高一数列专项典型练习题及解析答案

高一数列练习题
一．选择题（共11小题）
1．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是单调递增
数列，则实数a的取值范围（）
A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7）
2．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2B．﹣2 C．D．
﹣
3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）
A．1B．﹣1 C．2D．
4．阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）
A．5B．6C．7D．8
5．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）
A．11 B．5C．﹣8 D．﹣11
6．数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2014=（）
C．6D．﹣6
A．B．
﹣
A．9B．12 C．14 D．18
8．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（）
A．47 B．45 C．38 D．54
9．在等比数列{a n}中，，则a3=（）
A．±9 B．9C．±3 D．3
10．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）
A．8B．18 C．26 D．80
11．在等差数列{a n}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（）
A．20 B．21 C．42 D．84
二．填空题（共7小题）
12．）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_________．
13．某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），
等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数
1 5 7 77
2 12 8 96
3 21 12 192
4 32 16 320
5 45 32 1152
6 60 48 2496
则等级为50级需要的天数a50=_________．
14．数列{a n}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7=_________．
15．已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于_________．
17．记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2+a4=6，S4=10．则a10=_________．
18．设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=_________．
三．解答题（共12小题）
19．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13
（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和S n．
20．已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．
（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞；
（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．
21．在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．
（Ⅰ）求a n与b n；
（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．
22．（2009•河西区二模）已知等差数列{a n}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{b n}满足nb1+（n﹣1）b2+…+2b n﹣1+b n=S n，其中S n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和．
（1）求a n的表达式；
（2）若c n=﹣a n b n，试问数列{c n}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c n≤c k成立？并证明你的结论．
23．已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．
（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．
24．已知等差数列{a n}的前n项和为s n=pm2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N*（I）求q的值；
（Ⅱ）若a3=8，数列{b n}}满足a n=4log2b n，求数列{b n}的前n项和．
25．已知数列{a n}（n∈N*）是等比数列，且a n＞0，a1=3，a3=27．（1）求数列{a n}的通项公式a n和前项和S n；
（2）设b n=2log3a n+1，求数列{b n}的前项和T n．
26．已知等差数列{a n} 的前n项和为S n，a2=9，S5=65．
（I）求{a n} 的通项公式：
（II）令，求数列{b n}的前n项和T n．
27．已知等比数列{a n}满足a2=2，且2a3+a4=a5，a n＞0．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=（﹣1）n3a n+2n+1，数列{b n}的前项和为T n，求T n．
28．已知等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，且S3，S9，S6成等差数列．（1）求q3的值；
（2）求证：a2，a8，a5成等差数列．
29．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，，．
（I）求a n；
（II）若，求数列{b n}的前n项和T n．
30．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，已知a2=8，S10=185．
（1）求数列{a n}的通项公式；
高一数列专项典型练习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．解
答：
解：∵{a n}是单调递增数列，
∴，
解得7≤a＜8．
故选：A．
点评：本题考查了分段函数的意义、一次函数和指数函数的单调性，属于中档题．
2．解答：解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，
由S1，S2，S4成等比数列，得：，
即，解得：．
故选：D．
点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
3．解
答：
解：由题意可得=
===1
故选A
点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属基础题．
4．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
循环前：k=0，s=0，每次循环s，k的值及是否循环分别如下第一圈：S=2°＜100，k=1；是
第二圈：S=2°+21＜100，k=2；是
第三圈：S=2°+21+22＜100，k=3；是
第四圈：S=2°+21+22+23＜100，k=4；是
第五圈：S=2°+21+22+23+24＜100，k=5；是
第六圈：S=2°+21+22+23+24+25＜100，k=6：是
故选C
点评：本小题主要考查循环结构、等比数列等基础知识．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，
5．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，（q≠0）
由题意可得8a2+a5=8a1q+a1q4=0，解得q=﹣2，
故====﹣11 故选D
点评：本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题．
6．解
答：解：∵a n=，
∴a n+1=，
∵a1=2，∴a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…，
∴数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，
∵2014=4×503+2，
∴T2014=﹣6．
故选：D．
点评：本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，确定数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1是关键．
7．解答：解：∵a n+2=2a n+1﹣a n，
∴2a n+1=a n+a n+2
∴数列{a n}是等差数列．
又a6=4﹣a4，
∴a4+a6=4，
由等差数列的性质知：2a5=a4+a6=4，得a5=2．
∴S9=9a5=9×2=18．
故选：D．
点评：本题考查数列递推式，考查了等差关系得确定，考查了等差数列的性质及前n项和，是中档题．
8．解
答：
解：设公差为d，
由S7=28，S11=66得，，即，解得，
所以S9=9×1=45．
9．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，则
∵，
∴=27，=3 两式相除，可得
∴a3=±3
故选C．
点评：本题考查等比数列的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．
10．解答：解：∵数列{a n}为等差数列，
∴a3+a5=2a4，a8+a14=a6+a16=2a11，
又4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，
∴12a4+12a11=36，即a4+a11=3，
∵a1+a14=a4+a11=3，
则该数列的前14项和S14==21．故选B
点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．
二．填空题（共7小题）
12．解
答：解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1﹣6），
解得a1=﹣，
故答案为：﹣．
点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．
13．解
答：
解：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3）==n（n+4），
∴a50=50×54=2700．
故答案为：2700．
点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、归纳推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题．
14．解答：解：由a2+a3=1，a3+a4=﹣2，两式作商得q=﹣2．代入a2+a3=1，得a1（q+q2）=1．
解得a1=．
456
点评：本题考查对数计算与等比数列性质的运用，属于基本计算题
15．解
答：
解：∵数列{a n}中，a n+1=2a n，
∴=2，∴{a n}是公比为2的等比数列，
∵a3=8，∴，解得a1=2，
∴，∴log2a n=n，
∴数列{log2a n}的前n项和：
S n=1+2+3+…+n=．
故答案为：．
点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的灵活运用．
16．解答：解：∵数列{a n}的前n项和为S n，并满足a n+2=2a n+1﹣a n，∴数列{a n}是等差数列，
∵a6=4﹣a4，∴a6+a4=4，
∴=．
故答案为：18．
点评：本题考查数列的前9项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
17．解答：解：等差数列{a n}的前n项和为S n，∵a2+a4=6，S4=10，设公差为d，∴，
解得a1=1，d=1，
∴a10=1+9=10．
故答案为：10．
点评：本题考查等差数列中第10项的求法，是基础题，解题时要认真审题，要熟练掌握等差数列的性质．
18．解
答：
解：∵S n是等比数列{a n}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，
∴2S9=S3+S6，即=+，
整理得：2（1﹣q9）=1﹣q3+1﹣q6，即1+q3=2q6，
又a2+a5=a1q+a1q4=a1q（1+q3）=2a1q7，2a m=2a1q m﹣1，且a2+a5=2a m，
∴2a1q7=2a1q m﹣1，即m﹣1=7，
则m=8．
故答案为：8
点评：此题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式及求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．
19．解
答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且
解得d=2，q=2．
所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．
（Ⅱ）．，①，②
②﹣①得，
===．
点评：本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．
20．分析：（1）由已知条件推导出2n a n=2n﹣1a n﹣1+1．由此能证明{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列．从而求出a n=．
（2）由（1）知=（n+1）•（）n，利用错位相减法能求出T n=3﹣．再用数学归纳法能证明n∈N*且n≥3时，T n＞．
（3）由a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn可求得c n，对任意n∈N+，都有c n+1＞c n即c n+1﹣c n＞0恒成立，整理可得（﹣1）n﹣1•λ＜（）n﹣1，分n为奇数、偶数两种情况讨论，分离出参数λ后转化为函数最值即可解决．
解答：
（1）证明：在S n=﹣a n﹣+2（n∈N*）中，
令n=1，得S1=﹣a1﹣1+2=a1，解得a1=，
当n≥2时，S n﹣1=﹣a n﹣1﹣（）n﹣2+2，
∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣a n+a n﹣1+（）n﹣1，
∴2a n=a n﹣1+（）n﹣1，即2n a n=2n﹣1a n﹣1+1．
∵b n=2n a n，∴b n=b n﹣1+1，即当n≥2时，b n﹣b n﹣1=1，
又b1=2a1=1，∴{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列．
于是b n=1+（n﹣1）•1=n=2n a n，
∴a n=．
（2）证明：∵，∴=（n+1）•（）n，
∴T n=2×+3×（）2+…+（n+1）×（）n，①
23n+1
①﹣②，得：=1+
=1+﹣（n+1）•（）n+1
=，
∴T n=3﹣．
∴T n﹣=3﹣=，
∴确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．
下面用数学归纳法证明n∈N*且n≥3时，T n＞．
①当n=3时，23＞2×3+1，成立
②假设当n=k（k≥3）时，2k＞2k+1成立，
则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（2k+1）
=4k+2=2（k+1）+1+（2k﹣1）＞2（k+1）+1，
∴当n=k+1时，也成立．
于是，当n≥3，n∈N*时，2n＞2n+1成立
∴n∈N*且n≥3时，T n＞．
（3）由，
得
=3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n，
∴c n+1﹣c n=[3n+1+（﹣1）n•λ•2n+1]﹣[3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n]
=2•3n﹣3λ（﹣1）n﹣1•2n＞0，
∴，①
当n=2k﹣1，k=1，2，3，…时，①式即为λ＜，②
依题意，②式对k=1，2，3…都成立，∴λ＜1，
当n=2k，k=1，2，3，…时，①式即为③，
依题意，③式对k=1，2，3…都成立，
∴，∴，又λ≠0，
∴存在整数λ=﹣1，使得对任意n∈N*有c n+1＞c n．
点评：本题考查数列递推式、等差数列的通项公式、数列求和等知识，考查恒成立问题，考查转化思想，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．
21．分
析：（1）根据b2+S2=12，{b n}的公比，建立方程组，即可求出a n与b n；
（2）由a n=3n，bn=3n﹣1，知c n=a n•b n=n•3n，由此利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和T n．
解答：解：（1）∵在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，
等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．
∴b2=b1q=q，，（3分）
解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6（5分）
∴a n=3+3（n﹣1）=3n，b n=3n﹣1．（7分）
（2）∵a n=3n，b n=3n﹣1，
∴c n=a n•b n=n•3n，
∴数列{c n}的前n项和
T n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，
∴3T n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，
∴﹣2T n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1
=﹣n×3n+1
=﹣n×3n+1，
∴T n=×3n+1﹣．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和错位相减法的合理运用．
（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
22．分
析：
（2）利用等比数列的通项公式、、分类讨论的思想方法即可得出．
解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4=9，a2+a6=10，
∴，解得，
∴a n=2+1×（n﹣1）=n+1．
（2）∵S n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和，
∴nb1+（n﹣1）b2+…+2b n﹣1+b n=，①
（n﹣1）b1+（n﹣2）b2+…+2b n﹣2+b n﹣1=…+，②
①﹣②得b1+b2+…+b n=，即．
当n=1时，b1=T n=1，
当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1==．
∴．．
于是c n=﹣a n b n．
设存在正整数k，使得对∀n∈N*，都有c n≤c k恒成立．
当n=1时，，即c2＞c1．
当n≥2时，
==．
∴当n＜7时，c n+1＞c n；
当n=7时，c8=c7；
当n＞7时，c n+1＜c n．
∴存在正整数k=7或8，使得对∀n∈N*，都有c n≤c k恒成立．
点评：熟练掌握等差数列的图象公式、分类讨论的思想方法、等比数列的通项公式、
、分类讨论的思想方法是解题的关键．
23．分
（I）根据数列{a n}是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式a n和前n项和S n，然后经过运算即可证明．析：
（II）根据数列{a n}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b n}的通项公式．
解答：
证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1=，q=
∴a n=×=，
S n=
又∵==S n
∴S n=
（II）∵a n=
∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+（﹣2log33）+…﹣nlog33
=﹣（1+2+…+n）
=﹣
∴数列{b n}的通项公式为：b n=﹣
点评：本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．
24．解答：解：（I）当n=1时，a1=s1=p﹣2+q
当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=pn2﹣2n+q﹣p（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣q=2pn﹣p﹣2 由{an}是等差数列，得p﹣2+q=2p﹣p﹣2，解得q=0．
（Ⅱ）由a3=8，a3=6p﹣p﹣2，于是6p﹣p﹣2=8，解得p=2
所以a n=4n﹣4
又a n=4log2b n，得b n=2n﹣1，故{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以数列{b n}的前n项和Tn=．
点评：本题考查了数列的前n项和与通项间的关系及等比数列的求和问题，在解题中需注意前n项和与通项间的关系是个分段函数的关系，但最后要验证n=1是否满足n≥2时的情况，属于基础题．
25．解答：解：（1）设公比为q，则a3=a1•q2，∴27=3q2，即q2=9∵a n＞0，∴
（2）由（1）可知b n=2log33n+1=2n+1，∴b1=3，
又b n+1﹣b n=2（n+1）+1﹣（2n+1）=2，
故数列{b n}是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的前n项和，此题比较容易，只要认真作答就可以保障正确，属于基础题．
26．解
答：
解：（I）（2分）
解得：（4分），
所以a n=4n+1（6分）
（II）由（I）知（7分）
因为，（8分）
所以{b n} 是首项为b1=32，公比q=16的等比数列（9分），
所以．（12分）
点评：在数列的基本量的求解中要求考生熟练掌握基本公式，具备一定的计算能力，本题属于基础试题．
27．分
析：（Ⅰ）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则，解方程可求a1，q结合等比数列的通项公式即可求解
（Ⅱ）由b n=（﹣1）n3a n+2n+1=﹣3•（﹣2）n﹣1+2n+1，利用分组求和，结合等比与等差数列的求和公式即
可求解
解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则…（2分）
整理得q2﹣q﹣2=0，即q=﹣1或q=2，
∵a n＞0，
∴q=2．代入可得a1=1
∴．…（6分）
（Ⅱ）∵b n=（﹣1）n3a n+2n+1=﹣3•（﹣2）n﹣1+2n+1，…（9分）
∴T n=﹣3[1﹣2+4﹣8+…+（﹣2）n﹣1]+（3+5+…+2n+1）
=﹣3×=（﹣2）n+n2++2n﹣1．…（12分）
点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，分组求和方法的应用，属于数列知识的简单综合
28．分析：（1）由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9，然后考虑当q=1时关系式不成立，所以当q不等于1时，利用等比数列的前n项和的公式化简此等式，根据q不等于1，利用换元法即可求出q3的值；
（2）由q3的值分别表示出a8和a5，然后分别求出a8﹣a2和a5﹣a8的值，得到两者的值相等即可得证．
解答：解：（1）由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9，
若q=1，则S3+S6=9a1，2S9=18a1，
由a1≠0得S3+S6≠2S9，与题意不符，所以q≠1．
由S3+S6=2S9，得．
整理，得q3+q6=2q9，由q≠0，1，
设t=q3，则2t2﹣t﹣1=0，解得t=1（舍去）或t=﹣，
所以；
（2）由（1）知：，
则a8﹣a2=a5﹣a8，
所以a2，a8，a5成等差数列．
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．
29分
析：（I）由题意可得，公比q≠1，则①②，相除可得公比q，
求得首项和公比，即可求出通项公式．
（II）首先根据（1）求出数列{b n}的通项公式，然后利用分组法求出前n项和．
解答：解：（I）若q=1，则S6=2S3，这与已知矛盾，所以q≠1，（1分）
则①②（3分）
②式除以①式，得，所以，
代入①得a1=2，
所以．（7分）
（II）因为，（9分）
所以T n=（2﹣1+20+21++2n﹣2）+（1+2+3++n）=（12分）
==．（14分）
点评：本题考查等比数列的前n项和公式和通项公式，（2）问中数列{b n}是等差数列和等比数列和的形式，采取分组法求解．属于中档题．
30．分析：（1）由题意等差数列{a n}中a2=8，S10=185，利用通项公式及前n项和公式建立首项与公差的方程求出即可得到数列{a n}的通项公式a n；
（2）把（1）中求出的a n的通项公式代入a n=log2b n中，确定出b n的通项公式，利用等于常数得到数列{b n}是等比数列，求出等比数列的首项和公比，根据首项和公比写出等比数列的前n项和即可．
解答：
解：（1）
解得：d=3，a1=5，∴a n=3n+2
（2）b n=
∴===23=8（n=1，2，3，…）
∴{bn}是公比为8的等比数列
∵b1==32
∴T n==（8n﹣1）．
点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列求和以及灵活运用等比数列的前n项和公式化简求值，是一道中档题．。