活用向量求解圆锥曲线问题
专题(19)巧用向量法求解圆锥曲线问题
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高三第二轮专题复习专题(19)——巧用向量法求解圆锥曲线问题一、 利用向量的数量积解决夹角(钝、锐、直)问题例1、过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于A B 、两点,O 为坐标原点.求证:ABO ∆是钝角三角形.说明:(1)确定三角形的角时,若三边长易算用余弦定理;若三边长不易计算则考虑向量的数量积;(2)更为一般地,我们有如下重要结论:①过点(,0)(0)M t t >的直线交抛物线22(0)y px p =>于A B 、两点.当02t p <<时,AOB ∠为钝角;当2t p =时,AOB ∠为直角;当2t p >时,AOB ∠为锐角.②过点(0,)(0)M t t >的直线交抛物线22(0)x py p =>于A B 、两点.当02t p <<时,AOB ∠为钝角;当2t p =时,AOB ∠为直角;当2t p >时,AOB ∠为锐角.③抛物线22(0)y px p =>上异于原点O 的动点A B 、满足OA OB ⊥u u r u u u r ,则直线AB 必过定点(2,0)p ;反之,亦成立. ④抛物线22(0)x py p =>上异于原点O 的动点A B 、满足OA OB ⊥u u r u u u r ,则直线AB 必过定点(0,2)p ;反之,亦成立.变式:已知椭圆22:184x y E +=,是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A B 、,且O A O B ⊥u u r u u u r ?若存在,写出该圆的方程;若不存在,请说明理由.答案:2283x y +=. 说明:已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>,直线l 与椭圆E 交于A B 、两点,在AOB ∆中,AB 边上的高为OH .(1)若2221112||AOB OH a bπ∠=⇔=+; (2)若2221112||AOB OH a b π∠<⇔<+; (3)若2221112||AOB OH a b π∠>⇔>+. 本例中22221113883r r a b =+=⇒=,则圆的方程为2283x y +=.二、 利用向量知识解决共线问题例2、在平面直角坐标系xoy 中,经过点(0,且斜率为k 的直线l 与椭圆22:12x E y +=有两个不同的交点P Q 、.(1)求实数k 的取值范围;(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B 、,是否存在常数k ,使得向量OP OQ +u u u r u u u r 与AB uu u r 共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.答案:不存在.变式:设A B 、是椭圆22:12x E y +=上的两点,(2,0)N -满足NA NB λ=u u r u u u r .当11[,]53λ∈时,求直线AB 斜率的取值范围.答案:121[,[,]2662--.三、利用向量解决参数的取值范围问题例3、已知C 为圆22(1)8x y ++=的圆心,P 是圆上的动点,点Q 在圆的半径CP 上,且有点(1,0)A 和AP 上的点M 满足0,2M Q A P A P A M ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r .(1)当点P 在圆上运动时,求点Q 的轨迹方程;(2)若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切,与(1)中所求点Q 的轨迹交于不同的两点,F H ,O 是坐标原点,且满足3445OF OH ≤⋅≤uu u r uuu r ,求k 的取值范围.答案:(1)2212x y +=;(2)[]22U .四、由向量形式给出的圆锥曲线的几何关系例4、在平面直角坐标系xoy 中,1的线段的两端点,C D 分别在,x y 轴上滑动,CP PD =uu r uu u r ,记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程;(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于,A B 两点,OM OA OB =+uuu r uu r uu u r ,当点M 在曲线E 上时,求四边形AOBM 的面积.答案:(1)2212y x +=;(2五、圆锥曲线中求向量数量积的取值范围例5、已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>与抛物线22:2(0)C x py p =>有一个公共焦点,抛物线2C 的准线l与椭圆1C 有一个坐标是的交点.(1)求椭圆1C 与抛物线2C 的方程;(2)若点P 是直线l 上的动点,过点P 作抛物线的两条切线,切点分别为,A B ,直线AB 与椭圆1C 分别交于点,E F ,求OE OF ⋅u u u r u u u r 的取值范围.答案:(1)22212:1,:884y x C C x y +==;(2)(8,2]-.。
向量在圆锥曲线中的应用
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向量在圆锥曲线中的应用赵春祥由于平面向量融数、形于一体,具有几何形式与代数形式的“双重身份”,使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介。
因此,向量的引入大大拓宽了解题的思路,使它在研究许多问题时获得广泛的应用。
利用平面向量这一工具解题,可以简捷、规范地处理数学中的许多问题。
下面介绍向量在圆锥曲线中的应用。
一、在椭圆中的应用例1. 椭圆的焦点为F1,F2,点P为椭圆上的动点,当∠F1PF2为钝角时,点P横坐标的取值范围是___________。
解:由题意,设三点坐标分别为:P(x0,y)、F1()、F2(),则。
由∠F1PF2为钝角,得,即。
①又点P(x0,y)在椭圆上,所以。
②联合①、②不难求得。
二、在双曲线中的应用例2. 双曲线的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为_________。
解:由已知可得双曲线的两焦点坐标F1(-5,0)、F2(5,0)。
设P(x,y),则。
因为,即,所以。
又因为P(x,y)在双曲线上,所以从而y=±。
因此,点P到x轴的距离为。
三、在抛物线中的应用例3. 设抛物线的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明直线AC经过原点。
证明:如图,抛物线,焦点是,准线为。
设,A、F、B共线,则设,所以有,由BC∥x轴,可得。
又由点A在抛物线上,得。
化简后,得。
则,从而。
而,即共线,也就是直线AC经过原点。
巧用平面向量的数量积,妙解圆锥曲线问题雷文阁两个非零向量的数量积的定义式含有“角”和“长度”;而该式又可变形为,此式与三角形正弦面积有关;数量积还有坐标形式。
因此,通过数量积可沟通长度、角、坐标及三角形面积之间的关系。
利用数量积解题,可以避繁就简。
以下列举其在圆锥曲线中的应用。
一、证明问题例1. (二册上P82)已知一个圆的直径的端点是,求证圆的方程是证明:设是圆上不同于A、B的任意一点,由圆的性质知又所以当M与A或B重合时,仍满足上式,故得证。
直线与圆锥曲线有关向量的问题
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直线圆锥曲线有关向量的问题高考考什么知识要点:1.直线与圆锥曲线的公共点的情况00),(02=++⇒⎩⎨⎧==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线:直线:)0'''(2=++C y B y A 或 (1)没有公共点 → 方程组无解 (2)一个公共点 →0,0)0)=∆≠→=→A ii A i 相切相交(3)两个公共点 →0,0>∆≠A2.连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长,常用的弦长公式:212122111AB kx x y y k=+-=+- 3.以平面向量作为工具,综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4.几何与向量综合时可能出现的向量内容(1)给出直线的方向向量或;(2)给出与相交,等于已知过的中点;(3)给出,等于已知是的中点;(4)给出,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线;(5) 给出以下情形之一:①;②存在实数;③若存在实数,等于已知三点共线.(6)给出,等于已知是的定比分点,为定比,即 (7)给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。
(8)给出,等于已知是的平分线。
(9)在平行四边形中,给出,等于已知是菱形;(10)在平行四边形中,给出,等于已知是矩形;(11)在中,给出,等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);(12)在中,给出,等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);(13)在中,给出,等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);(14)在中,给出等于已知通过的内心;(15)在中,给出等于已知是的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);(16)在中,给出,等于已知是中边的中线;高考怎么考主要题型:1.三点共线问题;2.公共点个数问题;3.弦长问题;4.中点问题;5.定比分点问题;6.对称问题;7.平行与垂直问题;8.角的问题。
向量法解圆锥曲线中的最值
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向量法解圆锥曲线中的最值、定值问题的假设干范例江西省高安市石脑二中 王典辉 (330818)圆锥曲线中的最值、定值问题是高考中的热点题型,而以向量为载体的圆锥曲线中的最值、定值问题又是最近几年来高考中显现的新题型。
由于这种题型在解题之前不明白最值、定值的结果,因此对解题增加了必然难度。
但利用向量集数与形于一身,既有代数的抽象性,又有几何的直观性这一特点,能有效地探讨到结果。
本文通过具体的例子来讲明用向量方式对这种问题的求解。
一、最值问题例1.已知点A (0,1),B (0,-1),P 为一个动点,且直线PA 、PB 的斜率之积为-21。
⑴求动点P 的轨迹C 的方程;(⑵设Q (2,0),过点(-1,0)的直线l 交C 于M 、N 两点,△QMN 的面积记为S ,对知足条件的任意直线l ,不等式S ≤λtan ∠MQN 成立,求λ最小值。
解:⑴如图1,设P (x ,y ),k PA =x y -1,k PB =x y 1+,由k PA ·k PB =-21=>221x y -=-21=>22x +y 2=1。
⑵要由不等式S ≤λtan ∠MQN ,求λ最小值一时难以分析清几个量之间的内在联系,于是先从特殊情形进行分析。
当MN ⊥轴时,由上述椭圆方程知,点(-1,0)即为左核心F 1。
现在|F 1Q |=3,又因为x =-1时,y=±22,因此|NM |=2,S △QMN =223。
又因为tan ∠NQF 1=62,tan ∠NQN =tan2∠NQF 1=121tan 1tan 2NQF NQF ∠-∠=1816212-⨯=1726。
由S≤λtan ∠MQN 得λ≥417。
现在易猜想,当NM 不垂直于x 轴时,该结论或许还成立。
可考虑在一样情形下转化的方式,先对关系式S ≤λtan ∠MQN 利用向量进行分析。
由三角形面积公式,得2|||?|QN OM •sin ∠MQN ≤λMQ N MQ N ∠∠cos sin , λ≥21|QM|·|Q N |cos ∠MQN =21Q M ·Q N 。
向量在圆锥曲线中的妙用 高中数学
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向量在圆锥曲线中的妙用江西省 徐文晖向量用于圆锥曲线中,可把一些复杂的几何问题转化为简单的代数运算,避繁就简,化难为易,常出新招,充分体现数形结合思想,为解决圆锥曲线问题开辟了一条新途径.例1、在平面直角坐标系中,有一定长为6的线段,其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动,若点M 为AB 的三等分点,求点M 的轨迹方程.分析:由M 为AB 的三等分点,合理联想到MB AM MB AM 212==或 解:设),(y x M A (),o a B ),0(b 则3622=+b a当),(2),(,2y b x y a x MB AM --=-=时 ⎩⎨⎧-=-=-)(22y b y x a x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==y b x a 233 .1164364992222=+=+∴y x y x 即 当MB AM 21=时,同理可得141622=+y x 点评:求轨迹方程的方法较多,如直接法、定义法、参数法、交轨法等,本题采用了代入法,巧妙地运用向量共线列出方程,达到解决问题目的.例2、已知双曲线13422=-y x 的焦点F 1、F 2,点M 在双曲线上且021=⋅MF MF 求ΔMF 1F 2的面积分析:由021=⋅MF MF 可得MF 12MF ⊥解:不妨设M 在右支上,则MF 12MF ⊥,设2211,r MF r MF ==由定义知 4221==-a r r又 28)2(22221==+c r r .3216212121===∴∆r r S r r F MF 即 点评:此题中给出了向量的数量积为零,不难得出21F MF ∆为K tΔ,结合双曲线的第一定义知识可轻松得出结论,在求解该题中运用了“设而不求”等技巧.例3、在平面直角坐标系中,以点(1,0)为圆心,以R 为半径的圆与抛物线x y =2交于A 、B 、C 、D 四点,是否存在正实数R ,使AC 与BD 的交点为抛物线的焦点F.分析:若焦点F 为AC ,BD 的交点,则有FA ∥FC解:⎩⎨⎧=+-=2222)1(R y x x y 得0122=-+-R x x Δ=0)1(412>--R 得R>23 而01221>-=R x x .123<<∴R 圆和抛物线都关于x 轴对称 ∴四边形ABCD 是等腰梯形,且AC 与BD 交点一定在x 轴上,假设交点恰为焦点F.则FA ∥FC ,设A (11,x x ) C (22,x x -) (0<21x x <),)0,41(F 0)41())(41(2121=----∴x x x x 得16121=x x 由1-R 2= 161得R=415(满足123<<R ),故存在. 点评:恰当引入向量,能激活求解策略,解决此题时大胆假设,把圆锥曲线问题变为向量的计算,构思新颖.。
高中数学:求解圆锥曲线问题的方法和技巧
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高中数学:求解圆锥曲线问题的方法和技巧圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。
熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧。
一. 紧扣定义,灵活解题灵活运用定义,方法往往直接又明了。
例1. 已知点A(3,2),F(2,0),双曲线,P为双曲线上一点。
求的最小值。
解析:如图所示,双曲线离心率为2,F为右焦点,由第二定律知即点P到准线距离。
二. 引入参数,简捷明快参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决。
例2. 求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解:取如图所示的坐标系,设点F到准线的距离为p(定值),椭圆中心坐标为M(t,0)(t为参数),而再设椭圆短轴端点坐标为P(x,y),则消去t,得轨迹方程三. 数形结合,直观显示将“数”与“形”两者结合起来,充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化。
熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。
例3. 已知,且满足方程,又,求m范围。
解析:的几何意义为,曲线上的点与点(-3,-3)连线的斜率,如图所示四. 应用平几,一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解。
例4. 已知圆和直线的交点为P、Q,则的值为________。
解:五. 应用平面向量,简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
例5. 已知椭圆:,直线:,P是上一点,射线OP交椭圆于一点R,点Q在OP上且满足,当点P在上移动时,求点Q的轨迹方程。
分析:考生见到此题基本上用的都是解析几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
解:如图,共线,设,,,则,点R在椭圆上,P点在直线上,即化简整理得点Q的轨迹方程为:(直线上方部分)六. 应用曲线系,事半功倍利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效。
运用向量破解圆锥曲线中的夹角与共线问题
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运用向量破解圆锥曲线中的夹角与共线问题
1.利用向量解决两直线的平行或点共线问题
证明两直线平行有两种方法:一是利用a与b共线的充要条件,即当且仅当存在实数λ,使a=λb成立;二是利用向量的坐标形式,即利用两个向量a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂)共线的充要条件x₁y₂-x₂y₁=0解答,其中,a,b为两直线的方向向量.证明三点共线可转化为两个向量共线来证明.
本题也可以利用两直线的斜率相等来证明A₁B₁∥A₂B₂,但计算量较大,这就是利用向量法解题的优势.
2.利用向量解决与角度有关的问题
利用向量的数量积可以判断这两个向量的夹角是锐角、直角还是钝角,进而可以判断三角形的形状和点与圆的位置关系.
本题也可以通过利用根与系数的关系确定圆心,然后计算圆心到点G的距离并和半径比较得解,由于要用到两点间的距离公式,出现根号,解题过程将十分复杂;但利用向量,通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系,就不会出现根式,计算量大大减少.本题综合性较强,全面地考查了学生分析问题、解决问题的能力.。
妙用韦达定理解决圆锥曲线中向量共线问题
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)2
−
16 3λ21
−
1=
所以 ( 16 −
(k01,26)所−λ22以k+2)13λ6221λ++2 +3322λ1λ611−++1131666λk212−−=136103k6.2k若2=−160k.−2λ同k22
= 0, 理 有: = 0,
则直线 l 过顶点, 不合题意所以 16 − k2 ̸= 0. 所以 λ1, λ2 是
± 2 , 故直线 AB 的斜率为 ± 2 .
3 类型二:
−→ PA
=
−−→ λ1P Q,
−−→ PB
3 =
−−→ λ2P Q
型
例 3 已知抛物线 C : y2 = 4x, 过抛物线焦点 F 的直 −−→ −→
线交 C 于 A, B 两点, 交准线 l 于点 M , 已知 M A = λ1AF , −−→ −−→ M B = λ2BF , 求 λ1 + λ2 的值.
y2 + m = −λ2y2, 整理得:
2
2
λ1
=
−1
−
my1
, λ2
=
−1
−
, my2
所以 k = ±2, 所以 Q(±2, 0).
解析 2 由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等(于零, )设
4
l 的方程: y = kx + 4, A (x1, y1), B (x2, y2), 则 Q
(
)
(
−
y1 + y2 = (1 + λ)y2,
和 到
与两根之积得 (y1 + y2)2 =
y1y2
到 y1y2 = λy22, (1 + λ)2
圆锥曲线题型总结:圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】
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圆锥曲线题型总结:圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】圆锥曲线与向量的结合——圆锥曲线题型总结一、AP=λPB解题方法总结如下:设直线AB与圆锥曲线C相交于点A、B,P为直线AB上的任意一点,A(x1,y1),B(x2,y2),则可以得到AP=λPB。
利用这个条件,可以构造两根之和与两根之积,消去x2,然后利用XXX定理求解。
例如,对于题目“设双曲线C:2-x^2/a^2=y^2/b^2(a>b)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.设直线l与y轴的交点为P,且PA=5PB.求a的值.”,可以按照上述方法解题。
首先联立方程组,得到两个交点的坐标。
然后利用构造两根之和与两根之积的方法,消去x2,得到一个关于a的方程。
最后利用XXX定理求解,得到a的值。
二、PR/PQ的取值范围对于题目“已知x-1>0(x>1),设直线y=-2x+m与y轴交于点P,与双曲线C相交于点Q、R,且|PQ|<3/2|PR|,求PR/PQ的取值范围.”,可以采用向量的方法解题。
设向量PQ 为a,向量PR为b,则PR/PQ=|b|/|a|。
根据向量的定义,可以得到a和b的表达式。
然后根据题目中的条件,可以列出一个关于m的不等式。
最后,通过分析不等式的解集,可以得到PR/PQ的取值范围。
已知直线 $C:x-1=0$($x\neq 1$ 且 $x\neq -1$),设直线$y=x+m$($m>0$)与 $y$ 轴交于点 $P$,与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$、$R$,且 $|PQ|<|PR|$,求 $m$ 的取值范围。
解法一:设 $Q(x_1,y_1)$,$R(x_2,y_2)$,联立$\begin{cases} 4x^2-y^2-4=PRx \\ 3x-2mx-m-4=0 \end{cases}$。
则可设 $x_2=-\lambda x_1$($\lambda>1$),即 $-x_1x_2=\lambda x_2^2$,此时$y_P=x_P+m$,$y_Q=x_Q+m$。
圆锥曲线题型总结:圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】
![圆锥曲线题型总结:圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】](https://img.taocdn.com/s3/m/6e8df93352d380eb63946d0c.png)
圆锥曲线题型总结:圆锥曲线与向量的结合一、PB AP λ=【2004全国1理21】设双曲线C :1x 222=-y a(a >0)与直线l :x+y=1相交于两个不同的点A 、B .设直线l 与y 轴的交点为P ,且PB PA 125=.求a 的值. 【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (0,1)联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=-1x 1x 222y y a 整理得(1-2a )2x +22a x-22a =0.又因为PB PA 125=,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)1(125)1(125x 2121y y x 构造两根之和与两根之积得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=•=+②x 125①1217x 2221221x x x x 由②①2消去x 2得21221)x x x x +(=60289,再由韦达定理得221a 2a -=60289,解得a=1317.【2014四川理】已知3x 22y -=1(x>1)设直线y=﹣2x+m 与y 轴交于点P ,与C 相交于点Q 、R ,且|PQ|<|PR|,求PQPR 的取值范围.【解析】设Q (x 1,y 1),R (x 2,y 2),联立⎩⎨⎧+-==--m x y y 203x 322整理得 2x +4mx-2m +3=0.因为直线与双曲线的右支相交,所以⎪⎩⎪⎨⎧>•>+>∆00x 02121x x x 解得m>1.又因为x ≠1,所以m ≠2.则可设PQ PR=12x x =12x x =λ(λ>1),则⎩⎨⎧=•+=+②x ①)1(x 2221221λλx x x x ,利用②①2消去x 2得21221)x x x x +(=λλ21)(+,再利用韦达定理得21221)x x x x +(=316m 22+m ;316m 22+m =λλ21)(+,于是316m 22+m )(),(16,7647644⋃∈,解得1<λ<7或7<λ<7+43,故PQPR 的取值范围是(1,7)⋃(7,7+43)【2012四川文21】 已知C:4x 22y -=1(x ≠1且x ≠-1)设直线(0)y x m m =+>与y 轴交于点P ,与轨迹C 相交于点Q R 、,且||||PQ PR <,求||||PR PQ 的取值范围。
利用向量解决圆锥曲线相关问题的常见题型
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利用向量解决圆锥曲线相关问题的常见题型作者:姜登凯
来源:《新校园·学习版》2009年第06期
纵观近年高考考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题分值一般在17---22分之间,题型一般为1个选择题,1个填空题,1个解答题,多出现有一定灵活性和综合性较强的题,如求轨迹,与向量结合,与求最值结合,属中高档题。
本文小结了利用向量解决圆锥曲线相关问
题的常见题型,希望能对同学们有帮助。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
用向量形式的角平分线性质解圆锥曲线问题
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基金项目:甘肃省教育科学 十四五 规划2021年度一般课题 数学运算素养下解析几何解题教学的实践研究 (课题立项号:G S [2021]G H B 0122)用向量形式的角平分线性质解圆锥曲线问题甘肃省兰州市第六中学 焦永垚 (邮编:730060)摘 要 文章先给出一个向量形式的角平分线性质,然后以几道圆锥曲线试题为例,介绍了此性质在解决以角平分线为背景的圆锥曲线问题中的应用.关键词 角平分线;向量;圆锥曲线文献[1]中给出了一个向量形式的角平分线充要条件:若点K 在øB A C 的平分线上,则A K ң=k (A B ң|A B ң|+A C ң|A C ң|),反之也成立[1].由此充要条件,很容易得到如下性质:性质 若A K ң=m A B ң+n A C ң,则A K 平分øB A C 的充要条件是m |A B ң|=n |A C ң|[2].经笔者研究发现,运用此性质解决圆锥曲线中与角平分线有关的问题,思路新颖,解法独特,能收到意想不到的效果,下面举例说明.例1(2021年 八省联考 第21题)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ,右焦点为F ,动点B 在C 上,当B F ʅA F 时,|A F |=|B F |.(1)求C 的离心率;(2)若点B 在第一象限,证明:øB F A =2øBA F .解析 (1)e =2.图1(2)由(1)可知c =2a ,故A (-a ,0),F (2a ,0),且b 2=3a 2,则双曲线C 的方程可化为3x 2-y 2=3a 2.如图1,设A B 与C 的右准线x =a2相交于点P ,易知右准线x =a2垂直平分线段A F ,所以øB A F =øP F A ,因此要证明øB F A=2øB A F ,可转化为证明F P 平分øB F A .设B (m ,n )(m >0,n >0),则直线A B 的方程为y =n m +a (x +a ),可得P (a 2,3a n 2(m +a )).设F P ң=λF B ң+(1-λ)F A ң,即(-3a 2,3a n 2(m +a ))=λ(m -2a ,n )+(1-λ)㊃(-3a ,0)=(λ(m +a )-3a ,λn ),可得λ=3a 2(m +a ),于是λ2|F B ң|2-(1-λ)2|F A ң|2=9a 24(m +a )2[(m -2a )2+n 2]-[1-3a 2(m +a )]2㊃9a 2=9a 24(m +a )2㊃(-3m 2+n 2+3a 2),又由点B (m ,n )在双曲线C 上可得3m 2-n 2=3a 2,从而λ2|F B ң|2-(1-λ)2|F A ң|2=0,即λ|F B ң|=(1-λ)|F A ң|,故F P 平分øB F A ,所以øB F A =2øB A F .例2(2018年全国Ⅰ卷理科第19题)设椭圆C :x 22+y 2=1的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)过l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程;(2)设O 为坐标原点,证明:øO MA =øO M B .解析 (1)直线AM 的方程为y =-22x +2或y =22x -2.85中学数学教学2023年第2期(2)设M F ң=λMA ң+(1-λ)M B ң,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由F (1,0)和M (2,0)可得(-1,0)=λ(x 1-2,y 1)+(1-λ)(x 2-2,y 2),即λ(x 1-2)+(1-λ)(x 2-2)=-1,λy 1+(1-λ)y 2=0.又因为A ,B 在椭圆C 上,所以λ2x 21+2λ2y 21=2λ2,(1-λ)2x 22+2(1-λ)2y 22=2(1-λ)2,两式相减可得[λ2x 21-(1-λ)2x 22]+2[λ2y 21-(1-λ)2y 22]=[λx 1+(1-λ)x 2][λx 1-(1-λ)x 2]=λx 1-(1-λ)x 2=4λ-2,于是λ2|MA ң|2-(1-λ)2|M B ң|2=λ2(x 1-2)2-(1-λ)2(x 2-2)2=-[λ(x 1-2)-(1-λ)(x 2-2)]=-[λx 1-(1-λ)x 2-4λ+2]=0,所以λ|MA ң|=(1-λ)|M B ң|,故M F 平分øAM B ,即øO MA =øO M B .评析 从上述例题可以看出,利用向量形式的角平分线性质证明角平分线问题,思路清晰自然,具有很强的可操作性,可以起到事半功倍的效果.从以上解题过程还可以看出,通常使用性质的平方形式 m 2|A B ң|2=n 2|A C ң|2 证明角平分线问题.例3(2010年安徽卷文科第17题)椭圆E 经过点A (2,3),对称轴为坐标轴,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率e =12.(1)求椭圆E 的方程;(2)求øF 1A F 2的角平分线所在的直线的方程.解析 (1)x 216+y 212=1.图2(2)由(1)知F 1(-2,0),F 2(2,0).如图2,设øF 1A F 2的角平分线l交x 轴于点M (x 0,0),设AM ң=λA F 1ң+(1-λ)A F 2ң,则(x 0-2,-3)=λ(-4,-3)+(1-λ)(0,-3),可得x 0=2-4λ.又由A M 平分øF 1A F 2可得λ|A F 1ң|=(1-λ)㊃|A F 2ң|,即5λ=3(1-λ),得λ=38,则x 0=12,得直线l 的方程为y -03-0=x -122-12,即2x -y -1=0.图3例4(2012年全国高中数学联赛江苏复赛一试第10题)如图3所示,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ,右准线l 与x 轴交于点N ,过椭圆上一点P 作P M 垂直于准线l ,垂足为M .若P N 平分øF P M ,且四边形O F MP 为平行四边形,证明:e >23.证明 由题意可知O F ң=P M ң,P O ң=M F ң,则P N ң=P O ң+O N ң=M F ң+a 2c2O Fң=P F ң-P M ң+a 2c 2P M ң=P F ң+(a 2c2-1)P M ң,又因为P N 平分øF P M ,所以|P F ң|=(a 2c 2-1)|P M ң|,于是e =|P F ң||P M ң|=a 2c2-1=1e 2-1,即e 3+e 2=1.由0<e <1可得1=e 3+e 2<2e2,从而e >22>23.例5(2018年全国高中数学联赛黑龙江预赛第21题)如图4所示,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,并且过点P (2,-1).图4(1)求椭圆C 的方程;(2)设点Q 在椭圆上,且P Q 与x 轴平行,过P 作两条直线分别交椭圆C 于两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),若直线952023年第2期中学数学教学P Q 平分øA P B ,求证:直线A B 的斜率是定值,并求出这个定值.解析 (1)椭圆C 的方程x 28+y 22=1.(2)由题意可知Q (-2,-1).设P Q ң=λP Aң+μP B ң,则(-4,0)=λ(x 1-2,y 1+1)+μ(x 2-2,y 2+1),即λ(x 1-2)+μ(x 2-2)=-4λ(y 1+1)+μ(y 2+1)=0①又因为直线P Q 平分øA P B ,所以λ|P A ң|=μ|P B ң|,即λ2[(x 1-2)2+(y 1+1)2]=μ2[(x 2-2)2+(y 2+1)2],结合①可得λ(x 1-2)=μ(x 2-2)=-2,即x 1=2(1-1λ),x 2=2(1-1μ),于是x 1-x 2=2(λ-μ)λμ.将x 1=2(1-1λ)代入C 的方程得λ2y 21=λ2+2λ-1,同理有μ2y 22=μ2+2μ-1,两式相减得(λy 1+μy 2)(λy 1-μy 2)=(λ-μ)(λ+μ+2),结合①可得y 1=-1-λ-μλ(λ+μ),y 2=-1+λ-μμ(λ+μ),则y 1-y 2=μ-λλμ,于是直线A B 的斜率k A B =y 1-y 2x 1-x 2=-12.评析 利用向量形式的角平分线性质解决角平分线问题,其本质就是运用转化思想,将 角平分线 的 形 ,转化为向量形式的 数 ,再对数 进行运算,由形到数,数形沟通,从而降低了思维难度,有利于学生理解和掌握.例6(2018年全国高中数学联赛福建预赛第7题)已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 24-y 212=1的左㊁右焦点,点P 在双曲线C 上,G ,I 分别为әF 1P F 2的重心㊁内心,若G I 平行于x 轴,则әF 1P F 2的外接圆半径R =.解析 由题意可得|F 1F 2ң|=8.如图5,不妨设点P 在双曲线C 的右支上.图5因为G I 平行于x 轴,所以可设G I ң=λF 1F 2ң,则F 1I ң=F 1Gң+G I ң=13(F 1Pң+F 1F 2ң)+λF 1F 2ң=13F 1P ң+(13+λ)F 1F 2ң,又因为直线F 1I 平分øP F 1F 2,所以13|F 1P ң|=(13+λ)|F 1F 2ң|,可得|F 1P ң|=8(1+3λ).同理可得,F 2I ң=13F 2P ң+(13-λ)F 2F 1ң,则13|F 2P ң|=(13-λ)|F 2F 1ң|,可得|F 2P ң|=8(1-3λ),于是|F 1P ң|-|F 2P ң|=48λ=4,得λ=112,从而|F 1P ң|=10,|F 2P ң|=6,则|F 2P ң|2+|F 1F 2ң|2=|F 1P ң|2,因此P F 2ʅF 1F 2,所以әF 1P F 2外接圆半径R =12|F 1P ң|=5.评析 三角形的内心问题本质上也是角平分线问题,本题将内心条件转化为角平分线问题,两次运用向量形式的角平分线性质,再结合双曲线的定义建立关于λ的方程,使问题顺利解决,这样的解题具有出奇制胜的效果.另外,由上述钥匙解题过程还发现|F 1P ң|+|F 2P ң|=2|F 1F 2ң|,因此可得到一个关于三角形内心和重心的命题:G ,I 分别为әA B C 的重心㊁内心,若G I ʊB C ,则A B +A C =2B C ,反之亦成立.证明留给有兴趣的读者自行完成,本文不再赘述.参考文献[1] 张景中,彭翕成.绕来绕去的向量法(第2版)[M ].北京:科学出版社,2021.[2] 李有贵,彭翕成.向量形式的充要条件及应用[J ].数学教学,2022(3):48-50.(收稿日期:2023-01-18)06中学数学教学2023年第2期。
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
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浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线问题是高中数学中比较重要的一种问题。
解决圆锥曲线问题需要掌握一定的数学知识和技巧。
本文将从几种不同的角度介绍解决圆锥曲线问题的几种方法。
一、代数法代数法是解决圆锥曲线问题较为基础的一种方法。
对于给定的圆锥曲线,我们可以采用代数方式将其表示出来,然后通过对代数式进行化简、拆分等运算来求解问题。
以椭圆为例,设椭圆的方程为:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$其中,a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
若已知椭圆的长半轴和短半轴分别为5和3,求椭圆的周长和面积。
解题思路:首先,根据椭圆的方程,可以得到:周长:$C=4aE(\frac{b^2}{a^2})$面积:$S=\pi ab$其中,E是椭圆的第二类完全椭圆积分。
代入已知数据,可以得到:周长:$C=4\times 5E(\frac{9}{25})\approx 20.0124$面积:$S=\pi\times 5\times 3\approx 47.1239$二、几何法解题思路:首先,根据双曲线的性质,可以得到:离心率:$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$其次,根据题意,双曲线的长轴长度为6,所以有:$2a=6$即:$a=3$又因为焦点为(-3,0),(3,0),所以有:$2c=6$即:$c=3$将已知数据代入公式,可以得到:$b^2=c^2-a^2=9-9=0$所以:离心率:$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+0}=1$三、投影法以抛物线为例,设抛物线的方程为:$y^2=4px$其中,p为抛物线焦点到抛物线的顶点的距离。
若已知抛物线焦点为(0,2),顶点为(0,0),求抛物线的焦距和面积。
其次,根据题意,抛物线的焦点为(0,2),顶点为(0,0),所以有:$p=2$四、向量法以圆为例,设圆的方程为:$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$其中,(a,b)为圆心坐标,r为圆的半径。
浅谈向量在解决圆锥曲线问题中的作用
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浅谈向量在解决圆锥曲线问题中的作用在高中数学中向量是一个新增内容,它只是一种方法,高考不会单独出题,所以它一定是依附于其他知识点——比如圆锥曲线问题——中出现。
解析几何就是利用代数方法解决几何问题;而在坐标法中,向量是和几何问题结合最紧密的方法,因此如果涉及角度等一些问题,就可以用向量去做。
由于点的坐标也可视为向量的坐标,因此许多解析几何问题均可与向量知识进行综合。
高考对解析几何与向量综合考查,新旧结合,以旧带新,使新旧内容有机地结合在一起,就形成了新的高考命题的热点。
1 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系,再利用函数求最值的方法求最值,要比只利用解析几何知识建立等量关系容易。
例1.设椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为,过点C(-1,0)的直线交椭圆E于A、B两点,且=2 ,求当△AOB的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程。
解答过程:因为椭圆的离心率为,故可设椭圆方程为2x2+3y2=t(t>0),直线方程为my=x+1,由2x2+3y2=tmy=x+1得:(2m2+3)y2-4my+2-t=0,设A(x1,y1)B(x2,y2),则y1+y2= …………①,又=2 ,故(x1+1,y1)=2(-1-x2,-y2),即y1=-2y2…………②;由①②得:y1= ,y2= ,则S△AOB= y1-y2=6 =6 ≤ ,当m2= ,即m=±时,△AOB面积取最大值,此时y1y2= = ,即t=10,所以,直线方程为x±y+1=0,椭圆方程为2x2+3y2=10.小结:利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易。
2 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围,一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题。
例2.已知双曲线C: - =1(a>0,b>0) ,B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足, , 成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为P,①求证: · = · ;②若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E,求双曲线C的离心率e的取值范围。
浅析平面向量在圆锥曲线问题中的应用
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轨迹方程的方法 ,及解决动直线过定点 的问题 。体 现了用向量处
f + :1
理这种关系 的便捷性 。
1,A( l,Y】),B(x2,Y2)联立 :{4 。2 (2k +1) +4kx一2=0,
二 、取值 范 围 及最 值 问题
ly=kx+1
(2017·浙 江理 )如 图,已知抛物线 x2=y, I y
关 键 词 :平 面 向量 ;圆锥 曲线 问 题 ;应 用
圆锥曲线是 解析几何 的重要 内容 ,是整个高 中数学 的重 点和 zl —
难点 ,在历年 的高考 中都 占有较大的 比例。这部分知识庞杂 、解题 16— 。
计算量 大 、综合程度高 。掌握 用向量作 为工具 ,可以很便 捷地 解决
(2015·四川文)如图,椭圆E: +鼻 :1
Cr D 一
直于 o0的直线 f过 C的左焦点
(。>6>o)的离心率 是 ,点 P(O,1)在 短
;
【解析 】(1)设 P(x,Y),则 M(x,
r 一
y),将 点 M代人
C中得 轴 cD上,且
.蔚
:1。
(I)求椭 圆 E的方程 ;
= (一1 -n),-oY=(m,n), :(一3 t-n). ̄-o-Y· =1得
【解析 】(I)南 · 一 1知 ,(b-1)·(b+1)=1,解得 6=、/ ,
一 3m—m2+tn—n2=1,由 (1)有 m +n =2,贝0有 3+3m—tn=0,所 以 , · 又 ‘.·由离心率 是_=
【点评 】本题 以抛物线为载体 ,考查了解析几何 中求斜率及最
一 些解 析几何 的问题 。
值的方法 ,在求最大值 的过程 中 ,常规解法是 利用两点 间的距离
圆锥曲线面积向量叉乘
![圆锥曲线面积向量叉乘](https://img.taocdn.com/s3/m/f06b5257c381e53a580216fc700abb68a982add4.png)
圆锥曲线面积向量叉乘-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面展开:引言:圆锥曲线是数学中重要的研究对象之一,它在几何学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
而在计算圆锥曲线的面积时,向量叉乘的概念是一个关键的工具。
本文将探讨圆锥曲线的面积与向量叉乘之间的关系,并讨论向量叉乘在圆锥曲线面积计算中的应用与实际问题中的案例分析。
文章结构:本文共分为四个部分:引言、正文、应用与分析、结论。
在引言部分,我们将总体介绍本文的主要内容和结构安排。
在正文部分,首先介绍圆锥曲线的定义和性质,然后详细介绍面积的定义与计算方法,以及向量叉乘的概念与性质。
在应用与分析部分,我们将探讨圆锥曲线面积与向量叉乘的关系,介绍圆锥曲线面积的计算方法,并讨论向量叉乘在圆锥曲线面积计算中的应用和实际问题中的案例分析。
最后,在结论部分,我们将对全文进行总结与回顾,探讨圆锥曲线面积向量叉乘的进一步研究方向,以及对本文内容的贡献和局限性,并展望未来的研究方向。
目的:本文的目的是探讨圆锥曲线的面积与向量叉乘之间的关系,并研究向量叉乘在圆锥曲线面积计算中的应用。
通过对圆锥曲线面积的计算方法和向量叉乘的概念进行分析和研究,我们旨在深入理解圆锥曲线的性质和面积计算的原理,并探讨向量叉乘在实际问题中的应用。
同时,本文还将对圆锥曲线面积向量叉乘的进一步研究方向进行探讨,为未来研究提供一定的参考。
总结:本文将从圆锥曲线的定义和性质出发,通过对面积的定义与计算方法的介绍,讨论向量叉乘的概念与性质,进而探讨圆锥曲线面积与向量叉乘的关系,并在应用与分析部分介绍具体的计算方法和实际问题中的案例分析。
最后,在结论部分对全文进行总结与回顾,提出对圆锥曲线面积向量叉乘的进一步研究方向的展望。
通过本文的研究,我们将有助于深化对圆锥曲线面积与向量叉乘关系的理解,以及在实际问题中的应用。
文章结构部分的内容主要是介绍整篇文章的组织结构和各个章节的内容概述。
高考数学中的圆锥曲线与向量计算
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高考数学中的圆锥曲线与向量计算数学,是人类文明的重要组成部分之一。
在科技发展和社会进步中,数学的应用起到了不可替代的作用。
而在一系列的数学学科中,高考数学更是占据着重要位置。
其中,圆锥曲线和向量计算是许多学生常常遇到的难点。
一、圆锥曲线圆锥曲线,既是高中数学的重点,也是高考数学的难点之一。
该部分内容涉及椭圆、双曲线、抛物线等多个知识点,其中椭圆和双曲线的参数方程式更是令许多学生觉得难以消化。
然而,圆锥曲线实际上是我们日常生活和科技领域中的一个重要应用。
比如:超声波成像、卫星制导和轨道设计等等。
在圆锥曲线的掌握上,可以多借助于一些实际问题去理解概念。
例如:在坐标系中给出一个点P(x,y),且到两点F1,F2的距离之和为定值,这时这个点P就位于一个椭圆上。
如果将F1,F2合并成为一个点,那么椭圆将变为抛物线;如果将F1,F2两点向无限远处移动,那么椭圆将变为双曲线。
其实,掌握圆锥曲线的技能并不难,它只需要我们在学习的过程中保持耐心和坚持,同时也要注意灵活运用。
有了这个技能,我们不仅能够完成高考,更能够在未来的职业生涯和日常生活中,更好地理解和应用数学。
二、向量计算向量计算是高中数学中比较重要和实用的一部分。
通过学习向量的知识,我们可以更好地理解和解决求线段长度、作图、平面运动、物理学等多方面的问题。
而在高考数学中,向量的坐标表示和向量的数量积等概念常常被考到。
在向量计算的学习中,需要掌握的最重要的技能之一是向量的坐标表示。
向量可以用坐标来表示,也可以用位置向量表示。
实际上,坐标表示法是向量计算的一种简便方法,它能够更好地帮助我们理解和计算向量的坐标。
同时,如果能够结合图形和几何概念,则能够更好地帮助我们理解和计算向量的长度和方向。
除了向量的坐标表示,向量的数量积也是向量计算的另一个重点。
在数量积的理解与计算过程中,需要了解数量积的性质和计算方法。
利用勾股定理可以更好地理解数量积。
更为重要的是,要学会运用数量积的公式和性质,完成诸如证明、向量夹角、使用向量计算解平面几何问题等多方面应用。
圆锥曲线与向量的综合性问题
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设 ,由 点在 轴的负半轴上,则
又 ,
又 ,
所以,点 的轨迹 的方程为
(解法二) ,故 为 的中点.
设 ,由 点在 轴的负半轴上,则 -
又由 ,故 ,可得
由 ,则有 ,化简得:
所以,点 的轨迹 的方程为
例2、已知椭圆的方程为 ,它的一个焦点与抛物线 的焦点重合,离心率 ,过椭圆的右焦点 作与坐标轴不垂直的直线 ,交椭圆于 、 两点.
解(Ⅰ)设点 的坐标为 ,则点 的坐标为 ,
依据题意,有
动点 所在曲线 的方程是
(Ⅱ)因直线 过点 ,且斜率为 ,故有
联立方程组 ,消去 ,得
设 、 ,可得 ,于是 .
又 ,得 即
而点 与点 关于原点对称,于是,可得点若ຫໍສະໝຸດ 段 、 的中垂线分别为 和 , ,则有
联立方程组 ,解得 和 的交点为
因此,可算得
∴ >
∴点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,又
∴
(2)∵. 四边形OASB为平行四边行,
假设存在直线1,使 四边形OASB为矩形
若1的斜率不存在,则1的方程为
由 >0.
这与 相矛盾,∴1的斜率存在.
设直线1的方程
,化简得:
∴
∴
由 ∴
∴存在直线1: 或 满足条件.
二、针对性练习
1.已知过抛物线 的焦点,斜率为 的直线交抛物线于 ,
且 , ,不妨设 ,
即
把 代入 得
,
故所求抛物线方程为
(Ⅱ)设 ,
则过抛物线上 、 两点的切线方程分别是 ,
两条切线的交点 的坐标为
设 的直线方程为 ,代入 得
故 的坐标为 点 的轨迹为
巧用向量,妙化长度-----浅谈圆锥曲线中的长度求解
![巧用向量,妙化长度-----浅谈圆锥曲线中的长度求解](https://img.taocdn.com/s3/m/ea9a49c0cf2f0066f5335a8102d276a2002960e1.png)
巧用向量,妙化长度 ----- 浅谈圆锥曲线中的长度求解圆锥曲线是高三复习的重点内容之一,是拉开考生分数档次的关键题目。
解决该类问题的核心思想就是用代数的方法解决几何问题,主要方法是坐标法。
因此,将几何元素坐标化,是我们开始解题的关键。
而向量既能体现“形”的直观,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合与转换的桥梁和纽带。
以下就向量在圆锥曲线长度问题中的一些应用,做一点讲解,一、利用向量的共线实现坐标化例1:椭圆的右焦点为,过点的直线与椭圆交于两点,求的最小值【思路分析】:在圆锥曲线中,对于直线上两点间的距离问题,我们常用的解题策略是采用化斜为直的思想,利用弦长公式,实现几何元素坐标化来加以求解,如下面的“方法一”。
对于直线上两点间的距离我们还可以从向量角度来实现坐标化,按照数量积的定义,我们有,当时,有,基于这点思考,我们可以将圆锥曲线中的长度问题进行向量化处理。
【解析一】:(化斜为直——弦长公式)设,直线联立方程:由韦达定理可得:时,【解析二】:(几何问题向量化)设,直线联立方程:由韦达定理可得:时,【点评】:本题利用三点共线,将长度问题转化为向量数量积问题,从而实现坐标化二、利用向量简化长度运算例2:(2017浙江高考改编)如图,已知抛物线,点A,,抛物线上的点 .过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.求的最大值.【思路分析】:本题的变量应该是P点,问题的关键是如何表示的长度。
如果用弦长公式,则要通过设出直线方程,求出点坐标,运算量较大,我们可以引进向量这一工具来简化运算。
【解析】:设,则令:求导可得:【点评】:本题不仅利用共线将长度转化为向量,而且还利用向量的运算,将未知向量转化为已知向量,简化了运算过程。
三、利用向量的投影例3、(08浙江高考改编)已知直线过定点Q(-1,0),点M是抛物线(不在直线上),在上,轴,是否存在这样的直线,使是常数【思路分析】:本题的主变量应该是M点,点都是点的相关点,目可以将看做是在直线上标将用点表示。
向量与圆锥曲线
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圆锥曲线一.向量与圆锥曲线: .OA OM ;,;21型型型OB PQ PB PQ PA PB AP μλλλλ+====例1.已知B A ,是椭圆1222=+y x 上的两点,并且点)0,2(-N 满足NB NA λ=,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,51λ时,求直线AB 斜率的取值范围.例2.已知抛物线x y C 4:2=,过抛物线的焦点F 的直线交C 于B A ,两点,交准线l 于点M ,已知BF MB AF MA 21,λλ==,求21λλ+.例3.已知椭圆22233b y x =+,斜率为1且过右焦点F 的直线交椭圆于B A ,两点,M 为椭圆上任一点,且OB OA OM μλ+=, 求22μλ+.方法总结:(1)若能得到21x x λ=, 则构造出两根之和与两根之积得⎩⎨⎧=+=+2221221)1(x x x x x x λλ消去得λλ221221)1()(+=+x x x x ,再利用韦达定理应用; (2)若PQ PB PQ PA 21,λλ==,则可以用B A ,的横坐标21,x x 或纵坐标21,y y 来表示1λ和2λ,当1λ和2λ满足一定的关系时,进一步用韦达定理作整体代换;(3)直线与圆锥曲线相交于B A ,两点,若点M 满足μλ+=,用B A ,两点的坐标来表示M ,如果M 在曲线上,则将M 的坐标表达式代入曲线方程,如果M 没有在曲线上,则必须把M 的坐标表达式构造成曲线方程的形式进行处理.课后练习:1.已知定点)0,2(M ,若过点M 的直线l (斜率不为零)与椭圆1322=+y x 交于不同的两点F E ,(E 在点F M ,之间),记OMFOME S S∆∆=λ, 求实数λ的取值范围.2.椭圆1232222=+cy c x 的两个焦点分别为)0,(1c F -和)0,(2c F ,过点)0,3(c E 的直线与椭圆交于BA ,两点, 且||2||,//2121B F A F B F A F =, 求直线AB 的斜率.3.已知抛物线x y C 4:2=,过点)2,0(M 的直线l 与抛物线交于B A ,两点,且直线l 与x 轴交于点C ,设BC MB AC MA βα==,,试问βα+是否为定值, 若是, 求出此定值; 若不是, 请说明理由.4.椭圆123:22=+y x C ,过右焦点F 的直线l 与C 交于B A ,两点,C 上是否存在点P ,使得当l 绕F 转到某一位置时,有OB OA OP +=成立?若存在,求出所有P 的坐标与l 的方程;若不存在, 请说明理由.二.面积计算求解圆锥曲线中三角形的面积,关键在于三角形面积公式的选取.例1.如图,)1,1(M 是抛物线x y C =2:上一点, B A ,是C 上的两点,线段AB 被直线OM 平分且)21,1(P , 求ABP ∆面积的最大值.2.已知直线l 与椭圆12222=+bx a y 交于),(),,(2211y x B y x A 两点, 已知),(),,(2211by ax n by ax m ==,若n m ⊥且椭圆的离心率23=e , 又椭圆经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,23, O 为坐标原点. 试问AOB ∆的面积是否为定值? 如果是,请证明,如果不是,说明理由.3.已知菱形ABCD 的顶点C A ,在椭圆4322=+y x 上,对角线BD 所在直线的斜率为1. (1)当直线BD 过点)1,0(时,求直线AC 的方程; (2)当︒=∠60ABC 时,求菱形ABCD 面积的最大值.4.如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D (1)求椭圆1C 的方程;(2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.三.切线问题1.如图,设椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ,且点P 在第一象限.(1) 已知直线l 的斜率为k ,用,,a b k 表示点P 的坐标;(2) 若过原点O 的直线1l 与l 垂直,证明:点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -.2.如图,已知抛物线211C 4x :y=,圆222C (y 1)1x :,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ,PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切,A ,B 为切点.(1)求点A ,B 的坐标; (2)求PAB ∆的面积.3.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x C :的一个焦点为)0,5(,离心率为35.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点),(00y x P 为椭圆外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.4.如图,设抛物线方程为x 2=2py (p >0),M 为 直线y =-2p 上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A ,B .(1)求证:A ,M ,B 三点的横坐标成等差数列;(2)已知当M 点的坐标为(2,-2p )时,410AB =,求此时抛物线的方程;(3)是否存在点M ,使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =>上,其中,点C 满足OC OA OB =+(O 为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.练习:如图,已知抛物线y x 42=的焦点为F ,B A ,是抛物线上的两动点,且)0(>=λλFB AF ,过B A ,两点分别作抛物线的切线,设其交点为M ,证明AB FM ⋅为定值.四、斜率乘积为22ab -1.已知N M ,椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C :上的两点,则22,ab k k N M P OP MN -=⋅⇔的中点是;类似地,对于双曲线12222=-by a x C :,则有____________________.若椭圆或双曲线的焦点在y 轴呢,则结果会怎样?2.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x C :的左右顶点为21,A A ,点M 是C 21,A A 的任意一点,则2221ab k k MA MA -=⋅;类似地,对于双曲线12222=-by a x C :,则有____________________.3.对于上述,若21,A A 为椭圆或双曲线上关于原点对称的点,会有什么结论呢?4.若椭圆或双曲线的焦点在y 轴呢,则结果会怎样?例1.过点)2,1(N 的直线交双曲线1222=-y x 于B A ,两点,)(21+=,则直线AB 的方程是____________例2.过点)1,1(M 作斜率为21-的直线与椭圆)0(12222>>=+b a by a x C :相交于B A ,,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率是_________例3.已知椭圆13422=+y x C :,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4:,椭圆C 上有两个不同的点关于这条直线对称.例4.已知椭圆的方程为12422=+y x ,过坐标原点的直线交椭圆于A P ,两点,其中P 在第一象限,过P 作x 轴的垂线,垂足为C ,连接AC 并延长交椭圆于点B ,设直线的斜率为k ,求证:对任意0>k ,PB PA ⊥.例1.))(,(000a x y x P ±≠是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x E :上一点,N M ,分别是双曲线E 的左、右顶点,直线PN PM ,的斜率之积为51,则双曲线的离心率是_________________例2.如图,已知B A ,分别为曲线)0(1222≥=+y y ax C :与x 轴的左、右两个交点,直线l 过点B ,且与x 轴垂直,S 为l 上异于点B 的一点,连结AS 交曲线C 于点T . 点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点,试问:是否存在a ,使得S M O ,,三点共线?若存在,求出a 的值,若不存在,请说明理由.例3.已知椭圆1222=+my x C :,过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于Q P ,两点,其中P 在第一象限,它在y 轴上的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H ,是否存在m ,使得对任意的0>k ,都有PH PQ ⊥?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.4.已知椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x C :,B A ,是椭圆上的两动点,M 为平面上一动点且满足OB OA OM μλ+=,则有如下的框架图(已知任意两个,可以推出第三个):在椭圆上M ab k k OBOA 12222=+-=⋅μλ例1.已知椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x C :,B A ,是椭圆上的两动点,M 为椭圆上一动点且满足OB OA OM μλ+=且122=+μλ,证明:22ab k k OB OA -=⋅.例2.设动点P 满足ON OM OP 2+=,其中N M ,是椭圆12422=+y x 上的点,直线OM 与ON 的斜率之积为21-,求动点P 的轨迹方程.五.斜率乘积为1-1.椭圆中的垂直问题例1.设椭圆13422=+y x C :,过点O 作两条互相垂直的射线,与椭圆C 分别交于B A ,两点,过O 作直线AB 的垂线,求点D 的轨迹方程.例2.求),0(b t ∈使得下述命题成立:设圆222t y x =+上任意点),(00y x M 处的切线交椭圆122222=+b y b x 于21,Q Q 两点,则21OQ OQ ⊥.例3.如图,n 是过原点的直线,l 是与n 垂直相交于P 点,与椭圆13422=+y x C :交于B A ,两点的直线,1||=OP ,是否存在上述直线l 使得1=⋅PB AP 成立?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.2.当圆锥曲线上的两点Q P ,满足OQ OP ⊥时,椭圆中便存在一个直角三角形OPQ Rt ∆,通过以上的例题可以发现,其实我们一直是围绕这个直角三角形在进行的,包括两条直角边的关系、斜边的长度问题、斜边上的高的轨迹,以及它的面积的取值范围,真可谓把这个直角三角形剖析得淋漓尽致了。
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由万≯∥万蔺,得y(x。+口)--y。(z+n)=o,即
y(xo+口)=Yo(z+以).(D
同理,y(xo--a)=--yo(x-a).
②
联立①和②,得Y2(z:--a2)=一y3(z2一口2).③
由点P在双曲线C,上,得Y5=了o~z02--a2).④
’’。 ’l_
将④代入③,得争+争21.
故直线A,P与直线A:Q的交点的轨迹是椭圆 C。,由双曲线C。和椭圆C。的方程,分n>6>0和 b>a>O两种情况分析椭圆C。的长轴和短轴与双曲
线C。的实轴和虚轴的关系.
其顶点为坐标原点0(0,o),焦点为F(等,0),准线为
l:x一号.
设点P(嚣,了-)、Q(券,yz),则向量讳= +(苏一号啪),商一(券一号啪). 由讳∥葡,得yz(券一号)_y-(券一号)一o,
则茚=(2.z6。3+,02,.
迹是椭圆C。,并判断椭圆C:的长轴和短轴与双曲线 C,的实轴和虚轴有什么联系.
证明:不妨设双曲线C-的方程为争一-T
2 1
(口>O,6>O),Al(--a,0)、A2(口,0).设点P(xo,yo)、
商・茚=(z。一2,y0).(2,而6yo)=2(z。一 2)+差--2矿4+43-・等等=导(2飞)>
0,则么MBP是锐角,故么MN是钝角,即点B在以
Q(x。,~y。),则百≯=(z。+n,Y。),万菊一(z。一口,
一yo).
MN为直径的圆内. (责任编辑刘钟华)
设A,P与A:Q交于M(z删),则万蔺=(z+口。
高考可以改变人生
万方数据
——550648239@qq.cowl
活用向量求解圆锥曲线问题
一户2净yz一一蛋,即Q(苏,一蛋).
・设点M(一号,ys).由o---P一(苏,y-),劢= (一告,y。),o- P/ 蘅.Ca
、 ,
解:(1)等+告=1.解题过程略.
(2)A(一2,0)、B(2,O),设点M(xo,Y。).
,得苏・ys—y・(一告L.a)2 o净
白∥ 、
,
由M点在椭圆上,得Y:一÷(4--X5).又点M异
于顶点A、B,则一2<zo<2. 设点P(4,户)(户≠o).
弘=一蛋,即M(一号,一簧).
M、Q两点的纵坐标相同,则MQ平行于抛物线 的对称轴. 倒2若双曲线C。的弦PQ和实轴A,A。所
在直线垂直,证明直线A,P与直线A:Q的交点的轨
由神一(6,夕),劢=(z。+2,y。),A-F//劢,得
6yo--p(xo+2)一。净户2厕6yo,即点P(“z6。y+02,,
对于圆锥曲线中的一些问题,如果借助平面向
y),Az--砌=(x-a,y).
量的有关知识(向量共线的充要条件及平面向量的 数量积等)来解决,不仅可以构建知识间的联系,还 能简化运算,使问题化难为易.下面通过具体问题探 讨向量在圆锥曲线中的应用. 倒,过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P、Q,经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 丁辉华, 段银芳
中学生数理化(高考版) MATHS PHYSICS & CHEMISTRY FOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS(SENIOR HIGH SCHOOL EDITION) 2010,""(6) 0次
本文链接:/Periodical_zxsslh-gzb201006010.aspx 授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:781347c3-8136-43fc-a6fe-9dc900b5ae5c 下载时间:2010年8月5日
博浏中学生数理亿富考版
倒了设A、B分别为椭圆x≯z T矿yZ=1(口>6>
O)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且z=4 为它的右准线. (1)求椭圆的方程.
整理得(yl—Yz)(警+p)一o.又∞≠弛,则M弛一
(2)设P为右准线上不同于点(4,o)的任意一 点,若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的 点M、N,证明:点B在以MN为直径的圆内.