3单纯形法基本概念与原理

)
XB = (X1 … Xm )T XN=( Xm+1 … Xn )T
例1、
X1+2X2 +X3 =30
3X1+2X2 +X4 =60
2X2
+X5=24
X1 … X5 0
12100
A= 3 2 0 1 0
02001
P1 P2 P3 P4 P5
4．基本解——对应于基B，
X
X X
B N
B 1b 0
为 AX=b 的一个解。
• 基（ p2,p3,p4 ），令非基变量x1, x5=0，则基变量 x2=30, x3=240, x4=50,可行解（P17图）
解的集合：
非可 可行 行解
解
解的集合：
可基最
基
行 解
本 可 行
优 解
本 解
解
可
基
行
本
解
解
基本可行解个数有限，当约束条件为m个，n 个变量时，基本可行解个数不超过:
n! Cnm = m!(n-m)!
II. 单纯形法的基本步骤
Max Z=CX
AX =b
X0
1. 初始可行基（基本可行解）的确定. ① AX b，若A中有单位矩阵I，直接取初始 可行基 B0 ．I ② A中不含有有单位矩阵I，用人工变量确定 B0 ．
单纯形法的基本步骤
2.
检验：已知B0可行基，
可行解
X X
B N
B 1b ，
0
判断基本
P1 9 A= 4 3
P2 P3 41 50 10 0
P4 P5 00 10 01
例题6 基可行解说明
• 基(p3,p4,p5) ，令非基变量x1,x2=0，则基变量x3=360, x4=200, x5=300, 可行解
• 基（p2,p4,p5）,令非基变量x1=0, x3=0基变量 x2=90,x4=－250,x5=－600. 非可行解
单纯形法（Simplex Method）
• 线性规划模型的标准型
• 基本概念与基本定理 • 单纯形法的基本思想
线性规划模型的标准型
(一)、一般型 Max Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn =b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn =b2
…………
(m< n)
基本定理
• 定理1：线性规划问题的可行解域一定 是凸集。目标函数在凸集的顶点处达 到最优．
• 定理2:
可行域顶点
基本可行解
单纯形法（Simplex Method)
I. 单纯形法 的基本思想Fra Baidu bibliotek—迭代法
初始可行基B0 XB0= B0-1b，XN=0
检验是否最优？
Y
停
N
确定新的可行基B， XB比原来好。
C=(C1 C2 …Cn )
… …
Xn
bm
基本概念与基本定理
Max Z=CX
AX =b
X0
1．可行解
X 满足
AX b X 0
2．最优解 X＊ 满足 CX * CX
３．基（基阵）
a11 … a1m a1m+1 … a1n a21 … a2m a2m+1 … a2n
A=
………… …………… am1 … amm amm+1 … amn P1 … Pm Pm+1 … Pn
B
N
(m< n) r(A)=m , 至少有一个m阶子式不为0
定义：基(基阵) ——A中一个子矩阵B是可逆矩 阵，则方阵B称为LP问题的一个基。
…
A= (P1 … Pm Pm+1 … Pn )=(B N) 基向量 非基向量
X= (X1 … Xm 基变量
…
Xm+1 … Xn )T= 非基变量
(XB XN
５．基本可行解——满足 B1b 0 的基本解，
X
B
B 1b
0
X N 0
基B---可行基
例题6 基可行解说明
max Z=70X1+120X2
9X1+4X2+X3=360
4X1+5X2 +X4=200
3X1+10X2+X5 =300
Xj≥0 j=1,2,…,5
m
这里m=3,n=5。 C n=10
X (X B , X N )T 是否最优．
—通过目标函数表达式 其中： j c j CB B1Pj
Z CX CB B1b j x j
j
检验数
jIN
若所有 j 0 ，则目前解为最优解。
单纯形法的基本步骤
3. 若 j ，0寻找更好的基
进基变量 出基变. 量
取 max j = m+k
am1X1+ am2X2+…+ amnXn =bm Xj 0(j=1,2,…,n) 其中 bi 0 (i=1,2,…,m)
(二)、矩阵型
Max Z=CX AX=b X 0
X1 X= X2
其中 A=
b1 b= b2
P1 P2 ……… Pn a11 a12 ……… a1n a21 a22 ……… a2n ………………… am1 am2 ………amn
Xm+k 进基变量
由最小θ比值法求：
min
bi ai mk
ai mk 0
br ar mk
Xr为出基变量
单纯形法的基本步骤
4. 以 ar mk 为主元，换基迭代。 5. 这样，不断迭代，直至检验数 j 0，找到最优解。