菱形的最短路线问题

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正方形菱形中的路径最短问题

正方形菱形与将军饮马1.如图，边长为8的正方形ABCD中，E为CD边上一点，且DE＝2，M是对角线AC上的一个动点，则DM+EM的最小值为()A．10B．√52C．52D．√22.如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE的最小值是()A．10B．√52C．52D．√23.如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短.求：最短距离EP+BP．4.如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上的一点，在AC 上找一点P ，使PD +PE 的值最小，这个最小值等于线段( )的长度．A ．AB B ．ACC ．BPD ．BE5.矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为( 3,4 )，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当 △CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( )A ．(3,43)B ．(107,57)C ．(3,53)D ．(3,4)6.如图，正方形 ABCD 中，AB =4，E 是 BC 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，则 △PBE 周长的最小值是．7.如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=．8.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长4和6，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值()A．10B．√13C．2√13D．59.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120∘，点M是BC边靠近点C的一个三等分点，点P是对角线AC上的动点，PB+PM的最小值为．10.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是平行四边形，已知点C在x轴正半轴上，连接OA．若点A的坐标为（3，4），当OA=OC时，点D在线段上，且DC=1 ,则OP+PD的最小值为()A．√2B．2√2C．3√2D．4√211.菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2,0)，∠DOB=60∘，点P是对角线OC上一个动点，E(0,−1)，当EP+BP最短时，点P的坐标为______________．12.如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120∘，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+ BF的最小值是．13.菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60∘，E是AD边中点，点P是对角线BD上的动点，当AP+PE的值最小时，PC的长是．14.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120∘．点P、K分别为线段BC、BD上的任意一点，则PK+ CK的最小值为．15.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120∘．点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为．。

最短路径问题总动员(含答案)

最短路径问题专题练习1. 如图.长方体中..一蚂蚁从点出发.沿长方体表面爬到点处觅食.则蚂蚁所行路程的最小值为A. B. C. D.2. 如图是一个三级台阶.它的每一级的长、宽和高分别是和是这个台阶的两个相对的端点.点有一只壁虎.它想到点去吃可口的食物.请你想一想.这只壁虎从点出发.沿着台阶面爬到点.至少需爬A. B. C. D.3. 如图.个边长为的小正方形及其部分对角线所构成的图形中.如果从点到点只能沿图中的线段走.那么从点到点的最短距离的走法共有A. 种B. 种C. 种D. 种4. 如图所示.圆柱的底面周长为是底面圆的直径.高.点是母线上一点且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是A. B. C. D.5. 如图.是一个三级台阶.它的每一级的长、宽、高分别为和是这个台阶两个相对的端点.点有一只蚂蚁.想到点去吃可口的食物.则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是．A. B. C. D.6. 如图.已知.要在长方体上系一根绳子连接.绳子与交于点.当所用绳子最短时.绳子的长为A. B. C. D.7. 已知蚂蚁从长、宽都是.高是的长方形纸箱的点沿纸箱爬到点.那么它所行的最短路线的长是A. B. C. D.8. 如图所示.一圆柱高.底面半径长.一只蚂蚁从点爬到点处吃食.要爬行的最短路程（取）是A. B. C. D. 无法确定9. 如图圆柱底面半径为 cm.高为 cm.点分别是圆柱两底面圆周上的点.且在同一母线上.用一棉线从顶着圆柱侧面绕圈到.则棉线最短为A. cmB. cmC. cmD. cm10. 如图.点为正方体左侧面的中心.点是正方体的一个顶点.正方体的棱长为.一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是A. B. C. D.11. 如图所示是一棱长为的正方体.把它分成个小正方体.每个小正方体的边长都是.如果一只蚂蚁从点爬到点.那么间的最短距离满足A. B. C. D. 或12. 如图所示.圆柱形玻璃杯的高为 .底面周长为 .在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜.此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿与蜂蜜相对的点处.则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为A. B. C. D.13. 如图.点的正方体左侧面的中心.点是正方体的一个顶点.正方体的棱长为.一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是A. B. C. D.14. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上.高二丈周三尺.有葛藤自根缠绕而上.五周而达其顶.问葛藤之长几何?”.题意是如图所示.把枯木看作一个圆柱体.因一丈是十尺.则该圆柱的高为尺.底面周长为尺.有葛藤自点处缠绕而上.绕五周后其末端恰好到达点处．QQ群450116225则问题中葛藤的最短长度是尺．15. 如图.已知圆柱体底面的半径为.高为分别是两底面的直径．若一只小虫从点出发.沿圆柱侧面爬行到点.则小虫爬行的最短路线长度是（结果保留根号）．16. 如图.圆柱形容器高 .底面周长为 . 在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜.此时一只蚂蚁正好在杯外壁.离杯上沿与蜂蜜相对的点处.则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 .17. 如图所示的正方体木块的棱长为 .沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角.得到如图②的几何体.一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为 .QQ群45011622518. 如图.长方体的底面边长分别为和.高为．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点.那么所用细线最短需要．19. 如图.长方体的长为.宽为.高为.点距离点.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点.蚂蚁爬行的最短距离是．20. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立在地上.高二丈.周三尺.有葛藤自根缠绕而上.五周而到其顶.问葛藤之长几何?”题意是：如图.把枯木看做一个圆柱体.因一丈是十尺.则该圆柱的高是尺.底面周长为尺.有葛藤自点处缠绕而上.绕五周后其末端恰好到达点处.则问题中的葛藤的最短的长度是尺．21. 如图.长方体的底面边长分别为和 .高为 .若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点.则蚂蚁爬行的最短路径长为 .22. 一只蚂蚁从长、宽都是.高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点.那么它爬行的最短路线的长是．23. 如图所示是一段三级台阶.它的每一级的长、宽和高分别为和是这段台阶两个相对的端点. 点有一只蚂蚁.想到点去吃可口的食物.设蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为.则以为边长的正方形的面积为 .QQ群45011622524. 如图.长方体的底面边长分别为和.高为．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点.那么所用细线最短需要；如果从点开始经过个侧面缠绕圈到达点.那么所用细线最短需要25. 在一个长为米.宽为米的矩形草地上.如图堆放着一根长方体的木块.它的棱长和场地宽平行且大于.木块的正视图是边长为米的正方形.一只蚂蚁从点处.到达处需要走的最短路程是米（精确到米）26. 如图为一圆柱体工艺品.其底面周长为.高为.从点出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点.则该装饰线最短长为．27. 如图.一个没有上盖的圆柱盒高为.底面圆的周长为.点距离下底面.一只位于圆柱盒外表面点处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点处吃东西.则蚂蚁需爬行的最短路程的长为．28. 图 1 所示的正方体木块棱长为.沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角.得到如图 2 的几何体.一只蚂蚁沿着图 2 的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为．29. 一只蚂蚁沿棱长为的正方体表面从顶点爬到顶点.则它走过的最短路程为．30. 如图.圆锥的主视图是等边三角形.圆锥的底面半径为.假若点有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行.它要想吃到母线的中点处的食物.那么它爬行的最短路程是．31. 如图.圆锥的母线长是.底面半径是是底面圆周上一点.从点出发绕侧面一周.再回到点的最短的路线长是．QQ群45011622532. 如图.一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙）.有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处．（1）请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为时.求蚂蚁爬过的最短路径的长．33. 葛藤是一种植物.它自己腰杆不硬.为了争夺雨露阳光.常常绕着树干盘旋而上.它还有一个绝招.就是它绕树盘升的路线.总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为.绕一圈升高.则它爬行路程是多少?（2）如果树的周长为.绕一圈爬行.则爬行一圈升高多少?如果爬行圈到达树顶.则树干多高?34. 如图所示.长方体的长为.宽为.高为.点与点之间相距.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点.需要爬行的最短距离是多少?35. 图①.图②为同一长方体房间的示意图.图③为该长方体的表面展开图．（1）已知蜘蛛在顶点处；①苍蝇在顶点处时.试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇.沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点处时.图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线.往天花板爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线.试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图③中.半径为的与相切.圆心到边的距离为.蜘蛛在线段上.苍蝇在的圆周上.线段为蜘蛛爬行路线．若与相切.试求的长度的范围．QQ群45011622536. 如图.直四棱柱侧棱长为.底面是长为.宽为的长方形．一只蚂蚁从顶点出发沿棱柱的表面爬到顶点．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．37. 如图.观察图形解答下面的问题：（1）此图形的名称为．（2）请你与同伴一起做一个这样的物体.并把它沿剪开.铺在桌面上.则它的侧面展开图是一个．（3）如果点是的中点.在处有一只蜗牛.在处恰好有蜗牛想吃的食品.但它又不能直接沿爬到处.只能沿此立体图形的表面爬行．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗?（4）的长为.侧面展开图的圆心角为.请你求出蜗牛爬行的最短路程．38. 如图.一只虫子从圆柱上点处绕圆柱爬一圈到点处.圆柱的高为.圆柱底面圆的周长为.求虫子爬行的最短路程．39. 如图.一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙）.有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处.（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当时.求蚂蚁爬过的最短路径的长；40. 如图一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙）.有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．当＝＝＝时.求蚂蚁爬过的最短路径的长．41. 一只蚂蚁从长、宽都是.高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点.如图.求它爬行的最短路线的长．42. 如图所示是一段楼梯.已知 .楼梯宽 .一只蚂蚁要从点爬到点.求蚂蚁爬行的最短路程.QQ群45011622543. 如图.一个长方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙）.有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径．（2）当时.求蚂蚁爬过的最短路径的长．（3）求点到最短路径的距离．44. 已知圆锥的底面半径为.高.现在有一只蚂蚁从底边上一点出发．在侧面上爬行一周又回到点.求蚂蚁爬行的最短距离．45. 如图.是一个长方体盒子.长.宽.高．（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点沿盒子表面爬到点.求它所行走的最短路线的长．（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为多少?46. 图1、图2为同一长方体房间的示意图.图 3为该长方体的表面展开图．（1）蜘蛛在顶点处．①苍蝇在顶点处时.试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇.沿墙面爬行的最近路线．②苍蝇在顶点处时.图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线.往天花板爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线.试通过计算判断哪条路线更近．（2）在图中.半径为的与相切.圆心到边的距离为.蜘蛛在线段上.苍蝇在的圆周上.线段为蜘蛛爬行路线.若与相切.试求长度的范围．47. 如图.长方体中..一只蚂蚁从点出发.沿长方体表面爬到点.求蚂蚁怎样走最短.最短路程是多少?48. 如图.平行四边形中..将平行四边形沿过点的直线折叠.使点落到边上的点处.折痕交边于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若点时直线上的一个动点.请计算的最小值．49. 实践操作在矩形中..现将纸片折叠.点的对应点记为点.折痕为（点是折痕与矩形的边的交点）.再将纸片还原．QQ群450116225（1）初步思考若点落在矩形的边上（如图①）．①当点与点重合时..当点与点重合时.；②当点在上.点在上时（如图②）.求证：四边形为菱形.并直接写出当时菱形的边长．（2）深入探究若点落在矩形的内部（如图③）.且点分别在边上.请直接写出的最小值．（3）拓展延伸若点与点重合.点在上.射线与射线交于点（如图④）．在各种不同的折叠位置中.是否存在某一种情况.使得线段与线段的长度相等?若存在.请直接写出线段的长度；若不存在.请说明理由．答案1. B2. C 【解析】将台阶面展开.连接.如图.线段即为壁虎所爬的最短路线．因为.在中.根据勾股定理.得.所以．所以壁虎至少爬行．3. C 【解析】4. B5. D6. A 【解析】 .7. B 8. B 9. B 10. C11. B 12. A 13. C 【解析】将正方体的左侧面与前面展开.构成一个长方形.用勾股定理求出距离即可．如图.．14.15.【解析】将圆柱的侧面沿剪开并铺平得长方形.连接.如图．线段就是小虫爬行的最短路线．根据题意得．在中.由勾股定理.得.．所以．16.17.18.19.【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形.如图 1：长方体的宽为.高为.点离点的距离是..在直角三角形中.根据勾股定理得：；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形.如图 2：长方体的宽为.高为.点离点的距离是..在直角三角形中.根据勾股定理得：；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形.如图 3：长方体的宽为.高为.点离点的距离是..在直角三角形中.根据勾股定理得：；.蚂蚁爬行的最短距离是．20.21.【解析】要求长方体中两点之间的最短路径.最直接的做法就是将长方体展开.然后利用两点之间线段最短解答.如图.22.23.24.【解析】如图.依题意.得从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点时.最短距离为.此时.由勾股定理.得.即所用细线最短为．若从点开始经过个侧面缠绕圈到达点.则长方体的侧面展开图的一边长由变成.即.由勾股定理.得.即所用细线最短为.或．25.【解析】由题意可知.将木块展开.相当于是个正方形的宽.长为米；宽为米．于是最短路径为：米．26.【解析】沿剪开可得矩形.圆柱的高为.底面圆的周长为..在中. .即装饰线的最短路线长是．27.28.29.30.【解析】圆锥的底面周长是.则.即圆锥侧面展开图的圆心角是.在圆锥侧面展开图中.在圆锥侧面展开图中.这只蚂蚁爬行的最短距离是．31.【解析】图中扇形的弧长是.根据弧长公式得到..即扇形的圆心角是...32. （1）蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的和．（2）如图.．．所以蚂蚁爬过的最短路径的长是．33. （1）（2）；34. ．35. （1）①如图①.连接.线段就是所求作的最近路线．②两种爬行路线如图②所示.由题意可得：在中.；在中.．.路线更近．（2）如图③中.连接.为的切线.点为切点.．在中.有.当时.最短.取得最小值.此时.．当点与点重合时.最长.取得最大值.如图④.过点作.垂足为.由题意可得.在中.．在中.．综上所示.长度的取值范围是．36. （1）若蚂蚁沿侧面爬行.则经过的路程为；若蚂蚁沿侧面和底面爬行.则经过的路程为或．所以蚂蚁经过的最短路程是．（2）蚂蚁爬过的棱长依次为时.其路程为最长.最长路程是．37. （1）圆锥（2）扇形（3）把此立体图形的侧面展开.如图所示.为蜗牛爬行的最短路线．（4）在中.由勾股定理.得.所以．故蜗牛爬行的最短路程为．38. 如图.是圆柱的展开图.连接．由题意可知虫子爬行的最短路径为.此时．答：虫子爬行的最短路程为．39. （1）如图.木柜的表面展开图是两个矩形和 .故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径为图中的和 .（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段到 .爬过的最短路径的长是 .蚂蚁沿着木柜表面经线段到 .爬过的最短路径的长是 .因为 .所以蚂蚁爬过的最短路径的长为 .40. 如图所示.木柜的部分表面展开图示两个矩形或矩形．蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径是如图的或．若爬过的路径的长是.则；若爬过的路径的长是.则 ..最短路径的长是．41. 蚂蚁实际上是在长方体的半个侧面内爬行.如果将这半个侧面展开（如图所示）.得到矩形.根据“两点之间.线段最短”.所求的最短路程就是半个侧面展开图矩形对角线之长．在中.底面边长.．答：最短路程约为．42. 如图①；如图②、如图③.蚂蚁爬行的最短路程为 .43. （1）木柜的部分表面展开图如图：蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有和．（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段到. 爬过的路径长为．蚂蚁沿着木柜表面经线段到.爬过的路径长为．.最短路径为．（3）过点作于点.连接. 则．点到最短路径的长为．44. 设扇形的圆心角为.圆锥的顶点为.．由勾股定理可得母线.而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为.．即是等腰直角三角形.由勾股定理得：．答：蚂蚁爬行的最短距离为．45. （1）蚂蚁从点爬到点有三种可能.展开成平面图形如图所示.由勾股定理计算出的值分别为 .比较后得最小为 .即最短路线的长是．（2）如图 ..即能容下的最长木棒的长度为．46. （1） ①如图所示线段为最近路线.②将长方体展开.使得长方形和长方形在同一平面内.如图.在中..．将长方体展开.使得长方形和长方形在同一平面内.如图.在中.＝＝＝.＝＋＝＝ .＜.往天花板爬行的最近路线更近.（2）过点作于.连接.半径为的与相切.圆心到边的距离为..根据勾股定理可得..．与相切于点..．当时.；当时.．长度的范围是．47. 如图1所示：由题意得：.在中.由勾股定理得.如图2所示：由题意得：.在中.由勾股定理得：.．第一种方法蚂蚁爬行的路程最短.最短路程是．48. （1）将平行四边形沿过点的直线折叠.使点落到边上的点处......四边形是菱形...四边形是菱形.（2）四边形是菱形.与关于对称.连接交于.则的长即为的最小值. 过点作于.......的最小值为．49. （1）① ；② 翻折的性质..四边形是矩形.......四边形是平行四边形..平行四边形是菱形.当时.菱形边长为．..（2）．（3）存在.．最短路径问题专题练习1. 如图.长方体中..一蚂蚁从点出发.沿长方体表面爬到点处觅食.则蚂蚁所行路程的最小值为A. B. C. D.2. 如图是一个三级台阶.它的每一级的长、宽和高分别是和是这个台阶的两个相对的端点.点有一只壁虎.它想到点去吃可口的食物.请你想一想.这只壁虎从点出发.沿着台阶面爬到点.至少需爬A. B. C. D.3. 如图.个边长为的小正方形及其部分对角线所构成的图形中.如果从点到点只能沿图中的线段走.那么从点到点的最短距离的走法共有A. 种B. 种C. 种D. 种4. 如图所示.圆柱的底面周长为是底面圆的直径.高.点是母线上一点且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是A. B. C. D.正方形专题练习1、小明在学习了正方形之后.给同桌小文出了一道题.从下列四个条件：① ；② ；③；④ 中选出两个作为补充条件.使平行四边形为正方形（如图）．现有下列四种选法.你认为其中错误的是A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④2、.大正方形中有个小正方形.如果它们的面积分别是.那么的大小关系是A. B.C. D. 的大小关系不确定3、如图.在正方形和正方形中.点在上..将正方形绕点顺时针旋转.得到正方形.此时点在上.连接.则A. B. C. D.4五个边长都为的正方形按如图所示摆放.点分别是四个正方形的中心.则图中四块阴影部分面积的和为A. B. C. D.旋转专题练习1. 如图.在矩形中.已知.将矩形绕着点在桌面上顺针旋砖至.使其停靠在矩形的点处.若.则点的运动路径长为（1题）（2题A. B. C. D.2. 在中..把这个直角三角形绕顶点旋转后得到.其中点正好落在上.与相交于点.那么等于A. B. C. D.3. 在锐角中.（如图）.将绕点按逆时针方向旋转得到（顶点、分别与、对应）.当点在线段的延长线上时.则的长度为 QQ群450116225（3题）（4题）A. B. C. D.4. 边长一定的正方形是上一动点.交于点.过作交于点.作于点.连接.下列结论：① ；② ；③ ；④ 为定值．其中一定成立的是11.抗震救灾中.某县粮食局为了保证库存粮食的安全.决定将甲、乙两个仓库的粮食.全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库。

中考数学复习指导：以菱形为背景的最小值问题

以菱形为背景的最小值问题本文探究以菱形为背景的最小值问题．旨在通过对数学知识内在实质的追根溯源，突出解题的转化过程，培养学生的解题能力，促进学生的思维发展．一、菱形中的动点1．一个动点例1 如图1，菱形ABCD中，∠BAD=60°，点M是AB的中点，点P是对角线AC 上一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB的长为．解析如图2所示，B、D两点关于直线AC对称，连结DM交AC于点P，则．PM+PB=DM．根据两点间的线段最短，得AB=23．2．二个动点例2 如图3，菱形ABCD中, AB=2，∠A=60°，点P，Q分别为线段AB，BC上的任意两点，且∠PDQ=60°，则PQ的最小值是。

解析如图4所示，连结BD，可证得△ADP≌△BDQ．设AP=BQ=x，则有PB=2－x，PQ2=3(x－1)2+1．当x=1时，PQ有最小值为1．3．三个动点例3如图5，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为．解析由图6所示，作点P 关于直线BD 的对称点P 1，过P 1点作P 1Q ⊥CD ，则P 1Q 为最短，故PK+QK 的最小值为3．二、菱形中的动线例4 如图7，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A'MN ，连结A'C ，则A'C 长度的最小值是 .解析因为MA'是定值，故当A'C 的长度最小时，点A'在MC 上．过点M 作M F ⊥DC 于点F ，如图7．∵ 在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，∴ CD =2，∠ADC =120°．∴ ∠FDM =60°，∠FMD =30°，∴ FD =12MD =14AD =12， FM=MD ·cos30°=32．∴ MC=22FM CF =7．∴ A'C =MC －MA'=MC －MA =7－1，三、菱形中的圆1．动点在一个圆上例5 如图8，菱形ABCD ，对角线AC 和BD 相交于点D ，且AC =6，BD =8，⊙O 的半径为1，点P 是线段AD 上一动点，过点P 作⊙O 的切线PQ ，切点为Q ，则切线PQ 长的最小值是．解析PQ2=OP2－O Q2=OP2－1．只有当OP取到最小值时，PQ才达到最小值，故当O P⊥AD时，即OP=125时，PQ值最小，最小为1195．2．动点在二个圆上例6 如图9，菱形ABCD中，∠A=60°。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题08 菱形中的最值问题

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题08 菱形中的最值问题【例题讲解】如图，菱形ABCD 的边长是6，∠A ＝60°，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一个动点，EG ＝EF 且∠GEF ＝60°，则GB +GC 的最小值是_____ 解：连接BD ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∵E 是AD 的中点，∴BE ⊥AD ，取AB 与CD 的中点M ，N ，连接MN ，∴点B 关于MN 的对称点是E ，连接EC ，此时CE 的长就是GB +GC 的最小值；∵MN ∥AD ，∴HM ＝12AE ，∵HB ⊥HM ，AB ＝6，∠A ＝60°，∴MB ＝3，∠HMB ＝60°，∴HM ＝1.5，∴AE ＝3，∵∠AEB ＝∠MHB ＝90°，∴∠CBE ＝90°，在Rt △EBC 中，EB ＝33，BC ＝6，∴EC ＝37，故答案为37．【综合演练】1．如图，在边长为6的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，F 是AC 上的一动点，则EF BF +的最小值为（）A ．33B ．6C ．3D ．322．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝1，E 为BC 的中点，则对角线BD 上的动点P 到E 、C 两点的距离之和的最小值为（）A ．34B ．33C ．32D ．123．如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（）A ．2B ．23C ．4D ．23+24．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，4AB =，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，P 是AC 上的一个动点，则PE PF +的最小值是（）A ．3B ．33C ．4D ．435．如图，菱形ABCD 的边长为2，且∠DAB ＝60°，E 是BC 的中点，P 为BD 上一点且△PCE 的周长最小，则△PCE 的周长的最小值为（）A ．31+B ．71+C ．231+D ．271+6．如图，菱形ABCD 的边长为23,60DAB ︒∠=，点E 为BC 边的中点，点P 为对角线上一动点，则PB PE +的最小值为__________．7．如图，四边形ABCD 为菱形，以AD 为斜边的Rt AED △的面积为3，2DE =，点E ，C 在BD 的同侧，点P 是BD 上的一动点，则PE PC +的最小值是_____________．8．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是_______．AP+PD 9．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则12的最小值为_____．10．如图，菱形ABCD中，∠ABC=56°，点E，F分别在BD，AD上，当AE+EF的值最小时，则∠AEF=___度．11．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC=120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD 上一动点，且AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为______________.12．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若45B ∠=︒，23BC =，则GH 的最小值为___________．13．如图，菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则12BP PC +的最小值是______．14．如图，菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是边AB 上任意一点(端点除外)，线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，C ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．(1)求证：AF EF =；(2)求MN NG +的最小值．15．如图，菱形ABCD 的边长是6，∠A ＝60°，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一个动点，EG ＝EF 且∠GEF ＝60°，则GB +GC 的最小值是_____答案与解析【例题讲解】如图，菱形ABCD 的边长是6，∠A ＝60°，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一个动点，EG ＝EF 且∠GEF ＝60°，则GB +GC 的最小值是_____ 解：连接BD ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∵E 是AD 的中点，∴BE ⊥AD ，取AB 与CD 的中点M ，N ，连接MN ，∴点B 关于MN 的对称点是E ，连接EC ，此时CE 的长就是GB +GC 的最小值；∵MN ∥AD ，∴HM ＝12AE ，∵HB ⊥HM ，AB ＝6，∠A ＝60°，∴MB ＝3，∠HMB ＝60°，∴HM ＝1.5，∴AE ＝3，∵∠AEB ＝∠MHB ＝90°，∴∠CBE ＝90°，在Rt △EBC 中，EB ＝33，BC ＝6，∴EC ＝37，故答案为37．【综合演练】1．如图，在边长为6的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，F 是AC 上的一动点，则EF BF +的最小值为（）A ．33B ．6C ．3D ．32【答案】A【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，点B 关于AC 的对称点是点D ，连接ED ，EF +BF 最小值等于ED 的长，然后解直角三角形即可求解．【解答】解：如图，连接BD ，∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，∴点B、D关于AC对称，如图，连接ED，则ED的长就是所求的EF+BF的最小值，∵E为AB的中点，∠DAB=60°，∴DE⊥AB，∴ED=22226333AD AE-=-=，∴EF+BF的最小值为33．故选：A．【点评】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，关键是判断出ED的长就是所求的EF+BF的最小值．2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（）A3B3C 3D．12【答案】C【分析】根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将PE+PC转化为PE+ AP，再根据两点之间线段最短得知AE为PE+PC的最小值,进而求AE的值即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴A、C关于BD对称，∴连AE交BD于P，则PE+PC＝PE+AP＝AE，根据两点之间线段最短，AE 的长即为PE +PC 的最小值．∵∠ABC ＝60°，AB=BC∴△ABC 为等边三角形，又∵BE ＝CE 12BC =， ∴AE ⊥BC ，11,2AB BE == ∴AE ＝22AB BE -＝32．故选：C ．【点评】本题主要考查最短距离问题，掌握勾股定理，等边三角形的性质及菱形的对称性是解题的关键．3．如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（）A ．2B ．23C ．4D ．23+2【答案】B【解答】解：作点P 关于BD 的对称点P′，作P′Q ⊥CD 交BD 于K ，交CD 于Q ，∵AB=4，∠A=120°，∴点P′到CD 的距离为4×32=23， ∴PK+QK 的最小值为23，故选B ．【点评】本题考查轴对称-最短路线问题；菱形的性质． 4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，4AB =，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，P 是AC 上的一个动点，则PE PF +的最小值是（）A ．3B ．33C ．4D ．43 【答案】C【分析】作E 点关于AC 的对称点点G ，连接GF 交AC 于点P ，连接PE ，当P 、G 、F 三点共线时，PE +PF 有最小值，最小值为GF ，求出GF 即可．【解答】解：作E 点关于AC 的对称点点G ，连接GF 交AC 于点P ，连接PE ，连接PE ，由对称性可得PG =PE ，AG =AE ，∴PE +PF =PG +PF ⩾GF ，当P 、G 、F 三点共线时，PE +PF 有最小值，∵点E 是AB 的中点，∴点G 是AD 的中点，1=2AG AD ∴， ∵F 是BC 的中点，1=2BF BC ∴，又∵四边形ABCD 是菱形，∴AG BF ∥，AD =BC ，=AG BF ∴，∴四边形ABFG 是平行四边形，∴GF =AB =4，∴PE +PF 的最小值为4，故选：C ．【点评】本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，菱形的性质是解题的关键．5．如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（）A．31+B．71+C．231+D．271+【答案】B【分析】由菱形的性质可得点A与点C关于BD对称，则△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，由∠BAD＝60°，可求∠EBG＝60°，则BG＝12，EG＝32，在Rt△AEG中，求出AE＝2213(2)()722++=，则△PCE的周长＝AE＋CE＝7＋1，即为所求．【解答】解：∵菱形ABCD，∴点A与点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，连接PC，则PE＋PC＝P A＋PC＝AE，∴△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，∵E是BC的中点，菱形ABCD的边长为2，∴BE＝1，AB＝2，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠EBG＝60°，∴BG＝12，EG＝32，在Rt△AEG中，AE2＝AG2＋EG2，∴AE ＝2213(2)()722++=， ∴△PCE 的周长＝AE ＋CE ＝7＋1，∴△PCE 的周长的最小值为7＋1，故选：B ．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握菱形的性质，将所求问题转化为求AE 的长是解题的关键． 6．如图，菱形ABCD 的边长为23,60DAB ︒∠=，点E 为BC 边的中点，点P 为对角线上一动点，则PB PE +的最小值为__________．【答案】3【分析】找出B 点关于AC 的对称点D ，连接DE 交AC 于P ，则DE 就是PB PE +的最小值，求出即可．【解答】解：连接BD ，交AC 于O ，连接DE 交AC 于P ，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、D 关于AC 对称，则PD PB =，PE PB PE PD DE ∴+=+=，即DE 就是PE PB +的最小值．四边形ABCD 是菱形，60DCB DAB ∴∠=∠=︒，23DC BC ==，DCB ∴∆是等边三角形，3BE CE ==，DE AB ⊥∴（等腰三角形三线合一的性质）．在Rt DE B ∆中，2222(23)(3)3DE BD BE =-=-=．即PB PE +的最小值为3．故答案为3．【点评】本题主要考查轴对称—最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．7．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为斜边的Rt AED△的面积为3，2DE=，点E，C在BD的同侧，点P是BD上的一动点，则PE PC+的最小值是_____________．【答案】3【分析】根据菱形的轴对称性可得A、C关于BD对称，当A、P、E三点共线时，PE PC+的值最小为AE，再根据三角形的面积即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD菱形，∴A、C关于BD对称，∵点E，C在BD的同侧，∴当A、P、E三点共线时，PE PC+的值最小，且最小值为AE；∵以AD为斜边的Rt AED△的面积为3，2DE=，∴1123 22⨯=⨯=AE DE AE，∴AE=3，∴PE PC+的最小值是3故答案为：3．【点评】本题考查了菱形的性质、最短问题、面积法等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，是中考常考题型．8．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是_______．【答案】9【分析】要求PM＋PN的最小值，PM、PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN、PM的值，从而找出其最小值,即可求出△PMN 周长的最小值．【解答】解：如图：连接MN ，作ME ⊥AC 交AD 于E ，连接EN ，则EN 就是PM ＋PN 的最小值，∵菱形ABCD ，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，∴BN ＝BM ＝AM ，MN=118422AC =⨯= ∵ME ⊥AC 交AD 于E ，∴AE ＝AM ，∴AE ＝BN ，AE ∥BN ，∴四边形ABNE 是平行四边形，∴EN ＝AB ，EN ∥AB ，而由题意可知，可得AB ＝()()226282÷+÷＝5，∴EN ＝AB ＝5，∴PM ＋PN 的最小值为5．∵MN 不变，当PM ＋PN 的最小值时，△PMN 周长最小，∴△PMN 周长最小=9故答案为：9．【点评】本题考查菱形的性质、轴对称、平行四边形的判定及勾股定理等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．9．如图，菱形ABCD 的边长为6，∠B ＝120°．点P 是对角线AC 上一点（不与端点A 重合），则12AP+PD 的最小值为_____．【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝12AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝12AP;∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝12AD＝12×6＝3;∴DF＝33;∵12AP+PD＝PE+PD,∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,PE+DP的值最小，最小值为DF的长,∴12AP+PD的最小值为33.故答案为：33.【点评】本题考查了菱形的性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定.10．如图，菱形ABCD中，∠ABC=56°，点E，F分别在BD，AD上，当AE+EF的值最小时，则∠AEF=___度．【分析】连接AC，过点C作CF⊥AD，交BD于点E，交AD于点F，连接AE，根据菱形的性质和垂线段最短可得此时AE＋EF的值最小，且最小值即为CF的长，然后根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形外角的性质即可求出结论．【解答】解：连接AC，过点C作CF⊥AD，交BD于点E，交AD于点F，连接AE∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=56°∴菱形ABCD是以BD所在直线为对称轴的轴对称图形，∠ADC=∠ABC=56°，DA=DC∴AE=CE，∠DAC=∠DCA=1（180°－∠ADC）=62°2∴此时AE＋EF=CE＋EF=CF，∠EAC=∠ECA根据垂线段最短可知：此时AE＋EF的值最小，且最小值即为CF的长∵CF⊥AD∴∠AFC=90°∴∠ECA=90°－∠DAC=28°∴∠EAC=28°∴∠AEF=∠EAC＋∠ECA=56°故答案为：56．【点评】此题考查的是菱形的性质、垂线段最短的应用、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握菱形的性质、垂线段最短、直角三角形的两个锐角互余和等边对等角是解决此题的关键．11．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC=120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD 上一动点，且AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为______________.【答案】33【分析】首先证明△BEF 是等边三角形，当BE ⊥AD 时面积最小．【解答】解：连接BD ，∵菱形ABCD 边长为4，∠ADC =120°，∴∠BAD =60°，∴△ABD 与△BCD 都为等边三角形，∴∠FDB =∠EAB =60°，∵AE +CF =4，而DF +CF =4，∴AE =DF ，∵AB =BD ，∴△BDF ≌△BAE （SAS ），∴BE =BF ，∠ABE =∠DBF ，∴∠EBF =∠ABD =60°，∴△BEF 是等边三角形，∴当BE ⊥AD 时，△BEF 的面积最小，在Rt △ABE 中，AE =12AB =2，由勾股定理得BE =23，同理可得等边△BEF 的边BE 上的高为32×23=3， △BEF 面积的最小值=33．故答案为：33．【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若45B ∠=︒，23BC =GH 的最小值为___________．【答案】6 2【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH =12AF，求出AF的最小值即可解决问题．【解答】连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AB= BC= 23∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，GH =12AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB = 90°，∵∠B= 45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=22AB=22×23=6，∴GH =6 2即GH的最小值为6 2故答案为：6 2【点评】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．13．如图，菱形ABCD中，60ABC∠=︒，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则12BP PC+的最小值是______．【答案】332【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短．【解答】解：如图所示：过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，过点C 作CF AB ⊥交AB 于点F ，四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，∴∠ABP =30°，12PE BP ∴=， 12BP PC PE PC ∴+=+，由垂线段最短可知，PE PC +的最小值为CF 的长，33sin 3sin 602CF BC ABC ∴=⨯∠=⨯︒=，即12BP PC +的最小值是：332，故答案是：332．【点评】本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离． 14．如图，菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是边AB 上任意一点(端点除外)，线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，C ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．(1)求证：AF EF =；(2)求MN NG +的最小值．【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）连接CF ，根据FG 垂直平分CE 和菱形的对称性即可得到CF EF =，CF AF =，从而求证结论；（2）利用M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 的中点，即可得到1(2)AF F MN N C G +=+，当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，AF CF +最小，此时MN NG +最小，结合已知推断ABC 为等边三角形，即可求解．（1）证明：连接CF ，FG 垂直平分CE ，CF EF ∴=，四边形ABCD 为菱形，A ∴和C 关于对角线BD 对称，CF AF ∴=，AF EF ∴=；（2）解：连接AC ，M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 中点，11,22MN AF NG CF ∴==，即 1(2)AF F MN N C G +=+ 当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，AF CF +最小，即此时MN NG +最小，菱形ABCD 边长为1，60ABC ∠=︒，ABC ∴为等边三角形，1AC AB ==，即MN NG +的最小值为12．【点评】本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．。

初中数学《最短路径问题》典型题型复习

初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A ，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点P ，使得PA+PB 最小。

解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短．解：只有A 、C 、B 在一直线上时，才能使AC +BC 最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A ′，然后连接A ′B ，交“街道”于点C ，则点C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

A· MNE证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。

【配套K12】中考数学专题复习六求最短路径问题

中考数学专题复习学案六求最短路径问题【专题思路剖析】知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

这类问题在中考中出现的频率很高，一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【典型例题赏析】类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题例题1：（2015•辽宁省盘锦,第15题3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果．解答：解：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA=2，∴∠BPC=90°，∵E为BC的中点，∴BE=BC=1，PE=BC=1，∴PE=BE，∵∠DAB=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBE=60°，∴△PBE是等边三角形，∴PB=BE=PE=1，∴PB+BE+PE=3；故答案为：3．点评：本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．【方法点评】本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．【变式练习】（2015•福建第16题 4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是．考点：翻折变换（折叠问题）．.分析：首先由勾股定理求得AC的长度，由轴对称的性质可知BC=CB′=3，当B′A有最小值时，即AB′+CB′有最小值，由两点之间线段最短可知当A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值．解答：解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC===4，由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．故答案为：1．点评：本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理和线段的性质，将求B′A的最小值转化为求AB′+CB′的最小值是解题的关键．类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题例题2：（2015•四川凉山州第26题5分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．.分析：点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．解答：解：连接ED，如图，∵点B的对称点是点D，∴DP=BP，∴ED即为EP+BP最短，∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，∴点D的坐标为（1，），∴点C的坐标为（3，），∴可得直线OC的解析式为：y=x，∵点E的坐标为（﹣1，0），∴可得直线ED的解析式为：y=（1+）x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为（），故答案为：（）．点评：此题考查菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标．【方法点评】“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．【变式练习】（2015•营口，第10题3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°考点：轴对称-最短路线问题．分析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．解答：解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴CM+DN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．点评：本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．类型3、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。

菱形的最短路线问题

首先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于点P，此时MP+NP有最小值且等于M′N ，然后证明四边形AM′NB 为平行四边形，即可求出MP+NP= M′P +NP=AB=1。
具体如下：作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值且等于M′N ． ∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点 ∴M′是AD的中点又N是BC边上的中点 ∴AM′∥BN，AM′=BN ∴四边形AM′NB是平行四边形 ∴ MP+NP= M′P +NP=AB=1即MP+NP的最小值是1。
2
∵AD∥BC 3 ∴E′F=BG= 2 ．
问题2：如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=1200 ，E、 F、P分别是AB、BC、AC上的动点，PE+PF的最小值等于（）
分析：先找出图中点E关于AC的对称点E′，过点E′作 E′F ⊥BC于F，交 ACAC 于P ，根据轴对称确定最短路线问题以解：如图，点 E关于的对称点 E′，过点E′作E′F⊥BC于F，及垂线段最短可知 E′F为PE+PF 的最小值的最小值，为了求交AC于P，则PE+PF=E′F 为最小值的情况，过点 B作出此值，可以过点 B作BG ⊥ AD于G，解直角三角形求出 0 ∴∠BAD=60° BG， BG⊥AD于G，∵AB=1 ∠ ABC=120 再根据平行线间的距离相等即可得解． ∴BG=AB•sin60°=1× = 3
先找出图中点e关于ac的对称点e过点e作efbc于f交ac于p根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知ef为pepf的最小值的最小值为了求出此值可以过点b作b得解
菱形中的最短路线问题
问题1：如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点,点M,N分别为AB,BC边上的中点,则MP+NP的最小值是( )

菱形的最短路线问题

菱形中的最短路线问题
问题1：如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点,点M,N分别为AB,BC边上的中点,则MP+NP的最小值是( )
首先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于点P，此时MP+NP有最小值且等于M′N ，然后证明四边形AM′NB 为平行四边形，即可求出MP+NP= M′P +NP=AB=1。
பைடு நூலகம்
具体如下：作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值且等于M′N ． ∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点 ∴M′是AD的中点又N是BC边上的中点 ∴AM′∥BN，AM′=BN ∴四边形AM′NB是平行四边形
∴ MP+NP= M′P +NP=AB=1即MP+NP的最小值是1。
问题2：如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=1200 ，E、 F、P分别是AB、BC、AC上的动点，PE+PF的最小值等于（）
分析：先找出图中点E关于AC的对称点E′，过点E′作
E及出解交BG′F垂此：A⊥⊥C线值如于AB段，图DCP于于最可，，GF短以点则，，可过EP交∵关E知点A+A于PBEBCF=作A′于F1=C为BEP的G∠P′，FA对⊥E为根B+称A最CP据DF点=小于轴的1E2值G对最′0，，的0称小过解情∴确值点∠直况定的BE角，A最′最作D三过短小E=角点6′路F值0⊥形B°线，作B求问为C出题于了B以F求G，，再∴B根G据=A平B行•si线n6间0°的=距1×离相=等即3 可得解．
2
∵AD∥BC
∴E′F=BG=
3．
2

勾股定理中的四类最短路径模型(学生版)--初中数学

勾股定理中的四类最短路径模型勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。

人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。

对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。

对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。

模型1.圆柱中的最短路径模型【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。

注意：1)运用勾股定理计算最短路径时，按照展开-定点-连线-勾股定理的步骤进行计算；2)缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。

【最值原理】两点之间线段最短。

1(2023·广东·八年级期中)如图，一个底面圆周长为24cm，高为9cm的圆柱体，一只蚂蚁从距离上边缘4cm的点A沿侧面爬行到相对的底面上的点B所经过的最短路线长为()A.413cmB.15cmC.14cmD.13cm【答案】D【分析】将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：将圆柱体的侧面展开，连接AB，如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm，则BD=24×12=12cm，又因为AD=9-4=5cm，所以AB=122+52=13(cm)，即蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13cm．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的应用-最短路径问题．解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理进行求解．2(2023·重庆·八年级期末)如图，圆柱形玻璃杯高14cm，底面周长为18cm，在外侧距下底处1cm有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上端距开口处1cm的外侧点处有一只苍蝇，蜘蛛捕到苍蝇的最短路线长是cm．【答案】15【分析】展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，求出SE、EF，根据勾股定理求出SF即可．【详解】解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，则SE=BC=12×18=9(cm)，EF=14-1-1=12(cm)，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF=SE2+EF2=92+122=15(cm)，故答案为15．【点睛】本题考查勾股定理、平面展开-最短路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中．3(2023春·山东济宁·八年级校考期中)春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为米．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．1.(2023·湖北十堰·统考一模)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘AB= CD=20m(边缘的宽度忽略不计)，点E在CD上，CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为()A.28mB.24mC.20mD.18m【答案】C【分析】滑行的距离最短，即是沿着AE的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，A、D、E 三点构成直角三角形，AE为斜边，AD和DE为直角边，写出AD和DE的长，根据题意，由勾股定理即可得出AE的距离．【解析】解：将半圆面展开可得：AD =12米，DE =DC -CE =AB -CE =16米，在Rt △ADE 中，AE =122+162=20(米)．即滑行的最短距离为20米．故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，U 型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，矩形的长等于AB =CD =20m .本题就是把U 型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．2.(2023春·四川德阳·八年级校考期中)如图，圆柱底面半径为2πcm ，高为9cm ，点A ，B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A ，B 在同一条竖直直线上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为cm ．【答案】15【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B 的运动最短路线是：AC →CD →DB ；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A 沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为2πcm ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2π=4cm ；又∵圆柱高为9cm ，∴小长方形的一条边长是3cm ；根据勾股定理求得AC =CD =DB =32+42=5(cm )；∴AC +CD +DB =15(cm )；故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．3.(2022·山东青岛·八年级期末)如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是( )(π取3)A.60cmB.40cmC.30cmD.20cm【答案】A【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．【解析】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC2+BC2=242+182=30cm．∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，∴最短路径长为60cm.故选：A．【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．模型2.长方体中的最短路径模型【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。

菱形中动点最小值问题

老张讲数学
菱形中动点最小值问题
菱形中动点最小值问题
例1：如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，点M在边AB的中点，点P是对角线AC 上一个动点，若PM+PB的最小值是3，求AB的长？
D
D
A
P
C
A
P
C
M B
M B
思路点拨：如图所示，B、D两点关于直线AC对称，连接DM交AC于点P，则 PM+PB=DM,根据两点之间线如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，点P是对角线AC上一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值多少？
D
D
E
A
P
C
A
P C
M
N
M
N
B
B
思路点拨：作点M关于AC的对称点E，连接EN，交AC于点P,根据对称可知则EN就是 PM+PN的最小值，因为M、N分别是AB、BC的中点， ∴ BN=BM=AM,因为ME垂直于 AC,则AE=AM, ∴ AE=BN,AE∥BN,∴四边形ABEN是平行四边形， ∴EN平行且等于AB, ∴AB= (6 2）2 （8 2）2 =5
菱形中动点最小值问题
例题3：在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一点，则EP+FP的最小值是多少？
EA F
A
E
F
B
P
D
B
C
D P
M C
思路点拨：作点F关于BD的对称点M,则PF=PM,连接ME交BD于点P,连接PF 则 EP+FP=EP+PM,根据两点之间线段最短， EP+FP的最小值就是EM的值。 ∵菱形ABCD的周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD,AF=2，AE=1，∴DF=AE=1,∴四边形AEMD是平行四边形，ME=AD=3，∴ EP+FP的最小值是3

最短路径专题含答案

（1）如图，当点是；
垂足分别为 ‴，′，为斜边与点
是 Rt
‸ 斜边
的中点．
重合时， ‴ 与 ′ 的位置关系是
上一动点（不与，重合），分别过，向直线 ‸ 作垂线，， ‴ 与 ′ 的数量关系
（2）如图，当点明；
在线段
上不与点
重合时，试判断 ‴ 与 ′ 的数量关系，并给予证
（3）如图，当点
‴
和
‸ 相似，求点
的坐标．
25. 如图，已知抛物线经过原点，顶点为
过，且与直线
h
交于，‸ 两点．
（1）求抛物线的解析式及点 ‸ 的坐标；（2）求证：（3）若点为 ‸ 是直角三角形；轴上的一个动点，过点作轴与抛物线交于点，则是否存在以，，为顶点的三角形与 26. 阅读下面材料：连接 ‴′，则 ‴′ h ‴ ‸ 相似?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求这条抛物线的解析式；（2）点是线段上的动点，过点的坐标；最大时，求点（3）探究：若点作 ‴∥ ‸，交 ‸ 于点 ‴，连接 ‸ ，当的坐标；若不存在，请说明理由． h
的坐标；若不存在，请说明理由．
，将矩形沿对角线 ‸ 剪开，请解决以下问题：
（1）将接与 30. 如图甲，在向点
，并求线段
‸‴ 绕点 ‸ 顺时针旋转高得到的长度；
‸‴ ，请在备用图中画出旋转后的高㤵㤵
‸‴ ，连
（2）在（1）的情况下，将 ‸ 中，
‸ 重叠部分的面积为，求由点，设运动时间为
（2）在图③中，半径为高 dm 的在线段试求上，苍蝇在的长度的范围． 20. 如图所示，长方体的长为

数学人教版八年级下册最短路径问题

菱形和正方形中的最短路径问题一、复习回顾1、P 是直线l 上一动点，试找到一个点P ，使得PA+PB 的值最小①、两个点在直线l 的异侧方法：连接两个固定点的线段，与动点所在直线的交点即为路径最短的点②、两个点在直线l 的同侧方法：找出其中一个点关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一个点的线段，与已知直线的交点即为所求。

2、菱形是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线正方形是轴对称图形，有4条对称轴二、知识要点（1）菱形中的最短路径问题例1：如图, 菱形ABCD 中, ∠BAD=60°, P 是对角线AC 上的一个动点，若PD+PB 的最小值是3，则AB 长为____解析：点B 和D 在AC 的同侧：PD+PB 最短路径为线段巩固：如图, 菱形ABCD 中, ∠BAD=60°,M 是AD 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，若PM+PB 的最小值是3，求AB 的长例2：菱形ABCD 中, AB=2, ∠BAD=60°, E 是AB 的中点, P 是对角线AC 上的一个动点, 求PE+PB 最小值.巩固：如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE=1，AF=2，若P 为对角线BD 上一动点，则EP+FP的最小值为多少？（2）正方形中的最短路径问题例3：如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，求PD+PE 最小值BD A C A B DC EP A B P A A ’ P BA B CD P A D M B CP A B D FE P（3）中考链接（2015.安顺）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，BE=1，F 为AB 上一点，AF=2，P 为AC 上的一个动点，则PF+PE 的最小值为多少？A DPFB E C三、总结心得①找到动点所在的直线，若动点在直线的异侧，直接连接两定点即为最短路径②动点在直线的同侧，利用轴对称找最短路径四、综合训练（2016.滨州）如图，BD 是△ABC 的角平分线，它的垂直平分线分别交AB 、BD 、BC 于点E 、F 、G ，连接ED 、DG（1）请判断四边形EBGD 的形状并说明理由（2）若∠ABC=30°， ∠C=45°，ED=102，H 是BD 上的一个动点，求HG+HC的最小值五、提升思考（2016.咸宁）菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5,0），OB= 54，点P 是对角线OB 上一个动点，D （0,1），当CP+DP 最短时，求P 的坐标。

2019国家公务员考试行测备考：几何问题中的最短线路问题

2019国家公务员考试行测备考：几何问题中的最短线路问题2019国家公务员考试行测备考：几何问题中的最短线路问题。

几何问题是行测考试中相对来说比较常考的问题，因为几何问题涉及到的知识点非常多，范围非常广泛，能够更全面的考察学员的能力。

而在几何问题中，有一类题目是将几何问题和图形推理中的一笔画问题相结合的，那就是最短线路问题。

那什么是最短线路问题呢?某社区道路如下图所示，社区民警早上9点整从A处的办公室出发，以每分钟50米的速度对社区内每一条道路进行巡查(要求完整走过整个社区内的每一段道路)，问他最早什么时候能完成任务返回办公室?想要解决这个问题，我们就得思考怎么走才能够才能保证走的距离最短，也就是最早回到办公室。

因为题干中要求必需巡查每一条道路，所以如果能够按照一笔画图形去走的话应该是最短的。

而且题干中要求要回到A点，那就还要考虑一笔画问题中的画法问题。

1.一笔画：当奇点的个数为0或者2时，这个图形可以由一遍画完成。

2.画法：当奇点的个数为0时，所有的点都是偶点，可以从任意点出发，完成一笔画并且回到原点;当奇点的个数为2时，必须从奇点出发，回到另外一个奇点，才能完成一笔画。

所以由以上的结论可知，先要构成一笔画，则奇点的个数必须为0或者2，而本题中要求回到原点，则奇点的个数必须为0。

我们可以将某些奇点连接起来，将奇点的个数降为0，如图：当然在连接的时候，还要尽量保证所连接的线段或者线段和是最小的，所以该民警走的最短距离为：350×4+350+350+150+200+250=2700米，最短时间：2700÷50=54分钟，回到办公室的最早时间是9点54分。

玉溪中公教育提醒：广大考生一定要注意各学科以及各知识点之间的联系，做题时才能更加得心应手。

When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your moments of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face;And bending down beside the glowing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heart To dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。

最短路径专题含答案

最短路径专题含答案1. 某同学的茶杯是圆柱体，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．解：如图1，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A，B分别位于如图所示的位置，连接AB，即是这条最短路线图．问题：某正方形盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．2. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求昆虫爬行的最短路程．3. 如图一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A爬一个顶点B，如果正方体棱是2，求最短的路线长．4. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长．5. 如图，有一半径为2cm，高为10cm的圆柱体，在棱AA1的P点上有一只蜘蛛，PA=3cm，在棱BB1的Q点上有一只苍蝇，QB2=2cm．蜘蛛沿圆柱爬到Q点吃苍蝇，请你算出蜘蛛爬行的最短路线长．（π取3.14；结果精确到0.01cm）6. 一只蜘蛛在一个正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点B处，如图所示，假设蚊子不动，现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的，在图上画出来，这样的最短路线有几条?7. 如图，圆柱的高为8cm，底面直径4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，它需要爬行的最短路程是多少厘米?(π≈3)8. 如图1，是一个长方体盒子，长AB=4，宽BC=2，高CG=1．（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，求它所行走的最短路线的长．（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为多少?9. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45∘，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=√2，求AD的长．10. 如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60∘，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点Dʹ处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCEDʹ是菱形；（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PDʹ+PB的最小值．11. 已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．（1）求证：AG与⊙O相切；（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．12. 已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2−2x−3a，若抛物线C1经过点(0,−3)．（参考公式：在平面直角坐标系中，若P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则P，Q两点间的距离为√(x2−x1)2+(y2−y1)2）（1）求抛物线C1的顶点坐标．（2）已知实数x>0，请证明x+1x ≥2，并说明x为何值时才会有x+1x=2．（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(m,y1)，B(n,y2)是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB=90∘，m>0，n<0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．13. 如图，已知：四边形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，DE，CD=CE=BE，DE∥BC．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若BC=6，CE=5，求四边形ADCE的面积．14. 如图，一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．（1）请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．15. 如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF．（1）求证：CF与⊙O相切；（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．16. 已知圆锥的底面半径为r=20cm，高ℎ=20√15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．17. 已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立?请画出图形并给予证明．18. 已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB=45∘．（1）如图①，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图②，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求点E到AB的距离．19. 图①，图②为同一长方体房间的示意图，图③为该长方体的表面展开图．（1）已知蜘蛛在顶点Aʹ处；①苍蝇在顶点B处时，试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C处时，图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线AʹGC和往墙面BBʹCʹC爬行的最近路线AʹHC，试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图③中，半径为10dm的⊙M与DʹCʹ相切，圆心M到边CCʹ的距离为15dm，蜘蛛P 在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线．若PQ与⊙M相切，试求PQ的长度的范围．20. 如图所示，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C之间相距5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少?21. 如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B=60∘，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE=时，四边形CEDF是矩形；②当AE=时，四边形CEDF是菱形．22. 葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为3m，绕一圈升高4m，则它爬行路程是多少?（2）如果树的周长为8m，绕一圈爬行10m，则爬行一圈升高多少m?如果爬行10圈到达树顶，则树干多高?23. 实践操作在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．（1）初步思考若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．①当点P与点A重合时，∠DEF=∘，当点E与点A重合时，∠DEF=∘；②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP=7时菱形EPFD的边长．（2）深入探究若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E，F分别在AD，DC边上，请直接写出AP的最小值．（3）拓展延伸若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一种情况，使得线段AM与线段DE的长度相等?若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．24. 如图，已知抛物线y=−x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）连接CD，BC，求∠DBC的余切值；（3）设点M在线段CA的延长线上，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．25. 如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1,1)，且与直线y=x−2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．26. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45∘，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．他的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90∘得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90∘，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45∘．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足关系时，仍有EF= BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45∘，若BD=1，EC=2，求DE的长．27. 如图，在△MNQ中，MN=11，NQ=3√5，cosN=√5．在矩形ABCD中，BC=4，CD=3，5点A与点M重合，AD与MN重合，矩形ABCD沿着MQ方向平移，且平移速度为每秒5个单位，当点A与点Q重合时停止运动．（1）MQ的长度是；（2）运动秒，BC与MN重合；（3）设矩形ABCD与△MNQ重叠部分的面积为S，运动时间为t，求出S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围．的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点，抛物线与x轴的另一交点为28. 如图1，对称轴为直线x=12A .（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．29. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=2√3，将矩形沿对角线AC剪开，请解决以下问题：（1）将△ACD绕点C顺时针旋转90∘得到△AʹCDʹ，请在备用图中画出旋转后的△AʹCDʹ，连接AAʹ，并求线段AAʹ的长度；（2）在（1）的情况下，将△AʹCDʹ沿CB向左平移的长度为t(0<t<2√3)，设平移后的图形与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．30. 如图甲，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/ s．连接PQ，设运动时间为t(s)(0<t<4)，解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值?S的最大值是多少?（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPʹC，当四边形PQPʹC为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形?31. 如图，抛物线与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1>x2，与y轴交于点C(0,4)，其中x1，x2是方程x2−2x−8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+1与y轴相交于点A，点B与点O关于点A4对称．（1）填空：点B的坐标是；（2）过点B的直线y=kx+b（其中k<0与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点Cʹ恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．33. 已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)（0<t<2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC ?（2）设△AQP的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPʹC，那么是否存在某一时刻，使四边形PQPʹC为菱形?若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．34. 如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，（1）如图1，连接AG，CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角(0∘<β<180∘)，如图2，连接AG，CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化?若不变化，求出∠EMB 的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系：．35. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为(2m,m)，翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE．设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为y=ax2+bx+c．（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；（2）若点G的坐标为(0,−3)，求该抛物线的解析式．（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使EA ?若存在，直接写出P的坐标，若不存在，说明理由．PM=1236. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180∘，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1 中是否存在与AB相等的线段?若存在，请找出并加以证明．若不存在说明理由．（2）如图2，当DE=kDF（其中0<k<1）时，若∠A=90∘，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．37. 如图，顶点为C(−1,1)的抛物线经过点D(−5,−3)，且与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧）．（1）求抛物线的解析式；，求出点Q的坐标；（2）若抛物线上存在点Q，使得S△OAQ=32（3）点M在抛物线上，点N在x轴上，且∠MNA=∠OCD，是否存在点M，使得△AMN与△OCD相似?若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．38. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点 A 作 AF ⊥BC ，垂足为 F ，得到 ∠AFB =∠BEA ，从而可证 △ABF ≌△BAE （如图 2），使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答：△ABF 与 △BAE 全等的条件是（填" SSS "、 " SAS " 、" ASA" 、 " AAS “或”HL "中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90∘，D 为 BC 的中点，E 为 DC 的中点，点 F 在AC 的延长线上，且 ∠CDF =∠EAC ，若 CF =2，求 AB 的长；（3）如图 4，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120∘，点 D ，E 分别在 AB ，AC 边上，且 AD =kDB （其中 0<k <√33），∠AED =∠BCD ，求 AE EC 的值（用含 k 的式子表示）．39. 如图，已知二次函数 y =−x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点 A (3,1)，点 C (0,4)，顶点为点 M ，过点 A 作 AB ∥x 轴，交 y 轴于点 D ，交该二次函数图象于点 B ，连接 BC ．（1）求该二次函数的解析式及点 M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移 m (m >0) 个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 △ABC 的内部（不包括 △ABC 的边界），求 m 的取值范围；（3）点 P 是直线 AC 上的动点，若点 P ，点 C ，点 M 所构成的三角形与 △BCD 相似，请直接写出所有点 P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．40. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是边BC上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线y=−1x+b交边OA2于点E．（1）如图（1），求点D和点E的坐标（用含b的式子表示）；（2）如图（2），若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，试探究矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；（3）矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值．41. 如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60∘得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC=√3AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．（温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．）42. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B落在AD上，落点为Bʹ．点Bʹ从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点Bʹ停止移动，连接BBʹ．设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点Bʹ的移动距离为x，点F与点C的距离为y．（1）求证：∠BEF=∠ABʹB；（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．43. 如图1，△ABC中，∠C=90∘，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G．设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图 2 所示（其中0<x≤m，1<x≤m，m<x≤3时，函数的解析式不同）（1）填空：BC的长是；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．x2+bx−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(−1,0)．44. 如图，抛物线y=12（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．45. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做"友好三角形"．性质：如果两个三角形是"友好三角形"，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．（1）应用：如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．（i）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（ii）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．（2）探究：在△ABC中，∠A=30∘，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△AʹCD，若△AʹCD与△ABC 重合部分的面积等于△ABC面积的1，请直接写出△ABC的面积．446. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为(60,0)，OA=AB，∠OAB=90∘，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．（1）求点A和点C的坐标；（2）当0<t<30时，求m关于t的函数关系式；（3）当m=35时，请直接写出t的值；（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90∘，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标．47. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0)，与y轴的交点为B(0,3)，其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．48. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ(0∘<θ<90∘)，连接AC1，BD1，AC1与BD1交于点P．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．①求证：△AOC1≌△BOD1．②请直接写出AC1与BD1的位置关系．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1= kBD1．请直接写出k的值和AC12+(kDD1)2的值．49. 如图，四边形ABCD为一个矩形纸片．AB=3，BC=2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止．△ADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D1的位置．设DP=x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y．（1）当x为何值时，直线AD1过点C?（2）当x为何值时，直线AD1过BC的中点E?（3）求出y与x的函数表达式．50. 如图，以点P(−1,0)为圆心的圆，交x轴于B，C两点（B在C的左侧），交y轴于A，D两点（A在D的下方），AD=2√3，将△ABC绕点P旋转180∘，得到△MCB．（1）求B，C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB，MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ，QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化?若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．51. 定义：当点P在射线OA上时，把OPOA的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为OPOA =13．（1）在△OAB中，①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形；其中真命题有．A．①②B．②③C．①③D．①②③（2）已知：点C是射线OA上一点，CA=OA=1，以O为圆心，OA长为半径画圆，点B是⊙O上任意一点．①如图2，若点B在射线OA上的射影值为12，求证：直线BC是⊙O的切线．②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式．x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是−2．52. 如图，已知一条直线过点(0,4)，且与抛物线y=14（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形?若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N(0,1)，当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大?最大值是多少?53. 已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=4．设OP=x，△CPF的面积为y．5（1）求证：AP=OQ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的自变量x的取值范围；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．x2+bx+c与x轴分别相交于点A(−2,0)，B(4,0)，与y轴交于点C，顶54. 如图，抛物线y=−12点为点P．（1）求抛物线的解析式；（2）动点M，N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB，OC上向点B，C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．（i）当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；（ii）是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．55. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=5cm，∠BAC=60∘，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒√3cm 的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM=BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小?并求出最小值．56. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1，图2，图3中，AM，BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．（1）【特例探究】如图1，当tan∠PAB=1，c=4√2时，a=，b=；如图2，当∠PAB=30∘，c=2时，a=，b=；（2）【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．（3）【拓展证明】如图4，平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC= 3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3√5，AB=3，求AF的长．57. 在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O，B，C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r 的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里?（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60∘方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30∘方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里?（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20√2海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15∘的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A?58. 如图，在坐标系xOy中，已知D(−5,4)，B(−3,0)，过D点分别作DA，DC垂直于x轴、y轴，垂足分别为A，C两点．动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PC∥DB；（2）当t为何值时，PC⊥BC；（3）以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴59. 如图，抛物线y=−12交x轴于点D，已知A(−1,0)，C(0,2)．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．60. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似?61. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B为小正方形边的中点，C，D为格点，E为BA，CD的延长线的交点．（1）CD的长等于；（2）若点N在线段BE上，点M在线段CE上，且满足AN=NM=MC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段MN，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．62. 如图，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A(−1,0)，B(4,0)，与y轴相交于点C．（1）求该函数的表达式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．①求线段PQ的最大值；②若以点P，C，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．63. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点．点C的坐标是(8,4)，连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA?（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．64. 将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标是(8,6)，点P是边AB上的一个动点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在点Q处．（1）如图①，当点Q恰好落在OB上时，求点P的坐标．。

八年级数学几何中的最短路径问题（一）

八年级数学几何中的最短路径问题（一）一、最短路径问题：最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。

二、涉及知识：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。

通常出题点结合角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等知识点中出现。

三、解题思路：找对称点实现化“折” 为“直” 。

四、十二个基本问题（前6个）：问题1、如图，在直线 L 上求一点 P , 使 PA + PB 值最小。

图1作法：如图，连接 AB ，与 L 交点即为 P 。

图2原理：两点之间线段最短，PA + PB 最小值为 AB 。

问题2（将军饮马）、如图，在直线 L 上求一点 P , 使 PA + PB 值最小。

图3作法：作点 B 关于 L 的对称点 B' ，连接 AB' ，与 L 交点即为P 。

图4原理：两点之间线段最短，PA+PB 最小值为 A B＇。

问题3、如图，在直线 Ll 、L2 上分别求点 M、N，使△PMN 的周长最小。

图5作法：分别作点 P 关于两直线的对称点 P' 和P “，连P'P“，与两直线交点即为 M，N 。

图6原理：两点之间线段最短 , PM + MN + PN 的最小值为线段 P'P'' 的长。

问题4、如图，在直线L1 、L2 上分别求点M、N，使四边形PQMN 的周长最小。

图7作法：分别作点 Q 、P 关于直线 Ll , L2 的对称点 Q＇和 P＇，连Q＇P＇，与两直线交点即为 M，N 。

图8原理：两点之间线段最短，四边形PQMN 周长的最小值为线段QP + Q'P' 的长。

问题5（造桥选址）、如图，直线m ∥ n ，在m 、 n ，上分别求点 M、N，使MN⊥m，且 AM+MN+BN 的值最小。

图9作法：将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A＇，连 A＇B，交 n 于点 N，过点 N 作NM⊥m 于点 M 。

2021年最短路径问题总动员(含答案)

最短路径问题专题练习欧阳光明（2021.03.07）1. 如图，长方体中，，，，一蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为A. B. C. D.2. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是，，，和是这个台阶的两个相对的端点，点有一只壁虎，它想到点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从点出发，沿着台阶面爬到点，至少需爬A. B. C. D.3. 如图，个边长为的小正方形及其部分对角线所构成的图形中，如果从点到点只能沿图中的线段走，那么从点到点的最短距离的走法共有A. 种B. 种C. 种D. 种4. 如图所示，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是A. B. C. D.5. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是．A. B. C. D.6. 如图，已知，，，要在长方体上系一根绳子连接，绳子与交于点，当所用绳子最短时，绳子的长为A. B. C. D.7. 已知蚂蚁从长、宽都是，高是的长方形纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是A. B. C. D.8. 如图所示，一圆柱高，底面半径长，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程（取）是A. B. C. D. 无法确定9. 如图圆柱底面半径为 cm，高为 cm，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一棉线从顶着圆柱侧面绕圈到，则棉线最短为A. cmB. cmC. cmD. cm10. 如图，点为正方体左侧面的中心，点是正方体的一个顶点，正方体的棱长为，一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是A. B. C. D.11. 如图所示是一棱长为的正方体，把它分成个小正方体，每个小正方体的边长都是 .如果一只蚂蚁从点爬到点，那么，间的最短距离满足A. B. C. D. 或12. 如图所示，圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为A. B. C. D.13. 如图，点的正方体左侧面的中心，点是正方体的一个顶点，正方体的棱长为，一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是A. B. C. D.14. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”，题意是如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处．QQ群450116225则问题中葛藤的最短长度是尺．15. 如图，已知圆柱体底面的半径为，高为，，分别是两底面的直径．若一只小虫从点出发，沿圆柱侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线长度是（结果保留根号）．16. 如图，圆柱形容器高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 .17. 如图所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为 .QQ群45011622518. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要．19. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点距离点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是．20. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立在地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而到其顶，问葛藤之长几何?”题意是：如图，把枯木看做一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高是尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中的葛藤的最短的长度是尺．21. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为，若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .22. 一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它爬行的最短路线的长是．23. 如图所示是一段三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为，，，和是这段台阶两个相对的端点. 点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，设蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为，则以为边长的正方形的面积为 .QQ 群45011622524. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要；如果从点开始经过个侧面缠绕圈到达点，那么所用细线最短需要25. 在一个长为米，宽为米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽平行且大于，木块的正视图是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点处，到达处需要走的最短路程是米（精确到米）26. 如图为一圆柱体工艺品，其底面周长为，高为，从点出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点，则该装饰线最短长为．27. 如图，一个没有上盖的圆柱盒高为，底面圆的周长为，点距离下底面，一只位于圆柱盒外表面点处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点处吃东西，则蚂蚁需爬行的最短路程的长为．28. 图1 所示的正方体木块棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2 的几何体，一只蚂蚁沿着图 2 的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离29. 一只蚂蚁沿棱长为的正方体表面从顶点爬到顶点，则它走过的最短路程为．30. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为，假若点有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线的中点处的食物，那么它爬行的最短路程是．31. 如图，圆锥的母线长是，底面半径是，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是．QQ群45011622532. 如图，一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处．（1）请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．33. 葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为，绕一圈升高，则它爬行路程是多少?（2）如果树的周长为，绕一圈爬行，则爬行一圈升高多34. 如图所示，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间相距，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是多少?35. 图①，图②为同一长方体房间的示意图，图③为该长方体的表面展开图．（1）已知蜘蛛在顶点处；①苍蝇在顶点处时，试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点处时，图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图③中，半径为的与相切，圆心到边的距离为，蜘蛛在线段上，苍蝇在的圆周上，线段为蜘蛛爬行路线．若与相切，试求的长度的范围．QQ群45011622536. 如图，直四棱柱侧棱长为，底面是长为，宽为的长方形．一只蚂蚁从顶点出发沿棱柱的表面爬到顶点．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．37. 如图，观察图形解答下面的问题：（1）此图形的名称为．（2）请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个．（3）如果点是的中点，在处有一只蜗牛，在处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿爬到处，只能沿此立体图形的表面爬行．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗?（4）的长为，侧面展开图的圆心角为，请你求出蜗牛爬行的最短路程．38. 如图，一只虫子从圆柱上点处绕圆柱爬一圈到点处，圆柱的高为，圆柱底面圆的周长为，求虫子爬行的最短路程．39. 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处.（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；40. 如图一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．41. 一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，如图，求它爬行的最短路线的长．42. 如图所示是一段楼梯，已知，，楼梯宽 .一只蚂蚁要从点爬到点，求蚂蚁爬行的最短路程.QQ群45011622543. 如图，一个长方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径．（2）当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．（3）求点到最短路径的距离．44. 已知圆锥的底面半径为，高，现在有一只蚂蚁从底边上一点出发．在侧面上爬行一周又回到点，求蚂蚁爬行的最短距离．45. 如图，是一个长方体盒子，长，宽，高．（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点沿盒子表面爬到点，求它所行走的最短路线的长．（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为多少?46. 图1、图2为同一长方体房间的示意图，图 3为该长方体的表面展开图．（1）蜘蛛在顶点处．①苍蝇在顶点处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．②苍蝇在顶点处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近．（2）在图中，半径为的与相切，圆心到边的距离为，蜘蛛在线段上，苍蝇在的圆周上，线段为蜘蛛爬行路线，若与相切，试求长度的范围．47. 如图，长方体中，，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少?48. 如图，平行四边形中，，，，将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若点时直线上的一个动点，请计算的最小值．49. 实践操作在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点，是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．QQ群450116225（1）初步思考若点落在矩形的边上（如图①）．①当点与点重合时，，当点与点重合时，；②当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时菱形的边长．（2）深入探究若点落在矩形的内部（如图③），且点，分别在，边上，请直接写出的最小值．（3）拓展延伸若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一种情况，使得线段与线段的长度相等?若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．答案1. B2. C【解析】将台阶面展开，连接，如图，线段即为壁虎所爬的最短路线．因为，，在中，根据勾股定理，得，所以．所以壁虎至少爬行．3. C【解析】4. B5. D6. A【解析】 .7. B 8. B 9. B 10. C11. B 12. A 13. C【解析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．如图，．14.15.【解析】将圆柱的侧面沿剪开并铺平得长方形，连接，如图．线段就是小虫爬行的最短路线．根据题意得．在中，由勾股定理，得，．所以．16.17.18.19.【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 1：长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 2：长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 3：长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；，蚂蚁爬行的最短距离是．20.21.【解析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的做法就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.如图，，，22.23.24. ，【解析】如图，依题意，得从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点时，最短距离为，此时，由勾股定理，得，即所用细线最短为．若从点开始经过个侧面缠绕圈到达点，则长方体的侧面展开图的一边长由变成，即，由勾股定理，得，即所用细线最短为，或．25.【解析】由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽，长为米；宽为米．于是最短路径为：米．26.【解析】沿剪开可得矩形.圆柱的高为，底面圆的周长为，，，在中， .即装饰线的最短路线长是．27.28.29.30.【解析】圆锥的底面周长是，则，即圆锥侧面展开图的圆心角是，在圆锥侧面展开图中，，，在圆锥侧面展开图中，这只蚂蚁爬行的最短距离是．31.【解析】图中扇形的弧长是，根据弧长公式得到，，即扇形的圆心角是，，.32. （1）蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的和．（2）如图，．．所以蚂蚁爬过的最短路径的长是．33. （1）（2）；34. ．35. （1）①如图①，连接，线段就是所求作的最近路线．②两种爬行路线如图②所示，由题意可得：在中，；在中，．，路线更近．（2）如图③中，连接，为的切线，点为切点，．在中，有，当时，最短，取得最小值，此时，．当点与点重合时，最长，取得最大值，如图④，过点作，垂足为，由题意可得，，在中，．在中，．综上所示，长度的取值范围是．36. （1）若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为或．所以蚂蚁经过的最短路程是．（2）蚂蚁爬过的棱长依次为，，，，，，时，其路程为最长，最长路程是．37. （1）圆锥（2）扇形（3）把此立体图形的侧面展开，如图所示，为蜗牛爬行的最短路线．（4）在中，由勾股定理，得，所以．故蜗牛爬行的最短路程为．38. 如图，是圆柱的展开图，连接．由题意可知虫子爬行的最短路径为 .此时．答：虫子爬行的最短路程为．39. （1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形和 .故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径为图中的和 .（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的最短路径的长是.蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的最短路径的长是.因为，所以蚂蚁爬过的最短路径的长为 .40. 如图所示，木柜的部分表面展开图示两个矩形或矩形．蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径是如图的或．若爬过的路径的长是，则；若爬过的路径的长是，则 .，最短路径的长是．41. 蚂蚁实际上是在长方体的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图所示），得到矩形 .根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是半个侧面展开图矩形对角线之长．在中，底面边长，．答：最短路程约为．42. 如图①；如图②、如图③.蚂蚁爬行的最短路程为 .43. （1）木柜的部分表面展开图如图：蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有和．（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径长为．蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径长为．，最短路径为．（3）过点作于点，连接，则．点到最短路径的长为．44. 设扇形的圆心角为，圆锥的顶点为，，．由勾股定理可得母线，而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为，．即是等腰直角三角形，由勾股定理得：．答：蚂蚁爬行的最短距离为．45. （1）蚂蚁从点爬到点有三种可能，展开成平面图形如图所示，由勾股定理计算出的值分别为，，，比较后得最小为，即最短路线的长是．（2）如图，，即能容下的最长木棒的长度为．46. （1）①如图所示线段为最近路线.②将长方体展开，使得长方形和长方形在同一平面内，如图.在中，，，，．将长方体展开，使得长方形和长方形在同一平面内，如图.在中，，，，.，往天花板爬行的最近路线更近.（2）过点作于，连接，，， .半径为的与相切，圆心到边的距离为，，，， .根据勾股定理可得，，．与相切于点，， .．当时，；当时，．长度的范围是．47. 如图1所示：由题意得：，，在中，由勾股定理得，如图2所示：由题意得：，，在中，由勾股定理得：，．第一种方法蚂蚁爬行的路程最短，最短路程是．48. （1）将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，，， .，...四边形是菱形.，，.四边形是菱形.（2）四边形是菱形，与关于对称，连接交于，则的长即为的最小值，过点作于 .，，，， ...的最小值为．49. （1）①；②翻折的性质，，，四边形是矩形，，，，，，，四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，当时，菱形边长为．，，（2）．（3）存在，．最短路径问题专题练习1. 如图，长方体中，，，，一蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为A. B. C. D.2. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是，，，和是这个台阶的两个相对的端点，点有一只壁虎，它想到点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从点出发，沿着台阶面爬到点，至少需爬A. B. C. D.3. 如图，个边长为的小正方形及其部分对角线所构成的图形中，如果从点到点只能沿图中的线段走，那么从点到点的最短距离的走法共有A. 种B. 种C. 种D. 种4. 如图所示，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是A. B. C. D.正方形专题练习1、小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了一道题，从下列四个条件：①；②；③；④中选出两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图）．现有下列四种选法，你认为其中错误的是A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④2、，大正方形中有个小正方形，如果它们的面积分别是，，那么，的大小关系是A. B.C. D. ，的大小关系不确定3、如图，在正方形和正方形中，点在上，，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，此时点在上，连接，则A. B. C. D.4五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点，，，分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为A. B. C. D.旋转专题练习1. 如图，在矩形中，已知，，将矩形绕着点在桌面上顺针旋砖至，使其停靠在矩形的点处，若，则点的运动路径长为（1题）（2题A. B. C. D.2. 在中，，，把这个直角三角形绕顶点旋转后得到，其中点正好落在上，与相交于点，那么等于A. B. C. D.3. 在锐角中，，，（如图），将绕点按逆时针方向旋转得到（顶点、分别与、对应），当点在线段的延长线上时，则的长度为QQ群450116225（3题）（4题）A. B. C. D.4. 边长一定的正方形，是上一动点，交于点，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④为定值．其中一定成立的是11.抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库。

初中数学几何最短路径问题详解

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最短路径问题是初二上学期数学的一个重难点，很多同学看到这种题型可能会没有思路，不知道怎么下手!
寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径，算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题。

②确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。

③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。

涉及知识：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。

出题背景：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题思路：找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

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