考点05 三角函数-备战高考名校试题集锦(数学)
高考数学压轴专题最新备战高考《三角函数与解三角形》经典测试题含答案
新高中数学《三角函数与解三角形》专题解析一、选择题1．已知πππsin()cos()0,322ααα++-=-<<则2πcos()3α+等于（ ）A B ．35-C ．45D ．35【答案】C 【解析】 【分析】首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析：∵ππsin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13sin sin sin 22225ααααα++=+=-65πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=，变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，AB BC ⋅>u ur u u r u u，a =b c +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．32⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，可得3A π=，由|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r，可得B为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解【详解】由余弦定理有：222cos 2b c a A bc+-=，又222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又A 为三角形的内角，故3A π=又2a=sin sin sin(120)2ob c c B C B ==- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r故cos 0B B <∴为钝角3sin sin(120)sin 30)22o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+(90,120)o o B ∈Q ，可得1330(120150)sin(30)(,)22o o o o B B +∈∴+∈，333sin(30)(,)22o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题4．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 【答案】D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.5．已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的图象（部分）如图所示，则ω，ϕ分别为（ ）A ．,3πωπϕ==B ．2,3πωπϕ==C ．,6πωπϕ==D ．2,6πωπϕ==【答案】C 【解析】 【分析】由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23f =确定ϕ. 【详解】 由图可得，2A =，5114632T =-=，所以22T πω==，ωπ=，又1()23f =，所以12sin()23πϕ⨯+=，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6k k Z πϕπ=+∈， 又2πϕ<，故6π=ϕ. 故选：C 【点睛】本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.6．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102x << B ．112x << C ．12x << D ．01x <<【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ，设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则cos 0A '∠<，所以()()()()()2222342340x x x x x x x ⎧+++<+⎪+++>+⎨⎪>⎩，解得01x <<.故选：D. 【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.7．将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由12f πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出φ，再根据所得图象关于y 轴对称求出ω，可得()f x 的解析式．【详解】解：将函数()()sin (0,)2f x x πωφωφ=+><的图象向右平移6π个单位长度后，可得sin 6y x ωπωφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象；∵所得图象关于y 轴对称，∴62k ωππφπ-+=+，k Z ∈．∵()1sin sin 2f ππφφω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2φ=，26ππφφ<=，. ∴63k ωπππ-=+，620k ω=-->, 则当ω取最小值时，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选C ． 【点睛】本题主要考查函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC ≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1，∵π2＜A ＜π， ∴A= 3π4，由正弦定理可得c sin sin aC A=， ∵a=2，，∴sinC=sin c A a=12=22， ∵a ＞c ， ∴C=π6， 故选B ．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.9．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．78-B ．78C ．18-D ．18【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin 4αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭所以()222cos sin sincos cossin 44ππαααα-=-所以()())2cos sin cos sin cos sin αααααα-+=- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭Q ，所以cos sin 4αα+=所以()21cos sin 8αα+=，即221cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28α+= 所以7sin 28α=- 故选：A 【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；10．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．23C ．43D ．83【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭Q ，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>Q ，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.11．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ） A．13+ B．3C．23+ D．3【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >.故()min 3f x f π⎛⎫==⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.12．若函数()y f x =同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()y f x =的解析式可以是（ ） A ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】A 【解析】 【分析】利用性质①可排除B ,利用性质②可排除C ,利用性质③可排除D ,通过验证选项A 同时满足三个性质. 【详解】逐一验证，由函数()f x 的最小正周期为π，而B 中函数最小正周期为2412ππ=,故排除B ；又cos 2cos 0362πππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，所以cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不关于直线3x π=对称，故排除C ； 若63x ππ-≤≤，则023x ππ≤+≤，故函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故排除D ； 令2262x πππ-≤-≤，得63x ππ-≤≤，所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．由周期公式可得22T ππ==,当3x π=时,sin(2)sin 1362πππ⨯-==, 所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭同时满足三个性质.故选A ． 【点睛】本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.13．函数()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．25,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式 详解：当[,]66x ππ∈-，2[,]33x ππϕϕϕ+∈-++，又∵(0,)ϕπ∈，则[,][0,]33ππϕϕπ-++⊆，即033πϕπϕπ⎧-≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，233ππϕ≤≤，由cos(2)0x ϕ+=得2,2x k k Z πϕπ+=+∈，242k x ππϕ=+-， ∴0642ππϕ-<-<，解得526ππϕ<<， 综上223ππϕ<≤. 故选C.点睛：余弦函数的单调减区间：[2,2]k k ππ+π，增区间：[2,22]k k ππππ++，零点：2x k ππ=+，对称轴：x k π=，对称中心：,2)0(k ππ+，k Z ∈.14．在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于D，BD =，1cos 4BAC ∠=，则AD =（ ） A ．2 BCD【答案】A 【解析】 【分析】先求出sin BAD ∠=，再利用正弦定理求AD. 【详解】∵21cos 12sin 4BAC BAD ∠=-∠=，∴sin 4BAD ∠=.在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠，∴sin 2sin 4B AD BD BAD =⋅==∠. 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =c =( )A．B ．2 CD ．1【答案】B【解析】1sin A ===cos A =,所以22212c c =+-2320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，0030,60A C B ===不满足内角和定理，排除.【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出cos 2A =后，要及时判断出0030,60AB ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.16．已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是( )A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈D ．2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈ 【答案】C【解析】【分析】由三角函数图像的性质可求得：2πω=，6πϕ=-，即()sin()26f x x ππ=-，再令222262k x k ππππππ--+剟，求出函数的单调增区间即可. 【详解】解：函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<， 因为1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点， 又4BC =，∴222()42T +=，即221216πω+=，求得2πω=． 再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6πϕ=-，()3sin()26f x x ππ∴=-， 令222262k x k ππππππ--+剟，求得244433k x k -+剟， 故()f x 的单调递增区间为2(43k -，44)3k +，k Z ∈， 故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.17．40cos2d cos sin x x x xπ=+⎰（ ） A．1)B1 C1 D．2【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分.【详解】 因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0x x x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ． 【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.18．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（ ）A ．15B ．315C ．1D ．3【答案】A 【解析】【分析】 先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论．【详解】如图：()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，同理可得sin sin CD AC CAD ADC=∠∠， 因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD AB CD AC =， 4AB =Q ，8AC =，2BD =，8244AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=. 2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，2115sin 144B ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 1sin 152ABD S AB BD B ∴=⋅⋅=V 故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题.19．设2α是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（ ）象限角 A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B【解析】【分析】计算得到720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，再根据cos 0α<得到答案.【详解】 ∵2α是第一象限角，∴360903602k k α︒<<︒+︒，k Z ∈， ∴720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角， ∵cos cos αα=-，∴cos 0α<，∴α是第二象限角.故选：B .【点睛】本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.20．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43BAC AP ∠==，AB AC ==P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32πB ．48πC ．64πD ．72π 【答案】C【解析】【分析】先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可.【详解】 在ABC V中，AB AC ==23BAC π∠=，可得6ACB π∠=， 则ABC V的外接圆的半径π2sin 2sin 6AB r ACB ===ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，则222OA OG AG =+，即外接球半径4R ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=.故选C.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.。
高考数学压轴专题最新备战高考《三角函数与解三角形》基础测试题附答案
《三角函数与解三角形》考试知识点一、选择题1．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14CD【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A B C A B A B A B π++=--=-=-=---⋅， 所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.3．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102x << B ．112x << C ．12x << D ．01x <<【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ，设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则cos 0A '∠<，所以()()()()()2222342340x x x x x x x ⎧+++<+⎪+++>+⎨⎪>⎩，解得01x <<.故选：D. 【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩的图像关于y 轴对称，则sin y x =的图像向左平移（ ）个单位，可以得到cos()y x a b =++的图像（ ）. A ．4π B ．3π C ．2π D ．π【答案】D 【解析】 【分析】根据条件确定,a b 关系，再化简()cos y x a b =++，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】因为函数()()(),0,0sin x a x f x cos x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以sin cos 22a b ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()sin cos a b ππ-+=+，即sin cos sin cos b a a b ，==，因此π2π()2a b k k Z +=+∈， 从而()()cos sin y x a b sinx x π=++=-=+,选D. 【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.5．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由函数2cos 2y x x =-的图象（ ） A ．向右平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 B ．向右平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 C ．向左平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 D ．向左平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 【答案】D 【解析】 【分析】合并cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用平移、伸缩知识即可判断选项。
专题五 三角函数(学生版)--2020-2023高考真题数学专题分类汇编
专题五三角函数真题卷题号考点考向2023新课标1卷8三角恒等变换给值求值15三角函数的性质及应用余弦型函数的零点问题2023新课标2卷7三角恒等变换给值求值16三角函数的图象与性质由部分图象求解析式、求函数值2022新高考1卷6三角函数的性质及应用求三角函数的解析式、求函数值2022新高考2卷6三角恒等变换三角求值9三角函数的图象与性质求三角函数的单调区间、对称轴、极值点、求切线方程2021新高考1卷4三角函数的性质及应用求三角函数的单调区间2021新高考2卷6三角恒等变换给值求值2020新高考1卷10三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式15三角函数的应用三角函数解决实际问题2020新高考2卷11三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式16三角函数的应用三角函数解决实际问题【2023年真题】1.（2023·新课标I卷第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin6αβ=，则cos(22)αβ+=()A.79 B.19 C.19- D.79-2.（2023·新课标II 卷第7题）已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin 2α=()A.38- B.18-+ C.34- D.14-3.（2023·新课标I 卷第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.4.（2023·新课标II 卷第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π=.【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=()A.1B.32C.52D.36.（2022·新高考II 卷第6题）若sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+，则()A.tan()1αβ+=-B.tan()1αβ+=C.tan()1αβ-=- D.tan()1αβ-=7.（2022·新高考II 卷第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则()A.()f x 在5(0,12π单调递减B.()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点C.直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D.直线32y x =-是曲线()y f x =的一条切线【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是()A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9.（2021·新高考I 卷第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+()A.65-B.25-C.25 D.65【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷第10题、II 卷第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+()A.sin ()3x π+B.sin (2)3x π- C.cos (2)6x π+D.5cos (2)6x π-11.（2020·新高考I 卷第15题、II 卷第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，cm A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为__________2.【答案解析】1.（2023·新课标I 卷第8题）解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+=即2221cos(22)12sin ()12(.39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2.（2023·新课标II 卷第7题）解：221511cos 36114sin ()sin 222816424ααα+----=====⇒=故选：.D 3.（2023·新课标I 卷第15题）解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<，得2 3.ω<故答案为：[2,3).4.（2023·新课标II 卷第16题）解：设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-23()sin(4.32f πππ=-=-5.（2022·新高考I 卷第6题）解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++=所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin( 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷第6题）解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos44ππαβαβ=+++，cos )sin 44ππαβαβ+=+故sin()cos cos()sin 044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故22sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=，故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=-7.（2022·新高考II 卷第9题）（多选）解：由题意得：24()sin()033f ππϕ=+=，所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈，又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减;选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点;选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(2)32x π+=-，解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为3(0)2y x -=--，即3.2y x =-8.（2021·新高考I 卷第4题）解：由22262k x k πππππ-+-+，得222,33k xk k Z ππππ-++∈，所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：.A 9.（2021·新高考I 卷第6题）解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++，故选：.C 10.（2020·新高考I 卷第10题、II 卷第11题）（多选）解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误;解得2ω=±，点5(,1)12π-在函数图象上，当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈，解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC 11.（2020·新高考I 卷第15题、II 卷第16题）解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=，又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得22OJ AJ x ==，252OL JK x ==-，272DL DK LK DK OJ x =-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==，253252x -=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。
高考数学压轴专题人教版备战高考《三角函数与解三角形》经典测试题附答案
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》高考复习知识点一、选择题1．已知πππsin()cos()0,322ααα++-=-<<则2πcos()3α+等于（ ）A B ．35-C ．45D ．35【答案】C 【解析】 【分析】首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析：∵ππsin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13sin sin sin 22225ααααα++=+=-65πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.2．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102x << B ．112x << C ．12x << D ．01x <<【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ，设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则cos 0A '∠<，所以()()()()()2222342340x x x x x x x ⎧+++<+⎪+++>+⎨⎪>⎩，解得01x <<.故选：D. 【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.3．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，所以cosC=2222a b c ab+-=2224916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．4．已知函数()()03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）A ．2π B ．3π C ．πD ．4π【答案】A 【解析】 【分析】由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122x x k k ππ-=-+，12,k k Z ∈；从而可知120k k -=时取最小值. 【详解】由()f x 最小正周期为π可得：2ππω= 2ω∴= ()23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭()max f x ∴，()min f x =()()122f x f x ⋅=-Q 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点()1112222232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩()12122x x k k ππ∴-=-+，当120k k -=时，12min2x x π-=本题正确选项：A 【点睛】本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.5．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，， 所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选D 【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C 【解析】 【分析】设AE BF a ==，13B EBF EBF V S B B '-'=⨯⨯V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFa a Va a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 93222222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，()3,3,0AC =-u u u r ，所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.8．已知1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）A ．12B ．C ．24D ．【答案】C 【解析】 【分析】设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积. 【详解】解：设1MF m =，2MF n =，∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，∴24m n a -==，122F F c ==∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v， ∴12MF MF ⊥，∴222440m n c +==， ∴()2222m n m n mn -=+-， 即2401624mn =-=， ∴12mn =， 解得6m =，2n =，设2NF t =，则124NF a t t =+=+， 在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++， 解得6t =， ∴628MN =+=， ∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,3,3,sin a b c a c b A ===cos ,6a B b π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则( )A ．1B 2C 3D 5【答案】C 【解析】 【分析】将sin b A = cos 6a B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭结合正弦定理化简，求得B ，再由余弦定理即可求得b ． 【详解】因为sin b A = cos 6a B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，展开得 sin b A =3?1?cos sin 2B a B -，由正弦定理化简得 sin sinB A =3?1?cos sin 2B sinA B -3sinB = cos B 即3?tanB =，而三角形中0<B<π，所以π 6B =由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ，代入(22232323236b π=+-⨯⨯解得3b =所以选C 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．10．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图象是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎝⎭⎭=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.11．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++=⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．12．若函数()y f x =同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()y f x =的解析式可以是（ ） A ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用性质①可排除B ,利用性质②可排除C ,利用性质③可排除D ,通过验证选项A 同时满足三个性质. 【详解】逐一验证，由函数()f x 的最小正周期为π，而B 中函数最小正周期为2412ππ=,故排除B ；又cos 2cos 0362πππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，所以cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不关于直线3x π=对称，故排除C ；若63x ππ-≤≤，则023x ππ≤+≤，故函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故排除D ； 令2262x πππ-≤-≤，得63x ππ-≤≤，所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．由周期公式可得22T ππ==,当3x π=时,sin(2)sin 1362πππ⨯-==, 所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭同时满足三个性质.故选A ． 【点睛】本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.13．已知π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=( )A ．725B ．725-C ．2325D ．2325-【答案】C 【解析】 【分析】由已知根据三角函数的诱导公式，求得sin α，再由余弦二倍角，即可求解． 【详解】 由π1cos α25⎛⎫-=⎪⎝⎭，得1sin α5=，又由2123cos2α12sin α122525=-=-⨯=． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,]4πB ．(0,]2πC ．3(0,]4π D ．3(0,]2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到12ω=，则()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后求得其单调增区间，再根据()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，由(,)m m -是增区间的子集求解. 【详解】因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期， 所以12ω=，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22k x k k ππππ-<<+∈Z ， 所以()f x 在3,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数， 由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭， 解得02m π<≤.故选：B 【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题15．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）A B ．CD ．【答案】A【解析】 【分析】根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S . 【详解】由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =， 由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab ab+≥=，当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.17．ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且tanC cos cos c B A =，若c =4a =，则b 的值为（ ）A ．6B ．2C ．5D【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得sin tan C C C =，结合sin 0C ≠，可求得tan C =()0,C π∈，可求C ，从而根据余弦定理24120b b --=，解方程可求b 的值．【详解】解：∵tan cos cos c C B A =， ∴由正弦定理可得：)()sin tan sin cos sin cos C C A B B A A B C =+=+=，∵sin 0C ≠，∴可得tan C = ∵()0,C π∈， ∴3C π=，∵c =4a =，∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得212816242b b =+-⨯⨯⨯，可得24120b b --=，∴解得6b =，（负值舍去）． 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，其中着重考查了正弦定理的边角互化、余弦定理的解三角形，难度一般.利用边角互化求解角度值时，注意三角形内角对应的角度范围.18．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos a B b A C+=，1a =，b =c =（ ）A B ．1CD 【答案】B 【解析】 【分析】先由正弦定理将cos cos 2cos a B b A C+=中的边转化为角，可得sin()A B +=可求出角6C π=，再利用余弦定理可求得结果.【详解】解：因为cos cos 2cos a B b A C+=，所以正弦定理得，sin cos sin cos A B B A +=所以sin()A B +=sin 2cos C C C=，因为sin 0C ≠，所以cos 2C =， 又因为(0,)C π∈，所以6C π=，因为1a =，b =所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以1c = 故选：B此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.19．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =c =( )A ．B ．2CD ．1【答案】B 【解析】1,sin sin sin 22sin cos A B A A A ===cos 2A =,所以22212c c =+-2320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，030,60A C B ===不满足内角和定理，排除. 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出cos A =0030,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.20．已知曲线1:sin C y x =，21:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项.A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向右平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错误；B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向右平移3π个单位长度后得：11121sin sin cos cos 232622632y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向左平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向左平移3π个单位长度后得：1111sin sin cos cos 232622623y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.。
备战2021年高考理数 6年高考真题分项版精解精析专题05 三角函数(解析版)
【2022高考真题】1. 【2022高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( ) A.56x π=B.712x π= C.3x π= D.6x π=2.【2022高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 . 3.【2022高考江苏卷第14题】 若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 .4.【2022辽宁高考理第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 5.【2022全国1高考理第16题】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________．6.【2022全国2高考理第4题】钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2 ，则AC=( )A. 5B. 5C. 2D. 1【答案】B7. 【2022全国2高考理第14题】 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.8. 【2022山东高考理第12题】在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.9. 【2022四川高考理第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上全部的点（ ）A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A10. 【2022高考广东卷理第12题】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知b Bc C b 2cos cos =+，则=ba.11. 【2022全国1高考理第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）【答案】C【考点定位】解直角三角形、三角函数的图象． 12. 【2022全国1高考理第8题】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） （A ） 32παβ-=（B ）32παβ+=（C ）22παβ-=（D ）22παβ+=13. 【2022高考北卷理第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 . 14. 【2022高考安徽卷理第11题】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.【答案】83π 15. 【2022高考福建卷第12题】在ABC ∆中，60,4,23A AC BC =︒==,则ABC ∆的面积等于_________..16. 【2022江西高考理第4题】在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积（ ） A.3 B.239 C.233 D.3317. 【2022四川高考理第13题】如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈，cos670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈，3 1.73≈）18. 【2022浙江高考理第4题】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位19. 【2022浙江高考理第17题】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了精确 瞄准目标点，需计算由点观看点的仰角的大小.若则的最大值 .【答案】53920．【2022重庆高考理第10题】已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S 满足 C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式肯定成立的是( ) A.8)(>+c b bc B.()162ac a b +> C.126≤≤abc D.1224abc ≤≤21. 【2022陕西高考理第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π22. 【2022天津高考理第12题】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b ca ，2sin 3sin B C ，则cos A 的值为_______．23. 【2022大纲高考理第3题】设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>24. 【2022大纲高考理第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．25. 【2022高考安徽卷第16题】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B ===（1）求a 的值； （2）求sin()4A π+的值.26. 【2022高考北京理第15题】如图，在ABC ∆中，,83B AB π∠==，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=. （1）求sin BAD ∠； （2）求BD ，AC 的长.28. 【2022高考福建理第16题】已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.（1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】(1)12 ;(2) π,3[,],88k k k Z ππππ-+∈29. 【2022高考广东理第16题】已知函数()sin 4f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x R ∈，且53122f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）求A 的值； （2）若()()32f f θθ+-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求34f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.30. 【2022高考湖北理第17题】某试验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系；)24,0[,12sin12cos310)(∈--=t t t t f ππ.（1）求试验室这一天的最大温差；（2）若要求试验室温度不高于11C ，则在哪段时间试验室需要降温？31. 【2022高考湖南理第18题】如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,7AD CD AC ===(1)求cos CAD ∠的值; (2)若7cos 14BAD ∠=-,21sin 6CBA ∠=,求BC 的长.32. 【2022高考江苏第15题】已知5sin 25παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，，. （1）求sin()4πα+的值；（2）求5cos(2)6πα-的值.33. 【2022高考江西理第16题】已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈- （1）当2,4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；（2）若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.34. 【2022高考辽宁理第17题】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.35. 【2022高考山东卷第16题】已知向量(,cos 2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(,3)12π和点2(,2)3π-. （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.【考点定位】平面对量的数量积，三角函数的化简，三角函数的图象和性质. 36. 【2022高考四川第16题】已知函数()sin(3)4f x x π=+.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若α是其次象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值.37.【2022高考浙江理第18题】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,3a b c ≠=，22cos -cos 3sin cos -3sin cos .A B A A B B =（I ）求角C 的大小； （II ）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积.38.【2022高考重庆理科第17题】已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求ω和ϕ的值；（II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值.【2021高考真题】 （2021·新课标I 理）15、设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______（2021·浙江理）6.已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan （ ） A.34 B. 43 C.43- D.34-（2021·天津理）6. 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = （ ） (A)1010(B)105(C)31010(D)55（2021·上海理）11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += （2021·上海理）4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）（2021·陕西理）7. 设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的外形为 （ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定【答案】B（2021·山东理）5.将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为A.43π B.4π C. 0 D. 4π- （2021·辽宁理）（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--=（2021·辽宁理）（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b +=,a b B >∠=且则A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π（2021·江西理） 11．函数y=sin2x+2sin 2x 的最小正周期T 为_______.（2021·新课标Ⅱ理）（15）设θ为其次象限角，若tan （θ+π4）=12，则sin θ+cos θ=_________. （2021·江西理）10.如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线ι1，ι2之间，ι//ι1，ι与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于E,D 两点。
易错点05 三角函数-备战2023年高考数学考试易错题(解析版)(全国通用)
易错点05 三角函数易错点1：三角函数的定义此类题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.所以要求考生要熟记公式，并懂得灵活应用。
易错点2：三角函数图象变换 函数图象的平移变换解题策略：（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. 易错点3：由三角函数图像求解析式结合图象及性质求解析式y =A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法 （1）求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则,22M m M mA B -+==. （2）求ω，已知函数的周期T ，则2πTω=. （3）求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)．②确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(,0)ϕω-作为突破口，具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ=0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ=π2； “第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ=π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ=3π2； “第五点”为ωx ＋φ=2π. 易错点4： 给值（式）求角（值）解三角函数的给值求值问题的基本步骤 （1）先化简所求式子或所给条件； （2）观察已知条件与所求式子之间的联系； （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 易错点5：三角形中边角关系此类题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.1．（单选）已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．12-C 3D ．3 【答案】A【详解】平移不改变振幅和周期，所以由图象可知1A =， 237346124ππππω⎛⎫⨯=--= ⎪⎝⎭，解得：2ω=, 函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得()3cos 24g x x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当6x π=时，3322,Z 622k k πππϕπ⨯++=+∈，且2πϕ<，得3πϕ=-所以()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1cos 332f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：A2．（单选）把函数()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3个单位长度，再把横坐标压缩到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则()g x （ ） A ．最小正周期为2π B ．奇函数C ．偶函数D ．()23g x g x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】D【详解】解：把函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度，得cos 2cos 2333y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把横坐标压缩到原来的12倍，纵坐标不变，得cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则最小正周期为242ππ=，故A 错误； 因为11,12122g g ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()g x 是非奇非偶函数，故BC 错误；()22cos 4cos 42cos 433333g x x x x g x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-++=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确.故选：D.3．（多选）已知函数()()sin cos sin f x x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 21-C ．()f x 的图像关于直线8x π=-对称D ．将()f x 的图像向右平移8π个单位长度，再向上平移12个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数 【答案】BD 【详解】()()211cos 221sin cos sin sin cos sin sin 2sin 222242x f x x x x x x x x x π-⎛⎫=-=-=-=+- ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期为22T ππ==，最大值为212-，故A 错误，B 正确； 对称轴方程为242x k πππ+=+，k ∈Z ，即28k x ππ=+，k ∈Z ，当8x π=-时，k 不为整数，故C 错误；对于选项D ，将()f x 的图像向右平移8π个单位长度后得到2121sin 2sin 2284222y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 然后将此图像向上平移12个单位长度，得到函数()2sin 22g x x =的图像，()g x 是一个奇函数，故D 正确. 故选：BD.4．（多选）已知函数()()cos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()3cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 在()3,4ππ上单调递增C ．()32f x >的解集为()4,43k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ．D ．()f x 的图象的对称轴方程为()3x k k ππ=-∈Z【答案】BC【详解】对于A 选项：由图知3A =，函数()f x 的最小正周期44433T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以2142ωπ==π，所以()13cos 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为点,33π⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 的图象 上，所以3cos 36πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()26k k πϕπ+=∈Z ，即()26k k πϕπ=-+∈Z ．因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()13cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B 选项：令()12226k x k k ππππ-+≤-≤∈Z ，得()54433k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，即()f x 的单调递增区间为()54,433k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，因为()()53,44,433k k k ππππππ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以B 正确；对于C 选项:令133cos 262x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则11cos 262x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()1223263k x k k πππππ-<-<+∈Z ，解得()443k x k k ππππ-<<+∈Z ，所以()32f x >的解集为()4,43k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，故C 正确；对于D :令()126x k k ππ-=∈Z ，解得()23x k k ππ=+∈Z ，所以()f x 的图象的对称轴方程为()23x k k ππ=+∈Z ，故D 错误．故选：BC ．5．（多选）已知函数()()()2sin 20f x x =+<<的图象关于直线对称，则（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的最小正周期是πC ．()f x 的一个对称中心是()2π,0-D ．()f x 的一个递增区间是()2,3【答案】BD【详解】B ．()f x 的最小正周期是2ππ2T ==，B 正确； A ．由于()f x 的图象关于直线πx =对称，且最小正周期是π，因此()f x 的图象也关于直线0x =对称，故()f x 是偶函数，A 错误；C ．因为是偶函数，且最小正周期是π，则()2cos2x x f =或()2cos2f x x =-，根据0πϕ<<可得解析式为前者．()f x 的对称中心为ππ,02k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()Z k ∈，C 错误；D ．由于()π2,3,π2⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，D 正确．故选：BD.1．（单选）已知有恒等式cos cos 2cos cos22αβαβαβ+-+=，则2222234cos cos cos cos 5555ππππ+++=（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．52【答案】B【详解】因为cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=所以222224684coscos cos cos 2345555cos cos cos cos 55552ππππππππ+++++++=332cos coscos cos 2(cos cos )5555ππππππ=++=-+ 2222sincos cossin cos25555522coscos 2255sinsin 55πππππππππ=-=-=-14sin13252222sin 5ππ=-=-= 故选：B2．（单选）若sin 72α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 214α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．35B ．12-C ．12D ．13【答案】C 【详解】令7πθα=+可得7παθ=-，故1sin 2θ=，则33sin 2sin 214147πππαθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21sin 2cos 212sin 22πθθθ⎛⎫=-==-= ⎪⎝⎭故选：C3．（多选）若函数()222sin cos 2cos 2f x x x x =+-，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移π4个单位长度得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线3π8x =-对称 C ．函数()y f x =的图象关于点3π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()y x f x =+在π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数【答案】BD【详解】由题意，()2222π2sin cos 2cos sin 2cos 2sin 22224f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭．函数sin 2y x =的图象向右平移π4个单位长度可得到()ππsin 2sin 2cos 242f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；3π3ππsin 21884f⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()y f x =的图象关于直线3π8x =-对称，故B 正确，C 错误； 函数y x =在π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2,442x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故函数()f x 在π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以函数()y x f x =+在π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，故D 正确．故选：BD ．4．（多选）函数cos 02f x x ωϕϕπ=+≤<的部分图像如图所示，则（ ）A ．3ω=B ．65ϕπ=C ．函数()f x 在314,55ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 图像的对称轴方程为()315k x k ππ=-∈Z 【答案】AD【详解】由图像知函数的周期1322230103T ππππω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，解得：3ω=，所以A 对；由五点对应法得()32102k k ππϕπ⋅+=+∈Z ，因为02ϕπ≤<，所以5πϕ=，所以B 错误，所以()cos 35f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当()2325k x k k ππππ≤+≤+∈Z 时，函数()f x 单调递减.取1k =，得()f x 的一个单调递减区间为314,515ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以C 错，函数()f x 图像的对称轴方程为()35x k k ππ+=∈Z ，即()315k x k ππ=-∈Z ，所以D 对． 故选：AD5．（多选）已知函数()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为34π，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为3π B ．将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度后所得图像关于原点对称 C ．函数()f x 在5π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数D ．设||3π()e 24x g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()g x 在(10π,10π)-内有20个极值点【答案】ABD 【详解】根据题意可得344T π=，则2π3T ω==π，即23ω=，A 正确； 2π()sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度得2ππ2sin sin 3463y x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ∵2sin3y x =为奇函数，其图像关于原点对称，B 正确； ∵5π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2ππ3,π3622x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦∵()f x 在5π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，C 错误；||||3π()e e 24sin x x g x f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()()||||sin sin ()e e x x x g x x g x --=-=-=-∵()g x 为奇函数当0x ≥时，()e sin xg x x =，则()sin π()e e sin 4cos 2x x x x g x x +=⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭令()0g x '=，则πsin 04x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππN 4x k k *+=∈∵()ππN 4x k k *=-∈ ∵[)0,10πx ∈，即()π0π10πN 4k k *≤-<∈，则()141N 44k k *≤<∈∵1,2,3,...,10k =共10个则()g x 在(10π,10π)-内有20个极值点，D 正确； 故选：ABD ．一、单选题 1．若()4sin π5α-=，则cos2α＝（ ） A ．－2425B ．725C ．－725D ．2425【答案】C【详解】依题意，4sin 5α=，所以2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：C2．已知2απ<<π，cos 3α=-，则tan 2=（ ）A ．5-B 5C ．5D 5【答案】A【详解】222222cos sin 1tan 2222cos 3cos sin 1tan 222ααααααα--===-++，所以2tan 52α=，因为2απ<<π， 所以ππ22α<<，所以tan 52α=-．故选：A ．3．若2sin cos αα=+，则sin 4πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．23-B ．23C ．13-D ．13【答案】A【详解】由已知可得2cos sin 3αα-=-，则原式()()22cos sin 22cos sin 32sin cos 2αααααα-==-=-+． 故选：A.4．函数()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若把()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后得到函数()cos(2)g x A x ωϕ=+的图象，则m 的值可能为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3 D ．π2【答案】C【详解】由图可知，3A =，因为图像过π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭，5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5πππ41264T =-=， 解得πT =，则2π2Tω==， 根据图像可知()03sin 1.5f ϕ==且π||2ϕ<，解得π6ϕ=， 所以()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()π3cos 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；把()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后得到函数()ππ3sin 223cos 263g x x m x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据诱导公式可得()πππ2πZ 632m k k +-=+∈， 解得()ππZ 23k m k =+∈，当0k =时，π3m =. 故选：C.5．下列函数中，以2为周期且在区间,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（ ）A ．sin 4y x =B ．cos 4y x =C ．tan y x =D ．tan 2y x =-【答案】B【详解】对于A ，sin 4y x =的周期为π2，ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，当π42πx <<时，函数sin 4y x =不单调，故错误；对于B ，cos 4y x =的周期为π2，ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，当π42πx <<时，函数cos 4y x =单调递增，故正确；对于C ，tan y x =的周期为π，故错误； 对于D ，tan 2y x =-的周期为π2，ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，当π2π2x <<时，函数tan 2y x =单调递增，故tan 2y x =-单调递减，故错误. 故选：B6．函数()2sin6cos6f x x x =+的最小正周期是（ ） A ．2πB ．3π C ．32π D ．6π【答案】D【详解】()2sin6cos622sin 622sin 644f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()22sin 622sin 66644f x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的最小正周期为6π. 故选：D. 7．已知函数()cos 2sin f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．直线2x π=为函数f (x )图像的一条对称轴B ．函数f (x )图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移2π后得到()cos22sin 2g x x x =+ C ．函数f (x )在[－2π，2π]上单调递增 D ．函数()f x 的值域为[－25 【答案】AD【详解】解：对于A ：()()()()cos 2sin cos 2sin f x x x x x f x πππ-=-+-=+=，选项A 正确；对于B ：函数f (x )图像横坐标缩短为原来的一半，得到()2cos22sin 2f x x x =+，再向左平移2π后得到()cos 22sin 2cos 22sin 222g x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项B 错误；对于C ：当22x ππ-≤≤时，()()cos 2sin cos 2sin 5sin f x x x x x x ϕ=+=+=+，其中1tan 2ϕ=，不妨令ϕ为锐角，2222x x ππππϕϕϕ-≤≤⇒-+≤+≤+当22x ππϕϕ-+≤+≤即，,22x ππϕ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，f (x )单调递增， 当122x πϕϕ≤+≤+，即,22x ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，f (x )单调递减，选项C 错误；对于D ：2π是函数的周期，可取一个周期[－2π，32π]探究f (x )值域． 而函数f (x )的对称轴为：2x π=．因此：可取区间[－2π，2π]探究f (x )值域， 当22x ππ-≤≤时，()()cos 2sin 5sin f x x x x ϕ=+=+，其中1tan 2ϕ=，()2sin cos sin 1222225x x x πππππϕϕϕϕϕϕ-⎛⎫-≤≤⇒-+≤+≤+⇒-+=-=≤+≤ ⎪⎝⎭即：()25f x -≤≤，选项D 正确．故选：AD.8．设函数()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ）A ．()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()y f x =的图象关于直线π12x =-对称 C ．()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 在π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为0【答案】ABC 【详解】当π6x =时，πsin π06f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，A 正确； 当π12x =-时，ππsin 1122f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以()y f x =的图象关于直线π12x =-对称，B 正确；当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2π2π4π2,333u x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，()sin f u u =在2π4π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确； 当π,06x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2ππ2π2,333u x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，()sin f u u =在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为32，D 错误. 故选：ABC三、解答题9．已知函数()sin 2cos 22sin cos .36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程； (2)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0，2π]上的单调递减区间. 【答案】（1）()1331sin2cos2cos2sin2sin22222f x x x x x x =++--，()313cos2sin22cos2sin222f x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos2cos sin2sin 2cos 2666x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为π， 令26x k ππ+=，Z k ∈，得函数()f x 的对称轴方程为122k x ππ=-+，Z.k ∈ （2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位后所得图象的解析式为2cos 22cos 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()12cos 22cos 233g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令223k x k ππππ++，所以222,Z 33k xk k ππππ-++∈.又[]0,2x π∈， 所以()y g x =在[]0,2π上的单调递减区间为250,,,233πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.10．已知函数()()cos 2f x x g x f x ωϕ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，，其中[]0,2πϕ∈(1)若12ω=且直线π2x =是()g x 的一条对称轴，求()g x 的递减区间和周期；(2)若21π3ωϕ==，，求函数()()()h x f x g x =-在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值；【答案】 (1)可知11()cos 22g x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为直线π2x =是()g x 图象的一条对称轴，故1π1π,222k k Z ϕ⨯+=∈，解得π2π,2k k Z ϕ=-∈，而[]0,2πϕ∈，故3π2ϕ=，则13()cos π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则周期2π4πT ω==，再令13π[2π,π2π],24x k k k Z +∈+∈，则3ππ4π,4π,22x k k k Z ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，故()g x 的递减区间为3ππ4π,4π,22k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(2)可知π()cos 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ()cos()cos cos cos 3 3h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21313cos cos sin cos sin cos 2222x x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭11cos 23sin 2224x x +=⋅-1π1sin 2264x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故ππ5π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则在ππ262x -=即π3x =取()h x 最小值，其最小值为111244-+=-.。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编附答案解析
高中数学《三角函数与解三角形》知识点归纳一、选择题1．已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=->，若集合()(){}0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A ．35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．35,22⎛⎤⎥⎝⎦C ．725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．725,26⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 【详解】 f （x ）=2sin （ωx ﹣3π）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：令2sin （ωx ﹣3π）=﹣1得ωx ﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx ﹣3π=76π+2kπ， ∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω，k ∈Z ， 设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =322ππωω+，x B =46ππωω+， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ，即322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 故选B ．【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．2．要得到函数y ＝sin （2x +9π）的图象，只需将函数y ＝cos （2x ﹣9π）的图象上所有点（ ） A ．向左平移518π个单位长度 B ．向右平移518π个单位长度 C ．向左平移536π个单位长度 D ．向右平移536π个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数cos 29y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭转化为7sin 218y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再结合两函数解析式进行对比，得出结论． 【详解】 函数75cos 2sin 2sin 2sin 299218369y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴要得到函数sin 29y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos 29y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移536π个单位长度，故选D ． 【点睛】本题考查函数()sin y A x b ωϕ=++的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论．3．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102x << B ．112x << C ．12x << D ．01x <<【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ，设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则cos 0A '∠<，所以()()()()()2222342340x x x x x x x ⎧+++<+⎪+++>+⎨⎪>⎩，解得01x <<.故选：D. 【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．5．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C++的最小值为（ ） ABCD．【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =， ∴tan 2tan C B =.又A B C π++=， ∴()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1B C B BB C B B +=-=-=---， ∴21112tan 111tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++27tan 36tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,∴27tan 36tan B B +≥=，当且仅当tan 2B =时取等号，∴min111tan tan tan 3A B C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.6．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩的图像关于y 轴对称，则sin y x =的图像向左平移（ ）个单位，可以得到cos()y x a b =++的图像（ ）. A ．4π B ．3π C ．2π D ．π【答案】D 【解析】 【分析】根据条件确定,a b 关系，再化简()cos y x a b =++，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】 因为函数()()(),0,0sin x a x f x cos x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以sin cos 22a b ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()sin cos a b ππ-+=+，即sin cos sin cos b a a b ，==，因此π2π()2a b k k Z +=+∈， 从而()()cos sin y x a b sinx x π=++=-=+,选D. 【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.7．已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的图象（部分）如图所示，则ω，ϕ分别为（ ）A ．,3πωπϕ==B ．2,3πωπϕ==C ．,6πωπϕ==D ．2,6πωπϕ==【答案】C 【解析】 【分析】由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23f =确定ϕ. 【详解】 由图可得，2A =，5114632T =-=，所以22T πω==，ωπ=，又1()23f =，所以12sin()23πϕ⨯+=，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6k k Z πϕπ=+∈， 又2πϕ<，故6π=ϕ. 故选：C 【点睛】本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.8．锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，若()sin 303A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，2b =26c +=，则角B =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 【答案】B 【解析】 【分析】先由()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭求出3A π=，然后用余弦定理算出a =再用余弦定理算出cos B 即可. 【详解】因为()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭所以11sin sin 022A A A A A +==所以tan A =0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=所以由余弦定理得：22222co 12322s a b c bc A -=+-=+=⎝⎭所以a =所以222232cos 22a c b B ac +-+-===因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4B π=故选：B 【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，数据不特殊，计算能力是解题的关键.9．将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由12f πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出φ，再根据所得图象关于y 轴对称求出ω，可得()f x 的解析式．【详解】解：将函数()()sin (0,)2f x x πωφωφ=+><的图象向右平移6π个单位长度后，可得sin 6y x ωπωφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象；∵所得图象关于y 轴对称，∴62k ωππφπ-+=+，k Z ∈．∵()1sin sin 2f ππφφω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2φ=，26ππφφ<=，. ∴63k ωπππ-=+，620k ω=-->,则当ω取最小值时，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选C ． 【点睛】本题主要考查函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．10．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab ab+≥=，当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.11．在ABC ∆中，060,A BC D ∠==是边AB 上的一点，CD CBD =∆的面积为1，则BD 的长为（ ） A ．32B ．4C ．2D ．1【答案】C 【解析】1sin 1sin2BCD BCD ∠=∴∠=2242BD BD ∴=-=∴=,选C12．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．13．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）A ．78-B ．78C ．18-D ．18【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin 4αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭所以()222cos sin sincos cossin 44ππαααα-=-所以()())2cos sin cos sin cos sin αααααα-+=- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭Q ，所以cos sin 4αα+=所以()21cos sin 8αα+=，即221cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28α+= 所以7sin 28α=- 故选：A 【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；14．已知sin α，sin()10αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22ππαβ-<-<，利用三角函数的基本关系式，分别求得cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解.【详解】由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2π.又sin(α－β)，∴cos(α－β).又sin α＝5，∴cos α＝5， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝－×10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴β＝4π. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v的最小值为（ ）ABCD【答案】A 【解析】 【分析】根据OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OBAOB OAB=∠∠u u u r u u u rsin OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22,22⎛ ⎝⎭所以2222OA ⎛= ⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u ur因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭= 则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r 2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得()()22322232λλλλ+-+-218518λλ-=+299555λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当95λ=时, min 9355OP ==u u u r 故选:A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.16．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB．CD．【答案】A 【解析】 【分析】根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S . 【详解】由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =， 由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．将函数cos y x =的图象先左移4π，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，所得图象的解析式为（ ） A ．sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．13sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．1sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】D【分析】根据三角函数的平移伸缩变换法则得到答案. 【详解】cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭向左平移4π个单位，故变为3sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，变为3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D . 【点睛】本题考查了三角函数的平移伸缩变换，意在考查学生对于平移伸缩变换的理解和掌握.18．函数()22sin 3cos 2f x x x =+-，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()23sin 2sin 1f x x x =-++，设sin t x =，利用二次函数性质得到答案. 【详解】根据22sin cos 1x x +=，得()23sin 2sin 1f x x x =-++，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 令sin t x =，由2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故[]0,1t ∈，有2321y t t =-++，[]0,1t ∈，二次函数对称轴为13t =， 当13t =时，最大值43y =；当1t =时，最小值0y =， 综上，函数()f x 的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.19．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20．已知曲线1:sin C y x =，21:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项. 【详解】A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向右平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错误；B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向右平移3π个单位长度后得：11121sin sin cos cos 232622632y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向左平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向左平移3π个单位长度后得：1111sin sin cos cos 232622623y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.。
【备战】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题05 三角函数 文
【备战2013】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题05 三角函数 文角函数【2012高考真题精选】1．（2012·湖北卷）函数f(x)＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．（2012·福建卷）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋－2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sinαcosα－12sin2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34. 3．（2012·全国卷）已知α为第二象限角，sinα＝35，则sin2α＝( ) A ．－2425 B ．－1225 C.1225 D.24254．（2012·辽宁卷）已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝( )A ．－1B ．－22C.22 D ．15．（2012·重庆卷）设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2. (1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝6cos4x －sin2x －1f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域．【答案】解：(1)由题设条件知f(x)的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.6．（2012·福建卷）函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4 B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2【答案】C 【解析】 解题关键是明确三角函数图象的对称轴经过最高点或最低点，可以把四个选项代入验证，只有当x ＝－π4时，函数f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1取得最值，所以选择C. 7．（2012·陕西卷）函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3. 8．（2012·湖南卷）已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图1－6所示． (1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．9．（2012·湖南卷）设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数．当x ∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x ∈(0，π)且x≠π2时，x －π2f′(x)＞0.则函数y ＝f(x)－sinx 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．810．（2012·重庆卷）设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2. (1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝6cos4x －sin2x －1f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域．11．（2012·上海卷）函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinx 2－1 cosx 的最小正周期是________． 【答案】π 【解析】 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的性质，易错点是三角函数的化简．f(x)＝sinxcosx ＋2＝12sin2x ＋2，由三角函数周期公式得，T ＝2π2＝π.C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质12．（2012·浙江卷）把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )13．（2012·天津卷）将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13B ．1 C.53D ．214．（2012·山东卷）函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 315．（2012·课标全国卷）已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π416．（2012·全国卷）当函数y ＝sinx －3cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x ＝________.17．（2012·重庆卷）设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2. (1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝6cos4x －sin2x －1f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域．18．（2012·陕西卷）函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．∴α－π6＝π6，故α＝π3. 19．（2012·安徽卷）要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位 【答案】C 【解析】 因为y ＝cos ()2x ＋1＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以只需要将函数y ＝cos2x 的图像向左移动12个单位即可得到函数y ＝cos ()2x ＋1的图像．20．（2012·山东卷）设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cosx 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真21．（2012·湖南卷）已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图1－6所示． (1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．22．（2012·北京卷）已知函数f(x)＝－sinx .(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．【答案】解：(1)由sinx≠0得x≠kπ(k ∈Z)， 故f(x)的定义域为{x ∈R|x≠kπ，k ∈Z}． 因为f(x)＝－sinx＝2cosx(sinx －cosx)＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1，23．（2012·全国卷）若函数f(x)＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3C.3π2D.5π3【答案】C 【解析】 本小题主要考查三角函数的性质．解题的突破口为正、余弦函数的振幅式在对称轴处取得最值．∵f(x)＝sin x ＋φ3为偶函数，有x ＝0时f(x)取得最值，即φ3＝kπ＋π2，即φ＝3kπ＋3π2(k ∈Z)，由于φ∈[0,2π]，所以k ＝0时，φ＝3π2符合，故选C. 24．（2012·湖北卷）设函数f(x)＝sin2ωx ＋23sinωx·cosωx －cos2ωx ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y ＝f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f(x)的值域．【答案】解：(1)因为f(x)＝sin2ωx －cos2ωx ＋23sinωx·cosωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＝±1， 所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k ∈Z)，即ω＝k 2＋13(k ∈Z)， 又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56，所以f(x)的最小正周期是6π5. (2)由y ＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2. 故f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，函数f(x)的值域为[－2－2，2－2]．C5 两角和与差的正弦、余弦、正切25．（2012·重庆卷）sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( ) A ．－32 B ．－12C.12D.32【答案】C 【解析】sin47°－sin17°cos30°cos17° ＝＋－sin17°cos30°cos17° ＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°＝12，选C. 26．（2012·课标全国卷）已知a ，b ， c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3asinC －ccosA.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.27．（2012·安徽卷）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinBcosA ＝sinAcosC ＋cosAsinC.(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．【答案】解：(1)(方法一)由题设知，2sinBcosA ＝sin(A ＋C)＝sinB.因为sinB≠0，所以cosA ＝12.28．（2012·北京卷）已知函数f(x)＝－sinx .(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．【答案】解：(1)由sinx≠0得x≠kπ(k ∈Z)，故f(x)的定义域为{x ∈R|x≠kπ，k ∈Z}．因为f(x)＝－sinx＝2cosx(sinx －cosx)＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sinx 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k ∈Z)． 由2kπ＋π2≤2x －π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k ∈Z)． 得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k ∈Z)． 所以f(x)的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤kπ＋3π8，kx ＋7π8(k ∈Z)． 29．（2012·广东卷）已知函数f(x)＝Acos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．30．（2012·江苏卷）设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 【答案】17250【解析】 本题考查三角函数求值问题．解题突破口为寻找已知角和所求角之间的整体关系． 由条件得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，从而sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425，cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2×1625－1＝725， 从而sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π4＝2425×22－725×22＝17250. 31．（2012·辽宁卷）已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝( )A ．－1B ．－22 C.22 D ．1 【答案】A 【解析】 本小题主要考查同角基本关系与倍角公式的应用．解题的突破口为灵活应用同角基本关系和倍角公式． ∵sinα－cosα＝2⇒(sinα－cosα)2＝2⇒1－2sinαcosα＝2⇒sin2α＝－1.故而答案选A.32．（2012·陕西卷）设向量a ＝(1，cosθ)与b ＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于( )A.22B.12C ．0D ．－1 【答案】C 【解析】 由向量垂直的充要条件可知，要使两向量垂直，则有－1＋2cos2θ＝0，则cos2θ＝2cos2θ－1＝0.故选C.33．（2012·北京卷）已知函数f(x)＝－sinx .(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．【答案】解：(1)由sinx≠0得x≠kπ(k ∈Z)，故f(x)的定义域为{x ∈R|x≠kπ，k ∈Z}．因为f(x)＝－sinx＝2cosx(sinx －cosx)＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sinx 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k ∈Z)． 由2kπ＋π2≤2x －π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k ∈Z)． 得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k ∈Z)． 所以f(x)的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤kπ＋3π8，kx ＋7π8(k ∈Z)． 34．（2012·湖北卷）设函数f(x)＝sin2ωx ＋23sinωx·cosωx －cos2ωx ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y ＝f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f(x)的值域．【答案】解：(1)因为f(x)＝sin2ωx －cos2ωx ＋23sinωx·cosωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f(x)图象的一条对称轴，35．C6（2012·江西卷）已知f(x)＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f(lg5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，则( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝136．（2012·重庆卷）sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.3237．（2012·北京卷）已知函数f(x)＝－sinx .(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．【答案】解：(1)由sinx≠0得x≠kπ(k ∈Z)，故f(x)的定义域为{x ∈R|x≠kπ，k ∈Z}． 因为f(x)＝－sinx38．（2012·广东卷）已知函数f(x)＝Acos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．39．（2012·湖北卷）设函数f(x)＝sin2ωx ＋23sinωx·cosωx －cos2ωx ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y ＝f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f(x)的值域．40．（2012·江西卷）若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝( ) A ．－34 B.34 C ．－43 D.43【答案】B 【解析】 sinα＋cosαsinα－cosα＝ta nα＋1tanα－1＝12，解得tanα＝－3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝34，故选B. 41．（2012·天津卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝2，cosA ＝－24. (1)求sinC 和b 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3的值．(2)由cosA ＝－24，sinA ＝144， 得cos2A ＝2cos2A －1＝－34，sin2A ＝2sinAcosA ＝－74. 所以，cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝cos2Acos π3－sin2Asin π3＝－3＋218. 42．（2012·重庆卷）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cosC ＝14，则sinB ＝________.【答案】154 【解析】 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝1＋4－2×1×2×14＝4，解得c ＝2，所以b ＝c ，B ＝C ，所以sinB ＝sinC ＝1－cos2C ＝154. 43．（2012·浙江卷）在△ABC 中，M 是线段BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.【答案】－16 【解析】 本题主要考查平面几何的性质、平面向量的线性运算与数量积．法一： AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →＋MC →)＝|AM →|2－|MB →|2＝9－5×5＝－16.法二：特例法：假设△ABC 是以AB 、AC 为腰的等腰三角形，如图，AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC ＝34，cos ∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝－16. 44．（2012·四川卷）如图1－2，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.515图1－2【答案】B 【解析】 法一：由已知，∠CED ＝∠BED －∠BEC ＝45°－∠BEC ，45．（2012·上海卷）在△ABC 中，若sin2A ＋sin2B ＜sin2C ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定46．（2012·陕西卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.【答案】2 【解析】 利用题目中所给的条件是三角形的两边和其夹角，可以使用余弦定理来计算，可知：b2＝a2＋c2－2accosB ＝4，故b ＝2.47．（2012·辽宁卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列．(1)求cosB 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sinAsinC 的值．48．（2012·浙江卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA ＝3acosB. (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sinC ＝2sinA ，求a ，c 的值．49．（2012·江西卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知3cos(B －C)－1＝6cosBcosC. (1)求cosA ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c.【答案】解：(1)由3cos(B －C)－1＝6cosBcosC ， 得3(cosBcosC －sinBsinC)＝－1， 即cos(B ＋C)＝－13，从而cosA ＝－cos(B ＋C)＝13.(2)由于0<A<π，cosA ＝13，所以sinA ＝223.又S △ABC ＝22，即12bcsinA ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA ，得b2＋c2＝13.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝6，b2＋c2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.50．（2012·湖南卷）在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋39451．（2012·湖北卷）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C,3b ＝20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为( ) A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶452．（2012·广东卷）在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32【答案】B 【解析】 根据正弦定理得：BC sin ∠A ＝AC sin ∠B，即32sin60°＝ACsin45°.解得AC ＝2 3.53．（2012·福建卷）在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________. 【答案】2 【解析】 在△ABC 中，利用正弦定理得： AC sin45°＝BC sin60°⇒AC sin45°＝3sin60°⇒AC ＝3sin45°sin60°＝ 2. 54．（2012·全国卷）△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a 、b 、c 满足2b2＝3ac ，求A.55．（2012·北京卷）在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．56．（2012·天津卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝2，cosA ＝－24. (1)求sinC 和b 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3的值． 【答案】解：(1)在△ABC 中，由cosA ＝－24，可得sinA ＝144，又由a sinA ＝c sinC及a ＝2，c ＝2，可得sinC ＝74. 由a2＝b2＋c2－2bc cosA ，得b2＋b －2＝0，因为b ＞0，故解得b ＝1. 所以sinC ＝74，b ＝1. (2)由cosA ＝－24，sinA ＝144，得cos2A ＝2cos2A －1＝－34，sin2A ＝2sinAcosA ＝－74. 所以，cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝cos2Acos π3－sin2Asin π3＝－3＋218. 57．（2012·课标全国卷）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3asinC －ccosA.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.58．（2012·安徽卷）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinBcosA ＝sinAcosC ＋cosAsinC. (1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．由于0<A<π，故A ＝π3.(2)(方法一)因为AD2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74， 所以|AD →|＝72.从而AD ＝72.(方法二)因为a2＝b2＋c2－2bccosA ＝4＋1－2×2×112＝3，所以a2＋c2＝b2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72.59．（2012·山东卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinB(tanA ＋tanC)＝tanAtanC. (1)求证：a ，b ，c 成等比数列；(2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S.60.（2012·江西卷）如图1－3，|OA|＝2(单位：m)，|OB|＝1(单位：m)，OA 与OB 的夹角为π6，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧BDC 与线段OA 延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O 出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB 行至点B ，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧BDC 行至点C 后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA 行至点A 后停止，设t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)＝0)，则函数y ＝S(t)的图像大致是( )61．（2012·江苏卷）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tanB ＝3tanA ； (2)若cosC ＝55，求A 的值．亦即tanA ＋tanB 1－tanAtanB ＝－2，由(1)得4tanA 1－3tan2A ＝－2，解得tanA ＝1或－13，因为cosA>0，故tanA ＝1，所以A ＝π4.62．（2012·浙江卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA ＝3acosB. (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sinC ＝2sinA ，求a ，c 的值．63．（2012·山东卷）如图1－5，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．64． 2012·四川卷）已知函数f(x)＝cos2x 2－sin x 2·cos x 2－12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域； (2)若f(α)＝3210，求sin2α的值．【2011高考真题精选】1.（2011年高考山东卷文科3)若点（a,9）在函数3xy=的图象上，则tan=6aπ的值为（A）0(B) (C) 1(D)【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a=2,所以2tan tan tan663aπππ===故选D.2.（2011年高考海南卷文科11)设函数()sin(2)cos(2)44f x x xππ=+++,则( )A.()y f x=在(0,)2π单调递增,其图象关于直线4xπ=对称B.()y f x=在(0,)2π单调递增,其图象关于直线2xπ=对称C.()y f x=在(0,)2π单调递减,其图象关于直线4xπ=对称D.()y f x=在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2xπ=对称【答案】D【解析】因为())44f x x ππ=++=)2x π+=2x ,故选D. 3.（2011年高考福建卷文科9)若α∈（0， 2π），且2sin α+1cos 24α=，则tan α的值等于A. 2B. 3C.D. 【答案】D【解析】因为α∈（0， 2π），且2sin α+1cos 24α=，所以2sin α+221cos sin 4αα-=, 即21cos 4α=,所以cos α=12或12-(舍去),所以3πα=,即tan α选D.4.（2011年高考浙江卷文科5)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)- 12 (B) 12 (C) -1 (D) 1【答案】 D【解析】由余弦定理得：2sin ,2sin ,a R A b R B ==2sin cos 2sin sin R A A R B B ∴=2sin cos sin A A B =即则222sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=，故选D5. (2011年高考天津卷文科7)已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时, ()f x 取得最大值,则A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数 【答案】A【解析】由题意知26ππω=,解得13ω=,又1sin()132πϕ⨯+=,且πϕπ-<≤,所以3πϕ=,所以1()s i n ()33f x x π=+,故A 正确.6.（2011年高考辽宁卷文科12)已知函数()tan()(1,||)2f x A x πωϕωϕ=+><, y=f(x)的部分图像如图,则()24f π=(A)2(B)(C)(D) 2【答案】B【解析】函数f(x)的周期是32882πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭，故22πωπ==，由tan 1,3tan 20,8A A ϕπϕ=⎧⎪⎨⎛⎫⋅+= ⎪⎪⎝⎭⎩得,14A πϕ==.所以()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故tan 224244f πππ⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
专题05 三角函数与解三角形-备战2021年高考数学(理)经典小题考前必刷 (解析版)
专题05 三角函数与解三角形三角函数的图像及性质sin y x =cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时，max 1y =；当22x k ππ=-()k Z ∈时，min 1y =-．当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当2x k ππ=+ ()k Z ∈时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶奇函数 偶函数 奇函数函 数性 质图像的平移变换：函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移||ϕω个单位1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1）βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-(5）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-(6）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+(7) sin cos a b αα+=)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,sin tan baϕϕϕ===，该法也叫合一变形). (8))4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4tan(tan 1tan 1θπθθ-=+-二倍角公式（1）（2）（3） 注意:“凑角”运用：()ααββ=+-， ()αββα=--， ()()12ααββα=+--⎡⎤⎣⎦正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B （R 是三角形外接圆半径）． 注：正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-a a a cos sin 22sin =1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a aaa 2tan 1tan 22tan -=注：余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B两边夹角的正弦值两边之积⨯⨯=∆21ABC S高底⨯=∆21ABC S 注：（1）①如果一个三角形两边的平方和等于第三边，那么第三边所对的角为直角； ②如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角； ③如果大于第三边的平方，那么第三边所对角为锐角。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编含答案
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》高考复习知识点一、选择题1．已知sin α，sin()10αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22ππαβ-<-<，利用三角函数的基本关系式，分别求得cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解.【详解】由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2π.又sin(α－β)，∴cos(α－β).又sin α＝5，∴cos α＝5， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝5×10－5×10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝2.∴β＝4π. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积S C =，且1,a b ==c =（ ）A BC D 【答案】B 【解析】由题意得，三角形的面积1sin 2S ab C C ==，所以tan 2C =，所以cos C =，由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以17c =，故选B.3．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.4．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.5．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩的图像关于y 轴对称，则sin y x =的图像向左平移（ ）个单位，可以得到cos()y x a b =++的图像（ ）. A ．4π B ．3π C ．2π D ．π【答案】D 【解析】 【分析】根据条件确定,a b 关系，再化简()cos y x a b =++，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】因为函数()()(),0,0sin x a x f x cos x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以sin cos 22a b ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()sin cos a b ππ-+=+，即sin cos sin cos b a a b ，==，因此π2π()2a b k k Z +=+∈， 从而()()cos sin y x a b sinx x π=++=-=+,选D. 【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.6．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 【答案】C 【解析】 【分析】对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a , 所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0. 当a ＞0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2], 当a ≥23时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a-+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩. 当0＜a ＜23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜12. 综合得a 的范围为a ＜12或1≤a ≤2， 故选C . 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A BC A B A B A B π++=--=-=-=---⋅，所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.8．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C．4D．2【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．已知函数()sin()f x x πϕ=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（ ）A ．12B ．47C 255D 76565【答案】B 【解析】 【分析】过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32CD =，11,2AD DE ==，3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.【详解】过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ， 由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3(,1)2A a +， 所以32CD =，11,2AD DE ==，3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2ED EAD AD ∠== 所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EADBAC CAD EAD CAD EAD∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠31422317122-==+⨯.故选：B【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.10．已知π1cos25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos2α=( )A．725B．725-C．2325D．2325-【答案】C【解析】【分析】由已知根据三角函数的诱导公式，求得sinα，再由余弦二倍角，即可求解．【详解】由π1cosα25⎛⎫-=⎪⎝⎭，得1sinα5=，又由2123cos2α12sinα122525=-=-⨯=．故选C．【点睛】本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．11．已知2433sin5cos77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan14πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．53-B．35-C．35D．53【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式计算得到35tan73πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，故3tan tan1472πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得答案.【详解】由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得333sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，313tan tan 314725tan 7πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.12．若函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（ ） A．)+∞ B．)+∞C．()+∞D．()【答案】A 【解析】 【分析】计算tan 203x π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案.【详解】∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴tan 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方， 即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，∵tan 23x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.13．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则()f x 的最大值为（ ）A ．2BC ．D 或【答案】D 【解析】 【分析】根据函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则有()(0)2f f π-=，解得a ，得到函数再求最值. 【详解】因为函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称， 所以()(0)2f f π-=，即220a a +-=， 解得2a =-或1a =，当2a =-时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫=--=-⎪⎝⎭，此时()f x 的最大值为；当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，此时()f x ；综上()f x 或. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab ab+≥=，当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.15．函数()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．25,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式 详解：当[,]66x ππ∈-，2[,]33x ππϕϕϕ+∈-++，又∵(0,)ϕπ∈，则[,][0,]33ππϕϕπ-++⊆，即033πϕπϕπ⎧-≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，233ππϕ≤≤，由cos(2)0x ϕ+=得2,2x k k Z πϕπ+=+∈，242k x ππϕ=+-， ∴0642ππϕ-<-<，解得526ππϕ<<， 综上223ππϕ<≤.故选C.点睛：余弦函数的单调减区间：[2,2]k k ππ+π，增区间：[2,22]k k ππππ++，零点：2x k ππ=+，对称轴：x k π=，对称中心：,2)0(k ππ+，k Z ∈. 16．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( )A ．sinB ．cosC ．tanD ．cos2θ【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可．【详解】由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan ＞0.故选C 【点睛】本题考查三角函数值的符号的判断，是基础题．17．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v（ ）A ．3155AB AC +u u u v u u u v B ．2155AB AC +u u u v u u u v C ．481515AB AC +u u u v u u u v D ．841515AB AC +u u u v u u u v 【答案】D【解析】【分析】 设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =u u u r u u u r ，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r 为基底来表示的形式. 【详解】设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，22π2cos 4AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10=，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u u r u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.18．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（ ）A ．152kmB ．30kmC ．15kmD ．153km 【答案】D【解析】【分析】如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离．【详解】设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：sin sin AC BC ABC BAC=∠∠， 可得sin 1153sin 23BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D【点睛】本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．19．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③【答案】A【解析】逐一考查所给的函数： cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22T ππ== ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ； 函数tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ；综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③.本题选择A 选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．20．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）A ．4x π= B ．3x π= C ．56x π= D ．1912x π= 【答案】D【解析】【分析】 由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可.【详解】 解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D.【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.。
(完整版)三角函数知识点及练习题含答案,推荐文档
y
++
o -
-x
y
-+
o -
+
x
y
-+
o +
-
x
、、 、、、
、、 、、、
、、 、、、
6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM;
正切线： AT.
a的 的 的 P、 x,y) r
x
y T
P O M Ax
7. 三角函数的定义域： 三角函数 f (x) sinx f (x) cosx f (x) tanx
8．如果 π ＜θ＜ π ，那么下列各式中正确的是( )
4
2
A．cosθ＜tanθ＜sinθ
B．sinθ＜cosθ＜tanθ
C．tanθ＜sinθ＜cosθ
D．cosθ＜sinθ＜tanθ
9．若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角，则 P（cosB－sinA，sinB－cosA）在( )
A．第一象限
任意角
1．D 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｄ
三角函数
1．B 2．A 3． C 4．D 5． A 6． C 7．B
11．A
12．±4
4 ±
5
13． ［ π ， 3π ］ 14． 0 22
15．二
16．［0， π ］∪（ π ， π ］∪（ 3π ，2π） 17．（ π ， 3π
4
24
2
44
8．D
9． D
10． D
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；
④不相等的角，同名三角函数值也不相同．
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．若角 α、β 的终边关于 y 轴对称，则下列等式成立的是( )
专题05 三角函数-2023年高考数学真题题源解密(新高考)(解析版)
专题05 三角函数目录一览2023真题展现考向一 三角函数的图象与性质考向二 三角恒等变换真题考查解读近年真题对比考向一 三角函数的图象与性质考向二 三角恒等变换考向三 同角三角函数间的基本关系命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一 三角函数的图象与性质1．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），如图，A ，B 是直线y =12与曲线y ＝f （x ）的两个交点，若|AB |=π6，则f （π）＝ ．【答案】解：由题意：设A （x 1，12），B （x 2，12），则x 2﹣x 1=π6，由y ＝A sin （ωx +φ）的图象可知：ωx 2+φ﹣（ωx 1+φ）=5π6−π6=2π3，即ω（x 2﹣x 1）=2π3，∴ω＝4，又f （2π3）＝sin （8π3+φ）＝0，∴8π3+φ＝k π，k ∈Z ，即φ=−8π3+k π，k ∈Z ，观察图象，可知当k ＝2时，φ=−2π3满足条件，∴f （π）＝sin （4π−2π3）=故答案为：2．（2023•新高考Ⅰ•第15题）已知函数f （x ）＝cos ωx ﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ．【答案】[2，3）【解答】解：x ∈[0，2π]，函数的周期为2πω（ω＞0），cos ωx ﹣1＝0，可得cos ωx ＝1，函数f （x ）＝cos ωx ﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，可得2⋅2πω≤2π＜3⋅2πω，所以2≤ω＜3．考向二 三角恒等变换3．（2023•新高考Ⅱ•第7题）已知α为锐角，cos αsin α2=（ ）A B C D 【答案】D解：cos α则cos α=1−2si n 2α2，故2si n 2α2=1﹣cos αsi n 2α2=∵α为锐角，∴sin α2＞0，∴sin α2=4．（2023•新高考Ⅰ•第8题）已知sin （α﹣β）=13，cos αsin β=16，则cos （2α+2β）＝（ ）A ．79B ．19C ．−19D ．−79【答案】B解：因为sin （α﹣β）＝sin αcos β﹣sin βcos α=13，cos αsin β=16，所以sin αcos β=12，所以sin （α+β）＝sin αcos β+sin βcos α=12+16=23，则cos （2α+2β）＝1﹣2sin 2（α+β）＝1﹣2×49=19．【命题意图】考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、y=A sin （wx+ϕ）的图象与性质．应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明．【考查要点】三角函数高考必考．常考查和角差角公式、恒等变形化简求值、诱导公式、同角三角函数公式，辅助角公式等．常考查y=A sin （wx+ϕ）的图象与性质，涉及到增减性、周期性、对称性、图象平移、零点等．【得分要点】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α+cos 2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan α．2．诱导公式公式一：sin （α+2k π）＝sin α，cos （α+2k π）＝cos_α，其中k ∈Z ．公式二：sin （π+α）＝﹣sin_α，cos （π+α）＝﹣cos_α，tan （π+α）＝tan α．公式三：sin （﹣α）＝﹣sin_α，cos （﹣α）＝cos_α．公式四：sin （π﹣α）＝sin α，cos （π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin （π2−α）＝cos α，cos （π2−α）＝sin α．公式六：sin （π2+α）＝cos α，cos （π2+α）＝﹣sin α．3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C （α﹣β）：cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β．（2）C （α+β）：cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β．（3）S （α+β）：sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β．（4）S （α﹣β）：sin （α﹣β）＝sin αcos β﹣cos αsin β．（5）T （α+β）：tan （α+β）=tanαtanβ1−tanαtanβ．（6）T （α﹣β）：tan （α﹣β）=tanα−tanβ1tanαtanβ．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S 2α：sin 2α＝2sin αcos α．（2）C 2α：cos 2α＝cos 2α﹣sin 2α＝2cos 2α﹣1＝1﹣2sin 2α．（3）T 2α：tan 2α=2tanα1−tan 2α．5．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质R R k ∈Z y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的图象的步骤7．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A=M−m2，k=M m2，ω由周期T确定，即由2πω=T求出，φ由特殊点确定．考向一三角函数的图象与性质1．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（ ）A．1B．C．D．3【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，且sin（+）＝0，则+＝kπ，k∈Z．∴，k∈Z，取k＝4，可得．∴f（x）＝sin（x+）+2f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．故选：A．2.（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（ ）A．f（x）在区间（0，）单调递减B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，所以+φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ﹣，因为0＜φ＜π，所以φ＝，故f（x）＝sin（2x+），令2x+，解得﹣＜x＜，故f（x）在（0，）单调递减，A正确；x∈（﹣，），2x+∈（，），根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（﹣，）只有一个极值点，故B错误；令2x+＝kπ+，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，C显然错误；f（x）＝sin（2x+），求导可得，f'（x）＝，令f'（x）＝﹣1，即，解得x＝kπ或（k∈Z），故函数y＝f（x）在点（0，）处的切线斜率为k＝，故切线方程为y﹣，即y＝，故D正确．故选：AD．3．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（ ）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）【解答】解：令，k∈Z．则，k∈Z．当k＝0时，x∈[，]，（0，）⊆[，]，故选：A ．考向二 三角恒等变换4．（2022•新高考Ⅱ）若sin （α+β）+cos （α+β）＝2cos （α+）sin β，则（ ）A ．tan （α﹣β）＝1B ．tan （α+β）＝1C ．tan （α﹣β）＝﹣1D ．tan （α+β）＝﹣1【解答】解：解法一：因为sin （α+β）+cos （α+β）＝2cos （α+）sin β，所以sin （）＝2cos （α+）sin β，即sin （）＝2cos （α+）sin β，所以sin （）cos β+sin βcos （）＝2cos （α+）sin β，所以sin （）cos β﹣sin βcos （）＝0，所以sin （）＝0，所以＝k π，k ∈Z ，所以α﹣β＝k，所以tan （α﹣β）＝﹣1．解法二：由题意可得，sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β﹣sin αsin β＝2（cos α﹣sin α）sin β，即sin αcos β﹣cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β＝0，所以sin （α﹣β）+cos （α﹣β）＝0，故tan （α﹣β）＝﹣1．故选：C ．考向三 同角三角函数间的基本关系5．（2021•新高考Ⅰ）若tan θ＝﹣2，则＝（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【解答】解：由题意可得：＝＝＝．故选：C．结合近三年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定函数部分图象，求解函数解析式。
高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)
三角函数历年高考题汇编一.选择题1、（2009）函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是A ．最小正周期为πの奇函数B ．最小正周期为πの偶函数C ．最小正周期为2πの奇函数 D ．最小正周期为2πの偶函数 2、（2008）已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为πの奇函数B 、最小正周期为2πの奇函数 C 、最小正周期为πの偶函数 D 、最小正周期为2πの偶函数3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+の图象不可能．．．是（ ）4.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =の图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象の函数解析式是 A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)42sin(1π++=x y D. cos 2y x =5.（2009江西卷文）函数()(13tan )cos f x x x =+の最小正周期为A ．2πB ．32π C ．π D ．2π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+の图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φの最小值为A.6π B.4π C. 3π D. 2π7.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+の最小值和最大值分别为（ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，328.（2007海南、宁夏）函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，の简图是（）二.填空题1.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+の图像如图所示，则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭。
2.（2009年上海卷）函数22cos sin 2y x x =+の最小值是_____________________ .3.（2009辽宁卷文）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>の图象如图所示,则ω ＝三.解答题1、（2008）已知函数()sin()(0,0),f x A x a x R ϕϕπ=+><<∈の最大值是1，其图像经过点1(,)32M π。
三角函数--2024年数学高考真题和模拟好题分类汇编(解析版)
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α-β)=()A.-3mB.-m3C.m3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求cosα-β的值.【详解】因为cosα+β=m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，而tanαtanβ=2，所以=12×2b×kb×sin A2+12×kb×b×sin A2，故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，从而sinαsinβ=-2m，故cosα-β=-3m，故选：A.2(新课标全国Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为() A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y=sin x的的最小正周期为T=2π，函数y=2sin3x-π6的最小正周期为T=2π3，所以在x∈0,2π上函数y=2sin3x-π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=()A.-1B.12C.1D.2【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A：当x∈-π8 ,π3时，2x-π3∈-7π12,π3，由函数y=sin x在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8 ,π3上不为单调递增，故A错误；对B：当x=5π6时，2x-π3=4π3，由x=4π3不是函数y=sin x的对称轴，故x=5π6不是f x 图象的对称轴，故B错误；对C：当x∈-π6 ,π4时，2x-π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,1 2，故C错误；对D：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y=sin2x+2×5π12-π3=sin2x+π2=cos2x，该函数关于y轴对称，故D正确.故选：D.8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由fπ4=1，得sinπ4ω+φ=22，又点π4,1及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2kπ,k∈Z，由f5π8=0，点5π8,0及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2kπ,k∈Z，联立解得ω=2，φ=-π4+2kπ,k∈Z，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f(x)=2sin2x-π4，若将函数f(x)的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y=sin2x-2θ-π4，则-2θ-π4=π2-kπ,k∈Z，而θ>0，因此θ=-3π8+kπ2,k∈N，所以当k=1时，θ取得最小值为π8 .故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。
三角函数高考试题精选(含详细答案)
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三角函数高考试题精选一．选择题(共18小题）1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π2．(2017•天津）设函数f(x)=2sin（ωx+φ),x∈R，其中ω＞0，|φ｜＜π．若f(）=2,f（）=0,且f（x)的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=,φ=3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x)=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos(x+），则下列结论错误的是（) A．f（x)的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f(x)在（,π）单调递减5．(2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2:y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C26．（2017•新课标Ⅲ）函数f(x)=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为() A．B．1 C．D．7．(2016•上海）设a∈R，b∈［0，2π)，若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b)的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．9．(2016•新课标Ⅲ)若tanθ=﹣,则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关,但与c有关11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为(）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z)C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z)12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f(x）=sin（ωx+φ）(ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴,且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（)A．11 B．9 C．7 D．513．（2016•四川)为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点()A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度14．(2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin(2x+) B．y=2sin（2x+) C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin （2x﹣）15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P(，t)向左平移s(s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上,则(）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为16．（2016•四川)为了得到函数y=sin(x+）的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点(）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度17．(2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin(2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin （x+）18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（) A．4 B．5 C．6 D．7二．填空题（共9小题）19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=．20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则｜10π﹣α1﹣α2｜的最小值为．21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣(x∈［0，］）的最大值是．22．（2017•新课标Ⅱ)函数f(x）=2cosx+sinx的最大值为．23．(2016•上海）设a，b∈R，c∈［0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x ﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组(a，b，c）的组数为．24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．27．（2016•江苏)在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．三．解答题（共3小题）28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I)求f（x)的最小正周期;（II）求证：当x∈［﹣,］时，f(x）≥﹣．29．(2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．(Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g(x）的图象，求g（）的值．30．（2016•北京)已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0)的最小正周期为π．（1)求ω的值；(2）求f（x）的单调递增区间．三角函数2017高考试题精选（一）参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（)A．B．C．πD．2π【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin(2x+），∵ω=2，∴T=π，故选：C2．(2017•天津)设函数f（x）=2sin(ωx+φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f(）=2,f（）=0,且f（x）的最小正周期大于2π，则（)A．ω=，φ=B．ω=,φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【解答】解：由f（x)的最小正周期大于2π，得,又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π,则,即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（)=,得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．3．（2017•新课标Ⅱ)函数f(x)=sin(2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+)的最小正周期为：=π．故选:C．4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos(x+），则下列结论错误的是（) A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f(x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π)的一个零点为x=D．f（x)在（，π）单调递减【解答】解：A．函数的周期为2kπ,当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时,cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，f(+π）=cos（+π+）=cos=0,则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D错误，故选：D5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2:y=sin(2x+），则下面结论正确的是(）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【解答】解:把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变,得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin(2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．6．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x)=sin（x+）+cos（x﹣)的最大值为（）A．B．1 C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos（﹣x+）=sin(x+）+sin（x+)=sin(x+)．故选:A．7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0,2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣)=sin （ax+b)，则满足条件的有序实数对(a,b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解:∵对于任意实数x都有sin（3x﹣)=sin（ax+b），则函数的周期相同，若a=3，此时sin（3x﹣)=sin（3x+b），此时b=﹣+2π=，若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b)=sin（3x ﹣b+π），则﹣=﹣b+π，则b=,综上满足条件的有序实数组（a，b)为（3，），（﹣3，），共有2组，故选：B．8．（2016•新课标Ⅲ)若tanα=,则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．9．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=(）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ==．故选：D．10．（2016•浙江)设函数f（x)=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，∴f（x)图象的纵坐标增加了c,横坐标不变，故周期与c无关，当b=0时，f（x）=sin2x+bsinx+c=﹣cos2x++c的最小正周期为T==π，当b≠0时，f（x)=﹣cos2x+bsinx++c,∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π，∴f(x)的最小正周期为2π,故f（x）的最小正周期与b有关，故选：B11．(2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为(）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z） C．x=﹣(k∈Z） D．x=+（k∈Z）【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+(k∈Z）,即平移后的图象的对称轴方程为x=+(k∈Z)，故选：B．12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ)（ω＞0,｜φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调,则ω的最大值为()A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解:∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x)图象的对称轴，∴，即,（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f(x）在（，)上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得:ω≤12,当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z,∵|φ｜≤,∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵｜φ｜≤，∴φ=,此时f（x）在(，）单调,满足题意；故ω的最大值为9，故选：B13．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣)的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2(x﹣）=sin（2x﹣)的图象，故选：D．14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为()A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+) C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin （2x﹣）【解答】解:函数y=2sin(2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin［2（x﹣）+］,即有y=2sin（2x﹣)．故选：D．15．(2016•北京）将函数y=sin（2x﹣)图象上的点P（，t）向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′,若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=,s的最小值为B．t=,s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【解答】解:将x=代入得：t=sin=,将函数y=sin(2x﹣)图象上的点P向左平移s个单位,得到P′（+s,）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin(+2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z,则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时,s的最小值为，故选：A．16．（2016•四川)为了得到函数y=sin（x+)的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点(）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin(x+)，可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A17．(2016•新课标Ⅱ)函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin(2x﹣) B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+) D．y=2sin （x+）【解答】解：由图可得:函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=,故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ)，将（,2)代入可得：2sin(+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣),故选:A．18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos(﹣x）的最大值为（) A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：函数f(x）=cos2x+6cos(﹣x)=1﹣2sin2x+6sinx,令t=sinx(﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣）2+，由∉[﹣1，1］，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+,k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．二．填空题（共9小题）19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=,则sinβ=．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称,∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα=，∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α)=sinα=．故答案为：．20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2｜的最小值为．【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1］，要使+=2,∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴｜10π﹣α1﹣α2|=｜10π﹣（2k1+k2）π｜的最小值为．故答案为：．21．(2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈［0，］）的最大值是1．【解答】解:f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣,令cosx=t且t∈[0，1]，则y=﹣t2+t+=﹣（t﹣)2+1，当t=时，f（t）max=1,即f（x）的最大值为1，故答案为:122．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x)=2cosx+sinx的最大值为．【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx=（cosx+sinx)=sin（x+θ)，其中tanθ=2，可知函数的最大值为：．故答案为：．23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x ﹣）=asin(bx+c)，则满足条件的有序实数组(a，b，c）的组数为4．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin(bx+c），∴必有|a|=2，若a=2,则方程等价为sin（3x﹣)=sin(bx+c)，则函数的周期相同，若b=3,此时C=,若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=,若b=3，则C=,综上满足条件的有序实数组（a,b，c)为(2，3,)，（2，﹣3,），（﹣2，﹣3，）,（﹣2，3，)，共有4组，故答案为：4．24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π］上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0,3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．故答案为：7．25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin(x﹣）,令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in(x﹣φ）（φ＞0)，依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣)，故﹣φ=2kπ﹣(k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．26．（2016•新课标Ⅲ)函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin(x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣)，∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）(φ＞0）,令2sin（x+﹣φ)=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ(k∈Z），当k=0时，正数φmin=,故答案为:．27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC,sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形,则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan(π﹣A）=﹣tan(B+C)=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B,C为锐角可得tanA＞0,tanB＞0,tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（)2﹣，由t＞1得,﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8,另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC,tanB十tanC=2tanBtanC,∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8,或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4,tanBtanC=2，解得tanB=2+,tanC=2﹣，tanA=4，(或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．三．解答题（共3小题）28．(2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣)﹣2sinxcosx．（I)求f（x)的最小正周期；（II）求证：当x∈［﹣,]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣)﹣2sinxcosx，=（co2x+sin2x）﹣sin2x，=cos2x+sin2x，=sin（2x+）,∴T==π,∴f(x）的最小正周期为π，（Ⅱ)∵x∈［﹣，],∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1,∴f（x)≥﹣29．（2016•山东）设f（x）=2sin(π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ)求f(x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x ﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．(Ⅱ）把y=f(x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g(x）=2sinx+﹣1的图象，∴g（）=2sin+﹣1=．30．(2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值;（2）求f(x）的单调递增区间．【解答】解:（1）f（x)=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1;（2)由（1）得,f（x)=．再由,得．∴f（x)的单调递增区间为［］（k∈Z)．。
考向05函数的单调性及最值(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(解析版)
考向05 函数的单调性与最值1. （2022年浙江卷第7题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（ ）A. 25 B. 5 C.259D.53【答案】C【解析】因为25a =，821log 3log 33b ==，即323b =，所以()()22323232452544392a aa b b b -====．故选：C.2. （2022年 新高考1卷第7题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A.a b c << B. c b a<< C. c a b<< D. a c b<<【答案】C【解析】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1((0)09f f <=，所以101ln099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln+01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h xx =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<-时，()0h x <，所以当01x <<-时，()0g x '>，函数()e ln(1)xg x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C.3. （2022年北京卷第14题）设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．【答案】①. 0（答案不唯一）②. 1【解析】若0a =时，21,0(){(2),0x f x x x <=-≥，∴min ()0f x =；若0a <时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故()f x 没有最小值，不符合题目要求；若0a >时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递减，2()()1f x f a a >=-+，当x a >时，min 20(02)(){(2)(2)a f x a a <<=-≥∴210a -+≥或2212a a -+≥-（），解得01a <≤，综上可得01a ≤≤；故答案为：0（答案不唯一），1【易错点1】求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常见的错误．【易错点2】有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．xy e -= B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x=【答案】B【解析】四个函数的图象如下显然B 成立．【名师点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及指数、对数、幂函数的性质，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案．2．函数()22312x x f x --⎛⎫=⎪⎝⎭的单调递减区间是A ．(),-∞+∞ B ．(),1-∞C ．()3,+∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】设t ＝x 2﹣2x ﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）．故选D ．【名师点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．解答本题时，利用复合函数的单调性确定函数f （x ）的单调递减区间．3．已知函数1()x f x e=，()0.52a f =，()0.20.3b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b<<【答案】B【解析】函数1()xf x e=，()0.52a f =，()0.20.3b f =，()0.3log 2c f =根据指数函数和对数函数的单调性可得：0.50221>=，0.2000.30.31<<=，0.30.3log 2log 01<<，因为函数1()xf x e=在R 上单调递减，且0.50.20.3log 20.23<<，所以0.20.053.(log 2)(0.23)()f f f >>，即a b c <<.故选：B 【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．4．已知函数()22cos()(1)sin(),()233x f x x a x a g x x ππ=+-+=-，若()[]0f g x ≤对[]0,1x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1]-∞-B ．(,0]-∞C ．1]-D ．(,1-∞-【答案】A【解析】在同一坐标系内画出2231,2,2x y x y y x =+==+的图象，由图象可知，在[]0,1上，223122xx x +≤<+恒成立，即23122x x ≤-<，当且仅当0x =或1x =时等号成立，()312g x ∴≤<，设()g x t =，则()(31,02t f g x ⎤≤<≤⎦等价于()0f t ≤，即()2cos1sin 033t a t a ππ+-+≤，31,,2332t t πππ⎡⎫≤<∴∈⎪⎢⎣⎭Q ，再设sin 13tm m π=≤<，原不等式可化为()212sin 1sin 033t a t a ππ-+-+≤，即()22211210,211m m m a m n a m m +--+-+≤≤=-+，1211m -≤-<，1a ∴≤-，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查恒成立问题，考查三角函数的图象和性质，解决本题的关键点是设()g x t =，则原不等式等价于()0f t ≤，再设sin3tm π=，并参变分离求出最值解出实数a 的取值范围，考查了数形结合的解题思想方法，考查学生计算能力，属于中档题．5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(],x m ∈-∞，都有8()9f x -≥，则m 的取值范围是( )A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(0,1]x ∈时，，，∴()2(1)f x f x =-，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，，令，整理得：，∴()()37380x x --=（舍），∴173x =，283x =，∴(,]x m ∈-∞时，()=(1)f x x x -(+1)= ()f x 2f x ()f x ()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---84(2)(3)9x x --=-2945560x x -+=8()9f x -≥成立，即73m ≤，∴7,3m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．一、单选题1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））下列函数中是减函数的为（ ）A ．2()log f x x =B ．()13x f x =-C ．()f x =D ．2()1f x x =-+【答案】B【解析】选项A ：由21>，可得2()log f x x =为增函数.判断错误；选项B ：由31>，可得3x y =为增函数，则()13x f x =-是减函数.判断正确；选项C ：由102-<，可得12y x -=是减函数，则()f x =为增函数.判断错误；选项D ：2()1f x x =-+在(),0∞-上单调递增. 判断错误.故选：B2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（理））已知函数33,0()e 1,0xx x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（ ）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为33,0()e 1,0xx x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <．即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；故选：C3．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数()y f x =，若()0f x >且()()0f x xf x '+>，则有（ ）A ．()f x 可能是奇函数，也可能是偶函数B ．()()11f f ->C ．42x ππ<<时，cos22s (os )(in c )x f ef x x <D ．(0)(1)f <【答案】D【解析】若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，又因为()0f x >，与()()f x f x -=-矛盾，所有函数()y f x =不可能时奇函数，故A 错误；令()()22e x g xf x =，则()()()()()()222222eeex x x g x x f x f x xf x f x '''=+=+，因为22e0x >，()()0f x xf x '+>，所以()0g x '>，所以函数()g x 为增函数，所以()()11g g -<，即()()1122e 1e 1f f -<，所以()()11f f -<，故B 错误；因为42x ππ<<，所以0cos x <<sin 1x <<，所以sin cos x x >，故()()sin cos g x g x >，即()()22sin cos 22e sin ecos xx f x f x >，所以()()()22cos sin cos222sin ecos ecos x xx f x f x f x ->=，故C 错误；有()()01g g <，即()()01f <，故D 正确.故选：D.4．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知13e ,(93ln 3)e a b c --===-，则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．b c a<<【答案】C【解析】令函数ln ()(e)x f x x x=≥，当e x >时，求导得：()21ln 0xf x x '-=<，则函数()f x 在[e,)+∞上单调递减，又ln 3(3)3a f ==，ln e (e)eb f ==，3333e ln3(3ln 3)e 3()e e 33c f -===，显然3e e 33<<，则有3e ()(3)(e)3f f f <<，所以c a b <<.故选：C5．（2022·青海·模拟预测（理））若01a b <<<，则（ ）A ．e e ln ln b a b a -<-B ．e e ln ln b a b a -≥-C ．e e a b b a ≤D ．e e a bb a >【答案】D【解析】对于A,B,令()e ln x f x x =- ，则1()e xf x x '=-，当01x <<时，1()e xf x x'=-单调递增，且2132123(e 20,(e 0232f f ''=-<=-=>>故存在012(,)23x ∈ ，使得0()0f x '=，则当0(0,)x x ∈时，()e ln x f x x =-递减，当0(,1)x x ∈时，()e ln x f x x =-递增，由于01a b <<<，此时()e ln ,()e ln a b f a a f b b =-=-大小关系不确定，故A,B 均不正确；对于C,D,设e g()=x x x ，则e (1)g ()=x x x x -'，当01x <<时，()0g x '<，故e g()=xx x 单调递减，所以当01a b <<<时，()()g a g b > ，即e e a ba b > ，即e e a b b a >，故C 错误，D 正确，故选：D6．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，对于1x ∀，2R x ∈，当12x x <时，都有()()()12122f x f x x x -<-，则不等式()222log 1log f x x +<的解集为（ ）A ．(),2-∞B ．()0,2C ．()1,2D ．()2,+∞【答案】B【解析】由题设12x x <时1122()2()2f x x f x x -<-，即()()2h x f x x =-在R 上递增，又(1)(1)21h f =-=-，而()222log 1log f x x +<等价于()22log 2log 1f x x -<-，所以2(log )(1)h x h <，即2log 1x <，可得02x <<.故不等式解集为()0,2.故选：B 二、多选题7．（2022·江苏无锡·模拟预测）定义：在区间I 上，若函数()y f x =是减函数，且()y xf x =是增函数，则称()y f x =在区间I 上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）A ．()1f x x=在()0,∞+上是“弱减函数”B ．()e xxf x =在()1,2上是“弱减函数”C ．若()ln xf x x=在(),m +∞上是“弱减函数”，则e m ≥D ．若()2cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是“弱减函数”，则213k ππ≤≤【答案】BCD【解析】对于A ，1y x=在()0,+∞上单调递减，()1y xf x ==不单调，故A 错误；对于B ，()e x xf x =，()1ex x f x -'=在()1,2上()0f x ¢<，函数()f x 单调递减，()2e x x y xf x ==，220e x x x y -'==>，∴y 在()1,2单调递增，故B 正确；对于C ，若()ln xf x x =在(),m +∞单调递减，由()21ln 0x f x x -'==，得e x =，∴e m ≥，()ln y xf x x ==在()0,+∞单调递增，故C 正确；对于D ，()2cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()sin 20f x x kx '=-+≤在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立min sin 2x k x ⎛⎫⇒≤ ⎪⎝⎭，令()sin xh x x =，()2cos sin x x x h x x -'=，令()cos sin x x x x ϕ=-，()cos sin cos sin 0x x x x x x x ϕ'=--=-<，∴()ϕx 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()()00x ϕϕ<=，∴()0h x '<，∴()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()22h x h ππ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，∴212k k ππ≤⇒≤，()()3cos g x xf x x x kx ==+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()2cos sin 30g x x x x kx =+'-≥在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，∴2maxsin cos 3x x x k x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，令()2sin cos x x x F x x -=，()23cos 2cos 0x x xF x x +'=>，∴()F x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()22F x F ππ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，∴2233k k ππ≥⇒≥，综上：213k ππ≤≤，故D 正确.故选：BCD.8．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）当121x x <<时，不等式1221e e 0x xx x -<成立．若e e a b >>，则（ ）A ．e 1e e b b -> B ．e e e aa b b +< C ．e ln b a b a < D ．e ln a ab b>【答案】AD【解析】当121x x <<时，不等式12122112e e e e 0x x x x x x x x -<⇔<，令e (),1xf x x x=>，则()f x 在(1,)+∞上单调递增，因e>1b >，则ee 1e e ()(e)e e e b bf b f b b->⇔>⇔>，A 正确；因e a b >>1，则e e e e ()(e )e e eaa b aa b a f b f b b +>⇔>⇔>，B 不正确；由e e a>知，1a >，有()()e 1e 1e aa f a f a a>⇔>>⇔>，则ln ln 1a a a a >⇔<，由选项A 知，e 1b b>，即e ln e ln b b aa b a b a >⇔>，C 不正确；由e e ab >>得，ln 1b a >>，则ln e e (ln )()e ln ln b aa fb f a ab b b a>⇔>⇔>，D 正确.故选：AD 三、填空题9．（2022·上海长宁·二模）已知函数()f x 满足：()(),01,0xx f x x f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪--<⎩，则不等式()102f x +≥的解集为____．【答案】[)1,-+∞【解析】根据题意可得(),01,01xx x f x x x x ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩，且()f x 为奇函数当0x ≥时，()11011xf x x x ==-≥++，则()f x 在[)0,∞+上单调递增∴()f x 在R 上单调递增则()12f x =-，即112x x =--，解得1x =-∴()102f x +≥即()12f x ≥-的解集为1x ≥-故答案为：[)1,-+∞．10．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I 内单调递增且有界的函数()f x ，即0M ∃>，x I ∀∈，()f x M ≤．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①()f x =②()21x f x x =+；③()e e e e x xx x f x ---=+；④()11e x f x -=+．【答案】③④【解析】对于①，()f x =对于②，()2111x f x x x x==++不单调，不符合题意；对于③，()22222e e e 1e 1221e e e 1e 11e x x x x x x x x x f x ----+-===-++++=单调递增，且()()1,1f x ∈-，则()1f x <，符合题意；对于④，()11e xf x -=+单调递增，且()()0,1f x ∈，则()1f x <，符合题意．故答案为：③④1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x=D ．()f x =【答案】D【解析】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍.对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =为R 上的增函数，符合题意，故选：D.2．（2018·陕西高考真题（理））下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是A ．()12f x x = B ．()3f x x = C ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()3xf x =【答案】D 【解析】试题分析：由于x r x r a a a +⋅=，所以指数函数()x f x a =满足()()()f x y f x f y +=+，且当1a >时单调递增，01x <<时单调递减，所以()3xf x =满足题意，故选D ．考点：幂函数、指数函数的单调性．3．（2019·陕西高考真题（理））下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．y x x=【答案】D【解析】A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，因此选D.4．（2017·浙江高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．5．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )( )A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确．【名师点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论．6．（2021·浙江高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D【解析】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，2102164y ππ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C.故选：D.7．(2018北京卷)能说明“若()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】sin y x =（不答案不唯一）【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，且函数()f x 在[0,2]上不是增函数即可，如，()sin f x x =，答案不唯一．。
高考数学压轴专题人教版备战高考《三角函数与解三角形》单元汇编附答案
新数学《三角函数与解三角形》专题解析(1)一、选择题1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ） ABCD【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.2．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C++的最小值为（ ） ABCD．【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =， ∴tan 2tan C B =.又A B C π++=， ∴()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1B C B BB C B B +=-=-=---，∴21112tan 111tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++27tan 36tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,∴27tan 36tan B B +≥=，当且仅当tan 2B =时取等号，∴min111tan tan tan 3A B C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.3．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，所以cosC=2222a b c ab+-=2224916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．4．若函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位后，得到()y g x =，则关于()y g x =的说法正确的是（ ） A ．图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增 D ．在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】利用左加右减的平移原则，求得()g x 的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可. 【详解】函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位，得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=-=-． 由23x π-＝k π，得26k x ππ=+()k ∈Z ，所以,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()g x 的对称中心，故A 错； 由23x π-＝2k ππ+， 得212k x π5π=+()k ∈Z ，所以()g x 的图象不关于6x π=-轴对称，故B 错；由222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+()k ∈Z ， 所以在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上()g x 不单调递增，在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故C 错，D 对； 故选：D ． 【点睛】解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++，从而可利用正（余）弦型周期计算公式2||T πω=周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为,k B πϕω-⎛⎫⎪⎝⎭，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．5．要得到函数y ＝sin （2x +9π）的图象，只需将函数y ＝cos （2x ﹣9π）的图象上所有点（ ） A ．向左平移518π个单位长度 B ．向右平移518π个单位长度 C ．向左平移536π个单位长度 D ．向右平移536π个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数cos 29y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭转化为7sin 218y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再结合两函数解析式进行对比，得出结论． 【详解】 函数75cos 2sin 2sin 2sin 299218369y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴要得到函数sin 29y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos 29y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移536π个单位长度，故选D ． 【点睛】本题考查函数()sin y A x b ωϕ=++的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论．6．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40︒的方向直线行驶，30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A 的南偏东70︒方向的C 处，且A与C 的距离为52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（ ）)2.6≈A ．10分钟B ．15分钟C ．20分钟D ．25分钟【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得5713BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】根据条件可得30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =， 由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ︒=+-⋅⋅=， 则5713BC =≈（千米）， 由B 到达C 所需时间约为130.2552=（时）15=分钟． 故选：B ． 【点睛】该题是一道关于解三角形的实际应用题，解题的关键是掌握余弦定理的应用，属于简单题目.7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积25S C =，且1,25a b ==c =（ ）A 15B 17C 19D 21【答案】B 【解析】由题意得，三角形的面积1sin 252S ab C C ==，所以tan 2C =， 所以5cos 5C =， 由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以17c =，故选B.8．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．78-B ．78C ．18-D ．18【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到2cos sin 4αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭所以()222cos sin sincos cossin 44ππαααα-=-所以()()()22cos sin cos sin cos sin 2αααααα-+=- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭Q ，所以2cos sin αα+=所以()21cos sin 8αα+=，即221cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28α+= 所以7sin 28α=- 故选：A 【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；9．如图所示，已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的离心率是( )A ．277B ．52C ．72D ．7【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒g ，可得222214962c a a a =+-⨯，2247c a =，所以双曲线的离心率为：7e =． 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．10．已知()0,απ∈，3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式先利用sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求得2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.再由诱导公式求出sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再利用同角三角函数关系中的平方关系求得cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.根据角的取值范围,舍去不合要求的解即可.【详解】 因为3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由余弦二倍角公式可得22237cos 212sin 1233525ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 而2cos 2cos 2sin 23626ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以27sin 2cos 26325ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由同角三角函数关系式可得24cos 2625πα⎛⎫+==± ⎪⎝⎭ 因为()0,απ∈ 则4,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,而3sin 035πα⎛⎫+=> ⎪⎝⎭ 所以,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭则,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以22,233ππαπ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32,3262ππππα⎛⎫⎛⎫+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即32,662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又因为7sin 20625πα⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭,所以32,62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故cos 206πα⎛⎫+< ⎪⎝⎭所以24cos 2625πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 故选:B 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式及诱导公式的化简应用,三角函数恒等变形及角的范围确定,综合性较强,属于中档题.11．若函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（ ）A ．)+∞ B ．)+∞C ．()+∞D ．()【答案】A 【解析】 【分析】计算tan 203x π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案.【详解】∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴tan 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方， 即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，∵tan 23x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.12．函数()22sin 3cos 2f x x x =+-，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()23sin 2sin 1f x x x =-++，设sin t x =，利用二次函数性质得到答案. 【详解】根据22sin cos 1x x +=，得()23sin 2sin 1f x x x =-++，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 令sin t x =，由2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故[]0,1t ∈，有2321y t t =-++，[]0,1t ∈，二次函数对称轴为13t =， 当13t =时，最大值43y =；当1t =时，最小值0y =，综上，函数()f x 的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.13．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则()f x 的最大值为（ ）A ．2BC ．D 或【答案】D 【解析】 【分析】根据函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则有()(0)2f f π-=，解得a ，得到函数再求最值.【详解】因为函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称， 所以()(0)2f f π-=，即220a a +-=， 解得2a =-或1a =，当2a =-时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫=--=-⎪⎝⎭，此时()f x 的最大值为；当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，此时()f x ；综上()f x 或. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项.【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-， 整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab ab+≥=， 当且仅当a b =时等号成立，此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯， 故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立；故p 是q 的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.15．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ）A ．102x <<B ．112x <<C ．12x <<D ．01x <<【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围.【详解】将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ，设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则cos 0A '∠<，所以()()()()()2222342340x x x x x x x ⎧+++<+⎪+++>+⎨⎪>⎩，解得01x <<.故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.16．在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于D，BD =，1cos 4BAC ∠=，则AD =（ ） A ．2BCD【答案】A【解析】【分析】先求出sin BAD ∠=，再利用正弦定理求AD. 【详解】 ∵21cos 12sin 4BAC BAD ∠=-∠=，∴sin 4BAD ∠=.在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠，∴sin 2sin B AD BD BAD =⋅==∠. 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．函数()sin())f x x x ωϕωϕ=+++（ω＞0）的图像过点（1，2），若f （x ）相邻的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝6，则f （x ）的单调增区间为（ ）A ．[－2＋12k ，4＋12k]（k ∈Z ）B ．[－5＋12k ，1＋12k]（k ∈Z ）C ．[1＋12k ，7＋12k]（k ∈Z ）D ．[－2＋6k ，1＋6k]（k ∈Z ）【解析】【分析】由题意得()23f x sin x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据相邻两个零点满足126x x -=得到周期为12T =，于是可得6π=ω．再根据函数图象过点()1,2求出2()k k Z ϕπ=∈，于是可得函数的解析式，然后可求出单调增区间．【详解】由题意得()()()23f x sin x x sin x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭， ∵()f x 相邻的两个零点1x ，2x 满足126x x -=，∴函数()f x 的周期为12T =， ∴6π=ω， ∴()263f x sin x ππϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 又函数图象过点()1,2， ∴2222632sin sin cos πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴cos 1ϕ=，∴2()k k Z ϕπ=∈，∴()263f x sin x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由22,2632k x k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，得512112,k x k k Z -+≤≤+∈， ∴()f x 的单调增区间为[]()512,112k k k Z -++∈．故选B ．【点睛】解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，属于基础题．18．已知向量m =r (1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r ，且m r ⊥n r，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ）A ．12B ．2C ．D ．﹣2【解析】【分析】根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案.【详解】 因为向量m =r (1，cosθ)，n =r (sinθ，﹣2)， 所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r 因为m r ⊥n r ，所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B.【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.19．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（ ）A ．15B ．315C ．1D ．3【答案】A【解析】【分析】先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论．【详解】如图：()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，同理可得sin sin CD AC CAD ADC=∠∠，因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD AB CD AC =， 4AB =Q ，8AC =，2BD =，8244AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=.2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，sin B == 1sin 2ABD S AB BD B ∴=⋅⋅=V 故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题.20．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③【答案】A【解析】逐一考查所给的函数： cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22T ππ== ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ； 函数tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ；综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③.本题选择A 选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．。
高考数学压轴专题最新备战高考《三角函数与解三角形》知识点总复习有解析
高中数学《三角函数与解三角形》复习知识点一、选择题1．将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由12f πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出φ，再根据所得图象关于y 轴对称求出ω，可得()f x 的解析式．【详解】解：将函数()()sin (0,)2f x x πωφωφ=+><的图象向右平移6π个单位长度后，可得sin 6y x ωπωφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象；∵所得图象关于y 轴对称，∴62k ωππφπ-+=+，k Z ∈．∵()1sin sin 2f ππφφω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2φ=，26ππφφ<=，. ∴63k ωπππ-=+，620k ω=-->,则当ω取最小值时，取1k =-，可得4ω=，∴函数()f x 的解析式为()sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选C ． 【点睛】本题主要考查函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．2．能使sin(2))y x x θθ=+++为奇函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（ ）A ．5π3B ．43π C ．23π D ．3π 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式化简函数，然后根据函数的奇偶性和单调性求得θ的值. 【详解】依题意π2sin 23y x θ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由于函数为奇函数，故πππ,π33k k θθ+==-，当1,2k =时，2π3θ=或5π3θ=，由此排除B,D 两个选项.当2π3θ=时，()2sin 2π2sin 2y x x =+=-在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数，符合题意.当5π3θ=时，()2sin 22π2sin 2y x x =+=，在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数，不符合题意.故选C. 【点睛】本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102x << B ．112x << C ．12x << D ．01x <<【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ，设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则cos 0A '∠<，所以()()()()()2222342340x x x x x x x ⎧+++<+⎪+++>+⎨⎪>⎩，解得01x <<.故选：D. 【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40︒的方向直线行驶，30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A 的南偏东70︒方向的C 处，且A 与C 的距离为153千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（ ）()7 2.6≈A ．10分钟B ．15分钟C ．20分钟D ．25分钟【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得5713BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】根据条件可得30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =， 由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ︒=+-⋅⋅=， 则5713BC =≈（千米）， 由B 到达C 所需时间约为130.2552=（时）15=分钟． 故选：B ． 【点睛】该题是一道关于解三角形的实际应用题，解题的关键是掌握余弦定理的应用，属于简单题目.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，0AB BC ⋅>u ur u u r u u，2a =，则bc +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．32⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，可得3A π=，由|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r，可得B为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解【详解】由余弦定理有：222cos 2b c a A bc+-=，又222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又A 为三角形的内角，故3A π=又2a=sin sin sin(120)ob c c B C B ==- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r故cos 0B B <∴为钝角3sin sin(120)sin 30)22o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+(90,120)o o B ∈Q ，可得130(120150)sin(30)(,22o o o o B B +∈∴+∈，330))22o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题7．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.8．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由函数2cos 2y x x =-的图象（ ） A ．向右平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 B ．向右平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到C ．向左平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 D ．向左平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 【答案】D 【解析】 【分析】合并cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用平移、伸缩知识即可判断选项。
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考点05 三角函数
A卷（基础巩固）
（时间：45分钟，满分：100分）一、选择题（本题共7道题，每题10分，共70分）
1．（2020·湖南省五市十校高三上第二次联考）设θ为第三象限角，
3
sin
5
θ=-，则sin2θ=
A．
7
25
-B．7
25
C．
24
25
-D．
24
25
高考频度：★★★☆☆难易程度：★★☆☆☆新颖指数：★★★★★2．（2020·上海市杨浦区一模）要得到函数y=2sin（2x）的图象，只要将y=2sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位
高考频度：★★★☆☆难易程度：★★☆☆☆新颖指数：★★★★☆
3．（2020·河北辛集中学高三第三次月考）若
1
sin
42
a
π
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
，则cos2
2
a
π⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
A ．34-
B ．23-
C ．12-
D ．13
- 高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★☆☆☆ 新颖指数：★★★★★
4．（2020·石家庄二中高三上第三次联考）若函数()sin(2)6
f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图像关于y 轴对称，则当ϕ最小时，tan ϕ=
A B C ．-D ．高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆ 新颖指数：★★★★★ 5．（2020·四川省绵阳市一诊）函数 在 ， 上单调递增，且图象关于x =﹣π对称，则ω的值为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆ 新颖指数：★★★★☆
6．（2020·四川省泸州市一诊）己知函数f （x ）=A sin （ωx +φ）（A >0，ω>0，0<φ<π）的图象如图所示，下列关于f （x ）的描述中，正确的是（ ）
A ．tan
B ．最小正周期为2π
C ．对任意x ∈R 都有
D ．函数f （x ）的图象向右平移
个单位长度后图象关于坐标原点对称
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆ 新颖指数：★★★★☆
7．（2020·天津市河东区二模）已知函数 的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于 ，若将函数y =f （x ）的图象向左平移
个单位得到函数y =g （x ）的图象，则在下列区间中使y =g （x ）是减函数的是（ ）。