勾股定理证明的教学探索

【摘要】在学生未学习相应知识的前提下，改变想法引导学生自主建构，通过拼图再加以图形变换，最后用面积法证明勾股定理.
【关键词】勾股定理；案例；证明方法；证明顺序
勾股定理的发现以及应用，是数学历史上重要的里程碑，古往今来有很多人证明了勾股定理，用了许多较好的方法.每年的初中数学比武课都多次选中勾股定理这一章的第一节内容，让老师们一试身手.以下是一节课中勾股定理证明的传统顺序证明与非正常顺序证明的前后对比，包括解决难点的想法的改变.
按正常的教学顺序，勾股定理的学习应该是在整式乘除和实数两章后面学习，这样能用多项式的乘法公式和求算术平方根的方法学习勾股定理这一章.
在教学中，只要学生能用全等的四个直角三角形拼出如左图所示的赵爽弦图，再引导学生用两种方法求它的面积即大正方形的面积
＝四个直角三角形的面积＋小正方形的面积，可以很快得到c 2＝4×12ab ＋（b －a ）2，用完全
平方公式展开得到c 2
=a 2+b 2.这样，勾股定理的证明并不是较难的问题.
2010年的比武课进行时，多项式的乘法公式即完全平方公式未学习，给勾股定理的证明带来了新的难度.当时有两
种初步的想法如下：
（一）按书本顺序进行
让学生用两个全等的长方形（矩形还未学习）拼出一个L 形（如图①），再给两个完全一样的长方形沿着对角线剪开得到全等的直角三角形，拼出一个大正方形（如图②），找出什么量没有变，引导学生得到面积不变，从而引导得到勾股定理的成立.
但是仔细想：拼图虽然花费时间但不难，难点有两个：第
一，小正方形（边长是b －a 的正方形）在图①中是怎么出现的，假如是引导学生找边长是b 的正方形和边长是a 的正方形，为什么边长是b 的正方形一定出现在左边而边长是a 的正方形在右边，这样导致想法和图形有多样性，不一定是勾股定理的证明方向；第二，在学生的拼图L 形中，没有边长是
b－a 的小正方形，对于面积不变的直观感受学生是不认同的，
有点牵强附会.
（二）改变想法进行
先拼L 形，就在L 形上将长方形剪开，保持相邻的两个
直角三角形不动，移动另外两个直角三角形拼成大正方形，这样的方法解决了小正方形是怎样出现的问题，但是对于勾股定理中出现的a 2，b 2依然没解决是怎么出现的，另外移动后小正方形消失了，但是优点是解决了前后两个图形拼图之间的关系：有了运动变化的变与不变的直接感受；后来又增
进了想法，既然c 2代表图③中正方形的面积，那么a 2，b 2代表图①中什么图形的面积（用长方形和大正方形中间空缺部分的面积拼出a 2，b 2）？但仍然未解决空缺部分即边长是b －a 小正方形的实际缺失的直观问题.
（三）经过几天的思考，有了第三种想法，虽然不够成熟，但是基本能解决问题
用全等的四个直角三角形拼出一个正方形，如下面的图
③（空白部分用边长是b －a 的小正方形填空，教师可以预先准备，让学生填入空白处，并提问边长是多少）.
再用完全一样全等的四个直角三角形可以拼出一样的两个长方形，用两个长方形拼出L 形，最后用全等的四个直角三角形拼出L 形，即图④.（此时拼图中没有空白部分即边长是b －a 的小正方形）
拼图中拿去第二个拼图（两个长方形拼出的L 形），只剩图③和④，提出问题：图③中两个直角三角形不动，移动其余两个直角三角形得到图④，学生很快得到书本的图①——
—如图⑤，这样解决了图形面积的缺失问题，把学生动手做的与Flash 动画中展示的完美结合，解决了学生想法与实际拼图的断层问题.
第二个难点可以顺便解决问题：在③和④哪些图形的面积可以表示为结论中的c 2，a 2，b 2？变化前后的面积改变了吗？其中图③中的面积有哪些不同的表示方法？图④中的面积有哪些不同的表示方法？图③：大正方形的面积c 2＝4个全等直角三角形的面积和＋中间小正方形的面积；图④：两个正方形的面积和b 2＋a 2＝4个全等直角三角形的面积和＋同样的小正方形的面积.用两个等式等量代换就证明了勾股定理.
教学过程回顾：教学过程一还是最简洁的，在教学过程二当中，虽然多花了些时间，但是依照“从学生中来，到学生中去”的原则，还是在知识的局限性下，很好地解决了学生的认知困难，从学生最近的知识方法区域出发，用学生易于接受的过程和方法，让多数学生找到动手动脑的乐趣而且乐于接受，从而产生共鸣，方便学生深刻记忆和进一步加深理解；在学生动手操作的过程中会遇到挫折，小组合作会有较好的帮助作用，能互相促进，对图形的位置、边长的长短等等有大
《勾股定理》证明的一个案例
◎尹招华（江苏省南通市紫琅中学
226004）
a
b
a
c a
b c
①
②c a
b ③
④
c
a
b
c a
b a
a b ⑤
(下转79页)
概的判断，最后大多数小组都能拼出图形，并能进行教学二之（三）的图形③向④的变换，再结合动画演示，绝大多数学生能理解在拼图的基础上用面积法证明勾股定理的过程.
教学反思：1．本节课根据一般的认知结构采用“观察—猜想—实验—归纳—验证—应用”的教学方法，而其中验证的过程，无论是国内还是国外，都经历了很长一段时间，而且方式、方法多样，要学生在较短时间内主动接受验证过程这一信息，除了动手动脑，没有更好的办法.这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，从学生的原有认知出发，在教师的刻意安排下，让学生在自己的意识里，既能找到合情合理的图形变换，又能数形结合，自我推理不是被人强加的知识，符合学生的认知心理，同时为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用，培养学生的空间想象能力及探索问题的能力，使学生在相互讨论、启发的小组合作中得到提高.
2．本节课始终体现“以学生为主体”的教育理念，试图让
学生经历自我观察、归纳、猜想、验证的数学发现过程，发展学生的合情合理推理能力，体验数学家们探求新知的乐趣.在此过程中，探索拼图的方式采用面积法，引导学生利用实验证明一般的规律，对直角三角形三边关系加以探究，得出结论.这种方法是认识事物规律的重要方法之一，通过教学让学生初步掌握这种方法，对于学生良好数学思维品质的形成有重要作用，对学生的终身发展也有一定的作用.
3．在教学中应该关注学生在想什么，想对了还是错了，
为什么是对的和错的，是不是与教师的思维同步，不同步应该怎么做，如何在教学中或教学后适时调整教学策略、教学方法、教学难度：拼图、图形变换与面积法的证明学生肯定不是全部都会的，要及时倾听、交流、引导、改正；教师的课前预设不一定都能按理想状态完成，教师当时的教学智慧如何适时切入，这些都要通过实践去实施，不断改善，以期达到新的高度.另外，肯定会有另外的好方法来完成勾股定理证明的课堂教学，希不吝赐教.
附：动画演示拼图过程（前后做了三个动画，代表的是不
同的想法）
种逆向思维，很有创新性！教者大大地表扬了该学生，并在星星榜上打上大大的红五星.学生们眼里充满了钦佩和欣喜！智慧之花在共同欣赏中更加绚丽夺目！
教学反思
二年级的连续进位乘法是在学习进位加法和不连续进位乘法的基础上进行的.练习乘加口算的目的是为学生学习连续进位乘分散难点，做好知识、方法的迁移准备.学生详说计算过程，目的是让学生学会有序表达，展示计算思路，又让其他学生在倾听中更好地明确计算过程的逻辑顺序———先乘后加，为后续学习打下伏笔.同时，其他学生及时“对”或“错”的评价，使学生在汇报与评价的此起彼伏的表达声中互相监督与激励，充分地说、听、看、想，形成全感参与、全员参与的学习心理场，课堂富有动感和激情！让学生写两位数接近哪个整十数，是为后面教学两位数乘一位数的估算做准备的.通过板书示范和提问让学生清楚回答的要求，不至于出现首次教学中离题万里的现象；将个别口答与集体评价结合，将个别参与变为全员参与，将听与说的单感官参与变为看、想、写、说、听、评的全感参与，交流的信息也更加丰富多彩而富有个性，复习过程也更实在、有效！教师的评价语“同学们表现真棒！”“给自己点掌声！”让学生倍感轻松和愉悦，于是渴望接下来的成功！
计算是一种智力操作技能.它的形成一般要经历四个阶段，即：认知阶段、分解阶段、组合阶段、自动化阶段.认知阶段主要是让学生理解算理、明确方法，两位数乘一位数的连续进位乘法是在两位数乘一位数的不连续进位乘的基础上
进行教学的，所以这节课的重难点不在明白算理，而在于借助不连续进位乘的竖式计算，在迁移中掌握连续进位乘的计算规则和逻辑顺序，在连续的计算过程中将单一技能（第一步的乘和第二步的乘加）组合为复合技能，在综合训练中达到自动化阶段.
一道简单的连一连，通过让学生想、说、写、算、连和解答、板演、口答、齐答等方式，实现全感齐动和全员互动，从而很好地巩固了两位数乘一位数的估算，培养了学生有序思考和有序表达的能力，使练习的内在价值得到了极大的发挥.捕捉创新火花，让学生讨论解决问题的第二种解法，并在表扬和赏识中让学生感受到思维的力量和数学的魅力，于是心中涌起再次求异的冲动，完成作业就是一种有目标的主动争取成功的历程.有了如此的良性循环，哪来学习负担？学生会越学越轻松，进步会越来越快！
结论
“三全联动”变无声的算为有声的算，变隐性的算为显性的算，变只看结果的算为关注过程的算.通过大声地说计算过程，使学生的口、眼、耳、脑、手等多种感官同时最大限度地参与到学习中来，使学生外部的感官活动更有效地推动了内部的心智活动，加速学习的内化过程，使学习效率成倍增加.而学生说计算过程的形式也是多种多样、富有变化的：自言自语的，同座互说的，分组说的，全班齐说的等；同时，说计算过程时要求节奏轻快、句式简洁、朗朗上口，活泼而富有动感.这样就调动了学生全身心地参与到计算技能形成的活动中来，乐此不疲，事半功倍！
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