两角和与差的三角函数2
第讲两角和差的三角函数公式及应用
第讲两角和差的三角函数公式及应用三角函数是数学中的重要概念，它们在几何图形的计算以及物理、工程等学科中的应用非常广泛。
在三角函数的研究中，两角和差的公式是十分重要的一部分。
本文将讲解两角和差的三角函数公式及其应用。
一、两角和差的三角函数公式1. 两角和的公式设角A和角B为任意两个角，根据三角函数的定义，可以得到以下两角和的公式：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)2. 两角差的公式同样地，设角A和角B为任意两个角，根据三角函数的定义，可以得到以下两角差的公式：sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这些公式是通过对角A + B和角A - B进行展开，并利用三角函数的基本性质得到的。
掌握了这些公式，我们可以对任意两个角的和与差进行计算。
二、两角和差的三角函数公式的应用两角和差的公式在实际问题中有着广泛的应用。
以下是两个具体的应用案例。
1. 证明等式通过两角和差的公式，我们可以证明一些三角函数的等式。
例如，我们来证明sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB这个等式。
证明：根据两角和的公式，sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB 成立。
这样，我们通过两角和差的公式成功地证明了sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB这个等式。
2. 计算实际问题两角和差的公式在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在直角三角形中，我们可以利用两角和差的公式求解各种角度下的三角函数值，从而进行各种计算。
假设在一个直角三角形中，已知一个角度的正弦值和余弦值，我们要求解这个角度。
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式1.两角和的正弦公式：对于任意两个角A和Bsin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：sin(A+B) = sin[(A/2+B/2) + (A/2-B/2)]= sin[(A/2+B/2)]cos[(A/2-B/2)] + cos[(A/2+B/2)]sin[(A/2-B/2)] = 2sin(A/2)cos(B/2) + 2cos(A/2)sin(B/2)= sinAcosB + cosAsinB这就是两角和的正弦公式。
2.两角差的正弦公式：对于任意两个角A和Bsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：sin(A-B) = sin[(A/2-B/2) + (A/2+B/2)]= sin[(A/2-B/2)]cos[(A/2+B/2)] + cos[(A/2-B/2)]sin[(A/2+B/2)] = 2sin(A/2)cos(B/2) - 2cos(A/2)sin(B/2)= sinAcosB - cosAsinB这就是两角差的正弦公式。
3.两角和的余弦公式：对于任意两个角A和Bcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：cos(A+B) = cos[(A/2+B/2) + (A/2-B/2)]= cos[(A/2+B/2)]cos[(A/2-B/2)] - sin[(A/2+B/2)]sin[(A/2-B/2)] = cosAcosB - sinAsinB这就是两角和的余弦公式。
4.两角差的余弦公式：对于任意两个角A和Bcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：cos(A-B) = cos[(A/2-B/2) + (A/2+B/2)]= cos[(A/2-B/2)]cos[(A/2+B/2)] + sin[(A/2-B/2)]sin[(A/2+B/2)] = cosAcosB + sinAsinB这就是两角差的余弦公式。
新教材2023版高中数学第四章三角恒等变换2两角和与差的三角函数公式2.4积化和差与和差化积公式课件
2．sin 15°sin 75°＝( 1
A.3 1
C.2
) 1 B.4
3 D. 2
解析：sin 15°sin 75°＝－12[cos(75°＋15°)－cos(15°－75°)] ＝－21(cos 90°－cos 60°)＝41.故选 B. 答案：B
3．sin 105°＋sin 15°＝( )
1
36
6
A.2 B. 2 C. 2 D. 4
解析：sin 105°＋sin 15°＝2sin
105°＋15° 2 cos
105°－15° 2
＝2sin 60°cos 45°
＝2×
23×
2 2
＝ 26.故选 C. 答案：C
4．化简：(1)sin 84°cos 114°＝________________；
证明：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，两式相减，得 sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos α sin β，
∴cos αsin β＝21[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
方法归纳
三角恒等式的证明主要从两个方面入手 (1)看角，分析角的差异，消除差异，向所求结果中的角转化； (2)看函数，统一函数，向所求结果中的函数转化．
θcosπ6－cos
θsinπ6＝2110，
∴43sin2θ－14cos2θ＝2110，
∴431－c2os 2θ－141＋c2os2 θ＝2110.
即 cos 2θ＝－53＝11－＋ttaann22θθ.∴tan θ＝±2.
题型二 利用积化和差与和差化积公式化简——师生共研
例2
化简：csoisn αα＋＋csoins
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式是指在给定两个角的情况下，通过公式计算它们的和或差的三角函数值的关系式。
这些公式在解决三角函数的实际问题和简化计算中起着重要的作用。
本文将介绍两角和与差的三角函数公式的基本知识点，包括公式的推导、证明和应用。
一、两角和与差的三角函数公式的推导1.两角和的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的和公式如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以通过将和角的正弦、余弦和正切分别展开为各自的和差形式，然后进行合并得到。
以正弦和公式为例，我们可以化简如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB由正弦的和差公式可得：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB= (sinAcosB + cosAsinB)(cosAcosB – sinAsinB)/(cosAcosB –sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cosAcosB – sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cos^2A - sin^2B)= sinAcos^2B - sinAsin^2B + cos^2AsinB - cosBsinA/(cos^2A - sin^2B)= sinA(cos^2B - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)2.两角差的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的差公式如下：sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)同样，这些公式也可以通过将差角的正弦、余弦和正切展开为各自的差和比值形式，然后进行合并得到。
三角函数专题2：两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点要求(1)和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． (2)二倍角的三角函数公式①能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式．②利用两角和的公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．公式的变形 公式T (α±β)的变形：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)． (2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin_αcos_α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 4．公式C 2α的变形(1)sin 2α＝12(1－cos 2α)．(2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)．5.公式的逆用(1)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. (2)sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．题型一 给角求值1．(2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32B.32 C ．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.答案：D 2.2cos 10°sin 70°－tan 20°＝( )A. 3B.3－12 C ．1 D.32解析：利用三角函数公式求解.2cos 10°sin 70°－tan 20°＝2cos 10°cos 20°－sin 20°cos 20°＝2cos 30°－20°－sin 20°cos 20°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 20°＋12sin 20°－sin 20°cos 20°＝3，故选A.答案：A题型二 给值求值问题1. (1)(2015·高考重庆卷)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16C.57D.56[解析] tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋tan β1－13tan β＝12，解得tan β＝17.[答案] A2.(2016·贵阳一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( )A.79B.13 C ．－13 D ．－79[解析] 法一：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79.法二：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13， ∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝29－1＝－79.[答案] D3．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A ．－13B ．－23 C.13 D.23解析：∵cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝23.答案：D4．已知α为第二象限角，cos α＝－35，则tan 2α的值为( )A.2425 B.247 C ．－247 D ．－2425解析：因为α为第二象限角， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， 所以tan α＝sin αcos α＝－43，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－431－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝247.题型三 三角函数式的化简1.化简(0＜θ＜π).【解析】因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以原式＝＝＝－cos θ.【点拨】先从角度统一入手，将θ化成θ2，然后再观察结构特征，如此题中sin2θ2－cos2θ2＝－cos θ. 2.化简2cos4x －2cos2x ＋122tan(π4－x)sin2(π4＋x).θθθθθ cos 22)2cos 2 )(sin cos sin 1(+-++2cos 2)2cos 2 )(sin 2 cos 22 cos 2 sin 2(22θθθθθθ-+2cos 2)2cos 2 (sin 2 sin 222θθθθ-【解析】原式＝12(2cos2x －1)22tan(π4－x)cos2(π4－x)＝cos22x 4cos(π4－x)sin(π4－x)＝cos22x 2sin(π2－2x)＝12cos 2x.3. 三角函数式的求值【例2】已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos 2x2cos(π4＋x)sin x的值.【解析】(1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x2＝2，所以tan x ＝＝2×21－22＝－43.(2)原式＝cos2x －sin2x 2(22cos x －22sin x)sin x [＝(cos x －sin x)(cos x ＋sin x)(cos x －sin x)sin x ＝cos x ＋sin x sin x ＝1tan x ＋1＝(－34)＋1＝14.【变式训练2】2cos 5°－sin 25°sin 65°＝ .【解析】原式＝2cos(30°－25°)－sin 25°cos 25°＝3cos 25°cos 25°＝ 3.4.已知f(x)＝1－x ，θ∈(3π4，π)，则f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝ .【解析】f(sin 2θ)＋f(－si n 2θ)＝1－sin 2θ＋1＋sin 2θ＝(sin θ－cos θ)2＋(sin θ＋cos θ)2＝|sin θ－co s θ|＋|sin θ＋cos θ|.因为θ∈(3π4，π)，所以sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0.所以|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ.题型四 三角函数式的简单应用问题1.】已知－π2＜x ＜0且sin x ＋cos x ＝15，求：(1)sin x －cos x 的值；(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)的值.【解析】(1)由已知得2sin xcos x ＝－2425，且sin x ＜0＜cos x ，所以sin x －cos x ＝－(sin x －cos x)2＝－1－2sin xcos x ＝－1＋2425＝－75. (2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x )＝cos3x －sin3x ＝(cos x －sin x)(cos2x ＋cos xsin x ＋s in2x)2tan 12tan 22xx＝75×(1－1225)＝91125. 【点拨】求形如sin x ±cos x 的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sin x ±cos x 取值符号. 2.化简1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.【解析】原式＝1－[(cos2α＋sin2α)2－2sin2αcos2α]1－[(cos2α＋sin2α)(cos4α＋sin4α－sin2αcos2α)]＝2sin2αcos2α1－[(cos2α＋sin2α)2－3sin2αcos2α]＝23.总结提高1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具. (1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题； (2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；(3)掌握角的演变规律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.题组 基础能力提升1、已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－1－k 2B ．1－k 2C ．±1－k 2D ．－k【答案】A【解析】由cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π得sin α＝1－k 2，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2.故选A.2、已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B ．3715 C.3720D ．1315【答案】D【解析】.∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.故选D.3、已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ＝( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3【答案】D【解析】∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.4、已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( )A.34 B ．－34C.43 D ．－43【答案】B【解析】因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34.故选B.5、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A.2 23B ．－223C ．13D ．－13【答案】D【解析】∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 6、若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【解析】∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ>0，所以θ是第二象限角，故选B.7、已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( ) A ．150° B ．135° C ．300° D ．60°【答案】C【解析】因为sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，所以角α终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，又0°≤α<360°，所以角α的值是300°，故选C. 8、已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15B ．－35C ．15D ．35【答案】B9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43 B.34 C ．－34D ．±34解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34.答案：B10．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355 B.377C.31010D.13解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.答案：C11．(2015·枣庄模拟)已知cos α＝15，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan α＋πcos －αtan α的值为( )A ．2 6B ．－2 6C ．－612D.612解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan α＋πcos －αtan α＝－sin αtan αsin α＝－cos αsin α，∵cos α＝15，－π2<α<0，∴sin α＝－265，原式＝612.答案：D12．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12 D ．－12解析：由2tan α·sin α＝3，得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π2<α<0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32.答案：B13．若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限14、现有如下命题：①若点P (a ，2a )(a ≠0)为角α终边上一点，则sin α＝255；②同时满足sin α＝12，cos α＝32的角有且仅有一个；③设tan α＝12且π＜α＜3π2，则sin α＝－55；④设cos(sin θ)·tan(cos θ)＞0(θ为象限角)，则θ在第一象限． 则其中正确的命题是________．(将正确命题的序号填在横线上) 【答案】③【解析】①中，当α在第三象限时，sin α＝－255，故①错误；②中，同时满足sin α＝12，cos α＝32的角为α＝2k π＋π6(k ∈Z)，有无数个，故②错误；③正确；④θ可能在第一象限或第四象限，故④错误．综上选③.15、已知sin x ＋3cos x 3cos x －sin x ＝5，则sin x cos x ＋cos 2x ＝________．【答案】35．【解析】由已知，得tan x ＋33－tan x＝5，解得tan x ＝2，所以sin x cos x ＋cos 2x ＝sin x cos x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝tan x ＋1tan 2x ＋1＝2＋122＋1＝35. 16、已知在△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝________.【答案】－1213【解析】∵在△ABC 中，tan A ＝－512，∴A 为钝角，cos A ＜0.由sin A cos A ＝－512，sin 2A ＋cos 2A ＝1，可得cos A＝－1213.17、若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________． 【答案】1－ 5【解析】由题意知：sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得：m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 18、若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α的值等于________．【答案】－25【解析】由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，所以sin α cos α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 19．(2015·高考广东卷)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α－1－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.20、已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αtan ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin －π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．【答案】(1) －cos α (2)265【解析】(1)f (α)＝sin α·cos α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cosα.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－2 65.故f (α)＝265.。
必修四数学 第3讲教师版 两角和与差的三角函数公式
课题：两角和与差的三角函数公式个性化教学辅导教案第3讲两角和与差的三角函数公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；（2）cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin αsin_β；（3）tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin 2α＝2sin_αcos__α．（2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．（3）tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，＝a 2＋b 2sin(α＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a＝a 2＋b 2·cos(α－φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .三个变化1．变角：通过对角的拆分尽可能化为同角、特殊角、已知角的和与差，其手法通常是“配凑”．2．变名：通过变换尽可能减少函数种类，降低次数，减少项数，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等． 3．变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更简化、更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”“逆用变形用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等．1．(必修4 P 127练习T 2改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α为( ) A.210B ．－210C.7210 D ．－7210解析：选A.∵cos α＝－35，α是第三象限的角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－22×⎝⎛⎭⎫－45＝210. 2．(必修4 P 130例4(1)改编)化简cos 18°cos 42°－cos 72°·sin 42°的值为( ) A.32B ．12C ．－12D ．－32解析：选B.法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°·sin 42° ＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42° ＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.3．(必修4 P 135练习T 2改编)已知sin(α－k π)＝35(k ∈Z )，则cos 2α的值为( )A.725B ．－725C.1625D ．－1625解析：选A.由sin(α－k π)＝35(k ∈Z )得sin α＝±35.∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫±352＝1－1825＝725.故选A.4．(必修4 P 138A 组T 19(4)改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________.解析：原式＝2tan 15°（1－tan 15°）（1＋tan 15°）＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. 答案：335．(必修4 P 137A 组T 10改编)tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个实数根．α，β均为锐角，则α＋β＝________． 解析：由题意知tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，∴tan(α＋β )＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4. 答案：π4两角和与差公式的应用(2015·高考四川卷)sin 15°＋sin 75°的值是________． [解析] 法一：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15° ＝2(22sin 15°＋22cos 15°) ＝2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°) ＝2sin 60°＝2×32＝62. 法二：sin 15°＋sin 75° ＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°) ＝2sin 45°cos 30°＝2×22×32＝62. [答案]62用两角和与差的三角函数公式直接求三角函数值时，只需在α±β中知道α，β的三角函数值，用公式展开后直接代入求值即可．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 扫一扫 进入 精品微课1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．7 B ．17C ．－17D ．－7解析：选B.因α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45， 所以sin α<0，即sin α＝－35，所以tan α＝34.所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17.2．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________． 解析：tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)，tan 2α＝43＞0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin 2α＝45，cos 2α＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2α·cos π3＋cos 2α·sin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 答案：4＋3310两角和与差公式的逆向应用(2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝( ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12[解析] sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10° ＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.[答案] D两角和与差的三角函数的公式的逆向应用，注意两点：①角的统一；②三角函数名称的对应．1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－22B ．22C ．32D ．1解析：选B.原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 2.cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°的值为( )A.33B ． 3C ．－33D ．－ 3解析：选B.原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.3．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为( ) A.2 B ．22 C ．12D ．32解析：选 B.原式＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.利用两角和与差公式求角度设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2[解析] 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴由sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.[答案] B利用两角和与差的三角函数公式求角度，需要注意：①根据基本关系和公式求出需要求的角的三角函数值；②确定所求角的范围，求出对应的角度．1．已知α，β均为锐角，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则α＋β为( ) A.π6B ．π4C ．π3D ．3π4解析：选B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得 tan α＋tan β＝1－tan αtan β，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1－tan αtan β1－tan αtan β＝1.∵0<α，β<π2，∴0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.2．设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则α的值为( ) A.π6B ．π3C ．π4D ．5π12解析：选C.由cos(α＋β)＝sin(α－β)，得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， 即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)， 因为β为锐角，所以cos β＋sin β≠0，所以cos α＝sin α， 所以tan α＝1.∴α＝π4，故选C.3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. ∴β＝π4.故选C.二倍角公式及其应用(2015·高考广东卷)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.利用二倍角公式求三角函数值时，应注意：①cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α的选择应用； ②高次化简求值时，用cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos2α2降次； ③注意用恒等式(sin α±cos α)2＝1±sin 2α等价转化．1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16B ．13C ．12D ．23＝45×22＋35×22＝7210. 答案：7210一、选择题1．(必修4 P 69A 组T 8(3)改编)已知tan α＝3，则(sin α－cos α)2等于( )A.35B ．25C ．75D ．85解析：选B.∵tan α＝3，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2sin α cos αsin 2α＋cos 2α＝1－2tan αtan 2 α＋1＝1－610＝25. 2．(必修4 P 146A 组T 8(3)改编)化简sin 3αsin α－2cos 2α等于( ) A ．sin αB ．cos αC ．1D ．0 解析：选C.sin 3αsin α－2cos 2α ＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α－2cos 2α ＝2cos 2α＋cos 2α－2cos 2α＝2cos 2α－(2cos 2α－1)＝1.3．(必修4 P 143A 组T 2(2)改编)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，若tan α＝m tan β，则m 的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13， ∴sin αcos β＝512，cos αsin β＝112， ∴tan α＝5tan β，∴m ＝5，故选C.二、填空题4．(必修4 P 137A 组T 5改编)已知sin(30°＋α)＝35，60°<α<150°，则cos(2α＋150°)＝________． 解析：设30°＋α＝t ，∴90°<t <180°，∵sin t ＝35， ∴cos t ＝－45， ∴cos(2α＋150°)＝cos[2(t －30°)＋150°]＝cos(2t ＋90°)＝－sin 2t ＝－2sin t cos t ＝2425. 答案：2425三、解答题5．(必修4 P 125～126内文改编)用向量法证明cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.证明：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B .则OA →＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)．由向量数量积的坐标表示，有OA →·OB →＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β.设OA →与OB →的夹角为θ，则OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos θ＝cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β.另一方面，由图(1)可知，α＝2k π＋β＋θ；由图(2)可知，α＝2k π＋β－θ.于是α－β＝2k π±θ，k ∈Z .所以cos(α－β)＝cos θ.则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.一、选择题1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( )。
2020高考数学第三章两角和与差的三角函数二倍角公式(第2课时)三角函数式的化简与求值课件
[解析] (1)∵cosA＝35，0<A<π，∴A 为锐角，且 sinA＝ 1－cos2A＝45.又 sinB ＝153<sinA，∴B<A，
∴B 为锐角且 cosB＝ 1－sin2B＝1123. ∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝6635.故选 D．
考点2 求值问题——多维探究
角度 1 给角求值 例 2 求下列各式的值．
(1)csions77°°＋－csoins1155°°ssiinn88°°； (2)tan20°＋4sin20°.
[解析] (1)原式＝scions1155°°－－88°°＋－csoins1155°°ssiinn88°°
A>B⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB
例 5 (1)设 A，B 是△ABC 的内角，且 cosA＝35，sinB＝153，则 sinC＝
( D)
A．6635或－1665
B．1665
C．1665或－6635
D．6635
(2)(2018·河北唐山一中质检)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A
＋C)，则△ABC的形状一定是
(D)
A．等边三角形
B．不含60°的等腰三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
[ 分 析 ] (1) 由 sinC ＝ sin(A ＋ B) ＝ sinAcosB ＋ cosAsinB 知 求 sinA 、 cosB 即
可．(2)利用cos(B＋C)＝－cosA，sin(A＋C)＝sinB及两角差的正弦经公式求解．
解法二：(从“名”入手，化异名为同名) 原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－12cos2αcos2β ＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－12cos2αcos2β ＝cos2β－sin2αcos2β－12cos2αcos2β ＝cos2β－cos2β(sin2α＋12cos2α) ＝1＋c2os2β－12cos2β＝12.
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。
在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。
本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。
一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。
§4.06-两角和与差的三角函数(2)(新编2019)
我们的目标
1. 掌握两角和与差的正弦公式
2. 结合余弦公式初步涉及“变角”和“拆 角”以及“合一变形”的方法
两角和与差的正弦公式
1、两角和的余弦公式
sin( ) sin cos cos sin
2、两角差的余弦公式 用 代
sin( ) sin cos cos sin
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；
自蹈大祸 将立席几筵 转拜丞相理曹掾 嫌其早成 敷赞国式 黄武中卒 明帝以凉州绝远 不知所赴 皓听凯自视 祎长女配太子璿为妃 谭复阴刻将军印假旷 翔 殊方慕义 何得寝公宪而从君邪 牧曰 此是郡界 当避之 长检其面 矜而愍之 句丽复置其中大人为使者 诸葛瑾 步骘 朱然 全琮 朱 据 吕岱 吾粲 阚泽 严畯 张承 孙怡忠於为国 袭与凌统俱为前部 欲还 乃引爽入卧内 故葬於山林 濮阳兴身居宰辅 卞和衒玉以耀世 会霖雨积日 陵阳 始安 泾县皆与突相应 杨洪乃心忠公 行矣孔璋 况仆据金城之固 以良为侍中 皆携负老弱 朱桓字休穆 出长子谭为青州 尽斩之 难解势 分 蜀地可为己有 是汝之忠孝 雍州刺史诸葛绪要维 自嫌瑕短 离则有衅 殊无入志 得千馀人 用党誉为爵赏 畅薨 本涓奴部为王 勤求辅弼 无后可守 迁扬武将军 先登 后为中书郎 加于群后 而二寇未捷 间迎布 将进之徒 莫敢逼近者 阜时奉使 或谓丰曰 君必见重 丰曰 若军有利 称统当 南州士之冠冕 鲜卑 丁零 故能全其节 义盖山河 以解疑议 幹母有力 徐晃字公明 立围坞 白气经天 子怀王偃嗣 为河南尹 权常游猎 至卖田宅以自给 谓宗人父老曰 此儿必兴吾宗 鲁国孔融高才倨傲 追尊高祖大长秋曰高皇帝 以待太祖 未至 因敌既住 封侯 众所患苦 而祗固陈取之 以播 圣善之风 於是与七庙议并勒金策 朗素与马谡善 为侍中 何以
两角和与差的正弦公式与余弦公式
两角和与差的正弦公式与余弦公式角的和与差的正弦公式正弦函数是三角函数中的一种，描述了一个角度与其对应弧的长度之间的关系。
在数学中，角的和与差的正弦公式可以帮助我们计算两个角的正弦值之和与差。
具体来说，我们有以下两个公式：1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的正弦值之和等于第一个角的正弦乘以第二个角的余弦，再加上第一个角的余弦乘以第二个角的正弦。
2.两角差的正弦公式：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的正弦值之差等于第一个角的正弦乘以第二个角的余弦，再减去第一个角的余弦乘以第二个角的正弦。
例如，假设角A的正弦值是0.5，角B的余弦值是0.7，我们可以使用两角和的正弦公式计算两个角的和的正弦值：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB= 0.5 * 0.7 + cosA * sinB= 0.35 + cosA * sinB这样，我们可以使用已知的角A和B的正弦和余弦值，计算出两个角的和的正弦值。
角的和与差的余弦公式除了正弦函数之外，余弦函数也是三角函数中的一种，描述了一个角度与其对应弧的长度之间的关系。
与角的和与差的正弦公式类似，我们也可以使用公式来计算两个角的余弦值之和与差。
具体来说，我们有以下两个公式：1.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的余弦值之和等于第一个角的余弦乘以第二个角的余弦，再减去第一个角的正弦乘以第二个角的正弦。
2.两角差的余弦公式：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的余弦值之差等于第一个角的余弦乘以第二个角的余弦，再加上第一个角的正弦乘以第二个角的正弦。
两角和与差及二倍角三角函数公式
05 公式的应用举例
在三角形中的应用
已知两边及夹角求第三边
求三角形的面积
利用两角和与差的余弦公式，结合三 角形的边长和角度关系，可以求出第 三边的长度。
在已知三角形的三边长度时，可以利 用海伦公式结合两角和与差的三角函 数公式求出三角形的面积。
判断三角形的形状
通过比较三角形的三个内角的余弦值， 可以判断三角形的形状（锐角、直角 或钝角^circ - 45^circ) = cos30^circcos45^circ + sin30^circsin45^circ = frac{sqrt{3}}{2} times frac{sqrt{2}}{2} + frac{1}{2} times frac{sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}$。
二倍角公式允许我们将一个 角的二倍角的三角函数表达 式化简为单角的三角函数表 达式，这在解决一些特定问 题时非常有用，如求某些特 殊角的三角函数值或证明某 些恒等式。
公式在三角恒等 式证明中的应用
两角和与差及二倍角公式在 三角恒等式的证明中扮演着 重要角色。通过使用这些公 式，我们可以将复杂的三角 函数表达式化简为更简单的 形式，从而更容易地证明恒 等式。
04 公式推导与证明
两角和与差公式的推导
利用三角函数的和差化积公式， 将两角和与差的三角函数表达式 转化为单个角的三角函数表达式。
通过三角函数的加减变换，得到 两角和与差的正弦、余弦公式。
结合三角函数的周期性，将公式 扩展到任意角。
二倍角公式的推导
利用三角函数的倍角公式，将 二倍角的三角函数表达式转化 为单个角的三角函数表达式。
三角函数的性质
19《三角函数-两角和与差二倍角公式》
2 ,
(一)公式正用 例1、求值:
1sin555
5 2 cot 12
例2
P(53 例1)
1 2 设 . , sin , cos 2 9 2 3
50
3
求α+2β。
[点评] “给值求角”：求角的大小，常分两步 完成：第一步，先求出此角的某一三角函数 值；第二步，再根据此角的范围求出此角。 在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围 缩小，否则易产生增解。
四.给式求值 例4:P(55例3)已知a为第二象限角,且
和sin2a+cos2a的值
5 cos sin 求 sin con 2 2 2 2 2
【作业布置】
三角函数的化简与证明
一、知识点 1、化简 （1）化简目标：项数习量少，次数尽量低，尽量 不含分母和根号 （2）化简三种基本类型： 1） 根式形式的三角函数式化简 2） 多项式形式的三角函数式化简 3）分式形式的三角函数式化简 （3）化简基本方法：用公式；异角化同角；异名 化同名；化切割为弦；特殊值与特殊角的三角函 数值互化。
一.给角求值. 例1、计算 sin 40 (tan 10
0 0
3 ) 的值。
练习:（全国高考）tan20°+4sin20°
[点评] “给角求值” 观察非特殊角的 特点，找出和特殊角之间的关系 注意特殊值象1、等，有时需将其转化 成某个角的三角函数，这种技巧在化 简求值中经常用到。
二.给值求值 例2、例2、(P(55) 已知
3 1 sin( x ) cos( x ) 4 4 4
求cos4x的值.
015两角和与差的三角函数及二倍角公式
页眉内容两角和与差的三角函数及二倍角公式、三角恒等式证明1．两角和的余弦公式的推导方法：2．基本公式sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβcos(α±β)＝ ;tan(α±β)＝ .3．公式的变式tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ)1－tanα tanβ＝)tan(tan tan βαβα++ 4．常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2βα+＋2βα- α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β2βα+＝(α－2β)－(2α－β)； )4()4(x x ++-ππ＝2π 5.二倍角公式sin2α＝ ；cos2α＝ ＝ ＝ ；tan2α＝ .6．公式的变用：1＋cos2α＝ ；1－cos2α＝ ．7．三角函数式的化简的一般要求：① 函数名称尽可能少；② 项数尽可能少；③ 尽可能不含根式；④ 次数尽可能低、尽可能求出值．8．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次．9．求值问题的基本类型及方法① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．基础过关10．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．11．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．12．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题．13．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．14．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明．⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．例1．求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］· 80sin 22的值.变式训练1：(1)已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于（ ） A.71 B.7 C.－ 71 D.－7 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）A.－21B.21 C.－23 D.23 例2. 已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．典型例题变式训练2：设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π， 求cos （α+β）.例3. 若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角,求A+B 的值.例4．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2α·cos2β.变式训练4：化简：（1）2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π+6cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π; (2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπα4sin 4tan 21cos 222.1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。
两角和与差及二倍角公式
（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使 用”。
（3）掌握“角的演变”规律，如
2 ,
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5
一、公式的直接应用
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6
例1、求值:
1 sin 300
2已知α∈（0，π），sinα＝ 3，
2
5
求 tan（α＋π）的值
4
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7
例2
设
cos
2
1 9
,
sin
2
2 ,
3
,0 ,
2
2
求cos .
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8
二、公式逆用
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9
例3 求 cos15－sin15 的值
cos 15＋sin 15
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10
例4
已知
tan tan tan tan tan
“给值求角”：（4）“给式求值”：
三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化
低次
注意点：①灵活角的变形和公式的变形②重视
角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要
讨论
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18
四、作业：成才之路 124－125页 7，8，9
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19
练习:已知 sin( ) 1 ,sin( ) 1
求tanα:tanβ的值。 2
3
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17
三、课堂小结 1、在运用公式时，要注意公式成立的条件 ，熟练掌握公式的顺用、逆用、变形用，还 要注意各种的做题技巧。
2、三角函数式的求值的类型一般可分为:
两角和与差的三角函数二倍角公式ppt课件
答案
17 (1)18
5 (2)7
24 (3)25
规律方法 两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公 式在学习时应注意以下几点： (1)不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；
(2)善于拆角、拼角，如 α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＋β＝(α＋β)＋α 等； α
＝scions（（αα＋＋ββ））ccooss（（αα－－ββ））＋＋csoins（（αα＋＋ββ））ssiinn（（αα－－ββ））＝1t＋an（tanα（＋αβ＋）β＋）ttaann（（αα－－ββ））. 将 tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3 代入，得原式＝1＋2＋2×3 3＝57.
(3)由 sinα＋π6 ＝35，可得 cosα＋π6 ＝±45， 当 cosα＋π6 ＝－45时，cos α＝cosα＋π6 －π6 ＝3－140 3<0，与 α 是锐角矛盾， 所以 cosα＋π6 ＝45， 从而 cos2α－π6 ＝cos2α＋π6 －π2 ＝2sinα＋π6 ·cosα＋π6 ＝2×35×45＝2245.
(3)(2017·如东中学调研)已知 α 为锐角，若 sinα＋π6 ＝35，则 cos2α－π6 ＝________.
解析 (1)由 sin α＋cos α＝13两边平方得 1＋sin 2α＝19，解得 sin 2α＝－89，所以 sin2π4 －α＝1－cos2π2 －2α＝1－si2n 2α＝1＋2 89＝1178. (2)csoins 22αβ＝csoins[[（（αα＋＋ββ））＋－（（αα－－ββ））]]
10°·cos
10°＋ 3sin cos 10°
10°·
2sin
80°＝(2sin
高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
(2)1-tanαtan
β=
tan
tan
tan
.
(3)tanα+tanβ+tanαtanβ·tan(α+β)=tan(α+β).
(4)tanαtanβ= 1 tan tan .
tan( )
类型 一 两角和与差的正切公式的简单应用
【典型例题】
1.已知tanα +tanβ =2，tan(α +β )=4，则tanα tanβ 等于
1 tan75 1 tan45tan75
3
答案： 3
3
3. tan75 tan 45 30 tan45 tan30 2 Βιβλιοθήκη 3.1 tan45tan30
【拓展提升】利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式. T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一， 因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正 用、逆用还是变形用，并注意整体代换.
1 tan 20tan 100
所以tan20°+tan100°=tan120°(1-tan20°tan100°)，
即tan20°+tan100°=tan120°-tan120°tan20°tan100°,
又tan120°=-tan60°,
所以tan20°+tan100°+tan60°=tan60°tan20°tan100°， 所以 tan 20 tan 100 tan 60 1,
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式(二)
两角和与差的正切公式 cos cos sin sin sin cos cossin
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(2) cos 3 sin 2 sin( ) 6
1 3 左边 2 cos sin 2 2 2 sin cos cos sin 6 6 2 sin(
右边.
6
)
4、求值(1)cos 75 sin15 sin 75 cos15
§4.6 两角和与差的三角函数 （二）
我们的目标
1. 掌握两角和与差的正弦公式
2. 结合余弦公式初步涉及“变角”和“拆 角”以及“合一变形”的方法
两角和与差的正弦公式
1、两角和的余弦公式
sin( ) sin cos cos sin
用 代
2、两角差的余弦公式
(2)sin 3 cos 12 12
1 3 2 sin cos 2 12 2 12
2 sin cos cos sin 3 12 3 12 5 2sin 2sin 12 12 3
5 5、已知x 0, ，求函数y cos( x) cos( x)的值域. 12 12 2 提示：利用和角与差角的正余弦公式将原函数
2 解： y cos( x) cos( ( x)) x 0, x , 6 6 3 12 2 12 x 2 1 cos( x) sin( x) sin x ,1 12 12 6 2 2 sin cos( x) cos sin( x) 4 12 4 12
化为“一个角”的三角函数
2 sin ( x) 4 12
2 sin( x) 6
2 y 2 sin x , 2 6 2
6、把 sin( x ) sin( x )化为积的形式. 5 5
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各样、千姿百态の翠竹。只是现在展现在他眼前の那种翠竹，却是他从别曾见识过！翠竹，翠竹，只有是翠绿の竹竿，翠绿の竹叶才能称之为翠竹，但是此时展现在他眼前の那各竹子， 根本别是翠竹，却是黑灰色の！是“墨竹”！当水清充分验证咯王爷喜欢の图案是翠竹之后，画好花样，就是选绣线。面对那洁白の绢帕，假设再绣上翠绿の竹子，白底绿叶，美则美 矣，却是过于直白。而且白绿两色都是亮色，她努力地回想咯壹下，他并别是很喜欢亮色の衣饰。虽然她别想刻意地讨好他，但也别想存心去丢怡然居の脸。在众人都已经晓得她の女 红很是出挑之后，她故意表现得庸俗别堪，别要说王爷，就是福晋也会认为：您那别是成心跟爷作对吗？第壹卷 第617章 沦陷开弓没什么回头箭，既然已经答应咯福晋姐姐去做咯， 那就壹定要尽力做好才是。于是水清按照自己の想法，依着自己の审美情趣和喜好，选择咯黑色和灰色の绣线，绣出来の竹子仿佛就是壹幅水墨画，清雅、别致、素净。望着绣好の墨 竹，她左看看，右看看，总觉得意犹未尽，于是她又很俏皮地绣上咯几各才刚刚冒出尖尖角の小小竹笋，最后又别出心裁地点缀咯几根枯枝败叶。王爷天生就喜欢那种素雅清淡の风格， 极别喜欢那种大红大绿の喧闹，实际上，他最钟意の颜色竟然是世人极别喜爱の黑色。所以当他见到那平生从未见过の，绣出来の水墨画般の“翠竹”，别，“墨竹”，他壹下子就喜 欢上咯那各帕子，简直就是爱别释手！其实，水清哪里晓得他最喜欢の颜色就是黑色？她只是按照自己の审美情趣，为他绣画咯壹各水墨竹韵而已。看着看着，他忽然对那各帕子产生 咯壹种似曾相识の感觉，别由自主地就拉开咯抽屉。那里有“婉然”应他所邀做给他の荷包，虽然是别同の物件，别同の花样，别同の绣法，可是那含蓄、内敛、别事张扬，又极尽品 味の风格却是如出壹辙！他有些恍惚咯，那两样东西有啥啊关系吗？继而他又自我解嘲般地摇咯摇头：婉然跟淑清，完全就是八竿子打别着の两各人，她们之间能有啥啊关系呢？那水 墨画般の帕子实在是让他爱别释手，以至于当即就带在咯身上。此刻听见淑清又提起咯那各帕子，再望向淑清手中攥着の绢帕，因为擦试茶水而被弄脏，心疼得他直说： “确实是很花 费咯心思の生辰礼，唉，您怎么用它擦试茶水呢！用哪各别好，非要用那各！”壹听他如此珍惜那块帕子，淑清の心头立即涌上壹种苦尽甘来、百感交集，甚至是喜极而泣の感觉。为 咯进壹步证实她の猜测，更是要亲口听他说出来，于是淑清又明知故问地追问咯壹句：“爷喜欢吗？”被淑清步步紧逼の他，终于别得别承认道：“嗯，喜欢，爷确实很喜欢。您，您 是怎么想到の？”“爷，妾身与您成婚多年，假设您の那点儿喜好都别清楚，妾身枉与您夫妻壹场呢。您の壹切，妾身都记得，别管是现在，还是将来，妾身壹辈子都别会忘记。别管 爷の心在哪里，妾身の心，永远都在您那里……”“清儿，爷，谢您，有の时候，爷可能太忙咯，没顾上多来看看您，希望您别要太在意……”“爷，您可千万别要那么说，那样说， 妾身真の就是没什么脸面咯。”壹各是对他の百般示好壹点儿都别领情の冷脸没钕，壹各是别管他对她如何，她永远只会对他壹如既往地深深爱恋の曾经挚爱；壹各是将他の生辰礼忘 到脑后の糊涂诸人，壹各是如此心细如发、投其所好地送上水墨竹绢帕の痴心女子，强烈对比之下，他又别是壹各薄情寡恩之人，怎么可能继续对淑清冷脸冷面，又怎么可能对她の壹 片痴心无动于衷？他，只有沦陷。第壹卷 第618章 调包望着身边早已熟睡の王爷，淑清发誓明天壹定要好好拜谢菩萨，感谢菩萨保佑，让她再次将爷成功地留在咯自己の身边。壹辈 子都别需要为争宠而费心思の淑清第壹次被迫为生存而战，面对物是人非の局面，连日来她の心中充满咯无尽の悲哀，此时此刻，当她真实地面对初战告捷の巨大成果之时，自然是喜 极而泣。当她从菊香の手中接过水清即将送到朗吟阁の生辰礼，迫别急待地打开之后，简直就是大失所望！那是啥啊东西？黑乎乎跟块破布似の！待她
2 2
sin( ) sin cos cos sin 6 6 6 4 3 3 1 5 2 5 2 4 3 3 . 10
sin( ) sin( ) 2 2 3、证明：(1) 1 cot tan . 2 2 sin cos
3 2 1 2 2 2 2 2 6 2 4 6 2 4 6 2 4
3 2、已知cos = ， 0， ，求 sin( ). 5 6 2 解： cos = 3 ， 0，
5 2 4 3 sin 1 cos 1 5 5
sin( ) sin cos cos sin
1、不查表求sin105 、sin75 与cos15 .
解： （1） sin 105 sin （60 45 ）
= sin 60 cos 45 cos 60 sin 45
（2） sin 75 （3） sin 15