轴对称——最短路径问题
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人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
轴对称
最短路径问题
a
1Βιβλιοθήκη Baidu
饮马问题
如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然 后再到帐蓬B．问：在河边的什么地方饮水，可使 所走的路径最短？
B B
AA l
l
a
2
分析：
B
B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
a
点M、N应该在 l1、l2的什么位置 ?
A’
l1
M A
N
l2
A’’
a
10
走A-M- N 路线最短.
A’
l1 M
A
N
l2
A’’
a
11
变式练习2
如图：某一天牧马人要从马棚A牵出马到草地边吃草， 再到河边饮水，最后回到帐篷B，请你帮他确定这一天 的最短路线。
N
P
Q
A
Ml1
B
a
l2
12
A’
P
A
l1
a
Q
转化为数学问题
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点a 关于直线l的对称点
8
变式练习1 如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草，
然后到河边饮水，最后再回到马棚A.
A
小
河
问题：请你确定这一过程的最短路径.
a
9
转化为数学问题
如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,
3
联想：
如果点A、B在直线l的异侧时
A
C
l
B
a
4
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
思考：
能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？
a
5
作法及思路分析
1.作点B关于直线 l 的对称点B′ ，连接CB′。
B
A
C
l
B′
2.由上步可知AC+CB=AC +CB′，
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最
（2）若A，B两点在直线l的两侧，在l 上找一点C，使点C到点A、B的距离之 差最大．
A
B
a
15
短？
a
6
根据前面的分析，我们认为的
最短路径是AC+CB=AC+C B′= AB′
B
略证：
在直线 l 上取一个与 C点不重合的点C′ 新路径= A C′ + C′B
A
l
C′ C
=A C′ + C′B′
B′
试比较新路径与AB′的大小
结论： AC+CB这条路径最短．
a
7
B A
l
解决实 际问题
问题1 归纳
B
B’
l2 13
归纳小结 1.学了三种情况下的最短路径问题
(1)两点在一条直线同侧
(2)一点在两相交直线内部
l1
(3)两点在两相交直线内部 l1
2.关键：
l2
l2
作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，
从而利用“两点之间，线段最短”来解决
a
14
（1）如图所示，A，B两点在直线l的 一侧，在l上找一点C，使点C到点A、 B的距离之差最大．
轴对称
最短路径问题
a
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饮马问题
如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然 后再到帐蓬B．问：在河边的什么地方饮水，可使 所走的路径最短？
B B
AA l
l
a
2
分析：
B
B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
a
点M、N应该在 l1、l2的什么位置 ?
A’
l1
M A
N
l2
A’’
a
10
走A-M- N 路线最短.
A’
l1 M
A
N
l2
A’’
a
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变式练习2
如图：某一天牧马人要从马棚A牵出马到草地边吃草， 再到河边饮水，最后回到帐篷B，请你帮他确定这一天 的最短路线。
N
P
Q
A
Ml1
B
a
l2
12
A’
P
A
l1
a
Q
转化为数学问题
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点a 关于直线l的对称点
8
变式练习1 如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草，
然后到河边饮水，最后再回到马棚A.
A
小
河
问题：请你确定这一过程的最短路径.
a
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转化为数学问题
如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,
3
联想：
如果点A、B在直线l的异侧时
A
C
l
B
a
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分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
思考：
能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？
a
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作法及思路分析
1.作点B关于直线 l 的对称点B′ ，连接CB′。
B
A
C
l
B′
2.由上步可知AC+CB=AC +CB′，
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最
（2）若A，B两点在直线l的两侧，在l 上找一点C，使点C到点A、B的距离之 差最大．
A
B
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短？
a
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根据前面的分析，我们认为的
最短路径是AC+CB=AC+C B′= AB′
B
略证：
在直线 l 上取一个与 C点不重合的点C′ 新路径= A C′ + C′B
A
l
C′ C
=A C′ + C′B′
B′
试比较新路径与AB′的大小
结论： AC+CB这条路径最短．
a
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B A
l
解决实 际问题
问题1 归纳
B
B’
l2 13
归纳小结 1.学了三种情况下的最短路径问题
(1)两点在一条直线同侧
(2)一点在两相交直线内部
l1
(3)两点在两相交直线内部 l1
2.关键：
l2
l2
作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，
从而利用“两点之间，线段最短”来解决
a
14
（1）如图所示，A，B两点在直线l的 一侧，在l上找一点C，使点C到点A、 B的距离之差最大．