【初中数学精品资料】第二十四章第1节圆(二)

B C O
A
D
分析：由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ADC＝∠ABC＝∠CAB＝∠CDB，故与 ∠ADC 相等的角共有 3 个. 解：B 评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆 周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求. ︵ 例 3. 如图所示，BC 为半圆 O 的直径，G 是半圆上异于 B、C 的点，A 是BG的中点，AD ⊥BC 于点 D，BG 交 AD 于点 E，请说明 AE＝BE. 分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直 角的性质，因此，欲说明 AE 与 BE 相等，可转化为说明∠BAD＝∠ABE，圆周角∠ABE 所 ︵ 对的弧为AG，连结 AB、AC 即可解决问题.
O
(1)
解法二：如图（2）所示，连结 OB、OD. ∵OA＝OB＝OC＝OD，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D. ∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D. ∴△OAB≌△OCD，∴AB＝CD. B D D
A O C A
1 2 4 3
B C
O
(2)
(3)
解法三：如图（3）所示，连结 AC. ∵OA＝OC，∴∠1＝∠3. 又∵∠BAO＝∠DCO，∴∠2＝∠4. ︵ ︵ ∴BC＝AD. ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ∴BC＋BD＝AD＋BD，即AB＝CD， ∴AB＝CD. 1 例 6. AB、BC、CA 是⊙O 的三条弦，O 到 AB 的距离 OE 等于 AB，求∠C 的度数. 2 分析：∠C 可能为一个钝角，也可能为一个锐角，要分类画图、分析和解答.
年
级
初三 安廷玲
学
科
数学
版
本
人教新课标版
内容标题 编稿老师
第二十四章 第 1 节 弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系
【本讲教育信息】
一、教学内容： 弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 1. 圆心角、圆周角的概念. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系. 3. 圆周角定理及推论. 二、知识要点： 1. 弧、弦、圆心角 （1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）弧、弦、圆心角之间的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. ︵ ︵ ︵ ︵ 如图所示， （1）若∠AOB＝∠COD，则AB＝CD，AB＝CD； （2）若AB＝CD，则∠AOB ︵ ︵ ＝∠COD，AB＝CD； （3）若 AB＝CD，则∠AOB＝∠COD，AB＝CD.
A O C
分析：此题的证明方法很多，由于 AB 和 CD 在圆中，且为弦，可证明 AB 和 CD 所对 的圆心角相等或弧相等，也可直接或间接利用全等证明 AB 和 CD 相等. 等等.
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解法一：如图（1）所示，过点 O 作 OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E、F. ∴AB＝2AE，CD＝2CF，∠AEO＝∠CFO＝90°. 又∵∠A＝∠C，OA＝OC， ∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF. ∴AB＝CD. B D E F A C
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发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.
【典型例题】
例 1. 在⊙O 中，如图所示，∠AOB＝∠DOC，试说明： ︵ ︵ （1）DB＝AC； （2）BD＝AC.
A
O C D
B
︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 分析： （1）∵∠DOC＝∠AOB，∴DC＋BC＝AB＋BC，∴BD＝AC. （2）∵在同圆或 等圆中，相等的弧所对的弦相等，∴BD＝AC. ︵ ︵ 解： （1）∵∠DOC＝∠AOB，∴DC＝AB， ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ∴DC＋BC＝AB＋BC，即BD＝AC. ︵ ︵ （2）由（1）得BD＝AC，∴BD＝AC. ︵ 例 2. 如图所示，C 是AB的中点，与∠ADC 相等的角的个数是（ ） A. 7 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
A B O D C
2. 圆周角 （1）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角. （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所 对的圆心角的一半. C C C 1 2 O O O
B A ① B A ② D E A ③ B
（3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 三、重点难点： 本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的旋转不变性出
A E B O C (1) (2) B C E O m A
解：如图（1）所示，连结 AO、BO. 1 因为 OE⊥AB，所以 EB＝AE＝ AB. 2 1 又 OE＝ AB，所以 EB＝OE＝AE. 2 所以∠EBO＝∠EOB＝∠EOA＝∠EAO＝45°.
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A
G

E B D O C
︵ ︵ 解：连结 AB、AC. ∵AB＝AG，∴∠ABE＝∠ACB. 又∵AD⊥BC，∴∠ABD＋∠BAE＝90°. ∵BC 为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠BCA＝90°， ∴∠BCA＝∠BAE. ∴∠BAE＝∠ABG， ∴AE＝BE. 例 4. 如图所示，在⊙O 中，∠AOC＝150°，求∠ABC、∠ADC、∠EBC 的度数，并判 断∠ABC 和∠ADC、∠EBC 和∠ADC 的度数关系. E B
O α 150° A D C
分析：解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如劣弧 AC 所对的圆心角是∠ AOC，所对的圆周角是∠ABC，优弧 ABC 所对的圆心角是大于平角的∠α ，所对的圆周角 是∠ADC. 解：∵∠AOC＝150°， 1 ∴∠ABC＝ ∠AOC＝75°. 2 ∵∠α ＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°， 1 ∴∠ADC＝ ∠α ＝105°， 2 ∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°. ∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∠EBC＝∠ADC＝105°， ∴∠ABC 和∠ADC 互补，∠EBC 和∠ADC 相等. 评析： 理解圆周角的概念， 分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角性质解题 的前提. 例 5. 如图所示，AB、CD 是⊙O 的弦，∠A＝∠C. 求证：AB＝CD. B D