配方法求函数的值域

授课人： 王晓倩
求函数值域方法很多，常用方法有：
（1） 配方法 （2） 换元法
（3）判别式法 （4）不等式法
（5）反函数法、 （6）图像法（数形结合法）
（7）函数的单调性法(导数） （8）均值不等式法
•
这些方法分别具有极强的针对性，每一种
方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问
题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择
求值域的方法，这节课主要讲解配方法求函数的
值域。
配方法：
• 形如 y=ax2+bx+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数 的值域, 要注意 x 的取值范围.
二次函数 : f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
定义域为R
当a>0时，值域为: 当a<0时，值域为:
4ac b2
{ y| y
}
4a
4ac b2
x=5时，y=6, ∴在[0,1]上， ymin =-3， ymax =6
值域为[-3，6].
பைடு நூலகம்
注：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
⑴若定义域为R时 : 当a>0时，则当x=
b
时，
2a
其最小值；ym in
4ac 4a
b2
当a<0时，则当
x
b 2a
时，其最大值.
ymax
4ac 4a
b2
⑵若定义域为x [a,b]
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y≥-3 }.
②∵顶点横坐标2 [3,4]， 当x=3时，y= -2, x=4时，y=1
∴在[3,4]上,ymin =-2， ymax =1； 值域为[-2，1]. 解③略: 解④ ∵顶点横坐标2 [0,5] 当x=2时，ymin =-3, x=0时，y=1,
{ y| y
}
4a
例 求下列函数的值域：
① y=x2-4x+1
② y=x2-4x+1 x[3,4]
③ y=x2-4x+1 , x[0,1] ④ y=x2-4x+1 x[0,5]
解： ∵ y=x2-4x+1 = (x-2)2-3
∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. (对称轴x=2)
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R
决定函数的最大（小）值.
练习
求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的 值域: ①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]
谢谢观看！
则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
.
①若x0 [a,b],则
②若X0 [a,b],则[a,b]
当a>0时,f(x0)是函数的最小值;
在f(x)的单调区间内
当a<0时,f(x0)是函数的最大值 再比较f(a),f(b)的大小
只需比较f(a),f(b)的大小即可 决定函数的最大（小）值.