专题01 任意角、弧度制及任意角的三角函数-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(六)(原卷板)

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2019版高考数学(文)第3章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数 Word版含解析

第讲任意角和弧度制及任意角的三角函数板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点角的概念．分类．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝{ββ＝α＋·°，∈}．考点弧度的定义和公式．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度的角，弧度记作.．公式：()弧度与角度的换算：°＝π弧度；°＝π弧度；()弧长公式：＝α；()扇形面积公式：扇形＝和扇形＝α.说明：()()公式中的α必须为弧度制．考点任意角的三角函数．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(，)，则α＝，α＝，α＝(≠)．．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是()．如图中有向线段，，分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．[必会结论]．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．．任意角的三角函数的定义(推广)设(，)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点的距离为，则α＝，α＝，α＝(≠)．[考点自测]．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()第一象限角必是锐角．()()不相等的角终边一定不相同．()()终边落在轴非正半轴上的角可表示为α＝π＋π(∈). ()()弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．()()三角函数线的方向表示三角函数值的正负．()答案()×()×()√()√()√．[课本改编]下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()．π＋°(∈) ．·°＋(∈)。

高考数学考点专题：三角函数与解三角形：任意角和弧度制及任意角的三角函数

1 2lr
＝
1 2r
2α.
3．任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
设 α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么
定义
y 叫做 α的正弦，记作 sin α
x 叫做 α的余 y 弦，记作 cos α x叫做 α的正切，记作 tan α
Ⅰ
＋
＋
＋
各象
Ⅱ
＋
－
－
限符
Ⅲ
－
－
＋
号
Ⅳ
－
＋
－
三角函
数线
有向线段 MP 为正有向线段 OM 为
弦线
余弦线
【教材改编】
有向线段 AT为正切线
1． (必修 4 P5 练习 T4 改编 ) 2017 6 8 是第几象限角 ( )
A ．第一象限角 C．第三象限角 [ 答案 ] B
B．第二象限角 D．第四象限角
[ 解析 ]
2017 6 8 142 53 52 6 360 ，
A．1
B．－ 1
C．± 1
D．± 5
[ 答案 ] B
[ 解析 ] x＝3a，y＝4，r＝ 9a2＋16，
由 cos α＝－ 35得
3a 9a2＋
＝－ 16
35，且
a<0.
解得 a＝－ 1.选 B.
6． (必修 4 P15 练习 T4 改编 )α是△ ABC 的一内角，下列结论正确的是 ( ) α
A ．sin2的最大值为 1 B．sin αcos α<0 时，△ ABC 为钝角三角形 C．sin α<cos α时， 45°<α<90°[
1 0 1；

高三复习第一讲任意角、弧度制及任意角的三角函数

第三章三角函数、解三角形第一讲任意角、弧度制及任意角的三角函数【考纲速读吧】1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．个必会技巧1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r 一定是正值．2．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．项必须注意1．注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．有关扇形的弧长l、面积S的题目，解题的关键是灵活运用l＝αr，S＝12l r＝12αr2两个公式，同时注意消元法和函数思想的运用．【课前自主导学】011．角的有关概念（1）从运动的角度看，角可分为正角、________和________．（2）从终边位置来看，可分为________和轴线角．（3）若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S＝{β|β＝________}（或{β|β＝________}）．判断下列命题是否正确①终边相同的角一定相等（）②第一象限的角都是锐角（）③若α是锐角，180°－α为第二象限的角（）④若α＝k·180°＋30°，则α是第一象限的角（）若α的终边落在第二象限角平分线上，则α的集合__________，若α的终边落在第二、四象限角平分线上，则α的集合________．3．弧度与角度的互化（1）1弧度的角长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示．（2）角度与弧度之间的换算 360°＝________ rad,180°＝________ rad ，n °＝________ rad ，α rad ＝________，1 rad≈57°18′＝57．3°．（3）弧长、扇形面积公式①半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角的弧度是________．②扇形半径为r ，圆心角的弧度数是α，则这个扇形的弧长l ＝________，面积S ＝12lr ＝12________，周长＝．（1）120°的弧度数为________；495°的弧度数为________．（2）半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________．（3）已知扇形圆心角为25π，半径为20 cm ，则扇形的面积________．4．任意角的三角函数（1）定义：设角α终边与单位圆交于P （x ，y ），则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________．（2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1,0）．如图中有向线段MP ，OM，AT 分别叫做角α的________，________和________．（3）诱导公式（一）α＋k ·2π）＝________；cos （α＋k ·2π）＝________；tan （α＋k ·2π）＝________．（k ∈Z ）（1）已知角α终边上一点P （－6,8），则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________．（2）已知sin A >0且tan A <0，则A 为第________象限角．（3）cos （－113π）的值是________．（4）若π4<θ<π2则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系为______．【自我校对】1．负角零角象限角 α＋2k π，k ∈Z α＋k ·360°，k ∈Z 2．判一判：①× ②× ③√ ④× 填一填：{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z } {α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z }3．半径 2π π n π180 [α（180π）]° lr |α|r |α|·r 2 |α|r ＋2r填一填：（1）23π 114π （2）2 （3）80π cm 24．y x yx（x ≠0）正弦线余弦线正切线 sin α cos α tan α填一填：（1） 45 －35 －43 （2）二（3） 12（4）tan θ>sin θ>cos θ【核心要点研究】02xyyxyxy【考点一】象限角及终边相同的角例1 （1）[2012·郑州期末]若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为（）A ．2k π＋β（k ∈Z ）B ．2k π－β（k ∈Z ）C ．k π＋β（k ∈Z ）D ．k π－β（k ∈Z ）（2）已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第________象限．（） A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【审题视点】（1）利用终边相同的角进行表示及判断．（2）利用三角函数在各象限的符号作判断．[解析] （1）因为角α和角β的终边关于x 轴对称，所以α＋β＝2k π（k ∈Z ）．所以α＝2k π－β（k ∈Z ）．（2）因为点P （tan α，cos α）在第三象限，因此有⎩⎨⎧tan α<0cos α<0，∴α是第二象限角，故选B ．[答案] （1）B （2）B【师说点拨】1．研究角终边关系问题时可借助于图形分析，注意周期性．2．熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限．【变式探究】（1）已知角α＝2k π－π5（k ∈Z ），若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋tan θ|tan θ|的值为（）A ．1B ．－1C ．3D ．－3（2）设集合M ＝{x |x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4×180°＋45°，k ∈Z }，那么（）A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅ 答案：（1）B （2）B解析：（1）由α＝2k π－π5（k ∈Z ）及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0．因此，y ＝－1＋1－1＝－1，故选B ．（2）法一：由于M ＝{x |x ＝k2×180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝{x |x ＝k4×180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B ．法二：由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·（2k ＋1），2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝（k ＋1）·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B ．【考点二】三角函数的定义例2 已知角α的终边上一点P （－3，m ）（m ≠0），且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值．【审题视点】由sin α＝2m4结合三角函数的定义建立关于参数m 的方程求出m 的值，再根据定义求cos α，tan α的值．[解] 由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝（－3）2＋m 2（O 为原点），得r ＝3＋m 2．从而sin α＝m r ＝2m 4＝m22，∴r ＝3＋m 2＝22，于是3＋m 2＝8，解得m ＝±5．当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3， ∴ cos α＝－322＝－64，tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3， ∴ cos α＝－322＝－64，tan α＝153【师说点拨】定义法求三角函数值的两种情况（1）已知角α终边上一异于原点的点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．【变式探究】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P （4t ，－3t ）（t ≠0），则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34．综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34．【考点三】扇形的弧长和面积公式例3 已知一扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l ．（1）若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ．（2）若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【审题视点】（1）可直接使用弧长公式计算，但注意角需用弧度制．（2）可用弧长或半径来表达出扇形的面积，然后确定其最大值．[解] （1）α＝60°＝π3 rad ， ∴l ＝|α|·R ＝π3×10＝10π3cm ．（2）由题意得l ＋2R ＝20，∴l ＝20－2R （0<R <10）．∴S 扇＝12l ·R ＝12（20－2R ）·R ＝（10－R ）·R ＝－R 2＋10R ．∴当且仅当R ＝5时，S 有最大值25．此时l ＝20－2×5＝10，α＝l R ＝105＝2 rad ．∴当α＝2 rad 时，扇形面积取最大值．奇思妙想：本例第（2）问改为“若扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角”．该如何解答？解：⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rα＝1012α·R 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1α＝8（舍去），或⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4α＝12， ∴扇形圆心角为12．【师说点拨】（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便．（2）在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理利用圆心角所在的三角形．【变式探究】一个扇形OAB 的面积为1cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB ．解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2. ∴ 圆心角α＝lr ＝2．过O 作OH ⊥AB 于H ．则∠AOH ＝1弧度， ∴AH ＝1·sin1＝sin1（cm ），∴AB ＝2sin1（cm ）．【课课精彩无限】03三角函数定义的应用错误[2011·全国新课标高考]已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝（）A ．－45B ．－35C ．35D ．45[规范解答] 方法1：设P （t,2t ）（t ≠0）为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |．当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55．因此cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35．方法2：tan θ＝y x ＝2， cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35． [答案] B 【备考·角度说】No ．1 角度关键词：易错分析（1）误认为角θ的终边为第一象限，导致漏解；（2）直接在终边y ＝2x 上任取一些特殊点，根据三角函数的定义求值，而不分情况讨论致误；（3）利用三角函数定义时，易把x ，y 的位置颠倒，弄错正弦和余弦的定义． No ．2 角度关键词：备考建议（1）利用定义来求任意角的三角函数，关键是求出角的终边上点P 的横、纵坐标及点P 到原点的距离，再利用定义求解．（2）若角的终边落在某条直线上，这时终边位置实际上有两个，对应的三角函数值有两组，应分别求解．（3）多维思考，方法选择得当，可避免讨论，高效解题．【经典演练提能】041．[2013·怀化检测]sin2cos3tan4的值（）A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在答案：A解析：∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0．2．[2013·北京东城模拟]点P 从（1,0）出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q点的坐标为（）A ．（－12，32）B ．（－32，－12）C ．（－12，－32）D ．（－32，12）答案：A解析：设α＝∠POQ ，由三角函数定义可知，Q 点的坐标（x ，y ）满足x ＝cos α，y ＝sin α，∴x ＝－12，y ＝32，∴Q 点的坐标为（－12，32）．3．[2013·安庆质检]将表的分针拨快10分钟，则分钟转过的弧度数是（）A ． π3B ． π6C ．－π3D ．－π6答案：C解析：将表的分针拔快应按顺时针方向旋转为负角，∴A 、B 不正确，又∵拔快10分钟，应转圆周的16，∴弧度数为－16·2π＝－π3，∴选C ．4．设θ是第三象限角，且|cos θ2|＝－cos θ2，则θ2是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案：B解析：由于θ是第三象限角，所以2k π＋π<θ<2k π＋3π2（k ∈Z ），k π＋π2<θ2<k π＋3π4（k ∈Z ）；又|cos θ2|＝－cos θ2，所以cos θ2≤0，从而2k π＋π2≤θ2≤2k π＋3π2，（k ∈Z ），综上可知2k π＋π2<θ2<2k π＋3π4，（k ∈Z ），即θ2是第二象限角．5．[2013·大庆调研]已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（）A ．2B ．1C ．12D ．3答案：A解析：设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4则面积S ＝12rl ＝12r （4－2r ）＝－r 2＋2r ＝－（r －1）2＋1，∴当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2．从而α＝l r ＝21＝2．【限时规范特训】05（时间：45分钟分值：100分）一、选择题 1． [2013·河南调研]与－525°的终边相同的角可表示为（）A ． 525°－k ·360°（k ∈Z ）B ． 165°＋k ·360°（k ∈Z ）C ． 195°＋k ·360°（k ∈Z ）D ．－195°＋k ·360°（k ∈Z ）答案：C解析：在α＝195°＋k ·360°（k ∈Z ）中，令k ＝－2得α＝－525°，故选C ． 2． [2013·福州模拟]下列三角函数值的符号判断错误的是（）A ． sin165°>0B ． cos280°>0C ． tan170°>0D ． tan310°<0 答案：C解析：∵170°为第二象限角，∴tan 170°<0，选C ．3．已知角α∈（－π2，0），cos α＝23，则tan α＝（）A ．－53B ．－1313C ． 513D ．－52答案：D解析：∵α∈（－π2，0），cos α＝23，∴sin α＝－1－cos 2α＝－53，∴tan α＝sin αcos α＝－52，故选D ．4．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（）A ． π3B ． 2π3 C ． 3 D ． 2答案：C解析：设圆半径为R ，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R ．∴圆弧长为3R ．∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝3．5． [2013·海口模拟]已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是（）A ．（π4，π2）B ．（π，54π）C ．（3π4，54π）D ．（π4，π2）∪（π，54π）答案：D解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0tan α>0，解得α∈（π4，π2）∪（π，54π）．6． [2013·大连模拟]已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点（－12，32），2α∈[0,2π），则tan α＝（）A ．－ 3B ． 3C ． 33D ． ±33答案：B解析：由角2α的终边在第二象限，知tan α>0，依题设知tan2α＝－3，所以2α＝120°，得α＝60°，tan α＝3．二、填空题 7． [2013·泉州质检]若角α的终边经过点P （1,2），则sin2α的值是________．答案：45解析：∵sin α＝25，cos α＝15，∴sin2α＝2×25×15＝45． 8．在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的圆心角α是________rad ．答案：23π解析：由已知可得半径R ＝1，∴sin α2＝AB 2R ＝32，∴α2＝π3，∴α＝23π．9． [2013·抚顺模拟]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P （4，y ）是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．答案：－8解析：因为r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8．三、解答题10．已知角α的终边过点P （－3cos θ，4cos θ），其中θ∈（π2，π），求α的三角函数值．解：∵θ∈（π2，π），∴－1<cos θ<0． ∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43．11． [2013·包头月考]已知角θ的终边上有一点M （3，m ），且sin θ＋cos θ＝－15，求m 的值．解：r ＝32＋m 2＝m 2＋9，依题意sin θ＝m m 2＋9， cos θ＝3m 2＋9，∴m m 2＋9＋3m 2＋9＝－15．即m ＋3m 2＋9＝－15，解得m ＝－4或m ＝－94，经检验知m ＝－94不合题意，舍去．故m ＝－4．12． [2013·盐城模拟]扇形AOB 的周长为8 cm ．（1）若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB ．解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，（1）由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6．（2）∵2r ＋l ＝8， ∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14（l ＋2r 2）2＝14×（82）2＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4．∴r ＝2， ∴弦长AB ＝2sin1×2＝4sin1．。

高考数学(理)总复习讲义：任意角和弧度制及任意角的三角函数

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(3)终边相同的角❶：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线❷.(3)三角函数值在各象限内的符号,(1)终边相同的角不一定相等．(2)“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}，第一象限的角的集合为{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角．(3)角的集合的表示形式不是唯一的，如⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π3，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β| β＝2k π＋7π3，k ∈Z .当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．[熟记常用结论]1．象限角2．轴线角3．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α＞α＞sin α. [小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( )(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( ) (4)三角形的内角必是第一、二象限角．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋94π(k ∈Z)C ．k ·360°－315°(k ∈Z)D ．k π＋5π4(k ∈Z) 解析：选C 由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2k π(k ∈Z)或k ·360°＋45°(k ∈Z)，结合选项知C 正确．2.若角α＝2 rad(rad 为弧度制单位)，则下列说法错误的是( ) A ．角α为第二象限角 B ．α＝⎝⎛⎭⎫360π°C ．sin α＞0D ．sin α＜cos α解析：选D 对于A ，∵π2＜α＜π，∴角α为第二象限角，故A 正确；对于B ，α＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝2 rad ，故B 正确；对于C ，sin α＞0，故C 正确；对于D ，sin α＞0，cos α＜0，故D 错误．选D.3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3 B ．±3 C.33D ．±33解析：选B 由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12.所以tan α＝yx ＝±3.故选B.4．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．解析：设此扇形的半径为r ，由题意得π3r ＝2π，所以r ＝6，所以此扇形的面积为12×2π×6＝6π.答案：6π5．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是________．解析：与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝⎛⎭⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得在0到2π范围内与角－4π3终边相同的角是2π3.答案：2π3考点一象限角及终边相同的角[基础自学过关][题组练透]1．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：选B 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .2．若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角解析：选C ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．∴α2是第一或第三象限角． 3．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z)，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z)，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样，结合选项知选C. 4．与－2 010°终边相同的最小正角是________．解析：因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2 010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是150°.答案：150°5．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________________．解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[名师微点]1．判断象限角的2种方法 2.确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk 的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在的位置． 3．求终边在某直线上角的4个步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π]内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．考点二扇形的弧长及面积公式的应用[师生共研过关][典例精析]已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . (1)若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数． [解] (1)因为α＝100°＝100×π180＝5π9，所以S 扇形＝12lr ＝12αr 2＝12×5π9×4＝10π9.(2)由题意知，l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ，故S 扇形＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25，当r ＝5时，S 的最大值为25，此时l ＝10，则α＝lr ＝2.[解题技法]有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．[过关训练]1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1解析：选C 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin 1，即r ＝1sin 1，从而AB 的长l ＝α·r ＝2sin 1. 2．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π6 B.π3 C ．3D. 3解析：选D 如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ， ∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr ＝ 3.3．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r ＞0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 考点三三角函数的定义及应用[师生共研过关][典例精析](1)若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)(2019·广州模拟)在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫1213，513和⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin(α＋β)＝( )A ．－3665 B.4865 C ．－313D.3365(3)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________. [解析] (1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角．由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．(2)因为角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫1213，513和⎝⎛⎭⎫－35，45，所以sin α＝513，cos α＝1213，sin β＝45，cos β＝－35，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513×⎝⎛⎭⎫－35＋1213×45＝3365. (3)因为角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，所以cos α＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，所以P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，所以sin α＝－1213，所以tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. [答案] (1)C (2)D (3)－23[解题技法]利用三角函数定义解题的常见类型及方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标求三角函数值．先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数定义求解．(2)已知角α的终边与单位圆的交点坐标求三角函数值．可直接根据三角函数线求解． (3)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值．先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数定义求解相关问题，同时注意分类讨论．(4)判断三角函数值的符号问题．先判断角所在的象限，再根据各象限的符号规律判断．[过关训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°＞0 B ．cos(－305°)＜0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－223π＞0 D ．sin 10＜0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°＜0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)＞0；而－223π＝－8π＋2π3，所以－223π是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3＜0；因为3π＜10＜7π2，所以10是第三象限角，故sin 10＜0. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t ＞0时，cos θ＝55；当t＜0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35.3．已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值．解：设P(x，y)．由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，r＝3＋m2，所以sin α＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，即3＋m2＝8，解得m＝±5.当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝－153；当m＝－5时，r＝22，x＝－3，y＝－5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153.综上，cos α＝－64，tan α＝－153或cos α＝－64，tan α＝153.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．若cos θ＜0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0，cos θ＜0，得sin θ＞0，所以角θ的终边所在的象限为第二象限．故选B.2．已知角α＝2kπ－π5(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为()A．1 B．－1 C．3 D．－3解析：选B由α＝2kπ－π5(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y＝－1＋1－1＝－1.3．若角α与β的终边关于x轴对称，则有()A．α＋β＝90°B ．α＋β＝90°＋k ·360°，k ∈ZC ．α＋β＝2k ·180°，k ∈ZD ．α＋β＝180°＋k ·360°，k ∈Z解析：选C 因为α与β的终边关于x 轴对称，所以β＝2k ·180°－α，k ∈Z.所以α＋β＝2k ·180°，k ∈Z.4．已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 的可能区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，π B.⎝⎛⎭⎫－π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫－π2，π2 D.⎝⎛⎭⎫－3π4，π4 解析：选D 由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x ＜0，即sin x ＜cos x ，所以－3π4＋2k π＜x ＜π4＋2k π，k ∈Z.当k ＝0时，x 所在的一个区间是⎝⎛⎭⎫－3π4，π4. 5．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪sin α2sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2cos α2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2解析：选A 因为α是第三象限角，所以2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z)，所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z)，所以α2是第二象限角或第四象限角．当α2是第二象限角时，y ＝sin α2sin α2－cos α2cos α2＝0，当α2是第四象限角时，y ＝－sin α2sin α2＋cos α2cos α2＝0，故选A.6．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14，所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr2R ＋αR＝1∶2.答案：1∶27．一扇形的圆心角为2π3，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．解析：设扇形的半径为R ，其内切圆的半径为r .则(R －r )sin π3＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎫1＋233r . 又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2， ∴S 扇πr 2＝7＋439. 答案：(7＋43)∶98．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α＜0，由lg(cos α)有意义，可知cos α＞0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m ＜0，从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－45. 9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值； (2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．解：(1)设点B 的纵坐标为m ，则由题意m 2＋⎝⎛⎭⎫－452＝1，且m ＞0，所以m ＝35，故B ⎝⎛⎭⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝35－45＝－34.(2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝π3＋2k π，k ∈Z . 二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A. 3B ．±3C ．－ 2D ．－ 3 解析：选D ∵cos α＝x x 2＋5＝24x ，∴x ＝0或x ＝3或x ＝－3，又α是第二象限角，∴x ＝－3，故选D.2．已知点P (sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝2π3，则与角α终边相同的最小正角为________．解析：因为θ＝2π3，故P ⎝⎛⎭⎫32，－12，故α为第四象限角且cos α＝32，所以α＝2k π＋11π6，k ∈Z ，则最小的正角为11π6. 答案：11π6 3．若角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15. 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．(二)素养专练——学会更学通4. [直观想象、数学运算]如图，在Rt △PBO 中，∠PBO ＝90°，以O为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分△POB 的面积，且∠AOB ＝α，则αtan α＝________. 解析：设扇形的半径为r ，则扇形的面积为12αr 2，在Rt △POB 中，PB ＝r tan α，则△POB 的面积为12r ·r tan α，由题意得12r ·r tan α＝2×12αr 2，∴tan α＝2α，∴αtan α＝12. 答案：125．[数学建模]如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6，求点P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P ，Q 各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t 秒，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4，即第一次相遇时所用的时间为4秒．设第一次相遇时，相遇点为C ，则∠COx ＝π3·4＝4π3，则P 点走过的弧长为4π3·4＝16π3， Q 点走过的弧长为2π3·4＝8π3； x C ＝－cos π3·4＝－2， y C ＝－sin π3·4＝－2 3. 所以C 点的坐标为(－2，－23)．。

超实用新高考文科数学重难点专题复习：第一讲任意角,弧度制及任意角的三角函数(核心课件)

第三轮复习，即考前冲刺复习阶段
在这个阶段我们应该大量做一些练习，要做题先要选题，高考真题一定是最好的练习题！因此建议一定要好好做一下最十年以来的高考试卷，包括全国卷和地方卷，其次最好能找到近5年以来各区的统考试题，在做题的过程中来巩固前面复习过的考点。同时最后的复习别忘了课本，特别是在考前应该再次翻开课本把里面公式和定理再看看，把典型的例题再做做，因为书上的例题毕竟比较简单，在考前做例题一是防止手生，便于高考正常发挥，一是有助于提高我们的自信心。
2.弧度与角度的互化
（1）1 弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角.
（2）角 α 的弧度数公式： | α | l .
r
（3）角度与弧度的换算
360 2rad,1 rad,1rad (180) 57.30 57 18
180
（4）扇形的弧长及面积公式：
弧长公式： l | | r . 面积公式： S l r 1 | | r2 .
在高考复习的整个过程中，我们最好能建立一个积错本。就是要求我们在每一次练习中对于错误的地方一定要进行错误分析。一般错误包括三种：一种是计算失误；一种是审题失误；一种是思维起点错误。
对于第一种这是我们大多数同学经常出现的问题，在高考备考中我们一定要注意，每次考试和做题中一定要有始有终，千万不能眼高手低，我们很多同学在平时训练时一看题觉得自己会做就放弃演算过程，这是不好的学习习惯，只有每次在做题时能善始善终，才能提高我们运算的准确度，避免计算失误！对于第二种审题失误，比如在有一年的高考中让你求的是极值，而我们很多同学求的是最值，画蛇添足，浪费了时间还要扣分，对于这种情况，我想在考试时一定要先把题仔细阅读一遍，甚至可以把试卷上关键字做上记号来提示你充分而准确地利用已知条件，这是一个不错的办法，同学们不妨可以试试！对于第三种这是一个很关键的问题，在高考中解答题占了很大的比例，要克服这个问题，我们在平时学习中一定要注意积累一些典型例题的典型解法，比如在解析几何里的动点问题我们可以考虑消参法，数列中的构造法，函数中的转移法，等等，这都是很好的方法，在备考中通过掌握这一种方法就可以很顺利做一类题目，触类旁通，举一反三！只有我们在平时不断积累，我们就会不断进步，高考中就会得心应手，出奇制胜！

高中任意角的三角函数知识点+例题全面

辅导讲义――任意角的三角函数教学内容任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和12|α|r 2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用．3．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x. [试一试]1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α是第______象限角．2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则sin α＝________.1．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦；2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想．[练一练]若sin α<0且tan α>0，则α是第______象限角．考点一角的集合表示及象限角的判定 1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有______个．2．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．3．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．4.设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么集合M ，N 的关系是______．[类题通法]1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα，π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．考点二三角函数的定义[典例] (1)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为______． (2)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝________.[类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．[针对训练]已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋3cos α的值．考点三扇形的弧长及面积公式[典例](1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.[类题通法]弧度制应用的关注点(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝12lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝nπr180，扇形面积S＝nπr2360，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．[针对训练]已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，求弧长l.[课堂练通考点]1．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是________．2．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________．4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．5．已知角α 的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________． 6．已知sin α＝13，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝______.第Ⅰ组：全员必做题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是______．2．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是第________象限角．3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝______. 4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．5．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan 17π9，其中符号为负的是________(填写序号)．6．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.8．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .10．已知sin α<0，tan α>0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；第Ⅱ组：重点选做题巩固基础和能力提升训练1．满足cos α≤－12的角α的集合为________． 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为________．。

2019高考数学复习：任意角、弧度制及任意角的三角函数

第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化； 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式3.任意角的三角函数[常用结论与微点提醒]1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.3.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( ) 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (4)终边相同的角不一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.角－870°的终边所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析由－870°＝－3×360°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限. 答案 C3.集合⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈N )，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋5π4≤α≤2n π＋3π2(n ∈N )，此时α表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样. 答案 C4.(必修4P15T2改编)已知角θ的终边过点P (－12，5)，则cos θ＝________. 解析 ∵角θ的终边过点P (－12，5)，∴x ＝－12，y ＝5，r ＝13，∴cos θ＝x r ＝－1213. 答案－12135.已知在半径为120 mm 的圆上，有一段弧长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________rad.解析由题意知α＝l r ＝144120＝1.2 rad. 答案 1.2考点一角的概念及其集合表示0【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.解析 (1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－53π，－23π，π3，43π.答案 (1)C (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－53π，－23π，π3，43π规律方法 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角. 2.确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置.【训练1】 (1)(一题多解)设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________. 解析 (1)法一由于M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.法二由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.(2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，所以，所求角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ).答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )考点二弧度制及其应用(典例迁移)【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积. 解由已知得α＝π3，R ＝10，∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2).【迁移探究1】若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12·10π3·10－12·102·32 ＝50π－7533(cm 2).【迁移探究2】若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad. 规律方法应用弧度制解决问题的方法：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练2】 (2017·成都诊断)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.解析设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ， ∴正方形边长为2r ， ∴其圆心角的弧度数是2rr＝ 2. 答案2考点三三角函数的概念【例3】 (1)(2018·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝( ) A.－33B.±33C.－32D.±32(2)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定落在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(3)满足cos α≤－12的角α的集合为________.解析 (1)由|OP |2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时，sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时，sin α·tan α＝－32.(2)由sin θ＜0知θ的终边在第三、四象限或y 轴负半轴上，由tan θ＜0知θ的终边在第二、四象限，故选D.(3)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .答案 (1)C (2)D(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z规律方法 1.利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r . 2.根据三角函数定义中x ，y 的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.3.利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围.【训练3】 (2018·江西百校联考)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( ) A.27B.127C.9D.19解析 ∵tan 7π3＝3m m＝m －16＝3，∴m －1＝33＝27，∴m ＝127，故选B. 答案 B基础巩固题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个解析－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角， ②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 答案 C2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋94π(k ∈Z )C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )解析与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确. 答案 C3.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限( ) A.一B.二C.三D.四解析由题意知tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角. 答案 B4.(2018·石家庄调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于( )A.－3B.3C.163 D.±3 解析 sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3.答案 B5.点P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析点P 旋转的弧度数也为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 答案 A6.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角.答案 B7.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α的弧度数为( ) A.π3B.π2C. 3D.2解析设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r ，∴α＝ 3. 答案 C8.(2018·西安模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.45解析由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.答案 B 二、填空题9.(必修4P10A6改编)一条弦的长度等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度.解析弦与两条半径构成等边三角形，圆心角为π3.答案 π310.设P 是角α终边上一点，且|OP |＝1，若点P 关于原点的对称点为Q ，则Q 点的坐标是________.解析由已知P (cos α，sin α)，则Q (－cos α，－sin α). 答案 (－cos α，－sin α)11.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 解析设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2. 答案 π312.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上. ∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 (－2，3]能力提升题组 (建议用时：10分钟)13.已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π3D.11π6解析由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 答案 D14.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；2019年高考数学复习资料包11 ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 A15.(2018·许昌调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.解析因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.答案－4316.函数y ＝2sin x －1的定义域为________.解析 ∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )。

任意角和弧度制及任意角的三角函数考点及例题讲解

任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲解读 1.通过角的变换，判断角所在象限；2.常见的角度与弧度之间的转化；3.已知角的终边求正弦、余弦、正切值；4.利用三角函数线求角的大小或角的范围；5.利用扇形面积公式和弧长公式进行相关计算．[基础梳理]1．任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按逆时针方向旋转形成的角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角；③零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)角α的弧度数公式：|α|＝lr .(3)角度与弧度的换算：360°＝2π rad,1°＝π180 rad,1 rad ＝(180π)°≈57°18′.(4)扇形的弧长及面积公式：弧长公式：l ＝α·r . 面积公式：S ＝12l ·r ＝12α·r 2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α(其中k ∈Z )，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．[三基自测]1．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A ．10π B ．9π C.9π10 D.10π9答案：D2．若角θ满足tan θ＞0，sin θ＜0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：C3．弧长为3π、圆心角为34π的扇形半径为________．答案：44．(必修4·4.1例题改编)α终边上一点P (－3,4)．则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.答案：45 －35 －435．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)若α的终边过点(3,4)，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝__________. 答案：7210[考点例题]考点一终边相同的角及象限角|易错突破高考总复习·数学(理)第三章三角函数、解三角形[例1] (1)若角α满足α＝2k π3＋π6(k∈Z )，则α的终边一定在( )A ．第一象限或第二象限或第三象限B ．第一象限或第二象限或第四象限C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上D ．第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上(2)已知sin α＞0，cos α＜0，则12α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限(3)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )[解析] (1)由α＝2k π3＋π6，k ∈Z ，当k ＝0时，α＝π6，终边在第一象限．当k ＝1时，α＝2π3＋π6＝5π6，终边在第二象限．当k ＝－1时，α＝－2π3＋π6＝－π2，终边在y 轴的非正半轴上，故选D.(2)因为sin α＞0，cos α＜0，所以α为第二象限角，即π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，则π4＋k π＜12α＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，12α为第一象限角；当k 为奇数时，12α为第三象限角，故选C.(3)由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2k π或k ·360°＋45°(k ∈Z )．[答案] (1)D (2)C (3)C [易错提醒][纠错训练]1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°<45°＋k ×360°＜0°，得－765°<k ×360°＜－45°，解得－765360<k ＜－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°2．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________．解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π3，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π3，k ∈Z考点二扇形弧长、面积公式的应用|方法突破[例2] (1)(2018·合肥模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少(平方步)？( )A ．120B ．240C ．360D ．480(2)(2018·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2 sin 1[解析] (1)由题意可得：S ＝12×8×30＝120(平方步)．(2)如图：∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin 1，即r ＝1sin 1，从而弧AB 的长为l ＝α·r ＝2sin 1.[答案] (1)A (2)C [方法提升][母题变式]将本例(1)改为已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8D ．1解析：设半径为r ，圆心角的弧度数为θ，由S ＝12θr 2，得8＝12×θ×4，∴θ＝4.答案：A考点三三角函数的定义|模型突破角度1 用三角函数的定义求值[例3] (1)(2018·大同模拟)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则x的值为________．(2)已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3cos α的值为________． [解析] (1)∵cos α＝－x(－x )2＋(－6)2＝－x x 2＋36＝－513，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2x 2＋36＝25169，解得x ＝52.(2)设α终边上任一点为P (k ，－3k )，则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10kk＝10， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k ＜0时，r ＝－10k ， ∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.[答案] (1)52 (2)0[模型解法]角度2 三角函数值符号的判断[例4] (1)(2018·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在(2)已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)∵π2<2<3<π<4<32π.∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0. ∴sin 2·cos 3·tan 4<0.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α<0，tan α<0，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，cos α<0，所以角α的终边在第二象限，故选B.[答案] (1)A (2)B [模型解法]角度3 利用三角函数线比较大小，解不等式[例5] (1)(2018·石家庄模拟)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α[解析] 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可得，AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.[答案] C (2)y ＝sin x －32的定义域为________． [解析] ∵sin x ≥32，作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z[模型解法]形如sin α≥a 或sin α≤a ()a ∈[－1，1]的解，其关键点为： (1)作出sin α＝a 的函数线；(2)根据不等式，确定α的转动方向； (3)写出α的区域．[高考类题](2014·高考大纲全国卷)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：∵b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，∴b >a . 又∵c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c >b .∴c >b >a .故选C. 答案：C[真题感悟]1.[考点一、二] (2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )答案：C2.[考点二、三](2017·高考北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝__________.解析：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13(k ∈Z )．1答案：3。

高考数学复习重要知识点：任意角、弧度制和任意角的三角

2019高考数学复习重要学问点：随意角、弧度制和随意角的三角等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，下面是2019高考数学复习重要学问点：随意角、弧度制和随意角的三角，希望对考生有帮助。

1.随意角(1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.②按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α+k·360°(k∈Z).(3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|=，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径.③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关.④弧度与角度的换算：360°=2π弧度;180°=π弧度.⑤弧长公式：l=|α|r，扇形面积公式：S扇形=lr=|α|r2.2.随意角的三角函数(1)随意角的三角函数定义：设α是一个随意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α=y，cos α=x，tan α=，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α=OM，sin α=MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α=AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.小编为大家供应的2019高考数学复习重要学问点：随意角、弧度制和随意角的三角大家细致阅读了吗?最终祝大家可以考上志向的高校。

高考数学复习任意角和弧度制及任意角的三角函数

第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲考向预测1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 命题趋势本部分内容高考较少直接考查，而是与三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质结合考查，难度较小.核心素养数学建模、数学抽象1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝l r角度与弧度的换算1°＝π180rad，1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57°18′弧长公式l＝α·r扇形面积公式S＝12l·r＝12α·r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦4.三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数．如图：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT．常用结论 1．象限角2．轴线角3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx .常见误区1．相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等． 2．在同一个式子中，不能同时出现角度制与弧度制．3．已知三角函数值的符号求角的终边位置时，不要遗忘终边在坐标轴上的情况．4．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) (5)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α＞sin α.( )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√2．(多选)下列与角2π3的终边相同的角是()A.14π3B．2kπ－2π3(k∈Z)C．2kπ＋2π3(k∈Z) D．(2k＋1)π＋2π3(k∈Z)解析：选AC.与角2π3的终边相同的角为2kπ＋2π3(k∈Z)，k＝2时，4π＋2π3＝143π.3．若sin α＜0，且tan α＞0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选C.由sin α＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan α＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C.4．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为________rad.解析：因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两条半径构成等边三角形，所以弦所对的圆心角为60°，即为π3rad.答案：π35．已知角α的终边过点P(－4，3)，则2sin α＋tan α的值为________．解析：因为角α的终边经过点P(－4，3)，所以r＝|OP|＝5.所以sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.所以2sin α＋tan α＝2×35＋⎝⎛⎭⎪⎫－34＝920.答案：920象限角及终边相同的角[题组练透]1．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．－3π4 B ．－π4 C.π4 D.3π4解析：选 A.因为－11π4＝－2π－3π4，所以－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的．2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.3．(多选)已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选AC.因为角2α的终边在x 轴的上方，所以k ·360°<2α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，则有k ·180°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z .故当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<α<n ·360°＋90°，n ∈Z ，α为第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋180°<α<n ·360°＋270°，n ∈Z ，α为第三角限角．故选AC.4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°终边相同的角可表示为 β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )．令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )，解得－765360≤k<－45360(k∈Z)，从而k＝－2和k＝－1，代入得β＝－675°和β＝－315°. 答案：－675°和－315°(1)象限角的2种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角(2)求θn或nθ(n∈N*)所在象限的步骤①将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；②两边同除以n或乘以n；③对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限．[注意]注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．扇形的弧长及面积公式已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】(1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，0<R<10，所以扇形的面积S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．[提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度．1．(多选)已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则下列选项正确的有( ) A ．扇形的半径为2 B ．扇形的半径为1 C ．圆心角的弧度数是1D ．圆心角的弧度数是2解析：选ABC.设扇形半径为r ，圆心角的弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得⎩⎨⎧r ＝1，α＝4或⎩⎨⎧r ＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1，扇形的半径是1或2.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r 32πr ＝518. 答案：518三角函数的定义角度一利用三角函数的定义求值(1)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A ．－13B ．±13 C ．－3 D ．±3(2)若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，且sin α cos β<0，则cos α cos β＝________．【解析】 (1)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3. (2)由角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，得cos β＝12，又由sin α cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角．记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，则cos αcos β＝－14.【答案】 (1)C (2)－14三角函数定义问题的解题策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．角度二判断三角函数值的符号(2020·高考全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( ) A ．cos 2α>0B ．cos 2α<0C ．sin 2α>0D ．sin 2α<0【解析】通解：由题意，知－π2＋2k π<α<2k π(k ∈Z )，所以－π＋4k π<2α<4k π(k ∈Z )，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D.优解：当α＝－π4时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A ，B ，C ，故选D. 【答案】 D三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在的象限，那就要进行分类讨论求解．角度三三角函数线的应用函数y ＝lg(3－4sin 2 x )的定义域为________．【解析】因为3－4sin 2x >0，所以sin 2x <34，所以－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )三角函数线三角函数线是三角函数的几何表示，正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0B ．cos(－305°)<0C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3>0D ．sin 10<0解析：选D.300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin10<0，故选D.2．已知角β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点P (－4，a )，且sin β cos β＝34，则a 的值为( )A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－43 3D ． 3解析：选 C.因为点P (－4，a )在角β的终边上且sin βcos β＝34，所以－4a （－4）2＋a 2＝34.解得a ＝－43或a ＝－43 3.故选C. 3．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________．解析：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0；当角α的终边位于第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.所以sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：0[A 级基础练]1．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1，1)解析：选D.设点P 的坐标为(x ，y )，则由三角函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧sin π4＝y 2，cos π4＝x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1.故点P 的坐标为(1，1)．2．若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π3，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D.因为直线y ＝－3x 的倾斜角是2π3，所以终边落在直线y ＝－3x 上的角的取值集合为{α|α＝k π－π3，k ∈Z }．3．(多选)关于角度，下列说法正确的是( ) A ．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B ．钝角大于锐角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角解析：选BD.对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误；对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误；对于D ，因为角α的终边在第二象限，所以2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ，所以k π＋π4<α2<k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4<α2<2n π＋π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4<α2<(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得α2是第三角限角，故正确．4．(多选)(2020·山东师范大学附属中学第三次月考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点P (1，m )(m <0)，则下列各式的值恒大于0的是( )A.sin αtan α B ．cos α－sin α C ．sin αcos αD ．sin α＋cos α解析：选AB.由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0. 选项A ，sin αtan α>0；选项B ，cos α－sin α>0；选项C ，sin αcos α<0；选项D ，sin α＋cos α符号不确定．故选AB. 5．已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 的可能区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4 解析：选D.由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x <0，即sin x <cos x ，所以－3π4＋2k π<x <π4＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，x 所在的一个区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4. 6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．解析：设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案：π37．函数y ＝2sin x －1的定义域为________．解析：因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )8．已知点P (sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝2π3，则与角α终边相同的最小正角为________．解析：因为θ＝2π3，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，故α为第四象限角且cos α＝32，所以α＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以与角α终边相同的最小正角为11π6.答案：11π69．已知角α是第三象限角，试判断：(1)π－α是第几象限角？(2)α2是第几象限角？(3)2α是第几象限角？解：(1)因为α是第三象限角，所以2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . 所以－2k π－π2<π－α<－2k π，k ∈Z . 所以π－α是第四象限角． (2)因为k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z . 所以α2是第二或第四象限角．(3)因为4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z ，所以2α是第一或第二象限角或y 轴非负半轴上的角．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．解：(1)由题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34. (2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝π3＋2k π，k ∈Z .[B 级综合练]11．(多选)已知角α的终边过点P (－4m ，3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α的值可能是( )A ．1B ．25C ．－25D ．－1解析：选BC.因为角α的终边过点P (－4m ，3m )(m ≠0)，所以r ＝（－4m ）2＋（3m ）2＝5|m |，所以sin α＝y r ＝3m 5|m |，cos α＝x r ＝－4m5|m |. ①当m >0时，sin α＝3m 5m ＝35，cos α＝－4m 5m ＝－45，2sin α＋cos α＝2×35－45＝25； ②当m <0时，sin α＝3m －5m ＝－35，cos α＝－4m －5m＝45，2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.综上知，2sin α＋cos α的值可能是25或－25.故答案为BC.12．(2020·四川乐山、峨眉山二模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．解析：由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4.在Rt △AOD 中，易得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12OA ＝12×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD ＝AO sin π3＝4×32＝23，可得弦AB ＝2AD ＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2.答案：43＋213．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.14．若角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝－15. 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos θ＝－45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos 35·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos θ＝45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·sin 45＞0.综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．[C 级创新练]15．(2020·开封市模拟考试)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝( )A ．－1B ．－79C ．429D ．79解析：选B.因为角α与角β均以Ox 为始边，且它们的终边关于y 轴对称，所以β＝π－α＋2k π，k ∈Z ，则cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2k π)＝cos(2α－π)＝cos(π－2α)＝－cos 2α，又sin α＝13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝79，所以cos(α－β)＝－79，故选B.16．已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右运动，Q 沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．解析：设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ，则AQ ︵＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ⊥AP ，所以S 1＝12tm ·r －S 扇形AOB ，S 2＝12tm ·r －S 扇形AOB ，所以S 1＝S 2恒成立．答案：S 1＝S 2第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲考向预测1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 命题趋势本部分内容高考较少直接考查，而是与三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质结合考查，难度较小.核心素养数学建模、数学抽象1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝l r角度与弧度的换算1°＝π180rad，1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57°18′弧长公式l＝α·r扇形面积公式S＝12l·r＝12α·r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦4.三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数．如图：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT．常用结论 1．象限角2．轴线角3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx .常见误区1．相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等． 2．在同一个式子中，不能同时出现角度制与弧度制．3．已知三角函数值的符号求角的终边位置时，不要遗忘终边在坐标轴上的情况．4．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) (5)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α＞sin α.( )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√2．(多选)下列与角2π3的终边相同的角是()A.14π3B．2kπ－2π3(k∈Z)C．2kπ＋2π3(k∈Z) D．(2k＋1)π＋2π3(k∈Z)解析：选AC.与角2π3的终边相同的角为2kπ＋2π3(k∈Z)，k＝2时，4π＋2π3＝143π.3．若sin α＜0，且tan α＞0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选C.由sin α＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan α＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C.4．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为________rad.解析：因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两条半径构成等边三角形，所以弦所对的圆心角为60°，即为π3rad.答案：π35．已知角α的终边过点P(－4，3)，则2sin α＋tan α的值为________．解析：因为角α的终边经过点P(－4，3)，所以r＝|OP|＝5.所以sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.所以2sin α＋tan α＝2×35＋⎝⎛⎭⎪⎫－34＝920.答案：920象限角及终边相同的角[题组练透]1．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．－3π4 B ．－π4 C.π4 D.3π4解析：选 A.因为－11π4＝－2π－3π4，所以－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的．2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.3．(多选)已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选AC.因为角2α的终边在x 轴的上方，所以k ·360°<2α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，则有k ·180°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z .故当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<α<n ·360°＋90°，n ∈Z ，α为第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋180°<α<n ·360°＋270°，n ∈Z ，α为第三角限角．故选AC.4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°终边相同的角可表示为 β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )．令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )，解得－765360≤k<－45360(k∈Z)，从而k＝－2和k＝－1，代入得β＝－675°和β＝－315°. 答案：－675°和－315°(1)象限角的2种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角(2)求θn或nθ(n∈N*)所在象限的步骤①将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；②两边同除以n或乘以n；③对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限．[注意]注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．扇形的弧长及面积公式已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】(1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，0<R<10，所以扇形的面积S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．[提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度．1．(多选)已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则下列选项正确的有( ) A ．扇形的半径为2 B ．扇形的半径为1 C ．圆心角的弧度数是1D ．圆心角的弧度数是2解析：选ABC.设扇形半径为r ，圆心角的弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得⎩⎨⎧r ＝1，α＝4或⎩⎨⎧r ＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1，扇形的半径是1或2.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r 32πr ＝518. 答案：518三角函数的定义角度一利用三角函数的定义求值(1)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A ．－13B ．±13 C ．－3 D ．±3(2)若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，且sin α cos β<0，则cos α cos β＝________．【解析】 (1)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3. (2)由角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，得cos β＝12，又由sin α cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角．记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，则cos αcos β＝－14.【答案】 (1)C (2)－14三角函数定义问题的解题策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．角度二判断三角函数值的符号(2020·高考全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( ) A ．cos 2α>0B ．cos 2α<0C ．sin 2α>0D ．sin 2α<0【解析】通解：由题意，知－π2＋2k π<α<2k π(k ∈Z )，所以－π＋4k π<2α<4k π(k ∈Z )，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D.优解：当α＝－π4时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A ，B ，C ，故选D. 【答案】 D三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在的象限，那就要进行分类讨论求解．角度三三角函数线的应用函数y ＝lg(3－4sin 2 x )的定义域为________．【解析】因为3－4sin 2x >0，所以sin 2x <34，所以－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )三角函数线三角函数线是三角函数的几何表示，正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0B ．cos(－305°)<0C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3>0D ．sin 10<0解析：选D.300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin10<0，故选D.2．已知角β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点P (－4，a )，且sin β cos β＝34，则a 的值为( )A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－43 3D ． 3解析：选 C.因为点P (－4，a )在角β的终边上且sin βcos β＝34，所以－4a （－4）2＋a 2＝34.解得a ＝－43或a ＝－43 3.故选C. 3．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________．解析：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0；当角α的终边位于第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.所以sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：0[A 级基础练]1．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1，1)解析：选D.设点P 的坐标为(x ，y )，则由三角函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧sin π4＝y 2，cos π4＝x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1.故点P 的坐标为(1，1)．2．若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π3，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D.因为直线y ＝－3x 的倾斜角是2π3，所以终边落在直线y ＝－3x 上的角的取值集合为{α|α＝k π－π3，k ∈Z }．3．(多选)关于角度，下列说法正确的是( ) A ．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B ．钝角大于锐角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角解析：选BD.对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误；对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误；对于D ，因为角α的终边在第二象限，所以2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ，所以k π＋π4<α2<k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4<α2<2n π＋π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4<α2<(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得α2是第三角限角，故正确．4．(多选)(2020·山东师范大学附属中学第三次月考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点P (1，m )(m <0)，则下列各式的值恒大于0的是( )A.sin αtan α B ．cos α－sin α C ．sin αcos αD ．sin α＋cos α解析：选AB.由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0. 选项A ，sin αtan α>0；选项B ，cos α－sin α>0；选项C ，sin αcos α<0；选项D ，sin α＋cos α符号不确定．故选AB. 5．已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 的可能区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4 解析：选D.由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x <0，即sin x <cos x ，所以－3π4＋2k π<x <π4＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，x 所在的一个区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4. 6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．解析：设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案：π37．函数y ＝2sin x －1的定义域为________．解析：因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )8．已知点P (sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝2π3，则与角α终边相同的最小正角为________．解析：因为θ＝2π3，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，故α为第四象限角且cos α＝32，所以α＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以与角α终边相同的最小正角为11π6.答案：11π69．已知角α是第三象限角，试判断：(1)π－α是第几象限角？(2)α2是第几象限角？(3)2α是第几象限角？解：(1)因为α是第三象限角，所以2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . 所以－2k π－π2<π－α<－2k π，k ∈Z . 所以π－α是第四象限角． (2)因为k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z . 所以α2是第二或第四象限角．。

2019届高考数学难点突破--三角函数与解三角形：任意角、弧度制及任意角的三角函数(含解析)

2019届高考数学难点突破--三角函数与解三角形：任意角、弧度制及任意角的三角函数（含解析）任意角、弧度制及任意角的三角函数【考点梳理】．角的概念的推广定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋•360°，∈Z}．．弧度制的定义和公式定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.公式：①角度与弧度的换算：a．1°＝π180rad；b.1rad＝180π°.②弧长公式：l＝r|α|.③扇形面积公式：S＝12lr＝12r2α.．任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段P为正弦线有向线段o为余弦线有向线段AT为正切线【考点突破】考点一、角的有关概念【例1】若α是第二象限角，则α3一定不是A．象限角B．第二象限角c．第三象限角D．第四象限角已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________.[答案]c －675°或－315°[解析]∵π2＋2π<α<π＋2π，∈Z，∴π6＋2π3<α3<π3＋2π3，∈Z.若＝3n，α3是象限角；若＝3n＋1，α3是第二象限角；若＝3n＋2，α3是第四象限角．故选c.由终边相同的角的关系知β＝•360°＋45°，∈Z，∴取＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.【类题通法】．与角α终边相同的角可以表示为β＝2π＋α的形式，α是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用．．由α所在象限，判定α2所在象限，应先确定α2的范围，并对整数的奇、偶情况进行讨论．【对点训练】．若角α是第二象限角，则α2是A．象限角B．第二象限角c．或第三象限角D．第二或第四象限角[答案]c[解析]∵α是第二象限角，∴π2＋2π＜α＜π＋2π，∈Z，∴π4＋π＜α2＜π2＋π，∈Z.当为偶数时，α2是象限角；当为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是或第三象限角．．与2019°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．[答案]219°[解析]∵2019°＝219°＋5×360°，∴在0°～360°内终边与2019°的终边相同的角是219°.考点二、扇形的弧长、面积公式【例2】已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝π3，R＝10c，求扇形的面积.[解析]由已知得α＝π3，R＝10，∴S扇形＝12α•R2＝12•π3•102＝50π3.【变式1】若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.[解析]l＝α•R＝π3×10＝10π3，S弓形＝S扇形－S三角形＝12•l•R－12•R2•sinπ3＝12•10π3•10－12•102•32＝50π－7533.【变式2】若本例条件改为：“若扇形周长为20c”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？[解析]由已知得，l＋2R＝20.所以S＝12lR＝12R＝10R－R2＝－2＋25，所以当R＝5c时，S取得最大值25c2，此时l＝10c，α＝2rad.【类题通法】应用弧度制解决问题的方法：利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.【对点训练】．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________.[答案]π3[解析]设扇形半径为r，弧长为l，则lr＝π6，12lr ＝π3，解得l＝π3，r＝2.．若一扇形的圆心角为72°，半径为20c，则扇形的面积为A．40πc2B．80πc2c．40c2D．80c2[答案]B[解析]∵72°＝2π5，∴S扇形＝12αr2＝12×2π5×202＝80π．．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？[解析]设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.又S＝12θr2＝12r＝r＝－2＋100≤100.当且仅当r＝10时，Sax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．考点三、三角函数的定义【例3】已知角α的终边上一点P，且sinα＝，求cos α，tanα的值．[解析]由题设知x＝－3，y＝，∴r2＝|oP|2＝－32＋2，r＝3＋2.∴sinα＝r＝24＝22，∴r＝3＋2＝22，即3＋2＝8，解得＝±5.当＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，∴cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当＝－5时，r＝22，x＝－3，y＝－5，∴cosα＝－322＝－64，tanα＝153.【类题通法】用定义法求三角函数值的三种情况．已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若角α终边上的点的坐标中含参数，要讨论参数的各种情况，以确定角α终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值．此时注意不要漏解或多解．【对点训练】已知角θ的终边过点P，则cosθ＝________.[答案]－1213[解析]∵角θ的终边过点P，∴x＝－12，y＝5，r＝13，∴cosθ＝xr＝－1213.【例4】若sinαtanα<0，且cosαtanα<0，则角α是A．象限角B．第二象限角c．第三象限角D．第四象限角[答案]c[解析]由sinαtanα＜0可知sinα，tanα异号，则α为第二或第三象限角．由cosαtanα＜0可知cosα，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．【类题通法】根据三角函数定义中x，y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.【对点训练】已知点P在第三象限，则角α的终边在第________象限A．一B．二c．三D．四[答案]B[解析]由题意知tanα＜0，cosα＜0，∴α是第二象限角.。

弧度制与任意角的三角函数知识点与例题.doc

弧度制与任意角的三角函数知识梳理与典例剖析淤知识梳理1.任意角的概念设角的顶点在坐标原点，始边与工轴重合，终边在坐标平面内.终边绕顶点旋转即可产生.2.象限角的概念若角a的终边在第&个象限，则称a是第k象限角.象限角及其集合表示3.终边相同的角所有与角a的终边相同的角连同角a在内构成的集合为4.弧度制的概念与半径等长的圆孤所对的圆心角称为1 rad（弧度）的角.1 QA°角度与弧度的互化：1囱（弧度）=（——）«57.3°=57°18/； 1° = rad（弧度）. 715.扇形的弧度、面积在弧度制下：孤长公式：l=\a\R（a 一•扇形中心角的弧度数，/?—扇形所在圆的半径）1 1 .扇形面积公式：5,.4；=-lR = -\a\R2.n 2 2在角度制下：弧长公式：1 = 域扇形中心角的角度数，R•—扇形所在圆的半径）180扇形面积公式：=崩形3606.任意角的三角函数的定义在伯。

的终边上任取点P",y）,设它与原点。

的距离IOP l=r （r > 0）,贝0 sina -, cosa =, tancr =.7 .三角函数在各象限的符号sincz ：上正下负横轴零cos。

：左负右正纵轴零tana：交叉正负横轴零8.典例剖析一、角的概念问题1.终边相同的角的表示例1若角a是第三象限的角，答案：二.解析：因为a是第三象限的角，则角-。

的终边在第象限. A=1 故-k -360° -270° <-a<-k-360° -180°,^ G Z,则S360°,tan(2成 + a)=分别表示：正弦线，余弦线，正切线.9.终边相同的角的同一三角函数的值相等sin(2A〃 + a) =, cos(2k/r + a)=10 .三角函数线如图有向线段MF, OM,-270°<-a<k-360° -180°,A：G Z,故-a的终边在第二象限.练习：与610°角终边相同的角可表示为. 【答案：A・360°+250°(A E Z)】2.象限角的表示例2已知角a是第二象限角，问(1)角巳是第儿象限的角？(2)角2a终边的位置.2思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论k值来确定象限角.解析(1)因为a 是第二象限的角，故k - 360° + 90°<a<k-360° +180°(Z: G Z),故4180°Of CC (I+45° v —vA・18(T+90°(AcZ).当R为偶数时，一在第一象限；当k为奇数时，一在第三象限，2 2 2 CC故兰为第一或第三象限角.2(2)由S360°+90° vavk・360° + 180°(SZ),得2如360°+ 180° v2a v2如360° + 360°(Jt G Z),故角2Q终边在下半平面.点评：已知a所在象限，求-(neN*)所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论. n结论：a 第一象限第二象限第三象限第四象限a第一、三象限第一、三象限第二、四象限第二、四象限练习：二、弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的互化例3 (1)设6Z = 750° ,用孤度制表示。

高考数学复习重要知识点：任意角、弧度制和任意角的三角

2019高考数学复习重要知识点：任意角、弧度制和任意角的三角等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，下面是2019高考数学复习重要知识点：任意角、弧度制和任意角的三角，希望对考生有帮助。

1.任意角(1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.②按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α+k·360°(k∈Z).(3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|=，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径.③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关.④弧度与角度的换算：360°=2π弧度；180°=π弧度.⑤弧长公式：l=|α|r，扇形面积公式：S扇形=lr=|α|r2.2.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α=y，cos α=x，tan α=，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α=OM，sin α=MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α=AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

高三总复习数学课件任意角、弧度制及任意角的三角函数

的终边相同的角可以写成2kπ＋
9π 4
(k∈Z
)，但是角度制与弧度制不
能混用，所以只有C正确．故选C．答案：C
重点二弧度制的定义和公式
1．定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用
符号rad表示．
2．公式
角Hale Waihona Puke 的弧度数公式|α|＝rl(l表示弧长)
角度与弧度的换算 ①1°＝1π80 rad；②1 rad＝1π80°
一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l．已知α＝π3，R＝10 cm，求扇形的面积．
[解] 由已知得α＝π3，R＝10 cm， ∴S扇形＝12α·R2＝12×π3×102＝503π(cm2)．
应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度； (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题； (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
2．(2022·济南月考)集合 αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z 中的角所表示的范围(阴
影部分)是
()
解析：当k＝2n(n∈Z )时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z )时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C．答案：C
02
考点分类突破课堂讲练
理解透规律明变化究其本
象限角与终边相同的角
1．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－ 3x
上，则角α的取值集合是
()
A．αα＝2kπ－π3，k∈Z

任意角和弧度制及任意角的三角函数 2019高考绝密资料

任意角和弧度制及任意角的三角函数主标题：任意角和弧度制及任意角的三角函数副标题：为学生详细的分析任意角和弧度制及任意角的三角函数的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：任意角，弧度制，正弦，余弦，正切难度：2重要程度：4考点剖析：1．了解任意角的概念；了解弧度制的概念．2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.命题方向：1．三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小，属中低档题．2．高考对三角函数定义的考查主要有以下几个命题角度：(1)利用三角函数的定义求三角函数值；(2)三角函数值的符号和角的位置的判断；(3)与向量等问题形成交汇问题．规律总结：1条规律——三角函数值的符号规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2个技巧——三角函数的定义及单位圆的应用技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．4个注意点——理解角的概念、弧度制及三角函数线应注意的问题(1)第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)要熟记0°～360°间特殊角的弧度表示．(4)要注意三角函数线是有向线段．知识梳理角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝π180rad②1 rad＝︒⎪⎭⎫⎝⎛π180弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－口诀Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

【三角与向量专题高考数学复习】第1讲任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式-解析版

第1讲任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式知识与方法本专题主要涉及的知识为三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式.在学习过程中,要会利用定义、公式求解三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式,体会并理解数形结合、转化与化归的思想方法. 1.弧度制和角度制的换算:180rad π︒=;变形:1801rad,1rad 57.3180ππ⎛⎫︒==︒≈︒ ⎪⎝⎭. 弧长公式||l r α=,扇形的面积公式12S lr =.2.象限角、终边相同的角的集合表示.3.任意角的三角函数概念.用单位圆上的点坐标表示锐角三角函数,在此基础上定义任意角的三角函数.设(,)P x y 是单位圆与任意角α的终边的交点,则sin ,cos ,tan yy x xααα===.直接用定义研究三角函数的定义域、函数值的符号、诱导公式以及同角三角函数的基本关系.在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形,得出同角三角函数的平方关系22sin cos 1αα+=,商数关系sin tan cos ααα=.(1)三角函数的终边比值定义在平面直角坐标系xOy 中,设(,)P x y 是角α的终边上的任意一点,记sin ,cos ,tan (0)y yx x r r xααα===≠.(2)同角三角函数的基本关系变形:2222111tan cos cos 1tan αααα+=⇔=+.典型例题【例1】若角α是第三象限象限角,则2α是第_______象限角.【分析】此题为已知角α终边所在象限,求半角2α所在象限问题.常用方法为由例所给的条件先写出α的集合,再求出2α的范围,注意对整数k 进行讨论.【解析】解法1：因为角α是第三象限角,设322,2k k k πππαπ+<<+∈Z ,则3,224k k k παπππ+<<+∈Z .当2,k n n =∈Z 时,322224n n παπππ+<<+,则2α是第二象限角;当21,k n n =+∈Z 时,3722224n n παπππ+<<+,则2α是第四象限角.故2α是第二或第四象限角.解法2：(八卦图法)如图,将平面直角坐标系各象限分成两份,按逆时针方向依次标注记为1,2,3,4,标满为止.由于角α是第三象限角,现在看标有3的数字在图中哪些象限,注意到第二、四象限均有3,所以2α是第二或第四象限角.【点睛】已知角α终边所在象限,求半角2α终边所在象限,可对整䍩k 分两类讨论,即2k n =,21()n n +∈Z .若是求三分之一角3α终边所在象限,可对整数k 分三类讨论,即3k n =,31,32()n n n ++∈Z ;也可用八卦图法,将坐标系各象限分成3份,按逆时针方向依次标注1,2,3,4,标满为止,然后观察求解.当求2α㚵边所在象限时,不要忽略终边在坐标轴上的情况.【例2】(1)若60,10cm r α=︒=,求扇形的弧长l .(2)已知扇形的周长为10cm ,面积为24cm ,求扇形的圆心角弧度.(3)若扇形的周长为20cm ,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大? 【分析】已知扇形的圆心角和半径,求解长䌸和面积时应注意两种度量单位之间的换算,合理运用计算公式;若已知扇形的周长和面积的值,求圆心角弧度数只要建立关于半径r 和弧长l 的等式,解方程组即可.【解析】(1)弧长10cm 3l r πα==.(2)由题意得210,14,2r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得1,8r l =⎧⎨=⎩或4,2.r l =⎧⎨=⎩所以圆心角的弧度(882l r απ==>,舍去)或12α=.(3)由题意得220,202r l l r +==-,所以扇形的面积()222110(5)25cm 2S lr r r r ==-+=--+. 当5cm r =时,面积达到最大,此时弧长10cm l =,圆心角弧度2α=. 【点睛】解题时注意圆心角弧度值小于2π.【例3】已知角α的终边经过点(4,3)(0)P m m m -≠,则2sin cos αα+=________. 【分析】任意角的三角函数是用单位㘣来定义的,若角α的终边上的点P 不在单位图上,则可考虑终边比值定义.若角α的终边位置不确定,则需对可能的情况进行分类讨论.【解析】点P 到原点的距离||5||0r OP m ==>. 由三角函数的定义知,34sin ,cos 5||5||ym x m r m r m αα-====. 若0m >,则34sin ,cos 55αα==-,故22sin cos 5αα+=;若0m <,则34sin ,cos 55αα=-=,故22sin cos 5αα+=-. 综上可得,22sin cos 5αα+=±.【点睛】任意角的三角函数可用终边比值定义,也可用单位圆定义,注意||0OP r =>.本题中0m ≠,应该对m 分0m >和0m <两种情况讨论.【例4】若sin 0α<,且tan 0α>,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限【分析】任意角的三角函数涉及角所在的象限、函数名、符号.由角α某一三角函数符号判定其所在象限时,注意口诀“-全正、二正弦、三正切、四余弦”.【解析】由sin 0α<可知,角α的终边在第三象限或y 轴负半轴或第四象限. 由tan 0α>可知,角α的终边在第一象限或第三象限. 综上可得,角α的终边在第三象限,故选C .【点睛】三角函数在各个象限的符号规律为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.当sin 0α<时,注意角α的终边可能会在y 轴负半轴上;当sin 0α>时,角α的终边可能会在y 轴正半轴上.余弦值也类似.【例5】满足1cos 2α-的角α的集合为________.【分析】由某一三角函数值的范围求相应角的范围,常借助单位圆中的三角函数线或三角函数图象进行求解.【解析】已知1cos 2α-,如图.当1cos 2α=-且[0,2]απ∈时,23πα=或43πα=.由角α的终边与单位圆交点的横坐标得 2422,33k k k πππαπ++∈Z .所以角α的集合为{}24|22,33k k k ππαπαπ++∈Z .【点睛】解三角不等式可用单位圆法或三角函数图象法.对单位圆中的三角函数线可进行拓展学习,注意正弦线、余弦线、正切线的位置和方向. 【例6】已知,sin 2cos ααα∈+E 则tan α=________.【分析】已知角α的某一三角函数值,求其余三角函数值,一般先用平方关系,再用商数关系.本题涉及角α两个三角函数值的关系,借助“知二求一”的规律进行解方䅣组求解. 【解析】解法1：(利用平方关系和解方程(组)思想)由22sin 2cos sin cos 1αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得222cos )cos 1αα+=,即25cos 40αα-+=,解得cosα=于是1sin tan 2αα==.解法2：(化齐次式和“1”的代换) 等号两边平方得2(sin 2cos )5αα+=,即222222sin 4sin cos 4cos tan 4tan 45,5sin cos tan 1ααααααααα++++==++, 整理得24tan 4tan 10αα-+=,解得1tan 2α=.另外,由2(sin 2cos )5αα+=得()2222sin 4sin cos 4cos 5sin cos αααααα++=+,即224sin 4sin cos cos 0,2sin cos 0αααααα-+=-=,解得1tan 2α=,解法3：:(构造对偶式)利用22(sin 2cos )(cos 2sin )5αααα++-=,得cos 2sin αα=,于是1tan 2α=.解法4：:(利用辅助角公式)因为sin 2cos sin cos )αααααϕ+==+能取最大值,所以sinαα=解1tan 2α=.解法5：（极值处导数值为0)利用辅助角公式,sin 2cos αα+则最大值处导数值为0. 等号两边求导得cos 2sin 0αα-=,即1tan 2α=.【点睛】本题利用弦切互化解方程的常规思路可求;由于条件给出的是特殊形式,考虑将等号两边平方,转化成齐次式,通过齐次式求解;若满足sin cos a b αα+=,则tan a bα=;从导数的角度很容易理解,()sin cos ()f x a x b x x =+∈R ,若()f α取得最值或极值,则必有()0f α'=.解题时应注意角的范围及三角函数值的符号.【例7】已知tan 2α=,求： (1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+的值;(2)25sin 3sin cos 2ααα+-的值.【分析】已知角α的某一三角函数值,求其余三角函数值,一般先用平方关系,再用商数关系.已知tan 20α=>,得sin 2cos αα=,结合平方关系,分角α位于-、三象限进行讨论,求解sin ,cos αα,该方法较烦琐;本题中已知tan 2α=,常规方法为“切化弦”,巧用平方关系,进行“1”的代换.【解析】(1)【解析】解法1：由tan 2α=得sin 2cos αα=. 换4sin 2cos 42cos 2cos 65sin 3cos 52cos 3cos 13αααααααα-⨯-==+⨯+. 解法2：原式分子、分母同除以cos (cos 0)αα≠得4tan 265tan 313αα-=+.(2)原式除以22sin cos αα+得()222225sin 3sin cos 2sin cos sin cos ααααααα+-++2222223sin 3sin cos 2cos 3tan 3tan 2165sin cos tan 1ααααααααα+-+-===++. 【点睛】在同角三角函数关系中,已知角的正切值,求齐次式的值有两种常见类型: 类型1:分式型sin cos sin cos a b d αααα++,分子、分母同除以cos (cos 0)αα≠,得到与正切有关的分式;类型2:二次齐次型2sin sin cos a b c ααα++,分母1化为22sin cos αα+,然后将分子、分母同除以2cos (cos 0)αα≠,得到与正切有关的分式.【例】8已知a 是第三象限角,且()3sin()cos(2)tan 2()1sin()tan()f ππαπαααπααπ---+=⋅----.(1)化简()f α.(2)若31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()f α的值. (3)若1860α=-︒,求()f α的值.【分析】利用诱导公式对()f α先化简,再求值,涉及三角恒等变换.在运用诱导公式化简时,可把α当作锐角.【解析】(1)1sin cos tan ()cos 1sin tan f ααααααα⋅==--⋅. (2)因为3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以1sin 5α=-. 又α是第三象限角,于是cos ()f αα==.(3)()()1()1860cos 1860cos1860cos 602f f α=-︒=--︒=-︒=-︒=-.()k ∈Z ”与角α的三角函数关系时,可将角α当作锐角,“奇变偶不变,符号看象限”这里的“奇”“侗”指k 是奇效或是偶数.“变”与不变”指函数名,当k 是奇数时,函数名变为余名函数名;当k 是偶数时,函数名不变.如:在化简31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭左边时,不能把α当作第三象限角;用㤼导公式时,将角α当作锐角.强化训练1.已知集合{}{}|,,|,2442k k M x x k N x x k ππππ==+∈==+∈Z Z ,则（）A.M N =B.M N ⊆C.N M ⊆D.M N ⋂=∅【答案】B【解析】集合M 中的元素()21,214x k k π=++取遍所有奇数,集合N 中的元素()2,24x k k π=++取遍所有整数,故M N ⊆,答案为B .2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中“方田”章计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2).弧田(如图),由圆弧和其所对的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π、半径等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（）A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米【答案】B【解析】由题意知弦长为矢为422-=.弧田面积()2122292S =+=≈(平方米). 3.若角α的终边过点()8,6sin 30P m --︒,且4cos 5α=-,则m 的值为（）A.12-B.12C.【答案】B【解析】由已知得()8,3,P m r OP --==,所以4cos 5α==-,解得12m =.故选B.4.若点(tan ,cos sin )P θθθ-在第四象限,则[0,2]π内的θ的取值范围是（）A.35,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.3,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】因为点P 在第四象限, 所以tan 0θ>且cos sin 0θθ-<. 如图,结合单位圆可得,【答案】为B.5.函数()2lg 34sin y x =-的定义域为_________.【答案】,33xk x k k ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣【解析】由234sin 0x ->,得23sin 4x <,故sin x <<. 由角α的终边与单位圆中交点的纵坐标(正弦线)解得,33xk x k k ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣. 6.定义在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数6cos y x =的图象与5tan y x =的图象的交点为P ,过点P 作1PP x ⊥轴于点1P ,直线1PP 与sin y x =的图象交于点2P ,则线段12P P 的长为________.【答案】23【解析】线段12P P 的长即为sin x 的值,其中的x 满足6cos 5tan x x =, 即()2sin 6cos 5,61sin 5sin cos xx x x x=⨯-=, 整理得26sin 5sin 60x x +-=,解得2sin 3x =或3sin 2x =-(舍去). 所以线段12P P 的长为23. 7.若θ是第四象限角且342sin ,cos 55k k k k θθ--==++,则tan 1tan 1θθ+=-__________. 【答案】17- 【解析】因为22sin cos 1θθ+=,所以22342155k k k k --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,解得0k =或8. 由于θ是第四象限角,当0k =时,3sin 5θ=-,4cos 5θ=,满足条件. 于是tan 11tan 17θθ+=--. 当8k =时,512sin ,cos 1313θθ==-不满足条件,舍去. 8.化简:4141sin cos ()44n n n παπα-+⎛⎫⎛⎫-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z . 【解析】原式sin cos 44n n πππαπα⎛⎫⎛⎫=--++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,对n 的奇偶性讨论. 当n 为偶数时,设2,n k k =∈Z , 原式sin 2cos 244k k πππαπα⎛⎫⎛⎫=--++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭))cos sin cos sin 022αααα=-+++=; 当n 为奇数时,设21,n k k =+∈Z , 原式sin 2cos 2)sin cos 4444k k ππππππαππαπαπα⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫=+--+++-=--++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭())cos sin cos sin 022αααα=+-+=. 综上,原式0=.。

任意角和弧度制及任意角的三角函数知识点与题型归纳DOC

●高考明方向1.认识随意角的观点．2.认识弧度制的观点，能进行弧度与角度的互化3.理解随意角的三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定义 .★备考知考情1.三角函数的定义与三角恒等变换等相联合，考察三角函数求值问题．2.三角函数的定义与向量等知知趣联合，考察三角函数定义的应用．3.主要以选择题、填空题为主，属中低档题.一、知识梳理《名师一号》 P47知识点一角的观点按旋转方向不一样分为正角、负角、零角.(1)分类按终边地点不一样分为象限角和轴线角.(2)终边同样的角：全部与角α终边同样的角，连同角α在内，可组成一个会合 S＝{β|β＝α＋k·360°， k∈Z}.《名师一号》 P47对点自测1、21注意：1、《名师一号》 P48问题研究问题1、2相等的角终边同样，终边同样的角也必定相等吗？相等的角终边必定同样，但终边同样的角却不必定相等，终边同样的角有无数个，它们之间相差 360°的整数倍．角的表示形式是独一的吗？角的会合的表示形式不是独一的，如：终边在y 轴的负半轴上的角的会合能够表示为{x|x＝k·360°－90°，k∈Z} ，也能够表示为 {x|x＝k·360°＋270°， k∈ Z}．(增补)2、正角 >零角>负角3、以下观点应注意划分小于 90°的角；锐角；第一象限的角； 0°～ 90°的角．4、(1) 终边落在座标轴上的角1）终边落在x轴非负半轴上的角{x|x＝ 2kπ， k∈ Z}2）终边落在x轴非正半轴上的角{x|x＝ 2kπ+π， k∈ Z}终边落在 x 轴上的角{x|x＝ kπ，k∈Z}3）终边落在y轴非负半轴上的角π{x|x＝ 2kπ+2， k∈ Z}4）终边落在y轴非正半轴上的角3π{x|x＝ 2kπ+ 2， k∈Z}2终边落在 y 轴上的角π{x|x＝ kπ+2， k∈ Z}(2)象限角（自己课后达成）知识点二弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad.(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝ 2π弧度； 180°＝π弧度；②弧长公式： l＝|α|r；1 1 2③扇形面积公式： S 扇形＝2lr 和2|α|r .重点：基本公式180 rad《名师一号》 P47 对点自测 3注意：1、《名师一号》 P48 问题研究问题 3在角的表示中角度制和弧度制能不可以混淆应用？不可以．在同一个式子中，采纳的胸怀制度是一致的，不行混用．2、弧长公式与扇形面积公式（扇形的圆心角为弧度，半径为 r ）3弧长公式l | | r 扇形面积公式S1 lr2( 增补 ) （将扇形视为曲边三角形，记l 为底，r为高）知识点三随意角的三角函数于点(1)定义：设α是一个随意角，它的终边与单位圆交P(x，y)，则 sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．(增补)1 、广义的三角函数定义三角函数的定义让角的极点与原点 O重合，始边与 x轴的非负半轴重合，在角的终边上任取一点，则角的三角函数值以下：y ycos x x ysinx2 y2 tan xr r x2 y 2 x OP r x 2 y 2 r 0特别地，当OP r2 21 时x y ysin y cos x tan 0xx2、各象限角的三角函数值符号规律：( 增补 ) 重点：立足定义正弦一二正，横为零余弦一四正，纵为零4正切一三正，横为零，纵不存在3、特别角的三角函数值（自己课后达成）知识点三随意角的三角函数(2)几何表示：三角函数线能够看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是 (1,0)．如图中有向线段 MP ，OM ， AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．《名师一号》 P47对点自测 6注意：《名师一号》 P48问题研究问题 4怎样利用三角函数线解不等式及比较三角函数值的大小？(1)先找到“正当”区间，即 0～ 2π间知足条件的范围，而后再加上周期．(2)先作出角，再作出相应的三角函数线，最后进行比较5大小，应注意三角函数线的有向性．也能够利用相应图象求解二、例题剖析：（一 ) 角的表示及象限角的判断例 1. 《名师一号》 P48 高频考点例 1(1)写出终边在直线 y＝3x 上的角的会合；α(2)已知α是第三象限角，求2所在的象限．【思想启示】(1)角的终边是射线，应分两种状况求解．α(2)把α写成会合的形式，进而2的会合形式也确立．解： (1)当角的终边在第一象限时，角的会合为π{α|α＝ 2kπ＋3，k∈Z} ，当角的终边在第三象限时，角的会合为4{α|α＝ 2kπ＋3π， k∈ Z}，故所求角的会合为π 4{α|α＝ 2kπ＋3，k∈Z} ∪ {α|α＝2kπ＋3π， k∈ Z}6π{ | k33(2)∵2k π＋π<α<2k π＋2π(k ∈Z) ，∴k π＋π α π＋ 3π(∈ Z) ．2<2<k4kπ α3当 k ＝ 2n(n ∈ Z) 时， 2n π＋2<2<2n π＋4π，α2是第二象限角，3π α 7当 k ＝ 2n ＋1(n ∈Z) 时，2n π＋ 2 <2<2n π＋4π， α2是第四象限角，综上知，当 α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角．注意 : 《名师一号》 P48 高频考点例 1 规律方法(1)若要确立一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为 2k π＋α(0 ≤α<2π)(k ∈Z) 的形式，而后再依据α所在的象限予以判断．(2)利用终边同样的角的会合能够求合适某些条件的角，方法是先写出这个角的终边同样的全部角的会合，而后经过对会合中的参数 k 赋值来求得所需角．7（二 ) 弧度制的定义和公式例 1. 《名师一号》 P48 高频考点例 2 (1)已知扇形周长为 10，面积是 4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为 40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解： (1)设圆心角是 θ，半径是 r ， 2r ＋r θ＝10r ＝1， r ＝4，则 1θ·2＝? (舍 )， θ＝14θ＝8 2r21故扇形圆心角为 2.(2)设圆心角是 θ，半径是 r ，则 2r ＋ r θ＝40.1 2 1S ＝2θ·r ＝2r(40－2r)＝r(20－r)2当且仅当 r ＝10 时， S max ＝100， θ＝ 2. 所以当 r ＝10， θ＝ 2 时，扇形面积最大．《名师一号》 P47对点自测 4注意：《名师一号》 P48 高频考点例 2 规律方法811.弧度制下 l ＝ |α| r ·，S ＝2lr ，此时 α为弧度．在角度制下，弧长 l ＝n πr，扇形面积 S ＝ n πr 2，180 360此时 n 为角度，它们之间有着必定的联系． 2．在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．（三 ) 三角函数的定义及应用例 1. 《名师一号》 P48 高频考点例 3 (1)已知角 θ的极点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，2 5若 P(4，y)是角 θ终边上一点，且 sin θ＝－ 5 ，则 y ＝________.解： (1)r ＝ x 2＋y 2＝ 16＋y 2，且 sin θ＝－255， y y 2 5所以 sin θ＝ r ＝ 16＋y 2＝－5 ，所以 θ为第四象限角，解得 y ＝－ 8.《名师一号》 P47对点自测 5(3)(2015 日·照模拟 )已知点 P(sin θcos θ， 2cos θ)位于第三象限，则角 θ是第 ________象限角．9解： (3)由于点 P(sinθcosθ， 2cosθ)位于第三象限，sinθ>0，所以 sinθcosθ<0,2cosθ<0，即cosθ<0，所以θ为第二象限角．※(2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始地点在 (0,1)，此时圆上一点 P 的地点在 (0,0)，圆在→x 轴上沿正向转动．当圆转动到圆心位于 (2,1)时，OP的坐标为 ________．解： (2)如图，连结 AP，分别过 P，A 作 PC，AB 垂直 x 轴于 C，B 点，过 A 作 AD⊥ PC 于 D 点，由题意知 BP 的长为 2.10∵圆的半径为 1，∴∠ BAP＝ 2.π故∠ DAP＝ 2－2.π∴DP＝ AP·sin 2－2＝－ cos2.π∴PC＝ 1－ cos2，DA＝APcos2－2＝ sin2.→∴OC＝ 2－ sin2，故 OP＝(2－sin2,1－ cos2)．注意：《名师一号》 P48高频考点例2规律方法1.利用定义求三角函数值．在利用三角函数的定义求角α的三角函数值时，若角α终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要依据问题的本质及解题的需要对参数进行分类议论．随意角的三角函数值仅与角α的终边地点相关，而与角α终边上点 P 的地点没关．2．三角函数值的符号及角的地点的判断．已知一角的三角函数值 (sinα， cosα，tanα)中随意两个的符号，可分别确立出角终边所在的可能地点，两者的交集即为该角的终边地点，注意终边在座标轴上的特别状况．3．与向量等问题形成的交汇问题，抓住问题的本质，找寻相应的角度，而后经过解三角形求得解．11练习：若一个角α的终边在直线 y3x上，3求 10sin的值。

2019届高考数学大一轮复习讲义：第四章三角函数、解三角形第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数.1

§4.1　任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲考情考向分析1.了解任意角的概念和弧度制的概念．2.能进行弧度与角度的互化．3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．题型以选择题为主，低档难度.1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad ，1 rad ＝°.π180(180π)(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝lr ＝|α|·r 2.12123．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝(x ≠0)．yx 三个三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin αR ＋＋－－cos αR ＋－－＋tan α{α|α≠k π＋，k ∈Z }π2＋－＋－4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线知识拓展1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sinα＝，cos α＝，tan α＝(x ≠0)．y r x r yx题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　×　)(2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．(　√　)(3)不相等的角终边一定不相同．(　×　)(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　√　)题组二　教材改编2．角－225°＝弧度，这个角在第象限．答案　－　二5π43．角α的终边经过点Q，则sin α＝，cos α＝.(－22，22)答案－22224．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为弧度．答案　π3题组三　易错自纠5．(2018·秦皇岛模拟)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )9π4A ．2k π＋45°(k ∈Z ) B ．k ·360°＋(k ∈Z )9π4C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋(k ∈Z )5π4答案　C解析　与的终边相同的角可以写成2k π＋(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以9π49π4只有答案C 正确．6．集合Error!中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案　C解析　当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋≤α≤2n π＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围π4π2π4π2一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋≤α≤2n π＋π＋，此时α表示的范围与π4π2π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.π4π27．(2018·攀枝花质检)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝.答案　－45解析　cos α＝＝－.－4(－4)2＋32458．(2018·济宁模拟)函数y ＝的定义域为．2cos x －1答案　(k ∈Z )[2k π－π3，2k π＋π3]解析　∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥.12由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈(k ∈Z ).[2kπ－π3，2k π＋π3]题型一　角及其表示1．设集合M ＝Error!，N ＝Error!，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅答案　B解析　由于M 中，x ＝·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，k2x ＝·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.k42．若角α是第二象限角，则是( )α2A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角答案　C解析　∵α是第二象限角，∴＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，π2∴＋k π<<＋k π，k ∈Z .π4α2π2当k 为偶数时，是第一象限角；α2当k 为奇数时，是第三象限角．α2∴是第一或第三象限角．α23．(2017·福州模拟)与－2 015°终边相同的最小正角是．答案　145°解析　与－2 015°角终边相同的角的集合为{α|α＝－2 015°＋k ·360°，k ∈Z }，当k ＝6时，α＝－2 015°＋2 160°＝145°.思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．(2)确定kα，(k ∈N ＋)的终边位置的方法αk 先写出kα或的范围，然后根据k 的可能取值确定kα或的终边所在位置．αk αk 题型二　弧度制典例 (1)(2017·珠海模拟)已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1 C. D ．312答案　A解析　设扇形的半径为R ，则弧长l ＝4－2R ，∴扇形面积S ＝lR ＝R (2－R )12＝－R 2＋2R ＝－(R －1)2＋1，当R ＝1时，S 最大，此时l ＝2，扇形圆心角为2弧度．(2)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是．答案　2解析　设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为r ，∴圆心角的2弧度数是＝.2rr 2思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．跟踪训练 (1)(2017·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是．答案　2sin 1解析　设圆的半径为R ，则R ·sin1＝1，∴R ＝，1sin 1∴这个圆心角所对弧长为R ×2＝.2sin 1(2)已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是．答案　S 1＝S 2解析　设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ，则＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ⊥AP ，AQ∴S 1＝tm ·r －S 扇形AOB ，12S 2＝tm ·r －S 扇形AOB ，12∴S 1＝S 2恒成立．题型三　三角函数的概念及应用命题点1　三角函数定义的应用典例 (1)已知点P 在角的终边上，且|OP |＝4，则点P 的坐标为( )4π3A ．(－2，－2) B.3(－12，－32)C ．(－2，－2) D.3(－32，－12)答案　A解析　点P 的坐标为，即(－2，－2)，故选A.(|OP |·cos4π3，|OP |·sin4π3)3(2)设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是( )|c osθ2|θ2θ2A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案　B解析　由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角，θ2∵＝－cos ，∴cos <0，|c osθ2|θ2θ2综上知，为第二象限角．θ2命题点2　三角函数线的应用典例函数y ＝lg(2sin x －1)＋的定义域为．1－2cos x 答案　(k ∈Z )[2k π＋π3，2k π＋5π6)解析　要使原函数有意义，必须有Error!即Error!如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为(k ∈Z )．[2k π＋π3，2k π＋5π6)思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．跟踪训练 (1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3] B ．(－2,3)C ．[－2,3) D ．[－2,3]答案　A解析　∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴Error!　∴－2<a ≤3.(2)(2017·石家庄模拟)若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的3π4π2大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α答案　C解析　如图，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可知sin α<cos α<tan α.数形结合思想在三角函数中的应用典例(1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，的坐标OP→ 为．(2)(2017·合肥调研)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为．思想方法指导在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集．解析　(1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，即圆心角∠PCA ＝2，A PA则∠PCB ＝2－，所以PB ＝sin＝－cos 2，π2(2－π2)CB ＝cos＝sin 2，设点P (x P，y P)，(2－π2)所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，yP ＝1＋PB ＝1－cos 2，所以＝(2－sin 2,1－cos 2)．OP→(2)因为3－4sin 2x ＞0，所以sin 2x ＜，34所以－＜sin x ＜.3232利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，所以x ∈(k ∈Z )．(k π－π3，k π＋π3)答案　(1)(2－sin 2,1－cos 2)(2)(k ∈Z )(k π－π3，k π＋π3)1．角－870°的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案　C解析　由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限．2．(2017·石家庄模拟)已知点P 在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )(32，－12)A. B.5π62π3C. D.11π65π3答案　C解析　由已知得tan θ＝－，θ在第四象限且θ∈[0,2π)，∴θ＝.3311π63．(2017·福州模拟)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝，则m 等于( )35A ．－3 B ．3 C. D ．±3163答案　B解析　sin θ＝＝，且m >0，解得m ＝3.m16＋m 2354．(2018·成都模拟)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q 点，则Q 点2π3的坐标为 ( )A.B.(－12，32)(－32，－12)C. D.(－12，－32)(－32，12)答案　A解析　由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos ＝－，y ＝sin ＝.2π3122π3325．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案　C解析　设扇形的半径为R ，则×4×R 2＝2，12∴R ＝1，弧长l ＝4，∴扇形的周长为l ＋2R ＝6.6．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P (x ，)，且cos α＝x ，则tan α等于( )524A. B. C ．－ D ．－155153155153答案　D解析　∵＝x 且α在第二象限，xx 2＋524∴x ＝－，∴tan α＝＝－.35－31537．(2017·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值( )A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案　A解析　∵sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2·cos 3·tan 4<0.8．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案　A解析　举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin ＝sin ，但π65π6与的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三π65π6象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．9．(2017·鄂州模拟)已知tan θ<0，且角θ终边上一点为(－1，y )，且cos θ＝－，则y ＝.12答案　3解析　由已知得θ在第二象限，∴y >0，∴cos θ＝＝－，∴y ＝.－1y 2＋112310．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于．π6π3答案　π3解析　设扇形半径为r ，弧长为l ，则Error!　解得Error!11．函数y ＝的定义域为．sin x －32答案　，k ∈Z [2k π＋π3，2k π＋23π]解析　利用三角函数线(如图)，由sin x ≥，可知322k π＋≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .π32312．满足cos α≤－的角α的集合为．12答案　Error!解析　作直线x ＝－交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴12影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为Error!.13．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos βB ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan βC ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos βD ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β答案　D解析　如图，当α在第四象限时，作出α，β的正弦线M 1P 1，M 2P 2和正切线AT 1，AT 2，观察知当sin α>sin β时，tan α>tan β.14．已知点P (sin α＋cos α，tan α)在第四象限，则在[0,2π]内α的取值范围是．答案　∪(π2，34π)(74π，2π)解析　由Error!得－1<tan α<0或tan α<－1.又0≤α≤2π，∴<α<π或π<α<2π.π2347415．(2017·烟台模拟)若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝，则m －n ＝.10答案　2解析　由已知tan α＝3，∴n ＝3m ，又m 2＋n 2＝10，∴m 2＝1.又sin α<0，∴m ＝－1，∴n ＝－3.故m －n ＝2.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于B 点，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－，求tan α的值；45(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．(3)若α∈，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．(0，2π3]解　(1)根据题意可得B ，∴tan α＝±.(－45，±35)34(2)若△AOB 为等边三角形，则B 或B ，(12，32)(12，－32)当B 时，tan ∠AOB ＝，∠AOB ＝；(12，32)3π3当B 时，tan ∠AOB ＝－，∠AOB ＝－.(12，－32)3π3∴与角α终边相同的角β的集合是Error!.(3)若α∈，则S扇形＝αr 2＝α，(0，2π3]1212而S △AOB ＝×1×1×sin α＝sin α，1212故弓形AB 的面积S ＝α－sin α，α∈.1212(0，2π3]。

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