江西省南昌市第十中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 答案和解析

江西省南昌市第十中学【最新】高一下学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设01a b <<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．33a b > B ．11a b< C ．1b a >D ．()lg 0b a -<2．有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有1件次品与至多有1件正品B ．至少有1件次品与2件都是正品C ．至少有1件次品与至少有1件正品D ．恰有1件次品与恰有2件正品3．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一（1）班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为 A ．23B ．12C ．14D ．164．央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，下面的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是( )A ．甲的平均数大于乙的平均数B ．甲的中位数大于乙的中位数C ．甲的方差大于乙的方差D ．甲的平均数等于乙的中位数5．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．116．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若210k S +>，则一定有（ ） A ．0k a >B ．0k S >C ．10k a +>D ．10k S +>7．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比01q <<，设392a a P +=,Q =则3a ,9a ,P ,Q 的大小关系是( )A ．39a P Q a >>>B ．39a Q P a >>>C ．93a P a Q >>>D ．93P Q a a >>>8．在ABC ∆中，若2a b c =+，2sin sin sin A B C =,则ABC ∆一定是( ) A ．锐角三角形 B ．正三角形C ．等腰直角三角形D ．非等腰直角三角形9．已知函数1x y a -=（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中,0m n >，则11m n+的最小值为A ．1B C ．2D ．410．设[]x 表示不超过x 的最大整数,则关于x 的不等式2[]3[]100x x --≤的解集是( ) A ．[-2，5]B ．（-3,6）C ．[-2,6）D ．[-1,6）11．已知函数2()4f x x ax =-+满足[1,7]a ∈-，那么对于a ，使得()0f x ≥在[1,4]x ∈上恒成立的概率为（ ）A ．38B ．12C ．58D ．3412．定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}{},()n n a f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”．现有定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的如下函数：①2()f x x =；②()2x f x =；③()f x =④()ln f x x =．则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④二、填空题13．已知x 与y 之间的一组数据为则y 与x 的回归直线方程ˆybx a =+必过定点__________. 14．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为____.15．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若满足41130a a +=，则2114S S =__________. 16．在ABC △中，D 为BC 边上一点，3BC BD =，AD =135ADB ∠=︒，若AC=，则BD =__________．三、解答题17．一个盒子中装有5张编号依次为1、2、3、4、5的卡片，这5 张卡片除号码外完全相同.现进行有放回的连续抽取2 次，每次任意地取出一张卡片. （1）求出所有可能结果数，并列出所有可能结果； （2）求事件“取出卡片号码之和不小于7 或小于5”的概率.18．某中学从高三男生中随机抽取100名学生，将他们的身高数据进行整理，得到下侧的频率分布表（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取6 名学生进行体能测试，求第3，4，5 组每组各应抽取多少名学生进行测试； （Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6 名学生中随机抽取2 名学生进行引体向上测试，求第4 组中至少有一名学生被抽中的概率.19．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足11a =，且1a ，32a -，9a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列11{}n n a a +的前n 项和为n S ，并求使得214n S n >+成立的最小正整数n . 20．在锐角ABC ∆222cos sin()CB C =+. （1）求角A .（2）若2a =，且5sin cos(2)6B C B π++-取得最大值时，求ABC ∆的面积. 21．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w （单位：百千克）与肥料费用x （单位：百元）满足如下关系：341w x =-+，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x 百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x （单位：百元）.（1）求利润函数()L x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 22．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且对任意的正实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =+成立. (2)1f =，且当1x >时，()0f x >.各项均为正数的数列{}n a 满足()()(1)1n n n f S f a f a =++-()n *∈N ，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n T 是数列{}(1)2na n +的前n 项和，求nT .参考答案1．D 【解析】试题分析：由01a b <<<可设0.1,0.5a b ==，代入选项验证可知()lg 0b a -<成立 考点：不等式性质 2．D 【解析】解：A 、至少有1件次品与至多有1件正品 不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件．B 、至少有1件次品与都是正品是对立事件，故不满足条件．C 、至少有1件次品与至少有1件正品 不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件．D 、恰有1件次品与恰有2件正 是互斥事件，但不是对立事件，因为除此之外还有“两件都是次品”的情况， 故满足条件． 故选D ． 3．D 【分析】 试题分析：,故选D.考点：古典概型 4．C 【解析】由茎叶图，知：()1594532382426111214299x =++++++++=甲， ()1514330342025272812309x =++++++++=乙，()()()()()2222222222130163953181715235.39S ⎡⎤=++++-+-+-+-+-≈⎣⎦甲，()()()()()222222222212113041053218120.99S ⎡⎤=++++-+-+-+-+-≈⎣⎦乙，甲的中位数为：26，乙的中位数为：28， ∴甲的方差大于乙的方差。

本题选择C 选项.5．B 【解析】试题分析：1,0i s ==运行第一次，1lg3s =，1s <-不成立； 3i =， 运行第二次，131lg lg lg 355s =+=，1s <-不成立；5i =，运行第三次，151lg lg lg 577s =+=，1s <-不成立；7i =，运行第四次，171lg lg lg 799s =+=，1s <-不成立；9i =，运行第五次，191lg lg lg 91111s =+=，1s <-成立；输出i 的值9，结束 故选B.考点：1、对数的运算；2、循环结构. 6．C 【解析】试题分析：根据等差数列的前n 项和公式有：()()()121211212102k k k k a a S k a +++++==+>，因此C 正确考点：等差数列的前n 项和公式；等差中项； 7．A 【解析】等比数列{a n }的各项均为正数,公比0<q <1,Q =，则392a a Q P +==<=， 又各项均为正数，公比0<q <1， ∴39932a a a P a +<=<，则93a Q a <==<.∴a 9<Q <P <a 3. 本题选择A 选项.8．B 【解析】在△ABC 中,∵2a =b +c ,sin 2A =sinBsinC ,∴由正弦定理可得2a =b +c ,且a 2=bc . 再由余弦定理可得：()2222222222421cos 2222b c bc a b c a a a a A bc bc a +--+---====,3A π∴=.再根据(b −c )2=(b +c )2−4bc =4a 2−4a 2=0， 可得b =c ，故△ABC 一定是等边三角形， 本题选择B 选项.点睛：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．9．D 【分析】试题分析：根据指数函数的性质，可以求出A 点，把 A 点代入一次函数y mx n =+，得出1m n +=，然后利用不等式的性质进行求解．∵函数1(0x y a a -=>，且 )1a ≠的图象恒过定点A ，可得 ()11A ， ，∵点A 在一次函数y mx n =+的图象上，∴1m n +=，∵0m n >，，∴1m n +=≥∴14mn ≤，所以()1111224n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ ，当且仅当12n m ==时取得等号；故选D ．【方法点睛】本试题主要考查了的指数函数和一次函数的性质及其应用，还考查的基本不等式的性质，把不等式和函数联系起来进行出题，是一种常见的题型；解决该试题的关键找到指数函数必定过0,1 点得到已知函数过点()1,1． 考点：1． 指数函数的性质；2．基本不等式． 10．B【解析】由题意可得：关于x 的不等式x 2−3x −10⩽0的解集是{x |−2⩽x ⩽5}， 又因为[x ]表示不超过x 的最大整数，所以关于x 的不等式[x ]2−3[x ]−10⩽0的解集是{x |−3<x <6}. 本题选择B 选项.11．C 【解析】由f (x )⩾0在x ∈[1,4]上恒成立,可得4a x x+在x ∈[1,4]上恒成立，∴a ⩽4 又a ∈[−1,7],∴a ∈[−1,4]，∴使得f (x )⩾0在x ∈[1,4]上恒成立的概率为415718+=+， 本题选择C 选项.12．C 【解析】试题分析： 由等比数列性质可得：221.n n n a a a ++=，①2()f x x =，()()()222222211().n n n n n n f a f a a a a f a ++++===，所以正确；②()2x f x =，()()22221()2.22n n n n aa a a n n n f a f a f a +++++==≠，所以错误；③()f x =，()()221()n n n f a f a f a ++===，所以正确；④()ln f x x =．()()222211()ln ln ln n n n n n n f a f a a a a f a ++++=≠=所以错误；故选择C 考点：等比数列性质13．3(,4)2【解析】0123342x +++==，()()135744a a y ++-++==， 则回归直线方程ˆybx a =+必过定点3,42⎛⎫⎪⎝⎭. 点睛：(1)正确理解计算,b a 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．(2)回归直线方程y bx a =+必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．14．0. 18 【解析】试题分析：设阴影部分的面积为S ，由于边长为1的正方形的面积为1，并且在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，则18011000s =，解得950S =，故答案应填950. 考点：几何概型. 15．76【解析】设{a n }的公比为q ，显然q ≠1. ∵a 4+3a 11=0， ∴a 4+3a 4q 7=0，∴713q =-.∴()()2114112114111,1a q a q S qSq--=-=-，∴2121141411172711619S q S q +-===--. 16．2+【解析】试题分析：设,,,,2AC b AB c BC a BD x DC x =====， 在ADC ∆中有：，在ADB ∆中有：222222cos135222cos13522c AD BD AD BD x x x x =+-⋅︒=+-⋅︒=++，又b =，代入得224422(22)x x x x -+=++，解得2x =+ 考点：余弦定理．【名师点睛】在本题中，已知ABC ∆被分成两个三角形,ABD ACD ∆∆，它们公共边AD 长度已知，相邻的解ADB ∠已知，还知道的是两个三角形中另外两对边的比例，要解这个三角形，可用余弦定理把两个三角形联系起来，根据已知角，用余弦定理分别求出,AB AC ，再由,AB AC 的关系可求得,BD CD ，接着可求得,AB AC 及各个角．如果已知两个角，还可以用正弦定理建立关系，以便求解． 17．(1)答案见解析；(2)1625. 【解析】试题分析：(1)由题意可知，共有25种结果，一次列出所有可能的结果即可；(2)结合题意和(1)中列出的结果可得事件“取出卡片号码之和不小于7 或小于5”的概率是1625.试题解析：(1)所有可能结果数为：25.所有可能结果为：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，1）（2，2）（2，3） （2，4）（2，5）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，1）（4，2） （4，3）（4，4）（4，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）. （2）记A =“取出卡片号码之和小于7”，事件A 的频数为10，则()102255P A ==， 记B =“取出卡片号码之和小于5”，事件B 的频率为6，则()625P B =， ∴事件“取出卡片号码之和不小于7 或小于5”的概率261652525P =+=. 18．(Ⅰ)①处的数据为35，②处的数据为0.300.(Ⅱ)第3组：3；第4组：2；第5组：1. (Ⅲ)35. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合频率分布表可得①处的数据为35，②处的数据为0.300. (Ⅱ)由分层抽样的特点可得抽取的人数为第3组：3；第4组：2；第5组：1. (Ⅲ)结合题意列出所有可能的结果，然后由古典概型公式可得第4 组中至少有一名学生被抽中的概率是35.试题解析：（Ⅰ）由题可知，第2 组的频数为0.3510035⨯=人，第3组的频率为300.300100=，所以①处的数据为35，②处的数据为0.300.（Ⅱ）因为第3，4，5 组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组学生人数分别为： 第3组：3060360⨯=；第4组：2060260⨯=；第5组：1060160⨯=. （Ⅲ）设第3组3位同学为1A ，2A ，3A ，第4组2位同学为1B ，2B ，第5组1位同学为1C ，则从6位同学中抽两位同学的情况分别为：（1A ，2A ），（1A ，3A ），（1A ，1B ），（1A ，2B ），（1A ，1C ），（2A ，3A ），（2A ，1B ），（2A ，2B ），（2A ，1C ），（3A ，1B ），（3A ，2B ），（3A ，1C ），（1B ，2B ），（1B ，1C ），（2B ，1C ）共有15种可能.其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为：（1A ，1B ），（1A ，2B ），（2A ，1B ），（2A ，2B ），（3A ，1B ），（3A ，2B ），（1B ，1C ），（2B ，1C ），（1B ，2B ）共有9种可能.所以，第4组中至少有一名学生被抽中的概率为93155=. 19．(1)32n a n =-；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：(1)由题意求得首项和公差，据此可得通项公式为32n a n =-； (2)裂项求和得到关于实数n 的不等式，求解不等式可得使得214n S n >+成立的最小正整数n 的值为26. 试题解析：（1）{}n a 是公差不为0的等差数列，设公差为，∵1a ，32a -，9a 成等比数列，∴()23192?a a a -=得()22118d d -=+， 解得：3d =或0d =（舍去），∴32n a n =-.（2）()()111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭1111(1...3447n S =-+-+ 113231n n +--+ 11133131n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭∵214n S n >+即21314n n n >++化简得：22580n n -->，n N +∈， 使不等式成立的最细正整数为26n =.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．20．(1)3A π=；.【解析】试题分析：(1)由题意结合余弦定理边化角可得3A π=；(2)由题意结合三角形面积公式可得ABC ∆试题解析：（12222222a b c absinA +-=，∴3sinA A π=⇒=.（2）3A π=∴5266C B B ππ+-=-， ∴362sinB cos B sinB π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当62B ππ+=即3B π=时，取最大值，此时3A π=，3B π=，ABC ∆为等边三角形，∴1222ABC S ∆=⨯⨯=21．（1）见解析（2）当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元. 【解析】试题分析：（1）根据利润等于收入减成本列式：()31641L x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭2x x --，由投入的肥料费用不超过5百元及实际意义得定义域，（2）利用基本不等式求最值：先配凑：()L x = ()4867311x x ⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭，再根据一正二定三相等求最值.试题解析：解：（1）()31641L x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭ 2x x --= 486431x x --+（05x ≤≤）. （2）()486431L x x x =--=+ ()4867311x x ⎛⎫-++⎪+⎝⎭67≤- 43=. 当且仅当()48311x x =++时，即3x =时取等号. 故()max 43L x =.答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.22．(1)n a n =；(2)1•2n n T n +=.【解析】试题分析：(1)由题中所给的条件可得{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，n a n =.(2)错位相减可得数列(){}12n an +的前n 项和1•2n n T n +=.试题解析：（1）∵()()()(0,0)f xy f x f y x y =+>>，数列{}n a 各项都为正，∴()()1n n f a f a =+= ()()()12n n f S f S f =+=+，∴()()()12n n n f a a f S +=，即()12n n n a a S +=，22n n n S a a =+，当1n =时，11a =，当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+.()212n n n S S a --= 211n n n a a a --+--化简得：11n n a a --=. ∴{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，∴n a n =.（2）22232...n T =⨯+⨯+ ()12n n ++⨯2322232...n T =⨯+⨯+ ()1212n n n n ++⨯++⨯()2122...212nn n T n +-=+++-+ ()()12211221n n n +-=-+-∴1•2n n T n +=.点睛：一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．。