第41讲不等式的性质与基本不等式及应用

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《高考数学第一轮复习课件》第41讲不等式的性质与基本不等式及应用

(4)a>b,c>0 ac>bc ;a>b,c<0 11 ac<bc . 推论１推论１:a>b>0,c>d>0 12 ac>bd .
13 推论２推论２:a>b>0 an>bn .
n a > n b . 推论３推论３:a>b>0 14
3.基本不等式基本不等式定理1:如果、 ∈ 那么那么a 定理如果a、b∈R,那么 2+b2≥ 如果且仅当a=b时取“＝”号). 时取“ 且仅当时取
第41讲 41讲
不等式的性质与基本不等式及应用
1.了解现实世界与日常生活中的不了解现实世界与日常生活中的不等关系，了解不等式(组的实际背景的实际背景. 等关系，了解不等式组)的实际背景 2.掌握并能运用不等式的性质，掌掌握并能运用不等式的性质，掌握并能运用不等式的性质握比较两个实数大小的一般步骤. 握比较两个实数大小的一般步骤 3.掌握基本不等式，会用基本不等掌握基本不等式，掌握基本不等式式解决简单的最大（值问题. 式解决简单的最大（小）值问题
新课标高中一轮总复习
理数
第六单元不等式及不等式选讲
知识体系
考纲解读
1.不等关系不等关系. 不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（的实际背景. 了解不等式（组）的实际背景 2.一元二次不等式一元二次不等式. 一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 模型 (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 应的二次函数、一元二次方程的联系 (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二会解一元二次不等式，会解一元二次不等式次不等式，会设计求解的程序框图. 次不等式，会设计求解的程序框图

不等式的基本性质ppt课件一

和等式的性质2进行比较，你发现了什么？
练一练
1.说出下面结论的依据 1）若a0 则a-1+1>0+1, 即a>1( ) 2.若a>b，用“<”或“>”填空，并说明理由 1）a-2_____b-2 2) a-b_____0 3.由不等式2a<8得a<4,是在不等式的两边都 _____,根据是_____________
区别：等式的两边都乘（或除以）同一个负数时，等式仍然成立，不等式的两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变；联系：无论是等式还是不等式，在它们的两边同时加（或减）同一个整式及同时乘（或除以）同一个正数，它们仍然成立。
例题讲解
例题：把下列不等式化成 x＜ a 或 x＞ a 的形式：（1）x－7＞26 （2）－2x<50 （3）3x＜2x+1
4.若-2x>10,则x____-5 5.如果a>0,那么5a_____7a
6.在不等式a>b的两边都乘以-1，可得 __________,根据是______
7.若a>b,则-a_____-b；理ห้องสมุดไป่ตู้（
8.若x>y,则ax<ay成立，那么a的取值范围是 a____0.理由( )
）
等式的基本性质和不等式基本性质的异同
你还记等式的基本性质吗？
等式的基本性质
等式的基本性质1：等式两边同时加上（或
减去）同一个整式，所得结果仍是等式。
等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个
数（或除以一个不为0的数），所得结果仍是等式
探讨不等式的基本性质

第41讲--基本(均值)不等式

第41讲基本(均值)不等式夯实基础【p 87】【学习目标】1．了解基本(均值)不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．【基础检测】1．若函数f(x)＝x ＋1x －2(x>2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．42．若a>0，b>0，且14a ＋4b ＝1，则ab 的最大值为______________．3．若a>0，则a ＋82a ＋1的最小值为__________．4．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫y ＋1y 的最小值为________．【知识要点】1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0．(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b ．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ __2ab__(a ，b ∈R )；(2)b a ＋ab ≥__2__(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．典例剖析考点1 利用基本(均值)不等式求最值例1(1)已知xy ＝1，且0<y<22，则x 2＋4y 2x －2y 的最小值为( )A ．4 B.92C ．2 2D ．42(2)已知a>0，b>0，且a 2＋b 22＝1，则a 1＋b 2的最大值为________．考点2 基本(均值)不等式与函数的综合问题例2已知a>b ，二次三项式ax 2＋2x ＋b ≥0对于一切实数x 恒成立，又∃x 0∈R ，使ax 02＋2x 0＋b ＝0，则a 2＋b 2a －b的最小值为__________．例3已知x>0，y>0，且3x ＋y ＝4，求1x ＋1y的最小值．考点3 基本(均值)不等式的实际应用例4桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米．(1)试用x表示S；(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．方法总结1．a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，而a ＋b2≥ab 成立，则要求a >0，b >0.2．利用基本不等式求最值，要注意使用条件：一正(各数为正)，二定(和或积为定值)，三相等(等号在允许取值范围内能取到)，要熟悉均值不等式的各种变形⎝⎛⎭⎫如y ＝ax 2＋bx ＋c x ＝ax ＋c x ＋b .3．连续使用以上公式中的任一个或两个，取等号的条件要在同一条件下取得，方可取到最值．走进高考(2017·天津)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．考点集训【p 231】A 组题1．下列函数中，最小值是2的是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 C ．y ＝lg x ＋1lg x (1<x <10)D ．y ＝x ＋2x－12．小王往返甲、乙两地的时速分别为a 和b (a 1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e5．已知a 2＋2a ＋2x ≤4x 2－x＋1对于任意的x ∈()1，＋∞恒成立，则( )A ．a 的最小值为－3B ．a 的最小值为－4C ．a 的最大值为2D ．a 的最大值为46．若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．7．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．8．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时， 2x ＋1y －2z的最大值为 ________.9．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．B 组题1．已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．3B ．3＋22C ．4D ．82．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b的最小值为( )A.323B.283C.143D.1633．设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a （a －b ）－10ac ＋25c 2的最小值是( )A ．2B ．4C ．2 5D ．54．已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n＝22a 1，则1m ＋4n的最小值为________．5．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 6．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？第41讲基本(均值)不等式夯实基础【p 87】【学习目标】1．了解基本(均值)不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．【基础检测】1．若函数f(x)＝x ＋1x －2(x>2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4【解析】当x>2时，x －2>0，f(x)＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x>2)，即x ＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C .【答案】C2．若a>0，b>0，且14a ＋4b ＝1，则ab 的最大值为________________________________________________________________________．【解析】由1＝14a ＋4b ≥2()ab 14，可得ab ≤116，当且仅当14a ＝4b ＝12，即a ＝4，b＝164时等号成立，因此ab 的最大值为116. 【答案】1163．若a>0，则a ＋82a ＋1的最小值为__________．【解析】由题意可知： a ＋82a ＋1＝a ＋12＋4a ＋12－12≥2⎝⎛⎭⎫a ＋12×4a ＋12－12＝72，当且仅当a ＋12＝4a ＋12，a ＝32时等号成立．综上可得：a ＋82a ＋1的最小值为72.【答案】724．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫y ＋1y 的最小值为________．【解析】z ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫y ＋1y ＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋（x ＋y ）2－2xy xy ＝2xy＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝14.由f(t)＝t ＋2t 在⎝⎛⎦⎤0，14上单调递减，故当t ＝14时f(t)＝t ＋2t 有最小值334，所以当x ＝y ＝12时，z 有最小值254.【答案】254【知识要点】1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b ． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ __2ab__(a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab≥__2__(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0， (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q24(简记：和定积最大)．典例剖析【p 87】考点1 利用基本(均值)不等式求最值例1(1)已知xy ＝1，且0<y<22，则x 2＋4y 2x －2y的最小值为( )A ．4 B.92C ．2 2D ．42【解析】xy ＝1且0<y<22，可知x>2，所以x －2y>0.x 2＋4y 2x －2y ＝()x －2y 2＋4xy x －2y＝x －2y＋4x －2y≥4，当且仅当x ＝3＋1，y ＝3－12 时等号成立．故选A.【答案】A(2)已知a>0，b>0，且a 2＋b 22＝1，则a 1＋b 2的最大值为________．【解析】因为a>0，所以a 1＋b 2＝ 2 a 2⎝⎛⎭⎫12＋b 22≤2⎣⎡⎦⎤a 2＋⎝⎛⎭⎫12＋b 222.又a 2＋⎝⎛⎭⎫12＋b 22＝⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22＋12＝32，所以a 1＋b 2≤2⎝⎛⎭⎫12×32＝324，当且仅当a 2＝12＋b 22，即a ＝32，b ＝22时等号成立，即(a 1＋b 2)max ＝324.【答案】324考点2 基本(均值)不等式与函数的综合问题例2已知a>b ，二次三项式ax 2＋2x ＋b ≥0对于一切实数x 恒成立，又∃x 0∈R ，使ax 02＋2x 0＋b ＝0，则a 2＋b 2a －b的最小值为__________．【解析】不等式恒成立，则a >0且Δ＝4－4ab ≤0，即ab ≥1，又存在x 0∈R ，使ax 02＋2x 0＋b ＝0成立，可得Δ＝0，所以ab ＝1, a >1.可得a 2＋b 2a －b ＝a 2＋1a 2a －1a>0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2a －b 2＝a 4＋1a 4＋2a 2＋1a 2－2＝⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 22⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2－2＝⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2－22＋4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2－4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2－2. 令a 2＋1a 2＝t >2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋1a 3－a 2＝()t －22＋4()t －2＋4t －2＝()t －2＋4＋4t －2≥4＋4＝8. a 2＋b 2a －b的最小值为8＝2 2.故本题应填2 2. 【答案】2 2例3已知x>0，y>0，且3x ＋y ＝4，求1x ＋1y的最小值．【解析】解法一：(消元法)令t ＝1x ＋1y ＝1x ＋14－3x ＝4－2x x （4－3x ），得3tx 2－(4t ＋2)x ＋4＝0，①由①式有解：∴Δ＝(4t ＋2)2－4×4×3t ≥0，即4t 2－8t ＋1≥0，∵t>0，∴t ≥8＋64－168＝1＋32.即1x ＋1y 的最小值为1＋32. 解法二：(“1”的代换)：1x ＋1y ＝（3x ＋y ）4⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝34＋14＋y 4x ＋3x 4y ≥1＋2y 4x ·3x 4y ＝1＋32. 【点评】可利用基本不等式求形如y ＝ax 2＋bx ＋cdx ＋e的值域，但在求解的过程中要注意运用基本不等式时，等号是否成立，若等号不成立，则可以利用函数的单调性求解．考点3 基本(均值)不等式的实际应用例4桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．【解析】(1)由图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝x －63.则总面积S ＝⎝⎛⎭⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝⎛⎭⎫1 800x －6＝a ⎝⎛⎭⎫5 400x －16＝x －63⎝⎛⎭⎫5 400x－16＝1 832－⎝⎛⎭⎫10 800x ＋16x 3，即S ＝1 832－⎝⎛⎭⎫10 800x ＋16x 3(x ＞6)．(2)由S ＝1 832－⎝⎛⎭⎫10 800x ＋16x 3，得S ≤1 832－2 10 800x ·16x3＝1 832－2×240＝1 352.当且仅当10 800x ＝16x3，即x ＝45时取等号．即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．【点评】(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．方法总结【p 87】 1．a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，而a ＋b2≥ab 成立，则要求a >0，b >0.2．利用基本不等式求最值，要注意使用条件：一正(各数为正)，二定(和或积为定值)，三相等(等号在允许取值范围内能取到)，要熟悉均值不等式的各种变形⎝⎛⎭⎫如y ＝ax 2＋bx ＋c x ＝ax ＋c x ＋b .3．连续使用以上公式中的任一个或两个，取等号的条件要在同一条件下取得，方可取到最值．走进高考【p 87】(2017·天津)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值是4. 【答案】4【命题立意】本题考查基本不等式的应用，意在考查考生的运算求解能力．考点集训【p 231】A 组题1．下列函数中，最小值是2的是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2C ．y ＝lg x ＋1lg x (1<x <10)D ．y ＝x ＋2x－1【解析】x <0时， x ＋1x <0，A 错； sin x ＝1时， y ＝sin x ＋1sin x ＝2才能成立，B 错；当x ＝10时， y ＝lg x ＋1lg x ＝2才能成立，C 错；y ＝x ＋2x －1＝x ＋1x ＋1x －1≥33x ·1x ·1x－1＝2，x ＝1x时取等号，D 正确．故选D.【答案】D2．小王往返甲、乙两地的时速分别为a 和b (a a 2－a 2a ＋b＝0，∴v >a .【答案】A3．设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q【解析】∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p .故p＝r ＜q .选C.【答案】C4．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e【解析】因为x >1，y >1，所以ln x >0，ln y >0.又14ln x ，14，ln y 成等比数列，所以14ln x ·ln y ＝⎝⎛⎭⎫142，即ln x ·ln y ＝14.由基本不等式，得14＝ln x ·ln y ≤（ln x ＋ln y ）24＝（ln xy ）24，当且仅当ln x ＝ln y ，即x＝y 时取等号，所以ln xy ≥1，得xy ≥e ，故选C.【答案】C5．已知a 2＋2a ＋2x ≤4x 2－x＋1对于任意的x ∈()1，＋∞恒成立，则( )A ．a 的最小值为－3B ．a 的最小值为－4C ．a 的最大值为2D ．a 的最大值为4【解析】因为x ∈()1，＋∞，所以x －1>0，x >0. 不等式a 2＋2a ＋2x ≤ 4x 2－x＋1可化为a 2＋2a ＋2≤x ⎝⎛⎭⎫4x 2－x ＋1 即a 2＋2a ＋2≤4x －1＋x －1＋1，因为4x －1＋x －1＋1≥24x －1()x －1＋1＝5，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x >14x －1＝x －1，即x ＝3时，上式取“＝”号．所以a 2＋2a ＋2≤5，解得－3≤a ≤1. 故选A.【答案】A6．若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】分离变量得－(4＋a )＝3x ＋43x ≥4，得a ≤－8.【答案】(－∞，－8]7．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．【解析】1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0， ∴k ＝1或k ＝－2(舍)，∴k ＝1.∴f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．∴f (x )的最小值为3. 【答案】1，38．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时， 2x ＋1y －2z的最大值为 ________.【解析】据已知不等式得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，故xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x 2－3xy ＋4y 2xy＝1x y ＋4y x －3，据均值不等式得xy z ＝1x y ＋4y x －3≤12x y ·4y x－3＝1，当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时取得最大值，此时z ＝2y 2且2x ＋1y －2z ＝2y －22y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当y ＝1时取得最大值1.【答案】19．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．【解析】(1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎨⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组题1．已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．3B ．3＋2 2C ．4D ．8【解析】由已知可得定点A (－2，－1)⇒2m ＋n ＝1⇒1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝n m ＋4m n＋4≥2n m ×4mn ＋4＝8，故选D.【答案】D2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b的最小值为( )A.323B.283C.143D.163【解析】由已知得，3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2，其中0<a <23，0b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a （a －b ）－10ac ＋25c 2的最小值是( )A ．2B ．4C ．2 5D ．5【解析】2a 2＋1ab ＋1a （a －b ）－10ac ＋25c 2＝(a －5c )2＋a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝(a －5c )2＋ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a （a －b ）≥0＋2＋2＝4，当且仅当a －5c ＝0，ab ＝1，a (a －b )＝1时，等号成立，即a ＝2，b ＝22，c ＝25时满足条件．【答案】B4．已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n＝22a 1，则1m ＋4n的最小值为________．【解析】设公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5⇒a 5q 2＝a 5q ＋2a 5⇒q 2－q －2＝0(q ＞0)⇒q ＝2.a m ·a n ＝22a 1⇒a 12m －1·a 12n －1＝8a 12⇒2m －1·2n －1＝8⇒m ＋n －2＝3⇒m ＋n ＝5，则1m ＋4n ＝15⎝⎛⎭⎫1m ＋4n (m ＋n ) ＝15⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥15(5＋24)＝95，当且仅当n ＝2m ＝103时等号成立，即1m ＋4n 的最小值为95.【答案】955．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．【解析】∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y ，即x 2＝2，y 2＝12时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6， ∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y ，即x 2＝6，y 2＝32时取等号)．综上可知4≤x 2＋4y 2≤12. 【答案】[4，12] 6．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解析】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为 y x ＝12x ＋80 000x －200≥2 12x ·80 000x－200＝200，当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时等号成立．故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元． (2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400，600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．。

《不等式的性质》教学设计

2.不等式的性质内容是什么？
3.你觉得在做题过程中应注意哪些问题？
学生自己小结，自由发言谈本节课的感受与收获，最后老师强调补充
通过小节使学生对本节课内容进行系统掌握，明了重难点
巩固练习
1.判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”
(1)不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（）
(2)若a＜b，则a＋c＜b＋c.（）
D．a≤0
例3：
（1）两边都乘,得
（2），两边都乘15，得
（3），则
a-4,根据
（4）若，则c0,
根据
学生在练习本上做相应例题，并回答
回答时说明原因理由，解释清楚根据
通过反馈校正检验学生对不等式的性质2和不等式的性质3的掌握情况，纠正并及时强调学生出现的错误，做到查漏补缺
课堂小结
1.本节课你都有哪些收获？
符号指的是正、负号
思考问题，并回答，重点标记该结论
重点强调这两点并让学生重点标记，避免学生在表达和做题过程中出错
反馈校正
例1：将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式,并在数轴上表示：
（1）－2x＞3;
（2）3x＜－9.
例2：若x＞ｙ，则ax＞ay，那么a一定为（）
A．a＞０
B．ａ＜０
C．ａ≥0
教学设计
课题名称
9.1.2不等式的性质
教材
内容分析（课程标准要求）
《不等式的性质》是人教版初中数学教材七年级下册第9章第1节内容。在此之前学生已学习了等式的基本性质，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。根据《课程标准要求》不等式是初中代数的重要内容之一，是已知量与未知量的矛盾统一体。数学关系中的相等与不等是事物运动和平衡的反映，学习研究数量的不等关系，可以更好地认识和掌握事物运动变化的规律。“不等式的性质”是学生学习整个不等式知识的理论基础，为以后学习解不等式（组）起到奠基的作用。

等式性质与不等式高中数学必修第一册课件(共25张ppt)

（2）4 2a 6;1 b 2 5 2a b 8
练习
1、（课本第42页练习第2题）用不等号“>”或“<”填空
(1)如果a>b,c<d,那么a-c__>___b-d
(2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac__<___bd
(3)如果a>b>0,那么 1 __<___ 1
< a2
(4)如果a>b>c>0,那么
思考：你能在这个图中找出些相等关系和不等关系吗?
探究１：
D
a2 b2
b
G
F
A
aHE
1、正方形ABCD的面积
S=＿a＿2 ＿b＿2
２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a__b_.
C
３、S与S’有什么样的关系？ S > S′
a2 b2 2ab
B 问：那么它们有相等的情况吗？
D
a2 b2
c
b
_____
2
c
a
b
2、课本第43页习题2.1第8题
b
G
F
A
aH E
D
C
A
a
C b E(FGH)
B
B
重要不等式：一般地， a,b R,有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。适用范围： a,b∈R
练习
1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系: (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单
位:m)从地面算起不能超过4m； h 4 (2)a与b的和是非负实数； a b 0 (3)如图,在一个面积小于350m2的矩形地基的中
a___b___c_,_a_.b c

不等式的基本性质[整理] [其它]

第34课不等式的基本性质【考点指津】1．不等式的概念用不等号（>、<或≠）联结而成的式子叫做不等式．2．两个实数大小的比较设a 、b ∈R ，则a>b 0>-⇔b a ，0<-⇔ （对称性）性质2 a>b ，c a c b >⇒> （传递性）性质3 a>b ，c b c a +⇒+性质4 a>b ，bc ac c >⇒>0，a>b ，bc ac c <⇒<0以上是不等式的基本性质，以下是不等式的运算性质．性质5 a>b ，d b c a d c +>+⇒> （加法法则）性质6 a>b>0，bd ac d c >⇒>>0 （乘法法则）性质7 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （乘方法则）性质8 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （开方法则）不等式性质在证明不等式和解不等式中有广泛的应用，它也是高考的热点，通常是以客观题形式考查某些性质，有时在证不等式或解不等式过程中间接考查不等式性质．在复习中，对不等式性质的条件与结论，要彻底弄清，特别是对不等式两边平方、开方或同乘上某个数（或式子）时，要注意所得不等式与原不等式是否同向，否则在解题时往往因忽略了某些条件而造成错误．从知识的联系上看，不等式的性质与函数的单调性是相互联系的，因此比较一些实数大小的问题，从不等式性质与函数性质结合的角度去认识是必要的．【知识在线】1．下列命题中，正确的命题是（）①若a>b ，c>b ，则a>c ； ②a>b ，则0lg >ba ； ③若a>b ，c>d ，则ac>bd ； ④若a>b>0，则b a 11<；⑤若db c a >，则ad>bc ； ⑥若a>b ，c>d ，则a-d>b-c ． A ． ①② B ． ④⑥ C ． ③⑥ D ． ③④⑤2．下列命题中，正确的命题是（）A ．a 3>b 3，ab>0ba 11>⇒ B ． m>n>0，a>0a a n m >⇒ C ．b ac b c a >⇒> D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 3．下列命题中正确的是（）A ．若|a|>b ，则a 2>b 2B ．若a>b>c ，则(a-b)c>(b-a)cC ．若a>b ，c>d ，则a-b>c-dD ．若a>b>0，c>d>0，即c bd a > 4．下列命题中，正确的命题是（）A ．若ac>bc ，则a>bB ．若a 2>b 2，则a>bC ．若ba 11>，则ab>1，P=b a lg lg ⋅，)lg (lg 21b a Q +=，)2lg(b a R +=，则（）．A ． R<P<QB ． p<Q<RC ． Q<P<RD ． P<Q<R分析一借助对数函数单调性用基本不等式求解．解法一 ∵ a>b>1，∴ lga>lgb>0． ∴2lg lg lg lg b a b a +<⋅，即P<Q ．又∵2b a ab +<， ∴ 2lg lg b a ab +<． ∴ )2lg()lg (lg 21b a b a +<+，即Q<R ． ∴ P<Q<R ，故选B ．分析二用特殊值法解解法二取a=10000，b=100，则lga=4，lgb=2．∴ P=22，Q=3，R=lg5050．显然P<Q ，R=lg5050>lg1000=3=Q ．∴可排除A 、C 、D ．故选B ．点评不等式性质的考查常与幂函数、指数函数和对数函数的性质的考查结合起来，一般多以选择题的形式出现．此类题目要求考生有较好、较全面的基础知识，一般难度不大．例2 若函数f(x)，g(x)的定义域和值域为R ，则f(x)>g(x)（x ∈R ）成立的充要条件是（）．A ．有1个x ∈R ，使得f(x)>g(x)B ．有无穷多个x ∈R ，使得f(x)>g(x)C ．对R 中任意的x ，都有f(x)>g(x)+1D ． R 中不存在x ，使得f(x)≤g(x)分析 4个命题的关系在证明问题过程中经常使用．原命题：若A 成立，则B 成立，逆命题：若B 成立，则A 成立；否命题：若A 成立则B 成立；逆否命题：若B 成立，则A 成立．其中A ⇒B 与A B ⇒互为充要条件．由于对任意x ∈R ，f(x)>g(x)成立的逆否命题为：在R 中不存在x ，使f(x)≤g(x)成立．答选D ．点评本题也可通过构造特殊函数，采用排除法解决．值得强调的是：不等式的性质的考查方向将更加注重基础性、全面性．题型灵活多变．例3 已知1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3，求3a-2b 的取值范围．分析本题应视a+b 与a-b 为两个整体．解设a+b=u ，a-b=v ，则2v u a +=，2v u b -=． ∴v u b a 252123+=-．由已知1≤u ≤5，-1≤v ≤3，易得-2≤3a-2b ≤10．点评本题常见的错误解法是：由已知，得0≤a ≤4，-1≤b ≤3．进一步，得0≤3a ≤12，-6≤-2b ≤2．从而，得-6≤3a-2b ≤14．由解题过程知，u 与v 各自独立地在区间[1，5]与[-1，3]内取值，从而知v u 2521+可取[-2，10]内的一切值．在错误解法中，得到的0≤a ≤4，-1≤b ≤3已不表明a 与b 可各自独立地在区间[0，4]与[-1，3]内取值了．如a=4，b=3，a+b=7已不满足1≤a+b ≤5．得到的区间[0，4]与[-1，3]应这样理解：对于任意给定的p ∈[1，5]与q ∈[-1，3]，存在a ∈[0，4]，b ∈[-1，3]，使得a+b=p ，a-b=q ．不等式的性质与等式的性质不一样，一般不具有可逆性．掌握不等式性质时要谨防与等式性质做简单类比而致错．【知能集成】1．对不等式性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一性质的条件和结论、注意条件的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系；不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面．单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础．因为解不等式要求的是同解变形．2．高考试题中，对不等式性质的考查主要是：(1) 根据给定的条件，利用不等式的性质、判断不等式或与之有关的结论是否成立．(2) 利用不等式的性质与实数的性质、函数性质的结合，进行数值大小的比较．(3) 判断不等式中条件与结论之间的关系，是充分条件或必要条件或充分必要条件．3．要注意不等式性质成立的条件，例如：在应用“a>b ，ab>0b a 11<⇒”这一性质时．有些同学要么是弱化了条件得a>b b a b 1<⇒．要么是强化了条件而得ba b a 110<⇒>>．【训练反馈】1．（2001年上海春招卷）若a 、b 是实数，则a>b>0是a 2>b 2的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件2．若a>b ，c>d ，则下列不等关系中不一定成立的是（）A ． a-d>b-cB ． a+d>b+cC ． a-c>b-cD ． a-c<a-d3．已知a 、b 、c ∈R ，则下面推理中正确的是（）A ． a>b ⇒am 2>bm 2B ．b ac b c a >⇒> C ． a 3>b 3，ab>0b a 11<⇒ D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 4．（1999年上海卷）若a<b<0，则下列结论中正确的是（）A ．不等式b a 11>和||1||1b a >均不能成立 B ．不等式a b a 11>-和||1||1b a >均不能成立 C ．不等式a b a 11>-和22)1()1(ab b a +>+均不能成立 D ．不等式||1||1b a >和22)1()1(a b b a +>+均不能成立 5．当0<a<b<1时，下列不等式中正确的是（）A ． b b a a )1()1(1->-B ． (1+a)a >(1+b)bC ． a b a a )1()1(->-D ． b a b a )1()1(->-6．（2001年北京春招卷）若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是（）A ． 18B ． 6C ． 32D ． 4327．a 、b 为不等的正数，k ∈N*，则(ab k +a k b)-(a k+1+b k+1)的符号为（）A ．恒正B ．恒负C ．与a 、b 大小有关D ．与k 是奇数或偶数有关8．不等式2>+xy y x 成立的充要条件是（） A ． x>y B ． x ≠y C ． x ≠y 或xy>0 D ． x ≠y 且xy>09．（2000年北京春招卷）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图，则（）A ． )0,(-∞∈bB ． )1,0(∈bC ． )2,1(∈bD ． ),2(+∞∈b10．已知1≤a+b ≤4，-1≤a-b ≤2，则4a-2b 的取值范围为________．11．已知三个不等式：①ab>0，②bd a c ，③bc>ad ．以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题，请用序号写出它们．即_______．（把所有正确的命题都填上）12．已知f(x)=ax 2-c ，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的最大值与最小值．。

基本不等式课件

(1)我们把“风车”造型抽象成平面图形，如图所示，在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形．设直角三角形的长为 a、b，那么正方形的边长为多少？面积为多少？4 个直角三角形的面积和又是多少？
提示： a2＋b2，a2＋b2，2ab．
(2)根据 4 个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得一个怎样的不等式？
解：(1)由 lg a＋lg b＝2 可得 lg ab＝2，即 ab ＝100，且 a>0，b>0，因此由基本不等式可得 a ＋b≥2 ab＝2 100＝20，当且仅当 a＝b＝10 时， a＋b 取到最小值 20.
(2)∵x>0，y>0，2x＋3y＝6， ∴xy＝16(2x·3y)≤16·2x＋2 3y2＝16·622＝32，当且仅当 2x＝3y，即 x＝32，y＝1 时，xy 取到最大值32.
提示：a2＋b2>2ab．
(3)存在 4 个直角三角形的面积和与正方形的面积相等的情况吗？何时相等？图形怎样变化？
提示：当直角三角形变成等腰直角三角形，即 a＝b 时，正方形 EFGH 变成一个点，这时有 a2＋b2＝2ab.
2．归纳总结，核心必记 (1)重要不等式对于任意实数 a、b 有 a2＋b2 ≥ 2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立． (2)基本不等式如果 a>0，b>0 那么 ab ≤ a＋2 b，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
讲一讲 3.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围 36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

2012届高考数学(理科)一轮复习课件(人教版)第8单元第41讲不等关系与不等式的性基本不等式

解析：作差比较法
x y
2
2
x y x y
2
2
x y
2
2 2 x y x y x y
2xy x y ．
因为 x y 0，所以 x y 0， x y 0，所以 2xy x y 0.
1 差值比较法： a
a _ b ① _ _ _ _ _b _ _ _ _ 0；
a b ② _a _ _b _ _ _ 0； a b ③ _ _ _b _ _ 0 . _ _ a_ _ a 2 商值比较法：若 a 0， b 0，则 a b ④ b _ _ _1 _ _ ， a b _ ⑥ __________ . 1 a b ⑤ _ _ _1 _ _ _ _ _ _ ， a b _ a b
__________ 2
2
(当且仅当仅当 a b时取
即平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数．注意关于 a b的两种变形 a b a b
2 2
， ab (
a b 2
) .
2
2
题型一不等式性质的应用
例1 1 ( 2 0 1 1 黄山模拟 )已知 a， b， c， d 均为实数，有
2
2
0，，
所以 a b a ab b
2
2
0，即 a
3
b ，所以
3
a b
2

b a
2
故选 D.
2 设 a， b， c

高考数学复习考点题型专题讲解41 切割线放缩

高考数学复习考点题型专题讲解专题41 切割线放缩1.切线放缩若函数y＝f(x)在区间[a，b]上有凹凸性，可以利用切线y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)进行放缩.(1)若函数y＝f(x)在[a，b]上的图形是凹的(f″(x)>0)，则有f(x)≥f′(x0)(x－x0)＋f(x)；(2)若函数y＝f(x)在[a，b]上的图形是凸的(f″(x)<0)，则有f(x) ≤f′(x0)(x－x0)＋f(x0).2.割线放缩若函数y＝f(x)在区间[a，b]上有凹凸性，可以利用割线y＝f（b）－f（a）b－a(x－a)＋f(a)进行放缩.(1)若函数y＝f(x)在[a，b]上的图形是凹的(f″(x)>0)，则有f(x)≤f（b）－f（a）b－a(x－a)＋f(a).(2)若函数y＝f(x)在[a，b]上的图形是凸的(f″(x)<0)，则有f(x)≥f（b）－f（a）b－a(x－a)＋f(a). 如图类型一切线放缩1.切线放缩证明不等式的原理：f(x)≥(≤)l切≥(≤)g(x).2.利用切线放缩求参数范围：分离参数需找到所设函数的极值点范围后运用切线放缩. 例1 若e x－2x ln x－kx－1≥0对任意实数x>0都成立，求k的取值范围.解由e x－2x ln x－kx－1≥0，得k≤e x－1x－2ln x，设μ(x)＝e x－1x－2ln x，μ′(x)＝1＋e x（x－1）－2xx2，令μ′(x)＝0，得1＋e x(x－1)－2x＝0，∴e x－2－1x－1＝0，记φ(x)＝e x－2－1x－1，则x>1时φ(x)单调递增，x→1时，φ(x)<0，x＝2时，φ(x)>0. 设其根为x0，则x0∈(1，2)，所以μ(x)的极值点在x＝1附近.因此考虑在x＝1处进行切线放缩，而y＝e x－1x在x＝1处的切线为y ＝x ＋e －2，所以有e x－1x≥x ＋e －2，即μ(x )≥x ＋e －2－2ln x .设h (x )＝x －2ln x ＋e －2，h ′(x )＝1－2x，可得h (x )在x ＝2处取最小值，h (2)＝e －2ln 2，即k ≤e－2ln 2. ∴k 的取值范围为(－∞，e －2ln 2]. 训练1 已知f (x )＝e x ＋cos 2x ＋2x 2＋x －2. (1)求f (x )在x ＝0处的切线； (2)求证：f (x )≥ln(2x ＋1).(1)解由题意知f ′(x )＝e x －2sin 2x ＋4x ＋1，则f ′(0)＝2，而f (0)＝0，所以f (x )在x ＝0处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .(2)证明先证f (x )≥2x ，令g (x )＝f (x )－2x ＝e x ＋cos 2x ＋2x 2－x －2，则g ′(x )＝e x －2sin 2x ＋4x －1，g ″(x )＝e x －4cos 2x ＋4>0恒成立， ∴g ′(x )单调递增，又g ′(0)＝0，易知g (x )≥g (0)＝0，∴f (x )≥2x . 再证2x ≥ln(2x ＋1)，令h (x )＝2x －ln(2x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x >－12，h ′(x )＝2－22x ＋1＝4x2x ＋1，令h ′(x )＝0，解得x ＝0. 当x >0时，h ′(x )>0，则h (x )在(0，＋∞)上单调递增；当－12<x <0时，h ′(x )<0，则h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减，所以h (x )≥h (0)＝0，即2x≥ln(2x＋1)，综上f(x)≥ln(2x＋1).类型二切线类的应用1.一般地，给出函数的表达式，证明关于函数零点差的不等式(无等号)，可以考虑切线类技巧来解决.2.切线类的本质是把两零点利用切线的零点来放缩不等式.3.注意数形结合思想的应用.例2(2022·泰安联考)已知函数f(x)＝(x－1)ln(x＋1)，曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程为y＝kx＋b.(1)求k，b的值；(2)证明：f(x)≥kx＋b；(3)若函数g(x)＝f(x)＋m(m∈R)有两个零点x1，x2，证明：|x1－x2|≤1－m－mln 2.(1)解函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ln(x＋1)＋x－1 x＋1，f′(1)＝ln 2.所以切线方程为y＝ln 2·(x－1)，即k＝ln 2，b＝－ln 2.(2)证明设h(x)＝f(x)－kx－b＝(x－1)ln(x＋1)－x ln 2＋ln 2，h′(x)＝ln(x＋1)－2x＋1＋1－ln 2.令F(x)＝h′(x)＝ln(x＋1)－2x＋1＋1－ln 2，则F′(x)＝1x＋1＋2（x＋1）2>0，所以F(x)单调递增，即h′(x)单调递增.又h′(1)＝ln 2－1＋1－ln 2＝0，所以当x∈(－1，1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝0，即h(x)≥0，所以f(x)≥x ln 2－ln 2.(3)证明g(x)＝f(x)＋m(m∈R)的两个零点x1，x2，即为f(x)＝－m的两根，不妨设x1<x2，由题知，曲线y＝f(x)在(1，0)处的切线方程为y＝x ln 2－ln 2，令h(x)＝x ln 2－ln 2，即h(x)＋m＝0，即h(x)＝－m的根为x2′，则x2′＝1－mln 2，由(2)知，f(x2)≥h(x2)，∴h(x2′)＝f(x2)≥h(x2)，∵h(x)单调递增，∴x2′≥x2.设曲线y＝f(x)在(0，0)处的切线方程为y＝t(x)，∵f′(0)＝－1，∴t(x)＝－x，设方程t(x)＋m＝0，即t(x)＝－m的根为x1′，则x1′＝m，令T(x)＝f(x)－t(x)，同理由(2)可得T (x )≥0，即f (x )≥t (x )，f (x 1)≥h (x 1)，∴h (x 1′)＝f (x 1)≥h (x 1)，又f (x )单调递减， ∴x 1′<x 1，∴|x 2－x 1|＝x 2－x 1≤x 2′－x 1′ ＝1－m －m ln 2.训练2 已知函数f (x )＝(x ＋1)(e x －1)，若方程f (x )＝m 有两个实根x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：x 2－x 1≤1＋m （1－2e ）1－e.证明如图，设f (x )在(－1，0)处的切线方程为y ＝h (x )，由f ′(x )＝(x ＋2)e x －1，易得，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1(x ＋1)，令F (x )＝f (x )－h (x )，即F (x )＝(x ＋1)(e x－1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1(x ＋1)，F ′(x )＝(x ＋2)e x －1e，当x ≤－2时，F ′(x )＝(x ＋2)e x －1e ≤－1e<0，当x >－2时，则F ′(x )＝(x ＋2)e x－1e单调递增，又F ′(－1)＝0，所以当x <－1时，F ′(x )<0，当x >－1时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，＋∞)上单调递增，故F (x )≥F (－1)＝0，f (x 1)≥h (x 1)，设h (x )＝m 的根为x 1′，则x 1′＝－1＋m e 1－e，且h (x 1′)＝f (x 1)≥h (x 1)，又函数h (x )单调递减，故x 1′≤x 1，又设f (x )在(0，0)处的切线方程为φ(x )，易得φ(x )＝x . 令g (x )＝(x ＋1)(e x －1)－x ，g ′(x )＝(x ＋2)e x －2，当x ≤－2时，g ′(x )＝(x ＋2)e x －2≤－2<0，当x >－2时，g ′(x )＝(x ＋2)e x －2单调递增，又g ′(0)＝0，所以当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0，所以函数g (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (0)＝0，即(x ＋1)(e x －1)≥x ，故f (x )≥φ(x )，则f (x 2)≥φ(x 2)，设φ(x )＝m 的根为x 2′，则x 2′＝m ，且φ(x 2′)＝f (x 2)≥φ(x 2)，又函数φ(x )单调递增，故x 2′≥x 2，又x 1′≤x 1，x 2－x 1≤x 2′－x 1′≤m －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋m e 1－e ＝1＋m （1－2e ）1－e .类型三割线放缩及割线类1.割线放缩关键是根据不等式的特点和需要，找准相关的函数及其割线，才能恰当的割线放缩.2.割线类本质与切线类类似.例3 已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：cos x ＋tan x >2x . 证明先证∀x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4，sin x ＋tan x >2x ，设f (x )＝sin x ＋tan x －2x ，0<x ≤π4，f ′(x )＝（cos x －1）（cos 2x －cos x －1）cos 2x >0，f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，π4上单调递增，f (x )>f (0)＝0，∴sin x ＋tan x >2x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x ≤π4.于是当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时，有cos x ＋tan x ≥sin x ＋tan x >2x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，利用y ＝cos x 在x ＝π4和x ＝π2之间的割线，有cos x >－22π⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，利用y ＝tan x 在x ＝π4处的展开，有tan x >1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋2⎝⎛⎭⎪⎫x －π42，于是当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，有cos x ＋tan x －2x >1＋2－π2＋π28－⎝ ⎛⎭⎪⎫22π＋πx ＋2x 2，右侧对应的Δ＝8π2＋4π－42－8<0，∴cos x ＋tan x －2x >0恒成立. 综上所述cos x ＋tan x >2x .训练3 已知函数f (x )＝x ln x ，若方程f (x )＝m 有2个根x 1，x 2(x 2>x 1)，求证：x 2－x 1>1＋e m .证明 (割线类)f ′(x )＝1＋ln x ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .又当0<x <1时，f (x )<0，x >1时，f (x )>0，∴－1e <m <0时，f (x )＝m 有2个不等的根x 1，x 2(x 2>x 1).当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 时，可证得：f (x )<－x ，故y ＝m 时，x 1<－m ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1时，可证得：x －1e －1>f (x )，故y ＝m 时，x 2>1＋(e －1)m ，∴x 2－x 1>1＋e m .一、基本技能练1.已知x ∈(0，e)，求证：（e 2－e 2ln x ＋x ）2ln 2x ＋2ln x ＋2>e 25.证明原式等价于(e ln x －1－e(ln x －1))2>15(ln 2x ＋2ln x ＋2).令t ＝ln x －1(t <0)，即证：(e t －e t )2>15t 2＋45t ＋1，取y ＝e t －e t 在t ＝0处的切线，有e t －e t >(1－e)t ＋1，t <0， (e t －e t )2>[(1－e)t ＋1]2＝(e －1)2t 2－2(e －1)t ＋1，当t<0时，有(e－1)2t2>15t2，－2(e－1)t>45t，得证.2.已知x1ln x1＝x2ln x2＝a，且x1<x2，求证：x2－x1<2a＋1＋e－2.证明设函数f(x)＝x ln x，f′(x)＝1＋ln x.取其在x＝e－2和x＝1处的切线，分别为l1：y＝－x－e－2和l2：y＝x－1，如图.直线y＝a与直线l1，函数f(x)的图象和直线l2分别交于x1′，x1，x2，x2′，则有：x1′<x1<x2<x2′，x2－x1<x2′－x1′＝(a＋1)－(－a－e－2)＝2a＋1＋e－2.3.设函数f(x)＝x3＋11＋x，x∈[0，1].求证：(1)f(x)≥1－x＋x2；(2)34<f(x)≤32.证明(1)因为1－x＋x2－x3＝1－（－x）41－（－x）＝1－x41＋x，由于x∈[0，1]，得1－x41＋x≤11＋x，即1－x＋x2－x3≤11＋x，从而得f(x)≥1－x＋x2.(2)由于x∈[0，1]，得x3≤x(割线放缩).故f(x)＝x3＋11＋x≤x＋11＋x－32＋32＝（x－1）（2x＋1）2（x＋1）＋32≤32.当x＝1时恰好等号能同时满足.再结合第(1)问的结论，得到f (x )≥⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924>34，从而得到结论34<f (x )≤32. 二、创新拓展练4.(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x )＝x (1－ln x ).(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a ，b 为两个不相等的正数，且b ln a －a ln b ＝a －b ，证明：2<1a ＋1b<e. (1)解 f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)，因为f (x )＝x (1－ln x )，则f ′(x )＝－ln x .所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减.综上所述，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.(2)证明因为b ln a －a ln b ＝a －b ，所以ln a a －ln b b ＝1b －1a，即1＋ln a a ＝1＋ln b b，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b . 令x 1＝1a ，x 2＝1b，即f (x 1)＝f (x 2).由(1)可知，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则0<x 1<1<x 2<e.要证2<1a ＋1b<e ，即证2<x 1＋x 2<e.①先证x 1＋x 2>2，法一(对称构造)要证x 1＋x 2>2，即证x 2>2－x 1，转化为f (2－x 1)>f (x 2)＝f (x 1)，即证f (2－x 1)－f (x 1)>0.设g (x )＝f (2－x )－f (x )，x ∈(0，1)，则g ′(x )＝ln(2－x )＋ln x ＝ln(－x 2＋2x )，当x ∈(0，1)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，1)上单调递减，则g (x )>g (1)＝0，所以g (x 1)＝f (2－x 1)－f (x 1)>0，即f (2－x 1)>f (x 2)＝f (x 1)，又0<x 1<1，则1<2－x 1<2，且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，2－x 1<x 2，即x 1＋x 2>2.法二(对数均值不等式)⎩⎪⎨⎪⎧ln x >12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，x ∈（0，1），ln x <12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ，x ∈（1，＋∞），⎩⎪⎨⎪⎧f （x 1）＝x 1（1－ln x 1）<x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1，f （x 2）＝x 2（1－ln x 2）>x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，则x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1>x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2，即x 1＋x 2>2.②再证x 1＋x 2<e(切割线放缩).法一(割线处理)由(1)可知，f (x )的极大值点为x ＝1，极大值为f (1)＝1，设过(0，0)，(1，1)的直线l ：y ＝x ，且f (x 1)＝f (x 2)＝m ，当x ∈(0，1)时，f (x )＝x (1－ln x )>x ，l ：y ＝x 与y ＝m 交于点(m ，m )，则x 1<m .要证x 1＋x 2<e ，即证x 1＋x 2<m ＋x 2＝f (x 2)＋x 2<e.设h (x )＝f (x )＋x ＝x (2－ln x )，x ∈(1，e)，则h ′(x )＝1－ln x ，当x ∈(1，e)时，h ′(x )>0，h (x )在(1，e)上单调递增，则h (x )<h (e)＝e ，所以f (x 2)＋x 2＝m ＋x 2<e ，则x 1＋x 2<m ＋x 2＝f (x 2)＋x 2<e.法二(切割线处理)设过(0，0)，(1，1)的直线l 1：y ＝x ，当x∈(0，1)时，f(x)＝x(1－ln x)>x；f(x)在(e，0)处的切线为l：y＝－x＋e，2当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝x(1－ln x)<－x＋e，设f(x1)＝f(x2)＝m，l：y＝x与y＝m交于点(m，m)，1则x1<m，l：y＝－x＋e与y＝m交于点(－m＋e，m)，2则x2<－m＋e，所以x1＋x2<m－m＋e＝e.。

一元一次不等式和一元一次不等式组讲义

一元一次不等式和一元一次不等式组知识点一：不等式1、不等式的基本性质性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。

若a>b ，则a+c>b+c （a-c>b-c ）。

性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。

若a>b 且c>0，则ac>bc 。

性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。

若a>b 且c<0，则ac<bc 。

2、同解不等式：如果几个不等式的解集相同，那么这几个不等式称为同解不等式。

知识点二：一元一次不等式1、定义：像276x x -<，39x ≤等只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，系数不为0，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的标准形式： 0ax b +>（0a ≠）或0ax b +<（0a ≠）。

3、一元一次不等式组的解集确定：若a>b则（1）当⎩⎨⎧>>b x a x 时，则a x >，即“大大取大” （2）当⎩⎨⎧<<bx a x 时，则b x <，即“小小取小”（3）当⎩⎨⎧>b x a x 时，则无解，即“大大小小取不了” 知识点三：一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。

如：，。

要点诠释：在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；(2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。

知识点四：一元一次不等式组的解集组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分。

不等式的基本性质教案

1.2 不等式的基本性质教学目标（一）教学知识点1.探索并掌握不等式的基本性质；2.理解不等式与等式性质的联系与区别.（二）能力训练要求通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力.（三）情感与价值观要求通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流.教学重点探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用.教学难点能根据不等式的基本性质进行化简.教学方法类推探究法即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质.教具准备投影片两张第一张：（记作§1.2 A ）第二张：（记作§1.2 B ）教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？［生］记得.等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证.Ⅱ.新课讲授1.不等式基本性质的推导［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法.［生］∵3＜5∴3+2＜5+23－2＜5－23+a ＜5+a3－a ＜5－a所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.［师］很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究.［生］∵3＜5∴3×2＜5×23×21＜5×21. 所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变.［生］不对.如3＜53×（－2）＞5×（－2）所以上面的总结是错的.［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明.［生］如3＜43×3＜4×33×31＜4×31 3×（－3）＞4×（－3）3×（－31）＞4×（－31） 3×（－5）＞4×（－5）由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导.［生］当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变.［师］因此，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用. 2.用不等式的基本性质解释π42l ＞162l 的正确性［师］在上节课中，我们知道周长为l 的圆和正方形，它们的面积分别为π42l 和162l ，且有π42l ＞162l 存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？［生］∵4π＜16 ∴π41＞161 根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2得 π42l ＞162l 3.例题讲解将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式：（1）x －5＞－1;（2）－2x ＞3;（3）3x ＜－9.［生］（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得x ＞－1+5即x ＞4;（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x ＜－23; （3）根据不等式的基本性质2，两边都除以3，得x ＜－3.说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否.4.议一议或除以某一个数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨论的是字母，因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负.本题难度较大，请大家全面地加以考虑，并能互相合作交流.［生］（1）正确∵a ＜b ，在不等式两边都加上c ，得a+c ＜b+c;∴结论正确.同理可知（2）正确.（3）根据不等式的基本性质2，两边都乘以c ，得ac ＜bc,所以正确.（4）根据不等式的基本性质2，两边都除以c ，得c a ＜cb 所以结论错误.［师］大家同意这位同学的做法吗？［生］不同意.［师］能说出理由吗？［生］在（1）、（2）中我同意他的做法，在（3）、（4）中我不同意，因为在（3）中有a ＜b,两边同时乘以c 时，没有指明c 的符号是正还是负，若为正则不等号方向不变，若为负则不等号方向改变，若c=0，则有ac=bc,正是因为c 的不明确性，所以导致不等号的方向可能是变、不变，或应改为等号.而结论ac ＜bc.只指出了其中一种情况，故结论错误.在（4）中存在同样的问题，虽然c ≠0,但不知c 是正数还是负数，所以不能决定不等号的方向是否改变，若c ＞0,则有c a ＜c b ,若 c ＜0，则有c a ＞cb ,而他只说出了一种情况，所以结果错误.［师］通过做这个题，大家能得到什么启示呢？［生］在利用不等式的性质2和性质3时，关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数，从而确定不等号的改变与否.［师］非常棒.我们学习了不等式的基本性质，而且做过一些练习，下面我们再来研究一下等式和不等式的性质的区别和联系，请大家对比地进行.［生］不等式的基本性质有三条，而等式的基本性质有两条.区别：在等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时会出现两种情况，若为正数则不等号方向不变，若为负数则不等号的方向改变.联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上（或减去），同时乘以（或除以，除数不为0）同一个数时的情况.且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似.Ⅲ.课堂练习1.将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式.（1）x －1＞2 （2）－x ＜65 ［生］解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x ＞3（2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得5x＞－62.已知x＞y,下列不等式一定成立吗？（1）x－6＜y－6;（2）3x＜3y;（3）－2x＜－2y.解：（1）∵x＞y,∴x－6＞y－6.∴不等式不成立；（2）∵x＞y,∴3x＞3y∴不等式不成立；（3）∵x＞y,∴－2x＜－2y∴不等式一定成立.1.本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质.2.利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空.Ⅴ.课后作业习题1.2Ⅵ.活动与探究1.比较a与－a的大小.解：当a＞0时，a＞－a;当a=0时，a=－a;当a＜0时，a＜－a.说明：解决此类问题时，要对字母的所有取值进行讨论.2.有一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大哪个小？解：原来的两位数为10b+a.调换后的两位数为10a+b.根据题意得10a+b＞10b+a.根据不等式的基本性质1，两边同时减去a，得9a+b＞10b两边同时减去b ，得9a ＞9b根据不等式的基本性质2，两边同时除以9，得a ＞b.参考练习1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式：（1）x －2＜3;（2）6x ＜5x －1;（3）21x ＞5;（4）－4x ＞3. 2.设a ＞b.用“＜”或“＞”号填空. （1）a －3 b －3;（2）2a 2b ; （3）－4a －4b;（4）5a 5b;（5）当a ＞0,b 0时，ab ＞0; （6）当a ＞0,b 0时，ab ＜0;（7）当a ＜0,b 0时，ab ＞0;（8）当a ＜0,b 0时，ab ＜0.参考答案：1.（1）x ＜5;（2）x ＜－1;（3）x ＞10;（4）x ＜－43. 2.（1）＞（2）＞（3）＜（4）＞（5）＞（6）＜（7）＜（8）＞.。

高考数学考点知识专题讲解与练习41---等式性质与不等式性质

高考数学考点知识专题讲解与练习等式性质与不等式性质学习目标 1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一等式的基本性质 (1)如果a ＝b ，那么b ＝a . (2)如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c . (3)如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c . (4)如果a ＝b ，那么ac ＝bc . (5)如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c . 知识点二不等式的性质性质别名性质内容注意 1 对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 2 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c 不可逆 3 可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c可逆 4可乘性⎭⎪⎬⎪⎫a >b c >0⇒ac >bc c 的符⎭⎪⎬⎪⎫a >b c <0⇒ac <bc 号5同向可加性⎭⎪⎬⎪⎫a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6 同向同正可乘性⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd 同向7可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正1．若a >b ，则a －c >b －c .( √ ) 2.ab >1⇒a >b .( × ) 3．a >b ⇔a ＋c >b ＋c .( √ ) 4.⎩⎨⎧a >b ，c >d⇔a ＋c >b ＋d .( × )一、利用不等式的性质判断或证明例1 (1)给出下列命题： ①若ab >0，a >b ，则1a <1b ； ②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ；③对于正数a ，b ，m ，若a 0，则1 ab>0，又a>b，所以aab>bab，所以1a<1b，所以①正确；对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，则7－0<6－(－10)，②错误；对于③，对于正数a，b，m，若a<b，则am<bm，所以am＋ab<bm＋ab，所以0<a(b＋m)<b(a＋m)，又1b(b＋m)>0，所以ab<a＋mb＋m，③正确．综上，真命题的序号是①③.(2)已知a>b>0，c<d<0.求证：3ad<3bc.证明因为c<d<0，所以－c>－d>0.所以0<－1c<－1d.又因为a>b>0，所以－ad>－bc>0.所以3－ad>3－bc，即－3ad>－3bc，两边同乘－1，得3ad<3bc.反思感悟(1)首先要注意不等式成立的条件，在解决选择题时，可利用特值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．(2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导．跟踪训练1若1a<1b<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3. 则不正确的不等式的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析由1a<1b<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①②均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，③正确；a3>b3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.二、利用性质比较大小例2若P＝a＋6＋a＋7，Q＝a＋5＋a＋8(a>－5)，则P，Q的大小关系为() A．P<Q B．P＝QC．P>Q D．不能确定答案 C解析P2＝2a＋13＋2(a＋6)(a＋7)，Q2＝2a＋13＋2(a＋5)(a＋8)，因为(a＋6)(a＋7)－(a＋5)(a＋8)＝a2＋13a＋42－(a2＋13a＋40)＝2>0，所以(a＋6)(a＋7)>(a＋5)(a＋8)，所以P2>Q2，所以P>Q.反思感悟比较大小的两种方法跟踪训练2下列命题中一定正确的是()A．若a>b，且1a>1b，则a>0，b<0B．若a>b，b≠0，则a b>1C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d D．若a>b，且ac>bd，则c>d答案 A解析对于A，∵1a>1b，∴b－aab>0，又a>b，∴b－a<0，∴ab<0，∴a>0，b<0，故A正确；对于B ，当a >0，b <0时，有ab <1，故B 错；对于C ，当a ＝10，b ＝2时，有10＋1>2＋3，但1<3，故C 错；对于D ，当a ＝－1，b ＝－2时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故D 错．三、利用不等式的性质求范围例3 已知12<a <60,15<b <36.求a －b 和ab 的取值范围．解∵15<b <36，∴－36<－b <－15， ∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45. 又136<1b <115，∴1236<a b <6015，即13<a b <4. 故－24<a －b <45，13<ab <4. 延伸探究已知1≤a －b ≤2且2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．解令a ＋b ＝μ，a －b ＝ν，则2≤μ≤4,1≤ν≤2.由⎩⎨⎧a ＋b ＝μ，a －b ＝ν，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝μ＋ν2，b ＝μ－ν2，∴4a －2b ＝4·μ＋ν2－2·μ－ν2＝2μ＋2ν－μ＋ν＝μ＋3ν. 而2≤μ≤4,3≤3ν≤6，则5≤μ＋3ν≤10， ∴5≤4a －2b ≤10.反思感悟同向不等式是有可加性与可乘性(需同正)，但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．跟踪训练3 已知0<a ＋b <2，－10，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b 答案 C解析由a ＋b >0知，a >－b ，∴－a 0，∴a >－b >b >－a .2．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B.a c >bc ⇒a >bC.⎭⎪⎬⎪⎫a >bab <0⇒1a >1b D.⎭⎪⎬⎪⎫ab >0a >b ⇒1a >1b 答案 C解析当c ＝0时，A 不成立；当c <0时，B 不成立；当ab <0时，a >b ⇒a ab 1b ，C 成立．同理可证D 不成立． 3．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >b c B.a d b d D.a c －d >0，即1－d >1－c>0. 又a >b >0，所以a －d >b －c，从而有a d b >c ，则下列不等式成立的是( ) A.1a －c >1b －c B.1a －c <1b －cC ．ac >bcD ．ac <bc 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴a －c >b －c >0，∴1a －c <1b －c，故选B.5．若α，β满足－12<α<β<12，则α－β的取值范围是________．答案－1<α－β<0 解析 ∵－12<α<12，－12<－β<12， ∴－1<α－β<1.又α<β，∴α－β<0，∴－1<α－β<0.1．知识清单： (1)等式的性质．(2)不等式的性质及其应用．2．方法归纳：作商比较法，乘方比较法．3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．1．如果a <0，b >0，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a <1b B.－a |b | 答案 A解析 ∵a <0，b >0，∴1a <0，1b >0，∴1a <1b ，故选A.2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bc C.c 2a －b >0 D ．(a －b )c 2≥0 答案 D解析∵a>b，∴a－b>0，∴(a－b)c2≥0，故选D.3．已知a>b>c，则1b－c＋1c－a的值是()A．正数B．负数C．非正数D．非负数答案 A解析1b－c＋1c－a＝c－a＋b－c(b－c)(c－a)＝b－a(b－c)(c－a)，∵a>b>c，∴b－c>0，c－a<0，b－a<0，∴1b－c＋1c－a>0，故选A.4．若x>1>y，下列不等式不一定成立的是() A．x－y>1－y B．x－1>y－1C．x－1>1－y D．1－x>y－x答案 C解析利用性质可得A，B，D均正确，故选C. 5．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a答案 D解析∵a<0，b<－1，∴ab>0，b2>1，∴0<1b2<1，∴0>ab2>a1，∴a b >a b 2>a .6．不等式a >b 和1a >1b 同时成立的条件是________．答案 a >0>b解析若a ，b 同号，则a >b ⇒1a <1b .7．给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a >|b |⇒a 2>b 2；③a >b ⇒a 3>b 3；④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析 ①当c 2＝0时不成立；②一定成立；③当a >b 时，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立； ④当b <0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.8．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是________．答案 z >y >x解析 ∵a >b >c >0，y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2＝2ac －2bc＝2c (a －b )>0，∴y 2>x 2，即y >x .同理可得z >y ，故z >y >x .9．判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)若a b ；(3)若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ；(4)若a >b ，b >c ，则a －b >b －c .解 (1)假命题．∵a 0，∴1a >1b 不一定成立，∴推不出c a <c b ，∴是假命题．(2)假命题．当c >0时，c －3>0，则a b ，b >c 这两个条件，但是a －b ＝2<b －c ＝3，∴是假命题．10．若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，求2a ＋3b 的取值范围．解设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝52，y ＝－12.因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132，所以－92<2a ＋3b <132.11．下列命题正确的是( )A ．若ac >bc ，则a >bB ．若a 2>b 2，则a >bC ．若1a >1b ，则a <bD ．若a 0，b <0，其不成立；对于D ，其中a ≥0，b >0，平方后显然有a y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |答案 C解析因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎨⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 13．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2C.a c 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c | 答案 C解析对于A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a>1b，∴A不成立；对于B，若a＝1，b＝－2，则a2<b2，∴B不成立；对于C，∵c2＋1≥1，且a>b，∴ac2＋1>bc2＋1恒成立，∴C成立；对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．14．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c ＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是()A．d>b>a>c B．b>c>d>aC．d>b>c>a D．c>a>d>b答案 A解析∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴b<d.又a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.15．若x>0，y>0，M＝x＋y1＋x＋y，N＝x1＋x＋y1＋y，则M，N的大小关系是()A．M＝N B．M<NC．M≤N D．M>N答案 B解析∵x>0，y>0，∴x＋y＋1>1＋x>0,1＋x＋y>1＋y>0，∴x1＋x＋y<x1＋x，y1＋x＋y<y1＋y，故M＝x＋y1＋x＋y ＝x1＋x＋y＋y1＋x＋y<x1＋x＋y1＋y＝N，即M<N.16．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：e(a－c)2>e(b－d)2.证明∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又a>b>0，∴a－c>b－d>0，则(a－c)2>(b－d)2>0，即1(a－c)2<1(b－d)2.又e<0，∴e(a－c)2>e(b－d)2.。

人教版初一数学下册：不等式及其性质(基础)知识讲解

附录资料：不等式及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)(3)x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言，x ＜a 或x ≤a 向左画．注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【高清课堂：一元一次不等式370042 不等式的基本性质】要点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c ．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc (或a b c c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc (或a b c c<)．要点诠释：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示： (1)x 与-3的和是负数；(2)x 与5的和的28％不大于-6； (3)m 除以4的商加上3至多为5．【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．【答案与解析】解：(1)x -3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34m+≤5．【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，则有x -y ＞0；若x 小于y ，则有x -y ＜0等．举一反三：【变式】（2015春•陕西校级期末）下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y ＜0；③x=3；④x+y 中，是不等式的个数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B．类型二、不等式的解及解集2.对于不等式4x+7(x-2)＞8不是它的解的是()A．5 B．4 C．3 D．2【思路点拨】根据不等式解的定义作答．【答案】D【解析】解：当x＝5时，4x+7(x-2)＝41＞8，当x＝4时，4x+7(x-2)＝30＞8，当x＝3时，4x+7(x-2)＝19＞8，当x＝2时，4x+7(x-2)＝8．故知x＝2不是原不等式的解．【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的．3.不等式x＞1在数轴上表示正确的是()【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可．【答案】C【解析】解：∵不等式x＞1∴在数轴上表示为:故选C．【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集．【高清课堂：一元一次不等式370042练习2】举一反三：【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．A．－2＜x＜4 B.－2＜x≤4 C.－2≤x＜4 D.－2≤x≤4【答案】B类型三、不等式的性质4.（2015•浙江模拟）若x＞y，则下列式子中错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞【思路点拨】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．【答案】C ．【解析】解：A 、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A 正确； B 、不等式的两边都加3，不等号方向不变，故B 正确； C 、不等式的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故C 错误； D 、不等式的两边都除以3，不等号的方向改变，故D 正确；故选：C ．【总结升华】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．举一反三：【变式】三角形中任意两边之差与第三边有怎样的关系？【答案】解：如图，设c ,b ,a 为任意一个三角形的三条边，则：b ac ,a c b ,c b a >+>+>+移项可得：a b c ,c a b ,b c a ->->-> 即：三角形两边的差小于第三边．附录资料：一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34. xx>⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【高清课堂：第二讲一元一次不等式组的解法370096 例2】举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______；(2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______；(3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______．【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2. 解下列不等式组(1) 313112123x x x x +<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①②（2）213(1)4x x x +>-≥-．【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】解：(1)解不等式①，得x ＜-2解不等式②，得x ≥-5故原不等式组的解集为-5≤x ＜-2．其解集在数轴上表示如图所示．（2）原不等式可变为：213(1)3(1)4x x x x +>-⎧⎨-≥-⎩①②解①得：4x < 解②得：12x ≥-故原不等式组的解集为142x -≤<．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三：【变式】（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x名学生，根据题意，得：437611 4376132x xx x+>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（），不等式(1)的解集是：x ＜2121；不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121，因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4.（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【高清课堂：实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤，又x 为整数，所以5x =或6或7， ∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）． ∴方案1运费最少，应选方案1．。

(新课标)人教版高中教材目录

(新课标)人教版高中教材目录——数学必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量间的相关关系第三章概率3．1 随机事件的概率3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换1必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例1．3 实习作业第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3．4 基本不等式======================================================== 选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 变化率与导数3．2 导数的计算3．3 导数在研究函数中的应用3．4 生活中的优化问题举例选修1－2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4．1 流程图4．2 结构图2选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修4-1 几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线3选修4-4 坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4-5 不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式4(新课标)人教版高中教材目录——政治必修1 经济生活【第一单元生活与消费】第一课神奇的货币揭开货币的神秘面纱信用工具和外汇第二课多变的价格影响价格的因素价格变动的影响第三课多彩的消费消费及其类型树立正确的消费观综合探究正确对待金钱【第二单元生产、劳动与经营】第四课生产与经济制度发展生产满足消费我国的基本经济制度第五课企业与劳动者公司的经营新时代的劳动者第六课投资理财的选择储蓄存款和商业银行股票、债券和保险综合探究做好就业与自主创业的准备【第三单元收入与分配】第七课个人收入的分配按劳分配为主体多种分配方式并存收入分配与社会公平第八课财政与税收国家财政征税和纳税综合探究提高效率促进公平【第四单元发展社会主义市场经济】第九课走进社会主义市场经济市场配置资源社会主义市场经济第十课社会发展观和小康社会的经济建设全面建设小康社会的经济目标又好又快科学发展第十一课经济全球化与对外开放面对经济全球化积极参与国际经济竞争与合作综合探究经济全球化与中国5【第一单元公民的政治生活】第一课生活在人民当家作主的国家人民民主专政：本质是人民当家作主政治权利与义务：参与政治生活的基础和准则政治生活：有序参与第二课我国公民的政治参与民主选举：投出理性一票民主决策：作出最佳选择民主管理：共创幸福生活民主监督：守望公共家园综合探究有序与无序的政治参与【第二单元为人民服务的政府】第三课我们政府是人民的政府政府的职能：管理与服务政府的责任：对人民负责第四课我国政府受人民的监督政府的权力：依法行使权力的行使：需要监督综合探究政府的权威从何而来【第三单元发展社会主义民主政治】第五课我国的人民代表大会制度人民代表大会：国家权力机关人民代表大会制度：我国的根本政治制度第六课我国的政党制度中国共产党执政：历史和人民的选择中国共产党：以人为本执政为民共产党领导的多党合作和政治协商制度：中国特色的政党制度第七课我国的民族区域自治制度及宗教政策处理民族关系的原则：平等、团结、共同繁荣民族区域自治制度：适合国情的基本政治制度我国的宗教政策综合探究社会主义民主政治的特点和优势【第四单元当代国际社会】第八课走近国际社会国际社会的主要成员：主权国家和国际组织国际关系的决定性因素：国家利益第九课维护世界和平促进共同发展和平与发展：时代的主题世界多极化：不可逆转我国外交政策的宗旨：维护世界和平促进共同发展6【第一单元文化与生活】第一课文化与社会体味文化文化与经济、政治第二课文化对人的影响感受文化影响文化塑造人生综合探究聚焦文化竞争力【第二单元文化传承与创新】第三课文化的多样性与文化传播世界文化的多样性文化在交流中传播第四课文化的继承性与文化发展传统文化的继承文化在继承中发展第五课文化创新文化创新的源泉和作用文化创新的途径综合探究建设“学习型社会”【第三单元中华文化与民族精神】第六课我们的中华文化源远流长的中华文化博大精深的中华文化第七课我们的民族精神永恒的中华民族精神弘扬中华民族精神综合探究铸牢中华民族的精神支柱【第四单元发展中国特色社会主义文化】第八课走进文化生活色彩斑斓的文化生活在文化生活中选择第九课推动社会主义文化大发展大繁荣坚持先进文化的前进方向建设社会主义精神文明第十课文化发展的中心环节加强思想道德建设思想道德修养与科学文化修养综合探究感悟当代中国的先进文化7必修4 生活与哲学【第一单元生活智慧与时代精神】第一课美好生活的向导生活处处有哲学关于世界观的学说第二课百舸争流的思想哲学的基本问题唯物主义和唯心主义第三课时代精神的精华真正的哲学都是自己时代的精神上的精华哲学史上的伟大变革综合探究走进哲学问辩人生【第二单元探索世界与追求真理】第四课探究世界的本质世界的物质性认识运动把握规律第五课把握思维的奥妙意识的本质意识的作用第六课求索真理的历程人的认识从何而来在实践中追求和发展真理综合探究求真务实与时俱进【第三单元思想方法与创新意识】第七课唯物辩证法的联系观世界是普遍联系的用联系的观点看问题第八课唯物辩证法的发展观世界是永恒发展的用发展的观点看问题第九课唯物辩证法的实质与核心矛盾是事物发展的源泉和动力用对立统一的观点看问题第十课创新意识与社会进步树立创新意识是唯物辩证法的要求创新是民族进步的灵魂综合探究坚持唯物辩证法反对形而上学【第四单元认识社会与价值选择】第十一课寻觅社会的真谛社会发展的规律社会历史的主体第十二课实现人生的价值价值与价值观价值判断与价值选择价值的创造与实现综合探究坚定理想铸就辉煌思想政治选修1 科学社会主义常识思想政治选修2 经济学常识思想政治选修4 科学思维常识思想政治选修5 生活中的法律常识思想政治选修6 公民道德与伦理常识8(新课标)人教版高中教材目录——历史必修一第一单元古代中国的政治制度第一课夏、商、西周的政治制度第二课秦朝中央集权制度的形成第三课从汉至元政治制度的演变第四课明清君主专制的加强第二单元古代希腊罗马的政治制度第五课古代希腊民主政治第六课罗马法的起源与发展探究活动课“黑暗”的西欧中世纪——历史素材阅读与研讨第三单元近代西方资本主义政治制度的确立与发展第七课英国君主立宪制的建立第八课美国联邦政府的建立第九课资本主义政治制度在欧洲大陆的扩展第四单元近代中国反侵略、求民主的潮流第十课鸦片战争第十一课太平天国运动第十二课甲午中日战争和八国联军侵华第十三课辛亥革命第十四课新民主主义革命的崛起第十五课国共的十年对峙第十六课抗日战争第十七课解放战争第五单元从科学社会主义理论到社会主义制度的建立第十八课马克思主义的诞生第十九课俄国十月革命的胜利第六单元现代中国的政治建设与祖国统一第二十课新中国的民主政治建设第二十一课民主政治建设的曲折发展第二十二课祖国统一大业第七单元现代中国的对外关系第二十三课新中国初期的外交第二十四课开创外交新局面第八单元当今世界政治格局的多极化趋势第二十五课两极世界的形成第二十六课世界多极化趋势的出现第二十七课世纪之交的世界格局必修二第一单元古代中国经济的基本结构与特点第一课发达的古代农业第二课古代手工业的进步第三课古代商业的发展第四课古代的经济政策第二单元资本主义世界市场的形成和发展第五课开辟新航路第六课殖民扩张与世界市场的拓展第七课第一次工业革命第八课第二次工业革命第三单元近代中国经济结构的变动与资本主义的曲折发展第九课近代中国经济结构的变动第十课中国民族资本主义的曲折发展第四单元中国特色社会主义建设的道路第十一课经济建设的发展和曲折第十二课从计划经济到市场经济第十三课对外开放格局的初步形成第五单元中国近代社会生活的变迁第十四课物质生活与习俗的变迁第十五课交通工具和通讯工具的进步第十六课大众传媒的变迁探究活动课中国民生百年变迁（20世纪初～21世纪）──历史展览第六单元世界资本主义经济政策的调整第十七课空前严重的资本主义世界经济9危机第十八课罗斯福新政第十九课战后资本主义的新变化第七单元苏联的社会主义建设第二十课从“战时共产主义”到“斯大林模式”第二十一课二战后的苏联经济改革第八单元世界经济的全球化趋势第二十二课战后资本主义世界经济体系的形成第二十三课世界经济的区域集团化第二十四课世界经济的全球化趋势必修三第一单元中国传统文化主流思想的演变第1课“百家争鸣”和儒家思想的形成第2课“罢黜百家，独尊儒术”第3课宋明理学第4课明清之际活跃的儒家思想第二单元西方人文精神的起源及其发展第5课西方人文主义思想的起源第6课文艺复兴和宗教改革第7课启蒙运动第三单元古代中国的科学技术与文学艺术第8课古代中国的发明和发现第9课辉煌灿烂的文学第10课充满魅力的书画和戏曲艺术探究活动课中国传统文化的过去、现在与未来──历史小论文第四单元近代以来世界的科学历程第11课物理学的重大进展第12课探索生命起源之谜第13课从蒸汽机到互联网第五单元近代中国的思想解放潮流第14课从“师夷长技”到维新变法第15课新文化运动与马克思主义的传播第六单元20世纪以来中国重大思想理论成果第16课三民主义的形成和发展第17课毛泽东思想第18课新时期的理论探索第七单元现代中国的科技、教育与文学艺术第19课建国以来的重大科技成就第20课“百花齐放”“百家争鸣”第21课现代中国教育的发展第八单元19世纪以来的世界文学艺术第22课文学的繁荣第23课美术的辉煌第24课音乐与影视艺术第一单元梭伦改革第1课雅典城邦的兴起第2课除旧布新的梭伦改革第3课雅典民主政治的奠基石第一单元资料与注释第1课改革变法风潮与秦国历史机遇第2课“为秦开帝业”──商鞅变法第3课富国强兵的秦国第二单元资料与注释第1课改革迫在眉睫第2课北魏孝文帝的改革措施第3课促进民族大融合第三单元资料与注释第1课社会危机四伏和庆历新政第2课王安石变法的主要内容第3课王安石变法的历史作用第四单元资料与注释探究活动课一历史上的改革与发展10第五单元欧洲的宗教改革第1课宗教改革的历史背景第2课马丁·路德的宗教改革第3课宗教改革运动的扩展第五单元资料与注释第六单元穆罕默德·阿里改革第1课18世纪末19世纪初的埃及第2课穆罕默德·阿里改革的主要内容第3课改革的后果第六单元资料与注释第七单元1861年俄国农奴制改革第1课19世纪中叶的俄国第2课农奴制改革的主要内容第3课农奴制改革与俄国的近代化第七单元资料与注释探究活动课二古老文化与现代文明第八单元日本明治维新第1课从锁国走向开国的日本第2课倒幕运动和明治政府的成立第3课明治维新第4课走向世界的日本第八单元资料与注释第九单元戊戌变法第1课甲午战争后民族危机的加深第2课维新运动的兴起第3课百日维新第4课戊戌政变第九单元资料与注释探究活动课三改革成败的机遇与条件选修二近代社会的民主思想与实践第一单元专制理论与民主思想的冲突第1课西方专制主义理论第2课近代西方的民主思想第二单元英国议会与国王的斗争第1课英国议会与王权矛盾的激化第2课民主与专制的反复较量第三单元向封建专制统治宣战的檄文第1课美国《独立宣言》第2课法国《人权宣言》第3课《中华民国临时约法》探究活动课一撰写历史短评──试评辛亥革命和《中华民国临时约法》第四单元构建资产阶级代议制的政治框架第1课英国君主立宪制的建立第2课英国责任制内阁的形成第3课美国代议共和制度的建立第五单元法国民主力量与专制势力的斗争第1课法国大革命的最初胜利第2课拿破仑帝国的建立与封建制度的复辟第3课法国资产阶级共和制度的最终确立第六单元近代中国的民主思想与反对专制的斗争第1课西方民主思想对中国的冲击第2课中国资产阶级的民主思想第3课资产阶级民主革命的酝酿和爆发第4课反对复辟帝制、维护共和的斗争第七单元无产阶级和人民群众争取民主的斗争第1课英国宪章运动第2课欧洲无产阶级争取民主的斗争第3课抗战胜利前中国人民争取民主的斗争第4课抗战胜利后的人民民主运动探究活动课二近代时期人民对民主的追求与斗争──学习编辑历史报纸1112(新课标)人教版高中教材目录——地理必修1第一章行星地球第一节宇宙中的地球第二节太阳对地球的影响第三节地球的运动第四节地球的圈层结构第二章地球上的大气第一节冷热不均引起大气运动第二节气压带和风带第三节常见天气系统第四节全球气候变化第三章地球上的水第一节自然界的水循环第二节大规模的海水运动第三节水资源的合理利用第四章地表形态的塑造第一节营造地表形态的力量第二节山岳的形成第三节河流地貌的发育第五章自然地理环境的整体性与差异性第一节自然地理环境的整体性第二节自然地理环境的差异性必修2第一章人口的变化第一节人口的数量变化第二节人口的空间变化第三节人口的合理容量第二章城市与城市化第一节城市内部空间结构第二节不同等级城市的服务功能第三节城市化第三章农业地域的形成与发展第一节农业的区位选择第二节以种植业为主的农业地域类型第三节以畜牧业为主的农业地域类型第四章工业地域的形成与发展第一节工业的区位因素与区位选择第二节工业地域的形成第三节传统工业区与新工业区第五章交通运输布局及其影响第一节交通运输方式的布局第二节交通运输布局变化的影响第六章人类与地理环境的协调发展第一节人地关系思想的演变第二节中国的可持续发展实践必修3第一章地理环境与区域发展第一节地理环境对区域发展的影响第二节地理信息技术在区域地理环境研究中的应用第二章区域生态环境建设13第一节荒漠化的防治──以我国西北地区为例第二节森林的开发和保护──以亚马孙热带林为例第三章区域自然资源综合开发利用第一节能源资源的开发──以我国山西省为例第二节河流的综合开发──以美国田纳西河流域为例第四章区域经济发展第一节区域农业发展──以我国东北地区为例第二节区域工业化与城市化──以我国珠江三角洲地区为例第五章区际联系与区域协调发展第一节资源的跨区域调配──以我国西气东输为例第二节产业转移──以东亚为例选修1 宇宙与地球第一章宇宙第一节天体和星空第二节探索宇宙第三节恒星的一生和宇宙的演化第二章太阳系与地月系第一节太阳和太阳系第二节月球和地月系第三节月相和潮汐变化第三章地球的演化和地表形态的变化第一节地球的早期演化和地质年代第二节板块构造学说第三节地表形态的变化选修2 海洋地理第一章海洋概述第一节地球上的海与洋第二节人类对海洋的探索与认识第二章海岸与海底地形第一节海岸第二节海底地形的分布第三节海底地形的形成第三章海洋水体第一节海水的温度和盐度第二节海水的运动第四章海－气作用第一节海－气相互作用及其影响第二节厄尔尼诺和拉尼娜现象第五章海洋开发第一节海岸带的开发第二节海洋资源的开发利用第三节海洋能的开发利用第四节海洋空间的开发利用第六章人类与海洋协调发展第一节海洋自然灾害与防范第二节海洋环境问题与环境保护14第三节维护海洋权益加强国际合作选修3 旅游地理第一章现代旅游及其作用第一节现代旅游第二节现代旅游对区域发展的意义第二章旅游资源第一节旅游资源的分类与特性第二节旅游资源开发条件的评价第三节我国的旅游资源第三章旅游景观的欣赏第一节旅游景观的审美特性第二节旅游景观欣赏的方法第三节中外著名旅游景观欣赏第四章旅游开发与保护第一节旅游规则第二节旅游开发中的环境保护第五章做一个合格的现代游客第一节设计旅游活动第二节参与旅游环境保护选修4 城乡规划第一章城乡发展与城市化第一节聚落的形成和发展第二节城市化与城市环境问题第二章城乡合理布局与协调发展第一节城市空间形态及变化第二节城镇布局与协调发展第三节城乡特色景观与传统文化的保护第三章城乡规划第一节城乡规划的内容及意义第二节城乡土地利用与功能分区第三节城乡规划中的主要布局第四章城乡建设与人居环境第一节城乡人居环境第二节城乡商业与生活环境第三节城乡公共服务设施与生活环境选修5 自然灾害与防治第一章自然灾害与人类活动第一节自然灾害及其影响第三节人类活动对自然灾害的影响第二章中国的自然灾害第一节中国自然灾害的特点第二节中国的地质灾害第三节中国的水文灾害第四节中国的气象灾害第五节中国的生物灾害第三章防灾与减灾第一节自然灾害的监测与防御第二节自然灾害的求援与求助第三节自然灾害中的自救与互救15。

高一数学不等式证明知识点

高一数学不等式证明知识点高一时数学就涉及到很多重要的考点，这些知识点一定要掌握好，因为它们关系到下面的数学学习。

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高一数学不等式证明知识点不等式公式如果a,b是正数，那么(a+b)/2≥(根号下ab),当且仅当a=b时，等号成立，我们称上述不等式为基本不等式。

若a,b∈R，则a平方+b平方≥2ab或ab≤(a平方+b平方)/2.若a,b∈R，则(a平方+b平方)/2≥[(a+b)/2]的平方若a,b∈R※，则a+b>=2(根号ab) 或ab≤[(a+b)/2]的平方高一数学不等式证明知识概要不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。

解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。

一、要点精析1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。

其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。

应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。

其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。