线性代数 复变函数教学大纲

线性代数复变函数教学大纲
课程代码：12209
课程名称：线性代数复变函数
英文名称：Linear Algebra Complex Functions
课程总学时：28 （其中理论课28 学时，实验0 学时）学分： 2
课程类别：必修课课程性质：专业基础课
先修课程：高等数学
面向专业：机械系各专业
开课单位：基础学科部
一、课程的性质、地位和任务
线性代数及复变函数是数学学科中的一门重要基础课程, 客观存在应用于管理学科和技术学科
的各个领域，对于培养面向21世纪人才起着重耍的作用，它是理工科大学生必备的基本知识。

其课程性质为专业基础课，因此在教学改革中，应该以“学以致用”为基本原则，在强化基本原理和基本知识的同时，重点培养学生的基本技能。

这是本课程教学改革的定位点。

《线性代数》属于工程数学类基础理论课。

由于线性问题广泛存在于技术科学的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题。

特别是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组，求矩阵的特征向量等已经成为工程技术人员经常遇到的课题，因此该课程所介绍的方法广泛地应用于这些领域的各个学科，这就要求理工科学生必须具备有线性代数基本理论知识，并熟练地掌握它的方法。

《复变函数》是物理与电子信息学类各专业的基础理论课，通过本课程的学习，使学生掌握处理电子信息问题的一些基本数学方法，为进一步学习数字信号处理等后续课程提供必要的数学基础。

为学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，并使学生具备一定的解决实际问题的能力。

课程的基础性体现在对于机械系各专业的学生都要学习和掌握线性代数及复变函数的基本原理
及应用本课程的数学方法解决实际问题的能力。

按照“宽基础、厚知识、强能力、高素质”的人才培养要求，以基础理论教育为主线，以培养学生解决实际问题的能力为核心，建构了以学科建设为支撑、以课程教学改革为依托、以理论学习与实际应用相结合为主体的课程教学新体系。

本课程的目的是为了适应机械系各专业学生培养目标的要求。

课程的任务是向学生系统地介绍线性代数及复变函数，要求较好地理解线性代数和复变函数的抽象理论,具有严谨逻辑推理能力,空间想象能力,运算能力和综合运用所学的知识分柝问题和解决问题的能力.领会其分析与解决问题的基本
思路和方法。

二、课程的教学目标
（一）理论、知识方面
本课程的学习旨在使学生掌握学生系统地获得线性代数和复变函数的基本知识，切实掌握所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，具有较熟练的运算能力和初步解决实际问题的能力。

为后继课程的学习奠定良好的数学基础。

（二）能力、技能方面
通过本课程的教学，除了使学生了解必要的线性代数知识和技能之外，还必须使学生对线性代数基础理论有较深的了解。

培养学生的抽象思维的能力。

以便融会贯通地运用线性代数的工具去解决理论上和实践中遇到的问题。

主要包括以下几个方面：
1、理解线性代数和复变函数的基本知识和基本概念；
2、掌握线性代数和复变函数的基本知识和必要的基本运算技能；
3、掌握运用数学方法分析问题和解决问题的基本方法和技巧，从而为学生学习后续课程及进一步提高打下必要的数学基础。

4、培养学生的抽象思维和逻辑思维能力；
三、课程教学内容与要求
（一）线性代数（16学时）
1. 教学内容及基本要求
教学内容如下：
第一章的教学内容有：n阶行列式的性质、行列式计算的主要方法、Cramcr法则及其推论。

第二章的教学内容有：矩阵的概念，矩阵的代数运算：加法、数乘、乘法、转置、方阵取行列式、方阵求逆、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩。

第三章的教学内容有：n维向量及其线性相关性的概念、判定、主要性质和定理、向量组的最大无关组与秩。

第四章的教学内容有：线性方程组的消元解法、线性方程组的解的结构。

基本要求如下：
第一章行列式
（1）掌握行列式的六条主要性质的结论，会运用这些性质进行行列式的简化。

（2）理解代数余子式的概念，掌握行列式按行(列)展开从而降阶的方法。

（3）对于确定阶数(≤4阶)的行列式，会通过化简为三角形求值，或化简后展开、降阶计算。

（4）理解Cramer法则，掌握其关于齐次方程组的推论。

第二章矩阵与矩阵的初等变换
（1）理解矩阵的概念(包括矩阵的元素、阶数)，掌握矩阵的表示法。

了解一些常用的特殊矩阵，如行(列)矩阵、零矩阵、方阵、上(下)三角阵、单位阵等。

（2）熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置运算及其运算律，理解矩阵一般不可交换和不可消去的原理；理解线性变换和线性方程组的矩阵形式；理解对称阵的定义及其性质。

（3）熟练掌握方阵可逆的定义；掌握用伴随阵求逆阵的方法；掌握用逆阵解线性方程组和简单矩阵方程的方法。

（4）了解分块矩阵的概念。

（5）理解矩阵的行(列)初等变换及矩阵的等价性概念；熟练掌握矩阵的行初等变换。

（6）理解矩阵的秩的定义；熟练掌握用初等变换求秩的方法。

（7）理解初等阵的定义及其性质；熟练掌握用初等变换求逆阵的方法。

第三章向量的线性相关性
（1）理解n维向量的概念；熟练掌握向量的线性运算；
（2）理解线性组合、线性表示等概念。

理解一组向量线性相关、线性无关的定义和充要条件：熟练掌握判别一组向量线性相关性的基本方法；会用定义和充要条件进行简单的论证判定。

（3）理解向量组的最大无关组的定义和性质，理解向量组的秩的定义。

会求一组向量组的最大无关组。

第四章线性方程组
（1）熟练掌握用方程组的增广矩阵(或系数矩阵，对于齐次方程组)作行初等变换解方程组的一般
方法。

（2）了解齐次方程的解空间的概念；熟练掌握基础解系和通解的求法；会求非齐次方程组的通解。

2. 重点、难点
重点：n阶行列式的性质、行列式计算的主要方法、Cramcr法则及其推论；矩阵的概念，矩阵的代数运算、方阵取行列式、方阵求逆、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩；n维向量及其线性相关性的概念、判定、主要性质和定理、向量组的最大无关组与秩；线性方程组的消元解法、线性方程组的解的结构。

难点：n阶行列式的性质及计算的主要方法；矩阵的概念，方阵求逆、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩；n维向量及其线性相关性的概念、判定、主要性质和定理、向量组的最大无关组与秩；线性方程组的解的结构。

（二）复变函数（12学时）
1. 教学内容及基本要求
教学内容如下：
第一章的教学内容有：复数的概念及各种表示、复数的四则运算及乘方、开方运算及它们的几何意义；复数的指数形式、区域的有关概念及复平面的概念、扩充复平面的概念；用复数方程来表示常用曲线及用不等式表示区域的方法、复变函数及映射的概念、复变函数与一对二元实函数的关系；复变函数的极限与连续的概念。

第二章的教学内容有：复变函数的导数的定义、求导的方法；解析函数的定义、函数解析的充要条件；指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、及它们的解析性质、运算性质。

基本要求如下：
第一章复数与复变函数
（1）熟练掌握的概念及各种表示、复数的四则运算及乘方、开方运算，了解复数运算的几何意义。

（2）理解复数的指数形式、区域的有关概念及复平面的概念、复连通区域和复球面等概念。

（3）掌握一些曲线的复数表达式，了解复变函数及映射的概念、复变函数与一对二元实函数的关系。

（4）理解复变函数的概念，了解复变函数的极限和连续的概念。

第二章解析函数
（1）了解复变函数的可导的概念。

（2）理解掌握解析函数的定义、函数解析的充要条件，掌握判别函数解析性的方法。

（3）理解初等复变函数：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、及它们的解析性质、运算性质。

2. 重点、难点
重点：复数的运算，用复数方程表示曲线；函数解析性的判断，解析函数的充要条件。

难点：复数的运算，用复数方程表示曲线；函数解析性的判断，解析函数的充要条件。

四、实践教学内容与要求
五、学时分配
六、大纲说明
1.本大纲每章节的讲授均包括习题课,教师可以在讲授过程中根据具体情况适当安排习题课。

2.根据本大纲要安排好教学进程,并选好教学用书和教学参考书。

七、推荐教材及参考书
[1] 何明伟主编．线性代数．兰州：兰州大学出版社，2005.5．
[2] 陈洪主编．复变函数与积分变换．北京：高教出版社，2007.5．
[3] 西安交大．《复变函数》．北京：高等教育出版社1994年。

执笔：何明伟审阅：×××审批：×××。