浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系单元综合培优提升训练题3(附答案详解)
浙教新版九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷(有答案)
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浙教新版九年级下册数学《第2章直线与圆的位置关系》单元测试卷一.选择题(共8小题,满分24分)1.如图,⊙O内切于四边形ABCD,AB=10,BC=7,CD=8,则AD的长度为()A.8B.9C.10D.112.如图,若⊙O的直径为6,点O到某条直线的距离为6,则这条直线可能是()A.l1B.l2C.l3D.l43.如图所示,直线l与半径为5cm的⊙O相交于A、B两点,且与半径OC垂直,垂足为H,AB =8cm,若要使直线l与⊙O相切,则l应沿OC方向向下平移()A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm4.如图,△ABC内接于⊙O,BD切⊙O于点B,AB=AC,若∠CBD=40°,则∠ABC等于()A.40°B.50°C.60°D.70°5.如图,四边形ABCD是圆的内接四边形,AB、DC的延长线交于点P,若C是PD的中点,且PD=6,PB=2,那么AB的长为()A.9B.7C.3D.6.如图,PA、PB是圆O的切线,切点分别为A、B,若OA=2,∠P=60°,则的长为()A.B.πC.D.7.如图,⊙O的半径为2,弦AB向上平移得到CD(AB与CD位于点O两侧),且CD与⊙O 相切于点E.若的度数为120°,则AD的长为()A.4B.2C.D.38.如图,⊙O内切于△ABC,若∠AOC=110°,则∠B的度数为()A.40°B.60°C.80°D.100°二.填空题(共8小题,满分24分)9.如图,P是圆O外的一点,点B、D在圆上,PB、PD分别交圆O于点A、C,如果AP=4,AB=2,PC=CD,那么PD=.10.如图,PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C,DE分别交PA,PB于D、E,已知P到⊙O的切线长为8cm,那么△PDE的周长为.11.已知:如图,在⊙O中,AB是直径,四边形ABCD内接于⊙O,∠BCD=130°,过D点的切线PD与直线AB交于点P,则∠ADP的度数为.12.如图,已知⊙P的半径是1,圆心P在抛物线y=x2﹣x﹣上运动,当⊙P与x轴相切时,圆心P的坐标为.13.如图,在△ABC中,∠A=60°,BC=6,△ABC的周长为19.若⊙O与BC,AC,AB三边分别相切于点E,F,D,则DF的长为.14.Rt△ABC的斜边为13,其内切圆的半径等于2,则Rt△ABC的周长等于.15.在下图中,AB是⊙O的直径,要使得直线AT是⊙O的切线,需要添加的一个条件是.(写一个条件即可)16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,⊙O的半径为3,当圆心O与点C重合时,⊙O与直线AB的位置关系为;若⊙O从点C开始沿直线CA移动,当OC=时,⊙O与直线AB相切?三.解答题(共7小题,满分72分)17.已知AB是⊙O的直径,BD为⊙O的切线,切点为B.过⊙O上的点C作CD∥AB,交BD 点D.连接AC,BC.(Ⅰ)如图①,若DC为⊙O的切线,切点为C.求∠BCD和∠DBC的大小;(Ⅱ)如图②,当CD与⊙O交于点E时,连接BE.若∠EBD=30°,求∠BCD和∠DBC的大小.18.如图,AB是⊙O的直径,点M是△ABC的内心,连接BM并延长交AC于点F交⊙O于点E,连接OE与AC相交于点D.(1)求证:OD=BC;(2)求证:EM=EA.19.如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,AC为弦,BC为⊙O的直径,若∠P=60°,PB=2cm.(1)求证:△PAB是等边三角形;(2)求AC的长.20.如图,在△ABC中,AB=BC,D是AC中点,BE平分∠ABD交AC于点E,点O是AB上一点,⊙O过B、E两点,交BD于点G,交AB于点F.(1)判断直线AC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若EB⊥BC,ED=3,求BG的长.21.已知:AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使AB=AC,连结AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.求证:DE为⊙O的切线.22.如图,AB是⊙O的直径,点C、点D在⊙O上,AC=CD,AD与BC相交于点E,点F在BC 的延长线上,且∠FAC=∠D.(1)求证:AF是⊙O的切线;(2)若EF=12,sin D=,求⊙O的半径.23.如图,给定锐角三角形ABC,BC<CA,AD,BE是它的两条高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,过点D,E分别作l的垂线,垂足分别为F,G.试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论.参考答案与试题解析一.选择题(共8小题,满分24分)1.解:∵⊙O内切于四边形ABCD,∴AD+BC=AB+CD,∵AB=10,BC=7,CD=8,∴AD+7=10+8,解得:AD=11.故选:D.2.解:∵若⊙O的直径为6,∴圆O的半径为3,∵点O到某条直线的距离为6,∴这条直线与圆相离,故选:A.3.解:连接OB,∴OB=5cm,∵直线l⊙O相交于A、B两点,且与AB⊥OC,AB=8cm,∴HB=4cm,∴OH=3cm,∴HC=2cm.故选:B.4.解:∵BD切⊙O于点B,∴∠DBC=∠A=40°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∴∠ABC=(180°﹣40°)÷2=70°.故选:D.5.解:∵C是PD的中点,PD=6,∴PC=CD=PD=3,由切割线定理得,PC•PD=PB•PA,即3×6=2×PB,解得,PB=9,∴AB=PA﹣PB=7,故选:B.6.解:连接AB,∵PA、PB是圆O的切线,∴OB⊥BP,OA⊥PA,∵∠P=60°,∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°,∴的长==,故选:C.7.解:∵的度数为120°,∴∠AOB=120°,连接OE,OE的反向延长线交AB于F,连接OA,OB,如图,∵CD与⊙O相切于点E,∴EF⊥CD,由平移的性质得:CD∥AB,CD=AB,∴EF⊥AB,∵OA=OB,∴∠AOF=∠BOF=∠AOB=60°,AF=BF=AB=DE,∴∠OAF=30°,四边形BDEF是矩形,∴OF=OA=×2=1,BD=EF,∴EF=2+1=3,∴BD=3,在Rt△AOF中,OA=2,OF=1,∴AF===,∴AB=2,∴AD===,故选:C.8.解:∵⊙O内切于△ABC,∴AO,CO分别平分∠BAC,∠BCA,∠AOC=110°,∴∠BAC+∠BCA=2(∠OAC+∠OCA)=2(180°﹣∠AOC)=140°,∴∠B=180°﹣(∠BAC+∠BCA)=40°.故选:A.二.填空题(共8小题,满分24分)9.解:如图,∵AP=4,AB=2,PC=CD,∴PB=AP+AB=6,PC=PD.又∵PA•PB=PC•PD,∴4×6=PD2,则PD=4.故答案是:4.10.解:∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C,∴PA=PB,DA=DC,EC=EB;∴C=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16cm;△PDE∴△PDE的周长为16cm.故答案为16cm.11.解:连接BD,则∠ADB=90°,又∠BCD=130°,故∠DAB=50°,所以∠DBA=40°;又因为PD为切线,故∠PDA=∠ABD=40°,即∠PDA=40°.12.解:设点P(x,y),∵⊙P与x轴相切,∴|y|=1,∴y=±1,当y=1时,1=x2﹣x﹣,解得:x1=3,x2=﹣1,∴点P(3,1),(﹣1,1),当y=﹣1时,﹣1=x2﹣x﹣,解得:x1=x2=1,∴点P(1,﹣1),故答案为:(3,1)或(﹣1,1)或(1,﹣1).13.解:∵⊙O与BC,AC,AB三边分别相切于点E,F,D,∴AD=AF,BD=BE,CE=CF,∵△ABC的周长为19.∴AD+BD+BE+CE+CF+AF=19,即2AD+2BE+2CE=19,∴AD+BC=9.5,而BC=6,∴AD=9.5﹣6=3.5,∵∠A=60°,AD=AF,∴△ADF为等边三角形,∴DF=AD=3.5.故答案为:3.5.14.解:如图,Rt△ABC三边分别切圆O于点D,E,F,得四边形ODBE是正方形,∴BE=BD=OD=OE,∴AF=AD=AB﹣2,CF=CE=BC﹣2,∴AC=AF+CF=AB﹣2+BC﹣2=AB+BC﹣4,∴AB+BC=AC+4=13+4=17,∴AB+BC+AC=17+13=30.∴Rt△ABC的周长等于30.故答案为:30.15.解:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°,当∠TAC=∠B时,∠TAC+∠BAC=90°,即∠OAT=90°,∵OA是圆O的半径,∴直线AT是⊙O的切线,故答案为:∠TAC=∠B(答案不唯一).16.解:如图1,过O作OD⊥AB于D,由勾股定理得:AB===13,由三角形的面积公式得:AC×BC=AB×CD,∴5×12=13×CD,∴CD=>3,∴⊙O与AB的位置关系是相离.①如图2,过O作OD⊥AB于D,当OD=3时,⊙O与AB相切,∵OD⊥AB,∠C=90°,∴∠ODA=∠C=90°,∵∠A=∠A,∴△ADO∽△ACB,∴=,即=,∴AO=,∴OC=5﹣=,②如图3,过O作OD⊥BA交BA延长线于D,则∠C=∠ODA=90°,∠BAC=∠OAD,∴△BCA∽△ODA,∴,∴,∴OA=,∴OC=5+=,答:若点O沿射线CA移动,当OC等于或时,⊙O与AB相切.故答案为:相离,或.三.解答题(共7小题,满分72分)17.解:(Ⅰ)∵AB是⊙O的直径,DB为⊙O的切线,切点为B,∴DB⊥AB,∴∠DBA=90°,∵DC为⊙O的切线,切点为C,∴DC=DB,∵CD∥AB,∴∠D+∠DBA=180°,∴∠D=90°,∴∠BCD=∠DBC=45°;(Ⅱ)∵AB是⊙O的直径,DB为⊙O的切线,切点为B,∴DB⊥AB,∴∠DBA=90°,∵CD∥AB,∴∠D+∠DBA=180°,∴∠D=90°,∴∠DEB=∠EBA,∵∠EBD=30°,∴∠DEB=60°,∴∠EBA=60°,∴∠ACE=120°,∵AB是⊙O的直径,∴∠BCA=90°,∴∠BCD=30°,∴∠DBC=60°.18.(1)证明:∵点M是△ABC的内心,∴∠ABE=∠CBE,∴,∴CD=DA,又∵OA=OB,∴OD=BC;(2)证明:连接AM,∵M是△ABC的内心,∴∠BAM=∠CAM,∠ABE=∠CBE,∵∠EMA=∠ABE+∠BAM,∠EAM=∠CAE+∠CAM,∠CBE=∠CAE,∴∠EMA=∠EAM.∴EM=EA.19.解:(1)∵PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,∴PA=PB,且∠P=60°,∴△PAB是等边三角形;(2)∵△PAB是等边三角形;∴PB=AB=2cm,∠PBA=60°,∵BC是直径,PB是⊙O切线,∴∠CAB=90°,∠PBC=90°,∴∠ABC=30°,∴tan∠ABC==,∴AC=2×=cm.20.解:(1)AC与⊙O相切.理由如下:连接OE,如图,∵AB=BC,D是AC中点,∴BD⊥AC,∵BE平分∠ABD,∴∠OBE=∠DBE,∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,∴∠OEB=∠DBE,∴OE∥BD,∴OE⊥AC,而OE为⊙O的半径,∴AC为⊙O的切线;(2)过O作OM⊥BD于M,则四边形OBEM是矩形,∴OM=ED=3,BM=BG,∵EB⊥BC,∴∠C+∠CEB=90°,同理∠2+∠CEB=90°,∴∠2=∠C,∵AB=BC,∴∠2=∠A,∴∠1=∠2=∠A=30°,在Rt△OBM中,tan∠OBM=,∴=,∴BM=,∴BG=2BM=2.21.证明:如图,连接OD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵AB=AC,∴CD=BD,∵OA=OB,∴OD∥AC.∴∠ODE=∠CED.∵DE⊥AC,∴∠CED=90°.∴∠ODE=90°,∴OD⊥DE,∵OD是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线.22.(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠B+∠CAB=90°,∵∠FAC=∠D.∵∠D=∠B,∴∠FAC=∠B,∴∠FAC+∠CAB=90°∴AF是⊙O的切线;(2)解:∵AC=CD,∴∠D=∠CAD,∴∠FAC=∠CAD,又∵∠ACB=90°,∴FC=CE,∵EF=12,∴CE=6,∴,∴AE=10,AC=8,∵在Rt△ACB中,,∴,∴,∴⊙O的半径长为.23.解:结论是DF=EG.∵∠FCD=∠EAB,∠DFC=∠BEA=90°,∴Rt△FCD∽Rt△EAB,∴=,∴,同理可得,又∵,∴BE•CD=AD•CE,∴DF=EG.。
2020-2021学年浙教新版九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷(有答案)
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2020-2021学年浙教新版九年级下册数学《第2章直线与圆的位置关系》单元测试卷一.选择题1.如图,AB是⊙O的直径,DB、DE分别切⊙O于点B、C,若∠ACE=25°,则∠D的度数是()A.50°B.55°C.60°D.65°2.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上,过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1,则BD的长为()A.1B.C.D.23.如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C画圆弧,则点B与下列格点连线所得的直线中,能够与该圆弧相切的格点坐标是()A.(5,2)B.(2,4)C.(1,4)D.(6,2)4.如图,在▱ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于E,且与CD相切.若AB=4,BE =5,则DE的长为()A.3B.4C.D.5.如图,在△ABC中,点D是△ABC的内心,连接DB,DC,过点D作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F,若BE+CF=8,则EF的长度为()A.4B.5C.8D.166.如图,点I为△ABC的内心,AB=4cm,AC=3cm,BC=2cm,将∠ACB平移,使其顶点与点I重合,则图中阴影部分的周长为()A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm7.若直线l与半径为10的⊙O相交,则圆心O与直线l的距离d为()A.d<10B.d>10C.d=10D.d≤108.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转,使所得矩形A'B'C'D'的边A'B'与⊙O相切,切点为E,边CD'与⊙O相交于点F,则CF的长为()A.2.5B.1.5C.3D.49.如图,⊙O内切于正方形ABCD,O为圆心,作∠MON=90°,其两边分别交BC,CD于点N,M,若CM+CN=4,则⊙O的面积为()A.πB.2πC.4πD.0.5π10.如图,△ABC中,∠A=80°,点O是△ABC的内心,则∠BOC的度数为()A.100°B.160°C.80°D.130°二.填空题11.如图,直线PA过半圆的圆心O,交半圆于A,B两点,PC切半圆与点C,已知PC=3,PB=1,则该半圆的半径为.12.已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB=2,BC=CD=10,AD=6,过B、D两点作圆,与BA的延长线交于点E,与CB的延长线交于点F,则BE﹣BF的值为.13.如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=15,则四边形ABCD的周长为.14.如图,⊙O是四边形ABCD的内切圆,连接OA、OB、OC、OD.若∠AOB=110°,则∠COD的度数是°.15.如图,PA、PB切⊙O于点A、B,AC是⊙O的直径,且∠BAC=35°,则∠P=度.16.如图,PA与⊙O切于点A,PO的延长线交⊙O于点B,若⊙O的半径为3,∠APB=54°,则弧AB的长度为.17.直线y=kx+6k交x轴于点A,交y轴于点B,以原点O为圆心,3为半径的⊙O与l相交,则k的取值范围为.18.如图,已知圆O为Rt△ABC的内切圆,切点分别为D、E、F,且∠C=90°,AB=13,BC=12,则圆O的半径为.19.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线BD上的动点,以BP为直径作圆,当圆与矩形ABCD的边相切时,BP的长为.20.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,点D在边BC上,CD=6,BD=10.点P 是线段AD上一动点,当半径为4的⊙P与△ABC的一边相切时,AP的长为.三.解答题21.如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于F,弦AD平分∠CAB,DE⊥AC,垂足为E.(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由.(2)若⊙O的半径为3,若∠CAB=60°,求线段EF.22.如图,△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E,连接BE,CE,过点E作EF∥BC,交CM于点D.求证:(1)BE=CE;(2)EF为⊙O的切线.23.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD切⊙O于点C,且∠DAC=∠BAC.(1)试说明:AD⊥CD;(2)若AD=4,AB=6,求AC.24.如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,∠BAC=20°,求∠P的度数.25.如图,PA、PB是⊙O的两条切线,PEC是一条割线,D是AB与PC的交点,若PE=2,CD=1,求DE的长.26.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,交BC于F.(1)若∠ABC=40°,∠C=80°,求∠CBD的度数;(2)求证:DB=DE;(3)若AB=6,AC=4,BC=5,求DE的长.27.已知,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以AB为直径的⊙O与BC相交于点E,在AC 上取一点D,使得DE=AD.(1)求证:DE是⊙O的切线.(2)当BC=5,AD=2时,求⊙O的半径.参考答案与试题解析一.选择题1.解:连接BC,∵DB、DE分别切⊙O于点B、C,∴BD=DC,∵∠ACE=25°,∴∠ABC=25°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠DBC=∠DCB=90°﹣25°=65°,∴∠D=50°.故选:A.2.解:连接OB,∵BD是⊙O的切线,∴∠OBD=90°,∵四边形OABC为菱形,∴OA=AB,∵OA=OB,∴OA=OB=AB,∴△OAB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠ODB=30°,∴OD=2OB=2,由勾股定理得,BD==,3.解:如图,过格点A,B,C画圆弧,则点B与下列格点连线所得的直线中,能够与该圆弧相切的格点坐标是(6,2).故选:D.4.解:连接CE;∵,∴∠BAE=∠EBC+∠BEC;∵∠DCB=∠DCE+∠BCE,由弦切角定理知:∠DCE=∠EBC,由平行四边形的性质知:∠DCB=∠BAE,∴∠BEC=∠BCE,即BC=BE=5,∴AD=5;由切割线定理知:DE=DC2÷DA=,故选:D.5.解:∵点D是△ABC的内心,∴BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,∴∠EBD=∠DBC,∠FCD=∠DCB,∴∠EDB=∠DBC,∠FDC=∠DCB,∴∠EDB=∠EBD,∠FDC=∠FCD,∴ED=EB,FD=FC,∴EF=ED+FD=BE+CF=8.答:EF的长度为8.故选:C.6.解:如图,连接AI,BI,∵点I为△ABC的内心,∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA,∴∠CAI=∠DAI,∠CBI=∠EBI,∵将∠ACB平移,使其顶点与点I重合,∴DI∥AC,EI∥BC,∴∠CAI=∠DIA,∠CBI=∠EIB,∴∠DAI=∠DIA,∠EBI=∠EIB,∴DA=DI,EB=EI,∴DE+DI+EI=DE+DA+EB=AB=4.所以图中阴影部分的周长为4.故选:D.7.解:∵⊙O的半径为10,直线l与⊙O相交,∴圆心到直线的距离小于圆的半径,即d<10.故选:A.8.解:如图,连接OE并延长交CF于点H,∵矩形ABCD绕点C旋转得矩形A'B'C'D',∴∠B′=∠B′CD′=90°,A′B′∥CD′,BC=B′C=4,∵边A'B'与⊙O相切,切点为E,∴OE⊥A′B′,∴四边形EB′CH是矩形,∴EH=B′C=4,OH⊥CF,∵AB=5,∴OE=OC=AB=,∴OH=EH﹣OE=,在Rt△OCH中,根据勾股定理,得CH===2,∴CF=2CH=4.故选:D.9.解:设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E,与BC切于F,连接OE,OF,则四边形OECF是正方形,∴CF=CE=OE=OF,∠OEM=∠OFN=∠EOF=90°,∵∠MON=90°,∴∠EOM=∠FON,∴△OEM≌△OFN(ASA),∴EM=NF,∴CM+CN=CE+CF=4,∴OE=2,∴⊙O的面积为4π,故选:C.10.解:∵∠A=80°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=100°,∵点O是△ABC的内心,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=50°,∴∠BOC=180°﹣50°=130°.故选:D.二.填空题11.解:∵PC切半圆与点C,∴PC2=PA•PB,即PA=9,则AB=9﹣1=8,则圆的半径是4.故答案为4.12.解:延长CD交⊙O于点G,设BE,DG的中点分别为点M,N,则易知AM=DN,∵BC=CD=10,由割线定理得,CB•CF=CD•CG,∵CB=CD,∴BF=DG,∴BE﹣BF=BE﹣DG=2(BM﹣DN)=2(BM﹣AM)=2AB=4.故答案为:4.13.解:∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形,∴AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG,∴AD+BC=AB+CD=25,∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=25+25=50,故答案为:50.14.解:如图所示:连接圆心与各切点,在Rt△DEO和Rt△DFO中,∴Rt△DEO≌Rt△DFO(HL),∴∠1=∠2,同理可得:Rt△AFO≌Rt△AMO,Rt△BMO≌Rt△BNO,Rt△CEO≌Rt△CNO,∴∠3=∠4,∠5=∠7,∠6=∠8,∴∠5+∠6=∠7+∠8=110°,∴2∠2+2∠3=360°﹣2×110°,∴∠2+∠3=∠DOC=70°.故答案为:70°.15.解:连接OB;∵PA、PB都是⊙O的切线,且切点为A、B,∴∠OAP=∠OBP=90°,∴∠AOB+∠P=180°;在△AOB中,OA=OB,∠AOB=180°﹣2∠BAC;∴∠P=2∠BAC=70°.16.解:连接OA,∵PA与⊙O切于点A,∴OA⊥PA,∴∠OAP=90°,∵∠APB=54°,∴∠AOB=∠APB+∠PAO=54°+90°=144°,∵⊙O的半径为3,∴弧AB的长度为=π.故答案为:π.17.解:∵直线y=kx+6k交x轴于点A,交y轴于点B,∴A(﹣6,0),B(0,6k),设⊙O与AB相切于C,连接OC,∴OA=6,OC=3,∠ACO=90°,∴OC=OA,∴∠OAC=30°,当⊙O与l相交时,OB=|6k|>2,∴﹣<k<,故答案为﹣<k<.18.解:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=13,BC=12,∴AC==5,∵⊙O为Rt△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,∴BD=BF,AD=AE,CF=CE,如图,连接OE,OF,∵OE⊥AC,OF⊥BC,OE=OF,∴∠OEC=∠C=∠OFC=90°,∴四边形OECF是正方形,设OE=OF=CE=CF=x,则AD=AE=5﹣x,BF=BD=12﹣x,∵AD+BD=13,∴5﹣x+12﹣x=13,∴x=2,则圆O的半径为2.故答案为:2.19.解:BP为直径的圆的圆心为O,作OE⊥AD于E,OF⊥CD于F,如图,设⊙O的半径为r,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,∴BD==5,当OE=OB时,⊙O与AD相切,∵OE∥AB,∴=,即=,解得r=,此时BP=2r=;当OF=OB时,⊙O与DC相切,∵OF∥BC,∴=,即=,解得r=,此时BP=2r=;综上所述,BP的长为或.故答案为或.20.解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BD+CD=16,∴AB=8,在Rt△ADC中,∠C=90°,AC=8,CD=6,∴AD=10,当⊙P于BC相切时,点P到BC的距离=4,过P作PH⊥BC于H,则PH=4,∵∠C=90°,∴AC⊥BC,∴PH∥AC,∴△DPH∽△DAC,∴=,∴=,∴PD=5,∴AP=5;当⊙P于AB相切时,点P到AB的距离=4,过P作PG⊥AB于G,则PG=4,∵AD=BD=10,∴∠PAG=∠B,∵∠AGP=∠C=90°,∴△AGP∽△BCA,∴=,∴=,∴AP=4,当半径为4的⊙P与△ABC的AC边相切,过P作PM⊥AC于M,∴PM=4,∴,∴=,∴AP=,综上所述,AP的长为5或或4,故答案为:5或或4.三.解答题21.解:(1)直线DE与⊙O相切,理由如下:连结OD.∵AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠CAD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC,∵DE⊥AC,即∠AED=90°,∴∠ODE=90°,即DE⊥OD,∴DE是⊙O的切线;(2)过O作OG⊥AF于G,∴AF=2AG,∵∠BAC=60°,OA=3,∴AG=OA=,∴AF=3,∴AF=OD,∴四边形AODF是菱形,∴DF∥OA,DF=OA=3,∴∠EFD=∠BAC=60°,∴EF=DF=.22.证明:(1)∵四边形ACBE是圆内接四边形,∴∠EAM=∠EBC,∵AE平分∠BAM,∴∠BAE=∠EAM,∵∠BAE=∠BCE,∴∠BCE=∠EAM,∴∠BCE=∠EBC,∴BE=CE;(2)如图,连接EO并延长交BC于H,连接OB,OC,∵OB=OC,EB=EC,∴直线EO垂直平分BC,∴EH⊥BC,∴EH⊥EF,∵OE是⊙O的半径,∴EF为⊙O的切线.23.(1)证明:连接OC;∵CD切⊙O于点C,∴OC⊥CD,∵OC=OA,∴∠BAC=∠OCA,∵∠DAC=∠BAC,∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD,∴AD⊥CD;(2)解:连接BC,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,在△ADC与△ACB中,,∴△ADC∽△ACB,∴=,即AC2=AD•AB,∵AD=4,AB=6,∴AC==2.24.解:根据切线的性质得:∠PAC=90°,所以∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°,根据切线长定理得PA=PB,所以∠PAB=∠PBA=70°,所以∠P=180°﹣70°×2=40°.25.解:连接PO交AB于H,OP平分∠APB,而PA=PB,∴PO⊥AB,设DE=x,由切割线定理可知:PA2=PE•PC=2(x+3).在Rt△APH中,AP2=AH2+PH2,即AH2+PH2=2(x+3)①,在Rt△PHD中,PH2+DH2=(x+2)2②,又AD•DB=ED•DC,而AD•DB=(AH﹣DH)(AH+DH)=AH2﹣DH2,∴AH2﹣DH2=x×1③,由①②③得(x+2)2+x=2(x+3),解得DE=x=.26.解:(1)∵∠ABC=40°,∠C=80°,∴∠BAC=180°﹣40°﹣80°=60°,∵点E是△ABC的内心,∴∠CAD=∠BAD=BAC=30°,∴∠CBD=∠CAD=30°.答:∠CBD的度数为30°;(2)证明:如图,连接BE,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠2=∠6,∴∠1=∠6,∵∠5=∠1+∠3,∠DBE=∠6+∠4=∠1+∠3,∴∠5=∠DBE,∴DB=DE;(3)∵∠1=∠2,AB=6,AC=4,BC=5,∴==,∴BF=3,CF=2,∵∠6=∠2,∠D=∠C,∴△BDF∽△ACF,∴===2,=,∴DF=BD,DF•AF=BF•CF=6,∵∠1=∠2=∠6,∠BDF=∠ADB,∴△DBF∽△DAB,∴=,∴BD2=DF•DA=DF(AF+DF)=DF•AF+DF2=6+(BD)2,解得BD=2,∴DE=BD=2.答:DE的长为2.27.解:(1)如图,连接OE、OD,在ΔAOD和ΔEOD中,∵OA=OE,DE=DA,OD=OD,∴ΔAOD≌ΔEOD(SSS),∴∠OED=∠BAC=90°,∴DE是⊙O的切线;(2)∵ΔAOD≌ΔEOD,∴∠AOD=∠EOD,∵OB=OE,∴∠B=∠OEB,∵∠AOE=∠B+∠OEB,∴∠BEO=∠EOD,∴OD∥BC,又∵AO=BO,∴,在Rt△AOD中,由勾股定理得,,即:⊙O的半径为.。
浙教版九年级下《第二章直线与圆的位置关系》单元评估试题附参考答案
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A. 15cm B. 20cm C. 30cm D. 60cm
9.一个边长为4的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等,如图放置,⊙O与BC相切于点C,⊙O与AC相交于点E,则CE的长是( )
A. B. C. 2 D. 3
10.(2015•遵义)将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°,得正方形AB1C1D1,B1C1交CD于点E,AB= ,则四边形AB1ED的内切圆半径为( )
A. B. C. D.
二、填空题(共10题;共30分)
11.若⊙O的半径为4cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的位置关系是________.
(2)证明:如图所示:
∵∠5=∠1,∠1=∠2;
∴∠5=∠2;
又∵∠D=∠D,
∴△BDE∽△ADB;
∴BD:DE=AD:BD;
∴BD2=AD•DE;
又∵ID=BD,
∴ID2=AD•DE.
27.【答案】证明:连接DO,
∵AO=DO,
∴∠DAO=∠ADO=20°,
∴∠COD=∠A+∠ADO=40°,
∵∠ACD=50°,
24.如图,I是△ABC的内心,∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D,交BC于点E.
(1)求证:BD=ID;
(2)求证:ID2=DE•DA.
25.如图,已知AB是⊙O的直径,锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C,作CD⊥AD,垂足为D,直线CD与AB的延长线交于点E.
(1)求证:直线CD为⊙O的切线;
浙教版九年级数学下册第二章直线与圆的位置关系单元评估检测试题
一、单选题(共10题;共30分)
浙教版九年级数学下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元综合测试【含答案】
![浙教版九年级数学下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元综合测试【含答案】](https://img.taocdn.com/s3/m/c4d6dec30b4e767f5bcfce74.png)
浙教版九年级数学下册第二章直线与圆的位置关系单元综合测试一.选择题1.在平面直角坐标系中,以点P(1,2)为圆心,以P为圆心,以1为半径的圆必与x轴有多少个公共点()A.0B.1C.2D.32.如图,以点O为圆心作圆,所得的圆与直线a相切的是()A.以OA为半径的圆B.以OB为半径的圆C.以OC为半径的圆D.以OD为半径的圆3.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=BC.AT是⊙O的切线,∠BAT=55°,则∠D等于()A.110°B.115°C.120°D.125°4.如图,A、B、C、D为⊙O上的点,直线BA与DC相交于点P,PA=2,PC=CD=3,则PB=()A.6B.7C.8D.95.如图所示,在4×4的网格中,A,B,C,D,O均在格点上,则点O是()A.△ACD的外心B.△ACD的内心C.△ABC的内心D.△ABC的外心6.如图,直线l与⊙O相切于点A,M是⊙O上的一个动点,MH⊥l,垂足为H.若⊙O的半径为2,则MA﹣MH的最大值为()A.B.C.1D.27.如图,∠MPN=60°,点O是∠MPN的角平分线上的一点,半径为4的⊙O经过点P,将⊙O向左平移,当⊙O与射线PM相切时,⊙O平移的距离是()A.2B.C.D.28.如图,PA,P B与⊙O分别相切于点A,B,PA=2,∠P=60°,则AB=()A.B.2C.D.3二.填空题9.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=70°,点O是△ABC的内心,则∠BOC=度.10.如图,PA、PB分别切圆O于A、B,并与圆O的切线,分别相交于C、D,已知△PCD的周长等于10cm,则PA=cm.11.如图,过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D,已知PA=3,BA=PC=2,则PD 的长是.12.已知,如图,AC切⊙O于点A,∠BAC=60°,则∠AOB=度.13.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,BC为半圆O的直径,将△ABC沿射线CB方向平移得到△A1B1C1.当A1B1与半圆O相切于点D时,平移的距离的长为.14.如图,△ABC中,∠ACB=90°,sin A=,AC=8,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C,P为线段A′B′上的动点,以点P为圆心,PA′长为半径作⊙P,当⊙P与△ABC的边相切时,⊙P 的半径为.15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点P在边AC上,⊙P的半径为1.如果⊙P 与边B C和边AB都没有公共点,那么线段PC长的取值范围是.16.如图,在矩形ABCD中,CD是⊙O直径,E是BC的中点,P是直线AE上任意一点,AB=4,BC=6,PM、PN相切于点M、N,当∠MPN最大时,PM的长为.三.解答题17.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于E,过B作⊙O的切线,交AC的延长线于D.求证:∠CBD=∠CAB.18.如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O外一点,OC⊥OA,OC交AB于点P、交⊙O于点Q,且CP =CB=2.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若∠A=22.5°,求图中阴影部分的面积.19.如图,点P在⊙O外,M为OP的中点,以点M为圆心,以MO为半径画弧,交⊙O于点A,B,连接PA;(1)判断P A与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)连接AB,若OP=9,⊙O的半径为3,求AB的长.20.如图,A B为⊙O直径,PA、PC分别与⊙O相切于点A、C,PQ⊥PA,PQ交OC的延长线于点Q.(1)求证:OQ=PQ;(2)连BC并延长交PQ于点D,PA=AB,且CQ=6,求BD的长.21.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,I1为△ABC内切圆的圆心,⊙I2与BA,BC的延长线及AC边都相切(旁切圆).(1)求⊙I2的半径;(2)求线段I1I2的长.22.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D.连接BC并延长,交AD的延长线于点E.(1)求证:AE=AB;(2)若AB=20,BC=16,求CD的长.23.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在边AC上,∠DBC=∠BAC,⊙O经过A、B、D三点,连接DO并延长交⊙O于点E,连接AE,DE与AB交于点F.(1)求证:CB是⊙O的切线;(2)求证:AB=EB;(3)若DF=3,EF=7,求BC的长.答案一.选择题1.解:∵P(1,2),即2>1,∴以P为圆心,以1为半径的圆与x轴的位置关系是相离,∴该圆与x轴的交点有0个.故选:A.2.解:∵OD⊥a于D,∴以点O为圆心,OD为半径的圆与直线a相切.故选:D.3.解:如图,连接AC,由弦切角定理知∠ACB=∠BAT=55°,∵AB=BC,∴∠ACB=∠CAB=55°,∴∠B=180°﹣2∠ACB=70°,∴∠D=180°﹣∠B=110°.故选:A.4.解:∵PB,PD是⊙O的割线,∴PA•PB=PC•PD,∵PA=2,PC=CD=3,∴2PB=3×6解得:PB=9.故选:D.5.解:由勾股定理可知:OA=OD=OC==,所以点O是△ACD的外心,故选:A.6.解:如图,连接AO并延长交圆O于点C,连接CM,设BH=b,MA=a,∵直线l与⊙O相切于点A,∴连接OA交圆O于点C,则∠CAH=90°,又∵∠MHA=90°,∴AC∥HM,∴∠HMA=∠MAC,∵AC为直径,∴∠CMA=90°.∴△AMH∽△CAM,∴=,CA=4,∴=,∴a2=4b,b=,∴a﹣b=a﹣=﹣(a﹣2)2+1,∴当a=2时,a﹣b的最大值为1.则MA﹣MH的最大值为1.故选:C.7.解:设⊙O'为⊙O向左平移后与PM相切的圆,切点为B,连接O'B交PO于D,过O作OA⊥PM于A,OC⊥O'B于C,如图所示:则OO'即为⊙O平移的距离,O'B=OP=4,O'B⊥PM,∵∠MPN=60°,PO是∠MPN的平分线,∴∠MPO=∠OPN=∠MPN=30°,∵OA⊥OM,∴OA=OP=2,∵OA⊥PM,OC⊥O'B,O'B⊥PM,∴四边形OABC是矩形,∴BC=OA=2,∴O'C=O'B﹣BC=2,由平移的性质得:OO'∥PN,∴∠DOO'=∠OPN=30°,∵O'B⊥PM,∴∠O'BP=90°,∴∠BDP=90°﹣∠MPO=60°,∵∠BDP=∠DOO'+∠DO'O,∴∠DO'O=∠BDP﹣∠DOO'=30°,∴OC=O'C=,OO'=2OC=,即⊙O平移的距离为,故选:B.8.解:∵PA,PB与⊙O分别相切于点A,B,∴PA=PB,∵∠APB=60°,∴△PAB是等边三角形,∴AB=AP=2.故选:B.二.填空题9.解:∵点O是△ABC的内心,∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,∴∠OBC=∠ABC=×50°=25°,∠OCB=∠ACB=×70°=35°,∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣25°﹣35°=120°.故答案为120.10.解:如图,设D C与⊙O的切点为E;∵PA、PB分别是⊙O的切线,且切点为A、B;∴PA=PB;同理,可得:DE=DA,CE=CB;则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10(cm);∴PA=PB=5cm,故答案为:5.11.解:∵PAB,PCD是圆的两条割线,∴PA•PB=PC•PD,∵PA=3,BA=PC=2,∴3×5=2PD,∴PD=7.5.故答案为7.5.12.解:∵AC切⊙O于点A,∴∠AOB=2∠BAC=120°.13.解:连接OG,如图,∵∠BAC=90°,AB=5,AC=3,∴BC==4,∵Rt△ABC沿射线CB方向平移,当A1B1与半圆O相切于点D,得△A1B1C1,∴CC1=BB1,A1C1=AC=3,A1B1=AB=5,∠A1C1B1=∠ACB=90°,∵A1B1与半圆O相切于点D,∴OD⊥A1B1,∵BC=4,线段BC为半圆O的直径,∴OB=OC=2,∵∠B1=∠B1,∴Rt△B1OD∽Rt△B1A1C1,∴=,即=,解得OB1=,∴BB1=OB1﹣OB=﹣2=;故答案为:.14.解:∵,∴设BC=3x,则AB=5x,在Rt△ABC中,由勾股定理得,AB2=AC2+BC2,即:(5x)2=(3x)2+82,∴x=2,∴AB=10,BC=6,∴,①若⊙P与AC相切,如图1,设切点为M,连接PM,则PM⊥AC,且PM⊥PA′,∵PM⊥AC,A′C⊥AC,∴∠B′PM=∠A′,由旋转性质可知∠A′=∠A,∴∠B′PM=∠A,∴,设PM=4x,则PA′=PM=4x,B′P=5x,又∵A′B′=AB,即:4x+5x=10,解得,∴;②若⊙P与AB相切,延长PB′交AB于点N,如图2,∵∠A′+∠B=∠A+∠B=90°,∵∠A′NB=90°,即N为AB与⊙O切点,又∴A′B=BC+AC′=BC+AC=14,∴A′N=A′B•cos∠A′=A′B•cos A,即,∴.综上,⊙P的半径为或,故答案为:或.15.解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,∴AC=4,当⊙P与A B相切时,设切点为D,如图,连接PD,则PD⊥AB,∴∠C=∠ADP=90°,∵∠A=∠A,∴△ADP∽△ACB,∴,∴=,∴PA=,∴PC=AC﹣PA=,∴线段PC长的取值范围是1<CP<,故答案为:1<CP<.16.解:如图1,∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=4,连接OP,OM,∵PM,PN是⊙O的切线,∴∠OPM=∠MPN,要∠MPN最大,则∠OPM最大,∵PM是⊙O的切线,∴∠OMP=90°,在Rt△PMO中,OM=OD=CD=2,∴sin∠OPM==,∴要∠OPM最大,则OP最短,即OP⊥AE,如图2,延长DC交直线AE于G,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°=∠ECG,AB∥CD,∴∠BAE=∠G,∵点E是BC的中点,∴BE=BC=3,∴△ABE≌△GCE(AAS),∴CG=AB=4,∵CD是⊙O的直径,∴OC=CD=2,∴OG=OC+CE=6,在Rt△ABE中,AB=4,BE=3,∴AE=5,∵∠OPG=90°=∠B,∠G=∠BAE,∴△ABE∽△GPO,∴,∴,∴OP=,在Rt△PMO中,PM===,故答案为:.三.解答题17.证明:连接AE,∵AB是圆的直径,∴AE⊥BC,∵AB=AC,∴AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE=∠CAB,∵BD是⊙O的切线,∴∠CBD=∠BAE,∴∠CBD=∠CAB.18.(1)证明:连接OB,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,∵CP=CB,∴∠CPB=∠CBP,∵∠CPB=∠APO,∴∠CBP=∠APO,在Rt△AOP中,∵∠A+∠APO=90°,∴∠OBA+∠CBP=90°,即:∠OBC=90°,∴OB⊥CB,又∵OB是半径,∴CB与⊙O相切;(2)解:∵∠A=22.5°,∠AOP=90°,∴∠APO=67.5°,∴∠BPC=∠APO=67.5°,∵PC=CB,∴∠CBP=67.5°,∴∠PCB=180°﹣2∠CBP=45°,∴∠OCB=∠POB=45°,∴OB=BC=2,∴图中阴影部分的面积=S△OBC ﹣S扇形OBD=×2×2﹣=2﹣.19.解:(1)P A是⊙O的切线,理由如下:如图,连接OA,∴OP是⊙M的直径,点A是⊙M上一点,∴∠OAP=90°,即OA⊥PA,∴PA是⊙O的切线;(2)设⊙O与OP的交点为N,AB与OP的交点为E,连接AN,AM,BM,∵MA=MB,OA=OB,∴OP是线段AB的垂直平分线,∴AB⊥OP,AE=BE,∵OP=9,OA=3,∴AP==6,∴S△OAP=OA•AP=AE•OP,∴OA•AP=AE•OP,∴3×6=9AE,∴AE=2,∴AB=4.20.(1)证明:连接OP.∵PA、PC分别与⊙O相切于点A,C,∴PA=PC,OA⊥PA,∵OA=OC,OP=OP,∴△OPA≌△OPC(SSS),∴∠AOP=∠POC,∵QP⊥PA,∴QP∥BA,∴∠QPO=∠AOP,∴∠QOP=∠QPO,∴OQ=PQ.(2)设OA=r.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∵OB∥QD,∴∠QDC=∠B,∵∠OCB=∠QCD,∴∠QCD=∠QDC,∴QC=QD=6,∵QO=QP,∴OC=DP=r,∵PC是⊙O的切线,∴OC⊥PC,∴∠OCP=∠PCQ=90°,在Rt△PCQ中,∵PQ2=PC2+QC2,∴(6+r)2=62+(2r)2,r=4或0(舍弃),∴OP==4,∵OB=PD,OB∥PD,∴四边形OBDP是平行四边形,∴BD=OP=4.21.解:(1)如图,过点I2作I2Q⊥AC于点Q,连接I2S,过点I1作I1M⊥BC于点M,I1N⊥AC于点N,交I2S于点H,可得四边形QCSl2,I1MCN均为正方形,I1HSM为矩形,设⊙I2的半径为R,则AQ=AP=3﹣R,CS=CQ=R,又因为BP=BS,所以5+3﹣R=4+R,解得R=2.(2)∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB==5,∵I1为△ABC内切圆的圆心,∴I1M=I1N=,∴I1H=3,∴I1l2==.22.(1)证明:连接OC,∵DC切⊙O于C,∴OC⊥CD,∵AE⊥CD,∴AE∥OC,∵AO=BO,∴EC=BC,∴OC=AE,∵OC=OA=OB=AB,∴AE=AB;(2)解:连接AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACE=90°,AC⊥BE,∵由(1)知:AB=AE,∴EC=BC,∵BC=16,∴EC=16,在RtACB中,由勾股定理得:AC===15,==,在Rt△ACE中,S△ACE∵AE=BC=20,∴=CD,解得:CD=12,23.(1)证明:在⊙O中,OB=OD,∠BAC=∠BED,∴∠ODB=∠OBD,∵∠DBC=∠BAC,∴∠DBC=∠BED,∵D E是⊙O的直径,∴∠DBE=90°,∴∠ODB+∠BED=90°,∴∠OBD+∠DBC=90°,∴OB⊥BC,∵OB是⊙O的半径,∴CB是⊙O的切线;(2)证明:在⊙O中,∠ABD=∠AED,由(1)得:∠DBC=∠BED,∴∠ABD+∠DBC=∠AED+∠BED,∴∠ABC=∠BEA,∵DE是⊙O的直径,∴∠EAC=90°,∵∠ACB=90°,∴∠EAC+∠ACB=180°,∴AE∥BC,∴∠ABC=∠BAE,∴∠BEA=∠BAE,∴AB=EB;(3)解:延长BO交AE于H,由∠HAC=∠ACB=∠OBC=90°,得四边形ACBH是矩形,∴OH⊥AE,∴BC=AH=AE,∵DF=3,EF=7,∴直径DE=10,即半径DO=EO=5,∴OF=2,∵OB∥AC,∴=,∴AD=,在Rt△ADE中,AE==,∴BC=AH=AE=.。
第2章《直线与圆的位置关系》(原卷版)-2020-2021学年九年级数学下册培优冲关好卷(浙教版)
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2020-2021学年浙教版数学九年级下册培优冲关好卷第二章《直线与圆的位置关系》一.选择题1.(2020秋•海淀区校级月考)如图,点P为⊙O外一点,PA为⊙O的切线,A为切点,PO交⊙O于点B,∠P=30°,OB=4,则线段AP的长为()A.4 B.4C.8 D.122.(2020秋•九龙坡区期中)如图,已知AB为⊙O的直径,C为圆周上一点,切线PA与射线BC交于点P,若∠AOC=80°,则∠P的度数为()A.25°B.40°C.50°D.60°3.(2020秋•兴宁区校级期中)已知⊙O的半径是10,圆心O到直线l的距离是13,则直线l与⊙O的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.无法确定4.(2020秋•沂水县期中)如图,点A,B均在⊙O上,直线PC与⊙O相切于点C,若∠CAP=35°,则∠APC 的大小是()A.20°B.25°C.30°D.35°5.(2020秋•武进区期中)如图,∠MPN=60°,点O是∠MPN的角平分线上的一点,半径为4的⊙O经过点P,将⊙O向左平移,当⊙O与射线PM相切时,⊙O平移的距离是()A.2 B.C.D.26.(2020秋•南川区校级期中)如图,AB是⊙O的弦,AC与⊙O相切于点A.连接OA,OB,若∠O=140°,则∠BAC的度数是()A.60°B.65°C.70°D.75°7.(2020秋•句容市期中)如图,⊙P与y轴相切于点C(0,3),与x轴相交于点A(1,0),B(9,0),直线y=kx﹣1恰好平分⊙P的面积,那么k的值是()A.B.C.1 D.8.(2020•江北区模拟)如图,Rt△ACB中,∠C=90°,AC=6,BC=8,半径为1的⊙O与AC,BC相切,当⊙O沿边CB平移至与AB相切时,则⊙O平移的距离为()A.3 B.4 C.5 D.69.(2020•浙江自主招生)如图,已知AB是圆O的直径,弦CD与AB垂直,垂足为M,E是CD延长线上一点,且AB=10,CD=8,3DE=4OM,过F做作圆O的切线EF,BF交CD于G.则以下说法其中正确的是()A.MB=3 B.EF=4C.FD∥AB D.EF=EG10.(2019•陕西模拟)如图,⊙O的圆心在矩形ABCD的对角线AC上,且⊙O与AB,BC相切,AB=3,BC=4,则⊙O截AD的所得的弦EF的长是()A.3 B.C.D.二.填空题11.(2020秋•仙游县期中)已知圆的直径为10cm,且圆心到一条直线距离为4cm,则这条直线与圆的位置关系是.12.(2020秋•仙游县期中)如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A、B,⊙O切线EF分别交PA,PB于E,F,切点C在弧AB上,若PA的长为5,则△PEF的周长是.13.(2020秋•亭湖区期中)如图,⊙O的半径OA=1,B是⊙O上的动点(不与点A重合),过点B作⊙O的切线BC,BC=OA,连结OC,AC.当△OAC是直角三角形时,其斜边长为.14.(2020秋•河北区期中)以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放,直角顶点B在零刻度线所在直线DE上,且量角器与三角板只有一个公共点P.若点P的读数为135°,则∠CBD的度数是.15.(2020秋•崇川区校级期中)如图,PA、PB切⊙O于点A、B,点C是⊙O上一点,且∠P=38°,则∠ACB =.16.(2020秋•溧阳市期中)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,⊙O的圆心在AB边上,且分别与AC、BC 相切于点D、B,若AB=6cm,AC=10cm,则⊙O的半径为cm.17.(2020秋•建邺区期中)Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,△ABC的内切圆半径是cm.18.(2020秋•高新区期中)如图,在平面直角坐标系中,已知C(6,8),以点C为圆心的圆与y轴相切.点A、B在x轴上,且OA=OB.点P为⊙C上的动点,∠APB=90°,则AB长度的最大值为.19.(2019秋•鼓楼区期末)如图,半圆的圆心与坐标原点重合,半圆的半径1,直线l的解析式为y=x+t.若直线l与半圆只有一个交点,则t的取值范围是.三.解答题20.(2020秋•海淀区校级月考)如图,已知直角△ABC中,∠ACB=90°,E为AB上一点,以AE为直径作⊙O与BC相切于点D,连接ED并延长交AC的延长线于点F.(1)求证:AE=AF;(2)若AE=10,AC=8,求BE的长.21.(2020秋•兰山区期中)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,连接AC,若CA=CP,∠A=30°.(1)求证:CP是⊙O的切线;(2)若OA=2,求弦AC的长.22.(2020•广安)如图,AB是⊙O的直径,点E在AB的延长线上,AC平分∠DAE交⊙O于点C,AD⊥DE于点D.(1)求证:直线DE是⊙O的切线.(2)如果BE=2,CE=4,求线段AD的长.23.(2020秋•交城县期中)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,O是BC上一点,以O为圆心,OC为半径作圆切AB于点D,交BC于点E,交AC于点F,连接CD.(1)若∠ADC=60°,求证:∠B=∠ACD;(2)在(1)的基础上,若AC=3,求弓形CF的面积.24.(2020秋•亭湖区期中)如图,△ABC中,∠ACB=90°,D为AB上的一点,以CD为直径的⊙O交AC于E,连接BE交CD于P,交⊙O于F,连接DF,∠ABC=∠EFD.(1)求证:AB与⊙O相切;(2)若AD=2,BD=3,则⊙O的直径=;(3)若PC=2PF,BF=a,求CP(用a的代数式表示).25.(2020秋•沭阳县期中)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB是⊙O的直径,OF⊥AB,交AC于点F,点E在AB的延长线上,射线EM经过点C,且∠ACE+∠AFO=180°.(1)求证:EM是⊙O的切线;(2)若∠A=∠E,⊙O的半径为1,求阴影部分的面积.26.(2020秋•鼓楼区校级期中)如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC=6,CB=8,CE平分∠ACB交⊙O于E,交AB于点D,过点E作MN∥AB分别交CA、CB延长线于M,N.(1)补全图形,并证明MN是⊙O的切线.(2)分别求MN、CD的长.27.(2020秋•江北区期中)如图,⊙O与△ABC的AB边相切于点B,与AC、BC边分别交于点D、E,DE∥OA,BE是⊙O的直径.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若∠C=30°,AB=3,求DE的长.28.(2020秋•宝应县月考)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,∠ABC的平分线交⊙O于点D,DE⊥BC于点E.(1)试判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)过点D作DF⊥AB于点F,若∠ABC=60°,BE=3,求图中阴影部分的面积.。
2020【浙教版】九年级数学下册第2章《直线与圆的位置关系》复习题(含答案)
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第2章直线与圆的位置关系含答案类型之一直线与圆的位置关系1.以坐标原点O为圆心,作半径为2的圆,若直线y=-x+b 与⊙O相交,则b的取值范围是( )A.0≤b<2 2 B.-2 2≤b≤2 2C.-2 3<b<2 3 D.-2 2<b<2 22.如图2-X-1所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC =4.动点O在边CA上移动,且⊙O的半径为2.(1)若圆心O与点C重合,则⊙O与直线AB有怎样的位置关系?(2)当OC的长为多少时,⊙O与直线AB相切?图2-X-1类型之二切线的判定与性质3.如图2-X-2,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,P 是直线l上的一个动点,PB切⊙O于点B,则PB长的最小值为( )A.13B. 5 C.3 D.2图2-X-2图2-X-34.2019·枣庄如图2-X-3,在平行四边形ABCD中,AB为⊙O 的直径,⊙O与DC相切于点E,与AD相交于点F,已知AB=12,∠C =60°,则弧FE的长为________.5.如图2-X-4所示,AC是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,A 为切点,连结PC交⊙O于点B,连结AB,已知PC=10,PA=6.求:(1)⊙O的半径;(2)cos∠BAC的值.图2-X-46.如图2-X-5,AB是⊙O的直径,OD⊥弦BC于点F,交⊙O 于点E,连结CE,AE,CD.若∠AEC=∠ODC.(1)求证:直线CD为⊙O的切线;(2)若AB=5,BC=4,求线段CD的长.图2-X-57.如图2-X-6,已知AB是⊙O的直径,弦CD与直径AB相交于点F,点E在⊙O外,作直线AE,且∠EAC=∠D.(1)求证:直线AE是⊙O的切线;(2)若∠BAC=30°,BC=4,cos∠BAD=34,CF=103,求BF的长.图2-X-6类型之三切线长定理8.如图2-X-7所示,正方形ABCD的边长为4 cm,以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆,再过点A作半圆的切线,与半圆切于点F,与CD交于点E,求△ADE的面积.图2-X-7类型之四三角形的内切圆9.图2-X-8是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边长分别为6 m和8 m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连结管道,则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O为点)是( )A.2 m B.3 m C.6 m D.9 m2-X -82-X -910.如图2-X -9,在Rt △ABC 中,AC =8,BC =6,∠C =90°,⊙I 分别切AC ,BC ,AB 于点D ,E ,F ,则Rt △ABC 的内心I 与外心O 之间的距离为________.11.已知任意三角形的三边长,如何求三角形的面积?古希腊的几何学家海伦解决了这个问题,在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S =p (p -a )(p -b )(p -c )(其中a ,b ,c 是三角形的三边长,p =a +b +c 2,S 为三角形的面积).请解决以下问题:如图2-X -10,在△ABC 中,BC =5,AC =6,AB =9.(1)用海伦公式求△ABC 的面积;(2)求△ABC 的内切圆半径r .图2-X-10类型之五数学活动12.如图2-X-11所示,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-9,0),点C(0,3),B是x轴上一点(位于点A右侧),以AB为直径4的圆恰好经过点C.(1)求∠ACB的度数.(2)已知抛物线y=ax2+bx+3经过A,B两点,求抛物线所对应的函数表达式.(3)线段BC上是否存在点D,使△BOD为等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点D的坐标;若不存在,请说明理由.图2-X-11详解详析1.D [解析] 如图,直线y =-x 平分二、四象限,将直线y =-x 向上平移得直线y =-x +b 1,当直线y =-x +b 1与⊙O 相切于点C 时,由平移知∠CAO=∠AOC=45°,OC =2,∴OA =b 1=2 2,同理将直线y =-x 向下平移,得直线y =-x +b 2,当直线y =-x +b 2与⊙O 相切时,此时b 2=-2 2,∴当直线y =-x +b 与⊙O 相交时,b 的取值范围为-2 2<b <2 2.2.解:(1)如图所示,过点C 作CM⊥AB,垂足为M.在Rt △ABC 中,AB =AC 2+BC 2=32+42=5.∵S △ABC =12AC·BC=12AB·CM, ∴CM =125. ∵125>2,∴当圆心O 与点C 重合时,⊙O 与直线AB 相离.(2)如图所示,设⊙O 与AB 相切,过点O 作ON ⊥AB 于点N ,则ON =r =2.∵CM ⊥AB ,ON ⊥AB ,∴ON ∥CM ,∴△AON ∽△ACM ,∴AO AC =ON CM . 设OC =x ,则AO =3-x ,∴3-x 3=2125, ∴x =12,∴当OC =12时,⊙O 与直线AB 相切. 3.B4.π[解析] 如图,连结OE ,OF ,∵CD 是⊙O 的切线,∴OE ⊥CD ,∴∠OED =90°.∵四边形ABCD 是平行四边形,∠C =60°,∴∠A =∠C=60°,∠D =120°.∵OA =OF ,∴∠A =∠OFA=60°,∴∠DFO =120°,∴∠EOF =360°-∠D-∠DFO-∠DEO=30°,∴EF ︵的长为30π180×6=π.故答案为π.5.解:(1)∵PA 是⊙O 的切线,AC 为⊙O 的直径,∴PA ⊥AC.在Rt △ACP 中,PA =6,PC =10,∴AC =PC 2-PA 2=8,∴AO =12AC =4. 故⊙O 的半径为4.(2)∵AC 为⊙O 的直径,∴∠ABC =90°.又∵∠PAC=90°,∠ACB =∠PCA,∴△ABC ∽△PAC ,∴∠BAC =∠P,∴cos ∠BAC =cos P =PA PC =610=35. 6.解:(1)证明:连结CO.∵圆周角∠AEC 与∠ABC 所对的弧相同,∴∠ABC =∠AEC.又∠AEC=∠ODC,∴∠ABC =∠ODC.∵OC =OB ,OD ⊥BC ,∴∠OCB =∠OBC,且∠OCB+∠COD=90°.∴∠ODC +∠COD=90°,∴∠OCD =180°-∠ODC-∠COD=90°,即OC⊥CD.又OC 为⊙O 的半径,∴直线CD 为⊙O 的切线.(2)在⊙O 中,OD ⊥弦BC 于点F ,∴BF =CF =12BC =2. 又OB =12AB =52,∴OF=OB2-BF2=3 2 .由(1)知∠OBF=∠CDF,且∠OFB=∠CFD,∴△OFB∽△CFD,∴OFOB=CFCD,∴CD=OB·CFOF=52×232=103.7.解:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠BCA=90°,∴∠B+∠BAC=90°.∵∠D=∠B,∠EAC=∠D,∴∠EAC=∠B,∴∠EAC+∠BAC=90°,即∠BAE=90°,∴BA⊥AE.又∵AB是⊙O的直径,∴直线AE是⊙O的切线.(2)如图,过点F作FH⊥BC于点H,∵∠BAD =∠BCD,cos ∠BAD =34, ∴cos ∠BCD =34. 在Rt △CFH 中,∵CF =103, ∴CH =CF·cos ∠BCD =103×34=52. ∵BC =4,∴BH =BC -CH =4-52=32. ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠BCA =90°.∵∠BAC =30°,∴∠B =60°,∴BF =BH cos 60°=3212=3. 8.解:设DE =x cm ,则CE =(4-x)cm .∵CD ,AE ,AB 均为⊙O 的切线,∴EF =CE =(4-x)cm ,AF =AB =4 cm ,∴AE =AF +EF =(8-x)cm .在Rt △ADE 中,AE 2=AD 2+DE 2,即(8-x)2=42+x 2,解得x =3.∴S △ADE =12AD·DE=12×4×3=6(cm 2).9.C [解析] 在Rt △ABC 中,BC =8 m ,AC =6 m ,则AB =BC 2+AC 2=82+62=10(m ).∵中心O 到三条支路的距离相等,设该距离是r m .△ABC 的面积=△AOB 的面积+△BOC 的面积+△AOC 的面积,即12AC·BC=12AB·r+12BC·r+12AC ·r , ∴6×8=10r +8r +6r ,∴r =4824=2. 故O 到三条支路的管道总长是2×3=6(m ).故选C .10. 5 [解析] 根据题意,得⊙I 的半径r =AC +BC -AB 2=2. 连结ID ,IE ,IF ,IO ,则四边形CEID 为正方形,∴ID =CE =2,BF =BE =4,OF =1,在Rt △IFO 中,IO =OF 2+IF 2=12+22= 5.11.解:(1)∵BC=5,AC =6,AB =9,∴p =BC +AC +AB 2=5+6+92=10, ∴S =p (p -a )(p -b )(p -c ) =10×5×4×1=10 2.故△ABC 的面积为10 2.(2)∵S=12r(AC +BC +AB), ∴10 2=12r(5+6+9), 解得r =2,故△ABC 的内切圆半径r 为 2.12.解:(1)90°.(2)在Rt △ABC 中,∵OA ·OB =OC 2,∴OB =4.即点B 的坐标为(4,0).设抛物线所对应的函数表达式为y =a(x -4)(x +94)=ax 2+bx +3. 比较常数项得a =-13, ∴抛物线所对应的函数表达式为y =-13(x -4)(x +94). (3)存在.直线BC 所对应的函数表达式为3x +4y =12,设点D 的坐标为(x ,y).①若BD =OD ,则点D 在OB 的垂直平分线上,点D 的横坐标为2,纵坐标为32, 即D 1(2,32). ②若OB =BD =4,则y CO =BD BC ,x BO =CD BC, 得y =125,x =45,即D 2(45,125). 综上所述,线段BC 上存在点D ,使△B OD 为等腰三角形,符合条件的点D 的坐标为(2,32)或(45,125).。
浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系自主学习优生提升测试卷A卷(附答案详解)
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浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系自主学习优生提升测试卷A卷(附答案详解)1.如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于D,且CO=CD,则∠PCA=()A.30°B.45°C.60°D.67.5°2.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∠BCD=120°,则∠BOD的大小是()A.120°B.80°C.100°D.60°3.如图,把Rt△OAB置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(3,0),点P是Rt△OAB内切圆的圆心.将Rt△OAB沿y轴的正方向作无滑动滚动.使它的三边依次与x轴重合.第一次滚动后,圆心为P1,第二次滚动后圆心为P2…依次规律,第2019次滚动后,Rt△OAB内切圆的圆心P2019的坐标是()A.(673,1)B.(674,1)C.(8076,1)D.(8077,1)4.在平面直角坐标系中,以点(2,1)为圆心,1为半径的圆必定()A.与x轴相切、与y轴相离B.与x轴、y轴都相离C.与x轴相离、与y轴相切D.与x轴、y轴都相切5.如图,已知PA、PB是O的两条切线,A、B为切点,连接OP交AB于C,交O于D,连接OA、OB,则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为()A.1,2 B.2,2 C.2,6 D.1,66.如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置,其中AD=180°,且AB=BD,BC=CD.若阿超在AB上取一点P,在BD上取一点Q,使得∠APQ=130°,则下列叙述何者正确()A.Q点在BC上,且BQ>QC B.Q点在BC上,且BQ<QCC.Q点在CD上,且CQ>QD D.Q点在CD上,且CQ<QD7.如图,AB是⊙O的直径,CD切⊙O于点C,若∠BCD=25°,则∠B等于()A.25°B.65°C.75°D.90°8.如图,已知A(﹣2,0),以B(0,1)为圆心,OB长为半径作⊙B,N是⊙B上一个动点,直线AN交y轴于M点,则△AOM面积的最大值是()A.2 B.83C.4 D.1639.如图AB、AC与⊙O相切于B、C,∠A=50°,点P是圆上异于B、C的一动点,则∠BPC的度数是()A.65°B.115°C.65°和115°D.130°和50°10.如图,AB 为圆O 的半径,,AD BC 分别切O 于,A B 两点,CD 切O 于点E ,AD 与CD 相交于D ,BD 与CD 相交于C ,连接16,,3,3OD OC AD BC ==,则四边形ABCD 的周长为( )A .253B .503C .623D .74311.如图,半径为且坐标原点为圆心的圆交轴、轴于点、、、,过圆上的一动点(不与重合)作,且(在右侧) (1)连结,当时,则点的横坐标是______. (2)连结,设线段的长为,则的取值范围是____.12.如图,给定一个半径长为2的圆,圆心O 到水平直线l 的距离为d ,即OM =d .我们把圆上到直线1的距离等于1的点的个数记为m .如d =0时,l 为经过圆心O 的一条直线,此时圆上有四个到直线的距离等于1的点,即m =4,由此可知,当d =3时,m =_____.13.ABC 中,ACB 90∠=,AB 4=,C 的半径长是2,当A 30∠=时,C与直线AB 的位置关系是________;当A 45∠=时,C 与直线AB 的位置关系是________.14.一个钢管放在V 形架内,右图是其截面图,O 为钢管的圆心.如果钢管的半径为25cm ,∠MPN =60︒,则OP =________.15.如图,P是⊙O的直径AB延长线上的一点,PC切⊙O于点C,∠APC的平分线交AC 于点D.若∠APC=40°,则∠CDP=_____.16.已知⊙O的直径是4,直线l与⊙O相切,则点O到直线l的距离为_____.17.如图1,直线a与圆相切于A,B是直线a上另一点,C、D在圆上,那么∠CBD<∠CAD.如图2,是人看广告牌的情景.如图3,广告牌的杆子高BD=9.6米,广告牌画面高CD=10米,人自高1.6米,为了使人看广告牌的视角最大,人站立的地方距离广告牌的水平距离应为_______米.18.如图,⊙O与直线l1相离,圆心O到直线l1的距离OB=2,OA=4,将直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C,则OC=_____.19.如图,大圆O的半径OC是小圆O1的直径,且有OC垂直于圆O的直径AB.圆O1的切线AD交OC的延长线于点E,切点为D.已知圆O1的半径为r,则AO1=_____,DE=_____.20.如图,⊙O是四边形ABCD的内切圆,连接OA、OB、OC、OD.若∠AOB=110°,则∠COD的度数是_____°.21.如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB=CD,且AB与小圆相切.求证:CD与小圆也相切.22.如图,已知⊙A的半径为4,EC是圆的直径,点B是⊙A的切线CB上的一个动点,连接AB交⊙A于点D,弦EF平行于AB,连接DF,AF.(1)求证:△ABC≌△ABF;(2)当∠CAB=__________时,四边形ADFE为菱形;(3)当AB=__________时,四边形ACBF为正方形.23.如图,AB为⊙O的直径,ED切⊙O于点C,AD交⊙O于点F,连接AC,BF,且BF∥CD.(1)求证:AC平分∠BAD;(2)若⊙O的半径为17,AF=2,求CD的长度.24.如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=90°,四边形EBOC是平行四边形,EB交⊙O 于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F.(1)求证:CF是⊙O的切线;(2)若∠F=30°,EB=8,求图中阴影部分的面积.(结果保留根号和π)25.已知:如图,AB为⊙O的直径,AB⊥AC,BC交⊙O于D,E是AC的中点,ED 与AB的延长线相交于点F.(1)求证:DE为⊙O的切线.(2)求证:DF2=BF•AF.26.如图,已知AB,CG是⊙O的两条直径,AB⊥CD于点E,CG⊥AD于点F.(1)求∠AOG的度数;(2)若AB=2,求CD的长.27.如图,在△ABC中,∠C=90°,以AB上一点O为圆心,OA长为半径的圆与BC相切于点D,分别交AC,AB于点E,F,若AC=6,AB=10,求⊙O的半径;28.如图,已知等边△ABC,AB=2,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D 作DF⊥AC,垂足为F,过点F作FG⊥AB,垂足为G,连结GD.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)求FG的长.参考答案1.D【解析】【分析】利用圆的切线的性质定理、等腰三角形的性质即可得出.【详解】解:∵PD切⊙O于点C,∴OC⊥CD,在Rt△OCD中,又CD=OC,∴∠COD=45°.∵OC=OA,∴∠OCA=12×45°=22.5°.∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°.故选:D.【点睛】本题考查切线的性质定理,熟练掌握圆的切线的性质定理、等腰三角形的性质是解题的关键.2.A【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A,再根据圆周角定理解答.【详解】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∴∠A=180°-∠BCD=60°,由圆周角定理得,∠BOD=2∠A=120°,故答案选A.【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.3.D【解析】【分析】由勾股定理得出AB=5,得出Rt△OAB内切圆的半径=1,因此P的坐标为(1,1),由题意得出P3的坐标(3+5+4+1,1),得出规律为每滚动3次一个循环,由2019÷3=673,即可得出答案.【详解】∵点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(3,0),∴OA=4,OB=3,∴=5,∴Rt△OAB内切圆的半径=12(3+4﹣5)=1,∴P的坐标为(1,1),∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动,使它的三边依次与x轴重合,第一次滚动后圆心为P1,第二次滚动后圆心为P2,…,∴P3(3+5+4+1,1),即(13,1),每滚动3次一个循环,∵2019÷3=673,∴第2019次滚动后,Rt△OAB内切圆的圆心P2019的横坐标是673×(3+5+4)+1,即P2019的横坐标是8077,∴P2019的坐标是(8077,1);故选:D.【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理、坐标与图形性质,根据题意得出规律是解题的关键.4.A【解析】【分析】先求出点(2,1)到x轴的距离是1,到y轴的距离是2,再根据直线与圆的位置关系的内容得出即可.【详解】∵点(2,1)到x轴的距离是1,到y轴的距离是2,∴在平面直角坐标系中,以点(2,1)为圆心,1为半径的圆必定与x轴相切,与y轴相离,故选:A.【点睛】此题主要考查直线与圆的位置关系,熟练掌握,即可解题.5.C【解析】【分析】根据切线长定理及半径相等得,△APB为等腰三角形,△AOB为等腰三角形,共两个;根据切线长定理和等腰三角形三线合一的性质,直角三角形有:△AOC,△AOP,△APC,△OBC,△OBP,△CBP,共6个.【详解】解:因为OA、OB为圆O的半径,所以OA=OB,所以△AOB为等腰三角形,根据切线长定理,PA=PB,故△APB为等腰三角形,共两个,根据切线长定理,PA=PB,∠APC=∠BPC,PC=PC,所以△PAC≌△PBC,故AB⊥PE,根据切线的性质定理∠OAP=∠OBP=90°,所以直角三角形有:△AOC,△AOP,△APC,△OBC,△OBP,△CBP,共6个.故选:C.【点睛】此题综合考查了切线的性质和切线长定理及等腰三角形的判定,有利于培养同学们良好的思维品质.6.B【解析】【分析】连接AD,OB,OC,根据题意得到∠BOC=∠DOC=45°,在圆周上取一点E连接AE,CE,由圆周角定理得到∠E=12∠AOC=67.5°,求得∠ABC=122.5°<130°,取BC的中点F,连接OF,得到∠ABF=123.25°<130°,于是得到结论.【详解】如图,连接AD,OB,OC,∵AD=180°,且AB=BD,BC=CD,∴∠BOC=∠DOC=45°,在圆周上取一点E连接AE,CE,∴∠E=12∠AOC=67.5°,∴∠ABC=122.5°<130°,取BC的中点F,连接OF,则∠AOF=67.5°,∴∠ABF=123.25°<130°,∴Q点在BC上,且BQ<QC,故选B.【点睛】本题考查了圆心角,弧,弦的关系,圆内接四边形的性质,圆周角定理,正确的理解题意是解题的关键.7.B【解析】【分析】连接OC,根据切线的性质得OC⊥CD,利用互余得到∠OCB=65°,然后根据等腰三角形的性质得到∠B的度数.【详解】连接OC,如图,∵CD 切⊙O 于点C ,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,∴∠OCB=90°-∠BCD=90°-25°=65°,∵OB=OC,∴∠B=∠OCB=65°.故选:B .【点睛】本题考查了圆的切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.8.B【解析】【分析】当直线AN 与⊙B 相切时,△AOM 面积的最大.设BM=x ,由切割线定理表示出MN ,可证明△BNM ∽△AOM ,根据相似三角形的性质可求得x ,然后求得△AOM 面积.【详解】解:当直线AN 与⊙B 相切时,△AOM 面积的最大.连接AB 、BN ,在Rt △AOB 和Rt △ANB 中0B BN AB AB =⎧⎨=⎩∴Rt △AOB ≌Rt △ANB ,∴AN =AO =2,设BM =x ,∴MN 2=(BM ﹣1)(BM +1),∴MN∵∠AOM =∠BNM =90°,∠AMO =∠BMN ,∴△BNM ∽△AOM , ∴BN OA =MN OM, 即12解得x =53, S △AOM =2OA OM ⋅=52132⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭=83. 故选:B .【点睛】本题是一个动点问题,考查了切线的性质和三角形面积的计算,解题的关键是确定当射线AN 与⊙B 相切时,△AOM 面积的最大.9.C【解析】【分析】连接OC,OB ,分点P 在优弧BC 上与劣弧BC 上两种情况讨论即可.【详解】连接OC,OB ,则∠ACO=∠ABO=90°,∠BOC=360°-90°-90°-50°130°,分两种情况:①当P 在优弧BC 上,∠P=12BOC ∠=65°, ②当P 在劣弧BC 上,∠BPC=180°-65°=115°. 故选C.【点睛】此题主要考查切线的性质及圆周角定理,解题的关键是根据图形分两种情况讨论. 10.D【解析】【分析】过点D 作DF BC ⊥于点F,连接OE,根据切线的性质求出25,3CD DE EC =+= 证明四边形ABFD 是矩形,得到3,DA BF ==根据勾股定理求出DF,即可求解.【详解】过点D 作DF BC ⊥于点F,连接OE,,AD BC 分别切O 于,A B 两点,CD 切O 于点E ,90,DAO OED OBC ∴∠=∠=∠=又,OA OE OB ==163,,3DA DE EC CB ∴====25,3CD DE EC ∴=+= 90,DAB ABC DFC ∴∠=∠=∠=四边形ABFD 是矩形,3,DA BF ∴==1673,33CF BC BF ∴=-=-= 22222578.33DF AB CD CF ⎛⎫⎛⎫∴==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四边形ABCD 周长:16257483.333AB BC CD DA +++=+++= 故选:D【点睛】 考查切线的性质以及勾股定理,作出辅助线,构造直角三角形是解题的关键.11.±; 4-4≤x≤4+4.【解析】【分析】(1)作PF ⊥AC 于点F ,证明△PCF ∽△ACP ,可求得CF 长,在Rt △PFC 中求得PF 的长,进而得出点P 的坐标;(2)连结OP ,OE ,AB ,BE ,AE ,证明△OAP ∽△BAE ,可得BE=,根据BE-OB≤OE≤BE+OB ,即可得出OE 的取值范围【详解】解:(1)如图,作PF ⊥AC 于点F ,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠CFP=∠CPA=90,∵∠PCF=∠ACP ,∴△PCF ∽△ACP ,∴P点的横坐标为.(2)如图,连结OP,OE,AB,BE,AE,∵△AOB,△APE都为等腰直角三角形,∴∠OAB=∠PAE=45°,,∴∠OAP=∠BAE,∴△OAP∽△BAE,,∴BE= ,∵BE-OB≤OE≤BE+OB,故答案为【点睛】本题是圆的一个综合题,主要考查圆的基本性质,相似三角形的判定和性质.构造相似三角形是两小题的突破口.第(2)难度较大.12.1.【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案.【详解】当d=3时,∵3>2,即d>r,∴直线与圆相离,则m=1,故答案为1.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,解题关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系.13.相交相切【解析】【分析】据题意画出相应的图形,然后过C作CD与AB垂直,垂足为D,在直角三角形ACD中,由30°角所对的直角边等于斜边的一半,由斜边AB的长和面积定值求出CD的长,即为圆心到直线的距离,小于圆C的半径,可得圆C与直线AB相交;当∠A=45°时,求出CD的长和圆的半径2比较大小即可.【详解】根据题意画出图形,如图所示:当∠A=30°,过C作CD⊥AB,交AB于点D,在Rt△ACD中,∵AB=4,∠A=30°,∴BC=12AB=2,∴22AB BC3∴CD=123,又∵圆C的半径为23<2,∴CD<R,∴则⊙C与AB的位置关系是相交,故答案为:相交;当∠A=45°时,过C作CD⊥AB,交AB于点D,在Rt△ACD中,∵AB=4,∠A=45°,∴AB=AC,∴CD=12AB=2,又∵圆C的半径为2,则CD=R,∴则⊙C与AB的位置关系是相切.故答案为:相切.【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系,以及直角三角形的性质,直线与圆的位置关系有三种,分别为相切,相交,相离,可以利用d与r比较大小来决定,当d>r时,直线与圆相离;当d=r时,直线与圆相切;当0≤d<r时,直线与圆相交.14.50cm【解析】【分析】钢管放在V形架内,则钢管所在的圆与V形架的两边相切,根据切线的性质可知△OMP是直角三角形,且∠OPM=∠OPN=30°,根据直角三角形中30°角所对的直角边长度等于斜边的一半,求出OP的长.【详解】∵圆与V形架的两边相切,∴△OMP是直角三角形,∠OPN=12∠MPN=30 ,∴OP=2ON=50cm.故答案为50 cm.【点睛】本题考查切线的性质, 含30度角的直角三角形. 15.45°【解析】【分析】由PC为圆的切线,利用切线的性质得到PC与OC垂直,得到三角形OPC为直角三角形,利用直角三角形的两锐角互余列出等式,根据OA=OC,利用等边对等角得到一对角相等,利用外角性质得到∠A为∠COP的一半,由PD为角平分线得到∠APD为∠CPO的一半,利用外角性质及等式的性质即可求出∠CDP的度数.【详解】如图,连接OC,∵PC为圆O的切线,∴PC⊥OC,即∠PCO=90°,∴∠CPO+∠COP=90°,∵OA=OC,∴∠A=∠ACO=12∠COP,∵PD为∠APC的平分线,∴∠APD=∠CPD=12∠CPO,∴∠CDP=∠APD+∠A=12(∠CPO+∠COP)=45°.故答案为:45°.【点睛】此题考查了切线的性质,外角性质,以及等腰三角形的性质,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.16.2【解析】【分析】根据圆的切线的性质:圆心到切线的距离等于圆的半径,求出圆的半径即可.【详解】∵⊙O的直径是4,∴⊙O的半径是2.∵经过⊙O上一点的直线L与⊙O相切,∴点O到直线L的距离等于圆的半径2.故答案为:2.【点睛】本题考查了对切线的性质和直线与圆的位置关系的理解和运用,关键是理解圆的切线的定义.17.12【解析】【分析】令NH=1.6,作HG∥a交CB于点G,作CD的中垂线交CD于点F,在中垂线上取一点O 使OC=GF,然后以O为圆心,OC为半径作圆,然后过O作OE⊥a,交GH与点M,则知GH与圆相切与点M,则站在E点处看广告牌的视角最大,算出BE长即可.【详解】令NH=1.6,作HG∥a交CB于点G,作CD的中垂线交CD于点F,在中垂线上取一点O 使OC=GF,然后以O为圆心,OC为半径作圆,然后过O作OE⊥a,交GH与点M,则知GH与圆相切与点M,则站在E点处看广告牌的视角最大,∵BD=9.6米,CD=10米,人高NH=1.6米,∴FG=9.6+10-10÷2-1.6=13(米),即OC=13(米),∴BE=OF=2213512(米).【点睛】本题是对圆实际运用的考查,熟练掌握圆的知识作出示意图是解决本题的关键,难度较大.18.2.【解析】【分析】在直角△ABO中,利用正弦三角函数的定义求得∠OAB=60°,然后由旋转的角度、图中角与角间的和差关系知∠OAC=30°;最后由切线的性质推知△AOC是直角三角形,在直角三角形中由“30°角所对的直角边是斜边的一半”即可求得OC.【详解】解:∵OB⊥AB,OB=2,OA=4,∴在直角△ABO中,sin∠OAB==,则∠OAB=60°;又∵∠CAB=30°,∴∠OAC=∠OAB-∠CAB=30°;∵直线l2刚好与⊙O相切于点C,∴∠ACO=90°,∴在直角△AOC中,OC=OA=2(30°角所对的直角边是斜边的一半).故答案是:2.【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转的性质、切线的性质等知识点.切线的性质:①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.195;43r.【解析】【分析】连接O1D,由切线的性质知O1D⊥AE,由题意知,CO=AO=2r,O1D=O1C=r,进而由切线长定理知,AD=AO=2r;再根据勾股定理得AE2=AO2+OE2,O1E2=O1D2+DE2,然后即可得到关于DE,CE,的方程组,解之即可得到DE=43r.【详解】如图,连接O1D.∵圆O1的切线AD交OC的延长线于点E,∴O1D⊥AE,由题意知,CO=AO=2r,O1D=O1C=r,由切线长定理知,AD=AO=2r,∴AO1=5r,由勾股定理得,AE2=AO2+OE2,即(2r+DE)2=(2r)2+(2r+EC)2,①O1E2=O1D2+DE2,即(r+EC)2=r2+DE2,②由①②解得,DE=43r.故填空答案:5r;43r.【点睛】本题考查切线长定理、切线的性质和勾股定理,解题的关键是掌握切线长定理、切线的性质和勾股定理.20.70°【解析】【分析】直接利用切线的性质定理结合全等三角形的判定和性质得出∠2+∠3=∠DOC=70°.【详解】如图所示:连接圆心与各切点.在Rt△DEO和Rt△DFO中,∵DO DO DE DF=⎧⎨=⎩,∴Rt△DEO≌Rt△DFO(HL),∴∠1=∠2,同理可得:Rt△AFO≌Rt△AMO,Rt△BMO≌Rt△BNO,Rt△CEO≌Rt△CNO,∴∠3=∠4,∠5=∠7,∠6=∠8,∴∠5+∠6=∠7+∠8=110°,∴2∠2+2∠3=360°﹣2×110°,∴∠2+∠3=∠DOC=70°.故答案为:70°.【点睛】本题考查了切线的性质定理、全等三角形的判定和性质,正确应用切线的性质定理是解题的关键.21.证明见解析.【解析】【分析】过点O分别作AB,CD的垂线段OE,OF.设小圆的半径为r.根据同圆等弦的弦心距相等可知OE=OF=r.【详解】证明:过点O分别作AB,CD的垂线段OE,OF.设小圆的半径为r.∵AB与小圆相切,∴OE=r,∵AB=CD,且AB,CD为大圆的弦,∴OE=OF,∴OF=r,∴CD与小圆也相切.【点睛】本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;解决问题的关键是同圆等弦的弦心距相等.22.(1)见解析;(2) 60°;(3)【解析】【分析】(1)利用平行线的性质分别得到∠AEF =∠CAB ,∠AFE =∠FAB ,再根据圆的半径相等即可证明△ABC ≌△ABF (SAS );(2)连接CF ,利用菱形四边相等这一性质证明△CFE 中∠ECF =30°,∠CEF =60°,再由平行线的性质即可证明∠CAB =60°;(3)利用正方形的对角线将正方形分成两个等腰直角三角形,再利用勾股定理即可解题.【详解】(1)证明:∵EF ∥AB∴∠AEF =∠CAB ,∠AFE =∠FAB ,又∵AE =AF ,∴∠AEF =∠AFE ,∴∠FAB =∠CAB ,在△ABC 和△ABF 中,AF AC FAB CAB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ABF (SAS );(2)连接CF ,如图所示,若四边形ADFE 为菱形,则AE =EF =FD =DA ,又∵CE =2AE ,CE 是圆A 的直径,∴CE =2EF ,∠CFE =90°,∴∠ECF =30°,∴∠CEF =60°,∵EF ∥AB ,∴∠AEF =∠CAB ,∴∠CAB =60°,故答案为60°;(3)若四边形ACBF为正方形,则AC=CB=BF=FA,AB是正方形ACBF的对角线,∵AC=4,∴AB2242AC CB+=故答案为2.【点睛】本题考查了圆的性质,切线的性质,平行线的性质,三角形全等的判定,特殊的直角三角形,特殊的平行四边形的判定,综合性强,难度较大,熟悉特殊平行四边形的性质是解题关键. 23.(1)证明见解析;(2)4.【解析】【分析】(1)连接OC,交BF于点H,由ED切⊙O于点C,可得OC⊥DE,因为AB为⊙O的直径,可得BF⊥AD,由BF∥CD,可得ED⊥AD,进而得出OC∥AD,即可推出AC平分∠BAD;(2)在Rt△ABF中,⊙O17,AF=2,可求得BF的长,再证明四边形HFDC为矩形,可得CD=HF=12BF,即可得出CD的长.【详解】(1)如图,连接OC,交BF于点H,∵ED切⊙O于点C,∴OC⊥DE,∵AB为⊙O的直径,∴BF⊥AD,∵BF∥CD,∴ED⊥AD,∴OC∥AD,∴∠OCA=∠CAD,∵OC =OA ,∴∠OCA =∠OAC ,∴∠OAC =∠CAD ,∴AC 平分∠BAD ;(2)∵⊙O 的半径为17,AF =2,∠AFB =90°,∴()222221728,BF AB AF =-=-=由(1)知,∠D =∠HFD =∠OCD =90°,∴四边形HFDC 为矩形,∴OC ⊥BF ,∴CD =HF =12BF =4.【点睛】本题考查圆的切线的性质,平行线的性质,圆的基本性质,解题的关键是掌握圆的切线的性质.24.(1)详见解析;(2)【解析】【分析】(1)连接OD ,如图,根据平行四边形的性质得OC ∥BE ,再根据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠1=∠2,则可根据“SAS ”判断△ODC ≌△OAC ,从而得到∠ODC =∠OAC =90°,然后根据切线的判定定理得CF 是⊙O 的切线;(2)利用∠F =30°得到∠FOD =60°,则∠1=∠2=60°,再根据平行四边形的性质得OC =BE =8,接着在Rt △AOC 中计算出OA =4,AC =4,然后利用扇形面积公式,利用图中阴影部分的面积=S 四边形AODC ﹣S 扇形AOD 进行计算.【详解】(1)证明:连接OD,如图,∵四边形EBOC是平行四边形,∴OC∥BE,∴∠1=∠3,∠2=∠4,∵OB=OD,∴∠3=∠4,∴∠1=∠2,在△ODC和△OAC中,∴△ODC≌△OAC,∴∠ODC=∠OAC=90°,∴OD⊥CD,∴CF是⊙O的切线;(2)解:∵∠F=30°,∴∠FOD=60°,∴∠1=∠2=60°,∵四边形EBOC是平行四边形,∴OC=BE=8,在Rt△AOC中,OA=OC=4,AC=OA=4, ∴图中阴影部分的面积=S四边形AODC﹣S扇形AOD=2××4×4﹣=16﹣π.【点睛】本题考查了切线的判定与性质:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”.也考查了平行四边形的性质和圆周角定理.25.(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】【分析】(1)连AD,OD,则∠ADB=∠ADC=90°,由直角三角形斜边上的中线性质得:EA=ED,∠EDA=∠EAD,由等腰三角形的性质得:∠ODA=∠OAD,证得∠EDO=∠EAO,即可得出结论;(2)证明:由切线的性质得:∠ODF=∠FDB+∠ODB=∠FAD+∠OBD=90°,证出∠FDB =∠FAD,∠F为公共角,得出△FDB∽△FAD,由对应边成比例即可得出结论.【详解】(1)证明:连AD,OD,如图所示:∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=∠ADC=90°,∵E是AC的中点,∴EA=ED,∴∠EDA=∠EAD,∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD,∴∠EDO=∠EAO,∵AB⊥AC,∴∠EAO=90°,∴∠EDO=90°,∴DE为⊙O的切线;(2)证明:∵DE为⊙O的切线,∴∠ODF=∠FDB+∠ODB=∠FAD+∠OBD=90°,∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,∴∠FDB=∠FAD,又∵∠F为公共角,∴△FDB∽△FAD,∴DFAF=BFDF,∴DF2=BF•AF.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识;熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.26.(1)60,(2)【解析】【分析】(1)连接OD,根据垂径定理得到,根据圆周角定理计算,得到答案;(2)根据直角三角形的性质求出OE,根据勾股定理求出CE,根据垂径定理计算即可.【详解】解:(1)连接OD,∵AB⊥CD,∴,∴∠BOC=∠BOD,由圆周角定理得,∠A=∠BOD,∴∠A=∠BOD,∵∠AOG=∠BOD,∴∠A=∠AOG,∵∠OF A=90°,∴∠AOG=60°;(2)∵∠AOG=60°,∴∠COE=60°,∴∠C=30°,∴OE=OC=,∴CE=,∵AB⊥CD,∴CD=2CE=.【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质,掌握垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧是解题的关键.27.15 4【解析】【分析】连接OD,设⊙O的半径为r,可证出△BOD∽△BAC,则根据该相似三角形的对应边成比例得到OD OBAC AB=,从而求得该圆的半径r.【详解】连结OD,设⊙O的半径为r,∵BC切⊙O于点D,∴OD⊥BC,∵∠C=90°,∴OD∥AC,∴△OBD∽△ABC,∴OD OBAC AB= .即r6=10r10-,解得r=15.4,∴⊙O的半径为15.4【点睛】本题考查的是圆,熟练掌握切线的性质和相似三角形性质是解题的关键.28.(1)证明见解析;(2)FG=.【解析】【分析】(1)连结OD,根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°,而OD=OB,所以∠ODB =60°=∠C,于是可判断OD∥AC,又DF⊥AC,则OD⊥DF,根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线;(2)先证明OD为△ABC的中位线,得到BD=CD=4.在Rt△CDF中,由∠C=60°,得∠CDF =30°,根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD=2,所以AF=AC﹣CF=6,然后在Rt△AFG中,根据正弦的定义计算FG的长.【详解】(1)连结OD,如图,∵△ABC为等边三角形∴∠C=∠A=∠B=60°,而OD=OB,∴△ODB是等边三角形,∠ODB=60°,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,∴DF是⊙O的切线;(2)解:∵OD∥AC,点O为AB的中点,∴OD为△ABC的中位线,∴BD=CD=1在Rt△CDF中,∠C=60°,∴∠CDF=30°,∴CF=,∴AF=AC﹣CF=2﹣=,在Rt△AFG中,∵∠A=60°,∴FG=AF×sin A=;【点睛】考查了切线的性质,等边三角形的性质以及解直角三角形等知识,连接圆心与切点的半径是解决问题的常用方法.。
【2019-2020】九年级数学下册 第2章 直线与圆的位置关系章末总结提升练习 (新版)浙教版
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教学资料参考范本【2019-2020】九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系章末总结提升练习(新版)浙教版撰写人:__________________部门:__________________时间:__________________章末总结提升(见B 本65页), 探究点 1 直线与圆的位置关系)【例1】已知⊙O 的半径为2,直线l 上有一点P ,满足PO =2,则直线l 与⊙O 的位置关系是( D )A .相切B .相离C .相离或相切D .相切或相交变式 已知y 是关于x 的函数,且x ,y 满足方程组⎩⎨⎧x+3y=4-a,x-y=3a.(1)求函数y 的表达式;(2)若点P 的坐标为(m ,0),求以P 为圆心、1为半径的圆与函数y 的图象有交点时,m 的取值范围.解:(1)①×3,得3x +9y =12-3a③,②+③,得4x +8y =12,即x +2y =3,得y =x +.(2)当y =0时,x =3,即函数y 的图象与x 轴交于点A(3,0), 当x =0时,y =,即函数y 的图象与y 轴交于点B , 当圆P 与直线y 相切时,设切点为C ,则PC⊥直线y , 此时∠PCA=90°∴∠PCA =∠BOA ,且∠BAO =∠PAC ,∴△ABO ∽△APC , ∴=,即=,∴AC =2,∴PA = 5 此时,P 的横坐标为3-或3+,∴当圆P 与直线y 有交点时,3-≤m ≤3+., 探究点 2 切线的判定与性质)【例2】如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于点O,OC=1,以点O为圆心、OC为半径作半圆.(1)求证:AB为⊙O的切线.(2)如果tan∠CAO=,求cos B的值.解:(1)证明:如图,作OM⊥AB于点M,∵OA平分∠CAB,OC⊥AC,OM⊥AB,∴OC=OM,∴AB是⊙O的切线,(2)设BM=x,OB=y,则y2-x2=1①,∵cos B==,∴=,∴x2+3x=y2+y②,由①②可以得到y=3x-1,∴(3x-1)2-x2=1,∴x=,y=,∴cos B==.变式 2017·衡阳中考如图所示,已知△ABC 内接于⊙O,AB 为⊙O 的直径,BD⊥AB,交AC 的延长线于点D.(1)E 为BD 的中点,连结CE ,求证:CE 是⊙O 的切线. (2)若AC =3CD ,求∠A 的大小. 解:(1)证明:连结OC , ∵OA =OC ,∴∠A =∠1,∵AO =OB ,E 为BD 的中点,∴OE ∥AD ,∴∠1=∠3,∠A =∠2, ∴∠2=∠3,在△COE 与△BOE 中,⎩⎨⎧OC=OB,∠2=∠3,OE=OE,∴△COE ≌△BOE ,∴∠OCE =∠ABD =90°,∴CE 是⊙O 的切线. (2)∵AB 为⊙O 的直径,∴BC⊥AD, ∵AB ⊥BD ,∴△ABC ∽△BDC ,∴=,∴BC2=AC·CD,∵AC=3CD,∴BC2=AC2,∴tan∠A==,∴∠A=30°., 探究点 3 切线长定理与三角形的内切圆)【例3】2017·宁波中考如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=2,以BC的中点O为圆心的圆分别与AB,AC相切于D,E两点,则的长为( B )A. B. C.πD.2π变式2017·武汉中考已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为( C )A. B. C.D.2 31.如果直线l与⊙O与⊙O的位置关系是( D )A.相交B.相切C.相离D.相切或相交2.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点,过点D作⊙O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为( A )A. B. C.D.2 53.遵义中考如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,连结AC,⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆,则PQ的长是____.4.如图所示,已知在等边△ABC中,AB=12,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DF⊥AC,垂足为F,过点F作FG⊥AB,垂足为G,连结GD.(1)求证:DF是⊙O的切线.(2)求FG的长.(3)求tan∠FGD的值.解:(1)证明:连结OD,如图(1),∵△ABC为等边三角形,∴∠C=∠A=∠B=60°,而OD=OB,∴△ODB是等边三角形,∠ODB=60°,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,∴DF是⊙O的切线.(2)∵OD∥AC,点O为AB的中点,∴OD为△ABC的中位线,∴BD=CD=6.在Rt△CDF中,∠C=60°,∴∠CDF=30°,∴CF=CD=3,∴AF=AC-CF=12-3=9,在Rt△AFG中,∵∠A=60°,∴FG=AF×sin A=9×=.(3)如图,过D作DH⊥AB于点H.∵FG⊥AB,DH⊥AB,∴FG∥DH,∴∠FGD=∠GDH.在Rt△BDH中,∠B=60°,∴∠BDH=30°,∴BH=BD=3,DH=BH=3 .在Rt△AFG中,∵∠AFG=30°,∴AG=AF=,∵GH=AB-AG-BH=12--3=,∴tan∠GDH===,∴tan∠FGD=tan∠GDH=.5.如图所示,A(-8,0),B(-6,0).点C在y轴的正半轴上,∠CBO=45°,CD∥AB,∠CDA=90°.点P从点Q(7,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动,运动时间为t秒.(1)点C的坐标是(0,6) ;(2)当∠BCP=15°时,求t的值;(3)以点P为圆心、PC为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P 与四边形ABCD的一边(或边所在的直线)相切时,求t的值.解:(2)当点P在点B右侧时,如图(a).由∠BCP=15°,得∠PCO=30°.OP=t-7,则PC=2(t-7),在Rt△POC中,CP2-OP2=62,故4(t-7)2-(t-7)2=36,此时t=7±2(舍去7-2),当点P在点B左侧时,如图(b),由∠BCP=15°,得∠PCO=60°,PC=2CO=12,故PO==6.此时t=7+6.∴t的值为7+2或7+6.(3)由题意知,若⊙P与四边形ABCD的边相切,有以下三种情况:①当⊙P与BC相切于点C时,有∠BCP=90°,从而∠OCP=45°,得到OP=6.此时t=1.②当⊙P与CD相切于点C时,有PC⊥CD,即点P与点O重合,此时t=7.③当⊙P与AD相切时,由题意知,∠DAO=90°,∴点A为切点,如图(c).PC2=PA2=(15-t)2,PO2=(t-7)2.所以(15-t)2=(t-7)2+62,解得t=.∴t的值为1或7或.6.如图所示,在直角坐标系中,直线l:y=-2x-8分别与x轴、y轴相交于A,B 两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心、3为半径作⊙P.(1)连结PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由;(2)当⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形时,求点P的坐标.解:(1)如图1,⊙P与x轴相切,∵直线y=-2x-8与x轴交于A(-4,0),与y轴交于B(0,-8),∴OA=4,OB=8.由题意,OP=-k,∴PB=PA=8+k.∵在Rt△AOP中,k2+42=(8+k)2∴k=-3,∴OP等于⊙P的半径.∴⊙P与x轴相切.(2)如图2,设⊙P1与直线l交于C,D两点,连结P1C,P1D,当圆心P1在线段OB上时,作P1E⊥CD于点E,∵△P1CD为正三角形,∴DE=CD=,P1D=3.∴P1E=.∵∠AOB=∠P1EB=90°,∠ABO=∠P1BE,∴△AOB∽△P1EB.∴=,即=,∴P1B=.∴P1O=BO-BP1=8-.∴P1.当圆心P2在线段OB延长线上时,同理可得P2.。
浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系单元综合培优提升训练题2(附答案详解)
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浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系单元综合培优提升训练题2(附答案详解)1.如图,在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(0,-6),⊙P的半径为2,⊙P 沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动,当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为()A.2s B.3s C.2s或4s D.3s或4s 2.在平面直角坐标系中,经过点(4sin45°,2cos30°)的直线,与以原点为圆心,2为半径的圆的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.以上三者都有可能3.如图,AB是定长线段,圆心O是AB的中点,AE、BF为切线,E、F为切点,满足AE=BF,在EF上取动点G,国点G作切线交AE、BF的延长线于点D、C,当点G 运动时,设AD=y,BC=x,则y与x所满足的函数关系式为()A.正比例函数y=kx(k为常数,k≠0,x>0)B.一次函数y=kx+b(k,b为常数,kb≠0,x>0)C.反比例函数y=kx(k为常数,k≠0,x>0)D.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,x>0)4.在平面直角坐标系中,设点A(0,4)、B(3,8).若点P(x,0),使得∠APB最大,则x=()A.3B.0C.4D.5235.已知四边形ABCD是梯形,且AD∥BC,AD<BC,又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G,圆心O在BC上,则AB+CD与BC的大小关系是()A.大于B.等于C.小于D.不能确定6.如图,已知AB是⊙O的直径,2AB=,AD和BE是圆O的两条切线,A,B为切点,过圆上一点C作⊙O的切线CF,分别交AD,BE于点M,N,连接AC,CB.若30ABC∠=︒,则AM等于( )A.0.5 B.1C.33D.327.若一三角形的三边长分别为5、12、13,则此三角形的内切圆半径是()A.1 B.2 C.5 D.68.如图,△ABC中,∠C=90°,⊙P为△ABC的内切圆,点O为△ABC的外心,BC=6,AC=8,则OP的长为()A.2 B.3 C.5D.12 59.已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8,它的内切圆半径是()A.2.4 B.2 C.5 D.610.已知,⊙O的半径为5cm,点P到圆心O的距离为4cm,则点P在⊙O的()A.外部B.内部C.圆上D.不能确定11.如图,PA切⊙O于A,AB⊥OP于B,若PO=8 cm,BO=2 cm,则PA的长为( )A.16 cm B.48 cm C3cm D.3cm 12.⊙O的直径是3,直线与⊙O相交,圆心O到直线的距离是d,则d应满足()A.d>3B.1.5<d<3C.0≤d<1.5D.0<d<313.如图,AB、AC是⊙O的两条弦∠A=25°,过点C的切线与OB的延长线交于点D,则∠D的度数是_________.14.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,则△ABC的内切圆的半径是________.15.如图,已知一次函数y=﹣x+3的图象与坐标轴分别交于点A,B两点,⊙O的半径为1,P是线段AB上的一个点,过点P作⊙O的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为_____.16.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BD、BE、CE,若∠BEC =127°,则∠CBD的度数为_______度.17.直线与圆只有一个交点,交点被称为_________。
浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系单元综合基础达标训练题3(附答案详解)
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浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系单元综合基础达标训练题3(附答案详解)1.如图,PA、PB切⊙O于A、B两点,AC是⊙O的直径,∠P=40°,则∠ACB度数是()A.50°B.60°C.70°D.80°2.已知⊙O1和⊙O2外切于M,AB是⊙O1和⊙O2的外公切线,A,B为切点,若MA=4cm,MB=3cm,则M到AB的距离是()A.52cm B.125cm C.3cm D.4825cm3.如图,PA、PB切O于点A、B,PA8=,CD切O于点E,交PA、PB于C、D两点,则PCD的周长是()A.8 B.18 C.16 D.144.⊙O的直径为10,圆心O到直线l的距离为6,则直线l与⊙O的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法确定5.如图,已知⊙O为正三角形ABC的内切圆,D为切点,四边形EFGD是⊙O的内接正方形,2EF=,则正三角形ABC的边长为( )A.4 B.33C.23D.226.如图,AC⊥BC,AC=BC,点D是AB中点,过C、D的⊙O交AC、BC分别于E、F.若⊙O的半径为3,AC=2+22,则△CEF的面积为()A2B.2C.22D.37.已知⊙O 的半径为5cm ,圆心O 到直线l 的距离为5cm ,则直线l 与⊙O 的位置关系为( )A .相交B .相切C .相离D .无法确定 8.下列命题正确的是( )A .平分弦的直径垂直于弦B .相等的圆周角所对的弧相等C .三点确定一个圆D .过圆直径的端点,垂直于此直径的直线是圆的切线9.如图,O 的半径为4,点P 是O 外的一点,10PO =,点A 是O 上的一个动点,连接PA ,直线l 垂直平分PA ,当直线l 与O 相切时,PA 的长度为( )A .10B .21 2C .11D .43410.如图,PA 、PB 是O 的切线,AC 是O 的直径,62P ∠=,则BOC ∠的度数为( )A .60B .62C .31D .70 11.已知AB 是O 的直径,点P 是AB 延长线上的一个动点,过P 作O 的切线,切点为C ,APC ∠的平分线交AC 于点D ,则CDP ∠等于( )A .30B .60C .45D .5012.如图,直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G,且AB ∥CD,若BO=6cm,OC=8cm 则BE+CG 的长等于( )13.三角形的面积为24cm ,周长为10cm ,则这个三角形的内切圆半径为________. 14.如图,边长为a 的正三角形的内切圆半径是_________.15.如图,四边形ABCD 是O 的内接四边形,且//OB DC ,//OD BC ,则BOD ∠=________.16.已知PAB 、PCD 为O 的两条割线,8PA =,10AB =,7CD =,60P ∠=,则O 的半径为________.17.如图所示,D 是半径为R 的⊙O 上一点,过点D 作⊙O 的切线交直径AB 的延长线于点C ,下列四个条件:①AD =CD ;②∠A =30°;③∠ADC =120°;④DC =3R.其中能使得BC =R 的有________(填序号).18.如图,P 是⊙O 外一点,PA 与⊙O 相切于点A ,若PO =25cm ,PA =24cm ,则⊙O 的半径为___ cm.19.如图,圆心都在x 轴正半轴上的半圆O 1,半圆O 2,…,半圆O n 与直线l 相切.设半圆O 1,半圆O 2,…,半圆O n 的半径分别是r 1,r 2,…,r n ,则当直线l 与x 轴所成锐角为30°,且r 1=1时,r 2018=________.20.若三角形的周长为P ,面积为S ,其内切圆的半径为r,则r :S=______.21.等边ABC中,4AB=,则ABC的外接圆半径为________,内切圆半径为________.22.菱形ABCD的对角线相交于O点,AC=5cm,DB=8cm,以O为圆心,以3cm的长为半径作⊙O,则点A在⊙O______, 点B在⊙O______.23.如图,PA和PB是⊙O的切线,点A和B是切点,AC是⊙O的直径,已知∠P=50°,则∠ACB的大小是___________.24.如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,AD垂直于过点C的切线,垂足为D,且∠BAD=80°,则∠DAC的度数是_____________.25.如图,已知点E在直角三角形ABC的斜边AB上,以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.(1)请仅用无刻度的直尺在图(1)中作出∠BAC的平分线;(2)请仅用无刻度的直尺在图(2)中作出△ABC的中线AP.26.已知:如图,在ABC中,AB AC=,以AB为直径的O交BC于点D,过点D作DE AC⊥于点E.求证:DE是O的切线.27.直角坐标系中,已知A(1,0),以点A为圆心画圆,点M(4,4)在⊙A上,直线y=﹣34x+b过点M,分别交x轴、y轴于B、C两点.(1)①填空:⊙A的半径为,b= .(不需写解答过程)②判断直线BC与⊙A的位置关系,并说明理由.(2)若EF切⊙A于点F分别交AB和BC于G、E,且FE⊥BC,求GFEG的值.(3)若点P在⊙A上,点Q是y轴上一点且在点C下方,当△PQM为等腰直角三角形时,直接写出点Q的坐标.28.如图,AB为半圆的直径,O为圆心,C为圆弧上一点,AD垂直于过C点的切线,垂足为D,AB的延长线交直线CD于点E.(1)求证:AC平分∠DAB;(2)若BE=2,CE=23,CF⊥AB,垂足为点F.①求⊙O的半径;②求CF的长.29.如图,正方形 ABCD的边长为1,以A为圆心,1为半径的圆与直线BC的位置关系怎样?以A为圆心,半径为多少时的圆与直线BD相切?30.如图,AB是⊙O的直径,AC是上半圆的弦,过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E,且AD DE于D,与⊙O交于点F.(1)判断AC是否是∠DAE的平分线?并说明理由;(2)连接OF与AC交于点G,当AG=GC=1时,求切线CE的长.31.如图,AB是⊙O的直径, BM切⊙O于点B,点P是⊙O上的一个动点(不经过A,B于C,交QO的延长线于点两点),过O作OQ∥AP交BM于点Q,过点P作PE ABE,连结PQ.(1)求证:PQ与⊙O相切;(2)若直径AB的长为12,PC=2EC,求tan∠E的值.32.如图,在△AOB中,OA=OB,点C为AB的中点,AB=16,以点O为圆心,6为半径的圆经过点C,分别交OA、OB于点E、F.(1)求证:AB为⊙O的切线;(2)求图中阴影部分的面积.(注:结果保留π,sin37°=0.6,cos37°=0.8,tan37°=0.75)33.如图,AB为⊙O直径,E为⊙O上一点,∠EAB的平分线AC交⊙O于点C,过C 点作CD⊥AE的延长线于点D,直线CD与射线AB交于点P.(1)判断直线DP与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若DC=4,⊙O的半径为5,求PB的长.34.如图所示,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于B,AC交⊙O于P,E是BC 边上的中点,连结PE,PE与⊙O相切吗?若相切,请加以证明,若不相切,请说明理由.35.如图,Rt ABC 中,90C ∠=,4AC =.3BC =,点M 是AB 上一点,以M 为圆心作M ,()1若M 经过A 、C 两点,求M 的半径,并判断点B 与M 的位置关系. ()2若M 和AC 、BC 都相切,求M 的半径.36.如图,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB,以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ,点P 在AB 的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.(1)求证:直线CP 是⊙O 的切线;(2)若BC=25,sin∠BCP=5,求⊙O 的半径及△ACP 的周长.参考答案1.C【解析】【分析】连接BC ,根据题意PA ,PB 是圆的切线以及P 40∠=︒可得AOB ∠的度数,然后根据OA OB =,可得CAB ∠的度数,因为AC 是圆的直径,所以ABC 90∠=︒,根据三角形内角和即可求出ACB ∠的度数。
浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系单元综合能力测试题3(附答案详解)
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浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系单元综合能力测试题3(附答案详解)1.下列命题错误的是( )A .等弧对等弦;B .三角形一定有外接圆和内切圆;C .平分弦的直径垂直于弦;D .经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.2.如图,已知PA 、PB 是O 的两条切线,A 、B 为切点,连接OP 交AB 于C ,交O 于D ,连接OA 、OB ,则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为( )A .1,2B .2,2C .2,6D .1,63.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCO 的顶点A 、C 分别在Y 轴,X 轴上,以AB 为弦的⊙M 与X 轴相切,若点A 的坐标为(0,8),则圆心M 的坐标为( )A .(4,-5)B .(5,-4)C .(-5,4)D .(-4,5)4.如图,点E 为△ABC 的内心,过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ,交AC 于点N ,若AB =7,AC =5,BC =6,则MN 的长为( )A .3.5B .4C .5D .5.5 5.如图,AB 是O 的直径,O 交BC 的中点于D ,DE AC ⊥于E ,连接AD ,则下列结论: ①AD BC ⊥;②EDA B ∠=∠;③12OA AC =;④DE 是O 的切线,正确的个数是( )A .1 个B .2个C .3 个D .4个6.如图,四边形ABCD是矩形,AC为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线,与AC的延长线交于点P,若AC=10,∠P=30°,则AB的长度是()A.52B.5C.52D.537.已知圆的直径为10cm,圆心到某直线的距离为4.5cm,则该直线与圆的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.以上都不对8.如图,点I和O分别是△ABC的内心和外心,则∠AIB和∠AOB的关系为()A.∠AIB=∠AOB B.∠AIB≠∠AOBC.4∠AIB﹣∠AOB=360°D.2∠AOB﹣∠AIB=180°9.如图,AB是⊙O的直径,C.D是⊙O上一点,∠CDB=20°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于()A.40°B.50°C.60°D.70°10.已知圆O的半径为R,点O到直线m的距离为d,R、d是方程240x x a-+=的两根,当直线m与圆O相切时,a的值是().A.3 B.4 C.5 D.无法确定11.如图,∠MAB=30°,P为AB上的点,且AP=6,圆P与AM相切,则圆P的半径为_______.12.已知一条直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到直线l的距离为2,则r的取值范围是_____.13.如图,直线AB与⊙O相切于点A,AC,CD是⊙O两条弦,且CD∥AB,半径为2.5,CD=4,则弦AC长为_____.14.O的半径为4,圆心O到直线l的距离为2,则直线l与O的位置关系是______. 15.如图,P A、PB是⊙O的两条切线,点A、B为切点,点C在⊙O上,且∠ACB=55°,则∠APB=___°.16.如图,圆心都在x轴正半轴上的半圆O1,半圆O2,…,半圆O n与直线l相切.设半圆O1,半圆O2,…,半圆O n的半径分别是r1,r2,…,r n,则当直线l与x轴所成锐角为30°,且r1=1时,r2018=________.17.如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10= .18.如图,已知等腰三角形的腰长为6cm,底边长4cm,以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5cm为半径画圆,那么该圆与底边的位置关系是怎样的?19.如图,线段与相切于点,线段与相交于点,,,则的半径长为.20.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=16,点D在边BC上,点E在边AB 上,沿DE将△ABC折叠,使点B与点A重合,连接AD,点P是线段AD上一动点,当半径为5的⊙P与△ABC的一边相切时,AP的长为_____.21.如图,AB、CD 分别为两圆的弦,AC、BD 为两圆的公切线且相交于点P.若PC=2,DB=6,∠APB=90°.(1)求△PAB 的周长.(2)求△PAB 与△PCD 的面积之比.22.已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,⊙C与对角线BD相切.(1)如图1,求⊙C的半径;(2)如图2,点P是⊙C上一个动点,连接AP,AC,AP交⊙C于点Q,若sin∠P AC63,求∠CP A的度数和弧PQ的长;(3)如图,对角线AC与⊙C交于点E,点P是⊙C上一个动点,设点P到直线AC的距离为d,当0<d≤35时,请直接写出∠PCE度数的取值范围.23.已知⊙O 中,AC 为直径,MA 、MB 分别切⊙O 于点A 、B .(1)如图①,若∠BAC =23°,求∠AMB 的大小;(Ⅱ)如图②,过点B 作BD ∥MA ,交AC 于点E ,交⊙O 于点D ,若BD =MA ,求∠AMB 的大小.24.如图,ABC 内接于⊙O ,AB 是⊙O 的直径.直线l 与⊙O 相切于点A ,在l 上取一点D 使得DA DC =.线段DC ,AB 的延长线交于点E .(1)求证:直线DC 是⊙O 的切线;(2)若2BC =,30CAB ∠=︒,求阴影部分的面积(结果保留π).25.如图,在矩形ABCD 中,AB=8,AD=6,P 为射线AB 上一个动点,过P 作PF ⊥AC ,垂足为F ,交CD 于点G ,连接CP 与BF 交于点H ,过点C ,P ,F 作⊙O .(1)当AP=5时,求证:∠CPB=∠FBC .(2)当点P 在线段AB 上时,若△FCH 的面积等于△PBH 面积的4倍,求DG 的长.(3)当⊙O 与△ADC 的其中一边相切时,求所有满足条件的AP 的长.(4)当H 将线段CP 分成1:4的两部分时,求AP 的长(直接写出结果).26.如图,点B 在⊙O 的直径AC 的延长线上,点D 在⊙O 上,AD=DB ,∠B=30°,若⊙O 的半径为4.(1)求证:BD 是⊙O 的切线;(2)求CB 的长.27.如图,AB 是O 的直径,点E 为线段OB 上一点(不与,O B 重合),作EC OB ⊥,交O 于点C ,作直径CD ,过点C 的切线交DB 的延长线于点P ,作AF PC ⊥于点F ,连接CB .()1求证:AC 平分FAB ∠;()2求证:2BC CE CP =;()3若34CF CP =,O 的面积为,求PF 的长.28.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,O 是边AC 上一点,以O 为圆心,以OA 为半径的圆分别交AB 、AC 于点E 、D ,在BC 的延长线上取点F ,使得BF=EF .(1)判断直线EF 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(2)若∠A=30°,求证:DG=12DA ; (3)若∠A=30°,且图中阴影部分的面积等于233,求⊙O 的半径的长.参考答案1.C【解析】试题解析:A、等弧对等弦,正确,不符合题意;B、三角形一定有外接圆和内切圆,正确,不符合题意;C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,故错误,符合题意;D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心,正确,不符合题意,故选C.2.C【解析】【分析】根据切线长定理及半径相等得,△APB为等腰三角形,△AOB为等腰三角形,共两个;根据切线长定理和等腰三角形三线合一的性质,直角三角形有:△AOC,△AOP,△APC,△OBC,△OBP,△CBP,共6个.【详解】解:因为OA、OB为圆O的半径,所以OA=OB,所以△AOB为等腰三角形,根据切线长定理,PA=PB,故△APB为等腰三角形,共两个,根据切线长定理,PA=PB,∠APC=∠BPC,PC=PC,所以△PAC≌△PBC,故AB⊥PE,根据切线的性质定理∠OAP=∠OBP=90°,所以直角三角形有:△AOC,△AOP,△APC,△OBC,△OBP,△CBP,共6个.故选:C.【点睛】此题综合考查了切线的性质和切线长定理及等腰三角形的判定,有利于培养同学们良好的思维品质.3.D【解析】试题分析:过点M作MD⊥AB于D,交OC于点E.连接AM,设⊙M的半径为R.∵以边AB为弦的⊙M与x轴相切,AB∥OC,∴DE⊥CO,∴DE是⊙M直径的一部分;∵四边形OABC为正方形,顶点A,C在坐标轴上,点A的坐标为(0,8),∴OA=AB=CB=OC=8,DM=8-R ;∴AD=BD=4(垂径定理);在Rt △ADM 中,根据勾股定理可得AM 2=DM 2+AD 2,∴R 2=(8-R )2+42,∴R=5.∴M (-4,5).故选D .考点:1.垂径定理;2.坐标与图形性质;3.勾股定理;4.正方形的性质.4.B【解析】【分析】连接EB 、EC ,如图,利用三角形内心的性质得到∠1=∠2,利用平行线的性质得∠2=∠3,所以∠1=∠3,则BM =ME ,同理可得NC =NE ,接着证明△AMN ∽△ABC ,所以6MN =77BM -,则BM =7﹣76MN ①,同理可得CN =5﹣56MN ②,把两式相加得到MN 的方程,然后解方程即可.【详解】解:连接EB 、EC ,如图,∵点E 为△ABC 的内心,∴EB 平分∠ABC ,EC 平分∠ACB ,∴∠1=∠2,∵MN ∥BC ,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴BM =ME ,同理可得NC =NE ,∵MN ∥BC ,∴△AMN ∽△ABC , ∴MN AM BC AB =,即767MN BM -=,则BM =7﹣76MN ①,同理可得CN=5﹣56MN②,①+②得MN=12﹣2MN,∴MN=4.故选B.【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.也考查了相似三角形的判定与性质.5.D【解析】【分析】根据圆周角定理和切线的判定,采用排除法,逐条分析判断.【详解】∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,故①正确;连接DO,∵点D是BC的中点,∴CD=BD,∴△ACD≌△ABD(SAS),∴AC=AB,∠C=∠B,∵OD=OB ,∴∠B=∠ODB ,∴∠ODB=∠C ,OD ∥AC ,∴∠ODE=∠CED ,∴ED 是圆O 的切线,故④正确;由弦切角定理知,∠EDA=∠B ,故②正确;∵点O 是AB 的中点,故③正确,故选D .【点睛】本题利用了平行线的判定,弦切角定理,全等三角形的判定和性质,切线的概念,中点的性质求解.6.D【解析】【分析】连接OB ,根据切线的性质得到90,OBP ∠=根据30角所对的直角边等于斜边的一半,得到1,2OB OP =求出OP 的长度,进而求出BC,根据直径所对的圆周角是直角,用勾股定理即可求出AB 的长度.【详解】如图,连接OB ,PB 是O 的切线,90,OBP ∴∠=30,P ∠=1,2OB OP ∴= 10,AC =1110 5.22OB OC AC ===⨯= 210.OP OB ∴==1055,PC OP OC =-=-=,OC PC ∴=∴BC 是斜边OP 上的中线,11105,22BC OP ∴==⨯= , AC 是O 的直径,90,ABC ∴∠=AB ==故选:D.【点睛】考查切线的性质,含30角的直角三角形的性质,勾股定理等,数形结合是解题的关键. 7.A【解析】【分析】欲求直线和圆的位置关系,关键是求出圆心到直线的距离d ,再与半径r 进行比较.若d <r ,则直线与圆相交;若d=r ,则直线于圆相切;若d >r ,则直线与圆相离.【详解】∵圆的直径为10 cm ,∴圆的半径为5 cm ,∵圆心到直线的距离4.5cm ,∴圆的半径>圆心到直线的距离,∴直线于圆相交,故选A .【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系,解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定.8.C【解析】【分析】根据三角形的内心的形成可得∠AIB1902︒=+∠C,根据三角形的外心的形成可得∠AOB=2∠C,即可得到结果.【详解】试题分析:由题意得∠AIB1902︒=+∠C,∠AOB=2∠C则∠AIB1904︒=+∠AOB,∴4∠AIB-∠AOB=360°故选C.【点睛】本题考查三角形的内心和外心,解答本题的关键是熟练掌握三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.9.B【解析】如图所示,连接OC.∵∠BOC与∠CDB是弧BC所对的圆心角与圆周角,∴∠BOC=2∠CDB.又∵∠CDB=20°,∴∠BOC=40°,又∵CE为圆O的切线,∴OC⊥CE,即∠OCE=90°.则∠E=90°﹣40°=50°.故选B.10.B【解析】【分析】根据直线和圆相切的性质,可知,R =d ,即方程240x x a -+=有两个相等的实数根,利用判别式与一元二次方程的根的关系,即可求解.【详解】∵直线m 与圆O 相切,∴R =d ,即方程240x x a -+=有两个相等的实数根,∴2(4)410a ∆=--⨯⨯=,解得:4a =,所以选B.【点睛】本题考查了几何知识和代数知识的综合运用,体现了两者之间的内在联系,也是“转化思想”在具体问题中的体现.11.3【解析】【分析】根据直线与圆的关系及30°角的直角三角形边的特点进行作答.【详解】过P 作PC ⊥A C.根据题意得到CP ⊥AM ,即2CP =AP ,所以圆P 的半径CP 为3.【点睛】本题考查了直线与圆的关系,熟练掌握直线与圆的关系是本题解题关键.12.r >2【解析】【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可.【详解】∵直线l 与半径为r 的⊙O 相交,且点O 到直线l 的距离d =2,∴r >2.故答案为:r>2.【点睛】此题考查直线与圆的位置关系,熟记直线与圆的三种位置关系的判定方法是解题的关键. 13.25.【解析】连接OA,作OE⊥CD于E,则CE=DE=2,∵直线AB与⊙O相切于点A ,∴OA⊥AB.∵CD∥AB,∴E、O、A三点共线.连接OC,在Rt△OEC中,OC=52,CE=2,由勾股定理得OE=32.∴AE=4.在Rt△AEC中,由勾股定理得AC=2514.相交【解析】【分析】由圆的半径为4,圆心O到直线l的距离为2,利用直线和圆的位置关系,圆的半径大于直线到圆距离,则直线l与O的位置关系是相交.【详解】解:∵⊙O的半径为4,圆心O到直线L的距离为2,∵4>2,即:d<r,∴直线L与⊙O的位置关系是相交.故答案为:相交.【点睛】本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系,若d<r,则直线与圆相交;若d>r,则直线与圆相离;若d=r,则直线与圆相切.15.70°【解析】【分析】连接OA、OB,根据圆周角定理求得∠AOB,由切线的性质求出∠OAP=∠OBP=90°,再由四边形的内角和等于360°,即可得出答案【详解】解:连接OA、OB,∠ACB=55°,∴∠AOB=110°∵PA、PB是⊙O的两条切线,点A、B为切点,∴∠OAP=∠OBP=90°∵∠APB+∠OAP+∠AOB+∠OBP=360°∴∠APB=180°-(∠OAP+∠AOB+∠OBP)=70°故答案为:70【点睛】本题考查了切线的性质、四边形的内角和定理以及圆周角定理,利用切线性质和圆周角定理求出角的度数是解题的关键16.32017【解析】分别作O1A⊥l,O2B⊥l,O3C⊥l,如图,∵半圆O1,半圆O2,…,半圆O n与直线L相切,∴O1A=r1,O2B=r2,O3C=r3,∵∠AOO1=30°,∴OO1=2O1A=2r1=2,在Rt△OO2B中,OO2=2O2B,即2+1+r2=2r2,∴r2=3,在Rt△OO2C中,OO3=2O2C,即2+1+2×3++r3=2r3,∴r3=9=32,同理可得r4=27=33,所以r2018=32017.故答案为32017.点睛:找规律题需要记忆常见数列1,2,3,4……n1,3,5,7……2n-12,4,6,8……2n2,4,8,16,32……2n1,4,9,16,25……2n2,6,12,20……n(n+1)一般题目中的数列是利用常见数列变形而来,其中后一项比前一项多一个常数,是等差数列,列举找规律.后一项是前一项的固定倍数,则是等比数列,列举找规律.17.π.【解析】【详解】图1,过点O做OE⊥AC,OF⊥BC,垂足为E. F,则∠OEC=∠OFC=90°∵∠C=90°∴四边形OECF为矩形∵OE=OF∴矩形OECF为正方形设圆O的半径为r,则OE=OF=r,AD=AE=3−r,BD=4−r∴3−r+4−r=5,r=3452+-=1∴S1=π×12=π图2,由S△ABC=12×3×4=12×5×CD∴CD=125由勾股定理得:AD=221293()55-=,BD=5−95=165,由(1)得:⊙O的半径=912335525+-=,⊙E的半径=1216445525+-=,∴S1+S2=π×(35)2+π×(45)2=π.图3,由S△CDB=12×125×165=12×4×MD∴MD =4825, 由勾股定理得:CM =22124836()()52525-=, MB =4−3625=6425, 由(1)得:⊙O 的半径=35, ⊙E 的半径=1225, ∴⊙F 的半径=1625, ∴S 1+S 2+S 3=π×(35)2+π×(1225)2+π×(1625)2=π 18.相离【解析】 过点A 作AD ⊥BC 于点D ,根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD=2,在Rt △ABD 中,由勾股定理可得AD=22226242AB BD -=-=,因42<5,所以该等腰三角形的底边与以等腰三角形的顶角的顶点为圆心,半径为5cm 所画的圆相离.19.5【解析】试题分析:连接OB ,根据切线的性质可知OB ⊥AB ,可设圆的半径为r ,然后根据勾股定理可得,即,解得r=5.故答案为:5.考点:1、切线的性质,2、勾股定理20.253或154 【解析】【分析】设BD =x ,由折叠性质得AD 与CD ,在Rt △ACD 中由勾股定理列出x 的方程,进而求得DE ,得出⊙P 不能与AB 相切,进而分两种情况:⊙P 与AC 相切和⊙P 与BC 相切,过P 作切线的垂线段,再根据相似三角形的比例线段便可求得结果.【详解】解:设BD =x ,由折叠知AD =BD =x ,CD =16﹣x ,在Rt △ACD 中,由勾股定理得,x 2=82+(16﹣x )2,解得,x =10,∴CD =10,∵AB =22AC BC +=22816+=85,∴AE =BE =12AB =45, ∴DE =()2210-45=255<,∴点P 是线段AD 上运动时,⊙P 不可能与AB 相切,分两种情况:①当⊙P 与AC 相切时,过点P 作PF ⊥AC 于点F ,如图1,∴PF =5,PF ∥CD ,∴△APF ∽△ADC ,∴=AP PF AD CD ,即5=106AP , ∴25AP=3; ②⊙P 与BC 相切时,过点P 作PG ⊥BC 于点G ,如图2,∴PG =5,PG ∥AC ,∴△DPG ∽△DAC ,∴=DP PG DA AC ,即5=108DP , ∴DP =254, ∴AP =10﹣254=154, 综上,AP 的长为253或154. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,切线的性质,折叠的性质,分⊙P 与AC 相切和⊙P 与BC 相切两种情况讨论是解题关键.21.(1)8+4;(2)△PAB 与△PCD 的面积之比是 4:1. 【解析】【分析】(1)由切线长定理可求得PA=PB ,PC=PD ;根据PC 、DB 的长,即可求出PA 、PB 的长;再根据∠APB=90°,可求出AB 的长,由此可求出△PAB 的周长;(2)根据题意可知△APB 和△DPC 都是直角三角形,再分别求出△PAB 与△PCD 的面积计算比值即可.【详解】(1)依题意得:∵AB 、BD 为两圆的公切线,∴PC=PD ,PA=PB ,又∵PC=2,DB=6 且 DB=PD+PB ,∴PB=PA=4,又∵∠APB=90°, ∴△APB 是直角三角形,∴AB=4 ,∴△PAB 的周长=8+4;(2)∵∠APB 与∠DPC 是对顶角,且∠APB=90°∴△APB 和△DPC 都是直角三角形,∴△PAB 的面积为:=8,△PCD 的面积为=2,∴△PAB 与△PCD 的面积之比是4:1.【点睛】本题考查了切线长定理,解题的关键是熟练的掌握切线长定理与三角形的面积计算.22.(1)125;(2)60°,45π;(3)0°<∠PCE≤60°或120°≤∠PCE<180°【解析】【分析】(1)先利用勾股定理求出BD,再用三角形的面积公式求解即可得出结论;(2)先根据三角函数求出CM和∠CPM,进而求出∠PCQ,最后用弧长公式计算即可得出结论;(3)先判断出0<CN 63,再利用三角函数求出分界点CN63时的∠PCE的度数,即可得出结论.【详解】(1)如图1,在矩形ABCD中,CD=AB=4,BC=AD=3,∠BCD=90°,设切点为H.连接CH,∵BD与⊙C相切于H,∴CH⊥BD,根据勾股定理得,BD225CD BC+=,∵S△BCD=12BC•CD=12BD•CH,∴CH=125 BC CDBD=,即⊙C的半径为125;(2)如图2,连接CP,CQ,过点C作CM⊥AP于M,∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=5,在Rt△ACM中,sin∠P AC=CM AC=∴CM,在Rt△CMP中,sin∠CPM=51225CMCP==,∴∠CPM=60°,即∠CP A=60°,∵CP=CQ,∴△CPQ是等边三角形,∴∠PCQ=60°,∴弧PQ的长为1260451805ππ⨯=;(3)如图备用图,过点P作PP'∥AC,过点C作CN⊥PP'于N,则∠PCN=∠P'CN,∠ECN=∠CNP=90°,∴点P到AC的距离d=CN,∵ 0<d≤5,∴ 0<CN≤5,当CN=0时,点P在直线AC上,∠PCE=0°,当CN时,连接CP,CP',在Rt△P'CN中,cos∠P'CN=CNCP'=5125∴∠P'CN=30°,∴∠PCN=∠P'CN=30°∴∠P'CE=∠ECN﹣∠P'CN=60°,∠PCE=∠ECN+∠PCN=120°,∴∠PCE度数的取值范围为0°<∠PCE≤60°或120°≤∠PCE<180°【点睛】本题是一道圆的综合题,涉及切线定理、垂径定理、解直角三角形、特殊角的三角函数值、弧长公式、平行线间的距离相等等知识,解答的关键是仔细审题,提取相关信息,结合图形作出所需辅助线,进而推理、探究、发现和计算.23.(1)∠AMB=46°;(Ⅱ)∠AMB=60°.【解析】试题分析:(1)根据切线性质求出∠OBM=∠OAM=90°,根据圆周角定理求出∠COB,求出∠BOA,即可求出答案;(2)连接AB、AD,得出平行四边形,推出MB=AD,推出AB=AD,求出等边三角形AMB,即可得出答案.解:(1)连接OB,∵MA、MB分别切⊙O于A、B,∴∠OBM=∠OAM=90°,∵弧BC对的圆周角是∠BAC,圆心角是∠BOC,∠BAC=23°,∴∠BOC=2∠BAC=46°,∴∠BOA=180°﹣46°=134°,∴∠AMB=360°﹣90°﹣90°﹣134°=46°.(2)连接AD,AB,∴四边形BMAD 是平行四边形,∴BM =AD ,∵MA 切⊙O 于A ,∴AC ⊥AM ,∵BD ∥AM ,∴BD ⊥AC ,∵AC 过O ,∴BE =DE ,∴AB =AD =BM ,∵MA 、MB 分别切⊙O 于A 、B ,∴MA =MB ,∴BM =MA =AB ,∴△BMA 是等边三角形,∴∠AMB =60°.24.(1)见解析;(2)23π-【解析】【分析】(1)连接OC ,根据OA =OC ,DA =DC 可得∠O A C =∠OCA ,∠DAC =∠D CA ,再根据直线l 与⊙O 相切于点A 可得∠DAO =90°,进而可得∠DCO =90°,由此可证得直线DC 是⊙O 的切线;(2)先证明BOC 为等边三角形,可得OB =OC =BC =2,根据扇形面积公式可求得23BOC S π=扇形,再利用含30°的直角三角形的性质及勾股定理可求得CE =由此可求得COE S =△,最后便可得23COE BOC S S S π=-△阴影扇形. 【详解】(1)证明:连接OC ,∵OA =OC ,∴∠O A C =∠OCA ,∵DA =DC ,∵直线l与⊙O相切于点A,∴∠DAO=90°,∴∠DAC+∠OAC=90°,∴∠DCA+∠OCA=90°,∴∠DCO=90°,∴OC⊥DC,又∵点C在⊙O上,∴直线DC是⊙O的切线;(2)解:∵∠CAB=30°,∴∠COB=2∠CAB=60°,又∵OB=OC,∴BOC为等边三角形,∴OB=OC=BC=2,∴26022=3603BOCSππ⋅⋅=扇形,∵∠OCE=90°,∠COB=60°,∴∠E=90°-∠COB=30°,∴OE=2OC=4,∴在Rt COE中,CE==,∴12COES OC OE=⋅△122=⨯⨯=,∴23COE BOCS S Sπ=-△阴影扇形∴阴影部分的面积为23π.【点睛】本题考查了切线的性质与判定、扇形的面积公式以及含30°的直角三角形的性质,勾股定理,熟练掌握切线的性质与判定、扇形的面积公式是解决本题的关键.25.(1)见解析;(2)12;(3)252或8或98;(4)AP=5或AP=20【解析】【分析】(1)利用已知易证△AFP∽△ABC,利用相似三角形的对应边成比例,可得到AC的长,再证明CF=CB,然后利用圆周角定理可证得结论;(2)利用相似三角形的性质,可证得CF=2PB,设AP=5m,则AF=4m,用含m的代数式表示出PB,CF的长,据此可建立关于m的方程,解方程求出m的值,即可得到AP,AF,CF的长,再利用相似三角形的对应边成比例,可求出CG的长,即可得到DG的长;(3)①F与C重合时,⊙O与AC相切;②P与B重合时,⊙O与DC相切,可以求出AP 的长;③⊙O与AD相切时,设切点为K,如图,设AP=x,分别用含x的代数式表示出PB,OK,PC的长,利用勾股定理建立关于x的方程,解方程求出x的值,即可得到AP的长;(4)分情况讨论:①当点P在线段AB上时,如图1,过点P作PM∥AC交BF于点M,设AP=5m,用含m的代数式表示出AF,CF,PB,PM的长,再由PM∶AF=PB:AB,可求出m的值,即可得到AP的长;②当点P在线段AB的延长线上时,如图2,过点C作CM∥AP交BF于点M,用含m的代数式表示出AF,CF,PB,PM的长,再由PM∶AF=PB:AB,可求出m的值,即可得到AP的长.【详解】(1)证明:∵PF⊥AC,∴∠AFP=∠ABC=90°,∴△AFP∽△ABC,∴AP AF AC AB=,∵AB=8,BC=AD=6,∴AC=10,∴当AP=5时,AF=4,∴CF=6,∴CF=CB,∴CF CB=,∴∠CPB=∠FBC;(2)解:由题意可知△FCH∽△PBH,∵△FCH的面积等于△PBH面积的4倍,∴CF=2PB,设AP=5m,则AF=4m,∴PB=8-5m,CF=10-4m,∴10-4m=2(8-5m),∴m=1,∴AP=5,AF=4,CF=6,∵△CFG∽△AFP,∴CG=152,∴DG=12;(3)解:①F与C重合时,⊙O与AC相切,AP=AC10254cos CAB25∠==,②P与B重合时,⊙O与DC相切,AP=8;③⊙O与AD相切时,设切点为K,如图,设AP=x,则PB=8-x,OK=12(8+x)∴PC=8+x,在Rt△PBC中,由勾股定理可以求得x=98,∴AP=98,综上所述,AP的长为252或8或98;(4)解:AP=5或AP=20.①当点P在线段AB上时,如图1,过点P作PM∥AC交BF于点M,设AP=5m,则AF=4m,CF=10-4m,PB=8-5m,∵PH:CH=1:4,∴PM=14(10-4m) ,再由PM∶AF=PB:AB,得m=1,∴AP=5,②当点P在线段AB的延长线上时,如图2,过点C作CM∥AP交BF于点M,设AP=5m,则AF=4m,CF=4m-10,PB=5m-8,∵PH:CH=4:1,∴CM=14(5m-8),再由CM:AB=CF:AF,得m=4,∴AP=20.【点睛】此题是圆的综合题,考查了几何图形的动态问题,相似三角形的判定及性质,弧、弦、圆心角定理,切线的性质定理,勾股定理,锐角三角函数.26.(1)证明见解析;(2)4.【解析】试题分析:(1)连接OD ,由等腰三角形的性质及三角形内角和定理得到∠ADB=120°,∠ADO=∠A=30°,那么∠ODB=90°,根据切线的判定方法即可证明BD 是⊙O 的切线; (2)解含30°角的Rt △OBD ,得出OB=2OD ,再根据CB=OB ﹣OC=2OD ﹣OD=OD 即可求解.试题解析:(1)如图,连接OD ,∵AD=BD ,∴∠B=∠A=30°,∴∠ADB=180°﹣∠A ﹣∠B=120°,∵OA=OD ,∴∠ADO=∠A=30°,∴∠ODB=∠ADB ﹣∠ADO=90°,又∵点D 在⊙O 上,∴BD 是⊙O 切线;(2)在Rt △OBD 中,∵∠ODB=90°,∠B=30°,∴OB=2OD=4,∴CB=OB ﹣OC=2OD ﹣OD=OD=4.考点:切线的判定.27.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)1,7a PF ==.【解析】【分析】()1根据已知先证明,OAC ACO ∠=∠根据平行线的性质有FAC ACO ∠=∠,即可证明. ()2证明CBE CPB ~,根据相似三角形的性质得到CB CE CP CB=,即可证明. ()3作BM PF ⊥于M ,则CE CM CF ==. 设3CE CM CF a ===,4,PC a PM a ==.证明BMC PMB ~,根据相似三角形的性质求出3BM a =,求出tan BM BCM CM ∠==,即可解决问题. 【详解】 ()1证明:PF 是切线.OC PF ∴⊥.AF PF ⊥.//AF OC ∴.FAC ACO ∴∠=∠,OA OC =,OAC ACO ∴∠=∠,,FAC CAB ∴∠=∠即AC 平分FAB ∠()2证明:OC OB =.OCB OBC ∴∠=∠, PF 是O 的切线,CF AB ⊥,90OCP CEB ∴∠=∠=,90PCB OCB ∴∠+∠=,90BCE OBC ∠+∠=BCE BCP ∴∠=∠, CD 是直径.90CBD CBP ∴∠=∠=,CBE CPB ∴~,CB CE CP CB∴=, 2·BC CE CP ∴=,()3作BM PF ⊥于M ,则CE CM CF ==.设3CE CM CF a ===,4,PC a PM a ==.90MCB P ∠+∠=,90P PBM ∠+∠=MCB PBM ∴∠=∠,CD 是直径,BM PC ⊥.90CMB BMP ∴∠=∠=,BMC PMB ∴~,BM CM PM BM∴=, 22·3BM CM PM a ∴==,3BM a ∴=,3tan BM BCM CM ∴∠==, 30BCM ∴∠=,60OCB OBC BOC ∴∠=∠=∠=, 由已知得:圆的半径23OB =3CM ∴=,所以1,7a PF ==.【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活应用相似三角形的判定与性质定理是解题的关键.28.(1)EF 是⊙O 的切线,理由详见解析;(2)详见解析;(3)⊙O 的半径的长为2.【解析】【分析】(1)连接OE,根据等腰三角形的性质得到∠A=∠AEO,∠B=∠BEF,于是得到∠OEG=90°,即可得到结论;(2)根据含30°的直角三角形的性质证明即可;(3)由AD是⊙O的直径,得到∠AED=90°,根据三角形的内角和得到∠EOD=60°,求得∠EGO=30°,根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论.【详解】解:(1)连接OE,∵OA=OE,∴∠A=∠AEO,∵BF=EF,∴∠B=∠BEF,∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠AEO+∠BEF=90°,∴∠OEG=90°,∴EF是⊙O的切线;(2)∵∠AED=90°,∠A=30°,∴ED=12 AD,∵∠A+∠B=90°,∴∠B=∠BEF=60°,∵∠BEF+∠DEG=90°,∴∠DEG=30°,∵∠ADE+∠A=90°,∴∠ADE=60°,∵∠ADE=∠EGD+∠DEG,∴∠DGE=30°,∴∠DEG=∠DGE ,∴DG=DE ,∴DG=12DA ; (3)∵AD 是⊙O 的直径,∴∠AED=90°,∵∠A=30°,∴∠EOD=60°,∴∠EGO=30°,∵阴影部分的面积2160π2π.23603r r ⋅⨯=⨯-= 解得:r 2=4,即r=2,即⊙O 的半径的长为2.【点睛】本题考查了切线的判定,等腰三角形的性质,圆周角定理,扇形的面积的计算,正确的作出辅助线是解题的关键.。
浙教版九年级下《第二章直线与圆的位置关系》单元评估试题有答案
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浙教版九年级数学下册第二章直线与圆的位置关系单元评估检测试题一、单选题(共10题;共30分)1.如图,直线l是⊙O的切线,点A为切点,B为直线l上一点,连接OB交⊙O于点C,D是优弧AC上一点,连接AD,CD.若∠ABO=40°.则∠D的大小是()A. 50°B. 40°C. 35°D. 25°2.已知直角三角形的两条直角边分别为12cm和16cm,则这个直角三角形内切圆的半径是()A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm3.如图,已知△ABC中,AB= AC,∠ABC=70°,点I是△ABC的内心,则∠BIC的度数为()A. 40°B. 70°C. 110°D. 140°4.如图,P为⊙O外一点,PA切⊙O于点A,⊙O的半径为6,且PA=8,则cos∠APO等于()A. 45 B. 35C. 43D. 345.如图所示,P是⊙O外一点,PA,PB分别和⊙O切于A,B两点,C是AB∧上任意一点,过C作⊙O的切线分别交PA,PB于D,E.若△PDE的周长为12,则PA的长为()A. 12B. 6C. 8D. 46.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作⊙O的切线,与边BC交于点E,若AD=95,AC=3.则DE长为()A. 32 B. 2 C. 52D. 57.如图,一圆内切四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形的周长为()A. 50B. 52C. 54D. 568.如图,圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm,那么等腰梯形ABCD的周长等于()A. 15cmB. 20cmC. 30cmD. 60cm9.一个边长为4的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等,如图放置,⊙O与BC相切于点C,⊙O与AC 相交于点E,则CE的长是( )A. 23B. 3C. 2D. 310.(2015•遵义)将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°,得正方形AB1C1D1,B1C1交CD于点E,AB=3,则四边形AB1ED的内切圆半径为()A. 3+12B. 3−32C. 3+13D. 3−33二、填空题(共10题;共30分)11.若⊙O的半径为4cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的位置关系是________.12.(2017•镇江)如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O相切,CO交⊙O于点D.若∠CAD=30°,则∠BOD=________°.13.如图,已知:⊙O与△ABC的边AB,AC,BC分别相切于点D,E,F,若AB=4,AC=5,AD=1,则BC =________.14.在△ABC中,∠C=90°,AB=10,且AC=6,则这个三角形的内切圆半径为________.15.已知⊙O的半径为3cm,圆心O到直线l的距离是4cm,则直线l与⊙O的位置关系是________ .16.如图,在△ABC中,BC=4,以点A为圆心,2为半径的⊙A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,点P是⊙A上的一点,且∠EPF=45°,则图中阴影部分的面积为________.17.如图,菱形ABOC的AB,AC分别与⊙O相切于点D、E,若点D是AB的中点,则∠DOE________.18.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB长63,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是 ________.19.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,过点D作⊙O的切线,切点为C,若∠A=25°,则∠D=________度.20.如图,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,过D作⊙O的切线DE交AC于E,且DE⊥AC,由上述条件,你能推出的正确结论有:________(要求:不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结。
【数学】2020浙教版数学九年级下册第2章直线与圆的位置关系单元测试
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【关键字】数学单元测试卷一、选择题(每题4分,共40分)1. ⊙O的直径是3,直线与⊙0相交,圆心O到直线的距离是d,则d应满足( )A. d>3B. 1.5<d<. O ≤d<1.5 D.d<O2. 在平面直角坐标系中,以点(2 , l)为圆心、1为半径的圆必与()A. x轴相交B.y轴相交C. x轴相切D. y轴相切3.4.5.如图,PA为⊙O的切线,A为切点,PO交⊙O于点B,PA=3,OA=4,则cos∠APO的值为()(A)(B)(C)(D)6.如图,AB是⊙O的直径,P是AB延长线上的一点,PC切⊙O于点C,PC=3、PB:AB=1:3,则⊙O的半径等于()A. B. C. D.7.已知正三角形的内切圆半径为cm,则它的边长是()(A)(B)cm (C)(D)cm8.9.如图,AD、AE分别是⊙O的切线,D、E为切点,BC切⊙O于F,交AD、AE于点B、C,若AD=8.则三角形ABC的周长是()A. 8B.16 D.不能确定10.2、填空题(每小题5分,共30分)1、如图8,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,若∠APB=60°,则∠ABO= .2.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=,⊙A与BC相切于点D,则⊙A的半径为cm.3.4.如图,已知∠AOB=30°,M为OB边上一点,以M为圆心、为半径作⊙M.若点M在OB边上运动,则当OM= cm时,⊙M与OA相切.5.①OC是⊙O的半径;②AB⊥OC;③直线AB切⊙O于点C.请以其中两个语句为条件,一个语句为结论,写出一个真命题.6、三、解答题(共50分)1.如图,△ABC中,∠BCA=90°,∠A=30°,以AB为直径画⊙O,延长AB到D,使BD等于⊙O的半径.求证:CD是⊙O的切线.(8分)2.(10分)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,D是⊙O上一点,且AD∥OC(1)求证:△ADB∽△OBC(2)若AB=2,BC=,求AD的长(结果保留根号)3.(本题12分)正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位,以O为原点建立平面直角坐标系。
2020-2021学年浙教版九年级数学下册第二章《直线与圆的位置关系》综合提高A卷(附答案)
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2020-2021学年浙教版九年级数学下册第二章《直线与圆的位置关系》综合提高A 卷班级_________ 姓名_________ 得分_________一、选择题(每题3分,共30分)1.三角形的内心是( )A .三边垂直平分线的交点B .三条角平分线的交点C .三条高所在直线的交点D .三条中线的交点2.如图所示,AB 是⊙O 的弦,直线BC 与⊙O 相切于点B ,连结OA ,OB ,若∠ABC = 65°,则∠A 等于( )A .20°B .25°C .35°D .75°3.如图所示,P 为⊙O 外一点,PA 切⊙O 于点A ,⊙O 的半径为6,且PA = 8,则cos ∠APO 等于( )A .54B .53C .34D .43 4.在平面直角坐标系中,以点(3, - 4)为圆心,r 为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点,则r 的值是( )A .3B .4C .3或4D .4或55.如图所示,以点O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 是小圆的切线,P 为切点.若大圆半径为2,小圆半径为1,则AB 的长为( )A .23B .22C .5D .26.如果正三角形的内切圆半径为1,那么这个正三角形的边长为( )A .2B .3C .3D .237.已知△ABC 的周长为14,面积为7,则△ABC 的内切圆半径为( )A .0.5B .1C .2D .38.如图所示,在△ABC 中,∠B = 90°,AB = 21,BC = 20,有一个半径为10的圆分别与AB ,BC 相切,则此圆的圆心是( )A.AB边的垂直平分线与BC边的垂直平分线的交点B.∠B的平分线与AB的交点C.∠B的平分线与AB边的垂直平分线的交点D.∠B的平分线与BC边的垂直平分线的交点9.如图所示,在△ABC中,BC = 4,以点A为圆心,2为半径的⊙O与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,P是⊙A上的一点,且∠EPF = 45°,则图中阴影部分的面积为()A.4 - 2πB.8 + πC.4 - πD.8 - 2π10.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠AOD= 30°,半径为1 cm的⊙P的圆心在射线OA上,且与点O的地离为6 cm.如果⊙P以1 cm/s的速度沿由点A向点B的方向移动,那么⊙P与直线CD相切时,时间为()A.4sB.8sC.4s或6sD.4s或8s二、填空题(每题4分,共24分)11.如图所示,⊙O的半径为1,OA= 2.5,∠OAB= 30°,则直线AB与⊙O的位置关系是_________ .12.如图所示,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,DC切⊙O于点C,若∠A= 25°,则∠D = _________ .13.如图所示,⊙O的半径OC = 5 cm,直线l⊥OC,垂足为点H,且l交⊙O于A,B两点,AB = 8cm,则l沿OC所在直线向下平移 _________ cm时与⊙O相切.14.如图所示,小明同学测量一个光盘的直径,他只有一把直尺和一块三角板,他将直尺、光盘和三角板按如图所示放置于桌面上,并量出AB = 3 cm,则此光盘的直径是 _________ cm.15.如图所示,在△ABC 中,AB = 7 cm ,AC = 8 cm ,BC = 6 cm ,点O 是△ABC 的内心,过点O 作EF ∥AB ,与AC ,BC 分别交于点E ,F ,则△CEF 的周长为 _________ .16.将一张以O 为圆心,半径为10的半圆图纸沿它的一条弦折叠,使其弧与直径相切,如图所示,若切点分直径之比为3:1,则折痕长为 _________ .三、解答题(共66分)17.(6分)如图所示,PA ,PB 是⊙O 的切线,A ,B 为切点,AC 是⊙O 的直径,∠ACB = 50°,求∠P 的度数.18.(8分)如图所示,已知⊙O 的半径为8 cm ,A 为半径OB 延长线上一点,射线AC 切⊙O 于点C ,BC ⌒ 的长为38πcm ,求线段AB 的长.19.(8分)如图所示,在⊙O 中,AB 是直径,AD 是弦,∠ADE = 60°,∠C = 30°.(1)求证:CD 是⊙O 的切线.(2)若BC = 3,求CD 的长.20.(10分)如图所示,已知A ,B ,C ,D ,E 是⊙O 上五点,⊙O 的直径BE = 23,∠BCD =120°,A 为BE⌒ 的中点,延长BA 到点P ,使BA = AP ,连结PE . (1)求线段BD 的长.(2)求证:直线PE 是⊙O 的切线.21.(10分)如图1所示,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,若直线CD 与⊙O 相切于点C ,AD ⊥CD ,垂足为点D .(1)求证:△ADC ∽△ACB .(2)把直线CD 向下平行移动,如图2所示,直线CD 交⊙O 于C ,G 两点,若题目中的其他条件不变,且AG = 4,BG = 3,求ACAD 的值.22.(12分)如图所示,A 是以BC 为直径的⊙O 上一点,AD ⊥BC 于点D ,过点B 作⊙O 的切线,与CA 的延长线相交于点E .G 是AD 的中点,连结CG 并延长,与BE 相交于点F ,延长AF 与CB 的延长线相交于点P ,且FG = FB = 3.(1)求证:BF = EF .(2)求tanP 的值.(3)求⊙O 的半径.23.(12分)如图所示,已知AB是⊙O的直径,且AB = 12,AP是半圆的切线,C是半圆上的一动点(不与点A,B重合),过点C作CD⊥AP于点D,记∠COA = a.(1)当a = 60°时,求CD的长.(2)当a为何值时,CD与⊙O相切?请说明理由.(3)当AD = 32时,求a的值.。
九年级数学下册第二章《直线与圆的位置关系》单元综合测试3新版浙教版
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第 2 章直线与圆的地址关系一、填空题 :1. ⊙O的直径为10cm,⊙O所在的平面内有一点P, 当 PO_______时 , 点 P 在⊙O 上 ; 当PO_____时 , 点 P 在⊙O内 ; 当 PO______时 , 点 P 在⊙O外 .2. 已知⊙O 的周长为8cm,若 PO=2cm,则点 P 在 _______; 若 PO=4cm,则点 P 在 _____; 若PO=6cm,则点 P 在 _______.3.平面上有两点 A、 B, 若线段 AB的长为 3cm,则以 A 为圆心 , 经过点 B 的圆的面积为_______.4. 点 A 的坐标为 (3,0),点B的坐标为(0,4),则点B在以A为圆心, 6为半径的圆的_______.5. 在半径为5cm的⊙O 上有一点P, 则 OP的长为 ________.二、选择题 :6. 在△ ABC中, ∠C=90°,AC=BC=4cm,D是 AB的中点 , 以 C为圆心 ,4cm 长为半径作圆 , 则 A、B、 C、 D 四点中 , 在圆内的有 ( )A.4 个个个个7. 与圆心的距离不大于半径的点所构成的图形是( )A. 圆的外面 ( 包含界限 )B. 圆的内部 ( 不包含界限 )C.圆D.圆的内部 ( 包含界限 )8.已知⊙O 的半径为 6cm,P 为线段 OA的中点 , 若点 P 在⊙O上 , 则 OA的长 ( )A. 等于 6cmB.等于12cmC.小于6cmD.大于12cm9. ⊙O的半径为 5, 圆心 O的坐标为 (0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与⊙ O的地址关系是( )A.点 P在⊙O内B.点 P的⊙O上C.点 P在⊙O外D.点 P 在⊙O 上或⊙O 外三、解答题 :10.如图 , 点 O到直线 AB的距离为 8cm, 点 C、 D 都在直线 AB上,OA⊥AB. 若 AD=6cm.CD=2cm,AB=5cm以. O为圆心 ,10cm 为半径作圆 , 试判断 A、B、C、D 四点与⊙ O 的地址关系.B A D CO11.设线段 AB=4cm,作图说明 : 到点 A的距离大于 3cm,且到点 B 的距离小于 2cm的全部点构成的图形 .12.作图说明到点 O的距离大于 2cm而小于 3cm 的全部点构成的图形 .13.如图 , 点 P 的坐标为 (4,0), ⊙P的半径为 5, 且⊙P与 x 轴交于点 A、B, 与 y 轴交于点C、 D, 试求出点A、 B、 C、 D 的坐标 .yCA O PB xD14.如图 , 矩形 ABCD中 , 对角线 AC、BD订交于点 O,试问 : 能否存在一个圆 , 使 A、B、C、D 四个点都在这个圆上?假如存在 , 请指出这个圆的圆心和半径; 假如不存在 , 说明原由 .A DOB C15.操场上站着 A、 B、 C三位同学 , 已知 A、B 相离 5 米 ,B 、 C 相离 3 米 , 试写出 A、C 两位同学之间距离的取值范围 .参照答案1.=5cm <5cm >5cm2.⊙O内⊙O外⊙O外cm 2 4. 内部10. 由已知得 OA=8cm,OB= AB2OA2825289 ,OD= 6282=10,OC=AC 2OA282828 2 ,故 OA<10,OB<10,OD=10,OC>10.从而点 A, 点 B 在⊙O内 ; 点 C 在⊙O外 ; 点 D 在⊙O上 .11. 以以下列图 , 所构成的图形是暗影部分 ( 不包含暗影的界限 ).12. 以以下列图 , 所构成的图形是暗影部分 ( 不包含暗影的界限 ).OA B(11 题)(12题)13. 由已知得PO=4,PA=5,PB=5,故 OA=1,OB=9,从而 A点坐标为A(-1,10),B点坐标为(9,0);连结PC、PD,则PC=PD=5,又PO⊥CD,PO=4,故OC=PC2OP2=3,OD=PD 2OP 2=3.从而 C 点坐标为 (0,3) ,D点坐标为(0,-3).14.存在 , 以 O为圆心 ,OA 为半径的圆 .15.2 ≤AC≤8.。
【培优提高训练】浙教版九年级数学下册 第二章 直线与圆的位置关系 典型例题解析 (学生用)
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【培优提高训练】浙教版九年级数学下册第二章直线与圆的位置关系典型例题解析一、解答题1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在AB上,⊙O经过点A,且与BC相切于点D(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若BD=5,CD=3,求AD的长.2.如图,AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G,若∠BOC=90°,(1)求证:AB∥CD;(2)若OB=3,OC=4,求由BE、BC、CG、及弧EFG围成图形的面积(即图中阴影部分).3.如图,已知⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F,S△ABC=10cm2,C△ABC=10cm,且∠C=60°求:(1)⊙O的半径r;(2)扇形OEF的面积(结果保留π);(3)扇形OEF的周长(结果保留π)。
4.如图,已知点E 在直角△ABC 的斜边AB 上,以AE 为直径的⊙O 与直角边BC 相切于点D ,求证:AD 平分∠BAC.5.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 是⊙O 上一点,AD 和过点C 的切线互相垂直,垂足为D ,直线DC 与AB 的延长线相交于P .弦CE 平分∠ACB ,交直径AB 于点F ,连结BE .(1)求证:AC 平分∠DAB ;(2)探究线段PC ,PF 之间的大小关系,并加以证明;(3)若tan ∠PCB= , BE= , 求PF 的长.34526.(2017•福建)如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,AB 是⊙O 的直径,点P 在CA 的延长线上,∠CAD=45°. (Ⅰ)若AB=4,求 的长;(Ⅱ)若 = ,AD=AP ,求证:PD 是⊙O 的切线.7.如图,已知AB是⊙O的直径,锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C,作CD⊥AD,垂足为D,直线CD 与AB的延长线交于点E.(1)求证:直线CD为⊙O的切线;(2)当AB=2BE,且CE=时,求AD的长.8.如图,∠C=90°,⊙O是Rt△ABC的内切圆,分别切BC,AC,AB于点E,F,G,连接OE,OF.AO的延长线交BC于点D,AC=6,CD=2.(1)求证:四边形OECF为正方形;(2)求⊙O的半径;(3)求AB的长.9.如图,AB为⊙O的直径,弦AC=2,∠ABC=30°,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求:(1)BC、AD的长;(2)图中两阴影部分面积的和.10.如图,在△ABC ,AB=AC ,以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ,点F 在AC 的延长线上,且∠CBF=∠CAB .12(1)求证:直线BF 是⊙O 的切线;(2)若AB=5,sin ∠CBF= , 求BC 和BF 的长.5511.如图,AB 是⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BM ,弦CD ∥BM ,交AB 于点F ,且=, 连接AC ,AD ,延长AD 交BM 于点E .(1)求证:△ACD 是等边三角形;(2)连接OE ,若DE=2,求OE 的长.12.如图,点A 、B 在直线l 上,AB=10cm ,⊙B 的半径为1cm ,点C 在直线l 上,过点C 作直线CD 且∠DCB=30°,直线CD 从A 点出发以每秒4cm 的速度自左向右平行运动,与此同时,⊙B 的半径也不断增大,其半径r (cm )与时间t (秒)之间的关系式为r=1+t (t≥0),当直线CD 出发多少秒直线CD 恰好与⊙B 相切.13.如图,⊙O 的直径AB=2,AM 、BN 是它的两条切线,CD 与⊙O 相切于点E ,与BN 、AM 交于点C 、D ,设AD=x ,BC=y 。
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浙教版2020九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系单元综合培优提升训练题3(附答案详解)1.如图,AB 是⊙O 的直径,PD 切⊙O 于点C ,交AB 的延长线于D ,且CO=CD ,则∠CAB 的度数是( )A .22.5°B .45°C .60°D .30°2.如图,P A 、PB 、分别切O 于A 、B 两点,40P ∠=︒,则C ∠的度数为()A .60︒B .65︒C .70︒D .75︒3.如图,ABCD 的三个顶点A B D 、、均在O 上,且对角线AC 经过点O ,BC 与O 相切于点B ,已知O 的半径为6,则ABCD 的面积为( ).A .35B .3845C .543D .72572+54.如图,OA=4,线段OA 的中点为B ,点P 在以O 为圆心,OB 为半径的圆上运动,PA 的中点为Q ,当点Q 也落在⊙O 上时,cos∠OQB 的值等于( )A .12B .13C .14D .235.如图,AB 为的直径,四边形ABCD 为O 的内接四边形,点P 在BA 的延长线上,PD 与O 相切,D 为切点,若130BCD ︒∠=,则ADP 的大小为( )6.如图,⊙O 的直径为10,弦AB 的长为6,M 是弦AB 上的一动点,则线段的OM 的长的取值范围是( )A .3≤OM≤5B .4≤OM≤5C .3<OM <5D .4<OM <57.ΔABC 的三边长分别为6、8、10,则其内切圆和外接圆的半径分别是( )A .2,5B .1,5C .4,5D .4,108.已知⊙O 的直径为4,点O 到直线l 的距离为2,则直线l 与⊙O 的位置关系是 A .相交 B .相切 C .相离 D .无法判断 9.下列命题中假命题是( )A .六边形的外角和为360B .圆的切线垂直于过切点的半径C .点()2,3-关于x 轴对称的点为()2,3D .抛物线2y x 4x 2018=-+的对称轴为直线x 4=10.如图,AB 是⊙O 的切线,B 为切点,AO 与⊙O 交于点C .若∠BAO=40°,则∠CBA 的度数为( )A .15°B .20°C .25°D .30°11.已知⊙O 的直径为6cm ,且点P 在⊙O 内,则线段PO 的长度(范围)( ) A .小于6cm B .6cm C .3cm D .小于3cm12.在圆内接四边形ABCD 中,若∠B=2∠D ,则∠B 等于( )A .45°B .60°C .90°D .120°13.如图,在矩形ABCD 中,AB =5,BC =4,以BC 为直径在矩形内作半圆,自点A 作半圆的切线AE ,则tan ∠CBE =______.14.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,斜边AB =8cm ,AC =4cm.以点C 为圆心作圆,半径为______cm 时,AB 与⊙C 相切.15.已知,如图,O 的半径为2,,AB AC 分别与O 相切于,B C 两点,且2BOC A ∠=∠,则图中阴影部分的面积为 ___________16.将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30°,得正方形AB 1C 1D 1,B 1C 1交CD 于点E ,AB =3,则四边形AB 1ED 的内切圆半径为_________17.如图(7)所示,已知点从点(1,0)出发,以每秒1个单位长的速度沿着轴的正方向运动,经过秒后,以、为顶点作菱形,使、点都在第一象限内,且,又以(0,4)为圆心,为半径的圆恰好与所在直线相切,则 . 18.在ABC 中,90C ∠=︒,3AC =,4BC =,则ABC 的内切圆的半径为__________.19.如图,等腰△ABC 中,AC =BC =23.∠ACB =120°,以AB 为直径在△ABC 另一侧作半圆,圆心为O ,点D 为半圆上的动点,将半圆沿AD 所在直线翻叠,翻折后的弧AD 与直径AB 交点为F ,当弧AD 与BC 边相切时,AF 的长为_____.20.如图,O 内切于ABC ,切点分别为D 、E 、F ,且//DE BC ,若8AB cm =,5AD cm =,则ADE 的周长是________cm .21.如图,PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ,并与圆O 的切线,分别相交于C 、D ,已知PCD 的周长等于10cm ,则PA =________ cm .22.如图,AT 切⊙O 于点A ,AB 是⊙O 的直径.若∠ABT=40°,则∠ATB= .23.如图,AB 是的直径,点D 在AB 的延长线上,过点D 作的切线,切点为C ,若,则______.24.如图,在ABC 中,CA=CB=10,AB=12,以BC 为直径的圆⊙O 交AC 于点G ,交AB 于点D ,过点D 作⊙O 的切线,交CB 的延长线于点E ,交AC 于点F .则下列结论正确的是_____①DF ⊥AC ; ②DO=DB ; ③S △ABC =48; ④cos ∠E=2425.25.如图,ABC ∆内接于O ,AC BC =,CD 是O 的弦,与AB 相交于点G ,CD 平分ACB ∠,过点D 作EF AB ∥,分别交CA ,CB 的延长线于点E 、F ,连接BD .(1)求证:EF 是O 的切线;(2)求证:2BD AC BF =⋅.26.如图,AB 为⊙O 的直径,AB 的长是4,C 为⊙O 上一点,AD 和过点C 的切线互相垂直,垂足为D .(1)求证:AC 平分∠DAB ;(2)若cos ∠DAC=32,求弧BC 的长.27.如图,在∆ABC 中,已知AB=BC=CA=4cm ,AD ⊥BC 于D ,点P ,Q 分别从B ,C 两点同时出发,其中点P 沿BC 向终点C 运动,速度为1cm/s ;点Q 沿CA ,AB 向终点B 运动,速度为2cm/s ,设它们运动的时间为xs.(1)求x 为何值时,PQ ⊥AC ;(2)设∆PQD 的面积为2()y cm①当02x <<时,求y 与x 的函数关系式;②当02x <<时,求证:AD 平分∆PQD 的面积;(3)探索以PQ 为直径的圆与AC 的位置关系,请直接写出相应位置关系的x 的取值范围。
28.如图所示,P是⊙O外一点,PA是⊙的切线,A是切点,B是⊙O上一点,且PA =PB,连接AO、BO、AB,并延长BO与切线PA相交于点Q.(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)求证:AQ•PQ=BQ•OQ;(3)设∠P=α,若tanɑ=34,AQ=3,求AB的长.29.如图,以AB为直径作⊙O,过点A作⊙O的切线AC,连结BC,交⊙O于点D,点E是BC边的中点,连结AE.(1)求证:∠AEB=2∠C;(2)若AB=6,cos B=35,求DE的长.30.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AC的中点,且∠A+∠CDB=90°,过点A,D 作⊙O,使圆心O在AB上,⊙O与AB交于点E.(1)求证:直线BD与⊙O相切;(2)若AD:AE=4:5,BC=6,求⊙O的直径.31.对于平面直角坐标系xOy中,已知点A(-2,0)和点B(3,0),线段AB和线段AB外的一点P,给出如下定义:若45°≤∠APB≤90°时,则称点P为线段AB的可视点,且当P A=PB时,称点P为线段AB的正可视点.图1 备用图(1) ①如图1,在点P 1(3,6),P 2(-2,-5),P 3(2,2)中,线段AB 的可视点是 ; ②若点P 在y 轴正半轴上,写出一个满足条件的点P 的坐标:__________.(2)在直线y =x +b 上存在线段AB 的可视点,求b 的取值范围;(3)在直线y =-x +m 上存在线段AB 的正可视点,直接写出m 的取值范围.32.如图,以ABC ∆的BC 边上一点O 为圆心的圆,经过A ,B 两点,且与BC 边交于点E ,D 为BE 的下半圆弧的中点,连接AD 交BC 于F ,若AC FC =.(1)求证:AC 是O 的切线;(2)若8BF =,210DF =O 的半径; (3)过点B 作O 的切线交CA 的延长线于G ,如果连接AE ,将线段AC 以直线AE为对称轴作对称线段AH ,点H 正好落在O 上,连接BH ,请直接写出四边形AHBG 的形状.33.如图:ABC 是O 的内接三角形,45ACB ∠=︒,150AOC ∠=︒,过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点D .(1)求证:CD CB =;(2)如果O 的半径为2,求AC 的长.34.如图,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC、AB相交于点D、E,连接AD,已知∠CAD=∠B.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若∠B=30°,AC=3,求劣弧BD与弦BD所围阴影图形的面积;(3)若AC=4,BD=6,求AE的长.35.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,D是边AB上一点,以BD为直径的⊙O 经过点E,且交BC于点F.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若BF=12,⊙O的半径为10,求CE的长.36.如图,ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10,点O在BC边的中线AD上,OB 平分∠ABC,⊙O与BC相切于点E.(1)求证:AB为⊙O的切线;(2)求⊙O的半径;(3)求tan∠BAD.参考答案1.A.【解析】试题解析:∵PD切⊙O于点C,∴∠OCD=90°,∵CO=CD,∴∠COD=∠D=(180°-90°)÷2=45°,∵∠CAB=12∠COD=22.5°,故选A.考点:切线的性质.2.C【解析】【分析】连接OA,OB根据切线的性质定理,切线垂直于过切点的半径,即可求得∠OAP,∠OBP 的度数,根据四边形的内角和定理即可求的∠AOB的度数,然后根据圆周角定理即可求解.【详解】∵PA是圆的切线.∴∠OAP=90°,同理∠OBP=90°,根据四边形内角和定理可得:∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-40°=140°,∴∠ACB=12∠AOB=70°.故选:C.【点睛】此题考查切线的性质,圆周角定理,正确求得∠AOB的度数是解题的关键.3.C【解析】【分析】连接BO 并延长交AD 于点E ,由切线的性质定理,得BO BC ⊥,于是OE AD ⊥,根据垂径定理,推出相似三角形AED 与CBO 的相似比,可知AO 是OC 的一半,进而OB 是OC 的一半,所以∠OCB=30°,从而求出BC ,再根据相似比求出OE ,再由平行四边形面积公式即可得解.【详解】连接BO 延长交AD 于点E ,∵BC 为切线,BO BC ⊥∴,OE AD ∴⊥, ∴1122AE ED AD BC ===, ∵//AD BC ,∴AEO △∽CBO , ∴12AO AE CO BC ==, AO OB=∵ 2OC OB =∴30OCB ︒∠=∴6OB =BC ∴=132OE OB == ∴9BE =故四边形ABCD 的面积为故选:C.【点睛】本题综合考察了相似三角形、圆和平行四边形的性质及定理,准确做出辅助线是解题关键.4.C【解析】【分析】先构造直角三角形QBC,根据三角形中位线定理分别求出QB、QC的长,再根据余弦的定义即可求出结果.【详解】解:当点P运动到恰好点Q落在⊙O上,连接QB,OP,BC,再连接QO并延长交⊙O于点C,则∠CBQ=90°(直径所对的圆周角是直角)∵B、Q分别是OA、AP的中点,∴BQ∥OP,∵OP=OB=BA=12OA=2,∴QB=1在Rt△CQB中,∠CBQ=90°∴cos∠OQB=14 QBQC.故选:C.【点睛】本题综合考查了三角形中位线定理,余弦的定义和圆的性质,解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形.5.D【解析】【分析】连接AC,OD,得到∠ACB是直角,求出∠ACD的度数,可求出∠AOD的度数,再利用切线的性质即可得到∠ADP的度数.【详解】连接AC,OD,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACD=130°-90°=40°,∴∠AOD=2∠ACD=80°,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO,∴∠ADO=50°,∵PD与⊙O相切,∴OD⊥PD,∴∠ADP=90°-∠ADO=90°-50°=40°.故选:D.【点睛】此题考查了圆周角定理的推论,切线的性质等知识点,正确作出辅助线是解题的关键.6.B【解析】【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短,当OM是半径时最长.根据垂径定理求最短长度.【详解】如图,连接OA,作OM⊥AB于M,∵⊙O的直径为10,∴半径为5,∴OM的最大值为5,∵OM⊥AB与M,∴AM=BM,∵AB=6,∴AM=3,在Rt△AOM中,2222=-=-=;534OM OA AM此时OM最短,当OM是半径时最长,OM=5.所以OM长的取值范围是4≤OM≤5.故选B.【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理,解题关键是确定OM的最小值..7.A【解析】试题分析:设三角形三边分别为a,b,c,面积为S,所以内切圆半径为682226810Sra b c⨯⨯==++++=2,外接圆半径为681068442abcRS⨯⨯==⨯⨯=5.故选A考点:三角形内切圆和外接圆半径的计算8.B【解析】【分析】根据圆心距和两圆半径的之间关系可得出两圆之间的位置关系.【详解】∵⊙O的直径为4,∴⊙O的半径为2,∵圆心O到直线l的距离是2,∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知直线l与⊙O的位置关系是相切.故选:B.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用,理解直线和圆的位置关系的内容是解此题的关键,注意:已知圆的半径是r,圆心到直线的距离是d,当d=r时,直线和圆相切,当d>r时,直线和圆相离,当d<r时,直线和圆相交.9.D【解析】【分析】分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.【详解】解:A 、六边形外角和为360°是真命题,故A 不符合题意;B 、圆的切线垂直于经过切点的半径是真命题,故B 不符合题意;C 、(2,-3)关于x 轴的对称点为(2,3)是真命题,故C 不符合题意;D 、抛物线y=x 2-4x+2018对称轴应为直线x=2,选项D 是假命题,故D 符合题意; 故选:D .【点睛】主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.本题涉及到了圆的切线的性质、二次函数的性质、n 边形的外角和、以及坐标与对称等知识点.10.C【解析】试题解析:AB 是O 的切线,B 为切点,90OBA ∴∠=,40BAO ∠=,50O ∴∠=,OB OC =,()1180652OCB OBC O ∴∠=∠=-∠=, 906525.CBA ABO OBC ∠=∠-∠=-=故选C.11.D【解析】点P 在圆内,则点到圆心的距离小于圆的半径,同心圆时圆心距为0,因而线段OP 的长度的取值范围0≤OP <3.故答案为:D .12.D【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补,直接求出即可.【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠B+∠D=180°,又∵∠B=2∠D,∴∠D=23×180°=120°;故选D.【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质,灵活应用圆内接四边形的性质是解决问题的关键.13.2 5【解析】【分析】连接AO,证明△ABF≌△AEF得AO垂直平分BE,根据同角的余角相等得∠FBO=∠BAO,求tan∠BAO即可解题.【详解】解:设BC中点为O,连接AO,交BE于点F,由于AB、AE分别切圆O与B,E,则AB=AE,∠BAF=∠EAF,又∵AF=AF,∴△ABF≌△AEF,∴AO垂直平分BE,在Rt△ABO中,BF⊥AO,则∠FBO=∠BAO,易知BO=2,AB=5,∴tan∠BAO=tan∠CBE=2 5【点睛】本题考查了切线长定理和锐角三角函数的定义,中等难度,作辅助线,将求tan∠CBE转换为求tan ∠BAO 是解题关键. 14.23【解析】【分析】首先根据题意画出图形,再过点C 作CD ⊥AB 于点D ,由Rt △ABC 的斜边AB =8,AC =4,可求得BC 的长,然后由三角形面积可得CD 的长度,即可求出答案.【详解】过点C 作CD ⊥AB 于点D ,∵Rt △ABC 中,AB =8,AC =4,∴228443BC =-=.∵1122ABC S AC BC AC CD =⋅=⋅, ∴443238AC BC CD AB ⋅⨯===, ∴半径为23cm 时,AB 与⊙C 相切.故答案为:23.【点睛】此题考查了切线的判定、勾股定理以及三角形面积问题.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用,学生还应该注意在计算过程中确保计算的准确性,切不可因为马虎计算错误而丢掉分数.15.4433π 【解析】【分析】由AB 与AC 都为O 的切线,利用切线的性质得到两个角为直角,在四边形CABO 中,根据四边形的内角和定理求出∠BOC 的度数,再由OBC 2BAO S SS =-阴影扇形则可求得结果.【详解】连接OC 、OB ,∵AB 、AC 是⊙O 的切线,∴OB ⊥AB ,OC ⊥AC ,∴∠OBA=∠OCA=90°,又∵∠BOC=2∠A ,∴∠BOC +∠A +90°+90°=360°,即2∠A +∠A +90°+90°=360°,∴∠A =60°,∠BOC=2∠A=120°,连接OA ,∵AB 、AC 是⊙O 的切线,∴1302OAB OAC A ∠=∠=∠=︒, 在Rt ABO 中,2330OB tan AB AB ︒===, ∴23AB = ∴1223232BAO S =⨯⨯=, 22OBC 120243603603n r S πππ⨯===扇形, ∴OBC 42433BAO S S S π=-=阴影扇形, 故答案为:4433π. 【点睛】 本题考查了切线的性质,解直角三角形,扇形面积公式等知识.此题难度不大,注意数形结合思想的应用.16.-33【解析】【分析】首先作∠DAF与∠AB1C1的角平分线,交于点O,则O为该圆的圆心,过O作OF⊥AB1交AB1于点F,则OF即为所求,根据角平分线的性质可得∠OAF=30°,∠AB1O=45°,根据等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形性质可得B1F=x,AF=3-x,接下来在Rt△OFA,利用勾股定理即可得到关于x的方程,解方程即可求解.【详解】作∠DAF与∠AB1C1的角平分线,交于点O,过O作OF⊥AB1交AB1于点F,AB=AB1=3,∠BAB1=30°,∵四边形AB1C1D1是正方形,∠DAF与∠AB1C1的角平分线交于点O,∠BAB1=30°∴∠OAF=30°,∠AB1O=45°∵OF⊥AB1∴B1F=OF=12OA设B1F=x,则AF=3-x ∴(3-x)2+x2=(2x)2解得x=33-或x=332--(舍去)即四边AB1ED的内切圆的半径为33 -.故答案为:33 -.【点睛】此题主要考查了正方形中的旋转问题,添加合适的辅助线是解题关键.17.【解析】∵已知A点从(1,0)点出发,以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动,∴经过t秒后,∴OA=1+t,∵四边形OABC是菱形,∴OC=1+t,当⊙P与OA,即与x轴相切时,如图所示,则切点为O,此时PC=OP,过P作PE⊥OC,∴OE=CE=OC,∴OE=,在Rt△OPE中,OE=OP•cos30°=,∴,∴t=,18.1【解析】【详解】如图,设△ABC的内切圆与各边相切于D,E,F,连接OD,OE,OF,则OE⊥BC,OF⊥AB,OD⊥AC,设半径为r,CD=r,∵∠C=90°,BC=4,AC=3,∴AB=5,∴BE=BF=4-r,AF=AD=3-r,∴4-r+3-r=5,∴r=1.∴△ABC的内切圆的半径为1.19..【解析】【分析】作点O关于AD的对称点O′,连接O′A,延长BC交⊙O于点E,设⊙O′与BC相切于点G,证明四边形O′AEG为平行四边形,得AO′∥BE,即∠O′AB=∠ABC=30°,作O′M⊥AF于M,在Rt△O′AM中,O′A=3,∠O′AB=30°,可求得AM的长,进而得出AF的长.【详解】解:如图,作点O关于AD的对称点O′,连接O′A,∵AC=BC=ACB=120°,∴AB=6,∴O′A=OA=3,延长BC交⊙O于点E,∵AB是⊙O的直径,∴∠E=90°,设⊙O′与BC相切于点G,则∠O′GB=90°,∴∠E=∠O′GB,∴AE∥O′G,∵∠ABC=30°,AB=6,∴AE=O′G=3,∴四边形O′AEG为平行四边形,∴AO′∥BE,∴∠O′AB=∠ABC=30°,作O′M⊥AF于M∵O′A=3,∠O′AB=30°,∴AM=MF=332,∴AF=2AM=33.故答案为33.【点睛】本题考查圆的切线的性质,垂径定理,直角三角形的性质,平行四边形的判定和性质,解题的关键是掌握圆的切线的性质.20.55 4【解析】【分析】首先根据切线长定理以及平行线分线段成比例定理,证明AB=AC,求得BC的长,然后根据相似三角形的性质求得DE的长,从而求得三角形的周长.【详解】∵AD、AE是圆的切线,∴AD=AE,又∵DE∥BC,∴AD AE AB AC,∴AB=AC,BD=CE.∵AB=8cm,AD=5cm,∴BD=AB−AD=8−5=3cm. ∵BD、BF是圆的切线,∴BF=BD=3cm,∴BC=2BF=6cm.∵DE∥BC,∴58 AD DEAB BC==,∴55615884BCDE⨯===,∴△ADE的周长是:1555 55.44 ++=故答案是:55. 4【点睛】考查了切线长定理以及平行线分线段成比例定理,正确证明AB=AC,求得BC的长是解题的关键.21.5【解析】【分析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线,可根据切线长定理,将△PCD的周长转换为P A、PB 的长,然后再进行求解.【详解】解:如图,设DC与⊙O的切点为E.∵P A、PB分别是⊙O的切线,且切点为A、B,∴P A=PB.同理,可得:DE=DA,CE=CB,则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=P A+PB=10(cm),∴P A=PB=5cm.故答案为5.【点睛】本题主要考查了切线长定理的应用,能够将△PCD的周长转换为切线P A、PB的长是解答此题的关键.22.50【解析】试题分析:根据切线的性质即可求出∠BAT=90°,然后根据互余的性质,由∠ABT=40°,求得∠A TB=50°,故答案为50°考点:切线的性质23.38°【解析】【分析】连接OC,先根据圆周角定理得∠DOC=2∠A=52°,再根据切线的性质定理得∠OCD=90°,则此题易解.【详解】解:连接OC,∵∠A=26°,∴∠DOC=2∠A=52°,又∠OCD=90°,∴∠D=38°.故答案为: 38°.【点睛】此题综合运用了切线的性质定理、圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余的性质. 24.①③④【解析】【分析】连接OD,BG,CD,如图,利用切线的性质得到OD⊥DF,再利用圆周角定理和等腰三角形的性质证明OD∥AC,则可对①进行判断;利用OB=12BC=5,BD=6可对②进行判断;利用勾股定理计算出CD=8,则可计算出ABC的面积,从而可对③进行判断;利用面积法计算出BG=485,则cos∠CBG=2425,然后证明∠E=∠CBG,从而可对④进行判断.【详解】解:连接OD,BG,CD,如图,∵DF为切线,∴OD⊥DF,∵BC为直径,∴∠BDC=90°,∵CA=CB,∴CD平分AB,即AD=BD=6,而OB=OC,∴OD为ABC的中位线,∴OD∥AC,∴DF⊥AC,所以①正确;∵OB=12BC=5,BD=6,∴OD≠BD,所以②错误;在Rt BCD中,CD8,∴S△ABC=12CD•AB=12×8×12=48,所以③正确;∵BC为直径,∴∠BGC=90°,∴S△ABC=12BG•AC=48,∴BG=485,∴cos∠CBG=BGBC=48510=2425,∵BG ⊥AC ,EF ⊥AC ,∴BG ∥EF ,∴∠E =∠CBG ,∴cos ∠E =2425,所以④正确. 故答案为:①③④.【点睛】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形.25.(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】【分析】(1)根据圆的对称性即可求出答案;(2)先证明△BCD ∽△BDF ,利用相似三角形的性质可知:BD BC BF BD=,利用BC=AC 即可求证2BD BC BF =⋅=AC •BF ; 【详解】解:(1)∵AC BC =,CD 平分ACB ∠,∴CD AB ⊥,AG BG =,∴CD 是圆的直径∵AB ∥EF ,∴90CDF CGB ∠=∠=︒,∵OD 是圆的半径,∴EF 是O 的切线;(2)∵90BDF CDB CDB C ∠+∠=∠+∠=︒,∴BDF CDB ∠=∠,∴BCD BDF ∆∆∽,∴BD BC BF BD=, ∴2BD BC BF =⋅,∵BC AC =,∴2BD AC BF =⋅.【点睛】本题主要考查了圆周角定理,切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质,掌握圆周角定理,切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质是解题的关键.26.(1)证明见解析;(2)23π 【解析】分析:(1)连接OC ,根据切线性质求出OC ⊥CD ,根据平行线的判定得出AD ∥OC ,即可求出答案;(2)求出∠CAB 的度数,根据弧长公式求出即可.详解:(1)证明:连接OC ,∵DC 是⊙O 的切线,∴OC ⊥DC ,∵AD ⊥CD ,∴AD ∥OC ,∴∠DAC=∠OCA ,∵OA=OC ,∴∠OCA=∠OAC ,∴∠DAC=∠OAC ,即AC 平分∠DAB ;(2)∵∠DAC=∠OAC ,cos ∠ ∴∠CAB=30°, ∴∠BOC=60°∵AB=4,∴OA=2,∴弧BC 的长为:6022=1803ππ⨯. 点睛:本题考查了切线的性质和弧长公式等知识点,能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键.27.(1)45x =;(2)①y 2x =+;②详见解析;(3)当45x =或165时,以PQ 为直径的圆与AC 相切,当405x ≤<或41655x <<或1645x <≤时,以PQ 为直径的圆与AC 相交.【解析】【分析】(1)若使PQ ⊥AC ,则根据路程=速度×时间表示出CP 和CQ 的长,再根据30度的直角三角形的性质列方程求解;(2)①首先画出符合题意的图形,再根据路程=速度×时间表示出BP ,CQ 的长,根据等边三角形的三线合一求得PD 的长,根据30度的直角三角形的性质求得PD 边上的高,再根据面积公式进行求解;②根据三角形的面积公式,要证明AD 平分△PQD 的面积,只需证明O 是PQ 的中点.根据题意可以证明BP=CN ,则PD=DN ,再根据平行线等分线段定理即可证明;(3)根据(1)中求得的值即可分情况进行讨论.【详解】解:(1)当Q 在AB 上时,显然PQ 不垂直于AC ,当Q 在AC 上时,由题意得,BP x =,2CQ x =,4PC x =-;∵4AB BC CA ===,∴60C ∠=︒;若PQ AC ⊥,则有30QPC ∠=︒,∴2PC CQ =,∴422x x -=⨯,∴45x =; (2)①如图,当02x <<时,P 在BD 上,Q 在AC 上,过点Q 作QN BC ⊥于N ; ∵60C ∠=︒,2QC x =,∴3QN x =;∵AB AC =,AD BC ⊥,∴122BD CD BC ===, ∴2DP x =-,∴()112322y PD QN x x =⋅=-⋅ 233x x =-+; ②当02x <<时,在Rt QNC ∆中,2QC x =,60C ∠=︒;∴NC x =,∴BP NC =,∵BD CD =,∴DP DN =;∵AD BC ⊥,QN BC ⊥,∴//AD QN ,∴OP OQ =,∴PDO DQO S S ∆∆=,∴AD 平分PQD ∆的面积;(3)显然,不存在x 的值,使得以PQ 为直径的圆与AC 相离,由(1)可知,当45x =时,以PQ 为直径的圆与AC 相切; 当点Q 在AB 上时,822x x -=,解得165x =, 故当45x =或165时,以PQ 为直径的圆与AC 相切, 当405x ≤<或41655x <<或1645x <≤时,以PQ 为直径的圆与AC 相交. 【点睛】本题考查综合运等边三角形的性质、直角三角形的性质以及直线和圆的位置关系求解.解题关键是用动点的时间x 和速度表示线段的长度,本题有一定的综合性,难度中等. 28.(1)证明见解析(2)证明见解析(3)5 【解析】【分析】(1)易证△PAO ≌△PBO (SSS ),根据全等三角形的性质结合切线的性质,即可得出∠PBO =90°,进而即可证出PB 是⊙O 的切线;(2)根据同角的补角相等可得出∠AOQ =∠APB ,根据等腰三角形及全等三角形的性质可得出∠ABQ =∠OPQ ,结合∠AQB =∠OQP 即可证出△QAB ∽△QOP ,根据相似三角形的性质可得出AQ BQ OQ PQ=,即AQ•PQ =BQ•OQ ; (3)设AB 与PO 交于点E ,则AE ⊥PO ,通过解直角三角形可求出OA 的长度,结合(2)的结论可得出PQ 的长度,利用勾股定理可得出PO 的长度,利用面积法即可得出AE 的长度,进而即可求出AB 的长度.【详解】(1)证明:在△PAO 和△PBO 中,PA PB AO BO PO PO =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△PAO ≌△PBO (SSS ),∴∠PBO =∠PAO .∵PA 是⊙的切线,A 是切点,∴∠PAO =90°,∴∠PBO =90°,∴PB 是⊙O 的切线.(2)证明:∵∠APB+∠PAO+∠AOB+PBO =360°,∴∠APB+∠AOB =180°.又∵∠AOQ+∠AOB =180°,∴∠AOQ =∠APB .∵OA =OB ,∴∠ABQ =∠BAO =12∠AOQ . ∵△PAO ≌△PBO ,∴∠OPQ =∠OPB =12∠APB , ∴∠ABQ =∠OPQ .又∵∠AQB =∠OQP ,∴△QAB ∽△QOP , ∴AQ BQ OQ PQ=,即AQ•PQ =BQ•OQ . (3)解:设AB 与PO 交于点E ,则AE ⊥PO ,如图所示.∵∠AOQ =∠APB ,∴tan ∠AOQ =34. 在Rt △OAQ 中,∠OAQ =90°,tan ∠AOQ =34,AQ =3,∴AO =4,OQ 5= ,∴BQ =BO+OQ =9.∵AQ•PQ =BQ•OQ ,∴PQ =15,∴PA =PQ ﹣AQ =12,∴PO =.由面积法可知:AE =5PA AD PQ ⋅=,∴AB=2AE=1210.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、三角形的面积以及解直角三角形,解题的关键是:(1)利用全等三角形的性质找出∠PBO =∠PAO=90°;(2)根据相似三角形的判定定理找出△QAB∽△QOP;(3)利用面积法求出AE的长度.29.(1)证明见解析(2)7 5【解析】【分析】(1)由AC是⊙O的切线,得出∠BAC=90°.再利用直角三角形斜边中线定理、等腰三角形的性质、三角形的外角即可证出结论;(2)连结AD,由圆周角定理的推论可得出∠ABD=90°.然后利用锐角三角函数即可得出答案.【详解】(1)证明:∵AC是⊙O的切线,∴∠BAC=90°,∵点E是BC边的中点,∴AE=EC,∴∠C=∠EAC,∵∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠AEB=2∠C.(2)解:连结AD.∵AB为直径作⊙O,∴∠ADB=90°,∵AB=6,3 cos5B=,∴BD=185,在Rt△ABC中,AB=6,3 cos5B=,∴BC=10,∵点E是BC边的中点,∴BE=5,∴75 DE=.【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理的推论、锐角三角函数、直角三角形斜边中线定理等知识.正确画出辅助线并综合运用所学知识进行推理、计算是解题的关键.30.(1)证明见解析;(2)5【解析】试题分析:(1)、连接OD,根据△AOD为等腰三角形可得∠A=∠ODA,根据∠A+∠CDB=90°可得∠ODA+∠CDB=90°,从而得出∠BDO=90°;(2)、连接OE,根据直径所对的圆周角为直角得出∠ADE=90°,根据D为中点可得E为AB的中点,根据△ADE和△ACB相似可得AC:AB=4:5,然后求出BC的长度,从而得出直径的长度.试题解析:(1)、连接OD,在△AOD中,OA=OD,∴∠A=∠ODA,又∵∠A+∠CDB=90°∴∠ODA+∠CDB=90°,∴∠BDO=180°-90°=90°,即OD⊥BD,∴BD与⊙O相切.(2)、连接DE,∵AE是⊙O的直径,∴∠ADE=90°,∴DE∥BC.又∵D是AC的中点,∴AE=BE. ∴△AED∽△ABC.∴AC ∶AB =AD ∶AE. ∵AD :AE=4:5 ∴AC ∶AB =4∶5,令AC =4x ,AB =5x ,则BC =3x. ∵BC =6,∴AB =10,∴AE =5,∴⊙O 的直径为5.考点:(1)、切线的判定;(2)、三角形相似的应用.31.(1)①线段AB 的可视点是2P ,3P ; ②点P 的坐标:P (0,3)(答案不唯一,纵坐标p y 范围:6≤p y ≤6);(2)b 的取值范围是:-8≤b ≤7; (3)m 的取值范围:52222m --≤≤-或53232m ≤≤+ 【解析】【分析】(1)根据题意画出图形,进一步即可得出结论;(2)正确画出相关图形进一步证明即可;(3)根据题意,正确画出图形,根据相关量之间的关系进一步求解即可.【详解】(1)①线段AB 的可视点是2P ,3P .②点P 的坐标:P (0,3)(答案不唯一,纵坐标p y 范围:6≤p y ≤6).(2)如图,直线与⊙1O 相切时,BD 是⊙1O 直径∴BD =52.∵BE =32,∴DE =22.∴EF =cos 45DE ︒=4. ∴F (0,7)同理可得,直线与⊙3O 相切时,G (0,-8)∴b 的取值范围是:-8≤b ≤7.(3)m 的取值范围:52222m ≤≤-或53232m ≤≤ 【点睛】 本题主要考查了圆的性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键,32.(1)见解析;(2)6;(3)菱形,理由见解析【解析】【分析】(1)连接OA ,OD ,如图,得到OAF D ∠=∠,根据圆周角定理可知90EOD ∠=︒,再根据等边对等角和对顶角相等可得CAF CFA OFD ∠=∠=∠,∠EOD =90°,由直角三角形的两锐角互余求得90CAF OAF CAO ∠+∠=∠=︒,即可证得结论;(2)如图,设半径为r ,在Rt △OFD 中,通过勾股定理即可求出半径的值;(3)连接EH ,证△CAE ≌△HAE ,推出△AEO 是等边三角形,进一步证明△ABH 和△ABG 是等边三角形,即可推出结论.【详解】解:(1)证明:连接OA ,OD ,则OAF D ∠=∠,∵D 为BE 的下半圆弧的中点,∴ED BD =,∴1180902EOD BOD ∠=∠︒=⨯=︒, ∴90OFD D ∠+∠=︒,∵CA CF =,∴CAF CFA OFD ∠=∠=∠,∴90CAF OAF ∠+∠=︒,即90CAO ∠=︒,∴OA CA ⊥,∴AC 是O 的切线; (2)设O 的半径为r ,则8OF BF OB r =-=-,∵在Rt OFD ∆中,222OF OD DF +=,∴222(8)(210)r r -+=,解得,16r =,22r =(舍去), ∴O 的半径为6;(3)菱形.理由如下如图,连接EH ,由对称性可知AC =AH ,∠CAE =∠HAE ,又∵AE =AE ,∴△CAE ≌△HAE (SAS ),∴∠C =∠EHA ,∵AE AE =,∴∠EHA =∠ABE ,∴∠C =∠ABE ,∵OA =OB ,∴∠OAB =∠OBA ,∵BE 为⊙O 的直径,∴∠EAB =90°,∴∠OAB +∠OAE =90°,又∵∠CAE +∠OAE =90°,∴∠CAE =∠OAB ,∴∠C =∠OBA =∠OAB =∠CAE ,∴AC =AB ,∴△CAE ≌△BAO (ASA ),∴AE =AO =OE ,∴△AEO是等边三角形,∴∠AEO=60°,∴∠ABE=90°−∠AEO=30°,∠AHB=∠AEO=60°,∴∠ABG=90°−∠ABE=60°,∵CA=AH,CA=AB,∴AH=AB,又AHB=60°,∴△ABH是等边三角形,∴AB=BH=AH,∵GB,GA是⊙O的切线,∴GB=GA,又∠ABG=60°,∴△ABG是等边三角形,∴AB=BG=AG,∴BH=AH=BG=AG,∴四边形AHBG是菱形.【点睛】本题考查了圆的有关性质,切线的判定与性质,勾股定理,等边三角形的判定与性质,菱形的判定等,综合性较强,解答本题的关键是需要熟练各部分的内容,对学生的综合能力要求较高,一定要注意将所学知识贯穿起来.33.(1)证明见解析(226【解析】【分析】(1)首先连接OB ,则224590AOB ACB ∠=∠=⨯︒=︒,由150AOC ∠=︒易得是等边三角形OBC ∆,又由过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点D ,易求得75CBD D ∠=∠=︒,继而证的结论(2)由O 的半径为2,可求得2AB CD BC OC ====,易证得DBC DCA ∆∆,然后由相似三角形的对应边成比例,求得答案【详解】(1)证明:连接OB ,则∠AOB =2∠ACB =2×45°=90°,∵OA =OB ,∴∠OAB =OBA =45°,∵∠AOC =150°,OA =OC ,∴∠OCA =∠OAC =15°,∴∠OCB =∠OCA +∠ACB =60°,∴△OBC 是等边三角形,∴∠BOC =∠OBC =60°,∴∠CBD =180°﹣∠OBA ﹣∠OBC =75°,∵CD 是⊙O 的切线,∴OC ⊥CD ,∴∠D =360°﹣∠OBD ﹣∠BOC ﹣∠OCD =360°﹣(60°+75°)﹣60°﹣90°=75°,∴∠CBD =∠D ,∴CB =CD ;(2)在Rt △AOB 中,AB ==, ∵CD 是⊙O 的切线,∴∠DCB =∠CAD ,∵∠D 是公共角,∴△DBC ∽△DCA , ∴=CD BD AD CD∴CD 2=AD •BD =BD •(BD +AB ),∵CD =BC =OC =2,∴4(22)BD BD =⋅+, 解得:62BD =-, ∴26AC AD AB BD ==+=+.【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心及圆的切线性质34.(1)见解析;(2)4393π-;(35【解析】【分析】(1)连接OD ,由OD=OB ,利用等边对等角得到一对角相等,再由已知角相等,等量代换得到∠1=∠3,求出∠4为90°,即可证AD 是⊙O 的切线;(2)连接OD ,作OF ⊥BD 于F ,由直角三角形的性质得出CD 3=1,BC 3=3, AC=3,得出BD=BC-CD=2,由直角三角形的性质得出DF =BF =12BD =1,OF =33OB =2OF 23(3)证明△ACD ∽△BCA ,得出AC CD AD BC AC AB==,求出CD=2,由勾股定理得出AD =2225AC CD +=5Rt △AOD 中,AD 2 +OD 2 =OA 2,设⊙O 的半径为x ,则5,解关于x 的方程,BE=2x ,求出BE 后,根据AE=AB-BE ,直接计算AE 的长即可;【详解】(1)证明:连接OD ,如图1所示:∵OB=OD,∴∠3=∠B,∵∠B=∠1,∴∠1=∠3,在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,∴∠4=180°﹣(∠2+∠3)=90°,∴OD⊥AD,则AD为⊙O的切线;(2)解:连接OD,作OF⊥BD于F,如图2所示:∵OB=OD,∠B=30°,∴∠ODB=∠B=30°,∴∠DOB=120°,∵∠C=90°,∠CAD=∠B=30°,∴CD 3=1,BC3=3,∴BD=BC﹣CD=2,∵OF⊥BD,∴DF=BF=12BD=1,OF33∴OB =2OF, ∴劣弧BD 与弦BD 所围阴影部分的面积=扇形ODB 的面积﹣△ODB的面积=2120314-2-3602393ππ⎛⨯ ⎝⎭⨯⨯ (3)解:∵∠CAD =∠B ,∠C =∠C ,∴△ACD ∽△BCA , ∴AC CD AD BC AC AB==, ∴AC 2=CD×BC =CD (CD+BD ),即42=CD (CD+6),解得:CD =2,或CD =﹣8(舍去),∴CD =2,∴AD= ∵CD AD AC AB=,∴24AB=, ∴AB =,∵OD ⊥AD ,∴在Rt △AOD 中,AD 2 +OD 2 =OA 2,∴设⊙O 的半径为x ,则,∴2+x 2-x) 2,∴x =, ∴【点睛】本题主要考查了勾股定理,相似三角形的判定与性质,切线的判定,扇形面积公式,掌握勾股定理,相似三角形的判定与性质,切线的判定,扇形面积公式是解题的关键.35.(1)详见解析;(2)8.【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得:OE∥BC,所以OE⊥AC,则AC是⊙O 的切线;(2)作弦心距OH,根据垂径定理求得BH,再根据勾股定理求OH的长,根据矩形的性质即可求得CE=OH=8.【详解】(1)证明:连接OE,∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE,∵OB=OE,∴∠ABE=∠OEB,∴∠CBE=∠OEB,∴OE∥BC,∵∠ACB=90°,∴OE⊥AC,∴AC是⊙O的切线;(2)解:过O作OH⊥BC于H,∴BH=HF=6,在Rt△OBH中,OH22-,106-22OB BH在矩形OHCE中,CE=OH=8.【点睛】。