高一数学对数函数一课一练3
高一对数与对数函数练习题及答案

《对数与对数函数》测试 12.21一、选择题:1.已知3+5= A,且+= 2,则A的值是( ).(A).15(B).(C).±(D).2252.已知a>0,且10= lg(10x)+lg,则x的值是( ).(A).-1(B).0(C).1(D).23.若x,x是方程lgx +(lg3+lg2)+lg3·lg2 = 0的两根,则xx的值是( ).(A).lg3·lg2(B).lg6(C).6(D).4.若log(a+1)<log2a<0,那么a的取值范围是( ).(A).(0,1)(B).(0,)(C).(,1)(D).(1,+∞)5.已知x =+,则x的值属于区间( ).(A).(-2,-1)(B).(1,2)(C).(-3,-2) (D).(2,3) 6.已知lga,lgb是方程2x-4x+1 = 0的两个根,则(lg)的值是( ).(A).4(B).3(C).2(D).17.设a,b,c∈R,且3= 4= 6,则( ).(A).=+(B).=+(C).=+(D).=+8.已知函数y = log(ax+2x+1)的值域为R,则实数a的取值范围是( ).(A).0≤a≤1(B).0<a≤1(C).a≥1(D).a>19.已知lg2≈0.3010,且a = 2×8×5的位数是M,则M为( ).(A).20(B).19(C).21(D).2210.若log[ log( logx)] = 0,则x为( ).(A).(B).(C).(D).11.若0<a<1,函数y = log[1-()]在定义域上是( ).(A).增函数且y>0(B).增函数且y<0(C).减函数且y>0(D).减函数且y<012.已知不等式log(1-)>0的解集是(-∞,-2),则a的取值范围是( ).(A).0<a<(B).<a<1(C).0<a<1(D).a>1二、填空题13.若lg2 = a,lg3 = b,则lg=_____________.14.已知a = log0.8,b = log0.9,c = 1.1,则a,b,c的大小关系是_______________.15.log(3+2) = ____________.16.设函数= 2(x≤0)的反函数为y =,则函数y =的定义域为________.三、解答题17.已知lgx = a,lgy = b,lgz = c,且有a+b+c = 0,求x·y·x的值.18.要使方程x+px+q = 0的两根a、b满足lg(a+b) = lga +lgb,试确定p和q应满足的关系.19.设a,b为正数,且a-2ab-9b= 0,求lg(a+ab-6b)-lg(a+4ab+15b)的值.20.已知log[ log( logx)] = log[ log( logy)] = log[ log( logz)] = 0,试比较x、y、z的大小.21.已知a>1,= log(a-a).⑴ 求的定义域、值域;⑵判断函数的单调性,并证明;⑶解不等式:>.22.已知= log[a+2(ab)-b+1],其中a>0,b>0,求使<0的x的取值范围.参考答案:一、选择题:1.(B).2.(B). 3.(D).4.(C).5.(D).6.(C).7.(B).8.(A). 9.(A).10.(D).11.(C).12.(D).提示:1.∵3+5= A,∴a = logA,b = logA,∴+= log3+log5 = log15 = 2,∴A =,故选(B).2.10= lg(10x)+lg= lg(10x·) = lg10 = 1,所以 x = 0,故选(B).3.由lg x+lg x=-(lg3+lg2),即lg xx= lg,所以xx=,故选(D).4.∵当a≠1时,a+1>2a,所以0<a<1,又log2a<0,∴2a >1,即a>,综合得<a<1,所以选(C).5.x = log+log= log(×) = log= log10,∵9<10<27,∴ 2<log10<3,故选(D).6.由已知lga+lgb = 2,lga·lgb =,又(lg)= (lga-lgb)= (lga +lgb)-4lga·lgb = 2,故选(C).7.设3= 4= 6= k,则a = logk,b= logk,c = logk,从而= log6 = log3+log4 =+,故=+,所以选(B).8.由函数y = log(ax+2x+1)的值域为R,则函数u(x) = ax+2x+1应取遍所有正实数,当a = 0时,u(x) = 2x+1在x>-时能取遍所有正实数;当a≠0时,必有0<a≤1.所以0≤a≤1,故选(A).9.∵lga = lg(2×8×5) = 7lg2+11lg8+10lg5 = 7 lg2+11×3lg2+10(lg10-lg2) = 30lg2+10≈19.03,∴a = 10,即a有20位,也就是M= 20,故选(A).10.由于log( logx) = 1,则logx = 3,所以x = 8,因此 x=8===,故选(D).11.根据u(x) = ()为减函数,而()>0,即1-()<1,所以y = log[1-()]在定义域上是减函数且y>0,故选(C).12.由-∞<x<-2知,1->1,所以a>1,故选(D).二、填空题13.a+b14.b<a<c.15.-2.16.<x≤1提示:13.lg=lg(2×3) =( lg2+3lg3) =a+b.14.0<a = log0.8<log0.7 = 1,b = log0.9<0,c = 1.1>1.1= 1,故b<a<c.15.∵3+2= (+1),而(-1)(+1) = 1,即+1= (-1),∴log(3+2) =log(-1)=-2.16.= logx (0<x≤1=,y =的定义域为0<2x-1≤1,即<x≤1为所求函数的定义域.二、解答题17.由lgx = a,lgy = b,lgz = c,得x = 10,y = 10,z = 10,所以x·y·x=10=10= 10=.18.由已知得,又lg(a+b) = lga+lgb,即a+b = ab,再注意到a>0,b>0,可得-p = q>0,所以p和q满足的关系式为p+q = 0且q>0.19.由a-2ab-9b= 0,得()-2()-9 = 0,令= x>0,∴x-2x-9 = 0,解得x =1+,(舍去负根),且x= 2x+9,∴lg(a+ab-6b)-lg(a+4ab+15b) = lg= lg= lg = lg= lg= lg= lg=-.20.由log[ log( logx)] = 0得,log( logx)= 1,logx =,即x = 2;由log[ log( logy)] = 0得,log( logy) = 1,logy =,即y =3;由log[ log( logz)] = 0得,log( logz) = 1,logz =,即z = 5.∵y =3= 3= 9,∴x = 2= 2= 8,∴y>x,又∵x = 2= 2= 32,z = 5= 5= 25,∴x>z.故y>x>z.21.为使函数有意义,需满足a-a>0,即a<a,当注意到a >1时,所求函数的定义域为(-∞,1),又log(a-a)<loga = 1,故所求函数的值域为(-∞,1).⑵设x<x<1,则a-a>a-a,所以-= log(a-a)-log(a-a)>0,即>.所以函数为减函数.⑶易求得的反函数为= log(a-a) (x<1),由>,得log(a-a)>log(a-a),∴a<a,即x-2<x,解此不等式,得-1<x<2,再注意到函数的定义域时,故原不等式的解为-1<x<1.22.要使<0,因为对数函数y = logx是减函数,须使a+2(ab)-b+1>1,即a+2(ab)-b>0,即a+2(ab)+b>2b,∴(a+b)>2b,又a>0,b>0,∴a+b>b,即a>(-1)b,∴()>-1.当a>b>0时,x>log(-1);当a = b>0时,x∈R;当b>a>0时,x<log(-1).综上所述,使<0的x的取值范围是:当a>b>0时,x>log(-1);当a = b>0时,x∈R;当b>a>0时,x<log(-1).。
北师大版高中数学必修一课后训练3.5对数函数.docx

课后训练基础巩固 1.函数12log (43)y x =-的定义域为( ).A .3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B .(-∞,1] C .3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦ D .3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭2.设f (x )=e ,1,1,1,x x f x x ⎧≤⎨(-)>⎩则f (ln 3)=( ).A .3eB .ln 3-1C .eD .3e3.若函数f (x )=log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍,则a 的值为( ).A .24 B .22 C .14 D .124.若log a (a 2+1)<log a (2a )<0,那么a 的取值范围是( ). A .(0,1) B .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .1,12⎛⎫⎪⎝⎭D .(1,+∞) 5.函数y =ln(2x +1)12x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭的反函数是( ).A .y =12e x -1(x ∈R ) B .y =e 2x -1(x ∈R )C .y =12(e x-1)(x ∈R ) D .y =2e x-1(x ∈R )6.将y =2x 的图像________,再作关于直线y =x 对称的图像,可得函数y =log 2(x +1)的图像( ).A .先向左平移1个单位B .先向右平移1个单位C .先向上平移1个单位D .先向下平移1个单位7.如图,与函数y =2x,y =5x,12y x =,y =log 0.5x ,y =log 0.3x 相对应的图像依次为( ).A .(1)(2)(3)(5)(4)B .(3)(2)(1)(5)(4)C .(2)(1)(3)(5)(4)D .(2)(1)(3)(4)(5)8.设13log 2a =,121log 3b =,0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则( ).A .a <b <cB .a <c <bC .b <c <aD .b <a <c9.方程log 2(x +4)=3x 的实根的个数为( ). A .0 B .1 C .2 D .3 能力提升 10.已知f (x )=(31)4,1,log ,1aa x a x x x -+<⎧⎨≥⎩是(-∞,+∞)上的减函数,那么a 的取值范围是( ).A .(0,1)B .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C .11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.函数f (x )=1+log a (x +1)(a >0,a ≠1)的图像过定点P ,则定点P 的坐标是________. 12.若y =log a (ax +2)(a >0,且a ≠1)在区间[-1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是________.13.函数213log (3)y x x =-的单调递减区间是________.14.函数221()log 213f x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的最大值是________. 15.设x >1,y >1,且2log x y -2log y x +3=0,求T =x 2-4y 2的最小值.16.已知函数f (x )=log a (1+x ),g (x )=log a (1-x )(其中a >0且a ≠1),设h (x )=f (x )-g (x ). (1)求函数h (x )的定义域,判断h (x )的奇偶性,并说明理由; (2)若f (3)=2,求使h (x )<0成立的x 的集合;(3)若x ∈10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,函数h (x )的值域是[0,1],求实数a 的取值范围.17.判断函数f (x )=2lg(1)x x +-的奇偶性和单调性,并加以证明.参考答案1.C 点拨:1log2(4x -3)≥0⇔1log 2(4x -3)≥12431,log 1430.x x -≤⎧⇔⎨->⎩∴34<x ≤1. 2.A 点拨:∵ln 3>ln e =1, ∴f (ln 3)=f (ln 3-1). 又∵ln 3-1=ln 3-ln e =3ln e <ln e =1, ∴f (ln 3-1)=eln 3-1=3lne3ee=. 3.A 点拨:∵函数f (x )=log a x (0<a <1)在[a,2a ]上是减函数, ∴f (x )max =f (a )=log a a =1,f (x )min =f (2a )=log a 2a . 由题意,得1=3log a 2a ,即log a 2a =13.∴log a 2+1=13,log a 2=23-, ∴212log 3a =-.∴log 2a =32-,故323211224222a -====. 4.C 点拨:若log a (a 2+1)<log a (2a )<0,则201,12,21,a a a a <<⎧⎪+>⎨⎪>⎩解得12<a <1.5.C 点拨:由y =ln(2x +1)得2x +1=e y ,∴x =12(e y -1).∴函数y =ln(2x +1)12x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭的反函数是y =12(e x -1)(x ∈R ).6.D 点拨:与函数y =log 2(x +1)的图像关于直线y =x 对称的是其反函数y =2x -1的图像,为了得到它,只需将y =2x 的图像向下平移1个单位.7.C 点拨:(1)(2)分别为y =5x 和y =2x 的图像;(3)为12y x =的图像;(4)(5)分别为y =log 0.3x 和y =log 0.5x 的图像.8.B 点拨:∵1133log 2log 10<=,∴a <0; ∵112211log log 132>=,∴b >1; ∵0.311122⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴0<c <1,故a <c <b .选B. 9.C 点拨:在同一坐标系中作出函数y =log 2(x +4)与y =3x 的图像如图所示,可观察出两个函数的图像共有两个不同的交点.故选C.10.C 点拨:∵f (x )=log a x (x ≥1)是减函数,∴0<a <1且f (1)=0. ∴f (x )=(3a -1)x +4a (x <1)为减函数,∴3a -1<0, ∴13a <. 又∵f (x )=(31)4,1,log ,1a a x a x x x -+<⎧⎨≥⎩是(-∞,+∞)上的减函数,∴(3a -1)×1+4a ≥0,∴17a ≥. 综上可知,a 的取值范围是11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭.11.(0,1) 点拨:令x +1=1,得x =0,则f (0)=1+log a 1=1,即f (x )的图像过定点P (0,1). 12.(1,2) 点拨:由题意得a >1,且a ×(-1)+2>0,故1<a <2. 13.(3,+∞) 点拨:由x 2-3x >0,得x (x -3)>0,∴x <0或x >3. ∴函数y =213log (3)x x -的定义域为(-∞,0)∪(3,+∞).又g (x )=x 2-3x =23924x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,开口向上,对称轴方程为32x =,∴函数y =213log (3)x x -的单调递减区间是(3,+∞).14.1 点拨:∵213x -+2x -1=13-(x -3)2+2≤2,y =log 2x 在(0,+∞)上是增函数,∴f (x )=221log 213x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭的最大值为log 22=1.15.解:令t =log x y ,∵x >1,y >1, ∴t >0.由2log x y -2log y x +3=0,得2230t t-+=, ∴2t 2+3t -2=0,即(2t -1)(t +2)=0. ∵t >0,∴12t =,即1log 2x y =, ∴12y x =,∴T =x 2-4y 2=x 2-4x =(x -2)2-4. ∵x >1,∴当x =2时,T min =-4. 16.解:(1)定义域为(-1,1). 又∵h (-x )=11log log ()11aa x xh x x x-+=-=-+-, ∴h (x )为奇函数.(2)f (3)=2⇒a =2,则h (x )<0⇔log 2(1+x )<log 2(1-x ),于是1+x <1-x ⇒x <0,又-1<x <1,∴x ∈(-1,0).(3)∵h (x )=12log log 111aa x x x +⎛⎫=-- ⎪--⎝⎭, 令φ(x )=211x ---,可知φ(x )=211x ---在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,因此,当a >1时,h (x )在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,又由h (0)=0,112h ⎛⎫= ⎪⎝⎭得a =3.当0<a <1时,h (x )在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,h (0)=1,a 无解.综上a =3.17.解:(1)函数f (x )的定义域为R , ∵f (x )=2lg(1)x x +-,∴f (-x )=22lg[()1()]lg(1)x x x x -+--=++.∴f (-x )+f (x )=2222lg(1)lg(1)lg[(1)(1)]x x x x x x x x ++++-=++⋅+-=lg(x 2+1-x 2)=lg 1=0,即f (-x )=-f (x ).∴函数f (x )=2lg(1)x x +-是奇函数.(2)任取x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,设u (x )=21x x +-, 则u (x 1)-u (x 2)=221122(1)(1)x x x x +--+- =221212(11)()x x x x +-+-- =2212122212()(11)x x x x x x ---+++=12122212()111x x x x x x ⎛⎫+⎪-⋅- ⎪+++⎝⎭=221122122212(1)(1)()11x x x x x x x x -++-+-⋅+++,∵x 1<x 2,∴x 1-x 2<0.又∵211x +>|x 1|≥x 1,221x +>|x 2|≥x 2,即21110x x -+<,22210x x -+<,∴u (x 1)-u (x 2)>0,即u (x 1)>u (x 2).∴()221u x x x =+-在R 上是减函数.又∵y =lg x 在R 上是增函数,∴函数f (x )=2lg(1)x x +-在R 上是减函数.。
高一 对数与对数函数知识点+例题+练习 含答案

1.对数的概念一般地,如果a (a >0,a ≠1)的b 次幂等于N ,即a b =N ,那么就称b 是以a 为底N 的对数,记作log a N =b ,N 叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么 ①log a (MN )=log a M +log a N ; ②log a MN =log a M -log a N ;③log a M n =n log a M (n ∈R );④log am M n =nm log a M (m ,n ∈R ,且m ≠0).(2)对数的性质①a log a N =__N __;②log a a N =__N __(a >0且a ≠1). (3)对数的重要公式①换底公式:log b N =log a Nlog a b (a ,b 均大于零且不等于1);②log a b =1log b a,推广log a b ·log b c ·log c d =log a d . 3.对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性 质(1)定义域:(0,+∞)(2)值域:R(3)过定点(1,0),即x =1时,y =0当0<x <1时,y <0 (4)当x >1时,y >0 当0<x <1时,y >0 (6)在(0,+∞)上是增函数(7)在(0,+∞)上是减函数4.反函数指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数,它们的图象关于直线__y =x __对称. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0,则log a (MN )=log a M +log a N .( × ) (2)log a x ·log a y =log a (x +y ).( × )(3)函数y =log 2x 及y =log 133x 都是对数函数.( × )(4)对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)在(0,+∞)上是增函数.( × ) (5)函数y =ln 1+x 1-x与y =ln(1+x )-ln(1-x )的定义域相同.( √ )(6)对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),⎝⎛⎭⎫1a ,-1,函数图象只在第一、四象限.( √ )1.(2015·湖南改编)设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),则有关f (x )的性质判断正确的是________(填序号).①奇函数,且在(0,1)上是增函数; ②奇函数,且在(0,1)上是减函数; ③偶函数,且在(0,1)上是增函数; ④偶函数,且在(0,1)上是减函数. 答案 ①解析 易知函数定义域为(-1,1),f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x ),故函数f (x )为奇函数,又f (x )=ln 1+x 1-x=ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1-2x -1,由复合函数单调性判断方法知,f (x )在(0,1)上是增函数.2.设a =log 1312,b =log 1323,c =log 343,则a ,b ,c 的大小关系是________.答案 c <b <a解析 ∵a =log 1312=log 32,b =log 1323=log 332,c =log 343.log 3x 是定义域上的增函数,2>32>43,∴c <b <a .3.函数f (x )=lg(|x |-1)的大致图象是________.(填图象序号)答案 ②解析 由函数f (x )=lg(|x |-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),值域为R .又当x >1时,函数单调递增,所以只有②正确.4.(2015·浙江)若a =log 43,则2a +2-a =________. 答案4 33解析 2a+2-a =4log 32+4log 32-=3log log 322+=3+33=4 33. 5.(教材改编)若log a 34<1(a >0,且a ≠1),则实数a 的取值范围是________________.答案 ⎝⎛⎭⎫0,34∪(1,+∞) 解析 当0<a <1时,log a 34<log a a =1,∴0<a <34;当a >1时,log a 34<log a a =1,∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0,34∪(1,+∞).题型一 对数式的运算例1 (1)设2a =5b =m ,且1a +1b =2,则m =________.(2)lg 5+lg 20的值是________. 答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a =5b =m ,∴a =log 2m ,b =log 5m , ∴1a +1b =1log 2m +1log 5m =log m 2+log m 5=log m 10=2. ∴m =10.(2)原式=lg 100=lg 10=1.思维升华 在对数运算中,要熟练掌握对数的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.(1)计算:(1-log 63)2+log 62·log 618log 64=________.(2)已知log a 2=m ,log a 3=n ,则a 2m +n =________. 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式=1-2log 63+(log 63)2+log 663·log 6(6×3)log 64=1-2log 63+(log 63)2+(1-log 63)(1+log 63)log 64=1-2log 63+(log 63)2+1-(log 63)2log 64=2(1-log 63)2log 62=log 66-log 63log 62=log 62log 62=1.(2)∵log a 2=m ,log a 3=n ,∴a m =2,a n =3, ∴a 2m +n =(a m )2·a n =22×3=12.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y =2log 4(1-x )的图象大致是________.(填序号)(2)当0<x ≤12时,4x <log a x ,则a 的取值范围是____________.答案 (1)③ (2)(22,1) 解析 (1)函数y =2log 4(1-x )的定义域为(-∞,1),排除①、②; 又函数y =2log 4(1-x )在定义域内单调递减,排除④.故③正确.(2)构造函数f (x )=4x 和g (x )=log a x ,当a >1时不满足条件,当0<a <1时,画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0,12上的图象, 可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12, 即2<log a 12,则a >22,所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22,1. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.(1)已知lg a +lg b =0,则函数f (x )=a x 与函数g (x )=-log b x 的图象可能是________.(2)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |,0<x ≤10,-12x +6,x >10,若a ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c ),则abc 的取值范围是____________. 答案 (1)② (2)(10,12)解析 (1)∵lg a +lg b =0,∴ab =1,∵g (x )=-log b x 的定义域是(0,+∞),故排除①. 若a >1,则0<b <1,此时f (x )=a x 是增函数,g (x )=-log b x 是增函数,②符合,排除④.若0<a <1,则b >1,g (x )=-log b x 是减函数,排除③,故填②.(2)作出f (x )的大致图象(图略).由图象知,要使f (a )=f (b )=f (c ),不妨设a <b <c ,则-lg a =lg b =-12c +6,∴lg a +lg b =0,∴ab =1,∴abc =c .由图知10<c <12,∴abc ∈(10,12).题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则a ,b ,c 的大小关系为__________. 答案 a >b >c解析 由对数运算法则得a =log 36=1+log 32,b =1+log 52,c =1+log 72,由对数函数图象得log 32>log 52>log 72,所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2+1)<log a 2a <0,则a 的取值范围是__________. 答案 (12,1)解析 由题意得a >0,故必有a 2+1>2a , 又log a (a 2+1)<log a 2a <0,所以0<a <1, 同时2a >1,所以a >12.综上,a ∈(12,1).命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )=log a (3-ax ).(1)当x ∈[0,2]时,函数f (x )恒有意义,求实数a 的取值范围;(2)是否存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a 的值;如果不存在,请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1,设t (x )=3-ax , 则t (x )=3-ax 为减函数,x ∈[0,2]时,t (x )的最小值为3-2a , 当x ∈[0,2]时,f (x )恒有意义, 即x ∈[0,2]时,3-ax >0恒成立. ∴3-2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1,∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1,32. (2)t (x )=3-ax ,∵a >0,∴函数t (x )为减函数. ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数,∴y =log a t 为增函数,∴a >1,x ∈[1,2]时,t (x )最小值为3-2a ,f (x )最大值为f (1)=log a (3-a ),∴⎩⎪⎨⎪⎧3-2a >0,log a (3-a )=1,即⎩⎨⎧a <32,a =32.故不存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响,及真数必须为正的限制条件.(1)设a =log 32,b =log 52,c =log 23,则a ,b ,c 的大小关系为____________.(2)若f (x )=lg(x 2-2ax +1+a )在区间(-∞,1]上递减,则a 的取值范围为__________. (3)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,log 12(-x ),x <0,若f (a )>f (-a ),则实数a 的取值范围是__________________.答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(-1,0)∪(1,+∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5,3>2,∴log 33<log 32<log 33,log 51<log 52<log 55,log 23>log 22, ∴12<a <1,0<b <12,c >1,∴c >a >b . (2)令函数g (x )=x 2-2ax +1+a =(x -a )2+1+a -a 2,对称轴为x =a ,要使函数在(-∞,1]上递减,则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0,a ≥1,即⎩⎪⎨⎪⎧2-a >0,a ≥1,解得1≤a <2,即a ∈[1,2).(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0,log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0,log 12(-a )>log 2(-a ),解得a >1或-1<a <0.2.比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a =0.50.5,b =0.30.5,c =log 0.30.2,则a ,b ,c 的大小关系是__________. (2)设a =log 2π,b =log 12π,c =π-2,则a ,b ,c 的大小关系为____________.(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5,=,=,=a b c 则a ,b ,c 大小关系为__________.思维点拨 (1)可根据幂函数y =x 0.5的单调性或比商法确定a ,b 的大小关系,然后利用中间值比较a ,c 大小.(2)a ,b 均为对数式,可化为同底,再利用中间变量和c 比较.(3)化为同底的指数式.解析 (1)根据幂函数y =x 0.5的单调性, 可得0.30.5<0.50.5<10.5=1,即b <a <1;根据对数函数y =log 0.3x 的单调性,可得log 0.30.2>log 0.30.3=1,即c >1.所以b <a <c . (2)∵a =log 2π>log 22=1,b =log 12π=log 21π<log 21=0,0<c =1π2<1,∴b <c <a .(3)c =(15)3log 0.3=53log 0.3-=5310log 3.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y =log 2x ,y =log 3x ,y =log 4x 的图象,如图所示.由图象知:log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33=1,且103<3.4,∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44=1,log 3103>1,∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y =5x 为增函数, ∴52log 3.4>5310log 3>54log 3.6.即52log 3.4>(15)3log 0.3 >54log 3.6,故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量;有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或1.[方法与技巧]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时,log a b >0; 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时,log a b <0. 2.对数函数的定义域及单调性在对数式中,真数必须是大于0的,所以对数函数y =log a x 的定义域应为(0,+∞).对数函数的单调性和a 的值有关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按0<a <1和a >1进行分类讨论.3.比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性. 4.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过比较图象与直线y =1交点的横坐标进行判定. [失误与防范]1.在运算性质log a M α=αlog a M 中,要特别注意条件,在无M >0的条件下应为log a M α=αlog a |M |(α∈N *,且α为偶数).2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围.A 组 专项基础训练 (时间:40分钟)1.已知log 7[log 3(log 2x )]=0,那么x 12-=________.答案24解析 由条件知,log 3(log 2x )=1,∴log 2x =3, ∴x =8,∴x12-=24. 2.已知x =ln π,y =log 52,z =e 12-,则x ,y ,z 的大小关系为____________.答案 y <z <x解析 ∵x =ln π>ln e ,∴x >1. ∵y =log 52<log 55,∴0<y <12.∵z =e12-=1e >14=12,∴12<z <1.综上可得,y <z <x .3.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x +1, x ≤0,log 2x , x >0,则使函数f (x )的图象位于直线y =1上方的x 的取值范围是__________.答案 (-1,0]∪(2,+∞)解析 当x ≤0时,3x +1>1⇒x +1>0,∴-1<x ≤0;当x >0时,log 2x >1⇒x >2,综上所述:-1<x ≤0或x >2.4.设f (x )=lg ⎝⎛⎭⎫21-x +a 是奇函数,则使f (x )<0的x 的取值范围是__________. 答案 (-1,0)解析 由f (x )是奇函数可得a =-1,∴f (x )=lg 1+x 1-x,定义域为(-1,1). 由f (x )<0,可得0<1+x 1-x<1,∴-1<x <0. 5.定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=-f (x ),f (x -2)=f (x +2),且x ∈(-1,0)时,f (x )=2x +15,则f (log 220)=________.答案 -1解析 由f (x -2)=f (x +2),得f (x )=f (x +4),因为4<log 220<5,所以f (log 220)=f (log 220-4)=-f (4-log 220)=-f (log 245)=-(224log 5+15)=-1. 6.(2015·安徽)lg 52+2lg 2-⎝⎛⎭⎫12-1=________. 答案 -1解析 lg 52+2lg 2-⎝⎛⎭⎫12-1=lg 52+lg 22-2 =lg ⎝⎛⎭⎫52×4-2=1-2=-1.7.设函数f (x )满足f (x )=1+f (12)log 2x ,则f (2)=_____________________. 答案 32解析 由已知得f (12)=1-f (12)·log 22,则f (12)=12,则f (x )=1+12·log 2x ,故f (2)=1+12·log 22=32.8.(2015·福建)若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -x +6,x ≤2,3+log a x ,x >2(a >0,且a ≠1)的值域是[4,+∞),则实数a 的取值范围是_____________________________________.答案 (1,2]解析 由题意f (x )的图象如右图,则⎩⎪⎨⎪⎧a >1,3+log a 2≥4,∴1<a ≤2. 9.已知函数y =log 12(x 2-ax +a )在区间(-∞,2)上是增函数,求a 的取值范围.解 函数y =log 12(x 2-ax +a )是由函数y =log 12t 和t =x 2-ax +a 复合而成.因为函数y =log 12t 在区间(0,+∞)上单调递减,而函数t =x 2-ax +a 在区间(-∞,a 2)上单调递减,又因为函数y =log 12(x 2-ax +a )在区间(-∞,2)上是增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2,(2)2-2a +a ≥0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥22,a ≤2(2+1),即22≤a ≤2(2+1).10.设f (x )=log a (1+x )+log a (3-x )(a >0,a ≠1),且f (1)=2.(1)求a 的值及f (x )的定义域;(2)求f (x )在区间[0,32]上的最大值.解 (1)∵f (1)=2,∴log a 4=2(a >0,a ≠1),∴a =2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1+x >0,3-x >0,得x ∈(-1,3), ∴函数f (x )的定义域为(-1,3).(2)f (x )=log 2(1+x )+log 2(3-x )=log 2(1+x )(3-x )=log 2[-(x -1)2+4],∴当x ∈(-1,1]时,f (x )是增函数;当x ∈(1,3)时,f (x )是减函数,故函数f (x )在[0,32]上的最大值是f (1)=log 24=2. B 组 专项能力提升(时间:20分钟)11.(2015·陕西改编)设f (x )=ln x,0<a <b ,若p =f (ab ),q =f ⎝⎛⎭⎫a +b 2,r =12(f (a )+f (b )),则p 、q 、r 的大小关系是____________.答案 p =r <q解析 ∵0<a <b ,∴a +b 2>ab , 又∵f (x )=ln x 在(0,+∞)上为增函数,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2>f (ab ),即q >p . 又r =12(f (a )+f (b ))=12(ln a +ln b )=ln ab =p , 故p =r <q .12.设函数f (x )定义在实数集上,f (2-x )=f (x ),且当x ≥1时,f (x )=ln x ,则f ⎝⎛⎭⎫13,f ⎝⎛⎭⎫12,f (2)的大小关系是______________.答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析 由f (2-x )=f (x )知f (x )的图象关于直线x =2-x +x 2=1对称,又当x ≥1时,f (x )=ln x ,所以离对称轴x =1距离大的x 的函数值大,∵|2-1|>|13-1|>|12-1|, ∴f (12)<f (13)<f (2). 13.若函数f (x )=lg(-x 2+8x -7)在区间(m ,m +1)上是增函数,则m 的取值范围是__________. 答案 [1,3]解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤4,-m 2+8m -7≥0,解得1≤m ≤3, 所以答案应填[1,3].14.已知函数f (x )=ln x 1-x,若f (a )+f (b )=0,且0<a <b <1,则ab 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫0,14 解析 由题意可知ln a 1-a +ln b 1-b =0, 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-a ×b 1-b =0,从而a 1-a ×b 1-b=1,化简得a +b =1,故ab =a (1-a )=-a 2+a =-⎝⎛⎭⎫a -122+14, 又0<a <b <1,∴0<a <12,故0<-⎝⎛⎭⎫a -122+14<14. 15.设x ∈[2,8]时,函数f (x )=12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0,且a ≠1)的最大值是1,最小值是-18,求a 的值.解 由题意知f (x )=12(log a x +1)(log a x +2) =12(log 2a x +3log a x +2)=12(log a x +32)2-18. 当f (x )取最小值-18时,log a x =-32. 又∵x ∈[2,8],∴a ∈(0,1).∵f (x )是关于log a x 的二次函数,∴函数f (x )的最大值必在x =2或x =8时取得.若12(log a 2+32)2-18=1,则a =2-13, 此时f (x )取得最小值时,x =1332(2)=--2∉[2,8],舍去.若12(log a 8+32)2-18=1,则a =12,此时f(x)取得最小值时,x=(12)32=22∈[2,8],符合题意,∴a=12.。
高中数学北师大版必修第一册一课一练:4.3.1 对数函数的概念与图像

第四章对数运算与对数函数§3 对数函数课时1 对数函数的概念与图像知识点1对数函数的概念1.☉%#4#52##0%☉(2020·吉安一中月考)下列函数中是对数函数的是()。
A.y=lo g14x B.y=lo g14(x+1)C.y=2lo g14x D.y=lo g14x+1答案:A解析:形如y=log a x(a>0且a≠1)的函数才是对数函数,只有A是对数函数,故选A。
2.☉%524@¥#5¥%☉(2020·安庆一中检测)对数函数的图像过点M(16,4),则此对数函数的解析式为()。
A.y=log4xB.y=lo g14xC.y=lo g12x D.y=log2x答案:D解析:设对数函数的解析式为y=log a x(a>0且a≠1),由于对数函数的图像过点M(16,4),所以 4=log a16,得a=2。
所以对数函数的解析式为y=log2x。
故选D。
3.☉%3@57*5#¥%☉(2020·白城一中月考)函数y=log(a-2)(5-a)中,实数a的取值范围是。
答案:(2,3)∪(3,5)解析:由对数函数的定义可知{a-2>0,a-2≠1,5-a>0,即{a>2,a≠3,a<5。
因此2<a<5且a≠3。
知识点2反函数4.☉%7*1**2@8%☉(2020·九江一中月考)函数y=log3x的定义域为(0,+∞),则其反函数的值域是()。
A.(0,+∞)B.RC.(-∞,0)D.(0,1) 答案:A解析:反函数的值域为原函数的定义域(0,+∞)。
故选A 。
5.☉%¥9*#6#70%☉(2020·石门一中月考)设函数f (x )=log 2x 的反函数为y =g (x ),且g (a )=14,则a = 。
答案:-2解析:因为函数f (x )=log 2x 的反函数为y =2x,即g (x )=2x。
高中数学人教A版必修第一册一课一练:4.4对数函数

新20版练B1数学人教A 版4.4对数函数第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数第1课时 对数函数的概念及图像与性质考点1 对数函数的概念1.(2019·河北唐山一中高一期中)与函数y =10lg (x -1)相等的函数是( )。
A.y =(√x -1)2B.y =|x -1|C.y =x -1D.y =x 2-1x+1答案:A解析: y =10lg (x -1)=x -1(x >1),而y =(√x -1)2=x -1(x >1),故选A 。
2.(2019·湖北公安一中单元检测)设集合A ={x |y =lg x },B ={y |y =lg x },则下列关系中正确的是( )。
A.A ∪B =AB.A ∩B =⌀C.A =BD.A ⊆B答案:D解析: 由题意知集合A ={x |x >0},B ={y |y ∈R },所以A ⊆B 。
3.(2019·福建南安一中高一第二阶段考试)设函数f (x )={x 2+1,x ≤1,lgx ,x >1,则f (f (10))的值为( )。
A.lg 101B.1C.2D.0 答案:C解析: f (f (10))=f (lg 10)=f (1)=12+1=2。
4.(2019·东风汽车一中月考)下列函数是对数函数的是( )。
A.y =log a (2x ) B.y =lg 10x C.y =log a (x 2+x ) D.y =ln x 答案:D解析: 由对数函数的定义,知D 正确。
5.(2019·厦门调考)已知f (x )为对数函数,f (12)=-2,则f (√43)= 。
答案:43解析: 设f (x )=log a x (a >0,且a ≠1),则log a 12=-2,∴1a2=12,即a =√2,∴f (x )=lo g √2x ,∴f (√43)=lo g √2√43=log 2(√43)2=log 2 243=43。
高一对数与对数函数练习题及答案

《对数与对数函数》测试 12.21一、选择题:1.已知3a +5b = A ,且a 1+b1= 2,则A 的值是( ). (A).15 (B).15 (C).±15 (D).225 2.已知a >0,且10x = lg(10x)+lga1,则x 的值是( ). (A).-1 (B).0 (C).1 (D).2 3.若x 1,x 2是方程lg 2x +(lg3+lg2)+lg3·lg2 = 0的两根,则x 1x 2的值是( ).(A).lg3·lg2 (B).lg6 (C).6 (D).61 4.若log a (a 2+1)<log a 2a <0,那么a 的取值范围是( ). (A).(0,1) (B).(0,21) (C).(21,1) (D).(1,+∞) 5. 已知x =31log 121+31log 151,则x 的值属于区间( ).(A).(-2,-1) (B).(1,2) (C).(-3,-2) (D).(2,3) 6.已知lga ,lgb 是方程2x 2-4x +1 = 0的两个根,则(lgba )2的值是( ). (A).4 (B).3 (C).2 (D).1 7.设a ,b ,c ∈R ,且3a = 4b = 6c ,则( ).(A).c 1=a 1+b 1 (B).c 2=a 2+b 1(C).c 1=a 2+b 2 (D).c 2=a 1+b28.已知函数y = log 5.0(ax 2+2x +1)的值域为R ,则实数a 的取值范围是( ).(A).0≤a ≤1 (B).0<a ≤1 (C).a ≥1 (D).a >1 9.已知lg2≈0.3010,且a = 27×811×510的位数是M ,则M 为( ). (A).20 (B).19 (C).21 (D).2210.若log 7[ log 3( log 2x)] = 0,则x21-为( ).(A).321 (B).331 (C).21(D).4211.若0<a <1,函数y = log a [1-(21)x]在定义域上是( ). (A).增函数且y >0 (B).增函数且y <0 (C).减函数且y >0 (D).减函数且y <0 12.已知不等式log a (1-21+x )>0的解集是(-∞,-2),则a 的取值范围是( ).(A).0<a <21 (B).21<a <1 (C).0<a <1 (D).a >1 二、填空题13.若lg2 = a ,lg3 = b ,则lg 54=_____________.14.已知a = log 7.00.8,b = log 1.10.9,c = 1.19.0,则a ,b ,c 的大小关系是_______________.15.log12-(3+22) = ____________.16.设函数)(x f = 2x (x ≤0)的反函数为y =)(1x f -,则函数y =)12(1--x f的定义域为________.三、解答题17.已知lgx = a ,lgy = b ,lgz = c ,且有a +b +c = 0,求x cb 11+·yac 11+·xba 11+的值.18.要使方程x 2+px +q = 0的两根a 、b 满足lg(a +b) = lga +lgb ,试确定p 和q 应满足的关系.19.设a ,b 为正数,且a 2-2ab -9b 2= 0, 求lg(a 2+ab -6b 2)-lg(a 2+4ab +15b 2)的值.20.已知log 2[ log 21( log 2x)] = log 3[ log 31( log 3y)] =log 5[ log 51( log 5z)] = 0,试比较x 、y 、z 的大小.21.已知a >1,)(x f = log a (a -a x ). ⑴ 求)(x f 的定义域、值域;⑵判断函数)(x f 的单调性 ,并证明; ⑶解不等式:)2(21--x f >)(x f .22.已知)(x f = log 21[a x 2+2(ab)x -b x 2+1],其中a >0,b >0,求使)(x f <0的x 的取值范围.参考答案:一、选择题:1.(B).2.(B). 3.(D).4.(C).5.(D).6.(C).7.(B).8.(A). 9.(A).10.(D).11.(C).12.(D). 提示:1.∵3a +5b = A ,∴a = log 3A ,b = log 5A ,∴a 1+b1= log A 3+log A 5 = log A 15 = 2, ∴A =15,故选(B). 2.10x = lg(10x)+lga 1= lg(10x ·a1) = lg10 = 1,所以 x = 0,故选(B).3.由lg x 1+lg x 2=-(lg3+lg2),即lg x 1x 2= lg61,所以x 1x 2=61,故选(D).4.∵当a ≠1时,a 2+1>2a ,所以0<a <1,又log a 2a <0,∴2a >1,即a >21,综合得21<a <1,所以选(C). 5.x = log 3121+log 3151= log 31(21×51) = log 31101= log 310,∵9<10<27,∴ 2<log 310<3,故选(D).6.由已知lga +lgb = 2,lga ·lgb =21,又(lg ba)2= (lga -lgb)2= (lga +lgb)2-4lga ·lgb = 2,故选(C).7.设3a = 4b = 6c = k ,则a = log 3k ,b= log 4k ,c = log 6k ,从而c 1= log k 6 = log k 3+21log k 4 =a 1+b 21,故c 2=a 2+b 1,所以选(B).8.由函数y = log 5.0(ax 2+2x +1)的值域为R ,则函数u(x) = ax 2+2x+1应取遍所有正实数,当a = 0时,u(x) = 2x +1在x >-21时能取遍所有正实数;当a ≠0时,必有⎩⎨⎧≥-=∆.44,0a >a ⇒0<a ≤1.所以0≤a ≤1,故选(A).9.∵lga = lg(27×811×510) = 7lg2+11lg8+10lg5 = 7 lg2+11×3lg2+10(lg10-lg2) = 30lg2+10≈19.03,∴a = 1003.19,即a 有20位,也就是M = 20,故选(A).10.由于log 3( log 2x) = 1,则log 2x = 3,所以x = 8,因此 x21-=821-=81=221=42,故选(D). 11.根据u(x) = (21)x 为减函数,而(21)x >0,即1-(21)x <1,所以y = log a [1-(21)x]在定义域上是减函数且y >0,故选(C). 12.由-∞<x <-2知,1-21+x >1,所以a >1,故选(D). 二、填空题13.21a +23b 14.b <a <c . 15.-2. 16.21<x ≤1 提示: 13.lg 54=21lg(2×33) =21( lg2+3lg3) =21a +23b . 14.0<a = log 7.00.8<log 7.00.7 = 1,b = log 1.10.9<0,c = 1.19.0>1.10= 1,故b <a <c .15.∵3+22= (2+1)2,而(2-1)(2+1) = 1,即2+1= (2-1)1-, ∴log 12-(3+22) =log12-(2-1)2-=-2.16.)(1x f-= log 2x (0<x ≤1=,y =)12(1--x f的定义域为0<2x -1≤1,即21<x ≤1为所求函数的定义域.二、解答题17.由lgx = a ,lgy = b ,lgz = c ,得x = 10a ,y = 10b ,z = 10c ,所以x cb 11+·y ac 11+·x ba 11+=10)()()(ca cb b a bc a c a b +++++=10111---=103-=10001. 18.由已知得,⎩⎨⎧=-=+.,q ab p b a又lg(a +b) = lga +lgb ,即a +b = ab , 再注意到a >0,b >0,可得-p = q >0, 所以p 和q 满足的关系式为p +q = 0且q >0. 19.由a 2-2ab -9b 2= 0,得(b a )2-2(ba)-9 = 0, 令ba= x >0,∴x 2-2x -9 = 0,解得x =1+10,(舍去负根),且x 2= 2x +9,∴lg(a 2+ab -6b 2)-lg(a 2+4ab +15b 2) = lg 22221546bab a b ab a ++-+= lg 154622++-+x x x x = lg 154)92(6)92(+++-++x x x x= lg)4(6)1(3++x x = lg )4(21++x x = lg )4101(21101++++= lg 1010=-21.20.由log 2[ log 21( log 2x)] = 0得,log 21( log 2x)= 1,log 2x =21,即x = 221;由log 3[ log 31( log 3y)] = 0得,log 31( log 3y) = 1,log 3y =31,即y =331;由log 5[ log 51( log 5z)] = 0得,log 51( log 5z) = 1,log 5z =51,即z =551.∵y =331= 362= 961,∴x = 221= 263= 861,∴y >x , 又∵x = 221= 2105= 32101,z = 551= 5102= 25101,∴x >z . 故y >x >z .21.为使函数有意义,需满足a -a x >0,即a x <a ,当注意到a >1时,所求函数的定义域为(-∞,1),又log a (a -a x )<log a a = 1,故所求函数的值域为(-∞,1). ⑵设x 1<x 2<1,则a -a 1x >a -a2x ,所以)x (1f -)x (2f = log a (a -a1x )-log a (a -a2x )>0,即)x (1f >)x (2f .所以函数)(x f 为减函数. ⑶易求得)(x f 的反函数为)(1x f -= log a (a -a x) (x <1),由)2(21--x f >)(x f ,得log a (a -a)2(2-x )>log a (a -a x ),∴a)2(2-x <a x ,即x 2-2<x ,解此不等式,得-1<x <2,再注意到函数)(x f 的定义域时,故原不等式的解为-1<x <1. 22.要使)(x f <0,因为对数函数y = log 21x 是减函数,须使a x 2+2(ab)x-b x 2+1>1,即a x 2+2(ab)x -b x 2>0,即a x 2+2(ab)x +b x 2>2b x 2,∴(a x +b x )2>2b x 2, 又a >0,b >0,∴a x +b x >2b x ,即a x >(2-1)b x ,∴(ba )x>2-1. 当a >b >0时,x >log ba (2-1);当a =b >0时,x ∈R ;当b >a >0时,x <log ba (2-1).综上所述,使)(x f <0的x 的取值范围是: 当a >b >0时,x >log ba (2-1);当a = b >0时,x ∈R ;当b >a >0时,x <log ba (2-1).。
高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-新人教

第四章指数函数与对数函数4.4对数函数第1课时对数函数的概念及图像与性质 考点1对数函数的概念1.(2019·某某某某一中高一期中)与函数y =10lg(x -1)相等的函数是()。
A.y =(√x -1)2B.y =|x -1|C.y =x -1D.y =x 2-1x+1 答案:A 解析:y =10lg(x -1)=x -1(x >1),而y =(√x -12=x -1(x >1),故选A 。
2.(2019·某某公安一中单元检测)设集合A ={x |y =lg x },B ={y |y =lg x },则下列关系中正确的是()。
A.A ∪B =AB.A ∩B =⌀C.A =BD.A ⊆B 答案:D解析:由题意知集合A ={x |x >0},B ={y |y ∈R},所以A ⊆B 。
3.(2019·某某南安一中高一第二阶段考试)设函数f (x )={x 2+1,x ≤1,lgx ,x >1,则f (f (10))的值为()。
A.lg101B.1 C.2D.0 答案:C解析:f (f (10))=f (lg10)=f (1)=12+1=2。
4.(2019·东风汽车一中月考)下列函数是对数函数的是()。
A.y =log a (2x )B.y =lg10xC.y =log a (x 2+x )D.y =ln x 答案:D解析:由对数函数的定义,知D 正确。
5.(2019·某某调考)已知f (x )为对数函数,f (12)=-2,则f (√43)=。
答案:43解析:设f (x )=log a x (a >0,且a ≠1),则log a 12=-2,∴1a 2=12,即a =√2,∴f (x )=lo g √2x ,∴f (√43)=log √2√43=log 2(√43)2=log 2243=43。
6.(2019·某某中原油田一中月考)已知函数f (x )=log 3x ,则f (√3)=。
2024_2025学年新教材高中数学第四章对数运算和对数函数单元整合一课一练含解析北师大版必修第一册

第四章对数运算与对数函数单元整合1.☉%¥¥¥291#1%☉(2024·安阳一中高一段考)已知集合A ={y |y =log 2x ,x >1},B ={y |y =(12)x,x >1},则A ∩B =( )。
A.{y |0<y <12} B.{y |0<y <1} C.{y |12<y <1} D.⌀答案:A 解析:由题意,依据对数函数的性质,可得集合A ={y |y =log 2x ,x >1}={y |y >0},依据指数函数的性质,可得集合B ={y |y =(12)x,x >1}={y |0<y <12}, 所以A ∩B ={y |0<y <12}。
故选A 。
2.☉%5*678##@%☉(2024·宜宾高三诊断)若函数f (x )=2a x +m-n (a >0且a ≠1)的图像恒过点(-1,4),则m +n 等于( )。
A.3 B.1 C.-1 D.-2 答案:C解析:由题意,函数f (x )=2a x +m -n (a >0且a ≠1)的图像恒过点(-1,4),∴m -1=0且2·a m -1-n =4,解得m =1,n =-2,∴m +n =-1。
故选C 。
3.☉%**91¥3#5%☉(2024·成都七中高一期中)函数f (x )=√x (x -1)-ln x 的定义域为( )。
A.{x |x >0} B.{x |x ≥1}C.{x |x ≥1或x <0}D.{x |0<x ≤1} 答案:B解析:∵f (x )有意义,∴{x (x -1)≥0,x >0,解得x ≥1,∴f (x )的定义域为{x |x ≥1}。
故选B 。
4.☉%#9@¥8¥46%☉(2024·成都七中高一期中)已知幂函数f (x )=x a(a 是常数),则( )。
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对数函数3
一、选择题
1、已知221,0,0x y x y +=>>,且1
log (1),log ,log 1y a a
a x m n x
+==-则等于( ) A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1
2
m n -
2、函数2lg 11y x ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
的图像关于 ( ) A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称
3、函数(21)log x y -=的定义域是 ( ) A 、()2,11,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ B 、()1,11,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C 、2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
4、函数212
log (617)y x x =-+的值域是 ( )
A 、R
B 、[)8,+∞
C 、(),3-∞-
D 、[)3,+∞ 5、2
log 13
a
<,则a 的取值范围是 ( ) A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
6、下列函数中,在()0,2上为增函数的是 ( )
A 、12
log (1)y x =+ B 、2
log y =C 、21log y x = D 、2
log (45)y x x =-+
7、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-,上有()0g x >,则1
()x f x a +=是( )
A 、在(),0-∞上是增加的
B 、在(),0-∞上是减少的
C 、在(),1-∞-上是增加的
D 、在(),0-∞上是减少的
二、填空题:
8、函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是
9、函数)
()lg
f x x =是 (奇、偶)函数。
10、已知函数f(x)=log 0.5 (-x 2+4x+5),则f(3)与f (4)的大小关系为 。
11、函数y=log 2
1(x 2-5x+17)的值域为 。
12、若函数y=lg[x 2+(k+2)x+4
5
]的定义域为R ,则k 的取值范围是 。
三、解答题
13、已知函数1010()1010x x
x x
f x ---=+,判断()f x 的奇偶性和单调性。
14、已知函数2
2
2(3)lg 6
x f x x -=-,
(1)求()f x 的定义域; (2)判断()f x 的奇偶性。
15、已知函数232
8()log 1
mx x n
f x x ++=+的定义域为R ,值域为[]0,2,求,m n 的值。
参考答案
选择题
1、D ;
2、C ;
3、A ;
4、C ;
5、A ;
6、D ;
7、C 填空题
8、{}
132x x x <<≠且
9、奇,)(),()1lg(11lg )1lg()(222x f x f x x x
x x x x f R x ∴-=-+-=-+=++=-∈且 为奇
函数。
10、f(3)<f(4) 11、(-3,-∞)
12、-2525-<<-k Ks5u 三、解答题
13、解:(1)221010101
(),1010101x x x x
x
x f x x R ----==∈++,221010101
()(),1010101
x x x x x x f x f x x R -----==-=-∈++
∴()f x 是奇函数
(2)2122101
(),.,(,)101
x x
f x x R x x -=∈∈-∞+∞+设,且12x x <, 则12121
21222221222221011012(1010)()()0101101(101)(101)
x x x x x x x x f x f x ----=-=<++++,12
22(10 10)x x < ∴()f x 为增函数。
14、解:(1)∵()()222
2233(3)lg lg 633
x x f x x x -+-==---,∴3()lg 3x f x x +=-,又由062
2>-x x 得233x ->, ∴ ()f x 的定义域为()3,+∞。
(2)∵()f x 的定义域不关于原点对称,∴()f x 为非奇非偶函数。
15、解:由2
328()log 1
mx x n f x x ++=+,得22831y
mx x n x ++=+,即()23830y y m x x n --+-=
Ks5u
∵,644(3)(3)0y y x R m n ∈∴∆=---≥,即23()3160 y y m n mn -++- ≤
由02y ≤≤,得139y
≤≤,由根与系数的关系得19
1619m n mn +=+⎧⎨-=⎩
,解得5m n ==。