江苏专版2018年高考数学二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(十五) 推理与证明(含解析)

合集下载

2018高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(一)集合与常用逻辑用语含解析

答案：{1,3} 9、已知集合 A＝ {( x， y)|x2＋ y2＝ 1}， B＝ {( x， y)|y＝ x}，则 A∩ B 中元素的个数为 ________、解析：因为 A 表示圆 x2＋ y2＝ 1 上的点的集合， B 表示直线 y＝ x 上的点的集合，直线 y＝ x 与圆 x2＋ y2＝ 1
答案： {1}
3、命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是
____________________ 、
解析：原命题的逆命题是 “ 若一个数的平方是正数，则这个数是负数 ”、
答案：若一个数的平方是正数，则这个数是负数
4、设 m， n 为非零向量，则“存在负数 λ，使得 m＝ λｎ”是“ m·n<0”的 ________条件、 (填“充分不必
故 y＝ |f(x)|的图象关于 y 轴对称是 y＝ f(x)是奇函数的必要不充分条件、
答案：{1,3,5}
6、已知集合 P＝ {x|－ 1< x<1} ， Q＝ {x|0<x<2} ，那么 P∪ Q＝ ________. 解析：根据集合的并集的定义，得 P∪Q＝ (－ 1,2)、
答案： (－1,2)
7、已知全集 U＝ {－ 1,2,3， a}，集合 M ＝ {－ 1,3}、若 ?U M ＝{2,5}，则实数 a 的值为 ________、解析：由题意得 (?UM )∪ M ＝ {－ 1,2,3,5} ＝ U，故 a＝ 5. 答案： 5 8、设集合 A＝{1,2,4} ， B＝{ x|x2－ 4x＋ m＝ 0}、若 A∩ B＝ {1} ，则 B＝ ________. 解析：因为 A∩ B＝ {1} ，所以 1∈B，所以 1 是方程 x2－ 4x＋ m＝ 0 的根，所以 1－ 4＋ m＝ 0， m＝ 3，方程为 x2－ 4x＋ 3＝ 0，解得 x＝ 1 或 x＝ 3，所以 B＝ {1,3}、

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(九) 不等式 Word版含解析

14个填空题专项强化练(九) 不等式A 组——题型分类练题型一一元二次不等式1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________．解析：法一：依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3. 法二：由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <3，令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3. 答案：{x |－ln 2<x <ln 3}2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则不等式f (x )>3的解集为________________．解析：当x >0时，2x －1>3，解得x >2，当x ≤0时，－x 2－4x >3，即x 2＋4x ＋3<0，解得－3<x <－1，所以所求不等式的解集为{x |x >2或－3<x <－1}．答案：{x |x >2或－3<x <－1}3．已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________．解析：由定义域为R ，得x 2－2x ＋a ≥0恒成立．又值域为[0，＋∞)，则函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象只能与x 轴有1个交点，所以Δ＝4－4a ＝0，a ＝1.答案：{1}4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，则关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是________．解析：由x 2≥0，得f (x 2)＝－x 2＋1，所以原不等式可转化为f (2－x )<－x 2＋1，则当2－x ≥0，即x ≤2时，由－(2－x )＋1<－x 2＋1，得－2<x <1，所以－2<x <1；当2－x <0，即x >2时，由－(2－x )2＋1<－x 2＋1，得x ∈∅.综上得，关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是{x |－2<x <1}．答案：{x |－2<x <1} 题型二基本不等式 1．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：由x >1，得x －1>0，则x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．故x ＋4x －1的最小值为5. 答案：52．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解析：由0<x <1，故3－3x >0，则x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：123．已知正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，则ab 的最小值为________．解析：因为正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，所以ab －5≥21a ×9b，可化为(ab )2－5ab －6≥0，解得ab ≥6，即ab ≥36，当且仅当1a ＝9b ，即a ＝2，b ＝18时取等号．即ab 的最小值为36.答案：364．已知正数x ，y 满足x 2＋4y 2＋x ＋2y ≤2－4xy ，则1x ＋1y 的最小值为________．解析：由题意得(x ＋2y )2＋(x ＋2y )－2≤0，且x >0，y >0，所以0<x ＋2y ≤1，所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·1≥⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·(x ＋2y )＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2y x ＝x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1，y ＝1－22时，1x ＋1y 取得最小值3＋2 2.答案：3＋2 25．已知a >0，b >0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值是________．解析：a ＋2b ＝2a ＋b ＋3(b ＋1)2－32，故a ＋2b ＝⎣⎡⎦⎤2a ＋b 2＋3(b ＋1)2·⎝⎛⎭⎫12a ＋b ＋1b ＋1－32 ＝12＋32＋2a ＋b2(b ＋1)＋3(b ＋1)2(2a ＋b )－32≥12＋22a ＋b 2(b ＋1)·3(b ＋1)2(2a ＋b )＝12＋3，当且仅当2a ＋b 2(b ＋1)＝3(b ＋1)2(2a ＋b )，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1时取等号．故a ＋2b 的最小值为12＋ 3.答案：12＋ 3题型三简单的线性规划1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x －y 的最小值为________．解析：根据题意，画出可行域如图所示，易知当目标函数z ＝x －y 经过点A (1,4)时，取得最小值－3.答案：－32．设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4，表示的平面区域为M ，若直线l ：y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0，－2)，且斜率为k ，由图知，当直线l 过点B (1,3)时，k 取最大值3＋21－0＝5，当直线l 过点C (2,2)时，k 取最小值2＋22－0＝2，故实数k 的取值范围是[2,5]．答案：[2,5]3．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1表示的平面区域为D ，若区域D 内至少有一个点在函数y ＝e x 的图象上，那么实数a 的取值范围为________．解析：由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y ＝e x 的图象，结合函数图象知，当x ＝1时，y ＝e ，把点(1，e)代入ax －y ≥0，则a ≥e.故实数a 的取值范围为[e ，＋∞)．答案：[e ，＋∞) B 组——高考提速练1．不等式x ＋1x <2的解集为______________．解析：∵x ＋1x <2，∴x ＋1x －2<0，即(x ＋1)－2x x ＝1－xx<0， ∴1－xx<0等价于x (x －1)＞0，解得x ＜0或x ＞1， ∴不等式x ＋1x <2的解集为{x |x ＜0或x ＞1}．答案：{x |x ＜0或x ＞1}2．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ＋3y ≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋12z ，平移直线y ＝－32x ＋12z ，由图象可知当直线y ＝－32x ＋12z 经过点A 时，直线y ＝－32x ＋12z的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＋3y ＝7，解得A (1,2)，代入目标函数z ＝3x ＋2y ，得z ＝3×1＋2×2＝7. 即目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值为7. 答案：73．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值为________．解析：因为a >1，b >1，所以lg a >0，lg b >0. lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号，故lg a ·lg b 的最大值为1. 答案：14．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. 所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)5．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m 的值为________．解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：26．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是________．解析：法一：当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1，f (x )<0，即log 2(－x )－1<0，得－2<x <0；当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )<0，即1－log 2x <0，解得x >2.综上所述，不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．法二：先作出函数f (x )在x >0时的图象，再根据奇函数f (x )的图象关于原点对称可得f (x )在R 上的图象，结合图象可知，不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．答案：(－2,0)∪(2，＋∞)7．已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，m ，n ∈R ，则(m －2)2＋(n －2)2 的取值范围是________．解析：因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，所以m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，作出不等式组所表示的平面区域如图所示．因为(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ，n )到点A (2,2)的距离的平方．因为点A 到直线m ＋n ＝1的距离为|2＋2－1|2＝32，故⎝⎛⎭⎫322＜(m －2)2＋(n －2)2＜OA 2，即(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是⎝⎛⎭⎫92，8.答案：⎝⎛⎭⎫92，88．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ―→·OP ―→的最大值为________．解析：如图作满足约束条件的可行域，z ＝OA ―→·OP ―→＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处取得最大值，所以z max ＝2. 答案：29．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得 a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2(q ＝－1，舍去)由a m a n ＝4a 1，即2m+n-22＝4，得2m＋n －2＝24，即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32，当且仅当4m n ＝nm 即m ＝2，n ＝4时等号成立，即1m ＋4n 的最小值为32.答案：3210．已知A ，B ，C 是平面上任意三点，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则y ＝c a ＋b＋bc 的最小值是________．解析：y 要取最小值，则a 要最大，而a 的最大值是b ＋c ，所以y ＝c a ＋b ＋b c ≥c 2b ＋c＋b c ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋12＋⎝⎛⎭⎫b c ＋12－12≥ 2－12，当且仅当12⎝⎛⎭⎫b c ＋12＝b c ＋12时取等号，即y 的最小值是2－12.答案：2－1211．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 不是最大边，已知a 2－b 2＝2bc sin A ，则tan A －9tan B 的最小值为________．解析：由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a 2－b 2＝2bc sin A ，得c 2－2bc cos A ＝2bc sin A ，即c －2b cos A ＝2b sin A ，再由正弦定理，得sin C －2sin B cos A ＝2sin B sin A ，即sin(A ＋B )－2sin B cos A ＝2sin B sin A ，即sin A cos B －cos A sin B ＝2sin A sin B ，所以tan A －tan B ＝2tan A tan B . 所以tan B ＝tan A 2tan A ＋1，由题意知tan A >0，所以2tan A ＋1>0，所以tan A －9tan B ＝tan A －9tan A2tan A ＋1＝12(2tan A ＋1)＋92(2tan A ＋1)－5 ≥212(2tan A ＋1)×92(2tan A ＋1)－5＝－2. 当且仅当12(2tan A ＋1)＝92(2tan A ＋1)，即tan A ＝1时取“＝”．故tan A －9tan B 的最小值为－2. 答案：－212．已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，则a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为________．解析：因为ab －a －2b ＝0，所以2a ＋1b ＝1，因为a ，b 均为正数，所以b >1，所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1＝b 2(b －1)2＋b 2－1，令x ＝b －1>0，所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝(x ＋1)2x 2＋(x ＋1)2－1＝x 2＋1x 2＋2x ＋2x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1，因为x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时取等号，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1≥22＋2×2－1＝7，即a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为7. 答案：713．若关于x 的不等式(ax －1)(ln x ＋ax )≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：(ax －1)(ln x ＋ax )≥0⇔⎝⎛⎭⎫a －1x ⎝⎛⎭⎫a ＋ln x x ≥0⇔⎩⎨⎧a ≤1x ，a ≤－ln x x或⎩⎨⎧a ≥1x ，a ≥－ln xx.设函数f (x )＝1x ，g (x )＝－ln x x，在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示，由图象可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e}．答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e} 14．已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________．解析：考虑所求的结构特征，变形为⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12c ＋5c －2，先求a b ＋1ab －12的最小值．a b ＋1ab －12＝a 2＋1a (2－a )－12＝1(2a ＋1)－(a 2＋1)a 2＋1－12＝12a ＋1a 2＋1－1－12，令2a ＋1＝t ，则2a ＋1a 2＋1－1＝t ⎝⎛⎭⎫t －122＋1－1＝4t ＋5t －2－1≤42t ×5t －2－1＝5－12，所以a b ＋1ab －12≥52，当且仅当2a ＋1＝52a ＋1，即a ＝5－12时等号成立，故ac b ＋c ab －c 2＋5c －2≥5c 2＋5c －2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c －22＋1c －2＋1≥5⎝ ⎛⎭⎪⎫2c －22×1c －2＋1＝5＋10.当且仅当(c －2)2＝2，即c ＝2＋2时等号成立．答案：5＋10。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填

14个填空题综合仿真练(八)1．已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝________.解析：因为A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x<2}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}．答案：{x|－1<x<2}2．若复数z满足z(1－i)＝2i(i是虚数单位)，z是z的共轭复数，则z＝________.解析：∵z(1－i)＝2i，∴z＝2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－1＋i，∴z＝－1－i.答案：－1－i3．在区间(0,5)内任取一个实数m，则满足3<m<4的概率为________．解析：根据几何概型的概率计算公式得，满足3<m<4的概率为P＝4－35－0＝1 5.答案：1 54．已知一组数据x1，x2，…，x100的方差是2，则数据3x1,3x2，…，3x100的标准差为________．解析：由x1，x2，…，x100的方差是2，则3x1,3x2，…，3x100的方差是18，所以所求标准差为3 2.答案：3 25．某算法流程图如图所示，该算法运行后输出的k的值是________．解析：根据流程图执行程序依次为：S＝1，k＝1；S＝3，k＝2；S＝11，k＝3，S＝11＋211，k＝4，S>100，结束循环，故输出k＝4.答案：46．设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的边长为1，其表面积为14，则AA1＝________.解析：正四棱柱的表面积为14，两个底面积之和为2，故侧面积为12，则AA1＝3.答案：37．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤x ＋2，y ≥x ，0≤y ≤4，x ≥0表示的平面区域的面积为S ，则S 的值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，得面积S ＝12(42－22)＝6. 答案：68．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为________．解析：易得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3，设t ＝ωx －π3，因为0<x <π，所以－π3<t <ωπ－π3.因为函数f (x )在(0，π)上有且仅有两个零点，所以π<ωπ－π3≤2π，解得43<ω≤73. 答案：⎝⎛⎦⎤43，739．若两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且(a ＋2b )⊥(a －2b )，则向量a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值是________．解析：由(a ＋2b )⊥(a －2b )，得(a ＋2b )·(a －2b )＝0，即|a |2－4|b |2＝0，则|a |＝2|b |， cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(a ＋b )·(a －b ) |a ＋b ||a －b | ＝a 2－b 2a 2＋2a ·b ＋b 2·a 2－2a ·b ＋b 2＝3b 221b 2 ＝217. 答案：21710．已知函数f (x )＝e x －1－tx ，∃x 0∈R ，f (x 0)≤0，则实数t 的取值范围为________．解析：若t ＜0，令x ＝1t ，则f ⎝⎛⎭⎫1t ＝e 1t －1－1＜1e－1＜0；若t ＝0，f (x )＝e x －1＞0，不合题意；若t ＞0，只需f (x )min ≤0，求导数，得f ′(x )＝e x －1－t ，令f ′(x )＝0，解得x ＝ln t ＋1.当x ＜ln t ＋1时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(－∞，ln t ＋1)上是减函数；当x ＞ln t ＋1时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(ln t ＋1，＋∞)上是增函数．故f (x )在x ＝ln t ＋1处取得最小值f (ln t ＋1)＝t －t (ln t ＋1)＝－t ln t ．所以－t ln t ≤0，由t ＞0，得ln t ≥0，所以t ≥1，综上，t 的取值范围为(－∞，0)∪[1，＋∞)．答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)11．已知数列{a n }是一个等差数列，首项a 1＞0，公差d ≠0，且a 2，a 5，a 9依次成等比数列，则使a 1＋a 2＋…＋a k ＞100a 1的最小正整数k 的值是________．解析：设数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 5＝a 1＋4d ，a 9＝a 1＋8d .由a 2，a 5，a 9依次成等比数列得a 2a 9＝a 25，即(a 1＋d )(a 1＋8d )＝(a 1＋4d )2，化简上式得 a 1d ＝8d 2，又d ＞0，所以a 1＝8d .所以a 1＋a 2＋…＋a k a 1＝a 1k ＋k (k －1)2d a 1＝k ＋k (k －1)16＞100，k ∈N *，解得k min ＝34. 答案：3412．抛物线y 2＝2px (p ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有一个相同的焦点F 2(2,0)，而双曲线的另一个焦点为F 1，抛物线和双曲线交于点B ，C ，若△BCF 1是直角三角形，则双曲线的离心率是________．解析：由题意，抛物线方程为y 2＝8x ，且a 2＋b 2＝4，设B (x 0，y 0)，C (x 0，－y 0) (x 0＞0，y 0＞0)．则可知∠BF 1C 为直角，△BCF 1是等腰直角三角形，故y 0＝x 0＋2，y 20＝8x 0，解得x 0＝2，y 0＝4，将其代入双曲线方程得4a 2－16b 2＝1.再由a 2＋b 2＝4，解得a ＝22－2，所以e ＝222－2＝2＋1. 答案：2＋113．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2cos A ＝b 3cos B ＝c 6cos C，则cos A cos B cos C ＝________.解析：由题意及正弦定理得tan A 2＝tan B 3＝tan C 6，可设 tan A ＝2k ，tan B ＝3k ，tan C ＝6k ，k ＞0，而在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，于是k ＝116，从而cos A cos B cos C ＝320×215×112＝110. 答案：110 14．已知函数f (x )＝2x 3＋7x 2＋6x x 2＋4x ＋3，x ∈[0,4]，则f (x )最大值是________．解析：法一：当x ＝0时，原式值为0；当x ≠0时，由f (x )＝2x 3＋7x 2＋6x x 2＋4x ＋3＝2x ＋7＋6x x ＋4＋3x ，令t ＝2x ＋7＋6x ，由x ∈(0,4]，得t ∈[2＋3，＋∞)，f (x )＝g (t )＝2t t 2＋1＝2t ＋1t.而t ＋1t ≥4，当且仅当t ＝2＋3时，取得等号，此时x ＝3，所以f (x )≤12.即f (x )的最大值为12. 法二：f (x )＝2x (x 2＋4x ＋3)－x 2x 2＋4x ＋3＝2x x 2＋4x ＋3－⎝⎛⎭⎫x x 2＋4x ＋32，于是令t ＝x x 2＋4x ＋3，所求的代数式为y ＝2t －t 2. 当x ＝0时，t ＝0；当x ≠0时，有t ＝1x ＋4＋3x ≤123＋4＝2－32，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2－32，当t ＝2－32时， 2t －t 2有最大值12，此时x ＝ 3. 答案：12。

江苏专版2018年高考数学二轮复习14个填空题综合仿真练五

14个填空题综合仿真练(五)1．已知集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{3,4}，B ＝{1,4,5}，则A ∪(∁U B )＝________. 解析：∵集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{3,4}，B ＝{1,4,5}，∴∁U B ＝{2,3}，A ∪(∁U B )＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}2．已知i 为虚数单位，复数z 1＝3＋y i(y ∈R)，z 2＝2－i ，且z 1z 2＝1＋i ，则y ＝________. 解析：因为z 1z 2＝1＋i ，所以z 1＝(1＋i)z 2＝(1＋i)(2－i)＝3＋i ，所以y ＝1. 答案：13．已知倾斜角为α的直线l 的斜率等于双曲线x 2－y 23＝1的离心率，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π3－2α＝________.解析：因为双曲线的离心率e ＝2，所以tan α＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π3－2α＝sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45. 答案：454．某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.则该校高三学生共有________人．解析：设高二女生人数为x 人，所以x2 000＝0.19，即x ＝380，所以高三人数为2 000－650－370－380＝600人．答案：6005．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式f (x 2－2x )>0的解集为________．解析：根据偶函数的性质，可得－3<x 2－2x <3，从而可得－1<x <3，所以不等式的解集为(－1,3)．答案：(－1,3)6．阅读如图所示的算法流程图，若输入的n 是30，则输出的变量S 的值是________．解析：根据算法流程图知，当n ＝30时，n ＞2，S ＝30，n ＝28；当n ＝28时，n ＞2，S ＝58，n ＝26；……；当n ＝2时，S ＝30＋28＋26＋…＋2＝＋2＝240，n ＝0.当n＝0时，n ＜2，输出S ＝240.答案：2407．已知Ω1是集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{(x ，y )|y ≤|x |}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为________．解析：如图所示，作出区域Ω1(圆面)，Ω2(虚线部分)的图象，根据几何概型的概率计算公式得，该点落在区域Ω2内的概率P ＝34πr 2πr 2＝34.答案：348．数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1a n ＋1＝a n －1－a na n －a n ＋1(n ≥2)，则使得a n ＝2a 2 018成立的正整数n ＝________.解析：显然数列{a n }中通项a n ≠0，由a n －1a n ＋1＝a n －1－a n a n －a n ＋1可得，a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，两边取倒数可得：1a n －1a n －1＝1a n ＋1－1a n，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列且首项1a 1＝12，公差d ＝1－12＝12，所以1a n ＝12＋12(n －1)＝n 2，即a n ＝2n，所以由a n ＝2a 2 018可得2n ＝2×22 018，所以n ＝1 009.答案：1 0099．函数f (x )＝sin x ＋3cos x －a 在区间[0,2π]上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.解析：f (x )＝sin x ＋3cos x －a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－a ，函数在区间[0,2π]上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则a ＝ 3.令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝32，所以x ＋π3＝2k π＋π3或x ＋π3＝2k π＋π－π3，所以x ＝2k π或x ＝2k π＋π3，所以x 1＝0，x 2＝π3，x 3＝2π，即x 1＋x 2＋x 3＝7π3. 答案：7π310．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.其中F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且MF 1＝2a －53.则椭圆C 1的方程为________．解析：依题意知F 2(1,0)，设M (x 1，y 1)，由椭圆的定义可得MF 2＝53，由抛物线定义得MF 2＝1＋x 1＝53，即x 1＝23，将x 1＝23代入抛物线方程得y 1＝263，进而由⎝ ⎛⎭⎪⎫232a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632b2＝1及a2－b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝111．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM ―→||BC ―→|＝|CN ―→||CD ―→|，则AM ―→·AN ―→的最大值为________．解析：以AB 所在直线为x 轴，过点A 作垂直于直线AB 所在的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设|BM ―→||BC ―→|＝|CN ―→||CD ―→|＝λ(0≤λ≤1)，所以|BM ―→|＝λ，|CN ―→|＝2λ，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫2＋λ2，32λ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ，32，所以AM ―→·AN ―→＝5－4λ＋54λ－λ2＋34λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6，因为λ∈[0,1]，所以AM ―→·AN ―→∈[2,5]，所以AM ―→·AN ―→的最大值为5. 答案：512．已知x >0，y >0，且x ＋y ≤2，则4x ＋2y ＋12x ＋y的最小值为________．解析：令x ＋2y ＝m,2x ＋y ＝n (m >0，n >0)，则问题转化为m ＋n ≤6，求4m ＋1n的最小值，而(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ≥9，即4m ＋1n ≥9m ＋n ≥32，故所求最小值为32. 答案：3213．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2mx －1，0≤x ≤1，mx ＋2，x >1，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：法一：由题意得当m ≥0时，函数f (x )＝2x 2＋2mx －1的对称轴－m2≤0，且f (0)＝－1，所以此时f (x )在[0,1]上至多有一个零点，而f (x )＝mx ＋2在(1，＋∞)上没有零点．所以m ≥0不符合题意．当m <0时，函数f (x )＝2x 2＋2mx －1的对称轴－m2>0，且f (0)＝－1，所以，此时f (x )在[0,1]上至多有一个零点，而f (x )＝mx ＋2在(1，＋∞)上至多有一个零点，若f (x )在[0，＋∞)上有且只有2个零点，则要求⎩⎪⎨⎪⎧0<－m2≤1，2＋2m －1≥0，m ＋2>0，解得－12≤m <0.综上，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0. 法二：由题意得x ＝0不是函数f (x )的零点．当0＜x ≤1时，由f (x )＝0，得m ＝12x－x ，此时函数y ＝12x －x 在(0,1]上单调递减，从而y ＝12x －x ≥－12，所以，当m ≥－12时，f (x )在(0,1]上有且只有一个零点，当x ＞1时，由f (x )＝0，得m ＝－2x ，此时函数y ＝－2x在(1，＋∞)上单调递增，从而y ＝－2x∈(－2,0)，所以，当－2＜m ＜0时，f (x )在(1，＋∞)上有且只有一个零点，若f (x )在[0，＋∞)上有且只有2个零点，则要求⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，－2<m <0，解得－12≤m <0. 综上，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，014．已知函数f (x )＝x |x 2－12|的定义域为[0，m ]，值域为[0，am 2]，则实数a 的取值范围是________．解析：仅考虑函数f (x )在x >0时的情况，可知f (x )＝⎩⎨⎧12x －x 3，x <23，x 3－12x ，x ≥2 3.函数f (x )在x ＝2时，取得极大值16.令x 3－12x ＝16，解得x ＝4.作出函数的图象(如图所示)．函数f (x )的定义域为[0，m ]，值域为[0，am 2]，分为以下情况考虑：(1)当0<m <2时，函数的值域为[0，m (12－m 2)]，有m (12－m 2)＝am 2，所以a ＝12m－m ，因为0<m <2，所以a >4；(2)当2≤m ≤4时，函数的值域为[0,16]，有am 2＝16，所以a ＝16m2，因为2≤m ≤4，所以1≤a ≤4；(3)当m >4时，函数的值域为[0，m (m 2－12)]，有m (m 2－12)＝am 2，所以a ＝m －12m，因为m >4，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)。

江苏专版2018年高考数学二轮复习14个填空题综合仿真练七

14个填空题综合仿真练(七)1．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝(－∞，0)，则A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{－1,0,1}∩(－∞，0)＝{－1}．答案：{－1}2．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝________.解析：2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.答案：1＋i3．某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为频率分布直方图，如图所示，则车速不小于90 km/h 的汽车约有________辆．解析：车速不小于90 km/h 的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3，车辆数为200×0.3＝60. 答案：604．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析：因为半圆面的面积为12πl 2＝2π，所以l 2＝4，解得l ＝2，即圆锥的母线为l ＝2，底面圆的周长2πr ＝πl ＝2π，所以圆锥的底面半径r ＝1，所以圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，所以圆锥的体积为13πr 2h ＝13×π×3＝3π3.答案：3π35．已知A ，B ∈{－3，－1,1,2}且A ≠B ，则直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0的概率为________．解析：所有的基本事件(A ，B )为(－3，－1)，(－1，－3)，(－3,1)，(1，－3)，(－3,2)，(2，－3)，(－1,1)，(1，－1)，(－1,2)，(2，－1)，(1,2)，(2,1)，共12种，其中(－3，－1)，(－1，－3)，(1,2)，(2,1)能使直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率为P ＝412＝13.答案：136．如图所示的算法流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为________．解析：根据算法流程图执行程序循环结果依次为：当n ＝1答案：547．若a >0，b >2，且a ＋b ＝3，则使得4a ＋1b －2取得最小值时，实数a ＝________.解析：∵a ＞0，b ＞2，且a ＋b ＝3，∴a ＋b －2＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b －2[a ＋(b －2)]＝4＋1＋b －a ＋ab －2≥5＋2b －a·ab －2＝9，当且仅当2(b －2)＝a 时即取等号．联立⎩⎪⎨⎪⎧b －＝a ，a ＋b ＝3，解得a ＝23.答案：238．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．解析：由题意，c －a 2c＝2a ，即c 2－2ac －a 2＝0，即e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2，又∵e >1，故e ＝1＋ 2.答案：1＋ 29．已知函数f (x )＝x ＋2|x |＋2，x ∈R ，则f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________．解析：由题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1－4x －2，x <0，故若要使不等式成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，得1<x <2.答案：(1,2)10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝3，且数列{S n }也为等差数列，则a 11＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d (d >0)， ∵a 1＝3，且数列{S n }为等差数列， ∴2S 2＝a 1＋S 3， ∴26＋d ＝3＋9＋3d ，即d 2－12d ＋36＝0，解得d ＝6， ∴a 11＝3＋10×6＝63. 答案：6311．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－t,0)(t >0)，B (t,0)，点C 满足AC ―→·BC ―→＝8，且点C 到直线l ：3x －4y ＋24＝0的最小距离为95，则实数t 的值是________．解析：设C (x ，y )，则AC ―→·BC ―→＝(x ＋t ，y )·(x －t ，y )＝x 2＋y 2－t 2＝8，所以点C 的轨迹为以原点为圆心， 8＋t 2为半径的圆，故圆心到直线的距离d ＝245＝95＋8＋t 2，解得t ＝1(负值舍去)．答案：112．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，则C ＝________.解析：由题意知a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，① 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，②由①－②可得，2b 2＋2c 2＝23bc sin A －2bc cos A ，化简得，b 2＋c 2＝3bc sin A －bc cos A ，整理得b 2＋c 2＝2bc sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6，∵b 2＋c 2≥2bc ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，∴A ＝2π3，此时b 2＋c 2＝2bc ，故得b ＝c ，即B ＝C ，∴C ＝π6.答案：π613．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x 2，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2(f (a ))2的a 的取值范围为________．解析：设t ＝f (a )，所以f (f (a ))＝2(f (a ))2可化为f (t )＝2t 2，由函数式得3t －1＝2t 2(t <1)或2t 2＝2t 2(t ≥1)，所以t ＝12或t ≥1，即f (a )＝12或f (a )≥1，所以a ＝12或a ≥23，因此a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞14．已知函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2，若图象上存在两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＞x 2)，使得f (x 1)－f (x 2)≤4(x 1－x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意可得，f (x )＝a ln x ＋x 2＋2x ＋1，f ′(x )＝ax＋2(x ＋1)，由题意知，存在x ＞0，使得f ′(x )≤4成立，即存在x ＞0，使得a ≤－2x 2＋2x 成立，设g (x )＝－2x 2＋2x＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，其最大值为12，因而a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12。

江苏专版2018年高考数学二轮复习14个填空题专项强化练十空间几何体

14个填空题专项强化练(十) 空间几何体A 组——题型分类练题型一平面及其基本性质1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立．答案：充分不必要2．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①题型二空间中的平行与垂直1．给出下列条件：①l ∥α；②l 与α至少有一个公共点；③l 与α至多有一个公共点．能确定直线l 在平面α外的条件的序号为________．解析：直线l 在平面α外指：l ∥α或直线l 与平面α仅有一个交点．答案：①③2.如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝AN ND，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．解析：因为AM MB ＝AN ND，所以MN ∥BD ，又MN ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以MN ∥平面BDC . 答案：平行3．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的序号是________．①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β ②若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β③若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β④若m∥n，m∥α，则n∥α解析：垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，所以①错误；两个平面内的两条直线平行，这两个平面不一定平行，所以②错误；两个平面同时垂直于两条平行直线，这两个平面平行，所以③正确；两条平行直线中的一条平行于一个平面，另一条不一定平行于该平面，所以④错误．答案：③4．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的序号)．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.解析：在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；在④中，若n⊥α，n⊥β，则α∥β.又m⊥α，所以m⊥β，故④正确．答案：①④5.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析：①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC⇒BC⊥平面PAC⇒AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PB，AF⊥PB，AE∩AF＝A，AE⊂平面AEF，AF⊂平面AEF⇒PB⊥平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确；③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．答案：①②④题型三空间几何体的表面积和体积1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为________．解析：S底＝6×34×42＝243，S侧＝6×4×6＝144，所以S表＝S侧＋2S底＝144＋483＝48(3＋3)．答案：48(3＋3)2．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则该正四棱锥的体积为________．解析：如图，在正四棱锥P ABCD 中，AB ＝2，PA ＝3，设正四棱锥的高为PO ，连结AO ，则AO ＝12AC ＝ 2.在直角三角形POA 中，PO ＝PA 2－AO 2＝1. 所以V P ABCD ＝13·S 四边形ABCD ·PO ＝13×4×1＝43.答案：433．若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为________．解析：因为圆锥的底面半径为2，高为5，所以母线长为l ＝4＋5＝3，所以圆锥的侧面积为πrl ＝π×2×3＝6π.答案：6π4.如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB 1＝BB 1＝BA ＝BC ＝2，∠B 1BC ＝90°，D 为AC 的中点，AB ⊥B 1D ，则三棱锥A 1B 1AD 的体积为________．解析：取AB 的中点O ，连结DO ，B 1O ，因为BB 1＝AB 1，所以OB 1⊥AB ，又AB ⊥B 1D ，OB 1∩B 1D ＝B 1，所以AB ⊥平面B 1OD ，因为OD ⊂平面B 1OD ，所以AB ⊥OD ，由已知BC ⊥BB 1，又OD ∥BC ，所以OD ⊥BB 1，因为AB ∩BB 1＝B ，所以OD ⊥平面ABB 1A 1，又O ，D 分别为AB ，AC 的中点，BC ＝2，所以OD ＝12BC ＝1，所以VA 1B 1AD ＝VD B 1AA 1＝13×34×4×1＝33. 答案：335.如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段BD 1上，当∠APC 最大时，三棱锥P ABC 的体积为________．解析：连结BD 交AC 于点O ，连结PO ，则∠APC ＝2∠APO ， ∵tan ∠APO ＝AO PO，∴当PO 最小时，∠APO 最大，即PO ⊥BD 1时，∠APO 最大．如图，作PE ⊥BD 于点E ，此时PB ＝13BD 1，∴三棱锥P ABC 的高为点P 到平面ABCD 的距离PE ＝13，∴三棱锥P ABC 的体积V ＝13S △ABC·PE ＝13×12×13＝118.答案：118B 组——高考提速练1.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面的对数为________．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：32．设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题： ①若b ⊂α，c ∥α，则b ∥c ； ②若b ⊂α，b ∥c ，则c ∥α； ③若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β； ④若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)解析：①b 和c 可能平行或异面，故①错；②可能平行或c ⊂α，故②错；③可能c ⊥β，c ∥β，c ⊂β，故③错；④根据面面垂直判定α⊥β，故④正确．答案：④3．已知高与底面半径相等的圆锥的体积为8π3，其侧面积与高为22的圆柱OO 1的侧面积相等，则圆柱OO 1的体积为________．解析：设圆锥的底面半径为r ，圆柱OO 1的底面半径为R ，因为高与底面半径相等的圆锥的体积为8π3，所以13πr 2·r ＝8π3，所以r ＝2.又圆锥的侧面积与高为22的圆柱OO 1的侧面积相等，所以π·r ·2r ＝2πR ·22，所以R ＝1，所以圆柱OO 1的体积为πR 2·22＝22π.答案：22π4．已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b .若它们的体积相等，则a 3∶b 3的值为________．解析：由题意可得12·a 2·32·a ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22·b ，即34a 3＝14πb 3，则a 3b 3＝π3＝3π3. 答案：3π35．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有______个．解析：若α，β换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γ⇒b ⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ⇒b ⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α⇒a ⊥b ”，此命题为真命题．答案：26.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC ，又E 为AD 的中点，AB ＝2，所以EF ＝12AC ＝12×22＋22＝ 2.答案： 27.如图，在圆锥V O 中，O 为底面圆心，半径OA ⊥OB ，且OA ＝VO ＝1，则O 到平面VAB 的距离为________．解析：设O 到平面VAB 的距离为h ，由圆锥的几何性质可得VO ⊥平面OAB ，VO ⊥OA ，VO ⊥OB .在Rt △VOA 中，VA ＝VO 2＋AO 2＝2，在Rt △VOB中，VB ＝VO 2＋BO 2＝2，在Rt △OAB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝2，在△VAB 中，S △VAB ＝12×2×62＝32.因为V V AOB ＝13S △AOB ×VO ＝16，V V AOB ＝13S △VAB ×h ＝16，所以h ＝33. 答案：338．已知矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥D ABC 的体积为________．解析：在平面DAC 内作DO ⊥AC ，垂足为点O ，因为平面DAC ⊥平面BAC ，且平面DAC ∩平面BAC ＝AC ，所以DO ⊥平面BAC ，因为AB ＝4，BC ＝3，所以DO ＝125，S △ABC ＝12×3×4＝6，所以三棱锥D ABC 的体积为V ＝13×6×125＝245.答案：2459．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，l ⊥α，m ⊂β.给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ； ③m ∥α⇒l ⊥β；④l ⊥β⇒m ∥α.其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号)．解析：①由l ⊥α，α∥β，得l ⊥β. 又因为m ⊂β，所以l ⊥m ，①正确； ②由l ⊥α，α⊥β，得l ∥β或l ⊂β，又因为m ⊂β，所以l 与m 或异面或平行或相交，②错误；③由l ⊥α，m ∥α，得l ⊥m .因为l 只垂直于β内的一条直线m ，所以不能确定l 是否垂直于β，③错误；④由l ⊥α，l ⊥β，得α∥β.因为m ⊂β，所以m ∥α，④正确．答案：①④10．已知PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连结PB ，PC ，PA ，AC ，BD ，则一定互相垂直的平面有________对．解析：如图，由于PD ⊥平面ABCD .故平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面PDC ，平面PAC ⊥平面PDB ，平面PAB ⊥平面PAD ，平面PBC ⊥平面PDC ，共7对．答案：711．以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．解析：设圆锥的底面半径为 r ，由题意圆锥底面半径等于圆锥的高，可知圆锥的侧面积为： πr ·2r ＝2πr 2.圆柱的侧面积为：2πr ·r ＝2πr 2.所以圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为： 2πr 2∶2πr 2＝ 22. 答案：2212．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水的体积除以盆口的面积；②一尺等于十寸)解析：作出圆台的轴截面如图，由题意知，BF ＝14(单位寸，下同)，OC ＝6，OF ＝18，OG ＝9，即G 是OF 中点，所以GE 为梯形的中位线，所以GE ＝14＋62＝10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为13(100π＋36π＋100π×36π)×9＝588π.盆口的面积为142π＝196π，所以588π196π＝3，即平地降雨量是3寸．答案：313．已知三棱锥P ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ，PA ⊥PB ，点P 到平面ABC 的距离为23，则三棱锥P ABC 的体积为________．解析：法一：因为△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ，所以△PAB ≌△PAC ≌△PBC .因为PA ⊥PB ，所以PA ⊥PC ，PB ⊥PC .设PA ＝PB ＝PC ＝a ，点P 在平面ABC 上的射影为O ，则AB ＝AC ＝BC ＝2a ，AO ＝63a .又点P 到平面ABC 的距离为23，所以PO ＝2 3.在Rt △POA 中，PO 2＋OA 2＝PA 2，即12＋23a 2＝a 2，解得a ＝6，所以三棱锥P ABC 的体积为13×34×(62)2×23＝36.法二：设PA ＝PB ＝PC ＝a ，因为△ABC 为等边三角形，所以△PAB ≌△PAC ≌△PBC .因为PA ⊥PB ，所以PA ⊥PC ，PB ⊥PC ，以PA ，PB ，PC 为棱作正方体，如图所示，则PA 2＋PB 2＋PC 2＝3a 2，故正方体的体对角线长为3a .又点P 到平面ABC 的距离为23×12×3a ＝23，解得a ＝6，所以三棱锥P ABC 的体积为13×12×6×6×6＝36.答案：3614.如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝AD ＝2，M ，N 均为线段AC 上的点．若∠MBN ＝30°，则三棱锥M PNB的体积的最小值为________．解析：易知V M PNB ＝V P MNB＝13PD ·S △MNB ＝13PD ·12MN ·h ，h 为点B 到AC 的距离，又h ＝12BD ＝2，所以V M PNB ＝13×2×12×MN ×2＝23MN ，显然当△MNB 为等腰三角形时，MN 取得最小值，此时MN ＝22tan 15°＝42－26，从而可得(V M PNB )min ＝23×(42－26)＝8－433. 答案：8－433。

(新)江苏专版2018年高考数学二轮复习14个填空题专项强化练五三角函数的图象和性质

14个填空题专项强化练(五) 三角函数的图象和性质A 组——题型分类练题型一三角函数的定义域和值域1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的定义域为________．解析：由2x －π3≠k π＋π2(k ∈Z)，得x ≠k π2＋5π12(k ∈Z)，故所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．解析：因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3. 答案：2－ 33．函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．解析：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98. 故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]．答案：[－9,1]题型二三角函数的图象1．将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin(4x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象，则φ＝________.解析：将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，所以φ＝π3. 答案：π32.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为____________________．解析：由题图可知，A ＝1，函数f (x )的最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2πT＝2.又当x ＝π12时，f (x )取得最大值1，∴1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ，∴π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z.又|φ|<π2，∴φ＝π3，则函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.答案：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π33．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点的个数是____________．解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12，解得x ＋π3＝2k π＋π6或x ＋π3＝2k π＋5π6，k ∈Z ，即x ＝2k π－π6或x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，又因为x ∈[0,2π]，所以x ＝π2或11π6，所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 (x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12 的交点的个数是2. 答案：24．将函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后，所得函数图象关于y 轴对称，则φ＝______________.解析：将函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后，所得函数为f (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋φ＋π4，即f (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π4.因为所得函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以2φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π8＋k π2，k ∈Z ，因为0＜φ＜π2，所以φ＝π8. 答案：π8题型三三角函数的性质1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的最小正周期为________．解析：函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π3.答案：2π32．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是________．解析：由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z)，因此，当k ＝－1时，直线x ＝－π6是与y 轴最近的对称轴．答案：x ＝－π63．若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象过点(0，3)，则函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间是____________．解析：由题意可得，2sin(2×0＋φ)＝3， ∴sin φ＝32. 又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z.∵0≤x ≤π，∴k ＝0时，π12≤x ≤7π12，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π124．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1，即sin φ3＝±1，所以φ3＝k π＋π2(k ∈Z)．所以φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)．因为φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2.答案：3π25．若函数f (x )＝4cos ωx sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值是________．解析：由题意知，f (x )＝4cos ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6，由f (x )的最小正周期是π，且ω>0，可得2π2ω＝π，ω＝1，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值是－1. 答案：－1B 组——高考提速练1．函数y ＝12sin x －1的定义域是________．解析：由2sin x －1≠0得sin x ≠12，故x ≠π6＋2k π(k ∈Z)且x ≠5π6＋2k π(k ∈Z)，即x ≠(－1)k·π6＋k π(k ∈Z)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1k·π6＋k π，k ∈Z 2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的单调递增区间为________．解析：由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z)3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________．解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1,1]．答案：[－1,1]4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析：由图象可知，T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－⎝⎛⎭⎪⎫－2π3＝π3，则T ＝2π3.因为T ＝2πω＝2π3，所以ω＝3.答案：35．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴的交点坐标是______．解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，将函数y ＝f (x )的图象向右平移2π3个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于________．解析：将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象向右平移2π3个单位长度后，所得函数为y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3.因为所得图象与原函数图象重合，所以f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3，所以kT ＝2π3，k ∈N *，即2k πω＝2π3，k ∈N *，所以ω＝3k ，k ∈N *，所以ω的最小值等于3. 答案：37．已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx (其中ω∈(0,1))，若f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为____________．解析：f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6，∵f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3ω－π6＝0， ∴π3ω－π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝3k ＋12，k ∈Z ， ∵ω∈(0,1)，∴ω＝12，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π38．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．解析：由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，所以2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6. 答案：π69.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，直线x ＝π6是它的一条对称轴，则函数f (x )的解析式为______________．解析：由题意可知，T 4＝5π12－π6＝π4，所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，而φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.答案：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π610．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则φ的值为________．解析：由题意可得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，解得ω＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，得φ＝－π12.答案：－π1211.函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则∠APB ＝________.解析：由题意知T ＝2，作PD ⊥x 轴，垂足为D ，则PD ＝1，AD ＝12，BD ＝32，设α＝∠APD ，β＝∠BPD ，则tan α＝12，tan β＝32，∠APB ＝α＋β，故tan ∠APB ＝12＋321－12×32＝8.答案：812．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，则α＋β＝________.解析：因为0≤x <π，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，7π3，由f (x )＝12，得2x ＋π3＝5π6或13π6，解得x ＝π4或11π12，由于f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，所以α＋β＝π4＋11π12＝7π6.答案：7π613．已知函数f (x )＝sin x (x ∈[0，π])和函数g (x )＝12tan x 的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为________．解析：由题意知，x ≠π2，令sin x ＝12tan x ，可得sin x ＝sin x 2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，可得sin x ＝0或cos x ＝12，则x ＝0或π或π3，不妨设A (0,0)，B (π，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，则△ABC 的面积为12×π×32＝3π4. 答案：3π414．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是______________．解析：若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，所以π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，可知sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即sin φ<0，所以φ＝2k π＋7π6，k ∈Z ，代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6，由2k π－π2≤2x ＋7π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π6≤x ≤k π－π3，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π6，k π－π3(k ∈Z)。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(四)

14个填空题综合仿真练(四)1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中的元素的个数为________．解析：集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，所以A ∪B 中元素的个数为5.答案：5 2．复数z ＝21－i(其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数为________．解析：z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，则复数z 的共轭复数为1－i.答案：1－i3．如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为________．解析：阅读流程图，当k ＝2,3,4,5时，k 2－7k ＋10≤0，一直进行循环，当k ＝6时，k 2－7k ＋10＞0，此时终止循环，输出k ＝6.答案：64．在数字1,2,3,4中随机选两个，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为________．解析：在数字1,2,3,4中随机选两个，基本事件总数n ＝6，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，所以选中的数字中至少有一个是偶数的概率为P ＝1－16＝56.答案：565．双曲线x 25－y 24＝1的右焦点与左准线之间的距离是____________.解析：由已知得，双曲线的右焦点为(3,0)，左准线方程为x ＝－53，所以右焦点与左准线之间的距离是3－⎝⎛⎭⎫－53＝143. 答案：1436．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________．解析：由题意，得840＝n 40＋10＋40＋60，所以n ＝30.答案：307．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，作出可行域如图，化目标函数z ＝2x ＋3y 为y ＝－23x ＋13z ，由图可知，当直线y ＝－23x ＋13z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y －x －1＝0，解得A (1，2)，故z max ＝8.答案：88．底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为________．解析：取点O 为底面ABCD 的中心，则SO ⊥平面ABCD ，取BC的中点E ，连结OE ，SE ，则OE ＝BE ＝1，在Rt △SBE 中，SE ＝SB 2－BE 2＝2，在Rt △SOE 中，SO ＝SE 2－OE 2＝1，从而该正四棱锥的体积V ＝13S 四边形ABCD ·SO ＝13×2×2×1＝43.答案：439．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为________．解析：法一：由题意知，当A 在原点时，PQ 最小，此时，sin ∠PAC＝23，cos ∠PAC ＝73，cos ∠PAQ ＝59，故cos ∠PCQ ＝－59，∴PQ ＝PC 2＋QC 2－2×PC ×QC ×cos ∠PCQ ＝2＋2－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－59＝2143，当A 点离原点无限远时，PQ 接近于22，∴PQ 的取值范围为⎣⎡⎭⎫2143，22.法二：设CA ＝x ，x ∈[3，＋∞)，则PA ＝x 2－2，sin ∠ACP ＝PACA ＝x 2－2x ＝1－2x2，所以PQ ＝2CP ·sin ∠ACP ＝22·1－2x2.因为x ∈[3，＋∞)，所以y ＝1－2x 2在[3，＋∞)上为增函数，所以2143≤PQ <2 2. 答案：⎣⎡⎭⎫2143，2210．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ，x ≤0，ax －ln x ，x >0，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为________．解析：易知函数f (x )在(－∞，0]上有一个零点，所以由题意得方程ax －ln x ＝0在(0，＋∞)上恰有一解，即a ＝ln x x 在(0，＋∞)上恰有一解. 令g (x )＝ln xx ，由g ′(x )＝1－ln x x 2＝0，得x ＝e ，当x ∈(0，e)时，g (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，g (x )单调递减，所以g (x )在x ＝e 处取得极大值也为最大值，作出y ＝g (x )与y ＝a 的图象(图略)，知当正实数a ＝g (x )max 时两函数有一个交点，所以a ＝g (e)＝1e.答案：1e11．设直线l 是曲线y ＝4x 3＋3ln x 的切线，则直线l 的斜率的最小值为________．解析：y ′＝12x 2＋3x(x >0)，令g (x )＝12x 2＋3x ，则g ′(x )＝24x －3x2，令g ′(x )＝0，得x ＝12，故当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，g ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，g ′(x )>0，所以当x ＝12时，g (x )取得最小值g ⎝⎛⎭⎫12＝9，故y ′＝12x 2＋3x 的最小值为9，即直线l 的斜率的最小值为9.答案：912．扇形AOB 中，弦AB ＝1，C 为劣弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP ―→·BP―→的最小值是________．解析：设弦AB 的中点为M ，则OP ―→·BP ―→＝(OM ―→＋MP ―→)·BP ―→＝MP ―→·BP ―→，若MP ―→，BP ―→同向，则OP ―→·BP ―→>0；若MP ―→，BP ―→反向，则OP ―→·BP ―→<0，故OP ―→·BP ―→的最小值在MP ―→，BP ―→反向时取得，此时|MP ―→|＋|BP ―→|＝12，OP ―→·BP ―→＝－|MP ―→|·|BP ―→|≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫|MP ―→|＋|BP ―→|22＝－116，当且仅当|MP ―→|＝|BP ―→|＝14时取等号，即OP ―→·BP ―→的最小值是－116.答案：－11613．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)是直线y ＝3x ＋2上的两点，则tan(α＋β)的值为________．解析：由题意，α，β是方程3cos x －sin x ＋2＝0的两根．设f (x )＝3cos x －sin x ＋2，则f ′(x )＝－3sin x －cos x .令f ′(x )＝0，得tan x 0＝－33，所以α＋β＝2x 0，所以tan(α＋β)＝－ 3. 答案：－ 314．已知函数f (x )＝|x －a |－3x ＋a －2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为________．解析：f (x )＝⎩⎨⎧x －3x－2，x ≥a ，－x －3x ＋2a －2，x <a ，当x ≥a 时，由x －3x －2＝0，得x 1＝－1，x 2＝3，结合图形知，①当a <－1时，x 3，－1,3成等差数列，则x 3＝－5，代入－x －3x ＋2a －2＝0得，a ＝－95； ②当－1≤a ≤3时，方程－x －3x ＋2a －2＝0，即x 2＋2(1－a )x ＋3＝0，设方程的两根为x 3，x 4，且x 3<x 4，则x 3x 4＝3，且x 3＋3＝2x 4，解得x 4＝3±334，又x 3＋x 4＝2(a －1)，所以a ＝5＋3338.③当a >3时，显然不符合．所以a 的取值集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－95，5＋3338. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－95，5＋3338。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(一) Word版含解析

14个填空题综合仿真练(一)1．已知集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，则A∩B＝________.解析：因为集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，所以A∩B＝{0,3}．答案：{0,3}2．已知x＞0，若(x－i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝________.解析：因为x＞0，(x－i)2＝x2－1－2x i是纯虚数(其中i为虚数单位)，所以x2－1＝0且－2x≠0，解得x＝1.答案：13．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t＝x2－2x－3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)4．从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中恰有1个红球的概率是________．解析：将2个白球记为A，B,2个红球记为C，D,1个黄球记为E，则从中任取两个球的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个，恰有1个红球的可能结果为(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(E，C)，(E，D)共6个，故所求概率为P＝610＝3 5.答案：3 55．执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是________．Read xIf x≤2Theny←6xElsey←x＋5End IfPrint y解析：若6x＝13，则x＝136>2，不符合题意；若x＋5＝13，则x＝8>2，符合题意，故x＝8.答案：86．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm2)分别为：9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________．解析：这组数据的平均数为15(9.4＋9.7＋9.8＋10.3＋10.8)＝10，方差为15[(10－9.4)2＋(10－9.7)2＋(10－9.8)2＋(10－10.3)2＋(10－10.8)2]＝0.244.答案：0.2447．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<2,0<φ<π)．若x ＝－π4为函数f (x )的一个零点，x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴，则ω的值为________．解析：函数f (x )的周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝7π3，又T ＝2πω，所以ω＝2π×37π＝67. 答案：678．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB ―→·AC ―→＝3，b ＋c ＝6，则a ＝________.解析：∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，又由AB ―→·AC ―→＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝36－10×85＝20，解得a ＝2 5.答案：2 59．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－15，则tan α的值为________．解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－151－12×⎝⎛⎭⎫－15＝311. 答案：31110．已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,5)，其中a ，b ，c 为常数．则不等式cx 2＋bx ＋a ≤0的解集为________．解析：因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,5)，所以a (x ＋1)(x －5)>0，且a <0，即ax 2－4ax －5a >0，则b ＝－4a ，c ＝－5a ，则cx 2＋bx ＋a ≤0即为－5ax 2－4ax ＋a ≤0，从而5x 2＋4x －1≤0，解得－1≤x ≤15. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，15 11．已知正数x ，y 满足1x ＋2y ＝1，则log 2x ＋log 2y 的最小值为________．解析：由1x ＋2y ＝1，得x ＝y y －2>0，则log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝log 2y 2y －2＝log 2(y －2＋2)2y －2＝log 2⎣⎡⎦⎤(y －2)＋4y －2＋4≥log 28＝3，当且仅当(y －2)2＝4，即y ＝4时等号成立，故log 2x ＋log 2y 的最小值为3.答案：312．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －8＝0，直线l ：y ＝k (x －1)(k ∈R)过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则△AEC 的周长为________．解析：易得圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，即半径r ＝3，定点A (－1,0)，因为AE ∥BC ，所以EA ＝ED ，则EC ＋EA ＝EC ＋ED ＝3，从而△AEC 的周长为5.答案：513．设集合A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}，集合B ＝{x |x ＝b n ，n ∈N *}，满足A ∩B ＝∅，且A ∪B ＝N *.若对任意的n ∈N *，b n <b n ＋1，则b 2 017＝________.解析：因为210＝1 024<2 017,211＝2 048>2 017，所以小于等于2 017的正整数中有10个是集合A 中的元素，所以由集合B 的定义可知b 2 017＝2 017＋10＝2 027.答案：2 02714．已知函数f (x )＝kx ，g (x )＝2ln x ＋2e ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y ＝e 对称，则实数k 的取值范围是________________．解析：设直线y ＝kx 上的点M (x ，kx )，点M 关于直线y ＝e 的对称点N (x,2e －kx )，因为点N 在g (x )＝2ln x ＋2e ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2的图象上，所以2e －kx ＝2ln x ＋2e ，所以kx ＝－2ln x ．构造函数y ＝kx ，y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2，画出函数y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2的图象如图所示，设曲线y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2上的点P (x 0，－2ln x 0)，则k OP ≤k ≤k OB (其中B 为端点，P 为切点)．因为y ′＝－2x ，所以过点P 的切线方程为y ＋2ln x 0＝－2x 0(x －x 0)，又该切线经过原点，所以0＋2ln x 0＝－2x 0(0－x 0)，x 0＝e ，所以k OP ＝－2e.又点B ⎝⎛⎭⎫1e ，2，所以k OB ＝2e ，所以k ∈⎣⎡⎦⎤－2e ，2e . 答案：⎣⎡⎦⎤－2e ，2e。

2018年高考数学江苏专版3维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(9) 不等式 Word版含解析

2018年高考数学江苏专版二轮专题复习附加题高分练全套含解析

2018年高考数学江苏专版二轮专题复习附加题高分练1．矩阵与变换1．(2017²常州期末)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2 13 2，列向量X ＝⎣⎡⎦⎤x y ，B ＝⎣⎡⎦⎤47，若AX ＝B ，直接写出A －1，并求出X . 解由A ＝⎣⎡⎦⎤2 13 2，得到A －1＝⎣⎡⎦⎤ 2 －1－3 2.由AX ＝B ，得到X ＝A －1B ＝⎣⎡⎦⎤ 2 －1－3 2⎣⎡⎦⎤47＝⎣⎡⎦⎤12.也可由AX ＝B 得到⎣⎡⎦⎤2 13 2⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤47，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，3x ＋2y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以X ＝⎣⎡⎦⎤12.2．(2017²江苏淮阴中学调研)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎡⎦⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2.求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．解由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎡⎦⎤11可得，⎣⎡⎦⎤33cd ⎣⎡⎦⎤11＝6⎣⎡⎦⎤11，即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2，可得⎣⎡⎦⎤3 3c d ⎣⎡⎦⎤ 3－2＝⎣⎡⎦⎤3－2，即3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4.即A ＝⎣⎡⎦⎤3 32 4，A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 123．(2017²江苏建湖中学月考)曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在二阶矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1 a b 1的作用下变换为曲线x 2－2y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求M 的逆矩阵M －1.解 (1)设P(x ，y)为曲线x 2－2y 2＝1上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎡⎦⎤1 a b 1⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋ay ′，y ＝bx ′＋y ′，代入x 2－2y 2＝1得(x ′＋ay ′)2－2(bx ′＋y ′)2＝1得(1－2b 2)x ′2＋(2a －4b)x ′y ′＋(a 2－2)y ′2＝1，及方程x 2＋4xy ＋2y 2＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧1－2b 2＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2，解得a ＝2，b ＝0. (2)因为M ＝⎪⎪⎪⎪1 20 1＝1≠0，故M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 －210111＝⎣⎡⎦⎤1 －20 1. 4．已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，设P(x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x.又点P(x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y. 2．坐标系与参数方程1．(2017²南通一模)在极坐标系中，求直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长．解方法一在ρ＝4sin θ中，令θ＝π4，得ρ＝4sin π4＝22，即弦长为2 2.方法二以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x ，①曲线ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长为(2－0)2＋(2－0)2＝2 2.2．(2017²江苏六市联考)平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22l ，y ＝22l (l 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解直线的普通方程为2x －2y ＋3＝0，曲线的普通方程为y 2＝8x.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋3＝0，y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6.取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，6，得AB ＝4 2.3．(2017²江苏滨海中学质检)已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ，(其中θ为参数)．(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值．解 (1)极点为直角坐标原点O ，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，其直角坐标方程为x ＋y －1＝0.(2)将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为M(0，－2)， ∴点M 到直线的距离为d ＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.4．(2017²常州期末)在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6被射线θ＝θ0⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，θ0为常数，且θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2所截得的弦长为23，求θ0的值．解圆ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，射线θ＝θ0的直角坐标方程可以设为y ＝kx(x ≥0，k ＞0)．圆心(1，3)到直线y ＝kx 的距离d ＝|k －3|1＋k 2. 根据题意，得24－(k －3)21＋k 2＝23，解得k ＝33. 即tan θ0＝33，又θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ0＝π6.3．曲线与方程、抛物线1．(2017²江苏南通天星湖中学质检)已知点A(1,2)在抛物线F ：y 2＝2px 上．(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值；(2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值．解 (1)由点A(1,2)在抛物线F 上，得p ＝2，∴抛物线F ：y 2＝4x ，设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1. (2)另设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.2．(2017²江苏赣榆中学月考)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px. ∵点P(1,2)在抛物线上， ∴22＝2p ³1，得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)．∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， ∴k PA ＝－k PB ，由A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在抛物线上，得 y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)， ∴y 1＋y 2＝－4，由①－②得直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－44＝－1(x 1≠x 2)．3．(2017²江苏常州中学质检)已知点A(－1,0)，F(1,0)，动点P 满足AP →²AF →＝2||FP →. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M ，N.问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设P(x ，y)，则AP →＝(x ＋1，y)，FP →＝(x －1，y)，AF →＝(2,0)，由AP →²AF →＝2|FP →|，得2(x ＋1)＝2(x －1)2＋y 2，化简得y 2＝4x. 故动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x.(2)直线l 方程为y ＝2(x ＋1)，设Q(x 0，y 0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．设过点M 的切线方程为x －x 1＝m(y －y 1)，代入y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4my 1－y 21＝0，由Δ＝16m 2－16my 1＋4y 21＝0，得m ＝y 12，所以过点M 的切线方程为y 1y ＝2(x ＋x 1)，同理过点N 的切线方程为y 2y ＝2(x ＋x 2)．所以直线MN 的方程为y 0y ＝2(x 0＋x)，又MN ∥l ，所以2y 0＝2，得y 0＝1，而y 0＝2(x 0＋1)，故点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. 4．(2017²江苏宝应中学质检)如图，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A(x 1，y 1)(y 1＞0)，B(x 2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．(1)若TA →²TB →＝1，求直线l 的斜率； (2)求∠ATF 的最大值．解 (1)因为抛物线y 2＝4x 焦点为F(1,0)，T(－1,0)．当l ⊥x 轴时，A(1,2)，B(1，－2)，此时TA →²TB →＝0，与TA →²TB →＝1矛盾，所以设直线l 的方程为y ＝k(x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，①所以y 21y 22＝16x 1x 2＝16，所以y 1y 2＝－4，② 因为TA →²TB →＝1，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝1，将①②代入并整理得，k 2＝4，所以k ＝±2.(2)因为y 1＞0，所以tan ∠ATF ＝y 1x 1＋1＝y 1y 214＋1＝1y 14＋1y 1≤1，当且仅当y 14＝1y 1，即y 1＝2时，取等号，所以∠ATF ≤π4，所以∠ATF 的最大值为π4.4．空间向量与立体几何1．(2017²苏锡常镇调研)如图，已知正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13.(1)求异面直线MN 与PC 所成角的大小； (2)求二面角N －PC －B 的余弦值．解 (1)设AC ，BD 交于点O ，在正四棱锥P －ABCD 中，OP ⊥平面ABCD ，又PA ＝AB ＝2，所以OP ＝ 2.以O 为坐标原点，DA →，AB →，OP →方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图．则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，2)，AP →＝(－1,1，2)．故OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－13，223，ON →＝13OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，0，所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，－223，PC →＝(－1,1，－2)，所以cos 〈MN →，PC →〉＝MN →²PC →|MN →||PC →|＝32，所以异面直线MN 与PC 所成角的大小为π6.(2)由(1)知PC →＝(－1,1，－2)，CB →＝(2,0,0)，NC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23，0.设m ＝(x ，y ，z)是平面PCB 的法向量，则m ²PC →＝0，m ²CB →＝0，可得⎩⎨⎧－x ＋y －2z ＝0，x ＝0，令y ＝2，则z ＝1，即m ＝(0，2，1)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCN 的法向量，则n ²PC →＝0，n ²CN →＝0，可得⎩⎨⎧－x 1＋y 1－2z 1＝0，－2x 1＋y 1＝0，令x 1＝2，则y 1＝4，z 1＝2，即n ＝(2,4，2)，所以cos 〈m ，n 〉＝m²n |m||n|＝523³22＝53333，则二面角N －PC －B 的余弦值为53333.2．(2017²常州期末)如图，以正四棱锥V －ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O －xyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 的中点．正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有cos 〈BE →，DE →〉＝－1549.(1)求ha的值；(2)求二面角B －VC －D 的余弦值．解 (1)根据条件，可得B(a ，a,0)，C(－a ，a,0)，D(－a ，－a,0)，V(0,0，h)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，h 2，所以BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，h 2，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，h 2，故cos 〈BE →，DE →〉＝h 2－6a 2h 2＋10a2.又cos 〈BE →，DE →〉＝－1549，则h 2－6a 2h 2＋10a 2＝－1549，解得h a ＝32.(2)由h a ＝32，得BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，34a ，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，34a ，且容易得到，CB →＝(2a,0,0)，DC →＝(0,2a,0)．设平面BVC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1²BE →＝0，n 1²CB →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－32ax 1－a 2y 1＋34az 1＝0，2ax 1＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，2y 1＝3z 1，取y 1＝3，z 1＝2，则n 1＝(0,3,2)．同理可得平面DVC 的一个法向量为n 2＝(－3,0,2)． cos 〈n 1，n 2〉＝n 1²n 2|n 1||n 2|＝0³(－3)＋3³0＋2³213³13＝413，结合图形，可以知道二面角B －VC －D 的余弦值为－413.3．(2017²南京学情调研)如图，在底面为正方形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是线段PC 的中点．(1)求异面直线AP 与BE 所成角的大小；(2)若点F 在线段PB 上，且使得二面角F －DE －B 的正弦值为33，求PFPB的值．解 (1)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA ，DC ，DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz.因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)．因为E 是PC 的中点，所以E(0,1,1)，所以AP →＝(－2,0,2)，BE →＝(－2，－1,1)，所以cos 〈AP →，BE →〉＝AP →²BE →|AP →||BE →|＝32，从而〈AP →，BE →〉＝π6.因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6.(2)由(1)可知，DE →＝(0,1,1)，DB →＝(2,2,0)，PB →＝(2,2，－2)．设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ²DF →＝0，m ²DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，y 1＋z 1＝0，取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1.故m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量，设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧n ²DB →＝0，n ²DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1.所以n ＝(1，－1,1)为平面BDE 的一个法向量．因为二面角F －DE －B 的余弦值的绝对值为63，即|cos 〈m ，n 〉|＝|m²n ||m||n|＝|4λ－1|3²(2λ－1)2＋2λ2＝63，化简得4λ2＝1.因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，所以λ＝12，即PF PB ＝12.4.(2017²苏北四市一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点． (1)求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；(2)点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．解 (1)因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD. 又因为∠BAD ＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PA ＝4可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)．又因为M 为PC 的中点，所以M(1,1,2)．所以BM →＝(－1,1,2)，AP →＝(0,0,4)，所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →²BM →|AP →||BM →|＝0³(－1)＋0³1＋4³24³6＝63，所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为63. (2)因为AN ＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN →＝(－1，λ－1，－2)，BC →＝(0,2,0)，PB →＝(2,0，－4)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ²BC →＝0，m ²PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －4z ＝0.令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m ＝(2,0,1)是平面PBC 的一个法向量．因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以|cos 〈MN →，m 〉|＝|MN →²m ||MN →||m |＝|－2－2|5＋(λ－1)2²5＝45，解得λ＝1∈[0,4]，所以λ的值为1.5．离散型随机变量的概率分布1．(2017²南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布与数学期望E(X)．解 (1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P ＝1－33³3＝23.(2)由题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，P(X ＝k)＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k²⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.所以X 的概率分布为所以X 的数学期望为E(X)＝5³13＝53.2．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立． (1)求该网民至少购买2种商品的概率；(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．解 (1)该网民恰好购买2种商品的概率为P(AB C )＋P(A B C)＋P(A BC)＝34³23³12＋34³13³12＋14³23³12＝1124；该网民恰好购买3种商品的概率为P(ABC)＝34³23³12＝14，所以P ＝1124＋14＝1724.故该网民至少购买2种商品的概率为1724.(2)随机变量η的可能取值为0,1,2,3，由(1)知，P(η＝2)＝1124，P(η＝3)＝14，而P(η＝0)＝P(A B C )＝14³13³12＝124，所以P(η＝1)＝1－P(η＝0)－P(η＝2)－P(η＝3)＝14.随机变量η的概率分布为所以随机变量η的数学期望E(η)＝0³124＋1³14＋2³1124＋3³14＝2312.3．(2017²南京学情调研)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的概率分布与数学期望．解 (1)设甲第i 次投中获胜的事件为A 1(i ＝1,2,3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥．甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3.P(A 1)＝25，P(A 2)＝35³13³25＝225，P(A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352³⎝ ⎛⎭⎪⎫132³25＝2125.所以P(A 1＋A 2＋A 3)＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 3)＝25＋225＋2125＝62125.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. 则P(X ＝1)＝25＋35³23＝45，P(X ＝2)＝225＋35³13³35³23＝425，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352³⎝ ⎛⎭⎪⎫132³1＝125.即X 的概率分布为所以数学期望E(X)＝1³45＋2³425＋3³125＝3125.4．为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的．(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；(2)设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X 的概率分布和数学期望E(X)．解 (1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有43＝64种不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M ，事件M 共包含A 34＝24个基本事件，则P(M)＝2464＝38，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为38.(2)方法一 X 可能的取值为0,1,2,3. P(X ＝0)＝3343＝2764，P(X ＝1)＝C 13³3243＝2764，P(X ＝2)＝C 23³343＝964，P(X ＝3)＝C 3343＝164.所以X 的概率分布为所以E(X)＝0³2764＋1³2764＋2³964＋3³164＝34.方法二甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，所以P(X ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k，k ＝0,1,2,3，所以X 的概率分布为所以X 的数学期望E(X)＝3³14＝34.6．计数原理、二项式定理和数学归纳法1．已知等式(1＋x)2n －1＝(1＋x)n －1(1＋x)n.(1)求(1＋x)2n －1的展开式中含x n的项的系数，并化简：C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ；(2)证明：(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2＝nC n2n －1. (1)解 (1＋x)2n －1的展开式中含x n 的项的系数为C n2n －1，由(1＋x)n －1(1＋x)n＝(C 0n －1＋C 1n －1x ＋…＋C n －1n －1xn －1)(C 0n ＋C 1n x ＋…＋C n n x n )可知，(1＋x)n －1(1＋x)n的展开式中含x n的项的系数为C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n . 所以C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ＝C n2n －1. (2)证明当k ∈N *时，kC kn ＝k²n ！k ！(n －k )！＝n ！(k －1)！(n －k )！＝n²(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝nC k －1n －1，所以(C 1n)2＋2(C 2n)2＋…＋n(C n n)2＝∑k ＝1n[k(C k n )2]＝k ＝1n (kC k n C kn )＝k ＝1n (nC k －1n －1C kn )＝n k ＝1n (C k －1n －1C kn )＝n k ＝1n (C n －k n －1C kn )．由(1)知C 0n －1C n n ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ＝C n2n －1，即k ＝1n (C n －k n －1C k n )＝C n2n －1，所以(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2＝nC n2n －1.2．(2017²江苏泰州中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知点A(0，－1)，P n (x n0，y n0)，n ∈N *.记直线AP n 的斜率为k n . (1)若k 1＝2，求P 1的坐标； (2)若k 1为偶数，求证：k n 为偶数． (1)解因为k 1＝2，所以y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2，解得x 0＝1，y 0＝1，所以P 1的坐标为(1,1)．(2)证明方法一设k 1＝2p(p ∈N *)，即y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2p.所以x 20－2px 0＋1＝0，所以x 0＝p±p 2－1. 因为y 0＝x 2，所以k n ＝y n0＋1x n 0＝x 2n0＋1x n 0＝x n 0＋1x n 0，所以当x 0＝p ＋p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＋p 2－1n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n. 同理，当x 0＝p －p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n.①当n ＝2m(m ∈N *)时，k n ＝2∑k ＝0mC 2k n pn －2k(p 2－1)k，所以k n 为偶数．②当n ＝2m ＋1(m ∈N )时，k n ＝2∑k ＝0mC 2k n pn －2k(p 2－1)k，所以k n 为偶数．综上，k n 为偶数．方法二因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋10＋1x n ＋10＝x n ＋20＋1x n ＋20＋x n0＋1x n 0，所以k n ＋2＝k 1k n ＋1－k n .k 2＝x 20＋1x 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 02－2＝k 21－2.设命题p(n)：k n ，k n ＋1均为偶数．以下用数学归纳法证明“命题p(n)是真命题”．①因为k 1是偶数，所以k 2＝k 21－2也是偶数．当n ＝1时，p(n)是真命题；②假设当n ＝m(m ∈N *)时，p(n)是真命题，即k m ，k m ＋1均为偶数，则k m ＋2＝k 1k m ＋1－k m 也是偶数，即当n ＝m ＋1时，p(n)也是真命题．由①②可知，对n ∈N *，p(n)均是真命题，从而k n 是偶数．3．(2017²江苏扬州中学模拟)在数列{a n }中，a n ＝cos π3³2(n ∈N *)(1)试将a n ＋1表示为a n 的函数关系式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1－2n²n！(n ∈N *)，猜想a n 与b n 的大小关系，并证明你的结论．解 (1)a n ＝cos π3³2n －2＝cos 2π3³2n －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3³2n －12－1， ∴a n ＝2a 2n ＋1－1， ∴a n ＋1＝±a n ＋12，又n ∈N *，n ＋1≥2，a n ＋1＞0， ∴a n ＋1＝a n ＋12. (2)当n ＝1时，a 1＝－12，b 1＝1－2＝－1，∴a 1＞b 1，当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝12，∴a 2＝b 2，当n ＝3时，a 3＝32，b 3＝1－19＝89，∴a 3＜b 3，猜想：当n ≥3时，a n ＜b n ，下面用数学归纳法证明． ①当n ＝3时，由上知，a 3＜b 3，结论成立． ②假设当n ＝k ，k ≥3，n ∈N *时，a k ＜b k 成立，即a k ＜1－2k²k！，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋12＜2－2k²k！2＝1－1k²k！， b k ＋1＝1－2(k ＋1)²(k ＋1)！，要证a k ＋1＜b k ＋1，即证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k²k！2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2(k ＋1)²(k ＋1)！2，即证明1－1k²k！＜1－4(k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2，即证明1k²k！－4(k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2＞0，即证明(k －1)2k (k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2＞0，显然成立．∴n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n ≥3时，a n ＜b n 成立．综上可得：当n ＝1时，a 1＞b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＜b n .4．已知f n (x)＝C 0n x n －C 1n (x －1)n ＋…＋(－1)k C k n (x －k)n ＋…＋(－1)n C n n (x －n)n，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n.(1)试求f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的值；(2)试猜测f n (x)关于n 的表达式，并证明你的结论．解 (1)f 1(x)＝C 01x －C 11(x －1)＝1，f 2(x)＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x －1)2＋(x －2)2＝2，f 3(x)＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6. (2)猜测f n (x)＝n ！，n ∈N *. 以下用数学归纳法证明．①当n ＝1时，f 1(x)＝1，等式成立． ②假设当n ＝m 时，等式成立，即 f m (x)＝k ＝0m (－1)k C k m (x －k)m＝m ！.当n ＝m ＋1时，则f m ＋1(x)＝k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1²(x－k)m ＋1.因为C k m ＋1＝C k m ＋C k －1m ，kC k m ＋1＝(m ＋1)²C k －1m ，其中k ＝1,2，…，m ，且C 0m ＋1＝C 0m ，C m ＋1m ＋1＝C mm ，所以f m ＋1(x)＝k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k)m ＋1＝x k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k)m －k ＝0m ＋1(－1)k kC km ＋1(x －k)m＝x k ＝0m (－1)k C k m(x －k)m＋x ∑k ＝1m ＋1²(－1)k Ck －1m(x －k)m－(m ＋1)∑k ＝1m ＋1²(－1)k C k －1m (x －k)m＝x²m！＋(－x ＋m ＋1)k ＝0m (－1)k C km ²[(x－1)－k]m＝x²m！＋(－x ＋m ＋1)²m!＝(m＋1)²m！＝(m＋1)！.即n＝m＋1时，等式也成立．由①②可知，对n∈N*，均有f n(x)＝n！.。

2018年高考数学江苏二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练导数及其简单应用 (word版含答案)

14个填空题专项强化练(四) 导数及其简单应用A 组——题型分类练题型一导数的概念与运算 1．y ＝ln xx 的导数为________．解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln xx 2＝1－ln x x 2. 答案：1－ln xx 22．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：13．若曲线y ＝a cos x ＋1在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线2x ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝________. 解析：因为y ＝a cos x ＋1的导函数为y ′＝－a sin x ，所以曲线在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线的斜率为k ＝－a ，由于切线与直线2x ＋y ＋3＝0垂直，则(－a )·(－2)＝－1，即a ＝－12.答案：－124．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________. 解析：对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)．令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.答案：6题型二导数与函数的单调性1．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．解析：函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)．答案：(0,1)2．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx 在区间(－∞，－3)和(2，＋∞)上是增函数，在(－3,2)上是减函数，则ab ＝________.解析：因为f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，由已知条件可得－3,2是f ′(x )＝0的两根，所以a＝－32，b ＝－18，从而ab ＝27.答案：273．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax ＋3a 在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得，f ′(x )＝x 2＋2x －a ，根据题意知f ′(x )≥0，即x 2＋2x ≥a ，而x 2＋2x ＝(x ＋1) 2－1≥(1＋1) 2－1＝3，所以a ≤3.答案：(－∞，3]4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上f (x )是减函数，所以a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.答案：(1,2]题型三导数与函数的极值、最值 1．函数y ＝2x －1x 2的极大值是________．解析：y ′＝2＋2x 3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x <－1时，y ′>0；当－1<x <0时，y ′<0. 所以当x ＝－1时，y 取得极大值－3. 答案：－32．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________．解析：因为函数f (x )在(1,2)上有极值，则需函数f (x )在(1,2)上有极值点．法一：令f ′(x )＝x 2＋2x －2a ＝0，得x 1＝－1－1＋2a ，x 2＝－1＋1＋2a ，因为x 1∉(1,2)，因此则需1<x 2<2，即1<－1＋1＋2a <2，即4<1＋2a <9，所以32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4.法二：f ′(x )＝x 2＋2x －2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－1，则f ′(x )在(1,2)上是单调递增函数，因此⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3－2a <0，f ′(2)＝8－2a >0，解得32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4.答案：⎝⎛⎭⎫32，43．函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤π6，π上的最大值为________．解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，所以f ′(x )＝0在x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π上的解为x ＝π2.又f ⎝⎛⎭⎫π6＝π12＋32，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f (π)＝－1，所以函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤π6，π上的最大值为π2.答案：π24．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2的图象在x ＝1处与直线y ＝－12相切，则函数f (x )在[1，e]上的最大值为________．解析：由题意知，f ′(x )＝ax－2bx ，因为函数f (x )＝a ln x －bx 2的图象在x ＝1处与直线y ＝－12相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝a －2b ＝0，f (1)＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12，即函数f (x )＝ln x －x 22.又当x ∈[1，e]时，f ′(x )＝1x －x ≤0，所以函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最大值为f (1)＝－12.答案：－12B 组——高考提速练1．已知函数f (x )＝4ln x ＋ax 2－6x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝2为f (x )的一个极值点，则a 的值为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵f ′(x )＝4x ＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，即a ＝1. 答案：12．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.解析：∵f ′(0)＝－a sin 0＝0， ∴g ′(0)＝2×0＋b ＝0，∴b ＝0，又m ＝1＝a ，∴a ＋b ＝1. 答案：13．若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝________.解析：依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′| x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，a ＝2e －12.答案：2e －124．函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．解析：f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2.由f ′(x )<0，得x <－2或x >1. 由f ′(x )>0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12.答案：－125．已知曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.解析：因为y ＝a ln x ，所以y ′＝ax ，所以在x ＝1处的切线的斜率k ＝a ，而f (1)＝a ln 1＝0，故切点为(1,0)，所以切线方程为y ＝a (x －1)．令y ＝0，得x ＝1；令x ＝0，得y ＝－a .所以三角形面积S ＝12×a ×1＝4，所以a ＝8.答案：86．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.则f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x .由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.答案：－47．已知函数f (x )＝x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )的导函数f ′(x )＝1＋a ·cos x ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．令cos x ＝t ，t ∈[－1,1]，问题转化为g (t )＝at ＋1≥0在t ∈[－1,1]上恒成立，即g (－1)≥0，g (1)≥0成立，所以－1≤a ≤1.答案：[－1,1]8．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1，2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－23，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－23，(1,2)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－23，1上单调递减，故f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝72，f (－1)＝112，故f (x )min ＝72，所以a <72.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，72 9．f (x )＝13x 3－4x ＋m 的极小值为－43，则m 的值为________．解析：f ′(x )＝x 2－4，当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2. 当f ′(x )<0时，－2<x <2. f ′(x )>0时，x <－2或x >2.∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，在(－2,2)上是减函数． ∴f (x )极小值＝f (2)＝13×23－4×2＋m＝－163＋m ＝－43.∴m ＝4. 答案：410．已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫x 2＋12，则F (1)＝f (1)－⎝⎛⎭⎫12＋12＝1－1＝0，F ′(x )＝f ′(x )－12，对任意x ∈R ，有F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减，则F (x )<0的解集为(1，＋∞)，即f (x )<x 2＋12的解集为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)11．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0.若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则m 的取值范围为________．解析：因为f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，所以a ＝1.所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3，由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.故由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象(如图所示)可知，实数m 的取值范围是(－3,1)．答案：(－3,1)12．已知函数f (x )，g (x )满足f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，则函数h (x )＝f (x )＋2g (x )的图象在x ＝5处的切线方程为____________________．解析：由h ′(x )＝f ′(x )g (x )－(f (x )＋2)g ′(x )g 2(x )，得h ′(5)＝f ′(5)g (5)－(f (5)＋2)g ′(5)g 2(5)＝3×4－(5＋2)×142＝516.又h (5)＝f (5)＋2g (5)＝5＋24＝74，所以切线方程为y －74＝516(x －5)，即5x －16y ＋3＝0. 答案：5x －16y ＋3＝013．设直线y ＝a 分别与曲线y 2＝x 和y ＝e x 交于点M ，N ，则当线段MN 取得最小值时a 的值为________．解析：由题意，a >0，M (a 2，a )，N (ln a ，a )，故MN 的长l ＝|a 2－ln a |，设f (a )＝a 2－ln a (a >0)，所以f ′(a )＝2a －1a ＝2a 2－1a ＝2⎝⎛⎭⎫a ＋22⎝⎛⎭⎫a －22a ，令f ′(a )>0，得a >22，所以f (a )在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增；令f ′(a )<0，得0<a <22，所以f (a )在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减，所以当a ＝22时，f (a )min ＝f ⎝⎛⎭⎫22＝12－ln 22>0，所以l ＝|a 2－ln a |＝a 2－ln a ＝f (a )，所以当a ＝22时，线段MN 的长取得极小值，也是最小值．答案：2214．若函数f (x )＝e x ＋x 3－12x －1的图象上有且只有两点P 1，P 2，使得函数g (x )＝x 3＋m x的图象上存在两点Q 1，Q 2，且P 1与Q 1，P 2与Q 2分别关于坐标原点对称，则实数m 的取值集合是________．解析：设函数f (x )的图象上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则Q 1(－x 1，－y 1)，Q 2(－x 2，－y 2)，故有⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫e x 1＋x 31－12x 1－1＝－x 31＋m－x1，－⎝⎛⎭⎫e x 2＋x 32－12x 2－1＝－x 32＋m －x2，即方程－⎝⎛⎭⎫e x ＋x 3－12x －1＝－x 3－m x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两解，即方程x e x －12x 2－x ＝m 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两解，即函数h (x )＝x e x －12x 2－x (x ≠0)的图象与y ＝m 的图象有两个交点，令h ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)＝0得，x ＝0(舍去)或x ＝－1，作出函数h (x )图象知，当且仅当x ＝－1时有两解，所以m ＝h (－1)＝e －22e.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫e －22e。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练14个填空题综合仿真练(五)

14个填空题综合仿真练(五)1 •已知集合U = {1,2,3,4,5} , A= {3,4} , B= {1,4,5}，则A U (?u B)= _________ .解析：•••集合U = {1,2,3,4,5}, A= {3,4} , B= {1,4,5} , A ?u B= {2,3} , A U (?u B) = {2,3,4} • 答案:{2,3,4}2•已知i 为虚数单位，复数z1= 3+ yi(y€ R), z2= 2-i,且Z1= 1 + i,贝V y= ___________ .Z2 解析：因为z1= 1+ i，所以Z1=(1 + i)z2= (1 + i)(2 - i) = 3+ i，所以y= 1.Z2答案：123.已知倾斜角为a的直线l的斜率等于双曲线X2—才=1的离心率，则sinf号9 - 2a」解析：因为双曲线的离心率e= 2,所以tan a= 2，所以sin 2号9—2 a = sin 2 a=2sin 久cos a 2tan a 4・ 2 | 2 = _ ‘ 2 = _.sin a+ cos a 1 + tan a 5答案:454•某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人•现在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是0.19.则该校高三学生共有______________________ 人.解析：设高二女生人数为x人，所以二匕=0.佃，即x= 380，所以高三人数为 2 0002 000—650 —370 —380 = 600 人.答案：6005.已知偶函数f(x)在［0，+^ )上单调递减，且f(3) = 0，则不等式f(x2—2x)>0的解集为________ •解析：根据偶函数的性质，可得—3<x2—2x<3，从而可得—1vxv3，所以不等式的解集为(T,3)・答案:(—1,3)6•阅读如图所示的算法流程图，若输入的n是30，则输出的变量S的值是___________ •3111 n2所以 a n = 2+ 2(n -1)=-即 a n = 2，所以由a n = 2a 2 018可得2 = 2X ■，所以n = 1 009.n 2 018 答案：1 009 ［0,2上恰有三个零点X 1,9.函数f(x) = sinx + 3cosx — a 在区间函数在区间［0,2 n 上恰有三个零点 X i ,X 3 = 解析：f(x) = sin x +,3cos x - a = 2sin x +于一 a ,解析：根据算法流程图知，当 n = 30时，n > 2, S = 30, n = 28 ;当n = 28时，n > 2, S =58, n = 26;;当 n = 2 时，S = 30 + 28+ 26+…+ 2= 15 30+ 2 = 240, n = 0.当 n = 0时，n v 2，输出 S = 240.答案：2407.已知 Q i 是集合｛(x , y)|x 2 + y 2< 1｝所表示的区域，购是集合｛(x , y)|y w |x|｝所表示的区域，向区域 Q 内随机的投一个点，则该点落在区域Q 2内的概率为解析：如图所示，作出区域 Q i (圆面), 几何概型的概率计算公式得，该点落在区域答案：34an — 18.数列｛a n ｝满足 a 1 = 2, a ?= 1,且 a n + 1鼻_ 勺n 1a n (n >2)，则使得a n = 2a 2。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(三)

14个填空题综合仿真练(三)1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|log2(x－1)<2}，则A∩B＝________.解析：因为集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|log2(x－1)<2}＝{x|1<x<5}，所以A∩B＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}2．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋1≤0是________命题(选填“真”或“假”)．解析：由x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，得∃x∈R，x2＋2x＋1≤0是真命题．答案：真3．已知复数z＝3－i1＋i，其中i为虚数单位，则复数z的模是________．解析：法一：因为z＝3－i1＋i，所以|z|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－i1＋i＝|3－i||1＋i|＝102＝ 5.法二：因为z＝3－i1＋i＝(3－i)(1－i)2＝1－2i，所以|z|＝12＋(－2)2＝ 5.答案： 54．某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．解析：样本中教师抽160－150＝10人，设该校教师人数为n，则10n＝1603 200，所以n＝200.答案：2005．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是________．t←1i←2While i≤4t←t×ii←i＋1End WhilePrint t解析：当i＝2时，满足循环条件，执行循环t＝1×2＝2，i＝3；当i＝3时，满足循环条件，执行循环t＝2×3＝6，i＝4；当i＝4时，满足循环条件，执行循环t＝6×4＝24，i＝5；当i＝5时，不满足循环条件，退出循环，输出t＝24.答案：246．男队有号码1,2,3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为________．解析：两队各出一名运动员的基本事件总数n＝12，出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，共有3个基本事件，所以出场的两名运动员号码不同的概率P ＝1－312＝34. 答案：347．等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13＝________.解析：由题意及等差数列的性质得5a 7＝100，故a 7＝20,3a 9－a 13＝3(a 1＋8d )－(a 1＋12d )＝2a 7＝40.答案：408．将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，可得函数g (x )＝sin 2x －cos 2x 的图象，则φ的最小值为________．解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8， g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8，故将函数f (x )向右平移π4＋k π，k ∈Z 个单位可得g (x )的图象，因为φ>0，故φ的最小值为π4. 答案：π49．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________．解析：设圆锥的底面半径为r ，圆锥的高为h ，则有1r 2＋1h 2＝1，而母线长l ＝r 2＋h 2，则l 2＝(r 2＋h 2)⎝⎛⎭⎫1r 2＋1h 2≥4，即可得母线最小值为2，此时r ＝h ＝2，则体积为13πr 2h ＝13(2)3π＝223π. 答案：223π 10．设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为________．解析：令f (x )＝0，得m ＝2x ＋1010－x ＋1.因为m ∈N ，则2x ＋10＝0或2x ＋10>0，10－x∈Z 且2x ＋10能被10－x ＋1整除并且商为自然数，所以有如下几种情况：当2x ＋10＝0，即x ＝－5时，m ＝0；当x ＝1时，m ＝3；当x ＝9时，m ＝14；当x ＝10时，m ＝30.综上所述，m 的取值集合为{0,3,14,30}．答案：{0,3,14,30}11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，P 是△ABC (包括边界)内任一点．则AD ―→·EP ―→的取值范围是________．解析：以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,4)，B (2,0)，E (1，2)，D (1,0)，设P (x ，y )，则AD ―→·EP ―→＝(1，－4)·(x －1，y －2)＝x －4y ＋7，令z ＝x －4y ＋7，则y ＝14x ＋7－z 4，作直线y ＝14x ，平移直线y ＝14x ，由图象可知当直线y ＝14x ＋7－z 4，经过点A 时，直线的截距最大，但此时z 最小，当直线经过点B 时，直线的截距最小，此时z 最大．即z min ＝－4×4＋7＝－9，z max ＝2＋7＝9，即－9≤AD ―→·EP ―→≤9.故AD ―→·EP ―→的取值范围是[－9,9]．答案：[－9,9]12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，在[0,2]上是增函数，且f (x －4)＝－f (x )，给出下列结论：①若－2<x 1<x 2<2且x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)>0；②若0<x 1<x 2<4且x 1＋x 2＝5，则f (x 1)>f (x 2)；③若方程f (x )＝m 在[－8,8]内恰有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8或8；④函数f (x )在[－8,8]内至少有5个零点，至多有13个零点．其中正确的结论的个数是________．解析：因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x ＋8)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，因此函数f (x )是周期函数，又函数f (x )是奇函数，且在[0,2]上为增函数，综合条件得函数的示意图如图所示．由图看出，①若－2<x 1<x 2<2且x 1＋x 2>0，由奇函数的性质和单调性可知①正确；②若0<x 1<x 2<4且x 1＋x 2＝5，f (x )在[0,2]上是增函数，则0<x 1<5－x 1<4，即1<x 1<52，由图可知f (x 1)>f (x 2)，故②正确；③当m >0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(－6)＝－12，另两个交点的横坐标之和为2×2＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8.当m ＜0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(－2)＝－4，另两个交点的横坐标之和为2×6＝12，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8.故③正确；④由图可得函数f (x )在[－8,8]内有5个零点，所以④不正确．答案：313．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ ―→＝23AP ―→＋13AC ―→，则|BO ―→|的最小值是__________．解析：以点A 为坐标原点，AB 为x 轴正半轴，使得C 落在第一象限，建立平面直角坐标系(图略)，设P (cos α，sin α)，则由AQ ―→＝23AP ―→＋13AC ―→ 得，Q 23cos α＋12，23sin α＋32，故点Q 的轨迹是以D ⎝⎛⎭⎫12，32为圆心，23为半径的圆．又BD ＝7，所以|BO ―→|的最小值是7－23. 答案：7－2314．已知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ．若在区间⎣⎡⎦⎤13，3上，函数g (x )＝f (x )－ax 恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤13，1时，1x ∈[1,3]，则f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln 1x＝－2ln x ，在同一直角坐标系中作y ＝ln x ，x ∈[1,3]与y ＝－2ln x ，x ∈⎣⎡⎦⎤13，1的图象如图所示，由图象知当y ＝ax 在直线OA 与y ＝ln x ，x ∈[1,3]的切线OB 之间及直线OA 上，即k OB <a ≤k OA 时，g (x )＝f (x )－ax 恰有一个零点，由题易知k OA ＝6ln 3，设过原点的直线与y ＝ln x ，x ∈[1,3]的切点为(m ，ln m )，由y ′＝1x ，得k OB ＝1m，故直线的方程为y －ln m ＝1m (x －m )，∵直线过原点，∴ln m ＝1，即m ＝e ，∴k OB ＝1e ，故1e<a ≤6ln 3，又当a ＝0时，g (x )恰有一个零点，故a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤1e ，6ln 3∪{0}．答案：⎝⎛⎦⎤1e ，6ln 3∪{0}。

(江苏专版)2018年高考数学二轮复习14个填空题专项强化练(九)不等式

14个填空题专项强化练(九) 不等式A 组——题型分类练题型一一元二次不等式1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12或x >3，则f (e x)>0(e 是自然对数的底数)的解集是________．解析：法一：依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3.法二：由题知，f (x )>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <3，令12<e x<3，得－ln 2<x <ln 3. 答案：{x |－ln 2<x <ln 3}2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则不等式f (x )>3的解集为________________．解析：当x >0时，2x －1>3，解得x >2，当x ≤0时，－x 2－4x >3，即x 2＋4x ＋3<0，解得－3<x <－1，所以所求不等式的解集为{x |x >2或－3<x <－1}．答案：{x |x >2或－3<x <－1}3．已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________．解析：由定义域为R ，得x 2－2x ＋a ≥0恒成立．又值域为[0，＋∞)，则函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象只能与x 轴有1个交点，所以Δ＝4－4a ＝0，a ＝1.答案：{1}4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，则关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是________．解析：由x 2≥0，得f (x 2)＝－x 2＋1，所以原不等式可转化为f (2－x )<－x 2＋1，则当2－x ≥0，即x ≤2时，由－(2－x )＋1<－x 2＋1，得－2<x <1，所以－2<x <1；当2－x <0，即x >2时，由－(2－x )2＋1<－x 2＋1，得x ∈∅.综上得，关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是{x |－2<x <1}．答案：{x |－2<x <1} 题型二基本不等式 1．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：由x >1，得x －1>0，则x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．故x ＋4x －1的最小值为5. 答案：52．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解析：由0<x <1，故3－3x >0，则x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：123．已知正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________．解析：因为正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，所以ab －5≥21a ×9b，可化为(ab )2－5ab －6≥0，解得ab ≥6，即ab ≥36，当且仅当1a ＝9b，即a ＝2，b ＝18时取等号．即ab 的最小值为36.答案：364．已知正数x ，y 满足x 2＋4y 2＋x ＋2y ≤2－4xy ，则1x ＋1y的最小值为________．解析：由题意得(x ＋2y )2＋(x ＋2y )－2≤0，且x >0，y >0，所以0<x ＋2y ≤1，所以1x ＋1y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·(x ＋2y )＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2y x ＝xy，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1，y ＝1－22时，1x ＋1y取得最小值3＋2 2.答案：3＋2 25．已知a >0，b >0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值是________．解析：a ＋2b ＝2a ＋b ＋3b ＋12－32，故a ＋2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋b 2＋3b ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋1b ＋1－32＝12＋32＋2a ＋b 2b ＋1＋3b ＋122a ＋b －32≥12＋22a ＋b 2b ＋1·3b ＋122a ＋b ＝12＋3，当且仅当2a ＋b 2b ＋1＝3b ＋122a ＋b ，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1时取等号．故a ＋2b 的最小值为12＋ 3.答案：12＋ 3题型三简单的线性规划1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x －y的最小值为________．解析：根据题意，画出可行域如图所示，易知当目标函数z ＝x －y 经过点A (1,4)时，取得最小值－3.答案：－32．设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4，表示的平面区域为M ，若直线l ：y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0，－2)，且斜率为k ，由图知，当直线l 过点B (1,3)时，k取最大值3＋21－0＝5，当直线l 过点C (2,2)时，k 取最小值2＋22－0＝2，故实数k 的取值范围是[2,5]．答案：[2,5]3．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1表示的平面区域为D ，若区域D 内至少有一个点在函数y ＝e x的图象上，那么实数a 的取值范围为________．解析：由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y ＝e x的图象，结合函数图象知，当x ＝1时，y ＝e ，把点(1，e)代入ax －y ≥0，则a ≥e.故实数a 的取值范围为[e ，＋∞)．答案：[e ，＋∞)B 组——高考提速练1．不等式x ＋1x<2的解集为______________．解析：∵x ＋1x <2，∴x ＋1x－2<0，即x ＋1－2x x ＝1－xx<0，∴1－xx<0等价于x (x －1)＞0，解得x ＜0或x ＞1，∴不等式x ＋1x<2的解集为{x |x ＜0或x ＞1}．答案：{x |x ＜0或x ＞1} 2．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ＋3y ≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋12z ，平移直线y ＝－32x ＋12z ，由图象可知当直线y ＝－32x ＋12z 经过点A 时，直线y ＝－32x ＋12z 的截距最大，此时z最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＋3y ＝7，解得A (1,2)，代入目标函数z ＝3x ＋2y ，得z ＝3×1＋2×2＝7.即目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值为7. 答案：73．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值为________．解析：因为a >1，b >1，所以lg a >0，lg b >0. lg a ·lg b ≤lg a ＋lg b 24＝lg ab 24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号，故lg a ·lg b 的最大值为1. 答案：14．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. 所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)5．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m 的值为________．解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：26．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是________．解析：法一：当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1，f (x )<0，即log 2(－x )－1<0，得－2<x <0；当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )<0，即1－log 2x <0，解得x >2.综上所述，不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．法二：先作出函数f (x )在x >0时的图象，再根据奇函数f (x )的图象关于原点对称可得f (x )在R 上的图象，结合图象可知，不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．答案：(－2,0)∪(2，＋∞)7．已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，m ，n ∈R ，则(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是________．解析：因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，所以m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，作出不等式组所表示的平面区域如图所示．因为(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ，n )到点A (2,2)的距离的平方．因为点A 到直线m ＋n ＝1的距离为|2＋2－1|2＝32，故⎝ ⎛⎭⎪⎫322＜(m －2)2＋(n －2)2＜OA 2，即(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫92，8.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫92，8 8．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z＝OA ―→·OP ―→的最大值为________．解析：如图作满足约束条件的可行域，z ＝OA ―→·OP ―→＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处取得最大值，所以z max＝2.答案：29．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n使得 a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________．解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2(q ＝－1，舍去)由a m a n ＝4a 1，即2m+n-22＝4，得2m ＋n －2＝24，即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32，当且仅当4m n ＝nm即m ＝2，n ＝4时等号成立，即1m ＋4n 的最小值为32. 答案：3210．已知A ，B ，C 是平面上任意三点，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则y ＝ca ＋b ＋b c的最小值是________．解析：y 要取最小值，则a 要最大，而a 的最大值是b ＋c ，所以y ＝c a ＋b ＋b c ≥c2b ＋c＋b c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12－12≥ 2－12，当且仅当12⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12＝b c ＋12时取等号，即y 的最小值是2－12. 答案：2－1211．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 不是最大边，已知a 2－b 2＝2bc sin A ，则tan A －9tan B 的最小值为________．解析：由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a 2－b 2＝2bc sin A ，得c 2－2bc cos A ＝2bc sinA ，即c －2b cos A ＝2b sin A ，再由正弦定理，得sin C －2sin B cos A ＝2sin B sin A ，即sin(A ＋B )－2sin B cos A ＝2sin B sin A ，即sin A cos B －cos A sin B ＝2sin A sin B ，所以tan A －tan B ＝2tan A tan B . 所以tan B ＝tan A 2tan A ＋1，由题意知tan A >0，所以2tan A ＋1>0，所以tan A －9tan B ＝tan A －9tan A2tan A ＋1＝12(2tan A ＋1)＋922tan A ＋1－5≥2122tan A ＋1×922tan A ＋1－5＝－2.当且仅当12(2tan A ＋1)＝922tan A ＋1，即tan A ＝1时取“＝”．故tan A －9tan B 的最小值为－2.答案：－212．已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，则a 24－2a ＋b 2－1b的最小值为________．解析：因为ab －a －2b ＝0，所以2a ＋1b＝1，因为a ，b 均为正数，所以b >1，所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1＝b 2b －12＋b 2－1，令x ＝b －1>0，所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝x ＋12x 2＋(x ＋1)2－1＝x 2＋1x 2＋2x ＋2x＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1，因为x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1≥22＋2×2－1＝7，即a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为7.答案：713．若关于x 的不等式(ax －1)(ln x ＋ax )≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：(ax －1)(ln x ＋ax )≥0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋ln x x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1x ，a ≤－ln x x 或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1x，a ≥－ln x x .设函数f (x )＝1x ，g (x )＝－ln xx，在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示，由图象可得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1e ∪{e}．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1e ∪{e}14．已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________．解析：考虑所求的结构特征，变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋1ab －12c ＋5c －2，先求a b ＋1ab －12的最小值．a b ＋1ab －12＝a 2＋1a 2－a －12＝12a ＋1－a 2＋1a 2＋1－12＝12a ＋1a 2＋1－1－12，令2a ＋1＝t ，则2a ＋1a 2＋1－1＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1－1＝4t ＋5t －2－1≤42t ×5t－2－1＝5－12，所以a b ＋1ab －12≥52，当且仅当2a ＋1＝52a ＋1，即a ＝5－12时等号成立，故ac b ＋c ab －c 2＋5c －2≥5c 2＋5c －2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c －22＋1c －2＋1≥5⎝⎛⎭⎪⎫2c －22×1c －2＋1＝5＋10.当且仅当(c －2)2＝2，即c ＝2＋2时等号成立．答案：5＋10。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练二含解析精品

14个填空题综合仿真练(二)1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，则∁U (A ∪B )＝_________. 解析：因为A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，所以A ∪B ＝{1,3,4}，因为全集U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{2}．答案：{2}2．已知复数z ＝1－i 2i，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为________．解析：z ＝1－i 2i ＝i (1－i )2i 2＝1＋i －2＝－12－12i.所以z 的虚部为－12. 答案：－123．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取________人．解析：设足球兴趣小组中抽取人数为n ，则n 24＝40120，所以n ＝8. 答案：84．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．解析：由题意，n ＝1，a ＝1，第1次循环，a ＝5，n ＝3，满足a ＜16，第2次循环，a ＝17，n ＝5，不满足a ＜16，退出循环，输出的n 的值为5.答案：55．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为__________．解析：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，基本事件总数n ＝6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1,2)，(2,4)，共2个，故这两个数的和为3的倍数的概率P ＝26＝13. 答案：136．设x ∈R ，则p ：“log 2x <1”是q ：“x 2－x －2<0”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)解析：由log 2x <1，得0<x <2，由x 2－x －2<0可得－1<x <2，所以p ⇒q ，q ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C 的离心率为________．解析：由题意，双曲线C 的左焦点到渐近线的距离d ＝bc a 2＋b 2＝b ，则b ＝2a ，因此双曲线C 的离心率e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5. 答案： 58．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________．解析：由题意q ≠1，设等比数列的公比为q (q ≠1)，由a 1＝1，S 4－5S 2＝0，得1－q 41－q－5(1＋q )＝0，化简得1＋q 2＝5，解得q ＝±2.∵数列{a n }的各项均为正数，∴q ＝2.故S 5＝1－251－2＝31. 答案：319.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P -BB 1C 1C 的体积为________．解析：因为四棱锥P -BB 1C 1C 的底面积为16，高PB 1＝1，所以VP -BB 1C 1C ＝13×16×1＝163. 答案：163 10．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝13(α≠β)，则α＋β＝__________. 解析：由0≤x <π，知π3≤2x ＋π3<7π3，因为f (α)＝f (β)＝13<32，所以⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋⎝⎛⎭⎫2β＋π3＝2×3π2，所以α＋β＝7π6. 答案：7π611．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0.若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是________.解析：当x <0时，－x >0，故－x ＋1>0，所以f (－x ＋1)＝x 2－2x ＋1－1＝x 2－2x ，当x ≥0时，f (x )＝x 2－1，当0≤x <1时，x 2－1<0，故f (x 2－1)＝－x 2＋2，当x ≥1时，x 2－1≥0，故f (x 2－1)＝x 4－2x 2.故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x <0，－x 2＋2，0≤x <1，x 4－2x 2，x ≥1，作出函数f (f (x ))的图象如图所示，可知当1<k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．答案：(1,2]12．已知△ABC 外接圆O 的半径为2，且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，|AB ―→|＝|AO ―→|，则CA ―→·CB―→＝__________.解析：由AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，可得OB ―→＋OC ―→＝0，即BO ―→＝OC ―→，所以圆心在BC 中点上，且AB ⊥AC .因为|AB ―→|＝|AO ―→|＝2，所以∠AOC ＝2π3，C ＝π6，由正弦定理得AC sin 2π3＝AO sin π6，故AC ＝23，又BC ＝4，所以CA ―→·CB ―→＝|CA ―→|·|CB ―→|·cos C ＝4×23×32＝12. 答案：1213．设a ，b ，c 是三个正实数，且a (a ＋b ＋c )＝bc ，则a b ＋c的最大值为__________．解析：由a (a ＋b ＋c )＝bc ，得1＋b a ＋c a ＝b a ·c a ，设x ＝b a ，y ＝c a ，则x ＋y ＋1＝xy ，a b ＋c＝1x ＋y ，因为x ＋y ＋1＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，所以x ＋y ≥2＋22，所以a b ＋c 的最大值为2－12.答案：2－1214．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1的图象为C .如果任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是__________．解析：因为任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，所以f ′(x )≤1在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立．因为f ′(x )＝a －3ax 2，所以3ax 2－a ＋1≥0在⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立．设g (t )＝3at －a ＋1，t ∈⎣⎡⎦⎤14，1，只需⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫14≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 34a －a ＋1≥0，3a －a ＋1≥0，解得－12≤a ≤4. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，4。

江苏专版2018年高考数学二轮复习14个填空题专项强化练七平面向量与复数

14个填空题专项强化练(七) 平面向量与复数A 组——题型分类练题型一平面向量的线性运算1．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA ―→＋2OC ―→＝3OB ―→，则|BC ―→||AB ―→|的值为________．解析：由OA ―→＋2OC ―→＝3OB ―→，得OA ―→－OB ―→＝2OB ―→－2OC ―→，即BA ―→＝2CB ―→，所以|BC ―→||AB ―→|＝12. 答案：122．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ―→＝3NC ―→得AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b )，AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝34(a＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .答案：－14a ＋14b3．已知Rt △ABC 的面积为2，∠C ＝90°，点P 是Rt △ABC 所在平面内的一点，满足CP ―→＝4CB ―→|CB ―→|＋9CA ―→|CA ―→|，则PA ―→·PB ―→的最大值是________．解析：由条件可知|CA ―→|·|CB ―→|＝4，CA ―→·CB ―→＝0，因为PA ―→＝CA ―→－CP ―→＝CA ―→－4CB ―→|CB ―→|－9CA ―→|CA ―→|，PB ―→＝CB ―→－CP ―→＝CB ―→－4CB ―→|CB ―→|－9CA ―→|CA ―→|，故PA ―→·PB ―→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫CA ―→－4CB ―→|CB ―→|－9CA ―→|CA ―→|·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CB ―→－4CB ―→|CB ―→|－9CA ―→|CA ―→|＝97－9|CA ―→|－4|CB ―→|≤97－12×2＝73，当且仅当9|CA ―→|＝4|CB ―→|，即|CA ―→|＝43，|CB ―→|＝3时等号成立．答案：73题型二平面向量的坐标表示1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则向量BD ―→的坐标为________．解析：因为BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝(－1，－1)，所以BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(－3，－5)．答案：(－3，－5)2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．解析：因为u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，所以8－4x ＝3＋6x ，所以x ＝12.答案：123．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝____________.解析：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，有－3(1＋m )＝2(2＋n )．① 对于c ⊥(a ＋b )，有3m －n ＝0.② 联立①②，解得m ＝－79，n ＝－73.故c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73题型三平面向量的数量积1．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．解析：依题意，λa ＋b ＝(3λ＋1，－2λ)，a －2b ＝(1，－2)，所以(λa ＋b )·(a －2b )＝7λ＋1＝0，λ＝－17.答案：－172．已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为__________．解析：法一：不妨设|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2＋2a ·b ＝1，所以a·b ＝－12，所以a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝52，又因为|a |＝1，|2a －b |＝a －b2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝7，所以a 与2a －b 夹角的余弦值为a a －b |a |·|2a －b |＝521×7＝5714.法二：(特殊化、坐标化)设|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则向量a ，b ，a ＋b 构成以1为边长的正三角形，故可设a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则a 与2a －b 的夹角的余弦值为a a －b|a |·|2a －b |＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3212＋02·⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝527＝5714. 答案：57143．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝3.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：由题意得，AB ―→·AC ―→＝－3，由AP ―→·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝0，得λAB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2－AC ―→·AB ―→＝0，即－3λ－4λ＋9＋3＝0，故λ＝127.答案：1274.如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝5，则(AP ―→＋AQ ―→)·(AB ―→－AC ―→)的值为________．解析：由题意知，(AP ―→＋AQ ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝(2AQ ―→＋QP ―→)·CB ―→＝2AQ ―→·CB ―→＝(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝|AB ―→|2－|AC ―→|2＝32－52＝－16.答案：－165．在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝60°，则CA ―→·CB ―→的最大值为________．解析：因为AB ―→＝CB ―→－CA ―→，所以AB ―→2＝CB ―→2＋CA ―→2－2CB ―→·CA―→，所以3＝|CB ―→|2＋|CA ―→|2－|CB ―→|·|CA ―→|≥2|CB ―→|·|CA ―→|－|CB ―→|·|CA ―→|＝|CB―→|·|CA ―→|，即|CB ―→|·|CA ―→|≤3，当且仅当|CA ―→|＝|CB ―→|＝3时等号成立．所以CA ―→·CB ―→＝|CA ―→||CB ―→|cos 60°＝12|CA ―→||CB ―→|≤32，所以CA ―→·CB ―→的最大值为32.答案：326．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t ，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP ―→＝4AB―→|AB ―→|＋AC―→|AC ―→|，则△PBC 面积的最小值为________．解析：由于AB ⊥AC ，故以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，因为AP ―→＝4AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|，所以点P 坐标为(4,1)，直线BC 的方程为t 2x ＋y －t ＝0，所以点P 到直线BC 的距离为d ＝|4t 2＋1－t |t 4＋1，BC ＝t 4＋1t ，所以△PBC 的面积为12×|4t 2＋1－t |t 4＋1×t 4＋1t ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＋1t －1≥32，当且仅当t ＝12时取等号．答案：32题型四复数1．设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)．若z ＝(4＋3i)i ，则ab 的值是________．解析：因为z ＝a ＋b i 且z ＝(4＋3i)i ，所以a ＋b i ＝4i ＋3i 2＝－3＋4i ，所以a ＝－3，b ＝4，所以ab ＝－12.答案：－122．已知复数z 满足z ＝(1－2i)(3＋i)，其中i 为虚数单位，则|z |＝________. 解析：复数z ＝(1－2i)(3＋i)，i 为虚数单位，则|z |＝|1－2i||3＋i|＝12＋－2×32＋12＝5 2.答案：5 23．设复数z 满足z (1＋i)＝2，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为________．解析：由(1＋i)z ＝2，得z ＝21＋i＝－＋－＝－2＝1－i.所以z 的虚部为－1.答案：－14．若复数z 满足(2－i)z ＝1＋i ，则复数z 在复平面上对应的点在第________象限．解析：因为z ＝1＋i2－i ＝＋＋－＋＝1＋3i 5＝15＋35i ，所以复数z 在复平面上对应的点在第一象限．答案：一B 组——高考提速练1．复数z ＝(1＋2i)2，其中i 为虚数单位，则z 的实部为________．解析：因为复数z ＝(1＋2i)2＝－3＋4i ，所以复数z 的实部为－3. 答案：－32.如图，已知AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，BD ―→＝3DC ―→，用a ，b 表示AD ―→，则AD ―→＝________.解析：因为CB ―→＝AB ―→－AC ―→＝a －b ，又BD ―→＝3DC ―→，所以CD ―→＝14CB ―→＝14(a －b )，所以AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .答案：14a ＋34b3．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，若向量a ＋kb 与a －kb 垂直，则k ＝________. 解析：因为(a ＋kb )⊥(a －kb )，所以(a ＋kb )·(a －kb )＝0，即|a |2－k 2|b |2＝0.又因为|a |＝3，|b |＝4，所以k 2＝916，即k ＝±34.答案：±344．设复数z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 2z 1的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为________．解析：z 2z 1＝a ＋2i 1－i ＝a ＋＋－＋＝a －2＋＋a2，故该复数的实部是a －22，虚部是a ＋22.由题意，知a ＋22＝2×a －22.解得a ＝6.答案：65．已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．解析：法一：复数z ＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ，则|z |＝－2＋32＝10.法二：|z |＝|1＋i|·|1＋2i|＝2×5＝10. 答案：106．若a ，b 均为单位向量，且a ⊥(a －2b )，则a ，b 的夹角大小为________．解析：设a ，b 的夹角为θ.因为a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝a 2－2a·b ＝0，所以1－2cos θ＝0，所以cos θ＝12，而θ∈[0，π]，故θ＝π3.答案：π37．若复数z 满足z ＋2z ＝3＋2i ，其中i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数，则复数z 的模为________．解析：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，则z ＝x －y i ，因为z ＋2z ＝3＋2i ，所以z ＋2z ＝(x ＋y i)＋2(x －y i)＝3x －y i ＝3＋2i ，所以x ＝1，y ＝－2，所以z ＝1－2i ，所以复数z 的模为 5.答案： 58．平面向量a ，b 满足|a |＝2，|a ＋b |＝4，且向量a 与向量a ＋b 的夹角为π3，则|b |为________．解析：因为向量a 与向量a ＋b 的夹角为π3，所以cos π3＝a ＋b a |a ＋b |·|a |＝a 2＋a ·b |a ＋b |·|a |＝4＋a ·b8，解得a ·b ＝0，即a ⊥b .所以|a |2＋|b |2＝|a ＋b |2，从而解得|b |＝2 3. 答案：2 39.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos ∠BAC ＝13，DC ―→＝2BD ―→，则AD ―→·BC ―→的值为________．解析：由DC ―→＝2BD ―→，得AD ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)．又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AB ＝AC ＝3，cos∠BAC ＝13，所以AD ―→·BC ―→ ＝13(AC ―→＋2AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝13×(－9＋3)＝－2.答案：－210．已知边长为1的正方形ABCD ，CM ―→＝2CA ―→＋DB ―→，则|CM ―→|＝________. 解析：法一：由题意得，CM ―→2＝(2CA ―→＋DB ―→)2＝4CA ―→2＋DB ―→2＋4CA ―→·DB ―→.又四边形ABCD 是边长为1的正方形，所以CA ―→⊥DB ―→，所以CA ―→·DB ―→＝0.又|CA ―→|＝2，|DB ―→|＝2，所以CM ―→2＝4×2＋2＝10，所以|CM ―→|＝10.法二：由题意，作出CM ―→＝2CA ―→＋DB ―→，如图所示，则|CM ―→|为边长分别为2，22的矩形CFME 的对角线的长，所以|CM ―→|＝ 22＋22＝10. 答案：1011．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA ―→·MB ―→的取值范围是________．解析：因为AB 为圆O 的直径，所以MA ―→＋MB ―→＝2MO ―→，① 又MA ―→－MB ―→＝BA ―→，②①2－②2，得4MA ―→·MB ―→＝4MO ―→2－BA ―→2，所以MA ―→·MB ―→＝MO ―→2－16，因为M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，所以根据圆的几何性质知|MO ―→|∈[7，4]，所以MA ―→·MB ―→∈[－9,0]．答案：[－9,0]12．在△ABC 中，若BC ―→·BA ―→＋2AC ―→·AB ―→＝CA ―→·CB ―→，则sin A sin C 的值为________．解析：法一：设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 由BC ―→·BA ―→＋2AC ―→·AB ―→＝CA ―→·CB ―→，得ac a 2＋c 2－b 22ac ＋2bc b 2＋c 2－a 22bc ＝ab a 2＋b 2－c 22ab，化简可得a ＝2c .由正弦定理得sin A sin C ＝ac＝ 2.法二：建立平面直角坐标系，设A (0，a )，B (b,0)，C (c ，0)，所以AC ―→＝(c ，－a )，AB ―→＝(b ，－a )，BC ―→＝(c －b,0)， BA ―→＝(－b ，a )，CA ―→＝(－c ，a )，CB ―→＝(b －c,0)，则由BC ―→·BA ―→＋2AC ―→·AB ―→＝CA ―→·CB ―→，得b 2＋2cb ＋2a 2－c 2＝0，所以b 2－2cb ＋c 2＝(c －b )2＝2(a 2＋b 2)，所以BC ＝2AB .由正弦定理得sin A sin C ＝BCAB ＝ 2.答案： 213．已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围为________．解析：法一：由|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，作向量OA ―→＝α，AB ―→＝β－α，则OB ―→＝β，在△OAB 中，∠OAB ＝60°，OB ＝1，则由正弦定理OB sin 60°＝OA sin ∠ABO，得OA ＝233sin ∠ABO ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，233，即0<|α|≤233. 法二：设|α|＝u ，|β－α|＝v ，由|β|2＝|α＋(β－α)|2＝α2＋2α·(β－α)＋(β－α)2，得v 2－uv ＋u 2－1＝0，再由关于v 的一元二次方程有解，得u 2－4(u 2－1)≥0，又u >0，故0<u ≤233，即0<|α|≤233. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，23314．在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1,0)，B (0,1)，C (a ，b )，D (c ，d )，若不等式 CD ―→2≥(m －2)OC ―→·OD ―→＋m (OC ―→·OB ―→)·(OD ―→·OA ―→)对任意实数a ，b ，c ，d 都成立，则实数m 的最大值是________．解析：原不等式可化为(a －c )2＋(b －d )2≥(m －2)·(ac ＋bd )＋mbc ，即a 2＋b 2＋c 2＋d2－m (ac ＋bd ＋bc )≥0，整理成关于实数a 的不等式为a 2－mca ＋b 2＋c 2＋d 2－mbd －mbc ≥0恒成立，从而Δ1＝m 2c 2－4(b 2＋c 2＋d 2－mbd －mbc )≤0，再整理成关于实数d 的不等式为d 2－mbd ＋b 2＋c 2－mbc －14m 2c 2≥0，从而Δ2＝m 2b 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2－mbc －14m 2c 2≤0，再整理成关于实数b 的不等式为(4－m 2)b 2－4mcb ＋4c 2－m 2c 2≥0，从而⎩⎪⎨⎪⎧4－m 2>0，Δ3＝16m 2c 2－－m2c 2－m 2c 2，解得1－5≤m ≤－1＋5，所以m 的最大值是5－1.答案：5－1。