信号与线性系统题解第二章
信号与系统课后题解第二章
⑺
对⑺式求一阶导，有：
de(t ) d 2 i 2 (t ) di (t ) du (t ) =2 +2 2 + c 2 dt dt dt dt de(t ) d 2 i2 (t ) di (t ) =2 + 2 2 + 2i1 (t ) + 2i 2 (t ) 2 dt dt dt
⑻
将⑸式代入⑻式中，有：
λ 2 + 2λ + 1 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1
y h (t ) = C1e −t + C2 te− t
由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：
C1 = 1 − C 1 + C 2 = 0
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
A1 = 2, A2 = −1
y zi (t ) = 2e − t − e −2 t
（2）由原微分方程可得其特征方程为
λ 2 + 2λ + 2 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1 ± i
y h (t ) = e −t (C1 cos t + C2 sin t )
(− 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) − (− 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )
(
(
( + C e )δ (t ) + (C e
2 1
)
−2 t
+ C2 e t δ ' (t )
信号与系统 第二章习题 王老师经典解法(青岛大学)小白发布
2-16 已知 f1 (t ) =
画出下列各卷积的波形。 （1） s1 (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ； （2） s2 (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ∗ f 2 (t ) ； （3） s3 (t ) = f1 (t ) ∗ f 3 (t ) 。
2-17 求题图 2-17 所示电路在 e(t ) = (1 + 2e
第二章
连续时间系统的时域分析
2-1 电路如题图 2-1 所示，列写求 vo (t ) 的微分 方程。
L1 1H R1 2Ω + e(t) i 1 (t )
R2 1Ω + L2 2H 题图 2-1
C
1F
i 2 (t )
vo(t)
2-2 电路如题图 2-2 所示， 列写求 i2 (t ) 的微分方 程。
题图 2-18
−2 t
− 1)U (t ) ， 试利用卷积的性质求题
1 0 -1
e2(t)=tU(t) 1 t 0
e3(t)
t 0 1
2-19 一线性时不变的连续时间系统，其初始状态一定，当输入 e1 (t ) = δ (t ) 时，其全响应
r1 (t ) = −3e − tU (t ) ； 当 输 入 e2 (t ) = U (t ) 时 ， 其 全 响 应 r2 (t ) = (1 − 5e − t )U (t ) 。 求 当 输 入 e(t ) = tU (t ) 时的全响应。
2-14 计算卷积 f (t ) = f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) ，其中 f1 (t ) = sgn(t − 1) ， f 2 (t ) = e 2-15 求下列卷积 （1） f1 (t ) = e
信号与线性系统_习题答案(有错版)
2.1 (1) 已知连续时间信号 x(t ) 如图 P2.1(a)所示。试画出下列各信号的波形图，并加以标 注。 (a) x(t − 2) (b) x(1 − t ) (c) x(2t + 2) (2) 根据图 P2.1(b)所示的信号 h(t ) ，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) h(t + 3) (b) h( − 2) (c) h(1 − 2t ) (3) 根据图 P2.1(a)和(b)所示的 x(t ) 和 h(t ) ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) x(t )h(−t ) (b) x(1 − t )h(t − 1) (c) x(2 − ) h(t + 4)
其基波周期 T0 是 T1 , T2 的最小公倍数。 (b) x(n) 和 y ( n) 是周期的， x(n + = N1 ) x(n), y (n + N = y ( n) 2) 令 f= (n) x(n) + y (n) ，欲使 f (n) 是周期的，必须有
= N 0 kN = mN 2 1
πn
4
，对所有 n ，
7
1 n , n奇 显然 x(n) 是非周期的，但 y1 (n) 是周期的。 h(n) = 3 0, n偶
(c) 正确。若 x(n) 的周期为 N ，则 y2 (n) 的周期为 2 N 。 (d) 正确。若 y2 (n) 的周期为 N ，则 N 只能是偶数。 x(n) 的周期为 N / 2 。 2.7 判断下列各信号是否是周期信号，如果是周期信号，求出它的基波周期。 (a) = x(t ) 2 cos(3t + π / 4) (c) x(t ) = e (e) = x ( n)
1
信号与系统第二章习题与答案
第二章习题与答案1．求以下序列的z 变换并画出零极点图和收敛域。
分析：Z 变换概念∑∞-∞=-==n nzn x z X n x Z )()()]([，n 的取值是)(n x 的有值范围。
Z 变换的收敛域 是知足∞<=∑∞-∞=-M zn x n n)(的z 值范围。
解：(1) 由Z 变换的概念可知：∞====<<<<z z az a z az a z a az ,0 1, 11,1 零点为：极点为：即：且收敛域：)(21)()2(n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=)1(21)()3(--⎪⎭⎫⎝⎛-=n u n x n)1(,1)()4(≥=n nn x 为常数）00(0,)sin()()5(ωω≥=n n n n x 10,)()cos()()6(0<<+=r n u n Ar n x n Φω)1||()()1(<=a an x nnn nzaz X -∞-∞=⋅=∑)(nn n nn n z a za-∞=---∞=-∑∑+=1nn n nn n z a z a -∞=∞=∑∑+=01))(1()1()1)(1(1111212a z az a z a az az a za az az ---=---=-+-=-解：(2) 由z 变换的概念可知：n n nz n u z X -∞-∞=∑=)()21()( ∑∞=-=0)21(n n n z 12111--=z 211121><⋅z z 即：收敛域： 0 21==z z 零点为：极点为：解:（3）nn n z n u z X -∞-∞=∑---=)1()21()(∑--∞=--=1)21(n n n z∑∞=-=12n n n z zz212--= 12111--=z 21 12 <<z z 即：收敛域：0 21 ==z z 零点为：极点为： 解： (4) ∑-⋅∞==11)(n nz n z X∑∞--=-=•••11)(1)(n n z n n dz z dX 21)(11z z z n n -=-=∑∞=-- ，1||>z。
信号与系统课后习题与解答第二章
2-1 对图2-1所示电路分别列写求电压)(0t v 的微分方程表示。
2(t ei )(t +-(e )(e )(t +-图2-1解 （a ）对于图2-1（a ）所示电路列写网孔电流方程，得[]⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-++⎰⎰⎰∞-∞-∞-t t t t v i d i i t e d i d i dt t di i )()()()()()()()(202122111ττττττττ 又 dtt di t v )(2)(20= 消元可得如下微分方程：)(3)(5)(5)(200022033t v t v dt dt v dtd t v dt d +++=2)(te dt d（b ）对于图2-1（b ）所示的双耦合电路，列写电路微分方程，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+++=+++⎰⎰∞-∞-)()(0)()()()(1)()()()()(10221221211t v t Ri t Ri dt t di M dt t di L d i Ct e t Ri dtt di M dt t di L d i C ttττττ 消元可得如下微分方程：)()(1)(2)(2)(2)()(22020022203304422t e dtd MR t v C t v dt d C R t v dtd R R L t v dtd RL t v dt d M L =++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++- （c ）对于图2-1（c ）所示电路列写电路方程，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎰∞-)()()(1)()()()(10101011t v t v dt d C dt t v L R t v R t v t v dt d C t i t μ 消元可得如下微分方程：)()(1)(1)()(101011022110331t i dt dR t v RL t v dt d R R L C t v dt d R C R C t v dt d CC μ=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ （d ）对图2-1（d ）所示电路列写电路方程，电流)(t i 如图2-2所示，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++⎰∞-)()()()()()()()(1)(1011t v t v t e t v t Ri t e t v d i C t Ri t μμττ 消元可得如下微分方程：(t e )(t +-图2-2)()(1)()1(00t e Rt v R t v dt d Cμμ=+-2-2 图2-3所示为理想火箭推动器模型。
信号与系统-第2章例题
d2y dy 5 6 y (t ) 4 f (t ) 2 dt dt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t0
系统的特征方程为 系统的特征根为
s 2 5s 6 0 s1 2，s2 3
yx (t ) K1e—2t K2e—3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
r2 (t ) rzi (t ) 2rzs (t ) [e3t 2sin(2t )]u(t )
解得
rzi (t ) 3e3t u(t )
rzs (t ) [e3t sin(2t )]u(t )
r3 (t ) rzi (t ) rzs (t t0 )
冲激平衡法 冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的 恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导 数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲激响应h(t)。
例：
已知某线性非时变系统的动态方程式为
dy (t ) 3 y (t ) 2 f (t ) dt
试求系统的冲激响应h(t)。
(t 0)
[解] 系统的特征方程为 系统的特征根为 y(0)=yx(0)=K1=1; y'(0)= y'x(0)= 2K1+K2 =3
s 2 4s 4 0
s1 s2 2
（两相等实根）
yx (t ) K1e—2t K2te—2t
解得 K1 =1, K2=5
yx (t ) e2t 5te2t , t 0
2) 求非齐次方程y‘’(t)+6y‘(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t) 由输入f (t)的形式，设方程的特解为
信号与系统课后答案 第2章 习题解
第2章 习 题2-1 求下列齐次微分方程在给定起始状态条件下的零输入响应（1）0)(2)(3)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,3)0(==--y dt dy ； （2）0)(4)(22=+t y t y dt d ；给定：1)0(,1)0(==--y dtd y ；（3）0)(2)(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt dy ； （4）0)()(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy ； （5）0)()(2)(2233=++t y dt d t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(,1)0(22===---y dt d y dt d y 。
（6）0)(4)(22=+t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy 。
解：（1）微分方程的特征方程为：2320λλ++=，解得特征根：121, 2.λλ=-=- 因此该方程的齐次解为：2()t th y t Ae Be --=+.由(0)3,(0)2dy y dt--==得:3,2 2.A B A B +=--=解得:8, 5.A B ==- 所以此齐次方程的零输入响应为:2()85tty t e e--=-.（2）微分方程的特征方程为：240λ+=，解得特征根：1,22i λ=±.因此该方程的齐次解为：()cos(2)sin(2)h y t A t B t =+.由(0)1,(0)1d y y dx --==得:1A =,21B =,解得:11,2A B ==. 所以此齐次方程的零输入响应为:1()cos(2)sin(2)2y t t t =+.（3）微分方程的特征方程为：2220λλ++=，解得特征根:1,21i λ=-± 因此该方程的齐次解为：()(cos()sin())th y t e A t B t -=+.由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,A B A =-= 解得:1,3A B ==.所以齐次方程的零输入响应为:()(cos()3sin())ty t e t t -=+.（4）微分方程的特征方程为：2210λλ++=，解得二重根:1,21λ=-.因此该方程的齐次解为：()()th y t At B e -=+. 由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,B A B =-=解得:3, 1.A B == 所以该方程的零输入响应为:()(31)ty t t e -=+.（5）微分方程的特征方程为：3220λλλ++=，解得特征根: 1,21λ=-,30λ=. 因此该方程的齐次解为：()()th y t A Bt C e -=++.由22(0)1,(0)1,(0)2d d y y y dx dt---===得:1,1,22A C B C C B +=-=-=. 解得:5,3,4A B C ==-=-.所以方程的零输入响应为:()5(34)ty t t e -=-+.（6）微分方程的特征方程为：240λλ+=，解得特征根:120,4λλ==-. 因此该方程的齐次解为：4()th y t A Be -=+.由(0)1,(0)2d y y dx --==得:1,42A B B +=-=.解得:31,22A B ==-. 所以此齐次方程的零输入响应为:431()22ty t e -=-.2-2 已知系统的微分方程和激励信号，求系统的零状态响应。
线性系统课后答案第2章
2.1 Consider the memoryless system with characteristics shown in Fig 2.19, in which u denotes the input and y the output. Which of them is a linear system? Is it possible to introduce a new output so that the system in Fig 2.19(b) is linear?Figure 2.19Translation: 考虑具有图2.19中表示的特性的无记忆系统。
其中u 表示输入，y 表示输出。
下面哪一个是线性系统？可以找到一个新的输出，使得图2.19(b)中的系统是线性的吗？Answer: The input-output relation in Fig 2.1(a) can be described as:u a y *=Here a is a constant. It is a memoryless system. Easy to testify that it is a linear system. The input-output relation in Fig 2.1(b) can be described as:b u a y +=*Here a and b are all constants. Testify whether it has the property of additivity. Let: b u a y +=11*b u a y +=22*then:b u u a y y *2)(*)(2121++=+So it does not has the property of additivity, therefore, is not a linear system.But we can introduce a new output so that it is linear. Let:b y z -=u a z *=z is the new output introduced. Easy to testify that it is a linear system.The input-output relation in Fig 2.1(c) can be described as:u u a y *)(=a(u) is a function of input u . Choose two different input, get the outputs:111*u a y =222*u a y =Assure:21a a ≠then:221121**)(u a u a y y +=+So it does not has the property of additivity, therefore, is not a linear system.2.2 The impulse response of an ideal lowpass filter is given by)(2)(2sin 2)(00t t t t t g --=ωωω for all t , where w and to are constants. Is the ideal lowpass filter causal? Is is possible to built the filter in the real world?Translation: 理想低通滤波器的冲激响应如式所示。
信号与线性系统题解第二章
第二章习题答案收集自网络2.1 (1) 已知连续时间信号()x t 如图P2.1(a)所示。
试画出下列各信号的波形图，并加以标注。
(a) (2)x t - (b) (1)x t - (c) (22)x t +(2) 根据图P2.1(b)所示的信号()h t ，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。
(a) (3)h t + (b) (2)2t h - (c) (12)h t -(3) 根据图P2.1(a)和(b)所示的()x t 和()h t ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。
(a) ()()x t h t - (b) (1)(1)x t h t -- (c) (2)(4)2t x h t -+图P2.1 解：(1) 各信号波形如下图所示：(a)(b)(c)12(2)x t -(1)x t -(22)x t +ttt22221111121001-1-1-2-2-35(2) 各信号波形如下图所示：(a)(b)(c)1212-32(3)h t +(2)2t h -(12)h t -t tt00111124681-2-3-4-5-(3) 各信号波形如下图所示：()()x t h t -(1)(1)x t h t --(2)2t x -(a)(b)(c)ttt∴(2/2)(4)0x t h t -+=00111112222221-1-462-2.2 已知信号(52)x t -的波形图如图P2.2所示，试画出()x t 的波形图，并加以标注。
(52)x t -t32521123图P2.2解：波形如下图所示：3252(52)x t -(5)x t -(5)x t +()x t tttt0001111111222334561-2-3-4-5-6-2.3 (1) 已知离散时间信号()x n 如图P2.3(a)所示，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。
(a) (4)x n - (b) (21)x n +(c) (),ˆ()30,n x n x n n⎧⎪=⎨⎪⎩其他(2) 对图P2.3(b)所示的信号()h n ，试画出下列个信号的波形，并加以标注。
信号与系统 第二章典型例题
利用微分特性
f ′′(t ) =
2
2E τ τ [δ (t + ) + δ (t − ) − 2δ (t )] τ 2 2
τ τ
− jω 2E jω 2 4E ωτ ( j ω ) F (ω ) = [e + e 2 − 2] = (cos − 1) τ τ 2
8E 2 ω τ ω 2 Eτ 2 ω τ = − sin ( ) = − Sa ( ) τ 4 2 4
F1 (ω ) =
又
T 2 ωT Sa ( ) 2 4
T f 0 (t ) = f1 (t − ) 2
−j ωT 2
则：
F0 (ω ) = F1 (ω ) e
T ωT − j = Sa 2 ( )e 2 4
ωT 2
周期信号 f T (t ) 的傅里叶级数系数 C n ：
1 1 nω T − j Cn = F0 (ω ) |ω =nω1 = Sa 2 ( 1 ) e T 2 4
∴ωm
= 3000π
为从 f S (t ) 无失真恢复 f (t ) ，则
最大抽样间隔 Tmax =
π 1 = s ω m 3000
（ 3）
FS (ω ) =
1 TS
n= −∞
∑ F (ω − nω S )
∞
当 TS = Tmax 时，
FS (ω ) =
1
Tmax n =−∞
∑
∞
F (ω −
∞ 2π n) = 3000 ∑ F (ω − 6000 π ⋅ n) Tmax n =−∞
第二章 典型例题
例 2-1：如图所示信号 f (t ) （ 1） 求指数形和三角形傅里叶级数； （ 2） 求级数 s = 1 −
信号与系统课后答案 第2章 习题解
第2章 习 题2-1 求下列齐次微分方程在给定起始状态条件下的零输入响应（1）0)(2)(3)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,3)0(==--y dt dy ； （2）0)(4)(22=+t y t y dt d ；给定：1)0(,1)0(==--y dtd y ；（3）0)(2)(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt dy ； （4）0)()(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy ； （5）0)()(2)(2233=++t y dt d t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(,1)0(22===---y dt d y dt d y 。
（6）0)(4)(22=+t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy 。
解：（1）微分方程的特征方程为：2320λλ++=，解得特征根：121, 2.λλ=-=- 因此该方程的齐次解为：2()t th y t Ae Be --=+.由(0)3,(0)2dy y dt--==得:3,2 2.A B A B +=--=解得:8, 5.A B ==- 所以此齐次方程的零输入响应为:2()85tty t e e--=-.（2）微分方程的特征方程为：240λ+=，解得特征根：1,22i λ=±.因此该方程的齐次解为：()cos(2)sin(2)h y t A t B t =+.由(0)1,(0)1d y y dx --==得:1A =,21B =,解得:11,2A B ==. 所以此齐次方程的零输入响应为:1()cos(2)sin(2)2y t t t =+.（3）微分方程的特征方程为：2220λλ++=，解得特征根:1,21i λ=-± 因此该方程的齐次解为：()(cos()sin())th y t e A t B t -=+.由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,A B A =-= 解得:1,3A B ==.所以齐次方程的零输入响应为:()(cos()3sin())ty t e t t -=+.（4）微分方程的特征方程为：2210λλ++=，解得二重根:1,21λ=-.因此该方程的齐次解为：()()th y t At B e -=+. 由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,B A B =-=解得:3, 1.A B == 所以该方程的零输入响应为:()(31)ty t t e -=+.（5）微分方程的特征方程为：3220λλλ++=，解得特征根: 1,21λ=-,30λ=. 因此该方程的齐次解为：()()th y t A Bt C e -=++.由22(0)1,(0)1,(0)2d d y y y dx dt---===得:1,1,22A C B C C B +=-=-=. 解得:5,3,4A B C ==-=-.所以方程的零输入响应为:()5(34)ty t t e -=-+.（6）微分方程的特征方程为：240λλ+=，解得特征根:120,4λλ==-. 因此该方程的齐次解为：4()th y t A Be -=+.由(0)1,(0)2d y y dx --==得:1,42A B B +=-=.解得:31,22A B ==-. 所以此齐次方程的零输入响应为:431()22ty t e -=-.2-2 已知系统的微分方程和激励信号，求系统的零状态响应。
(完整版)信号与系统课后题答案
《信号与系统》课程习题与解答第二章习题(教材上册第二章p81-p87)2-1,2-4～2-10,2-12～2-15,2-17～2-21,2-23,2-24第二章习题解答2-1 对下图所示电路图分别列写求电压的微分方程表示。
图(a)：微分方程：11222012()2()1()()()2()()()()2()()()c cc di t i t u t e t dtdi t i t u t dtdi t u t dt du t i t i t dt ⎧+*+=⎪⎪⎪+=⎪⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩图（b ）：微分方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+++=+++⎰⎰2021'2'21'2'11)(01)(1Ri t v Ri Mi Li dt i Ct e Ri Mi Li dt i C)()(1)(2)()2()(2)()(33020022203304422t e dtd MR t v C t v dt d C R t v dt d C L R t v dt d RL t v dt d M L =+++++-⇒ 图(c)微分方程：dt i C i L t v ⎰==211'101)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎰dt t v L i t v L i dtdt v L i dt d)(1)(1)(10110'1122011∵ )(122111213t i dt d L C i i i i +=+=)(0(1]1[][101011022110331t e dt dR t v RL v dt d RR L C v dt d R C R C v dt d CC μ=+++++⇒图(d)微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=⎰)()()()()(1)()(11111t e t Ri t v t v dt t i C t Ri t e μRC v dt d 1)1(1+-⇒μ)(11t e V CR = ∵)()(10t v t v μ=)()(1)1(0'0t e R v t v R Cv v =+-⇒2-4 已知系统相应的其次方程及其对应的0+状态条件，求系统的零输入响应。
信号与系统课后题答案
《信号与系统》课程习题与解答第二章习题(教材上册第二章p81-p87)2-1,2-4～2-10,2-12～2-15,2-17～2-21,2-23,2-24第二章习题解答2-1 对下图所示电路图分别列写求电压的微分方程表示。
图(a)：微分方程：11222012()2()1()()()2()()()()2()()()c cc di t i t u t e t dtdi t i t u t dtdi t u t dt du t i t i t dt ⎧+*+=⎪⎪⎪+=⎪⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩图（b ）：微分方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+++=+++⎰⎰2021'2'21'2'11)(01)(1Ri t v Ri Mi Li dt i Ct e Ri Mi Li dt i C)()(1)(2)()2()(2)()(33020022203304422t e dtd MR t v C t v dt d C R t v dt d C L R t v dt d RL t v dt d M L =+++++-⇒ 图(c)微分方程：dt i C i L t v ⎰==211'101)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎰dt t v L i t v L i dtdt v L i dt d)(1)(1)(10110'1122011∵ )(122111213t i dt d L C i i i i +=+=)(0(1]1[][101011022110331t e dt dR t v RL v dt d RR L C v dt d R C R C v dt d CC μ=+++++⇒图(d)微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=⎰)()()()()(1)()(11111t e t Ri t v t v dt t i C t Ri t e μRC v dt d 1)1(1+-⇒μ)(11t e V CR = ∵)()(10t v t v μ=)()(1)1(0'0t e R v t v R Cv v =+-⇒2-4 已知系统相应的其次方程及其对应的0+状态条件，求系统的零输入响应。
信号与线性系统分析第二章L02 Chapter1-2
' (t ) f (t ) d t f ' (0)
f(t)δ’(t-t1) = f(t1)δ’(t-t1) – f ’(t1)δ(t-t1)
2
f (t ) '(t t1 )d t f '(t1 )
'
t 0
d (t 2) (t )d t [(t 2)2 ] t 0 2(t 2) dt
3. 单输入单输出系统与多输入多输出系统
描述连续动态系统的数学模型是微分方程，描 述离散动态系统的数学模型是差分方程。
三、连续系统
1. 解析描述——建立数学模型
L
R
C
u (t)
S
d 2 uC d uC LC RC uC u S 2 dt dt uC (t) uC (0)， C ' (0 ) u
3
利用冲激偶 函数的抽样特性
1. 在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定 都是（，+），但只要积分区间不包括冲 激信号(tt0)的t=t0时刻，则积分结果必为零。 2.对于(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信 号的展缩特性将其化为(t+b/a) /|a|形式后， 方可利用冲激信号的取样特性。
t
0
0 t0
t
sin 0t (t t0 )
t
0 t0
0
sin 0 (t t0 ) (t t0 )
t
t0
二、冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大， 作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特 殊的方式定义（由狄拉克最早提出） : δ (t)
《信号与系统》第二章习题解答
14
Chapter 2
Problems Solution
2.47 An LTI system with impulse response h0 (t ) y0 (t ) x0 (t ) → y0 (t ) 1 In each of these cases,determine 0 2 whether or not we have enough Information to determine the output y (t )
∞ ∞ y ( t ) = ∑ δ ( t − kT ) ∗ h ( t ) = ∑ h ( t − kT ) k =−∞ k =−∞
11
Chapter 2
Problems Solution
y (t )
L
1
-4 -3 -1 0 1 3
-5
5
L
t t
L L
(a) T=4 1 y (t )
Problems Solution
2.20. Evaluate the following integrals:
(a ) ∫−∞
பைடு நூலகம்
+∞
u0 (t ) cos(t )dt = cos t
t =0
=1
(b ) ∫0
5
sin (2πt )δ (t + 3)dt = 0
(c) ∫−5 u1 (1 − τ ) cos(2πτ )dτ
(c) S is time-varying.
y [ n ] = u [ n − 2] − u [ n − 6] y [ n] = u [ n − 4] − u [ n − 8]
( d ) x [ n] = u [ n]
信号与线性系统 白恩健书答案
第1章基本概念K第1章习题k1.1解：（1）x(t)为周期信号，周期为T=10。
（2）x(t)为非周期信号。
（3）x[n]为非周期信号。
（4）x[n]为周期信号，周期为N=2。
（5）x(t)为非周期信号。
（6）x[n]为周期信号，周期为N=2。
1.2解：（1）x(t)为功率信号。
（2）x(t)既不是能量信号也不是功率信号。
（3）x[n]为能量信号。
（4）x(t)为能量信号。
（5）x(t)为能量信号。
（6）x[n]为能量信号。
1.3略。
1.4略。
1.5（原题有误）一个离散时间系统的激励与响应的关系为y[n]=M∑i=0b i x[n−i]。
用算符S−k代表将信号x[n]平移k个单位时间得到输出信号x[n−k]的系统，即x[n−k]=S−k(x[n])。
写出联系y[n]与x[n]的系统算符T及其可逆系统的算符T inv。
解：提示：可逆系统为y[n]−M∑i=1b i x[n−i]=b0x[n]。
1.6解：（1）因果、无记忆、非线性、时不变、BIBO稳定系统。
（2）因果、无记忆、线性、时变和BIBO稳定系统。
（3）因果、无记忆、线性、时变和非稳定系统。
（4）因果、记忆、线性、时不变和BIBO稳定系统。
（5）因果、无记忆、线性、时变和BIBO稳定系统。
（6）因果、记忆、时不变、非稳定系统。
–2/48–第1章基本概念（7）因果、无记忆、线性、时不变和BIBO稳定系统。
（8）非因果系统、无记忆、线性、时不变、BIBO稳定系统。
1.7证明略。
1.8解：（1）x[n]的响应为{1,1,−1,2,n=0,1,2,3}。
（2）x[n]的响应为{1,1,−3,1,3,−5,2,n=−3∼3}。
（3）x[n]的响应为{1,0,−1,4,−3,2,n=−2∼3}。
1.9证明提示：根据微积分的极限定义证明。
1.10解：（1）x(t)的响应为4(1−e−t)u(t)−6(1−e−t+1)u(t−1)。
（2）x(t)的响应为[2(t+e−t)−2]u(t)。
信号与系统课后答案2
产生的响应为
t y(τ )dτ
−∞
（积分性质）。
解 （1）设系统的单位冲激响应为 h(t)，则有 y(t) = f (t) ∗ h(t)
对上式等号两端求一阶导数，并应用卷积积分的微分性质，故有
d y(t) = h(t) ∗ d f (t)
dt
dt
（证毕）
（2） y(t) = f (t) ∗ h(t)
−∞
t −∞
4 3
e −τ
−
4 e−4τ 3
U (τ )dτ
=
1 −
4 3
e−t
+
1 e−4t 3
U (t)
A
2-6 图题 2-6 所示电路，以 uC(t)为响应，求电路的单位冲激响应 h(t)和单位阶跃响应 g(t)。
解 电路的微分方程为
d2 dt 2
uc
+3
d dt
uc
uc (0+ ) = Li′(0− ) = 6V
i(0+ ) = i(0− ) = 0
t>0 时的算子电路模型如图题 2.4(b)所示。故得 t>0 电路的微分方程为
uc (t)
=
(2.5
+
1 4
p)i(t )
=
(2.5
+
1 4
p)(−
1 4
puc )
=
−
2.5 4
puc
(t
)
−
1 16
p 2uc (t)
故
y1(t) = f1(t) ∗ f2 (t) = [1+ u(t −1)]∗ e U −(t+1) (t +1) =
信号与线性系统课后答案
(c)
p
图题 2 - 9
g(t)
t
0_
hτ( )dτ
[e 2τ
e τ ]
t 0
ε(t
)
(e t
e 2 t
)ε(t)
.
2 -10 如图题 2-10 所示系统，已知两个子系统的冲激响应分别为 h1(t) (t1)，
h2(t) (t)，试求整个系统的冲激响应 h(t)。
f (t)
h2(t)
y (t)
h1(t) 图题 2 - 10
f1(t) 1
t -2 0 2
(a)
解：
f2(t)
(1)
(1)
f3(t) (1) (1)
t -2 0 2
(b)
3 02 4
t
(-1)
(c)
图题 2 - 11
f4(t) 1
t -1 0 1
(d)
f1 (t )
1 2
(t
2) (t
2)
t (t)
1 2
(t
2) (t
2)
1 f1(t)*f2(t)
(1) f1(t) * f2 (t) f1(t 2) f1(t 2)
(a) 已知 i(0-) = 0，u(0-) = 5V，求 ux(t)； (b) 已知 u(0-) = 4V，i(0-) = 0，求 ix(t)； (c) 已知 i(0-) = 0，u(0-) = 3V，求 ux(t) .
解： (a) Z( p) 0 5 p 6 0 p2 5p 6 0 p
(3) f1(t) et (t) , f2 (t) e 2t (t) ;
(4) f1(t) et (t) , f2 (t) sin t (t) ;
信号与系统第2章答案
0 t 1时,
( 2).1 t 2时,
h(t ) h(t 1) h(t 2) h(t ) h(t 1) 1
h(t ) 1 h(t 1) 1 (t 1) 2 t (3).2 t 3时, h(t ) h(t 1) h(t 2) 1
解: (a) 特征方程为 λ2+3λ+2=0 得 λ1=-2， λ2=-1。
(f). (D2+2D+2)y(t)=Dx(t)
则 h(t)= (c1eλ1 t+ c2eλ2t)u(t)=( c1e- 2 t+ c2e-t)u(t) h`(t)= (c1+ c2)δ(t)+(-2c1e- 2 t-c2e-t)u(t) h``(t)= (c1+ c2)δ`(t)+(-2c1-c2) δ(t)+ (4c1e- 2 t+c2e-t)u(t)
E 4
e
3 ( t T ) 8
]u (t T )
e
u (t T )
2.22 某LTI系统的输入信号x(t)和其零状态响应yx(t)的 波形如图P2.22所示。(a)求该系囊统的冲激响应 h(t),(b)用积分器，加法器和延时器(T=1s)构成该系统。 解: (a)
0
x(t ) (t ) (t 1) (t 2) t, 0 t 1 y x (t ) 1, 1 t 3 4 t , 3 t 4 x(t ) h(t ) (t ) (t 1) (t 2) h(t ) y x (t ) t, 0 t 1 h(t ) h(t 1) h(t 2) 1, 1 t 3 4 t , 3 t 4
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第二章习题答案收集自网络2.1 (1) 已知连续时间信号()x t 如图P2.1(a)所示。
试画出下列各信号的波形图，并加以标注。
(a) (2)x t - (b) (1)x t - (c) (22)x t +(2) 根据图P2.1(b)所示的信号()h t ，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。
(a) (3)h t + (b) (2)2t h -(c) (12)h t -(3) 根据图P2.1(a)和(b)所示的()x t 和()h t ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。
(a) ()()x t h t - (b) (1)(1)x t h t -- (c) (2)(4)2t x h t -+图P2.1 解：(1) 各信号波形如下图所示：(a)(b)(c)12(2)x t -(1)x t -(22)x t +ttt22221111121001-1-1-2-2-35(2) 各信号波形如下图所示：(a)(b)(c)1212-32(3)h t +(2)2t h -(12)h t -t tt111124681-2-3-4-5-(3) 各信号波形如下图所示：()()x t h t -(1)(1)x t h t --(2)2t x -(a)(b)(c)ttt∴(2/2)(4)0x t h t -+=0111112222221-1-462-2.2 已知信号(52)x t -的波形图如图P2.2所示，试画出()x t 的波形图，并加以标注。
(52)x t -t32521123图P2.2解：波形如下图所示：3252(52)x t -(5)x t -(5)x t +()x t tttt0001111111222334561-2-3-4-5-6-2.3 (1) 已知离散时间信号()x n 如图P2.3(a)所示，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。
(a) (4)x n - (b) (21)x n +(c) (),ˆ()30,nx nx n n ⎧⎪=⎨⎪⎩其他(2) 对图P2.3(b)所示的信号()h n ，试画出下列个信号的波形，并加以标注。
(a) (2)h n - (b) (2)h n +(c) (2)(1)h n h n ++--(3) 根据图P2.3(a)和(b)所示的()x n 和()h n ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。
(a) (2)(12)x n h n +- (b) (1)(4)x n h n -+ (c) (1)(3)x n h n --()x n n()h n n1212-3232-12(a)(b)4-1-1-1-2-0011122334421图P2.3 解：(1) 各信号波形图如下图所示：(4)x n -n(a)1/22-1-01123456(21)x n+ˆ()xn nn(b)(c)2-1-1-0011112233(2) 各信号波形图如下图所示：(2)(1)h n h n ++--n1/2(c)6-5-4-3-2-2-2-1-0123(3) 各信号波形如下图所示：(2)(12)x n h n +-(1)(4)x n h n -+(a)(b)nn1/21/2-3/23/21/43/4-1-1-001112232(1)(3)x n h n --(c)n1/21/2-3/2-1-1-012345672.4 画出图P2.4所给各信号的奇部和偶部。
()x t t()x t t(a)(b)00112112-1-图P2.4 解：(a)1212{}()d x t O tt12-1-1-2-2-01122{}()u E x t(b){}()d x t O tt12122-2-1-1-00112212-1{}()u E x t(c)()e x n ()o x n nn4-3-2-2-1-1-0011223344111-(d)1/23/21/21/2-1/2-1/2-1/2-1/2-3/21/21/21/23/2-()o x n ()e x n nn3-2-1-0011232.5 已知()x n 如图P2.5所示，设：12()(2)(/2),()0,y n x n x n n y n n =⎧=⎨⎩偶奇画出1()y n 和2()y n 的波形图。
()x n n4-1-0112234图P2.5 解：2.6 判断下列说法是否正确？如果正确，则求出每个信号基波周期之前的关系，如果不正确，则举出一个反例。
(1) (a) 若()x t 是周期的，则(2)x t 也是周期的。
(b) 若(2)x t 是周期的，则()x t 也是周期的。
(c) 若()x t 是周期的，则(/2)x t 也是周期的。
(d) 若(/2)x t 是周期的，则()x t 也是周期的。
(2) 定义12(/2),()(2),()0,x n n y n x n y n n ⎧==⎨⎩偶奇(a) 若()x n 是周期的，则1()y n 也是周期的。
(b) 若1()y n 是周期的，则()x n 也是周期的。
(c) 若()x n 是周期的，则2()y n 也是周期的。
(d) 若2()y n 是周期的，则()x n 也是周期的。
解：(1) (a) 正确。
若()x t 的周期为T ，则(2)x t 的周期为/2T 。
(b) 正确。
若(2)x t 的周期为T ，则()x t 的周期为2T 。
(c) 正确。
若()x t 的周期为T ，则(/2)x t 的周期为2T 。
(d) 正确。
若(/2)x t 的周期为T ，则()x t 的周期为/2T 。
(2) 由12(/2),()(2),()0,x n n y n x n y n n ⎧==⎨⎩偶奇 (a) 正确。
设()x n 的周期为N 。
如果N 为偶数，则1()y n 的周期为/2N ；如果N为奇数，则必须有022N N =，才能保证周期性，此时1()y n 的周期为0N N =。
(b) 不正确。
设()()()x n g n h n =+，其中()sin4ng n π=，对所有n ，1,()30,n n h n n ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩奇偶显然()x n 是非周期的，但1()y n 是周期的。
(c) 正确。
若()x n 的周期为N ，则2()y n 的周期为2N 。
(d) 正确。
若2()y n 的周期为N ，则N 只能是偶数。
()x n 的周期为/2N 。
2.7 判断下列各信号是否是周期信号，如果是周期信号，求出它的基波周期。
(a) ()2cos(3/4)x t t π=+ (b) ()cos(8/72)x n n π=+ (c) (1)()j t x t e π-= (d) (/8)()j n x n e π-=(e) []0()(3)(13)m x n n m n m δδ∞==----∑(f) ()cos 2()x t t u t π=⨯ (g) ()cos(/4)cos(/4)x n n n π=⨯ (h) []()cos 2()v x t E t u t π=⨯ (i) []()cos(2/4)()v x t E t u t ππ=+⨯ (j) ()2cos(/4)sin(/8)2sin(/2/6)x n n n n ππππ=+-+ 解：(a) ()2cos(3/4)x t t π=+，周期信号，23T π=。
(b) ()cos(8/72)x n n π=+，周期信号，087πΩ= ，7N ∴=(c) (1)()j t x t e π-=，周期信号，2T =。
(d) (/8)()j n x n eπ-=，非周期信号，因为0/2πΩ是无理数。
(e) []()(3)(13)m x n n m n m δδ∞=-∞=----∑，设周期为N，则有[]()(3)(13)m x n N n N m n N m δδ∞=-∞+=+--+--∑，令3N k =，（k 为整数） 则()()(3)3()13()m x n k n m k n m k δδ∞=-∞+=------⎡⎤⎣⎦∑，令m k l -=则有()()(3)313m x n k n l n l δδ∞=-∞+=----⎡⎤⎣⎦∑显然，()x n 是周期信号，其周期为3N =。
(f) ()cos 2()x t t u t π=⨯，非周期信号。
(g) cos4n 是非周期的，∴()x n 是非周期信号。
(h) [][]1()cos 2()(cos 2)()(cos 2)()2v x t E t u t t u t t u t πππ=⨯=⨯+⨯-，周期的，周期1T =。
(i) []()cos(2/4)()v x t E t u t ππ=+⨯，非周期信号。
(j) ()x n 是周期信号，其周期就是cos sin 48n n ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、和sin 26n ππ⎛⎫+⎪⎝⎭的公共周期。
∴ 周期为16N =。
2.8 (a) 设()x t 和()y t 都是周期信号，其基波周期分别为1T 和2T 。
在什么条件下，和式()()x t y t +是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？(b) 设()x n 和()y n 都是周期信号，其基波周期分别为1N 和2N 。
在什么条件下，和式()()x n y n +是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？解： (a) ()x t ，()y t 是周期的，1()()x t kT x t +=，2()()y t kT y t += 令()()()f t x t y t =+，欲使()f t 是周期的，必须有00()()()()()()s t T x t T y tT x ty t f t+=+++=+= 012T k T l T ∴== 即12T l T k=，其中,k l 为整数。
这表明：只要()x t 和()y t 的周期之比12T T 是有理数，()()x t y t +就一定是周期的。
其基波周期0T 是12,T T 的最小公倍数。
(b) ()x n 和()y n 是周期的，12()(),()()x n N x n y n N y n +=+= 令()()()f n x n y n =+，欲使()f n 是周期的，必须有 012N k N m N == （,k m 为整数） 即''11121''22122gcd(,)gcd(,)N N N N N m N kN N N N ==='1N 与'2N 无公因子， ''12,m N k N ∴=='0211212/g c d (,)N N N N N N N== 2.9 画出下列各信号的波形图：(a) ()(2)()t x t e u t -=- (b) []()cos10(1)(2)tx t e t u t u t π-=---(c) 2()(9)x t u t =- (d) 2()(4)x t t δ=- 解：各信号波形如下图所示：图PS2.92.10 已知信号()()()sin x t t u t u t π=⨯--⎡⎤⎣⎦，求： (a) 212()()()d x t x t x t dt=+ (b) 2()()t x t x d ττ-∞=⎰解： ()()()sin x t t u t u t π=⨯--⎡⎤⎣⎦()()()()()()()cos sin cos dx t t u t u t t t t dtt u t u t πδδππ=⨯--+⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=⨯--⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()()()()22()sin cos sin cos 0cos sin d x t t u t u t t t t dtt u t u t t t t u t u t t t πδδππδδπππδδπ=-⨯--+⨯+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-⨯--++-⎡⎤⎣⎦=-⨯--+--⎡⎤⎣⎦ ∴ (a) 212()()()()()d x t x t x t t t dtδδπ=+=--(b) 200()()1cos 02t t x t x d t t t ττππ-∞≤⎧⎪==-<≤⎨⎪>⎩⎰2.11 计算下列各积分： (a) sin ()2t t dt πδ∞-∞⨯-⎰(b)(2)te t dt δ∞--∞⨯+⎰(c) 3(2)(1)t t t dt δ∞-∞++-⎰ (d) 00()()2t u t t t dt δ∞-∞-⨯-⎰(e) ()e dt τδτ∞--∞⎰(f)121(4)t dt δ--⎰解： (a) sin ()sin122t t dt ππδ∞-∞⨯-==⎰(b)(2)2(2)t e t dt e e δ∞----∞⨯+==⎰(c) 同(b)，4 (d) 00000()()()()222t t t u t t t dt u t u δ∞-∞-⨯-=-=⎰(e)()1e dt e τδτ∞--∞==⎰(f) 02.12 根据本章的讨论，一个系统可能是或者不是：①瞬时的；②时不变的；③线性的；④因果的；⑤稳定的。