。 • 线性规划问题的基可行解对应可行域的顶点。 • 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以 在其可行域的顶点上达到最优。
由最优解判别定理，非基变量检验数σ1＝1>0， 所 以X‘=(0,0,4,0,3)T不是最优解
单纯形法原理
单纯形法原理
单纯形法是线性规划中常用的一种方法，用于求解极值问题。
它的基本思想是通过不断迭代的方式，逐渐接近最优解。
单纯形法的基本步骤如下：
1. 将线性规划问题转化为标准型。
标准型的约束条件为≤，目标函数为最大化，且所有变量的取值范围为非负数。
2. 利用人为变量引入的方法，将标准型问题转化为初始单纯形表。
3. 选择合适的初始基变量，并计算出对应的基变量解。
4. 计算单纯形表中的评价函数。
如果所有评价函数中的系数都为非负数，则当前基变量解为最优解，过程结束。
否则，继续进行下一步。
5. 选择进入变量和离开变量。
进入变量是指取值为负的评价函数系数对应的变量，离开变量是指进入变量在当前基变量解中最先达到0的变量。
6. 迭代计算，通过变换基变量，逐渐接近最优解。
具体的计算方式为将进入变量对应列调整为单位向量，同时更新初始单纯形表中其它列的数值。
7. 重复步骤4至步骤6，直至得到最优解为止。
值得注意的是，单纯形法的执行依赖于初始基变量的选择，不同的初始基变量可能会得到不同的最优解。
因此，在实际应用中，需要通过灵活选择初始基变量来提高求解效果。
单纯形法原理
单纯形法原理单纯形法是一种用于求解线性规划问题的数学方法，它通过不断地移动可行解，逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是从一个基本可行解出发，通过有限次迭代，逐步向着最优解靠近。
这种方法的优点是能够有效地处理大规模的线性规划问题，并且在实际应用中取得了很好的效果。
单纯形法的原理可以通过以下步骤来进行解释：首先，我们需要将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束，并引入松弛变量。
这样，原始的线性规划问题就可以表示为一个矩阵形式Ax=b的形式，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n维向量，b是一个m维向量。
接下来，我们需要找到一个初始的基本可行解。
这个基本可行解对应于一个m×m的单位矩阵Im，以及一个n维的零向量。
我们可以通过将单位矩阵对应的列向量代入原始的线性规划问题中，来求解初始的基本可行解。
然后，我们需要计算出一个非基本变量的非负进入向量。
这个向量对应于目标函数的系数向量与A的转置矩阵的乘积。
通过计算这个进入向量，我们可以确定哪一个非基本变量可以进入基本变量集合，从而使得目标函数值增加。
接着，我们需要计算出一个基本变量的非正离开向量。
这个向量对应于基本变量对应的列向量与A的转置矩阵的乘积。
通过计算这个离开向量，我们可以确定哪一个基本变量可以离开基本变量集合，从而使得目标函数值继续增加。
最后，我们需要进行基本变量与非基本变量的交换，并更新基本可行解。
这个过程可以通过一系列的矩阵运算来实现，从而得到一个新的基本可行解。
然后，我们可以继续重复上述步骤，直到找到最优解为止。
通过上述步骤，我们可以看出单纯形法的原理是通过不断地移动可行解，逐步接近最优解。
这种方法的优点是能够有效地处理大规模的线性规划问题，并且在实际应用中取得了很好的效果。
总之，单纯形法是一种用于求解线性规划问题的有效方法，它的原理是通过不断地移动可行解，逐步接近最优解。
在实际应用中，单纯形法已经取得了很好的效果，能够有效地处理大规模的线性规划问题。
线性规划(2单纯形法) (1)
X1 X 2 0 3
X4 -15 X3 9
作主元运算, 得到新的基础可行解: X(2)=(0,0,9,1,0)t S= 35
C CB -1 4 σ XB 10 3 4 X3 0 1 -1 X4 1 0 1 X5 -2 1 1 9 35 b Θ
X1 X 2 0 3
X4 -15 X3 9
判断是否最优解:X(2)=(0,0,9,1,0)T S= 35 计算检验数,所有检验数全小于零,达到最优解, X*=(0,0,9,1,0)T S = 35
=
CB B-1b
0 CN-CB B-1N
二、判别
•若检验数全小于等于零，则基B所对应 的基础可行解X就是最优解，终止。 •若存在检验数大于零，但所对应的进 基变量XS的系数向量PS小于等于零，则 原问题无最优解，终止。
•若存在检验数大于零，且对应的常数 项大于零，则需要换基迭代。
三、换基迭代 •确定进基变量XS，其中 max( Ơj | Ơj > 0 ) = Ơs
•继续寻找更优的基础可行解，进一步改进目 标函数值。当某一个基础可行解不能再改善 时，该解就是最优解。
一、已知初始可行基求最优解
线性规划标准型的矩阵形式(3)：
Max S = CX
(1-17)
s.t. AX=b
X0
(1-18)
(1-19)
a11 a12 …. a1n
b1
A=
a21 a22 …. a2n
第一行加上第二行的（-6）倍
C CB -1 1 σ XB 10 X1 3 X2 0 1 6 4 X3 0 1/3 5 -1 X4 1 0 0 1 X5 -2 1/3 0 1 3 -10 b Θ
X4 -15 X5 3 4
单纯形法
单纯形法一、基本概念二、思路与原理三、基本步骤一、基本概念LP: Max(Min)Z = CX (1)AX=b (2)X≥ 0 (3)其中，A=(aij)m×n，一般，m<n，且R(A)=m。
1.基：已知A=(aij)m×n ，其秩为m(R(A)=m) 。
从A中任取m个线性无关的列向量构成的矩阵B，（即B是A中m×m阶非奇异子矩阵（即可逆矩阵）），则称B是线性规划问题中的一个基。
注：一个LP问题的基的个数是不唯一的，最多为：个。
2.基向量,非基向量：基B中的一列pi称为一个基向量。
A中基B之外的一列pj称为一个非基向量。
注：一个LP有m个基向量， n－m个非基向量。
3.基变量,非基变量：与基向量pi相应的变量xi称基变量；与非基向量pj相应的变量xj称非基变量。
注：一个LP有m个基向量， n－m个非基向量。
4.基本解,基本可行解,基本最优解对于一个基B，令所有的非基变量为0，求得满足（2）式的解，称作一个基本解。
注：即求解一个m元的线性方程组，由线性代数知识得知，可得到唯一的一组解。
若求得的基本解又满足（3）式，则称此基本解为基本可行解。
若基本可行解又满足（1）式，即使得目标函数达到最优值，则又称此基本可行解为基本最优解。
5.可行基，最优基与基本可行解相对应的基称作可行基；与基本最优解相对应的基称作最优基。
注：基本可行解可行基例：求出下列LP问题的所有基本解，基本可行解，基本最优解。
MaxZ = 50 x1 + 100 x2x1 + x2 ≤ 3002 x1 + x2 ≤ 400s.t. x2 ≤ 250x1 , x2 ≥ 0标准化，得：MaxZ = 50 x1 + 100 x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5x1 + x2 + x3 = 3002 x1 + x2 + x4= 400s.t. x2 + x5= 250xj≥ 0(j=1～5)其中， 1 1 1 0 0 ,基有 -1=9个。
单纯形法的原理
单纯形法是一种线性规划的求解方法，其基本思想是在线性规划问题的可行域内，通过不断迭代，逐步找到最优解。
单纯形法的原理可以概括为以下几个步骤：1. 确定线性规划问题的可行域：对于一个线性规划问题，首先需要确定其可行域，即所有满足约束条件的解的集合。
可行域通常是一个凸多边形，也可以表示为一个凸锥。
2. 确定初始基：在单纯形法中，我们需要选取一个初始基，即一个初始的可行解，来开始迭代过程。
初始基可以是一个非基变量为零的点，也可以是通过某种启发式算法得到的一个初始可行解。
3. 判断最优解：在得到初始基之后，我们需要判断该基是否是最优解。
如果该基对应的目标函数值已经满足要求，则该基是最优解。
否则，我们需要找到一个非基变量，其对应的系数在约束条件下最小，来继续迭代。
4. 确定换入变量：在找到一个非基变量后，我们需要确定一个换入变量，即需要被替换掉的那个基变量。
通常情况下，我们选择当前基中对应的系数最小的非基变量作为换入变量。
5. 进行迭代：在确定了换入变量之后，我们需要进行迭代，将当前基中的某个基变量替换为非基变量，得到一个新的基。
具体来说，我们可以使用高斯消元法来计算新的基变量的系数，并更新当前基的矩阵表示。
6. 判断收敛：在完成一次迭代后，我们需要判断当前基是否已经收敛到最优解。
如果当前基已经满足精度要求，或者达到了一定的迭代次数上限，我们可以认为已经找到了最优解，停止迭代。
否则，我们需要回到步骤3，继续迭代过程。
单纯形法的原理比较简单，其核心思想是通过不断迭代，逐步逼近最优解。
该方法具有良好的数值稳定性和广泛的应用范围，是求解线性规划问题的一种常用方法之一。
需要注意的是，在实际应用中，单纯形法可能会面临一些问题，例如初始基的选择、系数矩阵的奇异性等问题，需要进行一定的处理和优化。
除了单纯形法外，还有许多其他的线性规划求解方法，例如内点法、外点法、椭球算法等。
这些方法各有优缺点和适用范围，可以根据具体问题的特点进行选择和组合使用。
最优化方法第二讲单纯形法
最优化方法第二讲单纯形法在运筹学中，最优化问题是指在一组约束条件下，寻找使目标函数取得最大（或最小）值的决策变量值。
而最优化方法是解决这类问题的一种有效手段。
单纯形法是最优化方法中的一种重要算法，它是由乔治·丹齐格于1947年提出的，用于求解线性规划问题。
单纯形法的基本思想是通过逐步移动到目标函数最优解的方法来解空间。
它通过对线性规划问题进行逐步转换和简化，从而将复杂问题简化为简单问题的序列，从而找到最优解。
单纯形法的步骤如下：1.制定线性规划模型：确定决策变量、目标函数和约束条件。
2.将约束条件转化为标准形式：将所有约束条件都转化为等式形式。
3.初始化：选择一组基本可行解作为初始解，并计算初始目标函数值。
如果所有的目标函数系数都是非负的，则找到了初始基本可行解。
4.迭代过程：根据当前基本可行解，计算对应的单纯形表。
5.判断最优性：如果单纯形表没有负值，则当前基本可行解是最优解；否则，找到表中最小的负值所在的列，作为入基变量。
6.选出基变量：根据入基列，选出出基行。
7.更新单纯形表：通过行变换和列变换更新单纯形表。
8.重复迭代：如果目标函数在迭代过程中得到改善，则继续迭代；否则，停止迭代，当前基本可行解即为最优解。
9.输出最优解：输出最优解的决策变量值。
单纯形法作为最优化问题的常用方法，具有以下优点：1.简单易实现：单纯形法的算法步骤简单明了，可以利用计算机编程实现。
2.可靠性高：经过数十年的实践与应用，单纯形法已被广泛接受与使用，并且在许多实际问题中取得了良好的结果。
3.理论基础深厚：单纯形法是基于矩阵运算和线性代数理论的，具有坚实的理论基础。
然而，由于单纯形法存在着多个局限性，使得它在一些问题中的效率和实用性有所受限。
1.算法复杂度高：单纯形法的迭代过程需要进行大量的行变换和列变换，当问题规模较大时，计算量会非常庞大，运算时间会大大增加。
2.进入和离开基变量选择问题：单纯形法需要选择进入和离开基变量，而一次迭代只能选择一个基变量，这会导致算法的迭代次数较多。
单纯形算法一般原理
单纯形算法的一般原理单纯形法的基本思路是有选择地取基本可行解，即是从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。
考虑到如下线性规划问题：其中Ａ一个m ×n 矩阵，且秩为m ，ｂ总可以被调整为一个m 维非负列向量，Ｃ为n 维行向量，Ｘ为n 维列向量。
根据线性规划基本定理：如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界，则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶点上达到。
这个重要的定理启发了Dantzig 的单纯形法，即将寻优的目标集中在D 的各个顶点上。
Dantzig 的单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解（即可行域顶点）中。
其基本思路是从一个初始的基本可行解出发，寻找一条达到 最优基本可行解的最佳途径。
单纯形法的一般步骤如下：（1）寻找一个初始的基本可行解。
（2）检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优，则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。
（3）移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解，然后转会到步骤（2）。
求解思想如下图所示：maxZ=CX AX=b X 0⎧⎨≥⎩确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基，一旦初始的可行基确定了，那么对应的初始基本可行解也就唯一确定为了讨论方便，不妨假设在标准型线性规划中，系数矩阵Ａ中前m 个系数列向量恰好构成一个可行基，即Ａ=（ＢＮ），其中Ｂ=（Ｐ1，Ｐ2，…Ｐm ）为基变量x1，x2，…xm 的系数列向量 构成的可行基，Ｎ=(Ｐm+1，Pm+2， …Pn)为非基变量xm+1，xm+2， …xn 的 系数列向量构成的矩阵。
那么约束方程AX=b 就可表示为：用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得：若令所有非基变量 ，则基变量由此可得初始的基本可行解B B N N X AX=(BN)=BX +NX =b X ⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1B N X =B b-B NX N X =0-1B X =B b 1B b X=0-⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1-1B N B N N B AX=b BX +NX =b X =B b-B NX X =0,X =B b →→→● 问题：➢ 要判断m 个系数列向量是否恰好构成一个基并不是一件容易的事。
第二章单纯形法
5
B
G
2 x1 3
C x1
x2 x2 x2
x3 x4 x5
10 8 7
f(x) = 3 6
4
x1 , x 2 , x 3 , x2 4 , x 5 0
3 最优解
2
:
x
K
1
2, 1
x2
6,
1 max f ( x ) 36 .
D
否 确定改善方向
求新的基础可行解
求最优解的目标函数值
1、初始基本可行解的确定
对目标函数为(MAX≤)形式的线性规划背景模型，通过标准化， 每一个约束方程引入一个松弛变量，松弛变量为基变量，其 他变量为非基变量，得到一个初始基本可行解。
n
max f (x) cj xj j 1
s.t.
1、可行解：满足约束条件 (2)和(3)的解称为可行解。 2、基及基变量：设矩阵A的秩为m（n≥m）,则A中任何一组m个 线性无关的列向量构成的子矩阵,称为该问题的一个基(basis), 基中的这些列向量对应的变量称为基变量(basic variable)
3、基本解：对于基,令非基变量为零,求得满足（2） 的唯一解，称为基对应的线性规划的基本解（basic solution）。 4、基本可行解：满足（3）的基本解称为基本可行解 （basic feasible solution）；基可行解的非零分
2、最优解检验（根据线性规划问题的典式）
max z c B B 1 b ( c N c B B 1 N ) x N
s .t
x
B
B
1 Nx
第2章 单纯形法
换基运算即对当前方程组进行一系列初等变换，其目的是：
将主列化成单位向量，以符合典式。 （1）将主元化为1。
用主元的倒数乘以主方程，得到新方程（a），称为源方程。
（2）载将主列中其余元素全部消去，都化为0.
欲消去主列中哪行非0元素，就用其相反数乘以源方程（a）后，再
（0） ① ② ③
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
1.转换规则——主元的确定
（2） 确定离基变量合主元的规则——最小比值规则
根据主列中ak中的一切正数aik＞0 i 1, 2, , m 按照式 bi bl =min |aik＞0 2 3b a a lk ik 确定最小比值，以及 对应的第l行（方程）为主行（主方程），主行中的原 基变量xr 就是离基变量，同时确定主列中的主行元素alk 为主元。
x3 6 -x1 0 x1 6 x4 8 0 x 18-2 x 0 x 18 2 1 1 5
2-1
故有：x1 min 6,18 2 =6 （2-2）
即有：x1 = min 6,18 2 =6 不能取x1 6 , 否则x3，x4，x5全都为正数，无一离基。所以式（2-2）只能取等式，
加给该非0元素所在行。反复这样，主列化成单位列向量。
15
山西大学经济与管理学院 范建平
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
范例的可行基变换
(1)由于主元为1，已经符合要求；
将主方程①填写入新方程组 Ⅱ Ⅰ 中，仍置于原行序①处，作为 源方程，表上记号（如打√）， 以备正确识别、援用。
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对于只有两个决策变量的线性规划问 题，可以在平面直角坐标系上作图表 我们在第三章所介绍的线性规划问题的计 示线性规划问题的有关概念，并求解 .
算机解法就是基于单纯形法编程来解决可 以含有上千个决策变量的及上千个约束条 由美国数学家丹捷格 件的复杂的线性规划问题。 (G.B.Dantzig)提出的，得到最
们之间的主要区别在于其所有变量的解是否满足非负的条件。
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
定理:
线性规划问题的基可行解 X 对应线性规划问题可行域
的顶点.
在这里，可行域的顶点已不再像图解法中那样直接可见
了。在单纯形法中的可行域的顶点叫做基可行解，第一 个找到的可行域的顶点叫做初始基可行解。
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
令这个基的非基变量 x1, s2 为零, 这时约束方程就变为基变量 即: 0 s1 300 1 1 1 0 0 0 300 s 2 1 0 1 0 400 1 s2 400 0 1 0 0 1 s2 s 250 250 s 3 3 求解,即可得到基变量的唯一一组解: s1=300 , s2=-400 , s3=250 加上非基变量: x1= 0, x2 = 0, 得到此线性规划的一个基解.
令这个基的非基变量 x1, s2 为零, 这时约束方程就变为基变量 即: 0 x2 s1 300 1 1 1 0 0 x2 300 s 2 1 0 1 0 400 x1=0, 1 x2 400 0 1 0 0 1 0 x s 250 250 x2=400 s 2 3 3 求解,即可得到基变量的唯一一组解: x2= 400 , s1= -100 , s3= -150 s1=-100 加上非基变量: x1= 0, s2 = 0, 得到此线性规划的一个基解.
的约束方程:
x1=0, x2=0, s1=300
s2=400
s3=250
x1=0, x2=0, s1=300 s2=400 s3=250
x1= 0, x2= 400, s1= -100, s2= 0, s3= -150, 均为基解
基可行解
不是基可行解
1 0 0 B2 0 1 0 0 0 1
基变量取0的值有 X x ,, x ,0,,0T ，称X为线性规划问 b 1 m 题的基解。
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划问题
m ax z
c
j 1
n
j
x j (i=1,…，m)
(Ｅ) (Ｆ) (Ｇ)
n a ij x j bi j 1 x 0 j
(j=1,…，n)
基可行解：
满足变量非负约束条件 ( G ) 的基解称为基可行解。
可行基： 对应于基可行解的基称为可行基。
矩阵方程 AX = b 1 1 1 0
2 1 0 1 0 1 0 0
1 B3 1 1
我们找到A 的一个基:
x1 0 x2 300 0 s1 400 1 s2 250 s 3 1 0 0 0 0 1
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
基解： 在约束方程组（E）中，令所有的非基变量：
xm1 xm2 xn 0
又因为有
B 0 ，根据克莱姆法则，由m个约束方程可以解
出m个基变量的唯一解 X b x1 ,, xm T 。将这个解加上非
基变量取0的值有 X x ,, x ,0,,0T ，称X为线性规划问 b 1 m 题的基解。
a11 a1m B P , , P 1 m am1 amm
Ｂ中的每一个列向量Ｐj（j＝１，…，m）称为基向量，与基向 量Ｐj对应的变量xj称为基变量。线性规划中除了基变量以外的变 量称为非基变量。
1 1 1 0 0 A ( p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ) 2 1 0 1 0 . 0 1 0 0 1
最优解：
(j=1,…，n)
使目标函数（Ｅ）达到最大值的可行解称为最优解．
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
基： 设Ａ为约束方程组（Ｆ）的m×n阶系数矩阵，（设n＞m）， 其秩为m，Ｂ是矩阵Ａ中的一个m×m的满秩子矩阵，称Ｂ 是线性规划问题的一个基．不失一般性，设
a11 a1m B P , , P 1 m am1 amm
矩阵方程 AX = b
1 1 1 0 2 1 0 1 0 1 0 0
1 B3 1 1
我们找到A 的一个基:
x1 0 x2 300 0 s1 400 1 s2 250 s 3 1 0 0 0 0 1
的约束方程:
s2=0
s3=-150
矩阵方程 AX = b
1 1 1 0 2 1 0 1 0 1 0 0
1 B2 0 0
我们找到A 的一个基:
x1 0 x2 300 0 s1 400 1 s2 250 s 3 0 0 1 0 0 1=1,…，n)
X x1 ,, xn
T
，
称为线性规划问题的可行解．全部可行解的集合称为可行域．
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划问题
m ax z
c
j 1
n
j
x j (i=1,…，m)
(Ｅ) (Ｆ) (Ｇ)
n a ij x j bi j 1 x 0 j
Ｂ中的每一个列向量Ｐj（j＝１，…，m）称为基向量，与基向 量Ｐj对应的变量xj称为基变量。线性规划中除了基变量以外的变 量称为非基变量。
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
标准形式为: 目标函数：max z = 50x1+100x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1 + x2 +s1 = 300 2x1 + x2 +s 2 = 400 x2 +s3 = 250 x1, x2, s1, s2, s3≥0。 这是由三个五元线性方程组成的方程组，它的系数矩阵为:
0 p5 0 . 1
是线性独立的,这些向量构成一个基
1 0 0 这是由三个五元线性方程组成的方程组，它的系数矩阵为 : B p3 , p4 , p5 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1
应的变量s1, s2, s3是基变量。除了基变量以外的变量 x1, x2是非基变量。
可行基
1 1 0 B3 1 0 0 1 0 1
不是可行基
均为基
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
由于在这个基解中s1＝－100，s3＝－150，不满足该线 性规划最后一个变量非负的约束条件，显然不是此线性规划
的可行解，一个基解可以是可行解，也可以是非可行解，它
广泛应用的线性规划的代数算法
－－单纯形法，这恐怕是在运筹
学发展史上最辉煌的一笔。
第五章 单纯形法
5.1 单纯形法的基本思路和原理
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划问题
m ax z
c
j 1
n
j
x j (i=1,…，m)
(Ｅ) (Ｆ) (Ｇ)
n a ij x j bi j 1 x 0 j
A ( p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ) 2 1 0 1 0 . Ｂ中的每一个列向量p3, p4, p5 是基向量，与其对 0 1 0 0 1
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
基： 设Ａ为约束方程组（Ｆ）的m×n阶系数矩阵，（设n＞m）， 其秩为m，Ｂ是矩阵Ａ中的一个m×m的满秩子矩阵，称Ｂ 是线性规划问题的一个基．不失一般性，设
令这个基的非基变量 x1, x2 为零, 这时约束方程就变为基变量 即: 0 x2 s1 300 1 1 1 0 0 x2 300 s 2 1 0 1 0 400 1 x2 400 0 1 0 0 1 0 x s 250 250 s 2 3 3 求解,即可得到基变量的唯一一组解: x2= 400 , s1= -100 , s3= -150 加上非基变量: x1= 0, s2 = 0, 得到此线性规划的一个基解.
的约束方程:
x1= 0, x2= 400, s1= -100, s2= 0, s3= -150,
矩阵方程 AX = b
1 1 1 0 2 1 0 1 0 1 0 0
1 B2 0 0
我们找到A 的一个基:
x1 0 x2 300 0 s1 400 1 s2 250 s 3 0 0 1 0 0 1
例：找出下述线性规划问题的全部基解，指出其中 的基可行解，并确定最优解：
max
z = 2 x1 + 3 x2 + x3 x1 + x3 = 5 x1 +2x2 +x4 =10 x2 +x5=4 x1-5 ≥ 0
1 1 1 0 0 A ( p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ) 2 1 0 1 0 . 0 1 0 0 1
§5.1 单纯形法的基本思路和原理
可以看到 s1, s2, s3的系数列向量
1 p3 0 . 0
0 p4 1 . 0