1、一个期限为1个月的无红利支付股票的欧式看跌期权现价...

1、一个期限为1个月的无红利支付股票的欧式看跌期权现价为2.5美元，股票价格为47美元，执行价格为50美元，无风险年利率为6%。

对套利者而言存在什么样的机会？答案：对于无红利支付股票的欧式看跌期权，其价值应该满足：()()max()r T t r T t Xe S P Xe -----<<由于：()0.06/125047 2.75r T t Xe S e ----=-= >2.5=P,故这里欧式看跌期权的价值被低估，我们可以构造如下策略获得套利：期初从银行借入$49.5，期限一个月，买入一份欧式看跌期权和一股股票。

在期权到期时：如果50T S >=，不执行期权，在现货市场卖出股票，获利T S ，还清银行借款：$49.75(=0.06/1247e )，最后净收益为：25.0$75.495075.49=->-T S ;如果50T S <,执行看跌期权，卖出股票，获利$50, 还清银行借款：$49.75，净收益为$0.25。

2、一个期限为4个月的无红利支付股票的欧式看涨期权现价为5美元，股票价格为64美元，执行价格为60美元，1个月后发红利0.8美元，对所有期限的无风险年利率为12%.对套利者而言存在什么样的机会？答案：对于有红利支付股票的欧式看涨期权，其价值应该满足：()max()r T t S D Xe C S ----<<其中D 为期权有效期内股票支付红利的现值，由于：()0.12/120.12/3640.860 5.56r T t S D Xe e e ------=--= >$5=C,故这里欧式看涨期权的价值被低估，我们可以构造如下策略获得套利：期初卖空一股股票，获益$64，将所得收入的$0.79(0.12/120.8e -=)存入银行一个月，用于补偿原股票持有人的红利收入，将$5用于购买一份欧式看涨期权，剩余收益($58.21)存入银行4个月。

在期权到期时：如果60T S >，执行看涨期权，取出存款，用$60买入一股股票，还清股票，净收益为： 0.12/358.2160$0.59e -=;如果60T S <=,不执行期权，取出存款，在现货市场上买入一股股票，成本为T S ,还清股票，，净收益为0.12/30.12/358.2158.2160$0.59T e S e ->-=。

3.假设你是一家杠杆比例很高的公司的经理及唯一的所有者。

所有的债务一年后到期。

如果那时公司的价值高于债务的面值，你就可以偿还债务。

如果公司的价值小于债务的面值，你就必须宣布破产，让债务人拥有公司。

a ）将公司价值作为期权的标的物，描述你的头寸状况。

b ）按照以公司价值为标的物的期权的形式，描述债务人的头寸状况。

c ）你应当如何做来提高你头寸的价值。

答案： 设公司价值为t S (0<=t<=T, 0为当前时刻，T 为债务到期日)，债务面值为D 。

a) 在债务到期时，如果公司价值大于D ，则还清债务后，经理拥有价值为：T S D -,否则如果公司价值小于D ，则债务人拥有公司，经理将一无所有，故经理价值为0。

综上，经理人的价值可以表示如下：,0T T TS D S D S D ->⎧⎨≤⎩ 即max(T S D -,0)，即可以看做拥有欧式看涨期权的多头。

b) 在债务到期时，如果公司价值大于D ，则债务人可以得到D ，否则如果公司价值小于D ，则债务人拥有公司，价值为T S 。

综上，债务人的价值可以表示如下：,T T T D S D S S D>⎧⎨≤⎩ 即min(,)T S D ,也可以表示成：min(,)max(,)max(,)[max(,)]max(0,)T T T T T T T T T T S D S D S S S D S S S D S S D =---=----=-+--=--即公司价值多头与以公司价值为标的的看涨期权空头。

可以理解为，债务人在初始时刻以借出的金额购买了公司，同时卖出一个看涨期权给经理人，如果经理人经营得好，使公司价值高于债务价值，支付债务（执行价）后，经理人就可以拿回公司。

也可以理解为抵押债务,经理人以公司价值作为抵押物,到期资不抵债时债务人将拿走抵押物.c ）因此，经理人应该努力提高公司价值，以提高自己的收益。

4、 对一个欧式看涨期权，若有L 在到期日T 时满足,T S L X L ≥≥，则有rT C S Le -≤-对一个欧式看跌期权，若有U 在到期日T 时满足,T S U X U ≤≤，则有答案：分析：这里有两种解决方案，一种是构造两个策略，直接证明不等关系，类似期权上下限的证明； 另外一种方法是反证法，如果这种关系不成立，看是否存在套利机会，如果存在套利，说明在不存在套利机会的情况下，不等式成立。

为了给大家介绍这两种方法，第一个等式我们采取第一种方方法，第二个等式采取第二种方法。

证明：不等式一、（可等价为：rT C Le S -+≤）组合A ： 一份欧式看涨期权多头＋rT Le -的现金组合B ：一单位标的资产则在到期日：组合A 的价值为：max(,0)max(,)T T S X L S L X L -+=+-由于，X,L ≤且T S ,L ≤故T T T S L X S ,L S +-≤≤ 因此A T V (T)max(,0)S T S X L =-+≤而B T V ()S T =故A B V ()V ()T T ≤因此，由无套利定价原理，A B V (0)V (0)≤，即,rT rT C Le S C S Le --+≤≤-即：不等式二、假设不等式不成立，即rT P Ue S ->-,等价地，rT P S Ue -+>这时是看跌期权价值高估，我们卖出看跌期权应该有套利机会，因此构造套利策略如下：卖出一份看跌期权，卖空一单位股票，将所得收入(P S +)存入银行。

在期权到期时：如果T S X ≥,期权多头不会执行期权，因此我们需要从市场上以T S 的价格买入股SUe p rT -≤-票，还给持有人，成本为T S ，同时存款的现金收益为()rT rT rT P S e Ue e -+>,故净收益为(),()0rT rT rT rT T T T P S e S Ue e S P S e S -+->-+->故，； 如果T S X <,期权多头会执行期权，因此我们以X 买入股票，还给持有人，成本为X ，同时存款的现金收益为()rT rT rT P S e Ue e -+>,故净收益为(),()r T r T r T r T P S e X U e e X P S e X -+->-+->故，； 因此，此时存在套利机会。

故在不存在套利机会的情况下，原不等式必须成立。

5. 证明：两种除执行价格外，其他条件相同的欧式看涨期权（或欧式看跌期权）的价格差的绝对值不会超过它们执行价格的差异现值的绝对值。

1221|||()|rT c c X X e --≤-答案：证明方法与第四题类似，为去掉绝对值，不妨设12X X >,则根据看涨期权价值与执行价格间的关系，12C C <,此时需要证明的关系为：2112()rT C C X X e --≤-等价于：2211rT rT C X e C X e --+≤+因此我们只需做出下面的两个组合：组合A ：一份执行价为2X 的欧式看涨期权多头＋2rT X e -的现金 组合B ：一份执行价为1X 的欧式看涨期权多头＋1rT X e -的现金 只要能证明(0)(0)A B V V ≤即可，其中(),()A B V t V t 分别表示组合A 、组合B 在t 时刻的价值，t ＝0表示当前，t ＝T 表示期权到期日。

首先看在到期日：组合A 的价值为：222()max(,0)max(,)A T T V T S X X S X =-+= 组合B 的价值为：111()max(,0)max(,)B T T V T S X X S X =-+=由于12X X >,故21max(,)max(,)T T S X S X ≤，即()()A B V T V T ≤（当1T S X ≥时，()()A B TV T V T S ==，当1T S X <时，()()A B V T V T <）。

故由无套利原理，(0)(0)A B V V ≤。

即：2211rT rT C X e C X e --+≤+。

当12X X <时，类似可得。

6. 证明有收益资产的美式期权的平价关系：S-D-X =< C-P =< S-Xe-rT证明：得证。

因此，故：，则红利累积值记为时刻前的，且时刻设为支付时刻看涨期权，必然在红利若提前执行，对于美式若不提前执行：提前执行两种情况，同理考虑不提前执行和一个标的资产个欧式看跌期权多头：组合现金个美式看涨期权多头：组合：和类似地，构造组合，即证：其次证明，即：的价值，故：未来的价值均大于组和因此任何情况下，组合故：此时：时刻的折现值，则期间的红利在示表，为时刻前的红利累积值记时刻执行，必然如在组合的期权提前执行，若故累计值；是有效期内股票红利的其中：在到期日组合期权不提前执行，若的现金一个欧式看涨期权多头：组合一个美式看跌期权多头：一份标的资产组合，构建两个组合即证：首先证明；)0(V )0()(V )()()(V t ,X ,t ,)(V ),max()0,max()(),max()0,max()(V 1D 1C D C )0(V )0(V A B )(V )(V )()()()(V ,t ],[t ,X t A )(V )(V ),max()0,X max()()(V ),max()0,max()(V T A X D B A BA C C )(C C C AB A B A A B B A >>>++=<+-=<>+=-++==+-=+++≤+-≤-++≤++<+>>+>+≥++=+=-++=≤>>+>-++=+=-++=+++++≤+-≤-------D D tt t D tt T r t t rT T T rT T D T T rT rT rT rt rt t B t t rt t t rTT T rT rT rTT T rT T V t t V S a S p t V S Xe X S t a S T De X S S X De S T V X S X X S T Xe SP Xe C Xe S P C XD C X D c P S t t aX e D X e D X c t V aX S X a S t De a T t D a S T T De S X S e D X T De De S X S X De S T XD C P S PC XD S。