高等数学上册第一章测试试卷

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高等数学第一章练习题

高等数学第一章练习题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 不存在3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x + 14. 若函数f(x)在x=a处连续，则：A. f(a) = 0B. f(a) = f'(a)C. lim(x→a) f(x) = f(a)D. f'(a) = 05. 函数f(x) = x^3 - 3x的导数为：A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3C. 3x^2 + 3D. x^3 - 3x^26. 曲线y = x^2在点(1, 1)处的切线斜率为：A. 0B. 1C. 2D. 47. 以下哪个选项是二阶导数？A. f'(x)B. f''(x)C. f'''(x)D. f(x)8. 函数f(x) = e^x的不定积分为：A. e^x + CB. e^x - CC. ln(e^x) + CD. ln(x) + C9. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = x^210. 函数f(x) = ln(x)的定义域为：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的极值点为______。

2. 极限lim(x→∞) (x^2 - 3x)/(x^3 + 2x)的值为______。

3. 若函数f(x)在x=a处有极值，则f'(a) = ______。

4. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x在点(1, 0)处的切线方程为y = ______。

高等数学(上)第一章练习题

一、选择题1.下列函数中，无界函数为( ).(A) sin y x =； (B) tan y x =； (C) arcsin y x =； (D) arctan y x =. 2. 将函数()22f x x =--表示为分段函数时，()f x =( ).(A) 4,0,0x x x x ->⎧⎨<⎩ ； (B) 4,2,2x x x x -≥⎧⎨<⎩ ； (C) 4,04,0x x x x -≥⎧⎨+<⎩ ； (D) 4,24,2x x x x -≥⎧⎨+<⎩.3.函数31()31x x f x -=+为( ).(A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 既是奇又是偶函数. 4.若()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则[()]f g x 为( ).(A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 不确定.5.设221,0()1,0x x x f x x x ⎧++≥⎪=⎨+<⎪⎩ ，则当0x <时，[()]f f x =( ).(A) 222(1)(1)1x x ++++； (B) 22(1)1x x +++；(C) 222(1)(1)1x x x +++++； (D) 222(1)(1)1x x x +++++.6. 32lim 1knn e n -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则k =( ).(A)32； (B) 23； (C) 32-； (D) 23-. 7.若0x →时，()f x 为无穷小，且()f x 是比2x 高阶的无穷小，则20()limsin x f x x→=( ).(A) 0； (B) 1； (C) ∞； (D)12.8.函数()f x =( ).(A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 0.9.当0x →时，( ).(A) 2x 与1cos x -是等价的无穷小； (B) 2x 与1cos x -是同阶的无穷小； (C) 2x 是比1cos x -高阶的无穷小； (D) 2x 是比1cos x -低阶的无穷小. 10.当0x →时，与x 等价的无穷小函数是( ).(A) 2x ； (B) 2x ； (C) 3sin x x +； (D) 22x x +.二、填空题 1.设1,||1()0,||1x f x x ≤⎧=⎨>⎩，则[()]f f x = .2.设(),[()]x f x e f g x x ==,则()g x = .3.若0()limx f x a x→=，(a 为常数)，则0lim ()x f x →=______________.4.曲线3221x y x =+的渐近线方程为 .5. 极限22lim 1x x x x →∞+⎛⎫=⎪+⎝⎭． 6. 极限0(1)limcos 1x x x e x →-=- ． 7.当1x →-时，2ax x b -+与1x +为等价无穷小，则a = ，b = . 8.若()f x 处处连续，且(1)2f =，则01lim [ln(1)]x f x x→+= . 9.设2sin ,0(),0xx f x x x a x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若()f x 在0x =处连，则a = .10.要使1cos ()xf x x-=在0x =处连续，应补充定义(0)f = .三、综合题 1.求极限111lim 1223(1)n n n →∞⎛⎫+++⎪⋅⋅+⎝⎭ . 2.求极限222111lim (1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++⎪+⎝⎭. 3.求极限n 4.设11,,1,2,n a a n +=== ，证明数列极限存在并求此极限.5.已知函数142sin ()||1xx e x f x x e ⎛⎫+ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，问0lim ()x f x →是否存在？6.用夹逼准则求01lim x x x +→⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 7.求极限332lim 34sin x x x x →∞++. 8.求极限limx . 9.求极限lim )x x →+∞.10.求极限21lim (1cos)x x x →∞-. 11.求极限20(1cos )lim (1)sin x x x x e x→--. 12.求极限3230ln(1)tan lim1x x x x e -→+- . 13.求极限sin lim2x x xx→∞+. 14.求极限0x →求极限lim x x →∞.16.求极限0lim x +→. 17.求极限123lim 21x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭.18.求极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎛⎫⎪-+⎝⎭. 19.求极限21lim cos x x x →∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 20. 已知21lim ()01x x x ax b x →∞++--=-，求a 与b 的值 .21. 已知20()1sin lim()2x f x xx x→--=，求0lim ()x f x →.22.讨论函数2()lim 1nxnxn x x e f x e →∞+=+ 的连续性.23.已知,0()1,02x x f x ae x <=⎨⎪≥⎪⎩ ，求a 为何值时，()f x 在0x =处连续.24.设(4),0()sin 10,0x x ae be x f x xx -⎧++≠⎪=⎨⎪=⎩，确定,a b 使()f x 在0x =处连续. 25.指出函数()f x =的所有间断点，并判别其类型.26.设函数()f x 在[,]a b 连续，且()a f x b ≤≤，[,]x a b ∈.证明：存在[,]a b ξ∈，使()f ξξ=成立.27.函数()f x 对一切12,x x 满足1212()()()f x x f x f x +=+，且()f x 在0x =处连续. (1)求(0)f ；(2)证明：函数()f x 在(,)-∞+∞连续.28.函数()f x 在[0,1]连续、非负且满足(0)(1)0f f ==,证明：对任意数(0,1)α∈，存在0[0,1]x ∈使00()()f x f x α=+成立.29.设函数()f x 在[0,2]a 连续，且满足(0)(2)f f a =，证明：至少存在一点[0,]a ξ∈使()()f f a ξξ=+成立.30.设函数()f x 在[,]a b 连续，12a x x b <<<，证明：存在点(,)c a b ∈，使112212()()()()t f x t f x t t f c +=+成立.其中12,0t t >.一、选择题1. B ；2. B ；3. B ；4. A ；5. A ；6. C ；7. A ；8. C ；9. B ； 10. C. 二、填空题1. 1；2. ln x ；3. 0；4. 2y x =；5. 12e ； 6. 2-； 7. 1,0a b =-=； 8. 2； 9. 1a =； 10. 0. 三、综合题 1.解：11111111(1)()()1223(1)2231n n n n +++=-+-++-⋅⋅++ 111n =-+ ∴111lim 11223(1)n n n →∞⎛⎫+++= ⎪⋅⋅+⎝⎭ . 2.解：由于2222211111(2)(1)(2)n n n n n n n ++≤+++≤+ ，又2211lim lim 0(2)4n n n n n n →∞→∞++==，根据夹逼准则 222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. 3.3≤=lim 33n n →∞==，根据夹逼准则3n =.4.解：102a <=，假设对n k = 成立，即02k a <<成立，则当1n k =+ 时，102k a +<=<=，由数学归纳法知02,1,2,n a n <<= ，即数列{}n a 有界；又1n n n a a a +-=2=0=>，即数列{}n a 单调，所以收敛. 设极限为a ，则由1n a +=n →∞得a =2a =.5.解：14002sin lim ()lim 1x x x x e x f x x e ++→→⎛⎫+ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，01lim x x+→=+∞ ，1400lim ,lim xx x x e e ++→→∴=+∞=+∞，而1144434000442212lim lim lim 011111x xxxxxx x x xx x eee e e e e e e +++→→→+++===+++. 0lim ()1x f x +→∴=,14002sin lim ()lim 1xx x xe xf x x e --→→⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪+⎝⎭，01lim x x -→=-∞ ,1400lim lim 0x x x x e e --→→∴==， 0lim ()1x f x -→∴=. 进而知 0lim ()x f x →存在且为1. 6.解：当0x ≠时1111x x x ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦ ，所以当0x >时有111x x x ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦，又00lim (1)lim 11x x x ++→→-==,故01lim 1x x x +→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.7.解：3333212lim lim 4sin 34sin 3x x x x x x x x →∞→∞++=++13=. 8.解：limlimx x =02t →=. 9.解：lim )lim x x x →+∞→+∞=lim x →+∞=1arcsin26π==. 10.解：由于x →∞时，221111cos ~22x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=,所以 222111lim (1cos)lim 22x x x x x x →∞→∞-=⋅=.11.解：由于0x →时，21cos ~2x x - ，22sin ~x x ，1~xe x -.所以 22200(1cos )12limlim (1)sin ()2x x x x x x x e x x x →→⋅-==---⋅.12.解：由于0x →时，tan ~x x ，22ln(1)~x x +，3331~(3)x e x ---，所以 3223300ln(1)tan 1limlim 331x x x x x x x x e-→→+⋅==---. 13.解：sin 1sin 1limlim 2222x x x x x x x →∞→∞+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 14.解：3300011lim lim lim ln(12)ln(12)ln(12)x x x x x e e x x x →→→-=++++00132lim lim 2212x x x xx x →→-=+=.15.解：2lim lim x x x x →∞→∞⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2lim 1x x →∞⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭2lim 1x x →∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭221lim 3x x x →∞⎛⎫=⎪⎝⎭221lim 3x x x →∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭23=. 16.解：0lim lim x x ++→→=01lim 2x +→=201lim2x +→=0=. 17.解：212(1)1221232lim lim 12121x x x x x x x e x x +++⋅+→∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.18.解：22ln lim 1()()()()2lim lim ()()x xx x x x x a x b x a x b x x x eex a x b →∞⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞⎛⎫⎪== ⎪-+⎝⎭2()2lim a b x abxa bx ax bx abx ee -+--+-→∞==.19.解：2211(cos 1)cos 111lim coslim 1cos 1x x x xx x x x ⋅-⋅-→∞→∞⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于222111lim(cos1)lim()22x x x x x x →∞→∞-⋅=-⋅=-，所以2121lim cos x x ex -→∞⎛⎫==⎪⎝⎭20. 解：2211()(1)11x x x x ax b x ax b x x ++++-+---=-- 2(1)(1)11a x a b x b x -++-++=-∴当且仅当 10a -= 且10a b +-=时，21lim ()01x x x ax b x →∞++--=-，解得1a =，2b =. 21.解：00sin ()1sin lim[()1]lim x x xf x xx f x x xx→→----=⋅ 20()1sin lim[]x f x x x x x →-=-⋅200()1sin lim[]lim 0x x f x xx x x →→-=-⋅=,sin sin lim ()lim[(()1)1]x x x xf x f x x x→→∴=--++ 00sin sin lim[()1]lim(1)2x x x x f x x x →→=--++=. 22.解：先给出分段表达式2,0(),0x x f x xx ⎧≥=⎨<⎩. 当 (0,)x ∈+∞ 时，2()f x x = 连续，当 (,0)x ∈-∞时，()f x x =连续；又(0)0f =，2lim ()lim 0x x f x x ++→→==，00lim ()lim 0x x f x x --→→==,故在0x =处()f x 也连续，从而在(,)-∞+∞内()f x 连续.23.解：(1)()f x 定义域为(,)-∞+∞；(2)由于(0)2a f =，001lim ()lim 22xx x a f x a e ++→→=⋅=，lim ()lim x x f x --→→=02sin 2lim 1x xx-→-==-,∴2a =-时，()f x 在0x = 处连续.24.解：由于(0)10f =，004lim ()lim sin x x x x ae be f x x-→→++=，要使 ()f x 在0x =处连续，首先0lim ()x f x →存在，故有lim(4)40x xx ae bea b -→++=++=，从而 004lim ()lim sin x x x x ae be f x x -→→++=0lim sin x x x ae be a bx-→+--=0(1)(1)lim x x x a e b e x -→-+-=00(1)(1)lim lim x x x x a e b e a b x x-→→--=+=- 可见要使()f x 在0x =处连续，,a b 应满足410a b a b +=-⎧⎨-=⎩，解得3,7a b ==-.25.解：sin |1|()(1)(3)x x f x x x x ⋅-==--，间断点有三个，分别为0x =，1,3x x ==，0000s i n |1|s i n |1|11l i m ()l i m l i m l i m l i m (1)(3)133x x xx x x x x x f x x x x x x x →→→→→⋅--==⋅⋅=---- , 11sin (1)sin1lim ()lim (1)(3)2x x x x f x x x x --→→-⋅-==--，11sin (1)sin1lim ()lim (1)(3)2x x x x f x x x x ++→→⋅-==---，而33sin lim ()lim(3)x x xf x x x →→==∞-，所以0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点，而3x =为无穷间断点.26.证明：构造辅助函数()()g x f x x =-，则()g x 在[,]a b 连续，由已知条件知()()0g a f a a =-≥，()()0g b f b b =-≤. 若()0g a =，则取a ξ=；若()0g b =，则取b ξ=；若()0g a >而()0g b <，则在[,]a b 上函数()g x 满足零点定理条件，从而存在(,)a b ξ∈，使()0g ξ=即()f ξξ=成立. 27.解：(1)在()()()f x x f x f x +=+中，取0x x ==，得(0)(0)(0f f f =+，故(0)0f =.(2)由()f x 在0x =处连续知:0lim ()(0)0x f x f ∆→∆==.任取0(,)x ∈-∞+∞，由条件知00()()()f x x f x f x +∆=+∆.从而0000lim ()()lim ()()x x f x x f x f x f x ∆→∆→+∆=+∆=，故在0x 处函数()f x 连续，由0x 的任意性知(2)成立. 28.证明：任取(0,1)α∈，若()0f α=，则由条件(0)0f =，可取00x = [0,1]∈，使得(0)(0)f f α=+；若(1)0f α-=，则由(1)0f =，可取01x α=-[0,1]∈使得(1)(1)f f ααα-=-+；若()0f α≠且(1)0f α-≠，由非负性有()0f α>,(1)0f α->，令()()()g x f x f x α=+-，则()g x 在[0,1]α-连续，又(0)(0)g f α=+(0)f -()0f α=>，(1)(1)(1)(1)0g f f f ααααα-=-+--=--<，由零点定理，存在0(0,1)[0,1]x α∈-⊂使0()0g x =，即00()()f x f x α=+成立. 29.解：令()()()F x f x f x a =-+，则()F x 在[,]a b 连续，且(0)(0)()F f f a =-，()()(2)()(0)F a f a f a f a f =-=-.若(0)()f f a =，则取0ξ=或a ξ=均能使()()f f a ξξ=+成立；若(0)()f f a ≠，则(0)()0F F a ⋅<，由零点定理知，至少存在一点(0,)a ξ∈使()0F ξ=，即()()f f a ξξ=+.总之结论成立.30.解：函数()f x 在[,]a b 连续，故在12[,]x x 上连续. 于是在12[,]x x 上()f x 必有最小值m ，最大值M .第一章函数与极限11 从而有1()m f x M ≤≤，1111()t m t f x t M ≤≤， 2()m f x M ≤≤，2222()t m t f x t M ≤≤， 112212()()t f x t f x m M t t +≤≤+. 由介值定理知，至少存在一点12(,)c x x ∈⊂(,)a b 使得112212()()()t f x t f x f c t t +=+，即112212()()()()t f x t f x t t f c +=+.。

高数(一)第一章练习题

高等数学（一）（第一章练习题）一、单项选择题1.设f （1-cos x ）=sin 2x, 则f （x ）=（ A ）A.x 2+2xB.x 2-2xC.-x 2+2xD.-x 2-2x2.设x 22)x (,x )x (f =ϕ=，则=ϕ)]x ([f （ D ）A.2x 2B.x 2xC.x 2xD.22x3．函数y=31x1ln -的定义域是（ D ） A ．),0()0,(+∞⋃-∞ B ．),1()0,(+∞⋃-∞ C ．(0,1] D ．(0,1)4.函数2x x y -=的定义域是（ D ）A.[)+∞,1B.(]0,∞-C.(][)+∞∞-,10,D.[0，1]5.设函数=-=)x 2(f 1x x )x 1(f ，则（ A ） A.x 211- B.x 12- C.x 2)1x (2- D.x)1x (2- 6.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（）A.x+3B.x-3C.2xD.-2x7.设f(x+1)=x 2-3x+2，则f(x)=（ B ）A.x 2-6x+5B.x 2-5x+6C.x 2-5x+2D.x 2-x 8．已知f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x+a)+f(x-a)的定义域是（）A ．[a,3a]B ．[a,2a]C ．[-a,4a]D ．[0,2a]9．函数y=ln(22x 1x 1--+)的定义域是（ C ）A ．|x|≤1B ．|x|<1C ．0<|x|≤1D ．0<|x|<110.函数y=1-cosx 的值域是（ C ）A.[-1,1]B.[0,1]C.[0,2]D.(-∞,+∞) 11．设函数f(x-1)=x 2-x,则f(x)=（ B ）A ．x(x-1)B ．x(x+1)C ．(x-1)2-(x-1)D ．(x+1)(x-2)12.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则函数f (x 2)的定义域为（ D ）A.[0，2]B.[0，16]C.[-16，16]D.[-2，2]13.设f(t)=t 2+1，则f(t 2+1)=（ D ）A.t 2+1B.t 4+2C.t 4+t 2+1D. t 4+2t 2+2 14．设1)1(3-=-x x f ，则f (x )=（ B ）A ．x x x 2223++B ．x x x 3323++C ．12223+++x x xD ．13323+++x x x15.下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ C ）A.(-1，51)B.(-51,5)C.(0,51)D.(51,+∞) 16.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ D ）A.(-1,1)B.[-1,1]C.[-1,0]D.[0,1]17.设函数y =f (x )的定义域为(1，2)，则f (ax )(a <0)的定义域是( B ) A.(a a 2,1) B.（aa 1,2) C.(a ，2a) D.(a a ,2] 18．函数f (x )=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛--x 的定义域为（ B ） A ．[]1,1- B ．[]3,1- C ．(-1,1)D ．(-1,3) 19.函数f (x )=21sin 2x x++是（ C ）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数 20．函数f (x )=ln x - ln(x -1)的定义域是（ C ）A ．(-1,+∞)B ．(0,+∞)C ．(1,+∞)D ．(0,1) 二、填空题1．已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.2.设函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________.3．函数y=x ln ln 的定义域是 .4．若f(x+1)=x+cosx 则f(1)=__________.5．函数y=1+ln(x+2)的反函数是______.6．.函数y=arcsin(x-3)的定义域为___________。

高数第一章测试题

高数第一章测试题高等数学作为大学课程中的重要基础学科，对于很多同学来说是一个不小的挑战。

而第一章往往是为后续的学习打下基石的关键部分。

接下来，就让我们一起通过这份测试题来检验一下对第一章知识的掌握程度。

一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝＼frac{1}｛x 1}＼）的定义域为（）A ＼（x ＼neq 1\）B ＼（x ＞ 1\）C ＼（x ＜ 1\）D ＼（x ＼neq 0\）2、设＼（f(x) ＝＼sqrt{x}＼），则＼（f(f(4)）＼）的值为（）A 2B ＼（＼sqrt{2}＼）C 4D ＼（＼sqrt{4}＼）3、当＼（x ＼to 0\）时，下列函数中与＼（x\）等价无穷小的是（）A ＼（x^2\）B ＼（＼sin x\）C ＼（1 ＼cos x\）D ＼（e^x 1\）4、函数＼（f(x) ＝ x^3 3x ＋ 1\）的单调递增区间是（）A ＼（（＼infty, －1)＼）和＼（（1, ＋＼infty)＼）B ＼（（－1,1)＼）C ＼（（＼infty, ＋＼infty)＼）D 以上都不对5、曲线＼（y ＝ x^2 ＋ 1\）在点＼（（1, 2)＼）处的切线方程为（）A ＼（2x y ＝ 0\）B ＼（x 2y ＋ 3 ＝ 0\）C ＼（2x ＋ y 4 ＝ 0\）D ＼（x ＋ 2y 5 ＝ 0\）6、设函数＼（f(x)＼）在＼（x ＝ 0\）处连续，且＼（f(0) ＝2\），则＼（＼lim_{x ＼to 0} f(x)＼）的值为（）A 0B 1C 2D 不存在二、填空题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝＼ln(x ＋ 1)＼）的导数为________。

2、极限＼（＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{x^2 1}｛x 1}＼）的值为________。

3、曲线＼（y ＝ e^x\）在点＼（（0, 1)＼）处的切线斜率为________。

高等数学第一章测试题

高等数学（上）第一章函数与极限测试题1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=ϕ，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域为；2.函数)12ln(2712arcsin 2--+-=x xx x y 的定义域 ;3.下列哪些函数相同 ; (1) x ln 2与2ln x ； (2)2x 与x ； (3) x 与x x sgn .4.函数)1ln(2x x y ++=的奇偶性为；函数xex y 2=的奇偶性为；5. (1) 设52)2(2+-=+x x x f ，则=-)2(x f ； (2) 设x e f x =+)1(，则=)(x f ； (3)设221)1(x x x x f +=+，则=)(x f . .6.计算下列各极限： (1) 13322lim223++-→n n n n ; (2) ∑=∞→nk n nk 12lim； (3)))1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→n n n ;(4) )2141211(lim nn +++∞→ ; (5) 332)13)(2)(1(limnn n n n +++→; (6) )1(lim n n n -++∞→;(7) nnn n n 3232lim+-+∞→7.计算下列各极限： (1) 15lim3+-→x x x ； (2)15865lim223+-+-→x x x x x ； (3)hx h x h 220)(lim-+→； (4))1113(lim 31xxx ---→(5) 121lim22---∞→x x x x ； (6)31lim2+++∞→x x x x ； (7)157134lim32-++-∞→x x x x x ; (8) 203050)3()12()52(lim+++∞→x x x x ;(9) 145lim1---→x xx x8.计算下列各极限： (1) xx x 1sinlim 2→； (2) 11sin11lim22-++-∞→x x x x x ; (3) xxx arctan lim∞→9(1) 如果 51lim21=-++→xb ax x x ，求a 与b 的值。

高等数学同济第八版第一章考试试卷

高等数学同济第八版第一章考试试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y = √(9 - x^2) + (1)/(√(x - 1))的定义域是（）A. (1,3]B. [ - 3,3]C. (1,9]D. [1,3]2. 设f(x)=<=ft{begin{array}{ll}x^2,x≤slant 0 sin x,x > 0end{array}right.，则f(0)等于（）A. 0.B. 1.C. -1D. 不存在。

3. 函数y = (1)/(x - 1)在区间(1,2)内是（）A. 单调递增且有界。

B. 单调递增且无界。

C. 单调递减且有界。

D. 单调递减且无界。

4. lim_x→1frac{x^2-1}{x - 1}=（）A. 0.B. 1.C. 2.D. 不存在。

5. lim_x→∞(1+(1)/(x))^2x=（）A. eB. e^2C. (1)/(e)D. (1)/(e^2)6. 当x→0时，与x是等价无穷小的是（）A. sin^2xB. tan xC. ln(1 + x)D. 1-cos x7. lim_x→0(sin 3x)/(kx)= 2，则k=（）A. (3)/(2)B. (2)/(3)C. (1)/(2)D. (1)/(3)8. 函数y = f(x)在点x = a处连续是f(x)在点x = a处可导的（）A. 充分必要条件。

B. 充分非必要条件。

C. 必要非充分条件。

D. 既非充分也非必要条件。

9. 设y = lncos x，则y^′=（）A. tan xB. -tan xC. cot xD. -cot x10. 设y = x^e+e^x+ln x + e，则y^′=（）A. ex^e - 1+e^x+(1)/(x)B. x^e+e^x+(1)/(x)C. ex^e+e^x+(1)/(x)D. e^x+e^x+(1)/(x)二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数y = (√(x + 1))/(x - 1)的间断点是______。

高等数学1第1-3章测试题

《高等数学》（上）第1-3章自测题使用对象：2012级计机系、电子系本科学生一、填空题：1.设,0,cos 0,)(⎩⎨⎧>≤=-x x x e x f x 则=-)1(f ，=-)1(2x f .2.设函数3arcsin2lg)(x x x x f +-=，则它的定义域是 .3.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则a=4.如果⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,12sin )(2x x xe x xf ax 在),(+∞-∞内连续，则a =5.曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为，法线方程为 6.设函数21()1x x f x ax bx ⎧≤=⎨+>⎩在点1x =处可导，则a = ，b = .7. 设函数()f u 可导, 若3(cos 2)y f x x =+, 则dy dx=.8. 设2()y f x x =+且()f u 可导，则y ''= . 9. 设201223825y x x x =+-+，则(30)y = ． 10.设x xe x f =)(，则(10)()f x =.11.设y x y +=tan ，则____________dy =12.已知,arctan )(,2323/x x f x x f y =⎪⎭⎫⎝⎛+-=则==0x dxdy __________________13.函数233x x y -=在__________单调递减，其图形在是凹的.14.函数322312)(x x x x f -+=在处取得极小值，在处取得极大值，点是拐点. 15.21xy x=+的图形有铅直渐近线；有斜渐近线 .16.若函数32y ax bx cx d =+++在0x =处有极值0y =，点(1,1)是拐点，则a = ， b =，c = ，d = . 二、单项选择题：1. 下列函数在给定的变化过程中不是无穷小量的是( ).（A ）1()x f x e =， 0x +→ （B ）()ln f x x =，1x → （C ）()arctan 2f x xπ=-，x →+∞ （D）()f x =x →∞2. 设22()4x f x x +=-, 则2x =-是()f x 的( ).(A) 连续点(B) 可去间断点 (C) 跳跃间断点 (D) 第二类间断点 3. 当0x →时, （）与2x 是等价无穷小.(A)2ln(1)x + (B)21cos x - (C)2sin 1x + (D)2x x + 4.已知0()limx f x x→=，且(0)1f =，那么（）（A ）()f x 在0x =处不连续。

高等数学第一章单元测验试题及答案

4．k 取何值时，函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0,20,2tan )(x k x x x x x f 在0=x 处连续.5.判别函数11arctan )(2++=xx x x f 在0=x 处的间断点的类型.6.用极限定义证明：123182lim 23=--→x x x .（δε-定义）.7.求极限n n n 25sin 2lim ∞→。

8.求极限145lim 1---→x x x x 。

9.若0)11lim(2=--++∞→b ax x x x ，试确定常数a 、b 的值.10.已知函数)(x f 在],[b a 上连续，且b b f a a f 2)(,2)(≤≥，证明存在],[b a ∈ξ，使得ξξ2)(=f 。

5.判别函数11arctan )(2++=xx x x f 在0=x 处的间断点的类型.解：函数在0=x 处无定义，所以函数在0=x 处间断，…………3分又)(lim 0x f x →)11arctan (lim 20++=→xx x x 1100=++=，所以0=x 是第一类可去间断点.…….10分6.用极限定义证明：123182lim 23=--→x x x .（δε-定义）.证明：0>∀ε，要使|123)3)(3(2||123182|2--+-=---x x x x x ε<-=-+=|3|2|1262|x x ，………….4分只要2|3|ε<-x 。

取2εδ=，………….8分则当δ<-<|3|0x 时，有|123182|2---x x ε<-=|3|2x ，从而有123182lim 21=--→x x x 。

………….10分7.求极限n n n 25sin 2lim ∞→。

解：n n n 25sin 2lim ∞→=nn n 2125sin lim ∞→--------------------------------------------------------------------------------5分52525sin lim ⋅=∞→nn n 5=-----------------------------------------------------------------------10分8.求极限145lim 1---→x x x x 。

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理科A 班第一章综合测试题
一、填空题
1
、函数1()arccos(1)
f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f
g x x =-, 则()g x = .
3、已知1tan ,0,()ln(1)
, 0ax x e e x f x x a x +⎧+-≠⎪=+⎨⎪=⎩
在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n
n n c n c →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭
，则c = . 5
、函数y =的连续区间为 . 二、选择题
1、设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则（）为奇函数.
（A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x
2、设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（）.
（A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛（B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛
（C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛（D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛
3、设21(2)cos ,2,()4 0, 2,
x x f x x x ⎧+≠±⎪=-⎨⎪=±⎩ 则()f x （）. （A ）在点2x =，2x =-都连续（B ）在点2x =，2x =-都间断
（C ）在点2x =连续，在点2x =-间断（D ）在点2x =间断，在点2x =-连续
4、设lim 0n n n x y →∞
=，则下列断言正确的是（）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散（B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界
（C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小（D ）若1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
收敛，则{}n y 必为无穷
5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无穷小，则（）.
（A ）必有m n = （B ）必有m n > （C ）必有m n ≤ （D ）以上情况皆有可能三、设2,0,1()(||),(),0.2x x f x x x x x x ϕ<⎧=+=⎨≥⎩
求[()]f x ϕ,[()]f x ϕ. 四、求极限
1、22lim(4)tan 4x x x π→-
2、3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭
3、11lim 3x x x x →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
4、22212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭
5、1/1/011lim arctan 1x x x e e x
→+- 五、讨论函数22(4),0,sin ()(1),01
x x x x f x x x x x π⎧-<⎪⎪=⎨+⎪≥⎪-⎩的连续性，如有间断点，判别其类型.
六、设k A x
αβ==，求A 及k ，使得当x →+∞时，αβ . 七、已知()f x
连续，05x →=，求2
0()lim x f x x →. 八、设函数)(x f 在(,)-∞+∞内有定义，且在点0x =处连续，对任意1x 与2x 有1212()()()f x x f x f x +=+. 证明：)(x f 在(,)-∞+∞内连续.
九、证明：函数()[]f x x x =-在(,)-∞+∞上是有界的周期函数.
十、设)(x f 在]1,0[上非负连续，且(0)(1)0f f ==. 证明：对任意实数(01)a a <<必存在实数0[0,1]x ∈，使得0[0,1]x a +∈，且00()()f x a f x +=.。