高一不等式数列
[高一数学]不等式知识点归纳与总结
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授课教案教学标题 期末复习(三) 教学目标 1 、不等式知识点归纳与总结 教学重难点重点:不等式基础知识点的熟练掌握难点:不等式在实际应用中的相互转换上次作业检查授课内容:一、数列章节知识点复习1 等差数列(1)性质:a n =an+b ,即a n 是n 的一次性函数,系数a 为等差数列的公差;(2) 等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=22122 即S n 是n 的不含常数项的二次函数;若{a n },{b n }均为等差数列,则{a n ±n n },{∑=k1i ka},{ka n +c}(k ,c 为常数)均为等差数列;当m+n=p+q 时,a m +a n =a p +a q ,特例:a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…;当2n=p+q 时,2a n =a p +a q ; ① 等差数列依次每k 项的和仍成等差数列,其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --; ② 若等差数列的项数为2()+∈N n n ,则,奇偶nd S S =-1+=n na a S S 偶奇;等差数列等比数列 定义 d a a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn 递推公式 d a a n n +=-1;()n m a a n m d =+-q a a n n 1-=;m n m n q a a -= 通项公式 d n a a n )1(1-+=11-=n n q a a (0,1≠q a )中项2kn k n a a A +-+=(*,,0n k N n k ∈>>))0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=(*,,0n k N n k ∈>>)前n 项和)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n 重要性质),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈⋅=⋅③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12,则()n n a n S 1212-=-,且n a S S =-偶奇, 1-=n n S S 偶奇 (4)常用公式:①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n[注]:熟悉常用通项:9,99,999,…110-=⇒n n a ; 5,55,555,…()11095-=⇒nna .2 等比数列 (1)性质当m+n=p+q 时,a m a n =a p a q ,特例:a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…,当2n=p+q 时,a n 2=a p a q ,数列{ka n },{∑=k1i ia}成等比数列。
高中数学不等式与数列中的常见问题解析
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高中数学不等式与数列中的常见问题解析一、不等式的性质及解法不等式在高中数学中占据重要的地位,它是判断数值大小关系的有效工具。
以下是不等式的性质和解法。
1.1 不等式性质(1)加减倍体系性质:不等式两边同时加(减)一个数,不等式的性质不变;不等式两边同时乘(除)一个正数,不等式的性质不变;不等式两边同时乘(除)一个负数,不等式的性质反向。
(2)换位性:不等式两边交换位置,不等式的性质不变。
(3)传递性:若 a<b,b<c,则有 a<c。
(4)倒数性:若 a>b,则有 1/a<1/b。
1.2 一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次式,并且不等号中的不等关系为“<”、“>”或“≤”、“≥”。
解一元一次不等式的主要方法是移项、合并同类项,然后根据不等号的情况确定解集。
1.3 二元一次不等式的解法二元一次不等式是指含有两个未知数的一次式,并且不等号中的不等关系为“<”、“>”或“≤”、“≥”。
解二元一次不等式的常用方法是图像法和代入法。
1.4 不等式组的解法不等式组是一组不等式的集合。
不等式组的解法需要考虑每个不等式的条件,并确定所有满足条件的解构成的集合。
常见的解法有图像法和代入法。
二、数列及其性质数列是指按照一定规律排列的一组数的集合。
在高中数学中,数列是研究数值规律和数列性质的重要对象。
2.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差等于一个常数d的数列。
在等差数列中,通项公式为an=a1+(n-1)d,求和公式为Sn=n(a1+an)/2。
2.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比等于一个常数q的数列。
在等比数列中,通项公式为an=a1*q^(n-1),求和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
2.3 递推数列递推数列是指数列中的每一项都由前几项确定的数列。
递推数列常见的有斐波那契数列和杨辉三角数列。
三、常见问题解析3.1 不等式问题高中数学中的不等式问题有时会涉及到应用问题,如求解满足一定条件的未知数的取值范围等。
高一基本不等式及其应用知识点+例题+练习 含答案
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1.基本不等式ab ≤a +b2(1)基本不等式成立的条件:a ≥0,b ≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R ). (2)b a +ab ≥2(a ,b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22(a ,b ∈R ).(4)a 2+b 22≥⎝⎛⎭⎫a +b 22 (a ,b ∈R ). 以上不等式等号成立的条件均为a =b . 3.算术平均数与几何平均数设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值2p .(简记:积定和最小) (2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值p 24.(简记:和定积最大)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y =x +1x 的最小值是2.( × )(2)函数f (x )=cos x +4cos x ,x ∈(0,π2)的最小值等于4.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y +yx ≥2”的充要条件.( × )(4)若a >0,则a 3+1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2+b 2≥2ab 与a +b2≥ab 有相同的成立条件.( × )1.(教材改编)设x >0,y >0,且x +y =18,则xy 的最大值为________. 答案 81解析 ∵x >0,y >0,∴x +y2≥xy ,即xy ≤(x +y2)2=81,当且仅当x =y =9时,(xy )max =81.2.若实数x ,y 满足x >y >0,且log 2x +log 2y =1,则x 2+y 2x -y 的最小值为________.答案 4解析 由log 2x +log 2y =1得xy =2,又x >y >0,所以x -y >0,x 2+y 2x -y =(x -y )2+2xy x -y =x -y +4x -y ≥2(x -y )·4x -y =4,当且仅当x -y =2,即x =1+3,y =3-1时取等号,所以x 2+y 2x -y的最小值为4.3.若函数f (x )=x +1x -2(x >2)在x =a 处取最小值,则a =________.答案 3解析 当x >2时,x -2>0,f (x )=(x -2)+1x -2+2≥2(x -2)×1x -2+2=4,当且仅当x -2=1x -2(x >2),即x =3时取等号,即当f (x )取得最小值时,x =3,即a =3. 4.(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m , 则另一边为12×(20-2x )=(10-x )m ,∴y =x (10-x )≤[x +(10-x )2]2=25,当且仅当x =10-x ,即x =5时,y max =25.5.(教材改编)已知x ,y ∈R +,且x +4y =1,则xy 的最大值为________. 答案116解析 1=x +4y ≥24xy =4xy ,∴xy ≤(14)2=116,当且仅当x =4y =12,即⎩⎨⎧x =12y =18时,(xy )max =116.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法求最值例1 (1)已知x <54,则f (x )=4x -2+14x -5的最大值为________.(2)函数y =x 2+2x -1(x >1)的最小值为________.(3)函数y =x -1x +3+x -1的最大值为________.答案 (1)1 (2)23+2 (3)15解析 (1)因为x <54,所以5-4x >0,则f (x )=4x -2+14x -5=-(5-4x +15-4x )+3≤-2+3=1.当且仅当5-4x =15-4x ,即x =1时,等号成立.故f (x )=4x -2+14x -5的最大值为1.(2)y =x 2+2x -1=(x 2-2x +1)+(2x -2)+3x -1=(x -1)2+2(x -1)+3x -1=(x -1)+3x -1+2≥23+2.当且仅当(x -1)=3(x -1),即x =3+1时,等号成立.(3)令t =x -1≥0,则x =t 2+1,所以y =t t 2+1+3+t =tt 2+t +4.当t =0,即x =1时,y =0; 当t >0,即x >1时,y =1t +4t+1,因为t +4t ≥24=4(当且仅当t =2时取等号),所以y =1t +4t+1≤15,即y 的最大值为15(当t =2,即x =5时y 取得最大值).思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.命题点2 常数代换或消元法求最值例2 (1)若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是________. (2)(高考改编题)设a +b =2,b >0,则12|a |+|a |b 取最小值时,a 的值为________.答案 (1)5 (2)-2解析 (1)方法一 由x +3y =5xy 可得15y +35x=1,∴3x +4y =(3x +4y )(15y +35x )=95+45+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5. (当且仅当3x 5y =12y 5x ,即x =1,y =12时,等号成立),∴3x +4y 的最小值是5. 方法二 由x +3y =5xy 得x =3y5y -1, ∵x >0,y >0,∴y >15,∴3x +4y =9y5y -1+4y =13(y -15)+95+45-4y5y -1+4y=135+95·15y -15+4(y -15)≥135+23625=5, 当且仅当y =12时等号成立,∴(3x +4y )min =5.(2)∵a +b =2,∴12|a |+|a |b =24|a |+|a |b =a +b 4|a |+|a |b =a 4|a |+b 4|a |+|a |b ≥a 4|a |+2b 4|a |×|a |b =a4|a |+1, 当且仅当b 4|a |=|a |b 时等号成立.又a +b =2,b >0, ∴当b =-2a ,a =-2时,12|a |+|a |b取得最小值. 思维升华 条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值.(1)已知x ,y ∈(0,+∞),2x -3=(12)y ,若1x +m y(m >0)的最小值为3,则m =________.(2)已知x >0,y >0,x +3y +xy =9,则x +3y 的最小值为________. 答案 (1)4 (2)6解析 (1)由2x -3=(12)y 得x +y =3,1x +m y =13(x +y )(1x +m y ) =13(1+m +y x +mx y ) ≥13(1+m +2m ), (当且仅当y x =mxy 时取等号)∴13(1+m +2m )=3, 解得m =4.(2)由已知得x =9-3y1+y .方法一 (消元法) ∵x >0,y >0,∴y <3, ∴x +3y =9-3y 1+y +3y =3y 2+91+y=3(1+y )2-6(1+y )+121+y =121+y +(3y +3)-6≥2121+y·(3y +3)-6=6, 当且仅当121+y =3y +3,即y =1,x =3时,(x +3y )min =6. 方法二 ∵x >0,y >0,9-(x +3y )=xy =13x ·(3y )≤13·(x +3y 2)2,当且仅当x =3y 时等号成立. 设x +3y =t >0,则t 2+12t -108≥0, ∴(t -6)(t +18)≥0,又∵t >0,∴t ≥6.故当x =3,y =1时,(x +3y )min =6.题型二 基本不等式与学科知识的综合命题点1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题例3 (1)已知直线ax +by +c -1=0(b ,c >0)经过圆x 2+y 2-2y -5=0的圆心,则4b +1c 的最小值是________.(2)已知a >0,b >0,a ,b 的等比中项是1,且m =b +1a ,n =a +1b ,则m +n 的最小值是________.答案 (1)9 (2)4解析 (1)圆x 2+y 2-2y -5=0化成标准方程, 得x 2+(y -1)2=6, 所以圆心为C (0,1).因为直线ax +by +c -1=0经过圆心C , 所以a ×0+b ×1+c -1=0,即b +c =1. 因此4b +1c =(b +c )(4b +1c )=4c b +bc +5.因为b ,c >0, 所以4c b +b c≥24c b ·bc=4. 当且仅当4c b =bc时等号成立.由此可得b =2c ,且b +c =1,即b =23,c =13时,4b +1c 取得最小值9.(2)由题意知:ab =1,∴m =b +1a =2b ,n =a +1b=2a ,∴m +n =2(a +b )≥4ab =4,当且仅当a =b =1时,等号成立. 命题点2 求参数的值或取值范围例4 已知a >0,b >0,若不等式3a +1b ≥ma +3b 恒成立,则m 的最大值为________.答案 12解析 由3a +1b ≥ma +3b得m ≤(a +3b )(3a +1b )=9b a +ab+6.又9b a +ab +6≥29+6=12, ∴m ≤12,∴m 的最大值为12.思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立:对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围.(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5,若存在两项a m ,a n 使得a m a n =4a 1,则1m +4n的最小值为________.(2)已知函数f (x )=x 2+ax +11x +1(a ∈R ),若对于任意x ∈N *,f (x )≥3恒成立,则a 的取值范围是________________________________________________________________________. 答案 (1)32 (2)[-83,+∞)解析 (1)由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5,可得a 1q 6=a 1q 5+2a 1q 4, 所以q 2-q -2=0, 解得q =2或q =-1(舍去). 因为a m a n =4a 1,所以q m +n -2=16, 所以2m +n -2=24,所以m +n =6. 所以1m +4n =16(m +n )(1m +4n )=16(5+n m +4m n ) ≥16(5+2n m ·4m n )=32. 当且仅当n m =4mn 时,等号成立,故1m +4n 的最小值等于32. (2)对任意x ∈N *,f (x )≥3恒成立,即x 2+ax +11x +1≥3恒成立,即知a ≥-(x +8x )+3.设g (x )=x +8x ,x ∈N *,则g (2)=6,g (3)=173.∵g (2)>g (3),∴g (x )min =173.∴-(x +8x )+3≤-83, ∴a ≥-83,故a 的取值范围是[-83,+∞).题型三 不等式的实际应用例5 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x ≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油(2+x 2360)升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 解 (1)设所用时间为t =130x(h),y =130x ×2×(2+x 2360)+14×130x,x ∈[50,100].所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y =130×18x +2×130360x ,x ∈[50,100].(或y =2 340x +1318x ,x ∈[50,100]).(2)y =130×18x +2×130360x ≥2610,当且仅当130×18x =2×130360x ,即x =1810,等号成立.故当x =1810千米/时时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为2610元. 思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件,需另投入成本为C (x ),当年产量不足80千件时,C (x )=13x 2+10x (万元).当年产量不小于80千件时,C (x )=51x +10 000x -1 450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 解 (1)当0<x <80时,L (x )=1 000x ×0.05-(13x 2+10x )-250=-13x 2+40x -250.当x ≥80时,L (x )=1 000x ×0.05-(51x +10 000x-1 450)-250 =1 200-(x +10 000x).∴L (x )=⎩⎨⎧-13x 2+40x -250(0<x <80),1 200-(x +10 000x)(x ≥80).(2)当0<x <80时,L (x )=-13x 2+40x -250.对称轴为x =60,即当x =60时,L (x )最大=950(万元). 当x ≥80时,L (x )=1 200-(x +10 000x )≤1 200-210 000=1 000(万元),当且仅当x =100时,L (x )最大=1 000(万元), 综上所述,当x =100时,年获利最大.9.忽视最值取得的条件致误典例 (1)已知x >0,y >0,且1x +2y =1,则x +y 的最小值是________.(2)函数y =1-2x -3x(x <0)的最小值为________.易错分析 (1)多次使用基本不等式,忽略等号成立的条件.如:1=1x +2y ≥22xy,∴xy ≥22,∴x +y ≥2xy ≥42,得(x +y )min =4 2.(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x +3x ≥2 6. 解析 (1)∵x >0,y >0, ∴x +y =(x +y )(1x +2y) =3+y x +2x y≥3+22(当且仅当y =2x 时取等号), ∴当x =2+1,y =2+2时,(x +y )min =3+2 2.(2)∵x <0,∴y =1-2x -3x =1+(-2x )+(-3x)≥1+2 (-2x )·3-x=1+26,当且仅当x =-62时取等号,故y 的最小值为1+2 6. 答案 (1)3+22 (2)1+2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件;(2)尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致.[方法与技巧]1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等,例如:ab ≤(a +b 2)2≤a 2+b 22,ab ≤a +b 2≤ a 2+b 22(a >0,b >0)等,同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.3.对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数y =x +m x(m >0)的单调性. [失误与防范]1.使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.A 组 专项基础训练(时间:30分钟)1.下列不等式一定成立的是________.①lg(x 2+14)>lg x (x >0); ②sin x +1sin x≥2(x ≠k π,k ∈Z ); ③x 2+1≥2|x |(x ∈R );④1x 2+1>1(x ∈R ). 答案 ③解析 当x >0时,x 2+14≥2·x ·12=x , 所以lg(x 2+14)≥lg x (x >0), 故①不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”,而当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故②不正确;由基本不等式可知,③正确;当x =0时,有1x 2+1=1,故④不正确. 2.设非零实数a ,b ,则“a 2+b 2≥2ab ”是“a b +b a≥2成立”的__________条件. 答案 必要不充分解析 因为a ,b ∈R 时,都有a 2+b 2-2ab =(a -b )2≥0,即a 2+b 2≥2ab ,而a b +b a≥2⇔ab >0, 所以“a 2+b 2≥2ab ”是“a b +b a≥2成立”的必要不充分条件. 3.已知a >0,b >0,a +b =2,则y =1a +4b的最小值是________. 答案 92解析 依题意,得1a +4b =12(1a +4b)·(a +b )=12[5+(b a +4a b )]≥12(5+2b a ·4a b )=92, 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a +b =2,b a =4a b ,a >0,b >0,即a =23,b =43时取等号, 即1a +4b 的最小值是92. 4.(2014·重庆改编)若log 4(3a +4b )=log 2ab ,则a +b 的最小值是________.答案 7+4 3解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0,ab ≥0,3a +4b >0,所以⎩⎨⎧a >0,b >0. 又log 4(3a +4b )=log 2ab ,所以log 4(3a +4b )=log 4ab ,所以3a +4b =ab ,故4a +3b=1. 所以a +b =(a +b )(4a +3b )=7+3a b +4b a≥7+23a b ·4b a =7+43, 当且仅当3a b =4b a时取等号. 5.已知正数x ,y 满足x +2y -xy =0,则x +2y 的最小值为________.答案 8解析 由x +2y -xy =0,得2x +1y=1,且x >0,y >0. ∴x +2y =(x +2y )×(2x +1y )=4y x +x y+4≥4+4=8. 6.规定记号“⊗”表示一种运算,即a ⊗b =ab +a +b (a 、b 为正实数).若1⊗k =3,则k 的值为________,此时函数f (x )=k ⊗x x的最小值为________. 答案 1 3解析 1⊗k =k +1+k =3,即k +k -2=0,∴k =1或k =-2(舍去).∴k =1.f (x )=1⊗x x =x +x +1x =1+x +1x≥1+2=3, 当且仅当x =1x ,即x =1时等号成立. 7.已知x >0,y >0,且4xy -x -2y =4,则xy 的最小值为________.答案 2解析 ∵x >0,y >0,x +2y ≥22xy ,∴4xy -(x +2y )≤4xy -22xy ,∴4≤4xy -22xy , 即(2xy -2)(2xy +1)≥0,∴2xy ≥2,∴xy ≥2.8.若正数a ,b 满足1a +1b =1,则1a -1+9b -1的最小值是________. 答案 6解析 ∵正数a ,b 满足1a +1b =1,∴b =a a -1>0,解得a >1.同理可得b >1,所以1a -1+9b -1=1a -1+9a a -1-1=1a -1+9(a -1)≥21a -1·9(a -1)=6,当且仅当1a -1=9(a -1),即a =43时等号成立,所以最小值为6.9.若当x >-3时,不等式a ≤x +2x +3恒成立,则a 的取值范围是________. 答案 (-∞,22-3]解析 设f (x )=x +2x +3=(x +3)+2x +3-3, 因为x >-3,所以x +3>0,故f (x )≥2(x +3)×2x +3-3=22-3, 当且仅当x =2-3时等号成立,所以a 的取值范围是(-∞,22-3].10.若关于x 的方程9x +(4+a )3x +4=0有解,则实数a 的取值范围是________. 答案 (-∞,-8]解析 分离变量得-(4+a )=3x +43x ≥4,得a ≤-8. 11.(2015·南通二模)已知x >0,y >0,且2x +5y =20.(1)求u =lg x +lg y 的最大值;(2)求1x +1y的最小值. 解 (1)∵x >0,y >0,∴由基本不等式,得2x +5y ≥210xy .∵2x +5y =20,∴210xy ≤20,xy ≤10,当且仅当2x =5y 时,等号成立.因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +5y =20,2x =5y ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =5,y =2,此时xy 有最大值10.∴u =lg x +lg y =lg(xy )≤lg 10=1.∴当x =5,y =2时,u =lg x +lg y 有最大值1.(2)∵x >0,y >0,∴1x +1y =⎝⎛⎭⎫1x +1y ·2x +5y 20=120⎝⎛⎭⎫7+5y x +2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7+2 5y x ·2x y =7+21020, 当且仅当5y x =2x y 时,等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +5y =20,5y x =2x y ,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1010-203,y =20-4103.∴1x +1y 的最小值为7+21020. B 组 专项能力提升(时间:20分钟)12.设x ,y 均为正实数,且32+x +32+y=1,则xy 的最小值为________. 答案 16解析 由32+x +32+y=1得xy =8+x +y , ∵x ,y 均为正实数,∴xy =8+x +y ≥8+2xy (当且仅当x =y 时等号成立),即xy -2xy -8≥0,解得xy ≥4,即xy ≥16,∴xy 的最小值为16.13.已知m >0,a 1>a 2>0,则使得m 2+1m≥|a i x -2|(i =1,2)恒成立的x 的取值范围是________________________________________________________________________.答案 [0,4a 1] 解析 因为m 2+1m =m +1m≥2(当且仅当m =1时等号成立), 所以要使不等式恒成立,则2≥|a i x -2|(i =1,2)恒成立,即-2≤a i x -2≤2,所以0≤a i x ≤4,因为a 1>a 2>0, 所以⎩⎨⎧ 0≤x ≤4a 1,0≤x ≤4a 2,即0≤x ≤4a 1, 所以使不等式恒成立的x 的取值范围是[0,4a 1]. 14.已知x ,y ∈R 且满足x 2+2xy +4y 2=6,则z =x 2+4y 2的取值范围为________. 答案 [4,12]解析 ∵2xy =6-(x 2+4y 2),而2xy ≤x 2+4y 22, ∴6-(x 2+4y 2)≤x 2+4y 22, ∴x 2+4y 2≥4(当且仅当x =2y 时取等号).又∵(x +2y )2=6+2xy ≥0,即2xy ≥-6,∴z =x 2+4y 2=6-2xy ≤12(当且仅当x =-2y 时取等号).综上可知4≤x 2+4y 2≤12.15.设a >0,b >0,若3是3a 与3b 的等比中项,则1a +1b的最小值为________. 答案 4解析 由题意知3a ·3b =3,即3a +b =3,∴a +b =1,∵a >0,b >0,∴1a +1b =⎝⎛⎭⎫1a +1b (a +b ) =2+b a +a b ≥2+2b a ·a b=4, 当且仅当a =b =12时,等号成立. 16.经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),第t 天(1≤t ≤30,t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )=4+1t,而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )=120-|t -20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30,t ∈N *)的函数关系式;(2)求该城市旅游日收益的最小值.解 (1)W (t )=f (t )g (t )=(4+1t)(120-|t -20|) =⎩⎨⎧ 401+4t +100t , 1≤t ≤20,559+140t-4t , 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时,401+4t +100t ≥401+24t ·100t=441(t =5时取最小值). 当t ∈(20,30]时,因为W (t )=559+140t-4t 递减,所以t=30时,W(t)有最小值W(30)=4432,3所以t∈[1,30]时,W(t)的最小值为441万元.。
高中数学备课教案不等式与数列
![高中数学备课教案不等式与数列](https://img.taocdn.com/s3/m/d3710961ae45b307e87101f69e3143323968f50b.png)
高中数学备课教案不等式与数列高中数学备课教案:不等式与数列一、引言在高中数学教学中,不等式与数列是重要的内容之一。
不等式是数学中用于表示大小关系的工具,而数列则是一系列有规律的数字的排列。
本教案旨在帮助教师充分了解不等式与数列的相关知识,并提供备课思路和教学方法,以提升学生对这些概念的理解和应用能力。
二、不等式的基础知识1. 不等式的定义和性质不等式是指数之间的大小关系,包括大于等于、小于等于、大于、小于等四种形式。
教师应当对不等式的定义和常见的性质进行介绍,例如不等式的传递性、加减乘除法则等。
2. 不等式的解法a. 直接法:对于简单的一元一次不等式,可以直接通过变量的加减乘除运算得到解。
b. 图像法:通过将不等式转化为图像,利用图像上的区域来得到解,特别适用于复杂的二次不等式。
c. 区间法:将不等式转化为区间表示,通过判断变量所在的区间来得到解。
三、不等式的应用1. 不等式的图像表示及应用a. 了解不等式的图像表示方式,例如用数轴来表示不等式中变量的取值范围。
b. 掌握利用不等式解决实际问题的方法,如利用不等式求解范围、判断条件等。
2. 不等式的证明a. 了解和掌握不等式的比较原理和证明方法,如数学归纳法、反证法等。
b. 引导学生从不等式的定义和性质出发,运用合适的证明方法来证明不等式的成立。
四、数列的基础知识1. 数列的定义和表示方法a. 数列由一系列有规律的数字所组成,通常用数学表达式表示。
b. 掌握等差数列和等比数列的定义和常见特点。
2. 数列的通项公式a. 等差数列的通项公式:an = a1 + (n-1)d。
b. 等比数列的通项公式:an = a1 * r^(n-1)。
3. 数列的求和公式a. 等差数列的求和公式:Sn = n/2 * (a1 + an)。
b. 等比数列的求和公式:Sn = a1 * (1-r^n) / (1-r)。
五、数列的应用1. 数列的图像表示及应用a. 掌握数列的图像表示方法,如坐标表示、直方图表示等。
高三数列不等式知识点总结
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高三数列不等式知识点总结数列不等式是数学中的重要概念,也是高中数学中的一个重要知识点。
在高三数学学习中,数列不等式常常作为数列章节的延伸和拓展,对于学生来说是一个较为复杂的内容。
下面将从不等式基本概念、解不等式的方法以及解决实际问题等几个方面对高三数列不等式进行总结。
一、不等式基本概念1. 不等式的定义:不等式是表示两个数之间的大小关系的数学式子,其形式通常为a < b、a ≤ b、a > b、a ≥ b等。
2. 不等式的性质:不等式具有传递性、对称性、加法性和乘法性等性质。
学生需要熟练掌握这些性质,以便在解不等式时能够合理运用。
二、解不等式的方法1. 穷举法:对于一些简单的不等式,可以通过列举出数值的方式来得到不等式的解集。
2. 图像法:对于一些简单的不等式,可以用数轴上的点来表示不等式中的数,通过观察数轴上的点的位置关系,判断不等式的解集。
3. 对称性法:当不等式中含有绝对值符号时,可以利用对称性来求解不等式。
4. 区间法:对于一些复杂的不等式,可以利用区间的概念,将数轴分为若干段,然后通过每个区间上符号的变化情况来求解不等式。
5. 函数法:通过对不等式进行等价变形,转化为函数的性质,然后利用函数的性质来解不等式。
三、解决实际问题1. 关于数列的不等式问题:在数列中常常会出现一些不等式问题,例如求数列的最大值、最小值、数列元素的范围等,这些问题都可以通过对数列不等式的分析和求解来得到答案。
2. 关于应用问题的不等式问题:不等式在实际生活中有着广泛的应用。
例如金融领域中的利润和损失、生活中的成本问题等,都可以通过建立不等式模型来解决。
3. 关于优化问题的不等式问题:在一些最优化问题中,不等式常常作为约束条件来限制优化问题的解集,通过解不等式可以得到最优解。
综上所述,高三数列不等式作为数列章节的重要延伸内容,对于学生来说是一项重要且复杂的知识点。
学生需要充分了解不等式的基本概念、掌握解不等式的方法以及能够应用不等式解决实际问题。
高一数学必修一第二章第二课基本不等式
![高一数学必修一第二章第二课基本不等式](https://img.taocdn.com/s3/m/7c1beaa980c758f5f61fb7360b4c2e3f56272543.png)
第一节从简到繁:基本不等式的核心概念基本不等式在高一数学必修一中是一个非常基础且重要的概念,它为我们理解和解决各类不等式问题奠定了基础。
在本节中,我们将从简到繁,逐步深入探讨基本不等式的定义、特点和应用。
1.1 基本不等式的定义基本不等式是指形如a≥b或a≤b的不等式,其中a和b是两个数。
当a≥b时,我们称a大于等于b;当a≤b时,我们称a小于等于b。
在这里,我们需要深入理解等号的含义:等号在不等式中表示两个数相等或等价。
基本不等式并不仅仅局限于大于或小于的关系,更包括了等于的情况。
1.2 基本不等式的特点基本不等式有许多特点,其中最重要的是传递性和对称性。
传递性指的是如果a≥b且b≥c,则a≥c;如果a≤b且b≤c,则a≤c。
对称性则表示如果a≥b,则-b≥-a;如果a≤b,则-b≤-a。
这些特点使得基本不等式在推导和转化过程中能够起到重要作用,也为后续的应用奠定了基础。
1.3 基本不等式的应用基本不等式在实际问题中有着广泛的应用,例如在代数、几何和概率等领域。
特别是在二元一次不等式的求解中,基本不等式的运用尤为重要。
通过将不等式转化为标准形式,我们可以利用基本不等式的特点进行简化和求解,从而解决各类实际问题。
第二节深入探讨:基本不等式的转化和应用2.1 基本不等式的转化在实际问题中,我们经常会遇到需要将不等式进行转化或简化的情况。
在这里,我们可以运用基本不等式的传递性和对称性进行变形,并通过加减乘除等运算来实现不等式的转化。
通过加减同一个数或式子,我们可以将不等式的左右两边进行平移或合并;通过乘除正数或负数,我们可以改变不等式的方向或大小。
这些转化方法为我们解决实际问题提供了有力的工具。
2.2 基本不等式在二元一次不等式中的应用二元一次不等式是指形如ax+by≤c的不等式,其中a、b和c为已知数,x和y为未知数。
在实际问题中,通过运用基本不等式的转化和特点,我们可以将二元一次不等式转化为标准形式,并利用基本不等式进行求解。
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(无师自通)
![高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(无师自通)](https://img.taocdn.com/s3/m/d1c2399d84868762caaed5d4.png)
1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n !求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=,若54)1(=f ,且)(x f 在[0,1]上的最小值为21,求证:.2121)()2()1(1−+>++++n n n f f f ! 例3 求证),1(221321N n n n C C C Cn n nn n n ∈>⋅>++++−!.例4 已知222121n a a a +++=L ,222121n x x x +++=L ,求证:n n x a x a x a +++!2211≤1.2.利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>−++++n n ! 例6 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+−++++=∗n N n a nn a n x f xx x x 给定!求证:)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意∗∈N n 且2≥n 恒成立。
例7 已知112111,(1).2n nna a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥;)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立,证明2n a e <(无理数 2.71828e ≈L)例8 已知不等式21111[log ],,2232n n N n n ∗+++>∈>L 。
2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。
设正数数列}{n a 满足:.2,),0(111≥+≤>=−−n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+<n n b ba n再如:设函数()x f x e x =−。
(Ⅰ)求函数()f x 最小值;(Ⅱ)求证:对于任意n N ∗∈,有1().1nn k k ene =<−∑ 例9 设n n na )11(+=,求证:数列}{n a 单调递增且.4<n a3. 部分放缩例10 设++=a na 21111,23a aa n ++≥L ,求证:.2<n a例11 设数列{}n a 满足()++∈+−=N n na a a n n n 121,当31≥a 时证明对所有,1≥n 有:2)(+≥n a i n ; 21111111)(21≤++++++na a a ii !. 4 . 添减项放缩例12 设N n n∈>,1,求证)2)(1(8)32(++<n n n . 例13 设数列}{n a 满足).,2,1(1,211!=+==+n a a a a nn n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立;5 利用单调性放缩: 构造函数例14 已知函数223)(x ax x f −=的最大值不大于61,又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)设∗+∈=<<N n a f a a n n ),(,21011,证明.11+<n a n 例15 数列{}n x 由下列条件确定:01>=a x ,,211⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+n n n x a x x N n ∈. (I) 证明:对2≥n总有a x n≥;(II) 证明:对2≥n 总有1+≥n n x x6 . 换元放缩例16 求证).2,(1211≥∈−+<<∗n N n n n n例17 设1>a ,N n n ∈≥,2,求证4)1(22−>a n a n.7 转化为加强命题放缩例18 设10<<a ,定义a a a a a nn +=+=+1,111,求证:对一切正整数n 有.1>n a 例19 数列{}n x 满足.,212211nx x x x n n n +==+证明.10012001<x例20 已知数列{a n}满足:a 1=32,且a n=n 1n 13na n 2n N 2a n 1∗≥∈--(,)+- (1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:对一切正整数n 有a 1•a 2•……a n <2•n!8. 分项讨论例21 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥−+=n a S n n n(Ⅰ)写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式;(Ⅲ)证明:对任意的整数4>m ,有8711154<+++ma a a !.9. 借助数学归纳法例22(Ⅰ)设函数)10( )1(log )1(log )(22<<−−+=x x x x x x f ,求)(x f 的最小值;(Ⅱ)设正数n p p p p 2321,,,,!满足12321=++++n p p p p !,求证:np p p p p p p p n n −≥++++222323222121log log log log !10. 构造辅助函数法例23 已知()f x = 2ln 243x x +−,数列{}n a 满足()()*11 2 ,0211N n a f a n an ∈=<<−++(1)求()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡−021,上的最大值和最小值; (2)证明:102n a −<<; (3)判断n a 与1()n a n N ∗+∈的大小,并说明理由.例24 已知数列{}n a 的首项135a =,1321n n n a a a +=+,12n =L,,.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的0x>,21121(1)3n na x xx ⎛⎞−−⎜⎟++⎝⎠≥,12n =L ,,; (Ⅲ)证明:2121n n a a a n +++>+L .例25 已知函数f(x)=x 2-1(x>0),设曲线y=f(x)在点(x n ,f(x n ))处的切线与x 轴的交点为(x n+1,0)(n∈N *). (Ⅰ) 用x n 表示x n+1; (Ⅱ)求使不等式1n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件,并说明理由;(Ⅲ)若x 1=2,求证:.31211111121−≤++++++n n x x x !例1 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k !=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ∵,)21(11∑∑==+<<∴nk n n k k S k ,即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤,若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ,就放过“度”了!②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
高一奥数基本不等式知识点
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高一奥数基本不等式知识点不等式是数学中重要的概念,奥数中常涉及的一个主题就是基本不等式。
在高一阶段,学生们开始接触不等式的概念和相关的基本知识。
本文将介绍高一奥数中的基本不等式知识点,包括基本不等式的概念、常见的基本不等式以及解决基本不等式问题的方法。
一、基本不等式的概念基本不等式是指在一定条件下,某个数学不等式在所有情况下都成立的不等式。
在高一奥数中,我们会遇到一些常见的基本不等式。
这些基本不等式是根据数学原理和性质得出的,具有普遍性和重要性。
二、常见的基本不等式1. 等差数列的均值不等式等差数列的均值不等式是指,对于一个等差数列,它的任意n个连续项的平均数大于等于这些项的几何平均数。
具体而言,对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$,有以下不等式成立:$\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdota_3 \cdot ... \cdot a_n}$2. 平均数-均方差不等式平均数-均方差不等式是指,对于任意一组数的平均数和均方差,平均数的平方大于等于这些数减去平均数的差的平方的平均值。
具体而言,对于一组数$x_1, x_2, x_3, ..., x_n$,平均数记作$\overline{x}$,均方差记作$s$,有以下不等式成立:$(\overline{x})^2 \geq \frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+...+(x_n-\overline{x})^2}{n}$3. 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是指,对于两个向量的点积,其绝对值小于等于这两个向量的模的乘积。
具体而言,对于两个向量$a=(a_1, a_2, ..., a_n)$和$b=(b_1, b_2, ..., b_n)$,有以下不等式成立:$|a \cdot b| \leq |a| \cdot |b|$4. 三角形不等式三角形不等式是指,三角形的任意两边之和大于第三边。
高中数学数列与不等式(解析版)
![高中数学数列与不等式(解析版)](https://img.taocdn.com/s3/m/4b976de9bb0d4a7302768e9951e79b89680268c7.png)
数列与不等式在新高考卷的考点中,数列主要以两小和一大为主的考查形式,在小题中主要以数列极限和等差等比数列为主,大题考察位置21题,题型可以是多条件选择的开放式的题型。
由于三角函数与数列属于解答题第二题或第五题的位置,三角函数考查的内容相对比较简单,这一部分属于必得分。
数列大题属于压轴题难度较高。
对于小题部分,一般分布为一题简单题一道中等难度题目。
对于不等式主要考察不等式性质和基本不等式和线性规划。
基本不等式考察往往都是已基本不等式作为切入点形式出现,题目难度中等。
专题针对高考中数列、不等式等高频知识点,预测并改编一些题型,通过本专题的学习,能够彻底掌握数列,不等式。
请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分,这是对于本类题目的一个总结。
【满分技巧】1、等差、等比数列如果记住基本的通项公式以及求和公式和性质,基本上所有的等差、等比数列问题都可以解决。
2、数列求通项主要方法有:公式法、利用前n项和求通项、累加、累乘、构造等方法;这里要注意各个方法中递推关系的模型结构特点。
3、数列求和问题主要包含裂项求和,分组求和,绝对值求和,错位相减求和,掌握固定的求和方式即可快速得到答案;这里要注意各个方法中数列通项的结构模型;本专题有相应的题目供参考。
4、对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件和基本不等式的模型结构,对“1”的活用。
【考查题型】选择题、填空、解答题【常考知识】数列的概念、等差等比数列的概念和公式和性质、数列求通项的方法、数列求和的方法、不等式的性质、基本不等式【限时检测】(建议用时:120分钟)1.(2020•上海卷)已知2230x yyx y+≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩,则2z y x=-的最大值为【答案】-12.(2020•上海卷)下列不等式恒成立的是()A 、222a b ab +≤B 、22-2a b ab +≥C 、2a b ab +≥-D 、2a b ab +≤【答案】B3.(2020•上海卷)已知{}n a 是公差不为零的等差数列,且1109a a a +=,则12910a a a a ++⋅⋅⋅=【答案】2784.(2020·上海大学附属中学高三三模)已知O 是正三角形ABC 内部的一点,230OA OB OC ++=,则OAC ∆的面积与OAB ∆的面积之比是A .32B .23C .2D .1【答案】B试题分析:如下图所示,D 、E 分别是BC 、AC 中点,由230OA OB OC ++=得()2OA OC OB OC +=-+即2OE OD =-,所以2OE OD =,设正三角形的边长为23a ,则OAC ∆底边AC 上的高为13AC h BE a ==,OAB ∆底边AB 上的高为1322AB h BE a ==,所以123221332322ACOACOABAB AC h S a a S AB h a a ∆∆⋅⨯===⋅⨯,故选B .考点:1.向量的几何运算;2.数乘向量的几何意义;3.三角形的面积. 5.(2020·上海高三二模)设12,z z 是复数,则下列命题中的假命题是() A .若120z z -=,则12z z = B .若12z z =,则12z z = C .若12=z z ,则1122z z z z ⋅=⋅D .若12=z z ,则2212z z =【答案】D试题分析:对(A ),若120z z -=,则12120,z z z z -==,所以为真;对(B )若12z z =,则1z 和2z 互为共轭复数,所以12z z =为真; 对(C )设111222,z a b z a i b i =+=+,若12=z z 22221122a b a b +=+,222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+,所以1122z z z z ⋅=⋅为真;对(D )若121,z z i ==,则12=z z 为真,而22121,1z z ==-,所以2212z z =为假.故选D .考点:1.复数求模;2.命题的真假判断与应用.6.(2020·上海杨浦区·高三二模)设z 是复数,则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分也非必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断.可取特例说明一个命题为假. 【详解】充分性:取132z =-+,故31z =是实数,故充分性不成立;必要性:假设z 是实数,则3z 也是实数,与3z 是虚数矛盾,∴z 是虚数,故必要性成立. 故选:B ..【点睛】本题考查充分必要条件的判断,考查复数的概念,属于基础题. 7.(2020·上海松江区·高三其他模拟)若复数z =52i-,则|z |=( ) A .1 B 5C .5D .5【答案】B【分析】利用复数的模的运算性质,化简为对复数2i -求模可得结果 【详解】|z |=5||2i -=5|2i|-5 故选:B.【点睛】此题考查的是求复数的模,属于基础题8.(2020·上海高三一模)设12,z z 为复数,则下列命题中一定成立的是( ) A .如果120z z ->,那么12z z >B .如果12=z z ,那么12=±z zC .如果121z z >,那么12z z > D .如果22120z z +=,那么12 0z z ==【答案】C【分析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,取13z i =+,21z i =+时,120z z ->,即31i i +>+,但虚数不能比较大小, ,故A 错误; 对于B,由12=z z ,可得2222+=+a b c d ,不能得到12=±z z ,故B 错误;对于C ,因为121z z >,所以12z z >,故C 正确; 对于D ,取11z =,2z i =,满足22120z z +=,但是12 0z z ≠≠,故D 错误. 故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题. 9.(2020·上海高三二模)关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根,若这四个根在复平面上对应的点共圆,则m 的取值范围是( ) A .{}5 B .{}1- C .()0,1 D .(){}0,11-【答案】D【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD ,讨论根的判别式,根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解:由已知x 2﹣4x +5=0的解为2i ±,设对应的两点分别为A ,B , 得A (2,1),B (2,﹣1),设x 2+2mx +m =0的解所对应的两点分别为C ,D ,记为C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),(1)当△<0,即0<m <1时,220x mx m ++=的根为共轭复数,必有C 、D 关于x 轴对称,又因为A 、B 关于x 轴对称,且显然四点共圆;(2)当△>0,即m >1或m <0时,此时C (x 1,0),D (x 2,0),且122x x +=﹣m , 故此圆的圆心为(﹣m ,0),半径122x x r -====,又圆心O 1到A 的距离O 1A =,解得m =﹣1,综上:m ∈(0,1)∪{﹣1}. 故选:D.【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应,考查一元二次方程根的判别式,属于难题. 10.(2020·上海徐汇区·高三一模)已知x ∈R ,条件p :2x x <,条件q :11x>,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分别求两个命题下的集合,再根据集合关系判断选项. 【详解】201x x x <⇔<<,则{}01A x x =<<,1101x x>⇔<<,则{}01B x x =<<,因为A B =, 所以p 是q 的充分必要条件. 故选:C11.(2020·上海市建平中学高三月考)数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面,一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物,曲线22322():16C x y x y =+为四叶玫瑰线,下列结论正确的有( )(1)方程22322()16x y x y +=(0xy <),表示的曲线在第二和第四象限; (2)曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2; (3)曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π;(4)曲线C 上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点); A .(1)(2) B .(1)(2)(3) C .(1)(2)(4) D .(1)(3)(4)【答案】A【分析】因为0xy <,所以x 与y 异号,仅限与第二和四象限,从而判断(1).利用基本不等式222x y xy +即可判断(2);将以O 为圆心、2为半径的圆的面积与曲线C 围成区域的面积进行比较即可判断(3);先确定曲线C 经过点,再将x <y <(1,1),(1,2)和(2,1)逐一代入曲线C 的方程进行检验即可判断(4);【详解】对于(1),因为0xy <,所以x 与y 异号,仅限与第二和四象限,即(1)正确.对于(2),因为222(0,0)x yxy x y +>>,所以222x y xy +,所以22222322222()()16164()4x y x y x y x y ++=⨯=+, 所以224x y +,即(2)正确;对于(3),以O 为圆点,2为半径的圆O 的面积为4π,显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积,即(3)错误;对于(4),只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可,把(1,1),(1,2)和(2,1)代入曲线C 的方程验证可知,等号不成立,所以曲线C 在第一象限内不经过任何整点,再结合曲线的对称性可知,曲线C 只经过整点(0,0),即(4)错误; 故选:A.【点睛】本题考查曲线的轨迹方程,涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点,有一定的综合性,考查学生灵活运用知识和方法的能力,属于中档题.12.(2020·上海市七宝中学高三其他模拟)已知F 为抛物线24y x =的焦点,A 、B 、C 为抛物线上三点,当0FA FB FC ++=时,则存在横坐标2x >的点A 、B 、C 有( ) A .0个 B .2个 C .有限个,但多于2个 D .无限多个【答案】A【分析】首先判断出F 为ABC 的重心,根据重心坐标公式可得2312313,x x x y y y +=-+=-,结合基本不等式可得出()2221232y y y ≤+,结合抛物线的定义化简得出12x ≤,同理得出232,2x x ≤≤,进而得出结果.【详解】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ,先证12x ≤,由0FA FB FC ++=知,F 为ABC 的重心, 又131132(1,0),1,033x x x y y yF ++++∴==,2312313,x x x y y y ∴+=-+=-, ()()222222323232322y y y y y y y y ∴+=++≤+,()2221232y y y ∴≤+, 2223122444y y y ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭,()1232x x x ∴≤+,()1123x x ∴≤-12x ∴≤, 同理232,2x x ≤≤, 故选:A.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质,基本不等式的应用,解本题的关键是判断出F 点为三角形的重心,属于中档题.13.(2020·上海杨浦区·高三二模)不等式102x x -≤-的解集为( ) A .[1,2] B .[1,2)C .(,1][2,)-∞⋃+∞D .(,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】B【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解.注意分母不为0.【详解】原不等式可化为(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩,解得12x ≤<.故选:B .【点睛】本题考查解分式不等式,解题方法是转化为整式不等式求解,转化时要注意分式的分母不为0. 14.(2020·上海市南洋模范中学高三期中)下列不等式恒成立的是( ) A .222a b ab +≤ B .222a b ab +≥-C .a b +≥-D .a b +≤【答案】B【分析】根据基本不等式即可判断选项A 是否正确,对选项B 化简可得()20a b +≥,由此即可判断B 是否正确;对选项C 、D 通过举例即可判断是否正确.【详解】A.由基本不等式可知222a b ab +≥,故A 不正确;B. 2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥,即()20a b +≥恒成立,故B 正确; C.当1,0a b =-=时,不等式不成立,故C 不正确;D.当3,1a b ==时,不等式不成立,故D 不正确. 故选:B.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用以及不等式大小的比较,属于基础题.15.(2020·上海崇明区·高三一模)设{}n a 为等比数列,则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C【分析】对于任意的*2,m m m N a a +∈> ,即()210m a q >﹣.可得:2010m a q ⎧⎨-⎩>>,2010m a q ⎧⎨-⎩<<,任意的*m N ∈,解出即可判断出结论.【详解】解:对于任意的*2,m m m N a a +∈>,即()210m a q >﹣. ∴2010m a q ⎧⎨-⎩>>,2010m a q ⎧⎨-⎩<<,任意的*m N ∈, ∴01m a q ⎧⎨⎩>>,或001m a q ⎧⎨⎩<<<. ∴“{}n a 为递增数列”,反之也成立.∴“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查等比数列的单调性,充分必要条件,是基础题.16.(2020·上海高三其他模拟)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则“()1n n a a n *+<∈N ”是“()11n n S S n n n *+<∈+N ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先证明充分性,由条件1n n a a +<,可得121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<,通过变形得到11n n S S n n +<+,再由条件11n n S S n n +<+,列举特殊数列,说明是否成立. 【详解】充分性:若1n n a a +<,则有121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<,即()1n n n S n S S +<-,得()11n n n S nS ++<,于是有()11n n S S n n n *+<∈+N 成立,故充分性成立. 必要性:若()11n n S S n n n *+<∈+N 成立,取数列{}n a 为0,1,1,1,⋅⋅⋅,但推不出()1n n a a n *+<∈N ,故必要性不成立. 故选:A【点睛】本题考查判断充分不必要条件,数列的递推公式和前n 项和公式的综合应用,重点考查转化与化归的思想,逻辑推理能力,属于中档题型.17.(2020·上海交大附中高三其他模拟)已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ,n T ,且20,2,n n n n a S a a n >=+∈*N ,1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++,对任意的*,n n N k T ∈>恒成立,则k 的最小值是( ) A .13B .12C .16D .1【答案】A【分析】由22n n n S a a =+可得21112n n n S a a ---=+,两式相减整理后可知11n n a a --=,则{}n a 首项为1,公差为1的等差数列,从而可得n a n =,进而可以确定111221n n n b n n +=-+++,则可求出121111 (3213)n n n T b b b n +=+++=-<++,进而可求出k 的最小值. 【详解】解:因为22n n n S a a =+,所以当2,n n N *≥∈时,21112n n n S a a ---=+,两式相减得22112n n n n n a a a a a --=+-- ,整理得,()()1101n n n n a a a a --+--=,由0n a > 知, 10n n a a -+≠,从而110n n a a ---=,即当2,n n N *≥∈时,11n n a a --=,当1n =时,21112a a a =+,解得11a =或0(舍),则{}n a 首项为1,公差为1的等差数列,则()111n a n n =+-⨯=.所以112111(2)(21)221n n n n n n b n n n n +++==-++++++,则1211111111111 (366112213213)n n n n n T b b b n n n ++=+++=-+-++-=-<+++++,所以13k ≥.则k 的最小值是13. 故选:A【点睛】本题考查了由递推数列求数列通项公式,考查了等差数列的定义,考查了裂项相消法求数列的和.一般如果已知了,n n S a 的关系式,一般地代入11,1,2,n n n S n a S S n n N*-=⎧=⎨-≥∈⎩ 进行整理运算.求数列的和常见的方法有,公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.18.(2020·上海大学附属中学高三三模)已知0a b >>,若12lim 25n n n nn a b a b ++→∞-=-,则( )A .25a =-B .5a =-C .25b =-D .5b =-【答案】D【分析】由0a b >>,可得01ab<<,将原式变形,利用数列极限的性质求解即可 【详解】因为0a b >>,且12lim 25n n n nn a b a b ++→∞-=-,所以01ab<<, 可得12limn n n nn a b a b ++→∞-=-2220lim 25011nn n a a b b b b a b →∞⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭, 5b ∴=-,故选:D.【点睛】本题主要考查数列极限的性质与应用,属于基础题.19.(2020·上海市七宝中学高三其他模拟)如图,已知函数()y f x =与y x =的图象有唯一交点()1,1,无穷数列{}()*n a n N∈满足点()1,n n n P a a +()*n N ∈均落在()y f x =的图象上,已知()13,0P ,()20,2P ,有下列两个命题:(1)lim 1n n a →∞=;(2){}21n a -单调递减,{}2n a 单调递增;以下选项正确的是( )A .(1)是真命题,(2)是假命题B .两个都是真命题C .(1)是假命题,(2)是真命题D .两个都是假命题【答案】B【分析】根据函数()y f x =的图象和()11f =可得出n a 的取值范围,再根据函数()y f x =的单调性判断{}21n a -和{}2n a 的单调性,结合数列各项的取值范围和单调性可得数列的极限值.【详解】()1n n a f a +=,当01n a <<时,由图象可知,112n a +<<;当13n a <<时,101n a +<<.13a =,20a =,32a =,401a ∴<<,512a <<,601a <<,712a <<,,因为函数()y f x =在区间()0,3上单调递减,因为5302a a <<=,()()53f a f a ∴>,即64a a >,()()64f a f a <,即75a a <,()()75f a f a >,即86a a >,,以此类推,可得1357a a a a >>>>,数列{}21n a -单调递减,2468a a a a <<<<,数列{}2n a 单调递增,命题(2)正确;当2n ≥时,2112n a -<≤,201n a <<,且数列{}21n a -单调递减,{}2n a 单调递增,所以,lim 1n n a →∞=,命题(1)正确. 故选:B.【点睛】本题考查数列单调性的判断以及数列极限的求解,考查推理能力,属于难题. 二、填空题20.(2019·上海高考真题)在椭圆22142x y +=上任意一点P ,Q 与P 关于x 轴对称,若有121F P F P ⋅≤,则1F P 与2F Q 的夹角范围为____________【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】通过坐标表示和121F P F P ⋅≤得到[]21,2y ∈;利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为:222238cos 322y y y θ-==-+++;利用2y 的范围得到cos θ的范围,从而得到角的范围.【详解】由题意:()1F,)2F设(),P x y ,(),Q x y -,因为121F P F P ⋅≤,则2221x y -+≤ 与22142x y +=结合 224221y y ⇒--+≤,又y ⎡∈⎣ []21,2y ⇒∈(22221212cos F P F Q F P F Qθ⋅===⋅与22142x y +=结合,消去x ,可得:2222381cos 31,223y y y θ-⎡⎤==-+∈--⎢⎥++⎣⎦所以1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果:1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用,关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围,将问题转化为函数值域的求解.21.(2018·上海高考真题)在平面直角坐标系中,已知点()10A -,、()20B ,,E 、F 是y 轴上的两个动点,且2EF =,则的AE BF ⋅最小值为____. 【答案】-3【分析】据题意可设E (0,a ),F (0,b ),从而得出|a ﹣b|=2,即a=b +2,或b=a +2,并可求得2AE BF ab ⋅=-+,将a=b +2带入上式即可求出AE BF ⋅的最小值,同理将b=a +2带入,也可求出AE BF ⋅的最小值. 【详解】根据题意,设E (0,a ),F (0,b );∴2EF a b =-=; ∴a=b+2,或b=a +2;且()()12AE a BF b ==-,,,; ∴2AE BF ab ⋅=-+;当a=b +2时,()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-;∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-; ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3,同理求出b=a +2时,AE BF ⋅的最小值为﹣3. 故答案为:﹣3.【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.22.(2020·上海高三三模)设点O 为ABC 的外心,且3A π=,若(),R AO AB AC αβαβ=+∈,则αβ+的最大值为_________. 【答案】23【分析】利用平面向量线性运算整理可得()1OA OB OC αβαβ+-=+,由此得到1αβ+<;由3A π=可求得cos BOC ∠,设外接圆半径为R ,将所得式子平方后整理可得()213αβαβ+=+,利用基本不等式构造不等关系,即可求得所求最大值. 【详解】()()AO AB AC OB OA OC OA αβαβ=+=-+-()1OA OB OC αβαβ∴+-=+ 10αβ∴+-<,即1αβ+<,1cos 2A =1cos cos 22BOC A ∴∠==-, 设ABC 外接圆半径为R ,则()22222222222212cos R R R R BOC R R R αβαβαβαβαβ+-=++∠=+-,整理可得:()()22321313124αβαβαβαβ+⎛⎫+=+≤+⨯=++ ⎪⎝⎭, 解得:23αβ+≤或2αβ+≥(舍),当且仅当13时,等号成立, αβ∴+的最大值为23.故答案为:23.【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题,关键是能够利用平面向量线性运算和平方运算将已知等式化为与外接圆半径有关的形式,进而消去外接圆半径得到变量之间的关系.23.(2020·上海高三一模)已知非零向量a 、b 、c 两两不平行,且()a b c //+,()//b a c +,设c xa yb =+,,x y ∈R ,则2x y +=______.【答案】- 3【分析】先根据向量共线把c 用a 和b 表示出来,再结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】解:因为非零向量a 、b 、c 两两不平行,且()//a b c +,()//b a c +,(),0a m b c m ∴=+≠, 1c a b m∴=- (),0b n a c n ∴=+≠ 1c b a n∴=-1111m n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩,解得11m n =-⎧⎨=-⎩c xa yb =+1x y ∴==- 23x y ∴+=-故答案为:3-.【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用.解题时要认真审题, 属于基础题.24.(2020·上海高三一模)已知向量1,22AB ⎛= ⎝⎭,31,22AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,则BAC ∠=________. 【答案】6π【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出AB 、AC 的夹角的余弦值,进而可求得BAC ∠的大小.【详解】由平面向量的数量积的坐标运算可得3442AB AC ⋅=+=,1AB AC ==, 3cos 2AB AC BAC AB AC⋅∴∠==⋅, 0BAC π≤∠≤,6BAC π∴∠=.故答案为:6π 【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算,根据向量的坐标求向量长度的方法,向量夹角的余弦公式,考查了计算能力,属于基础题.25.(2020·上海崇明区·高三二模)在ABC 中,()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==,则ABC面积的最大值是____________ 【答案】34【分析】计算113sin 22624ABC S x π⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭△,得到答案.【详解】()22211sin ,1cos,2ABCS AB AC AB AC AB ACAB AC=⋅=⋅-△()22212AB AC AB AC=⋅-⋅=2113sin cos sin 22624x x x x π⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭, 当sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时等号成立.此时262x ππ-=-,即6x π=-时,满足题意.故答案为:34.【点睛】本题考查了三角形面积的最值,向量运算,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.26.(2020·上海高三其他模拟)已知ABC 的面积为1,点P 满足324AB BC CA AP ++=,则PBC 的面积等于__________. 【答案】12【分析】取BC 的中点D ,根据向量共线定理可得,,A P D 共线,从而得到1122PBC ABC S S ∆∆==. 【详解】取BC 的中点D ,1()2AD AC AB ∴=+. 432()()AP AB BC CA AB BC CA AB BC AB AC AB =++=+++++=+,1()4AP AC AB ∴=+∴12AP AD =,即,,A P D 共线.1122PBC ABC S S ∆∆==.故答案为:12.【点睛】本题主要考查向量共线定理,中点公式的向量式的应用以及三角形面积的计算,属于基础题.27.(2020·上海大学附属中学高三三模)设11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y 是平面曲线2226x y x y +=-上任意三点,则12A x y =-212332x y x y x y +-的最小值为________ 【答案】-40【分析】依题意看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积,()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和,根据点所在曲线及向量数量积的几何意义计算可得;【详解】解:因为2226x y x y +=-,所以()()221310x y -++=,该曲线表示以()1,3-为圆心,10为半径的圆.12212332A x y x y x y x y =-+-,可以看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积,()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和,因为点22(,)x y 在2226x y x y +=-上,点()33,y x -在2226x y y x +=+,点()11,y x -在2226x y y x +=--上,结合向量的几何意义,可知最小值为()()210102101040-+-=-,即()()()()2,64,22,62,440--+-=-故答案为:40-【点睛】本题考查向量数量积的几何意义的应用,属于中档题.28.(2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考)若复数z 满足i 1i z ⋅=-+,则复数z 的虚部为________ 【答案】1【分析】求解z 再得出虚部即可. 【详解】因为i 1i z ⋅=-+,故1111i iz i i i i i-+-==+=+=+,故虚部为1. 故答案为:1【点睛】本题主要考查了复数的运算与虚部的概念,属于基础题. 29.(2020·上海高三一模)复数52i -的共轭复数是___________. 【答案】2i -+【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数52i -,求出z 即可. 【详解】解:55(2)5(2)22(2)(2)5i i i i i i ----===----+--, ∴复数52i -的共轭复数是2i -+ 故答案为2i -+【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算,是基础题.30.(2020·上海大学附属中学高三三模)已知复数22(13)(3)(12)i i z i +-=-,则||z =______【答案】【分析】根据复数乘法与除法运算法则化简,再根据共轭复数概念以及模的定义求解.【详解】22(13)(3)(13)(68)26(12)34i i i i z i i i +-++===-----|||26|z i ∴=-+==故答案为:【点睛】本题考查复数乘法与除法运算、共轭复数概念以及模的定义关系,考查基本分析求解能力,属基础题.31.(2020·上海高三其他模拟)若复数z 满足i 12i01z+=,其中i 是虚数单位,则z 的虚部为________【答案】1-【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=,化简得到复数的虚部.【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-,z 的虚部为1- 故答案为1-【点睛】本题考查了行列式的计算,复数的虚部,意在考查学生的计算能力.32.(2020·上海市建平中学高三月考)设复数z 满足||1z =,使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根,则这样的复数z 的和为________ 【答案】32-【分析】设z a bi =+,(,a b ∈R 且221a b +=),将原方程变为()()222220ax ax bx bx i +++-=,则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②;再对b 分类讨论可得;【详解】解:设z a bi =+,(,a b ∈R 且221a b +=)则原方程2220zx zx ++=变为()()222220ax ax bx bx i +++-= 所以2220ax ax ++=,①且220bx bx -=,②;(1)若0b =,则21a =解得1a =±,当1a =时①无实数解,舍去; 从而1a =-,此时1x =-1z =-满足条件;(2)若0b ≠,由②知,0x =或2x =,显然0x =不满足,故2x =,代入①得14a =-,b =所以144z =-±综上满足条件的所以复数的和为113144442⎛⎛-+-++--=- ⎝⎭⎝⎭故答案为:32-【点睛】本题考查复数的运算,复数相等的充要条件的应用,属于中档题.33.(2020·上海高三其他模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ,从{1,2,3}中随机选取一个数b ,使得关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根,则不同的选取方法有________种 【答案】3【分析】关于x 的方程x 2+2ax +b 2=0有两个虚根,即△<0,即a <b .用列举法求得结果即可. 【详解】∵关于x 的方程x 2+2ax +b 2=0有两个虚根,∴△=4a 2﹣4b 2<0,∴a <b . 所有的(a ,b )中满足a <b 的(a ,b )共有(1,2)、(1,3)、(2,3),共计3个, 故答案为3.【点睛】本题考查列举法表示满足条件的事件,考查了实系数方程虚根的问题,属于中档题.34.(2020·上海市七宝中学高三其他模拟)已知复数13z i =-+(i 是虚数单位)是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的一个虚根,则::a b c =________.【答案】1:2:10【分析】利用求根公式可知,一个根为13i -+,另一个根为13i --,利用韦达定理即可求出a 、b 、c 的关系,从而可得 ::a b c【详解】利用求根公式可知,一个根为13i -+,另一个根为13i --,由韦达定理可得()()()13131313b i i a c i i a ⎧-++--=-⎪⎪⎨⎪-+--=⎪⎩ ,整理得:210bac a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2b a =,10c a =,所以:::2:101:2:10a b c a a a == 故答案为:1:2:10【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的虚根成对的原理,互为共轭复数,考查了韦达定理,属于基础题.35.(2020·上海高三其他模拟)设复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根,则pq =________【答案】20-【分析】由题意复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根,利用一元二次方程根与系数的关系求出p q 、的值,可得答案.【详解】解:由复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根,故2-i 是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根,故2+2i i p +-=-,(2+)(2)i i q -=, 故4p =-,5q =,故20pq =-, 故答案为:20-.【点睛】本题主要考查实系数的一元二次方程虚根成对定理,一元二次方程根与系数的关系,属于基础题型.36.(2020·上海徐汇区·高三一模)已知函数()f x ax b =+(其中,a b ∈R )满足:对任意[]0,1x ∈,有()1f x ≤,则()()2121a b ++的最小值为_________.【答案】9-【分析】根据题意()0f b =,()1f a b =+,可得()0b f =,()()10a f f =-,且()101f -≤≤,()111f -≤≤,所以将()()2121a b ++用()0f 和()1f 表示,即可求最值. 【详解】因为()f x ax b =+,对任意[]0,1x ∈,有()1f x ≤, 所以()0f b =,()1f a b =+,即()0b f =,()()10a f f =-,所以()()()()()()()21214214100211a b ab a b f f f f ++=+++=-⨯++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2224040111211f f f f f f =-+-+++()()()()()22212011120f f f f f =--++≥--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦,当()11f =-,()01f =时()()2120f f -⎡⎤⎣⎦最大为9, 此时()()2120f f --⎡⎤⎣⎦最小为9-, 所以()()2121a b ++的最小值为9-, 故答案为:9-【点睛】关键点点睛:本题的关键点是根据[]0,1x ∈,有()1f x ≤,可知()101f -≤≤,()111f -≤≤,由()0f b =,()1f a b =+可得()0b f =,()()10a f f =-,所以()()2121a b ++可以用()0f 和()1f 表示,再配方,根据平方数的性质求最值. 37.(2020·上海高三其他模拟)设全集U =R ,若A ={x |21x x->1},则∁U A =_____. 【答案】{x |0≤x ≤1}【分析】先解得不等式,再根据补集的定义求解即可 【详解】全集U =R ,若A ={x |21x x->1}, 所以211x x ->,整理得10x x->,解得x >1或x <0, 所以∁U A ={x |0≤x ≤1} 故答案为:{x |0≤x ≤1}【点睛】本题考查解分式不等式,考查补集的定义38.(2020·上海市建平中学高三月考)在平面直角坐标系xOy 中,点集{(,)|(|||2|4)(|2|||4)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为________【答案】323【分析】利用不等式对应区域的对称性求出在第一象限的面积,乘以4得答案.【详解】解:(||2||4)(2||||4)0x y x y +-+-对应的区域关于原点对称,x 轴对称,y 轴对称,∴只要作出在第一象限的区域即可.当0x ,0y 时,不等式等价为(24)(24)0x y x y +-+-,即240240x y x y +-⎧⎨+-⎩或240240x y x y +-⎧⎨+-⎩,在第一象限内对应的图象为, 则(2,0)A ,(4,0)B ,由240240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,解得4343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即44(,)33C ,则三角形ABC 的面积1442233S =⨯⨯=,则在第一象限的面积48233S =⨯=,则点集K 对应的区域总面积832433S =⨯=.故答案为:323.【点睛】本题考查简单的线性规划,主要考查区域面积的计算,利用二元一次不等式组表示平面区域的对称性是解决本题的关键,属于中档题.39.(2020·上海高三其他模拟)已知()22log 2log a b ab +=4a b +的最小值是______.【答案】9【分析】根据对数相等得到111b a +=,利用基本不等式求解()114a b b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值得到所求结果. 【详解】因为22222log log log ab abab ==,所以()22l og og l a b ab +=,所以a b ab +=,所以111a b+=, ()1144414a ba b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭,由题意知0ab >,则0a b >,40b a >,则441459a b a b b a +=+++≥=,当且仅当4a b b a =,即2a b =时取等号,故答案为:9.【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题,关键是能够利用对数相等得到111b a+=的关系,从而构造出符合基本不等式的形式,属于中档题.40.(2020·上海高三二模)已知0,0x y >>,且21x y +=,则11x y+的最小值为________.【答案】3+【分析】先把11x y+转化为11112(2)()3y x x y x y x y x y +=++=++,然后利用基本不等式可求出最小值 【详解】解:∵21x y +=,0,0x y >>,∴11112(2)()33y x x y x y x y x y +=++=++≥+(当且仅当2y xx y=,即x =时,取“=”). 又∵21x y +=,∴11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴当1x =,12y =-时,11x y +有最小值,为3+.故答案为:3+【点睛】此题考查利用基本不等式求最值,利用1的代换,属于基础题.41.(2020·上海高三月考)已知实数x 、y 满足条件01x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩.则目标函数2z x y =+的最大值为______. 【答案】2【分析】作出约束条件所表示的可行域,当目标函数所表示的直线过点(1,0)A 时,目标函数取得最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域,易得点(1,0)A ,当直线2y x z =-+过点A 时,直线在y 轴上的截距达到最大,∴max 2z =,故答案为:2【点睛】本题考查线性规划问题,考查数形结合思想,考查运算求解能力,求解时注意利用直线截距的几何意义进行求解.42.(2020·上海高三其他模拟)若()211,1nn N n x *⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭的展开式中的系数为n a ,则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭=____________. 【答案】2试题分析:由二项式定理知4x -的系数是2(1)2n n n n a C -==,12112()(1)1n a n n n n ==---,所以 231111lim()lim[2(1)]2n n n a a a n→∞→∞+++=-=.考点:二项式定理,裂项相消求和,数列极限.43.(2020·上海高三其他模拟)设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n S 的前n 项之积为n T ,且1n n S T +=,则lim n n S →∞=______. 【答案】1【分析】令1n =可得11112a S T ===,利用n T 的定义,1(2)n n n T S n T -=≥,可得n T 的递推关系,从而得1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,求出n T 后可得n S ,从而可得lim n n S →∞.【详解】111T a S ==,∴121a =,112a =,即1112S T ==,1(2)n n n T S n T -=≥,∴11n n n T T T -+=,∴1111n n T T --=,即{}n T 是以2为首项,1为公差的等差数列, 故1211n n n T =+-=+,11n T n =+,1n n S n =+,112S =也符合此式,所以1n n S n =+, 所以lim limlim lim +1111111n n n n n n n S n n n →∞→∞→∞→∞-⎛⎫==-= ⎪++⎝⎭=,故答案为:1.【点睛】本题考查求数列的通项公式,解题中注意数列的和、数列的积与项的关系,进行相应的转化. 如对积n T 有1(2)nn n T S n T -=≥,对和n S 有1(2)n n n a S S n -=-≥,另外这种关系中常常不包括1n =的情形,需讨论以确定是否一致,属于较难题.三、解答题44.(2020·上海徐汇区·高三一模)设()x μ表示不小于x 的最小整数,例如(0.3)1,( 2.5)2μμ=-=-. (1)解方程(1)3x μ-=;(2)设()(())f x x x μμ=⋅,*n N ∈,试分别求出()f x 在区间(]0,1、(]1,2以及(]2,3上的值域;若()f x 在区间(0,]n 上的值域为n M ,求集合n M 中的元素的个数; (3)设实数0a >,()()2x g x x a xμ=+⋅-,2sin 2()57x h x x x π+=-+,若对于任意12,(2,4]x x ∈都有12()()g x h x >,求实数a 的取值范围.【答案】(1)34x <≤;(2)当(]0,1x ∈时,值域为{}1;当(]1,2x ∈时,值域为{}3,4;当(]2,3x ∈时,值域为{}7,8,9;(1)2n n +个;(3)(3,)+∞. 【分析】(1)根据()x μ的定义,列式解不等式;(2)根据定义分别列举()f x 在区间(]0,1、(]1,2以及(]2,3上的值域,和(1,]x n n ∈-时函数的值域,最后利用等差数列求和;(3)分别求两个函数的值域,并转化为()()max g x f x >,利用参变分离求实数a 的取值范围. 【详解】【解】(1)由题意得:213x <-≤,解得:34x <≤. (2)当(]0,1x ∈时,(]()1,()0,1x x x x μμ=⋅=∈,于是(())1x x μμ⋅=,值域为{}1当(]1,2x ∈时,(]()2,()22,4x x x x μμ=⋅=∈,于是(())3x x μμ⋅=或4,值域为{}3,4 当(]2,3x ∈时,(]()3,()36,9x x x x μμ=⋅=∈,于是(())7x x μμ⋅=或8或9,值域为{}7,8,9设*n N ∈,当(1,]x n n ∈-时,()x n μ=,所以()x x nx μ⋅=的取值范围为22(,]n n n -,-所以()f x 在(1,]x n n ∈-上的函数值的个数为n ,-由于区间22(,]n n n -与22((1)(1),(1)]n n n +-++的交集为空集, 故n M 中的元素个数为(1)1232n n n +++++=.- (3)由于2140573x x <≤-+,1sin 23x π≤+≤,因此()4h x ≤,当52x =时取等号,即即(2,4]x ∈时,()h x 的最大值为4,由题意得(2,4]x ∈时,()4g x >恒成立,当(2,3]x ∈时,223x a x >-恒成立,因为2max (2)33x x -=,所以3a >当(3,4]x ∈时,2324x a x >-恒成立,因为239244x x -<,所以94a ≥综合得,实数a 的取值范围是(3,)+∞.【点睛】关键点点睛:1.首先理解()x μ的定义,2.第三问,若对于任意12,(2,4]x x ∈都有12()()g x h x >,转化为()()max g x f x >,再利用参变分离求a 的取值范围.45.(2020·上海市建平中学高三月考)已知数列{}n a 满足:10a =,221n n a a =+,2121n n a a n +=++,*n ∈N .(1)求4a 、5a 、6a 、7a 的值; (2)设212n n na b -=,212333nn n S b b b =++⋅⋅⋅+,试求2020S ;(3)比较2017a 、2018a 、2019a 、2020a 的大小关系. 【答案】(1)3、5、5、8;(2)202120204037398S ⋅+=;(3)2017201820202019a a a a ==<. 【分析】。
数列中的不等式的证明
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数列中的不等式的证明证明数列中的不等式的一般方法包括数学归纳法和放缩法。
数学归纳法可以直接应用于正整数相关的命题,包括数列不等式。
但有些数列不等式必须经过加强后才能使用数学归纳法证明。
放缩法包括单项放缩、裂项放缩、并项放缩、舍(添)项放缩、排项放缩和利用基本不等式放缩。
能用排项放缩证明的数列不等式必能直接应用数学归纳法证明,反之亦然。
第一种证明方法是直接应用数学归纳法。
例如,对于函数$f(x)=-x+ax$在$(0,1)$上为增函数的情况,可以通过数学归纳法求出实数$a$的取值集合$A$,并比较数列$\{a_n\}$中相邻两项$a_{n+1}$和$a_n$的大小。
另一个例子是已知数列$\{a_n\}$中$a_1=2$,$a_{n+1}=(2-1)(a_n+2)$,可以求出数列的通项公式,并证明$2<b_n\leq a_{4n-3}$,其中$b_n=3a_{2n+1}/(2a_{2n}+3)$。
第二种证明方法是放缩法。
例如,已知数列$\{a_n\}$中$a_n+(a_{n+1}+2)a_n+2a_{n+1}+1=3$,$a_1=-2$,可以证明$-1a_{2n-1}$。
另一个例子是已知函数$f(x)=ax-x$的最大值不大于$/428$,且在$x\in[1,1]$时$f(x)\geq11/428$,可以求出$a$的值,并证明$a_n<2n+111$,其中$a_{n+1}=f(a_n)$。
综上所述,证明数列中的不等式可以通过数学归纳法和放缩法两种方法进行。
具体方法包括直接应用数学归纳法、加强命题后应用数学归纳法、单项放缩、裂项放缩、并项放缩、舍(添)项放缩、排项放缩和利用基本不等式放缩。
在使用放缩法时,需要根据具体情况选择合适的方法进行证明。
1.若数列{b_n}中b_1=2,b_{n+1}=\frac{3-b_n}{2},证明b_n>0且b_n<\frac{2}{3}。
2.用数学归纳法证明:对于任意正整数n,有1+2+3+\cdots+n\leq n^2.3.已知a_1=1,a_{n+1}=\sqrt{a_n+6},证明a_n<3.4.设数列{a_n}的通项公式为a_n=\frac{1}{n(n+1)},求证\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln(n+1)<1.5.已知数列{a_n}为等差数列,数列{b_n}为等比数列,且a_1=b_1,a_2=b_2,a_3=b_3,求证a_n\leq b_n。
高中数学讲义:放缩法证明数列不等式
![高中数学讲义:放缩法证明数列不等式](https://img.taocdn.com/s3/m/a924fe6c32687e21af45b307e87101f69e31fbc7.png)
放缩法证明数列不等式一、基础知识:在前面的章节中,也介绍了有关数列不等式的内容,在有些数列的题目中,要根据不等式的性质通过放缩,将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质:(1)传递性:若,a b b c >>,则a c >(此性质为放缩法的基础,即若要证明a c >,但无法直接证明,则可寻找一个中间量b ,使得a b >,从而将问题转化为只需证明b c >即可 )(2)若,a b c d >>,则a c b d +>+,此性质可推广到多项求和:若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ,则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L (3)若需要用到乘法,则对应性质为:若0,0a b c d >>>>,则ac bd >,此性质也可推广到多项连乘,但要求涉及的不等式两侧均为正数注:这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法:(1)常见的数列求和方法和通项公式特点:① 等差数列求和公式:12nn a a S n +=×,n a kn m =+(关于n 的一次函数或常值函数)② 等比数列求和公式:()()1111n n a q S q q -=¹-,n n a k q =×(关于n 的指数类函数)③ 错位相减:通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消:通项公式可拆成两个相邻项的差,且原数列的每一项裂项之后正负能够相消,进而在求和后式子中仅剩有限项(2)与求和相关的不等式的放缩技巧:① 在数列中,“求和看通项”,所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向,这将决定对通项公式是放大还是缩小(应与所证的不等号同方向)③ 在放缩时,对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢,常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
各个击破·高中数学:数列与不等式
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各个击破·高中数学:数列与不等式高中数学中最基础的概念之一便是数列与不等式。
它们包括许多数学概念,像是数列的基本性质、等差数列、等比数列、递推数列、函数及其概念、不等式及其性质等等。
若掌握此一数学概念便得以更容易地理解及解决后续的数学问题。
一、数列的基本性质所谓数列就是按某个规律排列起来的数,称为有限数列。
它的基本定义为:若有一组数{a1,a2,a3,…,an},其中a1,a2,a3,…,an一对一对应的,且 n 个数满足某种统一的规律,则称它们构成一个数列,记作:{a1,a2,a3,…,an}(n∈N);这里n∈N表示n是一个自然数,也即n为正整数。
数列中的每一项可以表示为:an=f(n),其中f(n)是一种规律,也就是说各项a1,a2,a3,…,an的值是由以f(n)这一函数来决定的。
如:数列{1,3,5,7,9,…},其中每一项a1,a2,a3,…与给定的n值有一一对应关系,且每一项满足f(n)=2n-1这一规律。
二、等差数列等差数列,又称等比数列,是一种特殊的数列,其满足一定的等差规律。
因此,设有等差数列{a1,a2,a3,…,an},有a1,a2,a3,…,an两两相邻的差都是常数d,即a2-a1=a3-a2=…=dn-1-dn-2=d,此时称这个数列为等差数列,记作:{a1,a1+d,a1+2d,…,an}(n ∈N)。
在等差数列中,一组数的和可以用一个简便的公式来计算。
若设n个连续数之和为S,则S=n*an-(n-1)*d,其中d为等差数列中任意两个连续数之差,an为最后一项数值。
三、等比数列等比数列是一种特殊的数列,其中每一项与它的前一项之比是一个常数,叫做公比。
设有等比数列{a1,a2,a3,…,an},满足公比q(q≠0),即a2/a1=a3/a2=…=q,则称这一数列为等比数列,记作:{a1,a1*q,a1*q^2,…,an}(n∈N)。
等比数列的求和公式为如下:若设等比数列的首项为a1,公比为q,有n项,则等比数列的和为:Sn= a1*(1-q^n)/(1-q)(q≠1)。
高一数学必修基本不等式
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拓展:多元函数条件极值问题
拉格朗日乘数法
对于多元函数在约束条件下的极值问题,可以使用拉格朗日 乘数法。该方法通过构造一个新的函数(拉格朗日函数), 将约束条件转化为无约束条件,从而简化问题的求解过程。
库恩-塔克条件
库恩-塔克条件是求解不等式约束下多元函数极值问题的必要 条件。它包括一组线性方程和不等式,用于确定极值点的位 置。
常见错误及避免方法
忽视等号成立条件
在使用基本不等式时,必须注意等号成立的条件。例如, 在均值不等式中,等号仅在a=b时成立。忽视这一点可能 导致错误的结论。
误用不等式方向
在解题过程中,要特别注意不等式的方向。例如,在将不 等式两边同时乘以一个负数时,不等号的方向会发生改变 。
忽视变量取值范围
在应用基本不等式时,必须注意变量的取值范围。例如, 在柯西-施瓦茨不等式中,要求序列中的元素为非负实数 。
一元二次不等式解法
配方法
将一元二次不等式化为完 全平方的形式,然后利用 平方根的性质求解。
公式法
利用一元二次方程的求根 公式,求出不等式的两个 根,然后根据不等式的性 质确定解集。
判别式法
计算判别式$Delta = b^2 - 4ac$,根据判别式的正 负和零的情况,分别讨论 不等式的解集。
判别式在解不等式中的应用
用不等号连接两个解析式所组成 的式子,反映了量与量之间的大 小关系。
不等式的表示方法
通常使用“>”、“<”、“≥” 、“≤”等符号表示不等关系。
基本不等式性质
01
02
03
04
对称性
当a=b时,a>b,b>a同时不 成立;当a≠b时,a>b,b>a
高一数列和不等式知识点
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高一数列和不等式知识点数列和不等式是高一数学学习中重要的知识点,对于理解和解决实际问题有着重要的应用价值。
下面将分别介绍数列和不等式的基本概念、性质及其应用。
一、数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一组数的有序集合。
通常用{a1, a2,a3, ... , an}表示,其中ai称为数列的第i个项。
数列中的规律可以通过等差数列和等比数列来体现。
1. 等差数列等差数列是指数列中任意两项之差都相等的数列。
设首项为a1,公差为d,则等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
等差数列的前n项和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列等比数列是指数列中任意两项之比都相等的数列。
设首项为a1,公比为r,则等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)。
等比数列的前n项和公式为Sn = (a1 * (r^n - 1))/(r - 1),当|r|<1时成立。
二、不等式的概念和性质不等式是含有不等关系的数学式子。
常见的不等关系有大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)、小于等于(≤)、不等于(≠)等。
不等式的解称为不等式的解集,是使不等式成立的所有实数的集合。
1. 不等式的解集表示不等式的解集用集合的形式来表示,例如解集A={x | x > 1}表示满足x > 1的所有实数x的集合。
2. 不等式的性质- 加减性:不等式两边同时加(减)同一个数,不等号方向不变;- 乘除性:不等式两边同时乘(除)同一个正数,不等号方向不变;若乘(除)同一个负数,不等号方向改变;- 同底指数幂的大小比较:对于正数a和b,若0<a<b,则a^n<b^n,若0<a<b<1,则a^n>b^n;- 平方根的大小比较:对于正数a和b,若0<a<b,则√a<√b;- 倒数的大小比较:对于正数a和b,若0<a<b,则1/b<1/a。
高中数学的归纳不等式与数列极限
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高中数学的归纳不等式与数列极限数学是一门精确而又严谨的科学,高中数学也是学生们学习的重要课程之一。
在高中数学学习中,归纳不等式与数列极限是两个重要的概念。
本文将对高中数学的归纳不等式与数列极限进行介绍与分析。
一、归纳不等式的概念及应用归纳不等式是数学归纳法在不等式证明中的应用。
数学归纳法是一种常用的证明方法,通过证明基本情形成立,以及假设某一情形成立,然后证明下一情形也成立,最终得出结论。
在归纳不等式的证明中,我们常常需要运用到数学推理、数学运算与恒等变形等方法。
具体来说,归纳不等式有着以下的基本形式:设P(n)为关于n的不等式,当n取某一特定值时,P(n)成立;如果当n=k时P(n)成立,那么当n=k+1时P(n)也成立。
通过上述归纳不等式的基本形式,可以帮助我们解决一些归纳证明问题。
以不等式的证明为例,我们可以通过证明基本情形成立,即n=1时不等式成立;然后假设n=k时不等式成立,即P(k)成立;最后通过推理和变形等方法证明当n=k+1时不等式也成立,即P(k+1)成立。
这就完成了整个归纳证明过程。
二、数列极限的概念及性质数列极限是高中数学中一个重要的概念,它与数列的发散和收敛性质密切相关。
数列极限描述了在无限项数列中,当项数趋近于无穷大时,数列中的项的极限情况。
对于数列{an},当对于任意的正数ε,都存在正整数N,使得当n>N时,满足|an-L|<ε,其中L为实数,就称L是数列{an}的极限,记作lim(n→∞)an=L。
数列极限具有以下的性质:1. 极限的唯一性:如果数列{an}的极限存在,那么它的极限是唯一的;2. 有界性:如果数列{an}收敛,则它是有界的;3. 保号性:如果数列{an}收敛且极限不等于0,那么存在正整数N,当n>N时,数列的项与极限同号。
通过对数列极限的学习,我们可以更好地理解数列的性质,同时也可以应用数列极限来解决一些实际问题。
三、归纳不等式与数列极限的联系归纳不等式与数列极限在高中数学中有着密切的联系,它们可以相互应用,互相支撑。
数列不等式
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数列不等式1、证明:1/2+1/3+。
+1/n < lnn 。
无非就是证明1/k<ln(k)-ln(k-1)对于k>=2都成立,这个高中生完全可以搞定.......尽管这个题的原型是中值定理和积分放缩...我们有(1+1/n)^n<e<(1+1/n)^(n+1)即nln(1+1/n)<1<(n+1)ln(1+1/n)即1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n然后分别令n=1,2,...,n-1 即1/2<ln2 1/3<ln(3/2) 1/4<ln(4/3) ... 1/n=ln(n/(n-1))再相加,即得1/2+1/3+...+1/n<ln(2.3/2.4/3...n/(n-1))=lnn1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n以上可以用导数来证,更符合教学实际:x/(1+x)<=ln(1+x)<=x以上讨论可以看出:1。
纯数列的要求更高 2。
涉及到lnn 的数列不等式应先介绍:用导数证明:x/(1+x)<=ln(1+x)<=x 再应用到数列: 1/(n+1)< ln(1+1/n) <1/n 得到: 1/(n+1)< ln(n+1)-lnn 于是:1/2+1/3+1/4+。
+1/n < ( ln2-ln1) + (ln3-ln2) + (ln4-ln3) +。
+ (lnn-ln(n-1)) = lnn2、3、下面是用n=k为真, 证明n=k+1为真的简略证明:n=k+1为真等价于4、5、6、6、回复 5# 的帖子由Catalan恒等式知a2n=(1+1/2+1/3+……+1/2n)-2(1/2+1/4+1/6+……+1/2n)=1/(n+1)+1/(n+2)……+1/2n,cn=1+1/2+ 1/3+……1/n-Inn收敛,lim(c2n-cn)=1/(n+1)+1/(n+2)+……1/2n-In(2n/n)=0a2n=In2>In(2-1/(n+1))7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、已知数列{}n x 满足1111,,.21n n x x n N x *+==∈+ (1)猜想数列{}n x 单调性并证明;(2)证明:1112.65n n n x x -+⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭证(1)由1n+1244n 112513213821x x x x x x ===+==+及得, 由246x x x >>猜想:数列{}2n x 是递减数列下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,已证命题成立 (2)假设当n=k 时命题成立,即222k k x x +> 易知20k x >,那么23212224212321231111(1)(1)k k k k k k k k x x x x x x x x ++++++++--=-=++++ =22222122230(1)(1)(1)(1)k k k k k k x x x x x x ++++->++++ 即2(1)2(1)2k k x x +++>也就是说,当n=k+1时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立(2)当n=1时,12116n n x x x x +-=-=,结论成立 当2n ≥时,易知1111101,12,12n n n n x x x x ---<<∴+<=>+ 111115(1)(1)(1)(1)212n n n n n x x x x x ----∴++=++=+≥+ 11111111(1)(1)n n n n n n n n x x x x x x x x -+---∴-=-=++++ 2n -111221n -12225551265n n n n x x x x x x ---≤-≤-≤≤-= ()()()。
数列型不等式的证明
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数列型不等式证明的常用方法一.放缩法数列型不等式证明是前见年高考中的一个热点,在多省试题中常常作为压轴题出现。
放缩法是数列不等式证明的一个重要方法,它具有很强的技巧性的特点,学生往往无从下手,下面总结放缩法证明的一些常用技巧,例如归一技巧、抓大放小技巧、回头追溯技巧、利用函数性质技巧,仅供参考.1 归一技巧归一技巧,指的是将不容易求和的和式中的所有项或假设干项全部转化为同一项,或是将和式的通项中的一局部转化为同一个式子〔或数值〕,既到达放缩的目的,使新的和式容易求和. 归一技巧有整体归一、分段归一。
例如 设n 是正整数,求证121211121<+++++≤nn n . 【证明】111122n n n +++++1211112222n nn n n n ≥++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++个12=.另外:111122n n n+++++11111n nn n n n <++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++个1=. 【说明】在这个证明中,第一次我们把11n +、12n +、12n这些含n的式子都“归一〞为12n,此时式子同时变小,顺利把不易求和的111122n n n+++++变成了n个12n的和,既将式子缩小,同时也使缩小后的式子非常容易求和,这就是“归一〞所到达的效果。
而不等式右边的证明也类似.1.1整体归一放缩法中,如果通过将所有项转化为同一项而到达放缩目的的,称之为“整体归一〞.例 1.数列{}na的各项均为正数,n S为其前n项和,对于任意*Nn∈,总有2,,n n na S a成等差数列.(Ⅰ)求数列{}na的通项公式;(Ⅱ) 设数列{}n b的前n项和为n T,且2lnnnn axb=,求证:对任意实数(]ex,1∈〔e是常数,e=⋅⋅⋅〕和任意正整数n,总有n T< 2;〔Ⅰ〕解:由:对于*Nn∈,总有22n n nS a a=+①成立∴21112n n nS a a---=+〔n ≥ 2〕②①--②得21122----+=nnnnnaaaaa∴()()111----+=+nnnnnnaaaaaa∵1,-nnaa均为正数,∴11=--nnaa〔n ≥ 2〕∴数列{}na是公差为1的等差数列又n=1时,21112S a a =+, 解得1a =1∴n a n =.(*N n ∈)〔Ⅱ〕证明:∵对任意实数(]e x ,1∈和任意正整数n ,总有2ln nn n a x b =≤21n. 〔放缩通项,整体归一〕 ∴()nn n T n 11321211112111222-++⋅+⋅+<+++≤ 〔放缩通项,裂项求和〕21211131212111<-=--++-+-+=nn n例2.数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -,是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++⋅=的两个根,且212(123)k k a a k -=≤,,,.〔I 〕求1a ,2a ,3a ,7a ; 〔II 〕求数列{}n a 的前2n 项和2n S ;〔Ⅲ〕记sin 1()32sin nf n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…,求证:15()624n T n ∈*N ≤≤ 【分析】〔1〕略. 12a =;34a =;58a =时;712a =. 〔II 〕略. 2nS 2133222n n n ++=+-.〔III 〕此题应注意到以下三点,①(){1,2}f n ∈,且()f n 具有周期性. (){1,2}f n ∈,这就有()(1){1,1}f n -∈-,()f n 虽有周期性,可周期为2π. 这就使当n 很大时,和式通项(1)212(1)f n n na a +--的符号增加了不确定性.②很显然,当4n ≥时,213n a n -=,22nn a =;当3n ≤时,212n n a -=,23n a n =.纵然没有符号的问题,通项132n n ⋅如何求和?也需要解决.③112116T a a ==,2123411524T a a a a =+=,此题相当于证明12()n T T T n ∈*N ≤≤.基于以上三点,我们可以看到:1n T T ≤等价于从第二项开场的项之和为非负数,可否考虑将第三项开场的项缩小,此时可以做两方面的“归一〞,一是符号“归一〞,二是分母的局部“归一〞,两者都是要到达容易求和的目的. 【解答】 当3n ≥时,(1)3456212111(1)6f n n n n T a a a a a a +--=+-++,345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭≥从第三项起“归一〞为负=)2312431921(6416143nn ⋅+⋅⋅+⋅-⋅+ =)21241231(6164161132-⋅+⋅+⋅-⋅+n n 2341111116626222n ⎛⎫>+-++⎪⋅⎝⎭ (3,4,5,…,n “归一〞为2)11662n =+⋅ 16>, 至于不等式右边原理一样:(1)5678212511(1)24f n n n n T a a a a a a +--=--++5678212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤(从第四项起“归一〞为正34551111249234235232n n =-++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅34511112492922n ⎛⎫<-+++ ⎪⋅⎝⎭(4,5,…,n “归一〞为3)512492n =-⋅524<.又112116T a a ==,2123411524T a a a a =+=,原结论成立 1.2 分段归一放缩法中,如果我们把和式分为假设干段,每一段中的各个项都转化为同一项而到达放缩并容易求和的目的的,称之为“分段归一〞.例 3 数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-,1n n b a =-,数列{}n b 的前n 和为n S .〔1〕求数列{}n b 的通项公式;〔2〕求证:对任意的n N *∈有21122n n S n +≤≤+成立.分析:〔1〕略. 1n b n=. 〔2〕此问可以用数学归纳法证明,也可以用“分段归一〞的放缩法解答. 【解答】左边证明21111232n n S =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1111111111111()()()()2345678916212n n -=+++++++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++11128162111111111111()()()()2448888161622n nn n -≥+++++++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+个个12111112222n =++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+个=1+2n这里我们以12,212,312,412,……,12n 为界,将和式111232n ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+分为n 段,每段1121i -++1122i -++ (1)2i +〔1,2,3,,i n =⋅⋅⋅〕,每段中的数对缩小归一为12i ,这就使每一段的数缩小后和为12,从而得证.至于不等号右边,原理类似:21111232n n S =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1111111111111111()()()()2345678915221212n n n n--=+++++++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++-111111128816211111*********()()()()()224444881616222n n n n n----≤++++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++个个16个 11111112nn =++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++个 12nn =+12n ≤+【说明】此题我们需要关注到不等号两边的性质:一方面,12111+1222n n =++⋅⋅⋅+个,接着我们把不等式中间的和式除1外的局部拆分成n 段,每段都不小于12;另一方面,1111122n n +=++⋅⋅⋅++个1,接着我们把不等式中间的和式除12n外的局部拆分成n 段,每段都不大于1;在归一放缩时,我们需要注意到题设的条件和式子的性质,它是我们考虑如何归一、往哪个地方归一的关键. 2 抓大放小在将和式通项中,我们保存式子主要的、数值较大的局部,去掉次要的、数值相对较小的局部,以便到达放缩和容易求和的目的,这种放缩技巧,我们称之为“抓大放小〞技巧.例如求证:2232322212132<++++++++nnn通项放缩为 nnn nn 22<+, 求和即证。
数列不等式的证明方法
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数列不等式的证明方法一、数学归纳法:数学归纳法是一种证明数学命题的方法,常用于证明数列不等式的成立。
1.基本思路:数学归纳法证明数列不等式的基本思路如下:(1)首先,证明当n=1时命题成立;(2)然后,假设当n=k时命题成立,即假设P(k)成立;(3)最后,证明当n=k+1时命题也成立,即证明P(k+1)成立。
2.具体操作步骤:(1)证明当n=1时命题成立;(2)假设当n=k时命题成立,即假设P(k)成立;(3)证明当n=k+1时命题也成立,即证明P(k+1)成立。
3.举例说明:以证明斐波那契数列F(n)的递推形式F(n)=F(n-1)+F(n-2)为例。
(1)首先,证明当n=1时命题成立。
易知F(1)=1,F(0)=0,F(1)=F(0)+F(-1)成立。
(2)假设当n=k时命题成立,即假设F(k)=F(k-1)+F(k-2)成立。
(3)证明当n=k+1时命题也成立,即证明F(k+1)=F(k)+F(k-1)成立。
根据假设,F(k+1)=F(k)+F(k-1)成立,所以命题成立。
二、递推法:递推法的证明思路是通过已知条件和递推关系来逐步推导出结论。
1.基本思路:递推法证明数列不等式的基本思路如下:(1)首先,根据数列的递推关系列出递推式;(2)然后,推导出递推式的通项公式;(3)最后,利用递推式的通项公式证明数列不等式的成立。
2.具体操作步骤:(1)根据数列的递推关系列出递推式;(2)推导出递推式的通项公式;(3)利用递推式的通项公式证明数列不等式的成立。
3.举例说明:以证明斐波那契数列F(n)的递推式F(n)=F(n-1)+F(n-2)为例。
(1)根据递推关系列出递推式:F(n)=F(n-1)+F(n-2);(2)推导出递推式的通项公式:解这个递推方程得到F(n)=A*φ^n+B*λ^n,其中A、B为常数,φ和λ为一元二次方程x^2-x-1=0的两个根,φ≈1.618,λ≈-0.618;(3)利用递推式的通项公式证明数列不等式的成立:证明F(n)>n,通过证明A*φ^n+B*λ^n>n,根据递推式的通项公式可得证。
高一常见数列求和不等式放缩法
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高一常见数列求和不等式放缩法一.可直接裂项求和例1.正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ,试求: (1)数列{}n a 的通项公式; (2)设11+=n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证:21<n B解:(1)由已知得2)1(4+=n n a S ,2≥n 时,211)1(4+=--n n a S ,作差得:1212224----+=n n n n n a a a a a ,所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ,又因为{}n a 为正数数列,所以21=--n n a a ,即{}n a 是公差为2的等差数列,由1211+=a S ,得11=a ,所以12-=n a n (2))121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ,所以111111111(1++)2335212122(21)2n B n n n =-+--=-<-++L附:裂项常用公式: (1)111(1)1n n n n =-++(2)22211111-1(1)-4k k k k k <<<- (3=(4=<(5)ln()ln()ln ln(1)21n n n n n n <=-+++ (6))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n nn n n n n n n n n n n n二.先放缩再求和1.放缩后可裂项求和 例1.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n nn n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n nn n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有 35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n2.放缩后成等比数列,再求和例2.等比数列{}n a 中,112a =-,前n 项的和为n S ,且798,,S S S 成等差数列.设nn n a a b -=12,数列{}n b 前n 项的和为n T ,证明:13n T <.解:∵9789A A a a -=+,899A A a -=-,899a a a +=-,∴公比9812a q a ==-. ∴nn a )21(-=. nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=. (利用等比数列前n 项和的模拟公式nn S Aq A =-猜想)∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n .3.放缩后为“差比”数列,再求和例3.已知数列{}n a 满足:11=a ,)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n .求证:11213-++-≥>n n n n a a 证明:因为n n n a na )21(1+=+,所以1+n a 与n a 同号,又因为011>=a ,所以0>n a , 即021>=-+n n n n a na a ,即n n a a >+1.所以数列{}n a 为递增数列,所以11=≥a a n , 即n n n n n n a n a a 221≥=-+,累加得:121212221--+++≥-n n n a a .令12212221--+++=n n n S ,所以n n n S 2122212132-+++= ,两式相减得:n n n n S 212121212121132--++++=- ,所以1212-+-=n n n S ,所以1213-+-≥n n n a , 故得11213-++-≥>n n n n a a .4.放缩后成等差数列,再求和例4.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证:2214n n n a a S ++<;(2)<⋅⋅⋅解:(1)在条件中,令1=n ,得1112122a S a a ==+,1011=∴>a a ,又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ,上述两式相减,注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以, n n a n =-⨯+=)1(11,(1)2n n n S +=所以22221(1)1(1)2224n n n a a n n n n S +++++=<=g (2)因为1)1(+<+<n n n n ,所以212)1(2+<+<n n n n ,所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n 2122312-=+=+n S n n ;222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++三、分式放缩浓度不等式:)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 和)0,0(>>>++<m b a m a m b a b例1. 证明姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 和121)211()611)(411)(211(+<+---n n或者也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 可得 >-⋅⋅122563412n n=+⋅⋅n n 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n n n ⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n 即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n例2.证明:.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n 解析: 运用两次次分式放缩:1338956.232313784512-⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅n n n n (加1)nn n n 31391067.342313784512+⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅ (加2) 相乘,可以得到:)13(1323875421131381057.2423137845122+⋅--⋅⋅⋅⋅=-+⋅⋅⋅⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⋅⋅⋅n n n n n n n 所以有.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n四、构造新数列利用单调性求最值例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证2(1).2n n S +<证明:令2)1(2+-=n S T n n 则0232)2)(1(1<+-++=-+n n n T T n n , }{,1n n n T T T ∴>⇒+递减,有0221<-=≤T T n ,故.2)1(2+<n S n例2 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 证明:令12)1211()511)(311)(11(+-++++=n n T n 则13212221>+++==+n n n T T n n , 即}{,1n n n T T T ∴<+递增,有1321>=≥T T n ,得证!例3设数列{n a }满足n a =3-1n ,设数列{b n }满足(),112=-n n a 并记n T 为{b n }的前n 项和,求证:231log (3),N.n n T a n ++ >证明:由1)12(=-b n a 可解得2213log +log 31n n n b a n ==-(1);从而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=133··56·23log 21n n b b b T z n n 。
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1.若
11
0a b
<<,则下列不等式中, ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④
2b a
a b
+> 正确的不等式有 .(写出所有正确不等式的序号)
2.设O 为坐标原点,(1,1)A ,若点B 满足222210,
12,12x y x y x y ⎧+--+≥⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
,则OA OB ⋅的最小
值为
(A
(B )2 (C )3 (D
)23.给出下列四个命题: ①若;11,0b
a b a >>>则
②若b b a a b a 11,0->-
>>则 ③若;22,0b
a
b a b a b a >++>>则
④b
a b a b a 1
2,12,0,0+=+>>则
且若的最小值为9. 其中正确..命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)
一、选择题(每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要
求的.)
1.设}{n a 是等比数列,下列结论中不正确的是( ) A }.{2
n a 是等比数列 B. ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧a n 1是等比数列
C.}{P a n
+是等比数列)0(=/P D. }{n
ka 是等比数列)0(=
/k 2.在等差数列}{n a 中,若++++13121110a a a a ,90014
=a
则159a a +等于( )
A.720
B.360
C.180
D.90
3.已知,0<<a x 则一定成立的不等式是( ) A. 022
<<a x
B. 22.a ax x >>
C. 0.2<<ax x
D. ax a x
>>22
.
4. 若x ,a ,x 2,b 成等比数列,则
b
a
的值为( ) A.2
1 B.
2 C. 2 D. 2
2
5. 不等式
2
1
x x --≥0的解集是( )
A .[2,+∞]
B .(],1-∞∪(2,+∞)
C .(-∞,1)
D .(-∞,1)∪[2,+∞]
6.关于x 的不等式 022
>-+bx ax
的解集是 ab 则),,3
1()2
1,(+∞--∞ 等于( )
A 24.- B.24 C.14 D.-14
7.当x >0时,下列函数中最小值为2的是( ) A 42.2
+-=x x
y B x
x y 16+=⋅
C.
2
1
2.2
2
++
+=⋅x
x y D.x
x y 1+=
8.数列}{n a 的通项为a n =-2n+25,则前n 项和s
n
达到最大值时的n 为
A.10
B.11
C.12
D.13 9.设
,123)(+-=a ax x f 若存在),1,1(0
-∈x
使,0)(0=x f
则实数x 的取值范围是( )
1.511.-<<<-a B a A 1.-<a C 或5
1
.51>>a D a
10.在项数为12+n 的等差数列中,所有奇数项的和与所有偶数项的和之比为( )
n n A 212.
+ n
n B 1.
+ 1.+n n C
122..+n n D 11.若f(x)=
862
++-k kx kx 的定义域为R ,则实数k 的取值范围是( )
}10|.{≤<k k A 0|.{<k k B 或}1>k }10|.{≤≤k k C }1|.{>k k D
12.在教材中,我们称图(1)中的数为三角形数,图(2)中的数为正方形数,那么下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A .289
B .1024
C .1225
D .1378
13已知数列}{n a 中)11ln(,21
1n a a a n n ++==+则=n
a _____________
14. =++++102
1
10813412211
_____________ 15.函数)1,0(1=/⋅>=-a a a
y x
的图象恒过定点A ,若点A 在直线
ny mx +)0(01>=-mn 上,则n
m
11+的最小值为._____________
16. 由直线012,02=++=++y x y x 和y x +
201=+围成的三角形区域(包括边
界)用不等式可表示为_____________
三、解答题(共70分,解答应写出必要的文字、过程和步骤)
17.(10分)设等比数列}{n a 的公比为q .前n 项和为s
n
,若2
1,,++n n n s s S 成等差数列数列,求q 的值.
18.(12分)已知x ,y 满足条件⎪⎩
⎪⎨
⎧≥++≤-+≤--010401170
2357y x y x y x 求: (1)4x -3y 的最大值和最小
值; (2)x 2+y 2的最大值和最小值.
19. (12分)
解关于x 的不等式:.01)1(2
<++-x a ax
(a >0)
20. (12分)某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?
21.(12分)数列}{n a 的前n 项和为,1,1
=a s n *).(21N n S a n n ∈=+
(1)求数列}{n a 的通项n a (2)求数列}{n na 的前n 项和n T .
22.(12分)已知数列}{n a 的前n 项和
s
n 满足:)1(1n n
a a
a S --=(a 为常数且n a a ,1.0=/>⋅∈+)N
(1) 求证数列}{n a 是等比数列,并求其通项公式;
(2) 若数列}{n b 满足,21n n n a b b +=-是否存在一个常数a,使数列}.
2{n n b 为等差数列,若存在求出a 的值;若不存在,请说明理由。
(3) 在(2)的结论下,设
a n n n
n c ⋅-+=-λ1)1(3(λ为非零整数,n ∈N *),试确定λ的值,
使得对任意n ∈N *都有c n 1+>
c n
成立。