同济高数第5章课件第1节

合集下载

高数课件(同济第五版)D1_1映射与函数

高数课件(同济第五版)D1_1映射与函数
2
解: 当 1≤ x < 0 时, y = x ∈( 0, 1] , 则 x = y , y ∈( 0, 1] 当 0 < x ≤1 时, y = ln x ∈( ∞, 0] , 则 x = e , y ∈( ∞, 0]
y
2e
2
1 1 o 1 2x
当 1< x ≤ 2 时, y = 2ex1∈( 2, 2e] , y 则 x =1+ ln 2 , y ∈( 2, 2e] 反函数 y =
o 1
y = th x x
机动
目录
上页
下页
返回
结束
(4) 周期性
x ∈D, l > 0, 且 x ± l ∈D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
π 2π
o π 2π x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f (x) = C 狄里克雷函数
( 自学, P17 – P21 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
非初等函数举例: 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 取整函数 当
y
2 1o 1 2 3 4
y
1
o
1
x
x
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例5. 求 y =
x2 , 1≤ x < 0 ln x , 0 < x ≤1 的反函数及其定义域. x1 2e , 1< x ≤ 2 y
* M 表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
+

高等数学(同济版)第五章复习资料

高等数学(同济版)第五章复习资料

第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积:设曲边梯形是由连续曲线)0)(()(≥=x f x f y 、x 轴以及两条直线a x =、b x =所围成,求其面积A . ①.大化小(分割):在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ,用直线i x x =将曲边梯形分成n 个小曲边梯形,用i A ∆表示第i 个曲边梯形的面积; ②.常代变(近似代替):在第i 个窄曲边梯形的底上任取],[1i i i x x -∈ξ,有i i i x f A ∆ξ∆)(≈. ③.近似和(求和):∑==ni i A A 1∆∑=≈ni i i x f 1)(∆ξ.④.取极限:令}{max 1i ni x ∆λ≤≤=,则∑=→=n i i A A 1lim ∆λ∑=→=ni i i x f 1)(lim ∆ξλ.2. 变速直线运动的路程:设某物体作直线运动,已知速度)(t v v =在时间间隔],[21T T 上连续,且0)(≥t v ,求在运动时间内物体所经过的路程s .①.大化小(分割):在区间],[21T T 内任意插入1-n 个分点b t t t t t a n n =<<<<<=-1210 , 将它分成n 个小段),,2,1(],[1n i t t i i =-,用i s ∆表示物体第i 个小段上经过的路程; ②.常代变(近似代替):在第i 个小段上经过的路程任取],[1i i i t t -∈ξ,有i i i t v s ∆ξ∆)(≈. ③.近似和(求和): i ni i t v s ∆ξ∑=≈1)(.④.取极限:令}{max 1i ni t ∆λ≤≤=,则i ni i t v s ∆ξλ∑=→=1)(lim .这两个具体问题来自两个不同的学科,但它们都可一归结为具有相同结构的确定和式的极限,抽去它们的具体意义,就得到数学上定积分的概念. 二、定积分的相关概念1.定积分 :设函数)(x f 在区间],[b a 上有界,若在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点b x x x x a n =<<<<= 210,任取],[1-∈i i i x x ξ,记1--=i i i x x x ∆,只要0}{max 1→=≤≤i ni x ∆λ,和式极限i ni i x f ∆ξλ∑=→1)(lim 总存在,则称此极限为)(x f 在],[b a 上的定积分,记作⎰bax d x f )(,即=⎰bax d x f )(i ni i x f ∆ξλ∑=→1)(lim ,此时也称)(x f 在区间],[b a 上黎曼可积. 注:1°.引例中,曲边梯形的面积A ⎰=bax d x f )(;路程⎰=21)(T T t d t v s .2°.定积分仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量用什么字母表示无关, 即⎰b ax d x f )(⎰=b at d t f )(⎰=ba u d u f )(.3°.在定积分定义中,要求积分上限b 大于积分下限a ,为了方便起见,规定: 当b a >时,⎰b ax d x f )(⎰-=abx d x f )(;当b a =时,⎰bax d x f )(0=.4°.定积分定义中0→λ意味着区间的分割越来越细.0→λ时必有小区间的个数∞→n ,但∞→n 并不能保证0→λ(不等分的时候,当等分的时候∞→⇔→n 0λ.)5°.若已知)(x f 在],[b a 上可积,则可以通过特殊的分法分割区间(例如n 等分)和特殊的取点i ξ(例如取i i x =ξ或1-=i i x ξ)来计算定积分.2.定积分的几何意义:曲边梯形的“面积”. 3. 函数可积的条件 (1). 必要条件:定理1.若)(x f 在],[b a 上可积,则)(x f 在],[b a 上有界.反之未必,例如:狄利克雷函数⎩⎨⎧∉∈=Q x Q x x f ,0,1)(在]1,0[上有界,但不可积,因为定义中的积分和的极限不总存在. (2). 充分条件:定理2. 若)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上可积.反之未必,例如⎩⎨⎧≤<≤≤=21,110,0)(x x x f 在]2,0[上可积,但)(x f 在]2,0[上有一个间断点1=x .定理3. 若)(x f 在],[b a 上有界,并且只有有限个间断点,则)(x f 在],[b a 上可积.定理4. 若)(x f 在],[b a 上单调且有界,则)(x f 在],[b a 上可积. 例1. 利用定义计算定积分x d x ⎰102.解:将区间]1,0[进行n 等分, 分点为n i x i =),,1,0(n i =,取n i i =ξ,nx i 1=∆,),,2,1(n i =.则i ii i x x f ∆ξ∆ξ2)(=32ni =,于是i i ni x f ∆ξ)(1∑=∑==n i i n 1231)12)(1(6113++⋅=n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n 121161,所以 i ni i x x d x ∆ξλ∑⎰=→=120102lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n n 121161lim 31=.例2. 用定积分表示下列极限:1.∑=∞→+n i n n i n 111lim n n i n i n 11lim 1⋅+=∑=∞→x d x ⎰+=101.2. 121lim +∞→+++p p p p n n n n n i n i pn 1lim 1∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛=x d x p⎰=10. 三、定积分的性质(设所列定积分都存在) 1.线性性质1. xd x f k x d x f k baba)()(⎰⎰=( k 为常数).性质2.⎰⎰⎰±=±b a ba b ax d x g x d x f x d x g x f )()()]()([.2.积分区间的可加性性质3. 设b c a <<,则有⎰⎰⎰+=bccabax d x f x d x f x d x f )()()(.3.保序性性质4. 若在],[b a ,0)(≥x f ,则0)(≥⎰x d x f ba .性质5. 若在],[b a ,)()(x g x f ≤,则x d x g x d x f bab a)()(⎰⎰≤.4.绝对不等式性 性质6.x d x f b a)(⎰x d x f ba⎰≤)(.5.介值性性质7.设M 和m 是)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值,则)()()(a b M x d x f a b m ba-≤≤-⎰.性质8.a b x d ba-=⎰1.6.中值性性质9.(积分中值定理) 若)(x f 在],[b a 上连续,则至少存在一点],[b a ∈ξ,使得))(()(a b f x d x f b a-=⎰ξ.证明:设)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值为M 和m ,则由介值性得M x d x f a b m b a≤-≤⎰)(1,再由闭区间上连续函数的介值定理, 至少存在一点],[b a ∈ξ,使x d x f a b f b a)(1)(⎰-=ξ. 注:1°.积分中值定理对b •a <或b a >的情形都成立. 2°.称x d x f ab f b a )(1)(⎰-=ξ为)(x f 在],[b a 上的平均值. 因为 ab x d x f b a-⎰)(n a b f a b ni i n -⋅-=∑=∞→)(lim 11ξ)(1lim 1∑=∞→=n i i n f n ξ,故它是有限个数的平均值概念的推广.3°.积分中值定理的几何意义: 以)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积等于同底的且以)(ξf 为的矩形的面积.第二节 微积分基本公式一、引例:变速直线运动中位臵函数与速度函数之间的联系在变速直线运动中, 已知位臵函数)(t s 与速度函数)(t v 之间满足:)()(t v t s =',即)(t s 是)(t v 的原函数.又物体在时间间隔],[21T T 内经过的路程为)()()(1221T s T s t d t v s T T -==⎰,即速度函数)(t v 在区间],[21T T 上的定积分t d t v T T ⎰21)(等于)(t v 的原函数在],[21T T 上的增量.这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性. 二、积分上限函数及其导数1.积分上限函数:若函数)(x f 区间],[b a 上可积,则称函数]),[()()(b a x t d t f x xa ∈=⎰Φ为积分上限函数,或变上限积分.注:积分上限函数t d t f x xa⎰=)()(Φ在],[b a 上连续.推导:],[0b a x ∈∀,有t d t f t d t f x xx x a⎰⎰+=00)()()(Φ,当0x x →时,0)(0→⎰t d t f x x ,于是)()()(lim 000x t d t f x x ax x ΦΦ==⎰→,即t d t f x x a⎰=)()(Φ在],[b a 上连续.2.积分上限函数的导数:定理1.若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则积分上限函数t d t f x xa⎰=)()(Φ在],[b a 上可导,并且 )()()('x f t d t f x d d x d d x xa =⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰ΦΦ )(b x a ≤≤. 证明: ),(,b a x x x ∈+∀∆,则有x x x x ∆Φ∆Φ)()(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰+x a x x a t d t f t d t f x )()(1∆∆⎰+=x x x t d t f x ∆∆)(1)(ξf =)(x x x ∆ξ+<<(积分中值定理),又)(x f 在],[b a 上连续,故有xx x x x x ∆Φ∆ΦΦ∆)()(lim)('0-+=→)(lim 0ξ∆f x →=)(x f =. 若a x =,取0>x ∆,可证)('a +Φ)(a f =;若b x =,取0<x ∆,可证)('b -Φ)(b f =. 注:其它变限积分求导: 1°.⎰bx t d t f xd d )( ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰x b t d t f x d d )( )(x f -=; 2°.⎰)()(x at d t f x d d ϕ )()]([x x f ϕϕ'=;3°.⎰)()()(x x t d t f x d d ϕψ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰)()()()(x a a x t d t f t d t f x d d ϕψ )()]([)()]([x x f x x f ψψϕϕ'-'=. 3.原函数存在定理:定理2.若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则积分上限函数td t f x xa ⎰=)()(Φ)],[(b a x ∈就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数.注:这个定理一方面肯定了连续函数的原函数的存在性,另一方面初步地揭示了在被积函数连续的前提下,定积分与原函数之间的联系,为使用原函数计算定积分开辟了道路.例1. x x e •x t d e •x t d e •x x x t x x t x 2)(cos lim )'(lim lim 222cos 02'1cos 0021cos 0-→-→-→-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰x•e x •x x 2sin lim 2cos 0-→⋅=e•e •x x ••x x x 21lim sin lim 212cos 00=⋅=-→→.例2.设)(x f 在),0[∞+内连续且0)(>x f ,证明td t f t d t f t x F x x⎰⎰=00)()()(在),0[∞+内单调增加.证明:由于=')(x F ()200)()()()()(t d t f td t f t x f t d t f x f x xxx ⎰⎰⎰-()200)()()()()(t d t f td t f t x f t d t xf x f xxx ⎰⎰⎰-=()200)()()()(t d t f td t f t x x f xx ⎰⎰-=()20)()())((t d t f xf x x f x⎰⋅-=ξξ )0(x <<ξ(积分中值定理)0>,所以)(x F 在),0[∞+内单调增加. 4.函数存在原函数与函数可积的关系: (1).函数存在原函数,但不一定可积.例如:对函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1s i n )(22x x x x x f ,由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--≠-=→0,0001s i n l i m 0,1c o s 21s i n 2)('22022x x x x x •x x x x x f x ,令)(')(x f x g =,即函数)(x g 在区间],[a a -上具有原函数,但由于)(x g 在],[a a -无界,所以)(x g 在],[a a -不可积, 事实上,取021→=πn x )(∞→n ,有 )2cos(22)2sin(2221πππππn n n n n g -=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→-=πn 220 )(+∞→n , 即)(x g 在],[a a -无界.(2).函数可积,但不一定存在原函数.例如:函数⎩⎨⎧≤<≤≤=21,110,0)(x x x f 在]2,0[除了一个间断点1=x 外都连续,所以)(x f 在]2,0[上可积,但)(x f 在]2,0[上不存在原函数.(3).存在既不存在原函数又不可积的函数,例如:狄利克雷函数:⎩⎨⎧∉∈=Q x Qx x f ,0,1)(.三、微积分基本公式——牛顿—莱布尼茨公式定理3. (微积分基本定理)设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,若函数)(x F 是)(x f 在],[b a 上的任一原函数,则)()()(a F b F x d x f b a-=⎰.证明:由于积分上限函数t d t f x a⎰)(是)(x f 的一个原函数,故)(x F C t d t f x a+=⎰)(, 令a x =,得)(a F C =,因此)()()(a F x F x d x f xa-=⎰;再令b x =,得)()()(a F b F x d x f ba-=⎰ba x F )(= .注:微积分基本公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系.它表明:连续函数)(x f 在],[b a 上的定积分等于它的任意一个原函数)(x F 在],[b a 上的增量.微积分基本公式是对被积函数连续时给出的计算定积分的公式,若函数)(x f 在],[b a 上不连续,但满足一定的条件,也有相同的公式:定理3’ 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界,且有有限多个间断点,若存在连续函数)(x F ,在)(x f 的间断点外,有)()('x f x F =,则)()()(a F b F x d x f b a-=⎰.证明:假设)(x f 在b x =不连续,不满足)()('b f b F =,),(b a x ∈∀,有)(t f 在区间],[x a 上连续,且满足)()('t f t F =,从而有)()()(a F x F t d t f xa -=⎰,由)(x F 以及积分上限函数t d t f x a⎰)(的连续,有)]()([lim )(lim )(a F x F t d t f t d t f bx xabx b a-==--→→⎰⎰)()(a F b F -=. 例3.⎰102x d x 123x = 31031=-=.例4.⎰-+31211x •d x 31arctan t =12743)1arctan(3arctan πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=. 例5.⎰--121x d x12||ln --=x 2ln 2ln 1ln -=-=. 例6.计算正弦曲线x y sin =在π],0[与x 轴所围成的平面图形的面积.解:⎰=πsin x d x A π0cos x -=2)11(=---=.例7.用微积分基本定理证明积分中值定理:若)(x f 在],[b a 上连续,则至少存一点),(b a ∈ξ,使得)())(()(b a a b f x d x f ba<<-=⎰ξξ.证明:因为)(x f 连续,故)(x f 具有原函数,设)(x F 为它的一个原函数,即)()('x f x F =,由牛顿—莱布尼茨公式有)()()(a F b F x d x f ba -=⎰.由)(x F 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的条件,故至少存一点),(b a ∈ξ,使得)())(())((')()(b a a b f a b F a F b F <<-=-=-ξξξ,故)())(()(b a a b f x d x f ba<<-=⎰ξξ.第三节 定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分的换元法:定理1.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足:(1). a =)(αϕ, b =)(βϕ,并且当t 从α变到β时,对应的x 单调地从a 变到b ; (2). 函数)(t x ϕ=在],[βα或],[αβ上具有连续导数, 则有 t d t t f x d x f ba )(')]([)(ϕϕβα⎰⎰=.证明:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在. 设)(x F 是)(x f 的一个原函数,则)]([t F ϕ是)(')]([t t f ϕϕ的原函数,于是由牛顿—莱布尼茨公式,有⎰bax d x f )()()(a F b F -=)]([)]([αϕβϕF F -=t d t t f )(')]([ϕϕβα⎰=.注:1°.换元必换限, 原函数中的变量不必代回.2°.换元公式也可以这样使用, 即凑元法)]([)]([)(')]([x d x f x d x x f babaϕϕϕϕ⎰⎰=,积分限不换.这相当于不定积分的第一换元积分法. 例1. 计算)0(022>-⎰a x d x a a .解:令t a x sin =,则t d t a x d cos =,当0=x 时,0=t ;a x =时,2/π=t ,于是x d x a a⎰-022t d t a •⎰=2022cos πt d t a )2cos 1(2202⎰+=π2/022sin 212π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t a 4π2a =.例2.x d x x •⎰25sin cos πx d x x •')cos (cos 205⎰-=π⎰-=205)cos (cos π•x d x 2/066cos πx -=61610=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=.例3.x d x x ⎰-π53sin sin x d x x ⎰-=π023)sin 1(sin x d x x ⎰=π23cos sin x d x x ⎰=π2/3|cos |sinx d x x x d x x ⎰⎰-+=πππ22/3202/3)cos (sincos sin⎰⎰-=πππ22/3202/3sin sin sin sin x d x x d xπππ2/2/52/02/5sin 52sin 52xx -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=525254=. 例4.计算x d x x ⎰++40122. 解:令12+=x t ,则212-=t x ,t d t x d =,且当0=x 时,1=t ;当4=x 时,3=t ,于是x d x x ⎰++40122t d t t t ⎰+-=312221t d t )3(21312⎰+=31333121⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t 322=. 另解:x d x x ⎰++40122x d x x ⎰++=40124221x d x x ⎰++=40121221x d x ⎰++4012321x d x ⎰+=401221⎰+++4012)12(43x x d )12(124140++=⎰x d x ⎰+++4012)12(43x x d 4023)12(3241+⋅=x +421)12(243+⋅x 3313+=322= 例5. 设•x f )(为],[a a -上的连续函数,(1). 若)()(x f x f =-,则⎰⎰-=aaax d x f x d x f 0)(2)(.(偶倍)(2). 若)()(x f x f -=-,则0)(=⎰-aax d x f .(奇零)证明: 由于=⎰-x d x f aa)(x d x f a⎰-0)(x d x f a ⎰+0)(,对积分x d x f a⎰-0)(作变换,令t x -=,则有x d x f a⎰-0)(t d t f a⎰--=0)(t d t f a⎰-=0)(x d x f a⎰-=0)(,于是=⎰-x d x f aa)(x d x f x f a])()([0⎰+-=⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎰)()(,0)()(,d )(20x f x f x f x f x x f a 例6.若•x f )(在]1,0[上连续,证明 (1). ⎰⎰=2/02/0)(cos )(sin ππx d x f x d x f ;(2). ⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin x d x f x d x xf ,并由此计算⎰+π02cos 1sin x d xxx .证明: (1).令t x -=2π,则t d x d -=,且当0=x 时,2π=t ;当2π=x 时,0=t ,于是 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02/2/02sin )(sin πππt d t -f x d x f ⎰⎰==2/02/0)(cos )(cos ππx d x f t d t f . (2). 令t x -=π,则t d x d -=,且当0=x 时,π=t ;当π=x 时,0=t ,于是⎰⎰---=00)][sin()()(sin ππππt d t f t x d x xf ⎰-=ππ0)(sin )(t d t f t⎰⎰⋅-=πππ0)(sin )(sin t d t f t t d t f ⎰⎰⋅-=πππ0)(sin )(sin x d x f x x d x f ,整理得⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin x d x f x d x xf .由此⎰+π02cos 1sin x d x x x ⎰+=ππ02cos 1sin 2x d x x ⎰+-=ππ02cos 1)(cos 2xx dππ0)arctan(cos 2x -=ππ0)arctan(cos 2x -=⎪⎭⎫⎝⎛---=442πππ22π=.例7. 设)(x f 是连续的周期函数,周期为T ,证明: (1). x d x f x d x f TT a a ⎰⎰=+0)()(;(2). )()()(0N n x d x f n x d x f T nT a a∈=⎰⎰+,并由此计算x d x n ⎰+π02sin 1.证明: (1).记x d x f a T a a⎰+=)()(Φ,则0)()()(=-+='a f T a f a Φ,即)(a Φ与a 无关,因此)0()(ΦΦ=a ,于是x d x f x d x f TT a a⎰⎰=+0)()(.(2).由于x d x f nT a a⎰+)( x d x f T kT a kTa n k ⎰∑+++-==)(1,又由(1)知x d x f x d x f TT kT a kTa ⎰⎰=+++0)()(,因此x d x f nT a a⎰+)(x d x f n T⎰=0)(.由于x 2sin 1+是以π为周期的周期函数,于是x d x n ⎰+π02sin 1x d x n ⎰+=π2sin 1x d x x n ⎰+=π2)sin (cos x d x x n ⎰+=πsin cosx d x n ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ04sin 2 (令4π+=x t )t d t n ⎰+=πππ4/4/sin 2t d t n ⎰=π0sin 2t d t n ⎰=π0sin 2πcos 2x n -=n 22=.例8. 计算x d x x x ⎰+-30222)33(.解:由于x d x x x ⎰+-30222)33(x d x x ⎰+-=30222)]2/3()2/3[(,令t x tan 2323=-,⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππt , 则t td x d 2sec 23=,t t x x 42222sec 169sec 43)33(=⎪⎭⎫⎝⎛=+-.当0=x 时,3π-=t ;3=x 时,3π=t , 于是x d x x x ⎰+-30222)33(t d t t t t 243/3/2sec 23sec 91649tan 233tan 43⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=--⎰ππ t d t t t 23/3/2cos 49tan 233tan 43938⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππ (偶倍奇零) t d t t 23/02cos 49tan 439316⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πt d t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3/022cos 49sin 439316π ()t d t t ⎰+=3/022cos 3sin 334π()t d t ⎰+=3/02cos 21334π()t d t ⎰+=3/02cos 2334ππ2sin 212334⎪⎭⎫⎝⎛+=t t 1338+=π. 例9.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥=-0,cos 11,0,)(2x xx xe x f x π ,计算x d x f ⎰-41)2(.解:设t x =-2,则t d x d =,且当1=x 时,1-=t ;4=x 时,2=t ,于是x d x f ⎰-41)2( (由于)2/(tan 1)2/(tan 1cos 22t t t +-=)t d t f ⎰-=21)(t d t ⎰-+=01cos 11t d e t t ⎰-+202t d t ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0122tan 121)(212202t d e t t --⎰- 22sec 012t d t ⎰-=)(212202t d e t t --⎰-012tan -⎪⎭⎫⎝⎛=t 2221t e --⎪⎭⎫ ⎝⎛=21tan 21214+--e .二、定积分的分部积分法定理2. 设函数)(x u 、)(x v 在区间],[b a 上连续,则有定积分的分部积分公式:ba bax v x u x d x v x u )()()()(='⎰⎰'-bax d x v x u )()(.证明:由于)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'=',两端在],[b a 上积分得,ba x v x u )()( x d x v x u x d x v x u bab a)()()()('+'=⎰⎰,整理得ba bax v x u x d x v x u )()()()(='⎰⎰'-bax d x v x u )()(.例10. 计算⎰2/10arcsin x d x .解:⎰2/10)'(arcsin x d x x 2/10arcsin xx =⎰-2/10)(arcsin x d x 2/10arcsin xx =⎰--2/1021x d xx2/10arcsin xx =⎰--+2/1022)1(11x d x2/10arcsin xx =2/1021x -+12312-+=π. 例11. 计算⎰1x d ex.解:令x t =,则2t x =,t d t x d 2=,于是⎰1x d ex⎰=102t d e t t⎰=10)'(2t d e t t102tte =⎰-102t d e t 102tte =102te -2=.思考题:x t d t x x d d x 1000100sin )(sin =-⎰. 提示: 令t x u -=,则t d t x x⎰-0100)(sin u d u x⎰-=0100sinu d u x⎰=0100sin .第四节 反常积分一、无穷积分 1.引例:曲线21x y =和直线1=x 及x 轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作⎰+∞=12x x d A ,其含义可理解为⎰∞+→=bb x x d A 12lim 11lim bb x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞+→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞+→b b 11lim 1= 将⎰∞+→=bb x xd A 12lim记作⎰∞+12xx d ,因其积分区间时无穷区间,故称其为无穷积分. 2.无穷积分:设函数)(x f 在区间),[∞+a 上连续,取a b >,若x d x f bab )(lim ⎰∞+→存在 ,则称此极限为)(x f 在无穷区间),[∞+a 上无穷积分,记作x d x f x d x f bab a)(lim)(⎰⎰∞+→∞+=,此时也称为无穷积分x d x f a)(⎰∞+收敛;若上述极限不存在,则称无穷积分x d x f a)(⎰∞+发散,可类似定义:)(x f 在无穷区间),(b -∞上的无穷积分:x d x f x d x f baa b)(lim)(⎰⎰∞-→∞-=.)(x f 在无穷区间),(∞+-∞上的无穷积分:=⎰∞+∞-x d x f )(x d x f caa )(lim⎰∞-→x d x f bcb )(lim⎰∞+→+.注:上述定义中若出现∞-∞,并非不定型,它表明该无穷积分发散. 无穷积分也称为第一类反常积分.3.无穷积分的计算:设)(x F 是)(x f 在),[∞+a 上的一个原函数,引入记号:)(lim )(x F F x ∞+→=+∞;)(lim )(x F F x ∞-→=-∞,则有类似牛——莱公式的计算表达式:x d x f a )(⎰∞+∞+=a x F )()()(a F F -+∞=; x d x f b)(⎰∞-b x F ∞-=)()()(-∞-=F b F ; x d x f )(⎰∞+∞-∞+∞-=)(x F )()(-∞-+∞=F F .例1. 计算反常积分⎰+∞∞-+21x xd .解:⎰+∞∞-+21x xd ∞+∞-=xarctan π2π2π=⎪⎭⎫⎝⎛--=. 另解:⎰+∞∞-+21x xd ⎰+∞+=0212x x d ∞+=0arctan 2x π02π2=⎪⎭⎫⎝⎛-=. 注:012=+⎰+∞∞-x xd x 是否正确?因为∞-+∞∞+∞-+=+⎰)1ln(21122x x x d x ,故原积分发散,所以对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质, 否则会出现错误 .例2. 计算反常积分)0(0>⎰+∞-p t d e t t p .解:⎰+∞-0t d e t t p ⎰+∞--=0)(1tp e d t p ∞+--=0pt e pt ⎰+∞-+01t d e ptp ∞+--=0pte p t)(102⎰+∞---t p d e pt p ∞+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0pt e p t ∞+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-021pt e p())10(110lim 12--⋅--=-+∞→p te p pt t 21lim 1p e t p pt t +-=+∞→ 211lim 1p pe p pt t +-=+∞→21p =. 例3. 证明p 积分⎰+∞a px xd )0(>a 当1>p 时收敛; 1≤p 时发散. 证明:当1=p 时,有⎰+∞a px x d ()∞+=a x ||ln +∞=, 当1≠p 时,有⎰+∞ap x x d ∞+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=app x 11⎪⎩⎪⎨⎧>-<∞+=-.1,1,1,1p p a p p因此当1>p 时, 反常积分收敛, 其值为11--p a p;当1≤p 时, 反常积分发散.二、瑕积分 1.引例:曲线xy 1=与x 轴及y 轴和直线1=x 所围成的开口曲边梯形的面积可记作⎰=10xxd A ,其含义可理解为⎰+→=10lim εεx x d A 102lim εεx +→= )1(2lim 0εε-=+→ 2=.将⎰+→=1lim εεx xd A 记作⎰10xx d ,因其被积函数在积分区间内无界,也称为无界函数的反常积分.易知左端点0是被积函数x /1的无界间断点,称其为被积函数的瑕点,因此无界函数的反常积分也称为瑕积分.2.瑕点:若函数)(x f 在点a 的任意邻域内都无界,则称a 为)(x f 的无界间断点,又称为瑕点.3.瑕积分:设函数)(x f 在区间],(b a 上连续,点a 为)(x f 的瑕点,取0>ε,若xd x f ba )(lim 0⎰+→+εε存在 ,则称此极限为)(x f 在区间],(b a 上的瑕积分,记作x d x f ba)(⎰x d x f ba )(lim 0⎰+→+=εε,此时也称瑕积分x d x f b a)(⎰收敛;若上述极限不存在,就称瑕积分x d x f ba)(⎰发散,可类似定义:若)(x f 在区间),[b a 内连续,b 为)(x f 的瑕点,则有:x d x f x d x f b aba )(lim )(0⎰⎰-→+=εε.若)(x f 在区间],[b a 上除了点c 外连续,c 为)(x f 的瑕点,则有:=⎰x d x f ba)(x d x f c a)(⎰x d x f bc)(⎰+x d x f c a)(lim 110⎰-→+=εεx d x f bc )(lim 220⎰+→++εε.注:若出现∞-∞,并非不定型,它表明该反常积分发散. 若也称为第二类反常积分. 注:1°.若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点,则本质上是常义积分, 而不是反常积分. 例如: x d x x ⎰---11211x d x ⎰-+=11)1(. 2°.有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化. 例如⎰-1021xx d ⎰=2/0πt d (令t x sin =)x d x x ⎰++104211⎰++=10222/1/11x d x x x ⎰+--=1022)/1()/1(x x x x d ⎰∞-+=022t t d (令xx t 1-=) 3°.当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分. 3.瑕积分的计算:设)(x F 是)(x f 的一个原函数, 则有类似牛——莱公式的计算表达式:若b 为瑕点, 则x d x f ba)(⎰)()(lim a F x F bx -=-→)()(a F b F -=-;若a 为瑕点, 则x d x f ba)(⎰)(lim )(x F b F ax +→-=)()(+-=a F b F ;若a 和b 都为瑕点, 则x x f bad )(⎰)(lim )(lim x F b F ax bx +-→→-=)()(+--=a F b F . 思考题:若瑕点),(b a c ∈,则=⎰x x f bad )()()(+-c F b F )()(a F c F -+-)()(a F b F -=是否正确?提示:)(+c F 和)(-c F 不一定相等. 例4.)0(022>-⎰a x a x d a-=a axarcsin1arcsin =2π=. 例5. 讨论反常积分⎰-112x xd 的收敛性.解:由于⎰-112x x d ⎰-=012x x d ⎰+102x x d --⎪⎭⎫⎝⎛-=011x 101+⎪⎭⎫⎝⎛-+x ∞=,所以反常积分⎰-112x xd 发散. 例6. 证明反常积分⎰-ba qa x xd )(当1<q 时收敛; 1≥q 时发散.证明:当1=p 时,a 为被积函数的瑕点,有⎰-ba qa x xd )(()b a x +-=|1|ln +∞=,当1≠p 时,有⎰-ba qa x xd )(ba qq a x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1)(1⎪⎩⎪⎨⎧>∞+<<--=-.1,,10,1)(1q q q a b q因此当1<q 时, 反常积分收敛, 其值为q a b q---1)(1;当1≥q 时, 反常积分发散.例7. 计算反常积分⎰∞++03)1(x x x d .解:注意到这是一个无穷限和瑕点都出现的反常积分.令t x =,则2t x =,t d t dx 2=,当+→0x 时,0→t ;当+∞→x 时,+∞→t ,于是⎰∞++03)1(x x x d ⎰∞++=02/32)1(2t t t d t ⎰∞++=02/32)1(2t t d . 再令u t tan =,()2/,0π∈u ,u d u dt 2sec =,t u arctan =,当0=t 时,0=u ;当+∞→t 时,2/π→u ,于是⎰∞++03)1(x x x d ⎰=2/032sec sec 2πuud u ⎰=2/0cos 2πu d u 2=. 三.两类反常积分之间的关系:瑕积分积分可转化为无穷积分,例如:设函数)(x f 在区间],(b a 上连续,a 为)(x f 的瑕点,由定义有⎰⎰+→+=b a ba x d x f x d x f εε)(lim )(0,令ta x 1+=,有⎰⎰-→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+εε/1)/(12011lim )(a b b at d t t a f x d x f t d t t a f a b ⎰∞+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)/(1211.第五节 反常积分的审敛法 Γ函数一、无穷积分的审敛法由于无穷积分的收敛性问题实质上上是一个极限的存在性问题,于是根据函数极限的理论,不难得出无穷积分的收敛准则: 1.柯西收敛准则:定理1. 无穷积分x d x f a⎰+∞)(收敛的充要条件是:对0>∀ε,0>∃A ,当A A A >'','时,有ε<⎰x d x f A A ''')(成立.下面讨论无穷积分x d x f a⎰+∞)(的另外几种收敛判别法,首先考虑非负函数的无穷积分.2.有界审敛法:定理2. 设非负函数)(x f 在区间),[∞+a 上连续,若函数t d t f x F xa⎰=)()(在),[∞+a 上有界,则反常积分x d x f a⎰+∞)(收敛.证明:由于0)()('≥=x f x F ,则)(x F 在),[∞+a 上单调增加且有上界,根据极限收敛准则知⎰+∞→+∞→=x ax x t d t f x F )(lim)(lim 存在 ,即反常积分x d x f a⎰+∞)(收敛.由此定理,可得下面的比较审敛法: 3.比较审敛法:定理3.设函数)(x f 、)(x g 在区间),[∞+a 上连续,且a x ≥∀,有)()(0x g x f ≤≤, (1). 若x d x g a ⎰+∞)(收敛,则x d x f a ⎰+∞)(收敛; (2). 若x d x f a⎰+∞)(发散,则x d x g a⎰+∞)(发散.证明:设a t >,由于)()(0x g x f ≤≤,有x d x f ta)(⎰x d x g ta)(⎰≤. (1). 若x d x g a⎰+∞)(收敛,则有x d x f t a)(⎰x d x g t a )(⎰≤x d x g a)(⎰∞+≤,即x d x f t F ta)()(⎰=在),[∞+a 单调递增且有上界, 由定理1知x d x f a ⎰+∞)(收敛.(2).用反证法:假设x d x g a⎰+∞)(收敛,则由x d x f ta)(⎰ x d x g ta)(⎰≤x d x g a)(⎰∞+≤知,xd x f a⎰+∞)(收敛,出现矛盾,故x d x g a⎰+∞)(发散.注:大的收敛,保证小的收敛;小的发散,导致大的发散.由于反常积分)0(1>⎰∞+a x d x a p 当1>p 时,收敛;当1≤p 时,发散,故通常取)0()(>=A x Ax g p作为比较函数,即有下面的柯西审敛法: 4.柯西审敛法:定理4.设非负函数)(x f 在区间),[∞+a )0(>a 上连续,对常数p ,记l x f x p x =+∞→)(lim ,(1). 当1>p 时,若0>∃M ,a x ≥∀, 有p xMx f ≤)(,则x d x f a ⎰+∞)(收敛;(2). 当1≤p 时,若0>∃N ,a x ≥∀, 有p xNx f >)(则x d x f a ⎰+∞)(发散.例1. 判别反常积分x d x ⎰+∞+13411的敛散性.解:由于3/4343411110x xx =<+<,而x d x⎰+∞13/41收敛,故x d x ⎰+∞+13411收敛.在比较审敛法的基础上,可以得到应用更方便的极限审敛法: 5.极限审敛法:定理5.设非负函数)(x f 在区间),[∞+a )0(>a 上连续,对常数p ,记l x f x p x =+∞→)(lim ,(1). 当1>p 时,若+∞<≤l 0,则x d x f a ⎰+∞)(收敛; (2). 当1≤p 时,若+∞≤<l 0,则x d x f a⎰+∞)(发散.证明:(1). 当1>p 时,若0)(lim ≥=+∞→l x f x p x ,则由极限定义知:对任意给定的0>ε,当x 充分大时,必有M l x f x p=+≤ε)(,即p xMx f ≤≤)(0,由比较审敛法知x d x f a⎰+∞)(收敛.(2). 当1≤p 时, 若0)(lim >=+∞→l x f x p x , 则由极限定义,可取0>ε,使0>-εl ,当x 充分大时,必有N l x f x p =-≥ε)(,即p xNx f ≥)(,由比较审敛法知x d x f a⎰+∞)(发散.若+∞==+∞→l x f x p x )(lim ,则对任意+∈N N ,当x 充分大时,N x f x p ≥)(,即px Nx f ≥)(,由比较审敛法知x d x f a⎰+∞)(发散.例2. 判别反常积分x d xx ⎰+∞+1211的敛散性.解法(一):由于221110xxx <+<,而x d x⎰+∞121收敛,故x d xx ⎰+∞+1211收敛.解法(二):由于2211lim xx x x +⋅+∞→ 11lim21+=+∞→x x 1=,极限审敛法知x d xx ⎰+∞+1211收敛.例3. 判别反常积分x d xx ⎰∞++122/31的敛散性. 解:由于22/31lim x x x x +⋅+∞→ 221lim x xx x +⋅+∞→+∞=,极限审敛法知x d x x ⎰∞++122/31发散. 例4. 判别反常积分x d xx⎰+∞1arctan 的敛散性.解:由于x x x x arctan lim ⋅+∞→ x x arctan lim +∞→2π=,极限审敛法知x d xx ⎰+∞1arctan 发散. 当被积函数不是非负函数时,我们可以考虑被积函数取绝对值的积分,即引入绝对收敛的概念以及绝对收敛定理. 6.绝对审敛法:(1). 无穷积分的绝对收敛与条件收敛:设反常积分x d x f a)(⎰+∞收敛,若⎰∞+a x d x f )(收敛,则称x d x f a )(⎰+∞绝对收敛; 若⎰∞+ax d x f )(发散,则称x d x f a)(⎰+∞条件收敛;(2).绝对审敛法:定理6.若函数)(x f 在区间),[∞+a 上连续,且⎰∞+ax d x f )(收敛,则x d x f a)(⎰+∞收敛.证明:令])()([21)(x f x f x +=ϕ,则)()(0x f x ≤≤ϕ,由于⎰∞+a x d x f )(,故x d x a )(⎰+∞ϕ收敛,而)()(2)(x f x x f -=ϕ,又x d x f x d x x d x f aaa)()(2)(⎰⎰⎰+∞+∞+∞-=ϕ,故x d x f a)(⎰+∞收敛.例5. 判断反常积分x d bx x a ⎰∞+-0sin e b a ,(为常数,)0>a 的敛散性.解:由于 x a x a x b --≤e sin e ,而x xa d e⎰∞+-收敛,根据比较审敛原理知⎰∞+-ax a x bx d sin e ,再由绝对收敛定理知x d bx x a ⎰∞+-0sin e 收敛.二、瑕积分的审敛法由于瑕积分可转化为无穷积分,故无穷积分的审敛法完全可平移到瑕积分中来. 1.柯西收敛准则: 定理7. 瑕积分x d x f b a⎰)((a 为)(x f 的瑕点)收敛的充要条件是:对0>∀ε,0>∃δ,当δηη<<'','0时,有εηη<⎰-+x d x f b a ''')(成立.2.比较审敛法:定理8.设非负函数)(x f 、)(x g 在区间],(b a 上连续,a 为)(x f 、)(x g 的瑕点,且a x ≥∀,有)()(0x g x f ≤≤, (1). 若x d x g b a ⎰)(收敛,则x d x f b a ⎰)(收敛; (2). 若x d x f b a⎰)(发散,则x d x g b a⎰)(发散.利用反常积分⎰-ba qa x xd )(当10<<q 时收敛; 1≥q 时发散的结论,瑕积分有如下的柯西审敛法和极限审敛法:3.柯西审敛法:定理9.设非负函数)(x f 在区间],(b a 上连续,a 为)(x f 的瑕点, (1). 若0>∃M ,当1<q 时,],(b a x ∈∀, 有qa x Mx f )()(-≤,则x d x f b a⎰)(收敛;(2).若0>∃N ,当1≥q 时,],(b a x ∈∀, 有qa x Nx f )()(->则x d x f b a⎰)(发散.4.极限审敛法:定理10.设非负函数)(x f 在区间],(b a 上连续,a 为)(x f 的瑕点,对常数q ,记l x f a x q ax =-+→)()(lim ,(1). 当10<<q 时,若+∞<≤l 0,则x d x f b a⎰)(收敛;(2). 当1≥q 时,若+∞≤<l 0,则x d x f b a⎰)(发散.例6. 判别反常积分⎰31ln xxd 的敛散性. 解:易知1=x 是被积函数的瑕点,由于1/11lim ln 1)1(lim 11==-++→→xx x x x , 由极限判别法知瑕积分⎰31ln xxd 发散. 例7.判定椭圆积分)1()1)(1(210222<--⎰k x k x x d 的敛散性.解:易知1=x 是被积函数的瑕点,由于)1(21)1)(1(1lim )1)(1(1lim 22212221k x k x x x k x x x x -=-+-=---++→→,故由极限判别法知⎰--10222)1)(1(x k x x d 收敛.5.绝对审敛法:(1). 瑕积分的绝对收敛与条件收敛:设瑕积分x d x f ba)(⎰(a 为)(x f 的瑕点)收敛,若x d x f b a|)(|⎰收敛,则称x d x f ba)(⎰绝对收敛;若x d x f b a|)(|⎰发散,则称x d x f ba)(⎰条件收敛;(2).绝对审敛法:定理11.若函数)(x f 在区间],(b a 上连续上连续,且x d x f ba|)(|⎰收敛,则x d x f ba)(⎰收敛.例8.判定反常积分⎰101sin 1x d x x的敛散性. 解:易知0=x 是被积函数的瑕点,由于xx x 11sin 1≤,而⎰101x d x 收敛,根据比较审敛法知⎰101sin 1x d x x,再由绝对收敛定理知⎰101sin 1x d x x 收敛. 例9.判定反常积分x d xx⎰10ln 的敛散性 解: 易知0=x 是被积函数的瑕点,由于x x x x ln lim 430+→0ln lim 410==+→x x x ,从而0ln lim 430=+→xx x x ,即x d xx⎰10ln 收敛,从而x d x x ⎰10ln 收敛. 三、Γ 函数1. Γ 函数:称参变量α的反常积分为)0(01>⎰∞+--ααx d e x x 为Γ函数,记作 )0()(01>=⎰∞+--ααΓαx d e x x .2. Γ函数的收敛性:)0()(01>=⎰∞+--ααΓαx d e x x 收敛.证明:由定义式可知,函数可分解为⎰∞+--=01)(x d e xxααΓ⎰--=11x d e xxα⎰∞+--+11x d e x x α.当1>α时,⎰--101x d e x x α为定积分;当10<<α时,⎰--11x d e x x α为瑕积分,0=x 为瑕点,此时,由于x x e x e x 1111⋅=---αα α-<11x , 又由于11<-α时,瑕积分⎰-1011x d xα收敛,于是⎰--11x d e x x α收敛.对无穷积分⎰∞+--11x d e xxα,由于⋅+∞→2lim x x )(1xa e x --x a x ex 1lim ++∞→=0=,从而⎰∞+--11x d e x x α收敛.综上可得⎰∞+--=01)(x d e x x ααΓ收敛.3. Γ 函数的性质:(1). 递推公式:)()1(αΓααΓ=+. 证明:应用分部积分法,有⎰⎰∞+-∞+--==+0)1(xxed x x de x αααΓ[]⎰+∞---+-=+∞010x d e x ex x xααα)(αΓα=.当•α介于两个整数之间时,则)1()1()()1(--==+αΓαααΓααΓ)2()2)(1(---=αΓααα=)()()2)(1(n n ----=αΓαααα )10(<-<n α.当•α为正整数n 时,则)1()1()()1(--==+n n n n n n ΓΓΓ)2()2)(1(---=n n n n Γ=)]1([)]1([)2)(1(------=n n n n n n n Γ )1(1)2)(1(Γ --=n n n )1(!Γn =,而1)1(0==⎰+∞-x d e x Γ,所以⎰∞+-==+0!)1(x d e x n n x n Γ.(2). 当+→0s 时,+∞→)(s Γ. 证明:由于ααΓαΓ)1()(+=且1)1(=Γ,又)(αΓ当0>α时连续(可证),于是 +∞=+=++→→ααΓαΓαα)1(lim )(lim 00. (3). 余元公式: )10()sin(ππ)1()(<<=-αααΓαΓ.注:π2102/1==⎪⎭⎫⎝⎛⎰∞+--x d e x x Γ.(4). Γ 函数的其它形式:)0(2)(0122>⋅=⎰∞+--ααΓαt•d e t t .推导:对Γ 函数⎰∞+--=01)(x d e x x ααΓ,令2t x =得,⎰∞+--⋅=01222)(t •d e t t ααΓ.注: 1°.)1(212102->⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰∞+-t t x d e x x t Γ.推导:令u x =2,则u x =,u d ux d 21=,于是⎰∞+-02ex d x x t⎰∞+--=021221x d e u u t ⎰∞+--+=0121221x d e u u t )1(2121->⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t Γ.2°.概率积分:⎰∞+-02x d ex ⎪⎭⎫⎝⎛=2121Γ 2π=. 例10. 计算反常积分⎰∞+-0198x d e x x .解:令u x =8,则u d x d x =78,u d u x d 8781-=,于是⎰∞+-0198x d ex x ⎰∞+-=02381u d e u u ⎰∞+--=012581u d e u u⎪⎭⎫ ⎝⎛=2581Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12381Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=232381Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅=1212381Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=21212381Γ323π=.。

专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件

专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件

第七节 二重积分的应用
*
2
考试点津:
• 本讲出题在18分—26分之间,本讲内容是 一元函数微分内容的延伸,一般在选择题、 填空题、解答题中出现。
• 本讲重点:
(1)二元函数的偏导数和全微分。
(2)二元函数的有关极值问题及应用。 (3)会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题,把握考 试重心和知识点,重在模仿解题。
成人高考高数一辅导

College of Agriculture & Biological Engineering
*
1
第五章 多元函数微积分学 (11年考了22分)
第一节 多元函数、极限和连续 第二节 偏导数与全微分 第三节 二元函数的极值 第四节 二重积分的概念和性质 第五节 直角坐标系下二重积分的计算 第六节 极坐标系下二重积分的计算
可 以 证 明 ,一 元 函 数 关 于 极 限 的 运 算 法 则 仍 适 用 于 多 元 函 数 ,即 多 元 连 续 函 数 的 和 、差 、积 为 连 续 函 数 ,在 分 母 不 为 零 处 ,连 续 函 数 的 商 也 是 连 续 函 数 ,多 元 函 数 的 复 合 函 数 也 是 连 续 函 数 .由 此 还 可 得 出 如 下 结 论 : 一 切 多 元 初等函数在其定义区域内是连续的.
(4)最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上至少取得它的最大 值和最小值各一次.
(5)介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的
函数值,则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.分
(一) 偏导数
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有 定义,当 y固定在 y0,而 x在 x0处有增量x时,相应地函 数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 ),如果极限

高等数学同济七版第五章电子教案

高等数学同济七版第五章电子教案

第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质一、引例1.曲边梯形的面积定义:将由曲线()y f x =(()0f x ≥且是连续的),直线x a =,x b =和x轴围成的平面图形称为曲边梯形.它在x 轴上的边称为底边,曲线弧()y f x =称为它的曲边.求曲边梯形面积的具体过程如下: 分割:在(,)a b 内任意插入1n -个分点0121n n a x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<=把[],a b 分成n 个小区间[]1,i i x x -, 它们的长度分别记1ii i x x x -∆=-,1,2,,i n =⋅⋅⋅求近似:任意取一点[]1,i i i x x ξ-∈,1()()()i i i i i i A f x x f x ξξ-∆≈⋅-=∆ 求和:11()n niiii i A A f x ξ===∆≈∆∑∑取极限:01lim ()niii A f xλξ==∆∑→,其中1max{}i i nx λ=∆≤≤ 2.变速直线运动的路程设一物体作直线运动,其速度为()0v v t =≥是时间间隔[]12,T T 上的连续函数,计算在这段时间间隔内物体所经过的位移s . 具体计算步骤如下:分割:在12(,)T T 中任意插入1n -个分点,101212n n T t t t t t T -=<<<⋅⋅⋅<<= 将[]12,T T 分成n 个小时间段[]1,i i t t -,各小时间段的长度分别记为1ii i tt t -∆=-,1,2,,i n =⋅⋅⋅求近似:任意取一点[]1,i i i t t η-∈,()i i i s v t η∆≈⋅∆ 求和:11()n niiii i s s v tη===∆≈∆∑∑取极限:01lim ()ni i i s v t λη==∆∑→,其中1max{}i i nt λ=∆≤≤二、定积分的定义定义:设函数()f x 在[],a b 上有界.在(,)a b 内任意插入1n -个分点,0121n n a x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<=,把[],a b 分成n个小区间[]1,i i x x -,各个小区间的长度记为1ii i x x x -∆=-,1,2,,i n =⋅⋅⋅.在每个小区间上任取一点i ξ,即1i i i x x ξ-≤≤,作函数值()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆,并求出和1()ni i i S f x ξ==∆∑.记1max{}ii nx λ=∆≤≤,如果不论对[],a b 怎样划分,也不论在小区间上如何选取点i ξ,只要当0λ→时,和S 总趋于确定的极限I ,那么称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分(简称积分),记作()d b af x x ⎰,即01()d lim ()nbi i a i f x x I f x λξ===∆∑⎰→其中()f x 叫做被积函数,()d f x x 叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a 叫做积分下限,b 叫做积分上限,[],a b 叫做积分区间.如果()f x 在区间[],a b 上的定积分存在,则称函数()f x 在区间[],a b 上可积.注:()d ba f x x ⎰与被积函数()f x 和积分区间[],ab 有关,而与积分变量用什么记号无关.如()d ()d ()d b b baaaf x x f t t f u u ==⎰⎰⎰定理:若函数()f x 在区间[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上可积;定理:若函数()f x 在区间[],a b 上有界,且只有有限个间断点,则()f x 在[],a b 上可积. 几何意义:当()0f x ≥,则()d b af x x ⎰表示由曲线()y f x =,直线x a =,x b =,0y =所围成的曲边梯形的面积A ,即 ()d ba f x x A =⎰当()0f x ≤,()d ba f x x ⎰是个负值,它在几何上表示上述曲边梯形面积A 的负值,即()d b af x x A =-⎰当()f x 的值既有正值也有负值,()d b af x x ⎰在几何上表示图形中各部分面积的代数和.图5-2例:利用定积分的几何意义求定积分的值 (1)10(1)d x x -⎰;(2)1201d x x -⎰解:(1)1011(1)d 1122∆-==⨯⨯=⎰OAB x x S (2)122011d 144x x π-=⋅π⋅=⎰例:利用定积分计算120d x x ⎰解:因为函数2()f x x =在区间[]0,1上连续,()f x 在[]0,1上可积,所以积分与[]0,1的分法及i ξ的取法无关.(1)分割:为了计算方便,不妨将区间[]0,1n 等分,分点取,1,2,,1i i x i n n ==⋅⋅⋅-,区间[]1,i i x x -的长度1i x n∆=,1,2,,i n =⋅⋅⋅;(2)近似代替:取i i x ξ=,1,2,,i n =⋅⋅⋅,作积 2i i x ξ∆; (3)求和:222311111()n nn ii i i i i x i nn n ξ===∆=⋅=∑∑∑311=(1)(21)6n n n n ⋅++111=(1)(2)6n n n ++(4)取极限:1,0nλλ=→等价于n →∞,有定积分的定义得 120d x x ⎰2011111lim lim (1)(2)63ni i n i x n n n λξ→→∞==∆=++=∑ 三、定积分的性质 补充规定:①()d ()d b a abf x x f x x =-⎰⎰;②()d 0aaf x x =⎰性质1:[]()()d ()d ()d bbba a a f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰ 证:[][]01()()d lim ()()nbiiiai f x g x x f g x λξξ→=±=±∆∑⎰0011lim ()lim ()n ni i i i i i f x g x λλξξ→→===∆±∆∑∑ ()d ()d b baaf x xg x x =±⎰⎰注:推广到有限个函数仍成立 性质2:()d ()d bbaakf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)性质3:(对积分区间的可加性)设a c b <<,则()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰证:因为函数()f x 在[],a b 上可积,所以不论把[],a b 怎样分,积分和的极限总是不变的,因此,在分区间时,可以使c 永远是个分点,那么[],a b 上的积分和等于[],a c 上的积分和加[],c b 上的积分和,记为[][][],,c c,()()()iii ii ia b a b f x f x f x ξξξ∆=∆+∆∑∑∑令0λ→,上式两端同时取极限,即得()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰注:推广对于任意的a ,b ,c 都是成立的.性质4:若在区间[],a b 上,()1f x =,则1d d bba a x xb a ==-⎰⎰ 性质5:若在区间[],a b 上,()0f x ≥,则()d 0baf x x ⎰≥推论1:若在区间[],a b 上,()()f x g x ≤,则()d ()d bba a f x x g x x ⎰⎰≤ 推论2:()d ()d bb aaf x x f x x ⎰⎰≤证:因()()()f x f x f x -≤≤,可得()d ()d ()d b b b aaaf x x f x x f x x -≤⎰⎰⎰≤,即()d ()d bb aaf x x f x x ⎰⎰≤例:比较210e d xx ⎰和31e d x x ⎰的大小解:因为当01x ≤≤时,23x x ≥,所以有23e e x x ≥,231100e d e d x xx x >⎰⎰性质6:(估值定理)设M ,m 分别是()f x 在[],a b 上的最大值和最小值,则() ()d ()bam b a f x x M b a --⎰≤≤证:因为 ()m f x M ≤≤,可得d ()d d b b ba a a m x f x x M x ⎰⎰⎰≤≤, 得() ()d ()ba mb a f x x M b a --⎰≤≤例:估计20(1sin )d x x π+⎰的范围解: 因2()1sin f x x =+在[]0,π上最小值为1,最大值为2,所以2(1sin )d 2x x ππ+π⎰≤≤性质7:(积分中值定理)设()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上至少存在一点ξ,使得()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰(a b ξ≤≤)这个公式叫做积分中值公式.证:由() ()d ()bam b a f x x M b a --⎰≤≤,从而1()d b am f x x M b a -⎰≤≤, 再由连续函数的介值定理,[,]a b ξ∃∈使得1() ()d b af f x x b a ξ=-⎰,即()d ()()b a f x x f b a ξ=-⎰(a b ξ≤≤)第二节 微积分基本公式一、积分上限函数及其导数定义:设函数()f x 在区间[],a b 上连续,并x 设为[],a b 上的一点,如上限x 在区间[],a b 上任意变动,则对于每一个取定的x 值,定积分有一个对应值,所以它在[],a b 上定义了一个函数,记作()x Φ:()()d =()d xx aax f x x f t t Φ=⎰⎰,称为积分上限函数(或变上限积分).同理定义:变下限积分()d b xf t t ⎰和变限积分2()d x xf t t ⎰定理:如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则积分上限函数()()d x ax f t t Φ=⎰在[],a b 上可导,并且它的导数()()d ()xa x f t t f x Φ'⎡⎤'==⎢⎥⎣⎦⎰,[],x a b ∈证:①对于(,)x a b ∈,给x 一增量x ∆,使得(,)x x a b +∆∈, 则()()d x x ax x f t t Φ+∆+∆=⎰从而函数的增量为()()()d ()d x x xaax x x f t t f t t ΦΦΦ+∆∆=+∆-=-⎰⎰()d ()d ()d x x x x axaf t t f t t f t t +∆=+-⎰⎰⎰()d x x xf t t +∆=⎰由于()f x 在区间[],a b 上连续,由积分中值定理可得,存在ξ介于x 和x x +∆之间,使得()d ()x x xf t t f x Φξ+∆∆==∆⎰所以00()limlim ()x x x f x ΦΦξ∆∆∆'==∆→→,因为当0x ∆→时x ξ→,且()f x 是连续的,从而()lim ()()xx f f x ξΦξ'==→②当x a =时,取0x ∆>,使得(,)a x a b +∆∈,同上可得()()a f a Φ+'=③当x b =时,取0x ∆<,使得(,)b x a b +∆∈,同上可得()()b f b Φ-'=定理:如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则函数()()d xax f t t Φ=⎰就是()f x 在[],a b 上的一个原函数.注:这个定理肯定了连续函数的原函数的存在性,也初步揭示了定积分与原函数之间的联系.例:求 21cos 2e d limt xx t x -⎰→解:2221cos coscos 200e d e (cos )sin e 1limlim lim 222et x xxx x x t x x x xx ---'-⋅===⎰→→→ 二、牛顿—莱布尼茨公式(New-Leibniz )(微积分基本公式)定理:如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数,则()d ()()baf x x F b F a =-⎰证:因为()F x 和()x Φ都是()f x 的原函数,则()()F x x C Φ-=(*), 令=x a ,则()()F a a C Φ-=,而()0a Φ=,则()F a C =, 将()F a C =代入(*),得()=()()x F x F a Φ-,即(t)dt ()()x af F x F a =-⎰令=x b ,则(t)dt ()()b af F b F a =-⎰注:[]()d ()=()()b ba af x x F x F b F a =-⎰这个公式叫做牛顿—莱布尼茨公式,也常叫做微积分基本公式. 例:计算120d x x ⎰解:112300111d (10)333x x x ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰ 例:计算12d xx--⎰解:[]1122d ln ||ln1ln 2ln 2x x x----==-=-⎰ 例:计算20|sin |d x x π⎰解:220|sin |d sin d sin d x x x x x x ππππ=-⎰⎰⎰[]20cos [cos ]x x πππ=-+[](11)1(1)4=---+--=例:证明积分中值定理:如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则至少存在一点(,)a b ξ∈, 使得()d ()()b af x x f b a ξ=-⎰证:因为函数()f x 在区间[],a b 上连续,设()F x 是()f x 的一个原函数,即()()F x f x '=,根据牛顿—莱布尼茨公式,得()d ()()ba f x x Fb F a =-⎰函数()F x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,因此,至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()()()()F b F a f b a ξ-=-,即()d ()()ba f x x fb a ξ=-⎰注:这一积分性质,将上一节积分中值定理作了进一步的推进,ξ的值可以在开区间(,)a b 内找到.例:设()f x 在[)0+∞,内连续且()0f x >,证明00()d ()=()d xx tf t t F x f t t⎰⎰在()0+∞,内为单调增加函数.证明:()()()022()()d ()()d ()()d ()=()d ()d x xx x x xf x f t t f x tf t tf x x t f t tF x f t tf t t--'=⎰⎰⎰⎰⎰由积分中值定理()()0()d =()0x x t f t t f x x ξξ--⋅>⎰()0F x '∴> ,()F x ∴为单调增加函数第三节 定积分的换元法与分部积分法一、定积分的换元法定理:设()f x 在区间[],a b 上连续,函数()x t ϕ=满足条件: (1)()a ϕα=,()b ϕβ=,(),a t b ϕ≤≤[],t αβ∈; (2)()t ϕ在[],αβ(或[],βα)上具有连续导数,则[]()d ()()d baf x x f t t t βαϕϕ'=⎰⎰证:因为()f x 在区间[],a b 上连续,所以原函数存在,设()F x 是()f x 的一个原函数,则有()d ()()b af x x F b F a =-⎰记[]()()t F t Φϕ=,它是由()F x 和()x t ϕ=复合而成,则由复合函数的求导法则,得[]()()()()()()()t F x t f x t f t t Φϕϕϕϕ'''''===这就是说()t Φ是[]()()f t t ϕϕ'的一个原函数,所以有[][]()'()d ()()()f t t t t ββααϕϕΦΦβΦα==-⎰[][]()()()()F F F b F a ϕβϕα=-=-即[]()d ()()d b af x x f t t t βαϕϕ'=⎰⎰叫做定积分的换元公式注:①换元公式也可以反过来用,即也有如下的换元公式[]()()d ()d b a f x x x f t t βαϕϕ'=⎰⎰ ②积分限相应改变 ③不必还原例:计算0x ⎰(0)a >解:设sin x a t =,0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则d cos d x a t t =,222220cos d (1cos 2)d 2a x at t t t ππ==+⎰⎰⎰2221sin 2224a a t t ππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦例:计算40⎰解:令t=,则2x t =,d 2d x t t =,[]42220 000d2d121d2ln(1)2(2ln3)11x t tt t tt t⎛⎫==-=-+=-⎪++⎝⎭⎰⎰⎰例:计算52cos sin dx x xπ⎰解:(写法一)令cost x=,则d sin dt x x=-,1015556201011cos sin d d d66x x x t t t t tπ⎡⎤=-===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰(写法二)62552200cos11 cos sin d cos d(cos)0666xx x x x xπππ⎡⎤⎛⎫=-=-=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰例:计算x⎰解:x⎰32sin cos dx x xπ=⋅⎰332222sin cos d+sin cos dx x x x x xπππ=⋅⋅⎰⎰332222sin cos d sin(cos)dx x x x x xπππ=⋅+⋅-⎰⎰55222222224sin sin()55555x xπππ⎡⎤⎡⎤=-=--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦例:证明0,()()2(),()aaaf xf x xf x x f x-⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰dd为奇函数为偶函数证:由()d()d()da aa af x x f x x f x x--=+⎰⎰⎰而0000()d()(d)()d()da aa af x xx t f t t f t t f x x-=---=-=-⎰⎰⎰⎰所以000()d()d()d=()d()da a a aa af x x f x x f x x f x x f x x--=+-+⎰⎰⎰⎰⎰[]0,()=()+()d2()d,()aaf xf x f x xf x x f x⎧⎪-=⎨⎪⎩⎰⎰为奇函数为偶函数例:若()f x 在[]0,1上连续,证明(1)220(sin )(cos )f x x f x x ππ=⎰⎰d d(2)0(sin )(sin )2xf x x f x x πππ=⎰⎰d d ,由此计算20sin 1cos x x x xπ⎰d + 证:(1)令2x t π=-,则d =d x t -, 02220002(sin )sin (cost)(cos )2f x x f t t f f x x πππππ⎡⎤⎛⎫=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰d -d dt=d(2)令x t π=-,则d =d x t -,()()()()00(sin )sin sin xf x x t f t t t f t t ππππππ=-=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰d --d -d ()()()()0sin sin sin sin f t t tf t t f x x xf x x ππππππ=⎰⎰⎰⎰d -d =d -d所以0(sin )(sin )2xf x x f x x πππ=⎰⎰d d 从而()222000sin sin cos tan cos 02221cos 1cos 1cos x x x x x x arc x xx x πππππππ=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰d d d =-=-+++ 22444ππππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=---=例:设函数2-e ,0()1,-01cos x x x f x x xπ⎧≥⎪=⎨<<⎪+⎩,计算41(2)f x x ⎰-d 解:(方法一)令2x t -=,则d =d x t ,242211101(2)()te 1cost f x x f t ++⎰⎰⎰⎰-t ---d =dt=dt dt24021111tan e tan e 1022222t t --⎡⎤⎡⎤-=-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=注:0002111201sec tan 11cost 2222cos2t t ⎡⎤==⎢⎥-+⎣⎦⎰⎰⎰---dt t t dt=d (方法二)()442111(2)(2)22()f x x f x x x t f t ⎰⎰⎰--d =-d --=dt二、定积分的分部积分法若函数()u u x =,()v v x =在区间[],a b 上有连续导数,由不定积分的分部积分法,可得()()d ()()d ()()()()d b bb a a au x v x x u x v x x u x v x v x u x x ⎡⎤⎡⎤'''==-⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰[]()()()()d bba au x v x v x u x x '=-⎰即d []d bb b aaauv x uv vu x ''=-⎰⎰或d []d b bb a aau v uv v u =-⎰⎰这就是定积分的分部积分法例:计算120arcsin d x x ⎰解:[]1112220arcsin d arcsin x x x x x =-⎰⎰1201126122ππ⎤=⋅+=+-例:计算10x ⎰解:令t=,则2x t =,d 2d x t t =,1111100002e d 2d(e )2[e ]2e d ttt tx t t t t t ===-⎰⎰⎰⎰[]10=2e 2[e ]2e (e 1)2t -=--=例:证明定积分公式2200sin d cos d n n n I x x x x ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰⎰1331,24221342,253n n n n n n n n n n π--⎧⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⎪-⎩为正偶数为大于1正奇数 证:()11222200sindcos =cos sin1sin cos 20n n n n I x x x x n x xdx πππ---⎡⎤=--+-⎣⎦⎰⎰ ()()()()22220=1sin1sin 11n n n n n xdx n xdx n I n Iππ-----=---⎰⎰由此21=n n n I I n --,递推公式243=,2n n n I I n ----220002123531=,1d =2226422m m m I I I x m m ππ--⋅⋅⋅⋅=-⎰()22+1110222642=1,2,,sin d =12+121753m m m I I m I x x m m π-⋅⋅⋅⋅==-⎰所以22123531=2226422m m m I m m π--⋅⋅⋅⋅- ()2+1222642=1,2,2+121753m m m I m m m -⋅⋅⋅=-例:计算1020sin d x x π⎰解:102097531sin d =1086422x x ππ⋅⋅⋅⋅⋅⎰第四节 反常积分一、无穷限的反常积分定义:设函数()f x 在区间[,)∞+a 上连续,取t a >,如果极限lim ()d →∞+⎰tat f x x 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)∞+a 上的反常积分,记作()d ∞+⎰af x x ,即()d lim()d ∞→∞++=⎰⎰taat f x x f x x这时也称反常积分()d ∞+⎰af x x 收敛;如果上述极限不存在,则称此反常积分发散.定义:设函数()f x 在区间(,]∞-b 上连续,取t b <,如果极限lim ()d →∞-⎰btt f x x 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间(,]∞-b 上的反常积分,记作()d b f x x -⎰∞,即()d lim()d b b tt f x x f x x --=⎰⎰∞→∞这时也称反常积分()d ∞-⎰b f x x 收敛;如果上述极限不存在,则称此反常积分发散.定义:设函数()f x 在区间(,)∞∞-+上连续,若对任意常数c ,反常积分()d ∞-⎰c f x x 和()d ∞+⎰cf x x 都收敛,则称上述两反常积分之和为函数()f x 在无穷区间(,)∞∞-+上的反常积分,记作()d ∞∞+-⎰f x x ,即()d ()d ()d c cf x x f x x f x x ++--=+⎰⎰⎰∞∞∞∞这时也称反常积分()d ∞∞+-⎰f x x 收敛;否则称反常积分()d ∞∞+-⎰f x x 发散.以上反常积分统称为无穷限的反常积分(简称为无穷积分) 计算无穷积分可用牛顿—莱布尼茨公式的记法,()d ∞+⎰af x x []=()()()=lim ()()a x F x F F a F x F a ++=+--∞→∞∞[]()d ()()()()lim ()b bx f x x F x F b F F b F x ---==--=-⎰∞∞→∞∞[]()d ()()(=)lim ()lim ()x x f x x F x F F F x F x ++--+-==+---⎰∞∞∞∞→∞→∞∞∞例:计算反常积分2d 1∞∞+-+⎰x x解:[]2d arctan lim arctan lim arctan 1∞∞∞∞→∞→∞++--+-==-+⎰t t x x t t x 22ππ⎛⎫=--=π ⎪⎝⎭例:计算反常积分0pt te dt +-⎰∞,其中 p 是常数且0p >解:(1)01==00pt pt pt te dt te dt tde p +---++⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰∞∞∞211=000pt pt pt pt t t e e dt e e p p p p ----+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰∞∞∞()22111=-lim 001pt t te p p p-→+∞---= 注:11lim =lim =lim =lim 0pt ptpt pt t t t t t te e pe pe --→+∞→+∞→+∞→+∞= 例:证明反常积分d ∞+⎰Paxx (0a >)当1p >时收敛,当1p ≤时发散 证明:(1)当1p =时,[]d d ln ∞∞∞∞+++===+⎰⎰P a aa x x x x x(2) 当1p ≠时,有11,1d ,111p p P aap x x a p p x p +-+-+<⎧⎡⎤⎪==⎨⎢⎥>-⎣⎦⎪-⎩⎰∞∞∞ 因此,当1p >时收敛,其值为11pa p --;当1p ≤时发散二、无界函数的反常积分定义:如果函数()f x 在点a 的任一邻域内都无界,则称点a 为函数()f x 的瑕点(或称无界间断点). 无界函数的反常积分也称为函数的瑕积分.定义:设函数()f x 在(,]a b 上连续,点a 为()f x 的瑕点.取t a >,如果极限lim ()d btt af x x +⎰→存在,则称此极限为函数()f x 在(,]a b 上的反常积分,仍记作()d baf x x ⎰,即()d lim ()d bbatt af x x f x x +=⎰⎰→这时也称反常积分()d b af x x ⎰收敛. 如果上述极限不存在,则称此反常积分发散. 定义:设函数()f x 在[,)a b 上连续,点b 为()f x 的瑕点.取t b <,如果极限lim ()d ta t bf x x -⎰→存在,则称此极限为函数()f x 在[,)a b 上的反常积分,仍记作()d b af x x ⎰,即()d lim ()d bta at bf x x f x x -=⎰⎰→这时也称反常积分()d b af x x ⎰收敛.如果上述极限不存在,则称此反常积分发散.定义:设函数()f x 在[,]a b 上除点c (a c b <<)外连续,点c 为()f x 的瑕点. 如果两个反常积分()d caf x x ⎰和()d bcf x x ⎰都收敛,则定义()d ()d ()d b c baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰;否则,就称反常积分()d baf x x ⎰发散.计算无界函数的反常积分也可以利用牛顿—莱布尼茨公式, 若a 是瑕点,则反常积分[]()d =()()lim ()b ba ax af x x F x F b F x +→=-⎰例:计算反常积分a ⎰(0a >)解:0arcsin lim arcsin 02→aa x a x x a a -π⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰例:讨论反常积分121d xx -⎰的收敛性解:02101d 11lim 1→∞x x x x x ---⎡⎤⎛⎫=-=--=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰ 所以反常积分021d xx-⎰发散,从而反常积分121d x x -⎰发散注:此题若忽略了瑕点0x =,而直接用牛顿—莱布尼茨公式计算11211d 1(11)2x x x --⎡⎤=-=-+=-⎢⎥⎣⎦⎰是错误的 例:证明反常积分d a qxx ⎰(0a >,0q >),(1)当1q <时收敛;(2)当1q ≥时发散 解:(1)当1q =时[]000d ln ln lim ln ∞+→==-=+⎰a ax x x a x x即反常积分是发散的(2)当1q ≠时1111000,1d lim 1111,1∞qaqqqa qx a q x x a x q q q q x q +----→⎧<⎡⎤⎪==-=-⎨⎢⎥---⎣⎦⎪+>⎩⎰所以反常积分d a qxx ⎰当01q <<时收敛,当1q ≥时发散复习题 1.填空题:(1)42|3|d x x -=⎰(2)211e ,22()11,2≤<≥x x x f x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩,则212(1)d f x x -⎰=(3)110I =⎰与12I =⎰的大小关系是(4)由曲线sin y x =、直线2x π=-、2x π=及x 轴所围成的平面图形面积为 (5)2121tan sin d 1x xx x -+⎰= (6)22222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪+++⎝⎭2.选择题:(1)函数()f x 在区间[,]a b 上连续,是()f x 在区间[,]a b 上可积的( ) A .充要条件; B .充分条件; C .必要条件; D .无关条件 (2)下列积分中可直接用牛顿—莱布尼茨公式计算的是( ) A .221d 1xx -+⎰; B .11d x x -⎰; C .11ed ln xx x⎰; D .120d x x ⎰(3)π20d sin d d x t t x ⎰=( ) A . 0; B .sin x x ; C . 1;D . x(4)设220()sin d x f x t t =⎰,6()g x x =,则当0x →时,()f x 是()g x 的( )A .等价无穷小;B .同阶但非等价无穷小;C .高阶无穷小;D .低阶无穷小 3.求下列极限:(1)101lim (1sin 2)d xt x t t x →+⎰; (2)00ln(1)d x t t→-⎰4.计算下列积分: (1)x ⎰; (2)14211sin d x x x π-⎰;(3)21d e e ∞+-+⎰x xx ; (4)20|sin |d x x x π⎰ 5.已知0sin d 2∞x x x π+=⎰,求220sin d ∞x x x +⎰。

高等数学同济第五版(下)微分方程

高等数学同济第五版(下)微分方程

dy 2x

dx
y x1 2

由①得
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
引例2. 列车在平直路上以
的速度行驶, 制动时
获得加速度
求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
已知
s t0 0 ,
由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2
此齐次线性方程的通解为 y C2ex (x 1)
利用衔接条件得 C2 2(e 1)
因此有
y 2(e 1) ex (x 1)
3) 原问题的解为
y
2(1ex ), 2(e 1) ex
0 ,
x
x 1
1
四、全微分方程(数一)
一、全微分方程
若存在 u(x, y) 使 d u(x, y) P (x, y) dx Q (x, y) dy

两端积分得对应齐u 次 方Q程(x通) e解 P(x)ydx dCxeC P(x)dx
故原方程的通解
y
e
P(x)d
x
Q(
x)
e
P(
x)
dd x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
非齐次方程特解
例1. 解方程
解:
先解
dy 2y 0 , 即 dx x 1
思考与练习
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
dx
dx
(2) x dy y (ln y ln x) dx
(3) ( y x3) dx 2x dy 0

同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用

同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用

(x)dx

7
推论
2
|
b
a
f
(x)dx| ab|
f
(x) | dx
(ab)
这是因为|f (x)| f (x) |f (x)|所以
ab|
f
(x) | dx

b
a
f
(x)dx

ab|
f
(x) | dx

b
b
即 | a
f (x)dx | a
f (x)dx.
ab[
f
(x)

g(x)]dx

b
a
f
(x)dx

abg(x)dx

证明:
ab[ f
(x) g(x)]dx
n
lim [ f 0 i1
(i) g(i)]xi
6
n
n

lim
0
i1
fபைடு நூலகம்
(i)xi
lim
0
i1
g(i)xi

b
a
f
( x)dx
第 1 节 定积分的概念与性质
1.1 定积分问题举例 1.1.1 曲边梯形的面积
曲边梯形 设函数 y f (x) 在区间 a,b上非负、连续 由直线 x a, x b, y 0 及
曲线 y f (x) 所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧 y f (x) 称为曲边
把 a,b分成 n 个小区间
x0 , x1 , x1, x2 , x2 , x3 , L ,xn1, xn ,
它们的长度依次为 x1 x1 x0 , x2 x2 x1,L , xn xn xn1. 经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段 把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形在每个小区

同济大学概率论与数理统计第五章.ppt

同济大学概率论与数理统计第五章.ppt

概率函数或边缘分布(律)为
P Y bj
pij
p

j
j
1, 2,
i
例2. 一口袋中有 5 个球,4 个白的、1 个 红的。无放回抽样接连摸两次,

X
1 0
第一次取到红球 , 第一次取到白球
1 Y 0
第二次取到红球 第二次取到白球
,试求:(1)
X
与Y 的边缘概率函数;(2) P X Y 。
例 4.设 X 与Y 的联合密度函数为
f
x,
y
2 xy
0
x, yG ,
其余
区域 G 由直线 y x 、 x 2 及 x 轴所围。 2
试求 X 与Y 的边缘密度函数。
定理 2.
设 X ,Y
N
1,
2
,12
,
2 2
,

则 X
N 1,12 , Y
N
2
,
2 2

四 随机变量的相互独立性
概率函数。
设随机向量 X,Y 的联合分布为
P X ai ,Y bj pij , i, j 1, 2, ,
X 的值域为 X a1, a2, ,则 X 的边缘
概率函数为 P X ai pij pi ,
j
i 1, 2, ;
Y 的值域为 Y b1,b2, ,定义Y 的边缘
利用联合概率函数,可求任意随机事件的概率:
P X ,Y D P X ai ,Y bj ai ,bj D
pij
i, j, ai ,bj D
(二) 边缘概率函数
对于二维随机向量 X,Y ,分量 X 或Y
本身是一个(一维)随机变量,它的概

高等数学同济版第五章第六版教案

高等数学同济版第五章第六版教案

授课教案课程名称:高等数学授课专业:总学时:开课单位:制定人:审核人:制定时间:教 案1()lim niii v t S λτ→=∑=△新课和新上课的教师要求写详案。

4.要求教师上课必带教案。

5.“备注”填写历年更新的内容(手写)。

6.教案可带附件(课程内容补充材料)。

教案新课和新上课的教师要求写详案。

4.要求教师上课必带教案。

5.“备注”填写历年更新的内容(手写)。

6.教案可带附件(课程内容补充材料)。

教案=adt tfx)()(φ)(xf[]ba,。

注:1.每2学时至少制定一个教案。

2.课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。

3.上新课和新上课的教师要求写详案。

4.要求教师上课必带教案。

5.“备注”填写历年更新的内容(手写)。

6.教案可带附件(课程内容补充材料)。

教案a adxxf)(a dxxf)(2-注:1.每2学时至少制定一个教案。

2.课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。

3.上新课和新上课的教师要求写详案。

4.要求教师上课必带教案。

5.“备注”填写历年更新的内容(手写)。

6.教案可带附件(课程内容补充材料)。

教案[]210216.21x -+π13-+π新课和新上课的教师要求写详案。

4.要求教师上课必带教案。

5.“备注”填写历年更新的内容(手写)。

6.教案可带附件(课程内容补充材料)。

线性代数(同济大学第五版)第五章

线性代数(同济大学第五版)第五章

十、化二次型为标准形
定理1: 任给可逆矩阵C, 令B=CTAC(A与B为合同 矩阵), 如果A为对称矩阵, 则B也为对称矩阵. 说明1: 若A与B是合同矩阵,则: 1.正(负,零) 特征值的个数相同,2.具有相同的秩. 说明2: 二次型 f 经可逆变换 x=Cy 后, 其秩不变, 但 f 的矩阵由A变为B=CTAC; 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 将二次型表示成矩阵形式 f = xTAx, 求出A; 2. 求出A的所有特征值1, 2, ·, n ; · · 3. 求出对应特征值i 的正交单位化的特征向量组, 从而有正交规范向量组 1, 2, ·, n ; · · 4. 记P=(1, 2, ·, n ), 作正交变换x=Py, 则得 f 的 · · 标准形: f = 1y12+2y22+·+nyn2 . · ·
十二、正定二次型
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)>0, 则称 f 为正定 二次型, 并称对称矩阵A为正定矩阵; 如果对任意的 x 0, 都有 f(x)<0, 则称 f 为负定 二次型, 并称对称矩阵A为负定矩阵. 概念:正惯性指数,负惯性指数 推论: 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的特 征值全为正. 定理3(霍尔维茨定理): (1)对称矩阵A为正定的充 分必要条件是A的各阶主子式为正, 即
七、相似矩阵
P-1AP = B 定理1: 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同. 推论: 若n阶方阵A与对角阵=diag(1, 2,·, n ) · · 相似, 则1, 2,·, n 既是A的n个特征值. · · 相似矩阵的性质: 若A与B相似, 则Am与Bm相似(m为正整数). (A)与 (B) 相似 当矩阵A与对角阵=diag(1, 2,·, n )相似时, · · 则 (A)= P()P-1. 而

高数第五章 定积分的应用

高数第五章    定积分的应用

第五章 定积分的应用在本章中,我们将利用学过的定积分理论来解决一些实际问题.首先介绍建立定积分数学模型的方法——微分元素法;再利用这一方法求一些几何量(如面积、体积、弧长等)和一些物理量(如功、液体静压力、引力等);并介绍定积分在经济学中的简单应用.第一节 微分元素法实际问题中,哪些量可用定积分计算?如何建立这些量的定积分表达式?本节中我们将回答这两个问题.由定积分定义知,若()f x 在区间,a b ⎡⎤⎣⎦上可积,则对于,a b ⎡⎤⎣⎦的任一划分:1<<<0n a x x x b == ,及1,i i x x -⎡⎤⎣⎦中任意点i ξ,有d Δ01()lim()nb i i aλi f x x f ξx →==∑⎰,(5-1-1)这里()-=-= 11,2,,i i i Δx x x i n ,}{≤≤=1m ax i i nλΔx . (5-1-1)式表明定积分的本质是一类特定和式的极限,此极限值与,a b ⎡⎤⎣⎦的分法及点i ξ的取法无关,只与区间,a b ⎡⎤⎣⎦及函数()f x 有关.基于此,我们可以将一些实际问题中有关量的计算归结为定积分来计算.例如,曲边梯形的面积、变速直线运动的位移等均可用定积分来表达.由上一章中分析曲边梯形面积用定积分来表示的过程,我们可概括地将此过程描述为“划分找近似,求和取极限”.也就是说,将所求量整体转化为部分之和,利用整体上变化的量在局部近似于不变这一辩证关系,局部上以“不变”代替“变”,这是利用定积分解决实际问题的基本思想.根据定积分的定义,如果某一实际问题中所求量U 符合下列条件:(1)建立适当的坐标系和选择与U 有关的变量x 后,U 是一个与定义在某一区间,a b ⎡⎤⎣⎦上的可积函数()u x 有关的量; (2)U 对区间,a b ⎡⎤⎣⎦具有可加性,即如果把,a b ⎡⎤⎣⎦任意划分成n 个小区间()-=-= 11,2,,i i i Δx x x i n ,则U 相应地分成n 个部分量i ΔU ,且1nii U U Δ==∑;(3) 部分量i ΔU 可近似地表示成()()1,i i i i i u ξΔx ξx x -∈⎡⎤⎣⎦,且i ΔU 与()i i u ξΔx 之差是iΔx 的高阶无穷小,即()()i i i i ΔU u ξΔx o Δx -=,那么,我们可得到所求量U 的定积分数学模型d ()b au x U x =⎰. (5-1-2)在实际建模过程中,为简便起见,通常将具有代表性的第i 个小区间1,i i x x -⎡⎤⎣⎦的下标略去,记为[,d ]x x x +,称其为典型小区间,相应于此小区间的所求量的部分量记作ΔU .因此,建立实际问题的定积分模型可按以下步骤进行:(1) 建立坐标系,根据所求量U 确定一个积分变量x 及其变化范围,a b ⎡⎤⎣⎦;(2) 考虑典型小区间[,d ]x x x +,求出U 相应于这一小区间的部分量ΔU ,将ΔU 近似地表示成,a b ⎡⎤⎣⎦上的某个可积函数()ux 在x 处的取值与小区间长度d Δx x =的积,即 d (d )()ΔU u x x o x =+, (5-1-3)我们称d ()u x x 为所求量U 的微分元素(简称微元或元素),记作d d ()U u x x=;(3) 计算所求量U ,即d =d ()b b aau x U x =⎰⎰U .上述建立定积分数学模型的方法称为微分元素法,这一方法的关键是步骤(2)中微分元素d U 的取得.第二节 平面图形的面积在上一章开头讨论过由连续曲线()()()0y =f x f x ≥,以及直线()x=a ,x =b a <b 和x 轴所围成的曲边梯形的面积()d baA f x x =⎰.如果()f x 在,a b ⎡⎤⎣⎦上不都是非负的,由定积分对区间的可加性,则所围图形的面积为()d b aA f x x =⎰.本节将讨论一般平面图形的问题,如果其边界曲线是由两条连续曲线()1y f x =, ()2y f x =()()21f x f x ⎡⎤≥⎣⎦及直线x =a ,x =b 所围成的平面图形,其面积便可用定积分来计算.下面我们运用定积分的微分元素法,建立不同坐标系下平面图形的面积计算公式.一、 直角坐标情形设一平面图形由曲线()()12,y f x y f x ==及直线x =a 和()x =b a b <围成(见图5-1).图5-1为求其面积A ,我们在,a b ⎡⎤⎣⎦上取典型小区间[,d ]x x x +,相应于该小区间的平面图形面积ΔA 近似地等于高为()()12f x f x -、宽为d x 的窄矩形的面积,从而得到面积微元()()d d 12A f x f xx =-.所以,此平面图形的面积为()()d 12b aA f x f xx =-⎰. (5-2-1)类似地,若平面图形由12(),()x φy x φy ==及直线y c =和()y d d c =>围成(见图5-2),则其面积为()()d 12d cA φy φy y =-⎰. (5-2-2)图5-2例1 计算由抛物线21y x =-+与2y x =所围图形的面积A . 解 解方程组221y x y x⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得两抛物线的交点为122⎛⎫ ⎪⎝⎭和122⎫⎪⎝⎭,于是图形位于2x =-与2x =之间,如图5-3所示,取x 为积分变量,由(5-2-1)式得d 22222)A xxx x=--=-32022()3x x =-=图5-3例2 计算由直线4y x =-和抛物线22y x =所围平面图形的面积A . 解 解方程组224y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得两线的交点为(2,-2)和(8,4),平面图形,如图5-4所示,位于直线2y =-和4y =之间,于是取y 为积分变量,由(5-2-2)式得d 24242yA y y -=+-⎰3242(4)26yyy -=+-18=.图5-4注意:若在例1中取y 为积分变量,在例2中取x 为积分变量,则所求面积的计算会较为复杂.例如在例2中,若选x 为积分变量,则积分区间是[0,8].当(,2)0x ∈时,典型小区间(,d )x x x +所对应的面积微元是(d d A x=⎤⎦;而当(2,8)x ∈时,典型小区间所对应的面积微元是()d d 4A x x ⎤-⎦=. 故所求面积为(()d d 28024A x x x⎤⎤+-⎦=⎦⎰⎰.显然,上述做法较例2中的解法要复杂.因此,在求平面图形的面积时,恰当地选择积分变量可使计算简便.当曲边梯形的曲边为连续曲线,其方程由参数方程(),(),x φt y ψt =⎧⎨=⎩12t t t ≤≤ 给出时,若其底边位于x 轴上,()φt 在12[,]t t 上可导,则其面积微元为 ()()d d d A y x ψt φt t ==' d (0)t >. 从而面积为()()d 21t t A ψt φt t ='⎰. (5-2-3)同理,若其底边位于y 轴上,且()ψt 在12[,]t t 上可导,则其面积微元为 ()()d d d A x y φt ψt t ==' d (0)t > 从而面积为()()d 21t t A φt ψt t ='⎰. (5-2-4)例3 设椭圆方程为12222y x ab+= (,a b 为正的常数),求其面积A .解 椭圆的参数方程为cos ,sin ,x a t y b t =⎧⎨=⎩20t π≤≤. 由对称性知d 204sin (cos )A b t a t tπ'=⋅⎰d d 22201cos 24sin 42ta b t t a b t ππ-==⎰⎰a b=π.二、 极坐标情形设一平面图形,在极坐标系下由连续曲线()r r θ=及射线,θαθβ==所围成(称为曲边扇形,如图5-5所示.)为求其面积,我们在θ的变化区间[,]αβ上取一典型小区间[,d ]θθθ+,相应于此区间上的面积近似地等于中心角为d θ、半径为()r θ的扇形面积,从而得到面积微元()d d 212A r θθ=, 所以d 21()2βαA r θθ=⎰. (5-2-5)图5-5例4 计算阿基米德(Archimedes)螺线(>)0r a θa =上相应于θ从0到2π的一段弧与极轴所围成图形如图5-6所示的面积.解 由式(5-2-5)得d 22232302114()2630A a θθa θa ππ⎛⎫===π ⎪⎝⎭⎰.图5-6 图5-7例5 求由双纽线()()2222222x y a x y +=-所围成,且在半径为a 的圆内部的图形如图5-7所示的面积.解 由对称性,所求面积应等于第一象限部分面积的4倍,极坐标下双纽线在第一象限部分的方程为222co 2r a s θ=, 04θ≤≤π.圆的方程为r a =. 由 222cos 2r a θr a ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得两曲线在第一象限交点为6,a ⎛⎫⎪⎝⎭π,由式(5-2-5)得所求面积d cos d 2264061142222A a θa θθπππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰42262sin 23a a θπππ=+2(23aπ=+-.第三节 几何体的体积一、 平行截面面积为已知的立体体积考虑介于垂直于x 轴的两平行平面x a =与x b =之间的立体如图5-8所示,若对任意的[,]x a b ∈,立体在此处垂直于x 轴的截面面积可以用x 的连续函数()A x 来表示,则此立体的体积可用定积分表示.图5-8在[,]a b 内取典型小区间[,d ]x x x +,对应于此小区间的体积近似地等于以底面积为()Ax ,高为d x 的柱体的体积,故体积元素为()d d V A x x =, 从而d ()b aA x V x =⎰. (5-3-1)例1 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角α,如图5-9所示,计算此平面截圆柱体所得楔形体的体积V .解法1 建立坐标系如图5-9,则底面圆方程为222x y R +=.对任意的[,]x R R ∈-,过点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形,两直角边的长度分别为y =和tan y αα=,故截面面积为()()tan 2212x R x A α-=.于是立体体积为tan d 221()2R RV R x αx -=-⎰tan d tan 22302()3RαR x x R α=-=⎰.图5-9 图5-10解法2 在楔形体中过点y 且垂直于y 轴的截面是一个矩形如图5-10所示,其长为2x =tan y α,故其面积为()2A yy α=.从而,楔形体的体积为()d tan 322222an 3R R V αy αR y==--⎰tan 323R α=. 二、旋转体的体积由一平面图形绕这平面内一条定直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 设一旋转体是由连续曲线()y f x =,直线x a =和x b =及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而形成的(图5-11),则对任意的[,]x a b ∈,相应于x 处垂直于x 轴的截面是一个圆盘,其面积为2()πf x ,于是旋转体的体积为 ()d 2ba V f x x =π⎰. (5-3-2)图5-11例2 计算由椭圆22221y x ab+=(,a b 为正的常数)所围图形绕x 轴旋转而成的旋转体(称之为旋转椭球体,见图5-12)的体积.图5-12解 这个旋转体实际上就是半个椭圆y =及x 轴所围曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体,于是由式(5-3-2)得()2222a ab V axa-=π-⎰()d 22222a b axxa=π-⎰2322230ab x a x a ⎛⎫=π⋅- ⎪⎝⎭243a b =π.特别地,当a b =时便得到球的体积343πa .例3 求圆域222()()x b a y b a +-≤>绕x 轴旋转而成的圆环体的体积如图5-13所示.图5-13解 如图5-13,上半圆周的方程为2y b +=1y b -=对应于典型区间[,d ]x x x +上的体积微元为d d 2221()V y y x =π-πd 22((b b x ⎡⎤=π+--⎢⎥⎣⎦4x =π.所以4a aV x -=π⎰8b x =π⎰284ab π=π⋅22a b =2π.第四节 曲线的弧长和旋转体的侧面积一、 平面曲线的弧长首先,我们建立平面曲线弧长的概念.设有平面曲线 A B ,在其上任取分点:11,,,,0n n A M M M M B -== ,连接相邻的两个分点得到n 条线段1i i MM-,1,2,,i n = .以()1,i i iρρM M-=表示线段1i i M M -的长度(见图5-14),记1m ax{}i i nρλ≤≤=,若极限01lim niλi ρ→=∑存在,则定义此极限值为曲线 A B 的长度(即弧长),并称曲线 AB 是可求长的.图5-14下面用微分元素法来推导弧长的计算公式.设 A B 的方程为()y f x =,[,]x a b ∈,且()f x 在[,]a b 上有一阶连续导数.考虑[,]a b 内的典型小区间[,]x x Δx +,相应于此区间的弧长记为Δs ,Δs 近似地等于弦长,即22222()()()()[()()]Δs Δx Δy Δx f x Δx f x ≈+=++-.由微分中值定理,得,222()()[()]),(Δs ξx x Δx Δx f ξΔx ∈'+≈++,此处>0Δx ,故得弧长的微分元素(简称弧微分)为d s ==x =. (5-4-1)从而, AB 的长为as x =⎰. (5-4-2)若曲线弧 AB 的方程由参数方程 (),(),x φt y ψt =⎧⎨=⎩ αt β≤≤,给出,设()(),φt ψt 在[,]αβ上具有连续导数,由于()()d d d d ,x φt t y ψt t ='=',因此对于任意的[,]t αβ∈,典型小区间d []t t t +,上相应弧长元素为d s t =. (5-4-3)所以,曲线弧 AB 的弧长为αs t =⎰. (5-4-4)式(5-4-1)和(5-4-3)即为弧微分公式,这和第二章第五节所推导的弧微分公式是一致的.例1 两端固定于空中的线缆,由于其自身的重量而下垂成曲线形,称之为悬链线.设一悬链线的方程为e +e ()2sh xxa a y a x a a -== (a为正的常数),求其在[,]0a 上一段的长.解 d ds x x == =e +e d 1()2xxa a x -,故 e +e d e+e ee 101()()()2x xxx a a a aaas x a a ---===⎰-. 例2 如图5-15所示,计算摆线(sin ),(1cos ),x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩()0a > 的一拱(20t π≤≤)的长度.图5-15解 由于d s t =t=d 2sin2ta t =, 所以d d 2202sin2sin22tts a t a t ππ==⎰⎰22(2cos )820t a a π=-=.如果曲线方程由极坐标方程()()r r θαθβ=≤≤给出,且()r θ存在一阶连续导数,则由 ()cos ,()sin ,x r θθy r θθ=⎧⎨=⎩()αθβ≤≤ 可得()[()cos ]()cos ()sin ,φθr θθr θθr θθ'''==- ()[()sin ]()sin ()cos ,ψθr θθr θθr θθ'''==+从而 ()()()()2222φθψθrθr θ'+'=+'. 所以αs θ=⎰. (5-4-5)例3 求心形线1 (cos )(0)r a θa =+>的全长(见图5-16).图5-16解 由(5-4-5)式有d s θ=θ=θ=.由对称性知02s θπ=⎰d 022cos2θa θπ=⎰ 8sin820θa a π==. *二、 旋转体的侧面积设一旋转体的侧面由一段曲线()()y f x a x b =≤≤绕x 轴旋转一周而得(图5-17).为求其面积A ,我们在[,]a b 上取典型小区间[,d ]x x x +,相应于此区间上的窄带形侧面(图5-17中的阴影部分)可近似地看成弧微分d s 绕x 轴旋转一周而成.于是这一窄带形侧面可以用一个半径为()f x ,高为d s 的圆柱面来近似代替,从而得侧面积的微分元素()(d πd π22A f xs f x x ==.所以2(b aA f x x =π⎰.此处假设()f x 在[,]a b 上可导.图5-17例4 求半径为R 的球的表面积.解 以球心为原点建立一平面直角坐标系,则该球是平面上半圆盘0y ≤≤绕x 轴旋转一周而成的旋转体,其表面积为π2R RA x-=⎰πd π244R Rx -==⎰R R .第五节 定积分在物理学中的应用一、 变力沿直线所做的功由物理学知,若一个大小和方向都不变的恒力F 作用于一物体,使其沿力的方向作直线运动,移动了一段距离s ,则F 所做的功为·W F s =.下面用微分元素法来讨论变力做功问题.设有大小随物体位置改变而连续变化的力()F F x =作用于一物体上,使其沿x 轴作直线运动,力F 的方向与物体运动的方向一致,从x a =移至至>x b a = (见图5-18).在[,]a b 上任一点x 处取一微小位移d x ,当物体从x 移到d x x +时,()F x 所做的功近似等于d ()F x x ,即功元素d d ()W F x x =,于是d ()b aW F x x =⎰. (5-5-1)图5-18例1 一汽缸如图5-19所示,直径为0.20m ,长为1.00m ,其中充满了气体,压强为5981.0⨯Pa.若温度保持不变,求推动活塞前进0.5m 使气体压缩所作的功.图5-19解 根据波义耳(Boyle )定律,在恒温条件下,气体压强p 与体积V 的乘积是常数,即p V k =.由于压缩前气体压强为5981.0⨯Pa ,所以ππ52981198.00000k =⨯⋅⋅=.建立坐标系如图5-19所示,活塞位置用x 表示,当活塞处于x 处时汽缸中气体体积π211()(0.)V x =-,于是压强为2()(1)(0.1)k p x x =-π,从而活塞上的压力为()1k F x p S x==-.故推动活塞所作功为d 05ln 10.50.9800980010W x x π==-π(-)-⎰x 980000ln2 2.13104(J )=π≈⨯.例2 从地面垂直向上发射一质量为m 的火箭,求将火箭发射至离地面高H 处所作的功.解 发射火箭需要克服地球引力做功,设地球半径为R ,质量为M ,则由万有引力定律知地球对火箭的引力为2GM m F =r,其中r 为地心到火箭的距离,G 为引力常数.当火箭在地面时,r R =,引力为2G M m R.另一方面,火箭在地面时,所受引力应为m g ,其中g 为重力加速度,因此2m g =GM m R, 故有 2=gR G M,于是22=m gR F r.从而,将火箭从r R =发射至r R H =+处所做功为d 111222R H RW r RR H +⎛⎫==- ⎪+⎝⎭⎰m gRm gR r .例3 地面上有一截面面积为20A =m 2,深为4 m 的长方体水池盛满水,用抽水泵把这池水全部抽到离池顶3m 高的地方去,问需做多少功?图5-20解 建立坐标系如图5-20所示.设想把池中的水分成很多薄层,则把池中全部水抽出所做的功W 等于把每一薄层水抽出所做的功的总和.在[0,4]上取小区间[x ,x +d x ],相应于此小区间的那一薄层水的体积为2d 0x m 3,设水的密度1310ρ=⨯kg ·m -3,故这层水重为d 4210g x ⨯ kg ,将它抽到距池顶3m 高处克服重力所做功为d d 4210(3)x g x W ⨯⋅⋅=+.从而,将全部水抽到离池顶3m 高处所做的功为4023 1.9632424510()d 10x W x g x x ⎛⎫=⨯⋅+⋅=⨯⋅⨯+ ⎪⎝⎭⎰639210J .()=⨯ (其中-29.8m s g =⋅)二、液体静压力由帕斯卡(Pascal )定律,在液面下深度为h 的地方,液体重量产生的压强为p ρg h =,其中ρ为液体密度,g 为重力加速度.即液面下的物体受液体的压强与深度成正比,同一深度处各方向上的压强相等.面积为A 的平板水平置于水深为h 处,平板一侧的压力为p ρg h A =. 下面考虑一块与液面垂直没入液体内的平面薄板,我们来求它的一面所受的压力.设薄板为一曲边梯形,其曲边的方程为,()()y f x a x b =≤≤,建立坐标系如图5-21所示,x 轴铅直向下,y轴与液面相齐.当薄板被设想分成许多水平的窄条时,相应于典型小区间d [,]x x x +的小窄条上深度变化不大,从而压强变化也不大,可近似地取为ρg x ,同时小窄条的面积用矩形面积来近似,即为d ()f x x ,故小窄条一面所受压力近似地为d d ()p ρg x f x x=⋅.图5-21从而d ()b ap ρgx f x x =⎰. (5-5-2)例4 一横放的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,桶端面半径为0.6m ,计算桶的一个端面上所受的压力.图5-22解 建立坐标系如图5-22所示,桶的端面圆的方程为22360.x y +=.相应于[,d ]x x x +的小窄条上的压力微元d 2p ρg xx =,所以桶的一个端面上所受的压力为060.p x xx =⎰20633(.)ρg =314110N .≈⨯()其中3110ρ=⨯kg·m -3,98-2m s .g ⋅=. 三、引力由物理学知,质量分别为12,m m ,相距为r 的两质点间的引力的大小为122m m F Gr=,其中G 为引力系数,引力的方向沿着两质点的连线方向.对于不能视为质点的两物体之间的引力,我们不能直接利用质点间的引力公式,而是采用微元法,下面举例说明.例5 一根长为l 的均匀直棒,其线密度为ρ,在它的一端垂线上距直棒a 处有质量为m 的质点,求棒对质点的引力.图5-23解 建立坐标系如图5-23所示,对任意的[,0)x l ∈,考虑直棒上相应于d [,]x x x +的一段对质点的引力,由于d x 很小,故此一小段对质点的引力可视为两质点的引力,其大小为d d G 22m ρx F a x=+,其方向是沿着两点,(0)a 与(),0x 的连线的,当x 在(),0l 之间变化时,d F 的方向是不断变化的.故将引力微元d F 在水平方向和铅直方向进行分解,分别记为d ,d x y F F ,则d 32G d 22()x m ρxF F x x a ==+,d 32G d 22()y m ρa F F x xa =-=-+.于是,直棒对质点的水平方向引力为32d 022()l x x F G m ρx xa =+⎰32d 2222()()2l G m ρa x a x -=++⎰1222()0l G m ρa x -=-+1(G m ρa=-.铅直方向引力为d 30222()l y x F G m ρa a x =-+⎰12l G m ρa -=-G m ρl =.注意 此例如果将直棒的线密度改为()ρρx =,即直棒是非均匀的,当()ρx 为已知时,直棒对质点的引力仍可按上述方法求得. 四、平均值我们知道,n 个数值12,,,n y y y 的算术平均值为121()n y y y y n=+++ . 在许多实际问题中,需考连续函数在一个区间上所取值的平均值,如一昼夜间的平均温度等.下面将讨论如何规定和计算连续函数()f x 在[,]a b 上的平均值. 先将区间[,]a b n 等分,分点为1<<<0n a x x x b == ,每个小区间的长度为Δx b an=-,()f x 在各分点处的函数值记为1,2,,()()i i y f x i n == .当Δx 很小(即n 充分大)时,在每个小区间上函数值视为相等,故可以用12,,,n y y y 的平均值121()n y y y n+++ 来近似表达()f x 在[,]a b 上的所有取值的平均值.因此,称极限值121lim()n n y y y y n→∞=+++为函数()f x 在[,]a b 上的平均值.由于12lim n n y y y b ay b a n →∞+++-=-120limnx y y y x b a∆→+++=∆-011lim ()ni x i f x x b a ∆→==∆-∑,故1()d bay f x x b a =-⎰.(5-5-3)式(5-5-3)就是连续函数()f x 在[,]a b 上的平均值的计算公式.例6 计算纯电阻电路中正弦交流电sin m i I ωt =在一个周期π2T =ω上的功率的平均值(简称平均功率).解 设电阻为R ,则电路中的电压为m U iR I R tω==sin ,功率为2sin 2m N Ui t I R ω==.一个周期上的平均功率为d d 2221sin sin 2T ωI R ωN R ωt t ωt I t Tπ==π⎰⎰22m md()0220sin 2(1cos 2)442ωωR R ωt ωt ωt ωt I I ππ⎡⎤=-=-⎢⎥ππ⎣⎦⎰22m m22mU I R I ==2m m ,其中m m U I R =表示最大电压,也称为电压峰值,即纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流与电压的峰值的乘积的一半.通常交流电器上标明的功率就是平均功率,而交流电器上标明的电流值都是另一种特定的平均值,常称为有效值.一般地,周期性非恒定电流i 的有效值是这样规定的:当电流()i t 在一个周期T 内在负载电阻R 上消耗的平均功率等于取固定值I 的恒定电流在R 上消耗的功率时,称这个固定值为()i t 的有效值.电流()i t 在电阻R 上消耗的功率为()()()()N t U t i t i t R =⋅=2.它在[0,T )上的平均值为d d 221()()T T R N i t R t i t tTT==⎰⎰.而固定值为I 的电流在R 上消耗的功率为2N I R =,因此d 22()T R I R i t t T =⎰, 即I =.例7 求正弦电流s (n )i m i I t t ω=的有效值.解12221s i n 2ωI ωt ωπ⎛⎫ ⎪=⎪π ⎪⎝⎭⎰2m I122sin 242ωωt ωt π⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥π⎣⎦⎢⎥⎣⎦2mI=.叫做函数()f x 在[,]a b 上的均方根.第六节 定积分在经济学中的应用一、 最大利润问题设利润函数()()()πx =R x C x -,其中x 为产量,()R x 是收益函数,()C x 是成本函数,若()π,(),()x R x C x 均可导,则使()πx取得最大值的产量x 应满足()()()π0x R x C x '='-'=,即()().R x C x '='因此总利润的最大值在边际收入等于边际成本时取得.例1 设某公司产品生产的边际成本2181()00C x x x '=-+,边际收益为23()00R x x '=-,试求公司的最大利润.解 由于d ππd ()()()()x x R x C x x'''==-223181(00)(00)x x x =---+215100x x=-+,故利润微分元素为d πd 2151()(00)x x xx =-+.产量为0x 时,利润为πd 0200()(15100)x x x xx =-+⎰.另一方面,令π()0x '=,得21525x ±==(负值舍去). 又当20x =时,()π152<0x x "=-,故20x =时,利润取得最大值,最大利润为πd 202(20)(15100)x xx =-+⎰322015(100)230x xx =-+ 23333.≈.二、资金流的现值与终值1. 连续复利概念设有一笔数量为0A 元的资金存入银行,若年利率为r ,按复利方式每年计息一次,则该笔资金t 年后的本利和为0(1)(1,2,)tt A A r t =+= .如果每年分n 次计息,每期利率为r n,则t 年后的本利和为*01(1,2,)n tt r A A t n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ .当n 无限增大时,由于e lim (1)n r n r n→∞+=,故e *00lim lim (1)n t r t t n n r A A A n→∞→∞=+=.称公式e 0r tt A A = (5-6-1)为0A 元的现值(即现在价值)在连续复利方式下折算为t 年后的终值(将来价值)的计算公式.公式(5-6-1)可变形为e0r tt A A -= (5-6-2)称(5-6-2)式为t 年末的t A 元的资金在连续复利方式下折算为现值的计算公式.建立资金的现值和终值概念,是为了对不同时点的资金进行比较,以便进行投资决策. 2. 资金流的现值与终值.将流出企业的资金(如成本、投资等)视为随时间连续变化,称之为支出流.类似地,将流入企业的资金(如收益等)视为随时间连续变化,称之为收入流.资金的净流量为收入流与支出流之差.企业单位时间内,资金的净流量称为收益率.设某企业在时段[]0T ,内的t 时刻的收益率为连续函数()f t ,下面我们按连续复利(年利率为r )方式来求该时段内的收益总现值和总终值. 在[]0T ,上取典型小区间[,d ]t t t +,该时段内收益近似为d ()f t t ,其t 时刻现值为 ed ()r tf t t -.这就是收益总现值的微分元素,故收益总现值为ed 0()T r tP f t t -=⎰. (5-6-3)又由于[,d ]t t t +时段内收益d ()f t t 折算为t T =时刻的终值为 ed ()()T t rf t t -,故收益总终值为ed ()0()T T t rF f t t -=⎰. (5-6-4)当收益率()f t k =(k 为常数)时,该资金流称为稳定资金流或均匀流.例2 某公司投资100万元建成1条生产线,并于1年后取得经济效益,年收入为30万元,设银行年利率为10%,问公司多少年后收回投资.解 设T 年后可收回投资,投资回收期应是总收入的现值等于总投资的现值的时间长度,因此有ed 0.1030100T tt -=⎰,即 0.1300(1e )100t --=. 解得455.0T =,即在投资后的4.055年内可收回投资.习 题 五1.求下列各曲线所围图形的面积:(1)212y x =与228x y += (两部分都要计算); (2)1y x=与直线y x =及2x =;(3)e e ,x x y y -==与直线1x =;(4)ln y x =,y 轴与直线()ln ,ln 0y a y b b a ==>>; (5)抛物线2y x =和22y x =-+;(6)sin ,cos y x y x ==及直线,44x x ππ=9=;(7)抛物线243y x x =-+-及其在3(0,)-和3,(0)处的切线;(8)摆线sin 1cos (),()x a t t y a t =-=-的一拱2(0)t π≤≤与x 轴; (9)极坐标曲线3ρa si n φ=; (10)极坐标曲线2cos ρa φ=.2.求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积: (1)()1cos r a θ=+及2cos r a θ=;(2)r θ=及22in r θ=.3.已知曲线2()f x x x =-与()g x ax =围成的图形面积等于29,求常数a .4.设有一截锥体,其高为h ,上、下底均为椭圆,椭圆的轴长分别为2a ,2b 和2A ,2B 求这截锥体的体积.5.计算底面是半径为R 的圆,而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.6.求下列旋转体的体积:(1)由2y x =与23y x =围成的平面图形绕x 轴旋转;(2)由3,2,0y x x y ===所围图形分别绕x 轴及y 轴旋转; (3)星形线222333x y a +=绕x 轴旋转. 7.求下列曲线段的弧长: (1)22,20y x x =≤≤;(2)ln ,y x x =≤≤(3)2,22x y t x π-π-≤=≤π⎰, . 8.设星形线的参数方程为33,,cos sin 0x a t y a t a ==>,求(1)星形线所围面积;(2)绕x 轴旋转所得旋转体的体积; (3)星形线的全长.9.求对数螺线e a θr =相应于0θ=到θφ=的一段弧长.10.求半径为R ,高为h 的球冠的表面积.11.求曲线段31(0)y x x =≤≤绕x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积:12.把长为10m ,宽为6m ,高为5m 的储水池内盛满的水全部抽出,需做多少功? 13.有一等腰梯形闸门,它的两条底边各长10m 和6m ,高为20m ,较长的底边与水面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力.14.半径为R 的球沉入水中,球的顶部与水面相切,球的密度与水相同,现将球从水中取离水面,问做功多少.15.设有一半径为R ,中心角为φ的圆弧形细棒,其线密度为常数ρ,在圆心处有一质量为m 的质点,试求细棒对该质点的引力.16.求下列函数在[,]a a -上的平均值.(1)()f x =(2)()2f x x =. 17.求正弦交流电sin 0i I ωt =经过半波整流后得到电流00sin 0.I ωt t ωi t ωωπ⎧≤≤⎪=⎨π2π⎪≤≤⎩,,, 的平均值和有效值.18.已知电压3sin2()u t t =,求(1)()u t 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的平均值; (2)电压的均方根值.19.设某企业固定成本为50,边际成本和边际收入分别为2()14111,()1002C x x x R x x ''=-+=-.试求最大利润.20.设某工厂生产某种产品的固定成本为零,生产x (百台)的边际成本为2()C x '=(万元/百台),边际收入为72()R x x '=-(万元/百台)):(1)求生产量为多少时总利润最大?(2)在总利润最大的基础上再生产100台,总利润减少多少?21.某企业投资800万元,年利率为5%,按连续复利计算,求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期.22.某父母打算连续存钱为孩子攒学费,设银行连续复利为5%(每年),若打算10年后攒够5万元,问每年应以均匀流方式存入多少钱.。

[理学]高等数学同济大学课件上第5章定积分

[理学]高等数学同济大学课件上第5章定积分

0
f ( ) f (x) f (0 )
2

2 f (x) 1,

x

(0,

2
)

2 0
2

dx


2 f (x) dx
0

2 1dx
0

1
2
sin
x
dx


0x
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
8. 积分中值定理
则至少存在一点
使
b
a f
各部分面积的代数和
机动 目录 上页 下页 返回 结束
可积的充分条件: 定理1. 定理2.
例1. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为


f
(i )xi
i2xi

i2 n3
且只有有限个间断点
(证明略)
y
y x2
o
i 1x
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n
ba

y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
T2
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
( i )

g (
i )]xi
n
n

lim
0 i1
f
( i )xi

同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用

同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用

第五章 定积分及其应用本章开始讨论积分学中的另一个基本问题:定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后,来讨论定积分的应用问题.第1节 定积分的概念与性质定积分问题举例曲边梯形的面积 曲边梯形设函数)(x f y =在区间[]b a ,上非负、连续由直线0,,===y b x a x 及曲线)(x f y =所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧)(x f y =称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是在区间[]b a ,中任意插入若干个分点(图5-1),1210b x x x x x a n n =<<<<<=-Λ把[]b a ,分成n 个小区间[],,10x x [],,21x x [],,32x x [],,,1n n x x -Λ它们的长度依次为.,,,1122011--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x Λ 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点,i ξ 以[]i i x x ,1-为底、)(i f ξ为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形,n i ,,3,2,1Λ=,把这样得到的n 个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值 即 ∑=∆=∆++∆+∆≈ni i i n n x f x f x f x f A 12211.)()()()(ξξξξΛ求曲边梯形的面积的精确值显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记{},,,,m ax 21n x x x ∆∆∆=Λλ于是 上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零相当于令.0→λ所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 1.)(lim ξλ图5-11.1.2 变速直线运动的路程 设物体作直线运动已知速度)(t v v =是时间间隔[]21,T T 上t 的连续函数且,0)(≥t v 计算在这段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔[]21,T T 分成n 个小的时间间隔i t ∆ 在每个小的时间间隔i t ∆内物体运动看成是均速的其速度近似为物体在时间间隔i t ∆内某点i τ的速度)(i v τ 物体在时间间隔i t ∆内 运动的路程近似为.)(i i i t v s ∆=∆τ把物体在每一小的时间间隔i t ∆内 运动的路程加起来作为物体在时间间隔[]21,T T 内所经过的路程S 的近似值 具体做法是在时间间隔[]21,T T 内任意插入若干个分点,21210T t t t t t T n n i =<<<<<=-Λ[]21,T T 分成n 个小段 [][][],,,,,,12110n n t t t t t t -Λ各小段时间的长依次为.,,,1122011--=∆-=∆-=∆n n n t t t t t t t t t Λ相应地在各段时间内物体经过的路程依次为.,,,21n s s s ∆∆∆Λ在时间间隔[]i i t t ,1-上任取一个时刻),(1i i i i t t <<-ττ 以i τ时刻的速度)(i v τ来代替[]i i t t ,1-上各个时刻的速度得到部分路程i s ∆的近似值即).,,2,1()(n i t v s i i i Λ=∆=∆τ于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值即∑=∆≈ni ii t v S 1)(τ 求精确值记{},,,,m ax 21n t t t ∆∆∆=Λλ当0→λ时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni ii t v S 10)(lim τλ定积分的概念抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括就抽象出下述定积分的定义定义 设函数)(x f y =在[]b a ,上有界在[]b a ,中任意插入若干个分点,1210b x x x x x a n n =<<<<<=-Λ把区间[]b a ,分成n 个小区间[],,10x x [],,21x x [],,32x x [],,,1n n x x -Λ各小段区间的长依次为.,,,1122011--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x Λ在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一个点,i ξ作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积),,2,1()(n i x f i i Λ=∆ξ并作出和∑=∆=ni ii x f S 1)(ξ记{},,,,m ax 21n x x x ∆∆∆=Λλ如果不论对[]b a ,怎样分法也不论在小区间[]i i x x ,1-上点,i ξ怎样取法 只要当0→λ时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分 记作⎰ba dx x f )( 即∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 1)(lim )(ξλ其中)(x f 叫做被积函数 dx x f )(叫做被积表达式x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b叫做积分上限[]b a ,叫做积分区间根据定积分的定义曲边梯形的面积为⎰=badxx f A )(变速直线运动的路程为dt t v S T T )(21⎰=说明(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关而与积分变量的记法无关即⎰⎰⎰==ba ba ba duu f dt t f dx x f )()()((2)和∑=∆n i i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和(3)如果函数)(x f 在[]b a ,上的定积分存在 我们就说)(x f 在区间[]b a ,上可积函数)(x f 在[]b a ,上满足什么条件时 )(x f 在[]b a ,上可积呢 定理1 设)(x f 在区间[]b a ,上连续 则f (x ) 在[]b a ,上可积定理2 设)(x f 在区间[]b a ,上有界 且只有有限个间断点则)(x f 在[]b a ,上可积定积分的几何意义设)(x f 是[]b a ,上的连续函数,由曲线)(x f y =及直线0,,===y b x a x 所围成的曲边梯形的面积记为A .由定积分的定义易知道定积分有如下几何意义:(1)当0)(≥x f 时,A dx x f b a =⎰)( (2)当0)(≤x f 时,A dx x f b a-=⎰)((3)如果)(x f 在[]b a ,上有时取正值,有时取负值时,那么以[]b a ,为底边,以曲线 )(x f y =为曲边的曲边梯形可分成几个部分,使得每一部分都位于x 轴的上方或下方.这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和,如图所示,有321)(A A A dx x f b a+-=⎰其中321,,A A A 分别是图5-2中三部分曲边梯形的面积,它们都是正数.图5-2例1. 利用定义计算定积分dxx 210⎰解 把区间[0 1]分成n 等份分点和小区间长度分别为ni x i =(i 1 2n1) nx i 1=∆(i 1 2 n )取),,,2,1(n i niiΛ==ξ作积分和 ∑∑∑===⋅=∆=∆ni in i i i ni i n ni x x f 121211)()(ξξ)12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n ni )12)(11(61n n ++=因为n1=λ 当0→λ时∞→n 所以31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ图5-3例2 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dxx解 函数x y -=1在区间[]1,0上的定积分是以x y -=1为曲边以区间[]1,0为底的曲边梯形的面积因为以x y -=1为曲边以区间[]1,0为底的曲边梯形是一直角三角形其底边长及高均为1所以211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x图5-4例3利用定积分的几何意义,证明21112π=-⎰-dx x .证明 令]1,1[,12-∈-=x x y,显然0≥y ,则由21x y -=和直线1,1=-=x x ,0=y 所围成的曲边梯形是单位圆位于x 轴上方的半圆.如图5-5所示. 因为单位圆的面积π=A ,所以半圆的面积为2π. 由定积分的几何意义知:21112π=-⎰-dx x .图5-5定积分的性质 两点规定(1)当b a =时 0)(=⎰ba dx x f (2)当b a>时 ⎰⎰-=ab ba dx x f dx x f )()(性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即⎰⎰⎰±=±ba ba ba dxx g dx x f dx x g x f )()()]()([证明:⎰±badx x g x f )]()([∑=→∆±=ni i i i x g f 10)]()([lim ξξλ∑∑=→=→∆±∆=ni i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ⎰⎰±=bab adxx g dx x f )()(性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即⎰⎰=ba b a dxx f k dx x kf )()(这是因为∑⎰=→∆=ni i i b ax kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→bani i i dxx f k x f k )()(lim 10ξλ性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即⎰⎰⎰+=bcca ba dxx f dx x f dx x f )()()(这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性值得注意的是不论c b a ,,的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=bc c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立例如当c b a <<时由于 ⎰⎰⎰+=cb ba ca dxx f dx x f dx x f )()()(于是有⎰⎰⎰-=cb ca ba dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bc c a dxx f dx x f )()(性质4 如果在区间[]b a ,上f (x ) 1 则ab dx dx ba b a -==⎰⎰1性质5 如果在区间[]b a ,上 f (x )则⎰≥ba dx x f 0)((ab )推论1 如果在区间[]b a ,上 f (x )g (x ) 则⎰⎰≤b a ba dx x g dx x f )()((ab )这是因为g (x )f (x )0 从而⎰⎰⎰≥-=-ba ba ba dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(所以⎰⎰≤b a ba dxx g dx x f )()(推论2 ⎰⎰≤b abadx x f dx x f |)(||)(|(ab )这是因为|f (x )| f (x ) |f (x )|所以⎰⎰⎰≤≤-ba b a b a dxx f dx x f dx x f |)(|)(|)(|即⎰⎰≤babadx x f dx x f .)(|)(|性质6 设M 及m 分别是函数)(x f 在区间[]b a ,上的最大值及最小值则⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()((a b )证明 因为 mf (x ) M所以⎰⎰⎰≤≤ba ba ba Mdxdx x f mdx )(从而⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续 则在积分区间[]ba ,上至少存在一个点使下式成立⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ这个公式叫做积分中值公式证明 由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(各项除以a b - 得⎰≤-≤ba Mdx x f ab m )(1再由连续函数的介值定理在[]b a ,上至少存在一点使⎰-=ba dxx f ab f )(1)(ξ于是两端乘以a b -得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ注意不论b a <还是ba > 积分中值公式都成立并且它的几何意义是:由曲线)(x f y =,直线b x a x ==,和x 轴所围成曲边梯形的面积等于区间],[b a 上某个矩形的面积,这个矩形的底是区间],[b a ,矩形的高为区间],[b a 内某一点ξ处的函数值)(ξf ,如图5-6所示.图5-6习题 5-11.利用定积分的概念计算下列积分. (1)()axb dx +⎰01; (2)a dx x 01⎰ (a >0).2.说明下列定积分的几何意义,并指出它们的值. (1)dx x ⎰+1)12(; (2)dx x r rr ⎰--22; (3)dx x ⎰3; (4)dx x ⎰--3329.3.不经计算比较下列定积分的大小 (1)dx x⎰12与dx x ⎰13; (2)dx x ⎰40sin π与dx x ⎰40cos π;(3)dx x ⎰1与dx x ⎰+10)1ln(; (4)dx x ⎰10与dx x ⎰12.4.设)(x f 为区间[]b a ,上单调增加的连续函数,证明:))(()())((a b b f dx x f a b a f ba-≤≤-⎰5.用定积分定义计算极限)21(lim 22222nn nn n n n n ++++++∞→Λ微积分基本公式变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动在t 时刻所经过的路程为)(t S 速度为),0)()(()(≥'==t v t S t v v 则在时间间隔[]21,T T 内物体所经过的路程S 可表示为)()(12T S T S -及dtt v TT )(21⎰ 即)()()(1221T S T S dt t v T T -=⎰上式表明速度函数)(t v 在区间[]21,T T 上的定积分等于)(t v 的原函数)(t S 在区间[]21,T T 上的增量这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢积分上限函数及其导数定义 设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续并且设x 为[]b a ,上的一点我们把函数)(x f 在部分区间[]x a ,上的定积分dx x f xa )(⎰称为积分上限的函数它是区间[]b a ,上的函数记为dxx f x xa)()(⎰=Φ 或dtt f x xa)()(⎰=Φ定理1 如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续 则函数dt t f x xa)()(⎰=Φ在[]b a ,上具有导数并且它的导数为)()()(x f dt t f dxd x xa ==Φ'⎰)(b x a ≤≤ 证明 若),(b a x ∈取x ∆使).,(b a x x ∈∆+)()(x x x Φ-∆+Φ=∆Φdt t f dt t f xa xx a)()(⎰⎰-=∆+ dt t f dt t f axxx a)()(⎰⎰+=∆+xf dt t f xx x∆==⎰∆+)()(ξ应用积分中值定理有,)(x f ∆=∆Φξ其中ξ在x 与x x ∆+之间0→∆x 时 x →ξ 于是),()(lim )(lim lim00x f f f x x x x ===∆∆Φ→→∆→∆ξξξ即)()(x f x =Φ'若a x =取0>∆x 则同理可证)()(a f x =Φ'+ 若b x= 取0<∆x 则同理可证)()(b f x =Φ'-推论 如果)(x ϕ可导,则)()]([])([])([)()(x x f dt t f dt t f dx d x x a x aϕϕϕϕ'='=⎰⎰更一般的有[][]).()()()()()()(x x f x x f dt t f x x ψψϕϕϕψ'-'=⎰例1 计算tdt e dxd x tsin 0⎰-. 解 tdt e dx d x t sin 0⎰-=]sin [0'⎰-tdt e x t=x e x sin -. 例2 求极限42sin limxtdt x x ⎰→.解 因为0lim4=→x x ,⎰⎰==→20sin sin lim x x tdt tdt ,所以这个极限是型的未定式,利用洛必达法则得42sin limx tdt x x ⎰→=32042sin lim x x x x ⋅→=2202sin lim xx x → =220sin lim 21x x x → =21. 例3 设)(x f 在[)+∞,0内连续且0)(>x f 证明函数⎰⎰=xxdtt f dt t tf x F 00)()()(在),0(+∞内为单调增加函数证明)()( 0x xf dt t tf dx d x =⎰)()(0x f dt t f dx d x =⎰ 故2000))(()()()()()(⎰⎰⎰-='xxxdt t f dtt tf x f dt t f x xf x F 200))(()()()(⎰⎰-=xxdt t f dt t f t x x f按假设当x t<<0时,0)()(,0)(>->t f t x t f 所以0)(0>⎰dt t f x)()(0>-⎰dt t f t x x从而),0(0)(>>'x x F 这就证明了)(x F 在),0(+∞内为单调增加函数定理2 如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续则函数dt t f x xa)()(⎰=Φ就是)(x f 在[]b a ,上的一个原函数定理的重要意义一方面肯定了连续函数的原函数是存在的另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系牛顿莱布尼茨公式定理3 如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间[]b a ,上的一个原函数则)()()(a F b F dx x f ba -=⎰此公式称为牛顿莱布尼茨公式也称为微积分基本公式证明 已知函数)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数又根据定理2积分上限函数dt t f x xa)()(⎰=Φ也是)(x f 的一个原函数于是有一常数C 使).()()(b x a C x x F ≤≤=Φ-当a x =时有C a a F =Φ-)()(,而0)(=Φa ,所以)(a F C = 当b x =时)()()(a F b b F =Φ-所以)()()(a F b F b -=Φ 即)()()(a F b F dx x f ba -=⎰ 为了方便起见可把)()(a F b F -记成b ax F )]([ 于是)()()]([)(a F b F x F dx x f ba ba -==⎰该公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系例4 计算⎰102dxx解 由于331x 是2x 的一个原函数所以31031131]31[33103102=⋅-⋅==⎰x dx x例5 计算2311x dx+⎰-解 由于x arctan 是211x +的一个原函数 所以 31231][arctan 1--=+⎰x x dx)1arctan(3arctan --=πππ127)4 (3 =--=例6 计算⎰--121dxx解1212|]|[ln 1----=⎰x dx x ln 1ln 2ln 2例7 求dx x ⎰--312.解dx x ⎰--312=⎰⎰⎰⎰---+-=-+-21322132)2()2(|2||2|dx x dx x dx x dx x=322212)221()212(x x x x -+--=2129+=5.例8 计算正弦曲线ysin x 在[0 ]上与x 轴所围成的平面图形的面积解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积 ππ0]cos [sin x xdx A -==⎰(1)(1)2习题5-21.设0()d xf x t t =⎰,求2()4f π';2.设30()cos d xf x x t t =⎰,求()f x '';3.求下列函数的导数 (1)dt e x f xt ⎰-=0)(; (2)dt t x f x ⎰+=121)(; (3)dt t f ⎰=θθθcos sin )(; (4)dt t x f x ⎰+=221)(.4.计算下列导数(1)2220d d d x t t e t x ⎰; (2)22d d 1x x t x t +⎰; (3)220d ()sin d d x t x t t x -⎰. 5.求下列极限(1))cos(1)sin(lim11t dtt xx ππ+⎰→; (2)dtte dt e xt xt x ⎰⎰→02222)(lim.6.计算下列定积分 (1)dx x x )1(212-+⎰; (2)dx x x )2(210+⎰; (3)dx x⎰211;(4)dx x ⎰πcos ; (5)dx x ⎰π20sin ; (6)10e d x x ⎰;(7)dx x ⎰-1)cos 32(; (8)dx x⎰1100; (9)dx x x ⎰+-12211; (10)dx x ⎰+π2cos 1; (11)dx x x ⎰+41)1(; (12)dx x⎰+331211; (13)dx x⎰-210211; (14)1100d xx ⎰; (15)dx x x x ⎰-+++012241133;(16)dx x e ⎰---+2111; (17)dx x ⎰402tan π; (18)10max{,1}d x x x -⎰8.设()21,11,12x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩,求()20d f x x ⎰.定积分的计算定积分的换元积分法定理 假设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续 函数)(t x ϕ=满足条件(1);)(,)(b a ==βϕαϕ(2) )(t ϕ在[]βα, (或[]αβ,)上具有连续导数且其值域不越出[]ba ,则有dtt t f dx x f ba )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰这个公式叫做定积分的换元公式证明 由假设知)(x f 在区间[]b a ,上是连续因而是可积的 [])()(t t fϕϕ'在区间[]βα, (或[]αβ,)上也是连续的因而是可积的假设)(x F 是)(x f 的一个原函数则).()()(a F b F dx x f ba-=⎰另一方面因为[]{}[][])()()()()(t t f t t F t F ϕϕϕϕϕ'=''=' 所以F [(t )]是[])()(t t f ϕϕ'的一个原函数 从而[]dt t t f ⎰'βαϕϕ)()([][]).()()()(a F b F F F -=-=αϕβϕ因此dtt t f dx x f ba )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰例1 求dx xx ⎰+301.解 令t x =+1,则12-=t x ,tdt dx 2=,当0=x 时,1=t ,当3=x 时,2=t ,于是dx xx ⎰+301=tdt tt 21212⋅-⎰=dt t ⎰-212)1(2=213]31[2t t -=38例2 求dx e x ⎰-2ln 01.解 令t e x =-1,则)1ln(2t x +=,dt t tdx 212+=,当0=x 时,0=t ;当2ln =x 时,1=t ,于是dx e x⎰-2ln 01=dt t t t ⎰+⋅10212=dt t t ⎰+102212=dt t )111(2102⎰+- =10]arctan [2t t -=22π-.例3 计算⎰-adx x a 022(a >0)解 令t a x sin =,则t a t a a x a cos sin 22222=-=-,.cos tdt a dx = 当0=x时0=t 当a x =时2π=t⎰⎰⋅-=20sin 022cos cosπtdt a t a dx x a ta x a令⎰⎰+==2022022)2cos 1(2cos ππdt t atdt a220241]2sin 21[2a t t a ππ=+=例4 计算xdxx sin cos 520⎰π解:令,cos x t =则当0=x 时1=t 当2π=x 时0=txxd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ61]61[ 106105015cos ===-⎰⎰=t dt t dt t tx 令 或x xd xdx x cos cos sin cos 52052⎰⎰-=ππ610cos 612cos 61]cos 61[66206=+-=-=ππx例5 计算⎰-π53sin sin dxx x解dx x x dx x x |cos |sin sin sin 230053⎰⎰=-ππ⎰⎰-=πππ2232023cos sin cos sin xdx x xdx x⎰⎰-=πππ2232023sin sin sin sin x xd x xd54)52(52]sin 52[]sin 52[2252025=--=-=πππx x提示 |cos |sin )sin1(sin sin sin 232353x x x x x x =-=-在]2 ,0[π上,cos cos x x =在] ,2[ππ上.cos cos x x -=例6 计算dx x x ⎰++40122解 令,12t x =+则212-=t x , ,tdt dx =当0=x 时1=t 当4=x 时3=t⎰⎰⎰+=⋅+-++=+312312124)3(21221 122dt t tdt t t dx x x t x 令322)]331()9327[(21]331[21313=+-+=+=t t例7设)(x f 在区间],[a a -上连续,证明: (1)如果)(x f 为奇函数,则⎰-=a a dx x f 0)(; (2)如果)(x f 为偶函数,则⎰⎰-=a aadx x f dx x f 0)(2)(.证明 由定积分的可加性知x d x f x d x f x d x f a aaa⎰⎰⎰+=--0)()()(,对于定积分⎰-0)(adxx f ,作代换tx -=,得⎰-0)(adx x f =⎰--0)(adt t f =⎰-adt t f 0)(=⎰-a dx x f 0)(,所以⎰⎰⎰-+-=aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(=⎰-+adx x f x f 0)]()([(1)如果)(x f 为奇函数,即)()(x f x f -=-,则0)()(=-+x f x f , 于是⎰-=aadx x f 0)(.(2)如果)(x f 为偶函数,即)()(x f x f =-,)(2)()()()(x f x f x f x f x f =+=-+, 于是⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(.例8 若)(x f 在[]1,0上连续 证明 (1)⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdxx f dx x f (2)⎰⎰=πππ00)(sin 2)(sin dxx f dx x xf证明 (1)令tx -=2π 则dt t f dx x f )]2[sin()(sin 0220--=⎰⎰πππ⎰⎰⎰==-=20202)(cos )(cos )]2[sin(ππππdxx f dt t f dt t f(2)令t x -=π则⎰⎰---=0)][sin()()(sin ππππdt t f t dx x xf ⎰⎰-=--=πππππ00)(sin )()][sin()(dt t f t dt t f t⎰⎰-=πππ0)(sin )(sin dt t tf dt t f ⎰⎰-=πππ0)(sin )(sin dxx xf dx x f所以⎰⎰=πππ00)(sin 2)(sin dx x f dx x xf例9 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥=-01 cos 11)(2x xx xe x f x 计算⎰-41)2(dxx f解 设t x =-2 则;dt dx =当1=x 时1-=t当4=x 时2=t⎰⎰⎰⎰---++==-200121412cos 11)()2(dt te dt t dt t f dx x f t 212121tan ]21[]2[tan 420012+-=-=---e e t t定积分的分部积分法设函数)()(x v x u 、在区间[]b a ,上具有连续导数)()(x v x u ''、 由v u v u uv '+'=')(得v u uv v u '-='式两端在区间[]b a ,上积分得vdx u uv dx v u ba ba ba '-='⎰⎰][ 或vduuv udv bab a ba⎰⎰-=][这就是定积分的分部积分公式分部积分过程][][⋅⋅⋅='-=-=='⎰⎰⎰⎰vdx u uv vdu uv udv dx v u ba ba ba ba ba ba例10 计算xdx arcsin 21⎰解xdx arcsin 21⎰x xd x x arcsin ]arcsin[210210⎰-=dx x x 22101621--⋅=⎰π)1(1121122221x d x --+=⎰π212]1[12x -+=π12312-+=π例11 计算⎰1dxe x解 令t x = 则⎰⎰=10102tdt e dx e t x ⎰=102t tde ⎰-=1010 2 ][2dt e te t t 2][2210 =-=t e e例12求⎰21ln xdx x .解⎰21ln xdx x =⎰212)(ln 21x xd =)(ln 21ln 21212212x d x x x ⎰-=⎰-21212ln 2xdx =212412ln 2x -=432ln 2-.例13求⎰πsin xdx x .解 ⎰πsin xdx x =⎰-πcos x xd =⎰+-ππ0cos cos xdx x x=ππ0sin x +=π.例14 设⎰=20sin πxdx I n n 证明(1)当n 为正偶数时22143231π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n(2)当n 为大于1的正奇数时 3254231⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n证明 ⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n ⎰--+-=2012 01sin cos ]sin[cos ππx xd x x n n⎰--=2022sin cos )1(πxdx x n n ⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdx n xdx n n n(n 1)I n2(n 1)I n由此得 21--=n n I n n I02214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+而2200ππ==⎰dx I 1sin 201==⎰πxdx I因此22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m 32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m定积分的近似计算虽然牛顿——莱布尼兹公式解决了定积分的计算问题,但它的使用是有一定局限 性的。

2014.11高数第五章 一元函数的积分学1-2节

2014.11高数第五章 一元函数的积分学1-2节

x[ a ,b ]
x[a,b]
b
m(b a) ≤
f (x)dx ≤ M (b a)
a
估值定理
证:由于 m≤ f (x)≤M

b
b
b
mdx≤ f (x)dx ≤ Mdx
a
a
a

m(b a) ≤
b
f (x)dx ≤ M (b a)
a
y
y
y
M
m
x
0a
b x 0a
b x 0a
b
例3. 估计 1 e x2 dx的值. 1
于是,若F(x)是 f (x)的一个原函数则 {F(x)+C|CR}
为f (x) 的全体原函数.
设 f (x)R( [a, b] ), 有
x
a f ( tx)d xt (a≤ x≤b)
称为积分上限函数. 记为
y
Φ (x)
x
f (t)d t
a
0a
x bx
定理1. 若f (x)R([a, b]),则
x0 x x0
x
' (x)=f (x)
推论1. (原函数存在定理). 若 f (x)C( [a, b] ), 则
f (x)在[a, b]上存在原函数,且Φ (x)
x
f (t)d t
a
为 f(x)的一个原函数.
例1.
d x sin t
sin x
[
d t] .
dx 1 t
x
d [ x2 et d t] x2 u d [ u et d t] du
从而 x0, x[a, b]有
|Φ (x) Φ (x0 ) |
x

同济大学第五高数PPT课件

同济大学第五高数PPT课件

N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地:k
1,
分解后为
x
Mx N 2 px
q
;
第20页/共45页
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x2
x3 5x 6
x3 ( x 2)( x 3)
数或反三角函数为 u.
第6页/共45页
例5 求积分 sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx xsin(ln x) xd[sin(ln x)]
x sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
t
3
1
t
2
t
6 t
dt
1e2 e3 e6
6
t(1
t
1 )(1
t2
dt )
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
第26页/共45页
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3
2
d
(1 t 2 1 t2
)
3
1
1
t
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3 ln(1 t 2 ) 3arctan t C 2
f ( x)dx ex2 C ,

同济版高数课件-PPT

同济版高数课件-PPT

2
2 cos xdx
0
;
2
五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力,已知 闸门上水的压强 P 是水深 h 的 函数,且有
p 9.8h(千米 米2 ),若闸门高H 3米 ,宽 L 2米 ,求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水
压力P (见教材图 5-3).
练习题答案
n
一、1、lim 0 i1
f ( i )xi ;
y
y
oa
b xo a
bx
(四个小矩形)
(九个小矩形)
显然,小矩形越多,矩形总面积越接近 曲边梯形面积.
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
播放
曲边梯形如图所示, 在区间[a,b]内插入若干
个分点,a x0 x1 x2 xn1 xn b, 把区间[a,b] 分成 n y
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
性质5的推论:
(1)如果在区间[a, b]上 f ( x) g( x),

b
a
f
(
x
)dx
b
a
g(
x)dx
i 1
(3)取极限 max{t1,t2 ,,tn }
n
路程的精确值
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x) 在[a, b]上有界,在[a, b]中任意插入

高数讲义第五节 曲面及其方程(一)

高数讲义第五节 曲面及其方程(一)

o
y
或 x2 y2 a2z2 , a tan
例6 将下列各平面曲线绕对应的轴旋转一周, 求生成的旋转曲面的方程.
(1)双曲线
x a y
2 2
0
z c
2 2
1
分别绕 x轴和z 轴;
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋转双叶双曲面
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转单叶双曲面
一、1、z2 2 x 6 y 2z 11 0;
2、 x2 y2 z2 4 x 4 y 2z 0;3、(1,-2,2),4;
4、 x2 a2
z2 c2
1, z,
y2 b2
z2 c2
1, z,
x2 a2
y2 b2
1,
y,
y2 b2
z2 c2
1,
y;
5、不含与该坐标轴同名的变量;
x2 y2 R2 移动而形成的 该曲面称为圆柱面
x
zHale Waihona Puke M( x, y, z)L 准线
o
y
M( x, y,0)
母线
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ,动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形
成过程:
播放
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点, 根据题意有 | MM0 | R

线性代数_同济大学(第五版)课件

线性代数_同济大学(第五版)课件

幻灯片1线性代数(第五版)幻灯片2●在以往的学习中,我们接触过二元、三元等简单的线性方程组.●但是,从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量,并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.幻灯片3●我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形.●在讨论这一类线性方程组时,我们引入行列式这个计算工具.幻灯片4●行列式是线性代数的一种工具!●学习行列式主要就是要能计算行列式的值.第一章行列式●内容提要●§1 二阶与三阶行列式●§2 全排列及其逆序数●§3 n 阶行列式的定义●§4 对换●§5 行列式的性质●§6 行列式按行(列)展开§7 克拉默法则●行列式的概念.●(选学内容)●行列式的性质及计算.●——线性方程组的求解.幻灯片5§1 二阶与三阶行列式●我们从最简单的二元线性方程组出发,探●求其求解公式,并设法化简此公式.幻灯片6一、二元线性方程组与二阶行列式●二元线性方程组●由消元法,得●当时,该方程组有唯一解幻灯片7●二元线性方程组●请观察,此公式有何特点?●分母相同,由方程组的四个系数确定.●分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.●求解公式为幻灯片8●我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.●二元线性方程组●记号●数表●其求解公式为●表达式称为由该●数表所确定的二阶行列式,即●其中,称为元素.●i 为行标,表明元素位于第i 行;●j 为列标,表明元素位于第j 列.●原则:横行竖列幻灯片9●二阶行列式的计算●——对角线法则●主对角线●副对角线●即:主对角线上两元素之积-副对角线上两元素之积幻灯片10●二元线性方程组●若令●(方程组的系数行列式)●则上述二元线性方程组的解可表示为幻灯片11●求解二元线性方程组●例1●解●因为●所以幻灯片12二、三阶行列式●定义设有9个数排成3行3列的数表●原则:横行竖列●引进记号●主对角线●副对角线●称为三阶行列式.●二阶行列式的对角线法则并不适用!幻灯片13●三阶行列式的计算●——对角线法则●实线上的三个元素的乘积冠正号,●虚线上的三个元素的乘积冠负号.●注意:对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.幻灯片14●例2 计算行列式●解●按对角线法则,有幻灯片15●例3 求解方程●方程左端●解●由得幻灯片16§2 全排列及其逆序数幻灯片17●用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?●引例● 1 2 3●解● 1● 3● 2●百位●3种放法● 3● 1● 2● 1●2种放法●十位●1种放法● 1● 2● 3●个位●共有●种放法.幻灯片18●问题把 n 个不同的元素排成一列,共有多少种不同的●排法?●定义把 n 个不同的元素排成一列,叫做这 n 个元素的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数,通常用Pn 表示.●显然●即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.● 3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法●123,132,213,231,312,321●所有6种不同的排法中,只有一种排法(123)中的数字是按从小到大的自然顺序排列的,而其他排列中都有大的数排在小的数之前.●因此大部分的排列都不是“顺序”,而是“逆序”.幻灯片20●对于n 个不同的元素,可规定各元素之间的标准次序.●n 个不同的自然数,规定从小到大为标准次序.●定义当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,●就称这两个元素组成一个逆序.●例如在排列32514中,● 3 2 5 1 4●思考题:还能找到其它逆序吗?●答:2和1,3和1也构成逆序.幻灯片21●定义排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.●排列的逆序数通常记为 .●奇排列:逆序数为奇数的排列.●偶排列:逆序数为偶数的排列.●思考题:符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列?●答:符合标准次序的排列(例如:123)的逆序数等于零,因而是偶排列.幻灯片22●计算排列的逆序数的方法●设是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列,并规定由小到大为标准次序.●先看有多少个比大的数排在前面,记为;●再看有多少个比大的数排在前面,记为 ;●最后看有多少个比大的数排在前面,记为 ;●则此排列的逆序数为幻灯片23●例1:●求排列 32514 的逆序数.●解:●练习:●求排列 453162 的逆序数.●解:幻灯片24§3 n 阶行列式的定义幻灯片25一、概念的引入●规律:●三阶行列式共有6项,即3!项.●每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.●每一项可以写成(正负号除外),其中●是1、2、3的某个排列.●当是偶排列时,对应的项取正号;当是奇排列时,对应的项取负号.幻灯片26●所以,三阶行列式可以写成●其中表示对1、2、3的所有排列求和.●二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.幻灯片27二、n 阶行列式的定义●简记作,●其中为行列式D的(i, j)元● n 阶行列式共有 n! 项.●每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积.●每一项可以写成(正负号除外),其中●是1, 2, …, n 的某个排列.●当是偶排列时,对应的项取正号;当是奇排列时,对应的项取负号.幻灯片28●思考题:成立吗?●答:符号可以有两种理解:●若理解成绝对值,则;若理解成一阶行列式,则 .●注意:当n = 1时,一阶行列式|a| = a,注意不要与绝对值的记号相混淆. 例如:一阶行列式 .幻灯片29●例:●写出四阶行列式中含有因子的项.●解:●和●例:●计算行列式幻灯片30●解:●其中幻灯片31幻灯片32●四个结论:●(1) 对角行列式●(2)幻灯片33●(3) 上三角形行列式(主对角线下侧元素都为0)●(4) 下三角形行列式(主对角线上侧元素都为0)幻灯片34●思考题:用定义计算行列式●-1●解:用树图分析●3●1●-2●1●-1●2●-2●3●3●-1●故幻灯片35●思考题●已知,求的系数.幻灯片36●解●含的项有两项,即●对应于●故的系数为-1.幻灯片37§4 对换幻灯片38一、对换的定义●定义●在排列中,将任意两个元素对调,其余的元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换.●将相邻两个元素对换,叫做相邻对换.●例如幻灯片39●备注●相邻对换是对换的特殊情形.●一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.如果连续施行两次相同的对换,那么排列就还原了.幻灯片40二、对换与排列奇偶性的关系●定理1 对换改变排列的奇偶性.●证明●先考虑相邻对换的情形.幻灯片41●注意到除外,其它元素的逆序数不改变.幻灯片42●当时,,, .●当时,,, .●因此相邻对换改变排列的奇偶性.幻灯片43●既然相邻对换改变排列的奇偶性,那么●因此,一个排列中的任意两个元素对换,排列的奇偶性改变.●推论●奇排列变成标准排列的对换次数为奇数,●偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.●由定理1知,对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为零),因此可知推论成立.●证明幻灯片44●因为数的乘法是可以交换的,所以 n 个元素相乘的次序是可以任意的,即●每作一次交换,元素的行标与列标所成的排列●与都同时作一次对换,即与同时改变奇偶性,但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变.幻灯片45●设对换前行标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为 .●设经过一次对换后行标排列的逆序数为●列标排列的逆序数为●因为对换改变排列的奇偶性,是奇数,也是奇数.●所以是偶数,●即是偶数.●于是与同时为奇数或同时为偶数.●因此,交换中任意两个元素的位置后,其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变.幻灯片46●经过一次对换是如此,经过多次对换还是如此. 所以,在一系列对换之后有幻灯片47幻灯片48●例1 试判断和●是否都是六阶行列式中的项.幻灯片49●例2 用行列式的定义计算幻灯片50●解幻灯片51三、小结● 1. 对换改变排列奇偶性.● 2. 行列式的三种表示方法幻灯片52§5 行列式的性质幻灯片53一、行列式的性质●记●行列式称为行列式的转置行列式.●若记,则 .●性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 .幻灯片54●性质1 行列式与它的转置行列式相等.●证明●若记,则●根据行列式的定义,有●行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.幻灯片55●性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.●备注:交换第行(列)和第行(列),记作 .●验证●于是●推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.●证明●互换相同的两行,有,所以 .幻灯片56●性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个倍数,等于用数乘以此行列式.●备注:第行(列)乘以,记作 .●验证●我们以三阶行列式为例. 记●根据三阶行列式的对角线法则,有幻灯片57●推论行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.●备注:第行(列)提出公因子,记作 .幻灯片58●性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.●验证●我们以4阶行列式为例.幻灯片59●性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,●例如:●则幻灯片60●验证●我们以三阶行列式为例.幻灯片61●性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.●备注:以数乘第行(列)加到第行(列)上,记作 .●验证●我们以三阶行列式为例. 记●则幻灯片62二、应用举例●计算行列式常用方法:利用运算把行列式化为●上三角形行列式,从而算得行列式的值.●例1幻灯片63●解幻灯片64幻灯片65幻灯片66幻灯片67幻灯片68●解幻灯片69幻灯片70●例3 设●证明幻灯片71●证明●对作运算,把化为下三角形行列式●设为●对作运算,把化为下三角形行列式●设为幻灯片72●对 D 的前 k 行作运算,再对后 n 列作运算,●把 D 化为下三角形行列式●故幻灯片73三、小结● (行列式中行与列具有同等的地位, 凡是对行成立的性质对列也同样成立).●行列式的6个性质●计算行列式常用方法:(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.幻灯片74●思考题●计算4阶行列式幻灯片75●思考题解答●解幻灯片76幻灯片77§6 行列式按行(列)展开●对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.●本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.幻灯片78一、引言●结论三阶行列式可以用二阶行列式表示.●思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示?幻灯片79●在n 阶行列式中,把元素所在的第行和第列划后,留下来的n-1阶行列式叫做元素的余子式,记作 .●把称为元素的代数余子式.●例如●结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素,所以行列●式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.幻灯片80●引理一个n 阶行列式,如果其中第行所有元素除●外都为零,那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积,即.●例如幻灯片81●当位于第1行第1列时,●分析●即有●(根据P.14例10的结论)●又●从而●下面再讨论一般情形.幻灯片82●我们以4阶行列式为例.●思考题:能否以代替上述两次行变换?幻灯片83●思考题:能否以代替上述两次行变换?●答:不能.幻灯片84●被调换到第1行,第1列幻灯片85二、行列式按行(列)展开法则●定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即幻灯片86●同理可得幻灯片87●例(P.12例7续)幻灯片88●例证明范德蒙德(Vandermonde)行列式●证明用数学归纳法●所以n=2时(1)式成立.幻灯片89●假设(1)对于n-1阶范德蒙行列式成立,从第n行开始,后行●减去前行的倍:●按照第1列展开,并提出每列的公因子,就有幻灯片90● n−1阶范德蒙德行列式幻灯片91●推论行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即●分析我们以3阶行列式为例.●把第1行的元素换成第2行的对应元素,则幻灯片92●定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即●推论行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即●综上所述,有●同理可得幻灯片93●例计算行列式●解幻灯片94幻灯片95●例设 , 的元的余子式和●代数余子式依次记作和,求●及●分析利用幻灯片96●解幻灯片97幻灯片98§7 克拉默法则幻灯片99●二元线性方程组●若令●(方程组的系数行列式)●则上述二元线性方程组的解可表示为幻灯片100一、克拉默法则●如果线性方程组●的系数行列式不等于零,即幻灯片101●那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的,解可以表示成●其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式,即幻灯片102●定理中包含着三个结论:●方程组有解;(解的存在性)●解是唯一的;(解的唯一性)●解可以由公式(2)给出.●这三个结论是有联系的. 应该注意,该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组,至于系数行列式等于零的情形,将在第三章的一般情形中一并讨论.幻灯片103关于克拉默法则的等价命题●设●定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 .●定理4′如果线性方程组无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零.幻灯片104●例解线性方程组●解幻灯片105幻灯片106幻灯片107●线性方程组●常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组,否则称为非齐次线性方程组.●齐次线性方程组总是有解的,因为(0,0,…, 0)就是一个解,称为零解. 因此,齐次线性方程组一定有零解,但不一定有非零解.●我们关心的问题是,齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解.幻灯片108●齐次线性方程组的相关定理●定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式,则齐次●线性方程组只有零解,没有非零解.●定理5′如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.●备注●这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件.●在第三章还将证明这个条件也是充分的. 即:齐次线性方程组有非零解系数行列式等于零幻灯片109●练习题:问取何值时,齐次方程组●有非零解?●解●如果齐次方程组有非零解,则必有 .●所以时齐次方程组有非零解.幻灯片110●思考题●当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?●答:当线性方程组的系数行列式为零时,不能用克拉默法●则解方程组,因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.幻灯片111三、小结● 1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件●(1)方程个数等于未知量个数;●(2)系数行列式不等于零.● 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解●和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要适用于●理论推导.幻灯片112第二章矩阵及其运算幻灯片113§1 矩阵●一、矩阵概念的引入●二、矩阵的定义●三、特殊的矩阵●四、矩阵与线性变换幻灯片114● B一、矩阵概念的引入● C● A●例某航空公司在A、B、C、D 四座城市之间开辟了若干航线,四座城市之间的航班图如图所示,箭头从始发地指向目的地.● D●城市间的航班图情况常用表格来表示:●√●√幻灯片115● A B C D●√●√● A● B● C● D●√●√●√●√●√●为了便于计算,把表中的√改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:●这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.幻灯片116二、矩阵的定义●由 m×n 个数排成的 m 行 n 列的数表●称为 m 行 n 列矩阵,简称 m×n 矩阵.●记作幻灯片117●简记为●这 m×n 个数称为矩阵A的元素,简称为元.●元素是实数的矩阵称为实矩阵,●元素是复数的矩阵称为复矩阵.幻灯片118矩阵行列式●行数不等于列数●共有m×n个元素●本质上就是一个数表●行数等于列数●共有n2个元素幻灯片119●三、特殊的矩阵●行数与列数都等于 n 的矩阵,称为 n 阶方阵.可记作 .●只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量) .●●只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量) .元素全是零的矩阵称为零距阵.可记作 O .●例如:幻灯片120●形如的方阵称为对角阵.●特别的,方阵称为单位阵.●记作●记作.幻灯片121●同型矩阵与矩阵相等的概念●两个矩阵的行数相等、列数相等时,称为同型矩阵.●例如●为同型矩阵.●两个矩阵与为同型矩阵,并且对应元●素相等,即则称矩阵 A 与 B 相等,记作 A = B .幻灯片122●例如●注意:不同型的零矩阵是不相等的.幻灯片123●四、矩阵与线性变换● n 个变量与 m 个变量之间的●关系式●表示一个从变量到变量线性变换,●其中为常数.幻灯片124●系数矩阵●线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.幻灯片125●例线性变换●称为恒等变换.●单位阵 En幻灯片126●例 2阶方阵●投影变换●例2阶方阵●以原点为中心逆时针●旋转j 角的旋转变换幻灯片127§2 矩阵的运算幻灯片128●一、矩阵的加法●定义:设有两个 m×n 矩阵 A = (aij),B = (bij) ,那么矩阵 A 与 B 的和记作 A+B,规定为●说明:只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.幻灯片129●知识点比较幻灯片130●矩阵加法的运算规律●设 A、B、C 是同型矩阵设矩阵 A = (aij) ,记-A = (-aij),称为矩阵 A 的负矩阵.显然幻灯片131●二、数与矩阵相乘●定义:数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l ,规定为幻灯片132●数乘矩阵的运算规律设 A、B是同型矩阵,l , m 是数矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.幻灯片133●知识点比较幻灯片134●一、矩阵与矩阵相乘●定义:设,,那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m×n 矩阵,其中●并把此乘积记作 C = AB.幻灯片135●矩阵乘法的运算规律●(1) 乘法结合律●(2) 数乘和乘法的结合律(其中 l 是数)●(3) 乘法对加法的分配律●(4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1,即●纯量阵不同于对角阵●推论:矩阵乘法不一定满足交换律,但是纯量阵 lE 与任何同阶方阵都是可交换的.幻灯片136●(5) 矩阵的幂若 A 是 n 阶方阵,定义●显然●思考:下列等式在什么时候成立?●A、B可交换时成立幻灯片137●四、矩阵的转置●定义:把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做的转置矩阵,记作AT .●例幻灯片138●转置矩阵的运算性质幻灯片139●解法2幻灯片140●定义:设 A 为 n 阶方阵,如果满足,即●那么 A 称为对称阵.●如果满足 A = -AT,那么 A 称为反对称阵.●对称阵●反对称阵幻灯片141●例:设列矩阵 X = ( x1, x2, …, xn )T 满足 X T X = 1,E 为 n 阶单位阵,H = E-2XXT,试证明 H 是对称阵,且 HHT = E.●证明:●从而 H 是对称阵.幻灯片142●五、方阵的行列式●定义:由 n 阶方阵的元素所构成的行列式,叫做方阵 A 的行列式,记作|A|或detA.●运算性质幻灯片143●定义:行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵●称为矩阵 A 的伴随矩阵.●性质幻灯片144●六、共轭矩阵●当为复矩阵时,用表示的共轭复数,记,称为的共轭矩阵.●运算性质●(设A,B 为复矩阵,l 为复数,且运算都是可行的):幻灯片145§3 逆矩阵幻灯片146●矩阵与复数相仿,有加、减、乘三种运算.●矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢?●这就是本节所要讨论的问题.●这一节所讨论的矩阵,如不特别说明,所指的都是 n 阶方阵.●从乘法的角度来看,n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地位类似于 1 在复数中的地位.一个复数 a ≠ 0的倒数 a-1可以用等式 a a-1 = 1 来刻划. 类似地,我们引入幻灯片147●定义: n 阶方阵 A 称为可逆的,如果有 n 阶方阵 B,使得●这里 E 是 n 阶单位矩阵.●根据矩阵的乘法法则,只有方阵才能满足上述等式.●对于任意的 n 阶方阵 A,适合上述等式的矩阵 B 是唯一的(如果有的话).●定义:如果矩阵 B 满足上述等式,那么 B 就称为 A 的逆矩阵,●记作 A-1 .幻灯片148●下面要解决的问题是:●在什么条件下,方阵 A 是可逆的?如果 A 可逆,怎样求 A-1 ?幻灯片149●结论:,其中幻灯片150●例:求3阶方阵的逆矩阵.●解:| A | = 1,幻灯片151●方阵A可逆●此时,称矩阵A为非奇异矩阵●定理:若方阵A可逆,则.幻灯片152●推论:如果 n 阶方阵A、B可逆,那么、、●与AB也可逆,且幻灯片153●线性变换●的系数矩阵是一个n 阶方阵 A ,若记●则上述线性变换可记作 Y = AX .幻灯片154§4 矩阵分块法幻灯片155前言●由于某些条件的限制,我们经常会遇到大型文件无法上传的情况,如何解决这个问题呢?●这时我们可以借助WINRAR把文件分块,依次上传.●家具的拆卸与装配●问题一:什么是矩阵分块法?问题二:为什么提出矩阵分块法?幻灯片156问题一:什么是矩阵分块法?定义:用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块,这种操作称为对矩阵进行分块;每一个小块称为矩阵的子块;矩阵分块后,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.●这是2阶方阵吗?幻灯片157思考题伴随矩阵是分块矩阵吗?答:不是.伴随矩阵的元素是代数余子式(一个数),而不是矩阵.幻灯片158问题二:为什么提出矩阵分块法?答:对于行数和列数较高的矩阵 A,运算时采用分块法,可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算,体现了化整为零的思想.幻灯片159分块矩阵的加法幻灯片160●若矩阵A、B是同型矩阵,且采用相同的分块法,即●则有●形式上看成是普通矩阵的加法!幻灯片161分块矩阵的数乘幻灯片162●若l 是数,且●则有●形式上看成是普通的数乘运算!幻灯片163分块矩阵的乘法●一般地,设A为m l 矩阵,B为l n矩阵,把A、B 分块如下:幻灯片164按行分块以及按列分块m n 矩阵A 有m 行n 列,若将第i 行记作若将第j 列记作则幻灯片165于是设 A 为 m s 矩阵,B 为 s n 矩阵,若把 A 按行分块,把 B 按列块,则幻灯片166分块矩阵的转置若,则例如:●分块矩阵不仅形式上进行转置,●而且每一个子块也进行转置.幻灯片167分块对角矩阵●定义:设 A 是 n 阶矩阵,若● A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块,●其余子块都为零矩阵,●对角线上的子块都是方阵,●那么称 A 为分块对角矩阵.例如:幻灯片168分块对角矩阵的性质●| A | = | A1 | | A2 | … | As |●若| As | ≠0,则 | A | ≠0,并且幻灯片169第三章矩阵的初等变换与线性方程组幻灯片170知识点回顾:克拉默法则●设●结论 1 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.(P. 24定理4)●结论 1′如果线性方程组无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零. (P.24定理4')●线性方程组的解受哪些因素的影响?●用克拉默法则解线性方程组的两个条件:●(1) 方程个数等于未知量个数;●(2) 系数行列式不等于零.幻灯片171§1 矩阵的初等变换●一、初等变换的概念●二、矩阵之间的等价关系●三、初等变换与矩阵乘法的关系●四、初等变换的应用幻灯片172一、矩阵的初等变换●引例:求解线性方程组幻灯片173●③÷2幻灯片174●②-③●③-2×①●④-3×①幻灯片175●②÷2●③+5×②●④-3×②幻灯片176●④-2×③幻灯片177●①●②●③●恒等式●④●取x3 为自由变量,则●令x3 = c ,则幻灯片178●三种变换:●交换方程的次序,记作;●以非零常数 k 乘某个方程,记作;●一个方程加上另一个方程的 k 倍,记作 .●结论:●由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换,因此变换前后的方程组同解.在上述变换过程中,实际上只对方程组的系数和常数进行运算,未知数并未参与运算.●其逆变换是:幻灯片179●定义:下列三种变换称为矩阵的初等行变换:●对调两行,记作;●以非零常数 k 乘某一行的所有元素,记作;●某一行加上另一行的 k 倍,记作 .●其逆变换是:●初等行变换。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
设某物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔 设某物体作直线运动, 已知速度 是时间间隔
[T1 , T2 ] 上的一个连续函数, 且 v ( t ) ≥ 0 上的一个连续函数,
求物体在这段时间内所经过的路程
τi
t0 t1 t i −1 t i tn
(1)分割 )
T1 = t0 < t1 < t 2 < ⋅ ⋅ ⋅ < t n−1 < t n = T2
四、定积分的几何意义
(1) f ( x ) > 0,
( 2 ) f ( x ) < 0,
∫a f ( x )dx = A
y
b
∫a f ( x )dx = − A
y a b x
b
ya 曲边梯形的面积
y = f (x)
曲边梯形的面积的负值
(3)一般情况: 一般情况: 一般情况
y
( 2)在每个小区间 [ xi −1 , xi ]
上任取一点 ξ i, [ xi −1 , xi ] 以 为底, 为底,f (ξ i ) 为高的小矩
形面积为 Ai = f (ξ i )∆xi
o
a
x1
n
xi −1ξixi
xn−1b
x
(3)曲边梯形面积的近似值为 A ≈ ∑ f (ξi )∆xi 曲边梯形面积的近似值为
积分和
[a , b] 积分区间
注意:积分值仅与被积函数及积分区间有关, 注意:积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关. 而与积分变量的字母无关
b b b
∫a f ( x )dx = ∫a f (t )dt
= ∫ f ( u)du
a
三、存在定理
上连续, 定理1 若 f(x) 在 [a,b] 上连续, 定理1 上可积。 则 f(x) 在 [a,b] 上可积。 上有界, 定理2 若 f(x) 在 [a,b] 上有界, 定理2 且至多有有限个第一类间断点, 且至多有有限个第一类间断点, 上可积。 则 f(x) 在 [a,b] 上可积。
二、定积分的定义
上有界, ) 在 上有界 定义 设函数 f (x)在[a, b]上有界,(1)用分点
a = x0 < x1 < x2 < ⋅ ⋅ ⋅ < xn−1 < xn = b 将 [a,b] 分成 n 个
小区间, 小区间,其长度分别为 ∆x i = x i − x i −1 ( i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅)
a
(九个小矩形) 九个小矩形)
b
x
显然,小矩形越多, 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近 曲边梯形面积. 曲边梯形面积.
(1)在区间 [a , b ] 内插入分点 a = x0 < x1 < x2 < ⋅ ⋅ ⋅ < xn−1 < xn = b, 把区间 [a , b] 分成 n
个小区间 [ xi −1 , xi ] 长度为 ∆xi = xi − xi −1 ;
∆ t i = t i − t i −1
(2)近似 ) (3)求和 ) (4)取极限 )
∆ si ≈ v ( τ i ) ∆ t i
s ≈ ∑ v ( τ i )∆t i
i =1
n
λ = max{∆t1 , ∆t 2 ,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }
n λ →0 i =1
路程的精确值 s = lim ∑ v ( τ i )∆t i
( 2) ∀ξ i ∈ [ xi −1 , xi ] ( i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n)
n i =1
作乘积 f (ξ i )∆xi
(3)并作和 S = ∑ f (ξ i )∆xi 记 λ = max{∆x1 , ∆x2 ,⋅ ⋅ ⋅, ∆xn } 并作和 的任意分法, (4)若对 b]的任意分法,及点 ξ i 的任意取法 )若对[a, 的任意分法
第五章 定积分
第一节 定积分的概念
一、问题的提出
实例1 实例1 求由连续曲线
y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0)
x 轴与直线 x = a、 x = b 所围成的曲边梯形面积
y
y = f (x)
A=?
o
a b x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
(四个小矩形) 四个小矩形)
b
x o
∫a f ( x )dx
b
是介于x 曲线y=f (x)及直线 是介于 轴、曲线 及直线
x=a、x=b之间的各部分面积的代数和, 在x轴 之间的各部分面积的代数和, 之间的各部分面积的代数和 轴 上方的面积取正号, 轴下方的面积取负号。 上方的面积取正号,在x轴下方的面积取负号。 轴下方的面积取负号
+
当 λ → 0 时,和S 总趋于确定的极限 I ,
则称此极限I 则称此极限 为函数 f (x) 在区间 在区间[a,b]上的定积分, 上的
积分上限
记为
积分下限
∫a f ( x )dx = I = lim ∑ f (ξ i )∆xi λ →0
i =1
b
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
i =1
(4)当分割无限加细,即小区间的最大长度 当分割无限加细, 当分割无限加细
λ = max{∆x1 , ∆x2 ,⋅ ⋅ ⋅, ∆xn }趋近于零 (λ → 0) 时,
曲边梯形面积为 A = lim ∑ f (ξ i )∆xi
λ → 0 i =1
n
实例2 (求变速直线运动的路程) 实例2 求变速直线运动的路程)

+

相关文档
最新文档