2019-2020年最新湖南省湘潭市中考数学仿真模拟试卷及答案解析
湖南省湘潭市2019-2020学年中考一诊数学试题含解析
湖南省湘潭市2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知(AC BC)ABC ∆<，用尺规作图的方法在BC 上确定一点P ，使PA PC BC +=，则符合要求的作图痕迹是（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞1；②b+c+1=1；③3b+c+6=1；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜1． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．43．用铝片做听装饮料瓶，现有100张铝片，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底45个，一个瓶身和两个瓶底可配成一套，设用x 张铝片制作瓶身，则可列方程（ ） A ．1645(100)x x =- B ．1645(50)x x =- C ．21645(100)x x ⨯=- D ．16245(100)x x =⨯-419273） A ．﹣2和﹣1B ．﹣3和﹣2C ．﹣4和﹣3D ．﹣5和﹣45．一元二次方程220x x -=的根是（ ） A ．120,2x x ==-B ．121,2x x ==C ．121,2x x ==-D ．120,2x x ==6．等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数为（ ） A ．80°B ．80°或50°C ．20°D ．80°或20°7．下列计算正确的是（ ） A ．﹣5x ﹣2x=﹣3xB ．（a+3）2=a 2+9C ．（﹣a 3）2=a 5D ．a 2p ÷a ﹣p =a 3p8．如果2a b -=，那么22b a a b a a-+÷的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-9．若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b =+的图象可能是:A ．B ．C ．D ．10．由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ） A ．1：23B ．2：3：4C ．13 2D ．1：2：312．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x 名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ） A ．2×1000（26﹣x ）=800x B ．1000（13﹣x ）=800x C ．1000（26﹣x ）=2×800xD ．1000（26﹣x ）=800x二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．将抛物线y=（x+m ）2向右平移2个单位后，对称轴是y 轴，那么m 的值是_____．A B C D E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分14．高速公路某收费站出城方向有编号为,,,,钟通过小客车的数量分别都是不变的.同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：收费出口编号,A B,B C,C D,D E,E A通过小客车数量（辆）260 330 300 360 240A B C D E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个出口的编号是___________. 在,,,,15．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为1 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm1．16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x …－5 －4 －3 －2 －1 …y … 3 －2 －5 －6 －5 …则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－2的根是______．17．已知正比例函数的图像经过点M()、、，如果，那么________．（填“＞”、“＝”、“＜”）18．小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）我们已经知道一些特殊的勾股数，如三连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中，书中提到：当a＝12(m2﹣n2)，b＝mn，c＝12(m2+n2)(m、n为正整数，m＞n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．20．（6分）如图，在矩形ABCD中，E是边BC上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．求证：AB=DF．21．（6分）某商场柜台销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台4台1200元第二周5台6台1900元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入—进货成本）（1）求A、B两种型号的电器的销售单价；（2）若商场准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电器共50台，求A种型号的电器最多能采购多少台？（3）在（2）中商场用不多于7500元采购这两种型号的电器共50台的条件下，商场销售完这50台电器能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.22．（8分）解不等式组21324x xx x≥⎧⎨≥⎩－①－（－）②请结合题意填空，完成本题的解答（1）解不等式①，得_______.（2）解不等式②，得_______.（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为_______________.23．（8分） (1)计算：|3－1|＋(2017－π)0－(14)－1－3tan30°＋38； (2)化简：(22369a aa a --+＋23a -)÷229a a --，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a 的值代入求值．24．（10分）如图所示，在长和宽分别是a 、b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．（1）用a ，b ，x 表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长． 25．（10分）已知关于x 的一元二次方程()2()20(x m x m m ---=为常数)．()1求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ()2若该方程一个根为5，求m 的值．26．（12分）已知，抛物线L ：y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （-3,0），与y 轴交于点C （0,3）． （1）求抛物线L 的顶点坐标和A 点坐标．（2）如何平移抛物线L 得到抛物线L 1，使得平移后的抛物线L 1的顶点与抛物线L 的顶点关于原点对称？ （3）将抛物线L 平移，使其经过点C 得到抛物线L 2，点P （m ，n ）（m ＞0）是抛物线L 2上的一点，是否存在点P ，使得△PAC 为等腰直角三角形，若存在，请直接写出抛物线L 2的表达式，若不存在，请说明理由．27．（12分）某市飞翔航模小队，计划购进一批无人机．已知3台A 型无人机和4台B 型无人机共需6400元，4台A 型无人机和3台B 型无人机共需6200元．（1）求一台A 型无人机和一台B 型无人机的售价各是多少元？（2）该航模小队一次购进两种型号的无人机共50台，并且B 型无人机的数量不少于A 型无人机的数量的2倍．设购进A 型无人机x 台，总费用为y 元． ①求y 与x 的关系式；②购进A 型、B 型无人机各多少台，才能使总费用最少？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．D 【解析】试题分析：D 选项中作的是AB 的中垂线，∴PA=PB ，∵PB+PC=BC ， ∴PA+PC=BC ．故选D ． 考点：作图—复杂作图． 2．B 【解析】分析：∵函数y=x 2+bx+c 与x 轴无交点，∴b 2﹣4c ＜1；故①错误。
湖南省湘潭市2019-2020学年中考第五次模拟数学试题含解析
湖南省湘潭市2019-2020学年中考第五次模拟数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC 绕原点O 旋转180°得到△CDA ，点A ，B ，C 的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（2，﹣2）C ．（2，5）D ．（﹣2，5）2．4的平方根是( )A ．4B ．±4C ．±2D ．23．计算327-的值为( )A ．26-B ．-4C ．23-D ．-24．下列事件中必然发生的事件是（ ）A ．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B ．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C ．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D ．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数5．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）A ．1：2：3B ．2：3：4C ．1：3：2D ．1：2：36．如图，在三角形ABC 中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C 沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C ，若点B′恰好落在线段AB 上，AC 、A′B′交于点O ，则∠COA′的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°7．已知如图，△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于（ ）A．315°B．270°C．180°D．135°8．估算30的值在( )A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间9．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）A．4848944x x+=+-B．4848944+=+-x xC．48x+4＝9 D．9696944+=+-x x10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．B．C．D．11．为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%．为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量(单位：m1)，绘制了统计图，如图所示．下面有四个推断：①年用水量不超过180m1的该市居民家庭按第一档水价交费；②年用水量不超过240m1的该市居民家庭按第三档水价交费；③该市居民家庭年用水量的中位数在150~180m1之间；④该市居民家庭年用水量的众数约为110m1．其中合理的是( )A．①③B．①④C．②③D．②④12．近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（）A．1.8×105B．1.8×104C．0.18×106D．18×104二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点OAC 的中点，点D 在A 射线BO 上，连接OE ，EC ，若AB ＝4，则OE 的最小值为_____．14．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘﹣131，其 浓度为0.0000872贝克/立方米．数据“0.0000872”用科学记数法可表示为________．15．已知圆锥的高为3，底面圆的直径为8，则圆锥的侧面积为_____．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x =可通过平移变换向__________得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分（如图所示）的面积是__________．17．已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm,腰长为50 cm ，能从这块钢板上截得得最大圆得半径为________cm18．如图，已知正方形边长为4，以A 为圆心，AB 为半径作弧BD ，M 是BC 的中点，过点M 作EM ⊥BC 交弧BD 于点E ，则弧BE 的长为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）列方程或方程组解应用题：去年暑期，某地由于暴雨导致电路中断，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，10分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求吉普车的速度．20．（6分）如图，在矩形ABCD 中，AB═2，3P 是BC 边上的一点，且BP=2CP ．（1）用尺规在图①中作出CD 边上的中点E ，连接AE 、BE （保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图②，在（1）的条体下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB 能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝1．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一个根为1时，求k的值．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点E是»AD上的一点，∠DBC=∠BED．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．23．（8分）已知函数y=3x（x＞0）的图象与一次函数y=ax﹣2（a≠0）的图象交于点A（3，n）．（1）求实数a的值；（2）设一次函数y=ax﹣2（a≠0）的图象与y轴交于点B，若点C在y轴上，且S△ABC=2S△AOB，求点C 的坐标．24．（10分）台州市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/千克)与时间第t(天)之间的函数关系为：p=14t+16，日销售量y(千克)与时间第t(天)之间的函数关系如图所示：(1)求日销售量y与时间t的函数关系式？(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？25．（10分）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元求甲、乙型号手机每部进价为多少元？该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m元，而甲型号手机售价不变，要使(2)中所有方案获利相同，求m的值26．（12分）我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：(1)接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为______°.(2)若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为_______人.(3)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率.27．（12分）如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上且AB＝12cm（1）若OB＝6cm．①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值是多少cm．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】分析：依据四边形ABCD是平行四边形，即可得到BD经过点O，依据B的坐标为（﹣2，﹣2），即可得出D的坐标为（2，2）．详解：∵点A，C的坐标分别为（﹣5，2），（5，﹣2），∴点O是AC的中点，∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD经过点O，∵B的坐标为（﹣2，﹣2），∴D的坐标为（2，2），故选A．点睛：本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．2．C【解析】【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x1=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【详解】∵（±1）1=4，∴4的平方根是±1．故选D．【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．3．C【解析】【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】原式=3-33=-23，故选C．【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．4．C【解析】【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．【详解】A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．5．D【解析】试题分析：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，因而AD=OC+OD；在直角△OCD中，∠DOC=60°，则OD：OC=1：2，因而OD：OC：AD=1：2：1，所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：1．故选D．考点：正多边形和圆．6．B【解析】试题分析：∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°．由旋转的性质可知：BC=B′C，∴∠B=∠BB′C=50°．又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′，∴∠ACB′=10°，∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°．故选B．考点：旋转的性质．7．B【解析】【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．【详解】如图，∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4=180°-∠C=90°，∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．故选B．【点睛】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．8．C【解析】【分析】<<530253036<<6，即可解出.【详解】<<253036<<6，∴530故选C.【点睛】此题主要考查了无理数的估算，掌握无理数的估算是解题的关键.9．A【解析】【分析】根据轮船在静水中的速度为x千米/时可进一步得出顺流与逆流速度，从而得出各自航行时间，然后根据两次航行时间共用去9小时进一步列出方程组即可.【详解】∵轮船在静水中的速度为x千米/时，∴顺流航行时间为：484x+，逆流航行时间为：484x-，∴可得出方程：4848944x x+=+-，故选：A．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握顺流与逆流速度的性质是解题关键．10．D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.11．B【解析】【分析】利用条形统计图结合中位数和中位数的定义分别分析得出答案．【详解】①由条形统计图可得：年用水量不超过180m1的该市居民家庭一共有（0.25+0.75+1.5+1.0+0.5）=4（万），45×100%=80%，故年用水量不超过180m1的该市居民家庭按第一档水价交费，正确；②∵年用水量超过240m1的该市居民家庭有（0.15+0.15+0.05）=0.15（万），∴0.355×100%=7%≠5%，故年用水量超过240m1的该市居民家庭按第三档水价交费，故此选项错误；③∵5万个数据的中间是第25000和25001的平均数，∴该市居民家庭年用水量的中位数在120-150之间，故此选项错误；④该市居民家庭年用水量为110m1有1.5万户，户数最多，该市居民家庭年用水量的众数约为110m1，因此正确，故选B．【点睛】此题主要考查了频数分布直方图以及中位数和众数的定义，正确利用条形统计图获取正确信息是解题关键．12．A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】180000=1.8×105，故选A．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得OC＝12AC，∠ABD＝30°，根据“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE的最小值．【详解】解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，∴OC＝12AC，∠ABD＝30°∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）∴∠ACE ＝30°＝∠ABD当OE ⊥EC 时，OE 的长度最小，∵∠OEC ＝90°，∠ACE ＝30°∴OE 最小值＝12OC ＝14AB ＝1， 故答案为1【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 14．58.7210-⨯【解析】【分析】科学记数法的表示形式为ax10n 的形式，其中1≤lal<10，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数.【详解】解：0.0000872=58.7210-⨯故答案为：58.7210-⨯【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值.15．20π【解析】【分析】利用勾股定理可求得圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式进行计算即可.【详解】底面直径为8，底面半径=4，底面周长=8π，由勾股定理得，母线长，故圆锥的侧面积=12×8π×5=20π， 故答案为：20π．本题主要考查了圆锥的侧面积的计算方法．解题的关键是熟记圆锥的侧面展开扇形的面积计算方法． 16．先向右平移2个单位再向下平移2个单位； 4【解析】221122222y x x x =-=--. 平移后顶点坐标是（2，-2），利用割补法，把x 轴上方阴影部分补到下方，可以得到矩形面积,面积是224⨯=. 17．15【解析】如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 是能从这块钢板上截得的最大圆，则由题意可知：AD 和BF 是△ABC 的角平分线，AB=AC=50cm ，BC=60cm ，∴∠ADB=90°，BD=CD=30cm ，∴AD=22503040-=（cm ），连接圆心O 和切点E ，则∠BEO=90°，又∵OD=OE ，OB=OB ，∴△BEO ≌△BDO ，∴BE=BD=30cm ，∴AE=AB-BE=50-30=20cm ，设OD=OE=x ，则AO=40-x ，在Rt △AOE 中，由勾股定理可得：22220(40)x x +=-，解得：15x =(cm).即能截得的最大圆的半径为15cm.故答案为：15.点睛：（1）三角形中能够裁剪出的最大的圆是这个三角形的内切圆；（2）若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ，内切圆的半径为r ，则2=++S r a b c . 18．23π 【解析】延长ME 交AD 于F ，由M 是BC 的中点，MF ⊥AD ，得到F 点为AD 的中点，即AF=12AD ，则∠AEF=30°，得到∠BAE=30°，再利用弧长公式计算出弧BE 的长．【详解】 延长ME 交AD 于F ，如图，∵M 是BC 的中点，MF ⊥AD ，∴F 点为AD 的中点，即AF=12AD ． 又∵AE=AD ，∴AE=2AF ，∴∠AEF=30°，∴∠BAE=30°，∴弧BE 的长=304180π⋅⋅=23π． 故答案为23π．【点睛】本题考查了弧长公式：l=180n R π⋅⋅．也考查了在直角三角形中，一直角边是斜边的一半，这条直角边所对的角为30度．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．吉普车的速度为30千米/时.【解析】【分析】先设抢修车的速度为x 千米/时，则吉普车的速度为1.5x 千米/时，列出方程求出x 的值，再进行检验，即可求出答案．【详解】解：设抢修车的速度为x 千米/时，则吉普车的速度为15x 千米/时.由题意得：1515151.560x x -=. 解得，x=20经检验，x=20是原方程的解，并且x=20,1.5x=30都符合题意.答：吉普车的速度为30千米/时.点评：本题难度中等，主要考查学生对分式方程实际应用的综合运用．为中考常见题型，要求学生牢固掌握．注意检验．20．（1）作图见解析；（2）EB 是平分∠AEC ，理由见解析； （3）△PFB 能由都经过P 点的两次变换与△PAE 组成一个等腰三角形，变换的方法为：将△BPF 绕点B 顺时针旋转120°和△EPA 重合，①沿PF 折叠，②沿AE 折叠．【分析】（1）根据作线段的垂直平分线的方法作图即可得出结论；（2）先求出DE=CE=1，进而判断出△ADE ≌△BCE ，得出∠AED=∠BEC ，再用锐角三角函数求出∠AED ，即可得出结论；（3）先判断出△AEP ≌△FBP ，即可得出结论．【详解】（1）依题意作出图形如图①所示；（2）EB 是平分∠AEC ，理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，BC=AD=3， ∵点E 是CD 的中点，∴DE=CE=12CD=1， 在△ADE 和△BCE 中，90AD BC C D DE CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BCE ，∴∠AED=∠BEC ，在Rt △ADE 中，AD=3，DE=1，∴tan ∠AED=AD DE=3， ∴∠AED=60°，∴∠BCE=∠AED=60°，∴∠AEB=180°﹣∠AED ﹣∠BEC=60°=∠BEC ， ∴BE 平分∠AEC ；（3）∵BP=2CP ，BC=3=，∴323，在Rt △CEP 中，tan ∠CEP=CP CE = ∴∠CEP=30°，∴∠BEP=30°，∴∠AEP=90°，∵CD ∥AB ，∴∠F=∠CEP=30°，在Rt △ABP 中，tan ∠BAP=BP AB =3， ∴∠PAB=30°， ∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB ，∵CB ⊥AF ，∴AP=FP ，∴△AEP ≌△FBP ，∴△PFB 能由都经过P 点的两次变换与△PAE 组成一个等腰三角形，变换的方法为：将△BPF 绕点B 顺时针旋转120°和△EPA 重合，①沿PF 折叠，②沿AE 折叠．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，图形的变换等，熟练掌握和灵活应用相关的性质与定理、判断出△AEP ≌△△FBP 是解本题的关键．21．（2）证明见解析；（2）k 2＝2，k 2＝2．【解析】【分析】（2）套入数据求出△＝b 2﹣4ac 的值，再与2作比较，由于△＝2＞2，从而证出方程有两个不相等的实数根；（2）将x ＝2代入原方程，得出关于k 的一元二次方程，解方程即可求出k 的值．【详解】（2）证明：△＝b 2﹣4ac ，＝[﹣（2k+2）]2﹣4（k 2+k ），＝4k 2+4k+2﹣4k 2﹣4k ，＝2＞2．∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有一个根为2，∴22﹣（2k+2）+k 2+k ＝2，即k 2﹣k ＝2，【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（2）求出△＝b2﹣4ac的值；（2）代入x＝2得出关于k的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键．22．(1)证明见解析(2)BC=【解析】【分析】（1）AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，从而得出∠BAD=∠DBC，即∠ABC=90°，即可证明BC是⊙O 的切线；（2）可证明△ABC∽△BDC，则BC CDCA BC=，即可得出10．【详解】（1）∵AB是⊙O的切直径，∴∠ADB=90°，又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°，∴∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC CDCA BC=，即BC2=AC•CD=（AD+CD）•CD=10，∴10．考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定和性质. 23．（1）a=1；（2）C（0，﹣4）或（0，0）．【解析】【分析】（1）把A（3，n）代入y=3x（x＞0）求得n 的值，即可得A点坐标，再把A点坐标代入一次函数y=ax﹣2 可得a 的值；（2）先求出一次函数y=ax﹣2（a≠0）的图象与y 轴交点B 的坐标，再分两种情况（①当C点在y轴的正半轴上或原点时；②当C点在y轴的负半轴上时）求点C的坐标即可．【详解】（1）∵函数 y=3x（x ＞0）的图象过（3，n ）， ∴3n=3，n=1，∴A （3，1） ∵一次函数 y=ax ﹣2（a≠0）的图象过点 A （3，1），∴1=3a ﹣1， 解得 a=1；（2）∵一次函数y=ax ﹣2（a≠0）的图象与 y 轴交于点 B ，∴B （0，﹣2），①当C 点在y 轴的正半轴上或原点时， 设 C （0，m ），∵S △ABC =2S △AOB ， ∴12×（m+2）×3=2×12×3， 解得：m=0， ②当C 点在 y 轴的负半轴上时， 设（0，h ），∵S △ABC =2S △AOB ， ∴12×（﹣2﹣h ）×3=2×12×3， 解得：h=﹣4， ∴C （0，﹣4）或（0，0）．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解决第（2）问时要注意分类讨论，不要漏解． 24． (1)y=﹣2t+200(1≤t≤80，t 为整数)； (2)第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元；(3)共有21天符合条件．【解析】【分析】（1）根据函数图象，设解析式为y=kt+b ，将(1，198)、(80，40)代入，利用待定系数法求解可得；（2）设日销售利润为w ，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；（3）求出w=2400时t 的值，结合函数图象即可得出答案；【详解】(1)设解析式为y=kt+b ，将(1，198)、(80，40)代入，得：1988040k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：2200k b =-⎧⎨=⎩，∴y=﹣2t+200(1≤t≤80，t 为整数)； (2)设日销售利润为w ，则w=(p ﹣6)y ，当1≤t≤80时，w=(14t+16﹣6)(﹣2t+200)=﹣12(t ﹣30)2+2450，∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．(3)由(2)得：当1≤t≤80时，w=﹣12(t ﹣30)2+2450， 令w=2400，即﹣12 (t ﹣30)2+2450=2400， 解得：t 1=20、t 2=40，∴t 的取值范围是20≤t≤40，∴共有21天符合条件．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象解不等式及二次函数的图象与性质是解题关键．25． (1) 甲种型号手机每部进价为1000元，乙种型号手机每部进价为800元；(2) 共有四种方案；(3) 当m ＝80时，w 始终等于8000，取值与a 无关【解析】【分析】（1）设甲种型号手机每部进价为x 元，乙种型号手机每部进价为y 元根据题意列方程组求出x 、y 的值即可；（2）设购进甲种型号手机a 部，这购进乙种型号手机(20－a)部，根据题意列不等式组求出a 的取值范围，根据a 为整数求出a 的值即可明确方案（3）利用利润=单个利润⨯数量，用a 表示出利润W ，当利润与a 无关时，（2）中的方案利润相同，求出m 值即可；【详解】(1) 设甲种型号手机每部进价为x 元，乙种型号手机每部进价为y 元，22800324600x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1000800x y =⎧⎨=⎩， (2) 设购进甲种型号手机a 部，这购进乙种型号手机(20－a)部，17400≤1000a ＋800(20－a)≤18000，解得7≤a≤10，∵a 为自然数，(3) 甲种型号手机每部利润为1000×40%＝400，w ＝400a ＋(1280－800－m)(20－a)＝(m －80)a ＋9600－20m ，当m ＝80时，w 始终等于8000，取值与a 无关.【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，根据题意找出等量关系列出方程是解题关键. 26．（1）60，30；；（2）300；（3）13 【解析】【分析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角；（2）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到女生A 的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；∵了解部分的人数为60﹣（15+30+10）=5，∴扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为：560×360°=30°； 故答案为60，30；（2）根据题意得：900×15+560=300（人）， 则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人，故答案为300；（3）画树状图如下：所有等可能的情况有6种，其中抽到女生A 的情况有2种，所以P （抽到女生A ）=26=13． 【点睛】与总情况数之比．27．（1）①点C的坐标为（－33，9）；②滑动的距离为6（3﹣1）cm；（2）OC最大值1cm.【解析】试题分析：（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，根据30°的直角三角形的性质解答即可；②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，根据锐角三角函数和勾股定理解答即可；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，证得△ACE∽△BCD，利用相似三角形的性质解答即可．试题解析：解：（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：在Rt△AOB中，AB=1，OB=6，则BC=6，∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，又∵∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，∴BD=3，CD=3，所以点C的坐标为（﹣3，9）；②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：AO=1×cos∠BAO=1×cos30°=6．∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=1在△A'O B'中，由勾股定理得，（6﹣x）2+（6+x）2=12，解得：x=6（﹣1），∴滑动的距离为6（﹣1）；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：则OE=﹣x，OD=y，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，∴∠ACE=∠DCB，又∵∠AEC=∠BDC=90°，∴△ACE∽△BCD，∴，即，∴y=﹣x，OC2=x2+y2=x2+（﹣x）2=4x2，∴当|x|取最大值时，即C到y轴距离最大时，OC2有最大值，即OC取最大值，如图，即当C'B'旋转到与y轴垂直时．此时OC=1，故答案为1．考点：相似三角形综合题．。
【附5套中考模拟试卷】湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学模拟试题含解析
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学模拟试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列计算正确的是（ ）A ．（﹣8）﹣8=0B ．3+=3C ．（﹣3b ）2=9b 2D ．a 6÷a 2=a 32．如图，A ，C ，E ，G 四点在同一直线上，分别以线段AC ，CE ，EG 为边在AG 同侧作等边三角形△ABC ，△CDE ，△EFG ，连接AF ，分别交BC ，DC ，DE 于点H ，I ，J ，若AC=1，CE=2，EG=3，则△DIJ 的面积是（ ）A ．38B ．3C ．12D ．323．某市公园的东、西、南、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．1164．将某不等式组的解集13x ≤<-表示在数轴上，下列表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A ．2.5×10﹣7 B ．2.5×10﹣6 C ．25×10﹣7 D ．0.25×10﹣56．在平面直角坐标系中，将点P （﹣2，1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P′的坐标是（ ）A ．（2，4）B ．（1，5）C ．（1，-3）D ．（-5，5）7．如图，两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a 个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是( )8．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为()A．(2，2)，(3，2) B．(2，4)，(3，1)C．(2，2)，(3，1) D．(3，1)，(2，2)9．如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）A．63B．62C．33D．3210．－4的绝对值是（）A．4 B．14C．－4 D．1411．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（）A．15°B．55°C．65°D．75°12．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，点D在边BC上，BD=2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m=（）A．35°B．60°C．70°D．70°或120°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．一元二次方程x2=3x的解是：________．14．在ABCD中，AB=3，BC=4，当ABCD的面积最大时，下列结论：①AC=5；②∠A+∠C=180o；③AC⊥BD；④AC=BD．其中正确的有_________．（填序号）16．对于一元二次方程2520-+=，根的判别式24x x-中的b表示的数是__________．b ac17．如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m.则旗杆的高度为________m.18．某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是分．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某市政府大力支持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量Y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+1．设李明每月获得利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月获得利润最大？根据物价部门规定，这种护眼台灯不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润2000元，那么销售单价应定为多少元？20．（6分）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B≈，的仰角为30°．求C处到树干DO的距离CO．（结果精确到1米）（参考数据：3 1.73≈）2 1.4121．（6分）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分别直方图和扇形统计图：（2）求扇形统计图中m的值和E组对应的圆心角度数（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数22．（8分）科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有两项配套工程．①在科研所到宿舍楼之间修一条高科技的道路；②对宿含楼进行防辐射处理；已知防辐射费y万元与科研所到宿舍楼的距离xkm之间的关系式为y＝ax+b(0≤x≤3)．当科研所到宿舍楼的距离为1km时，防辐射费用为720万元；当科研所到宿含楼的距离为3km或大于3km时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理，设修路的费用与x2成正比，且比例系数为m万元，配套工程费w＝防辐射费+修路费．(1)当科研所到宿舍楼的距离x＝3km时，防辐射费y＝____万元，a＝____，b＝____；(2)若m＝90时，求当科研所到宿舍楼的距离为多少km时，配套工程费最少？(3)如果最低配套工程费不超过675万元，且科研所到宿含楼的距离小于等于3km，求m的范围？23．（8分）如图已知△ABC，点D是AB上一点，连接CD，请用尺规在边AC上求作点P，使得△PBC 的面积与△DBC的面积相等（保留作图痕迹，不写做法）24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.(1)求证：△AGE≌△BGF；(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF.（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）连接CD、CB，若AD=CD=a，求四边形ABCD面积.当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根．27．（12分）已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：（1）请用t分别表示A、B的路程s A、s B；（2）在A出发后几小时，两人相距15km？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】选项A，原式=-16；选项B，不能够合并；选项C，原式=；选项D，原式=.故选C.2．A【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到FG＝EG＝3，∠AGF＝∠FEG＝60°，根据三角形的内角和得到∠AFG＝90°，根据相似三角形的性质得到AEAG=EJGF=36，ACAE=CIEF=13，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】∵AC＝1，CE＝2，EG＝3，∴AG＝6，∵△EFG是等边三角形，∴∠FAG ＝∠AFE ＝30°，∴∠AFG ＝90°，∵△CDE 是等边三角形，∴∠DEC ＝60°，∴∠AJE ＝90°，JE ∥FG ，∴△AJE ∽△AFG ， ∴AE AG =EJ GF =36， ∴EJ ＝13， ∵∠BCA ＝∠DCE ＝∠FEG ＝60°，∴∠BCD ＝∠DEF ＝60°，∴∠ACI ＝∠AEF ＝120°，∵∠IAC ＝∠FAE ，∴△ACI ∽△AEF ， ∴AC AE =CI EF =13， ∴CI ＝1，DI ＝1，DJ ＝12，∴IJ∴DIJ S V =12•DI•IJ ＝12×12 故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．3．B【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】画树状图如下：由树状图可知，共有16种等可能结果，其中佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的有4种等可能结果，所以佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率为41= 164，故选B．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．4．B【解析】分析：本题可根据数轴的性质画出数轴：实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆点不包括该点用“<”，“>”表示，大于向右小于向左．点睛：不等式组的解集为−1⩽x<3在数轴表示−1和3以及两者之间的部分：故选B.点睛：本题考查在数轴上表示不等式解集:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;< ,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.5．B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.000 0025=2.5×10﹣6；故选B．【点睛】不为零的数字前面的0的个数所决定．6．B【解析】试题分析：由平移规律可得将点P （﹣2，1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P′的坐标是（1，5），故选B ．考点：点的平移．7．C【解析】【分析】求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题；【详解】解：正六边形的面积226(2a)==，阴影部分的面积2a =⋅=，∴空白部分与阴影部分面积之比是2=：23=：1，故选C ．【点睛】本题考查正多边形的性质、平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．C【解析】【分析】 直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以12得出即可． 【详解】解：∵线段AB 两个端点的坐标分别为A （4，4），B （6，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ， ∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．故选C ．【点睛】本题考查位似变换；坐标与图形性质，数形结合思想解题是本题的解题关键．试题分析：根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．解：如图所示，设OA与BC相交于D点.∵AB=OA=OB=6，∴△OAB是等边三角形.又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得226333-=所以BC=2BD=3.故选A.点睛：本题主要考查垂径定理和勾股定理. 解题的关键在于要利用好题中的条件圆O与圆A的半径相等，从而得出△OAB是等边三角形，为后继求解打好基础.10．A【解析】【分析】根据绝对值的概念计算即可.（绝对值是指一个数在坐标轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值.）【详解】根据绝对值的概念可得-4的绝对值为4.【点睛】错因分析：容易题.选错的原因是对实数的相关概念没有掌握，与倒数、相反数的概念混淆.11．D【解析】【分析】根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．【详解】解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．12．D【解析】【分析】①当点B落在AB边上时，根据DB=DB1，即可解决问题，②当点B落在AC上时，在RT△DCB2中，根据∠C=90°，DB2=DB=2CD可以判定∠CB2D=30°，由此即可解决问题．【详解】①当点B落在AB边上时，∵，∴，∴，②当点B落在AC上时，在中,∵∠C=90°, ，∴，∴，故选D.【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质，解题关键是考虑多种情况，进行分类讨论.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．x1=0，x2=1【解析】【详解】x2=1xx2-1x=0，x(x-1)=0，x=0或x-1=0，∴x1=0，x2=1．故答案为：x1=0，x2=1【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解14．①②④【解析】【分析】由当ABCD的面积最大时，AB⊥BC，可判定ABCD是矩形，由矩形的性质，可得②④正确，③错误，又由勾股定理求得AC=1．【详解】∵当ABCD的面积最大时，AB⊥BC，∴ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AC=BD，故③错误，④正确；∴∠A+∠C=180°；故②正确；∴AC==1，故①正确．故答案为：①②④．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理．注意证得▱ABCD是矩形是解此题的关键．15．【解析】【分析】设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的（1−x），第二次降价后的单价是原来的（1−x）2，根据题意列方程解答即可．【详解】解：设降价的百分率为x ，根据题意列方程得：100×（1−x ）2＝81解得x 1＝0.1，x 2＝1.9（不符合题意，舍去）．所以降价的百分率为0.1，即10%．故答案为：10%.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．16．-5【解析】【分析】分清一元二次方程中，二次项系数、一次项系数和常数项，直接解答即可．【详解】解：b 表示一元二次方程2520x x -+=的一次项系数5-．【点睛】此题考查根的判别式，在解一元二次方程时程根的判别式△=b 2-4ac ，不要盲目套用，要看具体方程中的a ，b ，c 的值．a 代表二次项系数，b 代表一次项系数，c 是常数项．17．1【解析】试题分析：利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度即可．解：∵同一时刻物高与影长成正比例．设旗杆的高是xm ．∴1.6：1.2=x ：9∴x=1．即旗杆的高是1米．故答案为1．考点：相似三角形的应用．18．88【解析】试题分析：根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可： ∵笔试按60%、面试按40%计算，∴总成绩是：90×60%+85×40%=88（分）．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19． (1)35元；(2)30元．【解析】【分析】(1)由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=(定价-进价)×销售量，从而列出关系式，利用配方法得出最值；(2)令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价．【详解】解：(1)由题意，得：W=(x-20)×y=(x-20)(-10x+1)=-10x 2+700x-10000=-10(x-35)2+2250∴ 当x=35时，W 取得最大值，最大值为2250，答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润为2250元；(2)由题意，得：210700100002000x x -+-=，解得：130x =，240x =，Q 销售单价不得高于32元，∴ 销售单价应定为30元．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元．【点睛】本题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．20．解：设OC=x ，在Rt △AOC 中，∵∠ACO=45°，∴OA=OC=x ．在Rt △BOC 中，∵∠BCO=30°，∴OB OC ?tan30x 3=︒=．∵AB=OA ﹣OB=x x=23-，解得1+1.73=4.735≈≈． ∴OC=5米． 答：C 处到树干DO 的距离CO 为5米．【解析】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．【分析】设OC=x ，在Rt △AOC 中，由于∠ACO=45°，故OA=x ，在Rt △BOC 中，由于∠BCO=30°，故3OB OC?tan30x3=︒=，再根据AB=OA－OB=2即可得出结论．21．略；m=40，1．4°；870人．【解析】试题分析：根据A组的人数和比例得出总人数，然后得出D组的人数，补全条形统计图；根据C组的人数和总人数得出m的值，根据E组的人数求出E的百分比，然后计算圆心角的度数；根据D组合E组的百分数总和，估算出该校的每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．试题解析：（1）补全频数分布直方图，如图所示．（2）∵10÷10%=100 ∴40÷100=40% ∴m=40∵4÷100=4% ∴“E”组对应的圆心角度数=4%×360°=1．4°（3）3000×（25%+4%）=870（人）．答：估计该校学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数是870人．考点：统计图．22．(1)0，﹣360，101；(2)当距离为2公里时，配套工程费用最少；(3)0＜m≤1．【解析】【分析】(1)当x＝1时，y＝720，当x＝3时，y＝0，将x、y代入y＝ax+b，即可求解；(2)根据题目：配套工程费w＝防辐射费+修路费分0≤x≤3和x≥3时讨论.①当0≤x≤3时，配套工程费W＝90x2﹣360x+101，②当x≥3时，W＝90x2，分别求最小值即可；(3)0≤x≤3，W＝mx2﹣360x+101，(m＞0)，其对称轴x＝180m，然后讨论：x＝180m=3时和x＝180m＞3时两种情况m取值即可求解．【详解】解：(1)当x＝1时，y＝720，当x＝3时，y＝0，将x、y代入y＝ax+b，解得：a＝﹣360，b＝101，故答案为0，﹣360，101；(2)①当0≤x≤3时，配套工程费W＝90x2﹣360x+101，∴当x＝2时，W min＝720；②当x≥3时，W＝90x2，W随x最大而最大，当x＝3时，W min＝810＞720，∴当距离为2公里时，配套工程费用最少；(3)∵0≤x≤3，W＝mx2﹣360x+101，(m＞0)，其对称轴x＝180 m，当x＝180m≤3时，即：m≥60，W min＝m(180m)2﹣360(180m)+101，∵W min≤675，解得：60≤m≤1；当x＝180m＞3时，即m＜60，当x＝3时，W min＝9m＜675，解得：0＜m＜60，故：0＜m≤1．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最值问题常利函数的增减性来解答．23．见解析【解析】【分析】三角形的面积相等即同底等高，所以以BC为两个三角形的公共底边，在AC边上寻找到与D到BC距离相等的点即可.【详解】作∠CDP=∠BCD，PD与AC的交点即P.【点睛】本题考查了三角形面积的灵活计算，还可以利用三角形的全等来进行解题.24．(1)证明见解析(2)四边形AFBE是菱形【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF 即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG=BG，在△AGEH和△BGF中，∵∠AEG=∠BFG，∠AGE=∠BGF，AG=BG，∴△AGE≌△BGF （AAS）；（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：∵△AGE≌△BGF，∴AE=BF，∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；探究型．25．（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB＝90°，可证得结论；（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．【详解】（1）证明：连接OC，AC．∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE＝CF．∴∠CAE＝∠CAB．∵OC＝OA，∴∠CAB＝∠OCA．∴∠CAE＝∠OCA．∴OC∥AE．∴∠OCE＋∠AEC＝180°，∵∠AEC＝90°，∴∠OCE＝90°即OC⊥CE，∵OC 是⊙O 的半径，点C 为半径外端，∴CE 是⊙O 的切线．（2）解：∵AD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠DCA ＝∠CAB ，∴DC ∥AB ，∵∠CAE ＝∠OCA ，∴OC ∥AD ，∴四边形AOCD 是平行四边形，∴OC ＝AD ＝a ，AB ＝2a ，∵∠CAE ＝∠CAB ，∴CD ＝CB ＝a ，∴CB ＝OC ＝OB ，∴△OCB 是等边三角形，在Rt △CFB 中，CF ＝ ，∴S 四边形ABCD ＝ （DC ＋AB ）•CF ＝【点睛】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．26．（3）a=15，方程的另一根为12；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（3）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=3时，为一元一次方程；②当a≠3时，利用b 2－4ac ＝3求出a 的值，再代入解方程即可．【详解】（3）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15． 将a ＝15代入原方程得24x 2054x 5-+-=，解得：x 3＝12，x 2＝2． ∴a ＝15，方程的另一根为12； （2）①当a ＝3时，方程为2x ＝3，解得：x ＝3.②当a≠3时，由b 2－4ac ＝3得4－4(a －3)2＝3，解得：a ＝2或3．当a ＝2时， 原方程为：x 2＋2x ＋3＝3，解得：x 3＝x 2＝－3；当a ＝3时， 原方程为：－x 2＋2x －3＝3，解得：x 3＝x 2＝3．综上所述，当a ＝3，3，2时，方程仅有一个根，分别为3，3，－3.考点：3.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.27．（1）s A ＝45t ﹣45，s B ＝20t ；（2）在A 出发后15小时或75小时，两人相距15km ． 【解析】【分析】（1）根据函数图象中的数据可以分别求得s 与t 的函数关系式；（2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题．【详解】解：（1）设s A 与t 的函数关系式为s A ＝kt+b ， +0390k b k b =⎧⎨+=⎩，得4545k b =⎧⎨=⎩－， 即s A 与t 的函数关系式为s A ＝45t ﹣45，设s B 与t 的函数关系式为s B ＝at ，60＝3a ，得a ＝20，即s B 与t 的函数关系式为s B ＝20t ；（2）|45t ﹣45﹣20t|＝15，解得，t 1＝65，t 2＝125， 6515=－1，12575=－1， 即在A 出发后15小时或75小时，两人相距15km ． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，涉及到直线上点的坐标与方程，利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．Administrator A d m i n i s t r a t o rGT ? 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湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学模拟试题(1)含解析
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学模拟试题（1）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（）A．2 3B．16C．13D．122．如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是（）A．60°B．65°C．70°D．75°3．等式组26058xx x+⎧⎨≤+⎩＞的解集在下列数轴上表示正确的是（）．A．B．C．D．4．抚顺市中小学机器人科技大赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名学生成绩的（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差5．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（）A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800xC．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x6．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=6x在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（）A．36 B．12 C．6 D．37．下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．8．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（）A．32πB．43πC．4 D．2+32π9．已知圆心在原点O，半径为5的⊙O，则点P（-3，4）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．不能确定10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个11．如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第8个图案中共有（）和黑子．A．37 B．42 C．73 D．12112．如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则»BC的长是( )A．πB．13πC．12πD．16π二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．若2x+y=2，则4x+1+2y的值是_______．14．将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是_____．15．某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委办公楼（原首钢老厂区的筒仓）20m的点B处，用高为0.8m的测角仪测得筒仓顶点C的仰角为63°，则筒仓CD的高约为______m．（精确到0.1m，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）16．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，两次测量的影长相差8米，则树高_____________米(结果保留根号)．17．如图，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角，且∠1+∠2＝210°，则∠A+∠D＝____度.18．如图,已知圆O的半径为2,A是圆上一定点,B是OA的中点,E是圆上一动点,以BE为边作正方形BEFG(B、E、F、G四点按逆时针顺序排列),当点E绕⊙O圆周旋转时,点F的运动轨迹是_________图形三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图：(1)在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有______人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为______%，如果学校有800名学生，估计全校学生中有______人喜欢篮球项目．(2)请将条形统计图补充完整．(3)在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．20．（6分）如图，已知函数kyx（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．若AC=32OD，求a、b的值；若BC∥AE，求BC的长．21．（6分）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n 名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：求n 的值；若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．22．（8分）先化简，再求值：22(1)x y x y x y -÷--，其中x=32-，y=11()2-． 23．（8分）数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、②、③，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片②是4x 1+5x+6，翻开纸片③是3x 1﹣x ﹣1．解答下列问题求纸片①上的代数式；若x 是方程1x ＝﹣x ﹣9的解，求纸片①上代数式的值．24．（10分）如图①是一副创意卡通圆规，图②是其平面示意图，OA 是支撑臂，OB 是旋转臂．使用时，以点A 为支撑点，铅笔芯端点B 可绕点A 旋转作出圆．已知OA ＝OB ＝10cm. (1)当∠AOB ＝18°时，求所作圆的半径(结果精确到0.01cm)；(2)保持∠AOB ＝18°不变，在旋转臂OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度(结果精确到0.01cm ，参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器)．25．（10分）先化简代数式222x x 11x x x 2x 1-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，再从12x -≤≤范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值。
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学考前模拟卷(2)含解析
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学考前模拟卷（2）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是( )A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边相等，一组对角相等C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线2．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（）A．30°B．35°C．40°D．50°3．如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON 上滑动，下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则OA=23；②C，O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为π．其中正确的是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②④4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．125．函数y=11x x +-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥-1且x≠1B ．x≥-1C ．x≠1D ．-1≤x ＜1 6．已知：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠1）的图象如图所示，下列结论中：①abc>1；②b+2a=1；③a-b<m （am+b ）（m≠-1）；④ax 2+bx+c=1两根分别为-3，1；⑤4a+2b+c>1．其中正确的项有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ）A ．4 1.2540800x x ⨯-=B ．800800402.25x x -= C ．800800401.25x x -= D ．800800401.25x x -= 8．已知⊙O 的半径为5，若OP=6，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 外C ．点P 在⊙O 上D ．无法判断9．下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是( )A ．B ．C ．D ．10．关于x 的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是A ．32b -≤<-B ．32b -<≤-C ．32b -≤≤-D ．-3<b<-211．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ，若AE=AP=1，PB=5．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为2；③EB ⊥ED ；④S △APD +S △APB =1+6；⑤S 正方形ABCD =4+6．其中正确结论的序号是（ ）A ．①③④B ．①②⑤C ．③④⑤D ．①③⑤12．不等式组123122xx -<⎧⎪⎨+≤⎪⎩的正整数解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 与CB 的延长线上的点E 重合连接CD ，则∠BDC 的度数为_____度．14．如图，已知圆柱底面的周长为4dm ，圆柱高为2dm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为______dm .15．方程15x 12x 1=-+的解为 ． 16．如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为_____米．17．如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为______．18．因式分解：16a 3﹣4a=_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）问题：将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，AB ＝5，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整．（1）在AB边上取点E，使AE＝4，连接OA，OE；（2）在BC边上取点F，使BF＝______，连接OF；（3）在CD边上取点G，使CG＝______，连接OG；（4）在DA边上取点H，使DH＝______，连接OH．由于AE＝______＋______＝______＋______＝______＋______＝______．可证S△AOE＝S四边形EOFB＝S四边形FOGC＝S四边形GOHD＝S△HOA．20．（6分）（定义）如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线1的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．（运用）如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，﹣）两点．（1）C（4，），D（4，），E（4，）三点中，点是点A，B关于直线x=4的等角点；（2）若直线l垂直于x轴，点P（m，n）是点A，B关于直线l的等角点，其中m＞2，∠APB=α，求证：tan=；（3）若点P是点A，B关于直线y=ax+b（a≠0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．21．（6分）如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC＝30°，∠APB ＝60°．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长．22．（8分）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，把手AM的仰角α=37°，此时把手端点A、出水口B和点落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头的相关数据如图2.（参考数据：sin37°= 35，cos37°=45，tan37°=34）(1)求把手端点A到BD的距离；(2)求CH的长.23．（8分）某单位为了扩大经营，分四次向社会进行招工测试，测试后对成绩合格人数与不合格人数进行统计，并绘制成如图所示的不完整的统计图．（1）测试不合格人数的中位数是．（2）第二次测试合格人数为50人，到第四次测试合格人数为每次测试不合格人数平均数的2倍少18人，若这两次测试的平均增长率相同，求平均增长率；（3）在（2）的条件下补全条形统计图和扇形统计图．24．（10分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE=AB，连接DE，AC （1）求证：四边形ACDE为平行四边形；（2）连接CE交AD于点O，若AC=AB=3，cosB=13，求线段CE的长．25．（10分）某校七年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，七年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.（1）将上面的条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角是多少度？（3）如果该校七年级共有1200名考生，请估计选择以“友善”为主题的七年级学生有多少名？∠=α，点E在对角线BD上. 将线段CE绕点C顺时针旋转26．（12分）如图，在菱形ABCD中，BADα，得到CF，连接DF.（1）求证：BE=DF；⊥.（2）连接AC，若EB=EC ，求证：AC CF27．（12分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线与F，且AF=BD，连接BF。
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学最后模拟卷含解析
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学最后模拟卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知二次函数y＝﹣(x﹣h)2+1(为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为( )A．3﹣6或1+6B．3﹣6或3+6C．3+6或1﹣6D．1﹣6或1+62．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A ＝24°，则∠BDC的度数为()A．42°B．66°C．69°D．77°3．如图，△ABC中，∠B＝70°，则∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，∠B=60°，⊙A的半径为3，那么下列说法正确的是（）A．点B、点C都在⊙A内B．点C在⊙A内，点B在⊙A外C．点B在⊙A内，点C在⊙A外D．点B、点C都在⊙A外5．如图，AD是半圆O的直径，AD＝12，B，C是半圆O上两点．若»»»==，则图中阴影部AB BC CD分的面积是（）A．6πB．12πC．18πD．24π6．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是()A．70°B．60°C．55°D．50°7．下列说法：①；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③﹣2是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有( )A．2个B．3个C．4个D．5个8．山西有着悠久的历史，远在100 多万年前就有古人类生息在这块土地上．春秋时期，山西大部分为晋国领地，故山西简称为“晋”，战国初韩、赵、魏三分晋，山西又有“三晋”之称，下面四个以“晋”字为原型的Logo 图案中，是轴对称图形的共有（）A．B．C．D．9．关于x的不等式2(1)4xa x＞＜-⎧⎨-⎩的解集为x＞3，那么a的取值范围为（）A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3D．a≤310．如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后与“静”字相对的字是（）A．着B．沉C．应D．冷11．如图，某厂生产一种扇形折扇，OB=10cm，AB=20cm，其中裱花的部分是用纸糊的，若扇子完全打开摊平时纸面面积为10003π cm2，则扇形圆心角的度数为（）A ．120°B ．140°C ．150°D ．160°12．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）A ．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球B ．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数C ．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面D ．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是_____．14．分解因式：2242a a ++=__________________．15．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠，无缝隙）．图乙种，67AB BC =，EF=4cm ，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为___cm16．如图，在△ABC 和△EDB 中，∠C ＝∠EBD ＝90°，点E 在AB 上．若△ABC ≌△EDB ，AC ＝4，BC ＝3，则AE ＝_____．17．对于实数p q ，，我们用符号min{}p q ，表示p q ，两数中较小的数，如min{1,2}1=.因此，{}min 2,3--= ________；若{}22min (1)1x x -=，，则x ＝________．18．点A （1，2），B （n ，2）都在抛物线y=x 2﹣4x+m 上，则n=_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知m 是关于x 的方程2450x x -=+的一个根，则228m m +=__20．（6分）边长为6的等边△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，DE ∥AB ，EC ＝23 如图1，将△DEC 沿射线EC 方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC 的交点为M ，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N.当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．如图2，将△DEC 绕点C 旋转∠α(0°<α<360°)，得到△D ′E′C ，连接AD′，BE′.边D′E′的中点为P.①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；②连接AP ，当AP 最大时，求AD′的值．(结果保留根号)21．（6分）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长均为 1．格点三角形 ABC （顶点是网格线交点的三角形）的顶点 A 、C 的坐标分别是（﹣2，0），（﹣3，3）．（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系，写出点 B 的坐标；（2）把△ABC 绕坐标原点 O 顺时针旋转 90°得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1，写出点B 1的坐标；（3）以坐标原点 O 为位似中心，相似比为 2，把△A1B1C1 放大为原来的 2 倍，得到△A 2B 2C 2 画出△A 2B 2C 2，使它与△AB 1C 1 在位似中心的同侧；请在x 轴上求作一点P，使△PBB1 的周长最小，并写出点P 的坐标．22．（8分）元旦放假期间，小明和小华准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为B）、兴庆公园（记为C）、秦岭国家植物园（记为D）中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．（1）求小明选择去白鹿原游玩的概率；（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率．23．（8分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0）、点B（0，4），点C、D分别是边OA、AB 的中点．将△ACD绕点A顺时针方向旋转，得△AC′D′，记旋转角为α．（I）如图①，连接BD′，当BD′∥OA时，求点D′的坐标；（II）如图②，当α＝60°时，求点C′的坐标；（III）当点B，D′，C′共线时，求点C′的坐标（直接写出结果即可）．24．（10分）如图1，在菱形ABCD中，AB＝65，tan∠ABC＝2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α＝∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE＝DF；（2）当t＝秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？25．（10分）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为()76(120)2030mx m x x n x x -≤<⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，为整数，为整数 且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W 元（利润=销售收入﹣成本）．m=，n= ；求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？26．（12分）如图1，B （2m ，0），C （3m ，0）是平面直角坐标系中两点，其中m 为常数，且m ＞0，E （0，n ）为y 轴上一动点，以BC 为边在x 轴上方作矩形ABCD ，使AB=2BC ，画射线OA ，把△ADC 绕点C 逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）过E ，A′两点．（1）填空：∠AOB= °，用m 表示点A′的坐标：A′（ ， ）；（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB 交于点P ，且13BP AP =时，△D′OE 与△ABC 是否相似？说明理由；（3）若E 与原点O 重合，抛物线与射线OA 的另一个交点为点M ，过M 作MN ⊥y 轴，垂足为N ： ①求a ，b ，m 满足的关系式；②当m 为定值，抛物线与四边形ABCD 有公共点，线段MN 的最大值为10，请你探究a 的取值范围． 27．（12分）当前，“精准扶贫”工作已进入攻坚阶段，凡贫困家庭均要“建档立卡”．某初级中学七年级共有四个班，已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数按一、二、三、四班分别记为A 1，A 2，A 3，A 4，现对A 1，A 2，A 3，A 4统计后，制成如图所示的统计图．（1）求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数；（2）将条形统计图补充完整，并求出A 1所在扇形的圆心角的度数；（3）现从A 1，A 2中各选出一人进行座谈，若A 1中有一名女生，A 2中有两名女生，请用树状图表示所有可能情况，并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【详解】∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最大值-5，可得：-（1-h）2+1=-5，解得：6或6（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最大值-5，可得：-（3-h）2+1=-5，解得：6或6（舍）．综上，h的值为6或6，故选C．点睛：本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的增减性和最值分两种情况讨论是解题的关键．2．C【解析】在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=24°，∴∠B=90°-∠A=66°．由折叠的性质可得：∠BCD=12∠ACB=45°，∴∠BDC=180°-∠BCD-∠B=69°. 故选C.3．C【解析】【分析】由三角形内角和定理可得∠ACB=80°，由旋转的性质可得AC=CE ，∠ACE=∠ACB=80°，由等腰的性质可得∠CAE=∠AEC=50°．【详解】∵∠B ＝70°，∠BAC ＝30°∴∠ACB ＝80°∵将△ABC 绕点C 顺时针旋转得△EDC ．∴AC ＝CE ，∠ACE ＝∠ACB ＝80°∴∠CAE ＝∠AEC ＝50°故选C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．4．D【解析】【分析】先求出AB 的长，再求出AC 的长，由B 、C 到A 的距离及圆半径的长的关系判断B 、C 与圆的关系.【详解】由题意可求出∠A=30°，∴AB=2BC=4, 由勾股定理得Q >3，∴点B 、点C 都在⊙A 外.故答案选D.【点睛】本题考查的知识点是点与圆的位置关系，解题的关键是熟练的掌握点与圆的位置关系.5．A【解析】【分析】根据圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，根据扇形面积公式计算即可．【详解】∵AB BC CD ==u u u r u u u r u u u r ，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.∴阴影部分面积=2606=6360⨯ππ.故答案为：A.【点睛】本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题关键是利用圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.6．A【解析】试题分析：∵AB∥CD，∠1=40°，∠1=30°，∴∠C=40°．∵∠3是△CDE的外角，∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°．故选A．考点：平行线的性质．7．C【解析】【分析】根据平方根，数轴，有理数的分类逐一分析即可.【详解】①∵，∴是错误的；②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；③∵＝4，故-2是的平方根，故说法正确；④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；⑤两个无理数的和还是无理数，如和是错误的；⑥无理数都是无限小数，故说法正确；故正确的是②③④⑥共4个；故选C.【点睛】本题考查了有理数的分类，数轴及平方根的概念，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如等，也有π这样的数.8．D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确．故选D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．9．D【解析】分析：先解第一个不等式得到x＞3，由于不等式组的解集为x＞3，则利用同大取大可得到a的范围．详解：解不等式2（x-1）＞4，得：x＞3，解不等式a-x＜0，得：x＞a，∵不等式组的解集为x＞3，∴a≤3，故选D．点睛：本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．10．A【解析】【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答【详解】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“沉”与面“考”相对，面“着”与面“静”相对，“冷”与面“应”相对．故选：A【点睛】本题主要考查了利用正方体及其表面展开图的特点解题，明确正方体的展开图的特征是解决此题的关键11．C【解析】【分析】根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．【详解】∵OB=10cm，AB=20cm，∴OA=OB+AB=30cm，设扇形圆心角的度数为α，∵纸面面积为10003π cm2，∴22301010003603603a aπππ⋅⨯⋅⨯-=，∴α=150°，故选：C．【点睛】本题考了扇形面积的计算的应用，解题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式：扇形的面积=2 360n Rπ.12．D【解析】【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【详解】解: 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为35，不符合题意；B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为12，不符合题意；C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为14，不符合题意；D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为13，符合题意，故选D．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1 3【解析】【分析】将三个小区分别记为A 、B 、C ，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：将三个小区分别记为A 、B 、C ， 列表如下：由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种， 所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为39＝13． 故答案为：13． 【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14．22(1)a + 【解析】 【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】原式()()22=221=21a a a +++【点睛】先考虑提公因式法，再用公式法进行分解，最后考虑十字相乘，差项补项等方法． 15．503【解析】试题分析：根据67AB BC =，EF=4可得：AB=和BC 的长度，根据阴影部分的面积为542cm 可得阴影部分三角形的高，然后根据菱形的性质可以求出小菱形的边长为256，则菱形的周长为：256×4=503. 考点：菱形的性质. 16．1试题分析：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得：AB=5，∵△ABC≌△EDB，∴BE=AC=4，∴AE=5﹣4=1.考点：全等三角形的性质；勾股定理-2或-1．17．3【解析】①∵－2>－3,∴min{－2，－3}=－3;②∵min{(x−1)2,x2}=1，∴当x>0.5时,(x−1)2=1，∴x−1=±1，∴x−1=1，x−1=−1，解得：x1=2,x2=0(不合题意,舍去)，当x⩽0.5时,x2=1，解得：x1=1(不合题意,舍去),x2=−1，18．1【解析】【分析】根据题意可以求得m的值和n的值，由A的坐标，可确定B的坐标，进而可以得到n的值．【详解】：∵点A（1，2），B（n，2）都在抛物线y=x2-4x+m上，∴，解得或，∴点B为（1，2）或（1，2），∵点A（1，2），∴点B只能为（1，2），故n的值为1，故答案为：1．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求解． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．10 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到245m m +=，再把228m m + 变形为()224m m +，然后利用整体代入的方法计算 ． 【详解】解：m Q 是关于x 的方程2450x x +-=的一个根，2450m m ∴+-=，245m m ∴+=，()2228242510m m m m ∴+=+=⨯=．故答案为 10 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 ．20． (1) 当MCND'是菱形，理由见解析；(2)①AD'=BE'，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）先判断出四边形MCND'为平行四边形，再由菱形的性质得出CN=CM ，即可求出CC'； （2）①分两种情况，利用旋转的性质，即可判断出△ACD ≌△BCE'即可得出结论； ②先判断出点A ，C ，P 三点共线，先求出CP ，AP ，最后用勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）当MCND'是菱形． 理由：由平移的性质得，CD ∥C'D'，DE ∥D'E'， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°，∴∠ACC'=180°-∠ACB=120°， ∵CN 是∠ACC'的角平分线， ∴∠D'E'C'=12∠ACC'=60°=∠B ， ∴∠D'E'C'=∠NCC'，∴D'E'∥CN，∴四边形MCND'是平行四边形，∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°，∴△MCE'和△NCC'是等边三角形，∴MC=CE'，NC=CC'，∵E'C'=23，∵四边形MCND'是菱形，∴CN=CM，∴CC'=12E'C'=3；（2）①AD'=BE'，理由：当α≠180°时，由旋转的性质得，∠ACD'=∠BCE'，由（1）知，AC=BC，CD'=CE'，∴△ACD'≌△BCE'，∴AD'=BE'，当α=180°时，AD'=AC+CD'，BE'=BC+CE'，即：AD'=BE'，综上可知：AD'=BE'．②如图连接CP，在△ACP中，由三角形三边关系得，AP＜AC+CP，∴当点A，C，P三点共线时，AP最大，如图1，在△D'CE'中，由P为D'E的中点，得AP⊥D'E'，3，∴CP=3，∴AP=6+3=9，在Rt△APD'中，由勾股定理得，AD'=22=221AP PD+'．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移和旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是四边形MCND'是平行四边形，解（2）的关键是判断出点A，C，P三点共线时，AP最大．21．（1）（﹣4，1）；（2）（1，4）；（3）见解析；（4）P（﹣3，0）．【解析】【分析】（1）先建立平面直角坐标系，再确定B的坐标；（2）根据旋转要求画出△A1B1C1，再写出点B1的坐标；（3）根据位似的要求，作出△A2B2C2；（4）作点B关于x轴的对称点B'，连接B'B1，交x轴于点P，则点P即为所求.【详解】解：（1）如图所示，点B的坐标为（﹣4，1）；（2）如图，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标（1，4）；（3）如图，△A2B2C2即为所求；（4）如图，作点B关于x轴的对称点B'，连接B'B1，交x轴于点P，则点P即为所求，P（﹣3，0）．【点睛】本题考核知识点：位似，轴对称，旋转. 解题关键点：理解位似，轴对称，旋转的意义.22．（1）14；（2）116【解析】【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去同一个地方游玩的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵小明准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为B）、兴庆公园（记为C）、秦岭国家植物园（记为D）中的一个景点去游玩，∴小明选择去白鹿原游玩的概率＝14；（2）画树状图分析如下：两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有1种，所以小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率＝1 16．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．23．（I）（10，4）或（6，4）（II）C′（6，3（III）①C′（8，4）②C′（245，﹣125）【解析】【分析】（I）如图①，当OB∥AC′，四边形OBC′A是平行四边形，只要证明B、C′、D′共线即可解决问题，再根据对称性确定D″的坐标；（II）如图②，当α=60°时，作C′K⊥AC于K．解直角三角形求出OK，C′K即可解决问题；（III）分两种情形分别求解即可解决问题；【详解】解:（I）如图①，∵A（8，0），B（0，4），∴OB=4，OA=8，∵AC=OC=AC′=4，∴当OB∥AC′，四边形OBC′A是平行四边形，∵∠AOB=90°，∴四边形OBC′A是矩形，∴∠AC′B=90°，∵∠AC′D′=90°，∴B、C′、D′共线，∴BD′∥OA，∵AC=CO，BD=AD，∴CD=C′D′=12OB=2，∴D′（10，4），根据对称性可知，点D″在线段BC′上时，D″（6，4）也满足条件．综上所述，满足条件的点D坐标（10，4）或（6，4）．（II）如图②，当α=60°时，作C′K⊥AC于K．在Rt△AC′K中，∵∠KAC′=60°，AC′=4，∴AK=2，3∴OK=6，∴C′（6，23）．（III ）①如图③中，当B 、C′、D′共线时，由（Ⅰ）可知，C′（8，4）．②如图④中，当B 、C′、D′共线时，BD′交OA 于F ，易证△BOF ≌△AC′F ，∴OF=FC′，设OF=FC′=x ， 在Rt △ABC′中，BC′=22AB AC -'=8，在RT △BOF 中，OB=4，OF=x ，BF=8﹣x ， ∴（8﹣x ）2=42+x 2， 解得x=3，∴OF=FC′=3，BF=5，作C′K ⊥OA 于K ， ∵OB ∥KC′，∴KC OB '=FK OF =FC BF '， ∴4KC '=3FK =35，∴KC′=125，KF=95，∴OK=245，∴C′（245，﹣125）．【点睛】本题考查三角形综合题、旋转变换、矩形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．24．（1）见解析；（2）t＝（65+6），最小值等于12；（3）t＝6秒或65秒时，△EPQ是直角三角形【解析】【分析】（1）由∠ECF＝∠BCD得∠DCF＝∠BCE，结合DC＝BC、CE＝CF证△DCF≌△BCE即可得；（2）作BE′⊥DA交DA的延长线于E′．当点E运动至点E′时，由DF＝BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；（3）①∠EQP＝90°时，由∠ECF＝∠BCD、BC＝DC、EC＝FC得∠BCP＝∠EQP＝90°，根据AB＝CD ＝65，tan∠ABC＝tan∠ADC＝2即可求得DE；②∠EPQ＝90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得DE＝65.【详解】（1）∵∠ECF＝∠BCD，即∠BCE+∠DCE＝∠DCF+∠DCE，∴∠DCF＝∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝BC，在△DCF和△BCE中，CF CEDCF BCECD CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF＝BE；（2）如图1，作BE′⊥DA交DA的延长线于E′．当点E运动至点E′时，DF＝BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB＝5tan∠ABC＝tan∠BAE′＝2，∴设AE′＝x，则BE′＝2x，∴AB＝5x＝65，x＝6，则AE′＝6∴DE′＝65+6，DF＝BE′＝12，时间t=65+6，故答案为：65+6，12；（3）∵CE＝CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP＝90°时，如图2①，∵∠ECF＝∠BCD，BC＝DC，EC＝FC，∴∠CBD＝∠CEF，∵∠BPC＝∠EPQ，∴∠BCP＝∠EQP＝90°，∵AB＝CD＝65，tan∠ABC＝tan∠ADC＝2，∴DE＝6，∴t＝6秒；②当∠EPQ＝90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE＝5∴t＝5综上所述，t＝6秒或5△EPQ是直角三角形．【点睛】此题是菱形与动点问题，考查菱形的性质，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性质，最短路径问题，注意（3）中的直角没有明确时应分情况讨论解答.25．（1）m=﹣12，n=25；（2）18，W最大=968；（3）12天.【解析】【分析】（1）根据题意将第12天的售价、第26天的售价代入即可得；（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值；（3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数，注意天数为正整数．【详解】（1）当第12天的售价为32元/件，代入y=mx﹣76m得32=12m﹣76m，解得m=12 -，当第26天的售价为25元/千克时，代入y=n，则n=25，故答案为m=12-，n=25；（2）由（1）第x天的销售量为20+4（x﹣1）=4x+16，当1≤x＜20时，W=（4x+16）（12-x+38﹣18）=﹣2x2+72x+320=﹣2（x﹣18）2+968，∴当x=18时，W最大=968，当20≤x≤30时，W=（4x+16）（25﹣18）=28x+112，∵28＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x=30时，W最大=952，∵968＞952，∴当x=18时，W最大=968；（3）当1≤x＜20时，令﹣2x2+72x+320=870，解得x1=25，x2=11，∵抛物线W=﹣2x2+72x+320的开口向下，∴11≤x≤25时，W≥870，∴11≤x＜20，∵x为正整数，∴有9天利润不低于870元，当20≤x≤30时，令28x+112≥870，解得x≥271 14，∴27114≤x≤30 ∵x 为正整数，∴有3天利润不低于870元，∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准题中的数量关系，运用分类讨论思想是解题的关键.26．（1）45；（m ，﹣m ）；（2）相似；（3）①1b am =--；②114a ≤≤． 【解析】试题分析：（1）由B 与C 的坐标求出OB 与OC 的长，进一步表示出BC 的长，再证三角形AOB 为等腰直角三角形，即可求出所求角的度数；由旋转的性质得，即可确定出A′坐标；（2）△D′OE ∽△ABC ．表示出A 与B 的坐标，由13BP AP =，表示出P 坐标，由抛物线的顶点为A′，表示出抛物线解析式，把点E 坐标代入即可得到m 与n 的关系式，利用三角形相似即可得证；（3）①当E 与原点重合时，把A 与E 坐标代入2y ax bx c =++，整理即可得到a ，b ，m 的关系式；②抛物线与四边形ABCD 有公共点，可得出抛物线过点C 时的开口最大，过点A 时的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点C （3m ，0），此时MN 的最大值为10，求出此时a 的值；若抛物线过点A （2m ，2m ），求出此时a 的值，即可确定出抛物线与四边形ABCD 有公共点时a 的范围．试题解析：（1）∵B （2m ，0），C （3m ，0），∴OB=2m ，OC=3m ，即BC=m ，∵AB=2BC ，∴AB=2m=0B ，∵∠ABO=90°，∴△ABO 为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，由旋转的性质得：OD′=D′A′=m ，即A′（m ，﹣m ）；故答案为45；m ，﹣m ；（2）△D′OE ∽△ABC ，理由如下：由已知得：A （2m ，2m ），B （2m ，0），∵13BP AP =，∴P （2m ，12m ），∵A′为抛物线的顶点，∴设抛物线解析式为2()y a x m m =--，∵抛物线过点E （0，n ），∴2(0)n a m m =--，即m=2n ，∴OE ：OD′=BC ：AB=1：2，∵∠EOD′=∠ABC=90°，∴△D′OE ∽△ABC ； （3）①当点E 与点O 重合时，E （0，0），∵抛物线2y ax bx c =++过点E ，A ，∴20{n am bm n m =++=-，整理得：1am b +=-，即1b am =--；②∵抛物线与四边形ABCD 有公共点，∴抛物线过点C 时的开口最大，过点A 时的开口最小，若抛物线过点C （3m ，0），此时MN 的最大值为10，∴a （3m ）2﹣（1+am ）•3m=0，整理得：am=12，即抛物线解析式为21322y x x m =-，由A （2m ，2m ），可得直线OA 解析式为y=x ，联立抛物线与直线OA 解析式得：2{1322y x y x x m ==-，解得：x=5m ，y=5m ，即M （5m ，5m ），令5m=10，即m=2，当m=2时，a=14；若抛物线过点A （2m ，2m ），则2(2)(1)22a m am m m --⋅=，解得：am=2，∵m=2，∴a=1，则抛物线与四边形ABCD 有公共点时a 的范围为114a ≤≤． 考点：1．二次函数综合题；2．压轴题；3．探究型；4．最值问题．27．（1）15人;(2)补图见解析.（3）.【解析】【分析】（1）根据三班有6人，占的百分比是40%，用6除以所占的百分比即可得总人数；（2）用总人数减去一、三、四班的人数得到二班的人数即可补全条形图，用一班所占的比例乘以360°即可得A 1所在扇形的圆心角的度数；（3）根据题意画出树状图，得出所有可能，进而求恰好选出一名男生和一名女生的概率．【详解】解:（1）七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数：6÷40%=15人； （2）A 2的人数为15﹣2﹣6﹣4=3（人）补全图形，如图所示，A 1所在圆心角度数为：×360°=48°；（3）画出树状图如下：共6种等可能结果,符合题意的有3种∴选出一名男生一名女生的概率为：P=.【点睛】本题考查了条形图与扇形统计图，概率等知识，准确识图，从图中发现有用的信息，正确根据已知画出树状图得出所有可能是解题关键．。
湖南省湘潭市2019-2020学年中考三诊数学试题含解析
湖南省湘潭市2019-2020学年中考三诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG=42，则△CEF的面积是（）A．22B．2C．32D．422．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．3．如图，已知点P 是双曲线y＝2x上的一个动点，连结OP，若将线段OP 绕点O 逆时针旋转90°得到线段OQ，则经过点Q 的双曲线的表达式为（）A．y＝3xB．y＝﹣13xC．y＝13xD．y＝﹣3x4．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（）A．10°B．12.5°C．15°D．20°5．下列计算错误的是()A．a•a=a2B．2a+a=3a C．(a3)2=a5D．a3÷a﹣1=a46．等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为（）A．21 B．21或27 C．27 D．257．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )8．如图，已知70AOC BOD ∠=∠=︒，30BOC ∠=︒，则AOD ∠的度数为( )A ．100︒B ．110︒C ．130︒D ．140︒9．3 1-的值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣310．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为弧BD 的中点，若∠DAB=50°，则∠ABC 的大小是（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°11．如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）A ．125B ．95C ．65D ．16512．正方形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕点A 按顺时针方向旋转180°后，C 点的坐标是( )A ．(2，0)B ．(3，0)C ．(2，－1)D ．(2，1)二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知矩形ABCD,AD ＞AB,以矩形ABCD 的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在矩形ABCD 的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数为_______________.14．如图，线段 AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，AB=8，∠CAB=22.5°，则 CD 的长等于___________________________．15．如图，已知直线m ∥n ，∠1＝100°，则∠2的度数为_____．16．如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，它的主视图的面积为_____．17．若分式22x x 的值为正，则实数x 的取值范围是__________________. 18．已知点P 在一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，且k ＜0，b ＞0）的图象上，将点P 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q ，点Q 也在该函数y=kx+b 的图象上．（1）k 的值是 ；（2）如图，该一次函数的图象分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，且与反比例函数y=图象交于C ，D 两点（点C 在第二象限内），过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，记S 1为四边形CEOB 的面积，S 2为△OAB 的面积，若=，则b 的值是 ．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图：△PCD 是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°求证：（1）△PAC ∽△BPD ；（2）若AC=3，BD=1，求CD 的长．20．（6分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 沿射线BD 运动，连接AP ，将线段AP 绕点P 顺时针旋转90°得线段PQ ．(1)当点Q 落到AD 上时，∠PAB ＝____°，PA ＝_____，»AQ长为_____； (2)当AP ⊥BD 时，记此时点P 为P 0，点Q 为Q 0，移动点P 的位置，求∠QQ 0D 的大小；(3)在点P 运动中，当以点Q 为圆心，23BP 为半径的圆与直线BD 相切时，求BP 的长度； (4)点P 在线段BD 上，由B 向D 运动过程(包含B 、D 两点)中，求CQ 的取值范围，直接写出结果．21．（6分）先化简代数式：222111a a a a a +⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，再代入一个你喜欢的数求值. 22．（8分）已知BD 平分∠ABF ，且交AE 于点D ．（1）求作：∠BAE 的平分线AP （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）设AP 交BD 于点O ，交BF 于点C ，连接CD ，当AC ⊥BD 时，求证：四边形ABCD 是菱形．23．（8分）如图，在△ABC 中，2，AB=AC ，E ，F 分别为AB ，AC 上的点（E ，F 不与A 重合），（1）请判断四边形AEA′F的形状，并说明理由；（2）当四边形AEA′F是正方形，且面积是△ABC的一半时，求AE的长．24．（10分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．（1）该顾客至少可得到_____元购物券，至多可得到_______元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．25．（10分）如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．分别求出一次函数与反比例函数的表达式；过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．26．（12分）如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D,DE⊥AC．求证: △BDA∽△CED．27．（12分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+1．设这种产品每天的销售利润为w元．求w与x之间的函数关系式．该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】【详解】解：∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE=∠BAE ；又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE ，∴AB=BE=6，∵BG ⊥AE ，垂足为G ，∴AE=2AG ．在Rt △ABG 中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=∴，∴AE=2AG=4；∴S △ABE =12AE•BG=142⨯⨯= ∵BE=6，BC=AD=9，∴CE=BC ﹣BE=9﹣6=3，∴BE ：CE=6：3=2：1，∵AB ∥FC ，∴△ABE ∽△FCE ，∴S △ABE ：S △CEF =（BE ：CE ）2=4：1，则S △CEF =14S △ABE = 故选A ．【点睛】本题考查1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．2．D【解析】试题分析：A．是轴对称图形，故本选项错误；B．是轴对称图形，故本选项错误；C．是轴对称图形，故本选项错误；D．不是轴对称图形，故本选项正确．故选D．考点：轴对称图形．3．D【解析】【分析】过P，Q分别作PM⊥x轴，QN⊥x轴，利用AAS得到两三角形全等，由全等三角形对应边相等及反比例函数k的几何意义确定出所求即可．【详解】过P，Q分别作PM⊥x轴，QN⊥x轴，∵∠POQ=90°，∴∠QON+∠POM=90°，∵∠QON+∠OQN=90°，∴∠POM=∠OQN，由旋转可得OP=OQ，在△QON和△OPM中，90QNO OMP OQN POMOQ OP ＝＝＝＝∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△QON ≌△OPM （AAS ），∴ON=PM ，QN=OM ，设P （a ，b ），则有Q （-b ，a ），由点P 在y=3x上，得到ab=3，可得-ab=-3， 则点Q 在y=-3x 上． 故选D ．【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及坐标与图形变化，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．4．C【解析】试题分析：根据三角形的三线合一可求得∠DAC 及∠ADE 的度数，根据∠EDC=90°-∠ADE 即可得到答案．∵△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=AC ，∠BAD=30°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∵AD=AE （已知），∴∠ADE=75°∴∠EDC=90°-∠ADE=15°．故选C ．考点：本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理点评：解答本题的关键是掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 5．C【解析】【分析】【详解】解：A 、a•a=a 2，正确，不合题意；B 、2a+a=3a ，正确，不合题意；C 、（a 3）2=a 6，故此选项错误，符合题意；D 、a 3÷a ﹣1=a 4，正确，不合题意；本题考查幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；负整数指数幂．6．C【解析】试题分析:分类讨论：当腰取5，则底边为11，但5+5＜11，不符合三角形三边的关系；当腰取11，则底边为5，根据等腰三角形的性质得到另外一边为11，然后计算周长．解：当腰取5，则底边为11，但5+5＜11，不符合三角形三边的关系，所以这种情况不存在；当腰取11，则底边为5，则三角形的周长=11+11+5=1．故选C ．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．7．B【解析】试题解析：∵关于x 的一元二次方程方程()21410k x x -++=有两个不相等的实数根，∴100k -≠⎧⎨∆>⎩，即()2104410k k -≠⎧⎨-->⎩，解得：k ＜5且k≠1．故选B ． 8．B【解析】分析：根据∠AOC 和∠BOC 的度数得出∠AOB 的度数，从而得出答案．详解：∵∠AOC=70°， ∠BOC=30°， ∴∠AOB=70°－30°=40°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=40°+70°=110°，故选B ．点睛：本题主要考查的是角度的计算问题，属于基础题型．理解各角之间的关系是解题的关键． 9．B【解析】【分析】直接利用立方根的定义化简得出答案．【详解】因为（-1）3=-1，﹣1．故选：B ．【点睛】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．,连接OC，因为点C为弧BD的中点，所以∠BOC=∠DAB=50°，因为OC=OB，所以∠ABC=∠OCB=65°，故选C．11．A【解析】【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．【详解】解：连接AM，∵AB=AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM= 22AB BM-= 2253-=4，又S△AMC=12MN•AC=12AM•MC，∴MN=·AM CM AC= 125．故选A．【点睛】积除以斜边．12．B【解析】试题分析：正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的对应点与C一定关于A对称，A是对称点连线的中点，据此即可求解．试题解析：AC=2，则正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后C的对应点设是C′，则AC′=AC=2，则OC′=3，故C′的坐标是（3，0）．故选B．考点：坐标与图形变化-旋转．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．8【解析】【分析】根据题意作出图形即可得出答案,【详解】如图，AD＞AB，△CDE1，△ABE2，△ABE3，△BCE4，△CDE5，△ABE6，△ADE7，△CDE8，为等腰三角形，故有8个满足题意得点.【点睛】此题主要考查矩形的对称性，解题的关键是根据题意作出图形.14．2【解析】【分析】连接OC，如图所示，由直径AB 垂直于CD，利用垂径定理得到E 为CD 的中点，即CE=DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE 为等腰直角三角形，求出CE 的长，进而得出CD．【详解】连接OC，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∴OC= 12AB=4，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=22.5°，∵∠COE 为△AOC 的外角，∴∠COE=45°，∴△COE 为等腰直角三角形，∴CE=22OC=22，∴CD=2CE=42，故答案为42.【点睛】考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．15．80°．【解析】【分析】如图，已知m∥n，根据平行线的性质可得∠1＝∠3，再由平角的定义即可求得∠2的度数.【详解】如图，∵m∥n，∴∠1＝∠3，∵∠1＝100°，∴∠3＝100°，∴∠2＝180°﹣100°＝80°，故答案为80°．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键.16．1．【解析】【分析】根据立体图形画出它的主视图，再求出面积即可．【详解】主视图如图所示，∵主视图是由1个棱长均为1的正方体组成的几何体，∴主视图的面积为1×12=1.故答案为：1．【点睛】本题是简单组合体的三视图，主要考查了立体图的左视图，解本题的关键是画出它的左视图．17．x＞0【解析】【分析】分式值为正，则分子与分母同号，据此进行讨论即可得.【详解】∵分式2xx2的值为正，∴x与x2+2的符号同号，∵x2+2>0，∴x>0，故答案为x>0.【点睛】本题考查了分式值为正的情况，熟知分式值为正时，分子分母同号是解题的关键. 18．（1）-2；（2）32【解析】【分析】【详解】(1)设点P的坐标为(m，n),则点Q的坐标为(m−1，n+2)，依题意得：() 21n km b n k m b =+⎧⎨+=-+⎩， 解得：k=−2.故答案为−2.(2)∵BO ⊥x 轴，CE ⊥x 轴，∴BO ∥CE ，∴△AOB ∽△AEC. 又∵1279S S =， ∴997916S AOB S AEC ==+V V 令一次函数y=−2x+b 中x=0，则y=b ，∴BO=b ；令一次函数y=−2x+b 中y=0，则0=−2x+b ，解得：x=2b ,即AO=2b . ∵△AOB ∽△AEC,且916S AOB S AEC =V V ， ∴34AO BO AE CE ==, ∴AE=43,AO=23b ,CE=43BO=43b,OE=AE−AO=16b . ∵OE ⋅CE=|−4|=4,即229b =4， 解得：b=32,或b=−32 (舍去).故答案为32.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由△PCD 是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°，可得∠PAB=∠PBD ，∠BPD=∠PAC ，从而即可证明；（2）根据相似三角形对应边成比例即可求出PC=PD=，再由勾股定理即可求解． 【详解】证明：（1）∵△PCD 是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°，∴∠APC+∠BPD=45°，又∠PAB+∠PBA=45°，∠PBA+∠PBD=45°，∴∠PAB=∠PBD ，∠BPD=∠PAC ，∵∠PCA=∠PDB ，∴△PAC ∽△BPD ；（2）∵，PC=PD ，AC=3，BD=1∴PC=PD=， ∴CD=．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形，属于基础题，关键是掌握相似三角形的判定方法．20． (1)45，122，627π；(2)满足条件的∠QQ 0D 为45°或135°；(3)BP 的长为275或2725；(4)72≤CQ≤7. 【解析】【分析】(1)由已知，可知△APQ 为等腰直角三角形，可得∠PAB ，再利用三角形相似可得PA ，及弧AQ 的长度；(2)分点Q 在BD 上方和下方的情况讨论求解即可．(3)分别讨论点Q 在BD 上方和下方的情况，利用切线性质，在由(2)用BP 0表示BP ，由射影定理计算即可；(4)由(2)可知，点Q 在过点Q o ，且与BD 夹角为45°的线段EF 上运动，有图形可知，当点Q 运动到点E 时，CQ 最长为7，再由垂线段最短，应用面积法求CQ 最小值．【详解】解：(1)如图，过点P 做PE ⊥AD 于点E由已知，AP ＝PQ ，∠APQ ＝90°∴△APQ 为等腰直角三角形∴∠PAQ ＝∠PAB ＝45°设PE ＝x ，则AE ＝x ，DE ＝4﹣x∵PE ∥AB∴△DEP∽△DAB∴DEDA=PEAB∴4-x4=3x解得x＝12 7∴PA＝2PE＝122∴弧AQ的长为14•2π•1227＝62π．故答案为45，1227，62π．(2)如图，过点Q做QF⊥BD于点F由∠APQ＝90°，∴∠APP0+∠QPD＝90°∵∠P0AP+∠APP0＝90°∴∠QPD＝∠P0AP∵AP＝PQ∴△APP0≌△PQF∴AP0＝PF，P0P＝QF∵AP0＝P0Q0∴Q0D＝P0P∴QF＝FQ0∴∠QQ0D＝45°．当点Q在BD的右下方时，同理可得∠PQ0Q＝45°，此时∠QQ0D＝135°，综上所述，满足条件的∠QQ0D为45°或135°．(3)如图当点Q直线BD上方，当以点Q为圆心，23BP为半径的圆与直线BD相切时过点Q做QF⊥BD于点F，则QF＝23BP由(2)可知，PP0＝23BP∴BP0＝13BP∵AB＝3，AD＝4 ∴BD＝5∵△ABP0∽△DBA ∴AB2＝BP0•BD∴9＝13BP×5∴BP＝27 5同理，当点Q位于BD下方时，可求得BP＝27 25故BP的长为275或2725(4)由(2)可知∠QQ0D＝45°则如图，点Q 在过点Q 0，且与BD 夹角为45°的线段EF 上运动，当点P 与点B 重合时，点Q 与点F 重合，此时，CF ＝4﹣3＝1当点P 与点D 重合时，点Q 与点E 重合，此时，CE ＝4+3＝7∴EF 22CF +CE 2217+2过点C 做CH ⊥EF 于点H由面积法可知CH ＝FC EC EF•5272 ∴CQ 的取值范围为：210≤CQ≤7 【点睛】本题是几何综合题，考查了三角形全等、勾股定理、切线性质以及三角形相似的相关知识，应用了分类讨论和数形结合的数学思想．21．13【解析】【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再代入使分式有意义的值计算.【详解】 解：原式2211(1)(1)a a a a a a ⎡⎤+-=-⋅⎢⎥-+-⎣⎦ 2(1)21(1)(1)a a a a a a+---=⋅+- 11a =+. 使原分式有意义的a 值可取2，当2a =时，原式11213==+. 【点睛】 考核知识点：分式的化简求值.掌握分式的运算法则是关键.22． (1)见解析：(2)见解析.【解析】试题分析：（1）根据角平分线的作法作出∠BAE 的平分线AP 即可；（2）先证明△ABO ≌△CBO ，得到AO=CO ，AB=CB ，再证明△ABO ≌△ADO ，得到BO=DO ．由对角线互相平分的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ABCD 是菱形．试题解析：（1）如图所示：（2）如图：在△ABO 和△CBO 中，∵∠ABO=∠CBO ，OB=OB ，∠ AOB=∠COB=90°，∴△ABO ≌△CBO （ASA ），∴AO=CO ，AB=CB ．在△ABO 和△ADO 中，∵∠OAB=∠OAD ，OA=OA ，∠AOB=∠AOD=90°，∴△ABO ≌△ADO （ASA ），∴BO=DO ．∵AO=CO ，BO=DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AB=CB ，∴平行四边形ABCD 是菱形．考点：1．菱形的判定；2．作图—基本作图．23．（1）四边形AEA′F 为菱形．理由见解析；（2）1．【解析】【分析】（1）先证明AE=AF ，再根据折叠的性质得AE=A′E ，AF=A′F ，然后根据菱形的判定方法可判断四边形AEA′F 为菱形；（2）四先利用四边形AEA′F 是正方形得到∠A=90°，则AB=AC=22BC=6，然后利用正方形AEA′F 的面积是△ABC 的一半得到AE 2=12•12•6•6，然后利用算术平方根的定义求AE 即可． 【详解】（1）四边形AEA′F为菱形．理由如下：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵△AEF沿着直线EF向下翻折，得到△A′EF，∴AE=A′E，AF=A′F，∴AE=A′E=AF=A′F，∴四边形AEA′F为菱形；（2）∵四边形AEA′F是正方形，∴∠A=90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC=2BC=2×62=6，∵正方形AEA′F的面积是△ABC的一半，∴AE2=12•12•6•6，∴AE=1．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．24．解：（1）10，50；（2）解法一（树状图）：从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，因此P（不低于30元）=82 123；解法二（列表法）：（以下过程同“解法一”）【解析】【分析】试题分析：（1）由在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0”元，“10”元，“20”元和“30”元的字样，规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以再箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与顾客所获得购物券的金额不低于30元的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．试题解析：(1)10，50；(2)解法一(树状图)：,从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，因此P(不低于30元)＝812＝23；解法二(列表法)：0 10 20 30 0 ﹣﹣10 20 30 10 10 ﹣﹣30 40 20 20 30 ﹣﹣50从上表可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，因此P(不低于30元)＝812＝23；考点：列表法与树状图法. 【详解】请在此输入详解！25．（1）反比例函数解析式为y=8x，一次函数解析式为y=x+2；（2）△ACB的面积为1．【解析】【分析】（1）将点A坐标代入y=mx可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，根据A、B两点坐标可得直线解析式；（2）根据点B坐标可得底边BC=2，由A、B两点的横坐标可得BC边上的高，据此可得．【详解】解：（1）将点A（2，4）代入y=mx，得：m=8，则反比例函数解析式为y=8x，当x=﹣4时，y=﹣2，则点B（﹣4，﹣2），将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y=kx+b，得：2442k bk b+=⎧⎨-+=-⎩，解得：12kb=⎧⎨=⎩，则一次函数解析式为y=x+2；（2）由题意知BC=2，则△ACB的面积=12×2×1=1．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积求法是解题的关键．26．证明见解析.【解析】【分析】不难看出△BDA和△CED都是直角三角形，证明△BDA∽△CED，只需要另外找一对角相等即可，由于AD是△ABC的中线，又可证AD⊥BC，即AD为BC边的中垂线，从而得到∠B=∠C，即可证相似．【详解】∵AB是⊙O直径，∴AD ⊥BC ，又BD=CD ，∴AB=AC ，∴∠B=∠C ，又∠ADB=∠DEC=90°，∴△BDA ∽△CED.【点睛】本题重点考查了圆周角定理、直径所对的圆周角为直角及相似三角形判定等知识的综合运用． 27． (1)2w 2x 120x 1600=-+-;(2) 该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润2元;(3)该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．【解析】【分析】（1）根据销售额=销售量×销售价单x ，列出函数关系式．（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值．（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x ，根据x 的取值范围求x 的值．【详解】解：（1）由题意得：()()()2w x 20y x 202x 802x 120x 1600=-⋅=--+=-+-， ∴w 与x 的函数关系式为：2w 2x 120x 1600=-+-．（2）()22w 2x 120x 16002x 30200=-+-=--+，∵﹣2＜0，∴当x=30时，w 有最大值．w 最大值为2．答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润2元．（3）当w=150时，可得方程﹣2（x ﹣30）2+2=150，解得x 1=25，x 2=3．∵3＞28，∴x 2=3不符合题意，应舍去．答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．。
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学模拟试题(3)含解析
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学模拟试题（3）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示互为相反数的点是A．点A和点C B．点B和点DC．点A和点D D．点B和点C2．如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为（）米A．5B．3C．5+1 D．33．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A．B．C．D．4．在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G、H．∠CBE=∠BAD，有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=2AE2；④S△BEC=S△ADF．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，已知▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFE：S四边形FCDE为( )A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：66．由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数，那么，这个几何体的左视图是（）A ．B ．C ．D ．7．关于x 的一元二次方程x 2﹣23x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＜3 B ．m ＞3 C ．m≤3 D ．m≥38．下列各图中a 、b 、c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是（ ）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．只有丙9．如图，Rt AOB V 中，AB OB ⊥，且AB OB 3==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A ．B ．C ．D ．10．如果解关于x 的分式方程2122m x x x -=--时出现增根，那么m 的值为 A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-411．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（﹣1，0），点B 的坐标是（3，0），在y 轴的正半轴上取一点C ，使A 、B 、C 三点确定一个圆，且使AB 为圆的直径，则点C 的坐标是（ ）A ．（0，3）B ．（3，0）C ．（0，2）D ．（2，0）12．下列运算正确的是（ ）A ．B ． =﹣3C ．a•a 2=a 2D ．（2a 3）2=4a 6二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE=OD，则AP的长为__________．14．分解因式：2x y4y-=．15．若两个关于x，y 的二元一次方程组3136mx nyx y+=⎧⎨-=⎩与52428x ny nx y-=-⎧⎨+=⎩有相同的解，则mn 的值为_____．16．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=72，且BD=5，则DE=_____．17．若不等式（a﹣3）x＞1的解集为13xa<-，则a的取值范围是_____．18．如图为两正方形ABCD、CEFG和矩形DFHI的位置图，其中D，A两点分别在CG、BI上，若AB=3，CE=5，则矩形DFHI的面积是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在A地时距地面的高度b为米；（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？20．（6分）如图，顶点为C 的抛物线y=ax 2+bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，连接OC 、OA 、AB ，已知OA=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）过点C 作CE ⊥OB ，垂足为E ，点P 为y 轴上的动点，若以O 、C 、P 为顶点的三角形与△AOE 相似，求点P 的坐标；（3）若将（2）的线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A 、E′B ，求E′A+12E′B 的最小值．21．（6分）计算：22b a b -÷（a a b-﹣1） 22．（8分）菏泽市牡丹区中学生运动会即将举行，各个学校都在积极地做准备，某校为奖励在运动会上取得好成绩的学生，计划购买甲、乙两种奖品共100件，已知甲种奖品的单价是30元，乙种奖品的单价是20元．（1）若购买这批奖品共用2800元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？（2）若购买这批奖品的总费用不超过2900元，则最多购买甲种奖品多少件？23．（8分）随着社会经济的发展，汽车逐渐走入平常百姓家．某数学兴趣小组随机抽取了我市某单位部分职工进行调查，对职工购车情况分4类（A ：车价40万元以上；B ：车价在20—40万元；C ：车价在20万元以下；D ：暂时未购车）进行了统计，并将统计结果绘制成以下条形统计图和扇形统计图．请结合图中信息解答下列问题：（1）调查样本人数为__________，样本中B 类人数百分比是_______，其所在扇形统计图中的圆心角度数是________；（2）把条形统计图补充完整；（3）该单位甲、乙两个科室中未购车人数分别为2人和3人，现从中选2人去参观车展，用列表或画树状图的方法，求选出的2人来自不同科室的概率．24．（10分）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）求证：DE=BF．25．（10分）如图是一副扑克牌中的三张牌，将它们正面向下洗均匀，甲同学从中随机抽取一张牌后放回，乙同学再从中随机抽取一张牌，用树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中，牌面上的数字都是偶数的概率．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动.若P、Q同时出发运动时间为t(s).（1）t为何值时，△APQ与△AOB相似？（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？27．（12分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．求证：△ADE∽△ABC；若AD=3，AB=5，求的值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据相反数的定义进行解答即可.【详解】解：由A表示-2，B表示-1，C表示0.75，D表示2.根据相反数和为0的特点，可确定点A和点D表示互为相反数的点.故答案为C.【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数和为0是解答本题的关键.2．C【解析】由题意可知，AC=1，AB=2，∠CAB=90°据勾股定理则2222+=+；AC AB125∴AC+BC=（5m.答：树高为（5故选C.3．C【解析】【分析】由一元二次方程有实数根可知△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【详解】∵关于x的一元二次方程x2−2x+k+2=0有实数根，∴△=(−2)2−4(k+2)⩾0，解得：k⩽−1，在数轴上表示为：故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程根的情况利用根的判别式列出不等式是解题的关键.4．C【解析】【分析】根据题意和图形，可以判断各小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】∵在△ABC中，AD和BE是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵点F是AB的中点，∴FD=12AB，FE=12AB，∴FD=FE，①正确；∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC，∵AD⊥BC，∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，在△AEH和△BEC中，AEH CEB AE BEEAH CBE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AH=BC=2CD，②正确；∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，∴△ABD∽△BCE，∴AB AD BC BE=，即BC•AD=AB•BE ， ∵∠AEB=90°，AE=BE ，∴BEBC•ADBE•BE ，∴AE 2；③正确；设AE=a ，则a ，∴a ﹣a ，∴BECABC CE?BE S CE 2AC?BE S AC 2===V V即BEC ABC S =V V ， ∵AF=12AB ， ∴ ADF ABD ABC 11S S S 24==V V V ， ∴S △BEC ≠S △ADF ，故④错误，故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．5．C【解析】【分析】根据AE ∥BC ，E 为AD 中点，找到AF 与FC 的比，则可知△AEF 面积与△FCE 面积的比，同时因为△DEC面积=△AEC 面积，则可知四边形FCDE 面积与△AEF 面积之间的关系．【详解】解：连接CE ，∵AE ∥BC ，E 为AD 中点， ∴12AE AF BC FC == ． ∴△FEC 面积是△AEF 面积的2倍．设△AEF 面积为x ，则△AEC 面积为3x ，∵E 为AD 中点，∴△DEC 面积=△AEC 面积=3x ．∴四边形FCDE面积为1x，所以S△AFE：S四边形FCDE为1：1．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题关键是通过线段的比得到三角形面积的关系．6．A【解析】从左面看，得到左边2个正方形，中间3个正方形，右边1个正方形．故选A．7．A【解析】分析：根据关于x的一元二次方程x23有两个不相等的实数根可得△=（32-4m＞0，求出m的取值范围即可．详解：∵关于x的一元二次方程x23有两个不相等的实数根，∴△=（32-4m＞0，∴m＜3，故选A．点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．8．B【解析】分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．详解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选B．点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．D【解析】【分析】Rt △AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A ，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t ；最后根据三角形的面积公式，解答出S 与t 之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【详解】解：∵Rt △AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD ⊥OB ，∴CD ∥AB ，∴∠OCD=∠A ，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t ，∴S △OCD =12×OD×CD=12t 2（0≤t≤3），即S=12t 2（0≤t≤3）． 故S 与t 之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；故选D ．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S 与t 之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．10．D【解析】【详解】2122m x x x-=--，去分母，方程两边同时乘以(x ﹣1)，得： m+1x=x ﹣1，由分母可知，分式方程的增根可能是1．当x=1时，m+4=1﹣1，m=﹣4，故选D ．11．A【解析】【分析】直接根据△AOC ∽△COB 得出OC 2=OA•OB ，即可求出OC 的长，即可得出C 点坐标．【详解】如图，连结AC，CB.依△AOC∽△COB的结论可得：OC2=OA OB，即OC2=1×3=3，解得：OC=3或−3(负数舍去)，故C点的坐标为(0, 3).故答案选：A.【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形的性质. 12．D【解析】试题解析：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误；B.，故原选项错误；C.，故原选项错误；D. ，故该选项正确.故选D.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．4.1【解析】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=1，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=1，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x ，则PD=GE=6﹣x ，DG=x ，∴CG=1﹣x ，BG=1﹣（6﹣x ）=2+x ，根据勾股定理得：BC 2+CG 2=BG 2，即62+（1﹣x ）2=（x+2）2，解得：x=4.1，∴AP=4.1；故答案为4.1．14．()()y x 2x 2+-．【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式y 后继续应用平方差公式分解即可：()()()22x y 4y y x 4y x 2x 2-=-=+-． 考点：提公因式法和应用公式法因式分解．15．1【解析】【分析】联立不含m 、n 的方程求出x 与y 的值，代入求出m 、n 的值，即可求出所求式子的值．【详解】联立得：36428x y x y -⎧⎨+⎩＝①＝②， ①×2+②，得：10x=20，解得：x=2，将x=2代入①，得：1-y=1，解得：y=0，则20x y ⎧⎨⎩＝＝， 将x=2、y=0代入3152mx ny x ny n ＝＝+⎧⎨--⎩，得：21102m n ⎧⎨-⎩＝＝，解得：1212 mn⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，则mn=1，故答案为1．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．16．22．【解析】【分析】连接OD，OC，AD，由⊙O的直径AB=7可得出OD=OC，故可得出OD=CD=OC，所以∠DOC=60°，∠DAC=30°，根据勾股定理可求出AD的长，在Rt△ADE中，利用∠DAC的正切值求解即可．【详解】解：连接OD，OC，AD，∵半圆O的直径AB=7，∴OD=OC=72，∵CD=72，∴OD=CD=OC∴∠DOC=60°，∠DAC=30°又∵AB=7，BD=5，∴22227526AD AB BD=-=-=在Rt△ADE中，∵∠DAC=30°，∴DE=AD•tan30°32622=⨯=．故答案为22．【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识；综合性比较强.17．3a<．【解析】∵(a−3)x>1的解集为x<13a-，∴不等式两边同时除以(a−3)时不等号的方向改变，∴a−3<0，∴a<3.故答案为a<3.点睛：本题考查了不等式的性质:在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.本题解不等号时方向改变,所以a-3小于0.18．87 2【解析】【分析】由题意先求出DG和FG的长，再根据勾股定理可求得DF的长，然后再证明△DGF∽△DAI，依据相似三角形的性质可得到DI的长，最后依据矩形的面积公式求解即可．【详解】∵四边形ABCD、CEFG均为正方形，∴CD=AD=3，CG=CE=5，∴DG=2，在Rt△DGF中，DF=22DG FG+=222529+=，∵∠FDG+∠GDI=90°，∠GDI+∠IDA=90°，∴∠FDG=∠IDA．又∵∠DAI=∠DGF，∴△DGF∽△DAI，∴23DF DGDI AD==，即2923=，解得：DI=329，∴矩形DFHI的面积是=DF•DI=32987 292⨯=，故答案为：872．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握相关性质定理与判定定理是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）10；1；（2）15(02)3030(211)x xyx x⎧=⎨-⎩剟剟；（3）4分钟、9分钟或3分钟．【解析】【分析】（1）根据速度=高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度=速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值；（2）分0≤x≤2和x≥2两种情况，根据高度=初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；（3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者做差等于50即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x值；当乙到达终点时，用终点的高度-甲登山全程中y关于x的函数关系式=50，即可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x值．综上即可得出结论．【详解】（1）（10-100）÷20=10（米/分钟），b=3÷1×2=1．故答案为：10；1．（2）当0≤x≤2时，y=3x；当x≥2时，y=1+10×3（x-2）=1x-1．当y=1x-1=10时，x=2．∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为15(02)3030(211)x xyx x⎧=⎨-⎩剟剟．（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y=10x+100（0≤x≤20）．当10x+100-（1x-1）=50时，解得：x=4；当1x-1-（10x+100）=50时，解得：x=9；当10-（10x+100）=50时，解得：x=3．答：登山4分钟、9分钟或3分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．【点睛】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据高度=初始高度+速度×时间找出y关于x的函数关系式；（3）将两函数关系式做差找出关于x的一元一次方程．20．(1) y=3x2﹣3x；（2）点P坐标为（0，3）或（0，3）；（3）2.【解析】【分析】（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；（2）∠EOC=30°，由OA=2OE，OC=233，推出当OP=12OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似；（3）如图，取Q（12，0）．连接AQ，QE′．由△OE′Q∽△OBE′，推出12E Q OEBE OB''=='，推出E′Q=12BE′，推出AE′+12BE′=AE′+QE′，由AE′+E′Q≥AQ，推出E′A+12E′B的最小值就是线段AQ的长.【详解】（1）过点A作AH⊥x轴于点H，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOH=60°，∴OH=1，AH=3，∴A点坐标为：（-1，3），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得：3420a ba b⎧-⎪⎨+⎪⎩＝＝，解得：323ab⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝，∴抛物线的表达式为：y=3x2-233x；（2）如图，∵C（1，3，∴tan∠EOC=33 ECOE=，∴∠EOC=30°，∴∠POC=90°+30°=120°，∵∠AOE=120°，∴∠AOE=∠POC=120°，∵OA=2OE，OC=23，∴当OP=12OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似，∴OP=33，OP′=43，∴点P坐标为（0，33）或（0，433）．（3）如图，取Q（12，0）．连接AQ，QE′．∵12 OE OQ OB OE'=='，∠QOE′=∠BOE′，∴△OE′Q∽△OBE′，∴12E Q OEBE OB''=='，∴E′Q=12 BE′，∴AE′+12BE′=AE′+QE′，∵AE′+E′Q≥AQ，∴E′A+12E′B的最小值就是线段AQ22321()(3)2+=．【点睛】本题考查二次函数综合题、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构造相似三角形解决最短问题，属于中考压轴题．21．1a b+ 【解析】【分析】根据分式的混合运算法则把原式进行化简即可.【详解】原式=()()b a b a b +-÷（a a b -﹣a b a b--） =()()b a b a b +-÷a a b a b-+- =()()b a b a b +-•a b b- =1a b+． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式的混合运算的法则是解答此题的关键.22．（1）甲80件，乙20件；（2）x≤90【解析】【分析】（1）甲种奖品购买了x 件，乙种奖品购买了（100﹣x ）件，利用共用2800元，列出方程后求解即可；(2) 设甲种奖品购买了x 件，乙种奖品购买了（100﹣x ）件，根据购买这批奖品的总费用不超过2900元列不等式求解即可.【详解】解：（1）设甲种奖品购买了x 件，乙种奖品购买了（100﹣x ）件，根据题意得30x+20（100﹣x ）=2800，解得x=80，则100﹣x=20，答：甲种奖品购买了80件，乙种奖品购买了20件；（2）设甲种奖品购买了x 件，乙种奖品购买了（100﹣x ）件，根据题意得：30x+20（100﹣x ）≤2900，解得：x≤90，【点睛】本题主要考查一元一次方程与一元一次不等式的应用，根据已知条件正确列出方程与不等式是解题的关键.23．（1）50，20%，72°．（2）图形见解析；（3）选出的2人来自不同科室的概率=．【解析】试题分析：（1）根据调查样本人数=A类的人数除以对应的百分比．样本中B类人数百分比=B类人数除以总人数，B类人数所在扇形统计图中的圆心角度数=B类人数的百分比×360°．（2）先求出样本中B类人数，再画图．（3）画树状图并求出选出的2人来自不同科室的概率．试题解析：（1）调查样本人数为4÷8%=50（人），样本中B类人数百分比（50﹣4﹣28﹣8）÷50=20%，B类人数所在扇形统计图中的圆心角度数是20%×360°=72°；（2）如图，样本中B类人数=50﹣4﹣28﹣8=10（人）；（3）画树状图为：共有20种可能的结果数，其中选出选出的2人来自不同科室占12种，所以选出的2人来自不同科室的概率=．考点：1.条形统计图2.扇形统计图3.列表法与树状图法．24．（1）作图见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）分别以B、D为圆心，以大于12BD的长为半径四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段BD的垂直平分线；（2）利用垂直平分线证得△DEO ≌△BFO 即可证得结论．【详解】解：（1）如图：（2）∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵EF 垂直平分线段BD ，∴BO=DO ，在△DEO 和三角形BFO 中，{ADB CBDBO DO DOE BOF∠=∠=∠=∠，∴△DEO ≌△BFO （ASA ），∴DE=BF ．考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．25．13【解析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数为2，所以两次抽取的牌上的数字都是偶数的概率＝26＝13．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．26．（1）t＝154秒；（1）t＝5﹣5（s）．【解析】【分析】（1）利用勾股定理列式求出AB，再表示出AP、AQ，然后分∠APQ 和∠AQP 是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；（1）过点P 作PC⊥OA 于C，利用∠OAB 的正弦求出PC，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），∴AO＝6，BO＝8，∴AB＝＝＝10，∵点P的速度是每秒1个单位，点Q 的速度是每秒1个单位，∴AQ＝t，AP＝10﹣t，①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，∴，即，解得t＝＞6，舍去；②∠AQP 是直角时，△AQP∽△AOB，∴，即，解得t＝，综上所述，t＝秒时，△APQ 与△AOB相似；（1）如图，过点P 作PC⊥OA 于点C，则PC＝AP•sin∠OAB＝（10﹣t）×＝（10﹣t），∴△APQ的面积＝×t×（10﹣t）＝8，整理，得：t1﹣10t+10＝0，解得：t＝5+＞6（舍去），或t＝5﹣，故当t＝55s）时，△APQ的面积为8cm1．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、三角形的面积以及一元二次方程的应用能力，分类讨论是解题的关键．27．（1）证明见解析；（2）35．【解析】【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）△ADE∽△ABC，AD AEAB AC=，又易证△EAF∽△CAG，所以AF AEAG AC=，从而可求解．【详解】（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴35 AD AE AB AC==由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴AF AE AG AC=，∴AF AG=35考点：相似三角形的判定。
湖南省湘潭市2019-2020学年中考第四次模拟数学试题含解析
湖南省湘潭市2019-2020学年中考第四次模拟数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 的坐标为（0，4），将△ABO 绕点B 逆时针旋转60°后得到△A'BO'，若函数y=k x （x ＞0）的图象经过点O'，则k 的值为（ ）A ．23B ．4C ．43D ．82．已知常数k ＜0，b ＞0，则函数y=kx+b ，k y x=的图象大致是下图中的（ ） A ． B ．C ．D ．3．如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （1，-1），C （2，2），抛物线y=ax 2（a≠0）经过△ABC 区域（包括边界），则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤- 或 2a ≥B ．10a -≤< 或 02a <≤C ．10a -≤< 或112a <≤ D ．122a ≤≤ 4．反比例函数是y=2x 的图象在（ ）5．如图，不等式组1010xx+⎧⎨-≤⎩f的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，嘉淇同学拿20元钱正在和售货员对话，且一本笔记本比一支笔贵3元，请你仔细看图，1本笔记本和1支笔的单价分别为()A．5元，2元B．2元，5元C．4.5元，1.5元D．5.5元，2.5元7．计算(－ab2)3÷(－ab)2的结果是()A．ab4B．－ab4C．ab3D．－ab38．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是()A．70°B．60°C．55°D．50°9．如图1、2、3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图，已知甲的路线为：A→C→B；乙的路线为：A→D→E→F→B，其中E为AB的中点；丙的路线为：A→I→J→K→B，其中J在AB上，且AJ＞JB．若符号[→]表示[直线前进]，则根据图1、图2、图3的数据，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A．甲=乙=丙B．甲＜乙＜丙C．乙＜丙＜甲D．丙＜乙＜甲10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分22④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个11．观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是()A．2n+2 B．4n+4 C．4n﹣4 D．4n12．下列几何体中三视图完全相同的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．14．抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴只有一个交点，则m的值为_____．15．分解因式：21a-=________．16．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为．17．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF，OE、OF分别交AB、BC于点E、点F，AE=3，FC=2，则EF的长为_____．18．双曲线11y x =、23y x=在第一象限的图像如图，过y 2上的任意一点A ，作x 轴的平行线交y 1于B ，交y 轴于C ，过A 作x 轴的垂线交y 1于D ，交x 轴于E ，连结BD 、CE ，则BD CE ＝ ．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）计算532224m m m m -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭. 20．（6分）如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠C=90°，tanB=12，过点B 的直线l 是⊙O 的切线，点D 是直线l 上一点，过点D 作DE ⊥CB 交CB 延长线于点E ，连接AD ，交⊙O 于点F ，连接BF 、CD 交于点G ．（1）求证：△ACB ∽△BED ；（2）当AD ⊥AC 时，求DG CG的值； （3）若CD 平分∠ACB ，AC=2，连接CF ，求线段CF 的长．21．（6分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，OF ⊥AB ，交AC 于点F ，点E 在AB 的延长线上，射线EM 经过点C ，且∠ACE+∠AFO=180°.求证：EM 是⊙O 的切线；若∠A=∠E,BC=3，求阴影部分的面积.（结果保留π和根号）.22．（8分）已知：关于x的方程x2﹣（2m+1）x+2m=0（1）求证：方程一定有两个实数根；（2）若方程的两根为x1，x2，且|x1|=|x2|，求m的值．23．（8分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．（1）概念理解：如图1，在△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是”等高底”三角形，请说明理由．（1）问题探究：如图1，△ABC是“等高底”三角形，BC是”等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连结AA′交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求ACBC的值．（3）应用拓展：如图3，已知l1∥l1，l1与l1之间的距离为1．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l1上，有一边的长是BC的2倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A′C所在直线交l1于点D．求CD的值．24．（10分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有,A B两种型号的挖掘机,已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．分别求每台A型, B型挖掘机一小时挖土多少立方米?若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?25．（10分）如图，小巷左石两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，求小巷有多宽．26．（12分）如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数kyx（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．27．（12分）已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：按要求作图：先将△ABO 绕原点O逆时针旋转90°得△OA1B1，再以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2；直接写出点A1的坐标，点A2的坐标．参考答案题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据题意可以求得点O'的坐标，从而可以求得k的值．【详解】∵点B的坐标为（0，4），∴OB=4，作O′C⊥OB于点C，∵△ABO绕点B逆时针旋转60°后得到△A'BO'，∴O′B=OB=4，∴BC=4×cos60°=2，∴OC=2，∴点O′的坐标为：（，2），∵函数y=kx（x＞0）的图象经过点O'，∴，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化，解题的关键是利用数形结合的思想和反比例函数的性质解答．2．D【解析】【分析】当k＜0，b＞0时，直线经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限，由此确定正确的选项．【详解】解：∵当k＜0，b＞0时，直线与y轴交于正半轴，且y随x的增大而减小，∴直线经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限．故选D．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质．关键是明确系数与图象的位置的联系．3．B试题解析：如图所示：分两种情况进行讨论：当0a >时，抛物线2y ax =经过点()1,2A 时，2,a =抛物线的开口最小，a 取得最大值2.抛物线2y ax =经过△ABC 区域（包括边界），a 的取值范围是：0 2.a <≤当0a <时，抛物线2y ax =经过点()1,1B -时，1,a =-抛物线的开口最小，a 取得最小值 1.-抛物线2y ax =经过△ABC 区域（包括边界），a 的取值范围是：10.a -≤<故选B.点睛：二次函数()20,y ax bx c a =++≠ 二次项系数a 决定了抛物线开口的方向和开口的大小， 0,a >开口向上，0,a <开口向下.a 的绝对值越大，开口越小.4．B【解析】【分析】【详解】解：∵反比例函数是y=2x中，k=2＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限．故选B ．5．B【解析】【分析】首先分别解出两个不等式,再确定不等式组的解集,然后在数轴上表示即可.解：解第一个不等式得：x ＞-1；解第二个不等式得：x≤1， 在数轴上表示，故选B.【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组,以及在数轴上表示解集,把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时 “≥” ,“≤” 要用实心圆点表示; “ <“ >” 要用空心圆点表示.6．A【解析】【分析】可设1本笔记本的单价为x 元，1支笔的单价为y 元，由题意可得等量关系：①3本笔记本的费用+2支笔的费用=19元，②1本笔记本的费用﹣1支笔的费用=3元，根据等量关系列出方程组，再求解即可．【详解】设1本笔记本的单价为x 元，1支笔的单价为y 元，依题意有： 322013x y x y +=-⎧⎨-=⎩，解得：52x y =⎧⎨=⎩． 故1本笔记本的单价为5元，1支笔的单价为2元．故选A ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系设出未知数，列出方程组．7．B【解析】根据积的乘方的运算法则，先分别计算积的乘方，然后再根据单项式除法法则进行计算即可得， (-ab 2)3÷(-ab)2=-a 3b 6÷a 2b 2=-ab 4，故选B.8．A【解析】∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°．故选A ．考点：平行线的性质．9．A【解析】分析：由角的度数可以知道2、3中的两个三角形的对应边都是平行的，所以图2，图3中的三角形都和图1中的三角形相似．而且图2三角形全等，图3三角形相似．详解：根据以上分析：所以图2可得AE=BE ，AD=EF ，DE=BE ．∵AE=BE=12AB ，∴AD=EF=12AC ，DE=BE=12BC ，∴甲=乙． 图3与图1中，三个三角形相似，所以 JK AI =JB AJ =BK AI IJ AC ，=AJ AB =IJ BC ． ∵AJ+BJ=AB ，∴AI+JK=AC ，IJ+BK=BC ，∴甲=丙．∴甲=乙=丙．故选A ．点睛：本题考查了的知识点是平行四边形的性质，解答本题的关键是利用相似三角形的平移，求得线段的关系．10．B【解析】【详解】解：∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3，所以②正确；∵x=﹣2b a=1，即b=﹣2a ，而x=﹣1时，y=0，即a ﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误； ∵抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11．D【解析】试题分析：由已知的三个图可得到一般的规律，即第n个图形中三角形的个数是4n，根据一般规律解题即可．解：根据给出的3个图形可以知道：第1个图形中三角形的个数是4，第2个图形中三角形的个数是8，第3个图形中三角形的个数是12，从而得出一般的规律，第n个图形中三角形的个数是4n．故选D．考点：规律型：图形的变化类．12．A【解析】【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．【详解】解：A、球的三视图完全相同，都是圆，正确；B、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误；C、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；D、四棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；故选A．【点睛】考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．3:2【解析】因为DE∥BC,所以32AD AEDB EC==,因为EF∥AB,所以23CE CFEA BF==,所以32BFFC=,故答案为: 3:2.14．1由抛物线y=x2-2x+m与x轴只有一个交点可知，对应的一元二次方程x2-2x+m=2，根的判别式△=b2-4ac=2，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．【详解】解：∵抛物线y=x2﹣2x+m与x轴只有一个交点，∴△=2，∴b2﹣4ac=22﹣4×1×m=2；∴m=1．故答案为1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：①抛物线与x轴有两个交点，则△＞2；②抛物线与x轴无交点，则△＜2；③抛物线与x轴有一个交点，则△=2．15．(a+1)(a-1)【解析】【分析】根据平方差公式分解即可.【详解】21a-=(a+1)(a-1).故答案为：(a+1)(a-1).【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.16．7【解析】试题分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC．∴CD=BC－BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°．∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC．又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE．∴AB DCBD CE=，即96CE23CE=⇒=．∴AE AC CE927=-=-=．17由△BOF ≌△AOE ，得到BE=FC=2，在直角△BEF 中，从而求得EF 的值．【详解】∵正方形ABCD 中，OB=OC ，∠BOC=∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC ，在△BOE 和△COF 中，45{OCB OBE OB OC EOB FOC∠∠︒∠∠＝＝＝＝，∴△BOE ≌△COF （ASA ）∴BE=FC=2，同理BF=AE=3，在Rt △BEF 中，BF=3，BE=2，∴【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理，在四边形中常利用三角形全等的性质和勾股定理计算线段的长．18．23【解析】【详解】设A 点的横坐标为a ，把x=a 代入23y x =得23y a =，则点A 的坐标为（a ，3a）． ∵AC ⊥y 轴，AE ⊥x 轴， ∴C 点坐标为（0，3a ），B 点的纵坐标为3a，E 点坐标为（a ，0），D 点的横坐标为a ． ∵B 点、D 点在11y x =上，∴当y=3a 时，x=a 3；当x=a ，y=1a． ∴B 点坐标为（a 3，3a ），D 点坐标为（a ，1a）． ∴AB=a －3a =2a 3，AC=a ，AD=3a －1a =2a ，AE=3a ．∴AB=23AC ，AD=23AE ． 又∵∠BAD=∠CAD ，∴△BAD ∽△CAD ．∴BD AB 2CE AC 3==． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．26m +【解析】分析：先计算522m m +--，再做除法，结果化为整式或最简分式. 详解： 532224m m m m -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭ ()()()2252423m m m m m +---=⋅-- ()222923m m m m --=⋅-- ()()()332223m m m m m -+-=⋅-- 26m =+.点睛：本题考查了分式的混合运算．解题过程中注意运算顺序．解决本题亦可先把除法转化成乘法，利用乘法对加法的分配律后再求和.20．（1）详见解析；（2）14 ；（3）855. 【解析】【分析】（1）只要证明∠ACB=∠E ，∠ABC=∠BDE 即可；（2）首先证明BE ：DE ：BC=1：2：4，由△GCB ∽△GDF ，可得DG CG =14； （3）想办法证明AB 垂直平分CF 即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵DE ⊥CB ，∴∠ACB=∠E=90°，∵BD 是切线，∴AB ⊥BD ，∴∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°，∠BDE+∠DBE=90°，∴∠ABC=∠BDE，∴△ACB∽△BED；（2）解：如图2中，∵△ACB∽△BED；四边形ACED是矩形，∴BE：DE：BC=1：2：4，∵DF∥BC，∴△GCB∽△GDF，∴DGCG=14；（3）解：如图3中，∵tan∠ABC=ACBC=12，AC=2，∴BC=4，BE=4，DE=8，55易证△DBE≌△DBF，可得BF=4=BC，∴AC=AF=2，∴CF⊥AB，设CF交AB于H,则CF=2CH=2×85 AC BCAB⨯=.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所以中考常考题型．21．（1）详见解析；（2）133 2π【解析】【分析】（1）连接OC，根据垂直的定义得到∠AOF=90°，根据三角形的内角和得到∠ACE=90°+∠A，根据等腰三角形的性质得到∠OCE=90°，得到OC ⊥CE ，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，推出∠ACO=∠BCE ，得到△BOC 是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】：（1）连接OC ，∵OF ⊥AB ，∴∠AOF=90°，∴∠A+∠AFO+90°=180°，∵∠ACE+∠AFO=180°，∴∠ACE=90°+∠A ，∵OA=OC ，∴∠A=∠ACO ，∴∠ACE=90°+∠ACO=∠ACO+∠OCE ，∴∠OCE=90°，∴OC ⊥CE ，∴EM 是⊙O 的切线；（2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=∠BCE+∠BCO=90°，∴∠ACO=∠BCE ，∵∠A=∠E ，∴∠A=∠ACO=∠BCE=∠E ，∴∠ABC=∠BCO+∠E=2∠A ，∴∠A=30°，∴∠BOC=60°，∴△BOC 是等边三角形，∴∴阴影部分的面积1122π= 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积计算，连接OC 是解题的关键． 22． (1)详见解析；（2）当x 1≥0，x 2≥0或当x 1≤0，x 2≤0时，m=12；当x 1≥0，x 2≤0时或x 1≤0，x 2≥0时，m=﹣12． 【解析】试题分析：（1）根据判别式△≥0恒成立即可判断方程一定有两个实数根；（2）先讨论x 1，x 2的正负，再根据根与系数的关系求解．试题解析：（1）关于x 的方程x 2﹣（2m+1）x+2m=0，∴△=（2m+1）2﹣8m=（2m ﹣1）2≥0恒成立，故方程一定有两个实数根；（2）①当x 1≥0，x 2≥0时，即x 1=x 2，∴△=（2m ﹣1）2=0，解得m=12； ②当x 1≥0，x 2≤0时或x 1≤0，x 2≥0时，即x 1+x 2=0，∴x 1+x 2=2m+1=0，解得：m=﹣12； ③当x 1≤0，x 2≤0时，即﹣x 1=﹣x 2，∴△=（2m ﹣1）2=0，解得m=12； 综上所述：当x 1≥0，x 2≥0或当x 1≤0，x 2≤0时，m=12；当x 1≥0，x 2≤0时或x 1≤0，x 2≥0时，m=﹣12．23．（1）△ABC 是“等高底”三角形；（1）2；（3）CD ，，1． 【解析】【分析】 （1）过A 作AD ⊥BC 于D ，则△ADC 是直角三角形，∠ADC=90°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得：132AD AC ==，根据“等高底”三角形的概念即可判断. （1）点B 是'AA C V 的重心，得到2BC BD =，设BD x =，则23AD BC x CD x ===，，根据勾股定理可得AC =，即可求出它们的比值.（3）分两种情况进行讨论:①当AB =时和②当AC =时.【详解】（1）△ABC 是“等高底”三角形；理由：如图1，过A 作AD ⊥BC 于D ，则△ADC 是直角三角形，∠ADC=90°，∵∠ACB=30°，AC=6， ∴132AD AC ==， ∴AD=BC=3，即△ABC 是“等高底”三角形；（1）如图1，∵△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，∴AD BC =，∵△ABC 关于BC 所在直线的对称图形是'A BC V ，∴∠ADC=90°，∵点B 是'AA C V 的重心，∴2BC BD =，设BD x =，则23AD BC x CD x ===，， 由勾股定理得13AC x =，∴1313.AC x BC == （3）①当2AB BC =时，Ⅰ．如图3，作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵“等高底”△ABC 的“等底”为BC ，l 1∥l 1，l 1与l 1之间的距离为1，2AB BC =.∴222BC AE AB ，，===∴BE=1，即EC=4，∴25AC ，= ∵△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C ，∴∠DCF=45°，设DF CF x ==，∵l 1∥l 1，∴ACE DAF ∠=∠，∴1,2DF AE AF CE == 即2AF x =， ∴325AC x ==，∴225,210,33x CD x === Ⅱ．如图4，此时△ABC 等腰直角三角形，∵△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到''A B C V ，∴ACD V 是等腰直角三角形，∴222CD AC ==． ②当2AC BC =时，Ⅰ．如图5，此时△ABC 是等腰直角三角形，∵△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C ，∴1'A C l ⊥，∴2CD AB BC ===；Ⅱ．如图6，作AE BC ⊥于E ，则AE BC =，∴22AC BC ==，∴45ACE ∠=︒，∴△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°，得到''A B C V 时，点A'在直线l 1上，∴'A C ∥l 1，即直线'A C 与l 1无交点，综上所述，CD 210,22,2.3【点睛】属于新定义问题，考查对与等底高三角形概念的理解，勾股定理，等腰直角三角形的性质等，掌握等底高三角形的性质是解题的关键.24．（1）每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米,每台B 型挖据机一小时挖土15立方米；（2）共有三种调配方案．方案一: A 型挖据机7台,B 型挖掘机5台；方案二: A 型挖掘机8台,B 型挖掘机4台；方案三: A 型挖掘机9台,B 型挖掘机3台．当A 型挖掘机7台, B 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．【解析】分析：（1）根据题意列出方程组即可；（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．详解：(1)设每台A 型,B 型挖掘机一小时分别挖土x 立方米和y 立方米,根据题意,得 35165,47225,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得30,15.x y =⎧⎨=⎩所以,每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米,每台B 型挖据机一小时挖土15立方米．(2)设A 型挖掘机有m 台,总费用为W 元,则B 型挖据机有()12m -台．根据题意,得43004180W m =⨯+⨯ ()124808640m m -=+，因为()()430415121080430041801212960m m m m ⎧⨯+⨯-≥⎪⎨⨯+⨯-≤⎪⎩，解得69m m ≥⎧⎨≤⎩， 又因为12m m ≠-,解得6m ≠,所以79m ≤≤．所以,共有三种调配方案．方案一:当7m =时,125m -= ,即A 型挖据机7台,B 型挖掘机5台；方案二:当8m =时,124m -= ,即A 型挖掘机8台,B 型挖掘机4台；方案三:当9m =时,123m -= ,即A 型挖掘机9台,B 型挖掘机3台．4800Q >,由一次函数的性质可知,W 随m 的减小而减小,当7m =时，=4807+8640=12000W ⨯最小，此时A 型挖掘机7台, B 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．点睛：本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再应用一次函数性质解答问题．25．2.7米．【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB 的长，同理可得出BD 的长，进而可得出结论．【详解】在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，BC ＝0.7米，AC ＝2.2米，∴AB 2＝0.72+2.22＝6.1．在Rt △A′BD 中，∵∠A′DB ＝90°，A′D ＝1.5米，BD 2+A′D 2＝A′B′2，∴BD 2+1.52＝6.1，∴BD 2＝2．∵BD ＞0，∴BD ＝2米．∴CD ＝BC+BD ＝0.7+2＝2.7米．答：小巷的宽度CD 为2.7米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．26．（1）y ＝3x -；（2）P （0，2）或（－3，5）；（3）M （1-，0）或（3+0）． 【解析】【分析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a ，b ，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）设出点P 坐标，用三角形的面积公式求出S △ACP ＝12×3×|n ＋1|，S △BDP ＝12×1×|3−n|，进而建立方程求解即可得出结论；（3）设出点M 坐标，表示出MA 2＝（m ＋1）2＋9，MB 2＝（m−3）2＋1，AB 2＝32，再三种情况建立方程求解即可得出结论．【详解】（1）∵直线y＝－x＋2与反比例函数y＝kx（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，∴－a＋2＝3，－3＋2＝b，∴a＝－1，b＝－1，∴A（－1，3），B（3，－1），∵点A（－1，3）在反比例函数y＝kx上，∴k＝－1×3＝－3，∴反比例函数解析式为y＝3x ；（2）设点P（n，－n＋2），∵A（－1，3），∴C（－1，0），∵B（3，－1），∴D（3，0），∴S△ACP＝12AC×|x P−x A|＝12×3×|n＋1|，S△BDP＝12BD×|x B−x P|＝12×1×|3−n|，∵S△ACP＝S△BDP，∴12×3×|n＋1|＝12×1×|3−n|，∴n＝0或n＝−3，∴P（0，2）或（−3，5）；（3）设M（m，0）（m＞0），∵A（−1，3），B（3，−1），∴MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m−3）2＋1，AB2＝（3＋1）2＋（−1−3）2＝32，∵△MAB是等腰三角形，∴①当MA＝MB时，∴（m＋1）2＋9＝（m−3）2＋1，∴m＝0，（舍）②当MA＝AB时，∴（m＋1）2＋9＝32，∴m＝−1m＝，∴M（−10）③当MB＝AB时，（m−3）2＋1＝32，∴m＝3＋31或m＝3−31（舍），∴M（3＋31，0）即：满足条件的M（−1＋23，0）或（3＋31，0）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．27．(1)见解析；（2）点A1的坐标为：（﹣1，3），点A2的坐标为：（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用（1）中所画图形进而得出答案．【详解】（1）如图所示：△OA1B1，△OA2B2，即为所求；（2）点A1的坐标为：（﹣1，3），点A2的坐标为：（2，﹣6）．【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．。
2019-2020学年湖南省湘潭市中考数学模拟试卷(有标准答案)(word版)
湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．下列四个选项中，计算结果最大的是（）A．（﹣6）0B．|﹣6| C．﹣6 D．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C．D．3．下列运算正确的是（）A．3=3B．（2x2）3=2x5C．2a•5b=10ab D．÷=24．若分式的值为0，则x=（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．05．小红同学四次中考数学模拟考试成绩分别是：96，104，104，116，关于这组数据下列说法错误的是（）A．平均数是105 B．众数是104 C．中位数是104 D．方差是506．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1） B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）7．程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（）A． +3（100﹣x）=100 B．﹣3（100﹣x）=100C．3x+=100 D．3x﹣=1008．如图，等腰直角△EFG的直角边GE与正方形ABCD的边BC在同一直线上，且点E与点B重合，△EFG沿BC方向匀速运动，当点G与点C重合时停止运动．设运动时间为t，运动过程中△EFG与正方形ABCD的重叠部分面积为S，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．计算cos60°=．10．分解因式：2a2﹣3ab= ．11．四边形的内角和的度数为．12．从2015年12月26日起，一艘载满湘潭历史和文化的“航船﹣﹣湘潭市规划展示馆、博物馆和党史馆（以下简称‘三馆’）”正式起航，市民可以免费到三馆参观．听说这个好消息，小张同学准备星期天去参观其中一个馆，假设参观者选择每一个馆参观的机会均等，则小张同学选择参观博物馆的概率为．13．如图，直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，若DE=2，则EF= ．14．如图，一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则该扇形的弧长是．（结果保留π）15．多项式x2+1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是（任写一个符合条件的即可）．16．已知以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．例如：以A（2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，则以原点为圆心，过点P（1，0）的圆的标准方程为．三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣1，2），C（﹣3，1），△ABC与△A1B1C1关于y轴轴对称．（1）写出△A1B1C1的顶点坐标：A1，B1，C1；（2）求过点C1的反比例函数y=的解析式．18．先化简，再求值：•﹣，其中x=3．19．为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小胖同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼．该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD，已知四边形ABED是正方形，∠DCE=45°，AB=100米．小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分？（结果保留整数，≈1.41）20．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）当x1=1时，求另一个根x2的值．21．如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD、OB．（1）求证：△AEC∽△DEB；（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半径．22．为了方便居民低碳出行，2015年12月30日，湘潭市公共自行车租赁系统（一期）试运行以来，越来越多的居民选择公共自行车作为出行的交通工具，市区某中学课外兴趣小组为了了解某小区居民出行方式的变化情况，随机抽取了该小区部分居民进行调查，并绘制了如图的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请根据上面的统计图，解答下列问题：（1）被调查的总人数是人；（2）公共自行车租赁系统运行后，被调查居民选择自行车作为出行方式的百分比提高了多少？（3）如果该小区共有居民2000人，公共自行车租赁系统运行后估计选择自行车作为出行方式的有多少人？23．十八届五中全会出台了全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，这是党中央站在中华民族长远发展的战略高度作出的促进人口长期均衡发展的重大举措．二孩政策出台后，某家庭积极响应政府号召，准备生育两个小孩（生男生女机会均等，且与顺序有关）．（1）该家庭生育两胎，假设每胎都生育一个小孩，求这两个小孩恰好是1男1女的概率；（2）该家庭生育两胎，假设第一胎生育一个小孩，且第二胎生育一对双胞胎，求这三个小孩中至少有1个女孩的概率．24．办好惠民工程，是2015年湘潭市创建全国文明城市工作重点之一．湖湘公园、杨梅洲公园、雨湖公园以及菊花塘公园四个公园免费书吧的开放，让市民朋友们毫不费劲就能阅读到自己钟爱的书籍．现免费书吧准备补充少儿读物和经典国学两个类别的书籍共20套，已知少儿读物每套100元，经典国学每套200元，若购书总费用不超过3100元，不低于2920元，且购买的国学经典如果超过10套，则国学经典全部打9折，问有哪几种购买方案？哪种购买方案费用最低？25．如图1，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F．（1）如图2，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；（2）知识探究：①如图3，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；②在顶点G的运动过程中，若=t，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；（3）问题解决：如图4，已知菱形边长为8，BG=7，CF=，当t＞2时，求EC的长度．26．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx+b的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B位于点P的同侧．（1）求抛物线的解析式；（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由．湖南省湘潭市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．下列四个选项中，计算结果最大的是（）A．（﹣6）0B．|﹣6| C．﹣6 D．【考点】有理数大小比较．【分析】计算出结果，然后进行比较．【解答】解：（﹣6）0=1|﹣6|=6，因为﹣6＜＜1＜6，故选B．【点评】本题考查了有理数大小的比较，掌握零指数和绝对值的概念是关键．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；B、是中心对称图形，故错误；C、是轴对称图形，故错误；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确．故选D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3．下列运算正确的是（）A．3=3B．（2x2）3=2x5C．2a•5b=10ab D．÷=2【考点】二次根式的混合运算；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．【专题】计算题．【分析】根据二•次根式的加减法对A进行判断；根据积的乘方对B进行判断；根据单项式的乘法对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【解答】解：A、3与不能合并，所以A选项错误；B、原式=8x6，所以B选项错误；C、原式=10ab，所以C选项正确；D、原式==，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4．若分式的值为0，则x=（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．0【考点】分式的值为零的条件．【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【解答】解：由分式的值为零的条件得x﹣1=0，x+1≠0，解得，x=1．故选B．【点评】此题考查分式的值为零的问题，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．5．小红同学四次中考数学模拟考试成绩分别是：96，104，104，116，关于这组数据下列说法错误的是（）A．平均数是105 B．众数是104 C．中位数是104 D．方差是50【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．【分析】由平均数、众数、中位数、方差的定义即可判断．【解答】解：（A）平均数为： =105，故A正确；（B）出现最多的数据是104，故B正确；（C）先排序：96、104、104、116，所以中位数为=104，故C正确；（D）方差为： [（96﹣105）2+（104﹣105）2+（104﹣105）2+（116﹣105）2]=51，故D错误故选（D）【点评】本题考查数据的分析，涉及平均数、众数、中位数、方差等知识，综合程度较高．6．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1） B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【解答】解：由y=2（x﹣3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，1）．故选：A．【点评】此题考查二次函数的性质，解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．7．程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（）A． +3（100﹣x）=100 B．﹣3（100﹣x）=100C．3x+=100 D．3x﹣=100【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可．【解答】解：设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，根据题意得：3x+=100；故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程．8．如图，等腰直角△EFG的直角边GE与正方形ABCD的边BC在同一直线上，且点E与点B重合，△EFG沿BC方向匀速运动，当点G与点C重合时停止运动．设运动时间为t，运动过程中△EFG与正方形ABCD的重叠部分面积为S，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】设GF=BG=a，AB=BC=m，Rt△EFG向右匀速运动的速度为1，当E点与点B重合时，S=0；当点G在点B左侧，点E在点B右侧时，如图1，得到S是t的二次函数，且二次项系数为正数，所以抛物线开口向上；当点G在点B右侧，点E在点C左侧时，S=a2；当点G在点B左侧，点E在点B右侧时，如图3，得到S是t的二次函数，且二次项系数为负数，所以抛物线开口向下，于是得到结论．【解答】解：设GF=BG=a，AB=BC=m，Rt△EFG向右匀速运动的速度为1，当E点与点B重合时，S=0；当点G在点B左侧，点E在点B右侧时，如图1，BE=t，∴S=t2，∴S是t的二次函数，且二次项系数为正数，所以抛物线开口向上；当点G在点B右侧，点E在点C左侧时，如图2，S=a2；当点G在点B左侧，点E在点B右侧时，如图3，S=a2﹣（t﹣m）2，∴S是t的二次函数，且二次项系数为负数，所以抛物线开口向下，综上所述，S与t的图象分为三段，第一段为开口向上的抛物线的一部分，第二段为与x轴平行的线段，第三段为开口向下的抛物线的一部分．故选A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二、填空题（本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．计算cos60°=．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据记忆的内容，cos60°=即可得出答案．【解答】解：cos60°=．故答案为：．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意掌握特殊角的三角函数值，这是需要我们熟练记忆的内容．10．分解因式：2a2﹣3ab= a（2a﹣3b）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．【解答】解：2a2﹣3ab=a（2a﹣3b）．故答案为：a（2a﹣3b）【点评】本题主要考查了运用提公因式法因式分解，解题时注意：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．11．四边形的内角和的度数为360°．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数），求解即可．【解答】解：（4﹣2）×180°=360°．故答案为：360°．【点评】本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数）．12．从2015年12月26日起，一艘载满湘潭历史和文化的“航船﹣﹣湘潭市规划展示馆、博物馆和党史馆（以下简称‘三馆’）”正式起航，市民可以免费到三馆参观．听说这个好消息，小张同学准备星期天去参观其中一个馆，假设参观者选择每一个馆参观的机会均等，则小张同学选择参观博物馆的概率为．【考点】概率公式．【分析】让1除以三馆参观的场馆总个数即为所求的概率．【解答】解：1÷3=．答：小张同学选择参观博物馆的概率为．故答案为：．【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．如图，直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，若DE=2，则EF= 2 ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得=，从而计算出EF的值．【解答】解：∵直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，DE=2，∴=，即=，∴=，∴EF=2，故答案为：2．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．14．如图，一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则该扇形的弧长是π．（结果保留π）【考点】弧长的计算．【专题】计算题；圆的有关概念及性质．【分析】根据题意，利用弧长公式计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：l==π，故答案为：π【点评】此题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．15．多项式x2+1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是2x （任写一个符合条件的即可）．【考点】完全平方式．【专题】推理填空题．【分析】根据a2±2ab+b2=（a±b）2，判断出添加的单项式可以是哪个即可．【解答】解：∵x2+1+2x=（x+1）2，∴添加的单项式可以是2x．故答案为：2x．【点评】此题主要考查了完全平方式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：a2±2ab+b2=（a±b）2．16．已知以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．例如：以A（2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，则以原点为圆心，过点P（1，0）的圆的标准方程为x2+y2=1 ．【考点】坐标与图形性质．【专题】新定义．【分析】根据以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2进行判断即可．【解答】解：∵以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，∴以原点为圆心，过点P（1，0）的圆的标准方程为（x﹣0）2+（y﹣0）2=12，即x2+y2=1，故答案为：x2+y2=1．【点评】本题主要考查了坐标与图形性质．解决问题的关键是掌握以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣1，2），C（﹣3，1），△ABC与△A1B1C1关于y轴轴对称．（1）写出△A1B1C1的顶点坐标：A1（2，4），B1（1，2），C1（3，1）；（2）求过点C1的反比例函数y=的解析式．【考点】待定系数法求反比例函数解析式；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】（1）根据△ABC与△A1B1C1关于y轴轴对称及关于y轴对称点的纵坐标相等、横坐标互为相反数可得；（2）待定系数法求解可得．【解答】解：（1）如图，点A1的坐标为（2，4）、点B1的坐标为（1，2）、点C1的坐标为（3，1），故答案为：（2，4），（1，2），（3，1）；（2）将点C（3，1）代入y=，得：k=3，1∴反比例函数解析式为y=．【点评】本题主要考查关于坐标轴对称点的坐标特点和待定系数法求函数解析式能力，掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点是关键．18．先化简，再求值：•﹣，其中x=3．【考点】分式的化简求值．【分析】先将分子因式分解，再约分，最后计算分式的减法即可化简原式，将x的值代入计算可得．【解答】解：原式=•﹣=﹣=，当x=3时，原式==．【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序及运算法则是解题的关键．19．为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小胖同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼．该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD，已知四边形ABED是正方形，∠DCE=45°，AB=100米．小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分？（结果保留整数，≈1.41）【考点】解直角三角形的应用．【分析】首先利用勾股定理求出CD的长度，然后求出小胖每天晨跑的路程，进而求出平均速度．【解答】解：∵ABED是正方形，∠DCE=45°，AB=100米，∴DE=CE=100米，在直角三角形DEC中，DC2=DE2+CE2，即DC=100，∴四边形ABCD的周长为100+100+100+100+100=400+100，∵小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，∴小胖每天晨跑的路程为（2000+500）米，∴小胖同学该天晨跑的平均速度（2000+500）÷20=100+25≈135.25米/分． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用勾股定理求出DC 的长度，此题难度不大．20．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1=1时，求另一个根x 2的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据题意可得根的判别式△＞0，再代入可得9﹣4m ＞0，再解即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣，再代入可得答案．【解答】解：（1）由题意得：△=（﹣3）2﹣4×1×m=9﹣4m ＞0，解得：m ＜；（2）∵x 1+x 2=﹣=3，x 1=1，∴x 2=2．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，以及根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．21．如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB 交CD 于点E ，连接BD 、OB ．（1）求证：△AEC ∽△DEB ；（2）若CD ⊥AB ，AB=8，DE=2，求⊙O 的半径．【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理．【分析】（1）由同弧的圆周角相等即可得出∠ACE=∠DBE ，结合∠AEC=∠DEB ，即可证出△AEC ∽△DEB ；（2）设⊙O 的半径为r ，则CE=2r ﹣2，根据垂径定理以及三角形相似的性质即可得出关于r 的一元一次方程，解方程即可得出r 值，此题得解．【解答】（1）证明：∵∠AEC=∠DEB，∠ACE=∠DBE，∴△AEC∽△DEB．（2）解：设⊙O的半径为r，则CE=2r﹣2．∵CD⊥AB，AB=8，∴AE=BE=AB=4．∵△AEC∽△DEB，∴，即，解得：r=5．【点评】本题考查了垂径定理以及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出方程是解题的关键．22．为了方便居民低碳出行，2015年12月30日，湘潭市公共自行车租赁系统（一期）试运行以来，越来越多的居民选择公共自行车作为出行的交通工具，市区某中学课外兴趣小组为了了解某小区居民出行方式的变化情况，随机抽取了该小区部分居民进行调查，并绘制了如图的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请根据上面的统计图，解答下列问题：（1）被调查的总人数是50 人；（2）公共自行车租赁系统运行后，被调查居民选择自行车作为出行方式的百分比提高了多少？（3）如果该小区共有居民2000人，公共自行车租赁系统运行后估计选择自行车作为出行方式的有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据条形图的数据计算即可；（2）计算出共自行车租公赁系统运行前、后的百分比，计算即可；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）由条形图可知，被调查的总人数是10+15+25=50人，故答案为：50；（2）共自行车租公赁系统运行前，居民选择自行车作为出行方式的百分比为：15÷50=30%，公共自行车租赁系统运行后，居民选择自行车作为出行方式的百分比为：100%﹣36%﹣14%=50%，50%﹣30%=20%，答：公共自行车租赁系统运行后，被调查居民选择自行车作为出行方式的百分比提高了20%；（3）公共自行车租赁系统运行后估计选择自行车作为出行方式的有：2000×50%=1000人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．十八届五中全会出台了全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，这是党中央站在中华民族长远发展的战略高度作出的促进人口长期均衡发展的重大举措．二孩政策出台后，某家庭积极响应政府号召，准备生育两个小孩（生男生女机会均等，且与顺序有关）．（1）该家庭生育两胎，假设每胎都生育一个小孩，求这两个小孩恰好是1男1女的概率；（2）该家庭生育两胎，假设第一胎生育一个小孩，且第二胎生育一对双胞胎，求这三个小孩中至少有1个女孩的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式计算可得；（2）第一胎有男、女两种可能，第二胎由男男、男女、女男、女女四种可能，据此画出树状图，根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）画树状图如下：由树状图可知，生育两胎共有4种等可能结果，而这两个小孩恰好是1男1女的有2中可能，∴P=．（恰好是1男1女的）（2）画树状图如下：由树状图可知，生育两胎共有8种等可能结果，这三个小孩中至少有1个女孩的有7种结果，=．∴P（这三个小孩中至少有1个女孩）【点评】此题考查了树状图的应用，解题的关键是认真审题画出树状图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．办好惠民工程，是2015年湘潭市创建全国文明城市工作重点之一．湖湘公园、杨梅洲公园、雨湖公园以及菊花塘公园四个公园免费书吧的开放，让市民朋友们毫不费劲就能阅读到自己钟爱的书籍．现免费书吧准备补充少儿读物和经典国学两个类别的书籍共20套，已知少儿读物每套100元，经典国学每套200元，若购书总费用不超过3100元，不低于2920元，且购买的国学经典如果超过10套，则国学经典全部打9折，问有哪几种购买方案？哪种购买方案费用最低？【考点】一元一次不等式组的应用．【分析】根据题意分别利用当x≤10时，以及当x＞10时，表示总费用进而求出符合题意的答案．【解答】解：设购买国学经典x套，则购买少儿读物（20﹣x）套，当x≤10时，则2920≤100（20﹣x）+200x≤3100，解得：9.2≤x≤11，故x=10，当x＞10时，则2920≤100（20﹣x）+200×0.9x≤3100，解得：11.5≤x≤13.75，故x=12或x=13，当x=10时，总费用为：100×10+2000=3000（元），当x=12时，总费用为：8×100+200×0.9×12=2960（元），当x=13时，总费用为：7×100+200×0.9×13=3040（元），故共有3种购买方案，购买国学经典12套，则购买少儿读物8套方案费用最低．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确得出不等关系是解题关键．25．如图1，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F．（1）如图2，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；（2）知识探究：①如图3，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；②在顶点G的运动过程中，若=t，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；（3）问题解决：如图4，已知菱形边长为8，BG=7，CF=，当t＞2时，求EC的长度．【考点】四边形综合题．【分析】（1）如图2中，在CA上取一点M，使得CM=CE，连接EM．首先证明△ABE≌△ACF，再证明△AEM ≌△FEC，即可解决问题．（2）①结论：EC+CF=BC．如图3中，取BC中点P，CD中点Q，连接PG、GQ．利用（1）的结论解决问题．②结论：CE+CF=．如图4中，作GP∥AB交BC于P，GQ∥AD交CD于Q．利用（1）的结论解决问题．（3）如图4中，作BM⊥AC于M．利用（1）的结论：CG=CE+CF，求出CE即可解决问题．【解答】（1）证明：如图2中，在CA上取一点M，使得CM=CE，连接EM．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠AB=AC，∠BAC=∠EAF=60°，∠B=∠ACF=60°，∴∠BAE=∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∵CE=CM，∠ECM=60°，。
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学仿真第一次备考试题含解析
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学仿真第一次备考试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，▱ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝3，AB＝5，在AB延长线上取一点E，使BE＝25 AB，连接OE交BC于F，则BF的长为()A．23B．34C．56D．12．如图，l1、l2、l3两两相交于A、B、C三点，它们与y轴正半轴分别交于点D、E、F，若A、B、C三点的横坐标分别为1、2、3，且OD=DE=1，则下列结论正确的个数是（）①13EAEC，②S△ABC=1，③OF=5，④点B的坐标为（2，2.5）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E,DE=1,则BC= ()A3B．2 C．3 D3+2 4．下列计算正确的是（）A．2m+3n=5mn B．m2•m3=m6C．m8÷m6=m2D．（﹣m）3=m35．下面的统计图反映了我市2011﹣2016年气温变化情况，下列说法不合理的是（）A．2011﹣2014年最高温度呈上升趋势B．2014年出现了这6年的最高温度C．2011﹣2015年的温差成下降趋势D．2016年的温差最大6．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是()A．2 B．2C．3D．237．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是（）A．r＜5 B．r＞5 C．r＜10 D．5＜r＜108．五名女生的体重（单位：kg）分别为：37、40、38、42、42，这组数据的众数和中位数分别是（）A．2、40 B．42、38 C．40、42 D．42、409．已知圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，要使这两圆没有公共点，那么d的值可以取（）A．11；B．6；C．3；D．1．10．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A ．10B ．9C ．8D ．711．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．某校九年级一班全体学生2017年中招理化生实验操作考试的成绩统计如下表，根据表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ） 成绩（分） 30 29 2826 18 人数（人）324211A ．该班共有40名学生B ．该班学生这次考试成绩的平均数为29.4分C ．该班学生这次考试成绩的众数为30分D ．该班学生这次考试成绩的中位数为28分二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．计算：2111x x x+=--___________.14．已知直线23y x =+与抛物线2231y x x =-+交于A 11x y （，），B 22x y （，）两点，则121111x x +=++_______． 15．如图，线段AB 两端点坐标分别为A （﹣1，5）、B （3，3），线段CD 两端点坐标分别为C （5，3）、D （3，﹣1）数学课外兴趣小组研究这两线段发现：其中一条线段绕着某点旋转一个角度可得到另一条线段，请写出旋转中心的坐标________．16．如图，△ABC 中，过重心G 的直线平行于BC ，且交边AB 于点D ，交边AC 于点E ，如果设AB u u u r =a r，AC uuu r =b r ，用a r ，b r表示GE uuu r ，那么GE uuu r =___．17．如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan∠DBC的值为___________ .18．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD 的长为________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）先化简代数式211aa aa a+⎛⎫⎛⎫+÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再从﹣1，0，3中选择一个合适的a的值代入求值．20．（6分）如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB 于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．求证：AE∥CF．22．（8分）阅读材料：已知点00(,)P x y 和直线y kx b =+，则点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式0021kx y b d k-+=+计算.例如：求点(2,1)P -到直线1y x =+的距离．解：因为直线1y x =+可变形为10x y -+=，其中1,1k b ==，所以点(2,1)P -到直线1y x =+的距离为：00221(2)1122111kx y b d k -+⨯--+====++.根据以上材料，求：点(1,1)P 到直线32yx =-的距离，并说明点P 与直线的位置关系；已知直线1y x =-+与3y x =-+平行，求这两条直线的距离．23．（8分）如图，在△ABC 中，AB=AC=1，BC=，在AC 边上截取AD=BC ，连接BD ．（1）通过计算，判断AD 2与AC•CD 的大小关系； （2）求∠ABD 的度数．24．（10分）2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景线.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海地隧道，西人工岛上的A 点和东人工岛上的B 点间的距离约为5.6千米，点C 是与西人工岛相连的大桥上的一点，A ，B ，C 在一条直线上.如图，一艘观光船沿与大桥AC 段垂直的方向航行，到达P 点时观测两个人工岛，分别测得PA ，PB 与观光船航向PD 的夹角18DPA ∠=︒，53DPB ∠=︒，求此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长（参考数据：180.31sin ︒≈，180.95cos ︒≈，180.33tan ︒≈，530.80sin ︒≈，530.60cos ︒≈，53 1.33tan ︒≈）.25．（10分）如图，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°, ∠EGF的顶点G在菱形对角线AC 上运动，角的两边分别交边BC、CD于E、F．（1）如图甲，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；（2）知识探究：①如图乙，当顶点G运动到AC的中点时，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；②如图丙，在顶点G运动的过程中，若ACtGC，探究线段EC、CF与BC的数量关系；（3）问题解决：如图丙，已知菱形的边长为8，BG=7，CF=65，当t＞2时，求EC的长度．26．（12分）某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A，B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本)(1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价．(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，则A种型号的电风扇最多能采购多少台？(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．27．（12分）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝12∠BAC＝60°，于是BCAB＝2BDAB3迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．（1）求证：△ADB≌△AEC；（2）若AD＝2，BD＝3，请计算线段CD的长；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．（3）证明：△CEF是等边三角形；（4）若AE＝4，CE＝1，求BF的长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】首先作辅助线：取AB的中点M，连接OM，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：△EFB∽△EOM与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF的值．【详解】取AB的中点M，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∴OM∥AD∥BC，OM=12AD=12×3=32，∴△EFB∽△EOM，∴BF BE OM EM=，∵AB=5，BE=25 AB，∴BE=2，BM=52，∴EM=52+2=92，∴2 39 22 BF＝，∴BF=23，故选A．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．2．C【解析】【分析】①如图，由平行线等分线段定理（或分线段成比例定理）易得：13 EA OAEC OC'='＝；②设过点B且与y轴平行的直线交AC于点G，则S△ABC=S△AGB+S△BCG，易得：S△AED＝12，△AED∽△AGB且相似比=1，所以，△AED≌△AGB，所以，S△AGB＝12，又易得G为AC中点，所以，S△AGB=S△BGC=12，从而得结论；③易知，BG=DE=1，又△BGC∽△FEC，列比例式可得结论；④易知，点B的位置会随着点A在直线x=1上的位置变化而相应的发生变化，所以④错误．【详解】解：①如图，∵OE∥AA'∥CC'，且OA'=1，OC'=1，∴13 EA OAEC OC'='＝，故①正确；②设过点B且与y轴平行的直线交AC于点G（如图），则S△ABC=S△AGB+S△BCG，∵DE=1，OA'=1，∴S△AED=12×1×1=12，∵OE∥AA'∥GB'，OA'=A'B'，∴AE=AG，∴△AED∽△AGB且相似比=1，∴△AED≌△AGB，∴S△ABG=12，同理得：G为AC中点，∴S△ABG=S△BCG=12，∴S△ABC=1，故②正确；③由②知：△AED≌△AGB，∴BG=DE=1，∵BG∥EF，∴△BGC∽△FEC，∴13 BG CGEF CE＝＝，∴EF=1．即OF=5，故③正确；④易知，点B的位置会随着点A在直线x=1上的位置变化而相应的发生变化，故④错误；故选C．【点睛】本题考查了图形与坐标的性质、三角形的面积求法、相似三角形的性质和判定、平行线等分线段定理、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．考查学生数形结合的数学思想方法．3．C【解析】试题分析：根据角平分线的性质可得CD=DE=1，根据Rt△ADE可得AD=2DE=2，根据题意可得△ADB 为等腰三角形，则DE为AB的中垂线，则BD=AD=2，则BC=CD+BD=1+2=1．考点：角平分线的性质和中垂线的性质．4．C【解析】【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】解：A、2m与3n不是同类项，不能合并，故错误；B、m2•m3=m5，故错误；C、正确；D、（-m）3=-m3，故错误；故选：C．【点睛】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题.5．C【解析】【分析】利用折线统计图结合相应数据，分别分析得出符合题意的答案．【详解】A选项：年最高温度呈上升趋势，正确；B选项：2014年出现了这6年的最高温度，正确；C选项：年的温差成下降趋势，错误；D选项：2016年的温差最大，正确；故选C．【点睛】考查了折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关键．6．C【解析】【分析】由OP 平分∠AOB ，∠AOB=60°，CP=2，CP ∥OA ，易得△OCP 是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE 的值，继而求得OP 的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM 的长．【详解】解：∵OP 平分∠AOB ，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP ∥OA ，∴∠AOP=∠CPO ，∴∠COP=∠CPO ，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE ⊥OB ，∴∠CPE=30°，∴CE=12CP=1，∴=，∴∵PD ⊥OA ，点M 是OP 的中点，∴DM=12 故选C ．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．7．D【解析】延长CD 交⊙D 于点E ，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴， ∵D 是AB 中点，∴CD=115AB=22， ∵G 是△ABC 的重心，∴CG=2CD 3=5，DG=2.5， ∴CE=CD+DE=CD+DF=10，∵⊙C 与⊙D 相交，⊙C 的半径为r ，∴ 510r <<，故选D.【点睛】本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG的长是解题的关键.8．D【解析】【分析】根据众数和中位数的定义分别进行求解即可得.【详解】这组数据中42出现了两次，出现次数最多，所以这组数据的众数是42，将这组数据从小到大排序为：37，38，40，42，42，所以这组数据的中位数为40，故选D.【点睛】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数. 9．D【解析】∵圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，∴当d>4+7或d<7-4时，这两个圆没有公共点，即d>11或d<3，∴上述四个数中，只有D选项中的1符合要求.故选D.点睛：两圆没有公共点，存在两种情况：（1）两圆外离，此时圆心距>两圆半径的和；（1）两圆内含，此时圆心距<大圆半径-小圆半径.10．D【解析】分析：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．详解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=18°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣18°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=1．∵已经有3个五边形，∴1﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选D．点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．11．D【解析】【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】解：A. ∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B. ∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；C. ∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D. ∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确.故选：D.【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形与轴对称图形的定义.12．D【解析】A.∵32+4+2+1+1=40（人），故A正确；B. ∵（30×32+29×4+28×2+26+18）÷40=29.4（分），故B正确；C. ∵成绩是30分的人有32人，最多，故C 正确；D. 该班学生这次考试成绩的中位数为30分，故D错误；二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．x+1【解析】【分析】先通分，进行分式的加减法，再将分子进行因式分解，然后约分即可求出结果．【详解】 解：2111x x x+-- =2111x x x --- 211x x -=- ()()111x x x +-=- 1x =+.故答案是：x+1.【点睛】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．14．95【解析】【分析】将一次函数解析式代入二次函数解析式中,得出关于x 的一元二次方程,根据根与系数的关系得出“x 1 +x 2 =-b a =52 ,x 1g x 2=c a=-1”,将原代数式通分变形后代入数据即可得出结论. 【详解】将23y x =+代入到2231y x x =-+中得，223231x x x +=-+，整理得，22520x x --=，∴1252x x +=，121x x =-， ∴211212()1111()1111x x x x x x ++++==++++121212()(52292515112)x x x x x x +++==⋅+++-++. 【点睛】此题考查了二次函数的性质和一次函数的性质，解题关键在于将一次函数解析式代入二次函数解析式 15．()1,1或()4,4【解析】【分析】分点A 的对应点为C 或D 两种情况考虑：①当点A 的对应点为点C 时，连接AC 、BD ，分别作线段AC 、BD 的垂直平分线交于点E ，点E 即为旋转中心；②当点A 的对应点为点D 时，连接AD 、BC ，分别作线段AD 、BC 的垂直平分线交于点M ，点M 即为旋转中心.此题得解．【详解】①当点A 的对应点为点C 时，连接AC 、BD ，分别作线段AC 、BD 的垂直平分线交于点E ，如图1所示：A Q 点的坐标为()1,5-，B 点的坐标为()3,3，E ∴点的坐标为()1,1；②当点A 的对应点为点D 时，连接AD 、BC ，分别作线段AD 、BC 的垂直平分线交于点M ，如图2所示：A Q 点的坐标为()1,5-，B 点的坐标为()3,3，M ∴点的坐标为()4,4．综上所述：这个旋转中心的坐标为()1,1或()4,4．故答案为()1,1或()4,4．【点睛】本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．16．1133a b -+r r 【解析】【分析】连接AG ，延长AG 交BC 于F ．首先证明DG=GE ，再利用三角形法则求出DE u u u v即可解决问题．【详解】连接AG ，延长AG 交BC 于F ．∵G 是△ABC 的重心，DE ∥BC ，∴BF=CF ，23AD AE AG ABAC AF ===， ∵DG AD BFAB =，GE AE CF AC =， ∴DG GE BF CF=， ∵BF=CF ，∴DG=GE ， ∵23AD a u u u r r =，23AE b =u u u r r ， ∴2233DE DA AE b a =+=-u u u r u u u r u u u r r r ， ∴111233GE DE b a ==-u u u r u u u r r r ， 故答案为1133b a -r r ． 【点睛】本题考查三角形的重心，平行线的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．3【解析】试题分析：如图，连接AC 与BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO=12BD ，CO=12AC ，由勾股定理得，2233+322211+2，所以，BO=1222，CO=1322⨯32，所以，tan ∠DBC=CO BO 3222．故答案为3．考点：3．菱形的性质；3．解直角三角形；3．网格型．18．1【解析】【分析】如图，由勾股定理可以先求出AB的值，再证明△AED∽△ACB，根据相似三角形的性质就可以求出结论．【详解】在Rt△ABC中，由勾股定理．得6436+，∵DE⊥AB，∴∠AED=∠C=90°．∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴DE AD BC AB＝，∴3=610AD，∴AD=1．故答案为1【点睛】本题考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时求出△AED∽△ACB是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．11 aa+-,1【解析】【分析】先通分得到22211a a aa a⎛⎫⎛⎫++-÷⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据平方差公式和完全平方公式得到2(1)(1)(1)aa a aa+⨯+-，化简后代入a＝3，计算即可得到答案. 【详解】原式＝22211a a a a a ⎛⎫⎛⎫++-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2(1)(1)(1)a a a a a +⨯+-＝11a a +-， 当a ＝3时（a≠﹣1，0），原式＝1．【点睛】本题考查代数式的化简、平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握代数式的化简、平方差公式和完全平方公式.20．（1）112y x =+；（2）251544s t t =-+ （0≤t≤3）；（3）t=1或2时；四边形BCMN 为平行四边形；t=1时，平行四边形BCMN 是菱形，t=2时，平行四边形BCMN 不是菱形，理由见解析.【解析】【分析】（1）由A 、B 在抛物线上，可求出A 、B 点的坐标，从而用待定系数法求出直线AB 的函数关系式． （2）用t 表示P 、M 、N 的坐标，由等式MN NP MP =-得到函数关系式．（3）由平行四边形对边相等的性质得到等式，求出t ．再讨论邻边是否相等．【详解】解：（1）x=0时，y=1，∴点A 的坐标为：（0，1），∵BC ⊥x 轴，垂足为点C （3，0），∴点B 的横坐标为3，当x=3时，y=52， ∴点B 的坐标为（3，52）， 设直线AB 的函数关系式为y=kx+b ，1532b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得，121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则直线AB 的函数关系式112y x =+ （2）当x=t 时，y=12t+1， ∴点M 的坐标为（t ，12t+1）， 当x=t 时，2517144y t t =-++∴点N 的坐标为2517(,1)44t t t -++ 2251715151(1)44244s t t t t t =-++-+=-+ （0≤t≤3）； （3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN=BC ， ∴25155=442t t -+， 解得t 1=1，t 2=2，∴当t=1或2时，四边形BCMN 为平行四边形，①当t=1时，MP=32，PC=2， ∴MC=52=MN ，此时四边形BCMN 为菱形， ②当t=2时，MP=2，PC=1，∴，此时四边形BCMN 不是菱形．【点睛】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、菱形的判定，正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键，注意菱形的判定定理的灵活运用． 21．证明见解析【解析】试题分析：通过全等三角形△ADE ≌△CBF 的对应角相等证得∠AED=∠CFB ，则由平行线的判定证得结论．证明：∵平行四边形ABCD 中，AD=BC ，AD ∥BC ，∴∠ADE=∠CBF ．∵在△ADE 与△CBF 中，AD=BC ，∠ADE=∠CBF ， DE=BF ，∴△ADE ≌△CBF （SAS ）．∴∠AED=∠CFB ．∴AE ∥CF ．22．（1）点P 在直线32y x =-上，说明见解析；（2．【解析】【详解】解：(1) 求：（1）直线32y x =-可变为320x y --=，0d ==说明点P 在直线32y x =-上；（2）在直线1y x =-+上取一点（0，1），直线3y x =-+可变为30x y +-=则d ==∴这两条平行线的距离为2．23．（1）AD2=AC•CD．（2）36°．【解析】试题分析：（1）通过计算得到=，再计算AC·CD，比较即可得到结论；（2）由，得到，即，从而得到△ABC∽△BDC，故有，从而得到BD=BC=AD，故∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC．设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠ABC=∠C=∠BDC=2x，由三角形内角和等于180°，解得：x=36°，从而得到结论．试题解析：（1）∵AD=BC=，∴==．∵AC=1，∴CD==，∴；（2）∵，∴，即，又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，∴BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC．设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x，∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得：x=36°，∴∠ABD=36°．考点：相似三角形的判定与性质．24．5.6千米【解析】【分析】设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中利用正切的定义得到tan18°=yx，即y=0.33x，同样在Rt△PDB中得到y+5.6=1.33x，所以0.33x+5.6=1.33x，然后解方程求出x即可．【详解】设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中，tan∠DPA=DA DP，即tan18°=yx，∴y=0.33x，在Rt△PDB中，tan∠DPB=64 5.6g)56x⨯-（，即tan53°= 5.6y x+， ∴y+5.6=1.33x ，∴0.33x+5.6=1.33x ，解得x=5.6，答：此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长为5.6千米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．25．（1）证明见解析（2）①线段EC ，CF 与BC 的数量关系为：CE ＋CF ＝12BC.②CE ＋CF ＝1t BC （3）95【解析】【分析】（1）利用包含60°角的菱形，证明△BAE ≌△CAF ，可求证;(2)由特殊到一般，证明△CAE′∽△CGE ，从而可以得到EC 、CF 与BC 的数量关系(3) 连接BD 与AC 交于点H,利用三角函数BH ,AH,CH 的长度，最后求BC 长度.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∠B ＝∠ACF ＝60°，AB=BC ，AB=AC ，∵∠BAE ＋∠EAC ＝∠EAC ＋∠CAF ＝60°，∴∠BAE=∠CAF ，在△BAE 和△CAF 中，BAE CAF AB ACB ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝, ∴△BAE ≌△CAF ，∴BE ＝CF ，∴EC ＋CF ＝EC ＋BE ＝BC ，即EC ＋CF ＝BC ；（2）知识探究：①线段EC ，CF 与BC 的数量关系为：CE ＋CF ＝12BC. 理由：如图乙，过点A 作AE′∥EG ，AF′∥GF ，分别交BC 、CD 于E′、F′．类比（1）可得：E′C+CF′=BC ，∵AE′∥EG ，∴△CAE′∽△CGE 12CE CG CE CA '∴==， 1'2CE CE ∴=， 同理可得：12'CF CF =， ()1111'''2'222CE CF CE CF CE CF BC ∴+=+=+=， 即12CE CF BC +=； ②CE ＋CF ＝1t BC. 理由如下：过点A 作AE′∥EG ，AF′∥GF ，分别交BC 、CD 于E′、F′.类比（1）可得：E′C ＋CF′＝BC ，∵AE′∥EG ，∴△CAE′∽△CAE ，∴1CE CG CE AC t'==，∴CE ＝1t CE′， 同理可得：CF ＝1tCF′， ∴CE ＋CF ＝1t CE′＋1t CF′＝1t （CE′＋CF′）＝1tBC ， 即CE ＋CF ＝1tBC ； （3）连接BD 与AC 交于点H ，如图所示：在Rt△ABH中，∵AB＝8，∠BAC＝60°，∴BH＝ABsin60°＝8×33AH＝CH=ABcos60°＝8×12＝4，∴GH22BG BH-2743-1，∴CG＝4－1＝3，∴38 CGAC=，∴t＝83（t＞2），由（2）②得：CE＋CF＝1t BC，∴CE＝1tBC －CF＝38×8－65＝95.【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加辅助线构造相似三角形．26．(1) A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台；(2) A种型号的电风扇最多能采购10台；(3) 在(2)的条件下超市不能实现利润为1400元的目标．【解析】【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；（3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标．【详解】(1)设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元/台、y元/台．依题意，得3518004103100x yx y+=⎧⎨+=⎩解得250210xy=⎧⎨=⎩答：A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台．(2)设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇(30－a)台．依题意，得200a＋170(30－a)≤5400，解得a≤10.答：A种型号的电风扇最多能采购10台．(3)依题意，有(250－200)a＋(210－170)(30－a)＝1400，解得a＝20.∵a≤10，∴在(2)的条件下超市不能实现利润为1400元的目标．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．27．（1）见解析；（2）CD =233+；（3）见解析；（4）23【解析】试题分析：迁移应用：（1）如图2中，只要证明∠DAB=∠CAE，即可根据SAS解决问题；（2）结论：CD=3AD+BD．由△DAB≌△EAC，可知BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=3 AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD=3AD+BD，即可解决问题；拓展延伸：（3）如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC是等边三角形；（4）由AE=4，EC=EF=1，推出AH=HE=2，FH=3，在Rt△BHF中，由∠BFH=30°，可得HFBF=cos30°，由此即可解决问题．试题解析：迁移应用：（1）证明：如图2，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠DAB=∠CAE，在△DAE和△EAC中，DA=EA，∠DAB=∠EAC，AB=AC，∴△DAB≌△EAC，（2）结论：CD=3AD+BD．理由：如图2-1中，作AH⊥CD于H．∵△DAB≌△EAC，∴BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=3 AD，∵AD=AE，AH⊥DE，∴DH=HE，∵CD=DE+EC=2DH+BD=3AD+BD=233．拓展延伸：（3）如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴△ABD，△BDC是等边三角形，∴BA=BD=BC，∵E、C关于BM对称，∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠ADC=∠AEC=120°，∴∠FEC=60°，∴△EFC是等边三角形，（4）∵AE=4，EC=EF=1，∴AH=HE=2，FH=3，在Rt△BHF中，∵∠BFH=30°，∴HFBF=cos30°，∴。
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学三月模拟试卷含解析
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学三月模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列实数0，23，3，π，其中，无理数共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．33．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n 个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n 的值约为（ ） A ．20B ．30C ．40D ．504．反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t 的取值范围是（ ）A ．t ＜B ．t ＞C ．t≤D ．t≥5．在,90ABC C ∆∠=o 中,2AC BC =，则tan A 的值为（ ） A ．12B ．2C ．5 D ．256．如图数轴的A 、B 、C 三点所表示的数分别为a 、b 、c ．若|a ﹣b|＝3，|b ﹣c|＝5，且原点O 与A 、B 的距离分别为4、1，则关于O 的位置，下列叙述何者正确？（ ）A ．在A 的左边B ．介于A 、B 之间C ．介于B 、C 之间D ．在C 的右边7．若△ABC 与△DEF 相似，相似比为2：3，则这两个三角形的面积比为（ ） A ．2：3B ．3：2C ．4：9D ．9：48．根据《九章算术》的记载中国人最早使用负数，下列负数中最大的是（ ） A ．-1B ．-C ．D ．–π9．射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击10次，平均环数均为8.7环，方差分别为 2s 0.51=甲，2s 0.62=乙，2s 0.48=丙，2s 0.45=丁，则四人中成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．点A 、C 为半径是4的圆周上两点，点B 为»AC 的中点，以线段BA 、BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（ ） A ．7或22B ．7或23C ．26或22D ．26或2311．如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABC 绕点O 按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′O ，则点A′的坐标为（ ）A ．（3 ，1）B ．（3 ，2）C ．（2 ，3）D ．（1 ，3）12．如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2,4)，则关于x ，y 的方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为（）A ．2,4x y =⎧⎨=⎩B ．4,2x y =⎧⎨=⎩C ．4,0x y =-⎧⎨=⎩D ．3,0x y =⎧⎨=⎩二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在一个不透明的布袋中，红色、黑色的玻璃球共有20个，这些球除颜色外其它完全相同．将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有60次摸到黑球，请你估计这个袋中红球约有_____个． 14．图中是两个全等的正五边形，则∠α=______．15．已知方程组2425x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x+y的值为_______．16．2018年1月4日在萍乡市第十五届人民代表大会第三次会议报告指出，去年我市城镇居民人均可支配收入33080元，33080用科学记数法可表示为__．17．如图，点A 是反比例函数y＝﹣4x（x＜0）图象上的点，分别过点A 向横轴、纵轴作垂线段，与坐标轴恰好围成一个正方形，再以正方形的一组对边为直径作两个半圆，其余部分涂上阴影，则阴影部分的面积为______．18．如图，某海监船以20km/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为_____km．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．20．（6分）如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且点A相距100km的点B处，再航行至位于点A的南偏东75°且与点B相距200km的点C处．（1）求点C与点A的距离（精确到1km）；（2）确定点C相对于点A的方向．（参考数据：）21．（6分）先化简，后求值：（1﹣11a+）÷（2221a aa a-++），其中a＝1．22．（8分）一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有3，4，5，x，甲，乙两人每次同时从袋中各随机取出1个小球，并计算2个小球上的数字之和．记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，试验数据如下表：摸球总次数10 20 30 60 90 120 180 240 330 450“和为8”出现的频数2 10 13 24 30 37 58 82 110 150“和为8”出现的频率0.20 0.50 0.43 0.40 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33解答下列问题：如果试验继续进行下去，根据上表提供的数据，出现和为8的频率将稳定在它的概率附近，估计出现和为8的概率是________；如果摸出的2个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以为7吗？为什么？23．（8分）从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间．24．（10分）某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：命中环数 6 7 8 9 10甲命中相应环数的次数0 1 3 1 0乙命中相应环数的次数 2 0 0 2 1（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是_____环，乙命中环数的众数是______环；（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会变小．（填“变大”、“变小”或“不变”）25．（10分）如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O 于点D，连接AD．求证：BC＝CD；若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．26．（12分）甲、乙、丙、丁四位同学进行乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．若确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，恰好选中乙同学的概率是．若随机抽取两位同学，请用画树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．27．（12分）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．（1）求证：AE•FD=AF•EC；（2）求证：FC=FB；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】根据无理数的概念可判断出无理数的个数． 【详解】解：无理数有：3，π. 故选B. 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数． 2．B 【解析】 【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形． 【详解】综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有1个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5个． 故选：B ． 【点睛】此题考查由三视图判断几何体，解题关键在于识别图形 3．A 【解析】分析：根据白球的频率稳定在0.4附近得到白球的概率约为0.4,根据白球个数确定出总个数,进而确定出黑球个数n.详解：根据题意得:.n0430n=+ ,计算得出:n=20, 故选A.点睛：根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率. 4．B 【解析】 【分析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出x 2﹣2x+1﹣6t=0，又因两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，根据根的判别式以及根与系数的关系可求解． 【详解】由题意可得：﹣x+2=，所以x2﹣2x+1﹣6t=0，∵两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∴解不等式组，得t＞．故选：B．点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是利用两个函数的解析式构成方程，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解.5．A【解析】【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．【详解】解：tanA=BC AC，∵AC=2BC，∴tanA=12．故选：A．【点睛】本题考查了正切函数的概念，掌握直角三角形中角的对边与邻边的比是关键．6．C【解析】分析：由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b=a+3，c=b+5，再根据原点O与A、B的距离分别为1、1，即可得出a=±1、b=±1，结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得出结论．解析：∵|a﹣b|=3，|b﹣c|=5，∴b=a+3，c=b+5，∵原点O与A、B的距离分别为1、1，∴a=±1，b=±1，∵b=a+3，∴a=﹣1，b=﹣1，∵c=b+5，∴c=1．∴点O介于B、C点之间．故选C．点睛：本题考查了数值以及绝对值，解题的关键是确定a、b、c的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数轴上点的位置关系分别找出各点代表的数是关键．7．C【解析】【分析】由△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，根据相似三角形的性质，即可求得答案．【详解】∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，∴这两个三角形的面积比为4：1．故选C．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．8．B【解析】【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小比较．【详解】解：∵−＞−1＞−＞−π，∴负数中最大的是−．故选：B．【点睛】本题考查了实数大小的比较，解题的关键是知道正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．9．D【解析】【分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案．【详解】∵0.45＜0.51＜0.62，∴丁成绩最稳定，故选D．【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大．10．C【解析】【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，如图①，根据已知条件得到BD=12OB=2，如图②，BD=6，求得OD、OE、DE的长，连接OD，根据勾股定理得到结论．【详解】过B作直径，连接AC交AO于E，∵点B为»AC的中点，∴BD⊥AC，如图①，∵点D恰在该圆直径上，D为OB的中点，∴BD=12×4=2，∴OD=OB-BD=2，∵四边形ABCD是菱形，∴DE=12BD=1，∴OE=1+2=3，连接OC，∵2222=43=7OC OE--在Rt△DEC中，由勾股定理得：2222=(7)1=22CE DE++如图②，OD=2，BD=4+2=6，DE=12BD=3，OE=3-2=1，由勾股定理得：CE=2222=41=15OC OE--，DC=2222=3(15)=26DE CE++.故选C．【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．11．D【解析】【分析】解决本题抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′．【详解】由图知A点的坐标为（-3，1），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，从而得A′点坐标为（1，3）．故选D．12．A【解析】【分析】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案．【详解】解：∵直线y 1=k 1x+b 1与y 2=k 2x+b 2的交点坐标为（2，4），∴二元一次方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,4.x y =⎧⎨=⎩ 故选A.【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1【解析】【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为0.3，然后根据概率公式计算这个口袋中黑球的数量，继而得出答案．【详解】因为共摸了200次球，发现有60次摸到黑球，所以估计摸到黑球的概率为0.3，所以估计这个口袋中黑球的数量为20×0.3=6（个），则红球大约有20-6=1个，故答案为：1．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．14．108°【解析】【分析】先求出正五边形各个内角的度数，再求出∠BCD 和∠BDC 的度数，求出∠CBD ，即可求出答案．【详解】如图：∵图中是两个全等的正五边形，∴BC=BD ，∴∠BCD=∠BDC ，∵图中是两个全等的正五边形， ∴正五边形每个内角的度数是0(52)1805-⨯=108°， ∴∠BCD=∠BDC=180°-108°=72°，∴∠CBD=180°-72°-72°=36°，∴∠α=360°-36°-108°-108°=108°，故答案为108°．【点睛】本题考查了正多边形和多边形的内角和外角，能求出各个角的度数是解此题的关键．15．1【解析】【分析】方程组两方程相加即可求出x+y 的值．【详解】2425x y x y ＝①＝②+⎧⎨+⎩， ①+②得：1（x+y ）=9，则x+y=1．故答案为：1．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 16．3.308×1．【解析】【分析】正确用科学计数法表示即可.【详解】解：33080=3.308×1【点睛】科学记数法的表示形式为10na 的形式, 其中1<|a|<10,n为整数.确定n的值时, 要看把原数变成a时, 小数点移动了多少位, n的绝对值与小数点移动的位数相同. 当原数绝对值大于10时, n是正数; 当原数的绝对值小于1时,n是负数.17．4﹣π【解析】【分析】由题意可以假设A（-m，m），则-m2=-4，求出点A坐标即可解决问题.【详解】由题意可以假设A（-m，m），则-m2=-4，∴m=≠±2，∴m=2，∴S阴=S正方形-S圆=4-π，故答案为4-π．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征、正方形的性质、圆的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题18．【解析】【分析】首先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2PA，求出PA即可解决问题．【详解】解：在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，∴PB＝2AB，由题意BC＝2AB，∴PB＝BC，∴∠C＝∠CPB，∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，∴∠C＝30°，∴PC＝2PA，∵PA＝AB•tan60°，∴PC＝2×＝km），故答案为【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是证明PB＝BC，推出∠C＝30°．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．(1)PM＝PN，PM⊥PN；(2)△PMN是等腰直角三角形，理由详见解析；(3)492．【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝12CE，PN＝12BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝12BD，PN＝12BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）方法1、先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2、先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可．【详解】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝12 BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM＝12 CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM ＝PN ，PM ⊥PN ，（2）由旋转知，∠BAD ＝∠CAE ，∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ，BD ＝CE ，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN ＝12BD ，PM ＝12CE ， ∴PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形，同（1）的方法得，PM ∥CE ，∴∠DPM ＝∠DCE ，同（1）的方法得，PN ∥BD ，∴∠PNC ＝∠DBC ，∵∠DPN ＝∠DCB+∠PNC ＝∠DCB+∠DBC ，∴∠MPN ＝∠DPM+∠DPN ＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC ＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC ＝∠ACB+∠ABC ，∵∠BAC ＝90°，∴∠ACB+∠ABC ＝90°，∴∠MPN ＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形，（3）方法1、如图2，同（2）的方法得，△PMN 是等腰直角三角形，∴MN 最大时，△PMN 的面积最大，∴DE ∥BC 且DE 在顶点A 上面，∴MN 最大＝AM+AN ，连接AM ，AN ，在△ADE 中，AD ＝AE ＝4，∠DAE ＝90°，∴AM ＝，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝10，AN ＝，∴MN 最大＝＝，∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×12MN 2＝14×（）2＝492． 方法2、由（2）知，△PMN 是等腰直角三角形，PM ＝PN ＝12BD ，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD＝AB+AD＝14，∴PM＝7，∴S△PMN最大＝12PM2＝12×72＝492【点睛】本题考查旋转中的三角形,关键在于对三角形的所有知识点熟练掌握.20．（1）173；（2）点C位于点A的南偏东75°方向．【解析】试题分析：（1）作辅助线，过点A作AD⊥BC于点D，构造直角三角形，解直角三角形即可.（2）利用勾股定理的逆定理，判定△ABC为直角三角形；然后根据方向角的定义，即可确定点C相对于点A的方向．试题解析：解：（1）如答图，过点A作AD⊥BC于点D．由图得，∠ABC=75°﹣10°=60°．在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，AB=100，∴BD=50，AD=50．∴CD=BC﹣BD=200﹣50=1．在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=（km）．答：点C与点A的距离约为173km．（2）在△ABC中，∵AB2+AC2=1002+（100）2=40000，BC2=2002=40000，∴AB2+AC2=BC2. ∴∠BAC=90°.∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAF=90°﹣15°=75°．答：点C位于点A的南偏东75°方向．考点：1.解直角三角形的应用（方向角问题）；2. 锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4. 勾股定理和逆定理．21．11a a +-,2. 【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得．【详解】 解：原式＝()()2111111a a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭+ ()()2111a a a a a +=+-n 11a a +=-， 当a ＝1时， 原式＝3131+-＝2． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22．（1）出现“和为8”的概率是0.33；（2）x 的值不能为7.【解析】【分析】（1）利用频率估计概率结合表格中数据得出答案即可；（2）假设x=7，根据题意先列出树状图，得出和为9的概率，再与13进行比较，即可得出答案. 【详解】解：(1)随着试验次数不断增加，出现“和为8”的频率逐渐稳定在0.33，故出现“和为8”的概率是0.33.(2)x 的值不能为7.理由：假设x ＝7，则P(和为9)＝16≠13，所以x的值不能为7.【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率以及树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键.23．4小时.【解析】【分析】本题依据题意先得出等量关系即客车由高速公路从A地道B的速度＝客车由普通公路的速度+45，列出方程，解出检验并作答．【详解】解：设客车由高速公路从甲地到乙地需x小时，则走普通公路需2x小时，根据题意得：60048045, 2x x+=解得x＝4经检验，x＝4原方程的根，答：客车由高速公路从甲地到乙地需4时．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．根据速度＝路程÷时间列出相关的等式，解答即可．24．（1）8，6和9；（2）甲的成绩比较稳定；（3）变小【解析】【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可；（2）根据平均数的定义先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式求出甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案；（3）根据方差公式进行求解即可．【详解】解：（1）把甲命中环数从小到大排列为7，8，8，8，9，最中间的数是8，则中位数是8；在乙命中环数中，6和9都出现了2次，出现的次数最多，则乙命中环数的众数是6和9；故答案为8，6和9；（2）甲的平均数是：（7+8+8+8+9）÷5=8，则甲的方差是：15[（7-8）2+3（8-8）2+（9-8）2]=0.4，乙的平均数是：（6+6+9+9+10）÷5=8，则甲的方差是：15[2（6-8）2+2（9-8）2+（10-8）2]=2.8，所以甲的成绩比较稳定；（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．故答案为变小．【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x n-x）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数、中位数和众数．25．(1)证明见解析；【解析】【分析】(1)根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线，再利用切线长定理证明即可；(2)根据含30°的直角三角形的性质、正切的定义计算即可．【详解】(1)∵AB是⊙O直径，BC⊥AB，∴BC是⊙O的切线，∵CD切⊙O于点D，∴BC＝CD；(2)连接BD，∵BC＝CD，∠C＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝3，∠CBD＝60°，∴∠ABD＝30°，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝BD•tan∠ABD【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．26．(1);(2)【解析】【分析】1）由题意可得共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，则可利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解:(1)∵甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛,确定甲打第一场,再从其余的三位同学中随机选取一位,∴恰好选到丙的概率是: ;(2)画树状图得:∵共有12种等可能的结果,恰好选中甲、乙两人的有2种情况,∴恰好选中甲、乙两人的概率为:【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．27．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）2.【解析】（1）由BD是⊙O的切线得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出比例式即可．（2）证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF 即可．（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，连接OC，BC，求出∠FCB=∠CAB 推出CG是⊙O切线，由切割线定理（或△AGC∽△CGB）得出（2+FG）2=BG×AG=2BG2，在Rt△BFG 中，由勾股定理得出BG2=FG2﹣BF2，推出FG2﹣4FG﹣12=0，求出FG即可，从而由勾股定理求得AB=BG 的长，从而得到⊙O的半径r．。
2019-2020年最新湖南湘潭中考数学仿真模拟及答案解析
湖南省湘潭市中考数学试卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置，每小题3分，满分24分）1. （ 2016湖南省湘潭市，1，3分）下列四个选项中，计算结果最大的是（ ）A.(-6)0B.|-6|C. -6D. 16 【答案】B【逐步提示】（1）本题考查了实数大小的比较，解题的关键是掌握实数大小比较的方法．（2）首先根据运算法则求出结果，然后根据有理数的大小比较法则进行比较. 思路1：计算出结果后，把这个几个数在数轴表示出来，根据它们在数轴上的位置来比较大小；思路2：计算出结果后先比较绝对值，再比较负数的大小.【详细解答】解：∵(-6)0=1，|-6|=6，∴|-6|> (-6)0>16>-6，故选择B . 【解后反思】（1）两个负数比较大小，绝对值大的反而小；（2）在数轴上，左边的点表示的实数总小于右边的点表示的实数.【关键词】实数的大小比较；零指数幂；绝对值；数形结合思想2. （ 2016湖南省湘潭市，2，3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的（ ）【答案】D 【逐步提示】（1）本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是能根据两个定义准确识别出四个选项中的图形属于轴对称还是中心对称图形．（2）轴对称的特征：沿某一直线对折，两部分完全重合；中心对称的特征：旋转180°后能与自身完全重合．【详细解答】解：【解后反思】（1）解答此类题型的关键点是要掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，抓住概念的要领.（2）判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，除了直接观察判断外，还可采用折叠法判断，看该图形按照某条直线折叠后直线两旁的部分能否完全重合即可. 另要注意有的轴对称图形只有一条对称轴，有的轴对称图形有多条对称轴．（3）常见的轴对称图形有：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．（4）理解中心对称的定义要抓住以下三个要素：①有一个对称中心——点；②图形绕中心旋转180°；③旋转后两图形重合．（5）中心对称与中心对称图形的区别与联系：联系：①对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段且使中心对称图形的面积被平分；②成中心对称的两个图形全等；③中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分；区别：中心对称是两个图形间的位置关系，而中心对称图形是一种具有独特特征的图形．（6）常见的中心对称图形有：线段，矩形，菱形，正方形，平行四边形，圆，边数为偶数的正多边形，某些不规则图形等．正偶边形是中心对称图形，正奇数边形不是中心对称图形．【关键词】 轴对称图形；中心对称图形3. （ 2016湖南省湘潭市，3，3分）下列运算正确的是（ ）A. 3+B.（2x 2）3=2x 5C. 2a ·5b=10abD.236=÷【答案】C【逐步提示】（1）本题考查了二次根式的运算、整式的乘法的运算，解题的关键是对二次根式的加、减、乘、除运算法则、整式的乘除法则掌握熟练．（2）解答问题时应利用二次根式的运算法则，整式的乘法法则对逐个选项进行验算后作出选择．【详细解答】解：选项A ，3不能合并，错误．选项B ，（2x 2）3=4x 6，错误．选项C ，2a ·5b=10ab ，正确．选项D ，236=÷，错误，故选择C .【解后反思】对于这类判断运算是否正确的问题，在求解时往往采用“各个击破”的方法，即对每一选项逐一分析，先判断运算类型，再根据相关运算性质、法则计算后进行判断.对于幂的有关运算法则：4. （ 2016湖南省湘潭市，4，3分）若分式11+-x x 的值为0，则x=（ ） A. -1 B.1 C. ±1 D. 0【答案】B【逐步提示】（1）本题考查了分式的值为0的条件，解题的关键是根据分式的值为0的条件：“分子为0，分母不等于0”列出方程和不等式求解．（2）由分子x-1为0列方程求x 的值，再根据分母不为0进行检验．【详细解答】解：由题意可知：x －1=0，得x=1．由x+1≠0，得x≠－1，所以x=1，故选择B ．【解后反思】（1）分式的值为0需要同时具备两个条件：一是分子等于0，二是分母不等于0，二者缺一不可．（2）此类问题容易出错的地方是忽视分式的值为0的前提条件：分式有意义，即分母不等于0．【关键词】分式的值为零的条件；一元一次方程的解法5. （ 2016湖南省湘潭市，5，3分）小红同学四次中考数学模拟考试成绩分别是：96，104，104，116，关于这组数据下列说法错误．．的是（ ） A.平均数是105 B.众数是104 C. 中位数是104 D. 方差是50【答案】D【逐步提示】（1）本题综合考查了众数、中位数、平均数、方差等几个定义，解题的关键是能根据定义进行准确的计算和判断．（2）根据定义和计算公式分别求出这组数据的平均数、众数、中位数、方差进行判断即可.【详细解答】解：∵(96＋104×2＋116)÷4＝105，∴平均数为105，故A 选项正确；∵数据104出现了两次，次数最多，∴众数为104，故B 选项正确；∵数据按从小到大的顺序排列为：96，104，104，116，∴中位数为(104＋104)÷2＝104，故C 选项正确；∵ ()()()()2222296105104105104105116105524S ⎡⎤-+-+-+-⎣⎦==，∴D 选项错误．故选择D ．【解后反思】(1)一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．(2)将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．(3)平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．(4)一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差S 2=1n[（x 1−x ）2+（x 2−x ）2+…+（x n −x ）2]．(5)其中平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势的量，平均数、中位数和众数所描述的角度不同，它们分别代表这组数据的“一般水平”、“中等水平”和“多数水平”；而方差反映的是一组数据的波动情况．【关键词】中位数；众数；平均数；方差6. （2016湖南省湘潭市，6，3分）小抛物线y=2(x-3)2+1的顶点坐标是（ ）A.（3，1）B. （3，-1）C. （-3，1）D. （-3，-1）【答案】A【逐步提示】本题主要考查了二次函数的顶点式，解决本题的关键是掌握二次函数的顶点式：y=a(x －h)2+k 的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为直线x=2b a-．【详细解答】解：由y=a(x －h)2+k 的顶点坐标为（h ，k ），可知y=2(x-3)2+1的顶点坐标是（3，1），故选择A .【解后反思】对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式进行配方，可以得到y=a(x+ab 2)2+a b ac 442-，因为a 、b 、c 均为常数，所以二次函数也可以写成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，用这种方式表达二次函数的形式叫做“顶点式”．这里的h 和k 也是常数，其中h ＝－ab 2，k ＝ab ac 442-． 【关键词】二次函数的解析式；顶点式7. （ 2016湖南省湘潭市，7，3分）程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁.意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x 人，依题意列方程得（ ） A. 3(100)1003x x +-= B. 3(100)1003x x --= C. 10031003x x -+= D. 10031003x x --= 【答案】C【逐步提示】（1）本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理清题意，找出等量关系，列出符合要求的方程．（2）本题的等量关系为“大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100”，根据“大和尚一人分3个，可知x 个大和尚共分3x 个馒头，小和尚3人分1个，可知（100-x ）个小和尚共分1003x -个馒头. 【详细解答】解：∵大和尚有x 人，∴小和尚有（100-x ）人，根据“大和尚一人分3个，可知x 个大和尚共分3x 个馒头，小和尚3人分1个，可知（100-x ）个小和尚共分1003x -个馒头，根据大、小和尚共分100个馒头可得10031003x x -+=，故选择C. 【解后反思】（1）构建方程（或方程组）模型，首先应找到题目中的相等关系，先可用文字把等量关系写出来，再把文字用代数式表示，即可列出满足题意的方程（或方程组）．（2）常见题型与其内在等量关系：【8.（2016湖南省湘潭市，8，3分）如图，等腰直角△EFG 的直角边GE 与正方形ABCD 的边BC 在同一直线上，且点E 与点B重合，△EFG 沿BC 方向匀速运动，当点G 与点C 重合时停止运动，设运动时间为t ，运动过程中△EFG 与正方形ABCD 的重叠部分面积为S ，则S 关于t 的函数图像大致为（）【答案】A【逐步提示】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意分段．（1）当E 在点B 右侧，在点C 的左侧时，重叠部分是等腰直角三角形；（2）当FG 边、点E 都在正方形的内部时，重叠部分是等腰直角△EFG ；（3）当点E 在点C 的右侧时，重叠部分是直角梯形；因此需求出三种情况所对应的解析式，然后按照函数的图像作出判断.GB (E )C AA B C (G ) E S A B C D【详细解答】解：设△EFG 沿BC 方向运动的速度为a ，当E 点与点B 重合时，S=0；当点E 在点B 右侧在点C 的左侧时，点F 在点A 右侧时，如图1，∵△EFG 为等腰直角三角形，∴∠BEH=45°，∴△HBE 为等腰直角三角形，运动时间为t 时，BE=BH=at ，∴S=221122at at a t ⨯⨯=（a 为常数），∴S 是t 的二次函数，且二次项系数为正数，所以抛物线开口向上；当FG 边、点E 都在正方形的内部时，如图2，重叠部分是等腰直角△EFG ，重叠部分的面积S 即为△EFG 的面积，即重叠部分的面积S 为一常数，其图像是平行于x 轴的一条线段；当点E 在点C 的右侧时，重叠部分是直角梯形；设正方形ABCD 的边长为b ，等腰直角△EFG 的直角边长为c ，如图3，CK=CE=at-b ，CG=GE-CE=c-( at-b)= c- at+b ，∴S=1()2CK GF CG +⨯ =1()()2at b c c at b -+⨯-+=2222111222a t abt cb -++-（a 、b 、c 为常数），∴S 是t 的二次函数，且二次项系数为负数，所以抛物线开口向下，综上所述，S 与t 的图象分为三段，第一段为开口向上的抛物线的一部分，第二段为与x 轴平行的线段，第三段为开口向下的抛物线的一部分．故选择A.【解后反思】（1）判断函数图像从以下方面：①看图像的升降趋势，当函数随着自变量的增加而增加时，图像呈上升趋势，反之，呈下降趋势；②看图像的曲直，函数随着自变量的变化而均匀变化的，图像是直线，函数随着自变量的变化而不均匀变化的，图像是曲线；③表示函数不随自变量的变化而变化，即函数是一个定值，图像与横轴平行．（2）本题是一道几何图形与函数图像结合的综合问题，解答此类问题，一般需根据不同运动阶段的特点，运用相关知识，建立函数表达式，如果不能建立函数表达式，便采用排除法，再根据函数的性质对不同运动阶段的函数图像作出判断．（3）要对图像及其数量关系进行一定分析，要抓住图像中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方．（4）排除法是指从题设条件入手，结合选项，通过观察、分析、比较，从四个选项中把不正确的一一排除的方法．排除法是解答选择题的一朵奇葩，它常常令解题思路柳暗花明，彰显出它的独特魅力．【关键词】动点问题的函数图象；三角形的面积；梯形的面积；数形结合思想图1 图2 图3二、填空题（本大题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分.）9. j（2016湖南省湘潭市，9，3分）cos60°= .【答案】1 2【逐步提示】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值解答即可．【详细解答】解：cos60°=12，故答案为12.【解后反思】（1）特殊角的三角函数值：（2①30°、45°、60°这三个角的正弦值和余弦值的共同点是：分母都是2，若把分子都加上根号，则被开方数就相应地变成了1、2、3.②正切的特点是将分子全部都带上根号，令分母值为3，则相应的被开方数就是3、9、27.③正弦和正切的增减性都是：函数值都随着角度的增大而增大，余弦则随着角度的增大而减小.④根据此特点不妨编成如下口诀：三十四五六十度，三角函数记心间，分母弦二切是三，分子要把根号添，一二三来三二一，切值三九二十七，正弦正切递增值，余弦递减恰相逆.【关键词】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值10.（2016湖南省湘潭市，10，3分）分解因式：2a2-3ab= .【答案】a(2a-3b)【逐步提示】本题考查了运用提公因式法把多项式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握提因式法分解因式的方法与步骤．先找到多项式各项的公因式，再提取公因式．【详细解答】解：∵公因式为a，∴2a2-3ab= a(2a-3b)，故答案为a(2a-3b)．【解后反思】（1）因式分解的一般思路是：若有公因式的，应先提公因式；然后再考虑用公式法或其它方法分解．提取公因式的具体方法是：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，且多项式的次数取最低的．（2）此类问题容易出错的地方是：①确定公因式时，只确定字母的公因式，遗漏了数字部分；②当某项就是公因式，提后忘记补1；③当公因式是多项式时，无法确定公因式，如对(x ＋y)2－7x －7y 进行分解因式时找不出公因式；④分解因式不彻底．【关键词】因式分解；提公因式法11.（ 2016湖南省湘潭市，11，3分）四边形内角和为 度.【答案】360【逐步提示】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记多边形的内角和公式：（n －2）·180°.【详细解答】解：由多边形的内角和公式，得内角和为（4－2）·180°＝360°，故答案为360.【解后反思】】(1)关于多边形的内角和或外角和的问题，通常有两种思维路径，一是利用内角和公式进行计算；二是当多边形为正多边形时，可以利用外角和进行计算. (2)关于多边形内角与外角的考查，通常有：①已知多边形的边数，求内角和；②已知多边形的内角和，求边数；③已知内角和与外角和的关系，求边数；④正多边形的边数与内角、外角的互求.无论哪种形式的问题，抓住内角和公式与外角和结论就能计算.【关键词】多边形的内角和12. （ 2016湖南省湘潭市，12，3分）从2015年12月26日起，一艘载满湘潭历史和文化的“航船——湘潭市规划展示馆、博物馆和党史馆（以下简称‘三馆’）”正式起航，市民可以免费到三馆参观.听说这个好消息，小张同学准备星期天去参观其中一个馆，假设参观者选择每一个馆参观的机会均等，则小张同学选择参观博物馆的概率为 . 【答案】13【逐步提示】本题考查了概率的计算，解题的关键是知道某事件发生的概率等于该事件出现的可能次数与所有可能次数之间的比．因此先确定参观博物馆的可能次数和参观三个馆总数，再根据概率公式计算即可．【详细解答】解：∵共有3个馆，参观博物馆的可能性为1，∴小张同学选择参观博物馆的概率为13，故答案为13. 【解后反思】掌握此类问题，需熟练掌握以下知识： （1）公式法：P(A)=n m ，其中n 为所有事件的总数，m 为事件A 发生的总次数； （2）列举（列表或画树状图）法的一般步骤为：①判断使用列表或画树状图方法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适合于两步及两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n 及所求事件A 出现的结果m ；④用公式P(A)=nm ，求事件A 发生的概率． 【关键词】概率初步 13. （ 2016湖南省湘潭市，13，3分）如图，直线a ∥b ∥c ，点B 是线段AC 的中点，若DE=2，则EF= .【答案】2 【逐步提示】（1）本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理中线段的对应关系．（2）根据a ∥b ∥c ，可得AB DE BC EF =，结合已知条件中点B 是线段AC 的中点及DE 的长度可求得EF 的值.【详细解答】解：∵a ∥b ∥c ， ∴AB DE BC EF=. 又∵点B 是线段AC 的中点，DE=2， ∴121EF =，解得EF=2. 故答案为2. 【解后反思】根据平行线分线段成比例定理，可以得出多组成比例线段，解题时要认准对应关系，找出已知条件最多的一组进行解答.【关键词】行线分线段成比例定理14. （2016湖南省湘潭市，14，3分）如图，一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则该扇形的弧长是 .（结果保留π）【答案】π【逐步提示】本题考查了弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式，然后把圆心角、半径代入弧长公式求解即可． A BCD E F ab c 90°2【详细解答】解：∵扇形圆心角为90°，半径为2，∴扇形的弧长为902180ππ⨯⨯=，故答案为π.【解后反思】半径为r 的圆中，n°的圆心角所对的弧长为180n rl π=，要求出弧长关键弄清公式中各个字母的含义． 【关键词】弧长公式15. （ 2016湖南省湘潭市，15，3分）多项式x 2+1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 .（任写一个符合条件的即可） 【答案】答案不唯一，如414x 或2x 或-2x 【逐步提示】(1)本题考查完全平方式，解决问题的关键是掌握完全平方式的特点.(2)本题可从：①添加项为乘积二倍项；②添加项为平方项讨论求解.【详细解答】解：设添加的单项式为Q ，如果这里首末两项是x 和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 与1的乘积的2倍，故Q=±2x ；如果这里首末两项是Q 和1，则乘积二倍项是x 2=2×1×212x ，所以Q=414x ，故答案为414x 、±2x 中任意一个. 【解后反思】（1）本题为开放性题目，只要符合完全平方式即可，要求非常熟悉公式特点． （2）注意题目中要求添加的条件是“单项式”，切不要误填为441x. 【关键词】 完全平方公式16. （ 2016湖南省湘潭市，16，3分）已知以点C （a ，b ）为圆心，半径为r 的圆的标准方程为（x-a ）2+（y-b ）2=r 2.例如：已知以点A （2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为（x-2）2+（y-3）2=4，则以原点为圆心，过点P （1，0）的圆的标准方程为 . 【答案】x 2+y 2=1【逐步提示】本题为初高中衔接内容“圆的标准方程”，主要考查学生理解问题的能力，解决问题的关键是领会标准方程的写法，并按照示例写出标准方程，最后确定半径即可.【详细解答】解：由圆的标准方程及示例可得已原点为圆心的圆的标准方程为x 2+y 2=r 2，又∵圆过点P （1，0），∴半径为1，∴圆的标准方程为x 2+y 2=1，故答案为x 2+y 2=1.【解后反思】“阅读—分析--理解—创新应用”是求解阅读理解类型试题的基本步骤．首先做到认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法及如何计算等，并且正确理解引进的新知识，读懂范例的应用；其次，根据介绍的新知识、新方法进行运用，并与范例的运用进行比较，防止出错.【关键词】圆；圆的标准方程；阅读理解题．三、解答题（本大题共10个小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17.（2016湖南省湘潭市，17，6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-1， 2)，C(-3，1)，△ABC 与△A 1B 1C 1关于y 轴轴对称. （1）写出△A 1B 1C 1的顶点坐标； A 1 ，B 1 ，C 1 ； （2）求过点C 1的反比例函数ky x=的解析式. 【逐步提示】（1）关于y 对称的两个图形，各组对应点的连线被y 轴垂直平分，关于y 轴对称的两点的横坐标互为相反数、纵坐标相同。
湖南省湘潭市2019-2020学年第五次中考模拟考试数学试卷含解析
湖南省湘潭市2019-2020学年第五次中考模拟考试数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列二次根式中，与a是同类二次根式的是（）A．2a B．2a C．4a D．4a+2．分式72x-有意义，则x的取值范围是（）A．x≠2B．x＝0 C．x≠﹣2 D．x＝﹣73．已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且−2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为A．1或−2 B．−或C．D．14．一、单选题如图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是图中的（）A．点A B．点B C．点C D．点D5．一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．76．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（）A．参加本次植树活动共有30人B．每人植树量的众数是4棵C．每人植树量的中位数是5棵D．每人植树量的平均数是5棵7．在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念截图案中，可以看作中心对称图形的是（）A．千里江山图B．京津冀协同发展C．内蒙古自治区成立七十周年D．河北雄安新区建立纪念8．在实数225,,0,36,-1.41472，，有理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（）A．30°B．40°C．50°D．60°10．在-3，12，0，－2这四个数中，最小的数是( )A．3B．12C．0 D．－211．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）A．B．C．D．12．已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3，则用科学记数法表示该数为（）A．1.239×10﹣3g/cm3B．1.239×10﹣2g/cm3C．0.1239×10﹣2g/cm3D．12.39×10﹣4g/cm3二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为_____m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）．14．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB 的长为23，则a的值是_____．15．对角线互相平分且相等的四边形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形16．如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为．17．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为_______．18．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，点D 在边AC 上．（1）作∠ADE ，使∠ADE ＝∠ACB ，DE 交AB 于点E ；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若BC ＝5，点D 是AC 的中点，求DE 的长．20．（6分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB 的高度.他们在C 处仰望建筑物顶端A 处，测得仰角为45o ，再往建筑物的方向前进6米到达D 处，测得仰角为60o ，求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，3 1.732≈，2 1.414)≈21．（6分）如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km ．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A 的正北方向的D 处．（1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h ）．（参考数据： 3，s in76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）22．（8分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是BC 边的中点，点P 在线段AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ，设PA ＝x ．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在线段AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：．23．（8分）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次若参加聚会的人数为3，则共握手次：；若参加聚会的人数为5，则共握手次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次；若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．拓展：嘉嘉给琪琪出题：“若线段AB上共有m个点（含端点A，B），线段总数为30，求m的值．”琪琪的思考：“在这个问题上，线段总数不可能为30”琪琪的思考对吗？为什么？24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC．（2）若∠BEC=∠ABE，试证明四边形ABCD是菱形．25．（10分）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）26．（12分）如图，已知一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与坐标轴交于M、N两点．且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣1．求一次函数的解析式；求△AOB 的面积；观察图象，直接写出y1＞y1时x的取值范围．27．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=42，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．【详解】A=|a|B不是同类二次根式；C=是同类二次根式；D不是同类二次根式．故选C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．2．A【解析】【分析】直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案．【详解】解：分式72x-有意义，则x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：A．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义.分式是否有意义与分子的取值无关.3．D【解析】【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．【详解】∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x=-=-1，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a＞0，∵-2≤x≤1时，y的最大值为9，∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，∴3a2+3a-6=0，∴a=1，或a=-2（不合题意舍去）．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．4．D【解析】【分析】根据全等三角形的性质和已知图形得出即可．【详解】解：∵△MNP≌△MEQ，∴点Q应是图中的D点，如图，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．5．C【解析】试题分析：∵解不等式得：，解不等式，得：x≤5，∴不等式组的解集是，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，故选C．考点：一元一次不等式组的整数解．6．D【解析】试题解析：A、∵4+10+8+6+2=30（人），∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；B、∵10＞8＞6＞4＞2，∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；C、∵共有30个数，第15、16个数为5，∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．故选D．考点：1.条形统计图；2.加权平均数；3.中位数；4.众数．7．C【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B选项不是中心对称图形，故本选项错误；C选项为中心对称图形，故本选项正确；D选项不是中心对称图形，故本选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念：关键是找到相关图形的对称中心，旋转180度后与原图重合． 8．D【解析】试题分析：根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案：22,?0,?1.4147是有理数，故选D ． 考点：有理数．9．D【解析】解：∵EC=EA ．∠CAE=30°，∴∠C=30°，∴∠AED=30°+30°=60°．∵AB ∥CD ，∴∠BAF=∠AED=60°．故选D ．点睛：本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．10．D【解析】【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小比较即可.【详解】12，0，﹣1这四个数中，﹣10＜12， 故最小的数为：﹣1．故选D ．【点睛】本题考查了实数的大小比较，解答本题的关键是熟练掌握实数的大小比较方法，特别是两个负数的大小比较.11．B【解析】【分析】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.【详解】A 、是轴对称图形，故本选项错误；B 、不是轴对称图形，故本选项正确；C 、是轴对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键. 12．A【解析】试题分析：0.001219=1.219×10﹣1．故选A．考点：科学记数法—表示较小的数．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1.1．【解析】【分析】过点D作DO⊥AH于点O，先证明△ABC∽△AOD得出ABAO=CBDO，再根据已知条件求出AO，则OH=AH-AO=DG.【详解】解：过点D作DO⊥AH于点O，如图：由题意得CB∥DO，∴△ABC∽△AOD，∴ABAO=CBDO，∵∠CAB=53°，tan53°=4 3 ,∴tan∠CAB=CBAB=43,∵AB=1.74m，∴CB=1.31m，∵四边形DGHO为长方形，∴DO=GH=3.05m，OH=DG，∴1.74AO=2.323.05，则AO=1.1875m，∵BH=AB=1.75m，∴AH=3.5m，则OH=AH-AO≈1.1m，∴DG≈1.1m.故答案为1.1.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用. 14．2+2【解析】【分析】【详解】试题分析：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵PE⊥AB，AB=23，半径为2，∴AE=12AB=3，PA=2，根据勾股定理得：PE=1，∵点A在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=2，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=2∵⊙P的圆心是（2，a），∴a=PD+DC=2+2．【点睛】本题主要考查的就是垂径定理的应用以及直角三角形勾股定理的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是在于作出辅助线，将所求的线段放入到直角三角形中．本题还需要注意的一个隐含条件就是：直线y=x或直线y=-x与x轴所形成的锐角为45°，这一个条件的应用也是很重要的．15．B【解析】【分析】根据平行四边形的判定与矩形的判定定理，即可求得答案．【详解】∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴对角线相等且互相平分的四边形一定是矩形．故选B．【点睛】此题考查了平行四边形，矩形，菱形以及等腰梯形的判定定理．此题比较简单，解题的关键是熟记定理．16．15π．【解析】试题分析：∵OB=12BC=3，OA=4，由勾股定理，AB=5，侧面展开图的面积为：12×6π×5=15π．故答案为15π．考点：圆锥的计算．17．5.【解析】【详解】试题解析：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴12×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE=222243BC CE+=+=5.考点：1.正方形的性质；2.三角形的面积；3.勾股定理．18．40°【解析】【分析】由∠A＝30°，∠APD＝70°，利用三角形外角的性质，即可求得∠C的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数．【详解】解：∵∠A＝30°，∠APD＝70°，∴∠C＝∠APD﹣∠A＝40°，∵∠B与∠C是»AD对的圆周角，∴∠B＝∠C＝40°．故答案为40°．【点睛】此题考查了圆周角定理与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）作图见解析；（2）5 2【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤解答即可；（2）由作法可得DE∥BC，又因为D是AC的中点，可证DE为△ABC的中位线，从而运用三角形中位线的性质求解．【详解】解：（1）如图，∠ADE为所作；（2）∵∠ADE=∠ACB，∴DE∥BC，∵点D是AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=12BC=52． 20．14.2米；【解析】【分析】Rt △ADB 中用AB 表示出BD 、Rt △ACB 中用AB 表示出BC ，根据CD=BC-BD 可得关于AB 的方程，解方程可得．【详解】设AB x =米∵∠C=45°∴在Rt ABC V 中，BC AB x ==米，60ADB ∠=o Q ，又6CD =Q 米，∴在Rt ADB V 中Tan ∠ADB=AB BD ， Tan60°=6x x - 解得()333114.2x =+≈米 答，建筑物的高度为14.2米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．21．（1）观测点B 到航线l 的距离为3km （2）该轮船航行的速度约为40.6km/h【解析】试题分析：（1）设AB 与l 交于点O ，利用∠DAO=60°，利用∠DAO 的余弦求出OA 长，从而求得OB 长，继而求得BE 长即可；（2）先计算出DE=EF+DF=求出DE=53，再由进而由tan ∠CBE=CE BE求出EC ，即可求出CD 的长，进而求出航行速度．试题解析：（1）设AB 与l 交于点O ，在Rt △AOD 中，∵∠OAD=60°，AD=2（km ），∴OA=0cos60AD =4（km ）， ∵AB=10（km ），∴OB=AB ﹣OA=6（km ），在Rt △BOE 中，∠OBE=∠OAD=60°，∴BE=OB•cos60°=3（km ），答：观测点B 到航线l 的距离为3km ；（2）∵∠OAD=60°，AD=2（km ），∴OD=AD·tan60°，∵∠BEO=90°，BO=6，BE=3，∴∴km ）；CE=BE•tan ∠CBE=3tan76°，∴CD=CE ﹣DE=3tan76°﹣（km ），∵5（min ）=112 (h)，∴v=112S CD t==12CD=12×3.38≈40.6（km/h ）， 答：该轮船航行的速度约为40.6km/h ．【点睛】本题主要考查了方向角问题以及利用锐角三角函数关系得出EC ，DE ，DO 的长是解题关键．22．（1）证明见解析；（2）3或256．（3）65x =或0＜1x ＜ 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当PEF EAB ∠=∠ 时，则得到四边形ABEP 为矩形，从而求得x 的值；当PEF AEB ∠=∠时，再结合（1）中的结论，得到等腰APE V ．再根据等腰三角形的三线合一得到F 是AE 的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解． （3）此题首先应针对点P 的位置分为两种大情况：①D e 与AE 相切，② D e 与线段AE 只有一个公共点，不一定必须相切，只要保证和线段AE 只有一个公共点即可．故求得相切时的情况和相交，但其中一个交点在线段AE 外的情况即是x 的取值范围．【详解】(1)证明：∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC.90.ABE ∴∠=o∴∠PAF=∠AEB.又∵PF ⊥AE ，90.PFA ABE ∴∠=∠=o ∴△PFA ∽△ABE.(2)情况1,当△EFP ∽△ABE ，且∠PEF=∠EAB 时，则有PE ∥AB∴四边形ABEP 为矩形，∴PA=EB=3，即x=3.情况2,当△PFE ∽△ABE ，且∠PEF=∠AEB 时，∵∠PAF=∠AEB ，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF ⊥AE ，∴点F 为AE 的中点，5AE ===Q ，15.22EF AE ∴== ,PE EF AE EB =Q 即5253PE =， 25.6PE ∴= ∴满足条件的x 的值为3或25.6(3) 65x =或0 1.x << 【点睛】两组角对应相等，两三角形相似.23．探究：（1）3，1；（2）(1)2n n -；（3）参加聚会的人数为8人；拓展：琪琪的思考对，见解析. 【解析】【分析】探究：（1）根据握手次数=参会人数×（参会人数-1）÷2，即可求出结论； （2）由（1）的结论结合参会人数为n ，即可得出结论；（3）由（2）的结论结合共握手28次，即可得出关于n 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 拓展：将线段数当成握手数，顶点数看成参会人数，由（2）的结论结合线段总数为2，即可得出关于m 的一元二次方程，解之由该方程的解均不为整数可得出琪琪的思考对．探究：（1）3×（3-1）÷2=3，5×（5-1）÷2=1． 故答案为3；1．（2）∵参加聚会的人数为n （n 为正整数），∴每人需跟（n-1）人握手，∴握手总数为()12n n -． 故答案为()12n n -． （3）依题意，得：()12n n -=28，整理，得：n 2-n-56=0，解得：n 1=8，n 2=-7（舍去）．答：参加聚会的人数为8人．拓展：琪琪的思考对，理由如下：如果线段数为2，则由题意，得：()12m m -=2， 整理，得：m 2-m-60=0，解得m 1=12+，m 2=2（舍去）． ∵m 为正整数，∴没有符合题意的解，∴线段总数不可能为2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含n 的代数式表示出握手总数；（3）（拓展）找准等量关系，正确列出一元二次方程．24．证明见解析【解析】试题分析：由AB=AD ，CB=CD 结合AC=AC 可得△ABC ≌△ADC ，由此可得∠BAC=∠DAC ，再证△ABF ≌△ADF 即可得到∠AFB=∠AFD ，结合∠AFB=∠CFE 即可得到∠AFD=∠CFE ；（2）由AB ∥CD 可得∠DCA=∠BAC 结合∠BAC=∠DAC 可得∠DCA=∠DAC ，由此可得AD=CD 结合AB=AD ，CB=CD 可得AB=BC=CD=AD ，即可得到四边形ABCD 是菱形.（1）在△ABC和△ADC中，∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AF=AF，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB=∠AFD．（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠ACD=∠CAD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形．25．见解析．【解析】试题分析：先做出∠AOB的角平分线，再求出线段MN的垂直平分线就得到点P．试题解析：考点：尺规作图角平分线和线段的垂直平分线、圆的性质．26．（1）y1=﹣x+1，（1）6；（3）x＜﹣1或0＜x＜4【解析】试题分析：（1）先根据反比例函数解析式求得两个交点坐标，再根据待定系数法求得一次函数解析式；（1）将两条坐标轴作为△AOB的分割线，求得△AOB的面积；（3）根据两个函数图象交点的坐标，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．试题解析：（1）设点A坐标为（﹣1，m），点B坐标为（n，﹣1）∵一次函数y 1=kx+b （k≠0）的图象与反比例函数y 1=﹣的图象交于A 、B 两点 ∴将A （﹣1，m ）B （n ，﹣1）代入反比例函数y 1=﹣可得，m=4，n=4 ∴将A （﹣1，4）、B （4，﹣1）代入一次函数y 1=kx+b ，可得 ，解得∴一次函数的解析式为y 1=﹣x+1；,（1）在一次函数y 1=﹣x+1中，当x=0时，y=1，即N （0，1）；当y=0时，x=1，即M （1，0） ∴=×1×1+×1×1+×1×1=1+1+1=6； （3）根据图象可得，当y 1＞y 1时，x 的取值范围为：x ＜﹣1或0＜x ＜4考点：1、一次函数，1、反比例函数，3、三角形的面积27．（1）2142y x =-+；（2）2＜m ＜2（1）m=6或17﹣1． 【解析】【分析】（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （220），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A （220）代入可得a=12-，由此即可解决问题； （2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C′的解析式为()21242y x m =--，由()221421242y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到222280x mx m -+-=，由题意，抛物线C′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(2)428020280m m m m ⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，解不等式组即可解决问题；（1）情形1，四边形PMP′N 能成为正方形．作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP′N 是正方形，推出PF=FM ，∠PFM=90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m ，可得M （m+2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），利用待定系数法即可解决问题．【详解】（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A（0），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A（0）代入可得a=12-， ∴抛物线C 的函数表达式为2142y x =-+． （2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C′的解析式为()21242y x m =--， 由()221421242y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， 消去y 得到222280x mx m -+-= ，由题意，抛物线C′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(2)428020280m m m m ⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，解得2＜m＜∴满足条件的m 的取值范围为2＜m＜（1）结论：四边形PMP′N 能成为正方形．理由：1情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP′N 是正方形，∴PF=FM ，∠PFM=90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m ，∴M （m+2，m ﹣2），∵点M 在2142y x =-+上，∴()212242m m -=-++，解得m=17﹣1或﹣17﹣1（舍弃），∴m=17﹣1时，四边形PMP′N 是正方形． 情形2，如图，四边形PMP′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），把M （m ﹣2，2﹣m ）代入2142y x =-+中，()212242m m -=--+，解得m=6或0（舍弃）， ∴m=6时，四边形PMP′N 是正方形．综上所述：m=6或171时，四边形PMP′N 是正方形．。
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学仿真第四次备考试题含解析
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学仿真第四次备考试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．用尺现作图的方法在一个平行四边形内作菱形ABCD ，下列作法错误的是 （ ）A ．B ．C ．D ．2．点A （－2,5）关于原点对称的点的坐标是 ( )A ．（2,5）B ．（2,－5）C ．（－2,－5）D ．（－5,－2）3．如图,在边长为6的菱形ABCD 中,60DAB ∠=︒ ,以点D 为圆心,菱形的高DF 为半径画弧,交AD 于点E ,交CD 于点G ,则图中阴影部分的面积是（ ）A ．183π-B ．1839π-C ．9932π-D ．1833π-4．如图，AB ∥ED ，CD=BF ，若△ABC ≌△EDF ，则还需要补充的条件可以是（ ）A ．AC=EFB ．BC=DFC ．AB=DED ．∠B=∠E5．用圆心角为120°，半径为6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ）A 2 cmB ．2cmC ．2D ．4cm6．某反比例函数的图象经过点（-2,3），则此函数图象也经过（ ） A ．（2，-3）B ．（-3,3）C ．（2,3）D ．（-4,6）7．已知e →为单位向量，a r=-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） A ．a r ∥e →B ．3a =rC ．a r 与e →方向相同D ．a r 与e →方向相反8．如图，直角坐标平面内有一点(2,4)P ，那么OP 与x 轴正半轴的夹角α的余切值为（ ）A ．2B ．12C ．5 D ．59．若※是新规定的某种运算符号，设a ※b=b 2 -a ，则-2※x=6中x 的值（） A ．4B ．8C ．2D．-210．有15位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前8位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这15位同学的（ ） A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差11．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是（ ）A ．∠ADC B ．∠ABD C ．∠BAC D ．∠BAD12．如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2,4)，则关于x ，y 的方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为（ ）A ．2,4x y =⎧⎨=⎩B ．4,2x y =⎧⎨=⎩C ．4,0x y =-⎧⎨=⎩D ．3,0x y =⎧⎨=⎩二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．化简))201720182121的结果为_____．14．竖直上抛的小球离地面的高度 h （米）与时间 t （秒）的函数关系式为 h ＝﹣2t 2+mt+258，若小球经过74秒落地，则小球在上抛的过程中，第____秒时离地面最高． 15．亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°.”16．小明和小亮分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途中会经过奶茶店C，小明先到达奶茶店C，并在C地休息了一小时，然后按原速度前往B地，小亮从B地直达A地，结果还是小明先到达目的地，如图是小明和小亮两人之间的距离y(千米)与小亮出发时间x(时)的函数的图象，请问当小明到达B地时，小亮距离A地_____千米．17．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为_____．18．为了了解贯彻执行国家提倡的“阳光体育运动”的实施情况，将某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制成了如图所示的条形统计图，根据统计图提供的数据，该班50名同学一周参加体育锻炼时间的中位数与众数之和为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图1，在等腰△ABC 中，AB=AC，点D，E 分别为BC，AB 的中点，连接AD．在线段AD 上任取一点P，连接PB，PE．若BC=4，AD=6，设PD=x（当点P 与点 D 重合时，x 的值为0），PB+PE=y．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、计算，得到了x 与y 的几组值，如下表：x 0 1 2 3 4 5 6y 5.2 4.2 4.6 5.9 7.6 9.5说明：补全表格时，相关数值保留一位小数．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）（2）建立平面直角坐标系（图2），描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）求函数y 的最小值（保留一位小数），此时点P 在图 1 中的什么位置．20．（6分）已知，关于x的方程x2﹣mx+14m2﹣1＝0，(1)不解方程，判断此方程根的情况；(2)若x＝2是该方程的一个根，求m的值．21．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使EF=2DE．（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；（2）当∠ACB=60°时，求证：四边形BCFE是菱形．22．（8分）如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．（1）求∠AOC的度数；（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．23．（8分）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，经过C作CD⊥AB于点D，CF是⊙O的切线，过点A作AE⊥CF于E，连接AC．（1）求证：AE=AD．（2）若AE=3，CD=4，求AB的长．25．（10分）某市为了解市民对已闭幕的某一博览会的总体印象，利用最新引进的“计算机辅助电话访问系统”（简称CATI系统），采取电脑随机抽样的方式，对本市年龄在16～65岁之间的居民，进行了400个电话抽样调查．并根据每个年龄段的抽查人数和该年龄段对博览会总体印象感到满意的人数绘制了下面的图（1）和图（1）（部分）根据上图提供的信息回答下列问题：（1）被抽查的居民中，人数最多的年龄段是岁；（1）已知被抽查的400人中有83%的人对博览会总体印象感到满意，请你求出31～40岁年龄段的满意人数，并补全图1．注：某年龄段的满意率=该年龄段满意人数÷该年龄段被抽查人数×100%．26．（12分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？27．（12分）某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求：（1）∠C=°；（2）此时刻船与B港口之间的距离CB的长（结果保留根号）．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】根据菱形的判定方法一一判定即可【详解】作的是角平分线，只能说明四边形ABCD是平行四边形，故A符合题意B、作的是连接AC，分别做两个角与已知角∠CAD、∠ACB相等的角，即∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，能得到AB=BC,AD=CD,又AB∥CD，所以四边形ABCD为菱形，B不符合题意C、由辅助线可知AD=AB=BC，又AD∥BC，所以四边形ABCD为菱形，C不符合题意D、作的是BD垂直平分线，由平行四边形中心对称性质可知AC与BD互相平分且垂直，得到四边形ABCD 是菱形，D不符合题意故选A【点睛】本题考查平行四边形的判定，能理解每个图的作法是本题解题关键2．B【解析】【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）．【详解】根据中心对称的性质，得点P(−2,5)关于原点对称点的点的坐标是(2, −5).故选:B.【点睛】考查关于原点对称的点的坐标特征，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）．3．B【解析】【分析】由菱形的性质得出AD=AB=6，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=6，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF是菱形的高，∴DF⊥AB，∴∴阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积=6×2120?360π⨯9π． 故选B ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键． 4．C 【解析】 【分析】根据平行线性质和全等三角形的判定定理逐个分析. 【详解】由//AB ED ，得∠B=∠D, 因为CD BF =，若ABC V ≌EDF V ，则还需要补充的条件可以是： AB=DE,或∠E=∠A, ∠EFD=∠ACB, 故选C 【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定. 解题关键点：熟记全等三角形判定定理. 5．C 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；让扇形的弧长除以2π即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥形筒的高． 【详解】 L ＝1206180π⨯＝4π（cm ）；圆锥的底面半径为4π÷2π＝2（cm ），=cm ）． 故选C ． 【点睛】此题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥侧面展开图的弧长=2n r 180π；圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长；圆锥的底面半径，母线长，高组成以母线长为斜边的直角三角形． 6．A 【解析】【分析】 设反比例函数y=kx（k 为常数，k≠0），由于反比例函数的图象经过点（-2，3），则k=-6，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征分别进行判断． 【详解】 设反比例函数y=kx（k 为常数，k≠0）， ∵反比例函数的图象经过点（-2，3）， ∴k=-2×3=-6，而2×（-3）=-6，（-3）×（-3）=9，2×3=6，-4×6=-24， ∴点（2，-3）在反比例函数y=-6x的图象上． 故选A ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ． 7．C 【解析】 【分析】由向量的方向直接判断即可. 【详解】解：e r 为单位向量，a v =3e r ，所以a v 与e r方向相反，所以C 错误， 故选C. 【点睛】本题考查了向量的方向，是基础题，较简单. 8．B 【解析】 【分析】作PA ⊥x 轴于点A ，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解． 【详解】过P 作x 轴的垂线，交x 轴于点A ， ∵P(2,4)， ∴OA=2,AP=4，．∴4tan 22AP OA α=== ∴1cot 2α=.故选B ． 【点睛】本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题关键是熟记三角函数的定义. 9．C 【解析】解：由题意得：226x +=，∴24x =，∴x=±1．故选C ． 10．B 【解析】 【分析】由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知15人成绩的中位数是第8名的成绩．根据题意可得：参赛选手要想知道自己是否能进入前8 名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】解：由于15个人中，第8名的成绩是中位数，故小方同学知道了自己的 分数后，想知道自己能否进入决赛，还需知道这十五位同学的分数的中位数． 故选B ． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反 映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统 计量进行合理的选择和恰当的运用． 11．D 【解析】 【详解】∵∠ACD 对的弧是»AD ，»AD 对的另一个圆周角是∠ABD ， ∴∠ABD=∠ACD （同圆中，同弧所对的圆周角相等）， 又∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，即∠ACD+∠BAD=90°，∴与∠ACD 互余的角是∠BAD.故选D.12．A【解析】【分析】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案．【详解】解：∵直线y 1=k 1x+b 1与y 2=k 2x+b 2的交点坐标为（2，4），∴二元一次方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,4.x y =⎧⎨=⎩ 故选A.【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13+1【解析】【分析】利用积的乘方得到原式＝[﹣1）+1）]2017•），然后利用平方差公式计算．【详解】原式＝[1）+1）]2017•+1）＝（2﹣1）2017•+1．+1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．14．37. 【解析】【分析】首先根据题意得出m 的值，进而求出t ＝﹣2b a的值即可求得答案． 【详解】 ∵竖直上抛的小球离地面的高度 h(米)与时间 t(秒)的函数关系式为 h ＝﹣2t 2+mt+258，小球经过74秒落地， ∴t ＝74时，h ＝0， 则0＝﹣2×(74)2+74m+258， 解得：m ＝127， 当t ＝﹣2b a ＝﹣()1237227=⨯-时，h 最大， 故答案为：37． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确得出m 的值是解题关键．15．1【解析】本题主要考查了三角形的内角和定理.解：根据三角形的内角和可知填：1．16．1【解析】【分析】根据题意设小明的速度为akm/h ，小亮的速度为bkm/h ，求出a,b 的值，再代入方程即可解答.【详解】设小明的速度为akm/h ，小亮的速度为bkm/h ，2 3.5 2.5(3.52)(3.5 2.5)210b a b a ⎧=-⎪⎨⎪-+-=⎩ ， 解得，12060a b =⎧⎨=⎩， 当小明到达B 地时，小亮距离A 地的距离是：120×(3.5﹣1)﹣60×3.5＝1(千米)， 故答案为1．【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于列出方程组.17．四丈五尺【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【详解】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴x15＝1.50.5，解得x=45（尺）．故答案为：四丈五尺．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．18．17【解析】∵8是出现次数最多的，∴众数是8，∵这组数据从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数都是9，∴中位数是9，所以中位数与众数之和为8+9=17.故答案为17小时.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）4.5（2）根据数据画图见解析；（3）函数y 的最小值为4.2，线段AD上靠近D点三等分点处. 【解析】【分析】（1）取点后测量即可解答；（2）建立坐标系后，描点、连线画出图形即可；（3）根据所画的图象可知函数y的最小值为4.2，此时点P 在图 1 中的位置为．线段AD 上靠近D 点三等分点处.【详解】（1）根据题意，作图得，y=4.5故答案为：4.5（2）根据数据画图得（3）根据图象，函数y 的最小值为 4.2，此时点P 在图 1 中的位置为．线段AD 上靠近 D 点三等分点处.【点睛】本题为动点问题的函数图象问题，正确作出图象，利用数形结合思想是解决本题的关键.20．（1）证明见解析；（2）m=2或m=1．【解析】【分析】（1）由△=（-m）2-4×1×（14m2-1）=4＞0即可得；（2）将x=2代入方程得到关于m的方程，解之可得．【详解】（1）∵△=（﹣m）2﹣4×1×（14m2﹣1）=m2﹣m2+4=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）将x=2代入方程，得：4﹣2m+14m2﹣1=0，整理，得：m2﹣8m+12=0，解得：m=2或m=1．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将x=2代入原方程求出m值．21．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意易得，EF与BC平行且相等，利用四边形BCFE是平行四边形．（2）根据菱形的判定证明即可．【详解】（1）证明：：∵D．E为AB，AC中点∴DE为△ABC的中位线，DE=BC，∴DE∥BC，即EF∥BC，∵EF=BC，∴四边形BCEF为平行四边形．（2）∵四边形BCEF为平行四边形，∵∠ACB=60°，∴BC=CE=BE，∴四边形BCFE是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3、M2（﹣2，﹣3、M3（﹣2，3）、M4（2，3．【解析】【分析】（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP 是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．【详解】（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，∴△OAC是等边三角形，故∠AOC=60°．（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；∴AC=12OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，而OC是⊙O的半径，故PC与⊙O的位置关系是相切．（3）如图；有三种情况：①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣3；劣弧MA的长为：6044 1803ππ⨯=；②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣3）；劣弧MA的长为：12048 1803ππ⨯=；③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，3；优弧MA的长为：240416 1803ππ⨯=；④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，3；优弧MA的长为：300420 1803ππ⨯=；综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620,,,3333ππππ对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3、M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3）、M4（2，3．【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．23．（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，2）或（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标；（3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴，点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB 时，，∴或OP=PC ﹣﹣3∴P 1（0，），P 2（0，3﹣）；②当PB=PC 时，OP=OB=3，∴P 3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3∴此时P 与O 重合，∴P 4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，）或（0，3﹣）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．24．（1）证明见解析（2）25 3【解析】【分析】（1）连接OC，根据垂直定义和切线性质定理证出△CAE≌△CAD（AAS），得AE=AD；（2）连接CB，由（1）得AD=AE=3，根据勾股定理得：AC=5，由cos∠EAC=，cos∠CAB==，∠EAC=∠CAB，得=.【详解】（1）证明：连接OC，如图所示，∵CD⊥AB，AE⊥CF，∴∠AEC=∠ADC=90°，∵CF是圆O的切线，∴CO⊥CF，即∠ECO=90°，∴AE∥OC，∴∠EAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠EAC=∠CAO，在△CAE和△CAD中，，∴△CAE≌△CAD（AAS），∴AE=AD；（2）解：连接CB，如图所示，∵△CAE≌△CAD，AE=3，∴AD=AE=3，∴在Rt△ACD中，AD=3，CD=4，根据勾股定理得：AC=5，在Rt△AEC中，cos∠EAC==，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴cos∠CAB==，∵∠EAC=∠CAB，∴=，即AB=．【点睛】本题考核知识点：切线性质，锐角三角函数的应用. 解题关键点：由全等三角形性质得到线段相等，根据直角三角形性质得到相应等式.25．（1）11～30；（1）31～40岁年龄段的满意人数为66人，图见解析；【解析】【分析】（1）取扇形统计图中所占百分比最大的年龄段即可；（1）先求出总体感到满意的总人数，然后减去其它年龄段的人数即可，再补全条形图.【详解】（1）由扇形统计图可得11～30岁的人数所占百分比最大为39%，所以，人数最多的年龄段是11～30岁；（1）根据题意，被调查的人中，总体印象感到满意的有：400×83%=331人，31～40岁年龄段的满意人数为：331﹣54﹣116﹣53﹣14﹣9=331﹣116=66人，补全统计图如图．【点睛】本题考点：条形统计图与扇形统计图.26．100或200【解析】试题分析：此题利用每一台冰箱的利润×每天售出的台数=每天盈利，设出每台冰箱应降价x元，列方程解答即可．试题解析：设每台冰箱应降价x元，每件冰箱的利润是：元，卖（8+x50×4）件，列方程得，（8+x50×4）=4800，x2﹣300x+20000=0，解得x1=200，x2=100；要使百姓得到实惠，只能取x=200，答：每台冰箱应降价200元．考点：一元二次方程的应用．27．（1）60；（2）26【解析】（1）由平行线的性质以及方向角的定义得出∠FBA=∠EAB=30°，∠FBC=75°，那么∠ABC=45°，又根据方向角的定义得出∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，利用三角形内角和定理求出∠C=60°；（2）作AD⊥BC交BC于点D，解Rt△ABD，得出2，解Rt△ACD，得出6，根据BC=BD+CD即可求解.解：（1）如图所示，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABC=45°，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∴∠C=60°．故答案为60；（2）如图，作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，∵∠ABD=45°，AB=60，∴2．在Rt△ACD中，∵∠C=60°，2，∴tanC=AD CD，∴30236，∴26．答：该船与B港口之间的距离CB的长为（26）海里．。
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学仿真第三次备考试题含解析
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学仿真第三次备考试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．函数y ＝mx 2+（m+2）x+12m+1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为（ ） A ．0 B ．0或2C ．0或2或﹣2D ．2或﹣2 2．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是10元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m 1．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x 元/m 1，根据题意列方程，正确的是（ ）A ．301551(1)3xx -=+ B ．301551(1)3x x -=- C ．301551(1)3x x -=+ D ．301551(1)3x x -=- 3．若抛物线y ＝x 2－(m －3)x －m 能与x 轴交，则两交点间的距离最值是（ ）A ．最大值2，B ．最小值2C ．最大值22D ．最小值224．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为（ ）A ．3.9×1010B ．3.9×109C ．0.39×1011D ．39×1096．等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，D 是AC 的中点，EC BD ⊥于E ，交BA 的延长线于F ，若12BF =，则FBC V 的面积为( )A ．40B ．46C ．48D ．507．夏新同学上午卖废品收入13元，记为+13元，下午买旧书支出9元，记为（ ）元．A ．+4B ．﹣9C ．﹣4D ．+98．在下列二次函数中，其图象的对称轴为2x =-的是A ．()22y x =+B ．222y x =-C ．222y x =--D ．()222y x =- 9．分式方程213x x =-的解为（ ） A ．x=-2 B ．x=-3 C ．x=2 D ．x=310．计算(x －l)(x －2)的结果为（ ）A ．x 2＋2B ．x 2－3x ＋2C ．x 2－3x －3D ．x 2－2x ＋211．下列计算正确的是（ ）A ．3 +2＝5B ．12﹣3＝3C ．3×2＝6D ．82＝4 12．如图，已知D 是ABC V 中的边BC 上的一点，BAD C ∠=∠，ABC ∠的平分线交边AC 于E ，交AD 于F ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．△BAC ∽△BDAB ．△BFA ∽△BEC C ．△BDF ∽△BECD ．△BDF ∽△BAE二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为_____.14．如图，直线a ∥b ，∠P=75°，∠2=30°，则∠1=_____．15．甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向行驶，已知甲车的速度大于乙车的速度，甲车到达B 地后马上以另一速度原路返回A 地（掉头的时间忽略不计），乙车到达A 地以后即停在地等待甲车．如图所示为甲乙两车间的距离y （千米）与甲车的行驶时间t （小时）之间的函数图象，则当乙车到达A 地的时候，甲车与A 地的距离为_____千米．16．如图，已知CD 是ABC △的高线，且CD 2cm =，30B ∠=︒，则BC =_________.17．一个不透明的口袋中有2个红球，1个黄球，1个白球，每个球除颜色不同外其余均相同．小溪同学从口袋中随机取出两个小球，则小溪同学取出的是一个红球、一个白球的概率为_____．18．在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m 的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm ，则根据题意可得方程 ．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）为了贯彻落实市委政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列帮扶A 、B 两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A 、B 两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A 、B 两村的运费如表： 车型 目的地A 村（元/辆）B 村（元/辆）大货车800900 小货车 400 600（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？（2）现安排其中10辆货车前往A 村，其余货车前往B 村，设前往A 村的大货车为x 辆，前往A 、B 两村总费用为y 元，试求出y 与x 的函数解析式．（3）在（2）的条件下，若运往A 村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．20．（6分）列方程或方程组解应用题：去年暑期，某地由于暴雨导致电路中断，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，10分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求吉普车的速度．21．（6分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C 处5km 的地面O 处发射，当火箭到达点A ，B 时，在雷达站C 处测得点A ，B 的仰角分别为34°，45°，其中点O ，A ，B 在同一条直线上．求AC 和AB 的长（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin34°≈0.56；cos34°≈0.83；tan34°≈0.67）22．（8分）如图，在正方形ABCD 的外部，分别以CD ，AD 为底作等腰Rt △CDE 、等腰Rt △DAF ，连接AE 、CF ，交点为O ．（1）求证：△CDF ≌△ADE ；（2）若AF ＝1，求四边形ABCO 的周长．23．（8分）如图，ABC △中AB AC =，AD BC ⊥于D ，点E F 、分别是AB CD 、的中点.(1)求证：四边形AEDF 是菱形(2)如果10AB AC BC ===，求四边形AEDF 的面积S24．（10分）在一节数学活动课上，王老师将本班学生身高数据（精确到1厘米）出示给大家，要求同学们各自独立绘制一幅频数分布直方图，甲绘制的如图①所示，乙绘制的如图②所示，经王老师批改，甲绘制的图是正确的，乙在数据整理与绘图过程中均有个别错误．写出乙同学在数据整理或绘图过程中的错误（写出一个即可）；甲同学在数据整理后若用扇形统计图表示，则159.5﹣164.5这一部分所对应的扇形圆心角的度数为；该班学生的身高数据的中位数是；假设身高在169.5﹣174.5范围的5名同学中，有2名女同学，班主任老师想在这5名同学中选出2名同学作为本班的正、副旗手，那么恰好选中一名男同学和一名女同学当正，副旗手的概率是多少？25．（10分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且AD CD CD BD=．求证：△ACD∽△CBD；求∠ACB的大小．26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数34y x=与一次函数7y x=-+的图像交于点A，（1）求点A的坐标；（2）设x轴上一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交34y x=和7y x=-+的图像于点B、C，连接OC，若BC=75OA，求△OBC的面积.27．（12分）“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图部分信息如下：本次比赛参赛选手共有人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为；赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由;成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据函数y＝mx2+（m+2）x+12m+1的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决．【详解】解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+12m+1的图象与x轴只有一个交点，∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点，当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+12m+1的图象与x轴只有一个交点，则△＝（m+2）2﹣4m（12m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2，由上可得，m的值为0或2或﹣2，故选：C．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．2．A【解析】解：设去年居民用水价格为x 元/cm 1，根据题意列方程：30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故选A ． 3．D【解析】设抛物线与x 轴的两交点间的横坐标分别为：x 1，x 2，由韦达定理得：x 1+x 2=m-3，x 1•x 2=-m ，则两交点间的距离d=|x 1-x 2==,∴m=1时，d min ．故选D.4．C【解析】【分析】【详解】从上面看共有2行，上面一行有3个正方形，第二行中间有一个正方形，故选C ．5．A【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，据此判断即可． 【详解】39000000000=3.9×1．故选A ．【点睛】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．6．C【解析】∵CE ⊥BD ，∴∠BEF=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAF=90°，∴∠FAC=∠BAD=90°，∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACF，∴AD=AF，∵AB=AC，D为AC中点，∴AB=AC=2AD=2AF，∵BF=AB+AF=12，∴3AF=12，∴AF=4，∴AB=AC=2AF=8，∴S△FBC=12×BF×AC=12×12×8=48，故选C．7．B【解析】【分析】收入和支出是两个相反的概念，故两个数字分别为正数和负数.【详解】收入13元记为＋13元，那么支出9元记作－9元【点睛】本题主要考查了正负数的运用，熟练掌握正负数的概念是本题的关键.8．A【解析】y=（x+2）2的对称轴为x=–2，A正确；y=2x2–2的对称轴为x=0，B错误；y=–2x2–2的对称轴为x=0，C错误；y=2（x–2）2的对称轴为x=2，D错误．故选A．1．9．B【解析】解：去分母得：2x=x﹣3，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．故选B．10．B【解析】【分析】根据多项式的乘法法则计算即可.【详解】(x－l)(x－2)= x2－2x－x＋2= x2－3x＋2.故选B.【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.11．B【解析】【分析】根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；化为最简二次根式，然后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对D进行判断．【详解】解：A不能合并，所以A选项不正确；B B选项正确；C，所以C选项不正确；D=2，所以D选项不正确．故选B．【点睛】此题考查二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．12．C【解析】【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．【详解】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA．故A正确．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴△BFA∽△BEC．故B正确．∴∠BFA=∠BEC，∴∠BFD=∠BEA，∴△BDF∽△BAE．故D正确．而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误．故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（-2，-2）【解析】【分析】先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标．【详解】“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），故答案是：（﹣2，﹣2）．【点睛】考查了坐标确定位置，关键是正确确定原点位置．14．45°【解析】过P作PM∥直线a，根据平行线的性质，由直线a∥b，可得直线a∥b∥PM，然后根据平行线的性质，由∠P=75°，∠2=30°，可得∠1=∠P-∠2=45°.故答案为45°.点睛：本题考查了平行线的性质的应用，能正确根据平行线的性质进行推理是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．15．630【解析】分析：两车相向而行5小时共行驶了900千米可得两车的速度之和为180千米/时，当相遇后车共行驶了720千米时，甲车到达B地，由此则可求得两车的速度.再根据甲车返回到A地总用时16.5小时，求出甲车返回时的速度即可求解.详解：设甲车，乙车的速度分别为x千米/时，y千米/时，甲车与乙车相向而行5小时相遇，则5(x ＋y)＝900，解得x ＋y ＝180，相遇后当甲车到达B 地时两车相距720千米，所需时间为720÷180＝4小时， 则甲车从A 地到B 需要9小时，故甲车的速度为900÷9＝100千米/时，乙车的速度为180－100＝80千米/时，乙车行驶900－720＝180千米所需时间为180÷80＝2.25小时， 甲车从B 地到A 地的速度为900÷(16.5－5－4)＝120千米/时. 所以甲车从B 地向A 地行驶了120×2.25＝270千米， 当乙车到达A 地时，甲车离A 地的距离为900－270＝630千米.点睛：利用函数图象解决实际问题，其关键在于正确理解函数图象横，纵坐标表示的意义，抓住交点，起点.终点等关键点，理解问题的发展过程，将实际问题抽象为数学问题，从而将这个数学问题变化为解答实际问题.16．4cm【解析】【分析】根据三角形的高线的定义得到90BDC ∠=︒，根据直角三角形的性质即可得到结论.【详解】解:∵CD 是ABC ∆的高线，∴90BDC ∠=︒，∵30B ∠=︒，2CD =，∴24BC CD cm ==.故答案为:4cm.【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，含30°角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．17．13【解析】【分析】先画树状图求出所有等可能的结果数，再找出从口袋中随机摸出2个球，摸到的两个球是一红一白的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：根据题意画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中从口袋中随机摸出2个球，摸到的一个红球、一个白球的结果数为4， 所以从口袋中随机摸出2个球，则摸到的两个球是一白一黄的概率为41123=． 故答案为13． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．()240024008.120%x x-=+. 【解析】 试题解析：∵原计划用的时间为：2400x， 实际用的时间为：()2400120%x +， ∴可列方程为：()240024008.120%x x -=+ 故答案为()240024008.120%x x-=+ 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）大货车用8辆，小货车用7辆；（2）y=100x+1．（3）见解析.【解析】【分析】（1）设大货车用x 辆，小货车用y 辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼苗，列方程组求解；（2）设前往A 村的大货车为x 辆，则前往B 村的大货车为（8-x ）辆，前往A 村的小货车为（10-x ）辆，前往B 村的小货车为[7-（10-x ）]辆，根据表格所给运费，求出y 与x 的函数关系式；（3）结合已知条件，求x 的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．【详解】（1）设大货车用x 辆，小货车用y 辆，根据题意得：15{128152x y x y +=+= 解得：8{7x y ==．∴大货车用8辆，小货车用7辆．（2）y=800x+900（8-x）+400（10-x）+600[7-（10-x）]=100x+1．（3≤x≤8，且x为整数）．（3）由题意得：12x+8（10-x）≥100，解得：x≥5，又∵3≤x≤8，∴5≤x≤8且为整数，∵y=100x+1，k=100＞0，y随x的增大而增大，∴当x=5时，y最小，最小值为y=100×5+1=9900（元）．答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元．20．吉普车的速度为30千米/时.【解析】【分析】先设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时，列出方程求出x的值，再进行检验，即可求出答案．【详解】解：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为15x千米/时.由题意得：1515151.560 x x-=.解得，x=20经检验，x=20是原方程的解，并且x=20,1.5x=30都符合题意.答：吉普车的速度为30千米/时.点评：本题难度中等，主要考查学生对分式方程实际应用的综合运用．为中考常见题型，要求学生牢固掌握．注意检验．21．AC= 6.0km，AB= 1.7km；【解析】【分析】在Rt△AOC, 由∠的正切值和OC的长求出OA, 在Rt△BOC, 由∠BCO的大小和OC的长求出OA,而AB=OB-0A,即可得到答案。
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学模拟试题(5)含解析
湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学模拟试题（5）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．－4的绝对值是（ ）A ．4B ．14C ．－4D ．14- 2．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，CD ⊥AB 于D ，则tan ∠BCD 的值为（ ）A ．45B ．54C ．43D ．343．下列命题是真命题的是( )A ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D ．若三角形的三边a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝ac ＋bc ＋ab ，则该三角形是正三角形4．在2014年5月崇左市教育局举行的“经典诗朗诵”演讲比赛中，有11名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中的一名学生想知道自己能否进入前6名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这11名学生成绩的（ ）A ．众数B ．中位数C ．平均数D ．方差5．如图所示，90,,E F B C AE AF ∠=∠=∠=∠=o ，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM ∆≅∆，其中正确的是有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，双曲线y=k x（k ＞0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若四边形ODBC 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．68．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（ ）A ．参加本次植树活动共有30人B ．每人植树量的众数是4棵C ．每人植树量的中位数是5棵D ．每人植树量的平均数是5棵9．一、单选题 如图： 在ABC ∆中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若5CM =，则22CE CF +等于（ ）A ．75B ．100C ．120D ．12510．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第2018个图案中涂有阴影的小正方形个数为( )A ．8073B ．8072C ．8071D ．807011．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE ∥BC 的是（ ）A ．31DE BC =B ．DE 1BC 4= C ．31AE AC =D ．AE 1AC 4= 12．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，AE=3，ED=3BE ，则AB 的值为（ ）A ．6B ．5C ．23D ．33二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．一个多项式与3212x y -的积为5243343x y x y x y z --，那么这个多项式为 . 14．如图是利用直尺和三角板过已知直线l 外一点P 作直线l 的平行线的方法，其理由是__________．15．分解因式：32816a a a -+=__________.16．已知圆锥的底面半径为3cm ，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角 °． 17．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得到Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得到线段ED ，分別以O 、E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分的面积是__．18．在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+x+2上有一动点P ，直线y=﹣x ﹣2上有一动线段AB ，当P 点坐标为_____时，△PAB 的面积最小．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，已知△ABC ，分别以AB,AC 为直角边，向外作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACD ，∠EAB=∠DAC=90°，连结BD,CE 交于点F ，设AB=m ，BC=n.（1）求证：∠BDA=∠ECA ．（2）若m=2，n=3，∠ABC=75°，求BD的长.（3）当∠ABC=____时，BD最大，最大值为____（用含m，n的代数式表示）（4）试探究线段BF,AE,EF三者之间的数量关系。
湖南省湘潭市2019-2020学年中考第三次模拟数学试题含解析
湖南省湘潭市2019-2020学年中考第三次模拟数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．下列几何体中三视图完全相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，已知反比函数k y x =的图象过Rt △ABO 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于C ，连结AD 、OC ，若△ABO 的周长为426+，AD=2，则△ACO 的面积为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．44．平面直角坐标系内一点()2, 3P -关于原点对称点的坐标是（ ）A ．()3,2-B ．()2,3C ．()2,3--D ．()2,3-5．如图所示，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，正方形DEFG 边长也为2，且AC与DE 在同一直线上，△ABC 从C 点与D 点重合开始，沿直线DE 向右平移，直到点A 与点E 重合为止，设CD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点E ，点G 是AC 上的任意一点，延长AG 交DC 的延长线于点F ，连接,,GC GD AD .若25BAD ∠=︒，则AGD ∠等于（ ）A ．55︒B ．65︒C ．75︒D ．85︒7．如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A ．B ．C ．D ．8．已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或69．如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（ ）A ．带③去B ．带②去C ．带①去D ．带①②去10．下列事件中是必然事件的是（ ）A ．早晨的太阳一定从东方升起B ．中秋节的晚上一定能看到月亮C ．打开电视机，正在播少儿节目D ．小红今年14岁，她一定是初中学生11．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ）．A ．16B ．12C ．13D ．2312．下列运算中正确的是( )A ．x 2÷x 8=x −6B ．a·a 2=a 2C ．（a 2）3=a 5D ．（3a ）3=9a 3二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣3x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第一象限作正方形，点D 恰好在双曲线上k y x=，则k 值为_____．14．如图，直线4y x =+与双曲线k y x=（k≠0）相交于A （﹣1，a ）、B 两点，在y 轴上找一点P ，当PA+PB 的值最小时，点P 的坐标为_________.15．如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向向右平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为 ．16．已知函数y=|x 2﹣x ﹣2|，直线y=kx+4恰好与y=|x 2﹣x ﹣2|的图象只有三个交点，则k 的值为_____．17．当a ＝3时，代数式22121()222a a a a a a -+-÷---的值是______． 18．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（32，0），B（0，2），则点B2018的坐标为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）（1）解方程：x2﹣5x﹣6=0；（2）解不等式组：43(2)123x xx x+≤+⎧⎪-⎨<⎪⎩．20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象交于A（a，2），B（4，b）两点．求反比例函数的表达式；点C是第一象限内一点，连接AC，BC，使AC∥x轴，BC∥y轴，连接OA，OB．若点P在y轴上，且△OPA的面积与四边形OACB的面积相等，求点P的坐标．21．（6分）先化简代数式211aa aa a+⎛⎫⎛⎫+÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再从﹣1，0，3中选择一个合适的a的值代入求值．22．（8分）如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF．判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．23．（8分）先化简，再求值：x23x1x1x1-⎛⎫÷+-⎪--⎝⎭，其中x31．24．（10分）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的32倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？25．（10分）学习了正多边形之后，小马同学发现利用对称、旋转等方法可以计算等分正多边形面积的方案．（1）请聪明的你将下面图①、图②、图③的等边三角形分别割成2个、3个、4个全等三角形；（2）如图④，等边△ABC 边长AB ＝4，点O 为它的外心，点M 、N 分别为边AB 、BC 上的动点（不与端点重合），且∠MON ＝120°，若四边形BMON 的面积为s ，它的周长记为l ，求1s最小值； （3）如图⑤，等边△ABC 的边长AB ＝4，点P 为边CA 延长线上一点，点Q 为边AB 延长线上一点，点D 为BC 边中点，且∠PDQ ＝120°，若PA ＝x ，请用含x 的代数式表示△BDQ 的面积S △BDQ ．26．（12分）如图，在ABC △中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，且BDE A ∠=∠．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若16AC =，3tan 4A =，求⊙O 的半径．27．（12分）某区教育局为了解今年九年级学生体育测试情况，随机抽查了某班学生的体育测试成绩为样本，按A 、B 、C 、D 四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下（1）样本中D级的学生人数占全班学生人数的百分比是；（2）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是；（3）请把条形统计图补充完整；（4）若该校九年级有500名学生，请你用此样本估计体育测试中A级和B级的学生人数之和.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】分析：本题可先列出出现的点数的情况，因为二次图象开口向上，要使图象与x轴有两个不同的交点，则最低点要小于0，即4n-m2＜0，再把m、n的值一一代入检验，看是否满足．最后把满足的个数除以掷骰子可能出现的点数的总个数即可．解答：解：掷骰子有6×6=36种情况．根据题意有：4n-m2＜0，因此满足的点有：n=1，m=3，4，5，6，n=2，m=3，4，5，6，n=3，m=4，5，6，n=4，m=5，6，n=5，m=5，6，n=6，m=5，6，共有17种，故概率为：17÷36=．故选C．点评：本题考查的是概率的公式和二次函数的图象问题．要注意画出图形再进行判断，找出满足条件的点．2．A【解析】【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．【详解】解：A、球的三视图完全相同，都是圆，正确；B、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误；C、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；D、四棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；故选A．【点睛】考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．3．A【解析】【分析】在直角三角形AOB中，由斜边上的中线等于斜边的一半，求出OB的长，根据周长求出直角边之和，设其中一直角边AB=x，表示出OA，利用勾股定理求出AB与OA的长，过D作DE垂直于x轴，得到E 为OA中点，求出OE的长，在直角三角形DOE中，利用勾股定理求出DE的长，利用反比例函数k的几何意义求出k的值，确定出三角形AOC面积即可．【详解】在Rt△AOB中，AD=2，AD为斜边OB的中线，∴OB=2AD=4，由周长为6，得到6，设AB=x，则6-x，根据勾股定理得：AB 2+OA 2=OB 2，即x 2+（-x ）2=42，整理得：x 2x+4=0，解得x 1x 2，∴，过D 作DE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，可得E 为AO 中点，∴OE=12OA=12（假设，与，在Rt △DEO 中，利用勾股定理得：12），∴k=-DE•OE=-12)）×12)）=1. ∴S △AOC =12DE•OE=12， 故选A ．【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形面积求法，以及反比例函数k 的几何意义，熟练掌握反比例的图象与性质是解本题关键．4．D【解析】【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点A （-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）, 故选D ．【点睛】本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.5．A【解析】【分析】此题可分为两段求解，即C 从D 点运动到E 点和A 从D 点运动到E 点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．【详解】解：设CD 的长为x ABC V ，与正方形DEFG 重合部分(图中阴影部分)的面积为y ∴当C 从D 点运动到E 点时，即02x ≤≤时，()()2111y 222x 2x x 2x 222=⨯⨯--⨯-=-+． 当A 从D 点运动到E 点时，即2x 4<≤时，()][()211y 2x 22x 2x 4x 822⎡⎤=⨯--⨯--=-+⎣⎦， y ∴与x 之间的函数关系()221y x 2x 0x 221y x 4x 8(2x 4)2⎧=-+≤≤⎪⎪⎨⎪=-+<≤⎪⎩由函数关系式可看出A 中的函数图象与所求的分段函数对应．故选A ．【点睛】本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围． 6．B【解析】【分析】连接BD ，利用直径得出∠ABD=65°，进而利用圆周角定理解答即可．【详解】连接BD ，∵AB 是直径，∠BAD=25°，∴∠ABD=90°-25°=65°，∴∠AGD=∠ABD=65°，故选B ．【点睛】此题考查圆周角定理，关键是利用直径得出∠ABD=65°．7．A 。
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湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．下列四个选项中，计算结果最大的是（）A．（﹣6）0 B．|﹣6| C．﹣6 D．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C．D．3．下列运算正确的是（）A．3=3B．（2x2）3=2x5C．2a•5b=10ab D．÷=24．若分式的值为0，则x=（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．05．小红同学四次中考数学模拟考试成绩分别是：96，104，104，116，关于这组数据下列说法错误的是（）A．平均数是105 B．众数是104 C．中位数是104 D．方差是506．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）7．程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（）A．+3（100﹣x）=100 B．﹣3（100﹣x）=100C．3x+=100 D．3x﹣=1008．如图，等腰直角△EFG的直角边GE与正方形ABCD的边BC在同一直线上，且点E与点B重合，△EFG沿BC方向匀速运动，当点G与点C重合时停止运动．设运动时间为t，运动过程中△EFG与正方形ABCD的重叠部分面积为S，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．计算cos60°=．10．分解因式：2a2﹣3ab= ．11．四边形的内角和的度数为．12．从2015年12月26日起，一艘载满湘潭历史和文化的“航船﹣﹣湘潭市规划展示馆、博物馆和党史馆（以下简称‘三馆’）”正式起航，市民可以免费到三馆参观．听说这个好消息，小张同学准备星期天去参观其中一个馆，假设参观者选择每一个馆参观的机会均等，则小张同学选择参观博物馆的概率为．13．如图，直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，若DE=2，则EF= ．14．如图，一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则该扇形的弧长是．（结果保留π）15．多项式x2+1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是（任写一个符合条件的即可）．16．已知以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．例如：以A（2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，则以原点为圆心，过点P（1，0）的圆的标准方程为．三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣1，2），C（﹣3，1），△ABC与△A1B1C1关于y轴轴对称．（1）写出△A1B1C1的顶点坐标：A1，B1，C1；（2）求过点C1的反比例函数y=的解析式．18．先化简，再求值：•﹣，其中x=3．19．为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小胖同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼．该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD，已知四边形ABED是正方形，∠DCE=45°，AB=100米．小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分？（结果保留整数，≈1.41）20．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）当x1=1时，求另一个根x2的值．21．如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD、OB．（1）求证：△AEC∽△DEB；（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半径．22．为了方便居民低碳出行，2015年12月30日，湘潭市公共自行车租赁系统（一期）试运行以来，越来越多的居民选择公共自行车作为出行的交通工具，市区某中学课外兴趣小组为了了解某小区居民出行方式的变化情况，随机抽取了该小区部分居民进行调查，并绘制了如图的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请根据上面的统计图，解答下列问题：（1）被调查的总人数是人；（2）公共自行车租赁系统运行后，被调查居民选择自行车作为出行方式的百分比提高了多少？（3）如果该小区共有居民2000人，公共自行车租赁系统运行后估计选择自行车作为出行方式的有多少人？23．十八届五中全会出台了全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，这是党中央站在中华民族长远发展的战略高度作出的促进人口长期均衡发展的重大举措．二孩政策出台后，某家庭积极响应政府号召，准备生育两个小孩（生男生女机会均等，且与顺序有关）．（1）该家庭生育两胎，假设每胎都生育一个小孩，求这两个小孩恰好是1男1女的概率；（2）该家庭生育两胎，假设第一胎生育一个小孩，且第二胎生育一对双胞胎，求这三个小孩中至少有1个女孩的概率．24．办好惠民工程，是2015年湘潭市创建全国文明城市工作重点之一．湖湘公园、杨梅洲公园、雨湖公园以及菊花塘公园四个公园免费书吧的开放，让市民朋友们毫不费劲就能阅读到自己钟爱的书籍．现免费书吧准备补充少儿读物和经典国学两个类别的书籍共20套，已知少儿读物每套100元，经典国学每套200元，若购书总费用不超过3100元，不低于2920元，且购买的国学经典如果超过10套，则国学经典全部打9折，问有哪几种购买方案？哪种购买方案费用最低？25．如图1，菱形ABCD中，已知∠B AD=120°，∠EGF=60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F．（1）如图2，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；（2）知识探究：①如图3，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；②在顶点G的运动过程中，若=t，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；（3）问题解决：如图4，已知菱形边长为8，BG=7，CF=，当t＞2时，求EC的长度．26．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx+b的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B位于点P的同侧．（1）求抛物线的解析式；（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由．湖南省湘潭市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．下列四个选项中，计算结果最大的是（）A．（﹣6）0 B．|﹣6| C．﹣6 D．【考点】有理数大小比较．【分析】计算出结果，然后进行比较．【解答】解：（﹣6）0=1|﹣6|=6，因为﹣6＜＜1＜6，故选B．【点评】本题考查了有理数大小的比较，掌握零指数和绝对值的概念是关键．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；B、是中心对称图形，故错误；C、是轴对称图形，故错误；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确．故选D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3．下列运算正确的是（）A．3=3B．（2x2）3=2x5C．2a•5b=10ab D．÷=2【考点】二次根式的混合运算；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．【专题】计算题．【分析】根据二•次根式的加减法对A进行判断；根据积的乘方对B进行判断；根据单项式的乘法对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【解答】解：A、3与不能合并，所以A选项错误；B、原式=8x6，所以B选项错误；C、原式=10ab，所以C选项正确；D、原式==，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4．若分式的值为0，则x=（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．0【考点】分式的值为零的条件．【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【解答】解：由分式的值为零的条件得x﹣1=0，x+1≠0，解得，x=1．故选B．【点评】此题考查分式的值为零的问题，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．5．小红同学四次中考数学模拟考试成绩分别是：96，104，104，116，关于这组数据下列说法错误的是（）A．平均数是105 B．众数是104 C．中位数是104 D．方差是50【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．【分析】由平均数、众数、中位数、方差的定义即可判断．【解答】解：（A）平均数为：=105，故A正确；（B）出现最多的数据是104，故B正确；（C）先排序：96、104、104、116，所以中位数为=104，故C正确；（D）方差为：[（96﹣105）2+（104﹣105）2+（104﹣105）2+（116﹣105）2]=51，故D错误故选（D）【点评】本题考查数据的分析，涉及平均数、众数、中位数、方差等知识，综合程度较高．6．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【解答】解：由y=2（x﹣3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，1）．故选：A．【点评】此题考查二次函数的性质，解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．7．程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（）A．+3（100﹣x）=100 B．﹣3（100﹣x）=100C．3x+=100 D．3x﹣=100【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可．【解答】解：设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，根据题意得：3x+=100；故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程．8．如图，等腰直角△EFG的直角边GE与正方形ABCD的边BC在同一直线上，且点E与点B重合，△EFG沿BC方向匀速运动，当点G与点C重合时停止运动．设运动时间为t，运动过程中△EFG与正方形ABCD的重叠部分面积为S，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】设GF=BG=a，AB=BC=m，Rt△EFG向右匀速运动的速度为1，当E点与点B重合时，S=0；当点G在点B左侧，点E在点B右侧时，如图1，得到S是t的二次函数，且二次项系数为正数，所以抛物线开口向上；当点G在点B右侧，点E在点C左侧时，S=a2；当点G在点B左侧，点E在点B右侧时，如图3，得到S是t的二次函数，且二次项系数为负数，所以抛物线开口向下，于是得到结论．【解答】解：设GF=BG=a，AB=BC=m，Rt△EFG向右匀速运动的速度为1，当E点与点B重合时，S=0；当点G在点B左侧，点E在点B右侧时，如图1，BE=t，∴S=t2，∴S是t的二次函数，且二次项系数为正数，所以抛物线开口向上；当点G在点B右侧，点E在点C左侧时，如图2，S=a2；当点G在点B左侧，点E在点B右侧时，如图3，S=a2﹣（t﹣m）2，∴S是t的二次函数，且二次项系数为负数，所以抛物线开口向下，综上所述，S与t的图象分为三段，第一段为开口向上的抛物线的一部分，第二段为与x轴平行的线段，第三段为开口向下的抛物线的一部分．故选A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二、填空题（本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．计算cos60°=．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据记忆的内容，cos60°=即可得出答案．【解答】解：cos60°=．故答案为：．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意掌握特殊角的三角函数值，这是需要我们熟练记忆的内容．10．分解因式：2a2﹣3ab= a（2a﹣3b）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．【解答】解：2a2﹣3ab=a（2a﹣3b）．故答案为：a（2a﹣3b）【点评】本题主要考查了运用提公因式法因式分解，解题时注意：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．11．四边形的内角和的度数为360°．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数），求解即可．【解答】解：（4﹣2）×180°=360°．故答案为：360°．【点评】本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数）．12．从2015年12月26日起，一艘载满湘潭历史和文化的“航船﹣﹣湘潭市规划展示馆、博物馆和党史馆（以下简称‘三馆’）”正式起航，市民可以免费到三馆参观．听说这个好消息，小张同学准备星期天去参观其中一个馆，假设参观者选择每一个馆参观的机会均等，则小张同学选择参观博物馆的概率为．【考点】概率公式．【分析】让1除以三馆参观的场馆总个数即为所求的概率．【解答】解：1÷3=．答：小张同学选择参观博物馆的概率为．故答案为：．【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．如图，直线a ∥b ∥c ，点B 是线段AC 的中点，若DE=2，则EF= 2 ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得=，从而计算出EF 的值．【解答】解：∵直线a ∥b ∥c ，点B 是线段AC 的中点，DE=2，∴=，即=，∴=， ∴EF=2，故答案为：2．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．14．如图，一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则该扇形的弧长是 π ．（结果保留π）【考点】弧长的计算．【专题】计算题；圆的有关概念及性质．【分析】根据题意，利用弧长公式计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：l==π，故答案为：π【点评】此题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．15．多项式x2+1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是2x （任写一个符合条件的即可）．【考点】完全平方式．【专题】推理填空题．【分析】根据a2±2ab+b2=（a±b）2，判断出添加的单项式可以是哪个即可．【解答】解：∵x2+1+2x=（x+1）2，∴添加的单项式可以是2x．故答案为：2x．【点评】此题主要考查了完全平方式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：a2±2ab+b2=（a±b）2．16．已知以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．例如：以A（2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，则以原点为圆心，过点P（1，0）的圆的标准方程为x2+y2=1 ．【考点】坐标与图形性质．【专题】新定义．【分析】根据以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2进行判断即可．【解答】解：∵以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，∴以原点为圆心，过点P（1，0）的圆的标准方程为（x﹣0）2+（y﹣0）2=12，即x2+y2=1，故答案为：x2+y2=1．【点评】本题主要考查了坐标与图形性质．解决问题的关键是掌握以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣1，2），C（﹣3，1），△ABC与△A1B1C1关于y轴轴对称．（1）写出△A1B1C1的顶点坐标：A1（2，4），B1（1，2），C1（3，1）；（2）求过点C1的反比例函数y=的解析式．【考点】待定系数法求反比例函数解析式；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】（1）根据△ABC与△A1B1C1关于y轴轴对称及关于y轴对称点的纵坐标相等、横坐标互为相反数可得；（2）待定系数法求解可得．【解答】解：（1）如图，点A1的坐标为（2，4）、点B1的坐标为（1，2）、点C1的坐标为（3，1），故答案为：（2，4），（1，2），（3，1）；（2）将点C1（3，1）代入y=，得：k=3，∴反比例函数解析式为y=．【点评】本题主要考查关于坐标轴对称点的坐标特点和待定系数法求函数解析式能力，掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点是关键．18．先化简，再求值：•﹣，其中x=3．【考点】分式的化简求值．【分析】先将分子因式分解，再约分，最后计算分式的减法即可化简原式，将x的值代入计算可得．【解答】解：原式=•﹣=﹣=，当x=3时，原式==．【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序及运算法则是解题的关键．19．为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小胖同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼．该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD，已知四边形ABED是正方形，∠DCE=45°，AB=100米．小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分？（结果保留整数，≈1.41）【考点】解直角三角形的应用．【分析】首先利用勾股定理求出CD的长度，然后求出小胖每天晨跑的路程，进而求出平均速度．【解答】解：∵ABED是正方形，∠DCE=45°，AB=100米，∴DE=CE=100米，在直角三角形DEC中，DC2=DE2+CE2，即DC=100，∴四边形ABCD的周长为100+100+100+100+100=400+100，∵小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，∴小胖每天晨跑的路程为（2000+500）米，∴小胖同学该天晨跑的平均速度（2000+500）÷20=100+25≈135.25米/分．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用勾股定理求出DC的长度，此题难度不大．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）当x1=1时，求另一个根x2的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据题意可得根的判别式△＞0，再代入可得9﹣4m＞0，再解即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣，再代入可得答案．【解答】解：（1）由题意得：△=（﹣3）2﹣4×1×m=9﹣4m＞0，解得：m＜；（2）∵x1+x2=﹣=3，x1=1，∴x2=2．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，以及根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．21．如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD、OB．（1）求证：△AEC∽△DEB；（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半径．【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理．【分析】（1）由同弧的圆周角相等即可得出∠ACE=∠DBE，结合∠AEC=∠DEB，即可证出△AEC∽△DEB；（2）设⊙O的半径为r，则CE=2r﹣2，根据垂径定理以及三角形相似的性质即可得出关于r 的一元一次方程，解方程即可得出r值，此题得解．【解答】（1）证明：∵∠AEC=∠DEB，∠ACE=∠DBE，∴△AEC∽△DEB．（2）解：设⊙O的半径为r，则CE=2r﹣2．∵CD⊥AB，AB=8，∴AE=BE=AB=4．∵△AEC∽△DEB，∴，即，解得：r=5．【点评】本题考查了垂径定理以及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出方程是解题的关键．22．为了方便居民低碳出行，2015年12月30日，湘潭市公共自行车租赁系统（一期）试运行以来，越来越多的居民选择公共自行车作为出行的交通工具，市区某中学课外兴趣小组为了了解某小区居民出行方式的变化情况，随机抽取了该小区部分居民进行调查，并绘制了如图的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请根据上面的统计图，解答下列问题：（1）被调查的总人数是50 人；（2）公共自行车租赁系统运行后，被调查居民选择自行车作为出行方式的百分比提高了多少？（3）如果该小区共有居民2000人，公共自行车租赁系统运行后估计选择自行车作为出行方式的有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据条形图的数据计算即可；（2）计算出共自行车租公赁系统运行前、后的百分比，计算即可；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）由条形图可知，被调查的总人数是10+15+25=50人，故答案为：50；（2）共自行车租公赁系统运行前，居民选择自行车作为出行方式的百分比为：15÷50=30%，公共自行车租赁系统运行后，居民选择自行车作为出行方式的百分比为：100%﹣36%﹣14%=50%，50%﹣30%=20%，答：公共自行车租赁系统运行后，被调查居民选择自行车作为出行方式的百分比提高了20%；（3）公共自行车租赁系统运行后估计选择自行车作为出行方式的有：2000×50%=1000人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．十八届五中全会出台了全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，这是党中央站在中华民族长远发展的战略高度作出的促进人口长期均衡发展的重大举措．二孩政策出台后，某家庭积极响应政府号召，准备生育两个小孩（生男生女机会均等，且与顺序有关）．（1）该家庭生育两胎，假设每胎都生育一个小孩，求这两个小孩恰好是1男1女的概率；（2）该家庭生育两胎，假设第一胎生育一个小孩，且第二胎生育一对双胞胎，求这三个小孩中至少有1个女孩的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式计算可得；（2）第一胎有男、女两种可能，第二胎由男男、男女、女男、女女四种可能，据此画出树状图，根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）画树状图如下：由树状图可知，生育两胎共有4种等可能结果，而这两个小孩恰好是1男1女的有2中可能，∴P（恰好是1男1女的）=．（2）画树状图如下：由树状图可知，生育两胎共有8种等可能结果，这三个小孩中至少有1个女孩的有7种结果，∴P（这三个小孩中至少有1个女孩）=．【点评】此题考查了树状图的应用，解题的关键是认真审题画出树状图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．办好惠民工程，是2015年湘潭市创建全国文明城市工作重点之一．湖湘公园、杨梅洲公园、雨湖公园以及菊花塘公园四个公园免费书吧的开放，让市民朋友们毫不费劲就能阅读到自己钟爱的书籍．现免费书吧准备补充少儿读物和经典国学两个类别的书籍共20套，已知少儿读物每套100元，经典国学每套200元，若购书总费用不超过3100元，不低于2920元，且购买的国学经典如果超过10套，则国学经典全部打9折，问有哪几种购买方案？哪种购买方案费用最低？【考点】一元一次不等式组的应用．【分析】根据题意分别利用当x≤10时，以及当x＞10时，表示总费用进而求出符合题意的答案．【解答】解：设购买国学经典x套，则购买少儿读物（20﹣x）套，当x≤10时，则2920≤100（20﹣x）+200x≤3100，解得：9.2≤x≤11，故x=10，当x＞10时，则2920≤100（20﹣x）+200×0.9x≤3100，解得：11.5≤x≤13.75，故x=12或x=13，当x=10时，总费用为：100×10+2000=3000（元），当x=12时，总费用为：8×100+200×0.9×12=2960（元），当x=13时，总费用为：7×100+200×0.9×13=3040（元），故共有3种购买方案，购买国学经典12套，则购买少儿读物8套方案费用最低．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确得出不等关系是解题关键．25．如图1，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F．（1）如图2，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；（2）知识探究：①如图3，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；②在顶点G的运动过程中，若=t，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；（3）问题解决：如图4，已知菱形边长为8，BG=7，CF=，当t＞2时，求EC的长度．【考点】四边形综合题．【分析】（1）如图2中，在CA上取一点M，使得CM=CE，连接EM．首先证明△ABE≌△ACF，再证明△AEM≌△FEC，即可解决问题．（2）①结论：EC+CF=BC．如图3中，取BC中点P，CD中点Q，连接PG、GQ．利用（1）的结论解决问题．②结论：CE+CF=．如图4中，作GP∥AB交BC于P，GQ∥AD交CD于Q．利用（1）的结论解决问题．（3）如图4中，作BM⊥AC于M．利用（1）的结论：CG=CE+CF，求出CE即可解决问题．【解答】（1）证明：如图2中，在CA上取一点M，使得CM=CE，连接EM．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠AB=AC，∠BAC=∠EAF=60°，∠B=∠ACF=60°，∴∠BAE=∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∵CE=CM，∠ECM=60°，∴△ECM是等边三角形，∴∠AEF=∠MEC=60°，AE=EF，EM=EC，∴∠AEM=∠FEC，在△AEM和△FEC中，，∴△AEM≌△FEC，∴AM=CF，∴BC=AC=AM+CM=EC+CF．（2）①结论：EC+CF=BC．理由：如图3中，取BC中点P，CD中点Q，连接PG、GQ．。