高考数学(文)大一轮复习检测：第一章 集合与常用逻辑用语 课时作业2(含答案)

课时作业2 命题及其关系.充分条件与必要条件
一.选择题
1.已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2
＋b 2
＋c 2
≥3”的否命题是( ) A.若a ＋b ＋c ≠3，则a 2
＋b 2
＋c 2
<3 B.若a ＋b ＋c ＝3，则a 2
＋b 2
＋c 2
<3 C.若a ＋b ＋c ≠3，则a 2
＋b 2
＋c 2
≥3 D.若a 2
＋b 2
＋c 2
≥3，则a ＋b ＋c ＝3
解析：同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题. 答案：A
2.命题“若△ABC 有一内角为π
3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )
A.与原命题同为假命题
B.与原命题的否命题同为假命题
C.与原命题的逆否命题同为假命题
D.与原命题同为真命题
解析：原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π
3
”，它是真命题.
答案：D
3.设x ，y ∈R ，则x >y 的一个充分不必要条件是( ) A.|x |>|y | B.x 2
>y 2
C.x >y
D.x 3
>y 3
解析：选项A ，B 中均有x <y 的可能，选项D 中的条件为x >y 的充要条件，只有选项C 中的条件为x >y 的充分不必要条件.
答案：C
4.设a ，b ∈R ，那么“a b
>1”是“a >b >0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：当a b >1时，a ，b 可以为负值，不一定有a >b >0；反之，当a >b >0时，一定有a b
>1.故选B.
答案：B
5.已知函数f(x)的定义域为实数集R，则“f(x)是奇函数”是“|f(x)|是偶函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
解析：若f(x)是奇函数，则|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，则|f(x)|为偶函数；反之，如f(x)＝cos x，则|f(x)|＝|cos x|为偶函数，但f(x)＝cos x不是奇函数，故“f(x)是奇函数”是“|f(x)|是偶函数”的充分不必要条件.
答案：A
6.“x<1”是“log1
2
x>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：当x<1时，log1
2x未必有意义，故充分性不成立；当log1
2
x>0时，一定有x<1，所
以“x<1”是“log1
2
x>0”的必要不充分条件.
答案：B
7.已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；
②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；
③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题.
A.①③
B.②
C.②③
D.①②③
解析：本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题的条件和结论先都否定再互换，故①正确，②错误，③正确，选A.
答案：A
8.命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A.a≥4
B.a>4
C.a≥1
D.a>1
解析：要使“对任意x ∈[1，2)，x 2
－a ≤0”为真命题，只需a ≥4.∴a >4是命题为真的充分不必要条件.
答案：B 二.填空题
9.命题“若x >0，则x 2
>0”的否命题是________命题.(填“真”或“假”) 解析：其否命题为“若x ≤0，则x 2
≤0”，它是假命题. 答案：假
10.有下列几个命题：
①“若a >b ，则a 2
>b 2
”的否命题；
②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2
<4，则－2<x <2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________.
解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2
≤b 2
”错误.②原命题的逆命题为“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确.③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2
≥4”正确.
答案：②③
11.已知p ：x ≥k ，q ：3
x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是________.
解析：不等式
3x ＋1<1，等价于3－x ＋1x ＋1<0，等价于x －2x ＋1
>0，等价于(x ＋1)(x －2)>0，其解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞).p 是q 的充分不必要条件等价于[k ，＋∞)为(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，所以k >2，即k 的取值范围是(2，＋∞).
答案：(2，＋∞)
12.已知p ：－4<k <0，q ：函数y ＝kx 2
－kx －1的值恒为负，则p 是q 的________条件. 解析：－4<k <0⇒k <0，且Δ＝k 2
＋4k <0，所以函数y ＝kx 2
－kx －1的值恒为负；反过来，函数y ＝kx 2
－kx －1的值恒为负不一定有－4<k <0，如当k ＝0时，函数y ＝kx 2
－kx －1的值恒为负.
答案：充分不必要
1.(2017·湖北黄冈质检)设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x ||x |≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )
A.－1<x ≤1
B.x ≤1
C.x >－1
D.－1<x <1
解析：由题意可知，x ∈A ⇔x >－1，x ∉B ⇔－1<x <1，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是－1<x <1.故选D.
答案：D
2.对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是( ) A.m ⊥n ，n ∥α B.m ∥β，β⊥α C.m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α D.m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α
解析：因为m ⊥β，n ⊥β，所以m ∥n ，又n ⊥α，所以m ⊥α. 答案：C
3.(2016·北京卷)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b | ＝|a －b |”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：取a ＝－b ≠0，则|a |＝|b |≠0，|a ＋b |＝|0|＝0，|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b |≠|a －b |， 故由|a |＝|b |推不出|a ＋b |＝|a －b |.由|a ＋b |＝|a －b |，得|a ＋b |2
＝|a －b |2
，整理得
a ·
b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a |＝|b |，故由|a ＋b |＝|a －b |推不出|a |＝|b |. 故“|a |
＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件. 故选D.
答案：D
4.已知函数f (x )＝1
3x －1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条
件.(用“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分也不必要”填写).
解析：若f (x )＝13x －1＋a 是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0，∴1
3－x －1＋
a ＋13x －1＋a ＝2a ＋3x 1－3x ＋13x －1＝0，即2a ＋3x
－11－3x ＝0，∴2a －1＝0，即a ＝12，f (1)＝12＋1
2＝1，若f (1)＝1，即f (1)＝12＋a ＝1，解得a ＝1
2，代入得，f (－x )＝－f (x )，f (x )是奇函数，∴“f (1)
＝1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件.
答案：充要
5.若方程x 2
－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________. 解析：方程x 2
－mx ＋2m ＝0对应二次函数f (x )＝x 2
－mx ＋2m ，若方程x 2
－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，则f (3)<0，解得m >9，即方程x 2
－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m >9.
答案：m >9。