人教版九年级数学上册课时同步练习：22.3实际问题与二次函数(一)

课时同步练：22.3实际问题与二次函数（一）一．选择题1．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（）A．y＝﹣x2+20x B．y＝x2﹣20x C．y＝﹣x2+10x D．y＝x2﹣10x 2．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．4米B．5米C．2米D．7米3．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h ＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m 4．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟5．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0≤x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．52.5°D．55°6．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．其中正确判断有（）A．①②③④B．②③④C．①③④D．①③7．如图1，是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在如图2所示的平面直角坐标系中，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（）A．y＝﹣x2﹣x+B．y＝﹣x2+x+C．y＝x2﹣x+D．y＝x2+x+8．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；③AB的长度可以等于5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是（）A．①②B．①②⑤C．②③④D．①②④⑤9．某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系y＝﹣x2+70x﹣800，要想获得最大利润，则销售单价为（）A．30元B．35元C．40元D．45元10．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值2，有最小值﹣2.5B．有最大值2，有最小值1.5C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5D．有最大值2，无最小值．二．填空题11．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.24m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是．12．某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元．13．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．14．如图1，剪刀式升降平台由三个边长为4m的菱形和两个腰长为4m的等腰三角形组成，其中，AM∥A0N，B，B0在AM和A0N上可以滑动，A1、C1、B0始终在同一条直线上．（1）这种升降平台设计原理利用了四边形的性质；（2）如图2是一个抛物线型的拱状建筑物，其底部最大跨度为8米，顶部的最大高度为24米．如图3，当该平台在完成挂横幅作业时，其顶部A，M两点恰好同时抵住抛物线，且AM＝8米，则此时∠B1的度数为．15．抗击疫情，我们每个人都要做到讲卫生，勤洗手，科学消毒，如右图（1）是一瓶消毒洗手液．图（2）是它的示意图，当手按住顶部A下压时，洗手液瞬间从喷口B流出，路线从抛物线经过C，E两点．瓶子上部分是由弧和弧组成，其圆心分别为D，C．下部分的是矩形CGHD的视图，CG＝8cm，GH＝10cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B到台面的距离为20cm，且B，D，H三点共线．若手心距DH的水平距离为2cm 时刚好接洗手液，此时手心距水平台面的高度为cm．16．如图，过点A（1，0），B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y＝4﹣x于C，D两点．连结OC，OD．抛物线y＝ax2+bx+c经过O，C，D三点．若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中，△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，则S的最大值．三．解答题17．有一家苗圃计划种植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润y1（万元）与投资成本x（万元）满足如图1所示的二次函数y1＝ax2；种植柏树的利润y2（万元）与投资成本x（万元）满足如图2所示的正比例函数y2＝kx．（1）请分别直接写出利润y1（万元）与利润y2（万元）关于投资成本x（万元）的函数关系式；（2）若这家苗圃投资4万元种植桃树，投资6万元种植柏树，则可获得的总利润是多少万元？（3）若这家苗圃种植桃树和柏树投入总成本20万元，且桃树的投资成本不低于2万元，且不高于12万元，则苗圃最少能获得多少总利润？最多可获得多少总利润？18．某公司开发出一款新的节能产品，成本价为5元/件．该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为9元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系（x为整数），已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．（1）第24天的日销售量是件，日销售利润是元；（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）日销售利润不低于1280元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？19．为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如下表：天数（x） 1 3 6 10每件成本p（元）7.5 8.5 10 12任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y＝设李师傅第x天创造的产品利润为W元．（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？20．在水果销售旺季，某水果店购进一批优质水果，进价为20元/千克，利润不低于10%，且不超过40%，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.8 32 29.6 28 …售价x（元/千克）…22.6 24 25.2 26 …（1）某天这种水果的售价为24.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利168元，那么该天水果的售价为多少元？（3）售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大日利润是多少元？参考答案一．选择题1．解：∵长方形一边的长度为x米，周长为20米，∴长方形的另外一边的长度为（10﹣x）米，则长方形的面积y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，故选：C．2．解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO＝，设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2+，∵BC＝10，∴点B（﹣5，0），∴0＝a×（﹣5）2+，∴a＝﹣，∴大孔所在抛物线解析式为y＝﹣x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2，∵EF＝14，∴点E的横坐标为﹣7，∴点E坐标为（﹣7，﹣），∴﹣＝m（x﹣b）2，∴x1＝+b，x2＝﹣+b，∴MN＝4，∴|+b﹣（﹣+b）|＝4∴m＝﹣，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣b）2，∵大孔水面宽度为20米，∴当x＝﹣10时，y＝﹣，∴﹣＝﹣（x﹣b）2，∴x1＝+b，x2＝﹣+b，∴单个小孔的水面宽度＝|（+b）﹣（﹣+b）|＝5（米），故选：B．3．解：由题意可得，h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，因为a＝﹣5＜0，故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，故选：C．4．解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c 中，，解得，所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t＝﹣＝﹣＝3.75，则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．故选：C．5．解：由图象可得，该函数的对称轴x＞且x＜50，∴37.5＜x＜50，∴此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°，故选：B．6．解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①结论正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而增大，又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＞y3＞y1，故②结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故③结论正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：+＝+＝，故④结论正确；综上所述，正确的结论是①③④．故选：C．7．解：方法一：0.26+2.24＝2.5＝（米）根据题意和所建立的坐标系可知，A（﹣5，），B（0，），C（，0），设排球运动路线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，将A、B、C的坐标代入得：，解得，a＝﹣，b＝﹣，c＝，∴排球运动路线的函数关系式为y＝﹣x2﹣x+，故选：A．方法二：排球运动路线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，由图象可知，a＜0，a、b同号，即b＜0，c＝，故选：A．8．解：①抛物线y＝ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；②根据图象得：直线y＝kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y＝ax2（a≠0）当x＞0时y 的值随的x的增大而增大，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；③由A、B横坐标分别为﹣2，3，若AB＝5，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；④若OA＝OB，得到直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；⑤直线y＝﹣kx+b与y＝kx+b关于y轴对称，如图所示：可得出直线y＝﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3，2，由图象可得：当﹣3＜x＜2时，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，则正确的结论有①②⑤．故选：B．9．解：∵y＝﹣x2+70x﹣800＝﹣（x﹣35）2+425，∴当x＝35时，y取得最大值，最大值为425，即销售单价为35元时，销售利润最大，故选：B．10．解：观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，∴函数有最大值2和最小值﹣2.5，故选：A．二．填空题（共6小题）11．解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h，解得：a＝，故抛物线的表达式为y＝（x﹣6）2+h，由题意得：当x＝9时，y＝（x﹣6）2+h＝（9﹣6）2+h＞2.24，解得：h＞2.32；当x＝18时，y＝（x﹣6）2+h＝（18﹣6）2+h＜0，解得：h＞，故h的取值范围是为h≥，故答案为h≥．12．解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝kx，30k＝60，得k＝2，即日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝2t，当0＜t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝at，20a＝30，得a＝1.5，即当0＜t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝1.5t，当20＜t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝30，设日销售利润为W元，当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1200，当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1800，综上所述，最大日销售利润为1800元，故答案为：1800．13．解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000，故答案为：70．14．解：（1）这种升降平台设计原理利用了四边形的具有不稳定性．故答案为：不稳定性；（2）以地面为x轴，顶部所在垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设y＝ax2+24，∵点（4，0）在该抛物线上，∴0＝a×（4）2+24，解得，a＝，∴y＝﹣x2+24，当x＝﹣4时，y＝﹣×（﹣4）2+24＝16，∴菱形竖直的对角线长为16÷4＝4，又∵菱形的边长为4，42+42＝（4）2，∴∠B1＝90°，故答案为：90°．15．解：如图：∵CD＝DE＝10，根据题意，得C（﹣5，8），E（﹣3，14），B（5，20）．设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，因为抛物线经过C、E、B三点，∴解得所以抛物线解析式为y＝﹣x2+x+，当x＝7时，y＝17．∴Q（7，17）所以手心距水平台面的高度为17cm．故答案为17．16．解：∵过点A（1，0），B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y＝4﹣x于C，D两点．∴C（1，3），D（3，1），∴直线OC的解析式为y＝3x，直线OD的解析式为y＝x，设平移后的三角形为△A'O'C'，点C'在线段CD上，设O'C'与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A'C'与x轴交于点F，与直线OD交于点Q；如图所示：设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），则AF＝t，F（1+t，0），Q（1+t，+），C'（1+t，3﹣t）设直线O'C'的解析式为y＝3x+b，将C'（1+t，3﹣t）代入得b＝﹣4t，∴直线O'C'的解析式为y＝3x﹣4t，∴E（t，0），由解得：，∴P（t，），过点P作PG⊥x轴于点G，则PG＝，∴S＝S△OFQ﹣S△OEP＝OF•OQ﹣OE•PG＝（1+t）（+）﹣×t×＝﹣（t﹣1）2+∵二次项系数为负值，∴当t＝1时，S有最大值．故答案为：．三．解答题（共4小题）17．解：（1）把（4，1）代入y1＝ax2中得：16a＝1，解得：a＝，∴y1＝x2，把（2，1）代入y2＝kx中得：2k＝1，解得：k＝，∴y2＝x；（2）设总利润为W万元，则W＝y1+y2＝×42+×6＝4；答：可获得的总利润是4万元；（3）设种植桃树的投资成本x万元，总利润为W万元，则种植柏树的投资成本（20﹣x）万元，2≤x≤12，则W＝y1+y2＝x2+（20﹣x）＝x2﹣x+10，当2≤x≤12时，∵＞0，故抛物线有最小值，对称轴为x＝﹣＝4，此时W＝9；当x＝12时，W有最大值为×122﹣×12+10＝13，答：苗圃至少获得9万元利润，最多能获得13万元利润．18．解：（1）340﹣（24﹣22）×5＝330（件），330×（9﹣5）＝1320（元）．故答案为：330；1320．（2）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx，将（17，340）代入y＝kx中，340＝17k，解得：k＝20，∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝20x．根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y＝340﹣5（x﹣22）＝﹣5x+450．联立两线段所表示的函数关系式成方程组得，解得，∴交点D的坐标为（18，360），∴y与x之间的函数关系式为y＝；（3）当0≤x≤18时，根据题意得：（9﹣5）×20x≥1280，解得：x≥16；当18＜x≤30时，根据题意得：（9﹣5）×（﹣5x+450）≥1280，解得：x≤26．∴16≤x≤26．26﹣16+1＝11（天），∴日销售利润不低于1280元的天数共有11天．∵点D的坐标为（18，360），∴日最大销售量为360件，360×4＝1440（元），∴试销售期间，日销售最大利润是1440元．19．解：（1）∵p与x之间符合一次函数关系，∴设p＝kx+b，将表中数据（1，7.5），（3，8.5）代入得：，解得：，∴p＝0.5x+7（1≤x≤15，且x为整数）；由题意得：W＝（20﹣p）y＝＝．（2）当1≤x＜10时，W＝﹣x2+16x+260＝﹣（x﹣8）2+324，∴此时当x＝8时，W的最大值为324元；当10≤x≤15时，W＝﹣20x+520，W随x的增大二人减小，∴此时当x＝10时，W的最大值为320元．∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元．20．解：（1）设水果的售价x元/千克，而进价为20元/千克，当利润不低于10%时，即售价不低于20（1+10%）＝22元/千克；当利润不超过40%时，同理售价不高于28元/千克，故x的取值范围为：22≤x≤28，把（22.6，34.8）和（24，32）代入一次函数表达式为y＝kx+b，则，解得，故函数表达式为y＝﹣2x+80（22≤x≤28），当x＝24.5时，y＝﹣2×24.5+80＝31；售价为24.5元/千克，求当天该水果的销售量31千克；（2）设：利润为W＝（x﹣20）y＝﹣2（x﹣20）（x﹣40）＝168，解得：x＝26或x＝34（舍去），答：某天销售这种水果获利168元，那么该天水果的售价为26元/千克；（3）w＝﹣2（x﹣20）（x﹣40），函数的对称轴为x＝30，而22≤x≤28，故x＝28（元/千克）时，函数取得最大值，此时，W＝192（元），故：水果的售价为28元/千克时获利最大，最大利润192元．。