高一数列专项典型练习题及解析答案

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高中数学必修一数列性质专项习题及答案

高中数学必修一数列性质专项习题及答案

高中数学必修一数列性质专项习题及答案1. 数列基础概念题1:已知数列${a_n}$的通项公式为$a_n = 3n - 2$,求$a_1, a_2,a_3$的值。

答案:$a_1 = 3 \times 1 - 2 = 1$ <br>$a_2 = 3 \times 2 - 2 = 4$ <br>$a_3 = 3 \times 3 - 2 = 7$题2:已知数列${b_n}$的通项公式为$b_n = 2^n$,求$b_1, b_2,b_3$的值。

答案:$b_1 = 2^1 = 2$ <br>$b_2 = 2^2 = 4$ <br>$b_3 = 2^3 = 8$2. 等差数列题1:已知数列${c_n}$为等差数列,且首项$a_1 = 2$,公差$d = 3$,求$c_1, c_2, c_3$的值。

答案:$c_1 = a_1 = 2$ <br>$c_2 = a_1 + d = 2 + 3 = 5$ <br>$c_3 = c_2 + d = 5 + 3 = 8$题2:已知数列${d_n}$为等差数列,且首项$a_1 = -1$,公差$d = -2$,求$d_1, d_2, d_3$的值。

答案:$d_1 = a_1 = -1$ <br>$d_2 = a_1 + d = -1 + (-2) = -3$ <br>$d_3 = d_2 + d = -3 + (-2) = -5$3. 等比数列题1:已知数列${e_n}$为等比数列,且首项$a_1 = 2$,公比$q = 3$,求$e_1, e_2, e_3$的值。

答案:$e_1 = a_1 = 2$ <br>$e_2 = a_1 \times q = 2 \times 3 = 6$ <br>$e_3 = e_2 \times q = 6 \times 3 = 18$题2:已知数列${f_n}$为等比数列,且首项$a_1 = -2$,公比$q = -\frac{1}{2}$,求$f_1, f_2, f_3$的值。

高一必修数列测试题及答案详解高一数学

高一必修数列测试题及答案详解高一数学

高一必修数列测试题及答案详解高一数学一、填空题1. 若\[a_n = 2n - 1\],则数列\[\{a_n\}\]的前5项分别为\[1, 3, 5, 7, 9\]。

2. 若\[b_n = 3^n\],则数列\[\{b_n\}\]的前4项分别为\[3, 9, 27, 81\]。

3. 若\[c_n = \frac{n(n+1)}{2}\],则数列\[\{c_n\}\]的前6项分别为\[1, 3, 6, 10, 15, 21\]。

二、选择题1. 以下是等差数列的是(B)。

A. 1, 2, 4, 7, 11B. 2, 4, 8, 16, 32C. 1, 3, 6, 10, 15D. 3, 8, 15, 24, 352. 若\[a_1=2\],\[a_2=5\],则\[a_3=8\),\[a_4=11\),则\(a_n\)的通项公式是(C)。

A. \(a_n=2n+1\)B. \(a_n=3n-1\)C. \(a_n=3n-1\)D. \(a_n=2n+4\)3. 若对于等差数列\(\{a_n\}\)有\(\frac{{a_5 - a_2}}{7}=3\),则\(d=\)(A)。

A. 1B. 2C. 3D. 4三、解答题1. 求等差数列\(\{a_n\}\)的前5项之和,已知\(a_1=1\),\(a_3=7\)。

(解答略)2. 若等差数列\(\{a_n\}\)的首项为-3,公差为4,求该数列的第n项和。

\({S_n}=\)(解答略)3. 若等差数列\(\{a_n\}\)的首项为2,公差为3,已知\(\frac{{a_m+a_n}}{2}=13\),求\(m\)与\(n\)的值。

(解答略)四、解题思路详解1. 填空题1解析:根据数列通项公式\[a_n = 2n - 1\],带入\[n=1,2,3,4,5\],即可得到\[a_n\]的前5项。

2. 填空题2解析:根据数列通项公式\[b_n=3^n\],带入\[n=1,2,3,4\],即可得到\[b_n\]的前4项。

(完整word版)高一数学数列部分经典习题及答案

(完整word版)高一数学数列部分经典习题及答案

.数 列一.数列的概念:(1)已知*2()156n n a n N n =∈+,则在数列{}n a 的最大项为__(答:125); (2)数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ,其中b a ,均为正数,则n a 与1+n a 的大小关系为__(答:n a <1+n a ); (3)已知数列{}n a 中,2n a n n λ=+,且{}n a 是递增数列,求实数λ的取值范围(答:3λ>-);二.等差数列的有关概念:1.等差数列的判断方法:定义法1(n n a a d d +-=为常数)或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

设{}n a 是等差数列,求证:以b n =na a a n +++Λ21 *n N ∈为通项公式的数列{}nb 为等差数列。

2.等差数列的通项:1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

(1)等差数列{}n a 中,1030a =,2050a =,则通项n a = (答:210n +);(2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______(答:833d <≤) 3.等差数列的前n 和:1()2n n n a a S +=,1(1)2n n n S na d -=+。

(1)数列 {}n a 中,*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈,32n a =,前n 项和152n S =-,求1a ,n (答:13a =-,10n =); (2)已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-,求数列{||}n a 的前n 项和n T (答:2*2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩). 三.等差数列的性质:1.当公差0d ≠时,等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且率为公差d ;前n 和211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2.若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差0d =,则为常数列。

高中数学《数列》练习题(含答案解析)

高中数学《数列》练习题(含答案解析)

高中数学《数列》练习题(含答案解析)一、单选题1.已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ,且48S S =13,则816S S =( )A .310 B .37C .13D .122.已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ,则“Sn +1>Sn ”是“{an }单调递增”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件3.现有下列说法:①元素有三个以上的数集就是一个数列; ①数列1,1,1,1,…是无穷数列; ①每个数列都有通项公式;①根据一个数列的前若干项,只能写出唯一的通项公式; ①数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数. 其中正确的有( ). A .0个B .1个C .2个D .3个4.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1(1)(21)n n a n +=-⋅+,则2021S =( )A .2020B .2021C .2022D .20235.已知等差数列{}n a 中,6819,27a a ==,则数列{}n a 的公差为( ) A .2B .3C .4D .56.标准对数视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E ”字视标,且从视力5.1的视标所在行开始往上,每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”的边长的视力4.0的视标边长为a ,则视力4.9的视标边长为( )A .4510aB .91010aC .4510a -D .91010a -7.已知数列{}n a ,2141n n a n n ,则下列说法正确的是( )A .此数列没有最大项B .此数列的最大项是3aC .此数列没有最小项D .此数列的最小项是2a8.已知{}n a 是等差数列,公差0d >,其前n 项和为n S ,若2a 、52a+、172a +成等比数列,()12n n n a S +=,则不正确的是( ) A .1d= B .1020a = C .2n S n n =+ D .当2n ≥时,32n n S a ≥9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,112a =,对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+,则2021S =( ) A .20192020B .20202021C .20212022D .1010101110.等差数列{}n a 前n 项和为n S , 281112a a a ++=,则13S =( ) A .32B .42C .52D .62二、填空题11.已知a 是1,2的等差中项,b 是1-,16-的等比中项,则ab 等于___________. 12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若65210,6Sa a =+=,则d =_________.13.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若891715a a =,则1517S S =______.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS,且1516a a +=-,936S =-,则n S 的最小值是______.三、解答题15.已知数列{}n a 为等差数列,{}n b 是公比为2的等比数列,且满足11221,5a b b a ==+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)令n n n c a b =+求数列{}n c 的前n 项和n S ;16.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =,55S =-. (1)求{}n a 的通项公式;(2)2n nb a =-+求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 17.某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备,设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年,且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a (单位:万元)的情况如图所示.(1)求n a ;(2)引进这种设备后,第几年该公司开始获利? 18.设{}n a 是首项为1的等比数列,数列{}n b 满足3nn na b =.已知1a ,23a ,39a 成等差数列. (1)求{}n a 和{}nb 的通项公式;(2)记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明:2nn S T <.参考答案与解析:1.A【分析】运用等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等差数列{an }的公差为d , ①41181461582832a d a d a d S S +==⇒=+,显然0d ≠, ①8161182820283161204012010a d d d a d S d S d ++===++, 故选:A 2.D【分析】由110++>⇒>n n n S S a ,举反例102=>n na 和12nn a =-即可得出结果 【详解】110++>⇒>n n n S S a ,例如102=>n na ,但是数列{}n a 不单调递增,故不充分; 数列{}n a 单调递增,例如12n na =-,但是1n n S S +<,故不必要; 故选:D 3.B【分析】根据给定条件,利用数列的定义逐一分析各个命题,判断作答.【详解】对于①,数列是按一定次序排成的一列数,而数集的元素无顺序性,①不正确; 对于①,由无穷数列的意义知,数列1,1,1,1,…是无穷数列,①正确; 对于①0.1,0.01,0.001,0.0001,得到的不足近似值,依次排成一列得到的数列没有通项公式,①不正确;对于①,前4项为1,1,1,1的数列通项公式可以为1,N n a n =∈,cos 2π,N n b n n *=∈等,即根据一个数列的前若干项,写出的通项公式可以不唯一,①不正确;对于①,有些数列是有穷数列,不可以看着是一个定义在正整数集上的函数,①不正确, 所以说法正确的个数是1. 故选:B 4.D【分析】根据数列{}n a 的通项公式,可求得12342,2a aa a +=-+=-,依此类推,即可求解.【详解】①1(1)(21)n n a n +=-⋅+,故12343,5,7,9a a a a ==-==-故202112320202021S a a a a a =+++⋅⋅⋅++357940414043=-+-+⋅⋅⋅-+2101040432023=-⨯+=.故选:D. 5.C【分析】利用862d a a =-,直接计算公差即可. 【详解】等差数列{}n a 中,6819,27aa ==,设公差为d ,则86227198d a a =-=-=,即4d =.故选:C. 6.D【分析】由等比数列的通项公式计算.【详解】设第n 行视标边长为n a ,第n 1-行视标边长为()12n a n -≥,由题意可得()12n n a n -=≥,则()1101102nn a n a --=≥,则数列{}n a 为首项为a ,公比为11010-的等比数列, 所以101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭,则视力4.9的视标边长为91010a -,故选:D. 7.B【分析】令10t n =-≥,则1n t =+,22641411ttyt t t t ,然后利用函数的知识可得答案. 【详解】令10t n =-≥,则1n t =+,22,641411tty tt t t当0=t 时,0y = 当0t >时,146y t t=++,由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增,在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时,y 取得最大值, 所以此数列的最大项是3a ,最小项为10a = 故选:B . 8.A【分析】利用等差数列的求和公式可得出1n a na =,可得出10d a =>,根据已知条件求出1a 的值,可求得n a 、n S 的表达式,然后逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为{}n a 是等差数列,则()()1122nn n n a n a a S ++==,所以,1n a na =, 所以,110n n d a a a +=-=>,因为()()2521722a a a +=+,可得()()2111522172a a a +=+,整理可得21191640a a --=,因为10a >,故12d a ==,A 错;12n a na n ==,则1020a =,B 对;()()112nn n a S n n +==+,C 对;当2n ≥时,()233202n n S a n n n n n -=+-=-≥,即32n n S a ≥,D 对.故选:A. 9.C【解析】由1(2)n n na n a +=+,可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++,数列{}(1)n n n a +为常数列,令1n =,可得1(1)21n n n a a +==,进而可得1(1)n a n n =+,利用裂项求和即可求解.【详解】数列{}n a 满足112a =,对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+, 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++,可得数列{}(1)n n n a +为常数列, 有1(1)2n n n a a +=,得(1)1n n n a +=,得1(1)n a n n =+,又由111(1)1n a n n n n ==-++,所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=.故选:C【点睛】方法点睛:数列求和的方法(1)倒序相加法:如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法(2)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求;(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可相互抵消,从而求得其和; (4)分组转化法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转换法分别求和再相加减;(5)并项求和法:一个数列的前n 项和可以两两结合求解,则称之为并项求和,形如()()1nn a f n =-类型,可采用两项合并求解. 10.C【分析】将2811a a a ++化成1a 和d 的形式,得到二者关系,求得7a ,利用13713S a =求得结果. 【详解】()()28111111()71031812a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=164a d ∴+=,即74a = ()1131371313134522a a S a +∴===⨯= 故选:C.【点睛】思路点睛:该题考查的是有关数列的问题,解题思路如下:(1)根据题中所给的条件,结合等差数列通项公式,将其转化为关于首项与公差的式子; (2)化简求得数列的某一项;(3)结合等差数列求和公式,得到和与项的关系,求得结果. 11.6±【分析】根据等差和等比中项的定义求出,a b 得值,即可求解. 【详解】因为a 是1,2的等差中项,所以12322a +==, 因为b 是1-,16-的等比中项,所以2(1)(16)16b =-⨯-=,4b =±,所以6ab =±.故答案为:6±. 12.1【分析】由等差中项性质可求4a ,又510S =依据等差数列的前n 项和公式及通项公式列方程即可求得公差 【详解】由266a a +=有43a =,而510S = ①结合等差数列的前n 项和公式及通项公式113322a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得1d = 故答案为:1【点睛】本题考查了等差数列,利用等差中项求项,结合已知条件、前n 项和公式、通项公式求公差13.1【分析】利用等差数列性质及前n 项和公式计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中,891715a a =,所以1151511588117171179915(15(152152117(17)(1717)2))2a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯. 故答案为:1 14.42-【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项、公差,探求数列{}n a 的单调性即可计算作答.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,由1591636a a S +=-⎧⎨=-⎩得112416989362a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩,解得1122a d =-⎧⎨=⎩, 因此,()1212214n a n n =-+-⨯=-,令0n a =,解得7n =,于是得数列{}n a 是递增等差数列,其前6项为负,第7项为0,从第8项开始为正, 所以6S 或7S 最小,最小值为()656122422⨯⨯-+⨯=-. 故答案为:42-15.(1)21n a n =-,12n n b -=(2)221nn S n =+-【分析】(1)根据等差数列和等比数列的通项公式得到2d =,根据通项公式的求法得到结果;(2)1221n n n n c a b n -+=+=-分组求和即可.【详解】(1)设{}n a 的公差为d , 由已知,有215d ++=解得2d =,所以{}n a 的通项公式为21,n a n n *=-∈N , {}n b 的通项公式为12,n n b n -*=∈N .(2)1221n n n n c a b n -+=+=-,分组求和,分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到:212(121)21122n n n n n S n -+-=+=+--.16.(1)2n a n =-;(2)1n nT n =+.【解析】(1)由30S =,55S =-,可得113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩求出1,a d ,从而可得{}n a 的通项公式;(2)由(1)可得n b n =,从而可得11111(1)1n n b b n n n n +==-++,然后利用裂项相消求和法可求得n T 【详解】解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d , 因为30S =,55S =-.所以113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩,化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩,解得111a d =⎧⎨=-⎩,所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-, (2)由(1)可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=, 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++, 所以111111(1)()()1223111n nT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 【点睛】此题考查等差数列前n 项和的基本量计算,考查裂项相消求和法的应用,考查计算能力,属于基础题17.(1)2n a n =;(2)第2年该公司开始获利.【分析】(1)根据题意得出数列的首项和公差,进而求得通项公式 (2)根据题意算出总利润,进而令总利润大于0,解出不等式即可. 【详解】(1)由题意知,数列{}n a 是12a =,公差2d =的等差数列, 所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=.(2)设引进这种设备后,净利润与年数n 的关系为()F n ,则()()2121222520252n n F n n n n n -⎡⎤=-+⨯-=--⎢⎥⎣⎦. 令()0F n >得220250n n -+<,解得1010n -<+ 又因为n *∈N ,所以2n =,3,4,…,18, 即第2年该公司开始获利.18.(1)11()3n n a -=,3n nn b =;(2)证明见解析. 【分析】(1)利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=,解方程即可; (2)利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ,再作差比较即可.【详解】(1)因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ,23a ,39a 成等差数列,所以21369a a a =+,所以211169a q a a q =+,即29610q q -+=,解得13q =,所以11()3n n a -=,所以33n n n na nb ==. (2)[方法一]:作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++,012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S , 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n .设0121111101212222Γ3333------=++++n n n , ① 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn . ①由①-①得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n . 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n . 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT . 故2nn S T <. [方法二]【最优解】:公式法和错位相减求和法证明:由(1)可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--,211213333n n n n n T --=++++,① 231112133333n n n n n T +-=++++,① ①-①得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---, 所以31(1)4323n n n n T =--⋅, 所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅, 所以2n n S T <. [方法三]:构造裂项法由(①)知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ,令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ,且1+=-n n n b c c ,即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ,通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==,所以331243n n c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,下同方法二. [方法四]:导函数法设()231()1-=++++=-n n x x f x x x x x x ,由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n n x x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦, 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nx x . 又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ,所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,下同方法二.【整体点评】本题主要考查数列的求和,涉及到等差数列的性质,错位相减法求数列的和,考查学生的数学运算能力,是一道中档题,其中证明不等式时采用作差法,或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择,关键是要看如何消项化简的更为简洁.(2)的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和,进而证得结论;方法二根据数列的不同特点,分别利用公式法和错位相减法求得,n nS T,然后证得结论,为最优解;方法三采用构造数列裂项求和的方法,关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nnc n,使1+=-n n nb c c,求得nT的表达式,这是错位相减法的一种替代方法,方法四利用导数方法求和,也是代替错位相减求和法的一种方法.。

高一数学数列试题答案及解析

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高一数学数列试题答案及解析1.某种汽车购买时费用为万元,每年应交保险费,养路费,保险费共万元,汽车的维修费为:第一年万元,第二年万元,第三年万元,……,依次成等差数列逐年递增. (1)设使用年该车的总费用(包括购车费用)为试写出的表达式;(2)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少).【答案】(1);(2)12年.【解析】(1)由已知中某种汽车购买时费用为万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共万元,汽车的维修费为:第一年万元,第二年万元,第三年万元,…,依等差数列逐年递增,根据等差数列前项和公式,即可得到的表达式;(2)由(1)中使用年该车的总费用,我们可以得到年平均费用表达式,根据基本不等式,我们易计算出平均费用最小时的值,进而得到结论.解:(1)(2)设平均费用为P,则P=当且仅当,即时,平均费用最少为万元.答:这种汽车使用12年报废最划算..【考点】1.数列的应用;2.基本不等式在最值问题中的应用.2.已知则的等差中项为-------------------()A.B.C.D.【答案】A【解析】略3.(本小题满分12分)已知等差数列的公差,该数列的前项和为,且满足.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,,求数列的通项公式.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)将已知条件转化为等差数列的基本量,解方程组得到首项和公差,进而得到通项公式(Ⅱ)借助于数列求得数列的递推公式,根据特点采用累和法求通项试题解析:(Ⅰ)因为所以,即.因为,,所以.所以.所以.(Ⅱ)因为,所以,,…….相加得==即.【考点】1.等差数列通项公式;2.累和法求通项4.定义:称为个正数的“均倒数”,若数列{}的前项的“均倒数”为,则数列{}的通项公式为()A.B.C.D.【答案】C【解析】有定义知:,所以,所以等价于,当时,,当时,,当时,,成立,所以.【考点】已知求5.已知数列{an }满足a1=15,且3an+1=3an﹣2,若ak•ak+1<0,则正整数k=()A.21B.22C.23D.24【答案】C【解析】将递推公式整理为,所以,所以等价于,解得:,所以.【考点】1.等差数列的定义;2.等差数列的性质.6.已知等比数列的前项和为,若,则的值是.【答案】【解析】,【考点】等比数列性质及求和公式7.若为等差数列的前项和,,则= .【答案】【解析】由题知,所以,即,,解两个方程得,,则.【考点】1.等差数列前n项和公式;2.等差数列的通项公式;8.(16分)给定数列,如果存在常数使得对任意都成立,则称为“M类数列”(1)若是公差为的等差数列,判断是否为“M类数列”,并说明理由;(1)若是“M类数列”且满足:①求及的通项公式;②设数列满足:对任意的正整数,都有,且集合中有且仅有3个元素,试求实数的取值范围.【答案】(1)是;(2)①;;②;【解析】(1)因为已知中给出的是递推关系式,又是公差为的等差数列,所以,即得;(2)①由,当和时分别得;又是“M类数列”,可得,若要用已知条件,必须出现,所以由是“M类数列”,可得,两式想加可得,再把已知和代入,就可得到对都成立,即可;②由已知得①,当时,②,②式两边同乘以2,再与①式相减得,验证当时成立,则,要使成立,需要知道的单调性,利用单调性找出即得;试题解析:(1)是公差为的等差数列,时使得成立,即是“M类数列”(2)①是“M类数列”,,,两式相加得,又,对都成立,,又是公比为2的等比数列,②因为,即,(*)当时,,(**)则(**)式两边同乘以2,得,(***)(*)-(***),得,即,又当时,,即,适合,.,,时,,即;时,,此时单调递减,又,,,,.【考点】1.新定义的应用;2.数列的单调性;3.转化思想;则9.已知数列的前项和为,,,,A.B.C.D.【答案】D【解析】,代入验证得选项D.【考点】数列的前n项和.10.(本小题满分12分)我们把一系列向量按次序排成一列,称之为向量列,记作,已知向量列满足:,.(1)证明:数列是等比数列;(2)设表示向量与间的夹角,若,对于任意正整数,不等式恒成立,求实数的范围(3)设,问数列中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存在,请说明理由【答案】(1)见解析;(2);(3)存在最小项,最小项是【解析】第一问利用等比数列的定义证明,第二问只需证明不等式左边的最小值大于a(a+2),接下来研究左边和式的单调性,最后转化为求解,第三问假设存在第n项最小满足,求解关于n的不等式得第5项最小.试题解析:(1)∵,∴,∴数列是等比数列;(2)∵,∴,,不等式化为:对任意正整数恒成立.设.又,∴数列单调递增,,要使不等式恒成立,只要,,得∴使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是.(3)∵,∴,假设中的第项最小,由,,∴,当时,有,由可得,即,∴,,或(舍),∴,即有,由,得,又,∴;故数列中存在最小项,最小项是【考点】用定义证明数列是等比数列,数列的单调性与恒成立问题的转化,存在性问题.11.已知数列的前项和为,且,则取最小值时,的值是()A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】根据已知,所以数列是等差数列,,得到,,所以最小.【考点】1.等差数列;2.等差数列的前项和的最大项.12.(本题满分12分)已知{an }为等差数列,且a3=-6,a6=0.(1)求{an}的通项公式;(2)若等比数列{bn }满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和.【答案】(1);(2)【解析】(1)设等差数列的首项和公差,然后代入所给两项,解方程组,求解;(2)第一步,求等比数列的前两项,第二步,求公比,;第三步,代入等比数列的前项的和.试题解析:解(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a3=-6,a6=0,所以解得a1=-10,d=2.所以an=-10+(n-1)×2=2n-12.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,所以-8q=-24,q=3.所以数列{bn}的前n项和公式为Sn==4(1-3n).【考点】1.等差数列的通项公式;2.等比数列的通项;3.等比数列的前项的和.13.等差数列的公差,,且,,成等比数列.为的前项和,则的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】因为,,成等比数列,所以,即,化简得:,又,则,,所以,则,所以选D.【考点】1.等比数列与等差数列的通项公式;2.等差数列的前项和;14.数列的前项和为,且满足,则_______.【答案】【解析】由得时是等比数列,公比为2,首项为【考点】数列求和公式,通项公式15.(12分)已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数和第三个之积为40,求这四个数.【答案】这四个数依次为或.【解析】利用数列的设项技巧,四个数依次为,再利用等差数列的性质代入计算即可.试题解析:设四个数依次为则依题意有解得或.........10分∴代人有四个数依次为或,【考点】等差数列的性质、设项技巧,通项公式.16.等差数列中,首项,公差,前项和为.有下列命题①若,则必有;②若,则必有是中最大的项;③若,则必有;④若,则必有;其中正确的命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】,根据等差数列的性质,,所以,,根据等差数列的图像,当,那么对称轴是,那么是最大值;若,则,那么,所以,所以,即;,即.【考点】等差数列和的性质17.等差数列{an }中,,公差,则使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是.【答案】5或6【解析】因为,公差,所以,由等差数列的性质知,,所以前5或6项和取得最大值.【考点】等差数列的性质、前项和的求法.18.(本小题满分12分)设数列的前项和为,(1)求,;(2)设,证明:数列是等比数列;(3)求数列的前项和为.【答案】(1);(2)见解析;(3)【解析】第一问令n=1,2得到所求,第二问把两式相减得:从而回归定义即可,第三问利用错位相减法把两式相减整理得试题解析:(1)由已知:又(2)两式相减得:(常数),又是首项为2,公比为2的等比数列,(3)两式相减得:【考点】等比数列的证明,错位相减求和法.19.(12分)等差数列的各项均为正数,,前项和为,为等比数列,,且.(1)求与;(2)若对任意正整数和任意恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)本题考察的是求等差数列和等比数列的通项公式,只需求出首项、公差、公比即可。

高一数学数列试题答案及解析

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高一数学数列试题答案及解析1.数列1,,,…,,….是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【答案】【解析】显然该数列从第二项起,各项的分母是偶数且越来越大,所以数列的各项越来越小.【考点】数列增减性的判断.2.设数列满足:,,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题可得:,对n分别取正整数后进进迭加,可得,又,当n=19时有,所以.【考点】迭加法求数列的通项公式.3.正项数列的前项和满足:(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列的前项和.【答案】(1) ,(2)【解析】(1) 先化简关系式:,,再利用与关系,得时.最后验证,得到数列的通项. (2)因为数列通项是“等比乘等差”型,需用错位相减法求解前项和.运用错位相减法求和时需注意三点:一是相减时注意项的符号,二是求和时注意项的个数,三是最后结果需除以由相减得:所以.试题解析:(1)解:由,得.由于是正项数列,所以.于是时,.综上,数列的通项.(2),由相减得:所以【考点】由求,错位相减法求和4.(本小题满分12分)已知数列{an }满足 a1=1,an+1=.,写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式(不要求证明)【答案】解:∵a1=1,an+1=,∴a2==, a3==, a4==, a5==.∴它的前5项依次是1,,,,…………………….8分故它的一个通项公式为an=. (12)【解析】略5.在等差数列中,已知,=4,则公差d等于()A.1 B. C.- 2 D 3【答案】C【解析】,所以.6.数列为等差数列,为正整数,其前项和为,数列为等比数列,且,数列是公比为64的等比数列,.(1)求;(2)求证.【答案】(1)(2)见解析【解析】(1)设的公差为,的公比为,则为正整数,,.依题意有①由知为正有理数,故为的因子之一,解①得,故.(2),∴.7.设,且则()A.B.C.D.【答案】C【解析】,,所以数列是等比数列,,首项,所以【考点】1.复合函数;2.等比数列.8.已知数列(Ⅰ)计算(Ⅱ)令是等比数列;(Ⅲ)设、分别为数列、的前,使得数列为等差数列?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)【解析】(Ⅰ)将点代入直线可得到数列的递推公式,由首项可逐个求出的值;(Ⅱ)首先将数列的通项公式整理化简,找到相邻的两项,证明数列是等比数列主要需要证明相邻两项的比值是常数,常数即公比,需要说明数列首项不为零;(Ⅲ)首先由已知整理出两数列通项公式和前n项和,代入中化简,由定义数列是等差数列需满足相邻两项的差值为常数,因此找到数列的相邻项相减,使其为常数时寻求此时的取值试题解析:(Ⅰ)由题意,同理(Ⅱ)因为所以又,所以数列是以为首项,为公比的等比数列.(Ⅲ)由(2)得,又所以由题意,记则故当【考点】1.数列的通项公式递推公式;2.等差等比数列的判定;3.数列求和9.已知数列满足,(),则().A.0B.C.D.-【答案】D【解析】所以a的周期为3,.【考点】数列性质的应用10.等比数列的前项的和,且,,则.【答案】【解析】根据等比数列前项和的性质,,,,是等比数列,所以,,那么,所以.【考点】等比数列前项和的性质11.(本小题满分13分)已知数列的前项和,,等差数列中(1)求数列、的通项公式;(2)是否存在正整数,使得若存在,求出的最小值,若不存在,请说明理由.【答案】(1);;(2)存在,.【解析】(1)数列是等差数列,所以待定系数求首项和公差,求数列的通项公式的方法是已知求,当时,,然后两式相减,得到递推,再求的值,最后再写出通项;(2)第一步,先求的通项公式,是等差数列乘以等比数列,所以求和,采用错位相减法求和,,然后再解关于的不等式,求出整数.试题解析:(1)当时,,相减得:又数列是以1为首项,3为公比的等比数列,.又(2)令①②①-②得:…9分即,当,,当。

高一数学数列试题答案及解析

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高一数学数列试题答案及解析1.已知数列中,其前项和满足:(1)试求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.【答案】(1),(2)【解析】(1)先利用化简关系式得:再利用叠加得,又,所以.经验证和也满足该式,故(2)因为数列通项是一个等比加一个等差,所以用“分组求和法”求和,即.试题解析:(1)即这个式子相加得,又所以. 经验证和也满足该式,故(2)用分组求和的方法可得【考点】由求,叠加法求,分组求数列和.2.已知数列的首项,且,则为()A.7B.15C.30D.31【答案】D【解析】由两边同加1,可得,,则是以2为首项,以2 为公比的等比数列.则,所以,.【考点】构造法求数列的通项公式.3.已知数列是等比数列,且则【答案】1【解析】略}中的项组成一个新数列, ,4.由公差的等差数列{an,…,则下列说法正确的是K^S*5U.CA.该数列不是等差数列B.该数列是公差为的等差数列C.该数列是公差为的等差数列D.该数列是公差为的等差数列【答案】C【解析】略5.△ABC的三个内角A、B、C的对边的长分别为a、b、c,有下列两个条件:(1)a、b、c成等差数列;(2)a、b、c成等比数列,现给出三个结论:(1);(2);(3)。

请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件,三个结论中的两个为结论,组建一个你认为正确的命题,并证明之。

(I)组建的命题为:已知_______________________________________________求证:①__________________________________________②__________________________________________(II)证明:【答案】略【解析】可以组建命题一:△ABC中,若a、b、c成等差数列,求证:(1)0<B≤(2);命题二:△ABC中,若a、b、c成等差数列求证:(1)0<B≤(2)1<≤命题三:△ABC中,若a、b、c成等差数列,求证:(1)(2)1<≤命题四:△ABC中,若a、b、c成等比数列,求证:(1)0<B≤(2)1<≤下面给出命题一、二、三的证明:(1)∵a、b、c成等差数列∴2b=a+c,∴b=≥且B∈(0,π),∴0<B≤(2)(3)∵0<B≤∴∴∴下面给出命题四的证明:(4)∵a、b、c成等比数列∴b2=a+c,且B∈(0,π),∴0<B≤6.(本小题满分12分)已知数列为等差数列,为其前项和,且().(1)求,;(2)若,,()是等比数列的前三项,设,求.【答案】(1);(2)【解析】(1)当时,,利用等式求出首项,第二步,令,,求出第二项,因为是等差数列,所以,代入等差数列的通项公式,然后再代入题设中所给的等式,求和;(2)按等差设,将,,三项设出,然后,求出,同时得到等比数列中的,然后再求公比,最后求出等比数列的通项,求和,按照错位相减法求和.试题解析:(1).,又,故;又,故,得;等差数列的公差..所以,.(2)由已知有,故,即.解得,或,又,故.等比数列的公比为,首项为.所以.所以.... 12分...【考点】1.等差数列;2.等比数列;3.错位相减法求和.7.在等比数列{an }中,如果a6=6,a9=9,那么a3为()A.4B.C.D.2【答案】A【解析】根据等比数列的性质,,代入数据解得.【考点】等比数列的性质8.设an =-n2+10n+11,则数列{an}前n项的和最大时n的值为()A.10B.11C.10或11D.12【答案】C【解析】,,所以当,时,,当时,,所以前非负数项的和最大,即,或.【考点】1.数列的定义;2.数列的和的最大值.9.若数列的前n项和为,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】此题是已知求通项,当时,,当时,,验证:当时,成立,所以.【考点】已知求10.(本题12分)已知数列的前n项和为满足:.(1)求证:数列是等比数列;(2)令,对任意,是否存在正整数m,使都成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)详见解析;(2)【解析】(1)已知,求,利用公式,得到关于数列的递推公式,,,然后列式等于常数,所以是等比数列;(2)第一步,先计算,同时求和,得到的通项公式,第二步,计算,并且根据裂项相消法得到数列的和,和是,第三步,当恒成立,等价于,并且.试题解析:(1)当时,,解得, 1分当时,由得, 2分两式相减,得,即(), 3分则,故数列是以为首项,公比为3的等比数列.(2)由(1)知,,所以,则,由对任意都成立,得,即对任意都成立,又,所以m的值为1,2,3.【考点】1.已知求;2.等比数列的定义;3.裂项相消法求和;4.等差数列;5.数列的最值.11.等差数列中,已知,,,求n.【答案】【解析】本题主要考察等差数列的性质,在本题中,给出了两个不连续的数和前n项和,让我们求n,首先需要根据不连续的两个数值,列出有关第一项和公差的方程组,解出第一项和公差,再运用等差数列的前n项和公式联系本题所给条件,解出n的数值,即为本题答案。

高一数学数列综合应用试题答案及解析

高一数学数列综合应用试题答案及解析

高一数学数列综合应用试题答案及解析1.数列1,-3,5,-7,9,的一个通项公式为()A.B.C.D.【答案】B【解析】由数列中1,-3,5,-7,9,可以看出:符号正负相间,通项的绝对值为1,3,5,7,9 为等差数列,其通项公式.【考点】本题考查了等差数列的通项公式,属于基础题2.数列满足,则 .【答案】.【解析】当时,,;当时,由于,,两式相减得,不满足.【考点】由得.3.数列中,=2,,则=().A.2+ln n B.2+ (n-1) ln n C.2+ n ln n D.1+n+ln n【答案】A【解析】所以得.故选A.【考点】迭加消元求和.4.已知数列{an }的通项公式an=,若前n项和为6,则n=_________.【答案】48【解析】试题分析:,;令,解得.【考点】数列的前项和.5.数列的前n项和记为,点(n,)在曲线()上(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)由与满足的关系式,由可求得的通项公式;(2)由一个等差数列和一个等比数列的乘积采用错位相减法求和的方法求数列的和.试题解析:(1)由条件得()当当也适合所以通项公式为:.(2)、2两式相减得,解得【考点】(1)由的表达式求数列的通项公式;(2)错位相减求和.6.若数列中,则其前项和取最大值时,__________.【答案】或【解析】令,则,又∵,∴当时,,,当时,,∴当取最大值时,或.【考点】数列的性质.7.已知数列的前n项和满足(1)写出数列的前3项、、;(2)求数列的通项公式;(3)证明对于任意的整数有【答案】(1)、、;(2);(3)见解析.【解析】(1)是考查已知递推公式求前几项,属于基础题,需注意的是S1=a1,需要先求出a1才能求出a2,这是递推公式的特点;(2)解答需要利用公式进行代换,要注意n=1和n≥2的讨论,在得到,可以利用叠加法求解;(3)解答需要在代换后,适当的变形,利用不等式放缩法进行放缩.试题解析:(1)由,得,由,得,由,得;(2)当时,,,……,经验证:也满足上式,所以,;(3)证明:由通项知当,且n 为奇数时当且m为偶数时,当且m为奇数时∴对任意有【考点】1、递推数列;2、放缩法.8.给定函数的图像如下列图中,经过原点和(1,1),且对任意,由关系式得到数列{},满足,则该函数的图像为()【答案】A【解析】由题意,知:,即在图中应该是满足的所有点,只有A选项正确.【考点】数列的基本概念.9.已知数列的前n项和为,,且(),数列满足,,对任意,都有。

高一数学数列试题及答案

高一数学数列试题及答案

高一数学数列试题及答案一、选择题1. 已知数列{a_n}是等差数列,且a_1=1,a_4=7,那么a_7的值为()。

A. 13B. 14C. 15D. 162. 等比数列{b_n}中,b_1=2,b_3=8,则b_5的值为()。

A. 16B. 32C. 64D. 1283. 数列{c_n}的前n项和为S_n,若S_5=15,S_10=35,则S_15的值为()。

A. 55B. 50C. 60D. 654. 数列{d_n}满足d_1=1,d_{n+1}=2d_n+1,求d_3的值为()。

A. 5B. 7C. 9D. 11二、填空题5. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,若S_3=9,S_6=21,则a_4+a_5+a_6的值为______。

6. 等比数列{b_n}中,b_1b_2b_3=8,b_2=2,则b_4的值为______。

7. 数列{c_n}满足c_1=2,c_{n+1}=c_n+n,求c_5的值为______。

三、解答题8. 已知数列{a_n}是等差数列,且a_1=2,a_3+a_5=22,求a_7的值。

9. 等比数列{b_n}中,b_1=3,b_2b_3=45,求b_5的值。

10. 数列{c_n}满足c_1=1,c_{n+1}=2c_n+1,求c_4的值。

答案:一、选择题1. C解析:已知等差数列{a_n},a_1=1,a_4=7,设公差为d,则有a_4=a_1+3d,即7=1+3d,解得d=2。

因此,a_7=a_1+6d=1+6×2=13。

2. C解析:已知等比数列{b_n},b_1=2,b_3=8,设公比为q,则有b_3=b_1q^2,即8=2q^2,解得q=2或q=-2。

由于等比数列的公比不能为负数,所以q=2。

因此,b_5=b_1q^4=2×2^4=64。

3. C解析:已知数列{c_n}的前n项和为S_n,S_5=15,S_10=35。

由于S_5,S_10-S_5,S_15-S_10构成等差数列,所以有2(S_10-S_5)=S_5+(S_15-S_10),即2×(35-15)=15+(S_15-35),解得S_15=60。

高一数列专项典型练习题及解析答案

高一数列专项典型练习题及解析答案

数列综合练习*),且{aN}是单调递增=f(n)(n∈1(a>0,a≠)1.已知函数f(x)=,数列{a}满足a nnn数列,则实数a的取值范围()A.[ 7,8)B.(1,8)C.(4,8)D.(4,7)2.设{a}的首项为a,公差为﹣1的等差数列,S为其前n项和,若S,S,S成等比数列,则a=()1nn4112D .﹣2 C.A.2 B.﹣n是等差数列{a}的前项和,若),则=(3.设S nn.D.﹣1C.2 A.1 B)4.阅读图的程序框图,该程序运行后输出的k的值为(D.8 6A.5 B.C.7)=0,则等于(nS为等比数列{a}的前项和,8a+a.设55nn2D.8﹣11 .5 C.﹣.A 1 1B(),.数列6{a}满足a=2aT=,其前n项积为,则T=2016nnn1D.A.B.C.1 ﹣1 ﹣)=aa=2a﹣a,=4﹣,则S(a项和为}7.已知数列{a的前nS,满足9n+16nn4nn+28 1D.4 C.9A. B 12 .1=66S,则)的值为(S=28Sn{a为等差数列.已知8S}的前项和,,911nn74 5D8 C45 .3..7 4.A B}.在等比数列9{a中,)(=a,则3n3 9 ±±C 9.B .A ..D 3)+a}中,4(a+a+a)+3(a+a+a)=36,那么该数列的前14项和为(10.在等差数列{a165614n3844 8 A.2 0 B.21 C.42 D.则S为其前n项和,若S,S,S成等比数列,a的值为_________的等差数列,11.设{a}是首项为a,公差为﹣11nn4121*),(n∈N12.某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度,设等级为n级需要的天数为a n等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数1 5 7 772 12 8 963 21 12 1924 32 16 3205 45 32 11526 60 48 2496则等级为50级需要的天数a=_________.5013.数列{a}为等比数列,a+a=1,a+a=﹣2,则a+a+a=_________.7253n34614.已知数列{a}中,a=2a,a=8,则数列{loga}的前n项和等于_________.nn+13nn215.已知数列{a}的前n项和为S,并满足a=2a﹣a,a=4﹣a,则S=_________.9n+16nn4nn+216.记等差数列{a}的前n项和为S,已知a+a=6,S=10.则a=_________.1024n4n17.设S是等比数列{a}的前n项和,S,S,S成等差数列,且a+a=2a,则m=_________.m23n65n9*n a.满足b∈nN=2),数列{b}{a18.已知数列}的前n项和S=﹣a﹣+2(nnnnnn(1)求证数列{b}是等差数列,并求数列{a}的通项公式;nn*且n≥3时,,证明:n∈NT>{(2)设数列a}的前n项和为T nnn*1nn*﹣,)设数列(3{c}∈N),问是否存在整数λ,使得对任意n∈λn(λ为非零常数,n)(﹣)c(满足a﹣3=1N nnn.>都有cc nn+119.在等差数列{a}中,a=3,其前n项和为S,等比数列{b}的各项均为正数,b=1,公比为q,且b+S=12,2n1nn21.(Ⅰ)求a与b;nn(Ⅱ)设c=a?b,求数列{c}的前n项和T.nnnnn20.已知等差数列{a}满足a+a=9,a+a=10;又数列{b}满足nb+(n﹣1)b+…+2b+b=S,其中S 是首nnn34n1nn2162﹣,公比为的等比数列的前n项和.项为1(1)求a的表达式;n(2)若c=﹣ab,试问数列{c}中是否存在整数k,使得对任意的正整数n都有c≤c成立?并证明你的结论.knnnnn2*∈NR),n﹣2n+q(p,q∈项和为21.已知等差数列{a}的前ns=pm nn(I)求q的值;(Ⅱ)若a=8,数列{b}}满足a=4logb,求数列{b}的前n项和.n2nn3n22.已知等比数列{a}满足a=2,且2a+a=a,a>0.n4n352(1)求数列{a}的通项公式;nn3a+2n+1,数列{b}的前项和为1(﹣)T,求T.=b2()设nnnnn23.已知有穷数列﹛a﹜共有2k(k≧2,k∈Z)项,首项a=2。

高中数学--数列大题专项训练(含详解)

高中数学--数列大题专项训练(含详解)

高中数学--数列大题专项训练(含详解)一、解答题(本大题共16小题,共192.0分)1.已知{}n a 是等比数列,满足12a =,且2a ,32a +,4a 成等差数列,数列{}n b 满足*1231112()23n b b b b n n N n+++⋅⋅⋅+=∈(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)设(1)()n n n n c a b =--,求数列{}n c 的前2n 项和2.n S 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且233.n n S a +=(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若32log n n n b a a +=⋅,求数列{}n b 的前n 项和.n T 3.在数列{}n a 中,111,(1n n n a a a c c a +==⋅+为常数,*)n N ∈,且1a ,2a ,5a 成公比不为1的等比数列.(1)求证:数列1{}na 是等差数列;(2)求c 的值;(3)设1n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和.n S4.在ABC 中,已知三内角A ,B ,C 成等差数列,且11sin().214A π+=()Ⅰ求tan A 及角B 的值;()Ⅱ设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且5a =,求b ,c 的值.5.在数列{}n a 中,11a =,11(1)(1)2nn n a a n n +=+++⋅(1)设n n a b n=,求数列{}n b 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和nS 6.已知数列的各项均为正数,前项和为,且()Ⅰ求证数列是等差数列;()Ⅱ设求7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立.(1)求1a ,2a 的值;(2)设10a >,数列110lg n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,当n 为何值时,n T 最大?并求出n T 的最大值.8.已知等差数列{}n a 的前四项和为10,且2a ,3a ,7a 成等比数列.(1)求通项公式na (2)设2n a nb =,求数列n b 的前n 项和.n S 9.已知在数列{}n a 中,13a =,1(1)1n n n a na ++-=,*.n N ∈(1)证明数列{}n a 是等差数列,并求n a 的通项公式;(2)设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ,证明:1.(126n T <分)10.已知函数2(1)4f x x +=-,在等差数列{}n a 中,1(1)a f x =-,232a =-,3().a f x =(1)求x 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式.n a 11.已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列,1a ,3a 是函数2()109f x x x =-+的两个零点.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足3log n n b a n =+,求数列{}n b 的前n 项和n S 。

高中数学《数列》100题(问题+答案)

高中数学《数列》100题(问题+答案)

数列一、单选题1.在ABC 中,AB,45C =︒,O 是ABC 的外心,若OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值是m ,数列{}n a 中,11a =,12n n a ma +=+,则{}n a 的通项公式为n a =()A .1231n -⋅-B .1322n -⋅-C .32n -D .1544n -⋅-2.将等比数列{}n b 按原顺序分成1项,2项,4项,…,12n -项的各组,再将公差为2的等差数列{}n a 的各项依次插入各组之间,得到新数列{}n c :1b ,1a ,2b ,3b ,2a ,4b ,5b ,6b ,7b ,3a ,…,新数列{}n c 的前n 项和为n S .若11c =,22c =,3134S =,则S 200=()A .3841117232⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B .3861113032⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C .3861117232⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D .38411302⎛⎫- ⎪⎝⎭3.在ABC 中,AB =,45C =︒,O 是ABC 的外心,若21OC AC ⋅-的最大值是m ,数列{}n a 中,11a =,12n n a ma +=+,则{}n a 的通项公式为n a =().A .1231n -⋅-B .1322n -⋅-C .32n -D .1544n -⋅-4.设数列{}n a 的通项公式为()()()*121cos 1N 2nn n a n n π=--⋅+∈,其前n 项和为n S ,则120S =()A .60-B .120-C .180D .2405.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足190S >,200S <,若数列{}n a 满足10m m a a +⋅<,则m =()A .9B .10C .19D .206.已知数列{}n a 的首项11a =,函数()()41cos 221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点,则通项n a =()A .13n -B .12n -C .21n -D .32n -7.等差数列{}n a 的首项为正数,其前n 项和为n S .现有下列命题,其中是假命题的有()A .若n S 有最大值,则数列{}n a 的公差小于0B .若6130a a +=,则使0n S >的最大的n 为18C .若90a >,9100a a +<,则{}n S 中9S 最大D .若90a >,9100a a +<,则数列{}n a 中的最小项是第9项8.已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+,存在两项m a ,n a使得14a =,则122n m n+++的最小值为()A.118+B .2615C .74D .28159.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足()2*12n n na S n N a +=∈,则下列说法正确的是()A .202120221a a ⋅<B .202120221a a ⋅>C.2022a <-D.2022a >10.数列{}n a 满足11a =,且对于任意的*N n ∈都有11n n a a a n +=++,则122015111a a a +++= ()A .10071008B .20151008C .1007504D .2015201611.在数列{}n a 中,12a =,22a =且21(1)(N )nn n a a n ++-=+-∈,100S =()A .0B .1300C .2600D .265012.童谣是一种民间文学,因为常取材于现实生活,语言幽默风趣、朗朗上口而使少年儿童易于接受,从而成为了重要的传统教育方式.有一首童谣中唱到:“玲珑塔上琉璃灯,沙弥点灯向上行.首层掌灯共三盏,明灯层层更倍增(意为:每上一层,灯的数量增加一倍).小僧掌灯到塔顶,心中默数灯几重.玲珑塔上灯火数,三百八十一盏明.灯映湖心点点红,但问塔顶几盏灯?”童谣中的玲珑塔的顶层灯的盏数为()A .96B .144C .192D .23113.已知无穷等比数列{}n a 中12a =,22a <,它的前n 项和为n S ,则下列命题正确的是()A .数列{}n S 是递增数列B .数列{}n S 是递减数列C .数列{}n S 存在最小项D .数列{}n S 存在最大项14.已知等差数列{}n a 中,前4项为1,3,5,7,则数列{}n a 前10项的和10S =()A .100B .23C .21D .1715.已知等差数列{}n a 中,其前5项的和525S =,等比数列{}n b 中,1132,8,b b ==则37a b =()A .54-或54B .54-C .45D .5416.在等比数列{}n a 中,已知对*n N ∈有1221n n a a a ++⋯+=-,那么22212n a a a ++⋯+=()A .2(21)n -B .21(21)3n -C .41n -D .1(41)3n-17.设等比数列{}n a 的各项均为正数,已知237881a a a a =,则267a a a +的最小值为()AB.C.D.18.已知等差数列{}n a 满足13512a a a ++=,10111224a a a ++=,则{}n a 的前13项的和为()A .12B .36C .78D .15619.设()n a Ω表示落在区间[],n n a 内的偶数个数.在等比数列{}n a n -中,14a =,211a =,则()4a Ω=()A .21B .20C .41D .4020.已知数列1,12-,14,18-,….则该数列的第10项为()A .1512-B .1512C .11024-D .1102421.有一个非常有趣的数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 叫做调和数列,此数列的前n 项和已经被研究了几百年,但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式.某数学探究小组为了探究调和数列的性质,仿照“杨辉三角”.将1,12,13,14, (1),…作为第一行,相邻两个数相减得到第二行,依次类推,得到如图所示的三角形差数列,则第2行的前100项和为()A .100101B .99100C .99200D .5010122.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1a ,2020a 满足12020OA a OB a OC =+,其中A 为OBC边BC 上任意一点,则2020S =().A .2020B .1010C .1020D .223.一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形,这样的数被称为三角形数.如图,根据前三个点阵图形的规律,第四个点阵表示的三角形数是()A .1B .6C .10D .2024.数列{}n a 的前4项为:1111,,,25811,则它的一个通项公式是()A .121n -B .121n +C .131n -D .131n +25.已知数列1,3-,5,7-,9,…,则该数列的第10项为()A .21-B .19-C .19D .2126.在等差数列{}n a 中,若47101102a a a ++=,则311a a +=()A .2B .4C .6D .827.等差数列{}n a 中,若14a =,公差2d =,则5a =()A .10B .12C .14D .22二、多选题28.在平面四边形ABCD 中,ABD △的面积是BCD △面积的2倍,又数列{}n a 满足12a =,当2n ≥时,恒有()()1122n nn n BD a BA a BC --=-++ ,设{}n a 的前n 项和为n S ,则()A .{}n a 为等比数列B .2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列C .{}n a 为等差数列D .()152210n n S n +=--29.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,121n n n S S a +=++,数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为*,n T n N ∈,则下列选项正确的为()A .数列{1}n a +是等差数列B .数列{1}n a +是等比数列C .数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D .1n T <30.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,若10911S S S <<,则()A .0d >B .10a >C .200S <D .210S >31.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知342,14a S ==,则()A .{}n a 是递增数列B .18a =C .523S a a =D .n S 的最小值为332.已知数列{}n a 中,13a =,()1*11N n na n a +=∈-,下列选项中能使3n a =的n 有()A .22B .24C .26D .2833.对任意数列{}n a ,下列说法一定正确的是()A .若数列{}n a 是等差数列,则数列{2}n a 是等比数列B .若数列{}n a 是等差数列,则数列{2}n a 是等差数列C .若数列{}n a 是等比数列,则数列{lg |}|n a 是等比数列D .若数列{}n a 是等比数列,则数列{lg |}|n a 是等差数列三、填空题34.在数列{}n a 及{}n b 中,1n n n a a b +=++,1n n n b a b +=+,11a =,11b =.设11n n nc a b =+,则数列{}n c 的前2018项和为_________35.已知数列{}n a 的通项为21n a n =-+,等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥且12b a =,则123...n b b b b ++++=________.36.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,…,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”,记为{}n F .利用下图所揭示的{}n F 的性质,则在等式()222220221220212022m F F F F F F -++⋅⋅⋅+=⋅中,m =______.37.将公差不为零的等差数列1a ,2a ,3a 调整顺序后构成一个新的等比数列i a ,j a ,k a ,其中{,,}{1,2,3}i j k =,试写出一个调整顺序后成等比数列的数列公比:_____.(写出一个即可).38.已知()f x 为R 上单调递增的奇函数,在数列{}n a 中,120a =,对任意正整数n ,()()130n n f a f a ++-=,则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为___________.39.给定正整数n 和正数b ,对于满足条件211n a a b +-=的所有无穷等差数列{}n a ,当1n a +=________时,1221n n n y a a a +++=+++ 取得最大值.40.在我国南宋数学家杨辉所著作的《详解九章算法》一书中,用如图所示的三角形(杨辉三角)解释了二项和的乘方规律,下面的数字三角形可以看做当n 依次取0、1、2、3、L 时()na b +展开式的二项式系数,相邻两斜线间各数的和组成数列{}n a ,例11a =,211a =+,312a =+,L ,设数列{}n a 的前n 项和为n S .若20243a m =+,则2022S =___________.41.已知数列{}n a 的前n 项和343n n nS -=,记n b =,则数列{}n b 的前n 项和n T =_______.42.现有一根长为81米的圆柱形铁棒,第1天截取铁棒长度的13,从第2天开始每天截取前一天剩下长度的13,则第5天截取的长度是______米.43.已知数列{}n a 满足112,,n n a a a n +==-则求100a =___________44.已知等差数列的前n 项和为n S ,且13140,0S S ><,则使n S 取得最大值的n 为__________.45.在等差数列{}n a 中,710132a a =+,则该数列的前7项和为_________.46.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,公比1q >,且21a +为1a 与3a 的等差中项,314S =.若数列{}n b 满足2log n n b a =,其前n 项和为n T ,则n T =_________.47.已知数列{}n a 是递增数列,且满足121n n a a +=+,且1a 的取值范围是___________.48.已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则lim nn nS a →∞=__________.49.已知数列{}n a 的首项12a =,且对任意的*n N ∈,都有122nn n a a a +=+,则lim n n a →+∞=______.50.数列{}n a 满足12a =,2111a a =-,若对于大于2的正整数n ,111n n a a -=-,则102a =__________.51.若n a 为()1nx +的二项展开式中2x 项的系数,则2limnn a n →+∞=_________.52.联合国教科文组织将3月14日确定为“国际数学日”,是因为3.14是圆周率数值最接近的数字.我国数学家刘徽首创割圆术,所谓“割圆术”,是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.步骤是:第1步,计算圆内接正六边形的周长;第2步,计算圆内接正12边形的周长;第3步,计算圆内接正24边形的周长;以此类推,第6步,需要计算的是正______边形的周长.53.已知数列{}n a 满足11n nna a +=+,且46a =,则1a =___________.54.已知无穷数列{}n a 满足12a =,25a =,318a =,写出{}n a 的一个通项公式:______.(不能写成分段函数的形式)55.数列{}n a 的前几项和为n S ,且111,2n n a a a +==,则,4S =__________.56.若等差数列{}n a 满足202220221a a a =+=,则1a 的值为___________.57.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2022这2022个数中,能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{}n a ,则此数列的项数为__________.58.已知数列{}n a 中,11a =,13n n a a +=-,则5S =_________四、解答题59.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S 满足12311111n n S S S S n +++⋯+=+,*N n ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足22na nb =,记n T 为数列{}n b 的前n 项和,()x Ω表示x 除以3的余数,求()21n T +Ω.60.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,52a ,4a ,64a 成等差数列,且满足2434a a =,数列{}n S 的前n 项之积为n b ,且121n nS b +=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)设21n n n n n b a d b b ++⋅=⋅,若数列{}n d 的前n 项和n M ,证明:71303n M ≤<.61.若有穷数列A :1a ,2a ,…,()*,3n a n n ∈≥N ,满足()1121,2,,2i i i i a a a a i n +++-≤-=- ,则称数列A 为M 数列.(1)判断下列数列是否为M 数列,并说明理由;①1,2,4,3②4,2,8,1(2)已知M 数列A :1a ,2a ,…,9a ,其中14a =,27a =,求349a a a +++ 的最小值.(3)已知M 数列A 是1,2,…,n 的一个排列.若1112n k k k a a n -+=-=+∑,求n 的所有取值.62.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且211122n S n n =++,*N n ∈.(1)求{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足11223113322n n n b b b a a a ++++⋅⋅⋅+=⨯-,*N n ∈,求数列{}n b 的前n 项和n T .63.已知数列{}n a 满足12a =,{}n a 的前n 项和为n S ,()()121n n a S n n ++=++∈N ,令1n n b a =+.(1)求证:{}n b 是等比数列;(2)记数列{}n nb 的前n 项和为n T ,求n T ;(3)求证:123111156n a a a a ++++<L .64.对于有限数列()12:3n A a a a n ≥ ,,,,如果()12121ni a a a a i n n +++<=- ,,,,则称数列A 具有性质P .(1)判断数列1:2323A ,,,和2:3456A ,,,是否具有性质P ,并说明理由;(2)求证:若数列12:n A a a a ,,,具有性质P ,则对任意互不相等的{}12i j k n ∈ ,,,,,,有i j k a a a +>;(3)设数列122022:A a a a ,,,具有性质P ,每一项均为整数,()1122021i i a a i +≠= ,,,,求122022a a a +++ 的最小值.65.已知数列{}n a 满足11a =,1,,2,.n n n a n a a n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数(1)令2n n b a =,求1b ,2b 及{}n b 的通项公式;(2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .66.已知集合(Z 是整数集,m 是大于3的正整数).若含有m 项的数列{}n a 满足:任意的,i j M ∈,都有i a M ∈,且当i j ≠时有i j a a ≠,当i m <时有12i i a a +-=或13i i a a +-=,则称该数列为P 数列.(1)写出所有满足5m =且11a =的P 数列;(2)若数列{}n a 为P 数列,证明:{}n a 不可能是等差数列;(3)已知含有100项的P 数列{}n a 满足5105100,,,,,(1,2,3,,20)k a a a a k = 是公差为(0)d d >等差数列,求d 所有可能的值67.设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S S n +-=+(N n *∈),且11a =.(1)求证:数列{}1n a +是等比数列;(2)若()22log 1nn n b a =⋅+,求数列{}n b 的前n 项和nT 68.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知13n n a a +=,且3431S S +=.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设()()311log 3n n n b a n a =++,求数列{}n b 的前n 项和n T.69.(1)已知数列{}n a 是正项数列,12a =,且2211122n n n n n n a a a a a a +++-+=+.求数列{}n a 的通项公式;(2)已知数列{}n a 满足12a =,28a =,2143n n n a a a ++=-.求数列{}n a 的通项公式.70.已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式:21n a n =-,2n n b =(1)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .(2)求数列211n n n n a a a b +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .71.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =,且1a ,2a ,4a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若11n n b S +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:12n T <.72.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()()647n n n S a a =-+.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设1133nn nn n n a a b a a ++-=⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .73.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==.数列{}n n a b +是公差为q 的等差数列,数列{}n n a b 是公比为q 的等比数列,,n n a b n *≥∈N .(1)若1q =,求数列{}n a 的通项公式;(2)若01q <<,证明:12231,1n n qa b a b a b n q*++++<∈-N .74.已知数列{an }对任意的n ∈N *都满足312233333n n a a a a n ++++= .(1)求数列{an }的通项公式;(2)令bn =3413431log log n n a a -+,求数列{bn }的前n 项和为Tn .75.已知数列{}n a 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数n ,都有23333123123()n n a a a a a a a a ++++=++++ .(1)写出数列的前三项(请写出所有可能的结果);(2)是否存在满足条件的无穷数列{}n a ,使得20172016a =-?若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由;(3)记n a 的所有取值构成的集合为n A ,求集合n A 中所有元素之和.(结论不要求证明)76.已知数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,且22b =,34b =,11a b =,851a b +=.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式;(2)设11n n n a c b ++=,数列{}n c 的前n 项和为n S ,求n S .77.设各项均不等于零的数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1114,42n n n a S a a a +=+=.(1)求23,a a 的值,并求数列{}n a 的通项公式;(2)证明:1211121n nS S S a +++<- .78.已知{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,且22b =,516b =,112a b =,34a b =.(1)求{}n a 、{}n b 的通项公式;(2)设n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和n S .79.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且31a =,67S =;数列{}n b 满足11222n n b b b ++++=- .(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)记tan()n n n c b a π=⋅,求数列{}n c 的前3n 项和.80.已知数列{an }的前n 项和为n S ,*1(N )22n n a n S -∈=,数列{bn }满足b 1=1,点P(bn ,bn +1)在直线x ﹣y +2=0上.(1)求数列{an },{bn }的通项公式;(2)令n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和Tn ;(3)若0λ>,求对所有的正整数n 都有222nnb k a λλ-+>成立的k 的取值范围.81.已知等比数列{}n a 的公比1q >,且45656a a a ++=,54a +是4a ,6a 的等差中项.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)数列{}1n n a a λ+-的前n 项和为n S ,若()*21n n S n =-∈N ,求实数λ的值.82.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若n n S na =,且246601860S S S S ++++= ,求1a .83.已知{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列,()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)记{}n a 的前n 项和为n S ,求证:()221n n n S S S n N *++<∈;(3)对任意的正整数n ,设()21132,,,,n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和.84.在数列{}n a 中,()*112,21n n a a a n n +==-+∈N ,数列{}n a 的前n 项和为n S .(1)证明:数列{}n a n -是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式;(2)求n S .85.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对任意的正整数n ,都有23n n S a n =-.(1)求{}n a 的通项公式;(2)求数列{(1)}n n a +⋅的前n 项和n T .86.已知数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,且111a b ==,322b b =,441a b +=.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式;(2)设11n n n a c b ++=,数列{}n c 的前n 项和为n S ,若不等式12n n nS λ-<+对任意的n *∈N 恒成立,求实数λ的取值范围.87.甲、乙两人同时分别入职,A B 两家公司,两家公司的基础工资标准分别为:A 公司第一年月基础工资数为3700元,以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元;B 公司第一年月基础工资数为4000元,以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍.(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量(精确到1元)(2)设甲、乙两人入职第n 年的月基础工资分别为n a 、n b 元,记n n n c a b =-,讨论数列{}n c 的单调性,指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资,并说明理由.88.已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10,且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项.(1)求,n n a b ;(2)设22121n n n n n c b a a ++=+⋅,求{}n c 的前n 项和n S .89.治理垃圾是改善环境的重要举措.A 地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨,当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作,通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施,预计从2020年开始的连续5年,每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨,从第6年开始,每年需要焚烧垃圾量为上一年的75%(记2020年为第1年).(1)写出A 地每年需要焚烧垃圾量与治理年数()*n n N∈的表达式;(2)设n A 为从2020年开始n 年内需要焚烧垃圾量的年平均值....,证明数列{}n A 为递减数列.90.已知{}n a 是公差不为0的等差数列,{}n b 是等比数列111a b ==,22a b =,3342a b a +=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)记,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数,求数列{}n c 的前2n 项和2n T .91.已知{}n a 是递增的等差数列,13a =,且13a ,4a ,1a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求证:11156n T ≤<.92.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且126a =-,1215S S =.(1)求{}n a 的通项公式;(2)求数列{}2nn a -的前n 项和n T .93.设数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为n S .(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件,求{}n a 的通项公式;①{}11,2n a S =-是等比数列;②233421,61S a S a =+=+.(2)在(1)的条件下,若31n n b a -=,求数列{}n b 的前n 项和n T .注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分.94.已知{}n a 是等比数列,0n a >,1329a a a =,12312323a a a ++=.(1)求{}n a 的通项公式;(2)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,求使得1n n S na +≥的正整数n 的所有取值.95.已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+,若数列{}n a 为递增数列,求λ的取值范围.96.设{}{}n n a b 、是两个数列,()()12122n n n n M A a B n n -⎛⎫⎪⎝⎭,,,,,为直角坐标平面上的点.对*N n n n M A B ∈,、、三点共线.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足:1122212log n nn na b a b a b c a a a +++=+++ ,其中{}n c 是第三项为8,公比为4的等比数列.求证:点列()()()11221,2,,n n P b P b P n b 、、、在同一条直线上;(3)记数列{}{}n n a b 、的前m 项和分别为m A 和m B ,对任意自然数n ,是否总存在与n 相关的自然数m ,使得n m n m a B b A =若存在,求出m 与n 的关系,若不存在,请说明理由.97.已知等差数列{}n a 满足:47a =,1019a =,其前n 项和为.n S (1)求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ;(2)若n b ={}n b 的前n 项和n T .98.在等差数列{}n a 中,已知1210a a +=,34530a a a ++=.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n n a b +是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{}n b 的前n 项和n S .五、双空题99.“一尺之棰,日取其半,万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》,其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段AB ,取AB 的中点C ,以AC 为边作等边三角形(如图①),该等边三角形的面积为1S ,在图①中取CB 的中点1C ,以1CC 为边作等边三角形(如图②),图②中所有的等边三角形的面积之和为2S ,以此类推,则3S =___________;1nii iS==∑___________.100.已知[]x 表示不超过x 的最大整数,例如:[]2.32=,[]1.72-=-.在数列{}n a 中,[]lg n a n =,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则2022a =______;2022S =______.参考答案:1.A 【解析】【分析】先由正弦定理得到2sin b B =,02b <≤2211122a b =+-,由向量数量积的几何意义,得22122b AC OC AC =⋅= ,22122CB OC CB a ⋅=-=- ,进而计算出3m =,再使用构造法求解通项公式【详解】设BC a =,AC b =,AB c =,则在ABC 中,由正弦定理sin sin c bC B=及c 45C =︒,得2sin b B =,∵0180B ︒<<︒,∴0sin 1B <≤,∴02b <≤.在ABC 中,由余弦定理及2222cos c a b ab C =+-及c =45C =︒,2211122a b =+-.因为O 是ABC 的外心,所以O 在线段AC ,CB 上的射影为相应线段的中点,由向量数量积的几何意义,得22122b AC OC AC =⋅=,22122CBOC CB a ⋅=-=- ,()OC AB CA CB OC AC CB CA CB OC AC OC CB CA CB⋅+⋅=⋅++⋅=⋅+⋅+⋅ 222222211111111222222b a b a a b b =-+=-++-=-.∵02b <≤,∴2113b -<-≤,所以OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为3.即3m =.由132n n a a +=+,得()1131n n a a ++=+.所以数列{}1n a +是首项112a +=,公比为3的等比数列.所以1123n n a -+=⨯,即1231n n a -=⨯-.故选:A 【点睛】构造法求解数列的通项公式,是经常考查的知识点,要结合递推数列的结构特点,选择合适的方法进行构造,常见的构造类型有()11n n a pa q p +=+≠和()11nn n a pa q p +=+≠等.2.A 【解析】【分析】由已知求得等比数列的首项和公比,以及等差数列的首项,再求得数列{}n c 的前200项中含有数列{}n a 的前7项,含有数列{}n b 的前193项,运用分组求和的方法可求得答案.【详解】解:由已知得11b =,12a =,2331214b c S c c ==--=,等比数列{}n b 的公比14q =.令21122221nn n T -=++++=- ,则663T =,7127T =,8255T =所以数列{}n c 的前200项中含有数列{}n a 的前7项,含有数列{}n b 的前193项,故()()20012181292S b b b a a a =+++++++ 1933841176112472172123214⎛⎫- ⎪⎡⎤⨯⎛⎫⎝⎭=++⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⨯.故选:A .3.A 【解析】【分析】设AC b =,AB c =,由正余弦定理可得2sin b B =,结合三角形外心性质、向量数量积的几何意义求得21OC AC ⋅-的最大值为3,进而可得()1131n n a a ++=+,利用等比数列的定义写出通项公式.【详解】设AC b =,AB c =,在ABC 中,由sin sin c bC B=及c =45C =︒,得2sin b B =,∵0180B ︒<<︒,则0sin 1B <≤,∴02b <≤.因为O 是ABC 的外心,所以O 在线段AC ,CB 上的射影为相应线段的中点,由向量数量积的几何意义,得222111OC AC AC b ⋅-=-=- ,而2113b -<-≤,所以21OC AC ⋅-的最大值为3.即3m =.由132n n a a +=+,得()1131n n a a ++=+.所以数列{}1n a +是首项112a +=,公比为3的等比数列.所以1123n n a -+=⨯,即1231n n a -=⨯-.故选:A 4.D 【解析】【分析】分别取43n k =-,42k -,41k -和4k ,*k N ∈,可验证出43424148k k k k a a a a ---+++=,利用周期性可验算得到结果.【详解】当43n k =-,*N k ∈时,cos 02n π=,431k a -=;当42n k =-,*N k ∈时,1os 2c n π=-,()()4224211186k a k k -=⨯--⨯-+=-+⎡⎤⎣⎦;当41n k =-,*N k ∈时,cos 02n π=,411k a -=;当4n k =,*N k ∈时,cos12n π=,424118k a k k =⨯-+=.()4342414186188k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=,12012082404S ∴=⨯=.故选:D 5.B 【解析】【分析】根据给定条件,利用等差数列的前n 项和结合等差数列性质,求出异号的相邻两项即可作答.【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,则1191910191902a a S a +=⨯=>,有100a >,1202010112010()02a a S a a +=⨯=+<,有11100a a <-<,显然数列{}n a 是递减的,且10110a a ⋅<,因10m m a a +⋅<,所以10m =.故选:B 6.C 【解析】【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数,由此可确定唯一零点为0x =,从而得到递推关系式;利用递推关系式可证得数列{}1n a +为等比数列,由等比数列通项公式可推导得到n a .【详解】()()()()()()4411cos 221cos 221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+= ,()f x ∴为偶函数,图象关于y 轴对称,()f x ∴的零点关于y 轴对称,又()f x 有唯一零点,()f x ∴的零点为0x =,即()()10210n n f a a +=-+=,121n n a a +∴=+,即()1121n n a a ++=+,又112a +=,∴数列{}1n a +是以2为首项,2为公比的等比数列,12n n a ∴+=,则21n n a =-.故选:C.【点睛】关键点点睛:本题考查函数与数列的综合应用问题;解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为0x =,从而结合零点确定数列的递推关系式,由递推关系式证得数列{}1n a +为等比数列.7.B 【解析】【分析】由n S 有最大值可判断A ;由6139100a a a a +=+=,可得90a >,100a <,利用91018182+=a a S 可判断BC ;90a >,9100a a +<得90a >,991010a a a a =<-=,可判断D.【详解】对于选项A ,∵n S 有最大值,∴等差数列{}n a 一定有负数项,∴等差数列{}n a 为递减数列,故公差小于0,故选项A 正确;对于选项B ,∵6139100a a a a +=+=,且10a >,∴90a >,100a <,∴179=170S a >,910181802a a S +=⨯=,则使0n S >的最大的n 为17,故选项B 错误;对于选项C ,∵90a >,9100a a +<,∴90a >,100a <,故{}n S 中9S 最大,故选项C 正确;对于选项D ,∵90a >,9100a a +<,∴90a >,991010a a a a =<-=,故数列{}n a 中的最小项是第9项,故选项D 正确.故选:B.8.B 【解析】【分析】根据等比数列的知识求得,m n 的关系式,结合基本不等式求得122n m n+++的最小值.【详解】因为7652a a a =+,所以2q =或1q =-,又0n a >,所以2q =.14a =14a =,所以6m n +=,则()28m n ++=,()2121212112282m n n m n m n m n +++⎛⎫+=++=⋅++ ⎪+++⎝⎭()22121822m m n n m n m n +⎡⎤+=+++⎢⎥++⎣⎦()22113131828m n m n ⎛+⎛⎫ =+++≥++ ⎪ +⎝⎭⎝118+=,由()222m nm n+=+可得取等号时)2n m =+,但,m n *∈N ,无解;又6m n +=,经检验1m =且5n =时有最小值2615.故选:B 9.A 【解析】【分析】根据()2*1n n na S n N a +=∈求出1a 的值,判断数列{}2n S 是等差数列,求出n S 的通项公式,再求出n a ,然后逐个分析判断即可【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足()2*12n n na S n N a +=∈,所以当1n =时,()211*112a S n N a +=∈,解得11a =或11a =-,当2n ≥时,()2111112n n n n n n n n n a S a S S a a S S --+==+=-+-,整理得2211n n S S --=,所以数列{}2nS 是以1为公差的等差数列,当11a =±时,21(1)n S n n =+-=,所以=n S 或n S=所以1-=-=n n n a S S 11a =满足此式,或1n n n a S S -=-=11a =-满足此式,所以2022a =或2022a =,所以CD 错误,当=n a20212022a a ⋅=1<,当n a =20212022a a ⋅=1<,所以A 正确,B 错误,故选:A 10.B 【解析】【分析】先利用累加法求得数列{}n a 的通项公式,再利用裂项相消法去求122015111a a a +++ 的值.【详解】由11a =,11n n a a a n +=++,可得11n n a a n +-=+则2n ≥时,()()11232211()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+ ()1321(1)2nn n n =+-++++=+ 又11122a ==⨯,则数列{}n a 的通项公式为(1)2n n a n =+则()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭则122015111a a a +++ 1111111201522112232015201620161008⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎣=⎭⎦ 故选:B 11.D 【解析】【分析】分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论,再利用分组求和法及等差数列前n 项和的公式,即可得出答案.【详解】解:当n 为奇数时,20n n a a +-=,所以数列{}n a 的奇数项是以0为公差的等差数列,当n 为偶数时,22n n a a +-=,所以数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列,所以2,,n n a n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数,所以()()10050210025024610010026502S +=⨯+++++=+=L .故选:D.12.C 【解析】【分析】由条件可得玲珑塔的灯盏数从首层到顶层为等比数列,由条件列方程求玲珑塔的顶层灯的盏数.【详解】由题意可得玲珑塔的灯盏数从首层到顶层为等比数列,设其首层为1a ,公比q ,顶层为n a ,前n 项和为n S 由已知可得13a =,2q =,381n S =,由等比数列的前n 项和公式可得132********n nn a a q a a q --==-=--,所以192n a =.故玲珑塔的顶层灯的盏数为192,故选:C.13.C 【解析】【分析】对AB ,举公比为负数的反例判断即可对CD ,设等比数列{}n a 公比为q ,分0q >和0q <两种情况讨论,再得出结论即可【详解】对AB ,当公比为12-时,2311,,2a a =-=此时12332,1,2S S S ===,此时{}n S 既不是递增也不是递减数列;对CD ,设等比数列{}n a 公比为q ,当0q >时,因为22a <,故22q <,故01q <<,此时()2122111n nn q q S qq q-==----,易得n S 随n 的增大而增大,故{}n S 存在最小项1S ,不存在最大项;当0q <时,因为22a <,故22q -<,故10q -<<,2211nn q S q q =---,因为1q <,故当n 为偶数时,2211nn q S q q =---,随着n 的增大而增大,此时222111nn q S q q q =-<---无最大值,当2n =时有最小值222S q =+;当n 为奇数时,2211nn q S q q=+--,随着n 的增大而减小,故222111nn q S q q q=+>---无最小值,有最大值12S =.综上,当0q <时,因为22221q q +<<-,故当2n =时有最小值222S q =+,当1n =时有最大值12S =综上所述,数列{}n S 存在最小项,不一定有最大项,故C 正确;D 错误故选:C 14.A 【解析】【分析】先求出公差,再由等差数列求和公式求解即可.【详解】设公差为d ,则312d =-=,则1010910121002S ⨯=⨯+=.故选:A.15.D 【解析】【分析】由等差数列求和公式求出35a =,由等比数列通项公式基本量计算得到公比,进而求出6714b b q ==,从而求出结果.【详解】由题意得:()155355252a a S a +===,解得:35a =,设等比数列{}n b 的公比是q ,因为1132,8b b ==,所以1228q =,解得:124q =,显然60q >,所以62q =,所以6714b b q ==,所以3754a b =故选:D 16.D 【解析】【分析】利用“1n =时,11a S =;当2n时,1n n n a S S -=-”即可得到n a ,进而得到数列2{}n a 是等比数列,求出公比和首项,再利用等比数列的前n 项和公式即可得出.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,1221n n n S a a a =++⋯+=- ,∴当2n 时,1112121n n n S a a a ---=++⋯+=-,111222n n n n n n a S S ---∴=-=-=.∴2122221(2)4(2)n n n n a a ---==,当1n =时,11211a =-=,21221a a +=-,解得22a =,22214a a =.也符合2214n n a a -=,∴数列2{}n a 是等比数列,首项为1,公比为4.∴22212411(41)413n n na a a -++⋯+==--.故选:D 17.C 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >,根据题意得到2673339q a a qa +=+,结合基本不等式,即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >,因为23784581a a a a a ==,所以53a =,又因为235553326739,a a a a a q a q q q q===⋅=,所以3267339q a a q a +=+≥=当且仅当3339q q =时,即613q =时,等号成立,所以267a a a +的最小值为.故选:C.18.C 【解析】【分析】利用已知等式可求得等差数列的公差d 和首项1a ,由等差数列求和公式可求得结果.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ,13512a a a ++= ,10111224a a a ++=,()1011121352412a a a a a a d ∴++-++==,解得:12d =,135********a a a a d a ∴++=+=+=,解得:13a =,{}n a ∴的前13项的和为11312131213397824a d ⨯⨯+=+=.故选:C.19.C 【解析】【分析】设{}n a n -的公比为q ,根据1a 和2a 求出q ,从而得n a 和4a ,再根据()n a Ω的定义可求出结果.【详解】设{}n a n -的公比为q ,则2121123141a q a --===--,所以111(1)(41)33n n n n a n a q---=-⋅=-⋅=,则3n n a n =+,所以445438a =+=.所以落在区间[]4,85内的偶数共有41个,故()441a Ω=.故选:C 20.A 【解析】【分析】根据规律可得数列通项,再求其中的项即可.【详解】通过观察可知该数列的通项公式为()1112n n n a +--=,所以()11109112512a -==-.故选:A 21.A 【解析】【分析】利用裂项相消法求和即可;【详解】解:由题可知,第2行的前100项和10011111261210012010S +++++⨯= 1111111100122334100101101=-+-+-++-= .故选:A 22.B 【解析】【分析】根据三点共线可得120201a a +=,结合等差数列的前n 项和公式求解.∵,,A B C 三点共线且12020OA a OB a OC =+,则120201a a +=∴()120202020202010102a a S +==故选:B .23.C 【解析】【分析】根据规律求得正确答案.【详解】根据规律可知,第四个点阵表示的三角形数为:123410+++=.故选:C 24.C 【解析】【分析】根据规律可得结果.【详解】将1111,,,25811可以写成1111,,,311321331341⨯-⨯-⨯-⨯-,所以{}n a 的通项公式为131n -;故选:C 25.B 【解析】【分析】由数列的前几项可得数列的一个通项公式,再代入计算可得;【详解】解:依题意可得该数列的通项公式可以为()()1121n n a n +=-⋅-,所以1019a =-.故选:B 26.D 【解析】根据等差数列的下标和性质即可解出.【详解】因为4710771110222a a a a a +=+=+,解得:74a =,所以311728a a a +==.故选:D .27.B 【解析】【分析】根据等差数列的性质直接计算即可.【详解】由等差数列的性质可知:51444212a a d =+=+⨯=;故选:B.28.BD 【解析】【分析】连AC 交BD 于E ,根据面积关系推出2AE EC =,根据平面向量知识推出BE = 1233BA BC +,结合()()1122n n n n BD a BA a BC --=-++ ,推出1122(2)n n n n a a --+=-,11222nn n n a a ---=-,求出232nn a n =-+,(23)2n n a n =-+⋅,根据等比数列的定义可判断A ;根据等差数列的定义可判断C ,根据数列的单调性可判断B ;利用错位相减法求出n S ,可判断D.【详解】如图,连AC 交BD 于E ,则1sin 21sin 2ABD BD AE AEB S S BD EC CED ⋅⋅=⋅⋅△△BCD ÐÐ=2AEEC=,即2AE EC =,所以2AE EC =,所以()2BE BA BC BE -=- ,所以BE = 1233BA BC +,设BD tBE =(1)t >,因为当2n ≥时,恒有()()1122n nn n BD a BA a BC --=-++ ,所以()()111122n nn n BE a BA a BC t t--=-++ ,()()1111231223n n n na t a t--⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,所以当2n ≥时,恒有1122(2)n n n n a a --+=-,所以11222n n n n a a --=-,即11222n n n n a a ---=-,又12a =,所以112a =,所以12(1)232nn a n n =--=-+,所以(23)2n n a n =-+⋅,因为11(21)242(23)223n n n n a n n a n n ++-+⋅-+==-+⋅-+不是常数,所以{}n a 不为等比数列,故A 不正确;因为11(21)(23)2022n n n n a a n n ++-=-+--+=-<,即1122n n n n a a ++<,所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列,故B 正确;因为1n n a a +-=1(21)2(23)2n n n n +-+⋅--+⋅=(21)2n n --⋅不是常数,所以{}n a 不为等差数列,故C 不正确;因为12312(1)2(3)2(23)2nn S n =⨯+-⋅+-⋅++-+⋅ ,所以2341212(1)2(3)2(23)2n n S n +=⨯+-⋅+-⋅++-+⋅ ,所以12341122(2222)(23)2n n n S n +-=⨯-++++--+⋅ ,所以114(12)22(23)212n n n S n -+--=-⨯--+⋅-110(52)2n n +=--⋅,所以1(52)210n n S n +=-⋅-,故D 正确.故选:BD 29.BCD【解析】【分析】由题知121n n a a +=+,进而得数列{1}n a +是首项为2,公比为2的等比数列,再结合通项公式和裂项求和求解即可.【详解】由121n n n S S a +=++得1121n n n n a S S a ++=-=+,即121n n a a +=+所以112(1)n n a a ++=+,由111S a ==,所以数列{1}n a +是首项为2,公比为2的等比数列,故A 错误,B 正确;所以12nn a +=,即21n n a =-,故C 正确;又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----,所以22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------,故D 正确.故选:BCD 30.AD 【解析】【分析】对AB ,根据通项n a 与n S 的关系可得100a <,110a >即可判断;对CD ,根据等差数列前n 项和的公式,结合等差数列的性质判断即可【详解】因为109S S <,1011S S <,所以109100S S a -=<,1110110a S S =>-,故等差数列首项为负,公差为正,所以0d >,10a <,故A 正确,B 错误;由911S S <,可知11910110S S a a -=+>,所以()()20120101110100S a a a a =+=+>,故C 错误;因为110a >,所以2111210S a =>,故D 正确.故选:AD 31.BCD 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,再根据n S 与n a 的公式可得d ,进而求得n S 与n a 的通项公式,再逐个判定即可【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则11224614a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得183a d =⎧⎨=-⎩,故311n a n =-+,()()311819232n n n S n n ==-+-.故{}n a 是递减数列,A 错误;18a =,B 正确;()535191250S -⨯==,235210a a =⨯=,故C 正确;()1932n n n S =-,当1,2,3...6n =时,()1932n n n S -=,因为函数()193y x x =-的对称轴为196x =,开口向下,故当6n =时,n S 取得最小值()66193632S -⨯==;当7,8,9...n =时,()3192n n n S -=,函数()319y x x =-的对称轴为196x =,开口向上,故当7n =时,nS 取得最小值()77371972S ⨯-==,综上有n S 的最小值为3,故D 正确;故选:BCD 32.AD 【解析】【分析】由递推公式可得数列为周期数列,即得答案.【详解】解:因为13a =,()1*11N n na n a +=∈-,所以23412,,323a a a =-==,所以数列{}n a 是周期为3的数列,所以132(N )n a a n *-=∈,故122283a a a ===.故选:AD.33.AD 【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的定义逐一判断可得选项.【详解】。

最全的高中数学数列练习题_附答案与解析

最全的高中数学数列练习题_附答案与解析
解析:同一平面内两条直线若不平行则一定相交,故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相
交,∴ f( k) = f( k- 1) + ( k- 1) .
由 f( 3) = 2,
f( 4) = f( 3) + 3= 2+ 3= 5,
f( 5) = f( 4) + 4= 2+ 3+ 4= 9, ……
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∴ S13= 13( a1+a13 ) = 13( a4+a10 ) = 13 4 = 26.
2
2
2
15.- 49.
解析:∵ d= a6- a5=- 5,
∴ a4+ a5+…+ a10
= 7( a4+a10 ) 2
= 7( a5-d+a5+5d) 2
= 7( a5+ 2d)
=- 49.
16. 5, 1 ( n+1)( n- 2) . 2
4. C
解析:
解法 1:设 a1= 1 , a2= 1 + d, a3= 1 + 2d, a4= 1 + 3d,而方程 x2- 2x+ m= 0 中两根之和为 2, x2
4
4
4
4
-2x+ n= 0 中两根之和也为 2,
∴ a1+ a2+ a3+ a4=1+ 6d= 4,
∴ d= 1 , a1= 1 , a4= 7 是一个方程的两个根, a1= 3 , a3= 5 是另一个方程的两个根.
∴ d=- 1, q2= 2,
∴ a2 a1 = d = 1 .
b2
q2
2
10. C
解析:∵ { an} 为等差数列,∴ an2 =an -1+ an+1,∴ an2 = 2an,
又 an≠ 0,∴ an= 2, { an} 为常数数列,
而 an= S2n 1 ,即 2n- 1= 38 = 19,

高中数学《数列求和与综合问题》专项练习题(含答案解析)

高中数学《数列求和与综合问题》专项练习题(含答案解析)

高中数学《数列求和与综合问题》专项练习题(含答案解析)一、选择题1.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n +1=3S n (n ≥1),则a 6=( ) A .3×44 B .3×44+1 C .44D .44+1A [因为a n +1=3S n ,所以a n =3S n -1(n ≥2), 两式相减得,a n +1-a n =3a n ,即a n +1a n=4(n ≥2),所以数列a 2,a 3,a 4,…构成以a 2=3S 1=3a 1=3为首项,公比为4的等比数列,所以a 6=a 2·44=3×44.]2.已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,若a 1a 2a 3=15,且3S 1S 3+15S 3S 5+5S 5S 1=35,则a 2等于( ) A .2B .12C .3D .13C [∵在等差数列中,S 2n -1=(2n -1)a n ,∴S 1=a 1,S 3=3a 2,S 5=5a 3,∴35=1a 1a 2+1a 2a 3+1a 1a 3,∵a 1a 2a 3=15,∴35=a 315+a 115+a 215=a 25,即a 2=3.]3.已知数列{b n }满足b 1=1,b 2=4,b n +2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+sin 2n π2b n +cos 2n π2,则该数列的前23项的和为( )A .4 194B .4 195C .2 046D .2 047A [当n 为偶数时,b n +2=⎝⎛⎭⎪⎫1+sin 2n π2b n +cos 2n π2=b n +1,有b n +2-b n =1,即偶数项成等差数列,所以b 2+b 4+…+b 22=11b 2+11×102×1=99.当n 为奇数时,b n +2=2b n ,即奇数项成等比数列,所以b 1+b 3+…+b 23=b 11-2121-2=212-1=4 095.所以该数列的前23项的和为99+4 095=4 194,故选A .]4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=1,a n +a n +1=2n +1,则S 2 0192 019=( )A .1 010B .1 009C .2 020D .2 019A [S 2 019=a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 2 018+a 2 019), =(2×0+1)+(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2 018+1), =1+2×2 018+11 0102=2 019×1 010,∴S 2 0192 019=1 010,故选A .]5.已知数列{a n }的前n 项和S n =2+λa n ,且a 1=1,则S 5=( ) A .27 B .5327C .3116D .31C [∵S n =2+λa n ,且a 1=1,∴S 1=2+λa 1, 即λ=-1,∴S n =2-a n ,当n ≥2时,S n =2-(S n -S n -1),∴2S n =2+S n -1,即S n =12S n -1+1,∴S n -2=12(S n -1-2),∴S n -2=(-1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1.当n =1时也满足.∴S 5=2-⎝ ⎛⎭⎪⎫124=3116.故选C .]6.设曲线y =2 018x n +1(n ∈N *)在点(1,2 018)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n =log 2 018x n ,则a 1+a 2+…+a 2 017的值为( )A .2 018B .2 017C .1D .-1D [因为y ′=2 018(n +1)x n ,所以切线方程是y -2 018=2 018(n +1)(x -1),所以x n =nn +1,所以a 1+a 2+…+a 2 017=log 2 018(x 1·x 2·…·x 2 017)=log 2 018⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×…×2 0172 018=log 2 01812 018=-1.]7.在等比数列{a n }中,公比q =2,前87项和S 87=140,则a 3+a 6+a 9+…+a 87等于( )A .1403B .60C .80D .160C [法一:a 3+a 6+a 9+…+a 87=a 3(1+q 3+q 6+…+q 84)=a1q 2×1q 3291-q 3=q 21+q +q 2×a 11-q 871-q =47×140=80.故选C . 法二:设b 1=a 1+a 4+a 7+…+a 85,b 2=a 2+a 5+a 8+…+a 86,b 3=a 3+a 6+a 9+…+a 87,因为b 1q =b 2,b 2q =b 3,且b 1+b 2+b 3=140,所以b 1(1+q +q 2)=140,而1+q +q 2=7,所以b 1=20,b 3=q 2b 1=4×20=80.故选C .]8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=9,a 2为整数,且S n ≤S 5,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n +1前n 项和的最大值为( )A .49B .1C .4181D .151315A [a 1=9,a 2为整数,可知:等差数列{a n }的公差d 为整数,由S n ≤S 5,∴a 5≥0,a 6≤0,则9+4d ≥0,9+5d ≤0,解得-94≤d ≤-95,d 为整数,d =-2.∴a n =9-2(n -1)=11-2n . 1a n ·a n +1=111-2n9-2n =12⎝⎛⎭⎪⎫19-2n -111-2n , 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n +1前n 项和为 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17-19+⎝ ⎛⎭⎪⎫15-17+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫19-2n -111-2n =12⎝⎛⎭⎪⎫19-2n -19, 令b n =19-2n ,由于函数f (x )=19-2x 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫92,0对称及其单调性,可知:0<b 1<b 2<b 3<b 4,b 5<b 6<b 7<…<0,∴b n ≤b 4=1.∴最大值为49.故选A .]二、填空题 9.已知a n =2n ,b n =3n -1,c n =b n a n,则数列{c n }的前n 项和S n 为________.5-3n +52n [由题设知,c n =3n -12n ,所以S n =221+522+823+…+3n -12n , ①2S n =2+521+822+…+3n -12n -1,②由②-①得,S n =2+321+322+…+32n -1-3n -12n .故所求S n =2+32⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n -11-12-3n -12n =5-3n +52n .]10.已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,a n +1a n=n +1n,b n a n=sin 2n π3-cos 2n π3,n ∈N *,则数列{b n }的前47项和等于________.1 120 [依题意得a n +1n +1=a nn ,故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是常数列,于是有a n n =1,a n =n 2,b n =-n 2cos 2n π3,b 3k -2+b 3k -1+b 3k =3k -223k -122-(3k )2=-9k +52(k ∈N *),因此数列{b n }的前47项和为S 47=S 48-b 48=-9×161+162+52×16+482=1 120.]11.设某数列的前n 项和为S n ,若S nS 2n为常数,则称该数列为“和谐数列”.若一个首项为1,公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }为“和谐数列”,则该等差数列的公差d =________.2 [由S nS 2n =k (k 为常数),且a 1=1,得n +12n (n -1)d =k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n +12×2n 2n -1d ,即2+(n -1)d =4k +2k (2n -1)d ,整理得,(4k -1)dn +(2k -1)(2-d )=0,∵对任意正整数n ,上式恒成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧d 4k -10,2k -12-d0,得⎩⎪⎨⎪⎧d =2,k =14.∴数列{a n }的公差为2.]12.记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和,若S 4-2S 2=3,则S 6-S 4的最小值为________.12 [由题可知数列{a n }的公比q >0,a n >0,则3=(a 4-a 2)+(a 3-a 1)=a 1(q +1)·(q 2-1),则有q >1,所以3S 6-S 4=3a 6+a 5=3a 1q +1q 4=a 1q +1q 2-1a 1q +1q 4=1q 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 22=14-⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 2-122≤14(当且仅当q =2时,取等号),所以S 6-S 4≥12,即S 6-S 4的最小值为12.]三、解答题13.(2018·黔东南州二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n =43(a n -1),n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =log 2a n ,记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n -1b n +1的前n 项和为T n ,证明:T n <12.[解] (1)当n =1时,有a 1=S 1=43(a 1-1),解得a 1=4.当n ≥2时,有S n -1=43(a n -1-1),则a n =S n -S n -1=43(a n -1)-43(a n -1-1),整理得:a na n -1=4,∴数列{a n }是以q =4为公比,以a 1=4为首项的等比数列.∴a n =4×4n -1=4n (n ∈N *)即数列{a n }的通项公式为:a n =4n (n ∈N *). (2)由(1)有b n =log 2a n =log 2 4n =2n ,则1b n +1b n -1=12n +12n -1=12⎝⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1. ∴T n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫11-13+⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+⎝ ⎛⎭⎪⎫15-17+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1 =12⎝⎛⎭⎪⎫1-12n +1. 易知数列{T n }为递增数列, ∴T 1≤T n <12,即13≤T n <12.14.(2018·邯郸市一模)已知数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,b n -a n =2n +1,且S n +T n =2n +1+n 2-2.(1)求T n -S n ; (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 的前n 项和R n .[解] (1)依题意可得b 1-a 1=3,b 2-a 2=5,…,b n -a n =2n +1, ∴T n -S n =(b 1+b 2+…+b n )-(a 1+a 2+…+a n ) =n +(2+22+…+2n )=2n +1+n -2. (2)∵2S n =S n +T n -(T n -S n )=n 2-n , ∴S n =n 2-n2,∴a n =n -1. 又b n -a n =2n +1, ∴b n =2n +n .∴b n2n =1+n2n , ∴R n =n +⎝ ⎛⎭⎪⎫12+222+…+n 2n ,则12R n =12n +⎝ ⎛⎭⎪⎫122+223+…+n 2n +1,∴12R n =12n +⎝ ⎛⎭⎪⎫12+122+…+12n -n2n +1, 故R n =n +2×12-12n +11-12-n 2n =n +2-n +22n .。

高一数列试题及答案

高一数列试题及答案

高一数列试题及答案一、选择题1. 已知数列{a_n}是等差数列,且a_1+a_3=10,a_2+a_4=12,则a_5的值为()。

A. 14B. 16C. 18D. 20答案:A解析:设等差数列的公差为d,则a_3=a_1+2d,a_4=a_2+2d。

根据题意,有a_1+a_1+2d=10,a_2+a_2+2d=12。

解得a_1=4,d=2。

因此,a_5=a_1+4d=4+4×2=14。

2. 已知数列{a_n}是等比数列,且a_1a_3=8,a_2=4,则a_4的值为()。

A. 16B. 32C. 64D. 128答案:C解析:设等比数列的公比为q,则a_3=a_1q^2,a_2=a_1q。

根据题意,有a_1a_1q^2=8,a_1q=4。

解得a_1=2,q=2。

因此,a_4=a_1q^3=2×2^3=16。

3. 已知数列{a_n}满足a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1,求a_5的值为()。

A. 21B. 33C. 65D. 129答案:C解析:根据递推关系,可得a_2=2a_1+1=3,a_3=2a_2+1=7,a_4=2a_3+1=15,a_5=2a_4+1=31。

因此,a_5=65。

二、填空题4. 已知数列{a_n}是等差数列,且a_1=3,公差d=2,则a_10的值为______。

答案:23解析:根据等差数列的通项公式,a_n=a_1+(n-1)d,代入n=10,得a_10=3+(10-1)×2=23。

5. 已知数列{a_n}是等比数列,且a_1=2,公比q=3,则a_5的值为______。

答案:486解析:根据等比数列的通项公式,a_n=a_1q^(n-1),代入n=5,得a_5=2×3^(5-1)=486。

三、解答题6. 已知数列{a_n}满足a_1=1,a_{n+1}=3a_n+2,求a_5的值。

答案:121解析:根据递推关系,可得a_2=3a_1+2=5,a_3=3a_2+2=17,a_4=3a_3+2=53,a_5=3a_4+2=161。

高中数学数列经典题型专题训练试题(含答案)

高中数学数列经典题型专题训练试题(含答案)

高中数学数列经典题型专题训练试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________说明:1、本试卷包括第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分100分。

考试时间120分钟。

2、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内,第Ⅱ卷直接答在试卷上。

考试结束后,只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷(选择题)一.单选题(共15小题,每题2分,共30分)1.数列{a n},已知对任意正整数n,a1+a2+a3+…+a n=2n-1,则a12+a22+a32+…+a n2等于()A.(2n-1)2B.C.D.4n-12.若{a n}为等比数列a5•a11=3,a3+a13=4,则=()A.3B.C.3或D.-3或-3.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7C.6D.4.等差数列{a n}中,a1=1,a3=4,则公差d等于()A.1B.2C.D.5.数列的前n项和为S n,a n=,则S n≥0的最小正整数n的值为()6.若数列{a n}的前n项和S n=2n2-2n,则数列{a n}是()A.公差为4的等差数列B.公差为2的等差数列C.公比为4的等比数列D.公比为2的等比数列7.已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则此数列奇数项的前n项和为()A.B.C.D.8.在等比数列{a n} 中,a1=4,公比为q,前n项和为S n,若数列{S n+2}也是等比数列,则q 等于()A.2B.-2C.3D.-39.在数列{a n}中,a1=2,a2=2,a n+2-a n=1+(-1)n,n∈N*,则S60的值为()A.990B.1000C.1100D.9910.若数列{a n}是公差为2的等差数列,则数列是()A.公比为4的等比数列B.公比为2的等比数列C.公比为的等比数列D.公比为的等比数列11.在数列{a n}中,a1=0,a n=4a n-1+3,则此数列的第5项是()A.252B.255C.215D.52212.数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1,a n=n2+3n+2,则{b n}的前10项之和等于()A.B.C.D.13.等比数列{a n}中,a1+a2=8,a3-a1=16,则a3等于()14.已知在等比数列{a n}中,S n为其前n项和,且a4=2S3+3,a5=2S4+3,则此数列的公比q为()A.2B.C.3D.15.数列{a n}的通项,则数列{a n}中的最大项是()A.第9项B.第8项和第9项C.第10项D.第9项和第10项二.填空题(共10小题,每题2分,共20分)16.已知等差数列{a n},有a1+a2+a3=8,a4+a5+a6=-4,则a13+a14+a15=______.17.在等差数列{a n}中,a3+a5+a7+a9+a11=20,则a1+a13=______.18.数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1,则数列a n的前n项和为______.19.数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n+1,则通项a n=______.20.数列{a n}是公差不为0的等差数列,且a2+a6=a8,则=______.21.已知数列{a n},a n+1=2a n+1,且a1=1,则a10=______.22.设正项等比数列{an}的公比为q,且,则公比q=______.23.已知数列{a n}满足a1=3,a n+1=2a n+1,则数列{a n}的通项公式a n=______.24.数列{a n}为等差数列,已知a3+2a8+a9=20,则a7______.25.设数列{a n}为正项等比数列,且a n+2=a n+1+a n,则其公比q=______.第Ⅱ卷(非选择题)三.简答题(共5小题,50分)26.(10分)已知等差数列{a n},前n项和为S n=n2+Bn,a7=14.(1)求B、a n;(2)设c n=n•,求T n=c1+c2+…+c n.27.(8分)已知等差数列{a n}满足:a5=11,a2+a6=18(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若b n=a n+3n,求数列{b n}的前n项和S n.28.(7分)已知数列{a n}是公差不为0的等差数列,a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.29.(12分)已知数列{a n}满足.(1)求a2,a3,a4的值;(2)求证:数列{a n-2}是等比数列;(3)求a n,并求{a n}前n项和S n.30.(12分)在数列{a n}中,a1=16,数列{b n}是公差为-1的等差数列,且b n=log2a n(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)在数列{b n}中,若存在正整数p,q使b p=q,b q=p(p>q),求p,q得值;(Ⅲ)若记c n=a n•b n,求数列{c n}的前n项的和S n.参考答案一.单选题(共__小题)1.数列{a n},已知对任意正整数n,a1+a2+a3+…+a n=2n-1,则a12+a22+a32+…+a n2等于()A.(2n-1)2B.C.D.4n-1答案:C解析:解:∵a1+a2+a3+…+a n=2n-1…①∴a1+a2+a3+…+a n-1=2n-1-1…②,①-②得a n=2n-1,∴a n2=22n-2,∴数列{a n2}是以1为首项,4为公比的等比数列,∴a12+a22+a32+…+a n2==,故选C.2.若{a n}为等比数列a5•a11=3,a3+a13=4,则=()A.3B.C.3或D.-3或-答案:C解析:解:∵{a n}为等比数列a5•a11=3,∴a3•a13=3①∵a3+a13=4②由①②得a3=3,a13=1或a3=1,a13=3∴q10=或3,∴=或3,故选C.3.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7C.6D.答案:A解析:解:a1a2a3=5⇒a23=5;a7a8a9=10⇒a83=10,a52=a2a8,∴,∴,故选A.4.等差数列{a n}中,a1=1,a3=4,则公差d等于()A.1B.2C.D.答案:D解析:解:∵数列{a n}是等差数列,a1=1,a3=4,∴a3=a1+2d,即4=1+2d,解得d=.故选:D.5.数列的前n项和为S n,a n=,则S n≥0的最小正整数n的值为()A.12B.13C.14D.15答案:A解析:解:令a n=<0,解得n≤6,当n>7时,a n>0,且a6+a7=a5+a8=a4+a9=a3+a10=a2+a11=a1+a12=0,所以S12=0,S13>0,即使S n≥0的最小正整数n=12.故选A.6.若数列{a n}的前n项和S n=2n2-2n,则数列{a n}是()A.公差为4的等差数列B.公差为2的等差数列C.公比为4的等比数列D.公比为2的等比数列答案:A解析:解:∵S n=2n2-2n,则S n-S n-1=a n=2n2-2n-[2(n-1)2-2(n-1)]=4n-4故数列{a n}是公差为4的等差数列故选A.7.已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则此数列奇数项的前n项和为()A.B.C.D.答案:C解析:解:当n=1时,a1=S1=21-1=1,当n≥2时,a n=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2•2n-1-2n-1=2n-1,对n=1也适合∴a n=2n-1,∴数列{a n}是等比数列,此数列奇数项也构成等比数列,且首项为1,公比为4.∴此数列奇数项的前n项和为==故选C8.在等比数列{a n} 中,a1=4,公比为q,前n项和为S n,若数列{S n+2}也是等比数列,则q 等于()A.2B.-2C.3D.-3答案:C解析:解:由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2,s2+2,s3+2成等比数列则(s2+2)2=(S1+2)(S3+2)代入等比数列的前n项和公式整理可得(6+4q)2=24(1+q+q2)+12解可得q=3故选C.9.在数列{a n}中,a1=2,a2=2,a n+2-a n=1+(-1)n,n∈N*,则S60的值为()A.990B.1000C.1100D.99答案:A解析:解:当n为奇数时,a n+2-a n=1+(-1)n=0,可得a1=a3=…=a59=2.当n为偶数时,a n+2-a n=1+(-1)n=2,∴数列{a2n}为等差数列,首项为2,公差为2,∴a2+a4+…+a60=30×2+=930.∴S60=(a1+a3+…+a59)+(a2+a4+…+a60)=30×2+930=990.故选:A.10.若数列{a n}是公差为2的等差数列,则数列是()A.公比为4的等比数列B.公比为2的等比数列C.公比为的等比数列D.公比为的等比数列答案:A解析:解:∵数列{a n}是公差为2的等差数列∴a n=a1+2(n-1)∴∴数列是公比为4的等比数列故选A11.在数列{a n}中,a1=0,a n=4a n-1+3,则此数列的第5项是()A.252B.255C.215D.522答案:B解析:解:由a n=4a n-1+3可得a n+1=4a n-1+4=4(a n-1+1),故可得=4,由题意可得a1+1=1即数列{a n+1}为首项为1,公比为4的等比数列,故可得a5+1=44=256,故a5=255故选B12.数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1,a n=n2+3n+2,则{b n}的前10项之和等于()A.B.C.D.答案:B解析:解:∵a n•b n=1∴b n==∴s10==(-)+=-=故选项为B.13.等比数列{a n}中,a1+a2=8,a3-a1=16,则a3等于()A.20B.18C.10D.8答案:B解析:解:设等比数列{a n}的公比为q,∵a1+a2=8,a3-a1=16,∴,解得,∴=2×32=18.故选:B.14.已知在等比数列{a n}中,S n为其前n项和,且a4=2S3+3,a5=2S4+3,则此数列的公比q为()A.2B.C.3D.答案:C解析:解:∵a4=2S3+3,a5=2S4+3,即2S4=a5-3,2S3=a4-3∴2S4-2S3=a5-3-(a4-3)=a5-a4=2a4,即3a4=a5∴3a4=a4q解得q=3,故选C15.数列{a n}的通项,则数列{a n}中的最大项是()A.第9项B.第8项和第9项C.第10项D.第9项和第10项答案:D解析:解:由题意得=,∵n是正整数,∴=当且仅当时取等号,此时,∵当n=9时,=19;当n=9时,=19,则当n=9或10时,取到最小值是19,而取到最大值.故选D.二.填空题(共__小题)16.已知等差数列{a n},有a1+a2+a3=8,a4+a5+a6=-4,则a13+a14+a15=______.答案:-40解析:解:设等差数列{a n}的公差为d,∵a1+a2+a3=8,a4+a5+a6=-4,∵a4+a5+a6=(a1+3d)+(a2+3d)+(a3+3d)=a1+a2+a3+9d,∴-4=8+9d,解得d=-,∴a13+a14+a15=a1+a2+a3+36d=8-×36=-40,故答案为:-4017.在等差数列{a n}中,a3+a5+a7+a9+a11=20,则a1+a13=______.答案:8解析:解:由等差数列的性质可得a3+a5+a7+a9+a11=(a3+a11)+a7+(a5+a9)=2a7+a7+2a7=5a7=20∴a7=4∴a1+a13=2a7=8故答案为:818.(2015秋•岳阳校级月考)数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1,则数列a n的前n项和为______.答案:2n+n2-1解析:解:数列a n的前n项和S n=(2+22+23+…+2n)+[1+3+5+…+(2n-1)]=+=2n-1+n2.故答案为:2n-1+n2.19.数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n+1,则通项a n=______.答案:2n-1解析:解:由题可得,a n+1+1=2(a n+1),则=2,又a1=1,则a1+1=2,所以数列{a n+1}是以2为首项、公比的等比数列,所以a n+1=2•2n-1=2n,则a n=2n-1.故答案为:2n-1.20.数列{a n}是公差不为0的等差数列,且a2+a6=a8,则=______.答案:3解析:解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由a2+a6=a8,得a1+d+a1+5d=a1+7d,即a1=d,所以==.故答案为3.21.已知数列{a n},a n+1=2a n+1,且a1=1,则a10=______.答案:1023解析:解:由题意,两边同加1得:a n+1+1=2(a n+1),∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项,以2为等比数列∴a n+1=2•2n-1=2n∴a n=2n-1∴a10=1024-1=1023.故答案为:1023.22.设正项等比数列{an}的公比为q,且,则公比q=______.答案:解析:解:由题意知得∴6q2-q-1=0∴q=或q=-(与正项等比数列矛盾,舍去).故答案为:23.已知数列{a n}满足a1=3,a n+1=2a n+1,则数列{a n}的通项公式a n=______.答案:2n+1-1解析:解:由题意知a n+1=2a n+1,则a n+1+1=2a n+1+1=2(a n+1)∴=2,且a1+1=4,∴数列{a n+1}是以4为首项,以2为公比的等比数列.则有a n+1=4×2n-1=2n+1,∴a n=2n+1-1.24.数列{a n}为等差数列,已知a3+2a8+a9=20,则a7______.答案:=5解析:解:等差数列{a n}中,∵a3+2a8+a9=20,∴(a1+2d)+2(a1+7d)+(a1+8d)=4a1+24d=4(a1+6d)=4a7=20,∴a7=5.故答案为:5.25.设数列{a n}为正项等比数列,且a n+2=a n+1+a n,则其公比q=______.答案:解析:解:由题设条件知a1+a1q=a1q2,∵a1>0,∴q2-q-1=0解得,∵数列{a n}为正项等比数列,∴.故答案:.三.简答题(共__小题)26.已知等差数列{a n},前n项和为S n=n2+Bn,a7=14.(1)求B、a n;(2)设c n=n•,求T n=c1+c2+…+c n.答案:解:(1)∵a7=14.即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14.解得B=1,当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.n=1时也适合∴a n=2n(2)由(1)c n=n•=n•4n,T n=c1+c2+…+c n.=1•41+2•42+3•43+…n•4n①4T n=1•42+2•43+3•44+…(n-1)•4n+n•4n+1,②①-②得-3T n=41+42+43+…4n-n•4n+1=-n•4n+1=•4n+1∴T n=•4n+1解析:解:(1)∵a7=14.即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14.解得B=1,当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.n=1时也适合∴a n=2n(2)由(1)c n=n•=n•4n,T n=c1+c2+…+c n.=1•41+2•42+3•43+…n•4n①4T n=1•42+2•43+3•44+…(n-1)•4n+n•4n+1,②①-②得-3T n=41+42+43+…4n-n•4n+1=-n•4n+1=•4n+1∴T n=•4n+127.已知等差数列{a n}满足:a5=11,a2+a6=18(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若b n=a n+3n,求数列{b n}的前n项和S n.答案:解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,∵a5=11,a2+a6=18,∴,解得a1=3,d=2.∴a1=2n+1.(Ⅱ)由(I)可得:b n=2n+1+3n.∴S n=[3+5+…+(2n+1)]+(3+32+…+3n)=+=n2+2n+-.解析:解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,∵a5=11,a2+a6=18,∴,解得a1=3,d=2.∴a1=2n+1.(Ⅱ)由(I)可得:b n=2n+1+3n.∴S n=[3+5+…+(2n+1)]+(3+32+…+3n)=+=n2+2n+-.28.已知数列{a n}是公差不为0的等差数列,a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.答案:解:(Ⅰ)设数列{a n}的公差为d,由a1=2和a2,a3,a4+1成等比数列,得(2+2d)2-(2+d)(3+3d),解得d=2,或d=-1,当d=-1时,a3=0,与a2,a3,a4+1成等比数列矛盾,舍去.∴d=2,∴a n=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.即数列{a n}的通项公式a n=2n;(Ⅱ)由a n=2n,得b n==,∴S n=b1+b2+b3+…+b n==.解析:解:(Ⅰ)设数列{a n}的公差为d,由a1=2和a2,a3,a4+1成等比数列,得(2+2d)2-(2+d)(3+3d),解得d=2,或d=-1,当d=-1时,a3=0,与a2,a3,a4+1成等比数列矛盾,舍去.∴d=2,∴a n=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.即数列{a n}的通项公式a n=2n;(Ⅱ)由a n=2n,得b n==,∴S n=b1+b2+b3+…+b n==.29.已知数列{a n}满足.(1)求a2,a3,a4的值;(2)求证:数列{a n-2}是等比数列;(3)求a n,并求{a n}前n项和S n.答案:解:(1)∵数列{a n}满足,∴.…(3分)(2)∵,又a1-2=-1,∴数列{a n-2}是以-1为首项,为公比的等比数列.…(7分)(注:文字叙述不全扣1分)(3)由(2)得,…(9分)∴.…(12分)解析:解:(1)∵数列{a n}满足,∴.…(3分)(2)∵,又a1-2=-1,∴数列{a n-2}是以-1为首项,为公比的等比数列.…(7分)(注:文字叙述不全扣1分)(3)由(2)得,…(9分)∴.…(12分)30.在数列{a n}中,a1=16,数列{b n}是公差为-1的等差数列,且b n=log2a n(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)在数列{b n}中,若存在正整数p,q使b p=q,b q=p(p>q),求p,q得值;(Ⅲ)若记c n=a n•b n,求数列{c n}的前n项的和S n.答案:解:(Ⅰ)数列{a n}中,a1=16,数列{b n}是公差为-1的等差数列,且b n=log2a n;∴b n+1=log2a n+1,∴b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2=-1;∴=,∴{a n}是等比数列,通项公式为a n=16×=;∴{b n}的通项公式b n=log2a n=log2=5-n;(Ⅱ)数列{b n}中,∵b n=5-n,假设存在正整数p,q使b p=q,b q=p(p>q),则,解得,或;(Ⅲ)∵a n=,b n=5-n,∴c n=a n•b n=(5-n)×;∴{c n}的前n项和S n=4×+3×+2×+…+[5-(n-1)]×+(5-n)×①,∴s n=4×+3×+2×+…+[5-(n-1)]×+(5-n)×②;①-②得:s n=4×----…--(5-n)×=64--(5-n)×=48+(n-3)×;∴s n=96+(n-3)×.解析:解:(Ⅰ)数列{a n}中,a1=16,数列{b n}是公差为-1的等差数列,且b n=log2a n;∴b n+1=log2a n+1,∴b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2=-1;∴=,∴{a n}是等比数列,通项公式为a n=16×=;∴{b n}的通项公式b n=log2a n=log2=5-n;(Ⅱ)数列{b n}中,∵b n=5-n,假设存在正整数p,q使b p=q,b q=p(p>q),则,解得,或;(Ⅲ)∵a n=,b n=5-n,∴c n=a n•b n=(5-n)×;∴{c n}的前n项和S n=4×+3×+2×+…+[5-(n-1)]×+(5-n)×①,∴s n=4×+3×+2×+…+[5-(n-1)]×+(5-n)×②;①-②得:s n=4×----…--(5-n)×=64--(5-n)×=48+(n-3)×;∴s n=96+(n-3)×.。

高一数学数列试题答案及解析

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高一数学数列试题答案及解析1.已知数列中,其前项和满足:(1)试求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.【答案】(1),(2)【解析】(1)先利用化简关系式得:再利用叠加得,又,所以.经验证和也满足该式,故(2)因为数列通项是一个等比加一个等差,所以用“分组求和法”求和,即.试题解析:(1)即这个式子相加得,又所以. 经验证和也满足该式,故(2)用分组求和的方法可得【考点】由求,叠加法求,分组求数列和.2.已知数列是等比数列,且则【答案】1【解析】略3.(本小题满分12分)设数列的各项均为正数,它的前项的和为,且,数列满足.其中.(Ⅰ)求数列和的通项公式;(Ⅱ)设,求证:数列的前项的和().【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)详见解析【解析】(Ⅰ)在求数列通项时主要借助于公式(Ⅱ)中根据数列的通项公式的特点,对其前n项求和时采用错位相减得方法试题解析:(Ⅰ),①当时,,②①-②得:,即,∵数列的各项均为正数,∴(),又,∴;∵,∴,∴;(Ⅱ)∵,∴,,两式相减得,∴.【考点】1.数列由前n项和求通项;2.错位相减法数列求和4.在等比数列{an }中,如果a6=6,a9=9,那么a3为()A.4B.C.D.2【答案】A【解析】根据等比数列的性质,,代入数据解得.【考点】等比数列的性质5.(本题12分)已知数列的前n项和为满足:.(1)求证:数列是等比数列;(2)令,对任意,是否存在正整数m,使都成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)详见解析;(2)【解析】(1)已知,求,利用公式,得到关于数列的递推公式,,,然后列式等于常数,所以是等比数列;(2)第一步,先计算,同时求和,得到的通项公式,第二步,计算,并且根据裂项相消法得到数列的和,和是,第三步,当恒成立,等价于,并且.试题解析:(1)当时,,解得, 1分当时,由得, 2分两式相减,得,即(), 3分则,故数列是以为首项,公比为3的等比数列.(2)由(1)知,,所以,则,由对任意都成立,得,即对任意都成立,又,所以m的值为1,2,3.【考点】1.已知求;2.等比数列的定义;3.裂项相消法求和;4.等差数列;5.数列的最值.6.(14分)已知数列的前n项和为,且,(1)求数列的通项公式;(2)令,且数列的前n项和为,求;(3)若数列满足条件:,又,是否存在实数,使得数列为等差数列?【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)中考察的主要是由数列的前n项和求数列通项的问题,求解时主要借助于公式解决,分别求完后要验证看时候能将结果合并到一起;(2)首先将通项整理为的形式,然后采用裂项相消法求和;(3)首项将代入整理出数列的递推公式,由第一项求得第二三两项,找到数列的前三项,前三项成等差得到参数的值,然后验证求得的值满足数列所有项均构成等差数列试题解析:(14分)(1)n=1时,n当n=1时所以(2),(3),即,假设存在这样的实数,满足条件,又,成等差数列,即,解得,此时:,数列是一个等差数列,所以【考点】1.数列求通项公式;2.裂项相消求和;3.等差数列的判定7.已知等差数列中,若则公差=()A.10B.7C.6D.3【答案】D【解析】有等差数列通项公式可得【考点】等差数列通项公式8.数列为单调递增数列,则的取值范围是__________.【答案】【解析】单调递增数列有,,,展开化简得,,,,当n=1时,有最小的取值范围,所以。

高中数列精选大题50题(带详细答案)

高中数列精选大题50题(带详细答案)

高中数列精选大题50题(带详细答案)1 .数列{n a }的前n 项和为n S ,且满足11a =,2(1)n n S n a =+.(1)求{n a }的通项公式; (2)求和T n =1211123(1)na a n a ++++.2 .已知数列}{n a ,a 1=1,点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ,求函数)(n f 最小值.3 .已知函数x ab x f =)( (a ,b 为常数)的图象经过点P (1,81)和Q (4,8)(1) 求函数)(x f 的解析式;(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数,n S 是数列{a n }的前n 项和,求n S 的最小值。

4 .已知y =f (x )为一次函数,且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列,f (8)=15.求n S =f (1)+f (2)+…+f (n )的表达式.5 .设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n n S c ca =+-,其中c 是不等于1-和0的实常数.(1)求证: {}n a 为等比数列;(2)设数列{}n a 的公比()q f c =,数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥,试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,并求12231n n b b b b b b -+++的结果.6 .在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *),满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线,且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15,求数列{a n }中的最小项.7 .已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立,数列1{}n n b b +-是等差数列.(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)问是否存在k ∈N *,使得(0,1)k k b a -∈?请说明理由. 8 .已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a n n n n 且中(I )试求a 2,a 3的值; (II )若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列,试求λ的值. 9 .已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ,(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令n nn S T 2=,①当n 为何正整数值时,1+>n n T T :②若对一切正整数n ,总有m T n ≤,求m 的取值范围。

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高一数列练习题一.选择题(共11小题)1.已知函数f(x)=(a>0,a≠1),数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是单调递增数列,则实数a的取值范围()A.[7,8)B.(1,8)C.(4,8)D.(4,7)2.设{a n}的首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1=()A.2B.﹣2 C.D.﹣3.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若,则=()A.1B.﹣1 C.2D.4.阅读图的程序框图,该程序运行后输出的k的值为()A.5B.6C.7D.85.设S n为等比数列{a n}的前n项和,8a2+a5=0,则等于()A.11 B.5C.﹣8 D.﹣116.数列{a n}满足a1=2,a n=,其前n项积为T n,则T2014=()C.6D.﹣6A.B.﹣A.9B.12 C.14 D.188.已知S n为等差数列{a n}的前n项和,S7=28,S11=66,则S9的值为()A.47 B.45 C.38 D.549.在等比数列{a n}中,,则a3=()A.±9 B.9C.±3 D.310.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出s的值为()A.8B.18 C.26 D.8011.在等差数列{a n}中,4(a3+a4+a5)+3(a6+a8+a14+a16)=36,那么该数列的前14项和为()A.20 B.21 C.42 D.84二.填空题(共7小题)12.)设{a n}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为_________.13.某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度,设等级为n级需要的天数为a n(n∈N*),等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数1 5 7 772 12 8 963 21 12 1924 32 16 3205 45 32 11526 60 48 2496则等级为50级需要的天数a50=_________.14.数列{a n}为等比数列,a2+a3=1,a3+a4=﹣2,则a5+a6+a7=_________.15.已知数列{a n}中,a n+1=2a n,a3=8,则数列{log2a n}的前n项和等于_________.17.记等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a2+a4=6,S4=10.则a10=_________.18.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2a m,则m=_________.三.解答题(共12小题)19.设{a n}是等差数列,{b n}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13(Ⅰ)求{a n}、{b n}的通项公式;(Ⅱ)求数列的前n项和S n.20.已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2(n∈N*),数列{b n}满足b n=2n a n.(1)求证数列{b n}是等差数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{a n}的前n项和为T n,证明:n∈N*且n≥3时,T n>;(3)设数列{c n}满足a n(c n﹣3n)=(﹣1)n﹣1λn(λ为非零常数,n∈N*),问是否存在整数λ,使得对任意n∈N*,都有c n+1>c n.21.在等差数列{a n}中,a1=3,其前n项和为S n,等比数列{b n}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+S2=12,.(Ⅰ)求a n与b n;(Ⅱ)设c n=a n•b n,求数列{c n}的前n项和T n.22.(2009•河西区二模)已知等差数列{a n}满足a3+a4=9,a2+a6=10;又数列{b n}满足nb1+(n﹣1)b2+…+2b n﹣1+b n=S n,其中S n是首项为1,公比为的等比数列的前n项和.(1)求a n的表达式;(2)若c n=﹣a n b n,试问数列{c n}中是否存在整数k,使得对任意的正整数n都有c n≤c k成立?并证明你的结论.23.已知等比数列{a n}中,a1=,公比q=.(Ⅰ)S n为{a n}的前n项和,证明:S n=(Ⅱ)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列{b n}的通项公式.24.已知等差数列{a n}的前n项和为s n=pm2﹣2n+q(p,q∈R),n∈N*(I)求q的值;(Ⅱ)若a3=8,数列{b n}}满足a n=4log2b n,求数列{b n}的前n项和.25.已知数列{a n}(n∈N*)是等比数列,且a n>0,a1=3,a3=27.(1)求数列{a n}的通项公式a n和前项和S n;(2)设b n=2log3a n+1,求数列{b n}的前项和T n.26.已知等差数列{a n} 的前n项和为S n,a2=9,S5=65.(I)求{a n} 的通项公式:(II)令,求数列{b n}的前n项和T n.27.已知等比数列{a n}满足a2=2,且2a3+a4=a5,a n>0.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(﹣1)n3a n+2n+1,数列{b n}的前项和为T n,求T n.28.已知等比数列{a n}的公比为q,前n项的和为S n,且S3,S9,S6成等差数列.(1)求q3的值;(2)求证:a2,a8,a5成等差数列.29.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,,.(I)求a n;(II)若,求数列{b n}的前n项和T n.30.已知{a n}是等差数列,其前n项和为S n,已知a2=8,S10=185.(1)求数列{a n}的通项公式;高一数列专项典型练习题参考答案与试题解析一.选择题(共11小题)1.解答:解:∵{a n}是单调递增数列,∴,解得7≤a<8.故选:A.点评:本题考查了分段函数的意义、一次函数和指数函数的单调性,属于中档题.2.解答:解:∵{a n}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,∴S1=a1,S2=2a1﹣1,S4=4a1﹣6,由S1,S2,S4成等比数列,得:,即,解得:.故选:D.点评:本题考查等差数列的前n项和公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算题.3.解答:解:由题意可得====1故选A点评:本题考查等差数列的求和公式,涉及等差数列的性质,属基础题.4.解答:解:程序在运行过程中各变量的值如下表示:循环前:k=0,s=0,每次循环s,k的值及是否循环分别如下第一圈:S=2°<100,k=1;是第二圈:S=2°+21<100,k=2;是第三圈:S=2°+21+22<100,k=3;是第四圈:S=2°+21+22+23<100,k=4;是第五圈:S=2°+21+22+23+24<100,k=5;是第六圈:S=2°+21+22+23+24+25<100,k=6:是故选C点评:本小题主要考查循环结构、等比数列等基础知识.根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,5.解答:解:设等比数列{a n}的公比为q,(q≠0)由题意可得8a2+a5=8a1q+a1q4=0,解得q=﹣2,故====﹣11 故选D点评:本题考查等比数列的性质,涉及等比数列的求和公式,属中档题.6.解答:解:∵a n=,∴a n+1=,∵a1=2,∴a2=﹣3,a3=﹣,a4=,a5=2,…,∴数列{a n}是周期为4的周期数列,且a1a2a3a4=1,∵2014=4×503+2,∴T2014=﹣6.故选:D.点评:本题考查数列递推式,考查学生分析解决问题的能力,确定数列{a n}是周期为4的周期数列,且a1a2a3a4=1是关键.7.解答:解:∵a n+2=2a n+1﹣a n,∴2a n+1=a n+a n+2∴数列{a n}是等差数列.又a6=4﹣a4,∴a4+a6=4,由等差数列的性质知:2a5=a4+a6=4,得a5=2.∴S9=9a5=9×2=18.故选:D.点评:本题考查数列递推式,考查了等差关系得确定,考查了等差数列的性质及前n项和,是中档题.8.解答:解:设公差为d,由S7=28,S11=66得,,即,解得,所以S9=9×1=45.9.解答:解:设等比数列{a n}的公比为q,则∵,∴=27,=3 两式相除,可得∴a3=±3故选C.点评:本题考查等比数列的定义,考查学生的计算能力,属于基础题.10.解答:解:∵数列{a n}为等差数列,∴a3+a5=2a4,a8+a14=a6+a16=2a11,又4(a3+a4+a5)+3(a6+a8+a14+a16)=36,∴12a4+12a11=36,即a4+a11=3,∵a1+a14=a4+a11=3,则该数列的前14项和S14==21.故选B点评:此题考查了等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,熟练掌握性质及公式是解本题的关键.二.填空题(共7小题)12.解答:解:由题意可得,a n=a1+(n﹣1)(﹣1)=a1+1﹣n,S n==,再根据若S1,S2,S4成等比数列,可得=S1•S4,即=a1•(4a1﹣6),解得a1=﹣,故答案为:﹣.点评:本题主要考查等差数列的前n项和公式,等比数列的定义和性质,属于中档题.13.解答:解:由表格可知:a n=5+7+…+(2n+3)==n(n+4),∴a50=50×54=2700.故答案为:2700.点评:本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、归纳推理等基础知识与基本技能方法,属于基础题.14.解答:解:由a2+a3=1,a3+a4=﹣2,两式作商得q=﹣2.代入a2+a3=1,得a1(q+q2)=1.解得a1=.456点评:本题考查对数计算与等比数列性质的运用,属于基本计算题15.解答:解:∵数列{a n}中,a n+1=2a n,∴=2,∴{a n}是公比为2的等比数列,∵a3=8,∴,解得a1=2,∴,∴log2a n=n,∴数列{log2a n}的前n项和:S n=1+2+3+…+n=.故答案为:.点评:本题考查数列的前n项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意对数函数的性质的灵活运用.16.解答:解:∵数列{a n}的前n项和为S n,并满足a n+2=2a n+1﹣a n,∴数列{a n}是等差数列,∵a6=4﹣a4,∴a6+a4=4,∴=.故答案为:18.点评:本题考查数列的前9项和的求法,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.17.解答:解:等差数列{a n}的前n项和为S n,∵a2+a4=6,S4=10,设公差为d,∴,解得a1=1,d=1,∴a10=1+9=10.故答案为:10.点评:本题考查等差数列中第10项的求法,是基础题,解题时要认真审题,要熟练掌握等差数列的性质.18.解答:解:∵S n是等比数列{a n}的前n项和,且S3,S9,S6成等差数列,∴2S9=S3+S6,即=+,整理得:2(1﹣q9)=1﹣q3+1﹣q6,即1+q3=2q6,又a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q3)=2a1q7,2a m=2a1q m﹣1,且a2+a5=2a m,∴2a1q7=2a1q m﹣1,即m﹣1=7,则m=8.故答案为:8点评:此题考查了等差数列的性质,等比数列的通项公式及求和公式,熟练掌握性质及公式是解本题的关键.19.解答:解:(Ⅰ)设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,则依题意有q>0且解得d=2,q=2.所以a n=1+(n﹣1)d=2n﹣1,b n=q n﹣1=2n﹣1.(Ⅱ).,①,②②﹣①得,===.点评:本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和.20.分析:(1)由已知条件推导出2n a n=2n﹣1a n﹣1+1.由此能证明{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列.从而求出a n=.(2)由(1)知=(n+1)•()n,利用错位相减法能求出T n=3﹣.再用数学归纳法能证明n∈N*且n≥3时,T n>.(3)由a n(c n﹣3n)=(﹣1)n﹣1λn可求得c n,对任意n∈N+,都有c n+1>c n即c n+1﹣c n>0恒成立,整理可得(﹣1)n﹣1•λ<()n﹣1,分n为奇数、偶数两种情况讨论,分离出参数λ后转化为函数最值即可解决.解答:(1)证明:在S n=﹣a n﹣+2(n∈N*)中,令n=1,得S1=﹣a1﹣1+2=a1,解得a1=,当n≥2时,S n﹣1=﹣a n﹣1﹣()n﹣2+2,∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣a n+a n﹣1+()n﹣1,∴2a n=a n﹣1+()n﹣1,即2n a n=2n﹣1a n﹣1+1.∵b n=2n a n,∴b n=b n﹣1+1,即当n≥2时,b n﹣b n﹣1=1,又b1=2a1=1,∴{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列.于是b n=1+(n﹣1)•1=n=2n a n,∴a n=.(2)证明:∵,∴=(n+1)•()n,∴T n=2×+3×()2+…+(n+1)×()n,①23n+1①﹣②,得:=1+=1+﹣(n+1)•()n+1=,∴T n=3﹣.∴T n﹣=3﹣=,∴确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小.下面用数学归纳法证明n∈N*且n≥3时,T n>.①当n=3时,23>2×3+1,成立②假设当n=k(k≥3)时,2k>2k+1成立,则当n=k+1时,2k+1=2•2k>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k﹣1)>2(k+1)+1,∴当n=k+1时,也成立.于是,当n≥3,n∈N*时,2n>2n+1成立∴n∈N*且n≥3时,T n>.(3)由,得=3n+(﹣1)n﹣1•λ•2n,∴c n+1﹣c n=[3n+1+(﹣1)n•λ•2n+1]﹣[3n+(﹣1)n﹣1•λ•2n]=2•3n﹣3λ(﹣1)n﹣1•2n>0,∴,①当n=2k﹣1,k=1,2,3,…时,①式即为λ<,②依题意,②式对k=1,2,3…都成立,∴λ<1,当n=2k,k=1,2,3,…时,①式即为③,依题意,③式对k=1,2,3…都成立,∴,∴,又λ≠0,∴存在整数λ=﹣1,使得对任意n∈N*有c n+1>c n.点评:本题考查数列递推式、等差数列的通项公式、数列求和等知识,考查恒成立问题,考查转化思想,错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容,要熟练掌握.21.分析:(1)根据b2+S2=12,{b n}的公比,建立方程组,即可求出a n与b n;(2)由a n=3n,bn=3n﹣1,知c n=a n•b n=n•3n,由此利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和T n.解答:解:(1)∵在等差数列{a n}中,a1=3,其前n项和为S n,等比数列{b n}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+S2=12,.∴b2=b1q=q,,(3分)解方程组得,q=3或q=﹣4(舍去),a2=6(5分)∴a n=3+3(n﹣1)=3n,b n=3n﹣1.(7分)(2)∵a n=3n,b n=3n﹣1,∴c n=a n•b n=n•3n,∴数列{c n}的前n项和T n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,∴3T n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1,∴﹣2T n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=﹣n×3n+1=﹣n×3n+1,∴T n=×3n+1﹣.点评:本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法,解题时要认真审题,注意等差数列、等比数列的性质和错位相减法的合理运用.(1)利用等差数列的通项公式即可得出;22.分析:(2)利用等比数列的通项公式、、分类讨论的思想方法即可得出.解答:解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,∵a3+a4=9,a2+a6=10,∴,解得,∴a n=2+1×(n﹣1)=n+1.(2)∵S n是首项为1,公比为的等比数列的前n项和,∴nb1+(n﹣1)b2+…+2b n﹣1+b n=,①(n﹣1)b1+(n﹣2)b2+…+2b n﹣2+b n﹣1=…+,②①﹣②得b1+b2+…+b n=,即.当n=1时,b1=T n=1,当n≥2时,b n=T n﹣T n﹣1==.∴..于是c n=﹣a n b n.设存在正整数k,使得对∀n∈N*,都有c n≤c k恒成立.当n=1时,,即c2>c1.当n≥2时,==.∴当n<7时,c n+1>c n;当n=7时,c8=c7;当n>7时,c n+1<c n.∴存在正整数k=7或8,使得对∀n∈N*,都有c n≤c k恒成立.点评:熟练掌握等差数列的图象公式、分类讨论的思想方法、等比数列的通项公式、、分类讨论的思想方法是解题的关键.23.分(I)根据数列{a n}是等比数列,a1=,公比q=,求出通项公式a n和前n项和S n,然后经过运算即可证明.析:(II)根据数列{a n}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b n}的通项公式.解答:证明:(I)∵数列{a n}为等比数列,a1=,q=∴a n=×=,S n=又∵==S n∴S n=(II)∵a n=∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+(﹣2log33)+…﹣nlog33=﹣(1+2+…+n)=﹣∴数列{b n}的通项公式为:b n=﹣点评:本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质.24.解答:解:(I)当n=1时,a1=s1=p﹣2+q当n≥2时,a n=s n﹣s n﹣1=pn2﹣2n+q﹣p(n﹣1)2+2(n﹣1)﹣q=2pn﹣p﹣2 由{an}是等差数列,得p﹣2+q=2p﹣p﹣2,解得q=0.(Ⅱ)由a3=8,a3=6p﹣p﹣2,于是6p﹣p﹣2=8,解得p=2所以a n=4n﹣4又a n=4log2b n,得b n=2n﹣1,故{b n}是以1为首项,2为公比的等比数列.所以数列{b n}的前n项和Tn=.点评:本题考查了数列的前n项和与通项间的关系及等比数列的求和问题,在解题中需注意前n项和与通项间的关系是个分段函数的关系,但最后要验证n=1是否满足n≥2时的情况,属于基础题.25.解答:解:(1)设公比为q,则a3=a1•q2,∴27=3q2,即q2=9∵a n>0,∴(2)由(1)可知b n=2log33n+1=2n+1,∴b1=3,又b n+1﹣b n=2(n+1)+1﹣(2n+1)=2,故数列{b n}是以3为首项,2为公差的等差数列,∴.点评:本题考查了等差数列和等比数列的前n项和,此题比较容易,只要认真作答就可以保障正确,属于基础题.26.解答:解:(I)(2分)解得:(4分),所以a n=4n+1(6分)(II)由(I)知(7分)因为,(8分)所以{b n} 是首项为b1=32,公比q=16的等比数列(9分),所以.(12分)点评:在数列的基本量的求解中要求考生熟练掌握基本公式,具备一定的计算能力,本题属于基础试题.27.分析:(Ⅰ)设等比数列{a n}的首项为a1,公比为q,则,解方程可求a1,q结合等比数列的通项公式即可求解(Ⅱ)由b n=(﹣1)n3a n+2n+1=﹣3•(﹣2)n﹣1+2n+1,利用分组求和,结合等比与等差数列的求和公式即可求解解答:(本小题满分12分)解:(Ⅰ)设等比数列{a n}的首项为a1,公比为q,则…(2分)整理得q2﹣q﹣2=0,即q=﹣1或q=2,∵a n>0,∴q=2.代入可得a1=1∴.…(6分)(Ⅱ)∵b n=(﹣1)n3a n+2n+1=﹣3•(﹣2)n﹣1+2n+1,…(9分)∴T n=﹣3[1﹣2+4﹣8+…+(﹣2)n﹣1]+(3+5+…+2n+1)=﹣3×=(﹣2)n+n2++2n﹣1.…(12分)点评:本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用,分组求和方法的应用,属于数列知识的简单综合28.分析:(1)由S3,S9,S6成等差数列,得S3+S6=2S9,然后考虑当q=1时关系式不成立,所以当q不等于1时,利用等比数列的前n项和的公式化简此等式,根据q不等于1,利用换元法即可求出q3的值;(2)由q3的值分别表示出a8和a5,然后分别求出a8﹣a2和a5﹣a8的值,得到两者的值相等即可得证.解答:解:(1)由S3,S9,S6成等差数列,得S3+S6=2S9,若q=1,则S3+S6=9a1,2S9=18a1,由a1≠0得S3+S6≠2S9,与题意不符,所以q≠1.由S3+S6=2S9,得.整理,得q3+q6=2q9,由q≠0,1,设t=q3,则2t2﹣t﹣1=0,解得t=1(舍去)或t=﹣,所以;(2)由(1)知:,则a8﹣a2=a5﹣a8,所以a2,a8,a5成等差数列.点评:此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值,灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值,是一道中档题.29分析:(I)由题意可得,公比q≠1,则①②,相除可得公比q,求得首项和公比,即可求出通项公式.(II)首先根据(1)求出数列{b n}的通项公式,然后利用分组法求出前n项和.解答:解:(I)若q=1,则S6=2S3,这与已知矛盾,所以q≠1,(1分)则①②(3分)②式除以①式,得,所以,代入①得a1=2,所以.(7分)(II)因为,(9分)所以T n=(2﹣1+20+21++2n﹣2)+(1+2+3++n)=(12分)==.(14分)点评:本题考查等比数列的前n项和公式和通项公式,(2)问中数列{b n}是等差数列和等比数列和的形式,采取分组法求解.属于中档题.30.分析:(1)由题意等差数列{a n}中a2=8,S10=185,利用通项公式及前n项和公式建立首项与公差的方程求出即可得到数列{a n}的通项公式a n;(2)把(1)中求出的a n的通项公式代入a n=log2b n中,确定出b n的通项公式,利用等于常数得到数列{b n}是等比数列,求出等比数列的首项和公比,根据首项和公比写出等比数列的前n项和即可.解答:解:(1)解得:d=3,a1=5,∴a n=3n+2(2)b n=∴===23=8(n=1,2,3,…)∴{bn}是公比为8的等比数列∵b1==32∴T n==(8n﹣1).点评:本题考查了等差数列的通项公式、数列求和以及灵活运用等比数列的前n项和公式化简求值,是一道中档题.。

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