高中数学必修四全部学案
高中数学必修四全部学案
向量的概念1、高中阶段，我们暂且把具有的量称为向量，如无特别说明，以后我们说到向量，都指。
2、具有方向的线段叫 ， 表示向量的方向，叫向量的长度，也称模。
3、 的有向线段表示同一向量或相等向量，记作。
4、通过有向线段AB 的直线，叫做向量AB 的 ，如果向量的基线，则称这些向量共线或平行，向量a 平行于b ，记作。
5、下列命题中，正确的是（） A=⇔= B>⇔> C ．⇔=∥D．0=⇔=6、如图，在中，E ，F 分别是AB 、CD 的中点， 图中的7个向量中，设=，=，则与相等的 向量有，与相等的向量有， 与平行的向量有，与共线的向量有。
课堂练习：1、给出下列四个命题①力、位移、速度、加速度都是向量 ②所有的单位向量都相等 ③共线的向量一定在同一条直线上 ④模相等的向量是相等的向量其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 2、下列结论中，正确的是（ ）A ．向量与共线和∥同义B ．零向量只有大小，没有方向C =b a =或b a -=D ．若两个向量共线，则这两个向量在同一条直线上 3、设P 、Q 是线段AB 的两个三等分点，以A 、P 、Q 、B 四个点中的两个点为起点和终点，则不同的有向线段最多可得（ ） A ．3条 B ．6条 C ．9条 D ．12条4、点O 是平面上一定点，点P 在点O “东偏北60°，3cm ”处，点Q 在点O “南偏西 30°，3cm ”处，则点Q 相对于点P 的位置向量是（ ） A ．“南偏西60°，6cm ” B ．“南偏西30°，3cm ” C ．“西偏南60°，6cm ” D ．“西偏南30°，3cm ”5、设O 为△ABC 的外心，则，，是（）A ．相等向量B ．平行向量C ．模相等的向量D ．起点相同的向量 6、把平面上所有单位向量的起点都平移到同一点时，它们的终点构成的图形是 。
高中数学必修四教案6篇
高中数学必修四教案6篇高中数学必修四教案篇1教学目标：1·进一步理解对数函数的性质，能运用对数函数的相关性质解决对数型函数的常见问题·2·培养学生数形结合的思想，以及分析推理的能力·教学重点：对数函数性质的应用·教学难点：对数函数的性质向对数型函数的演变延伸·教学过程：一、问题情境1·复习对数函数的性质·2·回答下列问题·（1）函数y=log2x的值域是；（2）函数y=log2x（x≥1）的值域是；（3）函数y=log2x（03·情境问题·函数y=log2（x2+2x+2）的定义域和值域分别如何求呢？二、学生活动探究完成情境问题·三、数学运用例1求函数y=log2（x2+2x+2）的定义域和值域·练习：（1）已知函数y=log2x的值域是[—2，3]，则x的范围是________________·（2）函数，x（0，8]的值域是·（3）函数y=log（x2—6x+17）的值域·（4）函数的.值域是_______________·例2判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=lg（2）f（x）=ln（—x）例3已知loga 0·75 1，试求实数a取值范围·例4已知函数y=loga（1—ax）（a 0，a≠1）·（1）求函数的定义域与值域；（2）求函数的单调区间·练习：1·下列函数（1）y=x—1；（2）y=log2（x—1）；（3）y=；（4）y=lnx，其中值域为R的有（请写出所有正确结论的序号）·2·函数y=lg（—1）的图象关于对称·3·已知函数（a 0，a≠1）的图象关于原点对称，那么实数m= ·4·求函数，其中x [，9]的值域·四、要点归纳与方法小结（1）借助于对数函数的性质研究对数型函数的定义域与值域；（2）换元法；（3）能画出较复杂函数的图象，根据图象研究函数的性质（数形结合）· 五、作业课本P70～71—4，5，10，11·高中数学必修四教案篇2教学准备教学目标掌握三角函数模型应用基本步骤：（1）根据图象建立解析式；（2）根据解析式作出图象；（3）将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型·教学重难点·利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型·教学过程一、练习讲解：《习案》作业十三的第3、4题3、一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=24500px/s2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的`水深的近似数值（精确到0·001）·（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1·5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1·5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0·3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。
高中数学必修四教案最新5篇
高中数学必修四教案最新5篇高中高二数学必修四教案篇一教学目标1、掌握平面向量的数量积及其几何意义；2、掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3、了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4、掌握向量垂直的条件。
教学重难点教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学工具投影仪教学过程一、复习引入：1、向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ五，课堂小结（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、课后作业P107习题2.4A组2、7题课后小结（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？课后习题作业P107习题2.4A组2、7题高一上册数学必修四教案篇二教学目标1、通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；2、明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示。
；3、让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性。
教学重难点教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”。
教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题。
教学过程由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。
例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。
高中数学必修4全部教案
高中数学必修4全部教案第一课：二次函数和一元二次方程目标：学生能够理解二次函数和一元二次方程的概念，能够应用二次函数和一元二次方程解决实际问题。
1.二次函数的定义和性质- 二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c- 二次函数的图像特征：开口方向、顶点、轴对称、判别式等- 二次函数的应用：抛物线运动等2.一元二次方程的概念和解法- 一元二次方程的标准形式：ax^2+bx+c=0- 一元二次方程的解的判别式- 一元二次方程的求解方法：配方法、公式法等练习题：1. 求解一元二次方程x^2-3x+2=0的解。
2. 已知二次函数y=2x^2-x+3，求其顶点坐标和判别式的值。
第二课：直线和方程组目标：学生能够掌握直线的一般方程和截距式方程，能够解决线性方程组的问题。
1. 直线的一般方程和截距式方程- 直线的一般方程：Ax+By+C=0- 直线的截距式方程：x/a+y/b=1- 直线的性质和应用：直线的倾斜角、截距等2. 线性方程组的概念和解法- 线性方程组的消元法- 线性方程组的解的情况：唯一解、无解、无穷解练习题：1. 求解线性方程组2x+3y=5，4x-6y=8的解。
2. 已知直线L的方程为3x-4y=8，求L的截距。
第三课：数列和等差数列目标：学生能够理解数列和等差数列的概念，能够应用数列和等差数列解决实际问题。
1. 数列的定义和性质- 数列的概念：数列的项、通项公式等- 数列的性质：等差数列、等比数列等- 数列的求和公式2. 等差数列的概念和应用- 等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d- 等差数列的性质：首项、公差、通项等- 等差数列的求和公式：Sn=n/2*(a1+an)练习题：1. 求下列等差数列的前n项和：1,3,5,7,...2. 求等差数列2,5,8,...的第10项。
以上是高中数学必修4的教案内容，希望能够对学生的学习有所帮助。
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°＝Leabharlann °＝＝°≈°． 角的概念推广后 , 在弧度制下 , 与之间建立起一一对应的关系 : 每个角都有唯一的一个实数
( 即 ) 与它对应 ; 反过来 , 每一个实数也都有 ( 即 ) 与它对应。 ． 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：
角 的弧度数的绝对值 | | （ l 为弧长， r 为半径）
弧长公式： 扇形面积公式：
. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个，即任一与角α终边相同的角，都可 以表示成。
．象限角、轴线角的概念 我们常在 直角坐标系 内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的与重合，角的与重合。那 么，角的 ( 除端点外 ) 落在第几象限，我们就说这个角是。 如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为。 象限角的集合
目录
第一章 三角函数
1.1.1 任意角……………………………………………………………………………… 1.1.2 弧度角 ……………………………………………………………………………… 1.2.1 任意角的三角函数 () ……………………………………………………………… 1.2.1 任意角的三角函数 () ……………………………………………………………… 1.2.2 同角三角函数的关系 () …………………………………………………………… 1.2.2 同角三角函数的关系 () …………………………………………………………… 1.2.3 三角函数的诱导公式 () …………………………………………………………… 1.2.3 三角函数的诱导公式 () …………………………………………………………… 1.2.3 三角函数的诱导公式 () …………………………………………………………… 1.3.1 三角函数的周期性 ………………………………………………………………… 1.3.2 三角函数的图象和性质 () ………………………………………………………… 1.3.2 三角函数的图象和性质 () ………………………………………………………… 1.3.2 三角函数的图象和性质 () …………………………………………………………
高中数学必修4全套教案
高中数学必修4全套教案一、教案总体设计教学目标：1.掌握基本的数学概念和数学方法；2.建立具体的数学思想和数学思维；3.发展数学思维能力和创新意识；4.提高解决实际问题的能力。
教学重点：1.数学思维的培养和发展；2.数学概念的理解和掌握；3.数学方法的灵活运用。
教学难点：1.数学概念的深入理解；2.数学方法的灵活运用。
二、教案详细设计授课时数：40课时第一课时：引入和概述教学内容：1.数学的定义和基本概念；2.数学方法的分类和应用；3.数学的发展历程和重要作用。
教学目标：1.理解数学的定义和基本概念；2.了解数学方法的分类和应用；3.掌握数学的发展历程和重要作用。
教学步骤：1.引入：通过举例和提问导入数学的定义和基本概念。
2.概述：对数学方法的分类和应用进行简要介绍。
3.总结：归纳数学的发展历程和重要作用。
第二课时：集合与映射教学内容：1.集合的定义和表示方法；2.集合的运算和性质；3.映射的定义和性质。
教学目标：1.掌握集合的定义和表示方法；2.熟练运用集合的运算和性质；3.理解映射的定义和性质。
1.引入：通过实例讲解集合的定义和表示方法。
2.讲解：详细介绍集合的运算和性质。
3.演练：通过练习题巩固集合的运算和性质。
4.总结：总结集合的概念和运算规则。
第三课时：函数与方程教学内容：1.函数的定义和性质；2.方程的定义和解法；教学目标：1.理解函数的定义和性质；2.掌握方程的定义和解法；3.熟练应用函数与方程进行问题求解。
教学步骤：1.引入：通过例题引入函数的定义和性质。
2.讲解：详细介绍方程的定义和解法。
3.演练：通过例题和练习题巩固方程的解法。
...第四十课时：总结与回顾1.回顾全套教案的重点和难点；2.总结学过的数学知识和方法；3.展望数学在实际生活和科学研究中的应用。
教学目标：1.温习并巩固学过的数学知识和方法；2.总结数学在实际生活和科学研究中的应用。
教学步骤：1.回顾：复习全套教案的重点和难点。
高中数学必修4教案6篇
高中数学必修4教案6篇教学目标1、把握平面对量的数量积及其几何意义；2、把握平面对量数量积的重要性质及运算律；3、了解用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4、把握向量垂直的条件。
教学重难点教学重点：平面对量的数量积定义教学难点：平面对量数量积的定义及运算律的理解和平面对量数量积的应用教学工具投影仪教学过程一、复习引入：1、向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ五，课堂小结（1）请学生回忆本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、课后作业P107习题2.4A组2、7题课后小结（1）请学生回忆本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？课后习题作业P107习题2.4A组2、7题高中数学必修4优秀教案篇二教学预备教学目标一、学问与技能（1）理解并把握弧度制的定义；(2)领悟弧度制定义的合理性；(3)把握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；(4)娴熟地进展角度制与弧度制的换算；(5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系。
(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。
二、过程与方法创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并把握弧度制的定义，领悟定义的合理性。
依据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式。
以详细的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器。
三、情态与价值通过本节的学习，使同学们把握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。
【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页 附答案)
【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色． 解析 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色． 答案 红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析 钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间． 答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________． 解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一． 答案 一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． 答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案． 答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上． 答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限． 解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限． 答案 一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解 因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算 常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度． 【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________． 答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一 角度与弧度的互化【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【训练1】 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 解 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析 由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错． 答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________． 答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。
高中数学必修4全套教案
高中数学必修4全套教案第一课：三角函数的概念和基本关系教学目标：了解三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切的基本性质和关系。
教学内容：1. 三角函数的定义和符号表示2. 正弦、余弦、正切的定义和计算3. 三角函数的基本性质和关系教学步骤：1. 引入：通过实际生活中的例子引出三角函数的概念，并介绍三角函数的定义和符号表示。
2. 讲解：详细讲解正弦、余弦、正切的定义，让学生掌握如何计算不同角度的三角函数值。
3. 练习：让学生进行一些简单的计算练习，巩固对正弦、余弦、正切的理解。
4. 总结：总结本节课的重点内容，强调三角函数之间的基本关系和性质。
教学资源：教材、黑板、粉笔、练习题第二课：三角函数的图像和性质教学目标：掌握三角函数的图像特征和性质，能够根据函数的性质进行分析和解题。
教学内容：1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特征2. 三角函数的周期性和奇偶性3. 三角函数的极值和最值教学步骤：1. 引入：通过观察三角函数的图像，引导学生发现其特征和规律。
2. 讲解：详细讲解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特点，以及它们的周期性、奇偶性等性质。
3. 练习：让学生通过练习题巩固对三角函数图像和性质的理解。
4. 拓展：引导学生思考三角函数在实际问题中的应用，培养解决问题的能力。
教学资源：教材、黑板、粉笔、练习题、实物示例第三课：三角函数的应用教学目标：掌握三角函数在解决实际问题中的应用方法，能够灵活运用三角函数进行计算和分析。
教学内容：1. 三角函数在几何和物理问题中的应用2. 三角函数在工程和建筑中的应用3. 三角函数在日常生活中的实际应用教学步骤：1. 引入：通过实际案例引出三角函数在不同领域的应用，激发学生的兴趣。
2. 讲解：详细讲解三角函数在几何、物理、工程、建筑等领域的应用方法和计算原理。
3. 练习：让学生通过练习题和实际问题进行实践操作，培养解决问题的能力。
4. 总结：总结本节课的重点内容，强调三角函数在实际生活中的重要性和应用价值。
高中数学必修4教案全套
高中数学必修4教案全套一、教学目标1.了解导数的概念和性质；2.掌握常见函数的导数计算方法；3.能够应用导数解决实际问题。
二、教学重难点1.导数的概念和性质；2.函数的导数计算方法。
三、教学过程1.导数的概念和性质的讲解（1）导数的概念：若函数y=f(x)在某点x=a处的导数存在，则导数值为f'(a)，表示函数在该点处的变化率；（2）导数的性质：导数是切线的斜率，导数为0的点为函数的极值点。
2.常见函数的导数计算（1）常数函数：f(x)=c的导数为0；（2）幂函数：f(x)=x^n的导数为nx^(n-1)；（3）三角函数：sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)。
3.应用导数解决实际问题（1）求函数在某点处的切线斜率；（2）求函数的最大值和最小值；（3）求曲线的切线方程。
四、教学反馈1.练习题：计算函数f(x)=3x^2的导数；2.思考题：如何利用导数求解最优化问题？教案二：几何向量的基本性质一、教学目标1.了解向量的概念和性质；2.掌握向量的表示方法和运算规则；3.能够应用向量解决几何问题。
二、教学重难点1.向量的概念和性质；2.向量的加法和减法运算规则。
三、教学过程1.向量的概念和性质的讲解（1）向量的定义：具有大小和方向的量叫做向量；（2）向量的性质：平移不变性、相等向量性质。
2.向量的表示和运算（1）向量的表示方法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，有向线段的长度表示向量的大小；（2）向量的加法和减法：向量之间可以进行加法和减法运算，按照平行四边形法则进行。
3.应用向量解决几何问题（1）向量的共线性和共面性；（2）向量的平行和垂直关系；（3）向量的投影和模长计算。
四、教学反馈1.练习题：已知向量a=(1,2)和向量b=(3,-1)，求向量a+b的大小和方向；2.思考题：如何利用向量解决平面几何题目？以上是高中数学必修4教案的部分内容，希望能对您有所帮助。
最新高中数学必修四教案 全套【5篇】
最新高中数学必修四教案全套【5篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中必修四数学全套教案
高中必修四数学全套教案第一课：直线与平面一、知识点概述1. 直线的性质：直线是一次元的图形，有无限多个点，两个点确定一条直线。
2. 平面的性质：平面是一个二维的图形，有无限多个点，三个点确定一个平面。
3. 直线与平面的关系：直线可以在平面内或平面外，也可以与平面相交，平行或垂直。
二、教学目标1. 了解直线与平面的基本性质。
2. 掌握直线与平面的关系及相互位置关系。
3. 能够运用直线与平面的知识解决相关问题。
三、教学重点1. 直线与平面的性质及关系。
2. 直线与平面的交点位置关系。
四、教学内容1. 直线的基本概念及性质。
2. 平面的基本概念及性质。
3. 直线与平面的关系及相互位置关系。
五、教学步骤1. 导入：通过一个生活中的例子引入直线与平面的概念。
2. 讲解：介绍直线与平面的基本性质及关系。
3. 练习：让学生进行练习，巩固所学知识。
4. 拓展：引导学生拓展应用直线与平面知识的情况。
5. 总结：对本节课所学内容进行总结。
六、评价方式1. 课堂练习成绩。
2. 学生提问问题的情况。
3. 课后作业完成情况。
第一课教案完整版：教学目标：了解直线与平面的基本性质，掌握直线与平面的关系及相互位置关系，能够运用知识解决相关问题。
教学重点：直线与平面的性质及关系，直线与平面的交点位置关系教学内容：直线的概念和性质平面的概念和性质直线与平面的关系及相互位置关系教学步骤：引入：通过一个实际生活中的例子引入直线与平面的概念。
讲解：介绍直线与平面的基本性质及关系，图示说明。
练习：让学生进行练习，巩固所学知识。
拓展：引导学生拓展知识，探讨其他情况。
总结：对本节课所学内容进行总结，强调重点。
评价方式：课堂练习成绩学生提问问题的情况课后作业完成情况这是第一课的教案范本，其他课程的教案内容和教学步骤可根据实际情况进行编写。
高中数学必修四全部学案
——《必修四》（试用）基本初等函数1。
1。
1角的概念的推广一、复习： 角的概念：（1）在初中我们把有公共顶点的 组成的 叫做角，这个公共顶点叫做角的 ，这两条射线叫做角的 。
(2)角可以看成是一条射线绕着它的 从一个位置旋转到另一个位置所成的 。
二、自主学习：自学53P P ，回答： 1。
正角、负角、零角：一条射线绕着它的端点旋转有两个相反方向：方向和 方向，习惯上规定：按照 方向旋转而成的角为正角；按照 方向旋转而成的角为负角，当射线没有 时为零角。
注意：（1）在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的 和旋转的 ，旋转生成的角，又常叫做 角。
（2）引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α—β可以化为，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的。
2.终边相同的角：设α表示任意角，所有与α终边相同的角以及α本身组成一个集合，这个集合可记为S ＝ 。
终边相同的角有 个，相等的角终边一定 ，但终边相同的角不一定 。
3.象限角：在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做 ，如果终边在坐标轴上，就认为这个角 属于任何象限。
三、典型例题：1。
自学4P 、5P 例1、例2、例4完成练习A 2。
自学5P 例3完成下面填空：终边落在x 轴正半轴上角的集合表示为 终边落在x 轴负半轴上角的集合表示为终边落在x 轴上角的集合表示为终边落在y 轴正半轴上角的集合表示为 终边落在y 轴负半轴上角的集合表示为 终边落在坐标轴上角的集合表示为.第一象限角的集合表示为 第二象限角的集合表示为三原县北城中学高一数学导学案第三象限角的集合表示为 第四象限角的集合表示为3。
补充例题：例5。
已知α是第一象限的角，判断2α、α2分别是第几象限角？练习：7P 练习B2、3、5 4。
小结： 5。
作业：1.在“①160°②480°③－960°④－1600°”这四个角中属于第二象限角的是（ ）A.①B.①②C.①②③D.①②③④2.下列命题中正确的是（ ）A.终边相同的角都相等B.第一象限的角比第二象限的角小C.第一象限角都是锐角D.锐角都是第一象限角3.射线OA 绕端点O 逆时针旋转120°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转270°到达OC 位置，则∠AOC ＝（ ）A.150°B.－150°C.390°D.－390°4.如果α的终边上有一个点P （0，－3），那么α是（ ） A.第三象限角 B.第四象限角 C.第三或四象限角 D.不属于任何象限角5.与405°角终边相同的角（ ）A. k ·360°－45° k ∈zB. k ·360°－405° k ∈zC. k ·360°+45° k ∈zD. k ·180°+45° k ∈z6.（2005年全国卷Ⅲ）已知α是第三象限角，则2α所在象限是（ ）A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限7.把－1050°表示成k ·360°+θ（k ∈z ）的形式，使θ最小的θ值是8.（2005年上海抽查）已知角α终边与120°终边关于y则α的集合S ＝.9.已知β终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界）， 那么β∈10。
高中数学必必修4教案
高中数学必必修4教案
课时安排：共30课时
教学目标：
1. 熟练掌握高中数学中各章节的重要概念和方法；
2. 培养学生的数学思维能力和分析问题的能力；
3. 培养学生解决实际问题的能力；
4. 培养学生对数学的兴趣和学习的积极性。
教学内容：
第一章：数列与数学归纳法
1. 数列的概念和性质；
2. 等差数列、等比数列的概念和性质；
3. 数学归纳法的基本思想和应用；
4. 应用题训练。
第二章：函数
1. 函数的概念和性质；
2. 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质和图像；
3. 函数的运算和复合函数；
4. 函数方程的解法；
5. 应用题训练。
第三章：三角函数
1. 弧度制和角度制；
2. 基本三角函数的概念和性质；
3. 三角恒等式的推导和应用；
4. 其他三角函数的性质和图像；
5. 应用题训练。
第四章：数学分析
1. 极限的概念和性质；
2. 连续性和导数的概念；
3. 函数的导数和微分；
4. 函数的极值和最值；
5. 应用题训练。
教学方法：
1. 以案例和实例引导学生理解概念和方法；
2. 鼓励学生勤于思考和多动手实践；
3. 引导学生积极参与课堂讨论和小组合作；
4. 经常性地进行课堂练习和作业训练。
教学评估：
1. 定期进行小测验和期中、期末考试；
2. 关注学生的学习情况和问题，及时给予指导和帮助；
3. 鼓励学生进行数学建模和研究性学习，提高其解决实际问题的能力。
高中数学必修四全套教案(精选.)
高中数学必修四全套教案1.1．1 任意角教学目标（一） 知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三） 情感与态度目标1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课：1．角的有关概念： ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：③角的分类：④注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边顶点AO B例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意：⑴ k ∈Z⑵ α是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}．例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：③象限角；④终边相同的角的表示法． 5．课后作业：①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2α各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限，正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°(k ∈Z)因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k ∈Z) 故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角． 又k ·180°+90°＜2α＜k ·180°+135°(k ∈Z) ． 当k 为偶数时，令k=2n(n ∈Z)，则n ·360°+90°＜2α＜n ·360°+135°(n ∈Z) ， 此时，2α属于第二象限角 当k 为奇数时，令k=2n+1 (n ∈Z)，则n ·360°+270°＜2α＜n ·360°+315°(n ∈Z) ， 此时，2α属于第四象限角 因此2α属于第二或第四象限角．1.1.2弧度制（一）教学目标（四） 知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．（五） 过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题 （六） 情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美． 教学重点弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． 二、新课： 1．引 入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考：（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=rr③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. rl 4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ②将弧度化为角度：︒=3602π；︒=180π；815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad ；︒=) 180 (πn n ． 5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．αα⋅=⇒=r l rl弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把67°30＇化成弧度． 例2．把rad 53π化成度． 例3．计算：4sin)1(π；5.1tan )2(．例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：319)1(π；︒-315)2(． 例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(π；631)2(π-． 解: (1),672319πππ+=而67π是第三象限的角,319π∴是第三象限角.(2) 631,656631ππππ-∴+-=- 是第二象限角. .,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为R,∴扇形的圆心角大小为Rlrad, ∴扇形面积lR R R l S 21212=⋅=．证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=，又此时弧长180R n l π=，∴R l R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π． 可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．22121:R lR S α==扇形面积公式7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别． 8．课后作业： ①阅读教材P 6 –P 8；②教材P 9练习第1、2、3、6题； ③教材P10面7、8题及B2、3题．4-1.2.1任意角的三角函数（三）教学目的：知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
新课标高一数学教案必修四5篇
新课标高一数学教案必修四5篇高中必修书籍是必不可少的，教师们应当有好的教案，今天作者在这里整理了一些新课标高一数学教案必修四5篇最新，我们一起来看看吧!新课标高一数学教案必修41高中数学必修教案一、教学进程1.复习。
反函数的概念、反函数求法、互为反函数的函数定义域值域的关系。
求出函数y=x3的反函数。
2.新课。
先让学生用几何画板画出y=x3的图象，学生纷纭动手，很快画出了函数的图象。
有部分学生发出了“咦”的一声，由于他们得到了以下的图象(图1)：教师在画出上述图象的学生中选定生1，将他的屏幕内容通过教学系统放到其他同学的屏幕上，很快有学生作出反应。
生2：这是y=x3的反函数y=的图象。
师：对，但是怎么会得到这个图象，请大家讨论。
(学生展开讨论，但找不出原因。
)师：我们请生1再给大家演示一下，大家帮他找找原因。
(生1将他的制作进程重新重复了一次。
)生3：问题出在他挑选的次序不对。
师：哪个次序?生3：作点B前，挑选xA和xA3为B的坐标时，他先挑选xA3，后挑选xA，作出来的点的坐标为(xA3，xA)，而不是(xA，xA3)。
师：是这样吗?我们请生1再做一次。
(这次生1在做的进程当中，按xA、xA3的次序挑选，果然得到函数y=x3的图象。
)师：看来问题确切是出在这个地方，那么请同学再想想，为何他采取了毛病的次序后，恰好得到了y=x3的反函数y=的图象呢?(学生再次陷入摸索，一会儿有学生举手。
)师：我们请生4来告知大家。
生4：由于他这样做，正好是将y=x3上的点B(x，y)的横坐标x与纵坐标y交换，而y=x3的反函数也正好是将x与y交换。
师：完全正确。
下面我们进一步研究y=x3的图象及其反函数y=的图象的.关系，同学们能不能看出这两个函数的图象有什么样的关系?(多数学生回答可由y=x3的图象得到y=的图象，于是教师进一步追问。
) 师：怎么由y=x3的图象得到y=的图象?生5：将y=x3的图象上点的横坐标与纵坐标交换，可得到y=的图象。
数学必修4教案
数学必修4教案数学必修4教案(10篇)作为一位不辞辛劳的人民教师，常常需要准备教案，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。
那么写教案需要注意哪些问题呢？以下是小编帮大家整理的数学必修4教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
数学必修4教案1教学目标1.使学生了解奇偶性的概念，回会利用定义判定简单函数的奇偶性。
2.在奇偶性概念形成过程中，培养学生的观察，归纳能力，同时渗透数形结合和非凡到一般的思想方法。
3.在学生感受数学美的同时，激发学习的爱好，培养学生乐于求索的精神。
教学重点，难点重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判定难点是对概念的熟悉教学用具投影仪，计算机教学方法引导发现法教学过程一.引入新课前面我们已经研究了函数的单调性，它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质，今天我们继续研究函数的另一个性质。
从什么角度呢？将从对称的角度来研究函数的性质。
对称我们大家都很熟悉，在生活中有很多对称，在数学中也能发现很多对称的问题，大家回忆一下在我们所学的内容中，非凡是函数中有没有对称问题呢？（学生可能会举出一些数值上的对称问题，等，也可能会举出一些图象的对称问题，此时教师可以引导学生把函数具体化，如和等。
）结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于轴对称和关于原点对称问题，而我们还曾研究过关于轴对称的问题，你们举的例子中还没有这样的，能举出一个函数图象关于轴对称的吗？学生经过思考，能找出原因，由于函数是映射，一个只能对一个，而不能有两个不同的，故函数的图象不可能关于轴对称。
最终提出我们今天将重点研究图象关于轴对称和关于原点对称的问题，从形的特征中找出它们在数值上的规律。
二.讲解新课2.函数的奇偶性（板书）教师从刚才的图象中选出，用计算机打出，指出这是关于轴对称的图象，然后问学生初中是怎样判定图象关于轴对称呢？（由学生回答，是利用图象的翻折后重合来判定）此时教师明确提出研究方向：今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律？学生开始可能只会用语言去描述：自变量互为相反数，函数值相等。
高中数学必修4全一册课堂导学案(28份) 人教课标版26(精品教案)
高中数学必修4全一册课堂导学案（28份）人教课标版26（精品教案）2.4.1 向量在几何中的应用课堂导学三点剖析一、向量在平面几何中的应用因为向量有两个特征――长度和方向.所以成为数学中一个典型的数与形的有机结合.如全等、相似、长度、夹角、平行、垂直等问题.在解决这些问题时可考虑应用向量的线性运算和数量积问题.通过对问题的深入分析，认识向量的工具性作用，培养创新精神和解决实际问题的能力.【例】如下图，平行四边形中，点是的中点，点在上，且1，求证：、、三点共线. 3思路分析：共线问题，一般情况下可化成向量共线，再利用向量共线的条件证明. 证明：设AB，AD，1AB，211∴MB.∴MCMBBC.2211BD，∴BN（）. 又BN3311∴MNMBBN（）2311. 63∵BDADAB，MB∴MCMN.∴、、三点共线.各个击破类题演练如图，已知为△的重心，为平面上任一点，求证：PG1（PAPBPC）. 3证明：设三条中线分别为、、.所以有GD11AD.由向量的中线公式有GD（GBGC），32AD1（ABAC）， 21（ABAC）.① 31同理，GAGB（CACB），②31GAGC(BABC)，③31①②③得（GAGBGC）(ABBAACCACBBC).3所以GBGC所以GAGBGC.所以PGPGPGPG（PAAG）（PBBG）（PCCG）（PAPBPC）（AGBGCG）PAPBPC.所以PG1（PAPB）. 3变式提升如图，为△的外心，为三角形内一点，满足OEOAOBOC.求证：AE⊥BC.思路分析：要证AE⊥BC，即证AE・BC，选取基底{OB，OC}，将AE，BC表示出来即可.证明：∵BCOCOB，AEOEOA（OAOBOC）OAOBOC，∴AE・BC（OCOB）・（OCOB）OCOB.∵为外心，∴OCOB，即AE・BC. ∴AE⊥BC.二、向量在解析几何中的应用一般地，对于直线方程而言，向量（，）为该直线的方向向量，向量（，）与直线垂直，又称（，）为直线的法向量，有了方向向量和法向量，我们就可以用向量来研究平面内两条直线的位置关系，即两直线平行、垂直、夹角等问题. 【例】求过点（，）且平行于向量（，）的直线方程.思路分析：利用向量法来解决几何问题时，要将线段看成向量并用端点坐标来表示. 解法一：直线与（，）平行，∴直线斜率2. 3∴直线方程为2(),即. 3解法二：过点且平行于向量的直线是唯一确定的，把这条直线记为，在上任取一点（），则AP∥.如果点不与点重合，由向量平行，它们的坐标满足的条件为.解法三：设()为所求直线上任意一点，由题意知AP∥，而AP（）(),∴()・()・,化简得，即为所求直线的方程. 类题演练在△中，已知（，），（，），（，），求边上的高所在的直线方程.思路分析：在过点的直线上任取一点，由已知直线的方向坐标得法向量的坐标，利用AC・求出直线方程.解：与边平行的向量为AC（，），设（）是所求直线上任一点，BP（）,所以边上的高所在直线方程为AC・（）,即. 变式提升设（，），（，），点在直线上，且CA・CBAC・ABBA・BC，求〈CA,CB〉. 思路分析：本题利用向量的数量积运算与解析几何的联系. 解：设（），∵点在直线上，x?(?1)y?2,整理，得方程?323，）. 251则AC（，）AB()BC().225∴AC・AB，CA・CB,BA・BC，4∴，∴（又∵CA・CBAC・ABBA・BC，∴（5）(). 4∴33.解得±.2427. 7∴〈CA,CB〉面对着学习，你就要有毅力。
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基本初等函数1。
1。
1角的概念的推广一、复习： 角的概念：（1）在初中我们把有公共顶点的 组成的 叫做角，这个公共顶点叫做角的 ，这两条射线叫做角的 。
(2)角可以看成是一条射线绕着它的 从一个位置旋转到另一个位置所成的 。
二、自主学习：自学53P P ，回答： 1。
正角、负角、零角：一条射线绕着它的端点旋转有两个相反方向：方向和 方向，习惯上规定：按照 方向旋转而成的角为正角；按照 方向旋转而成的角为负角，当射线没有 时为零角。
注意：（1）在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的 和旋转的 ，旋转生成的角，又常叫做 角。
（2）引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α—β可以化为，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的。
2.终边相同的角：设α表示任意角，所有与α终边相同的角以及α本身组成一个集合，这个集合可记为S ＝ 。
终边相同的角有 个，相等的角终边一定 ，但终边相同的角不一定 。
3.象限角：在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做 ，如果终边在坐标轴上，就认为这个角 属于任何象限。
三、典型例题：1。
自学4P 、5P 例1、例2、例4完成练习A 2。
自学5P 例3完成下面填空：终边落在x 轴正半轴上角的集合表示为 终边落在x 轴负半轴上角的集合表示为终边落在x 轴上角的集合表示为终边落在y 轴正半轴上角的集合表示为 终边落在y 轴负半轴上角的集合表示为 终边落在坐标轴上角的集合表示为.第一象限角的集合表示为第二象限角的集合表示为第三象限角的集合表示为 第四象限角的集合表示为3。
补充例题：例5。
已知α是第一象限的角，判断2α、α2分别是第几象限角？练习：7P 练习B2、3、5 4。
小结： 5。
作业：1.在“①160°②480°③－960°④－1600°”这四个角中属于第二象限角的是（ ）A.①B.①②C.①②③D.①②③④2.下列命题中正确的是（ ）A.终边相同的角都相等B.第一象限的角比第二象限的角小C.第一象限角都是锐角D.锐角都是第一象限角3.射线OA 绕端点O 逆时针旋转120°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转270°到达OC 位置，则∠AOC ＝（ ）A.150°B.－150°C.390°D.－390°4.如果α的终边上有一个点P （0，－3），那么α是（ ） A.第三象限角 B.第四象限角 C.第三或四象限角 D.不属于任何象限角5.与405°角终边相同的角（ ）A. k ²360°－45° k ∈zB. k ²360°－405° k ∈zC. k ²360°+45° k ∈zD. k ²180°+45° k ∈z6.（2005年全国卷Ⅲ）已知α是第三象限角，则2α所在象限是（ ）A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限7.把－1050°表示成k ²360°+θ（k ∈z ）的形式，使θ最小的θ值是8.（2005年上海抽查）已知角α终边与120°终边关于y则α的集合S ＝.9.已知β终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界）， 那么β∈°10。
在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并说明它们是哪个象限角： ①－45° ②760° ③－480°1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算一、复习：（1）1度角是指把圆周 等份，其中每一份所对的圆心角的度数。
这种用 来度量角的制度叫角度制。
（2）设圆心角为0n 的圆弧长为l ，圆的半径为r ，则l = ；rl= 。
二、自主学习：自学课本7P -9P 回答：1。
1弧度的角：长度等于 的圆弧所对的圆心角。
这种用 来度量角的制度叫弧度制。
弧度记作 。
2。
圆心角或弧长公式：在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为αrad ，则α= ；l = 。
3。
角度与弧度的换算： 360°= rad ；1800 = rad ； 1°＝ rad ≈ rad ； n °＝ rad 1 rad ＝≈＝；αrad ＝4.完成下面的填空：5。
角的集合与实数集R 之间是 对应关系。
6. 设扇形的圆心角是αrad ，弧长为l ，半径为r ， 则扇形面积公式S ＝＝三、典型例题：自学课本9P -11P 例1-例5完成练习A 、B 四、小结： 五、作业：1。
0120等于（ ）radA. 3πB. 4πC. 2π D. 32π2.65π等于 （ ） A 。
030 B 。
060 C 。
0120 D 。
0150 3.α＝－2rad ，则α终边在（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（ ） A. 1B.21 C.6π或π65 D.3π或35π5.扇形圆心角为3π，半径为R ，则扇形内切圆面积与扇形面积之比（ ） A.1：3B.2：3C.4：3D.4：96。
0240= rad; —35π= 度；0225= rad; 8π= 度。
7.一个扇形弧长为5cm ，面积为5cm 2,则这个扇形圆心角的弧度数8.在1小时15分时，时针和分针所成最小正角是 弧度。
1。
1任意角的概念及弧度制习题课 一、复习：1。
正角、负角、零角的概念 2。
与α终边相同的角如何表示？ 3。
象限角是如何定义的？ 4。
用弧度表示终边落在 x 轴上的角的集合表示为 终边落在y 轴上的角的集合表示为 终边落在坐标轴上的角的集合表示为 5。
用弧度表示终边落在第一象限的角的集合表示为 终边落在第二象限的角的集合表示为 终边落在第三象限的角的集合表示为 终边落在第四象限的角的集合表示为 6。
0360= rad ；01= rad ≈ rad ；π= 度；n °＝ rad 1rad ＝≈＝；αrad ＝7。
设扇形的圆心角是αrad ，弧长为l ，半径为r ， 则l = ；扇形面积公式S ＝＝二、典型例题：例1。
已知α＝1680°（1）把α改写成k ²360°+β（k ∈z ，0°≤β＜360°）的形式。
（2）把α改写成β+2k π(k ∈z ，0≤β＜2π)的形式。
（3）求θ，使θ与α终边相同且－360°＜θ＜360°并判断θ属第几象限。
例2 .若集合A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+〈〈+Z k k k ,23242ππαππα， B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈〈〈-Z k k k ,2342παππα 求A ∩B ；A ∪B例3如图扇形AOB 的面积为4cm 2,周长为10cm ，求AB 弧的长及扇形中心角α三、练习：12P 习题1-1A 、B 补充：1.已知下列各角①787°②-957°③-289°④1711°，其中在第一象限的角是（ ）A.①②B.②③C.①③D.②④2.已知集合M ＝｛第一象限角｝，N ＝｛锐角｝，P ＝｛小于90°的角｝，则下列关系式中正确的是（ ）A. M ＝N ＝PB. M PC. M ∩P=ND. N ∪P ⊆P3.下列各组两个角中，终边不相同的一组角是（ ）A.－43°与677°B.900°与－1260°C.150°与630°D.－120°与960°ABO⊂ ≠4.设集合M ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k Z k k ,4,2ππααπαα， N ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k ,4πββ，则集合M 与N 关系是（ ）A.M NB.M NC.M ＝ND.M ∩N ＝φ5.下列诸命题中，假命题是（ ）A.“度”与“弧度”是度量角两种不同的度量单位B.一度的角是周角的3601，一弧度的角是周角的π21C.根据弧度定义，180°一定等于π弧度D.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关 6.三角形三个内角之比为2：5：8则各角的弧度数分别为。
7。
终边在直线y=3x 上的角表示为。
8。
将下列各角化成2k π+α（k ∈z ，0≤α＜2π）的形式，并确定其所在象限 ①619π②π631-四、小结： 五、作业：1.若α、β终边相同，则α－β的终边在（ ）A.x 轴正半轴B.y 轴正半轴C.x 轴负半轴D.y 轴负半轴2. 已知α是第四象限角，则2α是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第二或第四象限角3. .若－2π＜α＜β＜2π，则α－β的范围是（ ）A.－π＜α－β＜0B.－2π＜α－β＜0C.－2π＜α－β＜πD.－π＜α－β＜2π4.终边在直线y=x 上的角的集合为（ ）A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,4ππααB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,43ππαα ⊃ ≠⊂ ≠C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,42ππαD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,432ππαα 5.集合M ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ,52ππαα，N ＝{}παπα〈〈-，则M ∩N 等于（ ） A.｛－103,5ππ｝B.｛54,107ππ-｝ C.｛107,54,103,5ππππ--｝ D.｛107,103ππ-｝ 6.一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（ ）A.1B.21C.6π或π65 D.3π或35π7.扇形的圆心角为72°，半径为5cm ，圆心角= rad;它的弧长为;面积为。
8.与－496°终边相同的角是；它是第象限角，它们中最小正角是 ,最大负角是。
9.（2005吉林调研）如图动点P 、Q 从点A （4，0）出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转3π弧度。
点Q 按顺时针方向每秒钟转6π弧度，则P 、Q 第一次相遇时P 、Q 点各自走过的弧度 为，。
1.2.1任意角的三角函数一、复习：锐角三角函数的定义：如图：设P(x,y)是角α终边上不同于原点的任意一点，P Ｍ⊥x 轴，∣ＯＰ∣＝r ， 当α为锐角时sin α= ;cos α= ;tan α=.二、自主学习：自学14P -16P 完成下面的填空：１。
三角函数的定义：设P(x,y)是角α终边上不同于原点的任意一点，∣ＯＰ∣＝r ，(r=22y x +，r ＞0)则：sin α= ;cos α= ;tan α= . sec α= ;csc α= ;cot α= . 思考：三角函数是函数吗？ 2. 三角函数的定义域：完成下表３。