初中数学教程有关全等证明的习题课

合集下载

初中数学八年级有关全等证明的习题课

连接CE是△ABC的中线
∴BD＝CD
E
又∵∠1＝∠2，AD＝DE
∴△ABD≌△ECD（SAS）
∴AB＝CE
3.如图，AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB，
∠CBA,CD过点E，求证：AB=AD+BC
证明：(截长法)在AB上取点F, A
D
使∵AEFA=分AD别,连平接分F∠E.D如AB图所示
AD=AD
∴Rt△ADB≌Rt△ADC
“倍长中线法”：遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形. 例2 如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是 DC的中点，求证：AD平分∠BAE. A
B
D
E
C
证明:延长AE至G,使AG=2AE，连接BG、DA G.
显然DG=AC,∠GDC=∠ACD
“平行线法”：过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形. 例4 如图，△ABC中，AB＝AC.E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝ BE，连接DE交BC于F.求证：EF＝FD.A
E B
C F
D
证明：过E作EM∥AC交BC于M
则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF A
∵AB＝AC
_____、_____、_____、_____、_____. 3. 几种添加辅助线构造全等三角形的方法
（请你接着完成例题的证明）
例1 如图,△ABC中,AB=AC,求证：∠B=∠C
证明：作底边BC上的高AD.
∵AD⊥BC
A
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ADB和Rt△ADC中 AB=AC
B
DC
A
Q
D
O
B

全等三角形的判定练习课件(共10张PPT)

= （已证）
2、如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
证明：在△ABD和△CDB中
变1: 如图，AB=CD,BD=AC
证明：在△ABD和△CDB中
B
C
求证：△ABC≌△DEF
已知：如图，AB=DC，AC=DB.
求证：△ABC≌△DEF
在△ABD与△ACD中
题目类型二：间接利用SSS
• 求证：△ABC≌△DEF 已知：如图，AB=DC，AC=DB.
证明：∵AE=DB（已知） = （已证）
• 已知：如图：BE=CF，AB=DE，AC=DF ，
已知：如图：BE=CF，AB=DE，AC=DF ，你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？
• 题目类型一：直接证明两个三角形全等
求证：△ABC≌△DEF 证明：在△ABD和△CDB中在△ABD与△ACD中 AC= （已知） ∴ ∠ A=∠ C（全等三角形的对应角相等）
• 已知：如图，AC=DF，CB=EF，AE=DB.求证： △ABC≌△DEF.
• 证明：∵AE=DB（已知）
• ∴AE+ =DB+
•即
=
.
• 在△ABC与△DEF中，
•
AC=
（已知）
•
= （已证）
•
BC= （已知）
• ∴△ABC≌△DEF（）
题目类型二：间接利用SSS
• 已知：如图：BE=CF，AB=DE，AC=DF ，
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴ ∠ A=∠ C（全等三角形的对应角相等）
• 已知：如图，AB=DC，AC=DB.求证：（1） ∠ACB=∠DBC；（2）1＝2
题目类型三：添加辅助线利用SSS

北师大版初一数学下册《全等三角形的判定习题课》

第四章三角形
学校：漳州三中分校授课教师：林凤明
2016.5.18
1、掌握全等三角形的4种判定方法，能综合应用这4种方法来证明线段和角相等。
2、培养观察、识别图形结构特征的能力，从而进一步提高推理论证能力。
全等三角形的判定方法：(用字母表示) （1） SSS ；（2） ASA ；（3） AAS ；（4） SAS ；
∠A=∠D(已知)
C
F
B
BA =BD（已知）
D
A
∠ABC =∠DBF（已证）
∴ △BAC≌△BDF （ASA）
∴ BC =BF (全等三角形对应边相等)C
F
多种方法证明
已知：AC平分∠ DAB，E为AC上一点，AD=AB. D
求证： ∠CDE=∠CBE
证明： ∵ AC平分∠ DAB
A
∴ ∠DAC=∠BAC
D
A
BC =BF（已知）
∴ △BAC≌△BDF （SAS） C
F
∴ ∠C=∠F (全等三角形对应角相等)
变式三、如图， BA =BD，∠A=∠D，∠ABF =∠CBD．
求证：BC =BF．
B
证明：
∵ ∠ABF =∠CBD
1
D
A
∴ ∠ABF+∠1 =∠CBD+∠1
即：∠ABC =∠DBF 在△BAC和△BDF中
已知：∠1＝∠2，要得到⊿ABD≌⊿ACD ,除去公共边AD外，请再添加一个条件使他们全等，你有哪几种方法？
（1）添加的条件： BD ＝ CD
依据是： SAS
.
（2）添加的条件： ∠ B ＝ ∠ C
依据是： AAS
.
（3）添加的条件： ∠ BAD ＝ ∠ CAD 依据是： ASA

人教版八年级数学上册《有关全等证明的习题课》课件

1 2
BC
B
DC
∴CD=CE 2
在Rt△ACD和Rt△ACE中 CD=CE AC=AC ∴△ACD≌△ACE ∴∠ACD=∠ACE ∵∠B=∠ACD ∴∠ACE=∠B
A
E
B
DC
2.如图，AD是△ABC的中线.求证：
AB＋AC＞2AD.
A
证明：延长AD至E，使AD＝DE，
连接CE. ∵AD是△ABC的中线
∴BF=Bห้องสมุดไป่ตู้ 从而 AB=AD+BC
4.△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分
∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求
证：AB+BP=BQ+AQ．
A
证明：过点P作PD∥BQ交CQ
Q
D
于点D，则
O
∠CPD=∠CBQ=40°
B
P
C
∴∠CPD=∠ACB=40°
∴PD=CD
∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°，
证明：（截长法）在AB上取中点F，连接FD.
△ADB是等腰三角形,F是底
A
AB中点,由三线合一知
F
DF⊥AB，故∠AFD=90° B
C
在△ADF和△ADC中
AF=AC ∠FAD=∠DAC ∴△ADF≌△ADC D
AD=AD
∠ACD=∠AFD=90°即CD⊥AC
“平行线法”：过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形.
A
D
2
13
E
F4
∴∠1=∠2
5 6
在△ADE和△AFE中
B
C
AF=AD
∠1=∠2

初中课件-第十二章全等三角形习题课课件

12.2 全等三角形习题课
知识回顾：全等三角形的判定方法
1、判定1：三边对应相等的两个三角形全等。简称“边边边”（SSS） 2、判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简称“边角边”（SAS）。
3、判定3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简称“角边角” （ASA） 4、判定4：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。简称 “角角边”（AAS）。
C E 1
例2 (2006湖北十堰):如图,
A B D 2
已知∠1=∠2,AC=AD,增
加下列条件:①AB=AE,②
BC=ED,③∠C=∠D,④
∠B=∠E,其中能使 ΔABC≌ΔAED的条件有 ( )个 . A.4 B.3 C.2 D.1
在ΔABC和ΔAED中
AC=AD
∠BAC=∠EAD ∠C=∠D ∴ΔABC≌ΔAED(ASA)
C E 1
例2(2006湖北十堰):如图,
A B D 2
已知∠1=∠2,AC=AD,增
加下列条件:①AB=AE,②
BC=ED,③∠C=∠D,④
∠B=∠E,其中能使 ΔABC≌ΔAED的条件有 ( )个 . A.4 B B.3 C.2 D.1
在ΔABC和ΔAED中
AC=AD
∠BAC=∠EAD ∠B=∠E ∴ΔABC≌ΔAED(AAS)
∠ABC的大小是( A.40° B.50° C.60° D.45°B
A
)
1
)AC= BF(已知) ∴ ΔACD≌ΔBDF(AAS) ∴ AD=BD(全等三角形对
F
2
应边相等) C ∴ ∠ABC=45 °.选D D D
E
四、小结:
1.在证明全等三角形或利用它证明线段或角的相等时,首先要寻找我们已经知道了什么（从已知条件,公共边,公共角,对顶角等隐含条件中找对应相等的边或角）,其次要搞清我们还需要什么,而这一步我们就要依照5个判定方法去思考了. 2.注意正确地书写证明格式(顺序和对应关系).

八年级数学上册 12.2《三角形全等的判定的习题课》课案（教师用）

三角形全等的判定的习题课课案（教师用）(温习课)【理论支持】《数学课程标准》指出：对学生数学学习的评判，既要关注学生学习的结果，更要关注学生在学习进程中的转变和进展；既要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学实践活动中所表现出来的情感和态度．荷兰数学教育家弗赖登塔尔以为：学习数学惟一正确的方式是实行再制造，也确实是由学生本人把要学的东西自己去发觉或制造出来，教师的任务是引导和帮忙学生去进行这种再制造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生．同时心理学也以为：认知从感知开始，感知是认知的门户，是一切知识的来源．因此，教师在课堂教学中，应不断制造自主探讨与合作交流的学习环境，让学生有充分的时刻和空间去实践操作、观看分析、合作交流，进而发觉和制造所学的数学知识．全等三角形是学生在已经学过线段、角、相交线、平行线和三角形的有关知识，有了一定的说理基础上引出的，它研究的是两个图形之间的关系，并进一步引导学生学习推理论证的方式．同时全等三角形也是研究图形的重要工具，学生只有把握好全等三角形的内容，并能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容．在学习这部份的时候重点注意培育学生的推理能力，同时注重联系实际，充分调动学生学习的踊跃性和热情．通过本节课的学习研究，旨在让学生进一步巩固全等三角形的判定方式，并能灵活运用所学的方式解决简单的实际问题，体会到数学与实际生活的紧密联系，培育学生的应用意识．教师应激发学生学习的踊跃性，向学生提供充分从事数学活动的机遇，帮忙他们在自主探讨和合作交流的进程中真正明白得和把握大体的数学知识与技术、数学思想和方式．【教学目标】知识技术：把握两个三角形全等的判定方式，并能利用这些方式解决简单的数学问题和实际问题．数学试探：经历运用三角形全等的条件解决问题的进程，进展学生合情推理能力和演绎推理能力．解决问题：通过运用全等三角形的判定定理来解决有关的问题，提高学生运用知识和技术解决问题的能力，在运用所学的只是解决实际问题的进程中形成能力．情感态度：通过解决一些问题培育学生的毅力，并在应用知识解决问题的进程中，感受成功的欢乐，增强学习的自信心．【教学重难点】1．重点：运用全等的条件解决简单的数学问题和实际问题． 2．难点：方式的选用．【课时安排】一课时【教学设计】课前延伸1．具有以下条件的两个三角形中，必然全等的是 ( ) ．A ．有两边一角对应相等B ．三边对应相等C ．两角一边对应相等D ．有两边对应相等的两个直角三角形 2．关于以下各组条件，不能判定△ABC ≌△C B A '''的一组是（）．A ．∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，AB =A ′B ′ B ． ∠A =∠A ′，AB =A ′B ′，AC =A ′C ′ C ．A =∠A ′，AB =A ′B ′，BC =B ′CD ．AB =A ′B ′，AC =A ′C ′，BC =B ′C ′3．如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B =∠C ，无法判定△ABE ≌△ACD 的是（）． A ．AD =AE B ．AB =AC C ．BE =CD D ．∠AEB =∠ADC4．已知：点 A 、C 、B 、D 在同一条直线上，AC =BD ，∠M =∠N =90°，AM =CN ，求证：MB ∥ND ．B EDDMNBC5．已知：如图，AB =AC ，DB =DC ．F 是AD 的延长线上一点．求证： (1)∠ABD ＝∠ACD(2) BF =CF ．【参考答案】1． B 2． C 3． D 4．证明：∵AC =BD ， ∴AB =AC ，在Rt △ABM 和Rt △CDN 中AB =CD AM=CN∴Rt △ABM ≌Rt △CDN ． ∴∠ABM =∠CDN ∴MB ∥ND ．5．证明：（1）在△ABD 和△ACD 中AB =AC =DCAD =AD∴△ABD ≌△ACD ． ∴∠ABD =∠ACD ．（2）由（1）得△ABD ≌△ACD ， ∴∠BAF =∠CAF ．在△ABF 和△ACF 中AB =AC∠BAF =∠CAFAF = AFA FBCDCBA∴△ABF ≌△ACF ． ∴BF=CF 【设计说明】引导学生自己去温习巩固所学的全等三角形的几种判定方式，并能运用所学的知识解决简单的数学问题．课内探讨一、导入新课：温习导入（1）如图，添加条件 ____________，可得△ABC ≌△ABD (SSS )添加条件__________，可得△ABC ≌△ABD (SAS ) 添加条件________ ，可得△ABC ≌△ABD (ASA ) 添加条件_________，可得△ABC ≌△ABD (AAS ) ．（2）若是上图中又有AC =AD ，那么添加条件 ______________________，可得△ABC ≌△ABD ；若是上图中∠CAB =∠DAB ，那么添加条件___________，可得△ABC ≌△ABD ；若是上图中∠C =∠D ，那么添加条件___________，可得△ABC ≌△ABD ．（3）△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，垂足别离为D 、E ，AD 、BE 交于点F ，若是有AE =BD ，图中全等的三角形有几对？你能说明理由吗？【参考答案】（1）．AC =AD ，BC=BD ；AC =AD ，∠CAB =∠DAB ；∠CAB =∠DAB ，∠CBA =∠DBA ；∠CAB =∠DAB ，∠C =∠D 或∠CBA =∠DBA ，∠C =∠D ．（2）．BC=BD 或∠CAB =∠DAB ；AC =AD 或∠C =∠D 或∠CBA =∠DBA ；∠CAB =∠DAB 或∠CBA =∠DBA ．（3）．图中全等的三角形有三对：△AEF ≌△BDF ；△ABE ≌△BAD ；△ACD ≌△BCE ．证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEB=∠BEC=∠ADB=∠ADC =90°在△AEF和△BDF中∠AEF=∠BDF =90°AFE=∠BFDAE=BD∴△AEF≌△BDF．在Rt△ABE和Rt△BAD中AE=BDAB=BA∴Rt△ABE≌Rt△BAD．∴BE=AD在△ACD和△BCE中∠BEC=∠ADC=90°∠C=∠CBE=AD∴△ACD≌△BCE．【设计说明】教学进程中创设的这一问题情境其目的就在于温习巩固全等三角形的几种判定方式，第一题让学生用符号语言表示全等的的几种判定方式，第二题是在给了两个条件的前提下由学生在补上一个条件，是对学生有无真正把握全等三角形判定方式的检测，同时也引导学生对所学的知识进行归类，自主构建完善知识体系；第三题要紧检查的是学生对直角三角形全等的判定方式的把握，方式比较灵活．【点拨方式】在第一题中重点关注第二问和第四问，它们的答案不唯一；在第二题中尽管已有两个条件，但对全等三角形判定方式的把握要比第一题高，在把握的基础上加以试探并进行选择，例如第一问要求学生必需把握在已经有两边的的情形下，只能找夹角或第三边；第三题要求学生找出图中全等的三角形，学生不易找全，此类问题重点注意方式的引导，由AE= BD那个条件，找到它们所在的三角形，两对全等的三角形就有了，在此基础上再找出第三对就能够够了．二、灵活运用所学的知识解决简单的数学问题，培育学生的发散性思维能力在上题中若是将AE=BD，换成AD=BD，图中还有全等的三角形吗？变式1．如图，△ABC中，AD、BE是它的两条高，AD、BE交于点F，AD=BD，若是AC=4，你能求图中哪条线段的长？还有其它方式吗？【参考答案】图中全等的三角形是：△ABC和△BDF．变式1的答案是BF=4，借助于△ABC≌△BDF，可得BF=AC=4．【设计说明】引导学生对问题进行变式，既培育学生发散性思维能力，同时也培育学生的分辨能力，让学生学会比较，养成良好的学习适应，培育严谨的思维能力．【点拨方式】先引导学生画出正确的图形，在启发学生将相等的两条线段放在两个可能全等的三角形中．在上题中若是连接CF，就可取得等腰直角三角形CDF，如此图中就存在两个等腰直角三角形，若是将三角形CDF绕着D点旋转，图中还有全等的三角形吗？你能够添加适当的线段．这确实是咱们下面要解决的一个问题．变式2．如图，两个等腰直角三角板拼在一路，极点重合，将其中一个三角板固定，另一个三角板绕着直角的极点旋转适当的角度，在那个问题情境中有些量之间的关系是不随着图形的转变而转变．你能找出这些结论吗？【参考答案】AE=BD，AE⊥BD．【设计说明】将数学问题融于富有乐趣的生活事件中，激发了学生的探讨爱好，熟悉到运用数学知识解决实际问题的意义．由于本组题在难度上又高于基础题，于是采纳小组合作探讨的方式，如此既培育了学生的合作精神，又培育了学生发散思维和创新思维的能力．【点拨方式】学生画出正确的图形后，可引导学生添加适当的线段，寻觅全等的三角形，同时注意引导学生考虑到特殊位置时结论的正确性．拓展：若是将等腰直角三角板改成两个等边三角形，咱们能够取得什么结论呢？【参考答案】AE=BD，AE和BD所夹的锐角为60°．若是△ACB、△DCE中只知足∠ACB=∠DCE，AC=CB，EC=DC，结论又如何呢？【参考答案】AE=BD，AE和BD所夹的锐角为∠ACB．【设计说明】引导学生对问题不断地进行变式训练，培育学生的思维能力，同时也让学生明白不管如何转变，可是它们之间仍是有必然地联系的，万变不离其中，只要把握了必然的规律，就能够够让自己从题海中解放出来，另外，通过对题目的变式培育学生发觉问题的能力．三、灵活运用所学的知识解决简单的实际问题，培育学生的应用意识请你运用全等这部份的内容设计一种测量水池两岸相对的两点A、B的距离的方案．【参考答案】方案一：能够在地面上找一个能同时抵达A、B两点的点C，连接AC并延长到点A′，使得CA′=AC，连接BC并延长到点B′，使得CB′=BC，A′B′的长确实是A、B两点之间的距离．方案二：在AB的垂线BM上去点C，在BC的延长线上取点D，使得CD=BC，过D作DE⊥BM，使得A、C、E在一直线上，那么DE的长确实是A、B两点之间的距离．【设计说明】很多的学生纸上谈兵的现象比较严峻，解决纯粹的数学问题还能够，但知识简单的应用就比较欠缺，此题重在培育学生的应用意识，并激发学生学习的爱好，让学生明白数学来源于生活同时也效劳于生活．【点拨方式】运用所学的知识解决实际问题虽是一个难点，但能充分调动学生学习的踊跃性和热情，而且学生学习数学的最终目的是能利用数学知识解决实际问题，因此解决此题的重点是先引导学生将实际问题转化为数学问题．课后提升1．已知Rt△ABC中, ∠C=90°，AC=BC，D为AB上一点，且AD=AC，DE⊥AB交BC于E，已知AB=10，求△BDE的周长．2．△ABC中，高AD、BE交于点O，若是CD=CE，你能取得OA=O B吗？3．以下图是三个等边三角形，请别离把他们分成两个、三个、四个全等的三角形．【参考答案】1．10．借助于△ACE≌△ADE，将DE转化成CE，再由BC=AC=AD，将△BDE的周长转化成AB的长．2．方式比较多．例如能够先证△ACD≌△BCE，取得AE=BD，再证△AEO≌△BDO，取得AO=BO．3．【设计说明】在学生充分明白得的基础上，灵活运用所学的知识解决数学问题．知识是能力的基础，能力是知识的升华，升华的途径是应用和整合。

北师大版初中七年级下册数学：全等三角形习题课

BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，
AE＝2BF.给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC
；③AD⊥BC；④AC＝3BF，
其中正确的结论共有( A )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
1.证明三角形全等的解题思路 2.三角形全等在数学及生活中的应用
方法总结
证明两个三角形全等的基本思路：
A
E
BC
D
4、已知：ΔABC和ΔBDE是等边三角
形, 点D在AE的延长线上。
求证：BD + DC = AD
分析：∵AD = AE + ED
A
∴只需证：BD + DC = AE + ED
∵BD = ED
E
∴只需证DC = AE即可。
B
C
D
14
5、如图，四边形ABCD中， AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、 ∠BCD，且点E在AD上。求证： BC=AB+DC。
找第三边 (SSS)
（1）已知两边----
找夹角（SAS)
找这边的另一个邻角(ASA)
已知一边和它的邻角
(2)已知一边一角---
找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS)
已知一边和它的对角：找一角(AAS)
(3)已知两角---
找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS)
A．27º C．40º
B．54º D．55º
2、如图，△ACE≌△DBF，若
AB= 3，BC = 2，则BD等于 ( C )
A．6 C. 5
B．3 D.不能确定 E
C
D
A

全等三角形证明过程训练(习题及答案)

E B 1 2GCEG⎨⎩全等三角形证明过程训练（习题）例题示范例 1：已知：如图，在正方形 ABCD 中，AB =CB ，∠ABC =90°．E AD为正方形内一点，BE ⊥BF ，BE =BF ，EF 交 BC 于点 G ．求证：AE =CF ．【思路分析】 A D ① 读题标注：BCF② 梳理思路： F要证 AE =CF ，可以把它们放在两个三角形中证全等．观察发现，放在△ABE 和△CBF 中进行证明．要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等．由已知得，AB =CB ；BE =BF ；根据条件∠ABC =90°，BE ⊥BF ，推理可得∠1=∠2．因此由 SAS 可证两三角形全等．【过程书写】（在演草部分先进行规划，然后书写过程）证明：如图∵BE ⊥BF ∴∠EBF =90°∴∠2+∠EBC =90° ∵∠ABC =90°∴∠1+∠EBC =90° ∴∠1=∠2在△ABE 和△CBF 中⎧ A B = CB ⎪∠1 = ∠2 ⎪BE = BF （已知）（已证）（已知） ∴△ABE ≌△CBF （SAS ）∴AE =CF （全等三角形对应边相等）过程规划：1．准备不能直接用的条件： ∠1=∠22．证明△ABE ≌△CBF3．根据全等性质得，AE =CFE巩固练习1.如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为点 D ，E ，且 P D =PE ，将上述条件标注在图中，易得 ≌ ，从而 A D = ．ADB C第 1 题图第 2 题图2.已知：如图，AB ⊥BD 于点 B ，CD ⊥BD 于点 D ，如果要使 △ABD ≌△CDB ，那么还需要添加一组条件，这个条件可以是，理由是；这个条件也可以是，理由是；这个条件也可以是，理由是；这个条件还可以是，理由是．3.已知：如图，C 为 BD 上一点，AC ⊥CE ，AC =CE ，∠ABC = ∠CDE =90°．若 A B =4，DE =2，则 B D 的长为．AC4.已知：如图，点 A ，E ，F ，B 在同一条直线上，CE ⊥AB 于点 E ，DF ⊥AB 于点 F ，BC =AD ，AE =BF ．求证：△CEB ≌△DFA ．AC DF2 15.如图，点 C ，F 在 BE 上，∠1=∠2，BF =EC ，∠A =∠D ．求证：△ABC ≌△DEF ．ADF6.已知：如图，点 A ，B ，C ，D 在同一条直线上，且 A C =BD ， BE ∥CF ，AE ∥DF ．求证：△ABE ≌△DCF ．过程规划：过程规划：EH7.已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点 D ，E ，AD 与 C E 相交于点 H ，AE =CE ．A求证：AH =CB ．BDC思考小结1. 要证明边或者角相等，可以考虑边或者角所在的两个三角形；要证明三角形全等，需要准备 _组条件，其中有一组必须是相等．过程规划：2.阅读材料我们是怎么做几何题的？例 1：已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠B=∠D． EB 第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上（请把条件标注在图上）第二步：分析特征走通思路 C A① 要求∠B=∠D，考虑放在两个三角形里面证全等，把∠B放在△ABC 中，把∠D 放在△ADE 中，只需要证明这两 D个三角形全等即可．② 要证明△ABC ≌△ADE ，需要找三组条件，由已知得AB=AD，AC=AE，还差一组条件，根据∠BAE=∠DAC，同时加上公共角∠CAE，可得∠BAC=∠DAE，利用 SAS 可得两个三角形全等．第三步：规划过程过程分成三块：① 由∠BAE=∠DAC，可得∠BAC=∠DAE；② 由SAS 得△ABC≌△ADE；③ 由全等得∠B=∠D．第四步：过程书写AB3 2 14 CD⎩⎨⎩ 【参考答案】巩固练习1. Rt △ADP ，Rt △AEP ，AE2. AD =CB ，HLAB =CD ，SAS ∠A =∠C ，AAS∠ADB =∠CBD ，ASA 3. 64. 证明：如图，∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ∴∠CEB =∠DFA =90° ∵AE =BF∴AE +EF =BF +EF 即 AF =BE在 Rt △CEB 和 Rt △DFA 中 ⎧BC = AD （已知） ⎨BE = AF （已证） ∴Rt △CEB ≌Rt △DFA （HL ） 5. 证明：如图，∵BF =EC∴BF +FC =EC+FC 即 BC =EF在△ABC 和△DEF 中 ⎧∠A =∠∆ （已知） ⎪∠1 =∠2 （已知） ⎪BC = EF （已证） ∴△ABC ≌△DEF （AAS ） F6. 证明：如图，∵AC =BD∴AC -BC =BD -BC 即 AB =DC ∵BE ∥CF ∴∠1=∠2∵∠1+∠3=180°E3E4 H 21⎨ ⎩⎨ ⎩∠2+∠4=180° ∴∠3=∠4 ∵AE ∥DF ∴∠A =∠D在△ABE 和△DCF 中 ⎧∠3 =∠4 （已证） ⎪AB = DC （已证） ⎪∠A =∠∆ （已证） ∴△ABE ≌△DCF （ASA ） 7. 证明：如图，A∵AD ⊥BC ∴∠ADC =90° ∴∠1+∠2=90° ∵CE ⊥AB∴∠AEH =∠CEB =90° ∴∠3+∠4=90° ∵∠2=∠4 ∴∠1=∠3在△AEH 和△CEB 中⎧∠AEH =∠XEB （已证） ⎪AE = CE （已知） ⎪∠3 = ∠1 （已证） ∴△AEH ≌△CEB （ASA ）∴AH =CB （全等三角形对应边相等）思考小结1. 全等；3，边。

第4课时用“HL”判定直角三角形全等【习题课件】八年级上册人教版数学

A. HL
A
B. SAS
)
C. ASA
D. SSS
第1题图
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
第4课时
用“HL”判定直角三角形全等
基础通关
能力突破
素养达标
2. 如图，已知 AB ⊥ CD ，垂足为 B ， BC ＝ BE ，若直接用“HL”判定
△ ABC ≌△ DBE ，则需要添加的一个条件是
AC ＝ DE
8
9
10
11
第4课时
用“HL”判定直角三角形全等
基础通关
能力突破
素养达标
证明：(1)∵ AG ⊥ BD ， AF ⊥ CE ，
∴∠ AFE ＝∠ AGD ＝90°.
∴△ AGB 和△ AFC 都是直角三角形.
＝，
在Rt△ AGB 和Rt△ AFC 中，ቊ
＝，
∴Rt△ AGB ≌Rt△ AFC (HL).
(0，－1) ；
⁠
8
9
10
11
素养达标
第4课时
用“HL”判定直角三角形全等
基础通关
能力突破
(3)如图3，当点 B 在 y 轴正半轴上运动时，求 OA ＋ OB 的值.
(3)解：如图2，过点 P 作 PE ⊥ x 轴于
点 E ， PF ⊥ y 轴于点 F ，同(1)，
可得Rt△ APE ≌Rt△ BPF ，
∴∠ APE ＝∠ BPF .
∴∠ APB ＝∠ APE ＋∠ BPE ＝∠ BPF ＋∠ BPE ＝∠ EPF ＝90°.
∴ PA ⊥ PB .
1
2
3
4

【初中数学】人教版八年级上册第4课时直角三角形全等的判定——（HL）(练习题)

人教版八年级上册第4课时直角三角形全等的判定——（HL）(378)1.如图在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B=∠E=90∘，AC=DF，AB=DE，∠A=50∘，则∠DFE=．2.如图，MN//PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB=．3.如图所示，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF,则AB与AC相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．4.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90∘，那么下列各条件中，不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（）A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40∘C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40∘5.如图,已知∠DCE=90∘,∠DAC=90∘,BE⊥AC于点B,且DC=EC．请问AB，AD，BE之间存在怎样的数量关系?并说明理由．6.如图,AE⊥BD于点C,AB=ED,AC=EC,则Rt△ABC≌Rt△,理由是“”．7.如图，已知AD⊥BC，若直接用“HL”判定Rt△ABD≌Rt△ACD，则需添加的一个条件是．8.使两个直角三角形全等的条件是（）A.两条边对应相等B.一条边对应相等C.两锐角对应相等D.一锐角对应相等参考答案1.【答案】:40∘【解析】:在Rt△ABC与Rt△DEF中，∵AC=DF，AB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(H．L．)，∴∠D=∠A=50∘，∴∠DFE=90∘−∠D=90∘−50∘=40∘2.【答案】:73.【答案】:解：相等．证明：因为DE⊥AB,DF⊥AC，所以∠AED=∠AFD=90∘.在Rt△AED和Rt△AFD中,{AD=AD，DE=DF，所以Rt△AED≌Rt△AFD(HL),所以AE=AF．同理Rt△BED≌Rt△CFD，所以BE=CF,所以AB=AC．4.【答案】:B【解析】:在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90∘，选项A符合直角三角形全等的判定方法“HL”；选项B不符合直角三角形全等的判定方法；选项C符合三角形全等的判定方法“SAS”；选项D符合三角形全等的判定方法“ASA”5.【答案】:解：AB+AD=BE.理由如下：∵∠ECB+∠DCA=90∘，∠D+∠DCA=90∘∴∠ECB=∠D在△ECB和△CDA中，{∠ECB=∠D∠EBC=∠A=90∘CE=CD∴△ECB≅△CDA(AAS)∴BC=AD,BE=AC,∴AB+AD=AB+BC=AC=BE.6.【答案】:EDC；HL7.【答案】:AB=AC【解析】:直角边AD为公共边，只需再添加斜边相等即可8.【答案】:A【解析】:两条边对应相等，有两种情况，其一两边若是两直角边，再加上夹角为直角，依据“SAS”判定全等；其二两边若是一直角边和斜边，可依据“HL”判定两直角三角形全等.故选 A.。

八年级数学上册 12.2《三角形全等的判定的习题课》课堂教学实录

三角形全等的判定的习题课教学进程：师：上课！值日班长：:起立！师：同窗们好！生：教师好！师：请坐．生：谢谢教师！师：咱们已经学习了三角形全等的几种判定方式，请同窗们结合图形按要求添上适当的条件，某某同窗，请你先来回答第一问．生：图形中已有一条公共的边，只要添加AC=AD，BC=BD，就能够够借助于边边边来判定两个三角形全等了．师：回答的很到位，请大伙儿继续．生：图形中已有一条公共的边，只要添加AC=AD，∠CAB=∠DAB ，就能够够借助于边角边来判定两个三角形全等了．生：也能够添加BC=BD，∠CBA=∠DBA，就能够够借助于边角边来判定两个三角形全等．生：添加∠CBA=∠DBA ，∠CAB=∠DAB，就能够够借助于角边角来判定两个三角形全等了．生：添加∠CBA=∠DBA ，∠C=∠D，就能够够借助于角角边来判定两个三角形全等了．生：添加∠CAB=∠DAB ，∠C=∠D，也能够借助于角角边来判定两个三角形全等了．【评析】在活动中，教师关注学生是不是能准确地用符号语言表示，是不是所有的学生都能参与其中．师：同窗们完成的超级好！若是在那个图形中我再添加一个条件的话，大伙儿是不是也能专门快得出正确的结论呢？请同窗们看第一题．生：能够添加BC=BD借助于边边边来判定两个三角形全等．生：还可添加∠CAB=∠DAB借助于边角边来判定两个三角形全等．师：不错，在已经有两边对应相等的情形下，既能够找第三边对应相等，也能够找两边的夹角对应相等．请大伙儿继续．生：能够添加AC=AD，借助于边角边来判定两个三角形全等；还能够添加∠C=∠D借助于角角边来判定两个三角形全等；也可添加∠CBA=∠DBA借助于角边角来判定两个三角形全等了．师：同窗们完成得超级好，某某同窗，请你完成最后一问．生：添加∠CBA=∠DBA，或∠CAB=∠DAB借助于角角边来判定两个三角形全等了．【评析】在活动中，教师关注考虑问题是不是全面，能不能进行归纳总结．师：同窗们完成的超级好，考虑问题比较全面，相信大伙儿下面的表现会更好．请看第3题．（学生读题并试探）师：谁来讲说自己试探的结果．生：我找到了了两对，△AEF≌△BDF，△ABE≌△BAD．生：我还找到了一对△ADC≌△BEC．师：△AEF≌△BDF的理由是什么？生：∠AEF=∠BDF=90°，∠AFE=∠BFD，AE=BD，借助于角角边来判定两个三角形全等．师：△ABE≌△BAD的理由呢？生：∠AEF=∠BDF=90°，AB=BA，AE=BD，借助于斜边、直角边来判定两个三角形全等．师：请同窗们写出△ADC≌△BEC的理由．（一名学生到黑板上写理由，其余学生在自己的本子上写理由，教师巡视，并给某些学生适当的指导）教师给于适本地评讲．【评析】在活动中，教师关注学生可否找全三对，是不是是所有的学生都能说出前面两对的理由．师：在上题中若是将AE=BD，换成AD=BD，图中还有全等的三角形吗？（学生独立试探）生：△ADC≌△BDF．师：谁来讲说是如何试探的？生：由AD=BD，它们所在的有可能全等的三角形确实是△ADC和△BDF，然后有AD、BE是高，取得∠AEF=∠BDF=90°，在加上∠AFE=∠BFD，因此有∠DBF=∠DAC，从而有两个三角形全等．师：判定两个三角形全等有无其它方式了？生：我是通过∠EBC+∠C=90°∠DAC+∠C=90°从而取得∠EBC=∠DAC的．生：我是通过∠EBC+∠C=90°∠EBC+∠BFD=90°从而取得∠BFD=∠C的，借助于角角边对应相等取得两个三角形全等的．师：同窗们分析得超级到位，请大伙儿完成下面一题．（学生独立完成，并请一名学生到黑板上板演进程，教师进行适当的讲评）【评析】在活动中，教师关注学生能不能依照题意作出相关的图形，能不能从适才的问题情境中走出来，有无能踊跃地去试探其他的思路．师：在上题中若是连接CF，就可取得等腰直角三角形CDF，如此图中就存在两个等腰直角三角形，若是将三角形CDF绕着D点旋转，添加适当的线段后图中还有全等的三角形吗？这确实是咱们下面要解决的一个问题．（教师进行图形演示）师：两个等腰直角三角板拼在一路，极点重合，将其中一个三角板固定，另一个三角板绕着直角的极点旋转适当的角度，在那个问题情境中有些量之间的关系是不随着图形的转变而转变．你能找出这些结论吗？请大家依照教师适才的演示画出图形，找出图形中的条件，并进行探讨，能够彼此讨论．（学生画图探讨，教师巡视，并给予适当的点拨）师：谁先来讲说自己的收成．生：我连接AE、BD，发觉不管三角形CDE旋到什么位置总有线段AE、BD既相等且垂直．师：你是一个超级细心的小孩，你的发觉很正确．下面请大伙儿画出适当的图形并给予证明．（教师在行间巡视，注意学生所画的图形，找有代表性的到黑板上板演进程）师：适才两位同窗所画的图形代表了两种情况，除都具有一起的极点C外，一种是两个三角形有重叠部份，一种是没有重叠部份，不管哪一种情形那个地址都能够通过两个三角形全等，取得线段AE、BD既相等且垂直．请同窗们在试探一下，在图形旋转的进程中有无特殊的情形．（给时刻学生试探）生：在旋转的进程中有两处不存在△ACE和△BCD，但两线段之间的关系是不变的．师：回答得超级好，请你到黑板上画出这两种情形下的图形．（学生画图）【评析】在活动中，教师重在培育学生发觉问题和解决问题的能力，能不能从问题情境中抽象出数学问题，能不能把几种情形都考虑全面，是此进程的关键所在．师：同窗们完成的超级好！在尔后的学习中注意考虑问题要全面．若是咱们将两个等腰直角三角形换成等边三角形，结论又如何呢？请同窗们自己画出图形进行探讨．（学生试探，讨论）生：AE=BD，AE和BD所夹的锐角为60°师：你肯动脑筋，超级好！若是△ACB、△DCE中只知足∠ACB=∠DCE，AC=CB，EC=DC，结论又如何呢？生：AE=BD，AE和BD所夹的一个角就等于∠ACB．【评析】在活动中，教师注重培育学生发散性的思维能力．师：同窗们很伶俐，而且肯动脑筋，教师为你们感到自豪．下面咱们再来看看能不能运用所学的知识，解决咱们日常生活中的问题，请看下面一题．（学生试探后并彼此交流自己的观点）生：在地面上找一个既能抵达点A又能抵达点B的点C，连接AC并延长到点D，使得CD=AC，连接BC并延长到点E，使得CE=BC，连接DE，那么DE的长确实是AB的长．生：过B点作AB的垂线BM，在BM上取BC=CD，过D点作DE垂直于BM，当A、C、E在一条直线上时，DE的长确实是AB的长．师：你们真的很不简单，考虑问题比较全面，设计的方案超级好！借助于全等三角形咱们能够测量不能直接抵达的两点之间线段的长度，随着咱们知识的增多，还有更多的方式，咱们学习数学的目的确实是能用数学知识解决日常生活中所碰到的问题，希望大伙儿在学习的进程中要不断地注意总结．【评析】在活动中，教师重在培育学生应用数学的意识，让他们明白数学来源于生活同时也效劳于生活，调动学习的踊跃性．师：通过本节课的学习，你有哪些收成？生：进一步巩固了全等三角形的几种判定方式．生：要注意对题目进行延伸拓展，不要只知足解决一个问题，要能从问题中去发觉问题．生：要会运用所学的知识解决实际生活中的问题．师：同窗们归纳的超级好，自己在解决问题的进程中要学会多问几个什么缘故．感爱好的同窗请你们完成课后提升．下课！。