11-12(1)高数练习题chap1-chap3-2-08-11学生
高数(I)11-12(2)试卷Ban答案
1．已知向量(1,2,1)a =- ，(1,0,2)b =- ，则a b = （ A ）（A ） 1- （B ） 1 （C ） 3 （D ）3-2．(,)lim x y →= （ B ） （A ）3 （B ）6 （C ）不存在 （D ）∞3. 下列关于多元函数的可微（指全微分存在）、可导（指偏导数存在）和连续的说法正确的是 （ B ）（A ）可微⇔可导⇒连续（B ）可微⇒可导，可微⇒连续 （C ）可微⇒可导⇒连续 （D ）可导⇒连续，但可导不一定可微4. 两直线182511 :1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-.32,6 :2z y y x L 的夹角为（ D ）。
（A ） 6 π； （B ） 4 π； （C ） 2 π；（D ） 3π。
5. 以(0,0,0),(0,0,1),(1,2,2)O A B 为顶点的三角形的面积等于（ C ）（A ）2 （B （C （D ）31．设(,)ln(2)f x y x y =+，则(1,0)x f =__ 1______． 2.过点(1,2,-且平行于平面3240x y z +-+=的平面方程是 3x+2y-z-8=0 .3. 函数)ln(22z y x u ++=在点)1 ,0 ,1(A 处沿A 点指向)2 ,2 ,3(-B 点的方向导数为 ，在点)1 ,0 ,1(A 处方向导数的最大值为 ，最小值为 。
4．设D 是由1x y +=，1x y -=所围成的闭区域，则2D dxdy =⎰⎰． 5. 求8_______Dxyd σ=⎰⎰，其中D 是由直线y x =，1y =及2x =所围成的闭区域．6.设曲面∑由曲线L :22310x y z ⎧-=⎨=⎩，绕x 轴旋转而成，则∑在点(1,1,1)处的单位法向量为± 7设曲线L :22231x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩，在点(1,1,1-处的切线的对称式方程是111__________110x y z --+==-1．已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面:2210x y z π++-=，求点P 的坐标．解：令22(,,)4F x y z z x y =++-，则曲面上任一点处切平面的法向量()(),,2,2,1x y z n F F F x y ==平面π的法向量1(2,2,1)n =1221,221x y n n ∴== ，即1,1x y == 则22(1,1)42z x y =--=故求得(1,1,2)P2．求函数333z xy x y =--极值．解：解方程组22330330x y z y x z x y ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩得驻点：(0,0),(1,1). 6,3,6xx xy yy A z x B z C z y ==-====-在点(0,0)处，290AC B -=-<，故(0,0)不是极值点。
1112高等数学C(一)试题解答
3.
dy (2 x x 2 )e x 设y x 2 e x，则 =_______ . dx
知识点：积的求导法则
一、 填空题（每小题3分，共15分） f (ln x ) x 4.已知 e 是f ( x )的原函数,求 dx x
解
1 C x
.
知识点：原函数与不定积分的关系,基本积分公式
2
2
知识点：基本求导公式，导数的四则运算, 隐函数求导方法
解 方程两边对 x 求导得 2 yy 2 y 2 xy 0 dy y = . 解得 dx y x
2 dy y( y x ) y( y 1) y 2 xy = . = 3 2 （y x ） dx ( y x)
1 － 1. 当x 0时， cos x与ax sin x是
等价无穷小， a ___ . 则
知识点：无穷小的比较，等价无穷小性质， 无穷小替换定理.
1 2
1 2 解 当x 0时，－cos x x ,ax sin x ax 2 1 2 1 2 x 1－ cos x 1 1 2 lim lim 2 1 a . x 0 ax sin x x 0 ax 2 2a
= e x , f ( x) (e )
x
1 f (ln x ) 1 f (ln x ) e , 2, x x x f (ln x ) 1 1 x d x x2 d x x C
ln x
另解
f (ln x ) d x f (ln x ) d ln x u ln x f ( u) d u x 1 u ln x e C e C C x
弧长
b
dy
11-12(1)高数练习题chap1-chap3-2-08-11学生.doc
Chap1-chap3 练习题 2填空题、选择题与计算证明、X1.函数f{x) = In工一二+1在区间(0,2)内零点的个数为个.e1 4- r2.设函数lim——，有关函数丸以间断点的正确结论 ________I” ] +尤盘(A)存在间断点x=\ (B)不存在间断点(C)存在间断点户0 (D)存在间断点户-13.设函数f(x)的导函数在x =-处连续，又lim旦口二一1,则( )2 xK cos x2(A) x =-是/(x)的极大值点(B) x =-是/(x)的极小值点2 27T 7T IT TT 7T(C) (-,/(-))是/(%)的拐点(D) x =-非极值点，且U,/(-))也非拐点3 i4.函数f(x) = x--x3在下列区间上不满足拉格朗日中值定理条件的是( ).27(A) [0,1] (B)[.1,1] (C) [0,——](D)[.1,0]85.函数/(x)在。
点的去心邻域内有界，是极限存在的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分非必要条件6.当XT O时，/(x) = (l-cos%)ln(l + 2x2)与下列哪个函数是同阶无穷小((A) %3 (B) x5 (C) / (D) X2(参考答案：2； A； B； B； B； C)填空题1.抛物线y = x2-4x + 3在顶点处的曲率是.[x = f(l +sin/) ,2.函数y(x)由参数方程｛确定，则)/ = ____________ .\^y = tCOSt f3.y = x2 sin x,则｝?(2<X)9,(O) =.、rt 工'—尤+ 4 |4.设lim ------------------- = A.贝I J Q= ____ , A= ______ .—1 X 一 15.曲线y = lnx上一点尸的切线经过原点(0,0),则点P的坐标为 .J_6.)，=肥^的铅直渐近线是o—!—； -2009x2008 = -4034072； 4^6 ； (e,l)； x=0)(参考答案：2;71-\ ----------------------------------二、选择题1.设工—0时，/一(口亍+版+C)是比工2高阶的无穷小，其中a,b,c是常数，则( )(A) a = l,/? = 2,c = 0 (B) a = 2,b = 0,c = 2 (C) Q =1,/?=O,C =1 (D) a = b = l,c = O 2* I，启02.设f(x) = h + D ，则( )0 ,x = 0(A) /3)在x=O处间断(B) /3)在x=O处连续但不可导(C) /3)在.r=O处可导，但导数在x=0处不连续(D) /.(])在x=O处有连续导数3.曲线y = 23 4-"在x = 2处的切线方程是( )(A) xln2+y = l (B) x+yln2 = l (C) «dn2+y = 21n2 (D) xln2 + y = l + 21n24.函数在点的以下结论正确的是( )(A)若广(气)=0,)〃30)= 0 ,则 g 必是一个极值；(B)若/#(x o) = O ,则点(x0,/(x0))必是曲线y = /(x)的一个拐点;(C)若/(尤)在气处可微，则f 3)在气点的某邻域内有界且连续；(D)若lim/?[/(x0 + —)-/(x0)]存在(〃为正整数)，则/⑴ 在x()点可■导。
11-12-1高数(一)期终考试试题答案及评分标准(A)
| | | | | | | |装| | | | |订|| | | | |线| | | | | | | | |防灾科技学院2011~2012学年 第 一 学期期末考试《高等数学（一）》试卷（A ） 使用班级 11级本科 答题时间_120分钟（本试卷理工、财经各专业通用，共三页24道题）一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共 15 分。
）1、设22()54,()(1)x x x x x αβ=-+=-，则当1x →时，（ D ）。
A. ~αβ B. αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小C.αβ是比高阶的无穷小 D. 低阶的无穷小是比βα2、设2,1(),1ln x xf x x a b x ≤⎧=⎨>+⎩在点1=x 处可导，则,a b 的值为（ B ）。
A. 0,1a b == B. 1,2a b == C. 1,12a b == D. 1,0a b == 3、设⎰++=dx x x x I sin 1cos ，则I =（ D ）。
A. 2(1cos )x C ++ B. a r c s i n x x C ++C. l n 1c o s x C ++D. ln sin x x C ++4、在[0,1]上''()0f x >，0)('<x f ，则其在区间[0,1]上为（ B ）。
A.单调增，凹 B. 单调减，凹 C. 单调增，凸 D. 单调减，凸5．下列反常积分中发散的是（ C ）。
A. 211dx x +∞-∞+⎰ B. 1+∞⎰C.1dxx⎰D. 1⎰二、 填空题（本大题共5小题，每题3分，共15 分。
）6、n nn n n sin lim3++∞→= 0 ；7、设x x x f ln )1(+=+，则()''=f x 2)1(1--x ；8、已知)(x f 的一个原函数是)tan 1(x x +，⎰='x x f x d )(则C x x +22sec ；9、微分方程y x y 2'=的通解是 3x Ce ；10、用待定系数法求解二阶常系数非齐次线性常微分方程xe x y y y 2//)4(23+=+'-的特解时，所设特解的形式为=*y x e b ax x 2)(+。
高数复习题 11-12上 (含答案)
高等数学（一）复习参考参考书目：《高等数学》第六版上册同济大学数学系编高教出版社考试涉及范围：第一章函数与极限极限的计算（包括两个重要极限的运用）；无穷小的比较；连续性的判断、间断点的类型；利用零点定理或介值定理证明方程存在根．第二章导数与微分导数：求导法则、隐函数导数、高阶导数、参数方程导数（求一阶导数和二阶导数）；微分．第三章微分中值定理与导数的应用中值定理证明等式或不等式；洛必达法则求极限；函数的单调性与单调区间；利用单调性证明不等式；曲线的凹凸性与拐点；函数的极值与最值．第四章不定积分不定积分的计算：换元积分、分部积分；第五章定积分定积分的性质；定积分的计算：换元积分、分部积分；无穷限反常积分与敛散型．第六章定积分的应用平面图形的面积与体积．第七章微分方程特解与通解的概念及求解：可分离变量的微分方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；二阶常系数齐次微分方程．考试题型：一、选择题（每小题3分，共5小题，共15分）二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分）三、计算题（每小题7分，共5小题，共35分）考点：求极限；隐函数与参数方程求导；不定积分计算；定积分计算；微分方程．四、应用题（第一小题11分，第二小题7分，共18分）考点：面积；体积；最值．五、证明题（每小题7分，共2小题，共14分）考点：证明不等式；证明等式．注意：以下内容不考：泰勒公式；曲率；函数图形的描绘；方程的近似解；反常积分的审敛法；极坐标的问题；弧长的计算；定积分在物理上的应用；二阶常系数非齐次微分方程．《祝考试顺利！》高等数学（一）复习题目参考一、选择题 1．函数216ln 1x xx y -+-=的定义域为（ ） A ．)1,0(∪]4,1( B ．]4,0( C ．)4,0( D ．)1,0(∪)4,1( 2．下列函数中表示相同函数的是（ ） A ．2)1ln()(x x x x f -=与||)1ln()(x x x g -= B ．2ln )(x x f =与||ln 2)(x x g =C ．)]1(ln[)(-=x x x f 与x x x g ln )1ln()(+-=D ．)1()(-=x x x f 与1)(-=x x x g3．下列函数中是有界函数的是（ ）A ．x x y sin =B ．x e y =C ．)32sin(2+-=x x y D ．11ln2+=x y 4．21+=-x e y 的反函数是（ ）A ．)1ln(-=x yB ．)2ln(-=x yC ．2)1ln(+-=x yD ．1)2ln(+-=x y 5．下列函数中是奇函数的是（ ）A.sin y x x =⋅B.2x x e e y -+=C ．2ln(1)y x =+D.ln(y x = 6．xx e 10lim →=A.0B.∞+ C ．∞- D ．不存在 7．下列等式中，正确的是( ) A.∞=∞→xx em i l B ．e x m i l xx =-→10)1(C ．11=∞→x ni s x m i l x D ．)()(a f x f m i l ax =→ 8．下列各极限正确的是（ ）A.e x x x =-∞→)11(limB.111sinlim 0=→xx x C ．e x x x =--∞→1)11(lim D ．0sin sin tan lim 30=-→xx x x9．已知2lim e x a x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→，则a =（ ）A.2B.1 C ．2- D ．1-10．20lim 13xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.∞ B.1 C ．6e - D ．23e-11．当0→x 时，若112-+x 与ax 是同阶无穷小，则a =（ ）A.21B.1 C ．2 D ．3 12．当0→x 时，下列无穷小量中与x 等价的是（ ）A.2100x x + B.22x x - C ．x x sin 22+ D ．x 13．当0→x 时，)1ln(x x +-是2x 的（ ）A. 低阶无穷小 B ．高阶无穷小 C ．等价无穷小 D ．同阶但非等价无穷小 14．当0→x 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量？（ ）A. 2x B ．x cos 1- C ．112--x D ．x x tan -15．设xxx f sin )(=，则函数)(x f （ ） A.在0=x 处左极限不存在 B ．有跳跃间断点0=x C ．在0=x 处右极限不存在 D ．有可去间断点0=x16．函数 设11)(11+-=xxe e xf ，则0=x 是)(x f 的（ ）A.可去间断点B.跳跃间断点 C ．第二类间断点 D ．连续点17．1=x 是函数221()32x f x x x -=-+的（ ）A.可去间断点B.跳跃间断点 C ．无穷间断点 D ．振荡间断点18．函数)1(2-=x x x y 在),(∞+-∞上的间断点情形是（ ）A.有一个间断点B. 有一个可去间断点和一个不可去间断点 C ．没有间断点 D ．有两个不可去间断点19．函数)(x f 在点0x 可导是)(x f 在点0x 处可微的（ ）条件；函数)(x f 在点0x 连续是)(x f 在点0x 处可导的（ ）条件；函数)(x f 在点0x 可导是)(x f 在点0x 处连续的（ ）条件．A ．充分 B.必要 C ．充要 D ．既不充分也不必要20．设函数)(x f y =在x 处成立关系式 ,)(x o y d y ∆=-∆下列结论中错误的是（ ） A ．)(x f y =在x 处可微 B.)(x f y =在x 处可导 C ．)(x f y =在x 处连续 D ．以上都不对21．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin)(x x xx x f ，()f x 在0=x 处（ ）A.不连续； B ．连续但不可导；C ．可导，但导数在该点不连续；D ．导函数在该点连续22．若函数⎩⎨⎧>+≤=11)(2x b ax x x x f 在1=x 处连续且可导，则（ ）A ．1,2-==b a B.0,1==b a C ．3,2=-=b a D ．2,1=-=b a 23．曲线x x y 22-=上切线平行于x 轴的点是（ ） A ．)1,1(- B.)1,1( C ．)0,2( D ．)2,0(24．曲线262y x x =-+在点(1,3)-处的切线与y 轴交点的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(0,2) C ．(0,3)- D ．(0,1)- 25．设1232)(610-+-=x x xx f ，则=-)1()10(f （ ）A ．!10 B.!20 C ．!102⋅- D ．!102⋅ 26．设x x f sin )(=，则=')]([x f f （ ）A ．)sin(sin x B.)cos(sin x C ．)sin(cos x D ．)cos(sin cos x x ⋅ 27．=++)3ln 3(3x d x （ ） A ．3133ln 32++x xB.dx x x )3133ln 3(2++ C ．233ln 3x x+ D ．dx x x )33ln 3(2+28．函数 在给定区间上满足罗尔定理条件．A ．⎪⎩⎪⎨⎧=<≤---=131211)(3x x x x x f ]1,2[- B. ⎩⎨⎧=-<≤-=1111)(x x x x f ]1,1[-C ．321)(x x f -= ]1,1[-D ．x x f cos )(= ],0[π 29．在[0,+∞）内，若,0)(,0)(<''>'x f x f 则 曲线)(x f y =在[0,+∞）内是（ ） A ．单调下降，凸的 B. 单调上升，凸的 C ．单调上升，凹的 D ．单调下降，凹的30．在开区间),(b a 内恒有0)(<'x f ，0)(>''x f ，则在),(b a 内曲线)(x f y =是（ ） A ．单调上升，凹的 B. 单调下降，凹的 C ．单调上升，凸的 D ．单调下降，凸的31．设R x x f x f ∈-=,)()(，在]0,(-∞内,0)(,0)(<''>'x f x f 则在[0,+∞）内曲线)(x f y =是（ ）A ．单调上升，凸的 B. 单调下降，凸的 C ．单调上升，凹的 D ．单调下降，凹的32．设)(x f 在0x 点连续但不可导，则0x （ ）A ．必是最大值点 B. 必是最小值点 C ．必是极值点 D ．可能是极值点 33．函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处都取得极大值，则a =（ ）A ．3- B. 3 C ．2- D ．2 34．已知()f x 在(,)-∞+∞上有定义，且21()(1)lim2(1)x f x f x →-=-，则(1)f 必是（ ）A ．()f x 的最小值 B.()f x 的最大值 C ．()f x 的极小值 D ．()f x 的极大值 35．在区间),(b a 内，如果)()(x g x f '='，则必有（ ） A ．)()(x g x f = B. 为任意常数）C Cx g x f ()()(+= C ．⎰⎰=dx x g dxddx x f dx d )()( D ．⎰⎰=b a b a dx x g dx x f )()( 36．下列等式，正确的是( ) A ．⎰⎰=-C x d x f x d x f )()( B.⎰=x at f t d t f xd d)()(C ．⎰=)()(x f x f d D ．⎰=)()(x f x d x f d37．有关不定积分⎰xdx x cos sin 的计算结果，不正确的是（ ）A ．C x +-2cos 21 B. C x +2sin 21 C ．C x +-2cos 41 D ．C x +-2cos 2138．曲线sin y x =与x 轴在[]0,2π上围成的图形面积为（ ） A ．0 B. 2 C ．4 D ．639．4202cos xdx π=⎰（ ）A ．316π B.38π C ．34π D ．4π40．2b txd e dt dx-=⎰（ ） A ．2x e - B.2b xe e --- C ．22x xe -- D ．22x xe -41．若⎰⎰=201)2()(dx x xf k dx x xf ，则=k （ ）A ．1 B.2 C ．3 D ．4 42．下列各式中正确的是（ ） A ．⎰⎰≤13102dx x dx x B. ⎰⎰≤213212dx x dx xC ．⎰⎰≥+11)1ln(dx x dx x D ．⎰⎰+≤101)1(dx x dx e x43．下列说法，错误的是( ) A ．定积分⎰b ax d x f )(在几何上表示由曲线,)(x f y =直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形的面积；B.一物体以速度)(t v 作直线运动，它在[]21,t t 这段时间内通过的路程可用定积分⎰21)(t t t d t v 来表示；C ．如果某国人口增长的速率为,)(t u 那么，定积分⎰21)(T T t d t u 表示在[]21,T T 这段时间内该国人口增加的数量； D ．定积分⎰b ax d x f )(2π在几何上表示由曲线,)(x f y =直线b x a x ==,及x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．44．微分方程25)1(12+=+-y y x dy dx 是（ ）A ．可分离变量的微分方程 B.齐次方程 C ．一阶线性微分方程 D ．贝努利方程 45．微分方程0)(22=-+xydy dx y x 是（ ）A ．可分离变量的微分方程 B.齐次方程 C ．一阶线性微分方程 D ．贝努利方程 46．微分方程0=+''y y 的通解是（ ）A ．x C y cos = B. x C y sin =C ．x C x C y sin cos 21+=D ．)sin cos (21x C x C e y x += 47．微分方程02'"=-+y y y 的通解是( )A ．x x e e y 2-+= B. xxe c e c y 221-+=C ．x xe c ec y 221+=- D ．x n i s c x s o c c y 221+=二、填空题 1．21arcsin3-=x y 的定义域是 2．极限3323lim (1)x x x x →+∞-+-= ，=++-∞→301515)12()1()14(limx x x x3．极限()=+→xx x 1sin 31lim ，=+→xx x csc 30)sin 21(lim4．极限⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x x x 2sin 2sin lim = 5．=-→xx x 20sin 12cos lim6．0tan 3sin limx x xx →-=7．已知函数⎩⎨⎧≥+=00)(x x a x e x f x 在),(∞+∞-内连续，则 =a8．函数3321()22x f x x x x -=+--的可去间断点是 9．设)(x f 在0x 点可导，且4)(0='x f ，则=∆∆--∆+→∆x x x f x x f x )2()3(lim00010．设)(x f 在0=x 处可导，且0)0(=f ，则=-→xx f tx f x )()(lim11．2ln arctan )(22-+=-x e x f x，则=')(x f12．设22sin3x xy e-=，则y '=13．曲线13+=x y 上点()9,2处的切线方程是 14．设6)10()(+=x x f ，则=''')0(f 15．设()x f 二阶可导，)(ln x f y =，则=''y16．已知方程3329(1)100y x x y -+-⋅+=确定了()y y x =，则1x dydx==17．已知x y sin ln =，则=dy18．已知)ln(22x a x y ++=，则=dy 19．已知32cos 1ln x y +=，则=dy 20．设x x y )sin 1(+=，则==0x dy21．设函数)(x y y =由方程y x xy +=2确定，则==0x dy22．设x x x f -=3)(在]3,0[上满足罗尔定理的条件，则由此确定的中值=ξ23．对函数2y px qx r =++在[1,3]-上应用拉格朗日中值定理时所得的中值ξ= 24．函数arctan y x x =-的单调递增区间是25．函数3()(1)(1)f x x x =-+的单调递增区间是 ，单调减少区间是 ，凹区间是26．曲线123223++=x x y 的拐点是 ，曲线x xe y -=的拐点为 27．函数7186223---=x x x y 在[]4,1上的最大值=M28．函数1933+-=x x y 的极大值是29．222sec 1x dx x ⎛⎫-= +⎝⎰30．22tan x x dx ⎛⎫-= ⎝⎰31．dx xx x )1112(22--+⎰= 32．dx e e x x12+⎰=33．①由定积分的几何可得，=⎰-3329dx x -②由奇偶性知，=-⎰-3324cos dx xx x34．=⎰12dx e x x35．若⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=111211)(2x x x x x f ，则⎰20)(dx x f =36．设2101()11x x f x x xe x ⎧≤≤⎪=+⎨⎪>⎩，则31(1)f x dx -+=⎰37．=+⎰dt t dx d x x 3241138．dx x ⎰∞+141= 39．曲线21x y =+与直线x y +=1所围平面图形的面积为=40．由曲线)(()(x f x f y =＞)0，直线b x a x ==,及1-=y 所围平面图形绕直线1-=y 旋转一周所得旋转体的体积是41．微分方程032=-'-''y y y 的通解是 42．微分方程0ln =-xyy dx dy x的通解是 43．微分方程0)1(=++-y d y n i s e x d y os c x满足初始条件4)0(π=y 的特解是三、计算题 1．求极限：①⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∞→x x x x x sin 32sin lim ； ②23lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭； ③3132lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x④)1112(lim 21---→x x x ； ⑤⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x ； ⑥111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭；⑦2tan)1(lim 1xx x π-→； ⑧4)sin (tan limxduu u x x ⎰-→； 0412(sin )limxx t t dtx→-⎰；⑨323(sin )limxx x t t t dtt dt→-⎰⎰；⑩0sin 0tan limarcsin xxx tdttdt→⎰⎰；⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛→xtx tx td et t d em i l 02222．2．已知极限21)2ln(lim 221-=++-→b ax x x x ，求常数a ，b 的值． 3．求3222)(223-+-+-=x x x x x x f 的间断点，并判断间断点的类型． 4．3sinarctan )13cos(sin π++-=x x ey x，求y '5．x x y )ln 1(+=，求y '6．设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=2221)(2x b ax x x x f ，且)2(f '存在，求a，b 的值．7．设曲线方程为32=--y x e xy ，求此曲线在纵坐标为0=y 的点处的切线方程与法线方程．8．设⎩⎨⎧<<--+≤<-+=10,1101),1ln()(x x x x x x f ，讨论)(x f 在0=x 处的连续性和可导性．9．设0=+--xy ee xy确定了)(x y y =，求dxdy． 10．设32tan arctan ln 333xx x y e-=+-，求dy．11．x e x y tan arctan +=，求dy ．12．求由方程yxe y +=1所确定的隐函数的二阶导数22dx yd ．13．由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2确定了)(x y y =，求dx dy ．14．已知⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=01sin 232y t e t t x y 求0=t dx dy ．15．求642+-=x x y 在]10,3[-上的最大值与最小值16．求4282y x x =-+在[3,3]-上的最大、最小值． 17．求函数32()26187f x x x x =---在[]4,2-上的最大值、最小值以及拐点．18．设函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-，①试确定系数b a ,的值； ②求出)(x f y =的所有极值点和拐点． 19．计算不定积分 ①⎰-++-dx x x x x)23122(22； ②221tan (1)x dx x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭⎰； ③ dx ⎰；④⎰x d x n l x 2； ⑤33tan sec x xdx ⋅⎰； ⑥dx x ⎰arctan．20．计算定积分： ①12121x dx x -++⎰； ②1-⎰； ③dx x x ⎰---112491； ④1-⎰⑤221ln x x dx ⎰；⑥⎰-2228y d y ．21．计算无穷限积分⎰∞+++02)1()1(1x d x x ．22．求微分方程x e y dxdy-=+满足初始条件20-==x y 的特解． 23．求微分方程xx x y dx dy sin =+满足初始条件1==πx y 的特解． 24．求微分方程232++=+'x x y y x 的通解．四、应用题 1．设⎰⎰+-=122)(2)()(dx x f dx x f xx x f ，求)(x f ．2．求由曲线x y =2与直线2-=x y 所围平面图形的面积．3．求抛物线x p y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积． 4．求曲线ln y x =及其在点(,1)e 处的切线与x 轴所围平面图形的面积，并求由此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．5．设直线23y x =+和抛物线2y x =所围成的平面图形为W ．(1) 求W 的面积；(2) 求W 绕y 轴旋转一周所成旋转体的体积． 6．平面图形D 是由x 轴、y 轴、1x =以及xy e =围成，求： (1) D 的面积； (2) 由D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积．7．过曲线3)(x x f =上的点)1,1(A 作切线AB l 交x 轴于点B ，设该曲线与切线AB l 及x 轴所围成的平面图形为Γ．(1) 求切线AB l 的方程； (2) 求平面图形Γ的面积S ； (3) 求Γ绕x 轴旋转一周的旋转体的体积．8．从一块半径为R 的圆铁片上上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角α取多大时，做成的漏斗的容积最大？9．一边靠墙用篱笆围成一矩形场地，现有36米长的篱笆，问能围成的最大场地面积是多少？ 10．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租定为1000元时，公寓会全部租出去．当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费，试问房租定为多少时可获得最大收入？11．装饮料的易拉罐是用铝合金制造的，罐身（侧面和底部）用整块材料拉制而成，顶盖是另装上去的，为了安全，顶盖的厚度是罐身的厚度的三倍，假设要制造的易拉罐的容积为V ，问如何确定易拉罐的底面半径和高才能使得用料的体积最省？12．某厂为了销售一新款收音机x 台，每台的价格（单位：元）为：x p -=800．而生产x 台的总成本可以表示成x x C 102000)(+=，为使利润最大化，工厂必须生产并销售多少台？五、证明题1．证明：①2cot arctan π=+x arc x ；②当||x ≤1时，恒有arcsin arccos 2x x π+=成立． 2．证明：若函数)(x f 在),(∞+∞-内满足关系式,)()('x f x f =且,1)0(=f 则x e x f =)(．3．证明方程015=-+x x 只有一个正根． 4．证明不等式：①当1>x 时，x e e x⋅>； ②当,20π<<x 时，x x π2sin >；③当x >0时，22)1(ln )1(-≥-x x x ； ④当0>x 时，xxx +>+1arctan )1ln(；⑤当e ＜a ＜b ＜2e 时，a n l b n l 22-＞)(42a b e -． 5．设)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且e f f ==)0(,1)1(，试证至少存在一点)1,0(∈ξ，使)()(ξξf f -='．6．设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(上可导，且1)0(=f ，0)1(=f ，求证在)1,0(内至少有一点ξ，使ξξξ)()('f f -=．7．设函数()f x 在[0,1]上可导，且1202()(1)xf x dx f =⎰，证明在(0,1)内必有一点c ，使1()()f c f c c'=-． 8．设)(x f 在],[b a 上可导，证明在),(b a 内必存在一点ξ，使)()()()(ξξξf f ba b bf a af '+=--．9．若()x f 在[]1,0上连续，证明⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f ．10．已知)(x f 是连续函数，证明：()[]dx x a b a f a b dx x f b a ⎰⎰-+-=1)()(．参考答案（此答案仅供参考，不保证100%的正确性）一、选择题1．A 2．B 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．C 9．C 10．D 11．C 12．A 13．D 14．D 15．D 16．B 17．A 18．B 19．C BA 20．D 21．B 22．A 23．A 24．A 25．D 26．D 27．D 28．A 29．B 30．B 31．B 32．D 33．D 34．C 35．B 36．A 37．C 38．C 39．B 40．C 41．D 42．B 43．A 44．C 45．B 46．C 47．B二、填空题1．[]3,1- 2．2 1 3．3e 6e 4．2 5．2- 6．2 7．1 8．1=x 9．20 10．()()01f t '- 11．42122x x ex++-- 12．3sin 422x xe x --3cos 3122x e x -+ 13．1512-=x y14．120000 15．()()3ln ln xx f x x f '-'' 16．-1 17．xdx cot 18．dx xa 221+ 19．()dx x x x 22cos 13sin 2+ 20．0 21．1-ln2 22．2 23．1 24．()+∞∞-, 25．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, ()1,-∞-()+∞⋃,026．⎪⎭⎫⎝⎛225,21-()22,2-e 27．29- 28．7 29．C x x x ++-arcsin 3arctan 2tan 30．C xx x x +++-2arcsin 3tan 2ln 2 31．()C x x +-+arcsin 1ln 2 32．C e x +arctan 33．π29 0 34．2-e 35．34ln321+ 36．4341e +π 37．81221213xx x x +-+ 38．31 39．29 40．()[]⎰+b a 21x f dx π 41．xx e C e C y 321+=-42．1ln +=Cx x y ； 43．()22sec 1=+y e x或 ()2ln 23cos ln 1ln +=+y e x三、计算题 1．求极限： ①2； ②6-e26363lim 13lim 145xx x x x x e →∞--→∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= 分分；③原题目有误：将底数中分子分母之间的符号该为相同的“+”或“-”3132lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x （型∞1）311312lim +∞→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x x313131lim 21lim +∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x x 3132-==e ee； 3132lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x （型∞1）313133lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--x x x x x 31311lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x 3131lim+⋅--∞→=x x x e31e =；④)1112(lim 21---→x x x ；（P193 1（13） 略） ⑤⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x ； ⑥21；212lim 21lim 1lim )1(1lim00200==-=--=---=→→→→x x xe x x e e x xe x x x x x x x x 解：原式1111111lim ln 11ln lim 1(1)ln 11lim31ln 1limln 11lim 4ln 11152x x x x x x x x x x xx x x xx x x x x →→→→→⎛⎫- ⎪-⎝⎭--=--=-+-=+-=++= 分分分分⑦=-→2tan)1(lim 1xx x π=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→型002cot 1lim1x x x π=⋅--→22csc 1lim 21ππx x =→2sin lim 221x x πππ2；⑧81421.lim 4)cos 1(tan lim4sin tan lim3203030==-=-=→→→x x x x x x x x x x x x 解：原式；412(sin )limxx t t dtx →-⎰21=； （P242 例8 或 P242 9类似 略）⑨32322030200(sin )lim(sin )lim33sin lim31cos lim 59sin lim 6181718x x x x x x x t t t dtt dtx x x x x x x x x xxx →→→→→--=⋅-=-===⎰⎰分分分分 ⑩020tan lim 3cos (arcsin sin )sin lim 4cos 15x x x x x x x x →→=⋅=⋅= 原式分分分 解：⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛→xtx tx t d et t d emi l 02222222202x x x t x ex e t d e mi l ⎰⋅=→222x x t x ex td e mi l ⎰→=xtd e mi l x tx ⎰→=022⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅+==→→x e x e e mi l e mi l x x x x x x 22122222002=． 2．已知极限21)2ln(lim 221-=++-→b ax x x x ，求常数a ，b 的值． 解：当1→x 时，()02ln 2→-x，故02→++b ax x（否则极限不等于21-），有 01=++b a ①于是，)00()2ln(lim 221型b ax x x x ++-→a x x xx +--=→222lim 2121222lim x a x x x --⋅+=→21212-=+-=a ，得2=a ，因此由①得， 3-=b ．3．求3222)(223-+-+-=x x x x x x f 的间断点，并判断间断点的类型．（P65 3（1）类似 略）答案：1=x 是第一类间断点中的可去间断点，3-=x 是第二类间断点中的无穷间断点． 4．3sinarctan )13cos(sin π++-=x x ey x，求y '。
高等数学统考卷11-12届附答案
高等数学统考卷 1112届附答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，哪个函数是奇函数？A. y = x^3B. y = x^2C. y = x^4D. y = |x|A. 积分的上下限互换，积分值不变B. 被积函数乘以常数，积分值也乘以该常数C. 积分区间可加性D. 积分中值定理3. 下列极限中，哪个是正确的？A. lim(x→0) (sin x) / x = 0B. lim(x→0) (1 cos x) / x^2 = 1C. lim(x→∞) (1 / x) = 0D. lim(x→∞) (x^2 1) / x = 1A. ∫∫(x^2 + y^2) dxdyB. ∫∫xy dxdyC. ∫∫x dxdyD. ∫∫y dxdy5. 下列级数中，哪个是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …B. 1 1/2 + 1/3 1/4 + …C. 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …二、判断题（每题1分，共5分）1. 高斯公式可以用来计算曲面积分。
（）2. 泰勒公式可以用来近似计算函数值。
（）3. 无穷小量相乘仍为无穷小量。
（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
（）5. 偏导数连续必可微。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x 在x = 0处的导数值为______。
2. 曲线y = x^3 在点(1, 1)处的切线方程为______。
3. 若f(x, y) = x^2 + y^2，则f_x(1, 2) =______。
4. 设A为矩阵，若|A| = 0，则A为______矩阵。
5. 空间曲线r(t) = (cos t, sin t, t) 在t = π/2处的切线方向向量为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述罗尔定理的内容。
2. 解释复合函数求导法则。
3. 举例说明什么是隐函数。
大一高数下考试题及答案
大一高数下考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，是指对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
这个定义描述的是（）。
A. 函数在某点的连续性B. 函数在某点的可导性C. 函数在某点的极限D. 函数在某点的间断性答案：C2. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 以下哪个积分是收敛的？（）A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(1/x^2)dx 从1到∞C. ∫(1/x^3)dx 从1到∞D. ∫(1/x)dx 从0到1答案：B4. 以下哪个级数是发散的？（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：D5. 以下哪个是二阶导数？（）A. f''(x) = 2xB. f'(x) = 2xC. f(x) = x^2D. f'(x) = 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=0处的导数是________。
答案：02. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。
答案：e^x + C3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是________。
答案：-cos(x) + C4. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分是________。
答案：1/35. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的极值点是________。
答案：x = -1三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限：lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。
专升本高等数学习题集及答案
专升本高等数学习题集及答案高等数学是大学专升本考试中非常重要的一门科目，它是一门相对较难的学科，需要学生付出大量的时间和精力。
为了帮助学生更好地备考高等数学，我们整理了一套高等数学习题集及答案，旨在帮助学生查漏补缺，提高数学水平。
一、函数与极限1.已知函数$f(x)=\dfrac{x^2+x}{x-1}$，求：（1）$\lim\limits_{x\to1^-}f(x)$和$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)$；（2）$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$和$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$；（3）函数$f(x)$的间断点。
答案：（1）$\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\infty$，$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty$；（2）$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1$，$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-1$；（3）函数$f(x)$在$x=1$处有第一类间断点。
2.已知函数$f(x)=\dfrac{2x^2+3x-1}{5x^2-4x-3}$，求：（1）函数$f(x)$的定义域和值域；（2）函数$f(x)$的最大值和最小值。
答案：（1）函数$f(x)$的定义域为$x\neq\dfrac{3}{5}$，值域为$(-\infty,+\infty)$；（2）函数$f(x)$的最大值为$\dfrac{47}{66}$，最小值为$-\dfrac{8}{7}$。
二、导数与微分1.已知$f(x)=x^2\ln x$，求$f'(x)$和$f''(x)$。
答案：$f'(x)=2x\ln x+x$，$f''(x)=2\ln x+3$。
2.已知$y=\sqrt{x}(x+1)$，求$\dfrac{dy}{dx}$，并求出曲线$y=\sqrt{x}(x+1)$在点$(1,2)$处的切线方程。
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Chap1-chap3练习题2填空题、选择题与计算证明 一、1.函数()ln 1x f x x e=-+在区间(0,)+∞内零点的个数为 个.2.设函数21lim,1nn x x→∞++有关函数f(x)间断点的正确结论（A ）存在间断点x =1（B ）不存在间断点（C ）存在间断点x =0 （D ）存在间断点x =-1 3. 设函数)(x f 的导函数在2x π=处连续，又2()lim1,cos x f x xπ→'=-则（ ）（A ）2x π=是)(x f 的极大值点 （B ）2x π=是)(x f 的极小值点 （C ）(,())22f ππ是)(x f 的拐点 （D ）2x π=非极值点，且(,())22f ππ也非拐点4. 函数133()2f x x x =-在下列区间上不满足拉格朗日中值定理条件的是（ ）.（A ）[0,1] （B ）[-1,1]（C ）[0, 278] （D ）[-1,0]5. 函数)(x f 在a 点的去心邻域内有界，是极限存在的（ ）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件 6. 当0x →时， 2()(1cos )ln(12)f x x x =-+与下列哪个函数是同阶无穷小（ ） （A ）3x （B ）5x （C ）4x （D ）2x （参考答案：2；A ；B ；B ；B ；C ） 填空题1. 抛物线243y x x =-+在顶点处的曲率是 .2. 函数()y x 由参数方程(1sin )cos x t t y t t=+⎧⎨=⎩确定，则t y π='= .3. 2sin y x x =,则(2009)(0)y= .4. 设3214lim,1x x ax x A x →--+=-则a = ，A= .5. 曲线ln y x =上一点P 的切线经过原点(0,0)，则点P 的坐标为 .6. 21x y xe =的铅直渐近线是 。
（参考答案：2；11π-；200920084034072-⨯=-；4，-6 ；（e ,1）；x =0）二、 选择题1. 设0x →时，22()x e ax bx c -++是比2x 高阶的无穷小，其中,,a b c 是常数，则（ ） (A) 1,2,0a b c === (B) 2,0,2a b c === (C) 1,0,1a b c === (D) 1,0a b c === 2. 设21,0()10,0x x x f x e x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩，则（ ）(A) ()f x 在x =0 处间断 (B) ()f x 在x =0 处连续但不可导 (C) ()f x 在x =0 处可导，但导数在x =0 处不连续 (D) ()f x 在x =0 处有连续导数 3. 曲线22x y -=在2x =处的切线方程是（ ）(A) ln 21x y += (B) ln 21x y += (C) ln 22ln 2x y += (D) ln 212ln 2x y +=+ 4. 函数在点的以下结论正确的是（ ）(A)若00()0,()0f x f x '''== ，则0()f x 必是一个极值；(B) 若0()0f x ''= ，则点00(,())x f x 必是曲线()y f x =的一个拐点； (C) 若()f x 在0x 处可微，则()f x 在0x 点的某邻域内有界且连续； (D) 若001lim [()()]n n f x f x n →∞+- 存在（n 为正整数），则()f x 在0x 点可导。
且有 0001lim [()()]()n n f x f x f x n→∞'+-= （参考答案：C ；D ；D ；C ） 填空题1.设(1)ln 1()1,1b x x f x ex -⎧⎪>=⎨-≤⎪⎩，要使()f x 在(,)-∞+∞内可导，则,a b 分别是 、 .2. 函数3ln12x y x=+的二阶导数等于 .3. 极限sin 201limarcsin2xx ex →-= .4. 设2(cos ),()y f x x f u =可导，则dy = . a . 曲线1/()xf x xe-=的所有渐近线方程为 .6. 在区间[0,)+∞内，方程2132sin 10x x x ++-=有几个实根： . （参考答案：0和1；2214(12)xx -++；4；22(cos )(cos 2cos sin )f x x x x x x dx '-；0,1x y x ==-；1个）计算与证明： 1.求0limsin 2x x x→+. （=14-）2. 求导数 （1）设2tan(1)3,xy +=求.d y d x（2tan(1)223ln 32sec (1)xy x x +'=⋅⋅⋅+）（2）设2,cos x t y t⎧=⎨=⎩求22,dy d y dx dx . （223sin sin cos ,24dy t d y t t tdx t dx t -=-=） （3）设()y y x =由1x y e xy ++=确定，求.x dy dx= （=-1）3. 在抛物线21y x =-上找一点(,)(0)P a b a >，过点P 作抛物线的切线，使此切线与抛物线及两坐标轴所围成的区域面积最小，求P 点的坐标。
23））三、 选择题1. 当x a →时， ()f x 是（ ），则必有lim ()()0.x ax a f x →-=（A ）任意函数（B ）无穷小量（C ）无界函数（D ）无穷大量2. 设函数cot ()(1)x f x x =-，则定义f (0)为（ ）时()f x 在x =0处连续。
（A ）1e（B ）e （C ）e -（D ）无论怎样定义(0)f ，()f x 在x =0处也不连续。
3. 下列等式成立的是（ ） （A ）0sin lim0.x x x→=（B ）sin lim1.x x x→∞=（C ）01lim sin1.x x x→=（D ）1lim sin1.x x x→∞=4. 若函数1,01()1,11,12x x f x x x x -≤<⎧⎪==⎨⎪+<≤⎩，则1lim ()x f x →=（ ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）不存在 5. 设函数531cos ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处()f x （ ） （A ）不连续 （B ）连续，但不可导 （C ）可导，但导数不连续 （D ）可导，且导数连续6. 设()()f x f x =--，且在(0,)+∞内二阶可导，又()0,()0,0f x f x x ''><>，则()f x 在(,0)-∞内的单调性和图形的凹向是（ ）（A ）单调增，凹（B ）单调减，凹（C ）单调增，凸（D ）单调减，凹 7. 函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （参考答案：B ；A ；D ；D ；C ；A ；C ） 填空题 1. 设2211()1f x x x x+=+-，则()f x = .2. 1sin(1)lim(1)(2)x x x x →-=-+ .3. 设3,1(),1ax b x f x x x +>⎧=⎨≤⎩，若()f x 在x =1处可导，则a b 、分别为 、 . 4.要使函数()f x x=在x =0处连续，则需定义(0)f 的值为 .5. 设函数()f x 当0x ≠时满足331()2()3f x f x x+=，则(1)f '= .（参考答案：23x -； -1/3； 3，-2； 1； -1） 计算与证明题 1．求极限0[ln(1)]tan 3lim.sin 2x x xx x→+ （2/3） 2. 求极限211lim ().2x x x x -→∞+-6()e3. 设(sin cos )(cos sin ),x a t t t y a t t t =-⎧⎨=+⎩求22,dy d y dx dx.4. 已知arctan ln y x x =-dy .5. 当0x >时，则1x e x >+.6. 设()x ϕ在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)1ϕϕ==. 证明：对任意正整数,a b ，必存在(0,1)内的两个数,ξη，使+()()aba ϕξϕη+=''b .7. 设()f x 在闭区间上具有连续导数，对于[0,1]上得每一个x ，函数()f x 的值都在开区间(0,1)内，且()1f x '≠,证明在开区间(0,1)内有且只有一个x ，使得()f x x =.8. 求函数2(1)x y x+=的定义域、单调区间、极值、曲线的凹凸区间以及渐近线并作图。