12(高中竞赛讲座)递推数列
数列递推关系
数列递推关系数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中的每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。
在数学和应用数学中，数列递推关系被广泛用于解决各种问题，比如计算机科学、物理学、经济学等领域。
数列递推关系有两种形式：线性递推和非线性递推。
线性递推是指数列中的每个元素都是前几个元素的线性组合。
比如斐波那契数列就是一个著名的线性递推数列，它的每个元素都是前两个元素的和。
非线性递推则指数列中的每个元素与它前几个元素之间存在非线性关系，比如几何数列和指数数列。
线性递推关系可以通过数学公式来描述，比如斐波那契数列的公式为An = An-1 + An-2，其中An表示数列中第n个元素，An-1表示第n-1个元素，An-2表示第n-2个元素。
这个公式表达了斐波那契数列中每个元素与前两个元素之间的关系。
非线性递推关系则无法用简单的公式来表示，通常需要通过递归或迭代的方式来计算。
比如几何数列的递推关系为An = An-1 * r，其中r为公比，表示数列中每个元素与前一个元素的比值。
这个递推关系说明了几何数列中每个元素与前一个元素之间的关系。
数列递推关系在实际问题中的应用非常广泛。
比如在计算机科学中，递推关系常被用于算法设计和性能分析。
在物理学中，递推关系可以描述连续物理系统的运动规律。
在经济学中，递推关系可以解释市场供求关系和经济变量之间的相互作用。
总之，数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。
它可以通过线性递推和非线性递推两种形式来表示。
数列递推关系在各个学科中都有广泛的应用，对于理解和解决实际问题都具有重要意义。
高中数学奥林匹克竞赛中的递推技巧
数学奥林匹克竞赛中的递推技巧如果前一件事与后一件事存在确定的关系，那么，就可以从某一（几）个初始条件出发逐步递推，得到任一时刻的结果，用递推的方法解题，与数学归纳法（但不用预知结论），无穷递降法相联系，关键是找出前号命题与后号命题之间的递推关系。
用递推的方法计数时要抓好三个环节：（1）设某一过程为数列()f n ，求出初始值(1)f 等，取值的个数由第二步递推的需要决定；（2）找出()f n 与(1)f n -，(2)f n -等之间的递推关系，即建立函数方程； （3）解函数方程。
例1.整数1，2，…，n 的排列满足：每个数大于它之前的所有的数或者小于它之前的所有的数。
试问有多少个这样的排列？解：通过建立递推关系来计算。
设所求的个数为n a ，则11a =（1） 对1n >，如果n 排在第i 位，则它之后的n i -个数完全确定，只能是,1,n i n i ---…,2，1。
而它之前的1i -个数，1,2,n i n i -+-+…,1n -，有1i a -种排法，令1,2,i =…,n 得递推关系。
1211211111(1)2n n n n n n n n a a a a a a a a a a -------=++++=++++=+=…… （2） 由（1），（2）得12n n a -=例2.设n 是正整数，n A 表示用2×1矩形覆盖2n ⨯的方法数；n B 表示由1和2组成的各项和为n 的数列的个数；且024*********12321, 2,21m m m m m n m m m m m C C C C n m C C C C C n m +++++++⎧++++=⎪=⎨++++=+⎪⎩……，证明n n n A B C ==证明：由,n n A B 的定义，容易得到 1112,1,2n n n A A A A A +-=+== 1112,1,2n n n B B B B B +-=+==又因为121,2C C ==，且当2n m =时，0242221352113112212122112m m m n n m m m m m m m m m m m C C C C C C C C C C C C C ---++-++-+++=++++++++++=+…… 5212132211m m m m m n C C C C -++++++++=…类似地可证在21n m =+时也有11n n n C C C -++=，从而{}{},n n A B 和{}n C 有相同的递推关系和相同的初始条件，所以n n n A B C ==。
高中数学竞赛辅导讲义-第五章--数列【讲义】
第五章 数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。
其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。
若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n =d n n na a a n n 2)1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn .定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a nn =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =qq a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。
数学精品课高中数学竞赛辅导公开课解析数列与递推关系
数学精品课高中数学竞赛辅导公开课解析数列与递推关系数列与递推关系是高中数学竞赛中的重要考点之一。
在这节数学精品课的辅导公开课中，我们将深入解析数列与递推关系，帮助同学们更好地掌握相关知识，并在竞赛中取得优异成绩。
一、数列的概念与分类1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数字或对象。
通常用字母表示，如a₁、a₂、a₃，其中下标表示该数字或对象在数列中的位置。
1.2 数列的分类数列可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列。
1.2.1 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差恒定的数列。
其通项公式为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。
1.2.2 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比恒定的数列。
其通项公式为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比，n为项数。
1.2.3 其他特殊数列除了等差数列和等比数列，还存在其他特殊数列，如斐波那契数列、递增数列等。
二、递推关系的求解递推关系是数列中的一种重要性质，根据已知项与后一项的关系，可以推导出数列中的其他项。
2.1 递推关系的定义递推关系是指数列中每一项与前一项之间的关系。
通常用递推公式表示，如an = an-1 + d，其中an-1表示前一项，d为公差。
2.2 递推关系的求解方法求解递推关系需要根据已知的条件，逐步推导出数列的后续项。
常见的求解方法包括直接法、差分法和通项法等。
2.2.1 直接法直接法是通过观察数列中的规律，根据已知的条件得出数列的递推关系。
这种方法适用于递增或递减规律明显的数列。
2.2.2 差分法差分法是通过计算数列中相邻项之差来确定数列的递推关系。
通过多次差分，可以得出数列的递推公式。
2.2.3 通项法通项法是通过求解数列的通项公式，进而推导出数列的递推关系。
这种方法适用于等差数列和等比数列。
三、常见数列问题的解析在数学竞赛中，常常会出现与数列与递推关系相关的问题。
下面我们通过实例来解析一些常见的数列问题。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题摘要：一、引言1.高中数学竞赛的重要性2.数列专题在竞赛中的地位二、数列基本概念与性质1.等差数列2.等比数列3.斐波那契数列4.数列的极限与连续三、数列求和公式与应用1.等差数列求和公式2.等比数列求和公式3.求和公式的应用实例四、数列与函数的关系1.数列的通项公式与函数2.数列的前n项和与函数五、数列题型分类与解题策略1.判断数列性质题2.数列求和题3.数列递推式题4.数列与函数综合题5.解题策略总结六、高中数学竞赛数列真题解析1.真题举例2.解题过程与思路分析七、数列专题强化训练与建议1.推荐练习资料2.强化训练方法与时间安排3.提高数列能力的建议八、总结1.数列专题在高中数学竞赛中的重要性2.掌握数列基本概念与性质3.熟练运用求和公式和解题策略4.结合实际训练，提高数列水平正文：一、引言随着教育制度的不断发展，高中数学竞赛日益受到广泛关注。
在众多竞赛专题中，数列专题具有举足轻重的地位。
本文将从以下几个方面展开讨论，以帮助同学们更好地掌握数列知识，提高在数学竞赛中的竞争力。
二、数列基本概念与性质1.等差数列：等差数列是指一个数列，其中任意两个相邻的元素之差相等。
这一常量称为公差。
2.等比数列：等比数列是指一个数列，其中任意两个相邻的元素之比相等。
这一常量称为公比。
3.斐波那契数列：斐波那契数列是指这样一个数列：第一项和第二项均为1，从第三项开始，每一项等于前两项之和。
4.数列的极限与连续：数列极限是指当项数趋向无穷时，数列值的极限值。
数列连续性是指数列在某一区间内，任意两项之间的差值趋于0。
三、数列求和公式与应用1.等差数列求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中n为项数，a1为首项，an为末项。
2.等比数列求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中n为项数，a1为首项，q为公比。
3.求和公式的应用实例：利用求和公式计算等差数列或等比数列的前n项和。
高中数学解递推数列的方法和实例分析
高中数学解递推数列的方法和实例分析在高中数学中，递推数列是一种常见且重要的数列类型。
通过递推数列的解题，可以培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
本文将介绍高中数学解递推数列的方法，并通过具体的题目进行分析和说明。
一、递推数列的定义和性质递推数列是指通过前一项或前几项来确定后一项的数列。
常见的递推数列有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
解题时，我们需要找到递推数列的递推关系，即通过前一项或前几项的数值关系来确定后一项的数值。
以等差数列为例，其递推关系为：an = an-1 + d，其中an表示第n项，d表示公差。
我们可以通过这个递推关系来求解等差数列中任意一项的数值。
二、递推数列的求解方法1. 直接法直接法是指通过递推关系式直接求解递推数列中任意一项的数值。
例如，已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第n项an的值。
根据递推关系an = an-1 + d，我们可以得到an = a1 + (n-1)d。
代入已知条件，可以得到an = 2 + (n-1)3 = 3n-1。
因此，第n项an的值为3n-1。
2. 通项公式法通项公式法是指通过求递推数列的通项公式来求解递推数列中任意一项的数值。
对于等差数列和等比数列，我们可以通过已知的首项和公差（或公比）来推导出通项公式。
以等差数列为例，已知首项a1和公差d，我们可以通过求解递推关系式得到通项公式an = a1 + (n-1)d。
例如，已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第n项an的值。
根据通项公式，我们可以得到an = 2 + (n-1)3 = 3n-1。
因此，第n项an的值为3n-1。
3. 递推法递推法是指通过已知的前几项来逐步推导出后面的项的数值。
递推法常用于求解斐波那契数列等特殊的递推数列。
以斐波那契数列为例，已知前两项为1，1，求第n项的值。
根据递推关系式，我们可以得到an = an-1 + an-2。
通过逐步推导，可以得到斐波那契数列的前几项如下：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...通过递推法，我们可以逐步计算出斐波那契数列的每一项的值。
高中数学中的数列与递推关系解析
高中数学中的数列与递推关系解析数列是数学中的重要概念之一，它在高中数学中占据着重要的地位。
数列可以看作是一系列按照一定规律排列的数，而递推关系则是描述数列中每一项与前一项之间的关系。
在高中数学中，数列与递推关系的解析是数学学习的重点之一，下面将对数列与递推关系的解析进行探讨。
一、数列的基本概念数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列中的每一项称为数列的项，项之间的顺序是有序的。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
例如，1，2，3，4，5，6，……是一个无限数列，而1，4，9，16，25，36是一个有限数列。
数列中的每一项可以用通项公式来表示，通项公式是数列中的每一项与项号之间的关系式。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，……，其通项公式为an=3n-2，其中an表示数列中的第n项。
二、等差数列与等差数列的解析等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差值都相等的数列。
等差数列的通项公式可以通过递推关系来解析。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则有递推关系an=a1+(n-1)d。
通过这个递推关系，我们可以求得等差数列的通项公式。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，……，其首项a1=1，公差d=3，通项公式为an=1+(n-1)3=3n-2。
三、等比数列与等比数列的解析等比数列是指数列中的每一项与前一项之间的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式可以通过递推关系来解析。
设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则有递推关系an=a1*r^(n-1)。
通过这个递推关系，我们可以求得等比数列的通项公式。
例如，对于等比数列2，4，8，16，32，……，其首项a1=2，公比r=2，通项公式为an=2*2^(n-1)=2^n。
四、斐波那契数列与斐波那契数列的解析斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式可以通过递推关系来解析。
设斐波那契数列的首项为a1，第二项为a2，第n项为an，则有递推关系an=a(n-1)+a(n-2)。
高中数学讲义递推数列
递推数列【知识要点】1. 定义：数列的若干连续项之间的关系叫递推关系（或递归关系），表达递推关系的式子叫递推式，由递推关系和初始条件给出的数列叫做递推数列．2. 分类：（1）由两个连续项之间的关系式()n n a f a =+1及一个初始项1a ，所确定的数列叫做一阶递推数列.（2）由三个连续项之间的关系式()n n n a a f a ,12++=及两个初始项21,a a 所确定的数列叫做二阶递推数列.一般地，由()*∈+N k k 1个连续项之间的关系()121,,,,n n k n k n n a k f a a a a +-+-++=及k 个初始项k a a a ,,,21 所确定的数列叫做k 阶递推数列．等差数列和等比数列都是一阶递推数列.等差数列可表示为()11,n n a a a d a a d +⎧⎪⎨⎪⎩==+是常数 等比数列可表示为()11,n n a a a q a qa +⎧⎪⎨⎪⎩==都是不为零的常数 【典型例题】题型 1.用累差法求通项公式（在数列{}n a 中，已知()11,n n a a a αβαβ+=+、为常数求n a 都可用累差法）例1. 数列{}n a 中，已知()232,111≥++==-n n a a a n n ，求n a .例2. 在数列{}n a 中，若,11=a 且() ,2,1431=-=+n a a n n 求数列的通项n a .题型2.用累乘法求通项公式（当数列的递推公式是()n f a a nn =+1时，用累乘法求通项较方便） 例3. 已知数列{}n a 中，n n n a a a 4,111==+，求n a ．例4. 在数列{}n a 中，已知()22n n S n a n =≥，求数列{}n a 的通项公式.题型3.用迭代法求通项公式如()()d n a d a d d a d a a n n n n 121221-+==+=++=+=--- 这样逐步代入，称之为“迭代” 例5. 已知数列{}n a 中，()*-∈≥+==N n n a a a n n ,232,211，求n a .题型4.用转化法求数列的通项例6. 在数列{}n a 中，,21=a 且3231-=+n n a a ，求通项n a .例7. 已知数列{}n a 中，()133,111≥+==+n a a a a nn n ，求n a .例8. 在数列{}n a 中，,101=a 且() ,3,2,131==+n a a n n ，求数列的通项．例9. 在数列{}n a 中，,2,121==a a 且n n n a a a 3412-=++，求通项n a .例10. 在数列{}n a 中，11-=a ，且() ,2,1231==+n a a n n ，求通项n a .一.选择题1.若数列{}n a 中，()12,111≥+==+n n a a a n n 则50a 的值为 （ ）A.2450B.2550C.2451D.25512.已知数列{}n a 满足()1431≥=++n a a n n ，且91=a ，其前n 项之和为n S ，则满足16125n S n --<的最小整数n 是 （ ）A.5B.6C.7D.8二.填空题1.数列{}n a 中，n n a n a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+11,11，则n a = .2.数列{}n a 中，(),0,21,111≠≥+==--a n na a a a a n n n 则n a = . 3.数列{}n a 中，()111131,1,2,3,,543n n n n n n a a a n a +--===+⨯则n a = .三.解答题 1.数列{}n a 中，,11=a 且n n n a a 41=+，求前n 项的和.2.已知数列{}n a 中，2,3167≥=n a 且时，11743---+=n n n a a a （1） 分别求出1098,,a a a 的值；（2） 当9≥n 且n 是正整数时，试比较n a 与2的大小，并说明理由．3. 数列{}n a ：*+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-==N n a a a n n n 1011,111 （1） 证明：n n n a a a <>+1,0且；（2） 证明：当111099.02++≤-<≥n n n n a a a n 且时，； （3） 证明：对于任意自然数n ，有89.0>n a .。
高考数学专题讲座之数列的递推公式及应用
一、数列递推公式的定义 已知数列{a[n]}的第一项或者前几项，如果数列的第n项与其相邻 项之间的关系可以用一个等式表示，那么这个等式就叫做这个数 列的递推公式。 二、递推数列的定义 用递推公式表示的数列就叫做递推数列 比如等比数列An=A1*q（n－1）可以表示为：An=q*A(n-1) 三、差比数列： 已知两个项数相等的数列，其中一个是非常数的等差数列，另一 个是非常数的等比数列，这两个数列对应项相乘构成的新数列叫 做差比数列。 四、高阶等差数列： 在数列{a[n]}中 不是一个常数，而是一个变量，这个变 量可以是一个等差数列的通项，也可以是一个等比数列的通项， 也可以是一个差比数列的通项，这个数列叫高阶等差数列 五、递推数列的题型及相应解法
数学（理）
三、解答题 例6
数学（理）
三、解答题 例6
数学（理）
作业题
数学（理）
2016年高考数学难点解析专题讲座 第一讲（数列的递推公式及应用）
数列的递推公式，是高中数学的难点。递推 数列是高考的热点，但高中教材中，对数列 的递推公式非常淡化，导致考生见到递推数 列就感到非常困难。今天对数列的递推公式 和递推数列进行分析研究。化难为易，予以 解决。下面，我讲以下几个问题：
数学（理）
数学（理）
一、选择题 例1.
数学（理）
二、填空题 例2.
数学（理）
三、解答题 例3
数学（理）
三、解答题 例3
数学（理）
三、解答题 例3
数学（理）
三、解答题 例4
数学（理）
三、解答题 例5
数学（理）
三、解答题 例5
பைடு நூலகம்
数学（理）
三、解答题 例5
数学（理）
三、解答题 例6
高中数学竞赛辅导-数列(二)由数列的递推公式求通项公式
转化法:这里需要恰当的变形……
思考
1.已知数列{an}中，a1=
3 5
，an+1=
an 2an
1
，
求{an}的通项公式．
解：(倒数变形) 1 2an 1 1 2
an1
an
an
∴
1 an
是以
5 3
为首项，公差为
2
的等差数列，
即1 an
5 3
+2（n－1）=
一般地， 可仿第122 页例5的处 理方法试 试看.
∴an=tan
(n
1)
4
atc tan 2 ．
思考 5.设 a0 1 , an
1
a2 n1
1
an1
n N*
,求通项公式 an .
7
思考5
练习4
思考 5.设 a0 1 , an 1
山重水尽疑无路……
4
110…an…( n
3
N
*
),求通项公式
an
.
思考
3. 已 知 函 数
f (x)
( x 1)4 ( x 1)4
( x 1)4 ( x 1)4
( x 0 ),在数列
{an } 中, a1 2 , an1 f (an )( n N )，求数列 {an } 的通项公式．
求通项公式 an . 法一:取对数变形
102
1 2n1
法二:作商用迭加法也很好!
练习 3.(教程 P127 9 )各项为正数的数列an 中,
a1 1, a2 10 , an2an13an2 1 ( n≥ 3 , n N * ),
竞赛数学典型问题解决----数列与递推关系(新)讲诉
可得 an an1 n(n 1)4 3 (a2 a1 ) n!，于是
an n!(n 1)! 2!1!
第十六页，共32页。
an n!(n 1)! 2!1!
注意 n 6 时 9 n!，而计算知前5项只有 a5是9的
倍数, 故 n 的最小值为5.
第十七页，共32页。
例然数92.考n已,察总知数有a列1an的a为2 性整1, a质n数2 .(a1n29a16n32年．求,莫证斯:对科一) 切非零自
求 20012 x1 20022 x2 20072 x7的值. (第6届美国 数学邀请赛试题改编)
解 记 n 2 x1 (n 1) 2 x2 (n 6) 2 x7 an , 则 a1 1, a2 12, a3 123 ．为求 a2001 ，注意到有相邻系数
关系, 设 (n 3)2 a(n 2)2 b(n 1)2 cn2
,解得
2
2
.
解三 (母函数法)
f (x) a0 a1x
a2
x设2 {an}的an母xn函 数为an2 xn2
则
3xf (x) 3a0 x 3a1x2 3an1xn 3an1xn2
2x2 f (x) 2a0 x2 2a1x3 2an2 xn 2an xn2
则
(n
2． 1)!
an1
an
(n 1)2 (n 1)!
2
用递
变形,得
(n 1) 2
n2
an1 (n 1)! an n!
第二十页，共32页。
an1
(n 1) 2 (n 1)!
an
n2 n!
故
an
高考数学中的递推数列
高考数学中的递推数列高考数学中的递推数列是一个比较重要的知识点。
在高考中，递推数列可能作为单独的一道题出现，也可能作为其他数学知识点的一个重要组成部分出现。
递推数列既涉及到数列的性质和规律，又涉及到数学问题的解决方法，因此在高考中得到了广泛的应用。
下面我将从递推数列的定义、性质、应用、解法和实例等几个方面来详细讲述递推数列的相关知识。
一、递推数列的定义和性质递推数列又称为递归数列，是一种数列计算的方法。
形式上，它可以定义为数列中每个数都是前面某个数的函数，这个函数称为递推公式。
递推数列有许多性质，其中最基本的性质是：递推数列中的每一项都可以由它前面的若干项表示。
根据这个性质，我们可以用递推公式来计算递推数列的任意项。
递归数列除了可以通过递推公式来定义，还可以根据数列中每一项之间的关系来定义。
例如斐波那契数列就是一个典型的递推数列，它定义为f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
斐波那契数列的递推公式是比较简单的，但要想计算其中的具体值却需要一定的技巧和方法。
递推数列还有一些其他的性质，例如递推数列的每一项都是其前面若干项的和或乘积，或者是一些特殊的序列，例如等比数列和等差数列等。
递推数列中常常出现的一种情况是，递推数列的递推公式可以用一些特定的方法来求得，例如变形法、差法、配方法、拆分法等。
二、递推数列的应用递推数列在各种数学问题中都有广泛的应用。
例如，在终值分析中，递推数列可以用来计算利息的复利和单利；在数学模型中，递推数列可以用来表述动态方程式，模拟实际系统的动态变化；在数学中，递推数列可以用来计算金融投资、工程设计等。
另外，递推数列还有一些其他的应用，例如在计算机科学中，递推数列可以用来设计和分析算法的效率，分析算法的时间复杂度；在生物学和物理学中，递推数列可以用来描述生物进化和物理变化的规律。
三、递推数列的解法递推数列的解法比较多样化，最基本的方法是使用递推公式来计算递推数列的值。
例如斐波那契数列就是一种基于递推公式的解法，它可以使用递推公式f(n)=f(n-1)+f(n-2)来计算数列的任意项。
(整理)高中数列的递推关系推导
(整理)高中数列的递推关系推导
本文旨在介绍高中数学中数列的递推关系推导方法，以帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列的基本概念
数列是数学中的一个重要概念，指有限或无限多个数按照一定顺序排列而成的序列。
数列中的每个数称为该数列的项，第n项用an表示。
数列的公式分为通项公式和递推公式两种。
二、递推关系的含义
递推关系是指通过前一项的值来求解后一项的值的公式，也称为递推式或递推公式。
在高中数学中，递推关系通常指数列的递推公式。
三、递推关系推导方法
1. 常数递推关系：若数列每项与前面一项的差都相等，则称该数列为等差数列。
对于等差数列，其递推公式常用形式为an=an-1+d，其中d为公差。
推导时只需求出相邻两项之间的差值，即可得出递推公式。
2. 变数递推关系：若数列每项与前面若干项有关，则称该数列为变数数列。
对于变数数列，其递推公式一般不具有固定形式，需要根据具体情况进行推导。
推导方法可以是列出前几个项的表格，观察数列中的规律，然后进行归纳总结，得出递推公式。
四、递推关系的应用
数列的递推关系在数学中有很广泛的应用，主要用于解决各种计数和排列组合问题。
比如，在组合数学中，递推关系被广泛应用于计算二项式系数、斯特林数、欧拉数等。
总之，递推关系是数学中一个重要的概念，掌握递推关系的推导方法能够帮助学生更好地理解数列的性质和规律，同时也为日后的数学学习打下了坚实的基础。
江苏省丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义：数列的递推 Word版缺答案
第三课时 数列的递推一、知识回顾本节主要内容两个基本递推：a n ＋1＝a n ＋d ，a n ＝qa n ；线性递推，二阶或高阶递推的特征方程与特征根；其他递推．1．基本概念：①递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…，k n a -（n k <）的关系式称为递归式．②递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列． 2．常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等． 3．思想策略：构造新数列的思想． 4．常见类型： 类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归）其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列．①形如)(1n q a a n n +=+的递归式,其通项公式求法为：1111111()()n n n k k k k a a a a a q k --+===+-=+∑∑②形如nn a n p a )(1=+的递归式,其通项公式求法为：3211121(1)(2)(1)n n n a a a a a a p p p n a a a -=⋅⋅⋅=⋅⋅-L L ③形如)1()(1≠+=+p n q pa a n n 的递推式,两边同除以1+n p 得111)(++=+=n n n n n p n q p a p a ,令nnnb p a =则句可转化为①来处理. 类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归）解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα+=，代入初始值求得B A ,．①若p+q=1时，有q a a n n -=-+1)(1--n n a a 可知}{1n n a a -+是等比数列，先求得n n a a -+1，再求出n a .②若p+q ≠l ，则存在α，β满足=α-+n n a a 1)(1--βn n a a 整理得11)(-+αβ-β+α=n n n a a a 从而α+β=p ， αβ=q ，可解出α、β，这样可先求出}{1n n a a α-+的通项表达式，再求出n a . 注意α、β实质是二次方程q px x +=2的两个根，将方程q px x +=2叫做递归式n n n qa pa a +=++12的特征方程．在数列{n a }中，给出a 1, a 2，且n n n qa pa a +=++12 ，它的特征方程q px x +=2的两根为α与β．如果α≠β，则n n n B A a βα+=；如果α=β则n n B An a α+=)(，其中A 与B 是常数，可由初始值a 1,a 2 求出．类型Ⅲ. 如果递归数列{a n }满足 a n+1dca baa n n ++=,其中c ≠0,ad －bc ≠0,以及初始值a 0≠f (a 1),则称此数列为分式线性递归数列.我们称方程dcx bax x ++=的根为该数列的不动点.若该数列有两个相异的不动点p 、q ，则 }{q a p a n n --为等比数列；若该数列仅有惟一的不动点p ，则}1{pa n -是等差数列·形如2n n n Aa Ba Ca D++=+的数列对于数列2n n n Aa B a Ca D++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特征方程为Ax B x Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…②若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求c 值。
江苏省兴化市楚水实验学校高中数学竞赛12递推数列
§12递推数列1、概念：①、递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…，kn a -（n k <）的关系式称为递归式。
②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。
2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。
3、思想策略：构造新数列的思想。
4、常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归） 解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα+=，代入初始值求得B A ,。
类型Ⅲ：)(1n n a f a =+其中函数)(x f 为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
例题讲解1．已知数列}{n a 满足以下递归关系⎩⎨⎧=+=+14311a a a n n ，求通项n a 。
2．已知数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-+=+2)12(211a n a a n n ，求通项n a 。
3．已知数列}{n a 满足⎩⎨⎧=≥+=+1)2(211a n na a n n ，求通项n a 。
4．已知数列}{n a 满足⎩⎨⎧==-=++2,1232112a a a a a n n n ，求通项n a 。
5．由自然数组成的数列}{n a ，满足11=a ，mn a a a n m n m ++=+，求n a 。
6．已知数列}{n a 满足101=a ，4411n n a n n a +=+（1≥n ），求n a 。
高一联赛班春季班第2讲递推数列(二)
递推数列中给出的递推关系式往往很复杂，需要很高的代数变形技巧才能看出其规律.这时往往可以先列出其前面若干项的具体值并观察、猜想其与项数n 之间的联系，或相邻几项之间的较简单的线性递归关系式，然后我们再严格地证明猜想的正确性.这种证明一般采用数学归纳法来完成.这就是竞赛中非常重要的“先猜后证”方法.本讲将介绍数学归纳法最常用的两种形式，然后给出若干利用归纳法完成递推数列的实例.另外，还将给出几道较为复杂的递推数列问题.⑴第一数学归纳法设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果①当00()n n n =∈N 时，()P n 成立；②假设(,)n k k n k =≥∈N 成立，由此推得1n k =+时，()P n 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，()P n 成立．⑵第二数学归纳法设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当00()n n n =∈N 时，()P n 成立；②假设(,)n k k n k ≤≥∈N 成立，由此推得1n k =+时，()P n 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，()P n 成立．竞赛中使用最多的是第二数学归纳法，这主要是因为它提供了比第一数学归纳法强大得多的归纳假设,书写起来也较为方便.第2讲 递推数列（二）2.1 递推数列与数学归纳法【例1】 试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何n (n ＞7，n ∈N )分的邮资．【例2】 用归纳法证明：⑴21(1)(21)6n k n n n k =++=∑ ；⑵321(1)[]2nk n n k =+=∑【例3】 证明：对任意非空有限集，都可以将它的所有子集排成一列，使得每相邻的两个子集的元素个数相差1．【例4】 试证：对一切自然数(1)n n ≥，都有222n n +>．【例5】 已知121a a ==，2122(3)n n n a a n a --+=≥，求{}n a 的通项公式．【例6】 设有数列{}n a ：121,2a a ==，且当1n ≥时，11111532|/2|n nn n n n nn n a a a a a a a a a +++++-⋅⎧=⎨-⋅⎩求证：对一切n ∈N ，0n a ≠．【例7】 证明：存在正整数的无穷数列123{}:n a a a a <<<⋅⋅⋅，使得对所有自然数n ，22212n a a a ++⋅⋅⋅+都是完全平方数．【例8】 整数数列{}n a 定义如下：12a =，27a =，21111,2,3,22n n n a a n a +--<-≤=⋅⋅⋅，求该数列的通项公式．【例9】 如图，有一列曲线012,,,P P P ⋅⋅⋅，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1k P +是对k P 进行如下操作得到：将k P 的每条边三等份，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(0,1,2,k =⋅⋅⋅)．记n S 为曲线n P 所围成图形的面积．求数列{}n S 的通项公式．【演练1】用数学归纳法证明：*111(11)(1)(1)(1),1)4732n n n +++⋅⋅⋅+∈≥-N ．实战演练【演练2】设01a <<，11a a =+，11n n na a a +=+，求证：对一切n ∈N 均有1n a >．【演练3】设{}n a 满足11a =-，12(1)n n a a n +=≥．试证数列{}n a 的各项均为整数。
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高中数学竞赛讲座12
12递推数列
1、概念：①、递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…，k n a -（n k <）的关系式称为递归式。
②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。
2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。
3、思想策略：构造新数列的思想。
4、常见类型：
类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）
a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n
（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n
解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ：⎩
⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归） 解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα+=，代入初始值求得B A ,。
类型Ⅲ：)(1n n a f a =+其中函数)(x f 为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
例题讲解
1．已知数列}{n a 满足以下递归关系⎩⎨
⎧=+=+14311a a a n n ，求通项n a 。
2．已知数列}{n a 满足⎩⎨
⎧=-+=+2)12(211a n a a n n ，求通项n a 。
3．已知数列}{n a 满足⎩⎨
⎧=≥+=+1)2(211a n na a n n ，求通项n a 。
4．已知数列}{n a 满足⎩⎨
⎧==-=++2,1232112a a a a a n n n ，求通项n a 。
5．由自然数组成的数列}{n a ，满足11=a ，mn a a a n m n m ++=+，求n a 。
6．已知数列}{n a 满足101=a ，44
11n n a n n a +=+（1≥n ），求n a 。
7．已知)2()(+=x a x x f ，且21)(0=x f ，方程x x f =)(有唯一解，设)(1-=n n x f x （N n ∈），求n x 。
8．已知数列}{n a 中，11=a ，)24141(1611n n n a a a +++=+，求n a 。
9．设正数列}{n a 满足12+-≤n n n a a a ，证明2
1+≤n a n （2=n ，3，4，…）
课后练习
1．已知数列}{n a 满足以下递归关系，求n a 。
（1）11=a ，1251+=+n n a a （N n ∈）
（2）11=a ，121-+=+n a a n n （N n ∈）
（3）21=a ，111++=+n n a n n a （N n ∈）
（4）21=a ，n a n n a n n 211+-=+（N n ∈）
（5）11=a ，n n a n S 2=（n S 为前n 项和）
（6）101=a ，4110n n a a =+（N n n ∈≥,2）
（7）⎩⎨⎧==+=++1322112a a a a a n n n
2．已知数列}{n a 和}{n b 中，101-=a ，131-=b ，且n n n b a a 421+-=+，n n n b a b 751+-=+，求n a 和n b 。
3．已知00=x ，114521++=+n n n x x x （0=n ，1，2，3，4，…），证明N x n ∈（N n ∈）。
4．已知数列}{n a 满足：)31(arccos cos 3n a n n =，证明n a 是不能被3整除的整数。