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2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷专题综合测试高频考点训练1 Word版含解析集合函数

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2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷专题综合测试4Word版含解析

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专题四综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．如图是一正方体被过点A、M、N的平面和点N、D、C1的平面截去两个角后所得的几何体，其中M、N分别为棱A1B1、A1D1的中点，则该几何体的正视图为()解析正视图是正方形，点M的射影是中点，对角线DC1在正视图中是虚线，故选B.答案 B2．如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积为()A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π解析 由三视图知该空间几何体为圆柱，所以其全面积为π×12×2＋2π×1×2＝6π，故选C.答案 C3．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ， b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 解析 若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α，a ∥β，故排除A. 若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则a ∥β，b ∥α，故排除C. 答案 D4．将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体，这个正四面体的体积是正方体体积的( )A.12B.13C.23D.14解析 设正方体的棱长为1，依题意知，截去的角为一个三棱锥，其体积为：V 1＝13×12×1×1×1＝16，则V 正四面体＝1－4×16＝13.∴V 正四面体V 正方体＝131＝13.答案 B5．已知空间中有三条线段AB 、BC 和CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 异面C ．AB 与CD 相交D ．AB ∥CD 或AB 与CD 异面或AB 与CD 相交解析 若三条线段共面，如果AB ，BC ，CD 构成等腰三角形，则直线AB 与CD 相交，否则直线AB 与CD 平行；若不共面，则直线AB 与CD 是异面直线，故选D.答案 D6．已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )A.32B.12C.33D.36解析 由于是正三棱锥，故顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，底面的一个顶点到这个中心的距离是23×32＝33，故侧棱与底面所成角的余弦值为332＝36.答案 D7．(2013·山东卷)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析 由棱柱ABC －A 1B 1C 1为正三棱柱底面边长为3，设高为h ，得32×32×12×h ＝94，解得h ＝3，设△ABC 中心为O ，则PO ＝3，AO ＝23×32×3＝1，由PO ⊥面ABC 知∠P AO 即AP 与面ABC 所成的角，tan ∠P AO ＝3，所以∠P AO ＝π3.答案 B8．(2013·长沙模拟)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点， 若截面三角形BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为( )A ．16 3B ．8 3C ．4 3D.833解析 设正三棱柱的底面边长为a ，高为2h ，则BD ＝C 1D ＝a 2＋h 2，BC 1＝a 2＋4h 2，由△BC 1D 是面积为6的直角三角形，得⎩⎪⎨⎪⎧2×(a 2＋h 2)＝a 2＋4h 2，12(a 2＋h 2)＝6，解得⎩⎨⎧a 2＝8，h ＝2，故此三棱柱的体积为V ＝12×8×sin60°×4＝8 3.答案 B9.如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC ⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC 与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．答案 D10．(2013·湖北卷)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()A．V1<V2<V4<V3B．V1<V3<V2<V4C．V2<V1<V3<V4D．V2<V3<V1<V4解析由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体．根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为1，高为1的圆台，其体积V 1＝13π×(12＋22＋1×2)×1＝73π；从上到下的第二个简单几何体是一个底面圆半径为1，高为2的圆柱，其体积V 2＝π×12×2＝2π；从上到下的第三个简单几何体是边长为2的正方体，其体积V 3＝23＝8；从上到下的第四个简单几何体是一个棱台，其上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1，故体积V 4＝13×(22＋22×42＋42)×1＝283，比较大小可知答案选C.答案 C11．(理)如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′－BCD 的体积为13解析 取BD 的中点O ，∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD ，又平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴A ′O ⊥平面BCD ，∵CD ⊥BD ，∴OC 不垂直于BD ，假设A ′C ⊥BD ，∵OC 为A ′C 在平面BCD 内的射影，∴OC ⊥BD ，矛盾，∴A ′C 不垂直于BD ，A 错误，∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，A ′C 在平面A ′BD 内的射影为A ′D ，∵A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，∴A ′B ⊥A ′D ，A ′B ⊥A ′C ，B 正确；∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，C 错误；V A ′－BCD ＝13S △A ′BD ·CD ＝16，D 错误，故选B.答案 B11．(文)(2013·江西九校联考)如图所示，三棱锥V －ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为( )A.32B.33C.34D.36解析 由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC ，作VO ⊥AC 于O ，连接OB ，设底面边长为2a ，高VO ＝h ，则△VAC 的面积为12×2a ×h ＝ah ＝23.又三棱锥的侧视图为Rt △VOB ，在正三角形ABC 中，高OB ＝3a ，所以侧视图的面积为12OB ·VO ＝12×3a ×h ＝32ah ＝32×23＝33.答案 B12.如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，则该几何体的外接球的表面积等于( )A ．3πB ．6π C.3π2D ．2π解析在Rt△BCD中，BD＝BC2＋CD2＝2；在Rt△ABD中，AD＝AB2＋BD2＝ 3.如图所示，折起的几何体为一个三棱锥A－BCD，因为AB⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AB⊥平面BCD，又因为CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD，又因为BC⊥CD，AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以CD⊥AC.取AD的中点O，连接OB，OC.在Rt△ABD中，OA＝OB＝OD＝12AD＝32；在Rt△ACD中，OA＝OC＝OD＝12AD＝32，所以三棱锥A－BCD的外接球的球心为O，半径为32，故其表面积为S＝4πr2＝4π×⎝⎛⎭⎪⎫322＝3π.答案 A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．13．(2013·辽宁卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析该几何体是一圆柱挖去一正四棱柱后剩下的部分，所以体积是π×22×4－22×4＝16π－16.答案16π－1614．(2013·福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析该球为一棱长为2的正方体的外接球，体对角线为球的直径，2R＝22＋22＋22＝23，得R＝3，所以该球的表面积为4πR2＝12π.答案12π15．三棱锥P－ABC的两侧面P AB，PBC都是边长为2a的正三角形，AC＝3a，则二面角A－PB－C的大小为________．解析取PB的中点M，连接AM，CM.则AM⊥PB，CM⊥PB.故∠AMC为二面角A－PB－C的平面角．在△P AB和△PBC中可得AM＝CM＝3a，而AC＝3a，则△AMC为正三角形，∴∠AMC＝60°.则二面角A－PB－C的大小为60°.答案60°16．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M 分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件________时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件________时，就有MN∥平面B1D1C.解析 N 在线段EG 上时，MN ⊥AC ，又AC ∥A 1C 1，∴MN ⊥A 1C 1.∵平面HEM ∥平面B 1D 1C ，∴当MN ⊂平面HEM 时，MN ∥平面B 1D 1C .∴N ∈线段EH 时，MN ∥平面B 1D 1C .答案 N 在线段EG 上 点N 在线段EH 上三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题10分)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是棱BB 1的中点，N 是CC 1的中点，AC 1与A 1N 相交于点E .(1)求三棱锥A －MNA 1的体积；(2)求证：AC 1⊥A 1M .解 (1)∵三棱锥A －MNA 1的体积等于三棱锥M －ANA 1的体积，∴V ＝13×12×6×3×1＝22.(2)证明：∵BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，∴BC ⊥面ACC 1.连接MN ，由M ，N 分别是BB 1和CC 1的中点可知MN ∥BC ， ∴MN ⊥面ACC 1，又∵AC 1⊂面ACC 1.∴MN ⊥AC 1.在Rt △A 1C 1N 中，A 1N2＝NC 21＋A 1C 21＝3＋64＝92，∴A 1N ＝322.在Rt △AC 1C 中，AC 21＝CC 21＋AC 2＝3＋6＝9，∴AC 1＝3. 由CC 1∥AA 1可得，NE ＝12NA 1＝22，EC 1＝13AC 1＝1，∴NE 2＋EC 21＝NC 21.∴AC 1⊥A 1N .∴AC 1⊥面A 1MN ，又∵A 1M ⊂面A 1MN ，∴AC 1⊥A 1M .18．(本小题12分)(理)如图所示，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(即底面为正方形的直四棱柱)中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上且C 1E ＝3EC .(1)证明：A 1C ⊥平面BED ；(2)求直线A 1C 与平面A 1DE 所成角的正弦值．解 如图建立空间直角坐标系，则A 1(2,0,4)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (0,0,0)，E (0,2,1)．(1)证明：A 1C →＝(－2,2，－4)，DB →＝(2,2,0)，DE →＝(0,2,1)．∵A 1C →·DB →＝－2×2＋2×2－4×0＝0，A 1C →·DE →＝－2×0＋2×2－4×1＝0.∴A 1C →⊥DB →，A 1C →⊥DE →.∴A 1C ⊥平面BED .(2)A 1E →＝(－2,2，－3)，A 1D →＝(－2,0，－4)，设平面A 1DE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·A 1E →＝0及n ·A 1D →＝0，得－2x ＋2y －3z ＝0，－2x －4z ＝0，取n ＝(－4，－1,2)，A 1C →＝(－2,2，－4)．设直线A 1C 与平面A 1DE 所成角为θ.则sin θ＝|cos 〈n ，A 1C →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－2－821·24＝1442. 则直线A 1C 与平面A 1DE 所成角的正弦值为1442.18．(本小题12分)(文)如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)若BD ＝1，求三棱锥D －ABC 的表面积．解 (1)证明：∵折起前AD 是BC 边上的高，∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC .∵AD ⊂平面ADB ，∴平面ADB ⊥平面BDC .(2)由(1)知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA ，∵DB ＝DA ＝DC ＝1，∴AB ＝BC ＝CA ＝2，从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝12，S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝32，∴表面积S ＝12×3＋32＝3＋32.19.(本小题12分)(理)(2013·广东佛山一模)如图所示，在三棱锥S －ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ；(2)求二面角A －SC －B 的余弦值．解 (1)证明：由题设知AB ＝AC ＝SB ＝SA ，连接OA ，易知△ABC为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝22SA ，且AO ⊥BC .又△SBC为等腰三角形，SO ⊥BC ，且SO ＝22SA ，从而OA 2＋SO 2＝SA 2.所以△SOA 为直角三角形，SO ⊥AO .又AO ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .(2)解法一：取SC 的中点M ，连接AM ，OM ，由(1)知SO ＝OC ，SA ＝AC ，得OM ⊥SC ，AM ⊥SC .∴∠OMA 为二面角A －SC －B 的平面角．由AO ⊥BC ，AO ⊥SO ，SO ∩BC ＝O 得AO ⊥平面SBC .所以AO ⊥OM .又AM ＝32SA ，故sin ∠OMA ＝AO AM ＝22SA 32SA＝63. 所以二面角A －SC －B 的余弦值为33.解法二：以O 为坐标原点，射线OB ，OA 分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设B (1,0,0)，则C (－1,0,0)，A (0,1,0)，S (0,0,1)．取SC 的中点M ，连接OM ，AM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，MO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12，MA →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，1，－12，SC →＝(－1,0，－1)．∴MO →·SC →＝0，MA →·SC →＝0.由MO ⊥SC ，MA ⊥SC ，〈MO →，MA →〉即为二面角A －SC －B 的平面角．cos 〈MO →，MA →〉＝MO →·MA →|MO →||MA →|＝33，∴二面角A －SC －B 的余弦值为33.19.(本小题12分)(文)(2013·课标全国Ⅰ)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．解(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA1＝ 3.又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥OC.因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积S △ABC ＝3，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3.20．(本小题12分)(理)在如图所示的几何体中，四边形ACC 1A 1为矩形，FC 1∥BC ，EF ∥A 1C 1，∠BCC 1＝90°，点A ，B ，E ，A 1在一个平面内，AB ＝BC ＝2，AC ＝2 2.(1)证明：A 1E ∥AB ；(2)若A 1E ＝C 1F ＝12CC 1＝1，求平面ABC 与平面BEF 所成角的正切值．解 (1)证明：四边形ACC 1A 1为矩形，∴A 1C 1∥AC .又∵AC ⊂平面ABC ，A 1C 1⊄平面ABC ，∴A 1C 1∥平面ABC .∵FC 1∥BC ，BC ⊂平面ABC ，FC 1⊄平面ABC ，∴FC 1∥平面ABC .又∵A 1C 1⊂平面A 1EFC 1，FC 1⊂平面A 1EFC 1，且A 1C 1∩FC 1＝C 1，∴平面A 1EFC 1∥平面ABC .又∵平面ABEA 1∩平面A 1EFC 1＝A 1E ，平面ABEA 1∩平面ABC ＝AB ，∴A 1E ∥AB .(2)∵四边形ACC 1A 1是矩形，∴AA 1⊥AC ，AA 1∥CC 1.又∵∠BCC 1＝90°，即CC 1⊥BC ，∴AA 1⊥BC .又AC ∩BC ＝C ，∴AA 1⊥平面ABC .∵AB ＝BC ＝2，AC ＝22，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴∠ABC ＝90°，即BC ⊥AB .根据以上结论，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，E (0,1,2)，F (1,0,2)，∴BE →＝(0,1,2)，BF →＝(1,0,2)．设平面ABC 与平面BEF 的法向量分别是n 1和n 2，平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角为θ，取n 1＝(0,0,1)，设n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 2·BE →＝0，n 2·BF →＝0，即⎩⎨⎧ y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，取n 2＝(2,2，－1)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－13. 由图易知θ为锐角，∴cos θ＝13，sin θ＝223，tan θ＝sin θcos θ＝2 2.20.(本小题12分)(文)(2013·重庆卷)如图所示，四棱锥P －ABCD中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积． 解 (1)证明：因BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC.因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD.从而BD 与平面PAC 内两条相交直线PA ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面PAC.(2)三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC·CD·sin ∠BCD＝12·2·2·sin 2π3＝ 3.由PA ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·PA ＝13·3·23＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18PA ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18PA ＝13·3·18·23＝14， 所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.21．(本小题12分)(理)(2013·安徽卷)如图所示，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.(1)证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面；(2)求cos ∠COD.解 (1)证明：设面PAB 与面PCD 的交线为l.因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内，所以AB ∥面PCD.又AB ⊂面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l. 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．(2)设CD 的中点为F.连接OF ，PF.由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD.因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP ⊥CD ，又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF.又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD ，从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP·tan ∠OPF ＝h·tan 60°＝3h.根据题设有∠OCP ＝22.5°，得OC ＝OP tan ∠OCP ＝h tan 22.5°. 由1＝tan 45°＝2tan 22.5°1－tan 222.5°和tan 22.5°>0，可得tan22.5°＝2－1，因此OC＝h2－1＝(2＋1)h.在Rt△OCF中，cos∠COF＝OFOC＝3h(2＋1)h＝6－3，故cos∠COD＝cos(2∠COF)＝2cos2∠COF－1＝2(6－3)2－1＝17－12 2.21．(本小题12分)(文)如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC＝∠ACD＝90°，AE∥CD，DC＝AC＝2AE＝2.(1)求证：平面BCD⊥平面ABC；(2)求证：AF∥平面BDE；(3)求四面体B－CDE的体积．解(1)证明：∵平面ABC⊥平面ACDE，平面ABC∩平面ACDE ＝AC，CD⊥AC，∴DC⊥平面ABC.∵DC ⊂平面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ABC.(2)证明：取BD 的中点P ，连接EP 、FP ，则PF 綊12DC.∵EA 綊12DC ，∴EA 綊PF.∴四边形AFPE 是平行四边形．∴AF ∥EP ，∵EP ⊂平面BDE ，∴AF ∥平面BDE.(3)∵BA ⊥AC ，平面ABC ∩平面ACDE ＝AC ，∴BA ⊥平面ACDE ，∴BA 就是四面体B －CDE 的高，且BA ＝2.∵DC ＝AC ＝2AE ＝2，AE ∥CD ，∴S 梯形ACDE ＝12×(1＋2)×2＝3，S △ACE ＝12×1×2＝1，∴S △CDE ＝3－1＝2.∴V B －CDE ＝13×2×2＝43.22．(本小题12分)(理)(2013·浙江卷)如图所示，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝2 2.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC.(1)证明：PQ ∥平面BCD ；(2)若二面角C －BM －D 的大小为60°，求∠BDC 的大小．解 解法一：(1)取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OP ，OF ，FQ.因为AQ ＝3QC ，所以QF ∥AD ，且QF ＝14AD.因为O ，P 分别为BD ，BM 的中点，所以OP 是△BDM 的中位线，所以OP ∥DM ，且OP ＝12DM.又点M 为AD 的中点，所以OP ∥AD ，且OP ＝14AD.从而OP ∥FQ ，且OP ＝FQ ，所以四边形OPQF 为平行四边形，故PQ ∥OF ，又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD.(2)作CG ⊥BD 于点G ，作GH ⊥BM 于点H ，连接CH. 因为AD ⊥平面BCD ，CG ⊂平面BCD ，所以AD ⊥CG ，又CG ⊥BD ，AD ∩BD ＝D ，故CG ⊥平面ABD ，又BM ⊂平面ABD ，所以CG ⊥BM.又GH ⊥BM ，CG ∩GH ＝G ，故BM ⊥平面CGH ，所以∠CHG 为二面角C －BM －D 的平面角，即∠CHG ＝60°. 设∠BDC ＝θ.在Rt △BCD 中，CD ＝BD cos θ＝22cos θ，CG ＝CD sin θ＝22cos θsin θ，BG ＝BC sin θ＝22sin 2θ.在Rt △BDM 中，HG ＝BG·DM BM ＝22sin 2θ3. 在Rt △CHG 中，tan ∠CHG ＝CG HG ＝3cos θsin θ＝ 3.所以tan θ＝ 3.从而θ＝60°，即∠BDC ＝60°.解法二：(1)如图所示，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP所在射线为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz.由题意知A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0)．设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)．因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，12. 因为M 为AD 的中点，故M(0，2，1)．又P 为BM 的中点，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12.所以PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0. 又平面BCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)，故PQ →·u ＝0.又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .(2)设m ＝(x ，y ，z )为平面BMC 的法向量．由CM →＝(－x 0，2－y 0,1)，BM →＝(0,22，1)知⎩⎨⎧ －x 0x ＋(2－y 0)y ＋z ＝0，22y ＋z ＝0.取y ＝－1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 0＋2x 0，－1，22. 又平面BDM 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是 |cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋2x 09＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 0＋2x 02＝12， 即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 0＋2x 02＝3.(1) 又BC ⊥CD ，所以CB →·CD →＝0，故(－x 0，－2－y 0,0)·(－x 0，2－y 0,0)＝0，即x 20＋y 20＝2.(2)联立(1)(2)，解得⎩⎨⎧ x 0＝0，y 0＝－2，(舍去)或⎩⎨⎧ x 0＝±62，y 0＝22.所以tan ∠BDC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 02－y 0＝ 3. 又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°.22．(本小题12分)(文)(2013·北京海淀一模)在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC中点，又∠CAD ＝30°，P A ＝AB ＝4，点N 在线段PB 上，且PN NB ＝13.(1)求证：BD ⊥PC ；(2)求证：MN ∥平面PDC ；(3)设平面P AB ∩平面PCD ＝l ，试问直线l 是否与直线CD 平行，请说明理由．解 (1)证明：因为△ABC 是正三角形，M 是AC 的中点，所以BM ⊥AC ，即BD ⊥AC .又因为P A ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，所以P A ⊥BD ，又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥面P AC ，又PC ⊂面P AC ，所以BD ⊥PC .(2)证明：在正三角形ABC 中，BM ＝23，在△ACD 中，因为M 为AC 中点，DM ⊥AC ，所以AD ＝CD .因为∠CAD ＝30°，所以DM ＝233.所以BM MD ＝所以BN NP＝BM MD.所以MN∥PD，又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以MN∥平面PDC.(3)假设直线l∥CD，因为l⊂平面P AB，CD⊄平面P AB，所以CD∥平面P AB，又CD⊂平面ABCD，平面P AB∩平面ABCD＝AB，所以CD∥AB，这与CD与AB不平行矛盾，所以直线l与直线CD不平行．。

2014年高考数学二轮复习基础知识基本技能掌握《选择填空题》精练35套含答案

2014年高考数学二轮复习基础知识基本技能掌握《选择填空题》精练35套含答案

2014届高三数学二轮双基掌握《选择填空题》（新题+典题）1一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．已知集合),1(+∞-=M ，集合{}0)2(|≤+=x x x N ，则N M ⋂=A ．]2,0[B ． ),0(+∞C ． ]0,1(-D ． )0,1(-2．已知a ，b 是实数，则“⎩⎨⎧>>32b a ”是“5>+b a ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．74. 已知直线l ，m 和平面α， 则下列命题正确的是 A ．若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α B ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m C ．若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α D ．若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m 5．已知是虚数单位，复数ii+3＝ A ．i 103101+ B ．i 103101+- C ．i 8381+- D ．i 8381--6． 函数y ＝sin (2x ＋π4)的图象可由函数y ＝sin 2x 的图象 A ．向左平移π8个单位长度而得到 B ．向右平移π8个单位长度而得到C ．向左平移π4个单位长度而得到D ．向右平移π4个单位长度而得到7．已知a r 、均为单位向量,)2()2(b a b a -⋅+=233-，a r与的夹角为A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°(第3题图)8．在递增等比数列{a n }中，4,2342=-=a a a ，则公比q ＝ A ．-1 B ．1 C ．2 D ．219．若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 则2x ＋4y 的最小值是A ．6B ．4C ．2-D ．6-10．对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，定义它们之间的一种“距离”： ‖AB ‖=1212x x y y -+-，给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖；②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖； ③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖. 其中真命题的个数为A. 0B. 1C. 2D.3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. （一）必做题（11-13题）11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________. 12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝3π，3=b ，若△ABC 的面积为233 ，则c = ．13．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 .xy OA B F 1F 2(第13题图)一、选择题：CABDA AACDB二、填空题：11、150 12、7 13、132014届高三数学二轮双基掌握《选择填空题》（新题+典题）2一、选择题：（每小题5分，共计50分） 1. 已知1sin ,(,)322ππθθ=∈-，则3sin()sin()2πθπθ--的值为（ ）B. 19- D. 192. 设向量a r 与b r 的夹角为α，则cos α<0是a r 与b r的夹角α为钝角的（ ）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分又非必要 3. 已知偶函数()yf x =对任意实数x 均有(1)()f x f x +=-，且在[0，1]上单调递减，则有（ ）A. 777()()()235f f f <<B. 777()()()523f f f <<C. 777()()()325f f f <<D. 777()()()532f f f <<4. 已知A(4,-3)，B(-2,6)，点P 在直线AB 上，且||3||AB AP =u u u r u u u r，则P 点的坐标为（ ）A. (2,0)B. (0,3)C. (2,0)或(6,-6)D. (6,0)或1818(,)55- 5. 已知等差数列{a n }的前三项和为11，后三项和为69，所有项和为120，则a 5=（ ）A. 40B. 20C. 403D. 2036. 设A(-2,3)，B(3,2)，若直线2y ax =-与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（ ）A. 54(,][,)23-∞-+∞U B. 45[,]32- C. 54[,]23- D.45(,][,)32-∞-+∞U7. 已知a,b ∈R +，且a+b=13，则使14c a b+≥恒成立的c 取值范围是（ ） A. c>1 B. c ≥0 C. c ≤9 D. c ≤278. 点p(-3,1)在椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>在左准线上，过点P 且方向向量(2,5)a =-r 的光线，经直线2y =-反射通过椭圆的左焦点，则该椭圆的离心率为（ ）13 C. 2 D. 129. 已知定点12(2,0),(2,0)F F -，N 是圆O ：221x y +=上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为点M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹为（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 抛物线10. 已知2()log (1),()2log (2) (1)a f x x g x x t a =+=+>，若[0,1),[4,6)x t ∈∈时，()()()F x g x f x =-有最小值4，则a 的最小值为（ ）A. 10B. 2C. 3D. 4二、填空题：11. 若变量x 、y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--=⎩，则2z x y =+的最小值为___________。

2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练1Word版含解析

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高考专题训练时间：45分钟分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·全国卷Ⅱ)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝()A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}解析M＝{x|－1<x<3}，N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1,2}，故选A.答案 A2．(2013·大纲卷)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A．3 B．4C．5 D．6解析由集合中元素的互异性知M＝{5,6,7,8}，故选B.答案 B3．(2013·四川卷)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A．綈p：∀x∈A,2x∉BB．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈p：∃x∉A,2x∈BD．綈p：∃x∈A,2x∉B解析全称命题的否定为特称命题，故选D.答案 D4．(2013·北京卷)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 φ＝π时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x 过原点，但函数过原点时φ可以取其他值．答案 A5．下列命题中错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22中等号成立”的充要条件C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假D ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0解析 易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故C 错．答案 C6．(2013·天津卷)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号为( ) A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③解析 由球的体积公式V ＝43πR 3可得①是真命题；因为标准差除了与平均数有关，还与各数据有关，所以②是假命题；圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离等于22与圆的半径相等，所以③是真命题；所以真命题的序号为①③.答案 C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．已知命题甲：a ＋b ≠4，命题乙：a ≠1且b ≠3，则命题甲是命题乙的________条件．解析 ∵a ＝1或b ＝3D ⇒\a ＋b ＝4，且a ＋b ＝4D ⇒\a ＝1或b ＝3，∴a ＝1或b ＝3是a ＋b ＝4的既不充分也不必要条件．由原命题与逆否命题等价可知，“a ＋b ≠4”是“a ≠1且b ≠3”的既不充分也不必要条件．答案 既不充分也不必要8．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析 “∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.答案 [－22，22]9．已知集合A 、B ，定义集合A 与B 的一种运算A ⊕B ，其结果如下表所示：，则M ⊕N ＝________.解析 由给出的定义知集合A ⊕B 的元素是由所有属于集合A 但不属于集合B 和属于集合B 但不属于集合A 的元素构成的，即A ⊕B ＝{x |x ∈A 且x ∉B ，或x ∈B 且x ∉A }．故M ⊕N ＝{－2 011,2 012，－2 012,2 013}．答案 {－2 011,2 012，－2 012,2 013}三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解 若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2，即p ：m >2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0，解得1<m <3，即q ：1<m <3.因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一个为真，又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一个为假．因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 真q 假，或p 假q 真．所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，解得m ≥3或1<m ≤2.11．(本小题10分)(2013·大连模拟)已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m .∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 但qD ⇒\p .∴{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m }的真子集．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9. ∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．12．(本小题10分)已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1，或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.。

高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练13

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2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练13一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．定义运算：(a b )x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(a b )x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(b a )x <0的解集为( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪(1，＋∞) 解析 1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－b a ，1×2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，所以(－31)x ＝－3x 2＋x ＋2<0，得3x 2－x －2>0， 解得x <－23或x >1.答案 D2．若方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,1] B ．(－∞，1] C ．[1，＋∞)D ．[－1,1]解析 令f (x )＝sin 2x ＋2sin x ，则f (x )的值域是[－1,3]，因为方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0一定有解，所以－1≤－a ≤3，所以实数a 的取值范围是[－3,1]．答案 A3．若函数f (x )，g (x )分别为R 上的奇函数，偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则有( ) A ．f (2)<f (3)<g (0) B ．g (0)<f (3)<f (2) C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)解析 由题意得f (x )－g (x )＝e x，f (－x )－g (－x )＝e －x，即－f (x )－g (x )＝e －x，由此解得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x 2，g (0)＝－1，函数f (x )＝e x －e －x2在R 上是增函数，且f (3)>f (2)＝e 2－e－22>0，因此g (0)<f (2)<f (3)． 答案 D4．已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝log 2x －2的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析 分别画出函数y ＝2x，y ＝－x ，y ＝log 2x ，y ＝2的图象，转化为交点横坐标的比较问题．容易得出A 正确．答案 A5.e 416，e 525，e636(其中e 为自然常数)的大小关系是( ) A.e 416<e 525<e 636 B.e 636<e 525<e 416 C.e 525<e 416<e 636D.e 636<e 416<e 525解析 由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e xx 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e525，f (6)＝e636.而f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx 2′＝e x·x 2－e x ·2x x 4＝e xx 2－2xx 4，令f ′(x )>0得x <0或x >2，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e 636. 答案 A6．已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx ＋c 在x 1处取得极大值，在x 2处取得极小值，满足x 1∈(－1, 1)，x 2∈(2,4)，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(－11，－3)B ．(－6，－4)C ．(－16，－8)D ．(－11,3)解析 依题意得，f ′(x )＝x 2＋ax ＋b ，x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝－12＋a ·－1＋b ＝1－a ＋b >0，f ′1＝12＋a ·1＋b ＝1＋a ＋b <0，f ′2＝22＋a ·2＋b ＝4＋2a ＋b <0，f ′4＝42＋a ·4＋b ＝16＋4a ＋b >0.在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，阴影部分表示的四边形的四个顶点的坐标分别为(－3，－4)，(－1，－2)，(－3,2)，(－5,4)，验证得：当a＝－5，b＝4时，a ＋2b取得最大值3；当a＝－3，b＝－4时，a＋2b取得最小值－11.于是a＋2b的取值范围是(－11,3)．答案 D二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．若函数f(x)＝log a(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a＝________.解析∵f(x)＝log a(x＋1)的定义域是[0,1]，∴0≤x≤1，则1≤x＋1≤2.当a>1时，0＝log a1≤log a(x＋1)≤log a2＝1，∴a＝2；当0<a<1时，log a2≤log a(x＋1)≤log a1＝0，与值域是[0,1]矛盾．综上，a＝2.答案 28．若方程x2＋ax＋2＝0的两根可以作为一椭圆和一双曲线的离心率，则a的取值范围是________．解析方程有两个根，且一个大于1，另一个大于0小于1，设f(x)＝x2＋ax＋2，只需f(0)>0且f(1)<0，得a<－3.答案a<－39．设函数f(x)＝|x＋a|， g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．解析 如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案 [－1，＋∞)三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx .(1)若函数y ＝f (x )在x ＝2处有极值－6，求y ＝f (x )的单调递减区间； (2)若y ＝f (x )的导数f ′(x )对x ∈[－1,1]都有f ′(x )≤2，求ba －1的范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝0，f 2＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a ＋b ＝0，8＋4a ＋2b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－5x －2.由f ′(x )<0，得－13<x <2.∴y ＝f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝3－2a ＋b ≤2，f ′1＝3＋2a ＋b ≤2得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －1≥0，2a ＋b ＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －1＝0，2a ＋b ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.∴Q 点的坐标为(0，－1)． 设z ＝ba －1，则z 表示平面区域内的点(a ，b )与点P (1,0)连线斜率．∵k PQ ＝1，由图可知z ≥1或z <－2， 即ba －1∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)．11．(本小题10分)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )，讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x的大小关系．解 g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－ln x ＋x ， 设h (x )＝g (x )－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－x －12x 2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x； 当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x； 当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x. 12.(本小题10分)如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A 、B 、C 、D 四点，点A 1、A 2分别为C 2的左、右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程． 解 (1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|.由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209， 从而x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)知直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．。

【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练18

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2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练18一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．已知直线l的方向向量为l，直线m的方向向量为m，若l＝αb＋βc(α，β∈R)，m∥a，a⊥b，a⊥c且a≠0，则直线m与直线l( )A．共线B．相交C．垂直D．不共面解析由m∥a且a≠0，可得：m＝t a(t∈R)，所以m·l＝m·(αb＋βc)＝αm·b＋βm·c＝αt a·b＋βt a·c＝0，故m与l垂直，即直线m与直线l垂直．故选C.答案 C2．若不同直线l1， l2的方向向量分别为μ，v，则下列直线l1，l2中既不平行也不垂直的是( )A．μ＝(1,2，－1)，v＝(0,2,4)B．μ＝(3,0，－1)，v＝(0,0, 2)C．μ＝(0, 2，－3)，v＝(0，－2,3)D．μ＝(1,6,0)，v＝(0,0，－4)解析选项A中μ·v＝0＋4－4＝0，∴l1⊥l2；选项C中μ＝－v，∴μ，v共线，故l1∥l2；选项D中，μ·v＝0＋0＋0＝0，∴l1⊥l2，故选B.答案 B3．已知直二面角α－l－β，若A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD等于( )A．2 B. 3C. 2 D．1解析 如图所示，∵BD ⊥l ，α⊥β，α∩β＝l ， ∴BD ⊥α，∴BD ⊥AD . ∵AB →＝AC →＋CD →＋DB →，且AC ⊥l ， ∴AB 2＝AC 2＋CD 2＋BD 2. ∴22＝12＋CD 2＋12.∴CD 2＝2，∴CD ＝ 2.故选C. 答案 C4．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 如图所示，取BC 中点E ，连接DE ，AE ，AD ，依题意知，三棱柱为正三棱柱，易得AE ⊥平面BB 1C 1C ，故∠ADE 为AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设各棱长为1，则AE ＝32，DE ＝12， tan ∠ADE ＝AE DE ＝3212＝3，由于∠ADE ∈[0°，90°]． ∴∠ADE ＝60°，故选C.答案 C5．(2013·全国大纲卷)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13解析 建立如右图所示坐标系，设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)，D (0,0,0)．设面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0n ·DC 1→＝0代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0y ＋2z ＝0令z ＝1，得n ＝(2，－2,1)，设CD 与面BDC 1所成的角为θ，sin θ＝|n ·DC →||n ||DC →|＝23，选A.答案 A6．过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD .若PA ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 解法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB 与平面PCD 的法向量n 1＝(0,1,0)，n 2＝(0,1,1)，故平面ABP 与平面CDP 所成二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝22，故所求的二面角的大小是45°. 解法二：将其补成正方体．如图(2)，不难发现平面ABP 和平面CDP 所成的二面角就是平面ABQP 和平面CDPQ 所成的二面角，其大小为45°是明显的．答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CC 1中点为E ，则直线AE 与BC 1所成的角的大小为________．解析 以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设棱长为2，∴D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (0,2,1)， ∴AE →＝(－2,2,1)，BC 1→＝(－2,0,2)，cos 〈AE →，BC 1→〉＝AE →·BC 1→|AE →||BC 1→|＝63×22＝22，所以直线AE 与BC 1所成角大小为π4.答案π48．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF与平面ABC 所成的二面角的正切值为________．解析 如图，建立空间直角坐标系．设DA ＝1，由已知条件得A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，23， AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，13，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，23，设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 平面AEF 与平面ABC 所成的二面角为θ， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23z ＝0.令y ＝1，得z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－3)， 平面ABC 的法向量为m ＝(0,0，－1)，cos θ＝cos 〈n ，m 〉＝311，tan θ＝23.答案239．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确命题的序号是________．解析 设正方体的棱长为1，①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3(A 1B 1→)2＝3，故①正确；②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确．答案 ①②三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝AD ＝a ，点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE ； (2)若二面角C －AE －D 的大小为60°，求λ的值．解 (1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，D (0,0,0)，E (0,0，λa )，∴AC →＝(－a ，a,0)，BE →＝(－a ，－a ，λa )，∴AC →·BE →＝0对任意λ∈(0,1]都成立， 即对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE .(2)显然n ＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量， 设平面ACE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， ∵AC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(－a,0，λa )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋ay ＝0，－ax ＋λaz ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －λz ＝0.令z ＝1，则x ＝y ＝λ，∴m ＝(λ，λ，1)． ∵二面角C －AE －D 的大小为60°，∴cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝λ1＋2λ2＝12， ∵λ∈(0,1]，∴λ＝22. 11．(本小题10分)(2013·北京卷)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .并求BDBC 1的值． 解 (1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC . (2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC.如图所示，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角， 所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625.(3)设D (x ， y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→.所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)．解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD →·A 1B →＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时，BD BC 1＝λ＝925.12．(本小题10分)(2013·天津卷)如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM的长．解 解法一：如图所示，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)易得B 1C 1→＝(1,0，－1)，CE →＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE . (2)B 1C →＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217.所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (2)AE →＝(0,1,0)，EC 1→＝(1,1,1)．设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝2λλ2＋λ＋12＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1.于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13，所以AM ＝ 2.11解法二：(1)因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E .CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E .又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)知，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ＝3，CC 1＝2，可得C 1G ＝263.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝423，所以sin ∠B 1GC 1＝217，即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝26x ，AH ＝346x .在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1＝2，得EH ＝2MH ＝13x .在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos135°，得1718x 2＝1＋19x 2＋23x ， 整理得5x 2－22x －6＝0，解得x ＝ 2.所以线段AM 的长为 2.。

2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷专题综合测试5Word版含解析

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专题五综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．若直线l 1：ax ＋2y －1＝0与l 2：3x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．2 解析 由3a －2a ＝0知a ＝0. 答案 C2．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析 将方程分离参数a 可得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0，方程表示过两直线的交点⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，x ＋y －1＝0，即C 点为(－1,2)，故圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案 C3．(2013·福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.255D.455解析 双曲线x 24－y 2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线为y ＝±12x ，所以所求距离为255答案 C4．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝1解析 因为抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是(2,0)，由此得2m ＝12，解得m ＝4，由n 2＝m 2－22＝12，所以所求的椭圆方程是x 216＋y 212＝1.答案 B5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A ．5x 2－5y24＝1B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1D ．5x 2－4y25＝1解析 由题意得抛物线焦点为(1,0)， ∴a 2＋b 2＝1.又∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1a 2＝5，∴a 2＝15，∴b 2＝45.∴该双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1.答案 A6．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆解析 设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切可得，圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线．答案 A7．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 由题意知，圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心坐标为(－1,2)，将圆心坐标代入直线方程得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1，平方得1＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ，所以ab ≤14.答案 A8．(2013·全国大纲卷)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22 C. 2D ．2解析 由题意知k ≠0，设直线AB 方程为x ＝1k y ＋2，与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与抛物线方程联立得ky 2－8y －16k ＝0，y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝－16.MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 218＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 228＋2＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，整理并结合y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝－16得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2，故选D.答案 D9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 5D.10解析 直线l ：y ＝－x ＋a 与渐近线l 1：bx －ay ＝0交于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋b ，ab a ＋b ，l 与渐近线l 2：bx ＋ay ＝0交于C ⎝⎛⎭⎪⎫a 2a －b ，－ab a －b ，A (a,0)，AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－ab a ＋b ，ab a ＋b ，BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫2a 2b a 2－b 2，－2a 2b a 2－b 2.∵AB →＝12BC →，∴－ab a ＋b ＝a 2b a 2－b2，b ＝2a ，∴c 2－a 2＝4a 2.∴e 2＝c2a 2＝5，∴e ＝5，故选C.答案 C10．已知抛物线y 2＝4px (p >0)与双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A.5＋12B. 2＋1C.3＋1D.22＋12解析 如图所示，由抛物线的定义知|AF |＝2p ＝2c .再由双曲线的定义知：|AF ′|－|AF |＝2a .又|AF ′|＝4c 2＋4c 2＝22c ， ∴22c －2c ＝2a . ∴e ＝c a ＝12－1＝2＋1.答案 B11．已知P 为抛物线x 2＝4y 上一个动点，Q 是圆(x －4)2＋y 2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是( )A ．5B ．8 C.17－1D.5＋2解析 由抛物线定义知，点P 到抛物线准线的距离等于到焦点的距离，所以问题转化为抛物线上的点到圆上的点和到焦点的距离之和的最小值，易知此最小值即为圆心到焦点的距离减去圆的半径．抛物线的焦点坐标为(0,1)，圆的圆心坐标为(4,0)，半径为1，故点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值为(4－0)2＋(0－1)2－1，即17－1.答案 C 12.(2013·湖南卷)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图所示)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1 C.83D.43解析 以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，则△ABC 的重心G ⎝⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝t (0<t <4)，则P (t,0)，P 关于直线AC 、BC 的对称点P 1(－t,0)，P 2(4,4－t )，由题可知P 1，P 2，G 三点共线，所以4343＋t ＝43－(4－t )43－4，解得t ＝43.答案 D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．13．(2013·陕西卷)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．解析 由双曲线的几何性质得a 2＝16，b 2＝m ，e ＝c a ＝54，则a ＝4，b ＝m ，e ＝ca ＝16＋m 4＝54，故m ＝9.答案 914．已知抛物线y 2＝ax 过点A ⎝⎛⎭⎪⎫14，1，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为________．解析 由题意知点A 在抛物线y 2＝ax 上，得1＝14a ，所以a ＝4，故y 2＝4x .由抛物线的定义可知点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点A 到此抛物线的焦点的距离为x A ＋a 4＝14＋1＝54.答案 5415．(2013·湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又结合|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，从而|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|为最小边，从而∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos30°，即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac ，解得c a ＝ 3.答案 316．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析 (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －16k ＝0，由题意知，k ≠0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32>32.综合(1)(2)知(y 21＋y 22)min ＝32.答案 32三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m消y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.∴Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3. ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 0＝x 0＋m ＝m3.∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355. 18．(本小题12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围．(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)． 过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2， 代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0， 整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.① 直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于 Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由方程①， x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4，③ 而P (0,2)，Q (6,0)，PQ →＝(6，－2)，所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)． 将②③代入上式，解得k ＝－34.由(1)知k ∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k ， 使OA →＋OB →与PQ →共线．19．(本小题12分)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)， 其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4， 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k 2； 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16， 所以x 2B ＝164＋k 2. 又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .20．(本小题12分)(2013·福建卷)如图所示，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9.连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)．(1)求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积比为，求直线l 的方程．解 解法一：(1)依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎨⎧x ＝i ，y ＝i10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .(2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋10，x 2＝10y ，得x 2－10kx －100＝0， 此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k ，①x 1·x 2＝－100.②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|. 又x 1·x 2<0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＝10k ，－4x 22＝－100，解得k ＝±32.所以直线l 的方程为y ＝±32x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.解法二：(1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上． 证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ， B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i 10x .由⎩⎨⎧x ＝i ，y ＝i 10x ，解得P i 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫i ，i 210. 因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .(2)同解法一．21．(本小题12分)(2013·陕西卷)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．解 (1)如图所示，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴|O 1M |＝x 2＋42.又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42， 化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，① x 1x 2＝b 2k 2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③，得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0， ∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， ∴直线l 过定点(1,0)．22．(本小题12分)(2013·广东卷)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解 (1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ，则|0－c －2|2＝322，结合c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(其中y 1＝x 214，y 2＝x 224)，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2.所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x－2y －2y 1＝0.同理，可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0.因为切线P A ，PB 均过点P (x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0.所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． 所以直线AB 的方程为x 0x －2y 0－2y ＝0. (3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y .消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，由根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20， 所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2. 所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92.所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.。

2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练26Word版含解析

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高考专题训练时间：45分钟 分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]解析由程序框图得s ＝⎩⎨⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1，所以－1≤t <1时s ＝3t ∈[－3,3)，1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4 ∈[3,4]，故s ∈[－3,4]，选A.答案 A 2．(2013·广东卷)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2)解析 由i z ＝2＋4i 得：z ＝2＋4i i ＝(2＋4i )i－1＝4－2i ，对应点为(4，－2)，故选C.答案 C3．(2013·全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45 C ．4 D.45解析 |4＋3i|＝42＋32＝5，所以(3－4i)z ＝5，即z ＝53－4i＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝35＋45i ，所以z 的虚部为45，故选D.答案 D4．(2013·安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.16B.2524C.34D.1112解析 由程序框图的循环结构得s ＝12，n ＝4；s ＝34，n ＝6；s ＝1112，n ＝8.停止循环，输出s ＝1112，故选D.答案 D5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析 注意到，选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.答案 A6．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x ＋a －x ，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )；③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析 经验证易知①②错误．依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y －a－x －y )，又S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，因此有2S (x ＋y )＝S (x ) C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )，综上所述，选B.答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．(2013·天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析 (a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，由复数的运算法则可得⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案 1＋2i8．(2013·陕西卷)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________．解析 由已知式子归纳规律可得第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)29.(2013·山东卷)执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．解析由题中所给循环程序得：F1＝3，F0＝2，n＝2，1F1＝13>0.25；继续执行；F1＝5，F0＝3，n＝3；此时1F1＝0.2<0.25，故停止循环，输出n＝3.答案 3三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)(2013·江苏卷)已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.解 2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0， 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .11．(本小题10分)已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 为等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)设b n ＝a n －12n ，则b 1＝5－12＝2.因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n ＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －12n 为首项是2，公差是1的等差数列． (2)由(1)知，a n －12n ＝a 1－12＋(n －1)×1， ∴a n ＝(n ＋1)·2n ＋1.∵S n ＝(2·21＋1)＋(3·22＋1)＋…＋(n ·2n －1＋1)＋[(n ＋1)·2n ＋1]， ∴S n ＝2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1＋(n ＋1)·2n ＋n . 设T n ＝2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1＋(n ＋1)·2n ，①2T n＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1.②②－①，得T n＝－2·21－(22＋23＋…＋2n)＋(n＋1)·2n＋1＝n·2n＋1，所以S n＝n·2n＋1＋n＝n·(2n＋1＋1)．12．(本小题10分)根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x k，…；y1，y2，…，y k，….(1)分别求数列{x k}和{y k}的通项公式；(2)令z k＝x k y k，求数列{z k}的前k项和T k，其中k∈N*，k≤2 007.解(1)由程序框图，知数列{x k}中，x1＝1，x k＋1＝x k＋2，∴x k＝1＋2(k－1)＝2k－1(k∈N*，k≤2 007)．由程序框图，知数列{y k}中，y k＋1＝3y k＋2，∴y k＋1＋1＝3(y k＋1)．∴y k ＋1＋1y k ＋1＝3，y 1＋1＝3. ∴数列{y k ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴y k ＋1＝3·3k －1＝3k .∴y k ＝3k －1(k ∈N *，k ≤2 007)．(2)T k ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x k y k ＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2k －1)(3k －1)＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k －[1＋3＋…＋(2k －1)]．记S k ＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k ，① 则3S k ＝1×32＋3×33＋…＋(2k －1)·3k ＋1，②①－②，得－2S k ＝3＋2·32＋2·33＋…＋2·3k －(2k －1)·3k ＋1 ＝2(3＋32＋…＋3k )－3－(2k －1)·3k ＋1 ＝2×3×(1－3k )1－3－3－(2k －1)·3k ＋1＝3k ＋1－6－(2k －1)·3k ＋1 ＝2(1－k )·3k ＋1－6， ∴S k ＝(k －1)·3k ＋1＋3.又∵1＋3＋…＋(2k －1)＝k (1＋2k －1)2＝k 2， ∴T k ＝(k －1)·3k ＋1＋3－k 2.。

2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练8Word版含解析

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高考专题训练时间：45分钟 分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·辽宁朝阳一模)在△ABC 中， M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析 ∵M 为边BC 上任意一点， ∴可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)． ∵N 为AM 中点，∴AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →. ∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12. 答案 A2．(2013·辽宁卷)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35解析 AB →＝(3，－4)，则|AB →|＝5，所以与AB →同方向的单位向量是⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案 A3．已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.π2D.2π3解析 由(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2＋a ·b －2|b |2＝－2，得a ·b ＝2，即|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2，cos 〈a ，b 〉＝12.故〈a ，b 〉＝π3.答案 B4．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )， 3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1， 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3，选C. 答案 C5．(2013·湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]解析 由已知得|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2，易知c 与a ＋b 共线时，可取得最值．因为|c －a －b |＝1，所以2－1≤|c |≤2＋1. 答案 A6．(2013·重庆卷)在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2 解析 由题意得点B 1，B 2在以O 为圆心，半径为1的圆上，点P 在以O 为圆心半径为12的圆内，又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→，所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上，当P 与O 点重合时，|OA →|最大为2，当P 在半径为12的圆周上，|OA →|最小为72.答案 D二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．(2013·全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析 a ，b 均为单位向量，夹角为60°，所以a ·b ＝12.又b ·c ＝0.即：b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，得t 2＋(1－t )＝0，解得t ＝2. 答案 28．(2013·天津卷)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析 AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →－12AB →＝AD →2＋12AB →·AD →－12AB →2＝AD →2＋12|AB →|·|AD →|cos60°－12AB →2＝1，把|AD →|＝1代入得|AB →|＝12.答案 129．如图是半径为2，圆心角为90°的直角扇形OAB ，Q 为AB 上一点，点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →的最大值为________．解析 ∵OP →＝tOA →＋(1－t )OB →， ∴BP →＝tBA →.又0≤t ≤1， ∴P 在线段BA 上运动．∵Q 为AB 上一点，设∠POQ ＝θ，∴OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|cos θ＝2|OP →|cos θ≤2|OP →|≤2×2＝4， 即当P ，Q 重合且位于A 或B 处时，OP →·OQ →取最大值4. 答案 4三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)已知向量AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )，a ∈R . (1)若D 为BC 中点，AD →＝(m,2)，求a ，m 的值；(2)若△ABC 是直角三角形，求a 的值． 解 (1)因为AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )， 所以AD →＝12(AB →＋AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋a 2. 又AD →＝(m,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，1＋a ＝2×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，m ＝1.(2)因为△ABC 是直角三角形，所以A ＝90°或B ＝90°或C ＝90°. 当A ＝90°时，由AB →⊥AC →， 得3×(－1)＋1·a ＝0，所以a ＝3；当B ＝90°时，因为BC →＝AC →－AB →＝(－4，a －1)， 所以由AB →⊥BC →，得3×(－4)＋1·(a －1)＝0，所以a ＝13； 当C ＝90°时，由BC →⊥AC →， 得－1×(－4)＋a ·(a －1)＝0，即a 2－a ＋4＝0，因为a ∈R ，所以无解． 综上所述，a ＝3或a ＝13.11．(本小题10分)(2013·江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解 (1)由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2， 即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1， 由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.12．(本小题10分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解 (1)m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12·cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.又∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0. ∴cos B ＝12.又∵0<B <π，∴B ＝π3. ∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6<1.又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。

【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练9

【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练9

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练9一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·江西卷)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析 由x,3x ＋3, 6x ＋6，…为等比数列，得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1，而x ＝－1时3x ＋3＝0不合题意，故舍去，知此数列为首项为－3，公比为2的等比数列，第四项为(－3)×23＝－24，选A.答案 A2．(2013·福建泉州质检)若数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 7＝4，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A.272B ．18C ．27D ．36解析 S 9＝9a 1＋a 92＝9a 3＋a 72＝9×42＝18.答案 B3．(2013·黑龙江哈尔滨六校联考)已知各项为正数的等差数列{a n }的前20项和为100，那么a 7a 14的最大值为( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在解析 因为{a n }为各项为正数的等差数列，且前20项和为100，所以20a 1＋a 202＝100，即a 1＋a 20＝10，所以a 7＋a 14＝10.又因为a 7·a 11≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7＋a 1422＝25，当且仅当a 7＝a 14时“＝”成立．答案 A4．等比数列{a n }中，a 4a 5＝1，a 8a 9＝16，则a 6a 7等于( ) A ．16 B ．±4 C ．－4D ．4解析 设等比数列{a n }的公比为q .则a 8a 9a 4a 5＝a 4q 4·a 5q 4a 4·a 5＝q 8＝16.∴a 6a 7a 4a 5＝a 4q 2·a 5q 2a 4·a 5＝q 4＝4，∴a 6a 7＝4. 答案 D5．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n－1)2B.12(9n－1) C ．9n －1D.14(3n－1) 解析 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n－1① 得：a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)．②①－②得：a n ＝3n－3n －1＝2·3n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，a 1＝2也适合上式， ∴a n ＝2·3n －1，∴a 2n ＝4·9n －1.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(90＋91＋…＋9n －1)＝4·1－9n1－9＝12(9n－1)．答案 B6．(2013·福建卷)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( ) A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 解析 c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m ＝a 1q m (n －1)·a 1qm (n －1)＋1·…·a 1qm (n －1)＋m －1＝a m 1qm (n －1)＋m (n －1)＋1＋…＋m (n －1)＋m －1＝a m 1qm 2(n －1)＋m －11＋m －12＝a m 1qm 2(n －1)＋m m －12 所以c n ＋1＝a m1qm 2n ＋m m －12，所以c n ＋1c n＝qm 2，所以数列{c n }为等比数列，公比为qm 2. 答案 C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·北京卷)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解析 由a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，得q ＝2，又a 2＋a 4＝a 1(q ＋q 3)＝20，∴a 1＝2，∴S n ＝a 11－q n 1－q＝2n ＋1－2.答案 2 2n ＋1－28．等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝12，a 3＋a 4＝1，则a 7＋a 8的值为______．解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 3＋a 4＝a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)q 2＝12q 2＝1.∴q 2＝2，∴a 7＋a 8＝a 3·q 4＋a 4q 4＝q 4(a 3＋a 4)＝4. 答案 49．(2013·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析 {a n }等差数列，由S 10＝0，得a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0；由S 15＝15a 8＝25，得a 8＝53，即a 1＋7d ＝53，解得a 1＝－3，d ＝23，此时nS n ＝n 33－10n 23，令f (x )＝x 33－10x 23，令f ′(x )＝x 2－203x ＝0，得x ＝203；f (x )在x ＝203处取极小值，故检验n ＝6时，6S 6＝－48；n ＝7时7S 7＝－49.答案 －49三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)(2013·全国大纲卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解 设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意； 若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.11．(本小题10分)(2013·陕西卷)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 11－q n 1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0. ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．12．(本小题10分)(2013·广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S nn＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.解 (1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公差为1的等差数列， 所以a n n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2. (3)当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n ＝1n 2<1n －1n ＝1n －1－1n，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74. 综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.。

高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练23

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2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练23一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目，若选到女同学的概率为23，则这班参加聚会的同学的人数为( )A ．12B ．18C ．24D ．32解析 设女同学有x 人，则该班到会的共有(2x －6)人，所以x 2x －6＝23，得x ＝12，故该班参加聚会的同学有18人，故选B.答案 B2．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.13B.23C.34D.14解析 设点P 到点O 的距离小于1的概率为P 1，由几何概型，则P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13π×12×2＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23. 答案 B3．连续抛掷两枚正方体骰子(它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记所得朝上的面的点数分别为x ，y ，过坐标原点和点P (x ，y )的直线的倾斜角为θ，则θ>60°的概率为( )A.14 B.34 C.12D.16解析 基本事件总数为6×6＝36种，θ>60°的必须是y x＝tan θ>3，∴这样的基本事件有(1,2)，(1,3)，…，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,6)，共9种．∴概率为936＝14.答案 A4．(2013·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910解析 记事件A ：甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种可能，而A 的对立事件A －仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A 的对立事件A －的概率为P (A －)＝110，∴P (A )＝1－P (A －)＝910.选D.答案 D5．若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程x ＝22a －2bx有不等实数根的概率为( )A.14B.12C.34D.25解析 方程x ＝22a －2b x，即x 2－22ax ＋2b ＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(22a )2－4×2b >0，即a >b .在如图所示的平面直角坐标系内，(a ，b )的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A “方程x ＝22a －2bx有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)．由几何概型公式可得P (A )＝12×1×11×1＝12.答案 B6．(2013·湖南卷)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB＝( )A.12 B.14 C.32D.74解析 矩形ABCD 如图所示，在点P 从D 点向C 点运动过程中，DP 在增大，AP 也在增大，而BP 在逐渐减小，当P 点到P 1位置时，BA ＝BP 1，当P 点到P 2位置时，AB ＝AP 2，故点P 在线段P 1P 2上时，△ABP 中边AB 最大，由题意可得P 1P 2＝12CD .在Rt △BCP 1中，BP 21＝916CD 2＋BC2＝916AB 2＋AD 2＝AB 2. 即AD 2＝716AB 2，所以AD AB ＝74，故选D.答案 D二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·课标全国Ⅱ)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．解析 任取两个不同的数的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中和为5的有2种，所以所求概率为210＝0.2.答案 0.28．在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机的取一元素x ，恰使式子lg x 有意义的概率为________．解析 由于Δ＝m 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ＋1<0，得－1<m <4，若使lg x 有意义，必须使x >0.在数轴上表示为，故所求概率P ＝45.答案 459．(2013·浙江卷)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．解析 设3名男同学分别为a 1，a 2，a 3,3名女同学分别为b 1，b 2，b 3，则从6名同学中任选2名的结果有a 1a 2，a 1a 3，a 2a 3，a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 2b 1，a 2b 2，a 2b 3，a 3b 1，a 3b 2，a 3b 3，b 1b 2，b 1b 3，b 2b 3，共15种，其中都是女同学的有3种，所以概率P ＝315＝15.答案 15三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)(2012·福建卷)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 依题意得S 10＝10×1＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)． 故所求的概率P ＝29.11．(本小题10分)(2013·天津卷)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，(ⅰ)用产品编号列出所有可能的结果；(ⅱ)设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B 发生的概率．解(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为10＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)(ⅰ)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．(ⅱ)在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝615＝25.12．(本小题10分)(2013·江西卷)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 解 (1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有OA 2→·OA 5→，共1种；数量积为－1的有OA 1→·OA 5→，OA 1→·OA 6→，OA 2→·OA 4→，OA 2→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，OA 3→·OA 5→，共6种； 数量积为0的有OA 1→·OA 3→，OA 1→·OA 4→，OA 3→·OA 6→，OA 4→·OA 6→，共4种； 数量积为1的有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种． 故所有可能的情况有15种． 所以小波去下棋的概率为P 1＝715；因为去唱歌的概率为P 2＝415，所以小波不去唱歌的概率P ＝1－P 2＝1－415＝1115.。

【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练19

【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练19

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练19一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析 由题意知直线l 与直线PQ 垂直， 所以k l ＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1. 又直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0. 答案 A2．(2013²辽宁卷)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a －3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0 D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a＝0解析 若A 是直角，则b ＝a 3，B 是直角，BA →²OB →＝0，即b －a 3－1a ＝0；由图知O 不可能是直角，故C 成立．答案 C3．(2013²山东省实验中学诊断性测试)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3C . 3D ．1解析 圆心到直线的距离d ＝|－5|32＋42＝1，所以R 2－d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22，即AB 2＝4(R 2－d 2)＝4³(4－1)＝12，所以AB ＝12＝23，选B .答案 B4．(2013²福建龙岩质检)直线x ＋3y －23＝0与圆x 2＋y 2＝4交A ，B 两点，则OA →²OB →＝( )A ．4B ．3C ．2D ．－2解析 由⎩⎨⎧x ＋3y －23＝0，x 2＋y 2＝4消去y 得：x 2－3x ＝0，解得x ＝0或x ＝ 3.设A(0,2)，B(3，1)，∴OA →²OB →＝2，选C . 答案 C5．(2013²安徽卷)函数y ＝f(x)的图象如图所示，在区间[a ，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f x 1x 1＝f x 2x 2＝…＝f x n x n，则n 的取值范围是( )A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}解析 f x x ＝f x －0x －0，即点(x ，f(x))与(0,0)连线的斜率，f x 1x 1＝f x 2x 2＝…＝f x n x n是指曲线上存在n 个点与原点连线斜率相等，则n 为过原点的直线与f(x)的图象交点的个数，结合图象可得n 为2,3,4，故选B .答案 B6．(2013²江西卷)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A .33 B ．－33C ．±33D ．－ 3解析 y ＝1－x 2化为x 2＋y 2＝1(y≥0)表示圆心在原点半径为1的圆的上半圆，直线l过(2，0)与曲线y ＝1－x 2交于A ，B 的点，设l 的方程为y ＝k(x －2)，即kx －y －2k ＝0，S △AOB ＝12|OA||OB|²sin ∠AOB＝12sin ∠AOB，即sin ∠AOB＝1时，∠AOB＝π2时，S △AOB有最大值，此时原点O 到直线l 的距离d ＝|OA|²sin 45°＝22，即|2k|1＋k2＝22，解得k ＝±33，由题可知l 的倾斜角为钝角，故k ＝－33，选B . 答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．已知圆C 经过直线2x －y ＋2＝0与坐标轴的两个交点，又经过抛物线y 2＝8x 的焦点，则圆C 的方程为________．解析 直线与坐标轴的两交点分别为A(－1,0)，B(0,2)，抛物线的焦点坐标为F(2,0)． 再运用待定系数法即可求出圆C 的方程． 答案 x 2＋y 2－x －y －2＝08．(2013²江苏镇江5月模拟)已知曲线C ：x 2＋y 2＝9(x≥0，y≥0)与直线x ＋y ＝4相交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1y 2＋x 2y 1的值为________．解析 将y ＝4－x 代入x 2＋y 2＝9并整理有2x 2－8x ＋7＝0，解得x 1＝2＋22，x 2＝2－22， 从而得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，2－22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22. 故x 1y 2＋x 2y 1＝9. 答案 99．直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P(a ，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析 易知△AOB 为等腰直角三角形，且点O 到直线距离为22，可得2a 2＋b 2＝2⇒－2≤b≤2，a 2＋b －12＝2－b22＋b －12≤2＋1.答案2＋1三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)已知两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0. (1)证明此两圆相切；(2)求过点P(2,3)，且与两圆相切于点T(1,0)的圆的方程． 解 (1)两圆的方程可分别化为C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，C 1(－2,2)，r 1＝13；C 2：(x －4)2＋(y ＋2)2＝13，C 2(4，－2)，r 2＝13. ∴圆心距|C 1C 2|＝213＝r 1＋r 2，即两圆外切． (2)设所求圆的方程为C 3：(x －a)2＋(y －b)2＝r 23. ∵T(1,0)在C 1，C 2，C 3上，∴圆心(a ，b)在直线lC 1C 2：y ＝－23(x －1)上．∴b ＝－23(a －1)．①又由|C 3P|＝|C 3T|，得(a －2)2＋(b －3)2＝(a －1)2＋b 2.② 由方程①②，解得a ＝－4，b ＝103，∴r 23＝(a －1)2＋b 2＝3259，故所求圆的方程为(x ＋4)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －1032＝3259.11．(本小题10分)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P 满足|PA|＝2|PB|. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM|的最小值．解 设P 坐标为(x ，y)， 则x ＋32＋y 2＝2x －32＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图． 则直线l 2是此圆的切线，连接CQ ， 则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，此时|QM|的最小值为32－16＝4.12．(本小题10分)(2013²江苏卷)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3,2)于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34， 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋y －32＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤a 2＋2a －32≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 当5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。

高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练28

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2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练28一、填空题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．1．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析 将直线l 1，l 2的参数方程分别化为直角坐标方程为：l 1：kx ＋2y －k －4＝0，l 2：2x ＋y －1＝0.若l 1∥l 2，则k ＝4；若l 1⊥l 2，则2k ＋2＝0，即k ＝－1. 答案 4 －12．(2013·江西卷)设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析 曲线C 的普通方程为y ＝x 2，又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得ρ2cos 2θ－ρsin θ＝0，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案 ρcos 2θ－sin θ＝03．(2013·北京卷)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 解析 极坐标系中点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6对应直角坐标系中坐标(3，1)，极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系直线方程为y ＝2，所以距离为1.答案 14．(2013·广东深圳一模)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ－ρcos θ＝3，则C 1与C 2交点在直角坐标系中的坐标为________．解析 将曲线C 1的参数方程和曲线C 2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C 1：y ＝x 2＋1，C 2：y －x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y －x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，故交点坐标为(2,5)． 答案 (2,5)5．(2013·广东卷)已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．解析 曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，由圆的几何性质知，切线l 与圆心(0,0)与(1,1)的连线垂直，故l 的斜率为－1，从而l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y ＝2化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，化简得ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.答案 ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 26．(2013·天津卷)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.解析 极坐标方程和极坐标在直角坐标中，方程为x 2－4x ＋y 2＝0，点P 为(2,23)，所以|CP |＝－2＋－232＝2 3.答案 2 37．(2013·重庆卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析 ρcos θ＝4化为普通方程x ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝t 3化为普通方程y 2＝x 3，联立解得A (4,8)，B (4，－8)，故|AB |＝16.答案 168．(2013·广东揭阳一模)已知曲线C 1：ρ＝22和曲线C 2：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，则C 1上到C 2的距离等于2的点的个数为________．解析 将方程ρ＝22与ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2化为直角坐标方程得x 2＋y 2＝(22)2与x－y －2＝0，知C 1为圆心在坐标原点，半径为22的圆，C 2为直线，因圆心到直线x －y －2＝0的距离为2，故满足条件的点的个数为3.答案 39．(2013·湖北卷)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析 椭圆的普通方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，l 的直角坐标系方程为x ＋y ＝m .圆的直角坐标系方程为x 2＋y 2＝b 2，椭圆焦点(c,0)在直线上，则c ＝|m |，直线与圆相切，则|m |2＝b ，即c ＝2b ，e ＝c a ＝c b 2＋c2＝63.答案63二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分) (2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程； (2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．11．(本小题10分)(2013·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab2＋1＝2.解得a ＝－1，b ＝2.12．(本小题10分)(2013·辽宁五校协作体联考)已知直线l 是过点P (－1,2)，方向向量为n ＝(－1，3)的直线，圆方程ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3.(1)求直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆相交于M ，N 两点，求|PM |·|PN |的值． 解 (1)∵n ＝(－1，3)，∴直线的倾斜角α＝2π3.∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 2π3，y ＝2＋t sin 2π3(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．(2)∵ρ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝cos θ＋3sin θ，∴ρ2＝ρcos θ＋3ρsin θ.∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，将直线的参数方程代入得t 2＋(3＋23)t ＋6＋23＝0. ∴|t 1t 2|＝6＋23，即|PM |·|PN |＝6＋2 3.。

【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练2

【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练2

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练2一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·某某卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x ，则f(－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 f(x)为奇函数知f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A . 答案 A2．(2013·某某卷)已知x ，y 为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg (x ＋y)＝2lg x ·2lg yC ．2lg x·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg (xy)＝2lg x ·2lg y解析 由指数与对数的运算性质得2lg (xy)＝2(lg x ＋lg y)＝2lg x ·2lg y.答案 D3．(2013·全国卷Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c>b>aB ．b>c>aC ．a>c>bD ．a>b>c解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72.由y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 在同一坐标系中的相对位置知log 32>log 52>log 72，进而得a>b>c ，选D .答案 D4．(2013·某某卷)设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( )A ．[－x]＝－[x]B ．[2x]＝2[x]C ．[x ＋y]≤[x]＋[y]D ．[x －y]≤[x]－[y]解析 令x ＝1.5，而[－x]＝－2，－[x]＝－1，故A 错．[2x]＝3,2[x]＝2，则B 错，令x ＝1.8，y ＝1.9，则[x ＋y]＝[3.7]＝3，而[x]＝1，[y]＝1，[x ＋y]>[x]＋[y]，故C 错，从而选D .答案 D5．(2013·某某东营模拟)已知函数y ＝f(x)的大致图象如图所示，则函数y ＝f(x)的解析式应为( )A ．f(x)＝e x ln xB ．f(x)＝e －x ln (|x|)C ．f(x)＝e x ln (|x|)D ．f(x)＝e |x|ln (|x|)解析 由定义域是{x|x ∈R ，且x ≠0}，排除A ；由函数图象知不是偶函数，排除D ；当x →＋∞时，f (x )＝ln|x |ex →0，排除B ，选C. 答案 C6．(2013·东城模拟)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12 ，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有三个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点(1,0)对称；④若函数f (x )＝3x－2x －3，则方程f (x )＝0有两个实数根，其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①在区间(0，＋∞)上，只有y ＝x 12 ，y ＝x 3是增函数，所以①错误；②由log m 3<log n 3<0，可得1log 3m <1log 3n <0，即log 3n <log 3m <0，所以0<n <m <1，所以②正确；③显然正确；④由f (x )＝3x－2x －3＝0得3x＝2x ＋3，令y 1＝3x，y 2＝2x ＋3，在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图．由图象可知，两个函数图象有两个交点，所以④正确．所以正确命题的个数为 3.故选C.答案 C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，f x －1，x >0，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56的值为________．解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝－12. 答案 －128．(2013·某某卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．解析 x <0时，－x >0，f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，故f (x )＝－x 2－4x .x ＝0时，f (x )＝0，所以f (x )>x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0，解得－5<x <0或x >5.答案 (－5,0)∪(5，＋∞)9．(2013·石景山模拟)给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝x －{x }的四个命题：①y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12；②点(k,0)是y ＝f (x )的图象的对称中心，其中k ∈Z ；③函数y ＝f (x )的最小正周期为1；④函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，32上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是________．解析 令x ＝m ＋a ，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，所以f (x )＝x －{x }＝a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，所以①正确；因为f (2k －x )＝2k －x －{2k －x }＝(－x )－{－x }＝f (－x )≠－f (－x )，所以点(k,0)不是函数f (x )的图象的对称中心，所以②错误；f (x ＋1)＝x ＋1－{x ＋1}＝x －{x }＝f (x )，所以最小正周期为1，所以③正确；显然④错误；所以正确的为①③.答案 ①③三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－2mx 在[2,4]上单调，求m 的取值X 围． 解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f3＝5f 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝54a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.②当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧f 3＝2f2＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝24a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0， 即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2.若g (x )在[2,4]上单调，则2＋2m2≤2或2m＋22≥4，∴2m≤2或2m≥6，即m ≤1或m ≥log 26. 故m 的取值X 围是(－∞，1]∪[log 26，＋∞)．11．(本小题10分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．解 函数的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x ＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，令f ′(x )>0，得2－x2x x －2<0，又0<x <2，则2－x 2>0，解得0<x < 2. 令f ′(x )<0，则2－x 2<0，解得2<x <2. ∴函数f (x )的单调增区间为(0，2)， 单调减区间为(2，2)． (2)∵a >0，当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝1x －12－x ＋a ＝21－xx 2－x ＋a >0.则f (x )在x ∈(0,1]上是增函数，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.12．(本小题10分)(2013·某某某某一模)设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a <b . (1)求方程f (x )＝1的解； (2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )＝2f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1；(3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.解 (1)由f (x )＝1，得lg x ＝±1， 所以x ＝10或110.(2)证明：结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1. 又a ＋b 2＝1b ＋b2，令φ(b )＝1b＋b (b ∈(1，＋∞))，任取1<b 1<b 2，∵φ(b 1)－φ(b 2)＝(b 1－b 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1b 1b 2<0，∴φ(b 1)<φ(b 2)，∴φ(b )在(1，＋∞)上为增函数． ∴φ(b )>φ(1)＝2. ∴a ＋b2>1.(3)证明：由已知可得b ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b2＋b 2＋2－4b ＝0，g (b )＝1b2＋b 2＋2－4b ，因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.。

【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷 专题综合测试6

【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷 专题综合测试6

专题六综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·某某卷)在复平面内，复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析 z ＝2i 1＋i ＝2i 1－i 1＋i 1－i＝1＋i ，从而z －＝1－i 对应点为(1，－1)位于第四象限．答案 D2．(理)(2013·某某卷)已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望A.32B ．2 C.52D ．3 解析E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32，故选A.答案 A2．(文)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012解析 由题意知抽样比为1296，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有1296＝101N，解得N ＝808.答案 B3．如图所示，给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 的值．若要使输入的x 的值与输出的y 的值相等，则这样的x 的值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x >5的函数值．①当x ≤2时，令x 2＝x ，解得x ＝0或1； ②当2<x ≤5时，令2x －3＝x ，解得x ＝3； ③当x >5时，令1x＝x ，解得x ＝±1(舍去)，故有三个值符合题意，故选C. 答案 C 4.(2013·某某卷)右面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8解析 由中位数的定义易知x ＝5，又由15[9＋15＋(10＋y )＋18＋24]＝16.8，得y ＝8.答案 C5．(2013·某某卷)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A ．588B ．480C ．450D ．120解析 由图可知40～60所占频率为0.005×10＋0.015×10＝0.2.所以成绩不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480.答案 B6．(理)(2013·某某卷)满足a ，b ∈{－1,0,1,2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．10解析 当a ＝0时，b 可能为－1或0或1或2；当a ≠0时二次方程满足Δ＝4－4ab ≥0，即ab ≤1.a ＝－1时，b 可能为－1或0或1或2，a ＝1时，b 可能－1或0或1；a ＝2时，b 可能为－1或0，所以有序数对(a ，b )的个数为4＋4＋3＋2＝13.答案 B6．(文)右图是2012年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有( )A ．a 1>a 2B ．a 2>a 1C ．a 1＝a 2D ．a 1，a 2大小与m 的值有关解析 去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a 2>a 1.答案 B7．(理)(2013·某某卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15解析 x >0时，f (x )＝－x <0，故f (f (x ))＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 6，其展开式的通项为T r ＋1＝C r6(－1)r xr －3，令r －3＝0得常数项为r ＝3时，T 4＝C 36(－1)3＝－20，故选A.答案 A7．(文)一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A.35B.310C.12D.625解析 设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.答案 B8．(2013·某某卷)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7 解析 第一次循环，S ＝1＋11×2＝32，k ＝2；第二次循环，S ＝32＋12×3＝53，k ＝3；第三次循环，S ＝53＋13×4＝74，k ＝4；第四次循环，S ＝74＋14×5＝95，k ＝5；终止循环，所以a ＝4.答案 A9．(2013·某某卷)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数解析 若分层抽样，则男生，女生分别抽6人，4人，故A 错误，由题目也看不出系统抽样的过程，故不选B ，抽取的5名男生平均成绩为90，方差为8，抽取的5名女生，平均成绩为91，方差为6，故C 正确．全班男生平均成绩与全班女生的平均成绩大小关系不确定，故D 错，所以选C.答案 C10．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )A ．30%B ．10%C ．3%D ．不能确定解析 由图1得到小波一星期的总开支，由图2得到小波一星期的食品开支，从而再借助图2计算出鸡蛋开支占总开支的百分比．由图2知，小波一星期的食品开支为30＋40＋100＋80＋50＝300元，由图1知，小波一星期的总开支为30030%＝1 000元，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为301 000×100%＝3%. 答案 C11．(理)在全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x 轴正方向移动的概率是23，沿y 轴正方向移动的概率为13，则该智能汽车移动6次恰好移动到点(3,3)的概率为( )A.160729B.161729 C.163729D.165729解析 若该智能汽车移动6次恰好到点(3,3)，则机器人在移动过程中沿x 轴正方向移动3次、沿y 轴正方向移动3次，因此智能汽车移动6次后恰好位于点(3,3)的概率为P ＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝20×8729＝160729.答案 A11．(文)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解析 根据众数、中位数、平均数、标准差的概念求解．对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．答案 D12．(理)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，(a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其它得分的情况)，则ab 的最大值为( )A.148B.124 C.112D.16解析 由已知得3a ＋2b ＋0×c ＝1，即3a ＋2b ＝1，∴ab ＝16·3a ·2b ≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b 22＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝124，当且仅当3a ＝2b ＝12时取等号，即ab 的最大值为124.答案 B12．(文)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 解析 根据线性回归方程中各系数的意义求解．由于线性回归方程中x 的系数为0.85，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确．又线性回归方程必过样本点中心(x －，y －)，因此B 正确．由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1 cm ，其体重约增加0.85 kg ，故C 正确． 当某女生的身高为170 cm 时，其体重估计值是58.79 kg ，而不是具体值，因此D 不正确．答案 D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上． 13．(理)(2013·某某卷)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．解析 T r ＋1＝C r 6x 6－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 6(－1)r x 6－32r ，当r ＝4时，6－32r ＝0，所以常数项是C 46(－1)4＝15.答案 1513．(文)一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．解析 依题意，女运动员有98－56＝42(人)．设应抽取女运动员x 人，根据分层抽样特点，得x 42＝2898，解得x ＝12.答案 1214．(理)(2013·全国卷Ⅱ)从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________.解析 n 个整数中任取2个得基本事件总个数为C 2n ，而和为5的取法只有1,4和2,3两种，由古典概型得P ＝2C 2n ＝114，解得n ＝8.答案 814．(文)某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图)．为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500,3 000)(元)段应抽出________人．解析 依频率分布直方图可知：月收入在[2 500，3 000)(元)段应抽出0.000 5×500×10 000100＝25(人)．答案 2515．(理)(2013·某某某某一模)将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设N i (i ＝1,2,3)表示第i 行中最大的数，则满足N 1<N 2<N 3的所有排列的种数是________．(用数字作答)解析 由已知得数字6一定在第三行，第三行的排法种数为A 13A 25＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为A 12A 12＝4，由分步计数原理知满足条件的排列种数是240.答案 24015．(文)如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．(注：方差s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x －为x 1，x 2，…，x n 的平均数)解析 从茎叶图中求出运动员在5次比赛中的分数．依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋10＋13＋155＝11.由方差公式得s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.答案 6.816．(理)(2013·某某卷)当x ∈R ，|x |<1时，有如下表达式： 1＋x ＋x 2＋…＋x n＋…＝11－x.从而得到如下等式：1×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋1n ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋…＝ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C 0n ×12＋12C 1n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋13C 2n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋1n ＋1C n n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝________. 解析 设f(x)＝C 0n x ＋12C 1n x 2＋13C 2n x 3＋…＋1n ＋1C n n x n ＋1，所以f′(x)＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n＝(1＋x)n，答案1n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－1 16．(文)(2013·某某十校联考)袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是910，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．解析 因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为110，设白球个数为x ，则黑球个数为5－x ，那么可知白球有3个，黑球有2个，因此可知从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为310.答案310三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)(理)(2013·某某卷)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． 解 (1)样本均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4(名)优秀工人．(3)设事件A ：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P(A)＝C 14C 18C 212＝1633.17．(本小题10分)(文)从装有编号分别为a ，b 的2个黄球和编号分别为c ，d 的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：(1)第1次摸到黄球的概率； (2)第2次摸到黄球的概率．解 (1)第1次摸球有4个可能的结果：a ，b ，c ，d ，其中第1次摸到黄球的结果包括：a ，b ，故第1次摸到黄球的概率是24＝0.5.(2)先后两次摸球有12种可能的结果是：(a ，b)、(a ，c)、(a ，d)、(b ，a)、(b ，c)、(b ，d)、(c ，a)、(c ，b)、(c ，d)、(d ，a)、(d ，b)、(d ，c)，其中第2次摸到黄球的结果包括：(a ，b)、(b ，a)、(c ，a)、(c ，b)、(d ，a)、(d ，b)，故第2次摸到黄球的概率为612＝0.5.18．(本小题12分)(理)某次有1 000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．(1)下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a ，b 的值； 区间 [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100]人数50a350300b优秀的学生人数；(3)在(2)中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，求两名学生中至少有一名优秀的概率．解 (1)依题意，a ＝0.04×5×1 000＝200，b ＝0.02×5×1 000＝100.(2)设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则x 40＝350＋300＋1001 000，解得：x ＝30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名．(3)记“两名学生中至少有一名优秀的学生”为事件A.所以P(A)＝1－C 210C 240＝1－352＝4952.18.(本小题12分)(文)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率．解 从图中可以看出，3个球队共有20名队员．(1)记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件A.所以P(A)＝3＋5＋420＝35.故随机抽取一名队员，只属于一支球队的概率为35.(2)记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件B. 则P(B)＝1－P(B －)＝1－220＝910.故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为910.19．(本小题12分)某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：x 6 8 10 12 y2356(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．(相关公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －·y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －) 解 (1)如图：(2)i＝1nx i y i＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x－＝6＋8＋10＋124＝9，y－＝2＋3＋5＋64＝4.b^＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a^＝y－－b^x－＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y^＝0.7x－2.3.(3)由线性回归方程预测，记忆力为9的同学的判断力约为4.20．(本小题12分)(理)(2013·某某卷)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图所示)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望．解(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28种，X＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：X －2 －1 0 1 P1145142727E(X)＝(－2)×14＋(－1)×14＋0×7＋1×7＝－14.20．(本小题12分)(文)(2013·某某卷)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x －1、x －2，估计x －1－x －2的值．解 (1)设甲校高三年级学生总人数为n.由题意知，30n＝0.05，即n ＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1－530＝56.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x －1′、x －2′，根据样本茎叶图可知， 30(x －1′－x －2′)＝30x －1′－30x －2′＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92 ＝15.因此x －1′－x －2′＝0.5.故x －1－x －2的估计值为0.5分．21．(本小题12分)(理)(2013·卷)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 解 设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i＝1,2，…，13)． 根据题意，P(A i )＝113，且A i ∩A j ＝∅(i≠j)．(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A 5∪A 8. 所以P(B)＝P(A 5∪A 8)＝P(A 5)＋P(A 8)＝213.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0, 1,2，且P(X ＝1)＝P(A 3∪A 6∪A 7∪A 11)＝P(A 3)＋P(A 6)＋P(A 7)＋P(A 11)＝413，P(X ＝2)＝P(A 1∪A 2∪A 12∪A 13)＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 12)＋P(A 13)＝413，P(X ＝0)＝1－P(X ＝1)－P(X ＝2)＝513.所以X 的分布列为X 0 1 2 P513413413故X的期望E(X)＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．21．(本小题12分)(文)(2013·卷)下图是某市3月1日到14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是6 13 .(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为4 13 .(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．22．(本小题12分)(理)(2013·某某卷)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30 14 6 10 …………2 100 1 027 376 697运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30 12 11 7…………2 100 1 051 696 353＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．解 (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12； 当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i ＝1,2,3)的频率如下：(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P(ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P(ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29，P(ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127，故ξ的分布列为所以，E(ξ)＝0×27＋1×9＋2×9＋3×27＝1.即ξ的数学期望为1.22．(本小题12分)(文)(2013·某某卷)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：P(χ2≥k)0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.841 6.63510.828 ⎝⎛⎭⎪⎫注：此公式也可以写成K 2＝2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.解 (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．word 21 / 21 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710. (2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：生产能手 非生产能手 合计 25周岁以上组15 45 60 25周岁以下组15 25 40 合计30 70 100 所以得K 2＝n ad －bc2a ＋b c ＋d a ＋cb ＋d ＝100×15×25－15×45260×40×30×70＝2514≈1.79. 因为1.79<2.706， 所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．。

高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练24

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2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练24一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是( )A.12B.16C.23D.13解析 记3只白球为A 、B 、C,1只黑球为D ，则随机摸出两只球的基本事件空间为Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )}，共6个．其中，颜色不同的有3种，故所求概率为P ＝36＝12.答案 A2．同时掷3枚均匀硬币，恰好有2枚正面向上的概率为( ) A ．0.5 B ．0.25 C ．0.125D ．0.375解析 掷3枚均匀硬币，设正面向上的个数为X ，则X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，∴P (X ＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·12＝38＝0.375.答案 D3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34解析 事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 1－P (A －·B －)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16＝712.答案 C4．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再嬴一局就获冠军，乙队需要再嬴两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.34解析 由甲、乙两队每局获胜的概率相同，知甲每局获胜的概率为12，甲要获得冠军有两种情况：第一种情况是再打一局甲赢，甲获胜概率为12；第二种情况是再打两局，第一局甲输，第二局甲赢．则其概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝14.故甲获得冠军的概率为12＋14＝34.答案 D5．(2013·四川卷)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14 B.12 C.34D.78解析 由题意得此概率为一几何概型，设第一串彩灯亮的时刻为x ，第二串彩灯亮的时刻为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤40≤y ≤4要使它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y |≤2.如图所示，正方形面积为16，阴影部分面积为16－2×2＝12，故P ＝1216＝34.答案 C6．(2013·湖北卷)如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A.126125B.65C.168125D.75解析 P (X ＝0)＝33125＝27125，P (X ＝1)＝9×6125＝54125，P (X ＝2)＝3×12125＝36125，P (X ＝3)＝8125，E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65，故选B. 答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．随机变量ξ的分布列如下：ξ －1 0 1Pa b c其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝3，则D (ξ)的值为________．解析 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧c －a ＝13，2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12＝59. 答案 598．(2013·福建卷)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．解析 此概率为一几何概型，概率为区间长度的比，3a －1>0即a >13，所以P ＝23.答案 239．(2013·江苏卷)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．解析 正奇数m 有4个，正奇数n 有5个，故P ＝4×57×9＝2063.答案2063三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)(2013·天津卷)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解 (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67. 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝1×35＋2×35＋3×7＋4×7＝5.11．(本小题10分)(2013·陕西卷)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望． 解 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B －)＝P (A )·P (B －)＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415.(或P (A B －)＝C 12·C 34C 23·C 35＝415.)(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝C 24C 35＝35.∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝P (A －B －C －)＝13×25×25＝475，P (X ＝1)＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075， P (X ＝2)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P475207533751875∴X 的数学期望E (X )＝0×75＋1×75＋2×75＋3×75＝75＝15.12．(本小题10分)(2013·浙江卷)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求ab c .解 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19， P (ξ＝6)＝1×16×6＝136. 所以ξ的分布列为(2)所以E (η)＝a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＝3，D (η)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a :b :c ＝3:2:1.。

高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练15

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2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练151．(本小题15分)(2013·山东烟台二模)设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项．(1)证明数列{a n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n<2.解 (1)由已知得，2S n ＝a 2n ＋a n ，且a n >0，当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1(a 1＝0舍去)； 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋a n －1. 于是2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1， 即2a n ＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1.于是a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1. 因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)． 故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)证明：因为a n ＝n ，则S n ＝n n ＋12，1S n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<2.2．(本小题15分)(2013·福建福州二模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为C 1上任一点，MN 是圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的一条直径，若与AF 平行且在y 轴上的截距为3－2的直线l 恰好与圆C 2相切．(1)求椭圆C 1的离心率；(2)若PM →·PN →的最大值为49，求椭圆C 1的方程．解 (1)由题意可知直线l 的方程为bx ＋cy －(3－2)c ＝0，因为直线l 与圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1相切，所以d ＝|3c －3c ＋2c |b 2＋c 2＝1，即a 2＝2c 2，从而e ＝22. (2)设P (x ，y )，圆C 2的圆心记为C 2，则x 22c 2＋y 2c2＝1(c >0)，又PM →·PN →＝(PC 2→＋C 2M →)·(PC 2→＋C 2N →)＝PC 22→－C 2N 2→＝x 2＋(y －3)2－1＝－(y ＋3)2＋2c 2＋17(－c ≤y ≤c )．①当c ≥3时，(PM →·PN →)max ＝17＋2c 2＝49， 解得c ＝4，此时椭圆方程为x 232＋y 216＝1； ②当0<c <3时，(PM →·PN →)max ＝－(－c ＋3)2＋17＋2c 2＝49，解得c ＝±52－3但c ＝－52－3<0，且c ＝52－3>3，故舍去．综上所述，椭圆C 1的方程为x 232＋y 216＝1.3．(本小题15分)(2013·湖南卷)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2.l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM →·FN →<2p 2；(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．解 (1)由题意，抛物线E 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM →＝(pk 1，pk 21)．同理可得点N 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫pk 2，pk 22＋p 2，FN →＝(pk 2，pk 22)．于是FM →·FN →＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以0<k 1k 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1＋k 222＝1.故FM →·FN →<p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得|FA |＝y 1＋p 2，|FB |＝y 2＋p2，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p . 故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －pk 21－p 22＝(pk 21＋p )2，化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0.同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0.于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0. 又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离 d ＝|2pk 21＋pk 1＋p |5＝p |2k 21＋k 1＋1|5＝p ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫k 1＋142＋785.故当k 1＝－14时，d 取最小值7p85.由题设，7p 85＝755，解得p ＝8.故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .4．(本小题15分)(2013·福建卷)已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值；(3)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值． 解 (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－ae x .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e. (2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，∴函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，x ＝ln a .x ∈(－∞，ln a )，f ′(x )<0，x ∈(ln a ，＋∞)，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． (3)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e x .令g (x )＝f (x )－(kx －1)＝(1－k )x ＋1e x ，则直线l ：y ＝x －1与曲线y ＝f (x )没有公共点， 等价于方程g (x )＝0在R 上没有实数解． 假设k >1，此时g (0)＝1>0，g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＝－1＋1e1k －1<0，又函数g (x )的图象连续不断，由零点存在定理，可知g (x )＝0在R 上至少有一解，与“方程g (x )＝0在R 上没有实数解”矛盾，故k ≤1.又k ＝1时，g (x )＝1e x >0，知方程g (x )＝0在R 上没有实数解．∴k 的最大值为1.5．(本小题15分)(2013·陕西卷)已知函数f (x )＝e x，x ∈R . (1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图象相切，求实数k 的值； (2)设x >0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)公共点的个数； (3)设a <b ，比较f a ＋f b2与f b －f ab －a的大小，并说明理由．解 (1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图象在P (x 0，y 0)处相切， 则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝1x 0，解得x 0＝e 2，k ＝1e2.(2)曲线y ＝e x与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线y ＝exx2与y ＝m 的公共点个数．令φ(x )＝e xx2，则φ′(x )＝exx －2x 3，∴φ′(2)＝0. 当x ∈(0,2)时，φ′(x )<0，φ(x )在(0, 2)上单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝e24.当0<m <e 24时，曲线y ＝exx 2与y ＝m 无公共点；当m ＝e 24时，曲线y ＝exx2与y ＝m 恰有一个公共点；当m >e 24时，在区间(0,2)内存在x 1＝1m ，使得φ(x 1)>m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)>m .由φ(x )的单调性知，曲线y ＝exx2与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x >0时，若0<m <e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点；若m ＝e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若m >e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点．(3)可以证明f a ＋f b2>f b －f ab －a.事实上，f a ＋f b2>f b －f a b －a ⇔e a ＋e b 2>e b －e ab －a⇔b －a 2>e b －e a e b ＋e a ⇔b －a2>1－2eae b ＋ea⇔b －a2>1－2e b －a＋1(b >a )．(*) 令ψ(x )＝x 2＋2e x ＋1－1(x ≥0)，则ψ′(x )＝12－2e xe x＋12＝e x ＋12－4e x 2e x ＋12＝e x －122e x＋12≥0(仅当x ＝0时等号成立)，∴ψ(x )在[0，＋∞)上单调递增． ∴x >0时，ψ(x )>ψ(0)＝0. 令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证．。

【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练21

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2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练21一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析 双曲线焦点位于x 轴，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，而e ＝c a ＝52，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝54，得b a ＝12，故渐近线方程为y ＝±12x ，即选C.答案 C2．若不论k 取何值，直线y ＝k (x －2)＋m 与双曲线x 2－y 2＝1总有公共点，则实数m 的取值X 围是( )A ．[－3,3]B ．[－3，3]C ．[－2,2]D ．[－2，2]解析 直线过点M (2，m )，不妨设直线x ＝2与双曲线相交于A ，B 两点，且A (2，－3)，B (2，3)．结合图象可知，当且仅当点M 在线段AB 上时，不论k 取何值，直线与双曲线总有公共点，所以－3≤m ≤ 3.故选B.答案 B3．(2013·全国大纲卷)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值X 围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 解析 A 1(－2,0)，A 2(2,0)，上顶点B 1(0，3)，若P 位于B 1处，kPA 2＝－32>－1，由图象分析P 位于第一象限，设P (x 0，y 0)，则y 0＝324－x 20，因此kPA 2＝－322＋x 02－x 0，由kPA 2∈[－2，－1]得2＋x 02－x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43，从而kPA 1＝322－x 02＋x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34，故选B. 答案 B4．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值正确的是( )A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是4解析 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程， 得y 2－4ty －4＝0. 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线定义|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1， 故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2， 所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216.而y 1y 2＝－4，代入上式， 得|AB |·|CD |＝1，故选A. 答案 A5．在周长为16的△PMN 中，|MN |＝6，则PM →·PN →的取值X 围是( )A ．[7，＋∞) B．(0,16) C ．(7,16] D ．[7,16) 解析 以MN 所在直线为x 轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 由于|PN |＋|PM |＝10>|MN |＝6，故点P 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆(去左、右顶点)，其方程为x 225＋y 216＝1(y ≠0)，故PM →·PN →＝(3－x ，－y )·(－3－x ，－y )＝x 2＋y 2－9， 将y 2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 225代入整理得：PM →·PN →＝9x 225＋7， 而0≤x 225<1(由于是三角形，因此M ，N ，P 三点不共线)，故7≤PM →·PN →<16. 故选D. 答案 D6．(2013·全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值X 围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 解析 特殊情况a ＝1时，直线为y ＝x ＋b 与x 轴交于(－b,0)，与直线BC ：x ＋y ＝1交于⎝⎛⎭⎪⎫1－b 2，1＋b 2，结合图形可知12×(1＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2＝12，解得b ＝2－1；13<2－1<12，排除C.考虑到极限位置，即a ＝0时，y ＝b 与y 轴交于(0，b )得(1－b )2＝12，即b ＝1－22，故选B.答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点的距离之比为2：3，则点M 的轨迹方程为________．解析 由题意得a 2＝16，b 2＝9，c 2＝16＋9＝25. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． 设M (x ，y )，有|MF 1||MF 2|＝23，即x ＋52＋y2x －52＋y 2＝23.整理即可得解． 答案 x 2＋y 2＋26x ＋25＝08．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )，到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.解析 根据抛物线的性质得1＋p2＝5，∴p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1.故a ＝14.答案 149．(2013·某某卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．解析 设直线l 的方程为x ＝ty －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1y 2＝4x得y 2－4ty ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝4，所以y Q ＝2t ，将y Q 代入x ＝ty －1得x Q ＝2t 2－1，|FQ |2＝(x Q －1)2＋y 2Q ＝4，代入得t ＝0(舍)或t ＝±1，所以直线的斜率1t为±1.答案 ±1三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)(2013·某某卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．解 (1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1. 由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c.故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，cy 0c －x 0. 因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0. 由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．11．(本小题10分)(2013·某某卷)如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，① y 0＝－1－222p ＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④切线MA ，MB 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此线段AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .12．(本小题10分)(2013·某某某某质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1(a >10)的右焦点F在圆D ：(x －2)2＋y 2＝1上，直线l ：x ＝my ＋3(m ≠0)交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →⊥ON →(O 为坐标原点)，求m 的值；(3)设点N 关于x 轴的对称点为N 1(N 1与点M 不重合)，且直线N 1M 与x 轴交于点P ，试问△PMN 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设知，圆D ：(x －2)2＋y 2＝1的圆心坐标是(2,0)，半径是1， 故圆D 与x 轴交于两点(3,0)，(1,0)． 所以，在椭圆中c ＝3或c ＝1，又b 2＝3， 所以，a 2＝12或a 2＝4(舍去，∵a >10)． 于是，椭圆C 的方程为x 212＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)；直线l 与椭圆C 方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 212＋y23＝1，化简并整理得(m 2＋4)y 2＋6my －3＝0， ∴y 1＋y 2＝－6m m 2＋4，y 1·y 2＝－3m 2＋4. ∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋6＝24m 2＋4， x 1·x 2＝m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＝－3m 2m 2＋4＋－18m 2m 2＋4＋9＝36－12m2m 2＋4.∵OM →⊥ON →，∴OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，得36－12m 2－3m 2＋4＝0.∴m 2＝114，m ＝±112.(3)∵M (x 1，y 1)，N 1(x 2，－y 2)，∴直线N 1M 的方程为y －y 1－y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1.令y ＝0，则x ＝y 1x 2－x 1y 1＋y 2＋x 1＝y 1x 2＋y 2x 1y 1＋y 2＝2my 1y 2＋3y 1＋y 2y 1＋y 2＝－6m m 2＋4－18mm 2＋4－6m m 2＋4＝－24m －6m ＝4；∴P (4,0)．S △PMN ＝12|FP |·|y 1－y 2|＝12·1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝12·36m 2m 2＋42＋12m 2＋4＝23m 2＋1m 2＋42＝231m 2＋1＋9m 2＋1＋6≤23·112＝1. 当且仅当m 2＋1＝3，即m ＝±2时等号成立， 故△PMN 的面积存在最大值1. (或S △PMN ＝23·m 2＋1m 2＋42＝23·－3m 2＋42＋1m 2＋4. 令t ＝1m 2＋4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14， 则S △PMN ＝23·－3t 2＋t ＝23·－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －162＋112≤1.当且仅当t ＝16∈⎝⎛⎦⎥⎤0，14时等号成立，此时m 2＝2，故△PMN的面积存在最大值1.)。

【状元之路】高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练12

【状元之路】高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练12

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练12一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·安徽卷)在下列命题中，不是．．公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析立体几何中的公理有四个，B，C，D都是，第四个为空间平行线的传递性，而A 是面面平行的性质定理，由公理推证出来的，故选A.答案 A2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面，所以选B.答案 B3．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，且a⊄α，a⊄β，则下列结论中不成立的是( )A．若b⊂β，a∥b，则a∥βB．若a⊥β，α⊥β，则a∥αC．若a⊥b，b⊥α，则a∥αD．若α⊥β，a⊥β，b∥a，则b∥α思路分析根据空间中的平行、垂直关系的判定和性质定理逐个进行判断．解析对于选项A，若有b⊂β，a∥b，且已知a⊄β，所以根据线面平行的判定定理，可得a∥β.故选项A正确．对于选项B，若a⊥β，α⊥β，则根据空间线、面的位置关系，可知a⊂α或a∥α，而由已知可知a⊄α，所以a∥α.故选项B正确．对于选项C，若a⊥b，b⊥α，所以a⊂α或a∥α.而由已知a⊄α，所以a∥α.故选项C正确．对于选项D，由a⊥β，b∥a，可得b⊥β.又α⊥β，所以b⊂α或b∥α.故不能得到b∥α.所以选项D错误．故选D.答案 D4．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析m，n为异面直线，m⊥面α，n⊥面β，则α，β一定相交，不一定垂直，但交线一定垂直于直线m，n，又l⊥m，且l⊥n，则l平行于α和β的交线，故选D.答案 D5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.答案 D6．(2013·江西卷)如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m ＋n＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析 取CD 中点G ，连接EG ，FG ，得CD ⊥EG ，CD ⊥FG ，所以CD ⊥面EFG ，又AB ∥CD ，所以AB ⊥面EFG ，所以AB ⊥EF ，则EF 与正方体的左右面平行，与上下前后四个面均相交，n ＝4，而CE 在底面内与上底面平行，与四个侧面都相交，所以m ＝4，m ＋n ＝8，故选A.答案 A二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·贵州贵阳一模)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．解析 如图所示，取AB 的中点E ，连接B 1E ，则AM ∥B 1E ，取EB 的中点F ，连接FN ，则B 1E ∥FN ，因此AM ∥FN ，则直线FN 与CN 所夹的锐角或直角为异面直线AM 与CN 所成的角．设AB ＝1，连接CF ，在△CFN 中，CN ＝52，FN ＝54，CF ＝174. 由余弦定理得cos ∠CNF ＝CN 2＋FN 2－CF 22CN ·FN ＝25.答案 258.(2013·北京卷)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．解析 点P 到直线CC 1的距离等于点P 在面ABCD 上的射影到点C 的距离，点P 在面ABCD 内的射影落在线段DE 上，设为P ′，问题等价求为P ′C 的最小值，当P ′C ⊥DE 时，P ′C 的长度最小，此时P ′C ＝2×122＋1＝255 答案 2559.如图所示，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ；②MO ∥平面PAC ；③OC ⊥平面PAC ；④平面PAC ⊥平面PBC . 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．解析 ①错误，PA ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面PAC .答案 ②④三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10.(本小题10分)(2013·西安五校联考)如图所示，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是正方形，AC ＝AB ＝1，A 1C ＝A 1B ，B 1C 1∥BC ， B 1C 1＝12BC .(1)求证：平面A 1AC ⊥平面ABC ； (2)求证：AB 1∥平面A 1C 1C .证明 (1)∵四边形ABB 1A 1为正方形，∴A 1A ＝AB ＝AC ＝1，A 1A ⊥AB .∴A 1B ＝ 2.∵A 1C ＝A 1B ，∴A 1C ＝ 2. ∴∠A 1AC ＝90°，∴A 1A ⊥AC . ∵AB ∩AC ＝A ，∴A 1A ⊥平面ABC .又∵A 1A ⊂平面A 1AC ，∴平面A 1AC ⊥平面ABC ， (2)取BC 的中点E ，连接AE ，C 1E ，B 1E . ∵B 1C 1∥BC .B 1C 1＝12BC ，∴B 1C 1∥EC ，B 1C 1＝EC .∴四边形CEB 1C 1为平行四边形．∴B 1E ∥C 1C . ∵C 1C ⊂平面A 1C 1C ，B 1E ⊄平面A 1C 1C ，∴B 1E ∥平面A 1C 1C . ∵B 1C 1∥BC ，B 1C 1＝12BC ，∴B 1C 1∥BE ，B 1C 1＝BE .∴四边形BB 1C 1E 为平行四边形． ∴B 1B ∥C 1E ，且B 1B ＝C 1E . 又∵四边形ABB 1A 1是正方形， ∴A 1A ∥C 1E ，且A 1A ＝C 1E .∴四边形AEC 1A 1为平行四边形，∴AE ∥A 1C 1. ∵A 1C 1⊂平面A 1C 1C ，AE ⊄平面A 1C 1C ， ∴AE ∥平面A 1C 1C .∵AE ∩B 1E ＝E ，∴平面B 1AE ∥平面A 1C 1C . ∵AB 1⊂平面B 1AE ，∴AB 1∥平面A 1C 1C . 11.(本小题10分)(2013·江苏卷)如图所示，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .解 (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.12．(本小题10分)(理)(2013·广东卷)如下图(左)所示，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE 沿DE折起，得到如下图(右)所示的四棱锥A′－BCDE，其中A′O＝ 3.(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′－CD－B的平面角的余弦值．解(1)由题意，得OC＝3，AC＝32，AD＝2 2.连接OD，OE.在△OCD中，由余弦定理可得OD＝OC2＋CD2－2OC·CD cos45°＝ 5.由翻折不变性可知A′D＝22，所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD.同理可证A′O⊥OE，又OD∩OE＝O，所以A′O⊥平面BCDE.图1(2)(传统法)过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连接A ′H ，如图1. 因为A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′H ⊥CD ， 所以∠A ′HO 为二面角A ′－CD －B 的平面角． 结合OC ＝3，∠BCD ＝45°，得OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋OA ′2＝302. 所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155，所以二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为155.图2(向量法)以O 点为原点，建立空间直角坐标系O －xyz 如图2所示， 则A ′(0,0，3)，C (0，－3,0)，D (1，－2,0)， 所以CA ′→＝(0,3，3)，DA ′→＝(－1,2，3)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′CD 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA ′→＝0，n ·DA ′→＝0，即⎩⎨⎧3y ＋3z ＝0，－x ＋2y ＋3z ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝－x ，z ＝3x ，令x ＝1，得n ＝(1，－1，3)，即n ＝(1，－1，3)为平面A ′CD 的一个法向量． 由(1)知，OA ′→＝(0,0，3)为平面CDB 的一个法向量， 所以cos 〈n ，OA ′→〉＝n ·OA ′→|n ||OA ′→|＝33×5＝155，即二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为155. 12．(本小题10分)(文)(2013·北京卷)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.。

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2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷专题综合测试1 Word 版含解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·重庆卷)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}解析 由已知得A ∪B ＝{1,2,3}，又集合U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{4}．答案 D2．(2013·辽宁卷)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]解析 经计算A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案 D3．(2013·福建卷)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 a ＝3⇒A ⊆B ，但A ⊆B 可得a ＝2或a ＝3，故选A. 答案 A4．下列结论错误的是( )A ．命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题B ．命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则p ∨q 为真C ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题D ．若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题解析 根据四种命题的构成规律，选项A 中的结论是正确的；选项B 中的命题p 是真命题，命题q 是假命题，故p ∨q 为真命题，选项B 中的结论正确；当m ＝0时，a <b ⇒am 2＝bm 2，故选项C 中的结论不正确；选项D 中的结论正确，故选C. 答案 C5．函数y ＝a x －1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析 当a >1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a <1，排除A 、B.当0<a <1时，y ＝a x －1a 为减函数，且1－1a <0，D 满足． 答案 D6．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c解析 a ＝log 233，b ＝log 233，∴a ＝b >1.又c ＝log 32<1， ∴a ＝b >c . 答案 B7．(2013·重庆卷)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.322解析 (3－a )(a ＋6)＝－a 2－3a ＋18 ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814， 当a ＝－32∈[－6,3]时，(3－a )(a ＋6)取得最大值92. 答案 B 8．2013年下半年某省市拟联合公选年轻干部，其中省管干部x 名，市管干部y 名，x 和y 须满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4≥0，x －y ＋4≥0，x ≤4，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝7x ＋9y 的最大值是( )A ．64B ．72C ．90D ．100解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(取阴影部分中的整点)，由目标函数z ＝7x ＋9y 的意义可知当直线z ＝7x ＋9y 过A 点时，z 取得最大值，此时z ＝7×4＋9×8＝100.选D. 答案 D9. 设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是( )解析 在区间(0,2)上，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0,2)上单调递减，符合题意的只有C. 答案 C10．(理)(2013·江西卷)如图所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析 正三角形的高为1，则边长为233，当x ＝时，y＝233(0<x <π)，排除B ；由平行线分线段成比例知BE AB ＝1－cos x 21，即BE ＝233⎝⎛⎭⎫1－cos x 2，而BE ＝CD ，故y ＝2EB ＋BC ＝23－433cos x 2(0<x <π)，排除A ，C ，故选D. 答案 D10．(文)(2013·东北三校第一次联考)已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4 解析 由题意可知f ′⎝⎛⎭⎫14＝12x －12| x ＝14＝1，g ′⎝⎛⎭⎫14＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．答案 A 11．(理)(2013·辽宁卷)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( ) A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析 由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，得[x 2f (x )]′＝e x x ，令g (x )＝x 2f (x )，则g ′(x )＝e x x ，又f (x )＝g (x )x 2，所以f ′(x )＝xg ′(x )－2g (x )x 3＝e x －2g (x )x 3，令h (x )＝e x －2g (x )，h ′(x )＝e x －2g ′(x )＝e x －2e x x ＝e x (x －2)x ，当0<x <2时，h ′(x )<0，当x >2时，h ′(x )>0，所以h (x )≥h (2)＝0，即f ′(x )≥0，所以当x >0时，f (x )单调递增，f (x )既无极大值也无极小值． 答案 D11．(文)已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 解析 依题意得，函数f ′(x )、g ′(x )分别是偶函数、奇函数，当x <0时，－x >0，f ′(x )＝f ′(－x )>0，g ′(x )＝－g ′(－x )<0，选B. 答案 B12．(理)(2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]解析 解法一：|f (x )|的图象如图，x >0时，ln(x ＋1)>0，x >0时|f (x )|≥ax ，即ln(x ＋1)>ax ，由图可得a ≤0；而x ≤0时|f (x )|≥ax ，即x 2－2x ≥ax ，得a ≥x －2恒成立得a ≥－2.综上得－2≤a ≤0，故选D.解法二：由图得a >0不成立，故a ≤0，结合图象可得，|f (x )|≥ax恒成立，只需a 大于等于x 2－2x 在x ＝0处的切线的斜率，即a ≥(2x－2)|x ＝0，所以a ≥－2，得－2≤a ≤0. 答案 D12．(文)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，c <a <b ，选C. 答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．13．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1. ∴f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]，∴f (－1)＝－3.因此g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案 －114．某名牌电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有如下关系：y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．解析 ∵y ′＝x 2－39x －40，令y ′＝0， 即x 2－39x －40＝0，解得x ＝40或x ＝－1(舍)．当x >40时，y ′>0. 当0<x <40时，y ′<0， 所以当x ＝40时，y 最小． 答案 4015．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析 设P ⎝⎛⎭⎫t ，1t ，其中t >0， PA 2＝(t －a )2＋⎝⎛⎭⎫1t －a 2 ＝t 2＋1t 2－2a ⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋2a 2， 即PA 2＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－2a ⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋2a 2－2， 令m ＝t ＋1t≥2， 所以PA 2＝m 2－2am ＋2a 2－2＝(m －a )2＋a 2－2， 当PA 取得最小值时⎩⎨⎧ a ≤2，22－4a ＋2a 2－2＝(22)2，或⎩⎨⎧ a >2，a 2－2＝(22)2.解得a ＝－1或a ＝10.答案－1，10 16．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，给出下列命题： ①f (3)＝0； ②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为____ (把所有正确命题的序号都填上)． 解析 取x ＝－3，则f (3)＝f (－3)＋f (3)，又y ＝f (x )是R 上的偶函数，∴f (－3)＝f (3)＝0，即f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )是周期函数且T ＝6，故①②正确；由题意可知f (x )在[0,3]上是增函数，∴在[－3,0]上是减函数，故在[－9，－6]上为减函数，③错误；f (－3)＝f (3)＝f (9)＝f (－9)＝0，④正确． 答案 ①②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0)，若不等式f (x )>0的解集为(－1,3)．(1)求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在x ∈[m,1]上的最小值为1，求实数m 的值．解 (1)由条件得⎩⎨⎧ －1＋3＝－b －2a ，－1×3＝3a ，解得a ＝－1，b ＝4.(2)f (x )＝－x 2＋2x ＋3，对称轴方程为x ＝1，∴f (x )在x ∈[m,1]上单调递增．∴x ＝m 时，f (x )min ＝－m 2＋2m ＋3＝1， 解得m ＝1±3.∵m <1，∴m ＝1－ 3.18．(本小题12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1. f ′(x )＝3x 2－12x ＋3＝3(x 2－4x ＋1)＝3(x －2＋3)(x －2－3)． 当x <2－3，或x >2＋3时，得f ′(x )>0； 当2－3<x <2＋3时，得f ′(x )<0.因此f (x )递增区间是(－∞，2－3)，(2＋3，＋∞)； f (x )的递减区间是(2－3，2＋3)．(2)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3， Δ＝36a 2－36，由Δ>0得，a >1或a <－1，又x 1x 2＝1，可知f ′(2)<0，且f ′(3)>0， 解得54<a <53，因此a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫54，53. 19．(本小题12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．(2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2ax ，∴f ′(1)＝2a . 又f (1)＝a ＋1＝c ， ∴f (x )在点(1，c )处的切线方程为y －c ＝2a (x －1)， 即y －2ax ＋a －1＝0. 又∵g ′(x )＝3x 2＋b ，则g ′(1)＝3＋b . 又g (1)＝1＋b ＝c ，∴g (x )在点(1，c )处的切线方程为 y －(1＋b )＝(3＋b )(x －1)，即y －(3＋b )x ＋2＝0.依题意知3＋b ＝2a ，且a －1＝2，即a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时， h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1.h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1. h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的变化情况如下：当－3<k <2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．20．(本小题12分)(2013·北京卷)设L 为曲线C ：y ＝ln x x 在点(1,0)处的切线．(1)求L 的方程； (2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方．解 (1)设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x2. 所以f ′(1)＝1，即L 的斜率为1. 又L 过点(1,0)，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x2. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．21．(本小题12分)(理)(2013·湖北卷)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0. (1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ＝0.997 4) (2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900)＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.977 2. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x 、y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y .依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0.由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是原问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y . 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z 2 400最小，即z 取得最小值． 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．21．(本小题12分)(文)(2013·课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2. 从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．故当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 22．(本小题12分)(理)(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝(1＋x )e－2x ，g (x )＝ax ＋x 32＋1＋2x cos x .当x ∈[0,1]时， (1)求证：1－x ≤f (x )≤11＋x； (2)若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e－2x ≥1－x ，只需证明(1＋x )·e －x ≥(1－x )e x . 记h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ，则h ′(x )＝x (e x －e －x )，当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0，因此h (x )在[0,1]上是增函数，故h (x )≥h (0)＝0.所以f (x )≥1－x ，x ∈[0, 1]． 要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e －2x ≤11＋x，只需证明e x ≥x ＋1. 记K (x )＝e x －x －1，则K ′(x )＝e x －1，当x ∈(0,1)时，K ′(x )>0，因此K (x )在[0,1]上是增函数，故K (x )≥K (0)＝0. 所以f (x )≤11＋x ，x ∈[0,1]．综上，1－x ≤f (x )≤11＋x ，x ∈[0,1]． (2)f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －⎝⎛⎭⎫ax ＋x 32＋1＋2x cos x ≥1－x －ax －1－x 32－2x cos x ＝－x ⎝⎛⎭⎫a ＋1＋x 22＋2cos x . 设G (x )＝x 22＋2cos x ，则G ′(x )＝x －2sin x .记H (x )＝x －2sin x ，则H ′(x )＝1－2cos x ，当x ∈(0,1)时，H ′(x )<0，于是G ′(x )在[0,1]上是减函数，从而当x ∈(0,1)时，G ′(x )<G ′(0)＝0，故G (x )在[0,1]上是减函数． 于是G (x )≤G (0)＝2，从而a ＋1＋G (x )≤a ＋3. 所以，当a ≤－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上恒成立， 下面证明，当a >－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．f (x )－g (x )≤11＋x －1－ax －x 32－2x cos x ＝－x 1＋x－ax －x 32－2x cos x ＝－x ⎝⎛⎭⎫11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ， 记I (x )＝11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ＝11＋x ＋a ＋G (x )，则I ′(x )＝－1(1＋x )2＋G ′(x )，当x ∈(0,1)时，I ′(x )<0.故I (x )在[0,1]上是减函数，于是I (x )在[0,1]上的值域为[a ＋1＋2cos1，a ＋3]．因为当a >－3时，a ＋3>0， 所以存在x 0∈(0,1)，使得I (x 0)>0，此时f (x 0)<g (x 0)，即f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．22．(本小题12分)(文)(2013·浙江十校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ax (a ∈R)． (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－4x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x >0)． ①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a . 在区间⎝⎛⎭⎫0，－1a 上，f ′(x )>0，在区间⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. (2)由题意得f (x )max <g (x )max ，而g (x )max ＝2，由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减， 故f (x )的极大值即为最大值，f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e 3.。

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