第十二章 (拉普拉斯变换在电路分析中的应用)

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拉氏变换在电路分析中的应用

拉氏变换在电路分析中的应用
13.1.4
以一个典型的二阶电路为例: , , , , ,
该电路的电路方程为:
其中且: ,
两边同时拉氏变换:
13
一般不再使用原始定义式,而采用部分分式展开,然后查表的方法。
电路响应往往为两个实系数的s的多项式之比。即 ,而在电路分析中,该式一般为真分式。(如果计算式不为真分式,可以将其化成多项式与一个真分式的和)
拉氏变换正是简化这类计算得有效方法之一。通过拉氏变换,用电压、电流对应的复频域象函数代替相应的时间函数,即可将原线性微分方程变换为相应的线性代数方程,从而大大简化电路方程的求解。
13-1
13
一、拉氏变换
定义在区间 内的函数 ,其拉氏变换 的定义为
其中 为复频率 , 为 的象函数, 为 的原函数。
二、拉氏反变换
根据节点电压法:
所以:
4.借助拉时变换表及部分分式展开,对响应的象函数进行反变换,得出时域响应。
二、例题
1.已知:
求:电路的零状态响应
解:绘出电路对应的复频域模型(运算电路)
其中:
所以:
2.已知:
求: ,
解: ,
因此可以绘出原电路对应的复频域模型
所以
所以: ,
3.已知: ,
求:电路的零状态响应
解:绘出电路对应的复频域模型(运算电路)。
下面我们来看一看真分式的部分分式展开。

拉普拉斯变换在电路分析中的应用)

拉普拉斯变换在电路分析中的应用)

拉普拉斯变换的优势
拉普拉斯变换是一种在复数域内分析 线性时不变系统的强大工具,可将微 分方程转换为代数方程,从而简化电 路分析过程。
对于包含多个元件和复杂动态行为的 电路,传统的分析方法可能难以处理。
拉普拉斯变换简介
定义与性质
拉普拉斯变换是一种线性积分变换,用于将时间域函数转 换为复数域函数。它具有线性性、时移性、频移性、微分 性和积分性等重要性质。
电容元件
电容的拉普拉斯变换表示为 $frac{1}{sC}$,其中$C$为电容值, $s$为复频率。电容的阻抗与频率成 反比,随着频率的增加而减小。
电源元件
独立电压源
独立电压源的拉普拉斯变换表示为 $frac{E}{s}$,其中$E$为电源电压。 在拉普拉斯域中,独立电压源的阻 抗与频率成反比。
独立电流源
拉普拉斯变换在电路 分析中的应用
目录
• 引言 • 拉普拉斯变换基本原理 • 电路元件拉普拉斯变换表示 • 线性时不变电路分析 • 非线性电路分析 • 复杂电路分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
电路分析的重要性
电路分析是电气工程和电子工程领域 的基础,对于设计和分析各种电路系 统至关重要。
复杂电路的挑战
03
电路元件拉普拉斯变换表 示
电阻、电感、电容元件
电阻元件
电阻的拉普拉斯变换表示为$R$, 其中$R$为电阻值。在拉普拉斯 域中,电阻的阻抗与频率无关, 保持为常数。

拉普拉斯变换在电路中的应用

拉普拉斯变换在电路中的应用

拉普拉斯变换在电路中的应用

在电路中,拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具,它在分析电路

的动态行为、求解电路的传递函数和时域响应等方面起着至关重要的

作用。拉普拉斯变换可以帮助我们将微分方程转化为代数方程,从而

简化了电路分析的复杂性,使得我们能够更加方便地理解电路的工作

原理和性能特性。

1. 拉普拉斯变换的基本概念和原理

拉普拉斯变换是一种对函数进行积分变换的数学工具,它可以将一个

时域函数转化为复频域函数,从而方便进行系统的动态分析和响应预测。在电路分析中,我们经常会遇到包含电压、电流随时间变化的问题,通过应用拉普拉斯变换,我们可以将这些时域函数转化为复频域

函数,更好地理解电路的行为和响应。

2. 拉普拉斯变换在电路分析中的应用

通过拉普拉斯变换,我们可以方便地求解电路的传递函数,从而可以

预测电路的动态响应和稳态性能。这对于电路的设计和优化至关重要,因为我们可以通过分析传递函数,预测电路在不同频率下的响应特性,从而更好地进行电路参数选择和性能优化。

3. 拉普拉斯变换在滤波器设计中的应用

滤波器是电子系统中常见的一个功能模块,它可以对信号进行滤波和

频率选择,通过应用拉普拉斯变换,我们可以方便地分析滤波器的频

率响应和频率特性。这对于滤波器的设计和性能评估非常重要,因为

我们可以通过分析频率响应,选择合适的滤波器类型和参数,从而满

足系统对信号处理的要求。

4. 拉普拉斯变换在控制系统中的应用

控制系统是现代工程技术中一个重要的方向,通过应用拉普拉斯变换,我们可以将控制系统的微分方程转化为代数方程,从而方便进行控制

大学_电路分析基础第四版下册(李瀚荪著)课后答案下载

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电路分析基础第四版下册(李瀚荪著)课后答案下

电路分析基础第四版下册(李瀚荪著)内容简介

下册

第三篇动态电路的相量分析法和s域分析法

第八章阻抗和导纳

8—1 变换方法的概念

8—2 复数

8—3 振幅相量

8—4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式

8—5 三种基本电路元件VCR的相量形式

8—6 VCR相量形式的统一——阻抗和导纳的引入

8—7 弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比——相量模型的引入

8—8 正弦稳态混联电路的分析

8—9 相量模型的网孔分析和节点分析

8—10 相量模型的等效

8—11 有效值有效值相量

8—12 两类特殊问题相量图法

习题

第九章正弦稳态功率和能量三相电路 9—1 基本概念

9—2 电阻的平均功率

9—3 电感、电容的平均储能

9—4 单口网络的`平均功率

9—5 单口网络的无功功率

9—6 复功率复功率守恒

9—7 弦稳态最大功率传递定理

9—8 三相电路

习题

第十章频率响应多频正弦稳态电路 10一1 基本概念

10—2 再论阻抗和导纳

10—3 正弦稳态网络函数

10—4 正弦稳态的叠加

10—5 平均功率的叠加

10—6 R1C电路的谐振

习题

第十一章耦合电感和理想变压器

11—1 基本概念

11—2 耦合电感的VCR耦合系数

11—3 空心变压器电路的分析反映阻抗

11—4 耦合电感的去耦等效电路

11—5 理想变压器的VCR

11—6 理想变压器的阻抗变换性质

11—7 理想变压器的实现

11—8 铁心变压器的模型

习题

第十二章拉普拉斯变换在电路分析中的应用 12一1 拉普拉斯变换及其几个基本性质

12—2 反拉普拉斯变换——赫维赛德展开定理 12—3 零状态分析

拉普拉斯变换及其在电路分析中的应用

拉普拉斯变换及其在电路分析中的应用

拉普拉斯变换及其在电路分析中的应用

拉普拉斯变换是一种重要的数学工具,它在电路分析中有着广泛的应用。通过将电路中的各个元件抽象成数学模型,我们可以利用拉普拉斯变换来分析电路的性质和行为。本文将介绍拉普拉斯变换的基本概念以及它在电路分析中的应用。

首先,我们来了解一下拉普拉斯变换的定义和性质。拉普拉斯变换是一种从时域到复频域的变换,它将一个函数f(t)变换为另一个函数F(s),其中s是复变量。拉普拉斯变换的定义如下:

F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt

其中,e^(-st)是拉普拉斯变换的核函数,s是复变量,f(t)是待变换的函数。拉普拉斯变换具有线性性质、时移性质、频移性质等基本性质,这些性质使得它在电路分析中具有很大的优势。

在电路分析中,我们常常需要求解电路中的电压和电流。通过应用拉普拉斯变换,我们可以将电路中的微分方程转化为代数方程,从而简化求解过程。例如,对于一个由电阻、电感和电容组成的RLC电路,我们可以利用拉普拉斯变换将电路的微分方程转化为代数方程,然后求解得到电路中的电流和电压。

另外,拉普拉斯变换还可以用来分析电路的稳态和暂态响应。稳态响应是指电路在达到稳定状态后的响应,而暂态响应则是指电路在初始时刻的响应。通过应用拉普拉斯变换,我们可以将电路中的微分方程转化为代数方程,并利用初始条件和边界条件求解得到电路的稳态和暂态响应。

此外,拉普拉斯变换还可以用来分析电路中的频率响应。频率响应描述了电路对不同频率信号的响应程度。通过将输入信号和输出信号都进行拉普拉斯变换,我们可以得到电路的传递函数,从而分析电路在不同频率下的增益和相位特性。这对于设计滤波器、放大器等电路非常重要。

拉普拉斯变换在电路中的应用

拉普拉斯变换在电路中的应用

拉普拉斯变换在电路中的应用拉普拉斯变换是一种重要的数学工具,广泛应用于电路分析和信号处理领域。它是一种将时间域中的函数转换为频域中的函数的方法,可以简化电路分析的计算过程,提高计算效率和精确度。本文将探讨拉普拉斯变换在电路中的应用。

一、拉普拉斯变换的定义与性质

首先,我们来对拉普拉斯变换进行简要介绍。拉普拉斯变换可以将时域函数 f(t) 转换为频域函数 F(s),其定义如下:

F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt

其中,s 是复数变量,表示频域中的频率。拉普拉斯变换具有线性性质和位移性质等重要性质,使得它成为电路分析中的重要工具。

二、1. 电路响应的计算

拉普拉斯变换可以方便地计算电路的时域响应。通过将电路中的元件和信号源转换为拉普拉斯域中的等效函数,可以建立电路的等效电路方程。然后,对等效电路方程进行拉普拉斯变换,得到频域中的等效电路方程。最后,通过求解频域方程,可以得到电路在不同频率下的响应。

2. 电路传递函数的求解

电路传递函数是描述输入和输出关系的重要指标。拉普拉斯变换可以方便地求解电路的传递函数。通过将电路中的元件抽象为阻抗和导

纳的拉普拉斯域表达式,并根据电路的串并联关系,可以得到电路的总阻抗和总导纳。然后,将输入电压和输出电压的拉普拉斯域表达式相除,可以得到电路的传递函数。

3. 时域响应的计算

得到电路的传递函数后,可以通过拉普拉斯逆变换将传递函数转换为时域响应。通过对传递函数进行部分分式展开或使用拉普拉斯逆变换表格,可以获得电路的时域响应。这在实际电路设计和故障诊断中非常有用,可以根据输入信号和电路响应来判断电路的性能和健康状况。

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

第12章拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是研究线性时不变电路的基本工具,在实际工程领域中得到了广泛的应用。拉普拉斯变换的核心问题是把以t为变量的时间函数f(t)与以复频率s为变量的复变函数

F(s)联系起来,即把时域问题通过数学变换后成为频域问题,把时间函数的线性常系数常微分方程化为复变函数的代数方程,在求出待求的复变函数后,再作逆变换,从而得到待求的时域函数。

本章的学习重点:

●拉普拉斯变换的定义及其基本性质;

●拉普拉斯反变换的分解定理;

●电路定律的复频域形式,运算电路及其分析方法等;

●利用拉普拉斯反变换求解电路的时域响应。

12.1 拉普拉斯的定义

1、学习指导

(1)时域分析和复频域分析

前面第8章中,我们对一阶和二阶动态电路在时域中进行了分析,时域分析的主要优点是物理概念比较清晰,而且对常见的一阶电路运算也相当简捷。但是对含有多个动态元件且电路结构比较复杂时,应用时域分析法的电路求解过程就变得相当繁杂,为此引入建立在拉普拉斯变换这一数学基础上的运算法。运算法也称为电路的复频域分析法,它能将时域中的微分和积分运算变换为复频域中的代数运算,从而把时域中的微分或积分方程变换为复频域中的代数方程,并且在变换的开始阶段就把初始条件考虑在内,所得结果就是电路的全响应,使二阶电路的分析计算变得简单而且有效。

(2)拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的核心问题,就是把以时间t作为变量的时间函数f(t)通过数学变换后用一个以复频率s为变量的复变函数F(s)来代替,从而将时域问题转化为频域问题,把时间函数的线性常系数常微分方程化为复变函数的代数方程,在求出待求的复变函数后,再作拉氏反变换,最后得到待求的时间函数。

拉普拉斯变换在电路分析中的应用

拉普拉斯变换在电路分析中的应用

拉普拉斯变换在电路分析中的应用

1.电路元件参数的拉普拉斯变换

在电路分析中,拉普拉斯变换可以用于将电路中的元件参数转化为复

频域的表达式。例如,电阻、电感和电容的电压和电流之间的关系可以通

过拉普拉斯变换来表示。这种方法可以简化电路的计算和分析过程。

2.电路的传递函数

3.零极点分析

利用拉普拉斯变换,可以计算电路的传递函数的零点和极点。零点和

极点决定了电路的频率响应和稳定性。通过分析电路的零极点分布,可以

优化电路的性能和稳定性。

4.阻抗和导纳分析

5.信号处理和滤波器设计

总结:

拉普拉斯变换在电路分析中有广泛的应用。通过将电路中的元件和信

号转化为复频域的表达式,拉普拉斯变换可以简化电路的计算和分析过程。具体而言,它可以用来分析电路的传递函数、频率响应、零极点分布、阻

抗和导纳等。此外,拉普拉斯变换还可以用于信号处理和滤波器设计。因此,掌握和应用拉普拉斯变换对于电路工程师和电子技术人员来说是非常

重要的。

拉普拉斯变换在电路分析中的应用S域分析法

拉普拉斯变换在电路分析中的应用S域分析法
动态电路的相量分析法和 s域分析法
第十二章
拉普拉斯变换在电路分析中的应用 ( S域分析法)
1
§12-1 拉普拉斯变换及其几个基本性质
运用拉普拉斯(Laplace)变换,简称拉氏变换进 行动态电路的分析方法称为拉氏变换法或复频 率域(S域)分析法。
2
3
Laplace变换的性质
4
§12-2 电路的S域模型
18
例题
US
I ' (s) s , H(' s) 1
R sL
R sL
i(t) [US US et / i(0)et / ] (t)
Biblioteka BaiduRR
I '' (s) i(0) sL i(0) , H('' s) sL
s R sL s R / L
R sL
② 就s域模型对电路进行分析,得到s域下电路的解 ③ 求s域解的反Laplace变换,得到对应的时域解表达
式。
7
例题
求图(a)所示RC电路在阶跃输入下的响应UC(t)。
1)做出电路的 s域模型
2)由s域模型及基尔霍夫定律得:
I (s)R I (s) uC (0 ) A
sC
s
s
A uC (0 )
K3

(s

《电路分析》拉普拉斯变换

《电路分析》拉普拉斯变换

《电路分析》拉普拉斯变换

电路分析是电路理论的一部分,其主要目的是通过建立数学模型,研

究电路中电压、电流等参数的变化规律及相互之间的关系。拉普拉斯变换

是电路分析中常用的数学工具之一,可以将时域中的电路方程转化为复频

域中的代数方程,方便求解和分析。

拉普拉斯变换的基本概念是将一个函数f(t)变换为变量s的函数

F(s)。数学上,拉普拉斯变换定义如下:

F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞]e^(-st)f(t)dt

其中,s为复数变量,F(s)为拉普拉斯变换后的函数,f(t)为原函数。拉普拉斯变换具有线性性质、平移性质、微分性质等,这些性质使得电路

中的微分方程和积分方程可以很方便地通过拉普拉斯变换转化为代数方程。

在电路分析中,拉普拉斯变换可以应用于求解电路中的电压和电流。

通过变换,可以将电路中的微分方程转化为代数方程,然后对代数方程进

行求解。例如,对于一个由电阻、电感和电容组成的电路,可以利用拉普

拉斯变换将电路方程转化为复频域中的代数方程,然后通过求解代数方程

得到电路中的电压和电流的复频域表达式,最后再进行逆变换得到时域中

的电压和电流的解析表达式。

拉普拉斯变换的另一个重要应用是可以用于描述电路中的单位阶跃响

应和冲击响应。单位阶跃响应是指在电路中加入一个单位阶跃信号后电路

的响应情况,而冲击响应是指在电路中加入一个冲量信号(冲击函数)后

电路的响应情况。通过拉普拉斯变换,可以将电路中的阶跃响应和冲击响

应转化为复频域中的代数方程,从而方便求解和分析。

总之,拉普拉斯变换在电路分析中起着非常重要的作用,它使得电路中的微分方程和积分方程可以通过转化为复频域中的代数方程进行求解和分析。拉普拉斯变换的应用可以帮助我们更好地理解和掌握电路的特性和行为。在实际电路设计和故障诊断中,掌握拉普拉斯变换的原理和应用,对于提高电路分析和设计的能力都具有重要意义。

拉普拉斯变换在电路中的应用

拉普拉斯变换在电路中的应用

第二节
习题 1-9 的完整解法。
1-9、 如图之放大电路, 运放电压放大倍数 A 有限, 与频率无关; 假设静态时 i(t)=0A, 输出 Vo(t)=0V。输入冲击电流 i(t)=Qδ (t)。 (1)推导 Vo(t)的表达式; (2)若(1+A)Cf >> Ci,写出 Vo(t)简化表达式,并画波形; (3)若 Cf 两端并联 Rf ,且 Rf Cf >> RC,定性画出 Vo(t) 波形的变化。
(注:由于我侧重于拉氏变换解题,所以不考虑米勒等效定理的解法。 ) 解: (1) 、δ (t)的拉氏变换为 1,则 i(t)的拉氏变换为 I(s)=Q。则可以方便的写出如 下方程组:
0 V Vo V I ( s) Q 1 1 sC sC f V1 AV V1 V 2 1 R 1 sC sC V V o


换, I (s) 为 i(t)的拉氏变换。于是,我们说:电阻由时域变换到 s 域,其阻抗值为 R。 电容与电压、电流的关系为: i (t ) C
du (t ) ,两边取拉氏变换,可得到 dt
I ( s) sV ( s) u (0 ) C ,而我们考虑的问题都是在 t>=0 时刻才加入信号,所以
u (0 ) 0,于是电容 C 在 s 域下,其阻抗为 Z
电 感 与 电 压 、 电 流 的 关 系 为 : u (t ) L

电路中的拉普拉斯变换

电路中的拉普拉斯变换

电路中的拉普拉斯变换

在电路分析中,拉普拉斯变换是一种重要的数学工具,用于将时域函数转换为复频域函数。通过拉普拉斯变换,可以将复杂的时域电路模型转换为简单的复频域模型,从而方便地求解电路的响应。

具体来说,对于给定的时域函数或电路,拉普拉斯变换可以通过一系列积分和运算将其转换为复频域函数。这个复频域函数称为拉普拉斯变换函数,通常用符号F(s) 表示。在复频域中,电路的数学模型可以表示为代数方程,求解这些方程就可以得到电路的响应。

在实际应用中,拉普拉斯变换主要用于分析线性时不变电路中的初值问题和稳态问题。通过拉普拉斯变换,可以方便地求解电路的电流、电压、功率等参数,从而评估电路的性能。

需要注意的是,拉普拉斯变换只适用于线性时不变电路的分析。对于非线性或时变电路,需要采用其他数学工具进行分析。此外,在进行拉普拉斯变换时,需要注意收敛问题,以避免因计算误差导致结果不准确。

电路分析基础--拉普拉斯变换

电路分析基础--拉普拉斯变换
f(t)与F(s)一 一对应 与 一
F ( s ) = ∞ f ( t )e − st dt 正变换 ∫0− F ( s ) = L[ f ( t )] 简写 1 σ + j∞ st f ( t ) = L−1 [F ( s )] f (t ) = ∫σ − j∞ F ( s )e ds t ≥ 0 反变换 2πj
F1′( s )( s − si ) + F1 ( s ) F1 ( si ) = lim = s → si F2′( s ) F2′( si )
F1 ( s i ) ki = F2′( s i )
f (t ) = ∑
i =1
n
F1 ( s i ) s i t e F2′( s i )
例1
− s2 − s + 5 F ( s) = s( s 2 + 3 s + 2)
t t0
t t0
t
设: L[ f ( t )] = F ( s )
L f (t −t0 )ε(t −t0 )] = e [
−st0
F(s)
例1: : 1
f(t)
f (t ) = ε (t ) − ε (t − T )
T t
1 1 − sT F ( s) = − e s s
f ( t ) = t[ε ( t ) − ε ( t − T )]

电路分析基础第5版第12章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用

电路分析基础第5版第12章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用

(4)非零初始状态时的处理——叠加方法
它们当所iL产(0生 )的零0、输u入C响(0应 )可单0时独,算s出域,模与型零中状含态初响始应状构态成等全效响电应源。,
例题 接续上例,设 i(0 ) 2 A,试求 i(t)、t 0 。
解 作s域模型。 求初始电流源 2 s 的零输入响应,
U(s)处短路,由分流关系得 I (s) 2 ( 2s ) 4 2 s 8 2s 8 2s s 4
(a) B(s)=0 为不等根情况
例题
已知 F(s)
5s

(s 2)(s2 4s 3)
求f (t)、t 0。
解 B(s) (s 1)(s 2)(s 3) B(s)=0的三个不等根为-1、-2、-3。
F(s)
5s
K1 K2 K3
(s 1)(s 2)(s 3) s 1 s 2 s 3
[2.4e 4 t 4cos(3t 127)]ε(t) A
本题i(t)为零状态响应,含暂态响应与正弦稳态响应。
I(s) U (s)H (s) P(s) N(s) Q(s) D(s)
D(s) s 4 0 可得来自电路的极点s = -4,固有频率,
即时间常数
1 4
R
L
Q(s) s2 32 0 可得来自激励的极点 s = j3 j
Y HX H X (c)共同的特点

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拉普拉斯变换在电路分析中的应用

电气13-3班周俊楠

摘要:讨论如何利用拉普拉斯变换方法解决复杂电路分析问题,关键词:拉普拉斯变换;电路分析;应用

在电路分析中,对于具有多个动态原件额复杂电路,用直接

求解微分方程额方法比较困难。此时可用积分变换法进行求

解。就是将时域函数变换为复频域函数,从而把时域的微分方

程换为复频域的代数方程。拉普拉斯变换就是一种重要的积分

变换。£变换一直是分析这类系统极为有效的方法.而且,由

于拉普拉斯变换与£变换有着很多类似之处,能够让我们在对电路分析中更加便捷。

1拉普拉斯变换

111变换的目的1185

3 来求解x是非常麻烦的. 但却可以通过某种改造使问

题得到简化.现对方程两侧取对数,得:

1185lg x= lg3lg x=

lg3

= 0õ25791õ 85

x = lg- 1(012579) = 116991

从此例可以总结出几个特点:

(1) 在例1 中, 我们使用的变换, 实际上是函数y = lg x , 对于每一个x值都赋于一个y值,即lg

(õ) ;(2) 反函数 lg- 1 (õ) 也是单值函数;

(3) 在实数域里, lg x的定义域为x > 0;

在解决和分析问题时,我们常常对问题的数学表达式进( )

变换lg(õ)和反变换lg - 1 ( ) 都可双列成表册,以便查

4 õ

行某种改造,希望通过这种改造,能够用更简单、更通用的方用.

法去解决较为复杂的问题.上述这种改造,在数学上就可以称之为变换(或映射).这种过程可以用图1的方框图来说明.

原问题变换较易解决解在变换域反变换原问题

李瀚荪《电路分析基础》(第4版)课后习题详解-第12章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用【圣才出品】

李瀚荪《电路分析基础》(第4版)课后习题详解-第12章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用【圣才出品】

第12章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用

§12-1 拉普拉斯变换及其几个基本性质

12-1 RC 串联电路t =0时与10 V 电压源接通,已知R =2MΩ、C =1μF,试用拉氏变换法求电流i (t )和电容电压M 。(t ), t≥0。已知u C (0-)=0。

解:电路如图

12-1(a )所示,画出电路的

s 域模型如图

12-1(b

)所示,可得(s )的反变换为

比较系数得

解得

所以

U (s )的反变换为

图12-1

12-2 RL 并联电路如图

12-2所示,已知

试用拉氏变换法求u (t ),

t≥0。图

12-2

图12-3

解:画出电路的s 域模型如图12-3所示。列出方程

反变换得

12-3 t≥0

时电路如图12-4所示,已知,试求

12-4

图12-5

解:方法一:画出电路的s域模型如图12-5所示。列出方程

所以

解得反变换得

方法二:用戴维南定理。在图12-5中,断开电容支路,得接上电容支路,得以下与方法一相同。

12-4 电路如图12-6所示,

t =0时开关打开,求。

图12-6

图12-7

解:画出电路的s 域模型如图12-7所示。可列出方程

反变换得

§12-2 反拉普拉斯变换

——赫维赛德展开定理

12-5 求若F (s )为:

解:

所以

F (s )为假分式,不能直接使用赫维赛德定理。用长除法,得对真分式部分有

所以

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cos t
1 s A s 1
(s )
s
s2 2
§2 s 域模型
12-5
使用相量法,可不必从列电路微分方程做起, 根据两类约束的相量形式,利用相量模型,仿照 电阻电路的解法,即可解决问题,关键在于引入Z、 Y。拉氏变换法也可根据两类约束的s域形式,利用 s域模型,仿照电阻电路的解法,即可解决问题, 关键在于引入广义(generalized)阻抗Z(s) 、导纳 Y(s)。
L[iL
(0
)]

2 s
(b)作s域模型,得
I(s)
40 10 s

2(s 4)
5s 10 s(s 2)
10Ω
+
10Ω
- us=40V 5H
10
+ 40
10
-s 2
s
5S
I(s)
10
+ 40
5s
-s
-
10
I(s) +
i(t)
注意:本例为非零初始状态!易犯的错误:
s域模型中未考虑初始电流源!
)

1 C
t
i( )d
0
△若 u(0 ) 0 ,s域模型如何? △与相量模型区别何在?
L[u(t)]

L[u(0-)]

L[
1 C
t i( )d ] u(0 )
0
s
I (s) u(0 ) s
I (s)
ZC
(s)

1 sC
电容的广义阻抗
i +u(0--) C
u(0-)
L1[
1 C
t
]
1

e RC
(t)
s
1 RC
C
② 网络函数的极点是网络的固有频率 ③
另外,由本例可知:t=0时,冲激电流通过C,
引起电容电压由零到
1 C
V的跃变。
(c)求图所示电路 i(t)、t 0 。已知u(t) 40sin( 3t)V。12-21
t=0
+
u(t)
- i(t)
D(s) s 4 0 可得来自电路的极点s = -4,固有频率,
即时间常数


1 4

R
L
Q(s) s2 32 0 可得来自激励的极点 s = j3 j
(4)非零初始状态时的处理——叠加方法
f (t) (2.5et 10e2t 7.5e3t ) (t)
(b) B(s)=0 含有重根情况
12-15
例题 解
F(s) → f(t),已知 F(s) s 1 。
s2 4s 4
F(s) s 1 K11 K12 (s 2)2 s 2 (s 2)2
类似地,KVL的s域形式为 U(s) 0
提问:u(t) Ri(t)的s域形式?
(b)拉氏变换的积分性质 若
L[f (t)] F(s),则
L
t 0
f
(
)d


1 s
F(s)
12-7
由此可得电容、电感VCR的s域形式。
➢电容VCR的s域形式
提问 :
u(t)

u (0
| | K12 (s 2)2 F(s) s2 (s 1) s2 1
| | K11

d ds
[(s

2) 2
F (s)]
s 2

d ds
(s
1)
s 2
1

F (s)

s
1
2

(s
1 2)2
f (t) (e2t te2t ) (t)
f (t)
(3) 拉氏变换
12-3
定义式 L[ f (t)] f (t)estdt F(s) 0
其中s为复变数(复频率) s j
例题
| L[ (t)] (t)est dt est dt 1 est 1 (0 1) 1
(c)反变换——比较系数法
12-11
为利用拉氏变换表反查,先将I(s)分解为部分(分项)分式之和。
I (s) 2(s 4) K1 K2 s(s 2) s s 2
得 K1(s 2) K2 (s) 2(s 4) (K1 K2 )s 2K1 2s 8
2)
s2

K2
K2 2
与比较系数法所得结果相同。此处系根据
赫维赛德定理所提供的方法求解。
(2)对线性时不变电路情况
12-13
对线性时不变电路,在如教材表12-1所示各类 f(t)激励下,所得F(s)为s的有理函数,可表为
F (s) A(s) B(s)
即两s多项式之比。如同上例,可将F(s)表为 部分分式之和,以便运用赫维赛德定理得出所需 结果。为此需对B(s)进行因式分解。
8Ω 2H
8
+
U(s)
2s
- I(s)
解 作s域模型
U (s)

L
[40sin( 3t)]

40( s2
3 32
)

120 s2 32
I (s) U (s)H (s) H(s) Y(s) 1
8 2s
I (s) 120 1
60
s 2 32 8 2s (s 4)(s j3)(s j3)
K2 2127
K
* 2

2 127
i(t) 2.4e 4 t 2e j(3t127) 2e j(3t127)
[2.4e 4t 4 cos(3t 127)] (t) A
本题i(t)为零状态响应,含暂态响应与正弦稳态响应。
I(s) U (s)H (s) P(s) N(s) Q(s) D(s)
t n e t n!
F (s)
1
(s ) n1
(c) F(s)为假分式情况
12-16
例题 解
F(s) → f(t),
F(s) 2 9 s4
已知:F (s) 2s 1 。 s4
f (t) F (s)
(t) 1
f (t) 2 (t) 9e4t (t)
比较系数后得 K1 4
K2 2

I(s) 4 2 s s2
f (t) F (s)
A
A s
e t
1
s
反查拉氏变换表 i(t) (4 2e2t ) (t) A
当部分分式多于2项时,使用比较系数法不方便!
§3 反变换——赫维赛德展开定理
12-12
(1)上例也可解答如下 I (s) 2(s 4) K1 K2
| | K1

(s
1)I (s)
s 1

(s

5s 2)(s

3)
s 1

2.5
| K2 (s 2)I (s) s2 10 | K3 (s 3)I (s) s3 7.5
f (t) F (s)
e t
1
s
I (s) 2.5 10 7.5 s 1 s 2 s 3
(a) B(s)=0 为不等根情况
12-14
例题
已知 F(s)
5s

(s 2)(s2 4s 3)
求f (t)、t 0。
解 B(s) (s 1)(s 2)(s 3) B(s)=0的三个不等根为-1、-2、-3。
F(s)
5s
K1 K2 K3
(s 1)(s 2)(s 3) s 1 s 2 s 3
0
△若 i(0 ) 0 ,s 域模型如何?
L[i(t)] i(0 )
U (s) i(0 )
U (s)
s
s
ZL (s) sL 电感的广义阻抗
iL
I(s) sL i(0 )
i(0 )
s
-
-
-
-
+u
时域模型
+ U(s) s域模型

习 求所示时域电路的相量模型和零初始状态的s域模型。 12-9
f (t) F (s) 解 L[零状态响应] H (s) L[激励]
(t)
1
L[h(t)] H (s) L[ (t)] H (s)
e t
1
s
h(t) L1[H (s)] L1[ R ] sRC 1
注意:由本例可知网络 函数的另两个性质:
① L[h(t)] H (s) ②
e t
1
s
本题F(s)为假分式,先用长除法,化为真分式后再做。
§4 网络函数与叠加方法
12-17
(1)
回顾
(a)电阻模型的网络函数 H=K (§3-1)
y(t) Kx(t)
(b)相量模型的网络函数 H(j) H
(§10-3)
Y HX H X (c)共同的特点

作零初始状态s域模型。
i(t) c = R u(t)
R 1 H (s) U (s) I (s) Z (s) sC
R
-
R 1 sRC 1
+
sC
求网络函数,必须明确:
I(s) 1 = R U(s)
何者为响应,何者为激励。
sc
-
(b) 接续上题,若 i(t) (t) ,试求u(t)、即冲激响应h(t)。12-20
s(s 2) s s 2
求K1:
s I(s) 2s 8
s2
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K1
sK 2 s2
| | 2s 8
s2
s0

K1

sK 2 s2
s0
K1 4
求K

2
(s

2) I (s)

2s 8 s

K1(s s
2)

K2
| | 2s 8
s
s2

K1(s s
I(s) +
s
-
1 sC
= =
+
u
-
+ U(s) -
时域模型
s域模型
(b)拉氏变换的积分性质 若
L[f (t)] F(s),则
L
t 0
f
(
)d


1 s
F(s)
12-8
由此可得电容、电感VCR的s域形式。
➢电感VCR的s域形式
提问 :
i(t)

i(0
)

1 L
t
u( )d
f (t)
sin t e t
F (s)
s2 2
1
s
I(s)

120 s2 32

1 8 2s

(s

4)(s
60 j3)(s

j3)
12-22
解得
i(t) L1[I (s)] L1[ K1

K2

K
* 2
]
s 4 s j3 s j3
K1 2.4
0
0
s
0
s
s
即 (t) 1
s
如同 Im cos(t ) Im
(4) 数学家已表明拉氏变换可用来简化
线性常系数常微分方程的求解。
12-4
数学家已对各类的f(t)求得相应的F(s),制成手册, 供查阅,如同查对数表。如
f (t) t 0
F (s)
(t)
A
e t
单一激励下定义。与叠加方法相结合。
(2) s域模型的网络函数 H(s)
单一激励下,网络函数的定义
H (s)
L[
零状态响 应]
L[激 励]

Y (s) X (s)

L[零状态响应] H (s) L[激励]
12-18

(3) 三个例题
12-19
(a) 求图所示电路的网络函数 U(s) I (s) 。 +
(1) 两类约束的s域表达式
12-6
(a)拉氏变换的线性性质
L[1 f1 (t) 2 f2 (t)] 1F1(s) 2 F2 (s)
由此可推广运用得KCL、KVL的s域形式:
若 L[i(t)] I (s) 则 i(t) 0
其s域形式为 L[i(t)] I(s) 0
②2 s域模型 →适用于线性时不变电路的一般分析
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯变换
类比 1 、2 两种模型均与电阻模型作类比,从而
得以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这 是一种手段,较简便地得到客观存在的动态 电路时域响应。
本章分为
12-1
§1 基本概念 §2 s 域模型 §3 反变换—赫维赛德展开定理 §4 网络函数与叠加方法
第十二章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用
重提基本结构
一个假设→集总模型(电阻电路和动态电路) 两类约束→VCR + KCL、KVL 三大基本方法
1.叠加方法 2.分解方法
模型的化简
3.变换域方法 ---模型的类比(第三篇)
变换与类比
变换
动态电路的时域模型 变 换为
①1 相量模型 →适用于正弦稳态分析


解答
2H
= 1
80
F

2ωj Ω

80

Ω=
解答
7
1
2s
= 80
s
(2) 例题 开关在t=0时闭合,求i(t)、t 0 ,用s域分析法。12-10
解 (a)求40V直流激励的拉氏变换。
L[uS ] L[40] 40 s
初始条件:
40 iL (0 ) 10 10 A 2A
§1 基本概念
12-2
(1) 变换方法的基本步骤
(a) 变换 如相量法中,正弦的t函数→相量(复数)
(b) 在变换域运算 如相量法中对相量进行复数运算 (c) 反变换 回归到时域
(2) 拉氏变换方法的三个步骤
(a)变换 把函数f(t)→F(s) (拉氏变换)
(b)在s域中运算(利用s域模型)
(c)反变换 回归到时域(方法的难点所在)
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