轴对称——最短路径问题
《最短路径问题》轴对称
轴对称与最短路径问题
轴对称是指图形关于某一直线或平面对称的现 象。
在最短路径问题中，如果图是轴对称的，那么 两个顶点之间的最短路径必然是对称的。
例如，在有向图和无向图中，如果两个顶点之 间的所有边都具有相同的权重，那么这两个顶 点之间的最短路径就是对称的。
最短路径问题的数学模型
01
最短路径问题的数学模型通常包括一个有向图G=(V,E)和两个顶点s和t，表示要 找到从s到t的最短路径。
02
最短路径问题与轴对称
最短路径问题简介
1
最短路径问题是一种经典的图论问题，旨在寻找 图中两个顶点之间的最短路径。
2
最短路径问题在交通网络设计、通信网络优化、 生产计划制定等领域都有广泛应用。
3
最短路径问题通常可以使用动态规划、Dijkstra 算法、Bellman-Ford算法等算法进行求解。
《最短路径问题》轴对称
2023-11-09
目 录
• 轴对称简介 • 最短路径问题与轴对称 • 轴对称算法实现 • 实验结果与分析 • 总结与展望
01
轴对称简介
轴对称定义
轴对称是指一个物体关于某一直线（称为对称轴）对称，也就是说，物体在这条 直线的两边呈现出镜像状态。
在图形中，如果一个图形关于某一直线对称，那么它的对称轴是从图形的一侧到 另一侧的最短距离。
02
在最短路径问题中，通常使用权重来表示每条边的长度或成本。权重可以是有 向的或无向的，可以是正值或负值。
03
最短路径问题的数学模型还包括一个求解算法，用于在图中找到从s到t的最短 路径。常用的求解算法包括Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
03
轴对称算法实现
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。
初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题
初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题一、知识重点1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．2、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3、利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．二、经典例子解析【例一】有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．【例二】如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点解：如图，【例三】如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。
解：先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B【例四】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小解：如图，作点B关于直线l的对称点B′；连接AB′交直线l于点M.则点M即为所求的点．【例五】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A 村与B村供水。
轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题是一种经典的计算几何问题，其目标是在给定图形中找到从起点到终点的最短路径。
根据不同的条件和限制，轴对称最短路径问题可以分为以下七种类型：
1. 简单轴对称最短路径问题：给定一个轴对称图形，起点和终点分别位于对称轴的两侧，求最短路径。
2. 带有障碍物的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中存在一些障碍物，起点和终点在障碍物两侧，求最短路径。
3. 多个起点和终点的轴对称最短路径问题：给定多个起点和终点，每个起点和终点都在对称轴的两侧，求所有起点到所有终点的最短路径。
4. 带有权值的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中，不同的点或边具有不同的权值，求起点到终点的最短路径。
5. 动态规划解决轴对称最短路径问题：使用动态规划算法解决轴对称最短路径问题，将问题分解为子问题，逐步求解。
6. A*搜索算法解决轴对称最短路径问题：使用A*搜索算法，通过估价函数指导搜索方向，加速求解速度。
7. 双向搜索解决轴对称最短路径问题：从起点和终点同时进行搜索，通过比较两个方向的搜索结果得到最短路径。
以上七种类型是轴对称最短路径问题的常见分类，每种类型都有其特定的解决方法，需要根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
轴对称—最短路径 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
布置作业
教科书 66 页 12 题。
1 分钟
板书设计
利用轴对称解决简单的最短路径问题
教学反思
我对本节课的讲授结果满意，学生能逐渐由简单到复杂，逐步深入地理解了两点在 直线同侧的情况，如何找最短路径。
学生能正确做图，找到要找的点，解决了最短路径问题的作图。这是本节课的一个 目标，学生实现的很好。
在别的关于最短路径问题中，学生大部分能根据轴对称找到最短路径。不足的地方 就是学生对运用轴对称解决最短路径问题不灵活。有的不知如何下手分析。是对关键点： 做轴对称掌握不熟练。
作法：
（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；
（2）连接 AB′，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所 求．
问题 3 你能用所学的知识证明 AC +BC 最短吗？
证明：如图，在直线 l 上任取一点 C′（与点 C 不重 合），连接 AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
培养 学生 动手 能力 学生 在下 边作 图
三．运用新知
练习 1：
尝试 问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居 用 学
民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 过 的
到它的距离之和最短．
知识 解决 新问 题
检验 学生 学习 的程
度
课堂小结 2 分钟
同学们谈谈这节课运用了哪些数学知识，你们学到了什么？ 1、利用轴对称解决两点之间最短路径问题 2、轴对称知识在生活中的运用
短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知 识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问 题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？
（将 A，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直
轴对称—最短路径问题-完整版课件
人教版数学学科中考复习专题
轴对称—最短路径问题
情境引入
王二小在A处放牛，要把牛牵到河边喝水，喝完水后还要牵 回B处关在牛棚里面。河边任何地方都可以让牛喝水。王二小牵 牛在河边哪个位置喝水，再牵到B处走的总路程最短？
B A
合作探究
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点P是直线上的一个动点，当 点P 在l 的什么位置时，AP 与BP的和最小？
上的一动点，求BN+MN的最小值。
解:因为四边形ABCD为正方形，所以点B 与点D关于直线AC对称。
连结DM交直线AC于点N，即点N为所求作点
。 则BN+MN=DN+MN=DM,因为两点之间
A ，线段最短，所以BN+MN=DM为最小值。
B
M
N
N
D
C
即BN+MN的最小值为10.
变中思本
本节课你印象化最折深为的直是什么地方？
A MP
数学模型：两点在一条直线同侧
B
化折为直
┌
l
B/
小试牛刀
2
分析：
（1）求PB+PC的最小值
关键是找到点P位于直 线MN的什么位置.
（2）PB+PC=PA+PB=AB.
（4）PB+PC =AB =2.
M
P P A 30
N
化折为直
B
1
C
小试牛刀
2.如图，正方形ABCD边长为8，M在BC上，BM＝2，N为AC
轴对称——最短路径问题
名师堂校区地址：南充咨询电话：优学小班——提分更快、针对更强、时效更高名师堂学校优学小班讲义轴对称——最短路径问题现在的数学教学遵循《标准》的理念，以“生活•数学”, “活动•思考”为主线展开课程内容，注重体现生活与数学的联系，其中最短路径问题就是这一方面知识与能力的综合运用，其原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题背景有角、三角形、平行四边形、坐标轴、抛物线等。
下面就对上述类型做一个简单的归纳。
例1．如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，最短距离是多少米？分析：根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接A′B，得到最短距离为A′B，再根据全等三角形的性质和A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出A'B的值．A′B=1000米．故最短距离是1000米．例2．如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP．分析：此题中，点E、B的位置就相当于例1中的点A、B，动点P所在有直线作为对称轴相当于例1中的小河。
故根据正方形沿对角线的对称性，可得无论P在什么位置，都有PD=PB；故均有EP+BP=PE+PD 成立；所以原题可以转化为求PE+PD的最小值问题，分析易得连接DE与AC，求得交点就是要求的点的位置例3．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．分析：此题的出题背景就是角。
本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点．分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P1P2交OX于M，交OY于N，则PM+MN+NP最短．例４．如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD′E′EB通过轴对称直接转化为线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答．这就是“造桥选址问题”解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E′、D′．作DD′、EE′即为桥．证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′，同理，BE=GE′，由两点之间线段最短可知，GF 最小；即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB 最短．例５．（2008•内江）如图，当四边形PABN 的周长最小时，a= 。
轴对称—最短路线问题
3．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线 交AB于点N，交AC于点M，连接MB．若AB=8cm，△MBC的 周长是14cm． ①求BC的长度； ②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的 最小值．
4、如图③，点M、N在直线l同侧，请你在直线l上画出
轴对称——最短路线问题
1、唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日
登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学
问题﹣﹣将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之
后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后，再到B点宿营，请问 怎样走才能使总的路程最短？画出最短路径并说明理由
2、如图2，点P，Q是△ABC的边AB、AC上的两个定点，
两点O、P，使得OP=1cm，且MO+OP+PN的值最小．
5、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点， 若E，F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边 形CGEF的周长小时，请你在图中确定点E，F的位置
利用图形的对称性(轴对称)求最短路径问题
利用图形的对称性（轴对称）求最短路径问题一、已知两点求一点例1设A，B两点在直线L的异侧，图-1，在L上找一点M使AM+BM最小。
说明理由。
BLMA图-1例2设A，B两点在直线L的同侧，图-2，在L上找一点M使AM+BM最小。
方法：寻找对称点，运用定理，两点之间直线最短。
ABLMA’图--2二、已知两点求两点例3 设A，B两点位于两相交直线L1、L2所形成的某一夹角内。
图-3，求作M,N使得M,N分别在两相交直线L1、L2上且满足AN+MN+BM最小。
L1B’. AM . BL2NA’图--3例4 设P，Q两点位于锐角 ABC的BC边上，有两动点M,N分别位于另外两边上，图-4，求作M,N使四边形PQNM的周长最短。
P’ BM PQCA N图--4Q’三、已知一点求两点例5 点P位于三角形的某一边上，动点M,N分别位于另外两边上。
图-5，试作M,N使得❒PMN周长最短。
P’ BPMA N CP’’图—5例6 点P位于两相交直线L1，L2所形成的夹角内，动点M,N分别位于两直线上。
图-6，试作M,N使得❒PMN周长最短。
L2PML1N图-6我们将这些情况放在直角坐标系下考虑。
第一种情况：设A,B两点都在第一象限，直线L与X轴重合，M点在X轴上，且使AM+BM最小。
求（1）M点的坐标。
（2）AM+BM的长度。
第二种情况设A,B两点，B点在第Ⅰ象限，M,N分别在Y轴，X轴上，A点分别在第Ⅰ象限，第Ⅱ象限，第Ⅲ象限，第Ⅳ象限时，试求（1）M,N的坐标，使得AM+MN+BN最小，并求出最小值。
（2）两动点M,N到达何处时，四边形AMNB周长最短。
Y训练题1.已知，AB是圆O的直径，P、Q是圆O上的两点，且直线PQ//AB,M是直径AB是上动点，试问：∆PQM周长最短时，M点处于何处？并证明。
A B【思路】由于三角形∆PQM的一边PQ是定长，因此要使它的周长最短就是要求动点M到点P、Q的距离之和最短。
利用图形的对称性，作Q关于直线AB的对称点Q’，连接PQ’，它与AB相交于M即为所求。
数学八年级_轴对称_最短路径问题
三角形第3节多边形及其内角和【知识梳理】路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解。
所以最短路径问题，需要考虑轴对称。
典故：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．这个问题提炼出数学问题为：设C 为直线l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)作法：(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l 交于点C.则点C 即为所求．证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC ＝B′C，BC ′＝B′C′.∴ AC ＋BC ＝ AC ＋B′C ＝ AB′，AC ′＋BC′＝ AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB ′＜AC′＋B′C′，∴ AC ＋BC ＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短.预备知识：在直角三角形中，三边具有的关系如下：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+【诊断自测】1、如图，直线l 是一条河，A 、B 两地相距5km ，A 、B 两地到l 的距离分别为3km 、6km ，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向A 、B 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）A ．B ．C ．D ．2、如图所示，四边形OABC 为正方形，边长为3，点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点D 在OA 上，且D 的坐标为（1，0），P 是OB 上的一动点，则“求PD+PA 和的最小值”要用到的数理依据是（ ）A ．“两点之间，线段最短”B．“轴对称的性质”C．“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”D．以上答案都不正确3．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．【考点突破】例1、如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在CD上，要使△AEF的周长最小时，确定点F的位置的方法为．答案：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．解析：根据题意可知AE的长度不变，△AEF的周长最小也就是AF+EF有最小值．作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．故答案为：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．例2、如图所示，点P在∠AOB的内部，点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，线段MN交OA，OB于点E，F.（1）若MN=20 cm，求△PEF的周长；（2）若∠AOB=35°，求∠EPF的度数.答案：见解析解析：（1）∵M与P关于OA对称∴OA垂直平分MP.∴EM=EP.又∵N与P关于OB对称∴OB垂直平分PN.∴FP=FN.∴△PEF的周长=PE+PF+EF=ME+EF+FN=MN=20(cm).（2）连接OM，ON，OP，∵OA垂直平分MP，∴OM=OP.又∵OB垂直平分PN，∴ON=OP.∴△MOE≌△POE(SSS)，△POF≌△NOF(SSS).∴∠MOE=∠POE，∠OME=∠OPE，∠POF=∠NOF，∠OPF=∠ONF.∴∠MON=2∠AOB=70°∴∠EPF=∠OPE+∠OPF=∠OME+∠ONF=180°-∠MON=110°.例3、如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=2，ON=6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（）A．2B． C．20 D．2答案：A解析：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′==2．故选：A．例4、如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°答案：D解析：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C=50°，∴∠DAB=130°，∴∠HAA′=50°，∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF=50°，∴∠EAF=130°﹣50°=80°，故选：D．例5、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．4答案：B解析：由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．故所求最小值为2．故选B．例6、如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？答案：见解析。
13.4--课题学习--最短路径问题
知识点 2 运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题
问题1 牧人饮马问题 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，
名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一 个百思不得其解的问题：
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马， 然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走 的路径最短？
B
A
l
C
B
两点之间，线段最短.
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？
（3）利用什么知识可以实现转化目标？
如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
B A
l
C
B′
1. 最短路径问题的类型： (1)两点一线型的线段和最小值问题； (2)两线一点型线段和最小值问题； (3)两点两线型的线段和最小值问题； (4)造桥选址问题．
2. 解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知 识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或 “垂线段最短”来求线段和的最小值．
B A
l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
分析：
B B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？
联想：
如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？
考点13 轴对称-最短路径问题(解析版)
考点13 轴对称——最短路径问题一．选择题（共12小题）1．（2020·四川成都）如图，30AOB ∠=︒，M ，N 分别是边,OA OB 上的定点，P ，Q 分别是边,OB OA 上的动点，记,OPM OQN αβ∠=∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，关于α，β的数量关系正确的是（ ）A ．60βα-=︒B ．210βα+=︒C ．230βα-=︒D ．2240βα+=︒【答案】B【解析】 如图，作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''交OA 于Q ，交OB 于P ，则此时MP PQ QN ++的值最小．易知'∠=∠=∠OPM OPM NPQ ，'∠=∠=∠OQP AQN AQN ．∵18030∠=︒-︒-∠OQN ONQ ，30∠=∠=︒+∠OPM NPQ OQP30∠=∠=︒+∠OQP AQN ONQ ，∵303018030210+=︒+︒+∠+︒-︒-∠=︒ONQ ONQ αβ．故选：B.【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．（2020·银川）如图，直线m 表示一条河，M ，N 表示两个村庄，欲在m 上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】作点M 关于直线m 的对称点M '，连接NM '交直线m 于P ，则P 处即为给水站位置．根据“两点之间，线段最短”可排除A 、B 、C 选项，可知D 选项管道最短．故选：D ．3．（2020·河北武安期末）如图，∵ABC 中，AB=AC=10，BC=16，AD 是BC 边上的中线且AD=6，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF EF +的最小值是（ ）.A ．485B ．16C ．6D ．10【答案】A【解析】解：如下图所示，作BG∵AM 于M ，交AD 于F ，∵∵ABC 中，AB=AC=10，AD 是BC 边上的中线，∵∵ABC 是等腰三角形，AD BC ⊥，BD=DC ，∵ AD 是BC 的垂直平分线，∵ BF=CF ．则BF EF +有最小值时，CF EF +有相同的最小值．根据垂线段最短可得出CF EF +=BF EF +≥=BF FM BM +，则CF EF +取最小值时，=CF EF BM +．根据三角形的面积公式，可得：11==22ABC S AD BC AC BM ⨯⨯△，解得：48=5BM ， 即CF EF +的最小值为485． 故答案选：A ．4．（2020·河南永城）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点D 、E 分别在边AC 、AB 上，14AD =，点P 是边BC 上一动点，当PD PE +的值最小时，15AE =，则BE 为（ ）A ．30B ．29C ．28D ．27【答案】B【解析】 如图，延长AC 至点M ，使CM CD =，过点M 作ME AB ⊥于点E ，交BC 于点P ，则此时PD PE +的值最小.在Rt ABC △中，30B ∠=︒，60A ∴∠=︒.ME AB ⊥，90AEM ∴∠=︒，90A M ∴∠+∠=︒，90M ∴∠=︒.15AE =，230AM AE ∴==.AM AD DM =+，14AD =，16DM ∴=.CM CD =，8CD CM ∴==，22AC AD CD ∴=+=.在Rt ABC △中，30B ∠=︒，244AB AC ∴==.AB AE BE =+，15AE =，29BE ∴=.故选B.5．（2020·山西孝义）如图，等腰ABC ∆中,=⊥AB AC AD BC ，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交BC 于点F ，点G 是线段EF 上的一动点，若ABC ∆的面积是26cm ，6BC cm =，则ADG ∆的周长最小值是（ ）A ．4.5cmB ．5cmC ．5.5cmD ．6cm【答案】B【解析】解：如图，连接BG ．∵AB=AC ，AD∵BC ，6BC cm∵BD=DC=3cm ，∵S ∵ABC =12•BC•AD=6， ∵AD=2，∵EF 垂直平分AB ，∵BG=AG ，∵AG+DG=BG+GD ，∵BG+GD≥BD ，，∵GA+GD≥3，∵GA+GD 的最小值为3，∵∵ADG 的最小值为2+3=5，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（2020·安徽利辛月考）已知点M(-4，2)，若点N 是y 轴上一动点，则M ，N 两点之间的距离最小值为（ ）A ．-4B ．2C ．4D ．-2【答案】C【解析】解：过直线外一点，到直线上的所有点的连线中，垂线段最短∵点N在y轴上的纵坐标为2，此时二者之间的距离最小值为0-（-4）=4故选C7．（2020·安徽安庆期末）如图，∵MON=45°，P为∵MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当PAB的周长取最小值时，∵APB的度数为( )A．80°B．90°C．110°D．120°【答案】B【解析】作出P点关于OM、ON的对称点A′、B′，然后连接A′B′∵点A′与点P关于直线OM对称，点B′与点P关于ON对称∵A′P∵OM，B′P∵ON，A′A=AP，B′B=BP∵∵A′=∵APA′，∵B′=∵BPB′∵A′P∵OM，B′P∵ON，∵∵MON+∵A′P B′=180°∵∵A′P B′=180°-45°=135°在∵A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∵A′+∵B′=180°-135°=45°∵∵A′PA+∵BP B′=45°∵∵APB=135°-45°=90°故答案选择：B=，AD、BE分别是底边BC和8．（2020·山西文水期末）如图，在∵ABC中，AB AC+的最小值等于（）腰AC上的中线，点P为AD上一动点，则PE PCA．线段AB的长B．线段BC的长C．线段AD的长D．线段BE的长【答案】D【解析】解：如图，连接BP，则PE+PC=PE+BP，所以BE就是PE+PC的最小值，故选D.9．（2020·辽宁连山期中）如图，等腰∵ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则∵CDM周长的最小值为（）A．6B．10C．15D．16【答案】C【解析】如图：连接AD交EF于点M，∵等腰∵ABC的底边BC长为6，点D为BC边的中点，∵AD∵BC，BD=CD=3，∵EF是腰AC的垂直平分线，连接CM，∵AM=CM，此时∵CDM的周长为：CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD CD的长为3固定，∵根据两点之间线段最短，∵CDM的周长最小．∵S∵ABC=12 BC•AD，∵12×6•AD=36，∵AD=12，∵AD+CD=12+3=15．故选：C．10．（2020·山西平遥月考）如图，等腰ABC∆的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则DM CM+的最小值为（）A．12B．9C．6D．3【答案】C【解析】∵∵ABC是等腰三角形，点D是BC的中点∵AD∵BC∵AD=6∵EF是线段AC的垂直平分线∵点C关于直线EF的对称点为A∵AD的长为CM+MD的最小值∵CM+MD的最小值为6故答案选择：C.11．（2020·山东武城期中）如图，∵AOB=30°，∵AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若∵PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．15C．20D．30【答案】A【解析】设∵POA=θ，则∵POB=30°﹣θ，作PM∵OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN∵OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则∵PQR即为周长最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分线，∵EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∵FR=RP，∵∵PQR的周长=EF．∵OE=OF=OP=10，且∵EOF=∵EOP+∵POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，∵∵EOF是正三角形，∵EF=10，即在保持OP=10的条件下∵PQR的最小周长为10．故选A．12．（2020·广东期中）如图，在∵ABC中，AB=AC，BC=4，∵ABC的面积是16，AC边的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则∵CDM周长的最小值为（）A．4B．5C．10D．8【答案】C【解析】连接AD，AM．∵∵ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∵AD∵BC，∵S∵ABC=12BC•AD=12×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∵点C关于直线EF的对称点为点A，∵MA=MC，∵AD≤AM+MD，∵AD的长为CM+MD的最小值，∵∵CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+12BC=8+12×4=8+2=10．故选C．二．填空题（共6小题）13．（2020·南京师范大学附属中学月考）如图，已知∵MON＝40°，P为∵MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当∵P AB的周长取最小值时，∵APB的度数是_____°．【答案】100【解析】分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接P A、PB，此时∵P AB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∵P′OA＝∵POA，∵P″OB＝∵POB，∵∵P′OP″＝2∵MON＝2×40°＝80°，∵∵OP′P″＝∵OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，又∵∵BPO＝∵OP″B＝50°，∵APO＝∵AP′O＝50°，∵∵APB＝∵APO+∵BPO＝100°．故答案为100．14．（2020·江苏省靖江市月考）如图，∵ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线且AD＝4，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为_____．【答案】24 5【解析】解：作BM∵AC于M，交AD于F，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，∵BD＝DC＝3，AD∵BC，AD平分∵BAC，∵B、C关于AD对称，∵BF＝CF，根据垂线段最短得出：CF+EF＝BF+EF≥BF+FM＝BM，即CF+EF≥BM，∵S∵ABC＝12×BC×AD＝12×AC×BM，∵BM＝BC ADAC⨯＝645⨯＝245，即CF+EF的最小值是245，故答案为：245．15．（2020·南通市月考）如图，在∵ABC中，AD平分∵BAC交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，当S∵ABC＝12，AC＝8时，BM+MN的最小值等于_____．【答案】3【解析】解：如图，作点B关于AD的对称点B′∵AD是∵BAC的平分线，∵点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N∵AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN，过点B作BE∵AC于E，∵AC＝8，S∵ABC＝20，∵12×8•BE＝12，解得BE＝3，∵AD是∵BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∵AB＝AB′，∵∵ABB′是等腰三角形，∵B′N＝BE＝3，即BM+MN的最小值是3．故答案为：3．16．（2020·江苏省锡山高级中学）如图，已知∵AOB的大小为α，P是∵AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若∵PEF周长的最小值等于4，则α＝_____．【答案】30°【解析】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB 于F．此时，∵PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∵OA垂直平分PC，∵∵COA＝∵AOP，PE＝CE，OC＝OP，同理，可得∵DOB＝∵BOP，PF＝DF，OD＝OP．∵∵COA+∵DOB＝∵AOP+∵BOP＝∵AOB＝α，OC＝OD＝4，∵∵COD＝2α．又∵∵PEF的周长＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝4，∵OC＝OD＝CD＝4，∵∵COD是等边三角形，∵2α＝60°，∵α＝30°．故答案为30°17．（2020·广东肇庆期中）如图，四边形ABCD中，∵BAD=130°，∵B=∵D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使∵AMN周长最小时，则∵AMN+∵ANM的度数为．【答案】100°【解析】作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为∵AMN 的周长最小值．作DA延长线AH,∵∵DAB=120°，∵∵HAA′=60°，∵∵AA′M+∵A″=∵HAA′=60°，∵∵MA′A=∵MAA′，∵NAD=∵A″，且∵MA′A+∵MAA′=∵AMN，∵NAD+∵A″=∵ANM，∵∵AMN+∵ANM=∵MA′A+∵MAA′+∵NAD+∵A''=2(∵AA′M+∵A'')=2×60°=120°．故答案为120°.18．（2020·广西青秀期中）如图，等腰∵ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，∵ABD是等边三角形，点P是∵BAC的角平分线上一动点，连PC、PD，则PD+PC的最小值为_____．【答案】4【解析】如图，连接BP，∵点P是∵BAC的角平分线上一动点，AB＝AC，∵AP垂直平分BC，∵CP＝BP，∵PD+PC＝PD+PB，∵当B，P，D在在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，又∵∵ABD是等边三角形，AB＝BD＝4，∵PD+PC的最小值为4，故答案为4．三．解析题（共6小题）19．（2020·江苏东台月考）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与∵ABC关于直线l成轴对称的∵A′B′C′；（2）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．【解析】解：（1）如图所示：∵A′B′C′，即为所求；（2）如图所示：点P即为所求．20．（2020·华东师范大学青岛实验中学期中）如图，在∵ABC中，AB＝10，BC＝12，BC 边上的中线AD＝8．（1）证明：∵ABC为等腰三角形；（2）点H在线段AC上，试求AH＋BH＋CH的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)19.6【解析】(1)证明：∵AD是BC边上的中线，∵BD=DC=6，∵AB=10，BD=6，AD=8，∵BD 2+AD 2=62+82=102，∵∵ABD 是直角三角形，∵AD∵BC ，∵AD∵BC ，BD=DC ，∵AB=AC ，∵∵ABC 是等腰三角形．(2)解：∵AH+BH+CH=BH+AC=BH+10，∵当BH 最小时，AH+BH+HC 有最小值，由垂线段的性质可知：当BH∵AC 时，BH 有最小值， ∵1122BH AC BC AD ⨯⨯=⨯⨯， ∵111012822BH ⨯⨯=⨯⨯， ∵BH=9.6，∵AH+BH+HC 的最小值为：10+9.6=19.6．21．（2020·山东高唐期中）如图，在锐角ABC 中，7AC cm =，221ABC S cm =，AD 平分BAC ∠，M N 、分别是AD 和AB 上的动点，求BM MN +的最小值并说明理由.【答案】6cm【解析】解：如图，作N 关于AD 对称点为R ，作AC 边上的高BE （E 在AC 上）， AD 平分CAB ∠，ABC 为锐角三角形，R ∴必在AC 上， N 关于AD 的对称点为R ，MR MN ∴=，BM MN BM MR ∴+=+，即BM MN BR BE +=≥（垂线段最短）， ABC 的面积是221cm ，7AC =，17212BE ∴⨯⨯=， 6BE ∴=，即BM MN +的最小值为6cm .22．（2020·辽宁连山期中）如图，四边形ABCD 中，∵BAD ＝110°，∵B ＝∵D ＝90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使∵AMN 周长最小，请在图中画出∵AMN ，写出画图过程并直接写出∵MAN 的度数．【答案】作图见解析，∵MAN的度数为40°．【解析】解：如图所示：作点A关于BC和DC的对称点E和F，连接EF，与BC和DC相交于点M和N，连接AM和AN，根据对称性得：AM＝EM，AN＝FN，AM+AN+MN＝EM+FN+MN＝EF，根据两点之间线段最短，此时∵AMN的周长最小，∵∵BAD＝110°，∵∵E+∵F＝180°﹣110°＝70°，∵∵EAM+∵F AN＝70°，∵∵MAN＝∵EAF-（∵EAM+∵F AN）＝40°．答：∵MAN的度数为40°．23．（2020·浙江萧山月考）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作∵ACD和∵BCE，且CA=CD，CB=CE，∵ACD=∵BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∵ACD=60°，则∵AFB=；如图2，若∵ACD=90°，则∵AFB=；如图3，若∵ACD=120°，则∵AFB=；（2）如图4，若∵ACD=α，则∵AFB=（用含α的式子表示）；（3）将图4中的∵ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∵ACD=α，则∵AFB与α的有何数量关系？并给予证明．【答案】（1）120°，90°，60°；（2）180°﹣α；（3）∵AFB=180°﹣α,证明详见解析.【解析】解：（1）如图1，CA=CD，∵ACD=60°，所以∵ACD是等边三角形．∵CB=CE，∵ACD=∵BCE=60°，所以∵ECB是等边三角形．∵AC=DC，∵ACE=∵ACD+∵DCE，∵BCD=∵BCE+∵DCE，又∵∵ACD=∵BCE，∵∵ACE=∵BCD．∵AC=DC，CE=BC，∵∵ACE∵∵DCB．∵∵EAC=∵BDC．∵AFB是∵ADF的外角．∵∵AFB=∵ADF+∵FAD=∵ADC+∵CDB+∵FAD=∵ADC+∵EAC+∵FAD=∵ADC+∵DAC=120°．如图2，∵AC=CD，∵ACE=∵DCB=90°，EC=CB，∵∵ACE∵∵DCB．∵∵AEC=∵DBC，又∵∵FDE=∵CDB，∵DCB=90°，∵∵EFD=90°．∵∵AFB=90°．如图3，∵∵ACD=∵BCE，∵∵ACD﹣∵DCE=∵BCE﹣∵DCE．∵∵ACE=∵DCB．又∵CA=CD，CE=CB，∵∵ACE∵∵DCB．∵∵EAC=∵BDC．∵∵BDC+∵FBA=180°﹣∵DCB=180°﹣（180﹣∵ACD）=120°，∵∵FAB+∵FBA=120°．∵∵AFB=60°．故填120°，90°，60°．（2）∵∵ACD=∵BCE，∵∵ACD+∵DCE=∵BCE+∵DCE．∵∵ACE=∵DCB．∵∵CAE=∵CDB．∵∵DFA=∵ACD．∵∵AFB=180°﹣∵DFA=180°﹣∵ACD=180°﹣α．（3）∵AFB=180°﹣α；证明：∵∵ACD=∵BCE=α，则∵ACD+∵DCE=∵BCE+∵DCE，即∵ACE=∵DCB．在∵ACE和∵DCB中，则∵ACE∵∵DCB（SAS）．则∵CBD=∵CEA，由三角形内角和知∵EFB=∵ECB=α．∵AFB=180°﹣∵EFB=180°﹣α．24．（2020·上海同济大学附属实验中学月考）已知：在ABC中，AB=AC，点E在AB上，以BE为底边作等腰DBE，取CE的中点为G，连接AG、DG．（1）如图1，若BE=AE，∵BDE=120°，∵BAC=60°，求证：AG∵DG；（2）如图2，若BE≠AE ，∵BDE ＋∵BAC=180°，则（1）中结论仍然成立吗？说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）（1）中结论AG DG ⊥仍然成立，理由见解析．【解析】解：（1）如图，延长DG 至H ，使,DG GH = 连接,,AD AH G 为CE 的中点，,EG CG ∴=,EGD CGH ∠=∠,EGD CGH ∴≌,,ED CH DEG GCH ∴=∠=∠等腰DBE ，BE 为底边，120,BDE ∠=︒,BD DE ∴= 30,DBE DEB ∠=∠=︒ BD CH ∴=，,60,AB AC BAC =∠=︒ABC ∴为等边三角形，,BE AE =,30,CE AB ACE BCE ∴⊥∠=∠=︒ 60,DEG HCG ∴∠=∠=︒30,ACH ∴∠=︒在ABD △与ACH 中，,30AB AC ABD ACH BD CH =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,ABD ACH ∴≌,AD AH ∴=,DG GH =.AG DG ∴⊥（2）（1）中结论AG DG ⊥成立，理由如下： 如图，延长DG 至H ，使,DG GH = 连接,,AD AH G 为CE 的中点，,EG CG ∴=,EGD CGH ∠=∠,EGD CGH ∴≌,,ED CH DEG GCH ∴=∠=∠等腰DBE ，BE 为底边，设,BDE α∠=1,90,2BD DE DBE DEB α∴=∠=∠=︒- 180,BDE BAC ∠+=︒180,BAC α∴∠=︒-,AB AC =1,2ABC ACB α∴∠=∠=119090,22DBC ααα⎛⎫∴∠=-︒-=-︒ ⎪⎝⎭ 180,BEC EBC C ∠+∠+∠=︒ 1190180,22DEG BCE αα∴+︒-+∠+∠=︒ 90,DEG BCE ∴∠+∠=︒90,HCG BCE ∴∠+∠=︒190,2ACH ABD α∴∠=︒-=∠ 同（1）可得：,ABD ACH ≌ ,AD AH ∴=,DG GH =.AG DG ∴⊥。
与轴对称有关的最短路径问题及解析
与轴对称有关的最短路径问题及解析问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？解析：将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线。
作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′；（2）连接AB ′，与直线l 相交于点C 。
则点C 即为所求。
B A lB • · A l B· lA ·B C证明：如图，在直线l 上任取一点C ′（与点C 不重合），连接AC ′，BC ′，B ′C ′。
由轴对称的性质知， BC =B ′C ，BC ′=B ′C ′． ∴ AC +BC = AC +B ′C = AB ′，AC ′+BC ′= AC ′+B ′C ′． 在△AB ′C ′中， AB ′＜AC ′+B ′C ′，∴ AC +BC ＜AC ′+BC ′． 即 AC +BC 最短． 若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A ，B两点的距离和都大于AC +BC ，就说明AC + BC 最小．问题2 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径。
解析：考点：作图—应用与设计作图,轴对称-最短路线问题专题：分析：根据“两点之间线段最短”，和轴对称最短路径问题解答．解答： 解：（1）两点之间，线段最短，连接PQ ；（2）作P 关于BC 的对称点P1，连接QP1，交BC 于M ，再连接MP ．最短路线P--Q--M--P ．点评：本题考查了作图--应用与设计作图，熟悉轴对称最短路径问题是解题的关键．问题3 如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在 B · lA ·BC C何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解析：如图，作BB'垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接AB′，与河岸EF相交于M，作MN⊥GH，则MN∥BB′且MN=BB′，于是MNBB′为平行四边形，故NB=MB′．根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．问题4已知△ABC中，D、E是边AB、AC边上的点，在边BC上找一点M，使△DEM的周长最小。
如何利用对称轴原理，解决最短路径问题
如何利用对称轴原理，解决最短路径问题大家好，这里是周老师数学课堂，欢迎来到头条号学习！今天是星期六，我想分享一篇八年级的内容:如何利用轴对称知识解决最短路径问题。
最短路径问题一般有两种情况。
1.求已知直线上一点与直线异侧两点所连线段的和的最短问题:这类问题，我们只要连接这两点，根据两点之间直线最短的原理，所得线段与直线的交点，即为所要确定的点。
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一个点C，使CA+CB最短，这时的点C为直线l与线段AB的交点2.求已知直线上一点与直线同侧两点所连线段的和的最短问题：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得的线段与该直线的交点即为所要确定的点。
如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一个点C，使CA+CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，AB'与直线l的交点即为所求的点C；或者先作点A关于直线l的对称点A'，连接BA’，BA'与直线l的交点即为所求的点C.我们在解决最短路径问题时，通常利用轴对称、平移等变换将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径。
下面举例说明轴对称变换在解决距离和最短问题时的应用，解这些题的关键是要把握好“两点之间，线段最短”的原理。
例1.[解析](1)因为AB在EF同侧，作点A关于EF的对称点A'；(2)连接A'B交EF于点C，则点C为所求的点，此时，△ABC的周长最短.由于AB为定长，问题转化为在EF上求一点C，使AC+BC最短。
[解答]例2.[解析]要使总路程最短，需要将三条线段设法转化到一条线段上，根据轴对称确定最短路线问题，作A关于公路l1的对称点A，作B关于公路Ⅰ2的对称点B'，连接AB与公路Ⅰ1、Ⅰ2分别相交于点C、D，然后沿A→C→D→B走才能使总路程最短.[解答]求最短离问题，在实际生活中的应用非常广泛，如水泵站的选址，煤气管道的铺设，天桥的选址等。
轴对称及最短路径问题
最短路径问题（一）利用轴对称解决最短路径问题问题作法图形原理类型一BA 连接AB，与l的交点即为点PPA+PB的最小值为AB的值，两点之间，线段最短类型二 BAl 作点A关于l的对称点A’,连接A’B,与l的交点即为点PBAPA’AP+PB的最小值为A’B的值，两点之间，线段最短类型三L2PL1在直线l1，l2上分别找点M,N，使△PMN周长最小分别作点P关于两直线l1，l2的对称点P’,P’’,连接P’P’’,与两直线的交点为M,NL2P’’M PN L1P’PM+PN+MN的最小值为P’P’’的值，两点之间，线段最短类型四L1PQL2在直线L1,L2上分别找点M,N，使四边形PMNQ的周长最小做点P,Q分别关于直线L1,L2的对称点P’,Q’,连接P’Q’,与两直线的交点M,NL1M PQN L2PM+MN+PN的最小值为P’Q’的值，两点之间线段最短（二）用平移解决造桥选址问题例1，如图，a//b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，当点N 在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ aMN由于MN的长度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。
这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？详解：将AM沿与a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A’，则AA’=MN,AM+NB=A’N+NB.这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A’N+NB最小？如图，在连接A’,B两点的线中，线段A’B最短。
因此，线段A’B最短。
因此，线段A’B 与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的。
L2A MA’ BN例2，在P、Q两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从P村到Q村，要经过两座桥MN、EF。
现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于桥的大桥，问：如何设计这两座桥MN,EF的位置，使由P村到Q村的路程最短？PL1L2Q 1L2解析：河的宽度（桥的宽度）固定，利用“平移交换”解决问题。
轴对称--最短路径问题
轴对称--最短路径问题1、如果A,B 两个村庄位于小河MN 的同侧，如图,为了解决两村村民的喝水问题，政府决定在小河边挖一口井，并使井到A,B 两村距离和最短，请你找出适合挖井的位置.NMBA2、如图，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求一点M ，使△MEF 周长最短.3、如图，点P 为马厩，AB 为草地边缘（下方为草地），CD 为一河流.牧人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩.请帮他确定一条最佳行走路线.4、如图，已知点A(-2，1)及点B(3，4)，在x 轴上取一点C ，C'，通过作图可知，当点C 的坐标为 时，使得AC+BC 最小.请在图中标出c'，使得BC'-AC'最大.5、如图1，在等边三角形ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP+PE 的值最小，最小值是 ；图图图图1P DCBAOP C BAP E DCB AP E D CBA（图2） （图3）6、如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是（ ）。
A ．2.4B ．4C ．4.8D ．57、如图3，ABC ∆中，5AC BC ==，6AB =，4CD =，CD 为ABC ∆的中线，点E 、点F 分别为线段CD 、CA 上的动点，连接AE 、EF ，则AE EF +的最小值为 .8、已知如图所示，∠MON=400，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，则当∆PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数．N PBMO A9、如图，∠AOB=300，点P 位于∠AOB 内，OP=3，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，求∆PMN 的最小周长.NMPBAO。
8.3 轴对称之最短路径问题
8.3 轴对称之最短路径问题破解策略最短路径问题通常会转化为“两点之间，线段最短”来解决，而轴对称是实现这一转化的有效方法之一．常见的题型如下．1．两点在一条直线异侧如图，点A ，B 在直线l 的两侧．(1)在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．作法：如图，连接AB ，与直线l 的交点即为所求点P ．(2)在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．作法：如图，连接AB ，作AB 的垂直平分线，与直线l 的交点即为所求点P ．2．两点在一条直线同侧如图，点A ，B 在直线l 的同侧．(1)在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小．作法：如图，作点B 关于直线l 的对称点B ，连接AB 1，与直线l 的交点即为所求点P ．(2)在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．作法：如图，连接AB ，作AB 的垂直平分线，与直线l 的交点即为所求点P ．llll(3)在直线l 上找一点P ，使得PA PB 最大．作法：如图，作：直线AB ，与直线l 的交点即为所求点P ．(4)在直线l 上找两点P 、Q (PQ 的长度等于已知线段a 的长度)，使得AP ＋PQ ＋QB 是最小．作法：如图，先将点B 向若平移a 个单位长度到点B 1，再作B 1关于直线l 的对称点B 2，连接AB 2，与直线l 的交点即为所求点P ，然后将点P 向右平移a 个单位长度，所得点即为点Q ．3．一点在角的内部如图，点P 在∠AOB 的内部．(1)分别在边OA ，OB 上确定点M ，N 使得PM ＋MN ＋NP 最小．作法，如图，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2，与OA ，OB 的交点即为所求的点M 、N ．(2)分别在边OA ，OB 上确定点M ，N ，使得PM ＋MN 最小．作法：如图，作点P 关于OA 的对称点P 1，过点P 1作OB 的垂线，与OA ，OB 的交点即为所求的点M ，N ．ll P al例题讲解例1 如图，A ，B 两点在直线MN 的同侧，AC ∠MN 于点C ，BD ∠MN 于点D ，点P 在直线MN 上运动，若AC ＝16，BD ＝10，CD ＝8，则PA PB -的最大值等于＿＿＿＿．分析 显然PA PB -的最大值即为线段AB 的长，只需过点B 作AC 的垂线，构成直角三角形求AB 的长即可．解答例2 如图，等边∠ABC 的面积为P 、Q 、R 分别为边AB ，BC ，AC 上的动点，则PR ＋QR 的最小值是＿＿＿＿．分析 点R 在AC 上，而点P 、Q 在AC 的同侧，故作点P 关于AC 的对称点P '，当点P '，R ，Q 三点共线且P Q '⊥BC 时，PR ＋QR 取最小值．解答例3 如图，AB ∠BD 于点B ，DE ⊥BD 于点D ，C 为线段BD 上一动点，连接AC ，CE ，已知AB ＝5，DE ＝2，BD ＝12，设CD ＝x ．(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)求AC ＋CE 的最小值；ABP C D M NAB CPRQ(3)解答例4 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC ，CD 上各找一点，分别为点M ，N ，使得∠AMN 的周长最小，则此时∠AMN ＋∠ANM 的度数为＿＿＿＿．分析 点A 在∠BCD 内部，作点A 关于∠BCD 两边的对称点A 1，A 2，连接A 1A 2，则A 1A 2即为∠AMN 周长的最小值．解答例5 如图，长为1的线段AB 在x 轴上移动，点C (0，1)，D (0，2)在y 轴上，则AC ＋BD 的最小值是＿＿＿＿．分析 AB 为x 轴上的定线段，点C ，D 在x 轴同侧，故作点C 关于x 轴的对称点C '，将点D 沿x 轴负方向平移AB 长至点D '，则C D ''的长即为AC ＋BD 的最小值．解答：例6 如图，∠MON ＝30°，点A ，D 分别在OM ，ON 上，且OA ＝2，OD ＝4，C ，B 分别为OM ，ON 上任意一点，则折线AB －BC －CD 的最短长度为＿＿＿＿．分析 线段和差的最值问题通常都转化为“两点之间线段最短”的问题，可利用轴对称将分散的线段变成两定点间的折线，然后再化“折”为“直”即可．解答例7 如图,在△ABC 中,AC ⊥BC ,∠B ＝30°,E ,F 是线段AB 的三等分点,P ,Q 分别是线段BC ,AC 上的动点,若AC ＝3,则四边形EPQF 周长的最小值是解答例8 如图,在边长为1的正方形ABCD 中,点E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 上的点,且3AE ＝ EB ,有一只蚂蚁从点E 出发,经过点F ,G ,H ,最后回到点E ,则蚂蚁所走的最短路程是解答进阶训练1.如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ＝4,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,在CD 上找一点P ,使P A ＋PE 最小，则这个最小值是2.如图2,P 为∠AOB 内部的一点,且OP ＝2,E ,F 分别是OA ,OB 上的动点,若△PEF 周长的最小值等于2,则∠AOB ＝3.已知y =y 的最小值是4.如图3,在平面直角坐标系中有四个点A (－6,3),B (－2,5),C (0,m ),D (n ,0),当四边形ABCD 的周长最短时,m ＋n ＝5.如图4,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝4,∠BAC的平分线交BC于点D,若P,Q分别是AC,AD 上的动点,求CQ＋PQ的最小值.6.已知三点A(a,1),B(3,1),C(6,0),且点A在正比例函数12y x的图象上,P为x轴上的动点，当△OAP与△CBP周长之和取最小值时,求点P的坐标.7.如图5,等边△ABC的边长为2,D是边AB的中点,P,Q分别是边BC,AC上的动点,当P,Q的位置在何处时,才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值.8.如图6,正方形ABCD的边长为4,E为边CD的中点,点F在边BC上,且满足BF＝3CF,M,N均为对角线BD上的动点,且MN求四边形EMNF周长的最小值.9.如图7,在矩形ABCD中,点E在对角线AC上,满足CE＝3AE,P,Q分别为AB,AC上任意的点,若AC＝2,BC＝1,求折线EP＋PQ＋QB长的最小值.10.如图8,在平面直角坐标系xOy中,分别以点A(2,3),B(3,4)为圆心，以1,3为半径作⊙A,⊙B ,M,N分别是⊙A,⊙B上的动点,P为x轴上的动点,求PM＋PN的最小值.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
PPT课件
3
联想：
如果点A、B在直线l的异侧时
A
C
l
B
PPT课件
4
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
思考：
能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？
PPT课件
5
作法及思路分析
1.作点B关于直线 l 的对称点B′ ，连接CB′。
B
A
C
l
B′
2.由上步可知AC+CB=AC +CB′，
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最
点M、N应该在 l1、l2的什么位置 ?
A’
l1
M A
N
l2
A’’
PPT课件
10
走A-M- N 路线最短.
A’
l1 M
A
N
l2
A’’
Hale Waihona Puke PPT课件11变式练习2
如图：某一天牧马人要从马棚A牵出马到草地边吃草， 再到河边饮水，最后回到帐篷B，请你帮他确定这一天 的最短路线。
N
P
Q
A
Ml1
B
PPT课件
l2
12
A’
P
A
l1
PPT课件
Q
B
B’
l2 13
归纳小结 1.学了三种情况下的最短路径问题
(1)两点在一条直线同侧
(2)一点在两相交直线内部
l1
(3)两点在两相交直线内部 l1
2.关键：
l2
l2
作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，
从而利用“两点之间，线段最短”来解决
PPT课件
14
（1）如图所示，A，B两点在直线l的 一侧，在l上找一点C，使点C到点A、 B的距离之差最大．
问题1 归纳
转化为数学问题
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作AP点PT课关件 于直线l的对称点
8
变式练习1 如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草，
然后到河边饮水，最后再回到马棚A.
A
小
河
问题：请你确定这一过程的最短路径.
PPT课件
9
转化为数学问题
如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
轴对称
最短路径问题
PPT课件
1
饮马问题
如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然 后再到帐蓬B．问：在河边的什么地方饮水，可使 所走的路径最短？
B B
AA l
l
PPT课件
2
分析：
B
B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
短？
PPT课件
6
根据前面的分析，我们认为的
最短路径是AC+CB=AC+C B′= AB′
B
略证：
在直线 l 上取一个与 C点不重合的点C′ 新路径= A C′ + C′B
A
l
C′ C
=A C′ + C′B′
B′
试比较新路径与AB′的大小
结论： AC+CB这条路径最短．
PPT课件
7
B A
l
解决实 际问题
（2）若A，B两点在直线l的两侧，在l 上找一点C，使点C到点A、B的距离之 差最大．
A
B
PPT课件
15
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！ 部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！感谢你的观看！