八年级数学一次函数之面积问题(铅垂法二)(人教版)(含答案)
铅垂法一次函数
铅垂法一次函数
铅垂法是测量地表高程的一种方法，它利用重力的作用测量地表高度差。
一次函数是指只含一个未知数的一元一次方程。
在铅垂法中，测量者通过测量两个点之间的垂直高度差，来计算出这两个点之间的水平距离。
假设测量者站在高处（点A），目标点位于低处（点B），则铅垂线即为从点A垂直向下延伸的直线。
测量者可以使用测高仪等仪器，测量出点A 与铅垂线之间的距离（即垂直高度），同时，对于铅垂线上的任意一点P，测量者也可以通过测量点A与点P之间的距离，来计算出点P与点A之间的水平距离。
假设点A的高程为h1，点P的高程为h2，点A与P之间的水平距离为d，则有以下关系式：
h2 = h1 - kd
其中，k为重力加速度，也就是铅垂线每延伸1米所下降的高度。
可以将上面的关系式改写为一元一次方程的形式：
h2 + kd = h1
这个方程就是铅垂法的基本方程，也是一个一元一次函数。
其中，h1、h2和d 都是已知量，k为常数，因此该方程可以求解出点P的高程h2。
一次函数面积题目专题(含答案)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m（m>n>0）的图像，（1）用m、n表示A、B、P的坐标（2）四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标4、△AOB的顶点O（0，0）、A（2，1）、B（10，1），直线CD⊥x轴且△AOB面积二等分，若D（m，0），求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO 的面积为2，求点B的坐标。
6、直线y=-x+1与x轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P（a，）在第二象限，△ABP的面积与△ABC 面积相等，求a的值.7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P（1）求点P的坐标（2）求△PAB的面积8、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求（1）这两条直线的函数关系式（2）它们与x轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x（1）求出它们的交点A的坐标（2）求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B（1）求两直线交点C的坐标（2）求△ABC的面积（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积為6，求出点P的坐标，若不能请说明理由。
一次函数面积问题专题(含答案)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m（m>n>0）的图像，（1）用m、n表示A、B、P的坐标（2）四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标4、△AOB的顶点O（0，0）、A（2，1）、B（10，1），直线CD⊥x轴且△AOB面积二等分，若D（m，0），求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO 的面积为2，求点B的坐标。
6、直线y=-x+1与x轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P（a，）在第二象限，△ABP的面积与△ABC 面积相等，求a的值.7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P（1）求点P的坐标（2）求△PAB的面积8、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求（1）这两条直线的函数关系式（2）它们与x轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x（1）求出它们的交点A的坐标（2）求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B（1）求两直线交点C的坐标（2）求△ABC的面积（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积為6，求出点P的坐标，若不能请说明理由。
一次函数面积问题专题(含答案)
一次函數面積問題1、如图,一次函数得图像与x轴交于点B（-6，０),交正比例函数得图像于点A,点A得横坐标为－4,△ＡBC得面积为15,求直线OA得解析式。
２、直线y=ｘ+3得图像与ｘ轴、y轴分别交于Ａ、B两点,直线ａ经过原点与线段AB交于C,把△ABO得面积分为2:１得两部分,求直线a得函数解析式。
3、直线PA就就是一次函数y=x＋n得图像,直线PB就就是一次函数y=-2x+ｍ(m>n>0）得图像,(1）用m、n表示A、Ｂ、P得坐标(2)四边形PQOＢ得面积就就是,ＡB=2,求点P得坐标4、△AOB得顶点O（0,０）、A(2，１)、Ｂ(１０,1),直线ＣD⊥x轴且△AOB面积二等分,若D(m,0)，求m得值5、点B在直线ｙ=-x+1上，且点B在第四象限，点A(2,０)、Ｏ（0,0),△AＢO 得面积为2,求点B得坐标。
6、直线y＝－x＋1与x轴y轴分别交点Ａ、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC, BＡC=9０°，点P(a,)在第二象限,△ABP得面积与△ABＣ面积相等,求a得值、7、如图,已知两直线ｙ=0、5ｘ+2、５与ｙ＝-ｘ+1分别与x轴交于A、B两点,这两直线得交点为P（1)求点P得坐标(２)求△PAB得面积8、已知直线y=ａx+ｂ（b>0）与y轴交于点N,与x轴交于点A且与直线y=kx 交于点Ｍ(2,3),如图它们与y轴围成得△MＯN得面积为5,求(1)这两条直线得函数关系式(2)它们与x轴围成得三角形面积９、已知两条直线y=2x-３与y=5-ｘ(1)求出它们得交点A得坐标(2)求出这两条直线与x轴围成得三角形得面积10、已知直线y＝x＋3得图像与ｘ轴、ｙ轴交于A、Ｂ两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C,把△AＯB得面积分为２：1得两部分,求直线l得解析式。
11、已知直线y=２x+3与直线y=－2x-１与y轴分别交于点A、B(１)求两直线交点C得坐标（2)求△ABC得面积（3)在直线BC上能否找到点Ｐ,使得△ＡPＣ得面积為６,求出点P得坐标,若不能请说明理由。
人教版八年级下册一次函数的面积问题-教师版
y
y=x
C#43;6
1，点到两坐标轴的距离 2，求两直线的交点坐标 3，一次函数图象性质 4，点、图形关于直线对称
转化思想、数形结合思想、分类讨论思想
自我检测
一次函数的图象交x 轴于点A（-6，0），
与 y 轴交于B，若△AOB的面积为12，且 y
y y=2x+3
A
(2)两直线与x轴围成的三角
形的面积
P
(3)求四边形APDO的面积 C O
x
D
B
y=-2x-1
y
A P
CO
x
D
B
总结： 两直线与y轴围成的面积：AB为底,点P的横坐标的绝对值为高。
两直线与x轴围成的面积：CD为底,点P的纵坐标的绝对值为高
y
（a,b) A
P |a|
C |b|
O
x
3.在y轴上点P(0,m),点 Q(0,n)，则PQ的长度|_m_-__n| __或__|_n_-_m__|__.
例1 已知：如图,直线y=x-1交x轴、y轴于点A、B， 直线y=-0.5 x+2交x轴、y轴于点C、D，两直线交于 点P。
(1)写出各点坐标:A（__1_，__0）_、B（_0_，__-_1_）、C（__4_，__0_）、 D（__0_，__2_）、P（__2，__1_）_。
标为- 4，又知：S△AOB=15，求直线AB的解析式。
y
（-4，y ) B
A(-6，0）o
x
例1：已知一次函数 y 2x 4 .
（1）求图象与 x 轴交点A, 与y 轴交点B的坐标.
（2）求图象与坐标轴所围成的三角形面积.
y y=2x+4 4B
一次函数之面积问题(铅垂法)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：坐标系下处理面积问题，通常有几种思路？分别是什么？问题2：铅垂法求面积的本质是什么？问题3：如图所示，利用下图推导铅垂法面积公式．问题4：具有什么特征的三角形适合用铅垂法求面积？问题5：利用铅垂法表达面积的操作步骤是：求△ABC的面积，若点A，B是定点，点C是动点，则过( )作铅垂线，( )作为底，( )作为高．一次函数之面积问题（铅垂法）（北师版）一、单选题(共8道，每道11分)1.如图，已知一次函数的图象经过A（5，-1），B（-3，-5）两点，则△AOB的面积为( )A. B.C.14D.28答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积2.如图，已知一次函数的图象经过A（2，a），B（-1，b）两点，则△AOB的面积为( )A. B.5C.3D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积3.如图，已知一次函数y=x-1的图象经过A（m，1），B（n，-2）两点，则△AOB的面积为( )A.3B.C.2D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积4.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（5，5），C（-1，2），则三角形的面积为( )A. B.C.21D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积5.如图，已知一次函数的图象经过A（5，m），B（1，n）两点，点C（3，4），则△ABC的面积为( )A.8B.4C.5D.6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积6.如图，已知一次函数的图象经过A（-5，-1），B（-1，n）两点，点C（-3，0），则△ABC的面积为( )A.8B.4C.5D.7答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积7.如图，直线AB：分别与x轴、y轴交于点A，B，直线CD：y=x+b分别与x轴、y轴交于点C，D，直线AB与CD交于点P(8，5)，则的面积为( )A.12B.16C.18D.20答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积8.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x 轴、y轴分别交于C，D两点．设直线，交于点P，则△PAD的面积为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积二、填空题(共1道，每道12分)9.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（-1，3），B（-3，-2），C（4，-3），D（3，2）．则四边形ABCD的面积是____.答案：28解题思路：试题难度：知识点：铅垂法求面积。
人教版八年级下册数学19.2.4：一次函数的面积问题
与 y 轴交点坐标B(0,4)
-1
-2
1
(2)SΔOAB = 2 OA· OB =4
-3
2、求直线y=－1.5x＋3与x轴、y轴所围成的三角 形的面积。
解：当x=0时，y=3； 当y=0时，x=2；
∴A（0,3） B（2,0） ∴OA＝3，OB＝2 ∴S△ABC＝12 OA·OB
＝ ×31×2=3
S△PBC=S_△__C_BD_-S_△__PB_D_=__3___
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如何求平面直角坐标系中的 图形的面积？
❖ １．如果三角形有一边在坐标轴上（或平行 于坐标轴），直接用面积公式求面积．
２．如果三角形任何一边都不在坐标轴上， 也不平行于坐标轴，则需分割为几个有边在 坐标轴上的三角形面积之和（或差）．
得
k
2 3
b
8 3
m、k、b的值分别为2、2 、8 或2、 2 、8
55
33
y y=2x
C
A
y=k’x
A’
x
O
B
y=-
2 3
x
8 3
思考（1）：直线y=2x将BOC分成的两个小三角形 面积之比是多少？
思考（2）：将直线y=2x绕点O旋转，使其将BOC分成 面积之比为3:5的两部分，求旋转后的直线解析式。
SSAOABOB124O,BOBAM 4
1 2
OB 2
B
OB
B(4, 0)或(4, 0)
y=kx+b
A
┐
OM
x
当直线y kx b过点A(1, 2), B(4, 0)时
由02k4kbb
得
k b
2 5 8 5
当直线y kx b过点A(1, 2), B(4, 0)时
初中人教版数学八年级下册：解题技巧专题：一次函数中的面积问题 习题课件(含答案)
解得
k =－1， b=5，
∴直线 AB 的解析式为 y＝－x＋5.
(2)在(1)的条件下，求四边形 BODC 的面积． (2)把 x＝0 代入 y＝－x＋5 得 y＝5， ∴B(0，5)． 由(1)知 A(5，0)． 把 y＝0 代入 y＝2x－4 得 x＝2，
∴D(2，0)． ∴DA＝3. ∴四边形 BODC 的面积为 S△AOB－S△ACD＝12×5×5－12×3×2＝9.5.
2．如图，已知直线 y＝kx＋b 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，直线 y＝2x－4 交 x 轴于点 D，与直线 AB 相交于点 C(3，2)． (1)若点 A 的坐标为(5，0)， 求直线 AB 的解析式；
解：(1)把点 A(5，0)，C(3，2)代入 y＝kx＋b 可得 5k+b=0，
得 －2k+b=6，解得 k=－1，
k +b=3，
b=4，
∴直线 AB 的解析式是 y＝－x＋4.
(2)若点 D 在 y 轴负半轴，且满足 S△COD＝13S△BOC， 求点 D 的坐标． (2)y＝－x＋4 中，令 y＝0， 则 x＝4，∴B(4，0)． 设 D(0，m)(m＜0)， 则 S△BOC＝12OB·|yC|＝12×4×3＝6，
1．(教材 P108T10 变式)点 P(x，y)在第一象限，且 x ＋y＝4，点 A 的坐标为(3，0)．设△OPA 的面积为 S. (1)当点 P 的横坐标为 1 时，试求△OPA 的面积； 解：(1)由题意可知 P(1，3)． ∵点 A 的坐标为(3，0)， ∴OA＝3.∴S＝12×3×3＝92.
3．(2020·成华区期末)如图，一次函数 y＝kx＋b 的 图象经过点 A(－2，6)，与 x 轴交于点 B，与正比例 函数 y＝3x 的图象交于点 C， 点 C 的横坐标为 1. (1)求直线 AB 的解析式；
专题07 一次函数中的面积问题精讲(解析版)
专题07 一次函数中的面积问题精讲一、平面直角坐标系中面积的几种求法面积问题是中考的一个重点知识点，考查方式灵活多样，很多题目有创新性，能很好考查学生的灵活运用知识的能力.我们除了要熟知常见图形的面积公式外，在平面直角坐标系中还要懂得以下几种面积的方法： 方法一、割补法割补方法不仅仅只有一种，要灵活使用.方法二、铅垂高、水平宽法=21=2ABC ABC S CD OAS CE OB⨯⨯⨯⨯△△ 二、典型例题选讲题1. 如图1-1所示，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x ﹣6上时，线段BC 扫过的面积为（ ）图1-1A ．4B ．8C ．16D ．12 【答案】C .【解析】如图1-2所示．图1-2设C 点移动到直线y =2x ﹣6上的点为C ’. ∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB =3．∵∠CAB =90°，BC =5，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC =4． ∴A ′C ′=4．∵点C ′在直线y =2x -6上， ∴2x -6=4，解得 x =5．即OA ′=5， ∴CC ′=5-1=4．∴四边形BB ’C ’C 是平行四边形，面积 =4×4=16． 即线段BC 扫过的面积为16，故答案为：C .题2. 已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过A （2-，0），且与y 轴分别交于B 、C 两点，则△ABC 的面积为 （ ）．A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7 【答案】C .【解析】因为y =2x +a 与y =-x +b 的图象都经过A (-2,0), 所以0=2×（-2）+a ， 解得：a =4， 又因为0=2+b 解得：b =-2y =2x +4、y =-x -2与y 轴分别交于B 、C 两点 ∴B (0.4)，C (0,-2)，三角形ABC 的面积=2×6÷2=6. 故答案为：C .题3. (河北中考)如图3-1所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E .点B ，E 关于x 轴对称，连接AB . (1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式； (2)若S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积，如此不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．图3-1【答案】见解析【解析】解：（1）y ＝－38x －398，令y ＝0，有0＝－38x －398，解得：x ＝－13，即C (－13，0)．令x ＝－5，则有y ＝－38×(－5)－398＝－3，即E (－5，－3)．∵点B ，E 关于x 轴对称， ∵B (－5，3)． ∵A (0，5)，∵设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋5， ∵－5k ＋5＝3， ∵k ＝25，∵直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.（2）由（1）知E (－5，－3)， ∵DE ＝3. ∵C (－13，0)，∵CD ＝－5－(－13)＝8， ∵S ∵CDE ＝12CD ·DE ＝12.由题意知OA ＝5，OD ＝5，BD ＝3， ∵S 四边形ABDO ＝12(BD ＋OA )·OD ＝20，∵S ＝S ∵CDE ＋S 四边形ABDO ＝12＋20＝32.（3）由（2）知S ＝32，在∵AOC 中，OA ＝5，OC ＝13， ∵S ∵AOC ＝12OA ·OC ＝652＝32.5，∵S ≠S ∵AOC .理由：由(1)知直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5，令y ＝0，则0＝25x ＋5，∵x ＝－252≠－13，∵点C 不在直线AB 上，即点A ，B ，C 不在同一条直线上， ∵S ∵AOC ≠S .题4. 已知一次函数的图象过点(0,3)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为3, 则其表达式为( ) A . y ＝1.5x ＋3B . y ＝－1.5x ＋3C . y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3D . y ＝1.5x －3或y ＝－1.5x －3【答案】C .【解析】解：设该一次函数与x 轴的交点坐标为（a ,0）， 由题意得：1332a ⨯⨯=， 解得：a =±2， 当a =2时，设直线解析式为y =kx +3，将（2,0）代入，求得k =-1.5； 同理求得，当a =-2时，k =1.5.所以函数解析式为：y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3，故答案为C .题5. 如图5-1所示，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A (－2，－1)，B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D .图5-1(1)求该一次函数的解析式；(2)求∵AOB 的面积． 【答案】见解析.【解析】解：(1)把A (－2，－1)，B (1，3)代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－1，k ＋b ＝3. 解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝53.∵一次函数的解析式为y ＝43x ＋53.(2)把x ＝0代入y ＝43x ＋53，得y ＝53，∵D 点坐标为(0，53)．∵S ∵AOB ＝S ∵AOD ＋S ∵BOD ＝12×53×2＋12×53×1＝52.题6. 已知，一次函数y kx b =+的图像与正比例函数13y x =交于点A ，并与y 轴交于点(0,4)B -，△AOB 的面积为6，则kb = 【答案】203-或4. 【解析】解：因为一次函数y kx b =+的图像与y 轴交于点(0,4)B -， ∴b =－4，OB =4， 设A 点横坐标为a ， 因为△AOB 的面积为6， 所以162a OB ⨯⨯=, 即a =3或－3，点A 的坐标为（3,1）或（－3，－1） 将A 点坐标代入4y kx =-，得： k =53或－1 所以kb = 203-或4. 故答案为：203-或4.题7. 如图7-1所示,点G ，D ，C 在直线a 上,点E ,F ,A ,B 在直线b 上,若a ∥b ,Rt △GEF 从如图所示的位置出发,沿直线b 向右匀速运动,直到EG 与BC 重合.运动过程中△GEF 与矩形ABCD 重合部分的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）图7-1A B C D【解析】根据题意可得：①F、A重合之前没有重叠面积；②F、A重叠之后，重叠部分面积逐渐增大，且增加的速度越来越快；③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变，④F与B重合之后，重叠部分的面积逐渐减小，减小的速度越来越慢，直至最后重叠部分的面积为0．综上所述，只有B选项图形符合．故答案为：B．题8. 如图8-1所示，已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求∵ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S∵APC=6，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。
数学人教版八年级下册一次函数面积专题
知识储备
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1
y
O
–1 –2 –3 –4
1
2
3
4
x
课前热身一
y
O
x
学 习 目 标
1、能解决一次函数的图像与两坐标轴 所围成的面积问题
2、能解决两直线与两坐标轴所围成的 面积问题
经典例题
（1）求两直线表达式； （2）求四边形AOCP的面积.
y
P C B O A x
小
结
解决与一次函数有关的面积问题时应注意： 1、要求三角形或四边形的面积，
需先求出各顶点的坐标，
再确定三角形中有关的长度。
2、求不规则的四边形的面积，常用分割法或补全法。
变式例题一
y
B A O x
变式例题二
y
Q O x
当堂检测
y
l
A
MOΒιβλιοθήκη B x课后习题1.一次函数图象与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，与正比例函
2 数 y x 的图象交于点C，若OB=4，C点横坐标为6， 3
（1）求一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）求原点O到直线AB的距离。
y
C
o
B
A
x
初2第11讲 一次函数综合(二)-面积专题(答案)
初2第11讲一次函数综合（二）-面积专题（答案）黄金数学组 2021秋季班专用教材数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥！初二（上）数学第11讲一次函数综合（二）―面积专题（含解析版）【本讲重难点】1、由坐标求面积2、由面积求坐标3、与面积重叠有关的探究问题★★★★与面积重叠有关的探究问题.例4、（衡阳中考）如图，直线y??x?4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC?OA于点C,MD?OB于D．（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0?a?4)，正方形OCMD与?AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．y y y B B B D M O C A x O A x O A x 图（1）图（2）图（3）【解析】1、当点M在AB上运动时，周长不发生变化，总是等于8；2、先用x表示四边形的面积S2四边形OCMD??（x?2）?4，再利用四边形OCMD的面初二（上）第11讲一次函数综合（二）――面积专题积是关于点M的横坐标x（0＜x＜4）的二次函数，并且x?2，可知即当点M运动到线段AB 的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4．【练习】已知如图，直线y=��x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）求S△OPA的值；（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．【解析】1、P点的纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标为（3，3）名师堂:100年只做一件事――教育！1 黄金数学组 2021秋季班专用教材数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥！2、把OA看作底，P的纵坐标为高，从而可求出面积为23．3、应该分两种情况，当在OP上时和PA时，讨论两种情况求解，过程如下：例5、（湖南邵阳中考）如图，直线l的解析式为y??x?4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为t秒（0?t≤4）．（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2，①当2?t≤4时，试探究S2与t之间的函数关系式；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S52为△OAB面积的16？l y y B l m B m N P N E P P F O M A x O M A x 图十二【解析】（1）在解析式y=-x+4中，分别令y=0，x=0就可以求出与x，y轴的交点坐标为A（4,0），初二（上）第11讲一次函数综合（二）――面积专题B（0,4）；（2）S?122t；（3）根据t的不同值，所对应的阴影部分的图形形状不同，因而应分2＜t≤4和当0＜t≤2两种个情况进行讨论，解题过程如下：2 名师堂:100年只做一件事――教育！黄金数学组 2021秋季班专用教材数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥！【课后练习】1、如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC .（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标为（-3,1）；初二（上）第11讲一次函数综合（二）――面积专题（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S1?PBN?2S?BCM求BN，进而得出ON．解题过程如下：2、如图：直线y=��x+18分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=2x分别与AB交于C点，与过点A且平行于y轴的直线交于D点．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，3 名师堂:100年只做一件事――教育！黄金数学组 2021秋季班专用教材数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥！设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．（1）当0＜t＜12时，求S与t之间的函数关系式；（2）求（1）中S的最大值；（3）当t＞0时，若点（10，10）落在正方形PQMN的内部，求t的取值范围．【解析】1、首先根据题意求得A，B，C，D的坐标，然后过点C作CH⊥AD，易得△CPQ∽△CAD，由相似三角形的性质，即可求得PQ的值，则可求得S与t之间的函数关系式；初二（上）第11讲一次函数综合（二）――面积专题2、将（1）中得到的关系式通过配方成，即可求得当X=6的时候，有S的最大值为108；3、当PQ过点（10，10）时，t最小；当N与（10，10）重合时，t最大，根据题意求解即可．4 名师堂:100年只做一件事――教育！黄金数学组 2021秋季班专用教材数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥！初二（上）第11讲一次函数综合（二）――面积专题5 名师堂:100年只做一件事――教育！感谢您的阅读，祝您生活愉快。
八年级数学一次函数之面积问题(与坐标轴围成的面积)(人教版)(综合)(含答案)
一次函数之面积问题（与坐标轴围成的面积）（人教版）（综合）一、单选题(共10道，每道10分)1.直线y=2x-4与坐标轴围成的三角形的面积是( )A.2B.4C.8D.16答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：略2.直线y=-2x+4和直线y=x-2与y轴围成的三角形的面积是( )A.6B.8C.10D.12答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：略3.直线y=kx+3与坐标轴所围成的三角形面积为6，则k的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：略4.已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的表达式为( )A.y=x+2B.y=-x+2C.y=x+2或y=-x+2D.y=-x+2或y=x-2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：略5.已知一次函数的图象过点(3，0)，且与两坐标轴围成的三角形面积为3，则一次函数的表达式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：略6.已知一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，10)，且与正比例函数y=2x的图象相交于点A(2，a)，则这两个函数图象与y轴所围成的三角形的面积是( )A.5B.10C.20D.40答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：略7.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3，-3)，且与直线y=4x-3的交点在x轴上，则此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：略8.已知一次函数和的图象都经过点A(2，0)，且与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积是( )A.1B.2C.4D.8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：略9.若直线y=kx+b与直线y=4x平行，且直线y=kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则直线y=kx+b与x轴的交点坐标是( ).A.(1，0)B.(1，0）或(-1，0)C.(2，0)D.(2，0）或(-2，0)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：略10.若直线y=2x+b与直线y=-2x的函数图象相交于一点，且两条直线与y轴围成的三角形面积是4，则直线y=2x+b与x轴的交点坐标是( )A.(，0)B.(0，)，(0，)C.(0，)D.(，0)，(，0)答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：略。
一次函数面积问题专题(含答案解析)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m（m>n>0）的图像，（1）用m、n表示A、B、P的坐标（2）四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标4、△AOB的顶点O（0，0）、A（2，1）、B（10，1），直线CD⊥x轴且△AOB面积二等分，若D（m，0），求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO 的面积为2，求点B的坐标。
6、直线y=-x+1与x轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，BAC=90°，点P（a，）在第二象限，△ABP的面积与△ABC面积相等，求a的值.7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P（1）求点P的坐标（2）求△PAB的面积8、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求（1）这两条直线的函数关系式（2）它们与x轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x（1）求出它们的交点A的坐标（2）求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B（1）求两直线交点C的坐标（2）求△ABC的面积（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积為6，求出点P的坐标，若不能请说明理由。
人教版八年级下册数学19.2.4：一次函数的面积问题
复习与回顾
1、已知一次函数 y kx b 的图像平行
于直线 y 3x 5 ，且过点（-1,5），
求一次函数的 解析式.
y 3x 8
2、求直线 y 3x 6 与两坐标轴所围成的
三角形的面积.
6
3、将直线
y
3 4
x
3
平移，使其经过（4,3）
（1）求平移后的函数解析式 （2）求平移后的函数图像与两坐标轴围成的三角 形面积
3 2
1
（1）若点P是y轴上一动点，-4 -3
-2
-1 O -1
12 3 4 x
试确定点P的位置.
-2
-3
（2）若点P是直线 y2x4
上一动点，试确定点P的位置 .
（3）若点P是平面内任意一动点，试确 定点P的位置.
探究
3. 若点P的坐标为（-2，m），
且
SΔABP
=
1 2 SΔAOB
，试确定
点P的位置.
（2）求图象与坐标轴所围成的三角形面积. 当点P在直线运动过程中，若直线AP分△OEF的面积为1:2
（1）若点P是y轴上一动点，
2、P(a,b)是第一象限内在直线y=x-3上一点，已知A(0,4),三角形AOP的面积为S,(1)用b表示a ，(2)写出S关于b的解析式；
解: （1）设 y 0 , 2 x 4 0 ,x 2 , 解：当x=0时，y=3；
（3，0)且平行于y轴的两条直线所围成的梯形 5x＋3与x轴、y轴所围成的三角形的面积。
=_____
y2x4或y2x4
第二象限内的直线上的一个动点。
1：如图，由x轴，直线y=kx+4及分别过（1，0）
数学人教版八年级下册一次函数与三角形面积(铅锤法))
y
C B A
O
x
三 应用与升华 1 y x 1 4 如图，直线 2 与x轴、y轴分别交于A，B两点，C(1，2)，坐标 轴上是否存在点P，使S△ABP=S△ABC？若存在，求 出点P的坐标；若不存在，请说明理由
．
y
m B O A
C
x
四 归纳小结 1 坐标系中处理面积问题，要寻找并 利用____________的线 通常有以下三种思路： ①__________________（规则图形）； ②__________________（分割求和、补形作差）； ③__________________（例：同底等高）．
探 究
与一次函数有关的三角形的 面积问题
宜昌市外国语初级中学 袁晓芹
一 知识回顾 (一) 一条直线与两坐标轴围成的三角形面积 问题 问题1：已知直线y=2x-6与x轴、y轴分别交于 点A、B，求△AOB的面积.
(
二)、两条直线与一坐标轴围成的三角形的面积问
题
问题2、求直线y=2x-6和直线y=-2x+2与y轴围成 的三角形的面积
2 坐标系中面积问题的处理方法举例 ①割补求面积（铅垂法）：
P a B A M h A h B
P
S△ APB
1 ah 2
②转化求面积
：
C h h A B
l1
l2
如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2 上．
二 探究新知
例1 如图，在平面直角坐标系中，已知A(-1，3)， B(3，-2)，求△AOB的面积。
y A
O B
x
例2 如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A，
点B，点P的坐标为(-2，2) ，则S△PAB=_____．
专题07 一次函数的应用(铅锤法求面积)(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册北师大版)
专题07一次函数的应用（铅锤法求面积）【方法说明】常规图形中：平面直角坐标系中：()1212ABC S BD d d =+ ()1212ABC S BD y y =+ ()1212ABC S BD x x =+ (1)A 、B 两点坐标分别为________，________；(2)点(3,0)M 在x 轴上，若点P 是直线AB 上的一个动点，当标．【答案】(1)(2,0)，(0,3)；(2)(4,3)-或(4,9)-【分析】（1）根据直线332y x =-+，令0y =求出B 的坐标；（2）分类讨论：点P 在x 轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点P 的坐标即可．【详解】（1）解：对于直线332y x =-+，当0x =时，3y =．12PBM PAM ABM S S S =+=△△△∴3P y =，∵点P 在x 轴下方，∴3P y =-，当=3y -时，代入32y =-解得4x =．∴3(4,)P -；②当点P 在x 轴上方时，12PBM APM ABM S S S =-=△△△∴9P y =，∵点P 在x 轴上方，∴9P y =．(1)求A B ，两点的坐标；(2)求C 点坐标及b 的值；(3)如图2，直线BC 交y 轴于点D ，在直线BC 上取一点E ，使AE AC ＝F ．①求证：BD ED ＝；②在直线AE 上是否存在一点P ，使ABP 的面积等于ABD 的面积？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)()02A ，，()10B ，(2)点31C （，）；12b =-(3)①见解析；②点P 的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或17,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）22y x =-+中求出0x =时y 的值和0y =时x 的值即可得；（2）作CD x ⊥轴，证明ABO BCD ≌△△得2BD OA ==，1CD OB ==根据待定系数法求解可得；（3）①过点C 作CG x ⊥轴于点G ，作EM x ⊥轴于点M ，EN y ⊥轴于点BCG BEM AAS ≌（）、BDO EDN AAS ≌（），即可求解；则90AOB BDC ∠=∠=︒，∴90OAB ABO ∠+∠=︒，∵ABC 是等腰直角三角形，∴90AB BC ABC =∠=︒，，∴90ABO CBD ∠+∠=︒，∴OAB DBC ∠=∠，∴()AAS ABO BCD ≌△△，∴21BD OA CD OB ====，，则点()31C ，，∵直线BC 所在直线解析式为y =将点()31C ，代入，得：132b ⨯+=（3）①过点C 作CG x ⊥轴于点则BGC BME END BOD ∠=∠=∠=∠∵90ABC AE AC ∠=︒=，，∴AB 是CE 的中垂线，∴BC BE =，∵CBG EBM ∠=∠，∴AAS BCG BEM ≌（） ，∴21BM BG EM CG ====，，∵1BO =，∴1OM EN OB ===，∵BDO EDN ∠=∠，∴()AAS BDO EDN ≌ ，∴BD ED =；②如图③，作EH x ⊥轴于点H 由1122y x =-知10,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即OD 则52AD OA OD =+=，∴115512224ABD S AD OB =⨯=⨯⨯= 由①知()11E --，，(1)求一次函数y kx b =+的关系式；(2)点P 是一次函数24y x =+图象上的动点，设点关于n 的函数关系式．ΔΔ1202ABC PAC P s s s AC y =-=-⨯⨯12010242n =-⨯⨯+ΔΔ1202PAC ABC P s s S AC y =-=⨯⨯-11024202n =⨯⨯+-(1)求点A 、B 的坐标；(2)如图1，若点C (−2，2)，求三角形ABC 的面积；(3)若点P 是第一、三象限角平分线上一点，且三角形ABP 的面积为392，求点当CE 为对角线时，,CE BF 的中点为O ，则CO OE=∴()4,0E综上所述，E 的坐标为()4,4-或()4,0；（3）解：如图所示，设BD 交x 轴于点G ，∵BD 将四边形ABCD 的面积分成2:3的两部分，则:=2:3AG CG 或:3:2AG CG =∵()()1,0,4,0A C -∴5AC =则()1,0G -或()2,0-当()1,0G -时，设直线BG 的解析式为11y k x b =+(1)求直线l 的表达式；(2)求直线BC 的表达式；(3)求AOB 的面积；(4)点P 是第三象限在直线l 【答案】(1)35y x =(2)8y x =-+(3)12(4)()5,3--【分析】（1）根据待定系数法求解即可；()()5,3,8,0A B 3,8AD OB ∴==11822AOB S OB AD =⨯=⨯⨯△（4）解：如图，(1)写出S 与x 之间的函数关系，并写出(2)当AOC 的面积为6时，求出点(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点角形面积也为6，若存在，请直接写出点【答案】(1)(3186S x =+-(2)2()4,C -(3)存在，()10,2M ，2(0,M 【分析】（1）先求出点A （2）将6S =代入函数解析式可求得点（3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点【详解】（1）解：点(C x 当0y =时，x 6=-，则AO1164622BM BM ⋅-⋅=，∴6BM =，(1)A点和B点坐标分别为，；是以AB为腰的等腰三角形，求点(2)点C在x轴上，若ABCM在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，(3)点(3,0)【答案】(1)(2,0),(0,3)①当AB BC =时，点②当AB AC =时，∵(2,0),(0,3),A B ∴222313,AB =+=∵13,AB AC '==∴(132,0)(2C C '''+、综上所述，符合条件的点（3）∵(3,0),M ∴3,OM =∴32 1.AM =-=①当点P 在x 轴下方时，PBM PAM ABMS S S ∆∆∆=+1122AM OB AM =⋅⋅+⋅11131||22P y =⨯⨯+⨯⨯3,=∴|3|P y =∵点P 在x 轴下方，∴3,P y =-当=3y -时，代入y =解得 4.x =∴3(4,)P -；②当点P 在x 轴上方时，PBM APM ABM S S S ∆∆∆=-∴||9,P y =∵点P 在x 轴上方，∴9.P y =9y =y =-(1)填空：=a ，b =；(2)如果在第三象限内有一点M (3)在（2）的条件下，当2m =-时，的面积相等，请求出点P 的坐标．【答案】(1)-1，3(2)2m -(3)14(0,)5P -或2(0,)5P∵()1,0A -，()3,0B ，∴AB =3-(-1)=4∵(2,)M m -位于第三象限∴MN m m ==-∴114(22ABM S AB MN =⋅=⨯⨯- 故答案为：2m -；（3）当2m =-时，2ABM S =-⨯ 设BM 与y 轴的交点为Q 点，BM 将()3,0B 和(2,2)M --代入得：0322k b k b =+⎧⎨-=-+⎩，解得2565k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴BM 的解析式为2655y x =-，当x =0时，65y =-，∴1(2PBM PBQ PMQ S S S =+=⨯ 解得145n =-，∴14(0,)5P -；当P 点位于Q 点上方时，如图所示，1(2PBM PBQ PMQ S S S n =+=⨯+ 解得25n =，∴2(0,)5P ；综上所述，14(0,)5P -或2(0,)5P ．【点睛】本题考查了一次函数中的几何问题，面积找出点的坐标，分类讨论思想和灵活运用函数知识和几何知识是本题的关键．。
一次函数铅锤法求面积难点题
一次函数铅锤法求面积难点题一次函数铅锤法求面积是数学中的一个重要概念，也是一种常用的求解面积的方法。
下面我将从多个角度来回答这个难点题。
首先，让我们明确一次函数的定义。
一次函数又称为线性函数，它的表达式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a不等于0。
一次函数的图像是一条直线，具有一定的斜率和截距。
现在，我们来解决这个难点题。
假设我们要求解一次函数y =ax + b在两个给定点x1和x2之间的面积。
首先，我们需要确定这两个点的横坐标x1和x2，并计算出对应的纵坐标y1和y2。
这可以通过将x1和x2代入函数表达式中得到。
接下来，我们需要找到这条直线和x轴之间的面积。
由于一次函数的图像是一条直线，所以这个面积可以表示为一个梯形的面积。
梯形的面积公式为，面积 = 底边之和乘以高除以2。
在这里，底边之和就是x2和x1之间的距离，即x2 x1；高就是y1和y2之间的距离，即y2 y1。
将这些值带入公式，我们可以得到一次函数在x1和x2之间的面积。
此外，还有一种更简便的方法来求解一次函数的面积，即使用积分。
一次函数的面积可以通过对函数进行积分来求得。
具体而言，我们可以对函数y = ax + b在x1和x2之间进行积分，得到的结果即为所求的面积。
综上所述，一次函数铅锤法求面积的难点在于确定两个点的坐标、计算底边之和和高的差值，并进行相应的计算。
另外，也可以使用积分来求解一次函数的面积。
希望这个回答能够帮助你理解一次函数铅锤法求面积的难点题。
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一次函数之面积问题（铅垂法二）（人教版）一、单选题(共5道，每道16分)
1.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x 轴、y轴分别交于C，D两点．设直线，交于点P，则△PAD的面积为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积
2.如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，点A的横坐标是3，直线与x轴、y轴分别交于点C、点B，且，则直线的表达式是( )
A.y=2x-5
B.y=3x-5
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积
3.（上接第2题）点P是直线上的一个动点，且在A点的左侧，若△ABP的面积为12，则点P的坐标是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积
4.如图，已知直线经过点A(2，0)与点B(0，1)，如果在第二象限内有一点，若△APB 的面积为3，则a的值是( )
A. B.-2
C.-5
D.-8
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积
5.如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，分别交x 轴于点B和点C(4，0)，点D是线段AC上的一个动点，且，则点D的坐标是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积
二、填空题(共1道，每道17分)
6.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(-1，3)，B(-3，-2)，C(4，-3)，D(3，2)．则四边形ABCD的面积是____．
答案：28 解题思路：
试题难度：知识点：铅垂法求面积。