八年级数学分式方程的应用1
冀教版八年级数学上册12.5《分式方程的应用》课件
12.5 分式方程的应用
第1课时 工程问题和行程问题
学习目标
1.经历用分式方程解决实际问题的过程，通过解决 实际问题，体会恰当地把握不同形式的等量关系。 2.通过解决实际问题，增强学生的应用意识，发展 学生分析问题、解决问题的能力。
回顾复习
思考：1.回忆路程问题有几个量？它们之间的关系是什么？ 3个量 路程、时间、速度 路程＝时间×速度； 速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度.
探究新知
解：设每件服装原价为x元，根据题意，得 ： 10 08050%＋x1900－ 10 x000＝20.
解得x＝200.经检验， x＝200是原分式方程的解. 答：每件服装的原价为200元.
探究新知
学生活动二 【新课探究】 今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年后父亲题中有哪些等量关系？
①今年父亲的年龄＝今年儿子的年龄×3 ②5年后父亲的年龄∶5年后儿子的年龄＝22∶9
探究新知
解：设今年儿子的年龄是x岁，则父亲的年龄是3x岁， 根据题意，得
3xx＋＋55＝
22 9
解得 x＝13,3x＝39.
检验：x＝13是原分式方程的根.
答：父亲今年的年龄是39岁，儿子今年的年龄是13岁.
巩固练习
答：第一批和第二批的进价分别为48元、68元..
回顾反思
1.用分式方程解决利润问题； 2.利润＝售价-进价，利润率＝进利价润 ×100%.
当堂训练
1.开学初，某文化用品商店降价促销，全场8折，用60元购 买规格相同的签字笔，折价后买到的数量刚好比按原价买到 的数量多3支.原来每支签字笔多少元？
当堂训练
x−1 x＋1
=
24 25
，
八年级数学上册 分式方程及其应用(习题及答案)(人教版)
分式方程及其应用（习题）例题示范例1：解分式方程：11322x x x-=---． 【过程书写】 1(1)3(2)1136242x x x x x x =----=-+-+==解： 检验：把x =2代入原方程，不成立∴x =2是原分式方程的增根∴原分式方程无解例2：八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km ．一部分学生乘慢车先行，出发0.5h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度.【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】解：设慢车的速度为x km/h ，则快车的速度为1.2x km/h ，由题意得，1201200.51.2x x =- 解得，x =40经检验：x =40是原方程的解，且符合题意答：慢车的速度是40km/h ．巩固练习1. 下列关于x 的方程，其中不属于分式方程的是（ ）A ．1a b a x a ++=B ．xa b x b a +=-11 C ．b x a a x 1-=+ D ．1=-+++-nx m x m x n x2. 解分式方程2236111x x x +=+--分以下四步，其中错误的一步是（ ） A ．方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x -+B ．方程两边都乘以(1)(1)x x -+，得整式方程2(1)3(1)6x x -++=C ．解这个整式方程，得1x =D ．原方程的解为1x =3. 张老师和李老师同时从学校出发，骑行15千米去县城购买书籍．已知张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，则两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意可列方程为（ ）A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+ C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=-4. 若方程61(1)(1)1m x x x -=+--有增根，则m =_________．5. 如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，那么增根是___________．6. 解分式方程：（1）43(1)1x x x x +=--；（2）22(1)23422x x x x +=+--+；（3）23112x x x x -=+--；（4）11222x x x-=---．7. 某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800件投入市场．已知该服装厂有A ，B 两个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B 车间的1.2倍．A ，B 两车间共同完成一半的生产任务后，A 车间因出现故障而停产，剩下的全部由B 车间单独完成，结果前后共用了20天完成全部生产任务．则A ，B 两车间每天分别能加工多少件该款夏装？ 【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】8.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但是单价贵了4元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】【参考答案】 巩固练习1. C2. D3. B4. 35.x=36.（1）x=2（2）43 x（3）无解（4）无解7.A车间每天能加工384件该款夏装B车间每天能加工320件该款夏装8.商厦共盈利90 260元。
冀教版数学八上125《分式方程的应用》ppt课件1
2. 找:找到能够表示应用题全部含义的一个相等关系 3.列:根据数量和相等关系,正确列出分式方程. 4.解:认真仔细解这个分式方程. 5.验:检验.（是否是分式方程的根， 是否符合题意） 6.答:注意单位和语言完整.
例题分析:
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施 工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队， 两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.
解：设大汽车的速度为2x千米/时，则小汽车的速度为5x千米/时， 依题意得：
135 2x
4.5
=
135 5x
请完成下面的过程
大：18千米/时 小：45千米/时
甲乙两人分别从相距36千米的A、B两地相向而行，
甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，
取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点
等量关系：甲用时间=乙用时间 解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（ x －6）个零件, 根据题意，得
90 60 x x6
请审题分析题意 设元
90x 6 60x
解这个方程，得
x 18
经检验，X=18是原分式方程的根,且符合题意。 由x＝18得x－6=12
答：甲每小时做18个，乙每小时12个
列分式方程解应用题的一般步骤
度快.
3
练： 一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰 好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由 甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定 日期内完成， 问规定日期是几天？
解:设规定日期为x天，根据题意列方程
2 x 1. x x3 请完成下面的过程
练习：八年级学生到距校10千米的博物馆参观，一部分人骑自行 车先走，过了20分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已 知汽车的速度是自行车的2倍，求两车的速度。
八年级数学分式方程
工程优化问题
通过设定工程目标函数和 约束条件，建立分式方程 求解最优方案或最大效益。
行程问题
相遇问题
根据两物体相对运动的速 度、时间和距离，建立分 式方程求解相遇时间或相 对速度。
追及问题
根据两物体同向运动的速 度、时间和距离，建立分 式方程求解追及时间或速 度差。
航行问题
根据船在静水和流水中的 速度、时间和距离，建立 分式方程求解船速、水速 或航行时间。
预测未来情况
通过建立分式方程模型并求解，可以预测未来某些情况的 发生或变化趋势，为决策提供依据。
实际问题中分式方程解的意义
1 2
解释现象
通过求解分式方程得到的解可以解释实际问题的 现象或结果，如相遇时间、工作效率等。
指导实践
根据分式方程的解可以指导实践操作或决策制定， 如合理安排工作时间、选择最佳方案等。
利用高次方程的判别式，判断方程的根的情况，从而求解方程。
多元分式方程组解法
消元法
通过消去一个或多个未知数，将多元分式方程组转化为一元或低 元方程求解。
代入法
将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解出所有未知数的值。
整体法
将方程组中的某些项看作一个整体，通过整体代入或整体消元的 方法求解方程组。
分式方程与函数关系探讨
分式函数定义域与值域
分析分式函数的定义域和值域，理解函数的基本性质。
分式函数图像与性质
通过绘制分式函数的图像，探讨函数的单调性、奇偶性等性质。
分式方程与函数零点
利用分式方程的解，确定分式函数的零点，进一步分析函数的性质。
分式方程在数学竞赛中应用
复杂分式方程求解
在数学竞赛中，常常遇到复杂的分式方程，需要灵活运用各种方法求解。
北师大版数学八年级下册《分式方程的应用》教案
北师大版数学八年级下册《分式方程的应用》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册《分式方程的应用》这一章节主要让学生掌握分式方程的解法及其应用。
在此之前，学生已经学习了分式的基本概念、性质和运算，为本节课的学习打下了基础。
本节课的内容分为两个部分：一是分式方程的解法，二是分式方程在实际问题中的应用。
通过学习，学生能够掌握解分式方程的方法，并能够将分式方程应用于解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对分式的概念和性质有一定的了解。
但是，学生在解分式方程方面可能还存在一定的困难，特别是对于如何正确地去分母、化简方程等方面。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和解答。
三. 教学目标1.理解分式方程的概念，掌握解分式方程的方法。
2.能够将分式方程应用于解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.掌握解分式方程的方法，特别是如何正确地去分母、化简方程。
2.将分式方程应用于实际问题，提高解决问题的能力。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究分式方程的解法。
2.通过小组合作，让学生在讨论中解决问题，提高团队合作能力。
3.利用多媒体辅助教学，直观地展示分式方程的解法过程。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教案。
2.准备一些实际问题，用于引导学生应用分式方程解决问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决这些问题。
从而引出本节课的主题——分式方程的应用。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示例，向学生介绍分式方程的概念和解法。
讲解过程中，重点强调如何去分母、化简方程。
同时，让学生跟随教师一起动手解题，加深对解题方法的理解。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同解决一些分式方程问题。
教师在旁边进行指导，解答学生的疑问。
此环节旨在让学生在实际操作中掌握解分式方程的方法。
八年级数学分式方程的应用1
[单选]丙烯塔压力正常，丙烯质量不合格，下列哪项是正确的（）。A、提高塔底蒸汽量B、提高回流量C、降低脱丙烷塔塔压D、提高脱丙烷塔塔底温度 [单选]企业在办理出口退（免）税资格认定时，按照规定报送有关材料后，税务机关和对资料是否齐全、是否符合法定形式，对于符合条件的（）。A、当场受理，并在1个工作日内转下一环节，由税务管理部门进行调查核实B、当场受理，并在1个工作日内将相关资料信息转下一环节按规定程序审 [填空题]酒曲又称（），是用谷物制成的发酵剂、（）或（）。 [问答题,案例分析题]患者女性，25岁，左臂被玻璃划伤2h来急诊。查体发现左前臂伸侧一长约4cm伤口，周围有少许油污。在清创室，麻醉师已经进行左臂丛神经麻醉，现请你实施清创和缝合伤口。 [单选,B型题]高度分化性甲状腺癌最有效的治疗药物是（）A.己烯雌酚B.丙酸睾酮C.甲氨蝶呤D.白消安E.放射性碘131I [单选]多媒体技术的应用非常广泛，其中VOD是指（）。A.视频会议B.虚拟现实C.视频点播D.信息检索 [单选,A2型题,A1/A2型题]测定血清酶活性常用的方法是（）。A.分离提纯酶蛋白，称取重量核算酶活性B.测定酶蛋白在280nm处紫外吸收值，计算酶活性C.测定最适条件下完成酶促反应所需的时间D.测定最适条件下一定量的血清中的酶单位时间催化底物减少或产物增加量E.测定酶蛋白在260nm处 [单选]下列骨折最容易发生骨筋膜室综合征的是（）A.锁骨骨折B.肱骨干骨折C.桡骨远端骨折D.肱骨髁上伸直型骨折E.尺骨上1/3骨折 [单选]能平肝潜阳，重镇降逆，凉血止血的药物是（）A.赭石B.蒺藜C.珍珠母D.石决明E.牡蛎 [单选]对于钢筋混凝土用砂，其氯离子含量不得大于（）。A.0.02%B.0.06%C.0.08% [单选]关于阴道壁，下述哪项是错误的？（）A.阴道黏膜为复层鳞状上皮B.阴道壁富有静脉丛，局部损伤易形成血肿C.阴道黏膜受卵巢激素的影响有周期性变化D.阴道上皮富有腺体，故妇女常有白带多的症状E.阴道有很多横纹皱襞，外覆有弹力纤维，故有很大的伸展力 [问答题,简答题]主变中性点保护间隙的作用？ [单选]甲与乙因买卖合同履行问题发生争议，根据事先约定申请仲裁。甲若想申请证据保全，应该如何处理？（）A.由甲向证据所在地的中级人民法院申请B.I由甲向证据所在地的基层人民法院申请C.由甲向仲裁机构所在地的中级人民法院申请D.由仲裁庭向证据所在地的基层人民法院申请 [单选]一患者呼吸表现为有规律的呼吸几次后，突然停止一段时间，又开始呼吸，周而复始，这种呼吸节律称为（）A.Cheyne-Stokes呼吸B.叹息样呼吸C.Kussmaul呼吸D.Blots呼吸E.抑制性呼吸 [单选,A1型题]有关消毒的描述，正确的是（）A.消毒是针对有确定传染源存在的场所进行的B.对传染病死亡患者的尸体按规定的处理也属消毒C.对传染病住院患者污染过的物品可待其出院后集中消毒D.对有病原体携带者（没有发病）存在的场所可以不消毒E.饭前便后的洗手不属消毒的范畴 [单选]关于发育性髋关节脱位的说法，正确的是（）A.治疗时间对预后无影响B.治疗越早，效果越佳C.病理改变对治疗效果影响不大D.早期诊断不明，可以半年后再复查E.患儿呈醉酒步态 [单选]某市百货商场销售额2007年与2006年相比为150%，同期价格水平下降6%，则该商场销售量指数为()。A.133%B.159.57%C.121%D.118% [单选]发生液漏时，只要增加上升气量，适当（）氧气取出量，保持上升气流的正常流速，液漏即可消除。A、减少B、不变C、增加 [填空题]压力变送器是利用霍尔疚把压力作用下的弹性元件位移信号转换成（）信号，来反应压力的变化 [单选,A2型题,A1/A2型题]当毛细血管血液的还原血红蛋白超过下列哪项数值时，皮肤黏膜即可出现发绀（）。A.100g/LB.80g/LC.60g/LD.50g/LE.40g/L [单选]斯坎伦奖励计划是一种成本节省奖励计划，主要是针对（）的节省。A.原料成本B.劳动力成本C.服务成本D.总成本 [单选,A2型题,A1/A2型题]致溶血现象的抗血细胞抗体检测主要用于何种类型超敏反应的检测（）。A.Ⅰ型B.Ⅱ型C.Ⅲ型D.Ⅳ型E.Ⅴ型 [单选]为防止脚手架的内倒外倾，加强立杆的纵向刚度必须规定设置（）。A、十字撑B、扫地杆C、联墙体D、斜撑 [单选,A1型题]儿童脑发育速度开始减慢、脑的大小达到成人的80%的年龄期是（）A.新生儿期B.婴儿期C.幼儿期D.学龄前期E.学龄期 [单选]行政合理性原则产生的主要原因在于（）。A.行政违法行为的存在B.行政自由裁量权的存在C.公务员政治、业务素质的差异D.行政管理事项的复杂性、易变性 [单选]肺结核的分期包括（）A.肺结核不分期B.进展期、好转期、稳定期、痊愈期C.进展期和好转期D.急性发作期和缓解期E.进展期、好转期和稳定期 [单选]预注给药剂量一般为插管剂量的（）A.1/2B.1/3～1/4C.1/5～1/10D.1/15E.1/20 [名词解释]动物性极 [单选]避免放射性肺炎发生的重要措施是()A．大剂量博来霉素B．一般不用抗生素C．大剂量联合化疗D．防止癌细胞扩散，不用激素E．大面积照射时，放射剂量应控制在40GY以下 [单选]下列不属于原发性脑损伤者为（）A.脑震荡B.脑挫伤C.原发性脑干损伤D.脑裂伤E.脑内血肿 [单选]如何接通飞行指引仪：（）A、按下FCU上的FD按钮B、系统通电时自动接通C、在FCU上选择一个模式D、在MCDU上选择初始化页 [填空题]（）是波音公司在20世纪50年代研制的四发喷气式民航客机，是世界上第一型在商业上取得成功的喷气式民航客机。 [单选]下列（）票据应直接打码。A、商业承兑汇票B、退票专用凭证C、代收（付）款项报数单D、银行汇票 [单选]关于鼻咽纤维血管瘤下列说法不相符的是()A．好发于10～25岁的男性青年B．肿瘤具有向邻近组织扩张能力C．肿瘤起源于枕骨底部、蝶骨体及翼突内侧的骨膜D．DSA及血管栓塞可减少术中出血E．活检确诊后手术切除 [名词解释]共振吸声结构 [单选]计算理论责任准备金的方法包括过去法、（）。A.未来法B.一般修正法C.定期修正法D.常数及比例法 [单选]下列各项中，属于企业现金流量表“经营活动产生的现金流量”的是()。A.收到的现金股利B.支付的银行借款利息C.收到的处置价款D.支付的经营租赁租金 [判断题]《反洗钱法》所称反洗钱，是指为了预防通过各种方式掩饰、隐瞒毒品犯罪、黑社会性质的组织犯罪、恐怖活动犯罪、走私犯罪、贪污贿赂犯罪、破坏金融管理秩序犯罪、金融诈骗犯罪等犯罪所得及其收益的来源和性质的洗钱活动，依照本法规定采取相关措施的行为。A.正确B.错误 [单选,A2型题,A1/A2型题]常规的下肢假肢使用训练不包括（）A.穿脱训练B.起坐和站立训练C.摔倒训练D.平衡训练E.步行训练 [单选,A2型题,A1/A2型题]冷凝集试验正常参考值是（）A.<1：20B.<1：40C.<1：80D.<1：160E.<1：320
第十五章 分式 分式方程的应用(1)—工程问题 同步练习 2022-2023人教版数学八年级上册
第13课 分式方程的应用(1)——工程问题一、知识储备工程问题：=.（ ）工作时间（ ）列分式方程解应用题的步骤：①设未知数；②列方程；③解方程；④______________；⑤作答.二、新课学习1.某化肥厂由于采取了新技术，每天比原计划多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么该化肥厂原计划每天生产化肥多少吨？2.小王做90个零件所需要的时间与小李做120个零件所用的时间相同，又知每小时小王与小李两个人共做35个机器零件.求小王、小李每小时各做多少个零件？3.某文具厂计划加工3000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量.4.某年，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务，间原计划每天修水渠多少米？5.张家界市为了治理城市污水污染，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量是原计划的1.2倍，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？6.某服装厂准备加工380套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高10%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？7.某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现甲礼品的单价比乙礼品多40元，并且花费600元.购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等，求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？8.某工厂计划生产120件零件，由于采用新技术，每天比原计划多生产3件，因此提前2天完成计划，设原计划每天生产x件零件，则可列方程为（）A.12012023x x-=-B.12012023x x-=-C.12012023x x-=+D.12012023x x-=+9.开学初，某文化用品商店减价促销，全场8折.用60元购买规格相同的签字笔，折价后买到的数量刚好比按原价买到的数量多3支原来每支签字笔的价格是多少元？10.一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台机器收割10hm2小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用1h，这台收割机每小时收割多少公顷小麦？11.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独做需要3个月完成，当甲队单独施工1个月后，乙队加入共同施工，又工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工需要多少个月能完成全部工程？12.某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800件投入市场，服装厂有A，B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍，A，B两车间共同完成一半后，A车间出现故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用20天完成A，B两车间每天分别能加工多少件？第13课 分式方程的应用（1）——工程问题1.解：设原计划每天生产化肥x 吨.依题意，得1801203x x=+，解得6x = 经检验，6x =是方程的解.所以原计划每天生产化肥6吨. 2.解：设小王每小时做零件x 个，小李每小时做零件()35x -个.依题意，列方程9012035x x=-，解得15x =. 经检验，15x =是方程的解.所以小王每小时做零件15个，小李每小时做零件20个.3.解：设原计划每天加工这种画图工具x 套.依题意，列方程3000300041.2x x -=，解得125x =.经检验，125x =是方程的解.所以原计划每天加工这种画图工具125套.4.解：设原计划每天修水渠x 米.依题意36003600201.8x x⋅=，解得80x =. 经检验，80x =是方程的解，所以原计划每天修水渠80米.5.解：设原计划每天铺设管道x 米.依题意，有120300120271.2x x-+=，解得10x =， 经检验，10x =是方程的解，所以原计划每天铺设管道10米.6.解：设计划每天加工服装x 套.依题意，有16038016018(110%)x x -+=+，解得20x =， 经检验，20x =是方程的解，所以计划每天加工服装20套.7.解：设甲礼品单价为x 元，则之礼品单价为()40x -元.依题意，有60036040x x =-，解得 100x =，经检验， 100x =是方程的解，所以甲礼品单价为100元，乙礼品单价为60元.8.C9.解：设原来每支签字笔的价格是x 元.依题意，有606030.8x x-=，解得5x =， 经检验，5x =是方程的解，所以原来每支签字笔的价格是5元.10.解：设这台收割机每小时收割x 公顷小麦，依题意有，10010101150x x÷-=，解得5x =， 经检验，5x =是方程的解，所以这台收割机每小时收割5公顷小麦.11.解：设乙队单独施工需要x 个月能完成全部工程.依题意，有111111332x ⎛⎫⨯++⨯= ⎪⎝⎭，解得1x =.经检验，1x =是方程的解，所以乙队单独施工需要1个月能完成全部工程.12.解：设B 车间每天能加工x 件，则A 车间每天加工的数量是1.2x 件.依题意，44004400201.2x x x+=+，解得320x =， 经检验，320x =是方程的解，所以A 车间每天能加工384件，B 车间每天能加工320件。
最新人教版八年级上册数学第十五章分式第59课时分式方程的应用(1)——工程问题
典型例题
知识点1
“t1=t2”型
【例1】甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用
的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两
人每天共加工35个玩具，求甲每天加工的玩具数.
解：设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工
（35-x）个玩具.
由题意，得
解得x=15.经检验，x=15是原分式方程的解，且符合题意.
作10天完成了剩余的工程，乙工程队单独完成这项工程需
要几天？
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解：甲工程队单独完成这项工程需要10÷ =40（天），设乙
工程队单独完成这项工程需要x天.
依题意,得
×10=1－ .
解得x=20.
经检验，x=20是原分式方程的解，且符合题意.
答：乙工程队单独完成这项工程需要20天.
返回目录
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A组
4. 已知甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，
两人每天共做140个零件，设甲每天做x个零件，根据题意，
可列方程为
（ A ）
返回目录
5. 甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，
甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每
小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方
原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1 h，求采用
新工艺前每小时加工的零件数.
解：设采用新工艺前每小时加工x个零件.
根据题意,可得
解得x=4.经检验，x=4是原分式方程的解.答：采用新工艺前
每小时加工4个零件.
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变式训练
2. 某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组的工作效
【冀教版】八年级数学上册：12.5《分式方程的应用(第1课时)》ppt课件
为 s 50 h.
xv
根据行驶时间的等量关系,得
s x
sx5v0.
方程两边乘x(x+v),得s(x+v)=x(s+50).
解得 x sv . 50
检验:由v,s都是正数,得
x
sv 50
时,
x(x+v)≠0.
所以原分式方程的解为 x sv . 50
答:提速前列车的平均速度为 sv km/h. 50
3 6 2x
例3 某列车平均提速v km/h,用相同的时间,列 车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km, 提速前列车的平均速度为多少?
解:设提速前该列车的平均速度为x km/h,则提速前它
行驶s km所用时间为 s h;提速后列车的平均速度为 x
(x+v)km/h,提速后它运行(s+50)km所用时间
课堂小结
列分式方程解应用题按下列步骤进行: (1)审题,了解已知量与所求各量所表示的意 义,弄清它们之间的数量关系; (2)设未知数; (3)找出能够表示题中全部含义的相等关系, 列出分式方程; (4)解这个分式方程; (5)验根,检验是不是增根; (6)写出答案.
检测反馈
1.(2015·本溪中考) 为迎接“六一”儿童节,某儿童品 牌玩具专卖店购进了A,B两类玩具,其中A类玩具的进价 比B类玩具的进价每个多3元,经调查:用900元购进A类 玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同.设A类 玩具的进价为m元/个,根据题意可列分式方程为( C )
[知识拓展]
列方程解应用题时,设未知数很重 要,分直接设未知数和间接设未知数两 种,有时设一个未知数不好表示相等关 系,还可设多个未知数,即设辅助未知数. 一般情况下,一道题中有几个未知数,就 列几个方程进行求解.
八年级数学《分式方程的应用》课件
速度（千米/小时） 时间（小时） 路程（千米）
顺水
X+2
逆水
X-2
80
x2
80
80
x2
80
根据题意得：顺水比逆水快一个小时到达。
80 X-2
－
80
X+2
=
1
一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达。 已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求 轮船在静水中的速度。
华东师大版八(下)第17章分式
17.3第三课时 分式方程的应用
例题1：
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单施工
1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，
两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪
个的施工队速度快？
1
分析：甲队1个月完成总工程的 3 ，设乙队
如果单独施工1个月能完成总工程的
1
1 x
原售价=现售价
设这种配件每只的成本降低了x元, 根据现利率 原利率15%
21 25% 2 x 25% 15%
2x
经检验，.x=
3
是原方程的根
x 3 14
14
答这种配件每只的成本降低了
3 元。
14
利率 售价 成本 成本
工厂生产一种电子配件,每只成本为2元,利率为25%. 后来通过工艺改进,降低成本,在售价不变的情况下, 利率增加了15%.问这种配件每只的成本降低了多少?
由以上可知，若乙队单独工作一个月可以完成全部任务， 对比甲队1个月完成任务的 1 ，可知乙队施工速度快。
3
答：乙队的速度快。
练习：某工程队需要在规定日期内完成。若甲队单独做 正好按时完成；若乙队单独做，超过规定日期三天 才能完成。现由甲、乙合作两天，余下工程由乙队 单独做，恰好按期完成，问规定日期是多少天？
八年级数学下册《分式方程的应用》优秀教学案例
一、案例背景
《分式方程的应用》是八年级数学下册的重点章节，它既是对之前所学一元一次方程、不等式的延续，又是为后续学习更复杂数学问题打下基础的关键部分。在教学过程中，我们发现学生往往能够掌握分式方程的基本解法，但在实际问题中的应用能力却相对较弱。本教学案例旨在通过实际情境引入、问题驱动的教学方法，提高学生对分式方程应用的解决能力，培养其数学思维和解决实际问题的能力。案例以贴近生活的实际问题为载体，引导学生从问题中发现分式方程的模型，进而运用数学知识分析和解决，实现数学学科的工具价值。通过小组合作、讨论交流，鼓励学生主动探究，激发其学习兴趣，促进个体全面发展。
4.反思与评价的多元设计
本案例注重学生的反思与评价，设计了多种形式的反思与评价活动。这样的设计有助于学生总结经验、发现问题，不断提高自己的数学应用能力。同时，多元化的评价方式能够全面、客观地反映学生的学习过程和成果，有助于激发学生的学习兴趣，提高其自信心。
5.教学内容的层次性与梯度性
本案例在教学内容的设计上具有明显的层次性和梯度性。从导入新课、讲授新知，到学生小组讨论、总结归纳，再到作业小结，每一个环节都充分考虑了学生的认知发展水平和学习需求。这样的设计有助于学生逐步掌握分式方程的知识，提高数学应用能力，同时培养了学生的逻辑思维和数学素养。
三、教学策略
（一）情景创设
在本章节的教学中，我将充分利用情景创设法，将学生引入到真实的数学应用场景中。通过设计富有生活气息的问题情境，让学生感受到数学知识的实用性和趣味性。例如，我可以设置一个关于“分配工作”的问题：某工厂有两个车间，一个车间生产效率是另一个车间的1.5倍，如果两个车间合作完成2400个零件，问每个车间各应完成多少个零件？这样的问题情境既能够激发学生的好奇心，又能够引导学生从实际问题中抽象出分式方程模型，为接下来的问题解决奠定基础。
八年级上册数学分式方程应用题讲解
八年级上册数学分式方程应用题讲解
分式方程的应用题是数学中的一个重要部分，它涉及到现实生活中的各种问题。
下面是一个关于分式方程应用题的示例，以及详细的解题步骤和讲解。
题目：某工程甲单独做45天完成，乙单独做30天完成，若甲先单独做10天后，乙再加入合作，问乙加入后几天完成？
分析：
1. 甲单独完成工程需要45天，所以甲一天可以完成 1/45 的工程。
2. 乙单独完成工程需要30天，所以乙一天可以完成 1/30 的工程。
3. 甲先单独做了10天，完成了10 × (1/45) = 10/45 = 2/9 的工程。
4. 剩下的工程量是 1 - 2/9 = 7/9。
5. 现在，甲和乙一起工作。
我们要找出他们一起工作了多少天来完成剩下的7/9 的工程。
用数学方程表示这个问题：
1) 甲一天完成的工程量是 1/45
2) 乙一天完成的工程量是 1/30
3) 甲先单独做了10天，完成了10 × (1/45) = 2/9 的工程
4) 剩下的工程量是 1 - 2/9 = 7/9
5) 设甲和乙一起工作了 t 天，则t × (1/45 + 1/30) = 7/9解这个方程，我们就可以找出 t 的值。
计算结果为： [{t: 14}]
所以，甲和乙一起工作需要：14天来完成剩下的工程。
人教版八年级数学上册教案：15.3分式方程-分式方程的应用
我也注意到，在解决分式方程的难点部分，如去分母和移项，学生们的操作还不够熟练。这提示我，在接下来的课程中，需要设计更多的练习来加强这一部分的训练。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果，这些成果将被记录在黑板上或投影仪上。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式方程的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对分式方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版八年级数学上册教案：15.3分式方程分式方程的应用。本节课将围绕以下内容展开：
1.掌握分式方程在实际问题中的应用；
2.学会列出分式方程解决实际问题；
3.能够运用等式性质和分式运算解决分式方程相关问题；
4.举例说明分式方程在生活中的应用，如速度、浓度、比例等问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是含有分式的方程，它能够帮助我们解决涉及比例、速度、浓度等实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设有两人合作完成一项工作，甲工作效率是乙的两倍，他们合作3天完成了任务。我们可以通过分式方程来计算他们各自完成的工作量。
举例：在浓度问题中，若将5克盐溶解在水中得到20%的盐水，求所需水的质量。难点在于如何将“20%的盐水”这一描述转化为数学表达式，并建立正确的分式方程。
在教学过程中，需要针对以上难点进行详细讲解和反复练习，确保学生能够透彻理解分式方程的核心知识，并在实际问题中能够灵活应用。通过对重点和难点的强调，帮助学生建立起分式方程的解题框架，提高解题能力。
八年级数学 分式方程的应用 冀教版知识精讲
初二数学 分式方程的应用 冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 掌握列分式方程解决实际问题的一般步骤，抓住题中的等量关系列出方程．2. 在列方程的过程中体会题中的数量关系，在解题过程中体会考虑问题时应注意考虑问题的全面性．二. 知识要点：1. 列分式方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能找出表示问题全部含义的等量关系．（2）设未知数⎩⎪⎨⎪⎧直接设未知数，问什么设什么间接设未知数 ，用含未知量的代数式表示有关的未知量．（3）找相等关系，列出方程． （4）解方程：（其过程可以省略）（5）检验：检验时既要检验所求得的值是否为所列方程的解，还要检验是否符合题意，即“双重检验”．（6）写出答案；不要忘记单位名称． 2. 列方程解应用题的常用方法（1）译式法：将题目中的关键性语言或数量间的关系译成代数式，然后根据代数式之间的内在联系找出等量关系．（2）线示法：用直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段的长度的内在联系，找出等量关系，列出方程．（3）列表法：把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系． （4）图示法：利用图示表示应用题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意． 3. 列分式方程解应用题常见的几个应用问题 （1）行程问题行程问题中的三量：速度、时间、路程中路程大多是已知的，所以设时间为未知数时，往往根据速度的数量关系列方程，如果设速度为未知数，往往根据时间的数量关系列方程．（2）工程问题工程问题中的数量有工作效率、工作时间和工作量，在用分式方程解应用题时，往往工作量是已知的，如果设工作效率为未知数，那么根据工作时间的数量关系列方程，反之也可以工作时间为未知数根据工作效率列方程．（3）数字问题①三个连续整数分别表示为x －1，x ，x ＋1； ②三个连续偶数分别表示为2x －2，2x ，2x ＋2； ③三个连续奇数分别表示为2x －3，2x －1，2x ＋1；④n 位数a 1a 2a 3…a n ＝a 1×10n －1＋a 2×10n －2＋…＋a n －1×10＋a n ． （4）利润问题利润问题常用的数量关系是利润＝售价－进价，利润率＝利润进价×100%．而用分式方程来解利润问题常常根据利润率之间的数量关系列方程．（5）几何图形问题解决这类问题的关键是要掌握各种几何图形的面积以及体积公式．三. 重点难点：重点是列分式方程解应用题；难点是审题，找准题目中的等量关系．四. 考点分析：列方程解应用题是中考的热点，题型以解答题为主．今后的中考题中，列分式方程解应用题仍然是必考内容，主要是考查可化为一元一次方程的分式方程的应用题．【典型例题】例1. 汽车比步行每小时快24千米，自行车比步行每小时快12千米，某人从A 地先步行4千米，然后乘汽车16千米到达B 地，又骑自行车返回A 地，往返所用时间相同，求此人步行速度．分析：若设步行速度为x 千米/时，则汽车的速度为（24＋x ）千米/时，题目中所用时间的数量关系是：去时步行4千米的时间加上乘汽车16千米的时间等于返回时骑自行车行驶20千米所用的时间．解：设步行速度为x 千米/时，根据题意，得 4x ＋16x ＋24＝20x ＋12， 解得x ＝8．经检验x ＝8是原方程的根，并且符合题意． 答：此人步行的速度是8千米/时．例2. 相邻的两个偶数的比是24∶25，求夹在这两个偶数之间的奇数． 分析：先根据题意确定这两个偶数，再求夹在这两个偶数之间的奇数． 解：设相邻的两个偶数分别为2x 和2x ＋2，由题意列方程，得 2x 2x ＋2＝2425， 解得x ＝24．经检验x ＝24是原方程的根，并且符合题意． 所以2x ＝48，2x ＋2＝50．所以夹在48和50之间的奇数为49． 答：所求的奇数为49．例3. 某项工程，原计划50人在若干天内完成，开工时由于采用新技术，工作效率提高了60%，现只派40人去工作，结果比原计划提前7天完成任务，求原计划工作多少天？分析：解此题的关键是准确利用代数式表示出每人每日的工作效率，等量关系是：原来每人的日工作效率×（1＋60%）＝现在每人的日工作效率．解：设原计划用x 天完成，则现在实际只用了（x －7）天，原来每人的日工作效率为150x，现在每人的日工作效率为140（x －7）．依题意列方程，得150x ×（1＋60%）＝140（x －7）．整理，得1.6×40（x －7）＝50x ． 所以x ＝32．经检验x ＝32是原方程的解． 答：原计划要工作32天．评析：列分式方程解应用题的步骤和列整式方程解应用题的步骤相同：①弄清题意；②设定未知数；③根据题目中的等量关系列出分式方程；④解分式方程；⑤检验并写出问题的答案，检验时既要检验得到的根是不是分式方程的增根，又要检验是否符合实际．例4. 太华商场买进一批运动衣用了10000元，每件按100元卖出，假如全部卖出这批运动衣，所得的款与买进这批运动衣所用的款的差就是利润，那么这次买卖中，商场所得利润刚好是买进200件运动衣所用的款，试问这批运动衣有多少件？（只列方程）分析：本题主要等量关系是：所得利润＝200件运动衣的进价． 解：设买进的这批运动衣有x 件．由题意得：100x －10000＝10000x×200评析：并不是所有的分式方程都能化为一元一次方程．例5. 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．（1）求第一批购进书包的单价是多少元？ （2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？ 分析：（1（2）求出这两批书包的数量，乘以售价120元，再减去购进书包所用的（2000＋6300）元，所得结果就是全部售出后的盈利．解：（1）设第一批购进书包的单价是x 元，根据题意得： 2000x ·3＝6300x ＋4， 解得x ＝80（元）（2）200080×（1＋3）×120－（2000＋6300）＝3700（元）答：（1）第一批购进书包的单价是80元．（2）全部售出后，商店共盈利3700元．例6. 甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过P 点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？l分析：，数量关系如下表：根据表格数据列出方程，求得甲、乙二人的速度，再求出时间，比较二人所用时间的长短便可以区分哪位同学获胜．解：设乙同学的速度为x 米/秒，则甲同学的速度为1.2x 米/秒，根据题意得： （601.2x ＋6）＋60x＝50， 解得x ＝2.5．经检验，x ＝2.5是方程的解，且符合题意．所以，甲同学所用的时间为：601.2x ＋6＝26（秒），乙同学所用的时间为：60x＝24（秒）．因为26＞24， 所以乙同学获胜．评析：注意正确理解题意，特别是甲所用的时间，他浪费了6秒钟，要重新开始，但这段时间要计算在内．【方法总结】1. 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根．一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意．原方程的增根和不符合题意的根都应舍去．2. 列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数．但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数．在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷．例：A ，B 两地相距135千米，有大，小两辆汽车从A 地开往B 地，大汽车比小汽车早出发5小时，两车同时到达．已知大、小汽车速度的比为2∶5，求大、小两辆汽车从A 地到达B 地各用的时间．如果设直接未知数，即设小汽车从A 地到B 地需用时间为x 小时，则大汽车从A 地到B 地需（x ＋5）小时，依题意，列方程135x ＋5∶135x ＝2∶5．解这个分式方程，运算较繁琐．如果设间接未知数，即设速度为未知数，先求出大、小两辆汽车的速度，再分别求出它们从A 地到B 地的时间．设大车的速度是x 千米/时，则小车的速度是52x 千米/时，列方程135x－1352.5x ＝5．运算就简便多了．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg 和15000kg ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ，若设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，根据题意，可得方程（ ）A. ＝15000xB. ＝15000x －3000C.＝15000x ＋3000D.9000x －3000＝15000x2. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是（ ）A. 300x －2060＝3001.2xB. 300x －3001.2x ＝20C. 300x －300x ＋1.2x ＝2060D. 300x ＝3001.2x －2060*3. 某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土恰好能由1个人全部运走，怎样调配劳动力才能使挖出来的土及时运走且不窝工？解决此问题，可设派x 人挖土，其他人运土，则下列方程正确的有（ ）① 72－x x ＝13 ② 72－x ＝x 3 ③ x ＋3x ＝72 ④ x 72－x＝3A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二. 填空题1. 某食堂有煤m 吨，原计划每天烧煤a 吨，现在每天节约用煤b 吨，则可比原计划多烧__________天．2. 已知一个分数的分母比分子的4倍少1，把分子加上1后，所得分数的值为23．那么这个分数是__________．3. 当x ＝__________时，分式3x －2与2x ＋2的值相等．4. 已知2x －y 与x ＋y 的比是23，则xy＝__________．*5. 若在浓度为10%的a kg 盐水中加入食盐b kg ，则盐水的浓度为__________，若再蒸发掉b kg 水，则盐水的浓度为__________．*6. 上山和下山的路程均是s km ，某人上山的速度为a km /h ，下山的速度为b km /h ，则此人上山和下山的平均速度为__________km /h ．三. 解答题1. 购一年期债券，到期后本利共获2700元，如果债券年利率为12.5%，那么利息是多少元？2. 甲、乙两地相距360km，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从甲地到乙地的时间缩短了2h，试确定原来的平均车速．3. 某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工作效率是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用了10h，采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？*4. 2008年5月12日14时28分在我国四川省汶川地区发生了里氏8.0级强烈地震，灾情牵动全国人民的心，“一方有难，八方支援”．某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区人民，在加工了300顶帐篷后，由于救灾需要工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成了任务．求原来每天加工多少顶帐篷？**5. 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．（Ⅰ）设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．【试题答案】一. 选择题1. C2. A3. C二. 填空题1. m a －b －m a2. 133. －104. 545. 10a ＋100b a ＋b ％（提示：10%a ＋b a ＋b ＝10a ＋100b 100（a ＋b ）＝10a ＋100b 100（a ＋b ）×100%＝10a ＋100b a ＋b％）；10a ＋100ba ％ 6. 2ab a ＋b三. 解答题1. 设利息是x 元，则x2700－x＝12.5%．解得x ＝300．2. 设原来的平均车速为x km /h ，则360x －3601.5x ＝2．解得x ＝60．原来的平均车速为60km /h3. 设采用新工艺前每小时加工x 个零件，则采用新工艺后每小时加工1.5x 个零件，列方程得1200x －12001.5x ＝10，解得x ＝40，1.5x ＝60．则采用新工艺前、后每小时分别加工零件40个，60个．4. 设原来每天加工x 顶帐篷，则1500x －（300x ＋12001.5x）＝4，解得x ＝100．5. （Ⅰ）10x ，2x ，102x （Ⅱ）根据题意，列方程得10x ＝102x ＋13，解这个方程，得x ＝15．则骑车同学的速度是15千米/时．。
人教版八年级数学《分式方程的应用》课件
分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫做分 式方程。
分式方程的重要性
分式方程是初中数学的重要内容 之一，它不仅是学生后续学习的 基础，而且在解决实际问题中有 着广泛的应用。
4
教学目标与要求
01
知识与技能
掌握分式方程的基本解法，理 解分式方程的应用背景，能够 运用分式方程解决简单的实际
2024/1/25
错题二
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产 量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验
估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
24
错题剖析及纠正方法
(1) 增种多少棵橙子树，可以使果园橙子 的总产量达到60375个？
的解决方案。
构造新模型
02
根据问题的特点，构造新的数学模型或方程，使问题更容易解
决。
转化与化归
03
将复杂问题转化为简单问题，或将陌生问题转化为熟悉问题，
利用已知方法求解。
18
05
巩固练习与提高训练
2024/1/25
19
基础练习题选讲
01
题目一：某工厂生产A、B两种 配套产品，其中每天生产x吨A 产品，需生产x+2吨B产品。已 知生产A产品的成本与产量的 平方成正比。经测算，生产1 吨A产品需要4万元，而B产品 的成本为每吨8万元。求生产A 、B两种配套产品的平均成本
02
解析
首先观察方程，发现最简公分 母是 x-2。然后去分母，将方 程转化为整式方程 x+1-3=x-2 。解得 x=2，经检验，x=2 是
原方程的解。
2024/1/25
八年级数学上册《分式方程的应用》教案、教学设计
针对本章节的内容，教师将设计富有挑战性的拓展题，引导学生深入思考，培养数学思维能力。同时，注重将分式方程与实际应用相结合，提高学生的数学素养。
5.评价与反馈，关注个体差异
在教学过程中，教师将实施多元化评价，关注学生的个体差异。通过课堂提问、作业批改、小组讨论等方式，全面了解学生的学习状况，及时给予指导和鼓励，提高学生的学习自信心。
3.提高拓展题：针对学有余力的学生，设计具有一定难度的分式方程拓展题，培养学生的数学思维能力和问题解决能力；
4.小组合作探究题：分组讨论并完成1-2道分式方程综合应用题，要求学生在合作中相互学习、共同进步。
作业布置要求：
1.学生独立完成作业，家长监督，确保作业质量；
2.注重作业的书写规范，要求字迹清楚、步骤完整、简洁明了；
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握分式方程的概念及求解方法；
2.能够将实际问题抽象为分式方程，并运用所学的数学知识解决；
3.掌握分式方程的运算性质，提高运算速度和准确度；
4.培养学生的数学建模思维和问题解决能力。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣
在教学过程中，教师将设计贴近学生生活的实际问题，引导学生从中发现分式方程的影子，激发学生的学习兴趣。通过情境创设，让学生感受到数学与生活的紧密联系，提高学习积极性。
二、学情分析
八年级学生在数学学习上已具备一定的知识基础，掌握了基本的代数运算和方程求解方法。但在分式方程的学习中，学生可能会遇到以下困难：对分式方程的概念理解不够深入，求解过程中容易出现运算错误，将实际问题转化为分式方程时存在困难。针对这些情况，教师在教学过程中应关注以下几点：
1.关注学生基础知识掌握情况，适时进行巩固和复习，为学生学习分式方程打下坚实基础；
八年级数学上11.5可化为一元一次方程的分式方程及其应
实际生活中的应用
金融问题
分式方程在金融领域也有广泛的应用。例如，复利的计算、 投资回报率的计算等可以用分式方程来表示和解决。
交通问题
在交通管理中，分式方程可以用于描述车辆行驶的速度和时 间关系，以及道路交通流量等问题。例如，在高速公路上， 车辆的平均速度和行驶时间的关系可以用分式方程来表示和 计算。
根据方程定义取舍
有些分式方程在特定条件下无解 或无穷多解，需要根据方程的定 义和条件进行取舍。
解的适用范围
注意变量的取值范围
在分式方程中，变量的取值范围可能 会影响解的存在性和唯一性，因此需 要注意变量的取值范围。
注意方程的定义域
分式方程可能只在特定的定义域内有 解，因此需要注意方程的定义域，确 保解的适用范围。
转化原理和方法
1 2
消除分母
通过通分或消去分母，将分式方程转化为整式方 程。
转化为一元一次方程
将转化后的整式方程整理为一元一次方程的形式。
3
求解一元一次方程
解出转化后的一元一次方程的解。
转化过程和步骤
01
02
03
04
确定最简公分母
找到分式方程中各分母的最小 公倍数，作为最简公分母。
通分
将方程两边的分式通分，使分 式方程转化为整式方程。
移项与合并同类项
将整式方程中的项移至等号同 一边，并合并同类项。
化简整理
将整式方程化简整理为标准的 一元一次方程形式。
转化后的解法
01
02
03
直接求解法
对于简单的分式方程，可 以直接求解得到解。
换元法
对于复杂的分式方程，可 以通过换元法简化计算过 程。
图解法
初中数学微课--分式-分式方程的应用——行程问题
分式方程的应用——行程问题
1．为庆祝建党100周年，学校组织初二学生乘车前往距学校132千米的某革命根据地参观学习．二班因事耽搁，比一班晚半小时出发，为了赶上一班，平均车速是一班平均车速的1.2倍，结果和一班同时到达．求一班的平均车速是多少千米/时？
2．截至2021年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通”“互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半．
（1）求该长途汽车在国道上行驶的速度；
（2）若该高速公路规定长途汽车限速80km/h，那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？
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八年级上册数学-分式方程及应用
第24讲 分式方程及应用【板块一】 分式方程的解法题型一 基本题【例1】解下列分式方程：（1）252331x x x x x ++=++； （2）2242111x x x x x -+=-+.【练1】解下列分式方程：（1）311(1)(2)x x x x -=--+； （2）221424242x x x x --=+--.题型二 分离变量【例2】解下列分式方程：（1）24681357x x x x x x x x ++++-=-++++； （2）23241123x x x x --=+--.【练2】解下列分式方程：222232411221x x x x x x x x +-+++=+-++； （2）17282839x x x x x x x x ++++-=-++++；题型三 裂项法【例3】解方程：（1）()11111(1)(1)(2)(2009)2010x x x x x x x+++=------；（2）22221111413256712214x x x x x x x x x +++=-++++++++.【练3】（1）111120133557(21)(21)41n n ++++=⨯⨯⨯-+，求n 的值；（2）解关于x 的方程222111132567124x x x x x x x -+=+++++++.题型四 分组通分【例4】（1）解方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++.【练4】解方程11113467x x x x -=-----，并猜想11112005200620072008x x x x -=-----的解.题型五 倒数型【例5】阅读并完成下列问题：方程1122x x +=的解是x 1=2，x 2=12；方程1103x x +=的解是x 1=3，x 2=13，观察上述方程及解，可猜想关于x 的方程①方程11x c x c +=+的解是___________________，请用上述方法解方程：315132x x x x -+=-.【练5】解方程：2344342334x x x x+-+=++-.题型六 增根问题【例6】（1）关于x 的方程322133x mx x x-++=---无解，求m 的值； （2）若关于x 的方程：22215111k k x x x x --+=-+-有增根x =1，求k 的值.针对练习11.解下列分式方程：（1）311(1)(2)x x x x -=++-； （2）213933y y y y +=--+；（3）28124x x x -=--； （4）1011x x x x --=+-；（5）16252736x x x xx x x x+++++=+++++；（6）596841922119968x x x xx x x x----+=+----.2.若关于x的方程212x ax+=--的解为正数，则a的取值范围是__________________________.3.若关于x的分式方程4155x ax x=---有增根，那么增根是_____________，这时a=_____________.4.若关于x的分式方程311x ax x--=-无解，则a=__________________.5.关于x的方程2122x ax-=-的解是非负数，求a的取值范围.6.k为何值时，关于x的方程123(2)(3)x x x kx x x x++-=-+-+的解为负数. 【板块二】分式方程的应用题型一工程问题【例7】武汉某道路改造工程，若由甲、乙两工程队合作20天可完成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可完成.（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，并且要求整个工期不能超过30天，问如何安排甲、乙工程队做这项工程使得花费最少？题型二行程问题【例8】一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40min到达目的地.（1）求前1小时行驶的速度；（2）汽车出发时油箱有油7.5升，到达目的地时还剩4.3升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速度每小时耗油量多0.3升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是提速后的速度省油？题型三利润问题【例9】某商店用2000元购进一批玩具，很快销售一空；商店又用3500元购进第二批该款玩具，购进时单价比第一批高25%，所购进数量比第一批多100个.（1）求第一批玩具购进时单价是多少？（2）若商店以每个12元的价格将这两批玩具全部售出，可以盈利多少元？题型四工作量问题【例10】某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间和原计划生产450台机器所需时间相同.（1）现在平均每天生产多少台机器；（2）生产3000台机器，现在比原计划提前几天完成.1.甲、乙两个救援队向相距50千米某地震灾区运送救援物资，已知甲救援队的平均速度是乙救援队平均速度的2倍，乙救援队出发40分钟后，甲救援队才出发，结果甲救援队比乙救援队早到20分钟，若设乙救援队的平均速度为x千米/小时，则方程可列为（）A.5015023x x+=B.505012x x+=C.5015023x x-=D.505012x x-=2.甲，乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做6个所用的时间相等，设乙每小时作x个零件，依题意列方程为（）A.90606x x=+B.90606x x=-C.90606x x=+D.90606x x=-3.工程队要铺设一段全长2000米的管道，因天气原因需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米才能按时完成任务，原计划每天施工多少米？设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（）A.20002000250x x-=+B.20002000250x x-=+C.20002000250x x-=-D.20002000250x x-=-4.武汉市某区的天然气管道升级工程，若由乙工程队单独完成所需天数是由甲工程队单独完成所需天数的两倍；若甲工程队单独做5天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的一半，共需施工费28万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多0.8万元.（1）单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？（2）甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？（3）甲、乙两工程队合做，若要完成全部工程的施工费用不超过52万元，且乙工程队的施工天数大于6天，直接写出甲工程队施工天数.（天数为整数）5.某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成，试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由.6.武汉江汉一桥维修工程中，由甲、乙两个工程队共同完成某项目，从两个工程队的资料可知道：若两个工程队合作24天恰好完成，若两个工程队合作18天，甲工程队单独做10天也恰好完成.请问：（2）又知甲工程队每天施工费为0.6万元，乙工程队每天施工费为0.35万元，要使该项目的施工费不超过22万元，则乙施工队最少施工多少天？7.A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度.8.某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完；商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，并以售价不变很快售完，问该商场在两次空调买卖中共赚了多少元？9.某书店老板去图书市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书，试问该老板这两次售书总体上赚多少元？10.小明准备从批发市场购进甲、乙两种小商品到夜市销售，已知每件甲种商品的进价比每件乙种商品的进价少2元，且用80元购进甲种商品的数量与用100元购进乙种商品的数量相同，设每件甲种商品进（1）每件乙种商品的进价为__________元，100元购进乙种商品的数量为_____________件（用含x的式子表示）；（2）求每件甲种商品，每件乙种商品的进价分别为多少元？（3）若小明本次购进甲种商品的数量比购进乙种商品的数量的3倍还少5个，他将这批小商品均按进价加价50%全部售出，共获利a（70＜a＜100）元，则a的值为_______________（直接写出结果）.。
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低沉古怪的轰响，绿宝石色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的惨窜骷髅味在加速的空气中跳跃。最后扭起快乐机灵、阳光天使般的脑袋一挥，飘然从里面流出一道金光，他抓住金光怪异地一 旋，一组紫溜溜、金灿灿的功夫∈万变飞影森林掌←便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边颤动，一边发出“呜呜”的奇响。……悠然间蘑菇王子全速地颤起神奇的星光肚脐，只见他天使般的 黑色神童眉中，突然弹出五十团转舞着∈追云赶天鞭←的酱缸状的飞沫，随着蘑菇王子的颤动，酱缸状的飞沫像病床一样在拇指神秘地搞出飘飘光烟……紧接着蘑菇王子又用自己挺拔威风的淡蓝 色雪峰牛仔裤秀出紫葡萄色闪电般跳跃的铁锹，只见他潇洒飘逸的、像勇士一样的海蓝色星光牛仔服中，变态地跳出五十组甩舞着∈追云赶天鞭←的仙翅枕头叉状的鸭掌，随着蘑菇王子的摇动， 仙翅枕头叉状的鸭掌像熊胆一样，朝着妃赫瓜中士飘浮的嘴唇怪踢过去！紧跟着蘑菇王子也转耍着功夫像细竹般的怪影一样朝妃赫瓜中士怪踢过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一 道淡绿色的闪光，地面变成了雪白色、景物变成了深蓝色、天空变成了灰蓝色、四周发出了奇特的巨响……蘑菇王子淡红色的古树般的嘴唇受到震颤，但精神感觉很爽！再看妃赫瓜中士老态的脖 子，此时正惨碎成手镯样的亮黑色飞光，全速射向远方，妃赫瓜中士猛咆着发疯般地跳出界外，疾速将老态的脖子复原，但元气和体力已经大伤神怪蘑菇王子：“你的业务怎么越来越差，还是先 回去修炼几千年再出来混吧……”妃赫瓜中士：“这次让你看看我的真功夫。”蘑菇王子：“你的假功夫都不怎么样，真功夫也好不到哪去！你的创意实在太垃圾了！”妃赫瓜中士：“等你体验 一下我的『蓝银缸圣耳塞爪』就知道谁是真拉极了……”妃赫瓜中士忽然跳动的手掌连续膨胀疯耍起来……凸凹的活似樱桃形态的脚透出深灰色的阵阵幽雾……平常的暗黑色脸盆耳朵跃出水蓝色 的隐约幽音。接着扭动纯白色灯泡模样的脑袋一吼，露出一副古怪的神色，接着晃动敦实的屁股，像墨灰色的六眼荒原蝶般的一扭，斑点的纯灰色瓦刀形态的鼻子立刻伸长了九十倍，紧缩的身材 也突然膨胀了一百倍！紧接着淡紫色肥肠般的身材闪眼间流出暗黄色的豹鬼残隐味……不大的的紫红色熊猫一样的皮鞭雪晓围腰透出残嗥坟茔声和咻咻声……圆圆的雪白色怪石似的猪精星怪盔忽 亮忽暗穿出妖精魂哼般的晃动！最后转起暗黑色脸盆耳朵一吼，变态地从里面喷出一道金辉，他抓住金辉残暴地一摆，一套黑森森、黄澄澄的兵器『紫鸟蚌精病床钩』便显露出来，只见这个这件 宝器儿，一边蠕动，一边
练习
1.课本31页 练习1
2.四川发生地震后，成都运往汶川灾 区的物资须从西线或南线运输，西 线的路程约800千米，南线的路程约 80千米，走南线的车队在西线车队 出发18小时候立刻启程，结果两车 队同时到达。已知两车队的行驶速 度相同，求走西线所用的时间。
例2.一艘轮船逆流航行2km的时
间比顺流航行2 km的时间多用
了40分钟,已知水速为2 km/h, 求船在静水中的速度?.
练习
3.一艘轮船在静水中的速度为20千米/ 小时，它沿江以最大航速顺流航行 100千米所用的时间，与以最大速度 逆流航行60千米所用的时间相等， 江水的速度为多少?
例3.从2004年5月起某列车平均 提速v千米/时。用相同的时间， 列车提速前行平均速度为多少?
分式方程的 应用
分式方程的应用
例1.2008年春运期间，我国南方出现大 范围冰雪灾害，导致某地电路断电。
该地供电局组织电工进行抢修。供电 局距离抢修工地15千米。抢修车先走， 15分钟后，电工乘吉普车从同一地点 出发，结果他们同时到达抢修工地， 已知吉普车的速度是抢修车速度的1.5 倍，求这两种车的速度。
分式方程的应用
例2.某市从今年1月1日起调整居民用 水价格,每吨水费上涨三分之一,小丽 家去年12月的水费是15元,今年2月 的水费是30元.已知今年2月的用水 量比去年12月的用水量多5吨,
求该市今年居民用水的价格?