课时18 二次函数的应用

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高中数学教案：二次函数的应用

高中数学教案：二次函数的应用二次函数是高中数学中重要的内容之一，它的应用广泛且实用。

在日常生活和各个领域，我们都可以找到二次函数的应用。

本文将以实际例子为基础，分析二次函数在日常生活、物理学和经济学中的应用。

一、二次函数在日常生活中的应用1. 车辆行驶在日常生活中，我们常常需要计算车辆的加速度和速度，这就涉及到二次函数的应用。

例如，假设一辆汽车做匀加速运动，我们可以使用二次函数来描述它的加速度和速度之间的关系。

2. 抛物线的运动轨迹抛物线是二次函数的一种特殊形式，它在日常生活中的应用非常广泛。

例如，当我们玩投篮游戏时，篮球的运动轨迹就可以用抛物线来描述。

同样地，当我们踢足球或者击打网球时，球的运动轨迹也可以用二次函数来表示。

3. 建筑设计在建筑设计中，二次函数被广泛用于描述建筑物的形状和结构。

比如，拱形桥、拱顶建筑和溜冰场的设计中，都需要利用二次函数来确定形状和结构的稳定性。

二、二次函数在物理学中的应用1. 自由落体运动在物理学中，自由落体运动是一个常见的研究对象。

通过研究自由落体物体的运动规律，我们可以用二次函数来描述物体下落的高度和时间之间的关系。

2. 弹性碰撞在物理学中，弹性碰撞是一个重要的概念。

当两个物体发生碰撞时，它们的运动轨迹可以使用二次函数来描述。

通过分析二次函数的性质，我们可以计算碰撞前后物体的速度和能量转化等相关参数。

3. 摆钟的摆动物理学中的摆钟也可以用二次函数来描述其摆动的规律。

通过分析摆钟的角度和时间之间的关系，我们可以得到摆钟的周期、频率和振幅等重要参数。

三、二次函数在经济学中的应用1. 成本与收入分析在经济学中，企业的成本和收入是决定其经营状况的重要因素。

二次函数可以用于描述企业的成本与收入之间的关系。

通过分析二次函数的图像，我们可以确定企业的最低成本和最大收入点，从而实现最优经营策略。

2. 等量曲线分析在经济学中，等量曲线是描述消费者喜好和需求关系的重要工具。

二次函数可以用于描述等量曲线的形状和特征。

二次函数的应用课件

02
二次函数在实际生活中的应用
最大利润问题
总结词
通过求解二次函数的最大值，可以解决实际生活中的最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中，常常需要通过合理安排生产数量或优化资源配置等方式来获得最大利润。这可以通过建立二次函数模型，求解最大值来实现，从而为决策者提供最优方案。
抛物线型拱桥的跨度问题
通过对历史股票数据进行分析和处理，可以建立二次函数模型来描述股票价格的走势。通过求解这个二次函数，可以预测未来一段时间内的股票价格，为投资者提供决策依据。
03
二次函数与其他数学知识的结合
二次函数与一次函数的交点问题
01
02
03
交点坐标
通过解二次函数与一次函数的联立方程，可以找到它们的交点坐标。
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。对于任意一个二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，如果有一个点$(x_1, y_1)$满足该函数，那么对称轴上的对称点$(x_2, y_2)$也满足该函数。
绘制对称轴
绘制与坐标轴的交点
二次函数的对称轴为$x = -frac{b}{2a}$。
令$x = 0$，解得与$y$轴的交点为$(0, c)$ ；令$y = 0$，解得与$x$轴的交点为$(frac{b}{a}, 0)$和$(+frac{b}{a}, 0)$。
二次函数的单调性
单调增区间
当$a > 0$时，函数在区间$(infty, -frac{b}{2a}]$上单调递增；当$a < 0$时，函数在区间$[frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增。

二次函数实际应用

二次函数实际应用二次函数是数学中的一种基本函数形式，具有形如y=ax^2+bx+c的表达式。

在实际应用中，二次函数可以描述许多现象和问题，并被广泛应用于物理、经济、工程等领域。

首先，二次函数在物理学中有着广泛的应用。

例如，自由落体运动可以通过秒关系y=1/2gt^2的二次函数形式进行描述，其中y表示物体的下落距离、g表示重力加速度、t表示时间。

此外，抛体运动、弹道轨迹、摆动等运动现象也可以用二次函数进行建模和分析。

其次，经济学中的成本、收益等问题也可以通过二次函数进行描述。

例如，一个企业的总成本可以表示为二次函数的形式，其中在一些产量水平下，固定成本和变动成本构成了二次函数中的常数项和一次项，而对应产量的平方构成了二次项。

通过分析这个二次函数，可以找到企业产量的最优值，从而使得总成本达到最小。

此外，工程学中的一些场景也可以通过二次函数进行建模。

例如，在桥梁设计中，桥的弯曲形状可以通过二次函数进行描述，从而确定合适的材料和结构；在天线设计中，信号的收发效果也可以通过二次函数进行分析，从而优化天线的设计参数。

除了以上几个领域，二次函数还可以用于图形的绘制和文化艺术中的创作。

二次函数具有形状优美的拱形，因此可以用于音乐中的节奏变化、舞蹈中的身体动作设计等方面。

此外，在美术作品中，二次函数的图像也经常被用来表现风景、人物或者抽象的意境。

除了上述应用领域，二次函数在数学领域本身也有着重要的地位。

二次函数是一种基本的函数形式，可以通过平方完成全域的建模，而一般的函数形式可以通过一次函数和二次函数的组合得到。

此外，二次函数的图像特点例如顶点、对称轴、开口方向等，以及与其他函数形式的关系，也是数学教育中的重要内容。

总之，二次函数在实际应用中有着广泛的用途。

无论是物理、经济、工程等领域，还是数学本身，都需要用到二次函数进行建模、分析和解决问题。

同时，二次函数也在文化艺术中发挥了重要的作用。

因此，了解和掌握二次函数的性质和应用，对于数学教育和实际应用都具有重要意义。

二次函数的应用

二次函数的应用二次函数是一种常见的数学函数类型，它在许多实际问题的建模与解决中具有广泛的应用。

本文将介绍二次函数的基本概念，以及其在现实生活中的几个具体应用。

一、二次函数的基本概念二次函数是指一个变量的平方项与该变量的一次项的和再加上一个常数项所构成的函数。

一般表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向取决于a的正负。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

二次函数还具有一个特殊的点，称为顶点，它是抛物线的最高点或最低点。

二、1. 几何应用二次函数在几何中广泛应用，如平面几何中的抛物线问题、曲线的拐点问题等。

例如，在研究体育运动的抛体运动过程中，可以通过二次函数来描述运动物体的轨迹，进而计算出最高点、最远距离等重要参数。

2. 物理应用二次函数在物理学中具有重要的应用。

例如，在自由落体运动中，物体的下落距离与时间的关系可用二次函数来表示。

这种关系可以帮助我们计算出物体的速度、加速度等重要物理参数。

3. 经济应用经济学中也广泛使用二次函数进行经济模型的建立与分析。

例如，在市场供求关系的研究中，需求函数和供给函数通常采用二次函数形式，通过求解二次函数的交点可以确定市场均衡价格和数量。

4. 工程应用二次函数在工程中有着广泛的应用。

例如，在桥梁设计中，通过研究桥梁的受力情况，可以建立相应的二次函数模型，以确定桥梁的最佳设计参数，确保桥梁的结构安全可靠。

5. 金融应用金融领域中也经常使用二次函数进行金融模型的建立与分析。

例如，在股票市场中，通过研究股票价格的变化规律，可以建立相应的二次函数模型，以预测未来价格的走势，为投资者提供参考。

综上所述，二次函数在几何、物理、经济、工程和金融等领域中都有着广泛的应用。

通过建立并分析二次函数模型，我们可以更好地理解和解决实际问题，为实际应用提供科学的依据和方法。

二次函数应用的研究还有很大的发展空间，可以进一步拓展其在不同领域中的应用范围，为社会进步与发展做出更大的贡献。

(中考数学复习)第18讲-二次函数综合应用-课件-解析

图18－7 (1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
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浙派名师中考 (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．解：(1)把x＝0，y＝2，及h＝2.6代入到y＝a(x－6)2＋h中，
B．4 s
C．3 s
D．2 s
B
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浙派名师中考 B
图18－1
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浙派名师中考

4．(2013·宁波)如图18－2所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3，0)，下列结论
中，正确的一项是
( D )
图18－2 A．abc<0 B．2a＋b<0 C．a－b－c<0 D．4ac－b2<0
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5．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图18－3所示)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( C )
函数图象得
∴函数关系式为y＝－x＋180.
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(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？解： W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180) ＝－x2＋280x－18 000 ＝－(x－140) 2＋1 600，当售价定为140元，W最大＝1 600. ∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1 600元．

专题18 二次函数的应用题型(学生版)

专题18二次函数的应用题型知识归纳二次函数的应用题型主要包含求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等。

解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式。

本专题主要对二次函数的应用题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。

知识点梳理利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.常考题型专练一、填空题1．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A 距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B 处，则小丁此次投掷的成绩是米．2．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球在空中运动的高度y （米）与水平距离x （米）之间的函数关系式为y ＝﹣x 2+bx +c ，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为米．3.某商店销售一种销售成本为40元/50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，则月销售利润y （单位：元）与售价x （单位：元/千克）之间的函数解析式为.4．某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y （万件）将随计划所定的x 的值而确定，那么y 与x 之间的关系式应表示为________．5.如图，以地面为x 轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是米．二、解答题1.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价3元，则平均每天销售数量为件：(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？2.某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝()()821202030mx m xn x⎧-≤<⎪⎨≤≤⎪⎩，x为正整数，且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克．已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W．（1）m＝，n＝；（2）求每天的利润W元与销售的天数x（天）之间的函数关系式；（3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？3.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．4．如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．6.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为()2=-+，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．y a x h k(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．7．某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元/千克，投放市场后，经过市场调研发现，这种水p（元/千克）与时间t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：y＝﹣2t+160．（0≤t＜80，且t为整数）（1）试求销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数表达式；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？。

二次函数的应用经济问题

第六章二次函数第18课时二次函数的应用(1)——经济问题班级姓名学号学习目标：1、经历探索有关最优化问题的过程，进一步获得用数学模型解决实际问题的经验，提高数学的应用意识．2、能通过分析表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的知识求出实际问题的最大值和最小值．问题探索：问题一：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x (100≤x ≤150)亩．预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为(440－2x )元，试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使总收益最大？最大收益是多少？问题二：某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话.小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克. 小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元.小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y (千克)与销售单价x (元)之间存在一次函数关系. (1)求y (千克)与x (元)(x ＞0)的函数关系式；(2)设该超市销售这种水果每天获取的利润为W 元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润＝销售量×(销售单价－进价)】练习：某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量t (件)与每件的销售价x (元/件)之间的函数关系为3204t x =-+．(1)写出商场每天销售这种服装的毛利润y (元)与每件的销售价x (元)之间的函数关系(每件服装销售的毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差)；(2)商场要想每天获得最大销售毛利润，每件的销售价应定为多少元？最大销售毛利润为多少？问题三：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档次)的产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，利润每件增加2元． (1)当每件利润为16元时，此产品质量在第几档次？(2)由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少4件．若生产第x 档的产品一天的总利润为y 元(其中x 为正整数，且1≤x ≤10)，求出y 关于x 的函数关系式；若生产某档次产品一天的总利润为1080元，该工厂生产的是第几档次的产品？练习：某商店经营T 恤衫，已知成批购进时单价是2.5元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件；而单价每降低1元，就可以多售出200件．当销售单价为多少元时，可以获得最大利润，最大利润是多少元？问题四：我市高新技术开发区的某公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理.当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x (元)，年销售量为y (万件)，年获利为w (万元).(年获利＝年销售额—生产成本—投资成本)(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)求第一年的年获利w 与x 间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？(3)若该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利(或最小亏损)后，两年的总盈利不低于1842元，请你确定此时销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？课后作业：1、已知某人卖盒饭的盒数x (个)与所获利润y (元)满足关系式21200357600y x x =-+-，则当卖出盒饭数量为________盒时，获得最大利润___________元．2、科技园电脑销售部经市场调查发现，销售某型号电脑所获利润y (元)与销售台数x (台)满足24015600y x x =-++，则当卖_________台时，所获利润最大．3、某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获营业额y (元)与旅行团的人员x (人)满足关系式28028400y x x =-++，要使所获营业额最大，则此时旅行团有( )A ．30人B ．40人C ．50人D ．55人4、书店销售儿童书刊，一天可销售20套，每套盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施，若每套书降价2元，则平均每天多销售4套． (1)降价多少元时，书店可获最大利润？ (2)若每天盈利1200元，则降价多少元？(3)要使利润多于1200元，降价应在什么范围？(利用图象直接回答)5、某商场购进一批单价为16元的日用品.若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖出210件.假定每月销售件数y (件)是价格x (元/件)的一次函数.(1)试求y 与x 之间的函数关系式；(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润w 最大？每月的最大毛利润是多少？6、某厂生产一种旅行包，每个旅行包的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个但不超过1000个时，每多订购一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低0.02元，(1)设销售商一次订购量为x 个，旅行包的实际出厂单价为y 元，写出当一次订购量超过100个但不超过1000个时y 与x 之间的函数关系式；(2)销售商一次订购多少个旅行包时，该厂可获得最大利润?最大利润是多少?7、心理学研究发现，某年龄段的学生，30min 内对概念的接受能力y 与提出概念所用时间x 之间满足函数关系：20.1 2.643y x x =-++(0≤x ≤30)．试判断何时学生接受概念的能力最强？什么时段学生接受概念的能力逐步降低？8、某旅社有客房120间，每间客户的日租金为50元，每天都客满．旅社装修后要提高租金，经过市场调查得知，若每间客房的日租金每增加5元，则客房每天的出租量会减少6间．若不考虑其他因素，旅社把每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？9、杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第1个月到第x 个月的维修保养费用累计．．为y (万元)，且2y ax bx =+；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g (万元)，g 也是关于x 的二次函数．(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元．求y 关于x 的解析式； (2)求纯收益g 关于x 的解析式；(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？。

二次函数的应用(经典)

零点问题
求解零点
二次函数的零点是函数与x轴相交的点，可以通过因式分解、配方法或求根公式来求解。
实根和虚根
二次函数的零点可以是实数或虚数，取决于判别式的正负性。
二次函数与几何问题
1
抛物线的几何意义
抛物线在几何中有很多重要的应用，如拱桥的设计、物体的抛射运动等。
2
最短路径问题
二次函数可以帮助我们解决最短路径问题，比如寻找一个连接两点的抛物线路径。
3
面积问题
通过二次函数的面积计算公式，我们可以计算抛物线下某一区间的面积。
二次函数的其他应用
金融领域
分析二次函数在金融领域中的应用，如利率计算、风险管理等。
物理领域
了解二次函数在物理学中的应用，如自由落体运动、弹性力学等。
工程领域
研究二次函数在工程中的应用，如建筑物设计、弯曲杆件的分析等。Fra bibliotek计算机科学
探索二次函数在计算机科学中的应用，如图像处理、模拟仿真等。
总结与展望
二次函数的应用非常广泛，它在数学和其他学科中扮演着重要的角色。希望您通过本次演讲对二次函数的应用有更深入的了解。
顶点
抛物线的顶点是二次函数的最值点，它在图像上的位置和函数的系数有密切的关系。
对称轴
抛物线的对称轴是垂直于x轴并通过顶点的直线，它在图像上分割了抛物线成对称的两部分。
最值问题
1 最大值问题
二次函数的最大值是定义域内的最大值，可以通过顶点的y坐标得到。
2 最小值问题
二次函数的最小值是定义域内的最小值，也可以通过顶点的y坐标得到。
二次函数的应用(经典)
欢迎来到本次介绍二次函数的应用的专题演讲。我们将探讨二次函数的不同应用领域，带您领略二次函数的魅力。

二次函数的应用问题

学习并掌握二次函数的解析方法
理解二次函数的定义和性质学习并掌握二次函数的图像和开口方向掌握二次函数的顶点和对称轴学会利用二次函数解决实际问题
练习并解决实际应用问题
大量练习：通过大量的练习题，熟悉二次函数的性质和解题技巧。实际应用：将二次函数应用到实际问题中，提高解决实际问题的能力。总结反思：总结解题经验，反思错误原因，避免重复犯错。寻求帮助：遇到困难时，可以向老师、同学寻求帮助，共同解决问题。
科学领域的二次函数应用
物理中的抛物线动
化学中的反应速率曲线
生物中的种群数量变化
天文学中的星球轨道模型
数学建模中的二次函数应用
描述自由落体运动
计算抛物线的面积
解决最优化问题
预测未来趋势
二次函数的解析式
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c 二次函数的顶点式为y=a(x-h)^2+k 二次函数的交点式为y=a(x-x1)(x-x2) 二次函数的对称轴为x=-b/2a
二次函数的对称轴是x=-b/2a 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 二次函数的最值出现在对称轴上二次函数的对称性在解决实际问题中有广泛应用
利用二次函数解决最值问题
定义：利用二次函数的开口方向和顶点坐标，求出函数的最值
举例：求矩形的最大面积和最小周长
应用：在生产、生活、科研等领域中解决最优化问题
特点：二次函数的零点式可以直观地反映函数的开口方向和对称轴，同时也可以方便地求出函数的极值点。
转化方法：将二次函数的一般式转化为零点式，可以通过因式分解或者配方法实现。
应用场景：二次函数的零点式在解决二次函数的应用问题中具有广泛的应用，例如求函数的极值、判断函数的单调性、求解函数的根等等。

高中数学学习中二次函数的应用

高中数学学习中二次函数的应用
在高中数学学习中，二次函数是一个非常重要的知识点，常常用于解决各种实际问题。

二次函数的应用涉及到很多方面，比如决策分析、经济学、物理学等等。

接下来，我们将
介绍几种常见的二次函数应用。

一、二次函数的图像应用
二次函数的图像是一个开口向上或者开口向下的抛物线。

在实际生活中，很多问题可
以通过二次函数的图像来解决，比如确定函数的零点、极值点、最大值和最小值等等。

通
过掌握二次函数的图像性质，我们可以更加深入地理解函数的特征和规律，从而帮助我们
更好地解决实际问题。

二次函数的解析式是y=ax²+bx+c，其中 a、b、c 分别代表一次项系数、常数项系数
和常数。

通过解析式，我们可以算出二次函数的各种特征值，比如顶点坐标、零点、对称
轴等等。

这些特征值在实际问题中非常有用，可以帮助我们更好地理解问题，并找到解决
问题的方法。

很多实际问题都需要通过求解极值来得到最优解。

二次函数在解决极值问题方面也有
重要的应用。

通过求解二次函数的导数，我们可以得到顶点对应的 x 值，这就是二次函
数的极值点。

通过对极值点进行求解和分析，我们可以得到函数的最大值或最小值，从而
解决实际问题。

二次函数的应用（解析版）

一、集合1.集合的概念：由某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称集．组成集合的对象叫做这个集合的元素，一般采用大写英文字母A,B,C…表示集合，小写英文字母a,b,c…表示集合的元素．2.元素的性质： (1)互异性：一个给定的集合中的元素都是互不相同的；只要构成两个集合的元素是一样的，我们就说这两个集合相等。

(2)无序性：一个给定的集合中的元素排列无顺序；(3) 确定性：一个给定的集合中的元素必须是确定的.3.常用的数集：（1）所有自然数组成的集合叫做自然数集，记作N ．（2）所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作*N 或+Ζ．（3）所有整数组成的集合叫做整数集，记作Z ．（4）所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q ．（5）所有实数组成的集合叫做实数集，记作R ．（6）不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．例如，方程x 2+1=0的实数解的集合里不含有任何元素，所以这个解集就是空集。

4.集合的表示方法：列举法、描述法、V enn 图法5.集合的基本关系：（1）元素与集合：a A ∈；a A ∉．（2）集合与集合：包含关系（子集），A B ⊇或B A ⊆(A 包含于B ，B含于A ，A>B ）6. 子集：（1）任何一个集合A 都是它自身的子集，即A A ⊆．（2）规定：空集是任何集合的子集，即A ∅⊆．（3）如果A B ⊇，同时B A ⊇，那么集合B 的元素都属于集合A ，同时集合A 的元素都属于集合B ，因此集合A 与集合B 的元素完全相同，由集合相等的定义知A B =（4）如果集合B A ⊆，但存在元素B x A x ∉∈且,，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A ⫋B 。

（5）如果A B ⊇，同时B A ⊇，则 A B =。

（6）空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集.7.集合的基本运算：（1）并集：A ⫋B ＝{x |x ⫋A ，或x ⫋B };（2）交集：A ∩B ＝{x |x ⫋A ，且x ⫋B }．（3）补集（⫋U A ＝{x | x ⫋U ，且x ⫋A }，U 为全集．）二、函数的基本概念1.函数的定义一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，通常记为y ＝f (x )，x ⫋A .集合与函数知识讲解 AB2.函数的三要素：定义域、对应关系和值域．3.函数相等：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等．4.函数的表示法：解析法、图象法、列表法．5．映射的概念设A ，B 是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任何一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应。

二次函数的简单应用课件

THANKS
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二次函数的对称性
对称轴
二次函数的对称轴是x=-b/2a。
对称性
二次函数图像关于其对称轴对称。
最值位置
如果二次函数图像开口向上，那么最小值在对称轴上；如果图像开口向下，那么最大值在对称轴上。
03
二次函数的应用
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
最大值和最小值问题
物理中的二次函数问题
总结词
在物理学科中，二次函数经常被用来描述和解决一些常见的物理问题，如物体运动、振动等。
详细描述
在物理学中，二次函数经常被用来描述和解决一些常见的物理问题，如物体自由落体运动、振动等。通过建立二次函数模型，可以更好地理解和预测物理现象。
运动中的二次函数问题
总结词
在运动学中，二次函数可以用来描述和解决一些与运动相关的问题，如抛物线运动、曲线运动等。
生活中的二次函数问题
总结词
将生活中的问题转化为二次函数模型
详细描述
通过建立数学模型，将生活中的问题（如物体运动、经济问题等）转化为二次函数问题，并求解。
方法
举例
根据实际情况选择合适的变量和参数，建立二次函数模型。
求一个物体在重力作用下的运动轨迹，通过建立二次函数模型解决。
04
实际案例分析
二次函数的性质
01
最小值
如果二次函数图像开口向上，那么它在顶点处取得最小值；如果图像开
口向下，那么它在顶点处取得最大值。
02 03
单调性
如果二次函数图像开口向上，那么它在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；如果图像开口向下，那么它在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。

二次函数的解析式与应用

二次函数的解析式与应用二次函数是一种常见的数学函数形式。

它的解析式可以用来描述许多自然和社会现象，而且在工程、经济学、物理学等领域有着广泛的应用。

本文将讨论二次函数的解析式以及它在实际问题中的应用。

一、二次函数的解析式二次函数的一般解析式可以表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

这个解析式中的变量x代表自变量，变量y代表因变量。

二次函数图像为一条开口向上或向下的抛物线，其中a控制了抛物线的开口方向和大小，b控制了抛物线的平移，c为抛物线与y轴的交点。

以一个具体的例子来说明，假设有一条二次函数曲线，其解析式为y = 2x^2 + 3x - 1。

根据这个解析式，我们可以得到多个点的坐标并绘制出曲线。

同时，我们也可以通过解析式计算出该二次函数的顶点、判别式、零点等重要信息，这些信息可以帮助我们更好地理解二次函数的特性和性质。

二、二次函数的应用1. 自然科学领域中的应用二次函数在自然科学领域中有广泛的应用。

以物理学为例，二次函数可以用来描述物体的运动轨迹、抛物线的轨迹等。

在力学中，一个自由落体经过时间t下落的距离h可以用二次函数来表示，解析式为h = -gt^2 + vt + h0，其中g为重力加速度，v为初速度，h0为初始高度。

通过这个二次函数，我们可以计算出物体在不同时间下的高度，从而预测它的轨迹。

2. 经济学领域中的应用在经济学中，二次函数可以用来建模和分析许多经济现象。

例如，成本函数通常以二次函数的形式出现。

通过分析成本函数的最小值，我们可以确定最佳生产量以实现成本最小化。

此外，二次函数还可以用来描述价格与需求之间的关系，帮助我们预测市场行为和做出战略决策。

3. 工程学领域中的应用在工程学中，二次函数被广泛应用于建筑、电子、通信等领域。

例如，二次函数可以用来描述桥梁的抗弯形状，以确保结构的稳定性和安全性。

另外，二次函数还可以用来优化电子电路的设计、天线的指向性、信号传输的衰减等问题。

二次函数的应用教学教案

二次函数的应用教学教案第一章：二次函数的图像与性质1.1 教学目标了解二次函数的图像特征，如开口方向、顶点坐标等。

掌握二次函数的增减性和对称性。

能够分析实际问题中的二次函数图像和性质。

1.2 教学内容二次函数的标准形式：y = ax^2 + bx + c二次函数的图像：开口方向、顶点坐标、对称轴二次函数的增减性：a的正负与开口方向的关系二次函数的对称性：对称轴和顶点的性质1.3 教学活动引入二次函数图像的实例，让学生观察和描述。

引导学生通过变换二次函数的系数来分析开口方向、顶点坐标等。

运用实际问题，让学生应用二次函数的增减性和对称性解决问题。

1.4 教学资源二次函数图像的示例图片实际问题情境的案例1.5 教学评估通过练习题让学生绘制二次函数的图像，并分析其性质。

提供实际问题，让学生应用二次函数的性质解决问题，并进行评估。

第二章：二次函数的顶点公式2.1 教学目标掌握二次函数的顶点公式：y = a(x h)^2 + k能够通过顶点公式求解二次函数的顶点和对称轴。

2.2 教学内容二次函数的顶点公式及其意义顶点公式与标准形式的关系通过顶点公式求解二次函数的顶点和对称轴2.3 教学活动引导学生通过实际问题情境，发现二次函数的顶点公式。

解释顶点公式与标准形式的关系，并引导学生如何使用。

通过练习题，让学生应用顶点公式求解二次函数的顶点和对称轴。

2.4 教学资源实际问题情境的案例二次函数的顶点公式的示例图片2.5 教学评估提供练习题，让学生应用顶点公式求解二次函数的顶点和对称轴，并进行评估。

第三章：二次函数的根与解析式3.1 教学目标了解二次函数的根与解析式的关系。

能够通过解析式求解二次函数的根。

3.2 教学内容二次函数的根的定义和性质二次函数的解析式与根的关系通过解析式求解二次函数的根3.3 教学活动引入二次函数的根的概念，并通过实际例子解释其性质。

引导学生通过解析式来求解二次函数的根。

提供练习题，让学生应用解析式求解二次函数的根。

第18课时二次函数的应用

第18课时二次函数的应用(60分)一、选择题(每题5分，共15分)1．图18-1(2)是图18-1(1)中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y ＝－1400(x －80)2＋16，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴．若OA ＝10 m ，则桥面离水面的高度AC 为( )(1) (2)图18-1A ．16940 mB ．174 mC ．16740mD ．154m2．[2018·连云港]已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h (m)与飞行时间t (s)满足函数表达式h ＝－t 2＋24t ＋1，则下列说法正确的是( )A ．点火后9 s 和点火后13 s 的升空高度相同B ．点火后24 s 火箭落于地面C ．点火后10 s 的升空高度为139 mD ．火箭升空的最大高度为145 m3．[2017·临沂]足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h (m)与足球被踢出后经过的时间t (s)之间的关系如下表，且得到以下结论：t /s 0 1 2 3 4 5 6 7 … h /m8141820201814…①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝92；③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m. 其中正确结论的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个二、填空题(每题7分，共21分)4．[2018·武汉]飞机着陆后滑行的距离y (m)关于滑行时间t (s)的函数解析式是y ＝60t －32t 2.在飞机着陆滑行的过程中，最后4 s 滑行的距离是________ m.5．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1 s 依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t s 时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t ＝________. 6．如图18-2，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2 mm/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4 mm/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么经过________s ，四边形APQC 的面积最小．图18-2三、解答题(共24分)7．(12分)[2018·滨州]如图18-3，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (m)与飞行时间x (s)之间具有函数关系y ＝－5x 2＋20x .请根据要求，解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行的时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？图18-38．(12分)[2018·青岛]某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本)，成功研发出一种产品．公司按订单生产(产量＝销售量)，第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y＝－x＋26.(1)求这种产品第一年的利润W1(万元)与售价x(元/件)之间满足的函数关系式．(2)该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？(3)第二年，该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．分)9．(12分)[2018·贵阳]六盘水市梅花山国际滑雪场自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y(cm)与滑行时间x(s)之间的关系可以近似地用二次函数来表示.(1)为800 m，他需要多少时间才能到达终点？(2)将得到的二次函数图象先向左平移2个单位，再向上平移5个单位，求平移后的函数表达式．10．(12分)[2017·金华]甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图18-4，甲在点O上正方1 m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数关系式y＝a(x－4)2＋h.已知点O与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.(1)当a＝－124时，求h的值，并通过计算判断此球能否过网；(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离点O的水平距离为7 m，离地面的高度为125m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．图18-4(16分)11．(16分)[2018·福建]如图18-5，在足够大的空地上有一段长为a m的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN.已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 m木栏．(1)若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450 m2，求所用旧墙AD的长；(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值．图18-5参考答案1．B 2.D 3.B 4.24 5.1.6 s 6.37．解：(1)当y ＝15时，有－5x 2＋20x ＝15，化简，得x 2－4x ＋3＝0. 因式分解，得(x －1)(x －3)＝0.故x ＝1或3，即飞行时间是1 s 或3 s. (2)飞出和落地的瞬间，高度都为0，故y ＝0.∴0＝－5x 2＋20x .解得x ＝0或4. ∴从飞出到落地所用时间是4－0＝4(s)．(3)当x ＝－b 2a ＝－202×(－5)＝2时，小球的飞行高度最大，最大高度为20 m.8．解：(1)W 1＝(x －6)(－x ＋26)－80＝－x 2＋32x －236.(2)令W 1＝－x 2＋32x －236＝20，得x 2－32x ＋256＝0，(x －16)2＝0.∴x ＝16. 答：该产品第一年的售价为16元/件．(3)W 2＝(x －5)(－x ＋26)－20＝－x 2＋31x －150.又∵⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋26≤12，x ≤16，∴14≤x ≤16.∵a ＝－1，对称轴x ＝15.5，∴当x ＝14时，W 2的最小值为88. 答：第二年的利润W 2至少为88万元．9．解：(1)设这个二次函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由(0,0)，(1,4)，(2,12)在该抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＋b ＋c ＝4，4a ＋2b ＋c ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝0.∴该抛物线的表达式为y ＝2x 2＋2x .当y ＝800 m ＝80 000 cm 时，80 000＝2x 2＋2x ，解此方程，得x 1＝－1＋160 0012≈200，x 2＝－1－160 0012(不符合题意，舍去)．∴他大约需要200 s 才能到达终点． (2)∵y ＝2x 2＋2x ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋122－12， ∴当抛物线y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋122－12向左平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋12＋22－12＋5＝2⎝⎛⎭⎫x ＋522＋92. 10．解：(1)把点(0,1)，a ＝－124代入y ＝a (x －4)2＋h ，得1＝－124×16＋h .解得h ＝53.把x ＝5代入y ＝－124(x －4)2＋53，得y ＝－124×(5－4)2＋53＝1.625.∵1.625>1.55，∴此球能过网．(2)把点(0,1)，⎝⎛⎭⎫7，125代入y ＝a (x －4)2＋h ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋h ＝1，9a ＋h ＝125.解得⎩⎨⎧a ＝－15，h ＝215.∴a ＝－15.11．解：(1)设AD ＝x m ，则AB ＝100－x 2 m.依题意，得100－x2·x ＝450.解得x 1＝10，x 2＝90.∵a ＝20且x ≤a ，∴x 2＝90不合题意，应舍去．故所利用旧墙AD 的长为10 m.(2)设AD ＝x m ，矩形ABCD 的面积为S m 2，则0<x ≤a ，S ＝100－x 2·x ＝－12()x 2－100x ＝－12()x －502＋1 250.①若50≤a ，则当x ＝50时，S 最大值＝1 250；②若0<a <50，则当0<x ≤a 时，S 随x 的增大而增大，故当x ＝a 时，S 最大值＝50a －12a 2.综上，当a ≥50时，矩形菜园ABCD 的面积最大为1 250 m 2；当0<a <50时，矩形菜园ABCD 的面积最大为⎝⎛⎭⎫50a －12a 2 m 2.。

二次函数的应用ppt

斜坡行驶问题
要点一
总结词
通过二次函数模型研究汽车在斜坡上行驶时的加速度、速度和位移等动力学问题。
要点二
详细描述
在汽车行驶过程中，会遇到各种斜坡和坡道，不同斜率会对汽车的动力学性能产生影响。通过二次函数模型可以分析和优化汽车在不同斜坡上的行驶性能，提高行车安全性和舒适性。
要点三
实际应用案例
2023
二次函数的应用
目录
• 引言 • 二次函数的图像和性质 • 常见的二次函数应用 • 不同类型的二次函数 • 解决实际问题 • 二次函数的应用进阶
01
引言
课程背景
1
二次函数是初中数学的重要知识点之一，是数学建模的基础。
2
通过学习二次函数，能够提高学生解决实际问题的能力。
3
本课程旨在让学生掌握二次函数的应用，为后续数学学习和实际应用打下基础。
03
常见的二次函数应用
最大利润问题
总结词
在各种不同的条件下，通过求解二次函数最大值，得到利润最大化的解决方案。
详细描述
在商业和工业生产中，通常会遇到在一定成本范围内，如何分配资源以获得最大利润的问题。在实际情况下，还需要考虑市场、竞争对手和政策等多种因素。
实际应用案例
比如开一家小卖部，需要考虑如何进货、定价、促销等，使得利润最大化。
根据极值点附近函数的单调性判断极值的类型，包括极小值和极大值。
求出极值
将极值点代入二次函数中，计算得到极值。
如何利用导数研究二次函数的性质
求出导函数
研究单调性
对二次函数求导，得到导函数。
通过导函数的正负符号，判断原函数的单调性。
研究极值点

《二次函数的应用》数学教学PPT课件(5篇)

A(1.5，3.05)，篮球在最大高度时的位置为点B(0，
3.5)．以点C表示运动员投篮球的出手处．
设以y轴（直线x=0）为对称轴的抛物线为y=a(x-0)2+k，
即y=ax2+k，而点A，B在这条抛物线上，所以有
解得
2.25a k 3.05， k 3.5.
a 0.2， k 3.5.
(1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.
解：设AM的长为x(m),则BM的长为（2-x)m,以AM和MB为边的两块正方形面积之
和为y.依题意得y与x之间的函数解析式为
D
2m
C
y=x2+(2-x)2
=2x2-4x+4
=2(x2-2x)+4
=2(x2-2x+1-1)+4 =2(x-1)2+2
A Xm M
B
∵a=2＞0∴当x=1时，y有最小值，最小值为2.
因为两条直线相交于点（2,3),
｛X=2
所以原方程组的解是
交流思考
如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?
➢ 首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围， ➢然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的
。自变量的值必须在自变量的取值范围内
例2：如图，ABCD是一块边长为2 m的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料。当 AM的长为何值时，截取的板料面积最小？
何时窗户通过的光线最多
用长为6m的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的矩形窗框．窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）

知识点18 二次函数代数方面的应用2019

一、选择题1. （2019·潍坊）抛物线y =x 2＋bx +3的对称轴为直线x =1．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx +3－t =0（t 为实数）在－1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是（） A ．2≤t ＜11 B ．t ≥2 C ．6＜t ＜11 D ．2≤t ＜6 【答案】A【解析】由题意得：12b-=，b =－2，抛物线解析式为y =x 2－2x +3，当－1＜x ＜4时，其图象如图所示：从图象可以看出当2≤t ＜11时，抛物线y =x 2－2x +3与直线y =t 有交点，故关于x 的一元二次方程x 2＋bx +3－t =0（t 为实数）在－1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是2≤t ＜11，故选择A ．方法二：把y =x 2－2x +3－t （－1＜x ＜4）的图象向下平移2个单位时图象与x 轴开始有交点，向下平移11个单位时开始无交点，故2≤t ＜11，故选择A ．2. （2019·淄博）将二次函数24y x x a =-+的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，若得到的函数图象与直线y ＝2有两个交点，则a 的取值范围是（） A.3a ＞ B.3a ＜ C.5a ＞ D.5a ＜【答案】D.【解析】∵224(2)(4)y x x a x a =-+=-+-，向左平移一个单位，再向上平移一个单位后的解析式为2(1)(3)y x a =-+-，令22(1)(3)x a =-+-，即2240x x a -+-=，由⊿44(4)0a =--＞，得5a ＜.3. （2019·湖州）已知a ，b 是非零实数，a b>，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx 与一次函数y2＝ax ＋b 的大致图象不可能是（）【答案】D ．【解析】由2y ax b y ax bx =+⎧⎨=+⎩，解得111x y a b =⎧⎨=+⎩，220b x a y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线与抛物线的两个交点坐标分别为(1，a ＋b )和 (－ba，0)．对于D 选项，从直线过第一、二、四象限可知：a ＜0，b ＞0．∵a b >，∴a ＋b ＜0．从而(1，a ＋b )在第四象限，因此D 选项不正确，故选D ．二、填空题 14．（2019·安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x 轴的直线l 分别与函数y=x ﹣a+1和y=x 2﹣2a x 的图像相交于P ，Q 两点，若平移直线l ，可以使P ，Q 都在x 轴的下方，则实数a 的取值范围是 . 【答案】a ＞1或a ＜－1【解析】本题主要考查了一次函数图象及性质，二次函数图象及性质，平移的性质，以及数形结合，解题的关键是结合题意，画出图象，利用数形结合分析问题. 本题问题的实质是自变量x 在某个范围内，两个函数的值都小于0，即两个函数交点中较小的值小于0.假设该两个函数的交点位于x 轴上，则x －a ＋1＝0，x ＝a －1，代入二次函数的表达式中，得：(a －1)2－2a(a －1)＝0，解得：a ＝1或a ＝－1.当a ＞1 时，随着a 的变大，直线向右平移运动，抛物线向右、向下平移运算，如图，此时直线与抛物线的最底交点位于第四象限；当a ＜－1时，随着|a|的变大，直线向左平移运动，抛物线向左、向下平移运算，此时直线与抛物线的最底交点位于第三象限.综上所述，a 的取值范围为a ＞1或a ＜－1.1. （2019·潍坊）如图，直线y=x+1与抛物线y=x2－4x ＋5交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点．当△PAB 的周长最小时，S △PAB= ．xy－1O Oyxy xOO xyy OxA ．B ．C ．D ．【答案】125【解析】解方程组2145y x y x x =+⎧⎨=-+⎩，得：1112x y =⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩． ∴A （1，2）, B （4，5）,作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 交y 轴于点P ．则A ′（－1， 2）.设直线A ′B 解析式为y =kx +b ，则245k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：3,5135k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线A ′B ：31355y x =+． ∴当△P AB 的周长最小时，点P 的坐标为（0，135）．设直线AB 与y 轴的交点为C ，则C （0，1） ∴S △P AB =S △PCB －S △PCA=113113(1)4(1)12525⨯-⨯-⨯-⨯ =125.2. （2019·乐山）如图，点P 是双曲线C ：x y 4=（0>x ）上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB：221-=x y 于点Q ，连结OP ，OQ .当点P 在曲线C 上运动，且点P 在Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是 .【答案】3【解析】∵点P 是双曲线C ：xy 4=（0>x ）上的一点，∴可设点P 坐标为（m ，4m ），∵P Q ⊥x 轴，Q 在221-=x y 图像上，∴Q 坐标为（m ，122m -），PQ =4m -(122m -)，∴△POQ 面积=12×m ×[4m -(122m -]=()21234m --+，当m =2时，△POQ 面积的最大值为3.三、解答题22. （2019浙江省杭州市，22，12分）(本题满分12分) 设二次函数y=(x-x 1)(x-x 2)( x 1,x 2是实数)（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x=12时，y=-12.若甲求得的结果都正确·你认为乙求得的结果正确吗?说明理由.(2)写出二次函数图像的对称轴，并求该函数的最小值.(用含x 1,x 2的代数式表示). (3)已知二次函数的图象经过(0，m)和(1，n)两点(m ，n 是实数)，当0＜x 1＜x 2＜1时. 求证: 0＜mn ＜116. 【解题过程】（1）当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0）， ∴x 1=0，x 2=1，∴y=x （x-1）=x 2-x ，当x=时，y=-，∴乙说点的不对；（2）对称轴为x=，当x=时，y=-是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过（0，m ）和（1，n ）两点，∴m=x 1x 2，n=1-x 1-x 2+x 1x 2， ∴mn=[-][-] ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴0≤-≤，0≤-≤14， ∴0＜mn ＜116．26．（2019·淮安）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，D 为顶点，其中点B 的坐标为(5，0)，点D 的坐标为(1，3).(1)求该二次函数的表达式；(2)点E 是线段BD 上的一点，过点E 作x 轴的垂线，垂足为F ，且ED=EF ，求点E 的坐标； (3)试问在该二次函数图像上是否存在点G ，使得△ADG 的面积是△BDG 的面积的53若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.第26题图第26题备用图【解题过程】解：（1）∵二次函数的顶点D 的坐标为(1，3)，且函数图象过点B(5，0)，∴设函数解析式为3)1(2+-=x a y ，则03)15(2=+-a ，∴163-=a ， ∴该二次的数的解析式为3)1(1632+--=x y ，即1625831632++-=x x y .（2）如图所示，第26题答图 1∵DC ⊥x 轴，EF ⊥x 轴， ∴△BEF ∽△BDC ， ∴DCEFBD BE =，设EF=ED=m ，则355mm =-， ∴m=815， ∴BF=2581534=⨯，25255=-=OF ， ∴E （2525，）（3）根据题意知A 、B 两点直线DG 的距离之比为5:3，分两种情形： ①A 、B 两点在直线DG 的同旁，如图2，则有53=BM AN ，第26题答图 2由△HAN ∽△HBN 得BMANBH AH =， ∴AH=12，∴H(-15，0)，又∵D 的坐标为(1，3).设DH 的解析式为：y=kx+b ，则⎩⎨⎧=+=+-3015b k b x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1645163b k ，∴DH 的解析式为1645163+=x y . ∵点G 为直线DH 与抛物线1625831632++-=x x y 的另个交一个交点， ∴由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+=16258316316451632x x y x y 得⎪⎩⎪⎨⎧==16450y x 或⎩⎨⎧==31y x ， ∴G(0，1645). ②A 、B 两点在直线DG 的两旁，如图3，则有53=BM AN ，第26题答图3∵53=OB OA ， ∴直线DG 经过点O ，其解析为y=3x.∴由⎪⎩⎪⎨⎧++-==16258316332x x y xy 得⎩⎨⎧-=-=4515y x 或⎩⎨⎧==31y x ， ∴G(-15，-45).综上所述，存在符合条件的点G ，其坐标为(0，1645)或(-15,-45). 26．(2019·泰州) 已知一次函数y 1＝kx ＋n (n ＜0)和反比例函数y 2＝mx (m ＞0,x ＞0)．(1)如图1,若n ＝－2,且函数y 1、y 2的图像都经过点A(3,4)． ①求m 、k 的值;②直接写出当y 1＞y 2时x 的范围;(2)如图2,过点P(1,0)作y 轴的平行线l 与函数y 2的图像相交于点B,与反比例函数y 3＝nx (x ＞0)的图像相交于点C ．①若k ＝2,直线l 与函数y 1的图像相交于点D ．当点B 、C 、D 中的一点到另外两点的距离相等时,求m －n 的值; ②过点B 作x 轴的平行线与函数y 1的图像相交于点E ．当m －n 的值取不大于1的任意实数时,点B 、C 间的距离与点B 、E 间的距离之和d 始终是一个定值．求此时k 的值及定值．第26题图【解题过程】(1)∵y 2＝m x (m >0,x>0),过点A(3,4),∴4＝3m ,∴m ＝12,∴反比例函数表达式为y 2＝12x.又∵点A (3,4)y 1＝kx+n 的图象上,且n ＝－2,∴4＝3k －2,∴k ＝2,所以一次函数表达式为y 1＝2x －2. ②由图像可知,两个函数图象交点A 的坐标为(3,4),所以当x>3时,y 1>y 2.(2)①因为k ＝2,所以一次函数表达式为y ＝2x+n,∵直线l 过点P(1,0),∴D(1,2+ n),B(1,m),C(1, n),又∵点B 、C 、D 中的一点到另外两点的距离相等,∴BD ＝BC 或BD ＝DC 或BC ＝CD,∴2+ n ﹣m ＝m ﹣n;或m ﹣(2+ n)＝2+ n ﹣n,或m －n ＝n －(2+n),∴可得m ﹣n ＝1或m ﹣n ＝4或m －n ＝－2; ②由题意可知,B(1,m),C(1, n),当y 1＝m 时,kx+n ＝m,∴x ＝k n m -即点E 的横坐标为knm -∴d ＝BC+BE ＝k n m n m --+-1＝1)11)((+--k n m ,∵m －n 的值取不大于1的任意实数时, d 始终是一个定值,∴011=-k,∴k ＝1,从而d ＝1.26．（2019·株洲）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>．（1）若a ＝l ，b ＝﹣2，c ＝﹣1．①求该二次函数图像的顶点坐标；②定义：对于二次函数2(0)y px qx r p =++≠，满足方程y x =的x 的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数2y ax bx c =++有两个不同的“不动点”．（2）设b ＝312c ，如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++的图像与x轴分别相交于不同的两点A(1x ，0)，B(2x ，0)，其中1x ＜0，2x >0，与y 轴相交于点C ，连结BC ，点D 在y 轴的正半轴上，且OC ＝OD ，又点E 的坐标为(1，0)，过点D 作垂直于y 轴的直线与直线CE 相交于点F ，满足∠AFC ＝∠ABC ．FA 的延长线与BC 的延长线相交于点P，若PC PA =数的表达式．【解题过程】解：（1）①∵a ＝l ，b ＝﹣2，c ＝﹣1∴y=x 2-2x-1=（x-1)2-2 ∴顶点坐标为（1，-2）；②当y=x 时，x=x 2-2x-1, ∴x 2-3x-1=0， ∴△=9+4=13>0∴有两个不相同的实数根，即有两个“不动点”。