求幂级数的和函数
求幂级数的和函数步骤
通常求幂级数的收敛半径和收敛区间如果幂级数有n，（n+1）和其他系数，则必须先逐项积分级数，将这些系数约化，然后将它们转换为几何级数，然后计算和。
当然，对于积分，你必须记住在将来计算级数和的导数。
同理，如果幂级数有1/N，1/（N+1）等系数，则必须先逐项导出级数项，这还需要将这些系数减去并转换成几何级数，然后用计算。
只有在将来，我们将对级数的和进行积分。
简言之，如果有导数，它将对应于将来的积分，反之亦然。
因为我们可以用微分和积分作为逆运算，这是为了恢复级数。
幂级数及其函数的计算是幂级数运算的重点和难点，具有一定的技巧。
结合多年的教学实践，介绍了求幂级数和函数的最基本方法。
关键词：幂级数；和函数积分；逐项推导收敛面积。
中图分类号：o173文献号：文献号：1008-6714（2009）02-0005-02受理日期：2008年11月27日河南内黄，讲师，高等数学及其在各专业的应用。
幂级数与函数的基本思想是：通过加、减、乘、逐项求导或逐项积分运算，将幂级数转化为已知幂级数（如几何级数求原幂级数）和函数。
下面的例子说明了求幂级数和函数的最基本方法。
首先需要求和函数的域，即幂级数的收敛区域。
很容易得到幂级数的收敛面积[这是X的公比，散度的几何级数。
注：逐项扣除后，收敛区间终点的收敛性可能发生变化。
终点需要讨论。
注：逐项积分后，收敛区间结束时的收敛性可能会发生变化。
目前，它们是发散的，因此收敛区域与收敛区间相同。
导言：这个问题可以得到一个想法。
这是串联连接。
利用几何级数的求和公式，可以求出原始幂级数的和。
当输入1时，级数是发散的，因此幂级数的收敛区域是（-上一个幂级数。
如果你想使它成为一个与X有关的常数，你可以用项积分法。
设s11如果幂级数发散，则幂级数的收敛区域为（-2n）X2N-2nx2n-。
求幂级数的和函数
幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。
求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数），求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。
以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型：一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x) 计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。
二、求通项为P(n)x^n的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。
积分总是从收敛中心到x积分。
解法2、也可化为几何级数的和函数的导数而求之，这是不必再积分。
三、求通项为x^n/P(n)的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉S(0)的值。
解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。
四、含阶乘因子的幂级数（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。
一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数（2）逐项求导、逐项积分法（3）微分方程发：含阶乘因子的幂级数的和函数常用解S(x)满足的微分方程的处之问题而求之。
因此先求收敛域，求出和函数的各阶导数以及在点0处的值，建立S(x)的长微分方程的初值问题，求解即得所求和函数题中的类型为第二种类型求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定出错。
高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)
高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。
解：选A 。
23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。
2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ](A) –2和2； (B) –3和3；(C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。
x y axy yP xy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(r rdr r r d A πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-202202rdr r d C πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d D πθ 。
解：选D 。
()⎰⎰+-=202220412rdr r r d I πθ 。
4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ](A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。
幂级数的求和方法
幂级数的求和方法作者：杜道渊来源：《价值工程》2010年第26期摘要: 本文应用高等数学的知识,介绍了幂级数的几种常见的求和方法及技巧。
Abstract: By means of the relevant knowledge from the advanced mathematics, some general summation method and techniques of power series are introduced in this paper.关键词: 幂级数;收敛区间;求和Key words: power series; convergence interval; summation中图分类号:G42 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)26-0202-010引言幂级数ax的求和问题是无穷级数中的重点也是难点,同时具有较强的技巧性。
下面谈谈幂级数的几种常见的求和方法。
1计算部分和的极限根据无穷级数收敛的定义知:部分和的极限如果存在,则该极限就是无穷级数的和。
对于幂级数ax,设前项和为s(x),则s(x)=s(x)例1求幂级数nx(x解:记部分和s(x)=kx,则xs(x)=kx,s(x)-xs(x)=-nx,s(x)=-x,因为x2逐项微分幂级数在其收敛区间内其和函数是可导的,且有逐项求导公式s′(x)=ax′=ax′=nax通过对幂级数的逐项求导将其转化为能求出和函数的幂级数,再积分即可。
例2在区间(-1,1)内求幂级数x的和函数,并由此计算级数的和解:设和函数为s(x),则s(x)=x=x+xx=,设s(x)=x,逐项求导得s(x)=x=两边积分s(x)dx=dx=-ln(1-x)=s1(x)所以s(x)=-ln(1-x)令得x=得=s=-ln1-=1+ln23逐项积分幂级数在其收敛区间内其和函数是可积的,且有逐项积分公式s(x)dx=axdx=axdx=x通过对幂级数的逐项积分将其转化为能求出和函数的幂级数,再求导即可。
幂级数求和函数方法概括与总结
幂级数求和函数方法概括与总结常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。
中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。
这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。
而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。
同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。
到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。
中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。
而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。
它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。
幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。
但很多人往往对这一内容感到困难。
产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。
事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。
一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称12()()(),n u x u x u x x E ++++∈为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞=∑ 。
2、具有下列形式的函数项级数200102000()()()()n nn n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑称为在点0x 处的幂级数。
2003年考研数学三真题及全面解析
2003年全国硕士入学统考数学(三)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是2>λ. 【分析】 当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】 当1>λ时，有,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.（2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 64a .【分析】 曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b 与a 的关系.【详解】 由题设，在切点处有03322=-='a x y ，有 .220a x =又在此点y 坐标为0，于是有0300230=+-=b x a x ,故 .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(= 2a .【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 ⎰⎰-=D dxdy x y g x f I )()(=dxdy a x y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102=.])1[(2102112a dx x x a dy dx ax x=-+=⎰⎰⎰+（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a Tα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵TE A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .【分析】 这里Tαα为n 阶矩阵，而22a T=αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有)1)((T Ta E E AB αααα+-= =TT T T a a E αααααααα⋅-+-11=TT T T a a E αααααααα)(11-+-=TT T a a E αααααα21-+-=E aa E T=+--+αα)121(,于是有 0121=+--a a ，即 0122=-+a a ，解得 .1,21-==a a 由于A<0 ,故a=-1.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为0.9 .【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y =)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +-- =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且.DX DZ =于是有 cov(Y ,Z)=DZDY Z Y ),cov(=.9.0),cov(==XY DYDXY X ρ（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于 21.【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i【详解】 这里22221,,,n X X X 满足大数定律的条件，且22)(i i i EX DX EX +==21)21(412=+，因此根据大数定律有 ∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.21112=∑=n i i EX n二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】 由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有 )0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→存在，故x=0为可去间断点.（2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ A ]【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).（3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ B ]【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若∑∞=1n na绝对收敛，即∑∞=1n na收敛，当然也有级数∑∞=1n na收敛，再根据2nn n a a p +=，2nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知，∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛，故应选(B).（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ C ] 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1, 说明A 的秩为2，由此可确定a,b 应满足的条件. 【详解】 根据A 与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有0))(2(2=-+=b a b a ab b b a bbb a ，即有02=+b a 或a=b.但当a=b 时，显然秩(A)2≠, 故必有 a ≠b 且a+2b=0. 应选(C).（5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ] 【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得 02211=+++s s k k k ααα ，矛盾. 可见（A ）成立.(B): 若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立.(C) s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ，则s ααα,,,21 线性无关，因此(C)成立.(D) s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ C ] 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】 因为21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ， 且 41)(21=A A P ，41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P 0)(321=A A A P ，可见有)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =， )()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C).三 、（本题满分8分）设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.【分析】 只需求出极限)(lim 1x f x -→，然后定义f(1)为此极限值即可.【详解】 因为)(lim 1x f x -→=])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππ =xx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→=xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→=xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 11221----+-→=.1π由于f(x)在)1,21[上连续，因此定义π1)1(=f ，使f(x)在]1,21[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(21,22y x v xy u -==，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22uv fv u f ∂∂∂=∂∂∂ 【详解】vf x u f y xg ∂∂+∂∂=∂∂， .vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂ 故 vf v f x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222，.2222222222v f vf y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x +五 、（本题满分8分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x e e I Dy x )sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 2022dr r re d e r ⎰⎰-πππθ令2r t =，则 tdt e e I t sin 0⎰-=πππ.记 tdt e A t sin 0⎰-=π，则t t de e A --⎰-=int 0π=]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t=⎰--πcos t tde=]sin cos [0tdt e t e t t⎰--+-ππ=.1A e -+-π因此 )1(21π-+=e A ， ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数f(x)及其极值. 【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】.1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n xxx x f 上式两边从0到x 积分，得).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰ 由f(0)=1, 得).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f 令0)(='x f ，求得唯一驻点x=0. 由于,)1(1)(222x x x f +--='' 01)0(<-=''f ，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(xe x g xf =+(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】 (1) 由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'=' =)()(22x f x g +=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+ =(22)x e -2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'(2) ]4[)(222C dx e e e x F dx xdx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰-=.22x xCe e-+将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是.)(22x xe e x F --=八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c )3,0[∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于13)2()1()0(=++f f f ，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】 因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是M f m ≤≤)0(， M f m ≤≤)1(， M f m ≤≤)2(. 故.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】 方程组的系数行列式ba a a a a ba a a a ab a a a a a b a A n n n n++++= 321321321321 =).(11∑=-+ni i n a b b(1) 当0≠b 时且01≠+∑=ni iab 时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为 .02211=+++n n x a x a x a 由01≠∑=ni ia可知，),,2,1(n i a i =不全为零. 不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α 当∑=-=ni iab 1时，有0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-ni ia11倍）→ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a（ 将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）→.0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---由此得原方程组的同解方程组为12x x =，13x x =，1,x x n = . 原方程组的一个基础解系为 .)1,,1,1(T=α十、（本题满分13分）设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【分析】 特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】 （1）二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ解得 a=1,b= -2.(2) 由矩阵A 的特征多项式)3()2(22202012+-=+----=-λλλλλλA E ，得A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系 T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T=ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系.)2,0,1(3T-=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T )51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ ，则Q 为正交矩阵. 在正交变换X=QY 下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可。
级数_基本考点以及解题方法
本章节基本考点以及解题方法1.基本考点：● 级数的敛散性；● 幂级数的收敛半径和收敛区间； ● 函数展开成幂级数； ● 求幂级数的和函数；●给出其中一个级数的敛散性，判断另一个级数的敛散性；(逻辑思维比较强，需要多多总结)2.解题方法归纳：● 级数的敛散性此考点分为3种题型： （1）正项级数 比较审敛法：nn n n )12(1∑∞=+ 比较审敛法的极限形式： ))10(1(32∑∞=-+n n n n∑∞=+1)11ln(n n 分析：比值审敛法： ∑∞=•1!2n nn n n 分析：（2）交错项级数 莱布——尼兹定理：∑∞=+-111)1(n nn（3）任意项级数绝对收敛与相对收敛： 分析：注意：要学会这三种方法的综合运用！● 幂级数的收敛半径和收敛区间 此考点分为三种题型：（1）∑∞=-1)1(n n nn x （2）∑∞=--1)21(2)1(n n n n x n （3）∑∞=-11221n n n x对于（1）有：a. 利用定理2得收敛半径；b. 分析区间端点的敛散性得收敛区间； 对于（2）有： a. 令t ；b. 利用定理2得t 的收敛半径；c. 将t 的范围转化为了x 的范围，并分析区间端点的敛散性得收敛区间； 对于（3）有：只能通过“比值审敛法&绝对收敛”求其收敛区间；● 函数展开成幂级数； 此考点分为两种题型：（1）展开成x 的幂级数 （1）)4(1)(x x f +=（2）x e x x f 22)(=（2）展开成)(0x x -幂级数● 求幂级数的和函数；大都是建立在7个常用函数展开式的基础之上进行分析的，通过恒等变换（变量代换，四则运算，逐项求导，逐项积分）等方法，求得展开式或和函数；难点体现在“恒等变换（变量代换，四则运算，逐项求导，逐项积分）”这个问题上，故重点讨论之；以“典型例题在恒等变换时设计到的问题”为讨论的基础：附：7个常用的函数展开式① ),(.....!1+∞-∞∈=∑∞=x x n e n nx② ),(.....!121)1(/)!12(1)1(sin 0121121+∞-∞∈+---=∑∑∞=+∞=--x x n x n x n n n n n n ）（③ ),(.....)!2(1)1(cos 02+∞-∞∈-=∑∞=x x n x n n n④)1,1( (11)0-∈=-∑∞=x x x n n ⑤)1,1(......)1(11-∈-=+∑∞=x x x n n n ⑥ ]1,1(......11)1(/1)1()1ln(0111-∈+--=+∑∑∞=+∞=-x x n x n x n n n n n n ⑦ ]1,1(......11/1)1ln(101-∈+=-∑∑∞=∞=+x x n x n x n n n n● 给出其中一个级数的敛散性，判断另一个级数的敛散性；(逻辑思维比较强，需要多多总结，多以选择题为主！)做这些题目之前一定要知道的一些知识：（1）与“级数收敛的必要条件”有关的几个问题【2组4项】 对于级数∑∞=1n nu，有以下分析：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u ； 若级数∑∞=1n nu发散，则k u n n =∞→lim （k 可以为0）；若0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n nu 的敛散性不确定； 若0lim ≠=∞→k u n n ，则必发散；分析：这种类型题的考点在于“正项级数”与“不确定是否为正项级数”两种情况● 对于“正项级数”，只需要以以上两种为基础进行分析，问题即可解决；对于“不确定是否为正项级数”，以上两种分析是基础，另外还需结合——“交错项级数、任意项级数”的分析方法，并结合“P-级数（很重要，它在选择题中起到的作用很”；（2）与“级数的基本性质3、4”有关的几个问题【3组】① 在两个级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv中，有以下分析：若一个收敛，一个发散，则有)(1∑∞=±n n nv u发散；若两者都收敛，则)(1∑∞=±n n nv u收敛；若两者都发散，则)(1∑∞=±n n nv u的敛散性不确定；② 对①反过来有：若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu必收敛；若级数)(1∑∞=±n n nv u收敛若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu必发散；若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu必发散；若级数)(1∑∞=±n n nv u发散若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu不确定；③ 对两个级数的乘积分析 a. 两个级数收敛 乘： nn1)1(-（收敛） / 211)1(n n -（发散） 除： 41)1(n n-与21)1(n n -（收敛） / n n 1)1(-（发散）b. 两个级数发散乘：n1（收敛） / 211n （发散） 除： n 1与211n （收敛） / n1（发散） c.一个收敛、一个发散乘：n 1与21n（收敛） / 321n 与231n （发散） 除： n 1与31n （收敛） / n 1与21n（发散）综上所述有：两个级数相乘、相除，结果的敛散性不能确定；（极限中无穷小的概念要深刻体会！） （3）级数的“绝对值、次方”产生的问题∑∞=1)(n k nu（其中0>k ，k 奇偶不分）收敛；∑∞=1n nu收敛；这是很多问题分析的基础！（4）只有当两个级数收敛时，才可以比较其和的大小！ 如：若),3,2,1( =<n v u n n ，则∑∑∞=∞=≤11n n n nv u.............（错误）（5）级数的收敛域问题“收敛域的端点值是否收敛？”这个问题要好好考虑！考点体现在：通过四则运算，得到其收敛半径相同，但是这个四则运算有可能会改变端点值的敛散性，因此收敛域有可能会不同。
求幂级数的和函数
求幂级数的和函数求幂级数的和函数幂级数的和函数一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an⋅xn与bn⋅xn两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan⋅xn±μbn⋅xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。
当R1≠R2时，上式的收敛半径为R=min{R1,R2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn⋅bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn−1+⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为R(R>0)，S(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑S(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−kn=0它的收敛半径仍然为R。
iii在（-R,+R）内逐项积分公式成立∫∑∫∑x∞xS(t)dt=0n=00antndt=∞n=0anxn+1n+1并且，逐项积分后收敛半径也不变∞∑iv若幂级数anxn在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n=0（A）∞∑limx→R−S(x)=n=0anRn∞∑limx→R+S(x)=n=0求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；21132、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定5261出错。
扩展资料幂级数它的结构简单，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐4102项积分等运算。
例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收1653敛。
中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案
中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上.1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π. 2. 函数22y xz +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分22()f x y dv+⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz.5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的(D)37 .10. 曲面积分2z dxdy ⎰⎰∑在数值上等于( C ).(A) 流速场iz v 2=穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为2z =ρ的曲面片Σ的质量；(C) 向量场kz F 2=穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场k z F 2=沿Σ边界所做的功.11．若级数1(2)nn n c x ∞=+∑在 4x =- 处是收敛的，则此级数在1x = 处 ( D )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定. 12.级数121(1)n pn n -∞=-∑的敛散性为 ( A )(A) 当12p >时，绝对收敛； （B ）当12p >时，条件收敛；(C) 当102p <≤时，绝对收敛； （D ）当102p <≤时，发散.三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13. （本题满分6分）设()x y z x y z e -++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz .解：两边同取微分 ()(1)()x y z dx dy dz e dx dy dz -++++=⋅-⋅++ ， 整理得 dz dx dy =--.14. （本题满分8分）求曲线2223023540xy z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩ 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程. 解：两边同时关于x 求导22232350dy dz x y z dx dx dy dz dx dx ⎧+⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得(1,1,1)(1,1,1)9474dy dx dz dx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以切向量为：91{1,,}1616T =-， 切线方程为： 1111691x y z ---==-；法平面方程为：16(1)9(1)(1)0x y z -+---=，即169240x y z +--=. 15.（本题满分8分）求幂级数0(21)nn n x ∞=+∑的和函数.解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)-，0(21)nn n x ∞=+∑02∞==+∑nn nx 0∞=∑nn x ，10122∞∞-===∑∑nn n n nxx nx，设11()∞-==∑n n A x nx ，则10011(),(11);1∞∞-=====-<<-∑∑⎰⎰xxn nn n x A x dx nx dx x x x 21(),1(1)'⎛⎫∴== ⎪--⎝⎭x A x x x即20222()(1)∞===-∑nn x nx xA x x ，0(21)∞=∴+∑n n n x 02∞==+∑nn nx 0∞=∑n n x 22211,(11)(1)1(1)+=+=-<<---x x x x x x .16.（本题满分6分）计算()∑=++⎰⎰I x y z dS ，其中∑为曲面5+=y z 被柱面2225+=xy 所截下的有限部分.解：()∑=++⎰⎰I x y z dS (5)∑=+⎰⎰x dS∑=⎰⎰xdS（∑关于yoz 平面对称，被积函数x 是x 的奇函数）5∑+⎰⎰dS05∑=+⎰⎰dS 222552+≤=⎰⎰x y dxdy 52251252π==.17.（本题满分8分）计算积分222(24)(2)=++-⎰LI xxy dx x y dy，其中L 为曲线22355()()222-+-=x y 上从点(1,1)A 到(2,4)B 沿逆时针方向的一段有向弧.解：4∂∂==∂∂Q P x x y，∴积分与路径无关，选折线AC +CB 为积分路径，其中(2,1)C ，,12:,1,0=≤≤⎧⎨==⎩x x x AC y dy 2,:.,14==⎧⎨=≤≤⎩x dx CB y y y222(24)(2)∴=++-⎰LI x xy dx x y dy222(24)(2)=++-⎰ACx xy dx x y dy 222(24)(2)+++-⎰CBx xy dx x y dy 24221141(24)(8).3=++-=⎰⎰x x dx y dy18.（本题满分8分）计算22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y xz dzdx xydxdy，∑是由曲面224-=+y x z与平面0=y 围成的有界闭区域Ω的表面外侧.解：2222,(),,,∂∂∂==+=++=+∂∂∂P Q R P yz Q y x z R xy x z x y z由高斯公式， 22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y x z dzdx xydxdy 22()Ω=+⎰⎰⎰x z dxdydz（利用柱面坐标变换cos sin ,θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩z x y y 则2:02,02,04.θπΩ≤≤≤≤≤≤-r y r ）2224200032.3ππθ-==⎰⎰⎰r d rdr r dy19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面1222222=++cz b y a x 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为),,(0z y x ，则切平面的法向量为000222222{,,}x y z a b c， 切平面方程为0)()()(02020020=-+-+-z z c z y y b y x x a x ，即1202020=++czz b y y a x x ，则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 22200016a b cV x y z=⋅， 令)1(ln ln ln ),,,(220220220000000-+++++=czb y a x z y x z y x L λλ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+=+1021021021220220222002020c z b y ax c z z b y y a x x λλλ，得30a x =，30b y =，3c z=，故切点坐标为)3,3,3(c b a .20. (本题满分6分)设(),()f x g x 均在[,]a b 上连续，试证明柯西不等式：22[()][()]bbaaf x dxg x dx ⎰⎰2[()()].baf xg x dx ≥⎰证：设:,.D a x b a y b ≤≤≤≤则22[()][()]bba af x dxg x dx ⎰⎰22()()Df xg y dxdy =⎰⎰（D关于y x=对称）22()()Df yg x dxdy =⎰⎰221[()()2D f x g y dxdy =+⎰⎰22()()]Df yg x dxdy ⎰⎰22221[()()()()]2Df xg y f y g x dxdy =+⎰⎰1[2()()()()]2Df xg x f y g y dxdy ≥⋅⎰⎰[()()()()]Df xg x f y g y dxdy =⋅⎰⎰()()()()b b aaf xg x dx f y g y dy =⎰⎰2[()()]baf xg x dx =⎰.2008—2009学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1. 设三向量,,a b c 满足关系式a b a c ⨯=⨯，则（ D ）. （A ）必有0a =; （B ）必有0b c -=; （C ）当0a ≠时，必有b c =; （D ）必有()a b c λ=- （λ为常数）.2. 直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的关系是（ A ）. （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上；（C ）垂直相交; （D ）相交但不垂直.3. 二元函数225,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点（0，0）处（ A ）(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在4. 已知2()()x ay dx ydyx y +++为某二元函数的全微分，则=a （ D ）.（A ）1-; （B ）0; （C ）1; （D ）2.5. 设()f u 是连续函数，平面区域2:11,01D x y x -≤≤≤≤-，则22()Df x y dxdy +=⎰⎰（ C ）.（A ）21122()x dx f x y dy-+⎰⎰; （B ）211220()y dy f x y dx-+⎰⎰;（C ）12()d f r rdr ⎰⎰πθ; （D ）120()d f r dr⎰⎰πθ.6. 设a 为常数，则级数1(1)(1cos )nn a n∞=--∑（ B ）.（A ）发散 ; （B ）绝对收敛; （C ）条件收敛; （D ）收敛性与a 的值有关.二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.1. 设函数222(,,)161218x y zu x y z =+++，向量{1,1,1}n =，点0(1,2,3)P ， 则03.3P u n∂=∂2. 若函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数5.a =-3. L 为圆221x y +=的一周，则22()0.Lx y ds -=⎰4. 设1lim 2n n naa +→∞=，级数211n n n a x ∞-=∑的收敛半径为2.25. 设221()x y f x e dy-=⎰，则111()(1).4xf x dx e -=-⎰6. 设()f x 是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]-上的定义为32,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩， 则()f x 的以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于3.2三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.1.（本小题6分）设()f u 是可微函数，(y z f =，求2z z x y x y ∂∂+∂∂. 解题过程是：令yu =，则()y zf u x ∂'=∂，()2zf u y x y∂'=∂，20.z zxy x y∂∂∴+=∂∂2. （本小题6分）计算二重积分2211Dxy dxdy x y +++⎰⎰，其中22{,)1,0}D x y x y x =+≤≥.解题过程是：D 关于x 轴对称，被积函数221xy x y ++关于y 是奇函数，221Dxy dxdy x y∴=++⎰⎰，故2211D xy dxdy x y +++⎰⎰221D xy dxdy x y =++⎰⎰221Ddxdy x y +++⎰⎰122020ln 2.12rdr d r -=+=+⎰⎰πππθ3. （本小题6分） 设曲面(,)z z x y =是由方程31x y xz +=所确定，求该曲面在点0(1,2,1)M -处的切平面方程及全微分(1,2)dz .解题过程是：令3(,,)1F x y z x y xz =+-，23x F x y z '=+，3y F x '=，zF x '=，则所求切平面的法向量为：0{,,}{5,1,1}x y zM n F F F '''==，切平面方程为：560.x y z ++-=23x zF z x y z x F x '∂+=-=-'∂，2y zF zx y F '∂=-=-'∂，0(1,2)5.M M z z dzdx dy dx dy x y ∂∂∴=+=--∂∂ 4. （本小题6分） 计算三重积分22x y dxdydzΩ+，其中Ω是由柱面21y x =-0,0y z ==，4x y z ++=所围成的空间区域. 解题过程是：利用柱面坐标变换，22x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰14(cos sin )2000r d r dr dz -+=⎰⎰⎰πθθθ 12300[4(cos sin )]d r r dr =-+⎰⎰πθθθ04141[(cos sin )].3432d =-+=-⎰ππθθθ5. （本小题6分）求(2)x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为曲面22(01)z x y z =+≤≤，方向取下侧.解题过程是：补2211,(,){1}.z x y D x y ∑=∈=+≤上：∑与1∑上所围立体为20201, 1.r r z Ω≤≤≤≤≤≤：，θπ 由高斯公式，得1(2)(201)x z dydz zdxdy dxdydz Ω∑+∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰上下2211332r d rdr dz ππθ==⎰⎰⎰， (2)x z dydz zdxdy ∑∴++=⎰⎰13(2)2x z dydz zdxdy π∑-++⎰⎰上3012Ddxdy π=--⎰⎰3.22πππ=-=6. （本小题7分） 求幂级数211nn n x n∞=+∑的收敛域及和函数.解题过程是：因为1lim nn n a R a →∞+=2211lim 1(1)1n n n n n →∞++==++，故收敛区间为(1,1)-； 1±=x 时，极限21lim 0n n n→∞+≠，级数均是发散的；于是收敛域为(1,1)-，211()n n n S x x n ∞=+=∑1n n nx ∞==∑1nn x n∞=+∑10011n x x n n n x x nx dx dxn ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰⎰0111x x x dx x x '⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭⎰2ln(1),(1,1).(1)x x x x =--∈--7. （本小题7分）例1 计算22()I xy dS∑=+⎰⎰，∑为立体221x y z +≤≤的边界. 解题过程是： 设12∑=∑+∑，其中1∑为锥面22,01z x y z =+≤≤，2∑为221,1z xy =+≤部分，12,∑∑在xoy 面的投影为:D 221x y +≤.22112z z dS dxdy dxdyx y ⎛⎫∂∂⎛⎫=++= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，2dS dxdy=，22()I x y dS ∑∴=+⎰⎰122()x y dS ∑=++⎰⎰222()xy dS ∑+⎰⎰22()2Dx y dxdy =+⎰⎰22()Dx y dxdy++⎰⎰22(21)()Dx y dxdy =+⎰⎰2130(21)(21).2d r dr ππθ==⎰⎰四．证明题（8分）.设函数(,)f x y 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记2221()[()1]Ly f xy x y f xy I dx dy y y+-=+⎰， （1）证明曲线积分I 与路径L 无关; （2）当cd ab =时，求I 的值.证明: (1)记21()(,)y f xy P x y y +=，22[()1](,)x yf xy Q x y y -=，;1)()()](]1)([);(1)()](1[])()(2[22322222y xy f xy xy f y xy f y x xy f y x Q xy f xy y xy f y xy f y y x xy f y xy yf y P -'+='⋅+-=∂∂'+-=+-⋅'+=∂∂P Q y x∂∂∴=∂∂成立，积分I 与路径L 无关.（2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点(,)a b 起至点(,)c b ，再至终点(,)c d ，则(,)(,)(,)(,)(,)(,)c b c d a b c b I P x y dx Q x y dy =+⎰⎰21[()][()]cda ccbf bx dx cf cy dy b y=++-⎰⎰ ()()cb cd ab cb c a c c f t dt f t dt b d b -=+++-⎰⎰()().cd ab c a c af t dt ab cd d b d b=-+==-⎰2009—2010学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题（6530⨯=分分）1. 若向量,,a b c 两两互相垂直，且5,12,13a b c ===，则132.a b c ++=2．设函数22sin y z xy x=，求2.z z x y zx y∂∂+=∂∂3. 设函数(,)f x y 为连续函数, 改变下列二次积分的积分顺序：2221212201(,)(,)(,).y xx y dy f x y dx dx f x y dy f x y dy --=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4. 计算(1,2)2(0,0)7()(2).2y y I e x dx xe y dy e =++-=-⎰5. 幂级数213nnn nx ∞=∑(3,3).-6. 设函数2()()f x x x x πππ=+-<< 的傅里叶级数为：01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则其系数32.3bπ=二、选择题（4520⨯=分分）1．直线11321x y z --==-与平面342x y z +-=的位置关系是( A )(A) 直线在平面内； (B) 垂直； (C) 平行； (D) 相交但不垂直.2.设函数22(,)4()f x y x y x y =---, 则(,)f x y （ C ）(A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值；(C) 在(2,2)-点有极大值； (D) 无极值.3. 设L 是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，L 的方向为逆时针方向，则22Lxdy ydxx y-=+⎰（ C ） (A) 0； (B)π； (C) 2π； (D) 2π-.4. 设a 为常数，则级数21sin n nan n ∞=⎛ ⎝∑（ B ）(A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性与a 值有关.三、计算题 (7+7+7+7+6+8=42分)1. 设224,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩讨论(,)f x y 在原点(0,0)处是否连续，并求出两个偏导数(0,0)xf '和(0,0)yf '. (7分) 解：令422442,lim (,)lim 1y y ky k x ky f ky y k y y k →→===++，随k 的取值不同，其极限值不同，00lim (,)x y f x y →→∴不存在，故(,)f x y 在原点不连续；00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--'===∆∆， 00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→+∆--'===∆∆.2. 计算222I x y z dxdydzΩ=++其中Ω是由上半球面222z x y =--和锥面22z x y =+所围成的立体 . (7分) 解：作球面坐标变换：sin cos ,sin sin ,cos .x y z ρϕθρϕθρϕ=== 则2sin dxdydz d d d ρϕθϕρ=， :02,0,02.4πθπϕρΩ≤≤≤≤≤≤222I x y z dxdydz Ω=++2234000sin (22).d d d ππθϕϕρπ==-⎰⎰⎰3. 求锥面22z x y =+被柱面222x y x +=所割下部分的曲面面积 .（7分）解：锥面∑：22,(,)xy z x y x y D =+∈=22{2}.x y x +≤22xz x y'=+22yz x y '=+ 22122.xyxyx y D D S dS z z dxdy dxdy ∑''∴==++==⎰⎰4. 计算曲面积分222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰，其中∑是由22z x y =+，221xy +=，0,0,0x y z ===围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分）解：设Ω为∑所围立体，222,,,P z x Q x y R y z ===222,P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂由Gauss 公式，222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰222()xy z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰作柱面坐标变换：cos ,sin ,.x r y r z z θθ=== 则dxdydz rd drdzθ=，2:0,01,0.2r z r πθΩ≤≤≤≤≤≤ 2122205().48r I d rdr r z dz πθπ∴=+=⎰⎰⎰5.讨论级数312ln n n n∞=∑的敛散性. （6分）解：543124ln ln lim lim0,n n n nn nn→∞→∞⋅==312ln n nn ∞=∴∑收敛 .6. 把级数121211(1)(21)!2n n n n xn -∞--=--∑的和函数展成1x -的幂级数.（8分）解：设级数的和函数为()S x ，则 121211(1)()(21)!2n n n n S x x n -∞--=-=-∑2111(1)sin (21)!22n n n x x n --∞=-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑，(,).x ∈-∞+∞即111111()sin sin sin cos cos sin2222222x x x x S x ---⎛⎫⎛⎫==+=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭201(1)1sin 2(2)!2n n n x n ∞=--⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑2101(1)1cos 2(21)!2n n n x n +∞=--⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭∑2201(1)sin (1)2(2)!2nnnn x n ∞=-=⋅-⋅∑212101(1)cos (1),(,).2(21)!2n n n n x x n ∞++=-+⋅-∈-∞+∞+⋅∑四、 设曲线L 是逆时针方向圆周22()()1,()x a y a x ϕ-+-=是连续的正函数，证明：()2()Lxdy y x dx y ϕπϕ-≥⎰. （8分）证明：设22:()()1,D x a y a -+-≤由Green 公式， ()()()LDxdy Q P y x dx dxdy y x y ϕϕ∂∂-=-∂∂⎰⎰⎰1(())()Dx dxdy y ϕϕ=+⎰⎰（而D 关于y x =对称）1(())()Dx dxdy x ϕϕ=+⎰⎰1[2()]22.()D Dx dxdy dxdy x ϕπϕ≥⋅==⎰⎰⎰⎰即 ()2()Lxdyy x dx y ϕπϕ-≥⎰.2010-1011学年第二学期高等数学（2-2）期末考试A 卷参考答案一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1．22(1,0)ln(),yz xe x y dz =++=设则dy dx +3 .2．设xy y x y x f sin ),(+-=,则dx x x f dy y⎰⎰11 0),(=)1cos 1(21-.3．设函数21cos ,0()1,0xx f x xx x πππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x 为的()f x 的傅里叶级数的和函数，则(3)s π-= 212π+ .4．设曲线C 为圆周222R y x =+,则曲线积分ds x y x C⎰+）—（322=32R π . 二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1. 设直线L 为32021030,x y z x y z ++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z -+-=,则 （ C ） .(A) L 平行于平面π (B) L 在平面π上(C) L 垂直于平面π (D) L 与π相交，但不垂直 2．设有空间区域2222:x y z R Ω++≤，则222x y z dvΩ++等于（ B ）.(A) 432R π (B) 4R π (C) 434R π (D) 42R π 3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A)∑∞=+-1)1()1(n nnn n (B) ∑∞=+-+11)1(n nn n(C) nn e n -∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(n n nn4. 设∑∞=1n na 是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ）（A ） 若∑∞=1n na 收敛，则∑∞=12n na 也收敛 （B ）若∑∞=1n na 收敛，则11+∞=∑n n na a 也收敛（C ）若∑∞=1n na 收敛，则部分和nS 有界 （D ）若∑∞=1n na 收敛，则1lim 1<=+∞→ρnn n a a 三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分） 1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y xf u +=，求yx u ∂∂∂2.解：212f xyf xu+=∂∂)()(22222121211212f f x f f x xy xf yx u++++=∂∂∂221221131)2(22f f x xy yf x xf++++=2．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y xx L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=T ，)2,1(51=T52cos ,51cos ==βα13|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy yzy x z 函数在点（1,2）沿)2,1(=T 方向的方向导数为5375213511|)2,1(=⨯+=∂T3．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y xy x D .解dxdy xy dxdy y xdxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()(223000d r dr πθ=+⎰⎰ =π84. 设立体Ω由锥面22z x y =+及半球面2211z x y =+--围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量. 解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ 法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 204020r ：质量M =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydz z k dxdydz z y x ||),,(ρk =drr r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 204020⎰⎰⎰ 76kπ= . 法2：222222:1,:11D x y x y z x y ⎧+≤⎪Ω⎨+≤≤--⎪⎩(,,)||M x y z dxdydz k z dxdydzρΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰22111076r rkk d dr ππθ+-==⎰⎰⎰.法3：1222017||(1(1)).6kM k z dxdydz z z dz z z dz πππΩ==+--=⎰⎰⎰⎰⎰5．计算曲线积分⎰+++-=Cyx dyx y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=Cdyx y dx y x I 1)()(dxdy y Px Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x .6. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x的外侧．解：利用高斯公式，dxdydz x x yz dxdy zx xydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydz x ⎰⎰⎰Ω+2dxdydzz y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222.154sin 31104020πϕϕθππ==⎰⎰⎰dr r d d 7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数 .解:幂级数的收敛半径1=R ，收敛域为)1,1[-0≠x 时，1111)(+∞=∑+=n n x n x xS =01x nn x dx ∞=∑⎰01x n n x dx ∞==∑⎰0ln(1)1xxdx x x x==----⎰0=x 时，0)0(=S ，⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=∴00)1,0()0,1[)1ln(1)(x x xx x S四．证明题（本题4分）证明下列不等式成立：π≥⎰⎰Dx y dxdy ee ，其中}1|),{(D 22≤+=y x y x .证明：因为积分区域关于直线x y =对称， ⎰⎰⎰⎰=DDyxxy dxdy e edxdy e e⎰⎰=∴D x y dxdy e e 21）（⎰⎰⎰⎰+D D y xxy dxdy ee dxdy e e =π=≥+⎰⎰⎰⎰dxdy dxdy e e e e D y xx y 221(21）五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为},75:),{(22≤-+=xy y x y x D 小山的高度函数为.75),(22xy y x y x h +--= （1）设),(0y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(0y x g ，试写出),(0y x g 的表达式。
高等数学：第七讲 幂级数的和函数
s(x) ( an x n ) (an x n ) nan x n1 x R, R
n1
n1
n1
幂级数的和函数的求法
总结：当 n 在分母时，利用性质2，先求
导，后积分.
当 n 在分子时，利用性质1，先积
分，后求导.
例题2：
求幂级数 n1
1 n
xn
的和函数
S
(
x)
.
解
an
1 n
,
所以，收敛半径 R 1
f
x
x
s(t)dt
x
[
nt n1]dt
x nt n1dt xn
0
0
0
n1
n1
n1
因为： xn
x
n1 1 x
所以
S x
f
x
1
1 x2
x (1,1)
谢谢
un (x2 ) S2
n1
幂级数的和函数的概念xDSຫໍສະໝຸດ un(x) S xn1
我们称 S x 为函数项级数 un(x)的和函数，
此函数的定义域就是级数
un
(
x)
n的1 收敛域.
n1
特别地，当级数是幂级数anxn 时，它对
n0
应的和函数S x 称为幂级数的和函数.该函数
的定义域就是幂级数 anxn的收敛域.
收敛区间 (1,1)
由性质2得
Sx (
1 xn )
( 1 xn )
x n 1
n1 n
n1 n
n1
由例1得： xn1
1
所以
n1
1 x
S
x
x 0
S
'(t)dt
幂级数求和及其应用
幂级数求和及其应用摘要本文在学习了幂级数及幂级数求和的基本性质基础上，对幂级数的求和问题引进了8种方法，对幂级数的应用问题主要介绍了在数学和物理上的8个应用。
本文先从幂级数求和的两种最基本和最简单的方法入手，在这两种方法的基础上紧接着引进基本初等函数等方法，实现由简单到复杂，由具体到抽象，由一般到特殊的过度，进而运用高等数学的其他知识和通过查阅大量资料，简单的介绍了构造函数方程的三种方法，最后重点介绍了幂级数在数学和物理上的8个实际应用，即数学上的4个应用和物理学上的四个应用。
关键词：幂级数；和函数；收敛区间Several Methods about the Sum of Power SeriesAbstract.This paper study the power series and the power series summation, the basic properties of the foundation, on the power series and introduced the summation of 8 method, the power series of the application of mainly introduced in mathematical and physical eight applications. This paper first from the power series summation of two of the most basic and the simplest method of the two methods in based on the introduction of basic elementary function then and other methods, the realization from simple to complex, from the concrete to the abstract, from common to special excessive, and then use the higher mathematics knowledge and the other by consulting a large number of material, simple introduces structural function equation of the three methods, finally introduced the power series in mathematics and physics of the eight practical application, namely mathematical four application and physics on the four applications.key words：power series; And functions; Convergence interval目录摘要 (I)Abstract (II)前言 (2)1.幂级数求和的方法 (2)1.1逐项微分法 (2)1.2逐项积分法 (4)1.3拆项组合法 (5)1.4部分和极限法 (6)1.5 基本初等函数法 (7)1.6代数方程法【8】 (8)1.7微分方程法【9】 (9)1.8逐级递推法 (10)2.幂级数的应用 (12)2.1幂级数在数学上的应用 (12)2.2幂级数在物理学中的应用 (14)结束语 (16)参考文献 (17)前言幂级数及其求和是数学分析中最重要的内容之一，在高等数学中也有着广泛的应用，而幂级数的收敛及其求和也是高等数学中的难点之一，因此对幂级数的收敛及其求和的研究不仅有着重要的理论意义，还有着重大的实践意义，无论是在高等数学中还是在科学计算中，不管是在经济管理还是在实际生活中都有着广泛的应用. 本文讨论幂级数的结构为1n n n a x ∞=∑，通过举具体例子，引进了幂级数求和的8种方法，最后主要介绍了幂级数在数学和物理学中的应用，包括4个数学上的应用和4个物理学上的应用。
求幂级数的和函数
在高等数学中,求幂级数的和函数的一般步骤是什么?_ ：通常,首先求出幂级数的收敛半径,收敛区间如果幂级数有n、(n+1)等系数时,需要先将级数逐项积分,约掉这些系数,就可能化为几何级数了,然后求其和.当然,与积分对应的,一定记得将来对这个级数的和再求导数.同理,如果幂级数有1/n、1/(n+1)等系数时,需要先将级数逐项求导,也是为了约掉这些系数,化为几何级数,然后求其和.只是将来对这个级数的和再求积分.总之,有一次求导,将来就要对应一次积分,反之也一样.因为我们可以把求导和积分看成逆运算,这样做的目的是要将级数还原.【幂级数和函数求法的和函数怎么求?】：答案是1/[(1-x)^2] 采用先逐项求积分,再求导数即可解决. 具体过程见我刚做的图片:【什么叫函数展开成幂级数以及计算方法】：当x=0 时,S(0)=0.当x≠0 时,S(x) = ∑ n^2*x^n = x∑ [(n+1)n-n]*x^(n-1),S(x)/x = ∑ (n+1)n*x^(n-1) - ∑ n*x^(n-1)= [∑ x^(n+1)]'' - [∑ x^n]'= [x^2/(1-x)]'' - [x/(1-x)]' = 2/(1-x)^3- 1/(1-x^2) = (1+x)/(1-x)^3,得S(x) = x(1+x)/(1-x)^3,已包含了x=0 的情况.求幂级数和函数具体步骤!_ ：解:设S=∑[(-1)^n][x^(n+1)]/[(n+1)2^(n+1)],两边对x求导,有S'=∑[(-1)^n][x^n]/2^(n+1)=(1/2)∑[(-1)^n][(x/2)^n,而在丨x/2丨<1时,∑[(-1)^n][(x/2)^n=1/(1+x/2)=2/(x+2),即S'=1/(x+2),∴S=∫dx/(2+x)=ln(x+2)+C.又,x=0时,S=0,∴C=-ln2,∴S=ln(1+x/2).供参考.求幂级数的和函数,求详细步骤! ：写的表达式有误, n 应该从1 开始(x^n)/[n(n+1)] = (x^n)/n - (x^n)/(n + 1) = (x^n)/n - (1/x)[x^(n+1)]/(n + 1)前一项的无穷级数和为ln|1-x|后一项的无穷级数和为(1/x)ln|1-x| - x所以原式= ln|1-x| - (1/x)[ln|1-x| - x] = ( 1- 1/x)ln|1-x| + 1幂级数的和函数怎么求_ ：如果只是一般的1,x,x^2…baix^n当然直接使用公式得到[x^(n+1)-1]/(x-1)如果有系数du1,zhi2x,3x^2,…,dao(n+1)x^n就先专进行积分得到x,x^2…x^(n+1)相加之后再求导,得到和函数同理x,1/2 x^2,…,1/n x^n之类的就先进行求导,相加之后再积属分...。
求幂级数的和函数
幂级数的和函数幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
步骤：•求出收敛域.•在收敛区间上利用已知无穷级数的和函数或者逐项积分、逐项求导的方法求出和函数.•利用和函数的连续性, 考察上一步求出的和函数与原来函数在端点处是否相等.方法：求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定会出错。
一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an⋅xn与bn⋅xn两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan⋅xn±μbn⋅xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。
当R1≠R2时，上式的收敛半径为R=min{R1,R2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn⋅bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn−1+⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为R(R>0)，S(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导e69da5e887aa62616964757a686964616f31333433623736公式：∞∞∑∑S′(x)=(anxn)′=nanxn−1n=0n=0且，同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑S(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−kn=0它的收敛半径仍然为R。
高等数学(下)典型习题及参考答案
第八章典型习题一、 填空题、选择题1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是2、平行于向量}1,2,1{a -=的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为且与平面过点=--+-z y x4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线⎩⎨⎧==++Γ2102225、()==-=+=+=-δλδλ则平行与设直线,z y x :l z y x :l 1111212121()23A ()12B ()32C ()21D6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b -+=,则与b a 3-平行的单位向量为 ( )（A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-±（D ）}11,7,3{1791-± 7、曲线⎩⎨⎧==++2z 9z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为（ ）（A ）⎩⎨⎧==+2z 5y x 22 （B ）⎩⎨⎧==++0z 9z y x 222（C ）⎩⎨⎧==+0z 5y x 22 （D ）5y x 22=+8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的方程分别为251214:1+=+=+z y x L ，67313:2+=+=z y x L ，41312:3-=+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面11、方程05z 3y 3x 222=-+所表示的曲面是（ ）（A ）椭圆抛物面 （B ）椭球面 （C ）旋转曲面 （D ）单叶双曲面二、解答题1、设一平面垂直于平面0=z ，并通过从点)1,1,1(-P 到直线⎩⎨⎧=+-=010z y x 的垂线，求该平面方程。
幂级数的运算
x
=
2
1 −
x
∫0x[ xs(
x)]′dx
=
∫0x
2
1 −
dx x
2
xs( x) = [− ln(2 − x)]0x = ln 2 − ln(2 − x)
∞
∑
1
1 n2n
x n−1
=
1 2
+
2
x ⋅ 22
+
L
x = 0时，s( x) = 1 . 2
s(
x)
=
−1 x 1
ln(1
−
x ), 2
=
x
∞
∑
2
x n
n−1
−1
=
xg( x)
g′(
x)
=
∞
∑
x n−2
2
=
1
1 −
x
( x < 1)
g(
x)
−
g(0)
=
∫0x
1
1 −
dx x
=
−
ln(1
−
x)
g( x) = − ln(1 − x)
h( x)
=
∞
∑
2
xn n+1
=
1 x
∞
∑
2
x n
n+1
+1
g(
x)
=
∞
∑
2
x n−1 n−1
=
− ln(1
4 2x
∞
∑
2
(
n2
1 − 1)2n
=
s(1) 2
=
5 8
−
求幂级数的和函数时应注意的几个问题
［］ １ 同济大学应 用数学 系编． 积分 ［ ． 微 ］北京 ： 高等教育 出版社 ， ０ ８ ２ ２年 月． ０ ［］ ２ 同济大学应用数学系编． 高等数学 ［ ］北京 ： ． 高等教育出版社 ， ０ 年 ７ ２ ２ ０ 月．
解 因雨 塞一ｎ （，故 为１： （）， 一１ １ｈＥ １． ）
ａｃａ ＝ （ ｒｔ ） ｒｔｎｘ ａｃａ ＝
急 ｎ＋１
２
２ｌ ｎ ＋
（） ３
因级 丑 收 ， ａａ 在 ±处 续 以 ）应 为数 敛函 ｒｎ １连 ， （式 为 数 ｃ ｔｘ 所３
Ｓ ＝ ｃ ㈤ ＝ ＝ ， ， ，
逐 项积 分后所 得 的幂级 数和原 级数 有相 同 的收敛 半径．
（） 数∑ａ 的 数ｓ ） 收 ２ 幂级 ｎ 和函 （ 在其 敛区间 一 ，） 可 并且 逐项 公式 （ ＲＲ 内 导， 有 求导 ｓ ＝Ｅ ｎ ＝∑ （ ） ） ∑ａ （ ］ 。 ＝∑ｎ 一 。 ∈（ Ｒ— ， 一 ，） Ｒ
ａｔ ｒ ａ ｘ＝ ｃｎ
于是 ）…
＋
一
棚
㈠
一
川
＋
（） ４
主
ｎ
＝
ｈ＝ ຫໍສະໝຸດ ｌ －＋ 一
， －
因此
＝
－ ）一－ １一＿． ］＝ ７ １ ＂
由 ２见 不（的立围展 （， 法 ）幂数开求 等 例可 ， 将 ）成范扩为 ）无由 的级展式 ｝ 若 ３ ４则
的和．
的和．
［ 分析］ 幂级数展开有直接法与间接法 ， 一般考察间接法展开 ， 即通过适当的恒等变形、 求导
或积分等， 转化为可利用 已知幂级数展开的情形・ 本题可先求导 ， 再利用ｒ
＋… 即可 ， 然后取 为某特殊值 ， 得所求级数 的和．
专题17 级数求和
⎝ n=0
⎠ ⎝ n=0
⎠
=
⎜⎜⎝⎛
x2 1− x
⎟⎟⎠⎞″
+
⎜⎛ ⎝
1
x −
x
⎟⎞′ ⎠
=
⎜⎛ ⎝
−
(
x
+
1)
+
1
1 −
x
⎟⎞″ ⎠
+
⎜⎛ ⎝
−1
+
1
1 −
x
⎟⎞′ ⎠
= 3−x (1 − x)3
x ∈ (−1,1).
∑∞
【例 4】求幂级数
xn 的收敛域及和函数.
n=1 n(n +1)
【解】 易求得该幂级数收敛域为[−1,1] .
x)
∫ ∫ ∫ S(x) =
x S′(t)dt =
x
ln(1+ t)dt −
x
ln(1− t)dt
0
0
0
= (1+ x) ln(1+ x) + (1− x)ln(1− x)
又 S(1) = lim S(x) = 2ln 2, S(−1) = lim S(x) = 2ln 2,
x→1−
x →−1+
所以
∑∞
令 S(x) =
xn
n=1 n(n + 1)
当 0 < x ≤ 1时，
x ∈[−1,1] . 当 x = 0 时， S(x) = 0 .
∑ ∑ ∑ ∑ ∞
S(x) =
xn
= ∞ x n − ∞ x n = − ln(1 − x) − 1 ∞ x n+1
n=1 n(n + 1) n=1 n n=1 n + 1
求幂级数的和函数步骤
一、函数项级数的基本概念与收敛域的求解方法1、函数项级数相关的基本概念设函数u n(x)在集合D⊂R上有定义，称为D上的函数序列(或函数列). 称为定义在集合D上的函数项级数.如果对于任意一点x∈I⊂D，均存在u(x)，使得则称函数序列{ u n(x)}在点x处收敛，u(x)称为函数序列{ u n(x)}的极限函数，I称为函数序列{ u n(x)}收敛域.如果对于任一点x∈I⊂D，均存在S(x)，使得则称x为函数项级数的收敛点，I称为该函数项级数的收敛域，并且称函数S(x)为I上的函数项级数的和函数.若用S n(x)表示函数项级数前n项的和，即则称S n(x)为函数项级数前n项部分和函数. 并称为收敛域上的余项函数，并且有如果对于任一点x∈I⊂D，级数发散，则为函数项级数的发散点，I称为该函数项级数的发散域.2、函数项级数收敛域求解思路与步骤因为函数项级数的收敛域其实就是由所有收敛点构成的，而对于每个收敛点对应的函数项级数的收敛性的判定，其实对应的就发散区间+发散的端点=发散域 .二、幂级数的基本概念与收敛域的求解方法1、幂级数相关的基本概念幂级数是形式最简单，应用最广泛的一类函数项级数，是各项由幂函数组成的函数项级数. 幂级数的一般形式为特别令，则有其中a0,a1,…,a k,…都是实常数，称之为幂级数的系数．通过简单的变换x-x0=t，可以将幂级数的一般形式(1)转换为形式(2)．因此只需要讨论幂级数(2)的形式. 对于该级数也称为麦克劳林级数.2、求一般幂级数收敛域的基本步骤幂级数作为一类特殊的函数项级数，也适用于函数项级数收敛域的计算方法与步骤.一般的幂级数的收敛域的计算步骤为：第一步：借助于正项级数的比值审敛法或根值审敛法求收敛区间，即由令ρ(x)<1，解不等式求得幂级数的收敛区间。
第二步：借助于常值级数收敛性的判定方法判定幂级数在区间端点对应的常值级数的收敛性。
第三步：收敛区间加上收敛的端点构成幂级数的收敛域：收敛区间+收敛的端点=收敛域3、阿贝尔定理基于常值级数收敛性判定的比较审敛法，容易得到如下结论：定理1：(1) 若幂级数(1)在点x=a(a≠0)处收敛，则它对于满足不等式|x|<|a|的一切x都绝对收敛；(2) 若幂级数(1)在点x=a处发散，则它对于满足不等式|x|>|a|的一切x都发散．定理2：如果幂级数(1)既有不等于零的收敛点，又有发散点，则必存在唯一的正数R(0<R<+∞)，使得当x<|R|时，该幂级数绝对收敛；当x>|R|时，该幂级数发散．并称正数R称为幂级数(1)的收敛半径，而以原点为中心的对称区间(-R,R)称为幂级数(1)的收敛区间．通过判定收敛区间端点x=±R处的敛散性，容易计算得到幂级数(1)收敛域与发散域.规定：当幂级数(1)只在x=0处收敛时，规定其收敛半径R=0；当它在整个数轴上都收敛时，规定其收敛半径R=+∞．4、求标准幂级数收敛域的一般步骤标准幂级数是指幂级数项的指数是连续增长的正整数的级数，即展开后形式的级数，对于这样的级数由如下直接的收敛半径、收敛区间和收敛域计算方法与步骤：(1) 收敛半径：(2) 收敛区间即为(-R,R).(3) 判断端点x=±R的收敛性，收敛区间+收敛的端点=收敛域，发散区间+发散的端点=发散域 .【注】该步骤不适用于缺项的幂级数，如只有奇次幂或只有偶次幂的幂级数. 它们收敛域的计算适用于一般幂级数收敛域的计算方法与步骤，即函数项级数的判定方法.三、幂级数的运算性质1、幂级数的加减运算性质2、幂级数逐项可导，逐项可积性质（幂级数的和函数的连续性）幂级数的和函数S(x)在其收敛域上连续．反复应用上述结论可得：幂级数的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内具有任意阶导数．3、三个最基本函数的麦克劳林级数及其收敛域四、求幂级数和函数的基本步骤第一步：求收敛域.【注1】这一步也可以放在第二步后.第二步：通过换元，将幂级数转换为具有麦克劳林级数结构的级数表达式，即第三步：借助收敛域内幂级数的加减运算、逐项求导、逐项积分的解析性质，通过设幂级数和函数，对其两端分别进行求导、或积分运算将其转换为已知和函数的幂级数表达式。