超静定

δ 21 X 1＋ δ 22 X 2＋ δ 23 X 3＋ ∆ 2 P ＝ 0
δ 31 X 1＋ δ 32 X 2＋ δ 33 X 3＋ ∆ 3 P ＝ 0
a δ21 = − 2EI
∆2P
3
a3 δ22 = 3EI
1 2 δ23 = a 2EI
1 11 2 3 qa4 = ( qa a a) = EI 3 2 4 8EI
FNi FNi li ∆1 P = ∑ =0 EA ∆1 p X1 = − =0 δ 11
FNi = FNiP + X 1 FNi
P FNAD = 2 sinα
X1 = −
∆1 P
δ 11
=0
P FNBD = − 2 sinα
FNCD=0
C B A l α α D P
X1 X1 α α P 基本静定系
1
l FP l 2l/3 l l 1 l l
FPl3 1 FPl ×l ×l = − ∆2P = − EI 2 2EI
平面刚架受力如图所示,各杆的弯曲刚度均为 平面刚架受力如图所示 各杆的弯曲刚度均为EI，不考虑剪力和 各杆的弯曲刚度均为 不考虑剪力和 轴力的影响，试画出弯矩图。 轴力的影响，试画出弯矩图。
B
M = −asinϕ
π
ϕ
a A
MMds 1 2 πa3 1 δ11 = ∫ (−asinϕ)2 adϕ = = s EI EI ∫0 4EI π MMds 1 2 π ∆F = ∫ = 1 ∫π[Fasin(ϕ − 4)](−asinϕ)adϕ s EI EI 4 横截面上的弯矩? 横截面上的弯矩? Fa3π =− 8 2EI M = MX + M
1 δ11X1 + ∆1P = − X1 k 1
Pa (3l − a) ∆1P = − 6EI
Pa2 相当于B端为刚性支承 当k= ∞,相当于 端为刚性支承，此时： X1 = 3 (3l − a) 相当于 端为刚性支承，此时： 2l 相当于B端为完全柔性支承 当k= 0,相当于 端为完全柔性支承，此时 相当于 端为完全柔性支承，此时: X1 = 0
正则方程的一般表达式
∆1＝0
∆ 2＝0
δ 11 X 1＋δ 12 X 2＋δ 13 X 3＋∆1P＝0
δ 21 X 1＋δ 22 X 2＋δ 23 X 3＋∆ 2 P＝0
∆ 3＝0
δ 31 X 1＋δ 32 X 2＋δ 33 X 3＋∆ 3 P＝0
－正则方程的一般形式
δ 11 X 1＋ δ 12 X 2＋ δ 13 X 3＋ ∆ 1 P ＝ 0
δ ij = δ ji
例题5
FP C
l 平面刚架受力如图所示, 平面刚架受力如图所示 各杆的弯曲刚度均为EI，不 各杆的弯曲刚度均为 不 考虑剪力和轴力的影响， 考虑剪力和轴力的影响，试 画出弯矩图。 画出弯矩图。 l
B
A
平面刚架受力如图所示,各杆的弯曲刚度均为 平面刚架受力如图所示 各杆的弯曲刚度均为EI，不考虑剪力 各杆的弯曲刚度均为 不考虑剪力 和轴力的影响，试画出弯矩图。 和轴力的影响，试画出弯矩图。 FP
2a δ 11 = 3EI
a a Mp M1
∆1P
7qa =− 24 EI
4
X1 = −
∆1 P
δ 11
7 qa = 16
2.作M图： 作 图
q B a A a
2 qa/2 2 qa/2
X1 = −
∆1 p
δ 11
7 qa = 16
q C x1
qa/16
a a Mp M1
2
qa/16
2
7a/16
2
l
1 l ×l 2l l3 δ11 = × = EI 2 3 3EI
3 1 l ×l 2l 4l × + l ×l ×l = δ22 = EI 2 3 3EI
5、应用图乘法计算正则方程中的位移 、
X1δ11+X2δ12 +∆ = 0 1P X1δ21+X2δ2曲杆A端固定, 端铰支. 例题4 轴线为四分之一圆周的曲杆A端固定,B端铰支. 在F作 用下,试求曲杆的弯矩图. 用下,试求曲杆的弯矩图.
B
F
π/4 A π/4 a
解:一次超静定。 基本静定系？ 一次超静定。 基本静定系？
δ11X1 + ∆1F = 0
B
F X1
π/4
δ11 = ？、 1F = ？ ∆
δ11
δ11
Pa 2 X 1 = 3 (3l − a ) 2l
讨论： 讨论： 处是刚度为k的弹簧,如何求B处支反力？ 若B处是刚度为k的弹簧,如何求B处支反力？
A a C L
P
Pb
此梁为一次超静定
B
P X1 Pa P 1
l δ11 = 3EI
(δ11 + ) X1 + ∆1P = 0 k 2 3
Pa2 (3l − a) X1 = 6EI 2l 3 + k
1 F
横截面上的弯矩
M = MX1 + MF
F
B
Fa M = −X1asinϕ = − sinϕ 2 2
π (0 ≤ ϕ ≤ ) 4
A π/4
π/4
π M = Fasin(ϕ − ) − X1asinϕ 4 π 1 sinϕ] = Fa[sin(ϕ − ) − 4 2 2 π π ( ≤ϕ ≤ ) 4 2
FP1
X6 X4 X5
X5
X6 X4
X3 X1
X2
下列静定基是否正确？ 下列静定基是否正确？
FP C B C B C B
A C
A B
√
A C
√
B
×
A A
×
A a L
C P
B X1
∆1＝0
∆1＝∆1P＋∆1 X 1 ∆1 X = δ11 X 1
1
P
∆1P
Pa P X1
δ 11 X 1 + ∆1P = 0
B P l
多余未知力由多余约束引起
内静不定结构： 内静不定结构：
载荷、约束反力已知， 载荷、约束反力已知，而所有内力 由平衡方程不能完全求解的结构。 由平衡方程不能完全求解的结构。
A E1I1 C E2A2 D B h
FP X1 X3 X2 X2 X1 FP X3 FP
l/2
l/2
FP
静不定次数： 静不定次数：
课堂练习：刚架受力图示。各杆的 相同， 课堂练习：刚架受力图示。各杆的EI 相同，求最大 弯矩及其发生的位置。 弯矩及其发生的位置。
P A a B E a a C a D
δ11 X 1 + ∆1P = 0
δ 11
2a = EI
3
∆ 1P
Pa 3 =− 3EI
P X1 = 6
M max = MA = 5Pa 6
A
E1I1
C E2A2 D C X1 D
B
例3：求图示组合结构内力 ：
h
原结构为一次超静定 静定基及相当系统
l/2
A
l/2
B
δ11X1 + ∆1P = 0
2 Ni2li M1 δ11 = ∫ dx + ∑ E1I1 Ei A i 2
c 2 ) c 2 1l l 2l 1h = ( )+ + 2 2h E1I1 2 2 4 3 4 E2 A2 E3 A 3 (− l3 l c3 = + + 2 48E1I1 E2 A2 2h E3 A 3
A
(b)
δ11X1 + ∆1F = 0
B
F πa Fa π X1 − = 0 X1 = 2 2 4EI 8 2EI
3 3
F
ϕ
A
Fa 2
当静定基只作用外载荷F 当静定基只作用外载荷F时： π M=0 (0 ≤ ϕ ≤ ) 4 π π π M = Fasin(ϕ − ) ( ≤ ϕ ≤ ) 4 2 4 点沿X 方向作用一单位力时： 当B点沿X1方向作用一单位力时：
δ 11 X 1 + ∆1P = 0
4.由正则方程求解多于未知力； 4.由正则方程求解多于未知力； 由正则方程求解多于未知力 5.求出多于未知力后，其它问题（如内力、 5.求出多于未知力后，其它问题（如内力、应 求出多于未知力后 变形等）求解方法与静定结构相同。 力、变形等）求解方法与静定结构相同。
力
δ 11 X 1 + ∆1P = 0
例题1：用力法求刚架的 图 例题 ：用力法求刚架的M图
q B aB
法 解 超 静 定
q
C
q x1
1.求多于未知力： 求多于未知力： 求多于未知力
C
A a
δ 11 X 1 + ∆1P = 0
刚架的M 刚架的 P图 、 M图 图
3
a A
a
2 qa/2 2 qa/2
C
B
解：1、判断结构是静定的还是静不定 、 确定静不定次数: 的，确定静不定次数 2、选择静定基本系统，建立相当系统 、选择静定基本系统，建立相当系统:
3、比较相当系统与静不定系统， 、比较相当系统与静不定系统， 根据变形协调要求写出正则方程 A FP
X1δ11+X2δ12 +∆ = 0 1P X1δ21+X2δ22 +∆2P = 0
1 l
l
1 l/2 l l l
1 l ×l l3 δ12 = δ21 = − ×l = − EI 2 2EI
5、应用图乘法计算正则方程中的位移 、
X1δ11+X2δ12 +∆ = 0 1P X1δ21+X2δ22 +∆2P = 0