高中数学总复习3.4平面向量的数量积训练试题
(福建专用)高考数学总复习 第四章第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用举例课时闯关(含解析)
（福建专用）2023年高考数学总复习 第四章第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用举例课时闯关（含解析）一、选择题1．(2023·宁德质检)已知a ＝(1，－3)，b ＝(4,6)，c ＝(2,3)，那么a ·(b·c )等于( )A ．(26，－78)B ．(－28，－42)C ．－52D ．－78解析：选A.a ·(b·c )＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．2．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，那么F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27 解析：选D.F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝28，所以|F 3|＝27.3．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，那么a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865C.1665 D ．－1665解析：选 C.b ＝(2a ＋b )－2a ＝(－5,12)，易求得|a |＝5，|b |＝13，那么cos 〈a ，b 〉＝4，3·－5，125×13＝1665. 4．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，那么三角形ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，∴AC →·2BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴∠A ＝90°.应选C.5．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，假设m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，那么角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：选C.由m ⊥n 可得m·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，所以角A ＝π3，B ＝2π3－C . 由a cos B ＋b cos A ＝c sin C 得sin C ＝1，所以C ＝π2，故B ＝π6. 二、填空题6．假设平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，那么AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→的值等于________．解析：由AB →＋BC →＋CA →＝0可得(AB →＋BC →＋CA →)2＝0，∴9＋16＋25＋2(AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →)＝0，AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.答案：－257．设非零向量a ＝(x,2x )，b ＝(－3x,2)，且a ，b 的夹角为钝角，那么x 的取值范围________． 解析：∵a ，b 的夹角为钝角，∴a·b ＝x ·－3x ＋2x ·2＝－3x 2＋4x ＜0，解得x ＜0或x ＞43.① 又由a ，b 共线且反向可得x ＝－13，② 由①②得x 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ 8．(2023·合肥质检)关于平面向量a ，b ，c ，有以下几个命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |－|b |<|a －b |(a 、b 不共线)；③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；④假设非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，那么a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：平面向量的数量积不满足结合律，故①假；由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，而三角形的两边之差小于第三边，故②是真命题；因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )a ·c －(c ·a )b ·c ＝0，所以垂直，故③假；由|a |＝|b |＝|a －b |，再结合平行四边形法那么可得a 与a ＋b 的夹角为30°，命题④假． 答案：②三、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)假设AB →＝a ，AC →＝b ，求△ABC 的面积．解：(1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，得4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.将|a |＝4，|b |＝3代入上式，求得a·b ＝－6.所以cos θ＝a·b |a ||b |＝－64×3＝－12. 又因为0≤θ≤π，所以θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝13，所以|a ＋b |＝13.(3)由(1)知，∠BAC ＝θ＝2π3，|AB →|＝|a |＝4，|AC →|＝|b |＝3， 所以S △ABC ＝12|AC →||AB →|si n ∠BAC ＝3 3. 10．已知点A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)，且0<α<π.(1)假设|OA →＋OC →|＝7，求OB →与OC →的夹角；(2)假设AC →⊥BC →，求tan α的值．解：(1)因为|OA →＋OC →|＝7，所以(2＋cos α)2＋sin 2α＝7，所以cos α＝12. 又因为α∈(0，π)，所以α＝∠AOC ＝π3. 又因为∠AOB ＝π2，所以OB →与OC →的夹角为π6. (2)AC →＝(cos α－2，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－2)．因为AC →⊥BC →，所以AC →·BC →＝0，所以cos α＋sin α＝12，① 所以(cos α＋sin α)2＝14，所以2sin αcos α＝－34. 又因为α∈(0，π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝74， cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－72.② 由①②得cos α＝1－74，sin α＝1＋74，所以tan α＝－4＋73.一、选择题1．向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，假设a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，那么|a ×b |等于( )A. 3 B ．2C ．2 3D ．4解析：选B.∵|a |＝|b |＝2，a·b ＝－23，∴cos θ＝－232×2＝－32. 又θ∈[0，π]，∴sin θ＝12.∴|a ×b |＝2×2×12＝2. 2．(2023·泉州调研)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，那么△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形解析：选D.非零向量BC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴AB ＝AC ，又cos A ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，∠A ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 二、填空题3．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点．假设OA ＝6，那么MD →·NC →的值是________．解析：MD →·NC →＝(OD →－OM →)·(OC →－ON →)＝OD →·OC →－OM →·OC →－OD →·ON →＋OM →·ON → ＝6×6×cos60°－6×2×cos120°－6×2×cos 120°＋2×2×cos180°＝26. 答案：264．设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，那么|c |的最大值等于________．解析：设向量a ，b ，c 的起点为O ，终点分别为A ，B ，C ，由已知得，∠AOB ＝120°，∠ACB ＝60°，那么点C 在△AOB 的外接圆上，当OC 经过圆心时，|c |最大，在△AOB 中，求得AB ＝3，由正弦定理得△AOB 外接圆的直径是3sin120°＝2，故|c |的最大值是2.答案：2三、解答题5．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. (1)证明：a ⊥b ；(2)假设存在不同时为零的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)·b ，y ＝－ka ＋tb ，且x ⊥y ，试求函数关系式k ＝f (t )；(3)据(2)的结论，确定函数k ＝f (t )的单调区间．解：(1)证明：因为a·b ＝3×12＋(－1)×32＝0， 所以a ⊥b .(2)因为x ⊥y ，所以x·y ＝0，所以[a ＋(t 2－3)b ]·(－ka ＋tb )＝－ka 2＋[t －k (t 2－3)]a·b ＋t (t 2－3)b 2＝0.因为|a |＝2，|b |＝1，a ⊥b ，所以－k ×4＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)． (3)由(2)知f (t )＝14(t 3－3t )，故f ′(t )＝14(3t 2－3)， 令f ′(t )>0得t >1或t <－1，令f ′(t )<0得－1<t <1且t ≠0.所以函数k ＝f (t )的单调递增区间为(1，＋∞)和(－∞，－1)，单调递减区间为(－1,0)和(0,1)．6．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4. (1)假设m·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解：(1)∵m·n ＝1，即3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝1， 即32sin x 2＋12cos x 2＋12＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋π6＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－12.(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B －cos B sin C ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin (B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， ∴cos B ＝12，B ＝π3，∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A2＋π6＜π2，12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A2＋π6＜1.又∵f (x )＝m·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。
平面向量习题及答案
平面向量习题及答案【篇一：平面向量练习题集答案】>典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量ab的长度与ba的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量ab与向量cd是共线向量，则a、b、c、d必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；ab与cd是共线向量，则a、b、c、d可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：①|a|＝a?a；②(a?b) ?c＝a? (b?c)；③oa－ob＝ba；④在任意四边形abcd中，m为ad的中点，n为bc的中点，则ab ＋＝2；其中正确的个数为( )a.1b.2c.3d.4【解析】选d.| a|＝a?a正确；(a?b) ?c≠a? (b?c)； oa－ob＝ba 正确；如下图所示，mn=++且mn=++，两式相加可得2mn＝ab＋dc，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点m在线段do上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，1313.【解析】在?abcd中，ac，bd交于点o，111所以＝＝(－)a－b)，222＝2＝2(＋)＝2(a＋b).11又＝，＝， 331所以＝ad＋＝b＋ 31115＝b(a－b)＝a， 3266111＝＋＝＋3 4412＝＝(a＋b)a＋b). 3323所以＝－ 21511＝(a＋b)－＋)＝a. 36626【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.所以? (＋)＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：a，b，d三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以bd＝bc＋cd＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5ab，所以ab， bd共线.又因为它们有公共点b，所以a，b，d三点共线.(2)因为ka＋b和a＋kb共线，因为a与b是不共线的两个非零向量，【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练3】已知o是正三角形bac内部一点，+2+3=0，则△oac的面积与△oab的面积之比是（3a. 2c.2 2b. 31d. 3 ）【解析】如图，在三角形abc中， oa＋2ob＋3oc＝0，整理可得oa＋oc＋2(ob＋oc)＝0.1令三角形abc中ac边的中点为e，bc边的中点为f，则点o在点f与点e连线的处，即oe＝2of. 32由于ab＝2ef，oe＝，所以ab＝3oe， 31s△oacoe?h2＝＝.故选b. 3s△oabab?h4总结提高1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图?abcd中,m,n分别是dc，bc中点.已知am=a,=b,试用a，b表示，ad与ac【解析】易知am＝ad＋dm 1＝＋， 21an＝ab＋bn＝ab2ad， 1???a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b). 332所以＝＋＝a＋b). 3【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知d为△abc的边bc上的中点，△abc所在平面内有一点p，满足＋＋＝0等于( ) 1b. 2c.1 d.2 1a. 3【解析】由于d为bc边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知pb＋pc＝2pd，因此结合pa＋bp＋cp＝0即得pa＝2pd，因此易得p，a，d三点共线且d是pa＝1，即选c.题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).(1)u＝3v?(2x＋1，3)＝3(2－x，1)?(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.?2x?1??(2?x),?? 3????(2x＋1)－3(2－x)＝0?x＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.＋|a141＋b|2的最大值为.值为284.题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△abc的角a，b，c所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin b，sin a)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△abc为等腰三角形；【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asin a＝bsin b.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△abc为等腰三角形.a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1(舍去).113所以s△abc＝absin c3. 222【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.【变式训练3】已知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，向量m＝(2cosc－1，－2)，n＝(cos c，cos c＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△abc周长的最小值为( )a.10－3c.10－23b.10＋53d.10＋231【解析】由m⊥n得2cos2c－3cos c－2＝0，解得cos c＝－cos c＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos 2【篇二：高中数学平面向量测试题及答案】选择题：1。
高考数学一轮总复习课时规范练31平面向量的数量积与平面向量的应用北师大版
课时规范练31 平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固组1.(2021河北石家庄一模)设向量a =(1，2)，b =(m ，-1)，且(a +b )⊥a ，则实数m=( ) A.-3B.32C.-2D.-322.在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥AB ，AD=√2，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.-1B.1C.√2D.23.(2021广东珠海二模)已知向量a ，b 满足|a |=2，a ·b =-1，且(a +b )·(a -b )=3，则|a -b |=( ) A.3B.√3C.7D.√74.在△ABC 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x ，2x )(x>0)，则当BC 最小时，∠ACB=( ) A.90° B.60° C.45°D.30°5.已知向量a =(1，x-1)，b =(x ，2)，则下列说法错误的是 ( )A.a ≠bB.若a ∥b ，则x=2C.若a ⊥b ，则x=23D.|a -b |≥√26.已知向量a =(1，2)，b =(m ，1)(m<0)，且向量b 满足b ·(a+b )=3，则( ) A.|b |=2B.(2a+b )∥(a+2b )C.向量2a-b 与a-2b 的夹角为π4 D.向量a 在向量b 上的投影数量为√557.(2021全国乙，理14)已知向量a =(1，3)，b =(3，4)，若(a -λb )⊥b ，则λ= . 8.已知向量a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，c =(-1，0). (1)求向量b+c 的模的最大值;(2)设α=π4，且a ⊥(b+c )，求cos β的值.综合提升组9.若△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则下列结论正确的是( ) A.∠BOC=90°B.∠AOB=90°C.OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45D .OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1510.设O (0，0)，A (1，0)，B (0，1)，P 是线段AB 上的一个动点，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ .若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值不可能为( ) A.1B.12C.13D.1411.(2021山东滨州二模)已知平面向量a ，b ，c 是单位向量，且a ·b =0，则|c -a -b |的最大值为 .12.已知△ABC 为等腰直角三角形，OA=1，OC 为斜边上的高.若P 为线段OC 的中点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = ;若P 为线段OC 上的动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 .创新应用组13.“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个正方形所构成(如图).在直角三角形CGD 中，已知GC=4，GD=3，在线段EF 上任取一点P ，线段BC 上任取一点Q ，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A.25B.27C.29D.3114.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|PA||PB|=√3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为 ，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是 .课时规范练31 平面向量的数量积与平面向量的应用1.A 解析:由题意，向量a =(1，2)，b =(m ，-1)，可得a +b =(m+1，1). 因为(a +b )⊥a ，所以(a +b )·a =m+1+2=0， 解得m=-3. 故选A .2.D 解析:由题可知，因为四边形ABCD 为直角梯形，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的模为√2， 由数量积的几何意义可知BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2)2=2，故选D .3.D 解析:由(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2=3，可得|b |=1， 因为|a -b |2=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=4+2+1=7，所以|a -b |=√7. 故选D .4.A 解析:∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x-1，2x-2)， ∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-x -1)2+(2x -2)2=√5x 2-6x +5.令y=5x 2-6x+5，x>0，当x=35时，y min =165，此时BC 最小， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(35,-65),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =85,45，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =35×85−65×45=0， ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即∠ACB=90°，故选A . 5.B 解析:显然a ≠b ，故A 正确;由a ∥b 得1×2=(x-1)x ，解得x=2或x=-1，故B 错误; 由a ⊥b 得x+2(x-1)=0，解得x=23，故C 正确;|a -b |2=(1-x )2+(x-3)2=2(x-2)2+2≥2，则|a -b |≥√2，故D 正确.故选B .6.C 解析:将a =(1，2)，b =(m ，1)代入b ·(a+b )=3，得(m ，1)·(1+m ，3)=3，得m 2+m=0，解得m=-1或m=0(舍去)，所以b =(-1，1)，所以|b |=√(-1)2+12=√2，故A 错误;因为2a+b=(1，5)，a+2b =(-1，4)，1×4-(-1)×5=9≠0，所以2a+b 与a+2b 不平行，故B 错误;设向量2a-b 与a-2b 的夹角为θ，因为2a-b=(3，3)，a-2b =(3，0)，所以cos θ=(2a -b)·(a -2b)|2a -b||a -2b|=√22，所以θ=π4，故C 正确;向量a 在向量b 上的投影数量为a ·b |b|=1√2=√22，故D 错误.故选C .7.35解析:由已知得，a -λb =(1-3λ，3-4λ)，由(a -λb )⊥b ，得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0，即15-25λ=0，解得λ=35.8.解(1)b+c =(cos β-1，sin β)， 则|b+c|2=(cos β-1)2+sin 2β=2(1-cos β). 因为-1≤cos β≤1， 所以0≤|b+c|2≤4， 即0≤|b+c|≤2.当cos β=-1时，有|b+c|=2， 所以向量b+c 的模的最大值为2. (2)若α=π4，则a =√22,√22.又由b =(cos β，sin β)，c =(-1，0)得 a ·(b+c )=√22,√22·(cos β-1，sin β)=√22cos β+√22sin β-√22.因为a ⊥(b+c )，所以a ·(b+c )=0， 即cos β+sin β=1，所以sin β=1-cos β， 平方后化简得cos β(cos β-1)=0， 解得cos β=0或cos β=1.经检验cos β=0或cos β=1即为所求.9.B 解析:由于△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得25+24OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =25，解得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0; 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC⃗⃗⃗⃗⃗ =-4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得34+30OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16，解得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-35; 4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得41+40OB⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9，解得OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45. 所以∠BOC ≠90°，故A 错误;∠AOB=90°，故B 正确;OB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45，故C 错误; OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45--35=-15，故D 错误.故选B . 10.D 解析:设P (x ，y )，由AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，得(x-1，y )=λ(-1，1)=(-λ，λ)，所以{x -1=-λ,y =λ,得P (1-λ，λ).由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(1-λ，λ)·(-1，1)≥(λ，-λ)·(λ-1，1-λ)， 即λ-1+λ≥λ(λ-1)-λ(1-λ)，2λ-1≥2λ2-2λ，2λ2-4λ+1≤0，解得1-√22≤λ≤1+√22， 又因为0≤λ≤1，所以1-√22≤λ≤1. 故选D .11.√2+1 解析:由|a |=|b |=1，且a ·b =0，建立如图所示平面直角坐标系，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则a =(1，0)，b =(0，1)， 再设c =(x ，y )，则c -a -b =(x-1，y-1)，故|c -a -b |=√(x -1)2+(y -1)2，其几何意义为以O 为圆心的单位圆上的动点与定点P (1，1)间的距离.则其最大值为|OP|+1=√12+12+1=√2+1.12.14 [0，1] 解析:△ABC 为等腰直角三角形，CO 为斜边上的高，则CO 为边AB 上的中线，所以AC=BC=√2，AO=BO=CO=1. 当P 为线段OC 的中点时，在△ACO 中，AP 为边CO 上的中线， 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OP ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos45°+0=12×√2×12×√22=14.当P 为线段OC 上的动点时，设OP⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，0≤λ≤1， AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -(1-λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λ×1×√2×√22-(1-λ)·λ=λ-λ+λ2=λ2∈[0，1]， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[0，1]. 13.C 解析:建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，3).设P (4，a )(3≤a ≤4)，Q 4+t ，43t (0≤t ≤3)，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4，a-3)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+t ，43t-3，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4(4+t )+(a-3)43t-3=16+4t+43at-4t-3a+9=25+43at-3a=25+43t-3·a.-3≤43t-3≤1，3≤a ≤4，所以当43t-3=1，a=4时，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为25+1×4=29. 故选C .14.12π 24+16√3 解析:以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (-2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，因为|PA||PB|=√3， 所以√(x+2)2+y 2√(x -2)2+y 2=√3，化简整理可得(x-4)2+y 2=12，所以点P 的轨迹为圆，圆心为C (4，0)，半径r=2√3，故其面积为12π.PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2-4+y 2=|OP|2-4，OP 即为圆C 上的点到坐标原点的距离. 因为OC=4，所以OP 的最大值为OC+r=4+2√3， 所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为(4+2√3)2-4=24+16√3.。
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D.二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）11．在三角形ABC中，点D是AB的中点，且满足，则12．设是两个不共线的向量，则向量b=与向量a=共线的充要条件是_______________13．圆心为O，半径为4的圆上两弦AB与CD垂直相交于点P，若以PO为方向的单位向量为b，且|PO|=2，则=_______________14．已知O为原点，有点A（d,0）、B（0，d），其中d>0，点P在线段AB上，且（0≤t≤1），则的最大值为______________三、解答题15．（12分）设a,b是不共线的两个向量,已知若A、B、C三点共线,求k的值.16．（12分）设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值17．（14分）已知|a|=，|b|=3，a与b夹角为，求使向量a+b 与a+b的夹角是锐角时，的取值范围20．已知向量、、、及实数、满足，，若，且.⑴求关于的函数关系式及其定义域;⑵若时,不等式恒成立，求实数的取值范围．附加题（可不做）1．已知点P分所成的比为－3，那么点分所成比为（）A． B. C. D.2．点（2，－1）按向量a平移后得（－2，1），它把点（－2，1）平移到（）A．(2,－1) B. (－2,1) C. (6,－3) D. (－6,3))高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解一、选择题1．(文)(2010·东北师大附中)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( ) A．－4 B．4C．－2 D．2[解析] a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|) ＝ eq \f(－12,3) ＝－4.(理)(2010·浙江绍兴调研)设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于( )A. eq \f(π,6)B. eq \f(π,3)C. eq \f(2π,3)D. eq \f(π,3) 或 eq \f(2π,3)[答案] B[解析] 由条件知， eq \f(a·b,|b|) ＝2， eq \f(a·b,|a|) ＝1，a·b＝4，∴|a|＝4，|b|＝2，∴cos〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a|·|b|) ＝ eq \f(4,4×2) ＝ eq \f(1,2) ，∴〈a，b〉＝ eq \f(π,3) .2．(文)(2010·云南省统考)设e1，e2是相互垂直的单位向量，并且向量a＝3e1＋2e2，b＝xe1＋3e2，如果a⊥b，那么实数x等于( )A．－ eq \f(9,2) B. eq \f(9,2)C．－2 D．2[解析] 由条件知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，∴a·b＝3x＋6＝0，∴x＝－2.(理)(2010·四川广元市质检)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，2)，且m＝ta＋b，n＝a－kb(t、k∈R)，则m⊥n的充要条件是( )A．t＋k＝1 B．t－k＝1C．t·k＝1 D．t－k＝0[答案] D[解析] m＝ta＋b＝(2t－1，t＋2)，n＝a－kb＝(2＋k,1－2k)，∵m⊥n，∴m·n＝(2t－1)(2＋k)＋(t＋2)(1－2k)＝5t －5k＝0，∴t－k＝0.3．(文)(2010·湖南理)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则 eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) 等于( )A．－16 B．－8C．8 D．16[答案] D[解析] 因为∠C＝90°，所以 eq \o(AC,\s\up6(→)) · eq \o(CB,\s\up6(→)) ＝0，所以 eq\o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(CB,\s\up6(→)) )· eq\o(AC,\s\up6(→)) ＝| eq \o(AC,\s\up6(→)) |2＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) · eq \o(CB,\s\up6(→)) ＝AC2＝16.(理)(2010·天津文)如图，在△ABC中，AD⊥AB， eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \r(3) eq \o(BD,\s\up6(→)) ，| eq \o(AD,\s\up6(→)) |＝1，则 eq \o(AC,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝( ) A．2 eq \r(3) B. eq \f(\r(3),2)C. eq \f(\r(3),3)D. eq \r(3)[答案] D[解析] ∵ eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq\o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \r(3) eq \o(BD,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(AC,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \r(3) eq\o(BD,\s\up6(→)) )· eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ＋ eq\r(3) eq \o(BD,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ，又∵AB⊥AD，∴ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝0，∴ eq \o(AC,\s\up6(→)) · e q \o(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \r(3) eq \o(BD,\s\up6(→)) · eq\o(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \r(3) | eq \o(BD,\s\up6(→)) |·| eq \o(AD,\s\up6(→)) |·cos∠ADB ＝ eq \r(3) | eq \o(BD,\s\up6(→)) |·cos∠ADB＝ eq \r(3) ·| eq \o(AD,\s\up6(→)) |＝ eq \r(3) .4．(2010·湖南省湘潭市)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝( )A．150° B．120°C．60° D．30°[答案] B[解析] ∵a＋b＝c，|a|＝|b|＝|c|≠0，∴|a＋b|2＝|c|2＝|a|2，∴|b|2＋2a·b＝0，∴|b|2＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－ eq \f(1,2) ，∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.5．(2010·四川双流县质检)已知点P在直线AB上，点O不在直线AB上，且存在实数t满足 eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝2t eq \o(PA,\s\up6(→)) ＋t eq \o(OB,\s\up6(→)) ，则 eq \f(|\o(PA,\s\up6(→))|,|\o(PB,\s\up6(→))|) ＝( )A. eq \f(1,3)B. eq \f(1,2)C．2 D．3[答案] B[解析] ∵ eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝2t( eq \o(OA,\s\up6(→)) － eq \o(OP,\s\up6(→)) )＋t eq\o(OB,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2t,2t＋1) eq \o(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(t,2t＋1) eq\o(OB,\s\up6(→)) ，∵P在直线AB上，∴ eq \f(2t,2t＋1) ＋ eq \f(t,2t＋1) ＝1，∴t＝1，∴ eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(PA,\s\up6(→)) ＝ eq \o(OA,\s\up6(→)) － eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq\o(OA,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up6(→)) ，eq \o(PB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(OB,\s\up6(→)) － eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq\o(OB,\s\up6(→)) － eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up6(→)) ＝－2 eq \o(PA,\s\up6(→)) ，∴ eq \f(|\o(PA,\s\up6(→))|,|\o(PB,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(1,2) .6．(文)平面上的向量 eq \o(MA,\s\up6(→)) 、 eq \o(MB,\s\up6(→)) 满足| eq \o(MA,\s\up6(→)) |2＋| eq \o(MB,\s\up6(→)) |2＝4，且 eq \o(MA,\s\up6(→)) · eq \o(MB,\s\up6(→)) ＝0，若向量 eq \o(MC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(MA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \o(MB,\s\up6(→)) ，则| eq \o(MC,\s\up6(→)) |的最大值是( )A. eq \f(1,2) B．1C．2 D. eq \f(4,3)[答案] D[解析] ∵ eq \o(MA,\s\up6(→)) · eq \o(MB,\s\up6(→)) ＝0，∴ eq \o(MA,\s\up6(→)) ⊥ eq\o(MB,\s\up6(→)) ，又∵| eq \o(MA,\s\up6(→)) |2＋| eq \o(MB,\s\up6(→)) |2＝4，∴|AB|＝2，且M在以AB为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系，则点A(－1,0)，点B(1,0)，设点M(x，y)，则x2＋y2＝1，eq \o(MA,\s\up6(→)) ＝(－1－x，－y)， eq \o(MB,\s\up6(→)) ＝(1－x，－y)，∵ eq \o(MC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(MA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \o(MB,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x，－y)) ，∴| eq \o(MC,\s\up6(→)) |2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x)) 2＋y2＝ eq \f(10,9) － eq\f(2,3) x，∵－1≤x≤1，∴x＝－1时，| eq \o(MC,\s\up6(→)) |2取得最大值为 eq \f(16,9) ，∴| eq \o(MC,\s\up6(→)) |的最大值是 eq \f(4,3) .(理)(2010·山东日照)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则 eq\o(AN,\s\up6(→)) · eq \o(AM,\s\up6(→)) 的最大值为( )A．8 B．6C．5 D．4[答案] B[解析] 建立直角坐标系如图，∵正方形ABCD边长为2，∴A(0,0)，N(2，－1)， eq \o(AN,\s\up6(→)) ＝(2，－1)，设M坐标为(x，y)， eq \o(AM,\s\up6(→)) ＝(x，y)由坐标系可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤x≤2①,－2≤y≤0 ②))∵ eq \o(AN,\s\up6(→)) · eq \o(AM,\s\up6(→)) ＝2x－y，设2x－y＝z，易知，当x＝2，y＝－2时，z取最大值6，∴ eq \o(AN,\s\up6(→)) · eq \o(AM,\s\up6(→)) 的最大值为6，故选B.7．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝ eq \r(7) ，则 eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq\o(BC,\s\up6(→)) 等于( )A. eq \f(3,2)B. eq \f(5,2)C．2 D．3[答案] B[解析] eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AO,\s\up6(→)) ·( eq\o(AC,\s\up6(→)) － eq \o(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) － eq\o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(AB,\s\up6(→)) ，因为OA＝OB.所以 eq \o(AO,\s\up6(→)) 在 eq \o(AB,\s\up6(→)) 上的投影为 eq \f(1,2) | eq \o(AB,\s\up6(→)) |，所以 eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) | eq \o(AB,\s\up6(→)) |·| eq \o(AB,\s\up6(→)) |＝2，同理 eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq\o(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) | eq \o(AC,\s\up6(→)) |·| eq \o(AC,\s\up6(→)) |＝ eq \f(9,2) ，故 eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(9,2) －2＝ eq \f(5,2) .8．(文)已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则向量a与向量b的夹角为( )A. eq \f(π,6)B. eq \f(π,4)C. eq \f(π,3)D. eq \f(π,2)[答案] C[解析] 根据向量夹角公式“cos〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) 求解”．由条件得a·b－a2＝－1，即a·b＝－3，设向量a，b的夹角为α，则cosα＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq\f(3,2×3) ＝ eq \f(1,2) ，所以α＝ eq \f(π,3) .9.(理)(2010·黑龙江哈三中)在△ABC中， eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) ∈ eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3\r(3),8))) ，其面积S＝ eq \f(3,16) ，则 eq \o(AB,\s\up6(→)) 与 eq \o(BC,\s\up6(→)) 夹角的取值范围是( )A. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))B. eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))C. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))D. eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(3π,4)))[答案] A[解析] 设〈 eq \o(AB,\s\up6(→)) ， eq \o(BC,\s\up6(→)) 〉＝α，∵ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq\o(BC,\s\up6(→)) ＝| eq \o(AB,\s\up6(→)) |·| eq \o(BC,\s\up6(→)) |cosα，S＝ eq \f(1,2) | eq\o(AB,\s\up6(→)) |·| eq \o(BC,\s\up6(→)) |·sin(π－α)＝ eq \f(1,2) | eq \o(AB,\s\up6(→)) |·| eq\o(BC,\s\up6(→)) |·sinα＝ eq \f(3,16) ，∴| eq \o(AB,\s\up6(→)) |·| eq \o(BC,\s\up6(→)) |＝ eq\f(3,8sinα) ，∴ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(3cosα,8sinα) ＝ eq \f(3,8) cotα，由条件知 eq \f(3,8) ≤ eq \f(3,8) cotα≤ eq \f(3\r(3),8) ，∴1≤cotα≤ eq \r(3) ，∵ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) >0，∴α为锐角，∴ eq \f(π,6) ≤α≤ eq \f(π,4) .10.(理)(2010·南昌市模考)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且 eq \o(BF,\s\up6(→)) ＝2 eq \o(FA,\s\up6(→)) ，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则 eq \o(FD,\s\up6(→)) · eq \o(FE,\s\up6(→)) 的值是( )A．－ eq \f(3,4) B．－ eq \f(8,9)C．－ eq \f(1,4) D．不确定[答案] B[解析] ∵ eq \o(BF,\s\up6(→)) ＝2 eq \o(FA,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(FA,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up6(→)) ，∴| eq \o(FA,\s\up6(→)) |＝ eq \f(1,3) | eq \o(BA,\s\up6(→)) |＝ eq \f(1,3) ，eq \o(FD,\s\up6(→)) · eq \o(FE,\s\up6(→)) ＝( eq \o(FA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up6(→)) )·( eq \o(FA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AE,\s\up6(→)) )＝( eq \o(FA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up6(→)) )·( eq \o(FA,\s\up6(→)) － eq \o(AD,\s\up6(→)) )＝| eq \o(FA,\s\up6(→)) |2－| eq \o(AD,\s\up6(→)) |2＝ eq \f(1,9) －1＝－ eq \f(8,9) .二、填空题11．(2010·苏北四市)如图，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq\o(DC,\s\up6(→)) )·( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝______.[答案] 5[解析] 设AC与BD相交于点O，则( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(DC,\s\up6(→)) )·( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝[( eq \o(OB,\s\up6(→)) － eq \o(OA,\s\up6(→)) )＋( eq \o(OC,\s\up6(→)) － eq\o(OD,\s\up6(→)) )]·( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝[( eq \o(OB,\s\up6(→)) － eq \o(OD,\s\up6(→)) )＋( eq \o(OC,\s\up6(→)) － eq\o(OA,\s\up6(→)) )]·( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝( eq \o(DB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) )( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝| eq \o(AC,\s\up6(→)) |2－| eq \o(BD,\s\up6(→)) |2＝5.12．(文)(2010·江苏洪泽中学月考)已知O、A、B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若| eq \o(OA,\s\up6(→)) |＝7，| eq \o(OB,\s\up6(→)) |＝5，则 eq \o(OP,\s\up6(→)) ·( eq \o(OA,\s\up6(→)) －eq \o(OB,\s\up6(→)) )的值为________．[答案] 12[解析] eq \o(PA,\s\up6(→)) ＝ eq \o(PO,\s\up6(→)) ＋ eq \o(OA,\s\up6(→)) ， eq \o(PB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(PO,\s\up6(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up6(→)) ，由条件知，| eq \o(OA,\s\up6(→)) |2＝49，| eq \o(OB,\s\up6(→)) |2＝25，| eq \o(PA,\s\up6(→)) |＝| eq \o(PB,\s\up6(→)) |，∴| eq \o(PO,\s\up6(→)) ＋ eq \o(OA,\s\up6(→)) |2＝| eq \o(PO,\s\up6(→)) ＋ eq\o(OB,\s\up6(→)) |2，即| eq \o(PO,\s\up6(→)) |2＋| eq \o(OA,\s\up6(→)) |2＋2 eq \o(PO,\s\up6(→)) · eq\o(OA,\s\up6(→)) ＝| eq \o(PO,\s\up6(→)) |2＋| eq \o(OB,\s\up6(→)) |2＋2 eq \o(PO,\s\up6(→)) · eq\o(OB,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(PO,\s\up6(→)) ·( eq \o(OA,\s\up6(→)) － eq \o(OB,\s\up6(→)) )＝－12，∴ eq \o(OP,\s\up6(→)) ·( eq \o(OA,\s\up6(→)) － eq \o(OB,\s\up6(→)) )＝12.13.(理)(2010·广东茂名市)O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足 eq\o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \o(OA,\s\up6(→)) ＋λ( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) )，则λ＝ eq \f(1,2) 时， eq \o(PA,\s\up6(→)) ·( eq \o(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PC,\s\up6(→)) )的值为______．[答案] 0[解析] 由已知得 eq \o(OP,\s\up6(→)) － eq \o(OA,\s\up6(→)) ＝λ( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq\o(AC,\s\up6(→)) )，即 eq \o(AP,\s\up6(→)) ＝λ( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) )，当λ＝ eq \f(1,2) 时，得 eq \o(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq\o(AC,\s\up6(→)) )，∴2 eq \o(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) ，即 eq \o(AP,\s\up6(→)) － eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AC,\s\up6(→)) － eq \o(AP,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \o(PC,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PC,\s\up6(→)) ＝eq \o(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BP,\s\up6(→)) ＝0，∴ eq \o(PA,\s\up6(→)) ·( eq \o(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PC,\s\up6(→)) )＝ eq \o(PA,\s\up6(→)) ·0＝0，故填0.三、解答题16．(文)(延边州质检)如图，在四边形ABCD中，AD＝8，CD＝6，AB＝13，∠ADC＝90°且 eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝50.(1)求sin∠BAD的值；(2)设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求 eq \f(S△ABD,S△BCD) 的值．[解析] (1)在Rt△ADC中，AD＝8，CD＝6，则AC＝10，cos∠CAD＝ eq \f(4,5) ，sin∠CAD＝ eq \f(3,5) ，又∵ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝50，AB＝13，∴cos∠BAC＝ eq \f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(5,13) ，∵0<∠BAC∠180°，∴sin∠BAC＝ eq \f(12,13) ，∴sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)＝ eq \f(63,65) .(2)S△BAD＝ eq \f(1,2) AB·ADsin∠BAD＝ eq \f(252,5) ，S△BAC＝ eq \f(1,2) AB·ACsin∠BAC＝60，S△ACD＝24，则S△BCD＝S△ABC＋S△ACD－S△BAD＝ eq \f(168,5) ，∴ eq \f(S△ABD,S△BCD) ＝ eq \f(3,2) .(理)点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC.[分析] 要证明AD⊥BC，则只需要证明 eq \o(AD,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝0，可设 eq\o(AD,\s\up6(→)) ＝m， eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝c， eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝b，将 eq \o(BC,\s\up6(→)) 用m，b，c线性表示，然后通过向量的运算解决．证明：设 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝c， eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝b， eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝m，则 eq \o(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up6(→)) － eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝m－c， eq \o(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up6(→)) － eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝m－b.∵AB2＋CD2＝AC2＋BD2，∴c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，即c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，∴m·(c－b)＝0，即 eq \o(AD,\s\up6(→)) ·( eq \o(AB,\s\up6(→)) － eq \o(AC,\s\up6(→)) )＝0，∴ eq \o(AD,\s\u p6(→)) · eq \o(CB,\s\up6(→)) ＝0，∴AD⊥BC.17．(文)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足( eq \o(AB,\s\up6(→)) －t eq \o(OC,\s\up6(→)) )· eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝0，求t的值．[解析] (1)由题设知 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝(3,5)， eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝(－1,1)，则 eq\o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝(2,6)， eq \o(AB,\s\up6(→)) － eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝(4,4)．所以| eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) |＝2 eq \r(10) ，| eq \o(AB,\s\up6(→)) － eq\o(AC,\s\up6(→)) |＝4 eq \r(2) .故所求的两条对角线长分别为4 eq \r(2) ，2 eq \r(10) .(2)由题设知 eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝(－2，－1)， eq \o(AB,\s\up6(→)) －t eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝(3＋2t,5＋t)．由( eq \o(AB,\s\up6(→)) －t eq \o(OC,\s\up6(→)) )· eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝0得，(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，所以t＝－ eq \f(11,5) .(理)(安徽巢湖质检)已知A(－ eq \r(3) ，0)，B( eq \r(3) ，0)，动点P满足| eq \o(PA,\s\up6(→)) |＋| eq \o(PB,\s\up6(→)) |＝4.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点(1,0)作直线l与曲线C交于M、N两点，求 eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) 的取值范围．[解析] (1)动点P的轨迹C的方程为 eq \f(x2,4) ＋y2＝1；(2)解法一：①当直线l的斜率不存在时，M(1， eq \f(\r(3),2) )，N(1，－ eq \f(\r(3),2) )， eq\o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) ；②当直线l的斜率存在时，设过(1,0)的直线l：y＝k(x－1)，代入曲线C的方程得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0.设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1＋x2＝ eq \f(8k2,1＋4k2) ，x1x2＝ eq \f(4k2－1,1＋4k2) .eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝(1＋k2)x1x2－k2(x1＋x2)＋k2＝ eq \f(k2－4,1＋4k2) ＝ eq \f(1,4) － eq \f(\f(17,4),1＋4k2) < eq \f(1,4) .又当k＝0时， eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) 取最小值－4，∴－4≤ eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) < eq \f(1,4) .根据①、②得 eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) 的取值范围为[－4， eq \f(1,4) ]．解法二：当直线l为x轴时，M(－2,0)，N(2,0)， eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝－4. 当直线l不为x轴时，设过(1,0)的直线l：x＝λy＋1，代入曲线C的方程得(4＋λ2)y2＋2λy－3＝0.设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则y1＋y2＝ eq \f(－2λ,4＋λ2) ，y1y2＝ eq \f(－3,4＋λ2) .eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝x1x2＋y1y2＝(λ2＋1)y1y2＋λ(y1＋y2)＋1＝ eq \f(－4λ2＋1,4＋λ2) ＝－4＋ eq \f(17,4＋λ2) ∈(－4， eq \f(1,4) ]．∴－4≤ eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ≤ eq \f(1,4) .∴ eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) 的取值范围为[－4， eq \f(1,4) ]．高中数学平面向量章末复习题（二）【提高篇】一、选择题1、下面给出的关系式中正确的个数是（ C ）① ②③④⑤(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 32. 已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且=，＝，则＝（ B ）（A） + （B）－（C）＋（D）－3．已知ABCDEF是正六边形，且＝，＝，则＝（ D ）（A）（B）（C）＋（D）4. 设a，b为不共线向量，＝a＋2b，＝－4 a－b，＝－5 a－3 b，则下列关系式中正确的是（B ）（A）＝（B）＝2 （C）＝－（D）＝－25. 设与是不共线的非零向量，且k＋与＋k共线，则k的值是（ C ）（A） 1 （B）－1 （C）（D）任意不为零的实数6. 在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足－,则等于 ( A )A. B. C. D.7．已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么丨a＋3b丨＝（ C ）A．B．C． D．48．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（ D ）。
高中数学平面向量测试题及答案
高中数学平面向量测试题及答案一、选择题1、下列哪一组向量是平行向量？A. (3，4)与(4，3)B. (3，4)与( - 4，- 3)C. (3，4)与( - 4，9)D. (3，4)与(7，8)2、下列哪一组向量是共线向量？A. (1，2)与(2，3)B. (1，1)与(2，2)C. (1，2)与( - 2，4)D. (1， - 1)与( - 2，2)3、下列哪一组向量是垂直向量？A. (1，2)与(2，1)B. (3，4)与(4，3)C. ( - 3，4)与(4， - 3)D.平面向量是数学中的一个重要概念，是解决许多实际问题的重要工具。
以下是一些经典的平面向量测试题，可以帮助大家了解和评估自己的平面向量水平。
给出平面向量的基本概念和性质，包括向量的表示、向量的模、向量的加法、减法和数乘等。
给出一个向量的坐标表示，包括在直角坐标系中的表示和在极坐标系中的表示。
给定两个向量 a和 b，求它们的数量积、夹角和模长。
给定一个向量 a，求它的单位向量、零向量和负向量。
给定一个平面向量场，求其中的平行向量、共线向量和线性无关向量。
给定一个三维平面向量场，求其中的法向量和切线向量。
给定一个向量的模长和夹角，求这个向量的坐标表示。
给定两个三维向量 a和 b，求它们在空间中的位置关系，如平行、共线和垂直等。
给定一个平面向量 a和一个非零向量 b，求 a和 b的垂直平分面和a和 b的中垂线。
给定一个向量的正交分解和极坐标表示，求这个向量的直角坐标表示和极坐标表示。
以上是平面向量经典测试题的一些例子，这些题目可以帮助大家巩固平面向量的基本概念和性质，提高解决实际问题的能力。
解释：平面向量是由两个数值和一个字母组成的，其中字母表示向量的方向，而数值表示向量的模长。
选项A符合这个要求，而其他选项都不符合。
解释：平面向量的基本运算包括加法、减法和数乘，而D选项中的“数乘和加法”实际上是包含了这三种运算，因此不是平面向量的运算。
(江苏专用)高考数学总复习 第四章第3课时 平面向量的数量积随堂检测(含解析)
1（江苏专用）2023年高考数学总复习 第四章第3课时 平面向量的数量积 随堂检测（含解析）1．(2023·高考重庆卷改编)假设向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，那么实数m 的值为________．解析：依题意6－m ＝0，∴m ＝6.答案：62．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，那么AB →·AC →等于________．解析：因cos A ＝AC AB ，故AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝|AC →|2＝16. 答案：163．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，那么|a ＋2b |＝________. 解析：∵a ＝(2,0)，∴|a |＝2，∴|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12，∴|a ＋2b |＝2 3.答案：2 34．(2023·高考江苏卷)已知e 1、e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，假设a·b ＝0，那么实数k 的值为________．解析：a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22＝k －2＋(1－2k )cos 2π3＝2k －52. ∵a ·b ＝0，∴2k －52＝0即k ＝54. 答案：545．假设向量a 、b 、c 满足a ∥b 且a ⊥c 那么c ·(a ＋2b )＝________. 解析：∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0，又∵a ∥b ，可设b ＝λa ，那么c ·(a ＋2b )＝(1＋2λ)c ·a ＝0.答案：06．在△ABC 内求一点P ，使AP 2＋BP 2＋CP 2的值最小．解：设CA →＝a ，CB →＝b ，CP →＝p ，那么AP →＝p －a ，BP →＝p －b ，于是AP →2＋BP →2＋CP →2＝(p －a )2＋(p －b )2＋p 2＝3p 2－2(a ＋b )·p ＋a 2＋b 2＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤p －13a ＋b 2＋a 2＋b 2－13(a ＋b )2， ∴当p ＝13(a ＋b )时，AP →2＋BP →2＋CP →2取最小值． 记D 为AB 的中点，那么a ＋b ＝2CD →，于是CP →＝23CD →， ∴C ，P ，D 三点共线，且P 点是△ABC 的重心时，AP →2＋BP →2＋CP →2取最小值，即AP 2＋BP2＋CP 2的值最小．。
(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．162．如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．33．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．24．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦5．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ）A ．(0,21⎤-⎦B ．(0,21⎤+⎦C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦D ．)21,⎡-+∞⎣ 6．在平行四边形ABCD 中，3DE CE =，若AE 交BD 于点M .且AM AB AD λμ=+，则λμ=（ ） A ．23 B ．32 C ．34 D ．437．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ）A ．14B ．12C ．2D ．48．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）A ．52B ．52-C ．4D ．4-9．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ）A ．42，0B ．4，42C ．16，0D ．4，010．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．2B ．8 km/hC ．34D ．10 km/h11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．已知2a b ==，0a b ⋅=，()()0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（ ）A ．22B ．122+C ．222+D ．42 二、填空题13．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G ，作用在行李包上的两个拉力分别为1F ，2F ，且12F F =，1F 与2F 的夹角为θ.给出以下结论：①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[]0,π；③当2πθ=时，1F G =； ④当23πθ=时，1F G =. 其中正确结论的序号是______.14．在△ABC 中，D 为BC 中点，直线AB 上的点M 满足：32(33)()AM AD AC R λλλ=+-∈，则AMMB =__________．15．把单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ，点C 在线段AB 上，若12AC CB =，则OC BA ⋅的值为__________． 16．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211AB AC +,则实数m 的值为_____.17．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点， 且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.18．在ABC ∆中，1AC BC ==，3AB =，且CE xCA =，CF yCB =，其中(),0,1x y ∈，且41x y +=，若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，当线段MN 取最小值时x y +=__________.19．如图所示，已知OAB ，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：①12=+OM OA OB ； ②23143OM OA OB =+；③33145=+OM OA OB ；④44899=+OM OA OB .对于点1M ，2M ，3M ，4M 落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）20．设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足：()1AA AB AC λ=+，()1BB BC BA λ=+，()1CC CA CB λ=+，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为_____. 三、解答题21．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a =，CD b =，当12AE AB =，请用a ，b 来表示AB ，CE . （2）当2AE EB =时，求证：AD CE ⊥.22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin m B C A B n B C A =++=-，且m n ⊥.（1）求角C 的大小；（2）若3c =2a b +的取值范围.23．已知向量()1,2a =，(),1b x =.（1）若|2|||a b a b -=+，求实数x 的值；（2）若2x =，求2a b -与a b +的夹角.24．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+，求λ+μ的值． （2）若AB ＝2，当AE BF ⋅=1时，求DF 的长．25．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =（1）若||25c =，且//c a ，求c 的坐标；（2）若5||b =，且2 a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. 26．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1,2)a =-，(1,)b k =．（1）若()a a b ⊥+，求实数k 的值； （2）若对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-， AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.故选：D.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 2．A解析：A【解析】 因为2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且249t =，故811199m t =-=-=，应选答案A ． 3．C解析：C【分析】 根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，作出图形，如图所示： 由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+， 所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=. 故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4．B解析：B【分析】作出图形，可求得线段MN 的中点Q 的轨迹方程为2234x y +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ +=，求得PQ 的取值范围，进而可求得PM PN +的取值范围. 【详解】 由1MN =，可知OMN 为等边三角形，设Q 为MN 的中点，且3sin 602OQ OM ==Q 的轨迹为圆2234x y +=， 又()3,4P ，所以，33PO PQ PO -≤≤+，即3355PQ ≤≤+. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ +=，因此2103,103PM PN PQ ⎡+=∈+⎣.故选：B.【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.5．C解析：C【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 取得最小值21-,O 在BM 的延长线上时,OB 取得最大值21+．故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy a c x y x y +≤++=+,取等号条件：ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d -≤≤+．故选:C【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.6．B解析：B【分析】根据已知找到相似三角形，用向量AB 、AD 线性 表示向量AM .【详解】如图，平行四边形ABCD 中，3DE CE =，ABM EDM ，3322DE DC AB ∴==，()22223323555255AM ME AE AD DE AD AB AB AD ⎛⎫===+=+=+ ⎪⎝⎭. 32λμ= 故选：B【点睛】此题考查平面向量的线性运算，属于中档题.7．C解析：C【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos 62b a b t a a π⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin 16b π=，从而可求出b【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<， 所以()g t 恒大于零， 所以当232cos 622b b a b t a a a π⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1， 所以2223332122b b b g a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =， 所以2b =，故选：C【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题8．C解析：C【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系(0,0),(2,1),(1,2)A E F(2,1),(1,2)AE AF ∴==21124AE AF ∴⋅=⨯+⨯=故选：C【点睛】本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.9．D解析：D【分析】利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值．【详解】解：向量()a cos sin θθ=，，向量()31b =-，，则2a b -=（2cosθ32sinθ+1）， 所以|2|a b -2＝（2cosθ3-2+（2sinθ+1）2＝8﹣3cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（3πθ-）， 所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0；故选：D ．【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．10．A解析：A【解析】设客船在静水中的速度大小为 /v km h 静，水流速度为 v 水，则2/v km h =水，则船实际航行的速度v v v =+静水，60.160t h =，由题意得100.1AB v ≤=． 把船在静水中的速度正交分解为x y v v v 静=+， ∴0.660.1y v ==，在Rt ABC 中，221060.8BC =-=．． ∵80.1x x BCv v v v +=+==水水，∴826x v =-= ∴2262x yv v v 静=+=设v v 静水＜，＞＝θ，则tan 1yxv v θ==，∴2cos 2θ=．此时222272242410102v v v v v v v +=+⋅+=+⨯+=≤静水静静水水＝ ，满足条件，故选A.11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()bc a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．C解析：C【分析】不妨设(2,0),(0,2)a b ==，设(,),(,)c m n d x y ==，则由()()0c a c b -⋅-=求出点(,)a b 满足的关系（点(,)C a b 在一个圆上），而2d c -=表示点(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆上，d 表示该圆上的点到原点的距离，由几何意义可得解． 【详解】∵2a b ==，0a b ⋅=，∴不妨设(2,0),(0,2)a OA b OB ====，如图，设(,)c OC m n ==，(,)d OD x y ==，则()()(2,)(,2)(2)(2)0c a c b m n m n m m n n -⋅-=-⋅-=-+-=，即22(1)(1)2m n -+-=，∴点(,)C m n 在以(1,1)M 为圆心，2为半径的圆M 上， 又2d c -=，∴(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆C 上， 则2d OC ≤+，当且仅当D 在OC 延长线上时等号成立， 又OC 的最大值是圆M 的直径22， ∴d 最大值为222+． 故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，解题关键是引入坐标表示向量，用几何意义表示向量，求解结论．二、填空题13．①④【分析】根据为定值求出再对题目中的命题分析判断正误即可【详解】解：对于①由为定值所以解得；由题意知时单调递减所以单调递增即越大越费力越小越省力；①正确对于②由题意知的取值范围是所以②错误对于③当解析：①④. 【分析】根据12G F F =+为定值，求出()22121cos GF θ=+，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】解：对于①，由12G F F =+为定值， 所以()2222121212cos 21cos G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，解得(22121cos GF θ=+；由题意知()0,θπ∈时，cos y θ=单调递减，所以21F 单调递增， 即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确.对于②，由题意知，θ的取值范围是()0,π，所以②错误. 对于③，当2πθ=时，2212GF =，所以12F G =，③错误. 对于④，当23πθ=时，221F G =，所以1F G =，④正确.综上知，正确结论的序号是①④. 故答案为：①④. 【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题14．1【解析】设∵D 为BC 中点所以可以化为3x=λ（）+（3-3λ）化简为（3x-λ）=（3-2λ）只有3x-λ=3-2λ=0时（3x-λ）=（3-2λ）才成立所以λ=x=所以则M 为AB 的中点故答案为1解析：1 【解析】设 AM AB λ=，∵D 为BC 中点，所以12AD AB AC （）=+,() 3233AM AD AC λλ=+- 可以化为3x AB =λ（AB AC +）+（3-3λ）AC ，化简为（3x-λ）AB =（3-2λ）AC ，只有3x-λ=3-2λ=0时，（3x-λ）AB =（3-2λ）AC 才成立，所以λ=32，x=12所以12AM AB =，则M 为AB 的中点 故答案为1点睛：本题考查向量的基本定理基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则，考查数形结合思想，直线AB 上的点M 可设成 AM AB λ=，D 为BC 中点可得出12AD AB AC （）=+，代入已知条件整理可得.15．【分析】由题意可得与夹角为先求得则再利用平面向量数量积的运算法则求解即可【详解】单位向量绕起点逆时针旋转再把模扩大为原来的3倍得到向量所以与夹角为因为所以所以故答案为【点睛】本题主要考查平面向量几何 解析：116-【分析】由题意可得3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，先求得1(2)3OC OA AC OA OB =+=+，则1(2)()3OC BA OA OB OA OB ⋅=+⋅-，再利用平面向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ， 所以3OB =，OA 与OB 夹角为120︒， 因为12AC CB =，所以111()(2)333OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+，所以()2211(2)()233OC BA OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅=+⋅-=--⋅ 11291332⎡⎤⎛⎫=--⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦116=-，故答案为116-. 【点睛】 本题主要考查平面向量几何运算法则以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．16．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：311【解析】由13AN NC =,得14AN AC =. 设BP =n BN ,所以AP AB BP AB =+=+n BN =AB +n (AN AB -)=(1-n )14AB nAC +=m 211AB AC +. 由14n=211,得m=1-n=311. 17．【分析】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示由已知条件得出点坐标圆M 的方程设由得出再设（为参数）代入中根据三角函数的值域可求得最大值【详解】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示因为在 解析：116【分析】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M 的方程，设(),P x y ，由AP AB AD λμ=+，得出134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再设3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），代入λμ+中，根据三角函数的值域，可求得最大值. 【详解】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，因为在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，所以圆M 的半径为3+4512r -==， 所以()0,0B ，()0,3A ，()4,0C ，()4,3D，()3,1M ，圆M 的方程为()()22311x y -+-=，设(),P x y ，又AP AB AD λμ=+，所以()()(),30,34,0x y λμ-=-+，解得134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又点P 是圆M 上的点，所以3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），所以()1sin 3cos 517sin 1+1+34312124+y x θθβθλμ+=+--+=-=，其中3tan 4β=，所以，当()sin 1βθ-=时，λμ+取得最大值116， 故答案为：116.【点睛】本题考查向量的线性表示，动点的轨迹中的最值问题，属于中档题.18．【分析】根据平面向量的数量积运算求得的值再利用中线的性质表示出由此求得计算当的最小时的值即可【详解】解：连接如图所示：由等腰三角形中知所以∵是的中线∴同理可得∴又∴故当时有最小值此时故答案为：【点睛 解析：47【分析】根据平面向量的数量积运算求得CA CB 的值，再利用中线的性质表示出CM 、CN ，由此求得MN ，计算当||MN 的最小时x y +的值即可． 【详解】解：连接CM ，CN ，如图所示：由等腰三角形中，1AC BC ==，3AB =120ACB ∠=︒，所以1=2CA CB ⋅-.∵CM 是CEF ∆的中线，∴()()1122CM CE CF xCA yCB =+=+. 同理可得()1=2CN CA CB +. ∴()()111122MN CN CM x CA y CB =-=-+-， ()()()()222111111114224MN x x y y ⎛⎫=-+--⨯-+- ⎪⎝⎭， 又41x y +=，∴222131424MN y y =-+，(),0,1x y ∈. 故当17y =时，2MN 有最小值，此时3147x y =-=. 故答案为：47. 【点睛】本题考查了平面向量数量积公式及其运算性质问题，也考查了二次函数求最值的应用问题，属于中档题．19．①②④【分析】射线与线段的公共点记为根据平面向量基本定理可得到由在阴影区域内可得实从而且得出结论【详解】解：设在阴影区域内则射线与线段有公共点记为则存在实数使得且存在实数使得从而且又由于故对于①中解解析：①②④ 【分析】射线OM 与线段AB 的公共点记为N ，根据平面向量基本定理，可得到(1)ON tOA t OB =+-，由M 在阴影区域内可得实1r ≥，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥得出结论【详解】解：设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ， 则存在实数(0,1]t ∈，使得(1)ON tOA t OB =+-，且存在实数1r ≥，使得OM rON =，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥．又由于01t ≤≤，故(1)0r t -≥． 对于①中1,(1)2rt r t =-=，解得313,r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故①满足条件． 对于②中31,(1)43rt r t =-=，解得139,1213r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故②满足条件， 对于③31,(15)4rt r t =-=，解得19,152019r t ==，不满足1r ≥，故③不满足条件， 对于④,(189)49rt r t =-=，解得,4133r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故④满足条件．故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，属于中档题．20．【分析】设的重心为点可知与关于点对称利用重心的向量性质可求得实数的值【详解】设的重心为点则由于和的面积相等则与关于点对称则解得故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算涉及三角形重心向解析：23【分析】设ABC ∆的重心为点G ，可知ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，利用重心的向量性质可求得实数λ的值. 【详解】设ABC ∆的重心为点G ，则3AB AC AG +=，()13AA AB AC AG λλ∴=+=， 由于ABC ∆和111A B C ∆的面积相等，则ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称， 则12AA AG =，32λ∴=，解得23λ=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）2AB b a =-，12CE a b =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出2CB b =，利用AB CB CA =-与12CE CA AB =+化简可得答案； （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ， 求出,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可得0AD CE ⋅=，进而可得答案.【详解】（1）∵CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点， ∴2CB b =，∴2AB CB CA b a =-=-，∵()1112222CE CA AE a AB a b a a b =+=+=+-=+. （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ，∴B 点坐标为(),0a ，另设点E 坐标为(),x y ，∵点D 是CB 的中点，∴点D 坐标为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭， 又∵2AE EB =，∴()(),2,x y a a x y -=--，∴23a x =，3ay =， 所以,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()20233a a aAD CE a ⋅=⨯+-⨯=， ∴AD CE ⊥.【点睛】方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 22．（1）2C 3π=；（2）(323，.【分析】（1）根据向量m n ⊥得到22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++=，再由正弦定理将边化为角的表达式，结合余弦定理求得角C 的值．（2）利用正弦定理求的△ABC 的外接圆半径，将2a b +表示成A 与B 的三角函数式，利用辅助角公式化为角A 的函数表达式；再由角A 的取值范围求得2a b +的范围． 【详解】 （1）∵m n ⊥ ∴0m n ⋅=∴22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++= ∴222c a b ab =++ ∴1cos 2C =- 又()0,C π∈ . ∴23C π=.（2）∵23C π=，c = ∴△ABC 外接圆直径2R=2∴24sin 2sin a b A B +=+4sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭4sin sin A A A =+-3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴1sin ,162A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2a b + 的取值范围是 .【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，正弦定理、余弦定理的综合应用，辅助角公式化简三角函数表达式，知识点多，较为综合，属于中档题． 23．（1）12；（2）4π． 【分析】（1）求出向量2a b -与a b +的坐标，然后由模的坐标运算列出方程可求得x ； （2）求出向量2a b -与a b +的坐标，由向量夹角的坐标运算计算． 【详解】（1）因为()1,2a =，(),1b x =， 所以()22,3a b x -=-，()1,3a b x +=+. 因为|2|||a b a b -=+，=解得12x =. （2）当2x =时，()20,3a b -=，()3,3a b +=， 所以()()203339a b a b -⋅+=⨯+⨯=，23a b -=，32a b +=.设2a b -与a b +的夹角为θ.则(2)()cos |2|||332a b a b a b a b θ-⋅+===-⋅+⋅. 又[]0,θπ∈，所以4πθ=，即2a b -与a b +的夹角为4π. 【点睛】 本题考查向量模的坐标运算，考查向量夹角的坐标运算，掌握向量的坐标运算是解题基础．24．（1）16；（2）32． 【分析】（1）先转化得到13CF AB =-，12EC AD =，再表示出1132EF AB AD =-+，求出λ13=-，μ12=，最后求λ+μ的值； （2）先得到12AE AB AD =+和0AB AD ⋅=，再建立方程421λ-+=求解λ14=，最后求DF 的长.【详解】 （1）∵点E 是BC 边上中点，点F 是CD 上靠近C 的三等分点，∴1133CF DC AB =-=-，1122EC BC AD ==， ∴1132EF EC CF AB AD =+=-+， ∴λ13=-，μ12=， 故λ+μ111326=-+=. （2）设CF =λCD ，则BF BC CF AD =+=-λAB ，又12=+=+AE AB BE AB AD ，AB AD ⋅=0， ∴AE BF ⋅=（12AB AD +）•（AD -λAB ）＝﹣λAB 2212AD +=-4λ+2＝1， 故λ14=， ∴DF ＝（1﹣λ）×232=． 【点睛】 本题考查利用向量的运算求参数，是基础题25．（1）(2,4)或(2,4)--；（2）π.【分析】（1）根据共线向量的坐标关系运算即可求解；（2）由向量垂直及数量积的运算性质可得52a b ⋅=-，再利用夹角公式计算即可. 【详解】（1）设(,)c x y =，||25c =且//c a ， 222020x y x y ⎧+=∴⎨-=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩， (2,4)c ∴=或(2,4)c =--；（2）由 已知得(2)(2),(2)(2)0a b a b a b a b +⊥-∴+⋅-= ，即2252320,253204a ab b a b +⋅-=∴⨯+⋅-⨯=， 整理得52a b ⋅=-，cos 1||||a b a b θ⋅∴==-， 又[0,π]θ∈，πθ∴=.【点睛】本题主要考查了共线向量的坐标运算，数量积的运算，夹角公式，属于中档题. 26．（1）2k =-；（2）2k ≠-．【分析】（1）根据向量垂直，其数量积等于0，利用向量数量积公式得到对应的等量关系式，求得结果；（2）平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，其等价结果为向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，根据坐标关系得到结果.【详解】（1）若()a a b ⊥+，则有()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，又因为(1,2)a =-，(1,)b k =，所以222[(1)2](1)120a a b k +⋅=-++-⋅+=，即5120k -+=，解得2k =-；（2）对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，所以向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，所以121k -⋅≠⋅，即2k ≠-，所以实数k 的取值范围是2k ≠-.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，平面向量基本定理，一组向量可以作为基底的条件，属于基础题目.。
平面向量的加减与数量积练习题
平面向量的加减与数量积练习题一、向量的加减平面向量的加减是指根据向量的性质进行运算，可以将向量看作有方向和大小的箭头，通过对箭头进行平移和反转等操作进行运算。
1. 已知向量a = 2i + 3j，b = 4i - 5j，求a + b的结果。
解：将a和b的对应分量进行相加，得到：a +b = (2 + 4)i + (3 - 5)j = 6i - 2j2. 已知向量c = 6i - 7j，d = -3i + 2j，求c - d的结果。
解：将c和d的对应分量进行相减，得到：c -d = (6 - (-3))i + (-7 - 2)j = 9i - 9j二、数量积数量积也称为点积或内积，是将两个向量进行运算得到的结果，具体计算方式为将两个向量的对应分量相乘后相加。
3. 已知向量e = 3i + 4j，f = 2i - 5j，求e · f的结果。
解：将e和f的对应分量相乘后相加，得到：e ·f = (3 * 2) + (4 * (-5)) = 6 - 20 = -144. 已知向量g = 5i + 3j，h = -2i + 6j，求g · h的结果。
解：将g和h的对应分量相乘后相加，得到：g · h = (5 * (-2)) + (3 * 6) = -10 + 18 = 8三、练习题1. 已知向量m = 2i + j，n = 3i - 4j，求m + n的结果。
解：将m和n的对应分量进行相加，得到：m + n = (2 + 3)i + (1 - 4)j = 5i - 3j2. 已知向量p = 4i + 3j，q = -2i + 5j，求p - q的结果。
解：将p和q的对应分量进行相减，得到：p - q = (4 - (-2))i + (3 - 5)j = 6i - 2j3. 已知向量r = i - 2j，s = 3i + 4j，求r · s的结果。
解：将r和s的对应分量相乘后相加，得到：r · s = (1 * 3) + (-2 * 4) = 3 - 8 = -54. 已知向量t = 5i + 2j，u = -3i + 6j，求t · u的结果。
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积习题(1)
高中数学教案学案平面向量的数量积及其应用学习目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 在b 方向上的投影．(2)向量数量积的性质：①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__________________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔________________； ③a·a ＝________________或|a |＝________________； ④cos 〈a ，b 〉＝________； ⑤|a·b |____|a||b |.2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝________； (2)分配律：(a ＋b )·c ＝________________； (3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝________________. 3．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a·b ＝________________________；(2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔________________________； (3)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则|a |＝________________，cos 〈a ，b 〉＝____________________________.(4)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB →＝________________________，所以|AB →|＝_____________________.1.（2010·湖南）在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 2．(2010·重庆)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 3．(2011·福州月考)已知a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，(a ＋λb )⊥b ，则λ等于 ( )A ．－2B ．2 C.12 D ．－124.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________________．5.（2009·天津）若等边△ABC 的边长为M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.考点一 向量的模及夹角问题 例1 (2011·马鞍山月考)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；（3）若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．举一反三1 (1)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是 ( )A ．1B ．2C. 2D.22(2)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．考点二 两向量的平行与垂直问题 例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且k a ＋b 的长度是a －k b 的长度的3倍(k >0)．(1)求证：a ＋b 与a －b 垂直； (2)用k 表示a ·b ； (3)求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.举一反三2 (2009·江苏)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .考点三 向量的数量积在三角函数中的应用例3 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 32x ，sin 32x ， b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4. (1)求a·b 及|a ＋b |； (2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．举一反三3 （2010·四川）已知△ABC 的面积S =12AB →·AC →·＝3，且cos B ＝35，求cos C .1．一些常见的错误结论：(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若a 2＝b 2，则a ＝b ；(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(4)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；(5)|a·b |＝|a |·|b |；(6)(a·b )c ＝a (b·c )；(7)若a·b ＝a·c ，则b ＝c .以上结论都是错误的，应用时要注意．2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：（1）要证AB =CD ，可转化证明AB →2＝CD →2或|AB →|＝|CD →|.（2）要证两线段AB ∥CD ，只要证存在唯一实数λ≠0，使等式AB →＝λCD →成立即可．（3）要证两线段AB ⊥CD ，只需证AB →·CD →＝0.一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·重庆)若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为 ( )A ．－32 B.32C ．2D ．62．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为 ( )A ．－6B ．－3C ．3D ．63.已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于 ( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150° 4．(2010·湖南)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 5．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为 ( )A.135B.655C.65D.136．(2010·湖南长沙一中月考)设a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若a·b ＝25，则sin α＝________. 7．(2010·广东金山中学高三第二次月考)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．8．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 夹角为3π4，且m·n ＝－1，则向量n ＝__________________.三、解答题(共38分)9.(12分)已知OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在线段OC 上是否存在点M ，使MA →⊥MB →，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．(12分)(2011·杭州调研)已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝(cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ，sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ)． (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－k a ＋t b ，满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2t 的最小值．11．(14分)(2011·济南模拟)已知a ＝(1,2sin x )，b ＝⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，1，函数f (x )＝a·b (x ∈R )．(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )＝85，求cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值．答案1．(1)a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉 (2)①|a |cos 〈a ，e 〉 ②a·b ＝0 ③|a |2 a·a ④a·b|a||b |⑤≤ 2.(1)b·a(2)a·c ＋b·c (3)λ(a ·b ) 3.(1)a 1b 1＋a 2b 2 (2)a 1b 1＋a 2b 2＝0 (3)a 21＋a 22 a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22(4)(x 2－x 1，y 2－y 1) (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)22．B [|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8＝2 2.] 3．D [由(a ＋λb )·b ＝0得a·b ＋λ|b |2＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.]4．y 2＝8x (x ≠0)解析 由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2， BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0， 即⎝⎛⎭⎫2，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 5．－2解析 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，这样利用向量关系式，求得MA →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，MB →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，52，所以MA →·MB →＝－2.课堂活动区例1 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61， ∴a·b ＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |＝(a ＋b )2 ＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝16＋2×(－6)＋9＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 举一反三1 (1)C [∵|a |＝|b |＝1，a·b ＝0，展开(a －c )·(b －c )＝0⇒|c |2＝c·(a ＋b ) ＝|c |·|a ＋b |cos θ，∴|c |＝|a ＋b |cos θ＝2cos θ， ∴|c |的最大值是 2.](2)λ<12且λ≠－2解析 ∵〈a ，b 〉∈(0，π2)，∴a ·b >0且a ·b 不同向．即|i |2－2λ|j |2>0，∴λ<12.当a ·b 同向时，由a ＝k b (k >0)得λ＝－2.∴λ<12且λ≠－2.例2 解题思路 1.非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a 、b 用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．解 (1)由题意得，|a |＝|b |＝1， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， ∴a ＋b 与a －b 垂直． (2)|k a ＋b |2＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝k 2＋2k a ·b ＋1， (3|a －k b |)2＝3(1＋k 2)－6k a ·b . 由条件知，k 2＋2k a ·b ＋1＝3(1＋k 2)－6k a ·b ，从而有，a ·b ＝1＋k24k(k >0)．(3)由(2)知a ·b ＝1＋k 24k ＝14(k ＋1k )≥12，当k ＝1k时，等号成立，即k ＝±1.∵k >0，∴k ＝1.此时cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.故a ·b 的最小值为12，此时θ＝π3.举一反三2 (1)解 因为a 与b －2c 垂直， 所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0. 因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)， 得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .例3 解题思路 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．解 (1)a·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 32x ＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 32x －sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴cos x >0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.举一反三3 解 由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，则S ＝12bc sin A ＝12.AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos A ＝3sin A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010.由题意cos B ＝35，得sin B ＝45.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010.∴cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－1010.课后练习区 1．D [因为a·b ＝6－m ＝0，所以m ＝6.] 2．D [由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0得2k －12＝0，∴k ＝6.]3．C [∵S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12.又a·b <0，∴∠BAC 为钝角．∴∠BAC ＝150°.] 4．C [由(2a ＋b )·b ＝0，得2a·b ＝－|b |2.cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝－12|b |2|b |2＝－12. ∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．B [因为a·b ＝|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉， 所以，a 在b 上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a·b |b |＝21－842＋72＝1365＝655.] 6.35解析 ∵a·b ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴sin α＝35.7．120°解析 设a 与b 的夹角为θ，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ， ∴c·a ＝0，即(a ＋b )·a ＝0.∴a 2＋a·b ＝0. 又|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos θ＝0.∴cos θ＝－12，θ∈[0°，180°]即θ＝120°.8．(－1,0)或(0，－1)解析 设n ＝(x ，y )，由m·n ＝－1， 有x ＋y ＝－1.①由m 与n 夹角为3π4，有m·n ＝|m|·|n |cos 3π4，∴|n |＝1，则x 2＋y 2＝1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－1，∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)．9．解 设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)， MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．…………………………………………(4分) ∵MA →⊥MB →，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，………………………………………………(8分)即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴M 点坐标为(2,1)或⎝⎛⎭⎫225，115.故在线段OC 上存在点M ，使MA →⊥MB →，且点M 的坐标为(2,1)或(225，115)．………(12分)10．(1)证明 ∵a·b ＝cos(－θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin ()－θ·sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a ⊥b .……………………………………………………(4分) (2)解 由x ⊥y 得，x·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， ∴－k a 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0.………………………………………………………………(6分) 又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0，∴k ＝t 3＋3t .…………………………………………………………(8分) ∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t ＝t 2＋t ＋3＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋114.……………………………………………………………………………(10分) 故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114.………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (x )＝a·b ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2sin x ＝2cos x cos π6－2sin x sin π6＋2sin x＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.…………………………………………………………(5分) 由π2＋2k π≤x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，7π6＋2k π (k ∈Z )．……………………………………………………………(8分)(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 又因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝85， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝45，……………………………………………………………………(11分) 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝45. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－1＝725.………………………………………………(14分)。
2022年高考数学核心考点专题训练专题21 平面向量的数量积(含解析)
2OE；③AH在AB向量上的投影向量的模为
2．
2
其中正确结论的个数为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
10. 设向量 a,b,c,满足 a = b = 2,a ⋅ b = 2, a − c ⋅ b − c = 0,则 c 的最小值为
A. 3+1 2
B. 3−1 2
C. 3 − 1
11. 在给出的下列命题中，不正确的是( )
−5 10
=−
10，所以
2
B
错误：
因为a
−
b
=
(5,0)，所以
cos
<
a，a
−
b
>=
a⋅(a−b) |a|×|a−b|
=
10 5×5
=
2 5，所以
5
C
正确;
因为c
=
(
5 5
,
25 5
)，所以a
⋅
c
=2×
5 5
+
1
×
25 5
=
45 5
≠
0，所以a与c不垂直，所以 D
错误．
故选 C．
20.
已知向量m =
⋅
OB
=
OA
⋅
OC,AO
=
λ(
AB |AB|
+
AC |AC|
)则ΔABC
为等腰三角形
D. 已知平面向量OA，OB，OC满足 OA = OB = OC = r(r > 0)，且OA + OB + OC = 0，则△ ABC
是等边三角形
12. 已知不共线向量OA,OB夹角为α, OA = 1, OB = 2,OP = 1 − t OA,OQ = tOB 0 ≤ t ≤ 1), PQ 在 t = t0
高中数学试题大全
高中数学试题大全一、代数1. 解方程（30题）2. 简化表达式（20题）3. 整式的加减乘除（25题）4. 分式的加减乘除（25题）5. 二次方程与一元二次不等式（35题）二、平面几何1. 各种三角形的性质（30题）2. 各种四边形的性质（25题）3. 多边形的面积与周长（40题）4. 圆的性质与圆的应用（35题）5. 平行线与相交线（30题）三、立体几何1. 空间几何体的性质（35题）2. 空间坐标与距离计算（30题）3. 三视图与投影（40题）4. 空间图形的体积和表面积（30题）5. 空间向量的运算（25题）四、数学函数1. 函数的概念与性质（30题）2. 一次函数与二次函数（35题）3. 指数函数与对数函数（30题）4. 三角函数与反三角函数（40题）5. 极限与导数（25题）五、概率与统计1. 抽样与调查（25题）2. 随机事件与概率计算（30题）3. 概率模型与分布函数（35题）4. 统计图与统计指标（30题）5. 抽样分布与假设检验（40题）六、数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质（30题）2. 等差数列与等比数列（35题）3. 递推数列与通项公式（30题）4. 递归求和与数列运算（25题）5. 数学归纳法与应用（40题）七、解析几何1. 坐标平面与坐标系（30题）2. 直线方程与曲线方程（35题）3. 圆锥曲线与参数方程（30题）4. 空间直线与平面的相交关系（25题）5. 三角形与向量的几何运算（40题）八、复数与向量1. 复数的运算与性质（25题）2. 复数的平面表示与应用（30题）3. 向量的概念与运算（35题）4. 平面向量与向量的运算（30题）5. 向量的数量积与叉积（40题）以上是高中数学试题大全的内容，涵盖了代数、平面几何、立体几何、数学函数、概率与统计、数列与数学归纳法、解析几何、复数与向量等各个领域的试题。
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高三数学数量积及其应用试题答案及解析
高三数学数量积及其应用试题答案及解析1.已知向量，.若向量的夹角为，则实数=（）A．B．C．0D．【答案】B【解析】因为所以解得，故选B.【考点】平面向量的数量积、模与夹角.2.设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若，，则，故，故命题是假命题；若，则，故命题是真命题，由复合命题真假判断知，是真命题，选A．【考点】1、平面向量的数量积运算；2、向量共线．3.已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则A．B．C．D．【答案】C．【解析】，，即①，同理可得②，①+②得，故选C．【考点】1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算．4.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)，若实数t满足(－t)·＝0，则t的值为()A．B．－C．D．－【答案】D【解析】由题设知＝(3,5)，＝(－2，－1)，则－t＝(3＋2t,5＋t)．由(－t)·＝0得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.5.若，，且，则与的夹角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，即（其中为与的夹角），即，由于，解得，故选D.【考点】平面向量数量积6.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆C过点.（1）求椭圆C的方程；（2）点A为椭圆C的右顶点，过点作直线与椭圆C相交于E，F两点，直线AE,AF与直线分别交于不同的两点M,N，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题设知椭圆中心在原点，一个焦点坐标为，且过点，于是可设出其标准方程,并用待定系数法求出的值进而确定椭圆的方程.（2）当直线的斜率存在且不为零时，由题意可设直线的方程为，与椭圆方程联立组成方程组消去并结合韦达定理得到，据此可将化成关于的函数而求解.注意对直线的斜率不存在及斜率为零的情况，要单独说明.解：（1）抛物线的准线方程为： 1分设椭圆的方程为，则依题意得，解得，.所以椭圆的方程为. 3分（2）显然点.（1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，，所以. 5分（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，,显然时，不符合题意.由得. 6分则. 7分直线，的方程分别为：，令，则.所以，. 9分所以. 11分因为，所以，所以，即.综上所述，的取值范围是. 13分【考点】1、椭圆的标准方程；2、抛物线的标准方程；3、直线与椭圆位置关系综合问题.7.对任意两个非零的平面向量α和β，定义.若两个非零的平面向量和，满足与的夹角，且和都在集合中，则=A．B．C．1D．【答案】D【解析】由条件知: ===,===,因为和都在集合中，且与的夹角，故可取,=得: =,故选D.【考点】本题是创新题,理解给定的信息是解决好本题的关键.8.在中,是的中点,(1) .(2)是的中点,是(包括边界)内任意一点,则的取值范围是 .【答案】（1）；（2）【解析】(1).以C为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，所以，,则；(2).设点，则，故，设，变形为，当直线分别过时，取到最大值和最小值，即，故的取值范围是．【考点】1、向量数量积运算；2、线性规划.9.若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为 ()A．0B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，即向量夹角为，选D.10.在直角三角形中，，，则__________．【答案】【解析】．【考点】向量的数量积．11.已知，与的夹角为.（1）；（2）若向量与垂直，则k的值为 .【答案】（1）1 （2）-5【解析】（1）.（2）∵向量与垂直，∴，∴，解得.【考点】向量的数量积、向量垂直的充要条件.12.已知四边形是边长为的正方形，若，，则的值为.已知四边形是边长为的正方形，若，，则的值为.【答案】.【解析】解法一：以点为坐标原点，、所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，所以，，因此；解法二：如下图所示，则，，所以.【考点】1.平面向量的线性表示；2.平面向量的数量积13.为边,为对角线的矩形中,,,则实数____________.【答案】4【解析】由题意，又，所以.【考点】垂直向量.14.在△ABC中，，则角A的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由可得.化简可得...所以.【考点】1.向量的数量积.2.三角不等式.3.归纳转化的数学思想.15.平面向量与的夹角为，，则_______.【答案】【解析】因为，则，所以.【考点】向量的数量积、向量的综合应用.16.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】设a与b的夹角为θ,则(2a+b)·b=2a·b+b2="2|a||b|cos" θ+|b|2=|b|2(2cos θ+1)=0,又b为非零向量,∴2cos θ+1=0,∴cos θ=-,∴θ=120°.故选C.17.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=30,则x等于()A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】∵8a-b=(6,3),∴(8a-b)·c=18+3x=30,x=4,故选C.18.已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为( ）A．B．C．D．【答案】D【解析】得,选D【考点】向量内积垂直19.若函数f(x)＝2sin (－2＜x＜10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则(＋)·＝________.【答案】32【解析】由题意知，点A(4,0)，根据三角函数的图象，点B、C关于点A对称，设B(x1，y1)，则C(8－x1，－y1)．故(＋)·＝8×4＝32.20.如图，在直角三角形ABC中，AC＝，BC＝1，点M，N分别是AB，BC的中点，点P 是△ABC(包括边界)内任一点，则·的取值范围为________．【答案】【解析】以点C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，建立如图所示直角坐标系，设P(x，y)，则由题可知B(1,0)，A(0，)，N，M，所以＝，＝，所以·＝－－y＋＝－y＋，直线AB的方程为x＋y－＝0.由题可知由线性规划知识可知，当直线－y＋－z＝0过点A时有最小值－，过点B时有最大值.21.已知向量函数的第个零点记作（从小到大依次计数），所有组成数列．（1）求函数的值域；（2）若，求数列的前100项和.【答案】（1）;（2）【解析】（1）根据题意向量函数.通过向量的坐标形式的数量积公式，以及三角函数的化一公式，可得函数的关于x的解析式.（2）由及（1）可得.因为第个零点记作.也就是的对应的x的值从小排到大的一列数.根据图像的对称性可得两个相邻的和为.所以即可求得结论.试题解析：（1）所以函数的值域为（2）由得所以或因此【考点】1.三角形函数的化一公式.2.向量的数量积.3.数列的求和.4.对称的知识.22. A，B是半径为1的圆O上两点，且∠AOB＝．若点C是圆O上任意一点，则▪的取值范围为．【答案】【解析】根据题意可得，则，由，得：，可求得．【考点】向量的数量积23.如图，在底角为的等腰梯形中，已知，分别为，的中点.设，.(1)试用，表示，；(2)若，试求的值.【答案】(1)，；（2）.【解析】(1) 利用平面向量的加法和减法的运算法则进行计算，用已知量表示未知量，注意向量的方向的变化；（2）要求，就要找到向量，的模及其数量积，先求出向量的模，再根据向量的性质进行计算.试题解析：(1)因为，，，分别为，的中点，所以； 3分. 6分（2），, ，所以, 8分那么. 12分【考点】1、平面向量的模及数量积；2、平面向量的加减混合运算.24.对正整数，有抛物线，过任作直线交抛物线于，两点，设数列中，，且，则数列的前项和( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线方程为，代入抛物线方程得，设，则①，由根与系数的关系得，，代入①式得，故（），故数列的前项和.【考点】1、直线的方程；2、方程的根与系数的关系；3、平面向量的数量积.25.已知向量 .【答案】-3【解析】依题意，，又易知，，.【考点】数量积的坐标表示26.已知正三角形的边长为，点是边上的动点，点是边上的动点，且，,则的最大值为A．B．C．D．【答案】D【解析】，，而，,，，故当时，取最大值.【考点】平面向量的减法、平面向量的数量积、二次函数27.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b= mq－np，下面说法错误的是（）A．若a与b共线，则a⊙b =0B．a⊙b =b⊙aC．对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b）D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2【答案】B【解析】对于A．若a与b共线，则a⊙b = mq－np =0，成立，对于B．a⊙b =b⊙a不成立，对于C．对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b）成立，对于D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2成立，故选B.【考点】向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积，属于基础题。
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)
一、选择题1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（ ）①当0x =时，[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1 B ．2C ．3D ．42．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ） A ．B ．C ．D ．3．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒4．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．325．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6B ．4C ．3D ．27．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ）A B ．1C ．2D ．8．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b ，则实数m =（ ）A ．2±B ．2C ．5±D 9．已知两个非零向量a ，b 的夹角为23π，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（ ） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[)2,0-C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,0-10．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =，2BC =，13BE BC =，则（ ）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ）A ．56πB ．23π C ．3π D ．6π 二、填空题13．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.14．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭；② A 、B③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）15．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则GB GC ⋅=__________．16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.18．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.19．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.20．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k . 22．已知向量a 与b 的夹角为3π，且1a =，2b =. （1）求a b +；（2）求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值. 23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b -.24．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．M ，N 分别是BC ，DE 上的动点，且满足BM DN =．（1）若M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求AM AN ⋅的值； （2）求AM AN ⋅的取值范围．25．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.26．在ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，4DF FE =，设AB m =，BC n =. （1）用m ，n 表示AF ；（2）设G 是线段BC 上一点，且使//EG AF ，求CG CB的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ， 则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确 所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.2．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选3．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之． 【详解】 由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +3，|122e e -+3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则121222221122cos x y x yθ=+⋅+.4．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =，∴225AB OA OB += ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =， 即()(155,255m n =-，，求得45m =， ∴4525D ⎝⎭；则45254525OE OD λλ⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 45255,EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭；∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为))452511ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭， 当34λ=时，5512ED ⎛== ⎝⎭；当14λ=时，353532ED ==⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A.5．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.6．C解析：C 【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．B解析：B 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】 如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】根据2(1,2),(1,)+==a b m b m 可得0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合||cos a θ=，列出等式，即可解出答案. 【详解】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)a b m b m +==，22(0,)a a b b m =+-=，所以20,,22m m a a b ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，若向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )152m b a m a b θ=+⋅=⋅=， 所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是||||cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos ||||a ba b θ⋅=⋅（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是||a bb ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;（4）求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）. 9．C解析：C 【分析】对=2a b -两边平方后，结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得：224a b b +⋅+=；由基本不等式可得222a b a b +⋅，于是推出403a b<⋅，再结合平面向量数量积即可得解． 【详解】因为2a b -=，所以 2224a a b b -⋅+=，所以2222cos 43b b a a π-⋅+=，即224a a b b +⋅+=， 由基本不等式的性质可知，222a ba b +⋅，403a b∴<⋅， 所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可．10．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =所以2AB DC =， 又13BE BC =， 则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．B解析：B 【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C . 【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-.()20,,3C C ππ∈∴=.故选：B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.二、填空题13．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析：3⎡⎤⎣⎦【分析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值．【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．14．①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=（）=中点的广义坐标为故①正确对于②∵（x2﹣x1）A 两点间的距离为解析：①③ 【分析】根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，对于①，线段A 、B 的中点设为M ，根据OM =12（OA OB +）=12112211()()22x x e y y e +++∴中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,故①正确. 对于②，∵AB =（x 2﹣x 1）()1212e y y e +-，∴A 、B 12e ，故②不一定正确.对于③，向量OA 平行于向量OB ，则t OA OB =，即（11,x y ）=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=，故③正确.对于④，向量OA 垂直于向量OB ，则OA OB =0，221211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=（），故④不一定正确.故答案为①③. 【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求 解析：209-【解析】分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()C ，由中心坐标公式可得：2003G ⎫++⎪⎪⎝⎭，即23G ⎫⎪⎭， 据此有：233GB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，4233GC ⎛⎫=-⎪⎭， 结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：222203339GB GC ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心， 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=， 即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心， 则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形， 由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-， 解得||2DA =，ABC ∆的边长为4cos3023︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B(3,3),C(3,3),D(2,0)-， 由||1AP =，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M 为PC 中点，即有3cos 3sin (2M θθ++，则2223cos3sin||3=3+2BMθθ⎛⎫++⎛⎫-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝22(3cos)(33sin)376cos63sin4θθθθ-+-+=+=3712sin64πθ⎛⎫+-⎪⎝⎭=，当sin16πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494．【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】延长BC作圆M的切线设切点为A1切线与BD的交点D结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC作圆M的切线设切点为A1切解析：2-【分析】延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小，设CP x=，将结果表示为关于x的二次函数，求出最值即可.【详解】如图，延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，由数量积的几何意义，CA CB⋅等于CA在CB上的投影与CB之积，当点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小；设BC中点P，连MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形；设CP=x，则CD=2-x，CB=2x，CA CB⋅=()()222224212x x x x x--⋅=-=--，[]02x∈，，所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-， 故答案为：2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.18．【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算 解析：77【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈且41λμ+=10,4μ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而minMN==故答案为: 7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.19．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】 由于305OA OB OC =++，所以()()350OA AB AO AC AO +-+-=，所以935AO AB AC =+，即1539AO AB AC =+. 因为BD DC λ=，即()AD AB AC AD λ-=-, 化简得111AD AB AC λλλ=+++， 设11k k AO k AD AB AC λλλ==+++，所以1 13519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题解析：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知，得22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①，由+①②，得226a b+=，由不等式可知3a b ≤，再由-①②，得32a b⋅=，最后由cos,a ba ba b⋅=可得解.【详解】由3a b+=，3a b-=，得()()2239baab⎧⎪⎨⎪-==+⎩，即22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①由+①②，得226a b+=，即226a b+=由-①②，得32a b⋅=由222a b a b +≥，得3a b ≤1cos ,2a b a b a b⋅=≥所以，0,3a b π≤≤.故答案为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（1；（2. 【分析】（1）由已知利用平面向量数量积公式可得1a b ⋅=，平方后根据向量数量积的运算可求||a b +的值．（2）结合（1），根据已知条件，由向量夹角的余弦公式即可求解．【详解】（1）向量a 与b 的夹角为3π，且||1a =，||2b =， ∴||||cos a b a b a ⋅=<，112cos12132b π>=⨯⨯=⨯⨯=．222||()2142a b a b a b a b ∴+=+=++⋅=++=．（2）设向量a b +与向量a 的夹角θ，22()||27cos ||||||||||||71a b a a a b a a b a b a a b a a b a θ+⋅+⋅+⋅∴=====+⋅+⋅+⋅⨯． 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，属于中档题．23．（1）π3；（2） 【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】 （1）设向量a 与b 的夹角θ， ()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=， 又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得：()222a b a b -=-==. 【点睛】 本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）118；（2）31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】 （1）首先以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系．求AM ，AN 的坐标，再求数量积；（2）首先利用BM DN =，设BM DN t ==，表示向量AM ，AN ，利用数量积的坐标表示转化为二次函数求取值范围. 【详解】 （1）如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系．因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且M ，N 分别是BC ，DE 的中点， 所以53,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，132N ⎛ ⎝， 所以5311848AM AN ⋅=+=． （2）设BM DN t ==，则[]0,1t ∈．所以31,22t M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，(13N t -． 所以()()223113*********t AM AN t t t t t ⎛⎫⋅=+⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭． 当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1；当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32． 所以AM AN ⋅的取值范围为31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型.25．(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【分析】 (1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=-⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解. (2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴. (3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴. 【详解】(1)()()21122ωωωωωω=-=-f x sin x sin x x sin x xcos x ，1222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1， 故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ;(3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<， 令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=. 【点睛】 本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.26．（1）1135AF m n =+（2）310CG CB = 【分析】（1）依题意可得23AD AB =、14AE AC =，再根据DE AE AD =-，AF AD DF =+计算可得；（2）设存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，由因为//EG AF ，所以存在实数μ， 使AF EG μ=，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以23AD AB =.因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以14AE AC =， 所以1243DE AE AD AC AB =-=-. 因为4DF FE =，所以4185515DF DE AC AB ==-， 则2183515AF AD DF AB AC AB =+=+- 2111()15535AB AB BC AB BC =++=+. 又AB m =，BC n =. 所以11113535AF AB BC m n =+=+. （2）因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<， 则33()44EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=+=+- 3333()()4444AB BC m n λλ=+-=+- 因为//EG AF ，所以存在实数μ，使AF EG μ=，即1133[()]3544m n m n μλ+=+-， 整理得31,4331(),45μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=， 故310CGCB =. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.。
高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析
高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析1.已知向量＝（1，－1），＝（2，x），若（＋）∥（－2），则实数x的值为（）A．－2B．0C．1D．2【答案】A【解析】因为＋＝（3，x－1），＝（－3，－1－2x）由（＋）∥（－2），得3（-1-2x）=-3（x-1），解得x=-2，选A【考点】平面向量的坐标运算2.已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，如何，总是无解B．无论k，如何，总有唯一解C．存在k，，使之恰有两解D．存在k，，使之有无穷多解【答案】B【解析】由题意，直线一定不过原点，是直线上不同的两点，则与不平行，因此，所以二元一次方程组一定有唯一解．【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．3.如图所示，、、是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于、、三点共线，设，则，由于、、三点共线，且点在圆内，点在圆上，与方向相反，则存在，使得，因此，，所以，选C.【考点】1.共线的平面向量；2.平面向量的线性表示4. [2013·四川广元模拟]如图，已知＝，用，表示，则等于()A．－B．＋C．－＋D．－－【答案】C【解析】＝＋＝＋＝＋ (－)＝－＋，选C.5.已知向量=（x，1），=（4，x），若向量和方向相同，则实数x的值是（）A．﹣2B．2C．0D．【答案】B【解析】∵，∴x2﹣4=0，解得x=±2．当x=﹣2时，，满足向量和方向相反，应舍去．当x=2时，，满足向量和方向相同．因此，实数x的值是2．故选B．6.已知e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝2e1－5e2，＝λe1－e2.若三点A、B、D共线，则λ＝________．【答案】8【解析】∵ A、B、D共线，∴与共线，∴存在实数μ，使＝μ.∵＝－＝(λ－2)e1＋4e2，∴ 3e1＋2e2＝μ(λ－2)e1＋4μe2，∴7.已知，且与的夹角为，，则等于 .【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴∴.【考点】1.向量的运算；2.两向量的夹角公式.8.已知，且与的夹角为，，则等于 .【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴∴.【考点】1.向量的运算；2.两向量的夹角公式.9.已知点为所在平面上的一点，且，其中为实数，若点落在的内部，则的取值范围是．【答案】．【解析】如图，取靠近的三等分点，过作的平行线交于，过作的平行线交于，由平行线等分线段定理得因此，若则从而与，在边上；若则在的延长线上，即落在外．故要使点落在的内部，则．【考点】平面向量的几何意义．10.若向量则 .【答案】（-2，-4）【解析】因为所以.【考点】向量的运算.11.在中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C,D不重合）若则x的取值范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如下图所示，由于，点在线段上，故存在实数，使得，，又，，，，即.【考点】平面向量的加法与减法12.在所在的平面上有一点，满足, 若的面积为, 则的面积为【答案】4【解析】因为，所以的面积等于的面积，所以面积等于4.【考点】1.向量的线性运算；2.三角形面积的求法.13.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD，为的中点，则A．B．C．D．【答案】B【解析】以为原点为x轴建立直角坐标系，所以各点坐标依次为,【考点】向量运算点评：向量运算有两种思路：写出各点坐标，将向量转化为坐标，利用坐标实现向量的运算或借助于三角形法则，平行四边形法用有向线段来实现向量运算14.的外接圆的圆心为，半径为，且，则向量在上的射影的数量为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由题意因为△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA + AB + AC =" 0" 且| OA |="|" AB |，对于 OA + AB + AC =" 0" ⇔ OB =" CA" ，所以可以得到图形为：因为 CA =" OB" ，所以四边形ABOC为平行四边形，又由于| OA |="|" AB |，所以三角形OAB为正三角形且边长为2，所以四边形ABOC为边长为2且角ABO为60°的菱形，所以向量 CA 在 CB 方向上的投影为：| CA |cos＜ CA ， CB ＞=2×cos30°= 故选：A15.已知向量的夹角为，且，则( )A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】此题考查向量数量积的运算和性质；原式16.若为所在平面内一点，且满足，则的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．斜三角形【答案】C【解析】,,所以原式可化为,所以，即以和为邻边的平行四边形对角线相互垂直.所以此平行四边形为菱形,所以是等腰三角形.17.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）【答案】C【解析】【考点】平面向量的基本定理及其意义．分析：由已知中△ABC中，，P是BN上的一点，设=λ后，我们易将表示为(1-λ) + 的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值解：∵P是BN上的一点，设=λ，由，则=+=+λ=+λ(-)="(1-λ)" +λ="(1-λ)" +=m+∴m=1-λ，=解得λ=，m=故选C18.在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是A. B. C. D.【答案】C【解析】略19.已知︱︱=1，︱︱=,=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n(m、n∈R)，则等于A．B．3C．D．【答案】B【解析】略20.三个共面向量、、两两所成的角相等，且，，，则等于A．B．6C．或6D．3或6【答案】C【解析】略21.在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略22.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（）A．B．C．D．【答案】A【解析】是所在平面内一点，为边中点，∴，且，∴，即，选A23.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。
2023年高考数学一轮复习第五章平面向量与复数3平面向量的数量积练习含解析
平面向量的数量积考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 与b 是方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θe . 4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示 坐标表示数量积 a·b ＝|a ||b |cos θa·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模|a |＝a ·a|a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 a∥b 的充要条件a ＝λb (λ∈R )x 1y 2－x 2y 1＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b | (当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 22常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( × )(2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 教材改编题1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．0·a ＝0B ．a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC ．a ·b ＝0⇒a ⊥bD ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2答案 CD2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________．9解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_________；a ·b ＝________. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0，a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →| ＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.答案 －2 解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，3则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋t －32＝1，解得t ＝3， 所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos∠DBM ＝|BM →|2＝1.思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝____________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144 ＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝1，3·3，432＋42＝1525＝35. 教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1＋e 2|＝3，则|e 1－e 2|＝________. 答案 1解析 由|e 1＋e 2|＝3，两边平方， 得e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝3.又e 1，e 2是单位向量， 所以2e 1·e 2＝1，所以|e 1－e 2|2＝e 21－2e 1·e 2＋e 22＝1， 所以|e 1－e 2|＝1.思维升华 (1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a ||b |，求解时应求出a ·b ，|a |，|b |的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |(其中a ≠0，b ≠0)．跟踪训练2 (1)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉等于( ) A.73B.23C.79D.29答案 B解析 方法一 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则c ＝(7，2)，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. 方法二 a ·c ＝a ·(7a ＋2b ) ＝7a 2＋2a ·b ＝7， |c |＝7a ＋2b2＝7a 2＋2b 2＋214a ·b ＝7＋2＝3，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝71×3＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. (2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( ) A ．|OP 1—→|＝|OP 2—→| B ．|AP 1—→|＝|AP 2—→| C.OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→ D.OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→ 答案 AC解析 由题意可知，|OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋－sin β2＝1，所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故A 正确； 取α＝π4，则P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故B 错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故C 正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA —→·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故D 错误． 题型三 平面向量的实际应用例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 ACD解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |221＋cos θ.当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求：(1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2＝12＋2×1×6＋22cos45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ， 则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋1＋32＋2×1×1＋3cos θ，解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋1＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×1＋3＝32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[]a ＋b2－a －b2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，PA →·PB →有最小值，即PA →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1B ．2C.2D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，M 为AB 的中点，由极化恒等式有(a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·石家庄模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2， 所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝a －b ·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32， 因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫255，55C.⎝⎛⎭⎪⎫255，55 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b62＋－32＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－55.5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) C ．a ·b ≤|a |·|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b | 答案 ACD解析 根据数量积的分配律可知A 正确；选项B 中，左边为c 的共线向量，右边为a 的共线向量，故B 不正确； 根据数量积的定义，可知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a |·|b |，故C 正确；|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos〈a ，b 〉≤|a |2＋|b |2＋2|a ||b |＝(|a |＋|b |)2，故|a －b |≤|a |＋|b |，故D 正确．6．(多选)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 上的投影向量为22b C ．2m ＋n ＝4 D ．mn 的最大值为2 答案 CD解析 对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)， 则a·b ＝2－1＝1>0， 又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误； 对于B ，向量a 在b 上的投影向量为a·b |b |·b |b |＝12b ，B 错误；对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－－1＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， 所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·湛江模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin2x ＋12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－12.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－12＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233，在△BCE 中，BE ＝22＋⎝⎛⎭⎪⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( ) A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD → ＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos∠BDA －|DC →||BD →|cos∠BDC ＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形 答案 A解析 AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC→|AC →|所在的直线为∠BAC 的平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， 所以∠BAC 的平分线垂直于BC ， 所以AB ＝AC .又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12， 所以cos∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝102N ，则物体的重力大小为________N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝102N ， ∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20N ， ∴物体的重力大小为20N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________． 答案 11120解析 设BE ＝x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ， ∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ，DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos0°＋(1－2x )2＝1， ∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( ) A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1 答案 AD解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 正确．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝ (cos B ，cos A )，m ·n ＝sin2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 解 (1)m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ， 所以m·n ＝sin C ， 又m·n ＝sin2C ，所以sin2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b .21 因为CA →·(AB →－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。
高中数学向量的数量积判断向量的共线与垂直精选题
向量的数量积判断向量的共线与垂直一．选择题（共13小题）1．设x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．3D．42．已知空间向量＝（1，n，2），＝（﹣2，1，2），若2﹣与垂直，则||等于（）A．B．C．D．3．向量＝（2，1，x），＝（2，y，﹣1），若||＝，且⊥，则x+y的值为（）A．﹣1B．1C．﹣4D．44．已知＝（x，﹣4，2），＝（3，y，﹣5），若⊥，则x2+y2的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[3，+∞）C．[4，+∞）D．[5，+∞）5．向量，若，且，则x+y的值为（）A．﹣1B．1C．﹣4D．46．已知空间向量＝（﹣1，2，3），＝（3，﹣2，x），若⊥，则x的值为（）A．B．C．D．7．已知，分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则k＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．28．已知，若，则实数λ的值为（）A．﹣2B．C．D．29．已知＝（2，﹣4，2），＝（1，a，1），且⊥，则a＝（）A．﹣3B．﹣2C．1D．210．向量＝（﹣2，﹣3，1），＝（2，0，4），＝（﹣4，﹣6，2），下列结论正确的是（）A．∥，⊥B．∥，⊥C．∥，⊥D．以上都不对11．已知向量＝（0，1，1），＝（1，0，0），若向量k+与﹣互相垂直，k的值是（）A．B．﹣1C．D．112．已知向量＝（1，2，﹣1），则下列向量与垂直的是（）A．（0，0，1）B．（﹣2，1，0）C．（1，1，2）D．（4，﹣1，1）13．已知直线l1的方向向量＝（2，4，x），直线l2的方向向量＝（2，y，2），若||＝6，且⊥，则x+y的值是（）A．﹣3或1B．3或﹣1C．﹣3D．1二．多选题（共2小题）（多选）14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝（2，﹣1，﹣4），＝（4，2，0），＝（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（）A．AP⊥ABB．AP⊥ADC．是平面ABCD的一个法向量D．∥（多选）15．下列利用方向向量、法向量判断线线、线面、面面位置关系的结论中，正确的是（）A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是＝（2，3，﹣1），＝（﹣2，﹣3，1），则l1∥l2B．直线l的方向向量＝（1，﹣1，2），平面α的法向量是＝（6，4，﹣1），则l⊥αC．两个不同的平面α，β的法向量分别是＝（2，2，﹣1），＝（﹣3，4，2），则α⊥βD．直线l的方向向量＝（0，3，0），平面α的法向量是＝（0，﹣5，0），则l∥α三．填空题（共12小题）16．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，P A＝AB，点M为P A的中点，＝λ．若MN⊥AD，则实数λ＝．17．已知向量＝（﹣2，1，3），＝（﹣1，2，1），若⊥（），则实数λ的值为．18．已知直线l的一个方向向量＝（2，3，5），平面α的一个法向量＝（﹣4，m，n），若l⊥α，则m+n＝．19．已知平面α的一个法向量为，则直线AB与平面α的位置关系为．20．已知＝（1，5，﹣2），＝（3，1，c），若＝（a，b，﹣7），⊥，且⊥平面BCD，则＝．21．已知向量＝（1，﹣3，2），＝（﹣2，m，﹣4），若∥，则实数m的值是；若⊥，则实数m 的值是．22．已知＝（﹣2，3，m），＝（2，﹣1，1），若⊥，则实数m的值为．23．已知＝（x，4，1），＝（﹣2，y，﹣1），＝（3，﹣2，z），∥，⊥，则z＝．24．已知空间向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），＝（1，﹣x，2），若（+）⊥，则x＝．25．已知向量，，若，则k的值为．26．已知平面α，β的法向量分别为＝（﹣2，m，1），＝（n，4，﹣2），若α∥β，则m﹣n＝．27．已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且k+与2﹣互相垂直，则k＝．四．解答题（共5小题）28．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DC＝DA＝2，DD1＝4，点E在C1C上，且CE＝1．（1）求异面直线A1D与B1B所成角的正切值；（2）求证：A1C⊥平面DBE；（3）求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．29．已知，（1）若，求x的值；（2）若，求x的值．30．已知空间中三点A（2，0，﹣2），B（1，﹣1，﹣2），C（3，0，﹣4），设＝，＝．（Ⅰ）若||＝3，且∥，求向量；（Ⅱ）已知向量k+与互相垂直，求k的值；（Ⅲ）求△ABC的面积．31．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设＝，＝．（1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量k+与k﹣2互相垂直，求实数k的值．32．已知＝（λ+1，1，2λ），＝（6，2m﹣1，2）．（1）若∥，分别求λ与m的值；（2）若||＝，且与＝（2，﹣2λ，﹣λ）垂直，求．向量的数量积判断向量的共线与垂直精选题32道参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．设x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．3D．4【分析】利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出x，y，再由平面向量坐标运算法则求出，由此能求出||．【解答】解：设x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且⊥，∥，∴，解得x＝1，y＝﹣2，∴＝（1，1，1）+（1，﹣2，1）＝（2，﹣1，2），∴|+|＝．故选：C．【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量平行、向量垂直、平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知空间向量＝（1，n，2），＝（﹣2，1，2），若2﹣与垂直，则||等于（）A．B．C．D．【分析】利用向量垂直关系，2﹣与垂直，则（2﹣）•＝0，即可得出．【解答】解：∵＝（1，n，2），＝（﹣2，1，2），∴2﹣＝（4，2n﹣1，2），∵2﹣与垂直，∴（2﹣）•＝0，∴﹣8+2n﹣1+4＝0，解得，n＝，∴∴．故选：D．【点评】本题考查的知识点是向量的数量积判断向量垂直，其中根据两向量垂直数量积为0．3．向量＝（2，1，x），＝（2，y，﹣1），若||＝，且⊥，则x+y的值为（）A．﹣1B．1C．﹣4D．4【分析】根据||＝求出x的值，再根据⊥得出•＝0，列方程求出y的值，即可计算x+y的值．【解答】解：向量＝（2，1，x），若||＝，则＝，解得x＝0；又向量＝（2，y，﹣1），且⊥，则•＝4+y+0＝0，解得y＝﹣4；所以x+y＝﹣4．故选：C．【点评】本题考查了空间向量的数量积与模长公式计算问题，是基础题．4．已知＝（x，﹣4，2），＝（3，y，﹣5），若⊥，则x2+y2的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[3，+∞）C．[4，+∞）D．[5，+∞）【分析】由⊥，可得•＝3x﹣4y﹣10＝0，求出原点到直线的距离d，即可得出x2+y2的取值范围．【解答】解：∵⊥，∴•＝3x﹣4y﹣10＝0，原点到直线的距离d＝＝2．则x2+y2的取值范围为[4，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了数量积运算性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．向量，若，且，则x+y的值为（）A．﹣1B．1C．﹣4D．4【分析】利用向量的模、向量的数量积公式列出方程组，能求出x，y，由此能求出x+y．【解答】解：∵向量，，且，∴，解得x＝0，y＝﹣4，∴x+y＝﹣4．故选：C．【点评】本题考查两数和的求法，考查向量的模、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．已知空间向量＝（﹣1，2，3），＝（3，﹣2，x），若⊥，则x的值为（）A．B．C．D．【分析】利用向量垂直，数量积等于0，求出x即可．【解答】解：空间向量，，由得，﹣3﹣4+3x＝0，x＝，故选：B．【点评】考查向量数量积的坐标运算，属于基础题．7．已知，分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则k＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．2【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵，分别是平面α，β的法向量，α⊥β，∴＝＝0，解得k＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．已知，若，则实数λ的值为（）A．﹣2B．C．D．2【分析】由，可得•（﹣λ）＝0．【解答】解：﹣λ＝（﹣2+λ，1﹣2λ，3﹣λ）．∵，∴•（﹣λ）＝﹣2（﹣2+λ）+（1﹣2λ）+3（3﹣λ）＝0．解得实数λ＝2．故选：D．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．已知＝（2，﹣4，2），＝（1，a，1），且⊥，则a＝（）A．﹣3B．﹣2C．1D．2【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵＝（2，﹣4，2），＝（1，a，1），且⊥，∴＝2﹣4a+2＝0，解得a＝1．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．向量＝（﹣2，﹣3，1），＝（2，0，4），＝（﹣4，﹣6，2），下列结论正确的是（）A．∥，⊥B．∥，⊥C．∥，⊥D．以上都不对【分析】利用向量的共线和垂直的充要条件即可判断出．【解答】解：∵，∴，又∵＝﹣2×2+0+1×4＝0，∴，故选：C．【点评】熟练掌握向量的共线和垂直的充要条件是解题的关键．11．已知向量＝（0，1，1），＝（1，0，0），若向量k+与﹣互相垂直，k的值是（）A．B．﹣1C．D．1【分析】根据题意，求出向量k+与﹣的坐标，由空间向量数量积计算公式可得（k+）•（﹣）＝﹣1+2k ＝0，求出k的值，即可得答案．【解答】解：∵＝（0，1，1），＝（1，0，0），∴k+＝（1，k，k），﹣＝（﹣1，1，1），若向量k+与﹣互相垂直，则（k+）•（﹣）＝﹣1+2k＝0，解得k＝，故选：C．【点评】本题考查空间向量垂直的判断，注意空间向量数量积的计算公式，属于基础题．12．已知向量＝（1，2，﹣1），则下列向量与垂直的是（）A．（0，0，1）B．（﹣2，1，0）C．（1，1，2）D．（4，﹣1，1）【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：对于A，∵（1，2，﹣1）•（0，0，1）＝﹣1，故A错误；对于B，∵（1，2，﹣1）•（﹣2，1，0）＝0，故B正确；对于C，∵（1，2，﹣1）•（1，1，2）＝1，故C错误；对于D，∵（1，2，﹣1）•（4，﹣1，1）＝1，故D错误．故选：B．【点评】本题考查满足向量垂直的向量的判断，考查向量垂直的性质等基础知识，是基础题．13．已知直线l1的方向向量＝（2，4，x），直线l2的方向向量＝（2，y，2），若||＝6，且⊥，则x+y的值是（）A．﹣3或1B．3或﹣1C．﹣3D．1【分析】由已知利用向量的模和向量垂直的性质得，求出x，y，由此能求出x+y的值．【解答】解：由已知得，解得x＝﹣4，y＝1或x＝4，y＝﹣3，∴x+y＝﹣3或x+y＝1．故选：A．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要注意向量垂直的性质的合理运用．二．多选题（共2小题）（多选）14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝（2，﹣1，﹣4），＝（4，2，0），＝（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（）A．AP⊥ABB．AP⊥ADC．是平面ABCD的一个法向量D．∥【分析】由•＝0得出⊥，判断A正确；由•＝0得出⊥，判断B正确；由⊥且⊥得出是平面ABCD的一个法向量，判断C正确；由是平面ABCD的法向量得出⊥，判断D错误．【解答】解：对于A，•＝2×（﹣1）+（﹣1）×2+（﹣4）×（﹣1）＝0，∴⊥，即AP⊥AB，A正确；对于B，•＝（﹣1）×4+2×2+（﹣1）×0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，B正确；对于C，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确；对于D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误．故选：ABC．【点评】本题考查了空间向量的性质应用问题，是基础题．（多选）15．下列利用方向向量、法向量判断线线、线面、面面位置关系的结论中，正确的是（）A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是＝（2，3，﹣1），＝（﹣2，﹣3，1），则l1∥l2B．直线l的方向向量＝（1，﹣1，2），平面α的法向量是＝（6，4，﹣1），则l⊥αC．两个不同的平面α，β的法向量分别是＝（2，2，﹣1），＝（﹣3，4，2），则α⊥βD．直线l的方向向量＝（0，3，0），平面α的法向量是＝（0，﹣5，0），则l∥α【分析】A中，根据两条不重合直线方向向量共线，判断两直线平行；B中，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直，判断直线与平面平行或在平面内；C中，根据两个不同的平面法向量垂直，判断两平面垂直；D中，根据直线的方向向量与平面的法向量共线，判断直线与平面垂直．【解答】解：对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是＝（2，3，﹣1），＝（﹣2，﹣3，1），且＝﹣，所以l1∥l2，选项A正确；对于B，直线l的方向向量＝（1，﹣1，2），平面α的法向量是＝（6，4，﹣1），且•＝1×6﹣1×4+2×（﹣1）＝0，所以l∥α或l⊂α，判断选项B错误；对于C，两个不同的平面α，β的法向量分别是＝（2，2，﹣1），＝（﹣3，4，2），且•＝2×（﹣3）+2×4﹣1×2＝0，所以α⊥β，选项C正确；对于D，直线l的方向向量＝（0，3，0），平面α的法向量是＝（0，﹣5，0），且＝﹣，所以l⊥α，选项D错误．故选：AC．【点评】本题考查了利用空间向量判断直线与平面以及平面与平面的位置关系应用问题，是基础题．三．填空题（共12小题）16．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，P A＝AB，点M为P A的中点，＝λ．若MN⊥AD，则实数λ＝4．【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．【解答】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设P A＝AB＝2，则A（，0，0），D（0，﹣，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），＝（0，﹣2，0），设N（0，b，0），则＝（0，b﹣，0），∵＝λ，∴﹣2＝，∴b＝，∴N（0，，0），＝（﹣，，﹣），＝（﹣，0），∵MN⊥AD，∴＝1﹣＝0，解得实数λ＝4．故答案为：4．【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．已知向量＝（﹣2，1，3），＝（﹣1，2，1），若⊥（），则实数λ的值为2．【分析】利用向量坐标运算法则推导出＝（﹣2+λ，1﹣2λ，3﹣λ），再由⊥（），能求出实数λ．【解答】解：∵向量＝（﹣2，1，3），＝（﹣1，2，1），∴＝（﹣2+λ，1﹣2λ，3﹣λ），∵⊥（），∴＝﹣2（﹣2+λ）+（1﹣2λ）+3（3﹣λ）＝0，解得实数λ＝2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．18．已知直线l的一个方向向量＝（2，3，5），平面α的一个法向量＝（﹣4，m，n），若l⊥α，则m+n＝﹣16．【分析】由l⊥α，得∥，由此能求出m，n，进而能求出m+n．【解答】解：∵直线l的一个方向向量＝（2，3，5），平面α的一个法向量＝（﹣4，m，n），l⊥α，∴∥，∴，解得m＝﹣6，n＝﹣10，∴m+n＝﹣6﹣10＝﹣16．故答案为：﹣16．【点评】本题考查两数和的求法，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．已知平面α的一个法向量为，则直线AB与平面α的位置关系为直线AB在平面α上或直线AB与平面α平行．【分析】由•＝0得出⊥，即得直线AB在平面α上或直线AB与平面α平行．【解答】解：由平面α的一个法向量为，且•＝1×（﹣2）+2×1+2×0＝0，所以⊥；所以直线AB与平面α的位置关系是：直线AB在平面α上或直线AB与平面α平行．故答案为：直线AB在平面α上或直线AB与平面α平行．【点评】本题考查了平面法向量的定义与应用问题，是基础题．20．已知＝（1，5，﹣2），＝（3，1，c），若＝（a，b，﹣7），⊥，且⊥平面BCD，则＝（11，﹣5，﹣7）．【分析】利用向量垂直、线面垂直的性质直接求解．【解答】解：∵＝（1，5，﹣2），＝（3，1，c），＝（a，b，﹣7），⊥，且⊥平面BCD，∴，解得a＝11，b＝﹣5，∴＝（11，﹣5，﹣7）．故答案为：（11，﹣5，﹣7）．【点评】本题考查向量的求法，考查向量垂直、线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21．已知向量＝（1，﹣3，2），＝（﹣2，m，﹣4），若∥，则实数m的值是6；若⊥，则实数m的值是．【分析】利用向量平行、向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量＝（1，﹣3，2），＝（﹣2，m，﹣4），∥，∴，解得m＝6．∵向量＝（1，﹣3，2），＝（﹣2，m，﹣4），⊥，∴＝﹣2﹣3m﹣8＝0，解得m＝﹣．故答案为：6，﹣．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22．已知＝（﹣2，3，m），＝（2，﹣1，1），若⊥，则实数m的值为7．【分析】由得•＝0，列方程求出m的值．【解答】解：，，由得出•＝﹣4﹣3+m＝0，解得m＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了空间向量的数量积计算问题，是基础题．23．已知＝（x，4，1），＝（﹣2，y，﹣1），＝（3，﹣2，z），∥，⊥，则z＝2．【分析】利用向量垂直和向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵＝（x，4，1），＝（﹣2，y，﹣1），＝（3，﹣2，z），∥，⊥，∴，解得x＝2，y＝﹣4，z＝2，∴z＝2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24．已知空间向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），＝（1，﹣x，2），若（+）⊥，则x＝﹣4．【分析】利用向量坐标运算法则先求出两向量的向量和，再由向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵空间向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），∴＝（﹣2，1，3+x），∵＝（1，﹣x，2），（+）⊥，∴（）•＝﹣2﹣x+2（3+x）＝0，x＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．25．已知向量，，若，则k的值为﹣6．【分析】先利用向量加法的坐标运算求出的坐标，然后利用向量垂直的充要条件结合数量积的坐标运算，列出关于k的方程，求解即可．【解答】解：因为向量，，所以，又因为，所以，解得k＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，涉及了向量加法、数量积的坐标运算、向量垂直的充要条件，解题的关键是熟练掌握空间向量的坐标运算，属于基础题．26．已知平面α，β的法向量分别为＝（﹣2，m，1），＝（n，4，﹣2），若α∥β，则m﹣n＝﹣6．【分析】由α∥β，利用向量平行的性质列出方程，能求出m，n，由此能求出m﹣n的值．【解答】解：∵平面α，β的法向量分别为＝（﹣2，m，1），＝（n，4，﹣2），α∥β，∴，解得m＝﹣2，n＝4，∴m﹣n＝﹣2﹣4＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．27．已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且k+与2﹣互相垂直，则k＝．【分析】利用空间向量坐标运算法则求出，，再由与互相垂直，能求出k．【解答】解：∵向量，，∴＝（k﹣1，k，2），＝（3，2，﹣2），∵与互相垂直，∴（）•（）＝3（k﹣1）+2k﹣4＝0，解得k＝．故答案为：．【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，是基础题．四．解答题（共5小题）28．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DC＝DA＝2，DD1＝4，点E在C1C上，且CE＝1．（1）求异面直线A1D与B1B所成角的正切值；（2）求证：A1C⊥平面DBE；（3）求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．【分析】（1）说明∠AA1D是异面直线A1D与B1B所成角，解三角形AA1D，直接求异面直线A1D与B1B所成角的正切值；（2）建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出，计算，即可证明A1C⊥平面DBE；（3）向量为平面DBE的一个法向量，求出平面DA1E的法向量，利用求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．则B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4）．，（1）解：∵AA1∥BB1∴∠AA1D是异面直线A1D与B1B所成角∵在Rt△AA1D中，A1A＝4，AD＝2∴即异面直线A1D与B1B所成角的正切值为．（2）证明：∵，，∴A1C⊥BD，A1C⊥DE又DB∩DE＝D∴A1C⊥平面DBE．（3）解：由（2）知向量为平面DBE的一个法向量设平面DA1E的法向量＝（x，y，z）由，，得2y+z＝0，2x+4z＝0令z＝﹣2，得x＝4，y＝1，∴＝（4，1，﹣2），又二面角A1﹣DE﹣B为锐角∴二面角A1﹣DE﹣B的余弦值为．【点评】本题考查用向量证明垂直，二面角及其度量，异面直线所成的角，考查学生分析问题解决问题的能力，计算能力，是中档题．29．已知，（1）若，求x的值；（2）若，求x的值．【分析】（1）利用向量的共线定理的充要条件即可得出；（2）利用非零向量垂直的充要条件即可求出．【解答】解：（1）∵，∴存在实数λ使﹣4＝2λ，2＝﹣λ，x＝3λ，∴λ＝﹣2，x＝﹣6．（2），，∴（﹣2）•1+1•（﹣x）+（3+x）•2＝0，∴x＝﹣4．【点评】熟练掌握向量的共线定理、非零向量垂直的充要条件是解题的关键．30．已知空间中三点A（2，0，﹣2），B（1，﹣1，﹣2），C（3，0，﹣4），设＝，＝．（Ⅰ）若||＝3，且∥，求向量；（Ⅱ）已知向量k+与互相垂直，求k的值；（Ⅲ）求△ABC的面积．【分析】（I）推导出，＝，利用||＝，能求出结果．（II）k+＝k（﹣1，﹣1，0）+（1，0，﹣2）＝（1﹣k，﹣k，﹣2），＝（1，0，﹣2），由向量k+与互相垂直，能求出k的值．（III）求出＝（﹣1，﹣1，0），＝（1，0，﹣2），＝（2，1，﹣2），cos＜＞＝＝＝﹣，sin＜＞＝＝，由此能求出△ABC的面积．【解答】解：（I）∵空间中三点A（2，0，﹣2），B（1，﹣1，﹣2），C（3，0，﹣4），设＝，＝，∴，∵||＝3，且∥，∴＝，∴||＝，∴m＝±1，∴＝（2，1，﹣2）或＝（﹣2，﹣1，2）．（II）k+＝k（﹣1，﹣1，0）+（1，0，﹣2）＝（1﹣k，﹣k，﹣2），＝（1，0，﹣2），∵向量k+与互相垂直，∴（）＝1﹣k+4＝0，解得k＝5．∴k的值是5．（III）＝（﹣1，﹣1，0），＝（1，0，﹣2），＝（2，1，﹣2），cos＜＞＝＝＝﹣，sin＜＞＝＝，∴S△ABC＝＝＝．【点评】本题考查向量的求法，考查实数值、三角形的面积的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．31．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设＝，＝．（1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量k+与k﹣2互相垂直，求实数k的值．【分析】（1）利用向量的坐标运算和向量的夹角公式即可得出；（2）利用，可得＝0即可解得．【解答】解：（1）＝（﹣1，1，2）﹣（﹣2，0，2）＝（1，1，0）．＝（﹣3+2，0﹣0，4﹣2）＝（﹣1，0，2）．∴cosθ＝＝＝﹣．∴和的夹角的余弦值为﹣．（2）k+＝（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），k﹣2＝（k，k，0）﹣（﹣2，0，4）＝（k+2，k，﹣4）．∵，∴＝（k﹣1，k，2）•（k+2，k，﹣4）＝（k﹣1）（k+2）+k2﹣8＝0，即2k2+k﹣10＝0，解得k＝﹣或k＝2．【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的夹角公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．32．已知＝（λ+1，1，2λ），＝（6，2m﹣1，2）．（1）若∥，分别求λ与m的值；（2）若||＝，且与＝（2，﹣2λ，﹣λ）垂直，求．【分析】（1）根据空间向量共线的坐标表示，列方程组求出λ和m的值；（2）根据时•＝0，列方程求出λ的值，再验证||是否为即可．【解答】解：（1）由，得（λ+1，1，2λ）＝k（6，2m﹣1，2），所以，解得λ＝，m＝3；（2）||＝，且，所以•＝0，即2（λ+1）﹣2λ﹣2λ2＝0，化简得λ2＝1，解得λ＝±1；λ＝1时，＝（2，1，2），||＝＝3，不满足题意；λ＝﹣1时，＝（0，1，﹣2），||＝＝，满足题意；所以．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，也考查了向量共线与垂直的应用问题，是中档题．第21页（共21页）。
高中的数学平面向量专题复习(含例题练习)
标准实用平面向量专题复习一.向量有关概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移) 。
如：2•零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是-AB )； 一|AB|4 •相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量 a 、b 叫做平行向量，记作： a // b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：① 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;② 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 平行不包含两条直线重合； *③ 平行向量无传递性！(因为有0)$ ④ 三点A B C 共线 AB AC 共线；a 的相反向量是一a 。
女口 =b ，则a =b 。
(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
(4)若ABCD 是平行四边形，则 AB = DC 。
( 5)若a = b,b= c ，则、向量的表示1•几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后;2 •符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a , b , c 等；坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三. 平面向量的基本定理：如果 e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ,有且只有一对实数 ■ 1、 ’2，使a= \ 8+ '2e 2。
女口卄片 片 ■+4例 2 (1)若 a =(1,1)b =(1,-1),c=(—1,2)，则 c= _________(2) 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 2 =(0,0),e 2 =(1,-2)B. e =(-1,2)© =(5,7)13 C. e = (3,5)6 =(6,10) D. e =(2,-3)© =(—,-—)24(3) 已知AD,BE 分别是 ABC 的边BC,AC 上的中线，且AD =a,BE =b ,则BC 可用向量a,b 表示为 _____但两条直线6 .相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
高考数学平面向量多选题复习训练题(含答案解析)
高考数学平面向量多选题复习训练题（含答案解析）1．（2022·河北廊坊·模拟预测）已知实数m 、n 和向量a 、b ，下列结论中正确的是（ ） A ．()m a b ma mb −=− B ．()m n a ma na −=−C ．若ma mb =，则a b =D ．若()0ma na a =≠，则m n =【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算可判断ABCD 选项. 【详解】对于A 选项，()m a b ma mb −=−，A 对； 对于B 选项，()m n a ma na −=−，B 对；对于C 选项，若ma mb =，则()0m a b −=，所以，0m =或a b =，C 错；对于D 选项，若()0ma na a =≠，则()0m n a −=，所以，0−=m n ，即m n =，D 对. 故选：ABD.2．（2021·全国·模拟预测）如图，在ABC 中，6BC =，D ，E 是BC 的三等分点，且4AD AE ⋅=，则（ ）A ．2133AE AB AC =+ B ．1122AD AB AE =+ C ．4⋅=−AB AC D ．2228AB AC +=【答案】BCD 【解析】 【分析】由向量的线性运算即可判断A ，B,取DE 的中点G ，由6BC =，D ，E 是BC 的三等分点得G 是BC 的中点，计算可得2214AD AE AG DE ⋅=−，进而得出25AG =，计算可判断选项C,由C 可知2AB AC AG +=，两边平方，化简计算可判断选项D .【详解】对于A ，()11123333AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+−=+，故选项A 不正确；对于B ，由题意得D 为BE 的中点，所以1122AD AB AE =+，故选项B 正确； 对于C ，取DE 的中点G ，由6BC =，D ，E 是BC 的三等分点得G 是BC 的中点，且2DE =，所以221114224AD AE AG DE AG DE AG DE ⎛⎫⎛⎫⋅=−⋅+=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以25AG =，22111594224AB AC AG BC AG BC AG BC ⎛⎫⎛⎫⋅=−⋅+=−=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项C 正确；对于D ，由G 是BC 的中点得2AB AC AG +=，两边平方得22224AB AB AC AC AG +⋅+=，所以2220828AB AC +=+=，故选项D 正确.故选：BCD.3．（2021·山东·二模）若,,a b c 均为单位向量，且0,()()0a b a c b c ⋅=−⋅−≤，则||a b c +−的值可能为（ ）A 1B ．1CD ．2【答案】AB 【解析】 【分析】由0,()()0a b a c b c ⋅=−⋅−≤，得到()1c a b +≥r r r ，再由a b c +−=r r r.【详解】因为,,a b c 均为单位向量，且0,()()0a b a c b c ⋅=−⋅−≤，所以2()0a b c a b c ⋅−++≤r r r r r r ，即()1c a b +≥r r r，所以a b c +−r r r1，故选：AB4．（2021·黑龙江·密山市第一中学模拟预测）在ABC 中，有如下四个命题正确的有（ ） A ．若0AC AB ⋅>，则ABC 为锐角三角形B ．若BA BC AC +=，则ABC 的形状为直角三角形C ．ABC 内一点G 满足0GA GB GC ++=，则G 是ABC 的重心D ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 必为ABC 的外心 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A ，由0AC AB ⋅>可得角A 为锐角，从而可判断，对于B ，对BA BC AC +=两边平方化简，再结合余弦定理可得结论，对于C ，由向量加法和共线及三角形重心概念判断，对于D ，由向量运算性质和三角形垂心概念可判断 【详解】解：对于A ，由0AC AB ⋅>，得s 0co AC AB A >，所以cos 0A >，所以角A 为锐角，但不能判断三角形为锐角三角形，所以A 错误，对于B ，因为BA BC AC +=，所以2222BA BA BC BC AC +⋅+=，即2222cos BA BA BC B BC AC +⋅+=，所以222cos cos 2BA BC ACB B BA BC+−−==,得cos 0B =，因为(0,)B π∈，所以2B π=，所以三角形为直角三角形，所以B 正确，对于C ，因为0GA GB GC ++=，所以GA GB GC +=−，所以2GD GC =−（D 为BA 的中点），所以,,G C D 三点共线，所以点G 在BA 边的中线CD 上，同理，可得点G 在其它两边的中线上，所以G 是ABC 的重心，所以C 正确，对于D ，因为PA PB PB PC ⋅=⋅，所以0PA PB PB PC ⋅−⋅=，()0PB PA PC PB CA ⋅−=⋅=,所以PB CA ⊥，所以点P 在边CA 的高上，同理可得点 P 也在其它两边的高上，所以点P 为ABC 的垂心，所以D 错误， 故选：BC5．（2021·全国·模拟预测）下列说法正确的是（ ） A ．若,,a b c 为平面向量，//,//a b b c ，则//a c B ．若,,a b c 为平面向量，,a b b c ⊥⊥，则//a cC ．若1,2a b ==r r ，()a b a +⊥r r r ，则a 在b 方向上的投影为12−D ．在ABC 中，M 是AB 的中点，AC ＝3AN ，BN 与CM 交于点P ，AP ＝AB λ+AC μ，则λ＝2μ 【答案】CD 【解析】 【分析】利用向量共线的概念判断A 、B ，；利用向量数量积的定义可判断C ；利用向量共线的推论即可判断D. 【详解】A ，若0b =，则0与任意向量共线，所以a 与c 不一定平行，故A 错误；B ，若,a b b c ⊥⊥，则0a b ⋅=，0b c ⋅=，当,,a b c 共面时，//a c ， 若,,a b c 不共面时，a 与c 不平行，故B 错误；C ，若()a b a +⊥r r r ，则()0a b a +⋅=r r r ，所以21a b a ⋅=−=−，a 在b 方向上的投影为12a b b⋅=−r r r ，故C 正确； D ，AP AN NP =+，设NP aNB =, 则()1133AP AC aNB AC a NC CB =+=++ ()112333AC aNC aCB AC aAC a CA AB =++=+++ 1233AC aAC aCA aAB =+++1133a AC aAB ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭， 设a λ=，则1133μλ=−，即31μλ=−，①12AP AM MP AB MP =+=+，设MP bMC =， 1111122222AP AB bMC AB b AB BA AC b AB bAC ⎛⎫⎛⎫=+=+++=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1122λμ=−，即21λμ=−，②由①②可得25λ=，15μ=，即2λμ=，故D 正确. 故选：CD6．（2021·江苏南京·一模）设()0,0O ，()1,0A ，()0,1B ，点Р是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=uu u r uu u r，若OP AB PA PB ⋅⋅≥，则实数λ的值可以为（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．14【答案】ABC 【解析】 【分析】设出P 点的坐标，结合OP AB PA PB ⋅⋅≥求得λ的取值范围. 【详解】设(),P x y ，由()01AP AB λλ=≤≤得()()()1,1,1,x y λλλ−=−=−， 所以()11,x P y λλλλ−=−⎧⇒−⎨=⎩， 由OP AB PA PB ⋅⋅≥得()()()()1,1,1,1,1λλλλλλ−⋅−≥−⋅−−，()()111λλλλλλ−+≥−−−，222122,241011λλλλλλ−≥−−+≤⇒≤≤由于01λ≤≤，所以11λ≤≤.111,,123⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ABC 正确，D 错误.故选：ABC7．（2022·江苏·海安高级中学二模）关于平面向量a b c ，，，下列说去不正确的是（ ） A ．若··a c b c =，则a b = B ．·(··)a b c a c b c =++ C ．若22a b =，则··a c b c = D ．()()····a b c b c a = 【答案】ACD 【解析】 【分析】令0=c 时可判断A ；利用()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅，可判断B ；由22=a b 可知a 与b 的模长相等，但()−⋅a b c 不一定为0可判断C ；()⋅⋅a b c 与c 共线的向量，()·b c a ⋅与a 共线，可判断D ． 【详解】0=c 时，0⋅=⋅=a c b c ，a 与b 可任取，故A 错；()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅，故B 对；22=a b 可知a 与b 的模长相等，()−⋅a b c 不一定为0，∴⋅≠⋅a c b c ，故C 错；()⋅⋅a b c 与c 共线的向量，()·b c a ⋅与a 共线的向量． ∴()()⋅⋅≠⋅⋅a b b c a c ，D 错． 故选：ACD.8．（2022·山东潍坊·一模）已知向量()1,2OP =，将OP 绕原点O 旋转﹣30°，30°，60°到123,,OP OP OP的位置，则（ ）. A ．130OP OP ⋅= B ．12PP PP =C ．312OP OP OP OP ⋅=⋅D ．点1P 坐标为⎝⎭【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的夹角判断A ，再由全等三角形可判断B ，根据向量的数量积的定义判断C ，根据向量的模相等判断D. 【详解】因为OP 绕原点O 旋转﹣30°，30°，60°到123,,OP OP OP ， 所以1OP →与3OP →的夹角为90︒，故130OP OP ⋅=，A 选项正确； 由题意知，12△△OPP OPP ≅,所以12PP PP =，即12PP PP =，故B 正确； 因为312,60,,60OP OP OP OP →→→→<>=︒<>=︒,312||||||||OP OP OP OP →→→→===, 所以由数量积的定义知312OP OP OP OP ⋅=⋅，故C 正确；若点1P 坐标为⎝⎭，则1||||OP OP →→=≠D 不正确. 故选：ABC9．（2022·辽宁·育明高中一模）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且OP =AC 、BD 均过点P ，则下列说法正确的是（ ）A ．PA PC ⋅为定值B ．OA OC ⋅的取值范围是[]2,0−C ．当AC BD ⊥时，AB CD ⋅为定值 D ．AC BD ⋅的最大值为12【答案】AC 【解析】 【分析】根据题设中的圆幂定理可判断AC 的正误，取AC 的中点为M ，连接OM ，利用向量的线性运算可判断B 的正误，根据直径的大小可判断D 的正误. 【详解】如图，设直线PO 与圆O 于E ，F .则()()222PA PC PA PC EP PF OE PO OE PO PO EO ⋅=−=−=−−+=−=−,故A 正确.取AC 的中点为M ，连接OM ，则()()22OA OC OM MA OM MC OM MC ⋅=+⋅+=−()222424OM OMOM =−−=−，而2202OM OP ≤≤=，故OA OC ⋅的取值范围是[]4,0−，故B 错误.当AC BD ⊥时，()()AB CD AP PB CP PD AP CP PB PD ⋅=+⋅+=⋅+⋅ 24AP CP PB PD EP PF =−−=−=−，故C 正确.因为4,4AC BD ≤≤，故16AC BD ⋅≤，故D 错误. 故选：AC10．（2022·江苏苏州·模拟预测）在ABC 中，AB c =，BC a =，CA b =，下列命题为真命题的有（ ）A ．若a b >，则sin sin AB >B ．若0a b ⋅>，则ABC 为锐角三角形C ．若0a b ⋅=，则ABC 为直角三角形D ．若()()0b c a b a c +−⋅+−=r r r r r r，则ABC 为直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断选项A ，利用数量积的性质判断选项B 和C ，利用数量积的性质和余弦定理判断选项D ． 【详解】解：A ：若a b >，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >， sin sin A B ∴>，则 A 正确；B ：若0a b ⋅>，则cos()0ACB π−∠>， cos 0ACB ∴∠<，即ACB ∠为钝角， ABC ∴为钝角三角形，故 B 错误；C ：若0a b ⋅=，则AC BC ⊥，ABC ∴为直角三角形，故 C 正确；D ：若()()0b c a b a c +−⋅+−=r r r r r r ，则22()0b a c −−=r r r，2222a c b a c ∴+−=⋅r r r r r ，222cos 2a c b Ba c +−=−r r r r r ， 由余弦定理知222cos 2a c bB a c +−=r r r r r， cos cos B B ∴=−，则cos 0B =，(0,)B π∈，2B π∴=，ABC 为直角三角形，故 D 正确．故选：ACD ．11．（2022·全国·模拟预测）如图，直角三角形ABC 中，D ，E 是边AC 上的两个三等分点，G 是BE 的中点，直线AG 分别与BD ， BC 交于点F ，H 设AB a =，AC b =，则（ ）A ．1123AG a b =+B ．1136AF a b =+C ．1123EG a b =− D ．3255AH a b =+【答案】ACD 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，分别以AC ，AB 的方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，分别写出各点坐标，特别联立方程组解得H ，再根据选项一一判断即可． 【详解】以A 为坐标原点，分别以AC ，AB 的方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，设AB a =，AC b =，则()0,0A ，,03b D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,03b E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0C b ，()0,B a ，,32b a G ⎛⎫⎪⎝⎭．又F 为ABE △的重心，则2,93b a F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AG 的方程为32a y x b =，直线BC 的方程为1x y b a +=，联立解得23,55H b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则,32b a AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2,93b a AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,32b a EG ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，23,55AH b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭因为()0,a AB a ==，(),0b AC b ==，所以1123AG a b =+，1239AF a b =+，1123EG a b =−，3255AH a b =+．故选：ACD ．12．（2022·广东·二模）如图，已知扇形OAB 的半径为1，2AOB π∠=，点C 、D 分别为线段OA 、OB 上的动点，且1CD =，点E 为AB 上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）A ．OE AB ⋅的最小值为0 B ．EA EB ⋅的最小值为1C ．⋅EC ED 的最大值为1 D ．⋅EC ED 的最小值为0【答案】BCD 【解析】 【分析】以O 为原点建立如图所示的直角坐标系，得()01，B ，()10，A ，设EOA θ∠=，则()cos sin 0,2，πθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭E ，求出2sin 4πθ⎛⎫⋅=− ⎪⎝⎭AB OE ，利用θ的范围可判断A ；求出EA 、EB 的坐标，由14πθ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭EA EB ，利用θ的范围可判断B ；设()[](),00,1∈C t t ，可得(D ，求出EC 、ED ，由⋅EC ED ()1sin θϕ=−+，利用 t 、ϕ、θ，的范围可判断CD. 【详解】以O 为原点建立如图所示的直角坐标系，所以()01，B ，()10，A ， 设EOA θ∠=，则()cos sin 0,2，πθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭E ，()cos sin ，θθ=OE ， ()11，=−AB ，所以sin cos 4πθθθ⎛⎫⋅=−=− ⎪⎝⎭AB OE ，因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,444πππθ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，所以sin 4πθ⎡⎛⎫−∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以[]1,1⋅∈−AB OE ，OE AB ⋅的最小值为1−，故A 错误； ()1cos ,sin θθ=−−EA ，()cos ,1sin θθ=−−EB ，所以22cos cos sin sin 14πθθθθθ⎛⎫⋅=−+−+=+ ⎪⎝⎭EA EB ，因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 4πθ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以114πθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，1⎡⎤⋅∈⎣⎦EA EB ，EA EB ⋅的最小值为1B 正确；设()[](),00,1∈C t t ，又1=CD ，所以OD (D ，()cos ,sin θθ=−−EC t ，()cos sin θθ=−ED ，所以()22cos cos sin 1cos θθθθθθ⋅=++=−EC ED t t()1sin θϕ=−+，其中cos ϕϕ==t ，又[]0,1t ∈，所以[]cos ,sin 0,1ϕϕ∈，所以0,2πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]0,ϕθπ+∈，()[]sin 0,1ϕθ+∈，()[]sin 1,0ϕθ−+∈−，所以[]0,1⋅∈EC ED ， ⋅EC ED 的最小值为0，故CD 正确.故选：BCD.13．（2022·辽宁·东北育才学校二模）对于非零向量m ，n ，定义运算“⊗”，||||sin ,m n m n m n ⊗=〈〉.已知两两不共线的三个向量a ，b ，c ，则下列结论正确的是（ ） A ．若a b ⊥，则⊗=a b a b B ．()()a b c a b c ⊗=⊗ C ．()a b a b ⊗=−⊗ D ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗【答案】AC 【解析】 【分析】A. 由运算“⊗”，||||sin ,m n m n m n ⊗=〈〉求解判断；B.举例()()()1,0,0,1,0,1===−a b c 求解判断；C.设,a b 的夹角为θ，则,−a b 的夹角为πθ−，由运算“⊗”，||||sin ,m n m n m n ⊗=〈〉求解判断；D.举例()()()1,0,0,1,1,1===a b c ，由运算“⊗”，||||sin ,m n m n m n ⊗=〈〉求解判断； 【详解】A. 因为a b ⊥，所以,90=a b ，则sin ,⊗==a b a b b a b a ，故正确；B. 若()()()1,0,0,1,0,1===−a b c ，则()()0,1,()0⊗=−⊗=a b c a b c ，所以()()⊗≠⊗a b c a b c ，故错误；C.设,a b 的夹角为θ，则,−a b 的夹角为πθ−，所以()sin ,()sin sin θπθθ⊗=−⊗=−−=a b a b a b a b a b ，则()a b a b ⊗=−⊗，故正确； D. 若()()()1,0,0,1,1,1===a b c ，则()0()()2,+=+=⊗⊗⊗a b c a c b c ，所以()()()+≠+⊗⊗⊗a b c a c b c ，故错误；故选：AC14．（2022·山东·模拟预测）已知在△ABC 中，AB =，2AB AM =uu u r uuu r，2CM CN =，若0AN BC ⋅=，则（ ）A ．23AB AC AN += B ．()2AB ACCM −C ．AB AC ⊥D ．45ACM ∠=︒【答案】BC 【解析】根据条件先推出,M N 是中点，利用中线向量的表达式可判断AB 选项，利用0AN BC ⋅=可以判断C 选项，根据C 选项和题目条件可判断D 选项.【详解】因为2AB AM =uu u r uuu r，2CM CN =，所以,M N 分别为,AB CM 的中点， 所以()1122AN AM AC =+=111242AB AC AB AC ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以24AB AC AN +=，故选项A 错误；由222AB AC AM AC −=−=2CM ，得()2AB AC CM −，故选项B 正确；因为AB =，()()12AN BC AC AM AC AB ⋅=+⋅− ()221111*********AC AB AC AB AC AB AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+⋅−=−−⋅=−⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以AB AC ⊥，故选项C 正确；由AB AC ⊥，得tan 2AM AB ACM AC AC ∠== 则45ACM ∠≠︒，故选项D 错误. 故选：BC.15．（2022·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD 中，222AB AD CD BC ===，E 是BC 的中点，连接AE ，BD 相交于点F ，连接CF ，则下列说法正确的是（ ）A ．3142AE AB AD →→→=+B ．3255AF AB AD →→→=+C ．1255BF AB AD →→→=−+ D ．13105CF AB AD →→→=− 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算并结合平面向量共线定理即可判断答案.对于A 选项，1122AE AB BE AB BC AB AB AD DC →→→→→→→→→⎛⎫=+=+=+−++ ⎪⎝⎭11312242AB AB AD AB AB AD →→→→→→⎛⎫=+−++=+ ⎪⎝⎭，故A 选项正确；对于B 选项，因为B ，F ，D 三点共线，设()1AF x AB x AD →→→=+−，由AF AE →→∥，所以存在唯一实数λ，使得AF AE λ→→=，结合A 可知，()3131114242x AB x AD AB AD x AB x AD λλλ→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫+−=+⇒−=−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为,AB AD →→不共线，所以303415102x x x λλ⎧−=⎪⎪⇒=⎨⎪−+=⎪⎩，所以3255AF AB AD →→→=+，故B 选项正确； 对于C 选项，结合B ，2255BF AF AB AB AD →→→→→=−=−+，故C 选项错误；对于D 选项，结合B ，132********CF CD DA AF AB AD AB AD AB AD →→→→→→→→→→=++=−−++=−，故D 选项正确. 故选：ABD.16．（2021·全国·模拟预测）已知ABC 的重心为G ，点E 是边BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A ．AG BG CG +=− B ．若2133AE AB AC =+，则EAC 的面积是ABC 面积的13C ．若2AB AC ==，3BC =，则76AB AG ⋅=D ．若2AB AC ==，3BC =，则当EA EB ⋅取得最小值时，37||2EA =【答案】AC 【解析】 【分析】利用平面向量的基底表示，结合重心的性质，判断选项AB ，利用余弦定理计算角，根据平面向量的基底表示计算向量的数量积，从而判断选项CD.设AB 的中点为D ，则2GA GB GD +=，则2AG BG GD CG +=−=−，即2CG GD =，由重心性质可知成立，故A 正确；32AE AB AC =+，则22AE AC AB AE −=−，即2CE EB =，所以E 为边BC 上靠近点B 的三等分点，则EAC 的面积是ABC 面积的23，故B 错误；在ABC 中，由余弦定理得1cos 8A =−，则()211()33AB AG AB AB AC AB AB AC ⋅=⋅+=+⋅=117422386⎡⎤⎛⎫+⨯⨯−= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 正确； 由余弦定理得3cos 4ABC ∠=，所以2()EA EB EB EB BA EB EB BA ⋅=⋅+=+⋅=2||||EB EB BA +⋅22339cos()||||2416ABC EB EB EB π⎛⎫−∠=−=−− ⎪⎝⎭，则当3||4EB =时，EA EB ⋅取得最小值916−，此时()229337||422cos 16416=−=+−⨯⨯⨯∠=EA EB AB ABC ，37||4=EA ，故D 错误. 故选：AC【点睛】一般计算平面向量的数量积时，如果不能采用定义或者坐标公式运算时，可利用向量的基底表示，根据向量的线性运算法则将所求向量表示为已知向量的和或差进行计算.17．（2022·广东茂名·一模）已知点A 是圆C :()2211x y ++=上的动点，O 为坐标原点，OA AB ⊥，且||||OA AB =,O ，A ，B 三点顺时针排列，下列选项正确的是（ ）A ．点B 的轨迹方程为()()22112x y −+−= B ．||CB的最大距离为1C ．CA CB ⋅1 D ．CA CB ⋅的最大值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】如图，过O 点作//,OD AB OD AB =且，设点(),B x y ，利用相关点代入法，可求得轨迹方程为()()22112x y ++−=，可判断A ；根据点到圆上距离的最值求解，可判断B ；设[0,90]CAO ,∠=θθ∈，将向量的数量积表示成关于θ的函数，可判断C ，D ；【详解】如图，过O 点作//,OD AB OD AB =且则点()1,0C −，设点()00,A x y ，设xOA α∠=，则2xOD πα∠=−，设||OA a =，所以，0cos x a α=，0sin y a α=，所以，0cos sin 2D x a a y παα⎛⎫=−== ⎪⎝⎭，0sin cos 2D y a a x παα⎛⎫=−=−=− ⎪⎝⎭，即点()00,D y x −，因为()0000,OB OA OD x y y x =+=+−，设点(),B x y ，可得0000x x y y y x =+⎧⎨=−⎩，解得0022x y x x y y −⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 因为点A 在圆()2211x y ++=上，所以()220011x y ++=，将0022x y x x y y −⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩代入方程()220011x y ++=可得221122x y x y −+⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理可得()()22112x y ++−=，所以A 是错的， 所以CB的最大距离为1B 是对的， 设,090CAO θθ︒∠=≤≤，2o ()1||||cos(90)CA CB CA CA AB CA CA AB CA AB ⋅=⋅+=+⋅=+⋅−θ 1|OA |sin 12cos sin 1sin 22=+=+=+≤θθθθ所以CA CB ⋅的最大值为2，D 是对的. 故选：BD18．（2021·全国·模拟预测）在ABC 中，D ，E 分别是线段BC 上的两个三等分点（D ，E 两点分别靠近B ，C 点），则下列说法正确的是（ ） A ．AB AC AD AE +=+ B ．若F 为AE 的中点，则1344BF AC AB =− C ．若0AB AC ⋅=，1AB =，2AC =，则109AD AE ⋅=D ．若3AB AC AB AC +=−，且AB AC =，则60CAB ∠=︒ 【答案】ACD 【解析】 【分析】取BC 的中点M ，则M 也是DE 的中点，根据向量的加法运算即可判断A ；根据平面向量基本定理及线性运算即可判断B ；根据平面向量数量积的运算律即可判断C ；根据平面向量基本定理及线性运算结合等腰三角形的性质即可判断D. 【详解】解：对于A ，取BC 的中点M ，则M 也是DE 的中点， 则有()()1122AM AB AC AD AE =+=+，所以AB AC AD AE +=+，故A 正确； 对于B ，若F 为AE 的中点，则111251223363BF BA AF AB AE AB AB AC AB AC ⎛⎫=+=−+=−++=−+ ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ，因为D ，E 分别为线段BC 上的两个三等分点，所以()()()111333AD AE AB BD AC CE AB BC AC BC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⋅=+⋅+=+−=+− ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()221212122533333999AC AC AB AB AC AC AB AB AC AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫−−=+⋅+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，()21014099AC =⨯++=，故C 正确；对于D ，由A 选项得，2AB AC AM +=， 由AB AC CB −=，因为3AB AC AB AC +=−，所以32AM CB =，即AM CM = 因为AB AC =，所以AM BC ⊥，AM 平分BAC ∠，在Rt AMC 中，tan AM ACB CM∠=60ACB ∠=︒，所以ABC 为等边三角形，所以60CAB ∠=︒，故选：D. 故选：ACD.19．（2021·全国·模拟预测）如图，已知点G 为ABC 的重心，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且D ，G ，E 三点共线，AD mAB =，AE nAC =，0m >，0n >，记ADE ，ABC ，四边形BDEC 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则（ ）A ．113m n+= B ．12S mn S = C ．1345S S ≥ D ．1345S S ≤ 【答案】ABC 【解析】 【分析】连接AG 并延长交BC 于点M ，由三角形重心结合向量运算探求m ，n 的关系， 再借助三角形面积公式及均值不等式即可逐项判断作答. 【详解】连接AG 并延长交BC 于点M ，如图，因G 为ABC 的重心，则M 是BC 边的中点，且23AG AM =uuu r uuu r，又D ，G ，E 三点共线，即(01)DG tDE t =<<，则有(1)AG t AD t AE =−+，而AD mAB =，AE nAC =，又()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，于是得11(1)33t mAB tnAC AB AC −+=+，而AB 与AC 不共线，因此，11(1),33t m tn −==，113(1)33t t m n+=−+=，A 正确；ADE 边AD 上的高为sin AE BAC ∠，ABC 边AB 上的高为sin AC BAC ∠，则121sin 2·1sin 2AD AE BAC S AD AEmn S AB ACAB AC BAC ⋅∠===⋅∠，B 正确；由A可知，11133m n =+≥23m n ==时取“=”，则有49mn ≥，即1249S S ≥，而121S S <，于是得11213212121141145119S S S S S S S S S S ==−=−≥=−−−−，C 正确，D 错误. 故选：ABC20．（2021·全国·模拟预测）已知向量()3,2a =−，()2,1b =r，(),1c λ=−，R λ∈，则（ ）A ．若()2a b c +⊥，则4λ= B ．若a tb c =+，则6t λ+=− C ．a b μ+的最小值为D ．若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，则λ的取值范围是(),1−∞− 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A ，根据两向量垂直时其数量积为0可求得λ的值；对于B ，根据向量相等建立方程组可求得λ、t 的值，即可得t λ+的值；对于C ，由模的计算公式求出a b μ+，然后利用二次函数的性质求解即可；对于D ，由两向量的夹角为锐角时其数量积大于0且两向量不共线即可求出λ的范围． 【详解】对于A ，因为()21,4a b +=，(),1c λ=−，()2a b c +⊥， 所以()()21410a b c λ+⋅=⨯+⨯−=，解得4λ=，所以A 正确； 对于B ，由a tb c =+，得()()()()3,22,1,12,1t t t λλ−=+−=+−， 则3221t t λ−=+⎧⎨=−⎩，解得93t λ=−⎧⎨=⎩，故6t λ+=−，所以B 正确；对于C ，因为()()()3,22,123,2a b μμμμ+=−+=−+， 所以(2a b μμ+=− 则当45μ=时，a b μ+取得最小值为C 正确；对于D ，因为()1,3a b +=−，()24,1b c λ+=+，因为向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角， 所以()()()214310a b b c λ+⋅+=−⨯++⨯>，解得1λ<−；由题意知向量a b +与向量2b c +不共线，()11340λ−⨯−⨯+≠，解得133λ≠−． 所以λ的取值范围是1313,,133⎛⎫⎛⎫−∞−⋃−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确．综上可知，选ABC ． 故选：ABC.21．（2021·全国·模拟预测）已知ABC 是半径为2的圆O 的内接三角形，则（ ） A ．若π3C =，则6AB AO ⋅=uu u r uuu r B ．若()2BC BA AC AC +⋅=，则AB 为圆O 的一条直径C ．若OA OB OA OB −=⋅uu r uu u r uu r uu u r ，则OA ，OB 的夹角π3θ=D ．若20OA AB AC ++=，则22BC =【答案】AC 【解析】 【分析】对于A ，结合正弦定理求出AB ，过点O 作⊥OD AB 于D ，得0DO AB ⋅=，然后将AB AO ⋅转化为()AB AD DO ⋅+uu u r uuu r uuu r 即可求解；对于B ，根据平面向量运算法则可由()20BC BA AC AC +⋅−=uu u r uu r uu u r uu u r 得到20BA AC ⋅=uu r uu u r，由此可作出判断；对于C ，将OA OB OA OB −=⋅uu r uu u r uu r uu u r 两边平方，利用向量的数量积运算求出cos θ的值，从而结合0OA OB ⋅>求得角θ；对于D ，由题设条件并结合平面向量的线性运算得到0OB OC +=，由此可作出判断. 【详解】对于A ，由正弦定理，得π2sin 22sin3AB R C ==⨯=过点O 作⊥OD AB 于D ，则0DO AB ⋅=，所以()AB AO AB AD DO AB AD AB DO ⋅=⋅+=⋅+⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r(22110622AB =+=⨯=uu u r ，故A 正确；对于B ，()()()220BC BA AC AC BC BA AC AC BC BA CA AC BA AC +⋅−=+−⋅=++⋅=⋅=uu u r uu r uu u r uu u r uu u r uu r uu u r uu u r uu u r uu r uu r uu u r uu r uu u r ，所以AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的一条直径，故B 不正确； 对于C ，由OA OB OA OB −=⋅uu r uu u r uu r uu u r ，两边平方，得288cos 16cos θθ−=，解得1cos 2θ=或cos 1θ=−，易知，0OA OB ⋅>，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3θ=，故C 正确；对于D ，由20OA AB AC ++=，得0OA AB OA AC OB OC +++=+=，所以点O 是线段BC 的中点，所以4BC =，故D 不正确.综上可知，选AC. 故选：AC22．（2021·全国·模拟预测）已知向量a ，b 满足2=a ，()2,2b =，且26a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．a b ⊥ B ．23a b +=C ．(2,a =或(2,a =−D ．a 与2a b +的夹角为45°【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A ，由26a b +=，两边平方求解判断；对于B ，由a b +平方求解；对于C ，设(),a x y =，由26a b +=求解判断；对于D ，利用夹角公式求解判断. 【详解】对于A ，由()2,2b =，得22b =，因为26a b +=，所以224436a b b a ⋅+=+，又2=a ，所以0a b ⋅=，a b ⊥，故A 正确；对于B ，因为22224812a b b a b a +⋅=+++==，所以23a b +=，故B 正确；对于C ，设(),a x y =，则2(4,4)a b x y +=++，22(4)(4)36x y +++=，解得0x y +=，从而(2,a =或(2,a =−，故C 正确；对于D ，()241cos ,22632a a ba ab a a b⋅++===⨯⋅+，故D 错误. 故选：ABC23．（2021·山东泰安·模拟预测）如图，在直角三角形ABC 中，90,A AB AC ===点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则（ ）A ．点P 所在圆的半径为2B ．点P 所在圆的半径为1C ．PB PC ⋅的最大值为14D ．PB PC ⋅的最大值为16【答案】AC 【解析】 【分析】Rt ABC 斜边BC 上的高即为圆的半径；把求PB PC ⋅的最大值通过向量加法的三角形法则转化为求42PA PM +⋅的最大值，从而判断出P ，M ，A 三点共线，且P ，M 在点A 的两侧时取最大值. 【详解】设AB 的中点为M ，过A 作AH 垂直BC 于点H ，因为90,A AB AC ===所以5BC =，52AM =，所以由1122AB AC BC AH =，得2AB AC AH BC ==，所以圆的半径为2，即点P 所在圆的半径为2，所以选项A 正确，B 错误；因为PB PA AB =+，PC PA AC =+，0AC AB ⋅=， 所以()()2·PB PC PA AB PA AC PA PA AC AB PA ⋅=++=+⋅+⋅ ()242AC A PA PA PA B PM =+⋅+=+⋅ ，所以当P ，M ，A 三点共线，且P ，M 在点A 的两侧时，2P PA M ⋅取最大值，且最大值为()max52222102PA P PM A PM ⋅=⋅=⨯⨯=， 所以PB PC ⋅的最大值为41014+=，所以选项C 正确，D 错误.故选：AC.24．（2022·重庆·模拟预测）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD ，其中2,333COD OC OA π∠===，动点P 在CD 上（含端点），连接OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OQ xOC yOD =+，则下列说法正确的是（ ）图1 图2 A ．若y x =，则23x y += B ．若2y x =，则0OA OP ⋅= C ．2AB PQ ⋅≥− D ．112PA PB ⋅≥【答案】ABD 【解析】 【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设2(cos ,sin ),[0,]3Q πθθθ∈ ，可得(3cos ,3sin )P θθ，由OQ xOC yOD =+，结合题中条件可判断A,B;表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C ，D. 【详解】如图，作OE OC ⊥ ,分别以,OC OE 为x ,y 轴建立平面直角坐标系，则13(1,0),(3,0),((22A C B D −− ,设2(cos ,sin ),[0,]3Q πθθθ∈ ，则(3cos ,3sin )P θθ,由OQ xOC yOD =+可得3cos 3,sin 2x y y θθ=−= ，且0,0x y >> ，若y x =，则22223cos sin (3))12x x θθ+=−+=，解得13x y == ，（负值舍去），故23x y +=，A 正确；若2y x =，则3cos 302x y θ=−=，(1,0)(0,1)0OA OP ⋅=⋅=，故B 正确；3((2cos ,2sin )3cos )23AB PQ πθθθθθ⋅=−⋅=−=− ，由于[0,]3θ2π∈，故[,]333πππθ−∈−，故)33πθ−≥−，故C 错误；由于1(3cos 1,3sin ),(3cos ,3sin 2PA PB θθθθ=−=+，故1(3cos 1,3sin )(3cos ,3sin 2PA PB θθθθ⋅=−⋅+173sin()26πθ=−+ ，而5[,]666πππθ+∈， 故173sin(17)2611322PA PB πθ⋅=−+≥−=，故D 正确， 故选：ABD25．（2022··一模）平面向量,,a b c →→→，满足1a →=，2b →=且a a b →→→⎛⎫⊥− ⎪⎝⎭，20→→→→⎛⎫⎛⎫−⋅−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c a c b ，则下列说法正确的是（ ）A ．2→→+=a b B ．a →在b →方向上的投影是1C ．c →1 D ．若向量m →满足2→→⋅=m a ，则→→→⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭m m b 的最小值是54【答案】ACD 【解析】 【分析】结合题意，直接根据两向量垂直和向量的数量积运算，即可判断A 选项；根据a →在b →方向上的投影是cos a b a bθ→→→→⋅=进行计算，即可判断B 选项；设,,OA a OB b OC c →→→→→→===，根据题意可知OA BA ⊥，并取2→→=OD OA ，从而得出动点C 在以BD 为直径的圆上，设BD 的中点为E ，从而得出max 1=+OC OE ，即可判断C 选项；设→→=OM m ，由2→→⋅=m a 可知故M 在垂线l 上，根据向量的加减法运算得出22→→→→→⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭m m b MF OF ，过F 作l 的垂线，垂足为1M ，可知2221924+⎛⎫≥== ⎪⎝⎭OD AD MF M F ，即可求出→→→⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭m m b 的最小值，从而可判断D 选项. 【详解】解：因为1a →=，2b →=且a a b →→→⎛⎫⊥− ⎪⎝⎭，则20a a b →→→−⋅=，所以1a b →→⋅=，又221,4→→==a b ，则22224412→→→→→→+=+⋅+=a b a a b b ，则2→→+=a b A 正确；由于a →在b →方向上的投影是1cos 2θ→→→→⋅==a ba b，故B 错误；设,,OA a OB b OC c →→→→→→===，由于a a b →→→⎛⎫⊥− ⎪⎝⎭，即→→→⎛⎫⊥− ⎪⎝⎭OA OA OB ，故OA BA ⊥，因为20→→→→⎛⎫⎛⎫−⋅−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c a c b ，取2→→=OD OA ，则0→→→→⎛⎫⎛⎫−⋅−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OC OD OC OB ，所以0→→⋅=DC BC ，所以动点C 在以BD 为直径的圆上，如图， 1,2==OA OB ，则2OD =，2BD =，设BD 的中点为E ，OB 的中点为F ，过D 作OD 的垂线l ，则max 1=+OC OE ，因为OE =c →1，故C 正确； 设→→=OM m ，因为2→→⋅=m a ，即2→→⋅=OM OA ，则cos 2→→⋅∠=OM OA AOM ， 所以cos 2→∠==OM AOM OD ，故M 在垂线l 上，而→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅−=⋅=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭m m b OM BM MF FO MF FB ，又F 是OB 的中点，所以→→=−FB FO ，则22→→→→→⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭m m b MF OF ，过F 作l 的垂线，垂足为1M ，则2221924+⎛⎫≥== ⎪⎝⎭OD AD MF M F ，又1OF =，所以2295144→→→→→⎛⎫⋅−=−≥−= ⎪⎝⎭m m b MF OF ，所以→→→⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭m m b 的最小值是54，故D 正确.故选：ACD.。
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第34讲 平面向量的数量积
一、选择题：
1．下列各式中正确的是
（ ）
（1）()()()a b a b a b l l l 鬃=鬃=鬃r r r r r r , （2）||||||a b a b ??r r r r
, （3）()()a b c a b c 鬃=鬃r r r r r r , （4）()a b c
a c
b
c +???r r r r r r r
A ．（1）（3）
B ．（2）（4）
C ．（1）（4）
D ．以上都不对.
2．若()0AB BC
AB ?=uu u r uu u r
uu u r
，则ΔABC 为
（ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．等腰直角三角形
3．设||4a =r
,||3b =r , 夹角为60°, 则|a b +r r |等于
（ ）
A ．37
B ．13
C ．
37
D ．
13
4．已知||1a =r
,||b =
r
且a b -r r 和a r 垂直,则a r 与b r
的夹角为
（ ）
A ．60°
B ．30°
C ．135°
D ．45°
5．在ΔABC 中,若()()0CA CB CA CB +?=u u r u u r u u r u u r
,则ΔABC 为
（ ）
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．无法确定
6．若||||||a b a b ==-r r r r
,则b r 与a b +r r 的夹角为
（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．150°
D ．120°
7．在边长为4的等边ΔABC 中，AB BC ×
uu u r uu u r
的值为 （ ）
A ． 16
B ．16-
C ．8
D ．8-
8．己知||1,||2a b ==r r
，a r 与b r 的夹角为
60°，2,c a b d a b l =+=-r r r u r r r
，若c d ^r u r ,则实数λ
的值为 （ ） A ．
1
2
B ．2
C ．
1
3
D ．3
9．在矩形ABCD 中，11,,22AE AB BF BC =
=uu u r uu u r uu u r uu u r ，当DE EF 时，||
||
AB BC uu u r
uu u r 的值为（ ） A ．
2
B ．
3
C ．2
D ．3
10．设 ,,a b c r r r
是平面内任意的非零向量且相互不共线,则
2
①()()0a b c a b c ??r r r r r r ②||||||a b a b -<-r r r r
③()()b c a a c b ??r r r r r r 不与c r 垂直 ④22
(32)(32)9||4||a b a b a b +-=-r r r r r r
其中真命题是 （ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④
二、填空题：
11．(1,0),(0,1)i j ==r r ，则与34i j +r r
垂直的单位向量是
12．||5,||3,||7a b a b ==-=r r r r
，则a r 、b r 的夹角为__________.
13．已知,,3||,4||==的夹角为120°，且2+=，k +=2，当⊥时，
k = .
14．若将向量)1,2(=围绕原点按逆时针方向旋转
4
π
得到向量，则向量的坐标为 三、解答题：
15．已知(21,2),(2,2)a x y x y b =-++-=-r r
（1）当,x y 为何值时，a r 与b r
共线
（2）是否存在实数,x y ，使得a b ^r r ，且||||a b =r r
？若存在，求出,x y 的值，若不存在，说明理由
16．平面内有向量)7,1(=，)1,2(),1,5(==，点M 为直线OP 上一个动点.
（1）当MA MB ×
uuu r uuu r
取最小值，求OM 的坐标；
（2）当点M 满足（1）的条件和结论时，求AMB ∠cos 的值
17．己知向量,a b r r
均为非零向量,当||a tb +r r 取最小值时,
（1）求t 的值；
（2）求证：b r 与a tb +r r
垂直.
18．已知两点(1,0),(1,0)M N -，且点P 使,,MP MN PM PN NM NP 鬃?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r
成公差小于0的等差
数列
（1）点P 的轨迹是什么曲线？ （2）若点P 坐标为00(,)x y ，记θ
为PM uuu r 与PN uuu
r 的夹角，求tan q。