第十二章 (拉普拉斯变换在电路分析中的应用)
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cos t
1 s A s 1
(s )
s
s2 2
§2 s 域模型
12-5
使用相量法，可不必从列电路微分方程做起， 根据两类约束的相量形式，利用相量模型，仿照 电阻电路的解法，即可解决问题，关键在于引入Z、 Y。拉氏变换法也可根据两类约束的s域形式，利用 s域模型，仿照电阻电路的解法，即可解决问题， 关键在于引入广义(generalized)阻抗Z(s) 、导纳 Y(s)。
L[iL
(0
)]
2 s
(b)作s域模型，得
I(s)
40 10 s
2(s 4)
5s 10 s(s 2)
10Ω
+
10Ω
- us=40V 5H
10
+ 40
10
-s 2
s
5S
I(s)
10
+ 40
5s
-s
-
10
I(s) +
i(t)
注意：本例为非零初始状态！易犯的错误：
s域模型中未考虑初始电流源！
)
1 C
t
i( )d
0
△若 u(0 ) 0 ，s域模型如何？ △与相量模型区别何在？
L[u(t)]
L[u(0－)]
L[
1 C
t i( )d ] u(0 )
0
s
I (s) u(0 ) s
I (s)
ZC
(s)
1 sC
电容的广义阻抗
i +u(0--) C
u(0-)
L1[
1 C
t
]
1
e RC
(t)
s
1 RC
C
② 网络函数的极点是网络的固有频率 ③
另外，由本例可知：t=0时，冲激电流通过C，
引起电容电压由零到
1 C
V的跃变。
(c)求图所示电路 i(t）、t 0 。已知u(t) 40sin( 3t)V。12-21
t=0
+
u(t)
- i(t)
D(s) s 4 0 可得来自电路的极点s = -4，固有频率，
即时间常数
1 4
R
L
Q(s) s2 32 0 可得来自激励的极点 s = j3 j
(4)非零初始状态时的处理——叠加方法
f (t) (2.5et 10e2t 7.5e3t ) (t)
(b) B(s)=0 含有重根情况
12-15
例题 解
F(s) → f(t)，已知 F(s) s 1 。
s2 4s 4
F(s) s 1 K11 K12 (s 2)2 s 2 (s 2)2
类似地，KVL的s域形式为 U(s) 0
提问：u(t) Ri(t)的s域形式？
(b)拉氏变换的积分性质 若
L[f (t)] F(s)，则
L
t 0
f
(
)d
1 s
F(s)
12-7
由此可得电容、电感VCR的s域形式。
➢电容VCR的s域形式
提问 ：
u(t)
u (0
| | K12 (s 2)2 F(s) s2 (s 1) s2 1
| | K11
d ds
[(s
2) 2
F (s)]
s 2
d ds
(s
1)
s 2
1
F (s)
s
1
2
(s
1 2)2
f (t) (e2t te2t ) (t)
f (t)
(3) 拉氏变换
12-3
定义式 L[ f (t)] f (t)estdt F(s) 0
其中s为复变数(复频率) s j
例题
| L[ (t)] (t)est dt est dt 1 est 1 (0 1) 1
(c)反变换——比较系数法
12-11
为利用拉氏变换表反查，先将I(s)分解为部分(分项)分式之和。
I (s) 2(s 4) K1 K2 s(s 2) s s 2
得 K1(s 2) K2 (s) 2(s 4) (K1 K2 )s 2K1 2s 8
2)
s2
K2
K2 2
与比较系数法所得结果相同。此处系根据
赫维赛德定理所提供的方法求解。
(2)对线性时不变电路情况
12-13
对线性时不变电路，在如教材表12-1所示各类 f(t)激励下，所得F(s)为s的有理函数，可表为
F (s) A(s) B(s)
即两s多项式之比。如同上例，可将F(s)表为 部分分式之和，以便运用赫维赛德定理得出所需 结果。为此需对B(s)进行因式分解。
8Ω 2H
8
+
U(s)
2s
- I(s)
解 作s域模型
U (s)
L
[40sin( 3t)]
40( s2
3 32
)
120 s2 32
I (s) U (s)H (s) H(s) Y(s) 1
8 2s
I (s) 120 1
60
s 2 32 8 2s (s 4)(s j3)(s j3)
K2 2127
K
* 2
2 127
i(t) 2.4e 4 t 2e j(3t127) 2e j(3t127)
[2.4e 4t 4 cos(3t 127)] (t) A
本题i(t)为零状态响应，含暂态响应与正弦稳态响应。
I(s) U (s)H (s) P(s) N(s) Q(s) D(s)
t n e t n!
F (s)
1
(s ) n1
(c) F(s)为假分式情况
12-16
例题 解
F(s) → f(t)，
F(s) 2 9 s4
已知：F (s) 2s 1 。 s4
f (t) F (s)
(t) 1
f (t) 2 (t) 9e4t (t)
比较系数后得 K1 4
K2 2
∴
I(s) 4 2 s s2
f (t) F (s)
A
A s
e t
1
s
反查拉氏变换表 i(t) (4 2e2t ) (t) A
当部分分式多于2项时，使用比较系数法不方便！
§3 反变换——赫维赛德展开定理
12-12
(1)上例也可解答如下 I (s) 2(s 4) K1 K2
| | K1
(s
1)I (s)
s 1
(s
5s 2)(s
3)
s 1
2.5
| K2 (s 2)I (s) s2 10 | K3 (s 3)I (s) s3 7.5
f (t) F (s)
e t
1
s
I (s) 2.5 10 7.5 s 1 s 2 s 3
(a) B(s)=0 为不等根情况
12-14
例题
已知 F(s)
5s
，
(s 2)(s2 4s 3)
求f (t)、t 0。
解 B(s) (s 1)(s 2)(s 3) B(s)=0的三个不等根为-1、-2、-3。
F(s)
5s
K1 K2 K3
(s 1)(s 2)(s 3) s 1 s 2 s 3
0
△若 i(0 ) 0 ，s 域模型如何？
L[i(t)] i(0 )
U (s) i(0 )
U (s)
s
s
ZL (s) sL 电感的广义阻抗
iL
I(s) sL i(0 )
i(0 )
s
-
-
-
-
+u
时域模型
+ U(s) s域模型
练
习 求所示时域电路的相量模型和零初始状态的s域模型。 12-9
f (t) F (s) 解 L[零状态响应] H (s) L[激励]
(t)
1
L[h(t)] H (s) L[ (t)] H (s)
e t
1
s
h(t) L1[H (s)] L1[ R ] sRC 1
注意：由本例可知网络 函数的另两个性质：
① L[h(t)] H (s) ②
e t
1
s
本题F(s)为假分式，先用长除法，化为真分式后再做。
§4 网络函数与叠加方法
12-17
(1)
回顾
(a)电阻模型的网络函数 H=K (§3-1)
y(t) Kx(t)
(b)相量模型的网络函数 H(j) H
(§10-3)
Y HX H X (c)共同的特点
解
作零初始状态s域模型。
i(t) c = R u(t)
R 1 H (s) U (s) I (s) Z (s) sC
R
-
R 1 sRC 1
+
sC
求网络函数，必须明确：
I(s) 1 = R U(s)
何者为响应，何者为激励。
sc
-
(b) 接续上题，若 i(t) (t) ，试求u(t)、即冲激响应h(t)。12-20
s(s 2) s s 2
求K1：
s I(s) 2s 8
s2
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K1
sK 2 s2
| | 2s 8
s2
s0
K1
sK 2 s2
s0
K1 4
求K
：
2
(s
2) I (s)
2s 8 s
K1(s s
2)
K2
| | 2s 8
s
s2
K1(s s
I(s) +
s
-
1 sC
= =
+
u
-
+ U(s) -
时域模型
s域模型
(b)拉氏变换的积分性质 若
L[f (t)] F(s)，则
L
t 0
f
(
)d
1 s
F(s)
12-8
由此可得电容、电感VCR的s域形式。
➢电感VCR的s域形式
提问 ：
i(t)
i(0
)
1 L
t
u( )d
f (t)
sin t e t
F (s)
s2 2
1
s
I(s)
120 s2 32
1 8 2s
(s
4)(s
60 j3)(s
j3)
12-22
解得
i(t) L1[I (s)] L1[ K1
K2
K
* 2
]
s 4 s j3 s j3
K1 2.4
0
0
s
0
s
s
即 (t) 1
s
如同 Im cos(t ) Im
(4) 数学家已表明拉氏变换可用来简化
线性常系数常微分方程的求解。
12-4
数学家已对各类的f(t)求得相应的F(s)，制成手册， 供查阅，如同查对数表。如
f (t) t 0
F (s)
(t)
A
e t
单一激励下定义。与叠加方法相结合。
(2) s域模型的网络函数 H(s)
单一激励下，网络函数的定义
H (s)
L[
零状态响 应]
L[激 励]
Y (s) X (s)
即
L[零状态响应] H (s) L[激励]
12-18
①
(3) 三个例题
12-19
(a) 求图所示电路的网络函数 U(s) I (s) 。 +
(1) 两类约束的s域表达式
12-6
(a)拉氏变换的线性性质
L[1 f1 (t) 2 f2 (t)] 1F1(s) 2 F2 (s)
由此可推广运用得KCL、KVL的s域形式：
若 L[i(t)] I (s) 则 i(t) 0
其s域形式为 L[i(t)] I(s) 0
②2 s域模型 →适用于线性时不变电路的一般分析
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯变换
类比 1 、2 两种模型均与电阻模型作类比，从而
得以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这 是一种手段，较简便地得到客观存在的动态 电路时域响应。
本章分为
12-1
§1 基本概念 §2 s 域模型 §3 反变换—赫维赛德展开定理 §4 网络函数与叠加方法
第十二章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用
重提基本结构
一个假设→集总模型（电阻电路和动态电路） 两类约束→VCR + KCL、KVL 三大基本方法
1.叠加方法 2.分解方法
模型的化简
3.变换域方法 ---模型的类比(第三篇)
变换与类比
变换
动态电路的时域模型 变 换为
①1 相量模型 →适用于正弦稳态分析
7Ω
1Ω
解答
2H
= 1
80
F
7Ω
2ωj Ω
1Ω
80
jω
Ω=
解答
7
1
2s
= 80
s
(2) 例题 开关在t=0时闭合，求i(t)、t 0 ，用s域分析法。12-10
解 (a)求40V直流激励的拉氏变换。
L[uS ] L[40] 40 s
初始条件：
40 iL (0 ) 10 10 A 2A
§1 基本概念
12-2
(1) 变换方法的基本步骤
(a) 变换 如相量法中，正弦的t函数→相量(复数)
(b) 在变换域运算 如相量法中对相量进行复数运算 (c) 反变换 回归到时域
(2) 拉氏变换方法的三个步骤
(a)变换 把函数f(t)→F(s) (拉氏变换)
(b)在s域中运算(利用s域模型)
(c)反变换 回归到时域(方法的难点所在)
1 s A s 1
(s )
s
s2 2
§2 s 域模型
12-5
使用相量法，可不必从列电路微分方程做起， 根据两类约束的相量形式，利用相量模型，仿照 电阻电路的解法，即可解决问题，关键在于引入Z、 Y。拉氏变换法也可根据两类约束的s域形式，利用 s域模型，仿照电阻电路的解法，即可解决问题， 关键在于引入广义(generalized)阻抗Z(s) 、导纳 Y(s)。
L[iL
(0
)]
2 s
(b)作s域模型，得
I(s)
40 10 s
2(s 4)
5s 10 s(s 2)
10Ω
+
10Ω
- us=40V 5H
10
+ 40
10
-s 2
s
5S
I(s)
10
+ 40
5s
-s
-
10
I(s) +
i(t)
注意：本例为非零初始状态！易犯的错误：
s域模型中未考虑初始电流源！
)
1 C
t
i( )d
0
△若 u(0 ) 0 ，s域模型如何？ △与相量模型区别何在？
L[u(t)]
L[u(0－)]
L[
1 C
t i( )d ] u(0 )
0
s
I (s) u(0 ) s
I (s)
ZC
(s)
1 sC
电容的广义阻抗
i +u(0--) C
u(0-)
L1[
1 C
t
]
1
e RC
(t)
s
1 RC
C
② 网络函数的极点是网络的固有频率 ③
另外，由本例可知：t=0时，冲激电流通过C，
引起电容电压由零到
1 C
V的跃变。
(c)求图所示电路 i(t）、t 0 。已知u(t) 40sin( 3t)V。12-21
t=0
+
u(t)
- i(t)
D(s) s 4 0 可得来自电路的极点s = -4，固有频率，
即时间常数
1 4
R
L
Q(s) s2 32 0 可得来自激励的极点 s = j3 j
(4)非零初始状态时的处理——叠加方法
f (t) (2.5et 10e2t 7.5e3t ) (t)
(b) B(s)=0 含有重根情况
12-15
例题 解
F(s) → f(t)，已知 F(s) s 1 。
s2 4s 4
F(s) s 1 K11 K12 (s 2)2 s 2 (s 2)2
类似地，KVL的s域形式为 U(s) 0
提问：u(t) Ri(t)的s域形式？
(b)拉氏变换的积分性质 若
L[f (t)] F(s)，则
L
t 0
f
(
)d
1 s
F(s)
12-7
由此可得电容、电感VCR的s域形式。
➢电容VCR的s域形式
提问 ：
u(t)
u (0
| | K12 (s 2)2 F(s) s2 (s 1) s2 1
| | K11
d ds
[(s
2) 2
F (s)]
s 2
d ds
(s
1)
s 2
1
F (s)
s
1
2
(s
1 2)2
f (t) (e2t te2t ) (t)
f (t)
(3) 拉氏变换
12-3
定义式 L[ f (t)] f (t)estdt F(s) 0
其中s为复变数(复频率) s j
例题
| L[ (t)] (t)est dt est dt 1 est 1 (0 1) 1
(c)反变换——比较系数法
12-11
为利用拉氏变换表反查，先将I(s)分解为部分(分项)分式之和。
I (s) 2(s 4) K1 K2 s(s 2) s s 2
得 K1(s 2) K2 (s) 2(s 4) (K1 K2 )s 2K1 2s 8
2)
s2
K2
K2 2
与比较系数法所得结果相同。此处系根据
赫维赛德定理所提供的方法求解。
(2)对线性时不变电路情况
12-13
对线性时不变电路，在如教材表12-1所示各类 f(t)激励下，所得F(s)为s的有理函数，可表为
F (s) A(s) B(s)
即两s多项式之比。如同上例，可将F(s)表为 部分分式之和，以便运用赫维赛德定理得出所需 结果。为此需对B(s)进行因式分解。
8Ω 2H
8
+
U(s)
2s
- I(s)
解 作s域模型
U (s)
L
[40sin( 3t)]
40( s2
3 32
)
120 s2 32
I (s) U (s)H (s) H(s) Y(s) 1
8 2s
I (s) 120 1
60
s 2 32 8 2s (s 4)(s j3)(s j3)
K2 2127
K
* 2
2 127
i(t) 2.4e 4 t 2e j(3t127) 2e j(3t127)
[2.4e 4t 4 cos(3t 127)] (t) A
本题i(t)为零状态响应，含暂态响应与正弦稳态响应。
I(s) U (s)H (s) P(s) N(s) Q(s) D(s)
t n e t n!
F (s)
1
(s ) n1
(c) F(s)为假分式情况
12-16
例题 解
F(s) → f(t)，
F(s) 2 9 s4
已知：F (s) 2s 1 。 s4
f (t) F (s)
(t) 1
f (t) 2 (t) 9e4t (t)
比较系数后得 K1 4
K2 2
∴
I(s) 4 2 s s2
f (t) F (s)
A
A s
e t
1
s
反查拉氏变换表 i(t) (4 2e2t ) (t) A
当部分分式多于2项时，使用比较系数法不方便！
§3 反变换——赫维赛德展开定理
12-12
(1)上例也可解答如下 I (s) 2(s 4) K1 K2
| | K1
(s
1)I (s)
s 1
(s
5s 2)(s
3)
s 1
2.5
| K2 (s 2)I (s) s2 10 | K3 (s 3)I (s) s3 7.5
f (t) F (s)
e t
1
s
I (s) 2.5 10 7.5 s 1 s 2 s 3
(a) B(s)=0 为不等根情况
12-14
例题
已知 F(s)
5s
，
(s 2)(s2 4s 3)
求f (t)、t 0。
解 B(s) (s 1)(s 2)(s 3) B(s)=0的三个不等根为-1、-2、-3。
F(s)
5s
K1 K2 K3
(s 1)(s 2)(s 3) s 1 s 2 s 3
0
△若 i(0 ) 0 ，s 域模型如何？
L[i(t)] i(0 )
U (s) i(0 )
U (s)
s
s
ZL (s) sL 电感的广义阻抗
iL
I(s) sL i(0 )
i(0 )
s
-
-
-
-
+u
时域模型
+ U(s) s域模型
练
习 求所示时域电路的相量模型和零初始状态的s域模型。 12-9
f (t) F (s) 解 L[零状态响应] H (s) L[激励]
(t)
1
L[h(t)] H (s) L[ (t)] H (s)
e t
1
s
h(t) L1[H (s)] L1[ R ] sRC 1
注意：由本例可知网络 函数的另两个性质：
① L[h(t)] H (s) ②
e t
1
s
本题F(s)为假分式，先用长除法，化为真分式后再做。
§4 网络函数与叠加方法
12-17
(1)
回顾
(a)电阻模型的网络函数 H=K (§3-1)
y(t) Kx(t)
(b)相量模型的网络函数 H(j) H
(§10-3)
Y HX H X (c)共同的特点
解
作零初始状态s域模型。
i(t) c = R u(t)
R 1 H (s) U (s) I (s) Z (s) sC
R
-
R 1 sRC 1
+
sC
求网络函数，必须明确：
I(s) 1 = R U(s)
何者为响应，何者为激励。
sc
-
(b) 接续上题，若 i(t) (t) ，试求u(t)、即冲激响应h(t)。12-20
s(s 2) s s 2
求K1：
s I(s) 2s 8
s2
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K1
sK 2 s2
| | 2s 8
s2
s0
K1
sK 2 s2
s0
K1 4
求K
：
2
(s
2) I (s)
2s 8 s
K1(s s
2)
K2
| | 2s 8
s
s2
K1(s s
I(s) +
s
-
1 sC
= =
+
u
-
+ U(s) -
时域模型
s域模型
(b)拉氏变换的积分性质 若
L[f (t)] F(s)，则
L
t 0
f
(
)d
1 s
F(s)
12-8
由此可得电容、电感VCR的s域形式。
➢电感VCR的s域形式
提问 ：
i(t)
i(0
)
1 L
t
u( )d
f (t)
sin t e t
F (s)
s2 2
1
s
I(s)
120 s2 32
1 8 2s
(s
4)(s
60 j3)(s
j3)
12-22
解得
i(t) L1[I (s)] L1[ K1
K2
K
* 2
]
s 4 s j3 s j3
K1 2.4
0
0
s
0
s
s
即 (t) 1
s
如同 Im cos(t ) Im
(4) 数学家已表明拉氏变换可用来简化
线性常系数常微分方程的求解。
12-4
数学家已对各类的f(t)求得相应的F(s)，制成手册， 供查阅，如同查对数表。如
f (t) t 0
F (s)
(t)
A
e t
单一激励下定义。与叠加方法相结合。
(2) s域模型的网络函数 H(s)
单一激励下，网络函数的定义
H (s)
L[
零状态响 应]
L[激 励]
Y (s) X (s)
即
L[零状态响应] H (s) L[激励]
12-18
①
(3) 三个例题
12-19
(a) 求图所示电路的网络函数 U(s) I (s) 。 +
(1) 两类约束的s域表达式
12-6
(a)拉氏变换的线性性质
L[1 f1 (t) 2 f2 (t)] 1F1(s) 2 F2 (s)
由此可推广运用得KCL、KVL的s域形式：
若 L[i(t)] I (s) 则 i(t) 0
其s域形式为 L[i(t)] I(s) 0
②2 s域模型 →适用于线性时不变电路的一般分析
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯变换
类比 1 、2 两种模型均与电阻模型作类比，从而
得以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这 是一种手段，较简便地得到客观存在的动态 电路时域响应。
本章分为
12-1
§1 基本概念 §2 s 域模型 §3 反变换—赫维赛德展开定理 §4 网络函数与叠加方法
第十二章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用
重提基本结构
一个假设→集总模型（电阻电路和动态电路） 两类约束→VCR + KCL、KVL 三大基本方法
1.叠加方法 2.分解方法
模型的化简
3.变换域方法 ---模型的类比(第三篇)
变换与类比
变换
动态电路的时域模型 变 换为
①1 相量模型 →适用于正弦稳态分析
7Ω
1Ω
解答
2H
= 1
80
F
7Ω
2ωj Ω
1Ω
80
jω
Ω=
解答
7
1
2s
= 80
s
(2) 例题 开关在t=0时闭合，求i(t)、t 0 ，用s域分析法。12-10
解 (a)求40V直流激励的拉氏变换。
L[uS ] L[40] 40 s
初始条件：
40 iL (0 ) 10 10 A 2A
§1 基本概念
12-2
(1) 变换方法的基本步骤
(a) 变换 如相量法中，正弦的t函数→相量(复数)
(b) 在变换域运算 如相量法中对相量进行复数运算 (c) 反变换 回归到时域
(2) 拉氏变换方法的三个步骤
(a)变换 把函数f(t)→F(s) (拉氏变换)
(b)在s域中运算(利用s域模型)
(c)反变换 回归到时域(方法的难点所在)