第十二章 (拉普拉斯变换在电路分析中的应用)
拉普拉斯变换在电路分析中的应用)
目录
• 引言 • 拉普拉斯变换基本原理 • 电路元件拉普拉斯变换表示 • 线性时不变电路分析 • 非线性电路分析 • 复杂电路分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
电路分析的重要性
电路分析是电气工程和电子工程领域 的基础，对于设计和分析各种电路系 统至关重要。
复杂电路的挑战
独立电流源的拉普拉斯变换表示为 $frac{I}{s}$，其中$I$为电源电流。 在拉普拉斯域中，独立电流源的阻 抗与频率成反比。
传输线元件
传输线
传输线的拉普拉斯变换表示为$frac{1}{sqrt{LC}s}$，其中$L$和$C$分别为传 输线的单位长度电感和电容。传输线的阻抗与频率的平方根成反比，随着频率 的增加而减小。
与傅里叶变换的关系
拉普拉斯变换可视为傅里叶变换的扩展，能够处理更广泛 的信号和系统，包括不稳定系统和具有初始条件的系统。
在电路分析中的应用
拉普拉斯变换在电路分析中的主要应用包括求解线性时不 变电路的响应、分析电路的稳定性和暂态行为，以及设计 滤波器、控制器等电路元件。
02
拉普拉斯变换基本原理
定义与性质
利用伏安特性曲线或负载线等方 法，通过图形直观分析非线性电 路的工作状态。
解析法
通过建立非线性电路的数学模型， 采用数值计算或符号计算等方法 求解电路方程，得到电路的响应。
仿真法
利用电路仿真软件对非线性电路 进行建模和仿真分析，可以得到 较为准确的电路响应和性能参数。
拉普拉斯变换在非线性电路中应用
逆拉普拉斯变换
定义
逆拉普拉斯变换是将复平面上的函数转换回时域的过程，它 是拉普拉斯变换的逆操作。通过逆拉普拉斯变换，可以得到 电路的时域响应。
拉普拉斯变换在电路中的应用
拉普拉斯变换在电路中的应用在电路中，拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，它在分析电路的动态行为、求解电路的传递函数和时域响应等方面起着至关重要的作用。
拉普拉斯变换可以帮助我们将微分方程转化为代数方程，从而简化了电路分析的复杂性，使得我们能够更加方便地理解电路的工作原理和性能特性。
1. 拉普拉斯变换的基本概念和原理拉普拉斯变换是一种对函数进行积分变换的数学工具，它可以将一个时域函数转化为复频域函数，从而方便进行系统的动态分析和响应预测。
在电路分析中，我们经常会遇到包含电压、电流随时间变化的问题，通过应用拉普拉斯变换，我们可以将这些时域函数转化为复频域函数，更好地理解电路的行为和响应。
2. 拉普拉斯变换在电路分析中的应用通过拉普拉斯变换，我们可以方便地求解电路的传递函数，从而可以预测电路的动态响应和稳态性能。
这对于电路的设计和优化至关重要，因为我们可以通过分析传递函数，预测电路在不同频率下的响应特性，从而更好地进行电路参数选择和性能优化。
3. 拉普拉斯变换在滤波器设计中的应用滤波器是电子系统中常见的一个功能模块，它可以对信号进行滤波和频率选择，通过应用拉普拉斯变换，我们可以方便地分析滤波器的频率响应和频率特性。
这对于滤波器的设计和性能评估非常重要，因为我们可以通过分析频率响应，选择合适的滤波器类型和参数，从而满足系统对信号处理的要求。
4. 拉普拉斯变换在控制系统中的应用控制系统是现代工程技术中一个重要的方向，通过应用拉普拉斯变换，我们可以将控制系统的微分方程转化为代数方程，从而方便进行控制系统的分析和设计。
拉普拉斯变换在控制系统中的应用，可以帮助我们更好地理解控制系统的稳定性、性能和鲁棒性，从而更好地设计和优化控制系统。
5. 总结与展望通过对拉普拉斯变换在电路分析中的应用进行深入探讨，我们可以看到，在电路设计、滤波器设计和控制系统设计中，拉普拉斯变换都扮演着非常重要的角色。
它为我们提供了一种方便、高效的数学工具，帮助我们更好地理解电路的动态行为和系统的频率特性。
拉普拉斯变换在互感电路分析中的应用
第 ７卷第 ６期
２００８年 ６月
南 阳师 范 学 院 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ａ ｇ Ｎｏ ｍａ ｉ ｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｆＮａ ｙ ｎ ｒ ｌＵｎ ｖ ｒｉｙ
Ｖｏ ． ． １７ Ｎｏ ６
Ｊ ｎ． ２ ０８ ｕ ０
微分 方 程 研 究 电路 ， 电 路 的 网 络 结 构 复 杂 （ 路 和 节 点 当 支 较多 ） 时利 用微 分方 程 显 得 相 当 繁 琐 ． 简 化 分 析 过 程 ， 为 可
对 以上 两 式 两 边 进 行 拉 普 拉 斯 变 换 可 得 到 其 ｓ 关 系 ． 域
Ｖ （ ）＝ 。ｓ。ｓ 一ｉ（ 一 ］＋ ［ｌ（ ）一 ｏ一 ］ 。 ｓ Ｌ ［ｌ（ ） 。０ ） Ｍ ｓ ｓ ｉ（ ） ， ２ （ ）＝ ｓ （）一ｉ（ 一 ］＋ ［ｌ（ ）一 。０一 ］ （ ） ｓ Ｌ ［ｌ ｓ ２ ｏ ） Ｍ ｓ ｓ ｉ（ ） ． ４ 。 互感 元 件 ｓ 模 型 如 图 ４所 示 ． 域
傅 立 叶变 换 都 是 积 分 变 换 ， 它 比 傅 立 叶 变 换 有 更 广 泛 的 但 适应性 ， 是求 解 高 阶 复 杂 动 态 电路 的 有 效 而 重 要 的方 法 之
一
ｓ Ｃ
尺
９ Ｉ 。。 ‘。。— —Ｉ 。 。。 。
ＳＶ（ ｃ Ｏ）
— 卜 ｅ ．
（ 一 Ｓ） 一 ＋ （ 一
定 义 式 积分 收敛 ．
Ｊ
Ｉ ￡ ｅ ｔ ｆ ￡ －＋）ｔ ） ｄ ＝ ） （ｊ ｄ ｅ ｅ￣ｗ ｔ
Ｊ
（） １
—— ｛＝】 ＿＝ ＿ —一
一
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÷ＪＩ ， ＵＪ
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节拉普拉斯变换（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。
一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。
例12.1求斜坡函数()f t at =（0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。
解：0000[]()[]pt ptpt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞+∞+∞---+∞-==-=-+⎰⎰⎰二、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则 由于电流强度是电量对时间的变化率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim)()(0-+==→，所以，当0t ≠时，()0i t =；当0t =时，0000→→→→εεεε，即1)]([=t L δ。
例12.3现有一单位阶跃输入0,()1,t u t t <⎧=⎨≥⎩，求其拉氏变换。
解：00011[()]()1[]pt pt pt L u t u t e dt e dt e p p+∞+∞---+∞===-=⎰⎰，(0)p >。
例12.4求指数函数()at f t e =（a 为常数）的拉氏变换。
解：()001[]atat ptp a t L e e e dt e dt p a+∞+∞---===-⎰⎰，()p a >，即类似可得22[sin ](0)L t p p ωωω=>+；22[cos ](0)pL t p p ωω=>+。
拉普拉斯变换在电路中的应用
拉普拉斯变换在电路中的应用拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于电路分析和信号处理领域。
它是一种将时间域中的函数转换为频域中的函数的方法，可以简化电路分析的计算过程，提高计算效率和精确度。
本文将探讨拉普拉斯变换在电路中的应用。
一、拉普拉斯变换的定义与性质首先，我们来对拉普拉斯变换进行简要介绍。
拉普拉斯变换可以将时域函数 f(t) 转换为频域函数 F(s)，其定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，s 是复数变量，表示频域中的频率。
拉普拉斯变换具有线性性质和位移性质等重要性质，使得它成为电路分析中的重要工具。
二、1. 电路响应的计算拉普拉斯变换可以方便地计算电路的时域响应。
通过将电路中的元件和信号源转换为拉普拉斯域中的等效函数，可以建立电路的等效电路方程。
然后，对等效电路方程进行拉普拉斯变换，得到频域中的等效电路方程。
最后，通过求解频域方程，可以得到电路在不同频率下的响应。
2. 电路传递函数的求解电路传递函数是描述输入和输出关系的重要指标。
拉普拉斯变换可以方便地求解电路的传递函数。
通过将电路中的元件抽象为阻抗和导纳的拉普拉斯域表达式，并根据电路的串并联关系，可以得到电路的总阻抗和总导纳。
然后，将输入电压和输出电压的拉普拉斯域表达式相除，可以得到电路的传递函数。
3. 时域响应的计算得到电路的传递函数后，可以通过拉普拉斯逆变换将传递函数转换为时域响应。
通过对传递函数进行部分分式展开或使用拉普拉斯逆变换表格，可以获得电路的时域响应。
这在实际电路设计和故障诊断中非常有用，可以根据输入信号和电路响应来判断电路的性能和健康状况。
4. 稳定性分析拉普拉斯变换还可以用于电路的稳定性分析。
通过计算电路的传递函数，可以得到系统的极点和零点。
根据极点的位置，可以判断电路的稳定性。
拉普拉斯变换的极点在左半平面内时，电路是稳定的；而极点在右半平面内时，电路是不稳定的。
拉普拉斯变换及其在电路分析中的应用
拉普拉斯变换及其在电路分析中的应用拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它在电路分析中有着广泛的应用。
通过将电路中的各个元件抽象成数学模型，我们可以利用拉普拉斯变换来分析电路的性质和行为。
本文将介绍拉普拉斯变换的基本概念以及它在电路分析中的应用。
首先，我们来了解一下拉普拉斯变换的定义和性质。
拉普拉斯变换是一种从时域到复频域的变换，它将一个函数f(t)变换为另一个函数F(s)，其中s是复变量。
拉普拉斯变换的定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e^(-st)是拉普拉斯变换的核函数，s是复变量，f(t)是待变换的函数。
拉普拉斯变换具有线性性质、时移性质、频移性质等基本性质，这些性质使得它在电路分析中具有很大的优势。
在电路分析中，我们常常需要求解电路中的电压和电流。
通过应用拉普拉斯变换，我们可以将电路中的微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。
例如，对于一个由电阻、电感和电容组成的RLC电路，我们可以利用拉普拉斯变换将电路的微分方程转化为代数方程，然后求解得到电路中的电流和电压。
另外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路的稳态和暂态响应。
稳态响应是指电路在达到稳定状态后的响应，而暂态响应则是指电路在初始时刻的响应。
通过应用拉普拉斯变换，我们可以将电路中的微分方程转化为代数方程，并利用初始条件和边界条件求解得到电路的稳态和暂态响应。
此外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路中的频率响应。
频率响应描述了电路对不同频率信号的响应程度。
通过将输入信号和输出信号都进行拉普拉斯变换，我们可以得到电路的传递函数，从而分析电路在不同频率下的增益和相位特性。
这对于设计滤波器、放大器等电路非常重要。
除了以上应用之外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路的稳定性和控制系统的性能。
通过将电路的传递函数进行拉普拉斯变换，我们可以得到系统的极点和零点，从而判断系统的稳定性。
同时，拉普拉斯变换还可以用来分析控制系统的性能指标，如稳态误差、超调量和响应时间等。
拉普拉斯变换在电路分析中的应用
K1,K2¨¨Km的计算方法如下：
A( s) K k ( s sk ) B ( s ) s sk
则F(s)的拉氏反变换为：
L [ F ( s)] K k e
1 k 1
m
sk t
例1.
求 F ( s)
30( s 1)(s 2) s( s 3)(s 2 9s 20)
电感元件的VCR（积分形式）
1 t iL (t ) iL (0 ) u ( ) d L 0
, t 0
1 t [iL (t )] [iL (0 ) u ( ) d ] L 0 1 t [iL (0 )] [ u ( ) d ] L 0 iL (0 ) U ( s ) I (s) s sL
S域的零状态分析
零状态分析时的初始状态为零,所以电路的s域模型 就简化了: sL R I(s) 1/sC I(s)
I(s)
+ U(s) -
+ U(s) -
+
U(s) -
U (s) Z (s) I (s) I (s) Y (s) U ( s)
Z(S)称为广义阻抗(拉普拉斯阻抗)
Y(S)称为广义导纳
积分性质用于电容元件和电感元件VCR的S域形式 电容元件的VCR（积分形式）
1 t uc (t ) uc (0 ) i ( ) d , t 0 C 0 1 t L[uc (t )] L[uc (0 ) i ( ) d ] C 0 1 t L[uc (0 )] L[ i( ) d ] C 0 u c (0 ) I ( s ) U c (s) s sC
3. S域分析法的步骤 （1）建立电路的S域模型 求给定电源的拉氏变换，求C和L的初始值， 画出电路的S域模型。 （2）通过电路的S域模型，利用电阻电路的各种方 法，定理求解电路的响应。 （3）对在S域模型中求得的响应进行拉氏反变换， 即可得到电路的时域响应。
拉普拉斯变换在电路分析中的应用
拉普拉斯变换在电路分析中的应用
1.电路元件参数的拉普拉斯变换
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于将电路中的元件参数转化为复
频域的表达式。
例如，电阻、电感和电容的电压和电流之间的关系可以通
过拉普拉斯变换来表示。
这种方法可以简化电路的计算和分析过程。
2.电路的传递函数
3.零极点分析
利用拉普拉斯变换，可以计算电路的传递函数的零点和极点。
零点和
极点决定了电路的频率响应和稳定性。
通过分析电路的零极点分布，可以
优化电路的性能和稳定性。
4.阻抗和导纳分析
5.信号处理和滤波器设计
总结：
拉普拉斯变换在电路分析中有广泛的应用。
通过将电路中的元件和信
号转化为复频域的表达式，拉普拉斯变换可以简化电路的计算和分析过程。
具体而言，它可以用来分析电路的传递函数、频率响应、零极点分布、阻
抗和导纳等。
此外，拉普拉斯变换还可以用于信号处理和滤波器设计。
因此，掌握和应用拉普拉斯变换对于电路工程师和电子技术人员来说是非常
重要的。
拉普拉斯变换在电路分析中的应用S域分析法
时域中有：i(t) 0, u(t) 0
如果I (s)、U (s)分别为i(t)、u(t)的Laplace变换，则 由Laplace变换的线性性可得：
I (s) 0及U (s) 0。
5
电路的S域模型
二、元件VCR的s域模型
uR (t) RiR (t) U R (s) RI R (s)
动态电路的相量分析法和 s域分析法
第十二章
拉普拉斯变换在电路分析中的应用 （ S域分析法）
1
§12-1 拉普拉斯变换及其几个基本性质
运用拉普拉斯(Laplace)变换，简称拉氏变换进 行动态电路的分析方法称为拉氏变换法或复频 率域(S域)分析法。
2
3
Laplace变换的性质
4
§12-2 电路的S域模型
uR (t) RiR (t) U R (s) RI R (s)
iL (t)
1 L
t
0 uL ( )d
IL (s)
U (s) sL
uC
(t )
1 C
t
0 iC ( )d
UC (s)
I (s) sC
10
零状态分析
定义零状态元件两端电压与电流比值为广义
阻抗：
2)当u(t)
U se-t
(t)时，U(s)
Us
s
sC
i(t) (K1et K2et / RC ) (t)
I (s) H (s)U (s) U s s / R
s s 1/ RC
K1
USC , RC 1
K2
Us
电路分析基础(第2版) 第12章 拉普拉斯变换
i 1， 2， 3， ，n
s pi
待定系数确定之后，对应的原函数求解公式为：
f (t ) L [ F (s)] k1e
p1t
k2e
p2t
kn e
pnt
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电路分析基础
4s 5 求F ( s ) 2 的原函数f (t )。 s 5s 6
因为：F1 4s 5，F2 s 2 5s 6，F ' 2 (s) 2s 5
同理： L[cos t ] 1 1 1 s ( ) 2 2 s j s j s 2
返节目录
电路分析基础
2、微分性质
如果L[ f (t )] F (s), 则f (t )的导数f ' (t )
df (t ) ] sF (s) f (0 ) dt df (dt ) 可以证明：L[ ] f ' (t )e st dt 0 dt L[ f ' (t )] L[
返节目录
电路分析基础
拉普拉斯变换的唯一性
该式左边的f(t) 在这里称为F(s)的原函数，此式表明： 如果时域函数f(t)已知，通过拉氏反变换，又可得到它的象 函数F(s)，记作： f (t ) L1[ F (s)] 式中L-1[ ]也是一个算子，表示对括号内的象函数进行 拉氏反变换。 在拉氏变换中，一个时域函数f(t)惟一地对应一个复频 域函数F(s)；反过来，一个复频域函数F(s)惟一地对应一个 时域函数f(t)，即不同的原函数和不同的象函数之间有着一 一对应的关系，称为拉氏变换的惟一性。 注意在拉氏变换或反变换的过程中，原函数一律用小 写字母表示，而象函数则一律用相应的大写字母表示。如 电压原函数为u(t)，对应象函数为U(s)。
电路分析基础--拉普拉斯变换
F1′( s )( s − si ) + F1 ( s ) F1 ( si ) = lim = s → si F2′( s ) F2′( si )
F1 ( s i ) ki = F2′( s i )
f (t ) = ∑
i =1
n
F1 ( s i ) s i t e F2′( s i )
例1
− s2 − s + 5 F ( s) = s( s 2 + 3 s + 2)
1 1 1 ω ] = 2 = [ − 2 j S − jω S + jω S +ω2
2. 时域导数性质
设： L[ f ( t )] = F ( s )
df (t) L [ ] = sF(s) − f (0− ) dt
1 d 例1：L[cos ω t ] = L[ (sin ω t )] ω dt
二. 将F(s)进行部分分式展开 进行部分分式展开 象函数的一般形式： 象函数的一般形式：
F1 ( s ) a0 s m + a1 s m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m F ( s) = = F2 ( s ) b0 s n + b1 s n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + bn
(n > m )
F1 ( s ) a0 s m + a1 s m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m F ( s) = = F2 ( s ) b0 s n + b1 s n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + bn
f(t)与F(s)一 一对应 与 一
F ( s ) = ∞ f ( t )e − st dt 正变换 ∫0− F ( s ) = L[ f ( t )] 简写 1 σ + j∞ st f ( t ) = L−1 [F ( s )] f (t ) = ∫σ − j∞ F ( s )e ds t ≥ 0 反变换 2πj
拉普拉斯变换在电路中的应用
第一节
一些简单的 L-R-C 电路
在拉氏变换中，电阻、电容和电感都可以用阻抗来表示（为什么可以如此？请参见第三 部分） 。时域中的元器件经拉氏变换到 s 域，其值变换关系如下图所示： 时域
s域 图一、时域中的元器件在 s 域中的值 在 s 域中对电容和电感进行分析，就像分析电阻一样，只需要简单的加减乘除运算，从 而避免了复杂的求导和积分运算。看下面这个简单的例子：
（注：由于我侧重于拉氏变换解题，所以不考虑米勒等效定理的解法。 ） 解： （1） 、δ (t)的拉氏变换为 1，则 i(t)的拉氏变换为 I(s)=Q。则可以方便的写出如 下方程组：
0 V Vo V I ( s) Q 1 1 sC sC f V1 AV V1 V 2 1 R 1 sC sC V V o
u (t ) e t
Ci C f Ci ( A 1)C f
RC 。
（2） 、若（1+A）Cf >> Ci，则
uo (t )
Q Cf
u (t ) e t ，图略。
（3） 、由（2）知，uo 最终稳定在 Q/Cf，这是因为没有反馈电阻的缘故，如果加入反馈 电阻，则 Cf 上的电荷会通过反馈电阻放电，输出会加入一个指数衰减的尾巴。图略。
1/(sC)。 第三步：求出输出和输入的关系。
1 Vo Vi Vo Z2 1 sC H ( s) Z 2 Z1 Z 2 Vi Z1 Z 2 R 1 sRC 1 sC
式（1）
在得到 Vo 之后，可通过拉氏反变换（凑成附表 2 的 F(s)形式即可方便得到反变换） ，得 到时域的波形。 这个例子只是帮助大家理解 R、C、L 在 s 域中的阻抗表示方法，完整的例子请参考第二 节。 拉氏变换和傅氏变换的关系：在核电子学课中，我们可以简单的认为用 jw 代替 s，就 能由拉氏变换得到傅氏变换，在求解“已知输入波形，求输出波形”这类问题时，因为少个 虚数 j，用拉氏变换要方便一些，而且拉氏变换与拉氏反变换都有表可查。而傅氏变换的优 势在于， 其变量 w 表示频率， 具有实际的物理意义，H ( jw) 的物理意义是系统的频率响应。
李瀚荪《电路分析基础》(第4版)课后习题详解-第12章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用【圣才出品】
第12章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用
§12-1 拉普拉斯变换及其几个基本性质
12-1 RC 串联电路t ＝0时与10 V 电压源接通，已知R ＝2MΩ、C ＝1μF，试用拉氏变换法求电流i （t ）和电容电压M 。
（t ）， t≥0。
已知u C （0－）＝0。
解：电路如图
12-1（a ）所示，画出电路的
s 域模型如图
12-1（b
）所示，可得（s ）的反变换为
比较系数得
解得
所以
U （s ）的反变换为
图12-1
12-2 RL 并联电路如图
12-2所示，已知
试用拉氏变换法求u （t ），
t≥0。
图
12-2
图12-3
解：画出电路的s 域模型如图12-3所示。
列出方程
反变换得。
12-3 t≥0
时电路如图12-4所示，已知，试求
图
12-4
图12-5
解：方法一：画出电路的s域模型如图12-5所示。
列出方程
所以
解得反变换得
方法二：用戴维南定理。
在图12-5中，断开电容支路，得接上电容支路，得以下与方法一相同。
12-4 电路如图12-6所示，
t ＝0时开关打开，求。
图12-6
图12-7
解：画出电路的s 域模型如图12-7所示。
可列出方程
反变换得
§12-2 反拉普拉斯变换
——赫维赛德展开定理
12-5 求若F （s ）为：
解：
所以
F （s ）为假分式，不能直接使用赫维赛德定理。
用长除法，得对真分式部分有
所以。
拉普拉斯变换在电路分析中的应用.pdf
拉普拉斯变换在电路分析中的应用电气13-3班周俊楠摘要:讨论如何利用拉普拉斯变换方法解决复杂电路分析问题,关键词:拉普拉斯变换;电路分析;应用在电路分析中，对于具有多个动态原件额复杂电路，用直接求解微分方程额方法比较困难。
此时可用积分变换法进行求解。
就是将时域函数变换为复频域函数，从而把时域的微分方程换为复频域的代数方程。
拉普拉斯变换就是一种重要的积分变换。
￡变换一直是分析这类系统极为有效的方法.而且,由于拉普拉斯变换与￡变换有着很多类似之处,能够让我们在对电路分析中更加便捷。
1拉普拉斯变换111变换的目的11853 来求解x是非常麻烦的. 但却可以通过某种改造使问题得到简化.现对方程两侧取对数,得:1185lg x= lg3lg x=lg3= 0õ25791õ 85x = lg- 1(012579) = 116991从此例可以总结出几个特点:(1) 在例1 中, 我们使用的变换, 实际上是函数y = lg x , 对于每一个x值都赋于一个y值,即lg(õ) ;(2) 反函数 lg- 1 (õ) 也是单值函数;(3) 在实数域里, lg x的定义域为x > 0;在解决和分析问题时,我们常常对问题的数学表达式进( )变换lg(õ)和反变换lg - 1 ( ) 都可双列成表册,以便查4 õ行某种改造,希望通过这种改造,能够用更简单、更通用的方用.法去解决较为复杂的问题.上述这种改造,在数学上就可以称之为变换(或映射).这种过程可以用图1的方框图来说明.原问题变换较易解决解在变换域反变换原问题的问题里求解的解图1变换方法原理图例1解方程x1185 = 3方程中的幂指数不是整数,要直接计算3的1185次方根1 2拉普拉斯变换õ(1) 设f(t) 为时间t的函数,且当t< 0时,f(t) = 0;S = T + j X 为复数则定义拉普拉斯变换e-st d tL [ f ( t) ] = F (s) =∫0∞f ( t)õ(2) 求函数拉普拉斯变换方法的总结.∞①直接利用定义式F(s) =∫f(t)õe-st d t求解②利用已知函数的拉普拉斯变换及拉普拉斯变换性质求F (s )③ 查表法113 拉普拉斯反变∞在数学上, 根据拉普拉斯变换定义F (s ) = ∫f ( t ) õ e - std t1c + j ∞st 可以得出拉普拉斯反变换的公式是f ( t )=2∫j c -j ∞F (s ) e d s ,式中C 是实常数, 为收敛横坐标, 它应比 F P一切奇点的实部都要大.直接用上述公式求拉普拉斯反变换是十分复杂的, 通常是将复杂的 F (s ) 展开成部分分式, 再利用拉普拉斯变换的线性性质和基本变换表来求 F (s ) 对应的 f ( t ).例 已知函数F (s ) = S 2 + 29S + 30 的三个极点是S1 S 3 + 7S 2+ 10S= 0, S 2 = - 2 和S 3 =-5. 因此可以展开为下列形式: S 2 + 29S + 30 = A + B + CS 3 + 7S 2 + 10S S S + 2 S + 5将上式右边通分, 则其分母与原函数相同, 而等式两边的分子多项式为:S 2+ 29S + 30 = (A + B + C ) S 2+ (7A + 5B + 2C ) S+ 10A比较等号两边对应项的函数, 得: A + B + C = 1 7A + 5B + 2C = 29 10A = 30 解上面的线性方程组, 即可确定各函数为: A = 3, B = 4, C = - 6 从而, 有F (s ) =3+4 - 6和 f ( t ) = 3 + 4g - 3t -s2s + 5s +6e - 5t2 拉普拉斯变换的应用这里讨论的范围, 只限于线性定常系统. 所谓系统, 是用来处理各种输入信号的装置. 这种处理可以用硬件来实现, 如由各种电器元件组成的电路网络, 机械元件组成的运动系统,都统称为系统. 这些系统的规律也可以用某种数学方法来描 述, 如电路方程, 微分方程, 硬件系统的传递函数(网络函数)等. 这时, 我们也称这些数学表达方式为系统. 也就是说, 系统也可以是指从实际物理元件组合中抽出来的数学规律. 系统可以用软件表示, 因为只要把这些规律掌握了, 对实际系统的特性也就能充分地了解了.211 用拉普拉斯变换方法解线性微分方程这里拉普拉斯变换的一个最基本的应用. 含有未知数f ( t ) 及其各阶导数方程称为微分方程. 如果 f ( t ) 及其各阶导数都是一次的, 则称之为线性微分方程. 线性微分方程常常被用来描述各种各样的动态系统.例 解微分方程d 2f ( t )õ d f ( t ) õ ( t )2 + 3+ 6 f d t d tf(0) = 0, f (0) = 3微分方程的拉普拉斯变换是 S 2F (S ) - S f (0) - f ’ (0) + 3S F (S ) - 3f (0) + 6F (S ) = 0代入初始条件, 并求出 F (S )F (S ) = 3S 2+ 35 + 615 = 232515)2(S+ 1 5) 2 + (2 F (s ) 的反拉普拉斯变换就是原方程的解, 即2f ( t ) = L - 1 [ F (s ) ] =3e - 1. 5t Sin (15 t )从以上分析可知, 所谓用拉普拉斯变换解决问题的方法,实质上就是把时间域里的问题变换到S 域去求解, 最后通过反变换再返回时间域. 上述拉普拉斯变换中的复数S (或S 域)常常称为复频率(或复频域).212 电路复频域分析方法例 应用S 域分析法求一般二阶电路的阶跃响应, 如图2 所示电路, 求阶跃响应 u ( t ) 和 i ( t ).图 2 二阶电路解: (解题思路) 本题是一般直流二阶电路求阶跃响应, 即零状态响应. 作S 域模型时, 初始状态为零, 电感元件和电容元件S 域模型中没有附加电压源. S 域分析计算的步骤是, 首先作出时域电路的S 域模型, 然后应用节点分析法求解出待求量的象函数, 并将其展开为部分分式, 最后反变换为时域响应.关于信号, 在电路网络中就是指电压和电流, 一般通指系(解题方法)统中一些变量, 和机械系统的位置、速度、压力和流量等等. 设(1) 作出时域电路的S 域模型如图 3 所示. 其电压源的象 一个系统, 在输入为 f 1 ( t ) 和f 2 ( t ) 时的输出为y 1 ( t ) 和y 2( t ) , 函数是 10 , 复频域感抗 Z L (S ) = S , 复频域容抗 Z c (s ) = 1.若输入为af 1 ( t ) + bf 2 ( t ) 时, 其输出为ay 1 ( t ) + by 2 ( t ) (a , b 为 S S常数) , 则这个系统为线性系统. 如果系统的参数(如电阻、电 (2) 求电压 u ( t ) , 应用节点分析法, 列出节点方程为10容值等) 是不随时间改变的, 则称该系统为定常系统或时不变 ( 1 + S + 1)U (S ) = S 系统. S + 1 S + 1(S 2+ 2S + 2)U (S ) =10SU (S ) =10S (S 2 + 2S + 2)= 10S (S + 1 - j ) (S + 1 + j )= K 1 + K 2 +K 3S S + 1 - j S + 1 + j计算待定常数k 1 = 3 õ U (s ) û s = 0 10 ûs = 0 = 5sS+ 2S +2k 2 = (s + 1 -j ) õU (s ) û s = - 1+ j =10 û= -s (s + 1 + j )5< -45°2k 3 = k 2 = -5< 45°2进行拉氏反变换得出( )- 1( )10- t() õ E ( )u t = L [U s ] = [ 5 - 2 co s t - 45°] t t V图 3 S 域模型(3) 求 i ( t )电路的S 域阻抗为 Z (s ) =(s + 1) + 1s + 1U s (S ) 10故 I (s ) = = s1Z (s )s +1 +s + 1=10 (S + 1)S (S 2 + 2S + 2)= 10 (s + 1)s (s + 1 - j ) (s + 1 + j )= K 1+ K 2 + K 3S s + 1 - j s + 1 + j计算待定常数k 1 = s I (s )s = 0= 10 (S + 1)s = 0= 5S + 2S + 2k 2 = (s + 1 - j ) õI (s ) û s = - 1+ j = 10 (s + 1)û s = - 1+ js (s + 1 + j ) = -5 < 45°5 õ û ] = [ 5 - 2 û °=k 3 = k 2 = - 5 < 45°55 5I (s ) = 5 - < 45° < - 45°2 5ss + 1 - j s + 1 + j进行反拉氏变换得出 10e - t co s ( t + 45 ) ]( t )Ai ( t )L- 1[ I (s )õ E213 频率特性及波特图系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应. 可以证明, 线性定常系统在正弦输入的激励下, 其输出为与输入同频率的正弦信号. 但其幅度及相位将发生一定的变化, 不过, 对于不同的频率, 输出信号的幅度及相位的变化是不同的. 以图 4 的R C 电路为例. 当u 1 ( t ) 的频率很低时, 电容C 相当于开路, R中无电流通过, 即u 2 ( t ) = u 1 ( t ) 而当u 1 ( t ) 为高频信号时, 电容C相当于短路, 则u 2 ( t ) = 0. 频率特性就是用来描述系统这种性能的.频率特性可以简单地用 jw 代替系统传递函数中的S 而获得.图 4R c 电路的电压传输函数是1G (s ) = U 2 (s )=sc = 1U 1 (s ) R +1 1 + R CSsc图 4 R C 电路在正弦稳态的情况下, 将S 变为 j X , 即得到它的频率特性(又称正弦传递函数).X U 2 ( j ) 1( j ) =1 + j R CG ( j ) = UXû X û ûX Xû X它的幅频特性(幅度随频率变化的函数)1G ( j ) ==1X+ j R C1 + ( R C ) 2相频特性(相位随频率变化的函数) 7 = - lg - 1 (X R C )如果以横坐标表示频率 X , 用纵坐标表示幅度或相位, 就可以分别画出它的幅频特性曲线和相频特性曲线. 频率特性的图标形式有很多种, 工程上用得最多的是对数坐标图, 即波特(Bode) 图.用波特图描述频率特性时, 采用的是半对数坐标, 频率采XX XXXX用对数分度, 即以 lg 2 - lg 1 = lg21当 2 = 10 1 , 其频率间隔就称为十倍频程, 这时 lg 2 =û X X û û ûX û X û X 1lg10 = 1. = X也就是说, 可以以十倍频程的频率点(如10 和 100, 100 和 1000, 25 和 250 等) 间的间隔长度是相等的.波特图的幅度用分贝(dB ) 作单位, 角度用度或弧度作单位. 表达式为 G ( j ) (dB ) = 20tg G ( j )采用这种记法的好处在于 G ( j ) 中相乘的项被化为相加, 这给作图提供了极大方便, 例如T2 220lg 1 + T = 20lg (T X - 20lg1 + T这样就可以只研究G ( j X ) 的各种典型因子(与拉普拉斯反变换时相类似) 的波特图, 然后再进行代数或图解加法得到© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. ûG ( j X ) û 的波特图.一般把任意正弦传输函数分解为几种典型因子乘积:(1) 比例系数 K ;X º º(2) 纯 j X+ 1因子(积分或微分因子)(3) 一阶因子(1 + j T ) 1; XöX(4) 二阶因子[ 1 + 2 N XöX+ ( j1.( jn)n ) ]用一阶因子为例说明波特图的画法, 图 4 中R C 网络的传输函数就属于这种形式.设G ( j X (1 + X - 1 , 则) = j T )û X ûûX û( j = 20tg (1 + = - 20tg 1 + T 2 û G ) û j T ) - 1 2Xn 1 ö 或 T X n X X m低频时, 即 T 1, 可以近似表示为:G ( j ) = - 20lg 1 + T 2 2 ≈ - 20lg1 = 0ö因此, 低频时对数幅值曲线是零分贝线. 高频时, 即或 3X1 T》1, 则û ( j X û= - 20lg 1 + T 2 X20lg T X G ) 2 ≈ -X在 X=1 öX=ö时为 - 20 分贝, T 时为零分贝; 在 10 T = 100 ö 时为 - 40 分贝. 即 X每增加十倍就减少 20 分贝. 这T 样(1 +T 2 X1 的幅频特性可以用两条渐近直线来近似: 当 02 ) < X< ö ö X< ∞ 时, 是斜率为1 T 时, 是 0dB 的直线; 当 1 T <- 20dB ö十倍频程的直线, 图 5 就是它的近似曲线和精确曲线. 两条直线的交点 X = ö称为转角频率. 采用近似线的最 1 T 大误差出现在转角频率处, 这时误差为: - 20lg 1 + 1 -(- 20lg1) =-º10lg2 = - 1 01 即最大误差约为 3dB.3图 5 幅频特性渐近线( )= ( 1 + j X T ) - 1 的幅角7 为7 = - lg - 1 ( X T ) 当频 G j X率为零时, 幅角为零; 当频率趋于无穷大时, 为 - 90°;在转角频率处, 为 7 = - lg - 1 TT = - 45°,由于 7 是反正切函数, 它对拐点 7 = - 45°是斜对称的.用渐近线(或加以修正) 来描绘波特图的方法在工程上应 用很广. 绘制任意传输函数G ( j X ) 的波特图时, 一般可按下述 步骤进行:(1) 将G ( j X ) 分解为基本因子的乘积;(2) 找出这些因子的转角频率; (3) 在转角频率之间以适当斜率(如 - 20 分贝 ö十倍频程) 画出对应的渐近对数幅值曲线;(4) 在渐近线基础上加以适当修正, 即得幅频曲线; (5) 将各因子的相角曲线相加, 即得相频曲线.除了本文所述内容之外, 拉普拉斯变换还有许多应用,例如数学上还可以用来解一类积分方程, 偏微分方程等等. 而传输函数的远不止子电气工程, 从一般工业过程控制, 能源工程控制, 乃至尖端的航天飞行器的设计上, 都应用到传输函数的概念.[ 参 考 文 献][ 1 ]李瀚荪. 电路及磁路[M ]. 北京: 中央广播电视大学出版社, 1998. [ 2 ]向国菊, 孙鲁扬. 电路典型题解[M ]. 北京: 清华大学出版社, 1998. [ 3 ]胡锡恒. 实用拉普拉斯变换和 Z 变换手册[M ]. 北京: 电子工业出版社, 1998.[ 4 ]邱关源. 电网络理论[M ]. 北京: 科学出版社, 1995.[5 ] 孙虎章. 自动控制原理[M ]. 北京: 中央广播电视大学出版社, 1987.[6 ]邱关源 电路 高等教育出版社 2006[7] 张鸿艳 复变函数与积分变换 化学工业出版社 2011。
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2023电路分析基础第四版下册(李瀚荪著)课后答案下载电路分析基础第四版下册(李瀚荪著)内容简介下册第三篇动态电路的相量分析法和s域分析法第八章阻抗和导纳8—1 变换方法的概念8—2 复数8—3 振幅相量8—4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式8—5 三种基本电路元件VCR的相量形式8—6 VCR相量形式的统一——阻抗和导纳的引入8—7 弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比——相量模型的引入8—8 正弦稳态混联电路的分析8—9 相量模型的网孔分析和节点分析8—10 相量模型的等效8—11 有效值有效值相量8—12 两类特殊问题相量图法习题第九章正弦稳态功率和能量三相电路 9—1 基本概念9—2 电阻的平均功率9—3 电感、电容的平均储能9—4 单口网络的`平均功率9—5 单口网络的无功功率9—6 复功率复功率守恒9—7 弦稳态最大功率传递定理9—8 三相电路习题第十章频率响应多频正弦稳态电路 10一1 基本概念10—2 再论阻抗和导纳10—3 正弦稳态网络函数10—4 正弦稳态的叠加10—5 平均功率的叠加10—6 R1C电路的谐振习题第十一章耦合电感和理想变压器11—1 基本概念11—2 耦合电感的VCR耦合系数11—3 空心变压器电路的分析反映阻抗11—4 耦合电感的去耦等效电路11—5 理想变压器的VCR11—6 理想变压器的阻抗变换性质11—7 理想变压器的实现11—8 铁心变压器的模型习题第十二章拉普拉斯变换在电路分析中的应用 12一1 拉普拉斯变换及其几个基本性质12—2 反拉普拉斯变换——赫维赛德展开定理 12—3 零状态分析12—4 网络函数和冲激响应12—5 线性时不变电路的叠加公式习题附录A 复习、检查用题附录B 复习大纲部分习题答案(下册)索引结束语电路分析基础第四版下册(李瀚荪著)目录《电路分析基础》(下高等学校教材)第4版下册讲授动态电路的相量分析法和s域分析法。
具体内容有：阻抗和导纳、正弦稳态功率和能量/三相电路、频率响应/多频正弦稳态电路、耦合电感和理想变压器、拉普拉斯变换在电路分析中的应用。
拉普拉斯变换及其数学思想在电路分析中的应用
是我们想要了解的电路（或系统）的行为。
分析：由于出现 x ，不容易对其进行积分，可以通过
2
一种变换把 x 换掉进行求解。令 t= x ，则 x=t（t≥0）
，
dt=2tdt
则称 F（s）为 F（t）的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），
记作 F（s）=L［f（t）］并称 F（s）为 （
f t）的相函数［1］。
收稿日期：2015-6-12
作者简介：吴世林（1992.03-），男，本科，
求解拉普拉斯变换方程显然比求解高阶微分方程方
，在正弦稳态下，
将 s 变为 jw 即得到它的频率特性：
便得多，并且方法灵活，根据基本的拉普拉斯变换对结合
拉普拉斯性质和欧拉公式可以很方便地求解复杂问题。
3
进而可得幅频特性：
拉普拉斯变换的应用
利用拉普拉斯变换将电路各元件 s 域模型化后，可以
把电路的叠加定理、电源变换、戴维宁定理、诺顿定理等
越性，根据拉普拉斯变换可以得到零状态响应与零输入
拉斯反变换。
求函数的拉普拉斯变换的方法比较多，
总结起来有：
响应之和，而借助网络函数求解零状态响应对网络信号
①直接利用定义式
分析更加方便、实用。
求解。
3.2
②利用已知函数的拉普拉斯变换方法及拉普拉斯性
质求解。
利用拉普拉斯变换求解频率特性
根据上式
③查表法。
Laplasse
s mathematical thought to Laplasse transform in the circuit analysis，and expounds the important signifi⁃
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N 。
这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。
一、拉氏变换的基本概念定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义，若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作()F P ，即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()( （12.1）称（12.1）式为函数()f t 的拉氏变换式，用记号[()]()L f t F P =表示。
函数()F P 称为()f t 的拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。
函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换（或称为()F P 象原函数），记作)()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=。
关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：（1）在定义中，只要求()f t 在0t ≥时有定义。
为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t <时，()0f t =。
（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。
为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。
（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。
一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。
例12.1 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。
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f (t) (2.5et 10e2t 7.5e3t ) (t)
(b) B(s)=0 含有重根情况
12-15
例题 解
F(s) → f(t)，已知 F(s) s 1 。
s2 4s 4
F(s) s 1 K11 K12 (s 2)2 s 2 (s 2)2
cos t
1 s A s 1
(s )
s
s2 2
§2 s 域模型
12-5
使用相量法，可不必从列电路微分方程做起， 根据两类约束的相量形式，利用相量模型，仿照 电阻电路的解法，即可解决问题，关键在于引入Z、 Y。拉氏变换法也可根据两类约束的s域形式，利用 s域模型，仿照电阻电路的解法，即可解决问题， 关键在于引入广义(generalized)阻抗Z(s) 、导纳 Y(s)。
§1 基本概念
12-2
(1) 变换方法的基本步骤
(a) 变换 如相量法中，正弦的t函数→相量(复数)
(b) 在变换域运算 如相量法中对相量进行复数运算 (c) 反变换 回归到时域
(2) 拉氏变换方法的三个步骤
(a)变换 把函数f(t)→F(s) (拉氏变换)
(b)在s域中运算(利用s域模型)
(c)反变换 回归到时域(方法的难点所在)
第十二章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用
重提基本结构
一个假设→集总模型（电阻电路和动态电路） 两类约束→VCR + KCL、KVL 三大基本方法
1.叠加方法 2.分解方法
模型的化简
3.变换域方法 ---模型的类比(第三篇)
变换与类比
变换
动态电路的时域模型 变 换为
①1 相量模型 →适用于正弦稳态分析
类似地，KVL的s域形式为 U(s) 0
提问：u(t) Ri(t)的s域形式？
(b)拉氏变换的积分性质 若
L[f (t)] F(s)，则
L
t 0
f
(
)d
1 s
F(s)
12-7
由此可得电容、电感VCR的s域形式。
➢电容VCR的s域形式
提问 ：
u(t)
u (0
L[iL
(0
)]
2 s
(b)作s域模型，得
I(s)
40 10 s
2(s 4)
5s 10 s(s 2)
10Ω
+
10Ω
- us=40V 5H
10
+ 40
10
-s 2
s
5S
I(s)
10
+ 40
5s
-s
-
10
I(s) +
i(t)
注意：本例为非零初始状态！易犯的错误：
s域模型中未考虑初始电流源！
)
1 C
t
i( )d
0
△若 u(0 ) 0 ，s域模型如何？ △与相量模型区别何在？
L[u(t)]
L[u(0－)]
L[
1 C
t i( )d ] u(0 )
0
s
I (s) u(0 ) s
I (s)
ZC
(s)
1 sC
电容的广义阻抗
i +u(0--) C
u(0-)
0
0
s
0
s
s
即 (t) 1
s
如同 Im cos(t ) Im
(4) 数学家已表明拉氏变换可用来简化
线性常系数常微分方程的求解。
12-4
数学家已对各类的f(t)求得相应的F(s)，制成手册， 供查阅，如同查对数表。如
f (t) t 0
F (s)
(t)
A
e t
单一激励下定义。与叠加方法相结合。
(2) s域模型的网络函数 H(s)
单一激励下，网络函数的定义
H (s)
L[
零状态响 应]
L[激 励]
Y (s) X (s)
即
L[零状态响应] H (s) L[激励]
12-18
①
(3) 三个例题
12-19
(a) 求图所示电路的网络函数 U(s) I (s) 。 +
L1[
1 C
t
]
1
e RC
(t)
s
1 RC
C
② 网络函数的极点是网络的固有频率 ③
另外，由本例可知：t=0时，冲激电流通过C，
引起电容电压由零到
1 C
V的跃变。
(c)求图所示电路 i(t）、t 0 。已知u(t) 40sin( 3t)V。12-21
t=0
+
u(t)
- i(t)
0
△若 i(0 ) 0 ，s 域模型如何？
L[i(t)] i(0 )
U (s) i(0 )
U (s)
s
s
ZL (s) sL 电感的广义阻抗
iL
I(s) sL i(0 )
i(0 )
s
-
-
-
-
+u
时域模型
+ U(s) s域模型
练
习 求所示时域电路的相量模型和零初始状态的s域模型。 12-9
解
作零初始状态s域模型。
i(t) c = R u(t)
R 1 H (s) U (s) I (s) Z (s) sC
RHale Waihona Puke -R 1 sRC 1
+
sC
求网络函数，必须明确：
I(s) 1 = R U(s)
何者为响应，何者为激励。
sc
-
(b) 接续上题，若 i(t) (t) ，试求u(t)、即冲激响应h(t)。12-20
| | K1
(s
1)I (s)
s 1
(s
5s 2)(s
3)
s 1
2.5
| K2 (s 2)I (s) s2 10 | K3 (s 3)I (s) s3 7.5
f (t) F (s)
e t
1
s
I (s) 2.5 10 7.5 s 1 s 2 s 3
(3) 拉氏变换
12-3
定义式 L[ f (t)] f (t)estdt F(s) 0
其中s为复变数(复频率) s j
例题
| L[ (t)] (t)est dt est dt 1 est 1 (0 1) 1
(1) 两类约束的s域表达式
12-6
(a)拉氏变换的线性性质
L[1 f1 (t) 2 f2 (t)] 1F1(s) 2 F2 (s)
由此可推广运用得KCL、KVL的s域形式：
若 L[i(t)] I (s) 则 i(t) 0
其s域形式为 L[i(t)] I(s) 0
s(s 2) s s 2
求K1：
s I(s) 2s 8
s2
K1
sK 2 s2
| | 2s 8
s2
s0
K1
sK 2 s2
s0
K1 4
求K
：
2
(s
2) I (s)
2s 8 s
K1(s s
2)
K2
| | 2s 8
s
s2
K1(s s
8Ω 2H
8
+
U(s)
2s
- I(s)
解 作s域模型
U (s)
L
[40sin( 3t)]
40( s2
3 32
)
120 s2 32
I (s) U (s)H (s) H(s) Y(s) 1
8 2s
I (s) 120 1
60
s 2 32 8 2s (s 4)(s j3)(s j3)
②2 s域模型 →适用于线性时不变电路的一般分析
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯变换
类比 1 、2 两种模型均与电阻模型作类比，从而
得以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这 是一种手段，较简便地得到客观存在的动态 电路时域响应。
本章分为
12-1
§1 基本概念 §2 s 域模型 §3 反变换—赫维赛德展开定理 §4 网络函数与叠加方法
2)
s2
K2
K2 2
与比较系数法所得结果相同。此处系根据
赫维赛德定理所提供的方法求解。
(2)对线性时不变电路情况
12-13
对线性时不变电路，在如教材表12-1所示各类 f(t)激励下，所得F(s)为s的有理函数，可表为
F (s) A(s) B(s)
即两s多项式之比。如同上例，可将F(s)表为 部分分式之和，以便运用赫维赛德定理得出所需 结果。为此需对B(s)进行因式分解。
f (t)
sin t e t
F (s)
s2 2
1
s
I(s)
120 s2 32
1 8 2s
(s
4)(s
60 j3)(s
j3)
12-22
解得
i(t) L1[I (s)] L1[ K1
K2
K
* 2
]
s 4 s j3 s j3
K1 2.4