高中物理竞赛讲座：高斯定理
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o
q E r 3 4 0 R
在球体内部电场强度与 r成正比。
1
R
E
q 4 0 R 2 1
Er
o
R
12
r
四、选取高斯面原则
1.要求电场具有高度对称性。
S EdS cos
q
0
2.高斯面应选取规则形状(通常是圆柱面或球面）。 3.高斯面上各点的法向与场强的关系可以选择为： 场强方向与法线方向一致或者垂直。
EdS cos
S
q
r
0
E dS,
左底 侧 右底
q1
qk
qi
k
i在高斯面内
8
三、明确几点
1.高斯面为闭合面。
q E dS
S
0
2.电通量 只与曲面内电荷有关，与曲面外电荷无关。
3. E 为高斯面上某点的场强，是由空间所有电荷产生 的，与面内面外电荷都有关。
= 0，高斯面内不一定无电荷，有可能曲面内电荷等
高斯面
E // dS,
球面上各点的场强 E 大小相等， 方向与法线相同。
cos 1
2 S
e E dS E 4 r
面内电荷代数和为
4 3 r q 4 3 3 r 3 q R R 3 q
3
11
将两边的计算结果代入得：
rq E 4r 3 0R
2
3
q
量异号。
=0，高斯面上各点的场强不一定为 0，可能是高斯面
内无静电荷。
高斯定是理静电场的基本定理，在计算电场强度上也有广泛的应 用。
9
例1：计算半径 R、带电量为 q 的均匀带电球体内、 外的电场强度。 解：1.球体外部 r > R，均匀带电球体决定场强为球对 称,取半径为 r 的球面为高斯面。 球面上各点的场强 E 大小相等， 方向与法线同向。
q
o
R
E
n
E // d S ,
cos 1
2
r
EdS cos E ds E 4r
S s
q
0
高斯面
10
球面内电荷代数和为
q q
q E 与点电荷的场相同。 2 4 0 r
2.球体内部 r < R
1
q
o
e EdS cos
S
r
R E n
§102 高斯定理
1
高斯（Carl Friedrich Gauss 1777-1855） 德国数学家和物理学家。 1777年4月30日生于德国布伦瑞克， 幼时家境贫困，聪敏异常，受一贵族 资助才进学校受教育。1795-1799年 在哥廷根大学学习，1799年获博士学 位。1833年和物理学家W.E.韦伯共同 建立地磁观测台，组织磁学学会以联 系全世界的地磁台站网。1855年2月 23日在哥廷根逝世。
EdS cos
球面上各点E大小相等， E//dS ,cos =1,
q
R
E n
e E dS E 4R 2
S
q q 2 4 R 2 4 0 R
右边
1
高斯面
0
q
0
q
0
左边=右边
5
2、当曲面是任意形状时，通 过球面的电力线也必然通过曲 面。即高斯面不是球面时 高 斯定理也成立。 3、当高斯面内包含的点电 荷不止一个时，利用场强的 叠加原理： 1 q
右边
q
0
wk.baidu.com0
由于闭合面内无电荷。
左边=右边
7
3.点电荷系：设有 1、2、···、k 个电荷在闭合面内， k+1、k+2、···、n 个电荷在闭合面外 由场叠加原理，高斯面上的场强为：
E E1 Ek Ek 1 En
面内电荷 面外电荷
E dS
i E r 3 i i 4 0 ri e E dS
q
R
E
S
Ei dS cos
i
i
E dS cos
i i
qi
0
6
4.点电荷位于闭合面外 穿入与穿出的电场线根数 相同，正负通量抵消。
E
左边
e E dS 0 S
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学 和大地测量学等领域的研究，著述丰富，成就甚多。他一 生中共发表323篇（种）著作，提出404项科学创见（发表 178项），在各领域的主要成就有：
2
（1）物理学和地磁学中，关于静电学、温差电和摩擦电 的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非 力学量以及地磁分布的理论研究。 （2）利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像， 建立高斯光学。 （3）天文学和大地测量学中，如小行星轨道的计算，地球 大小和形状的理论研究等。 （4）结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理 论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。此外，在纯 数学方面，对数论、代数、几何学的若干基本定理作出严 格证明。 在CGS电磁系单位制（emu）中磁感应强度的单位定为 高斯（1932年以前曾经用高斯作为磁场强度单位），便是 3 为了纪念高斯在电磁学上的卓越贡献。
E // dS,
cos 1
q
E S dS
0
写成
q E 0 S dS
或高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方向垂直， 该部分的通量为0。
E dS, cos 0
13
例2：计算无限长均匀带电直线外一点P的电场强度 E ， 设P点到直线的距离为r,线电荷密度为 。 解：作半径为r高为h的闭 合圆柱面， P
S
S
E1 dS Ek dS
S
S
( E1 Ek Ek 1 En ) dS
S
Ek 1 dS En dS
S
0 0 i 1 0 0 0 q E dS 证毕 S 0
一、定理表述
静电场中通过任意的闭合曲面的电通量，等于曲面 内电荷的代数和除以 0 。
q e E dS
S
q是曲面S内所包含的电荷。
0
二、定理证明
1、先证明点电荷的情况成立。取点电荷位于坐标原 点高斯面是半径为R的闭合球面。
4
穿过球面的电通量
S
左边 e E dS
q E r 3 4 0 R
在球体内部电场强度与 r成正比。
1
R
E
q 4 0 R 2 1
Er
o
R
12
r
四、选取高斯面原则
1.要求电场具有高度对称性。
S EdS cos
q
0
2.高斯面应选取规则形状(通常是圆柱面或球面）。 3.高斯面上各点的法向与场强的关系可以选择为： 场强方向与法线方向一致或者垂直。
EdS cos
S
q
r
0
E dS,
左底 侧 右底
q1
qk
qi
k
i在高斯面内
8
三、明确几点
1.高斯面为闭合面。
q E dS
S
0
2.电通量 只与曲面内电荷有关，与曲面外电荷无关。
3. E 为高斯面上某点的场强，是由空间所有电荷产生 的，与面内面外电荷都有关。
= 0，高斯面内不一定无电荷，有可能曲面内电荷等
高斯面
E // dS,
球面上各点的场强 E 大小相等， 方向与法线相同。
cos 1
2 S
e E dS E 4 r
面内电荷代数和为
4 3 r q 4 3 3 r 3 q R R 3 q
3
11
将两边的计算结果代入得：
rq E 4r 3 0R
2
3
q
量异号。
=0，高斯面上各点的场强不一定为 0，可能是高斯面
内无静电荷。
高斯定是理静电场的基本定理，在计算电场强度上也有广泛的应 用。
9
例1：计算半径 R、带电量为 q 的均匀带电球体内、 外的电场强度。 解：1.球体外部 r > R，均匀带电球体决定场强为球对 称,取半径为 r 的球面为高斯面。 球面上各点的场强 E 大小相等， 方向与法线同向。
q
o
R
E
n
E // d S ,
cos 1
2
r
EdS cos E ds E 4r
S s
q
0
高斯面
10
球面内电荷代数和为
q q
q E 与点电荷的场相同。 2 4 0 r
2.球体内部 r < R
1
q
o
e EdS cos
S
r
R E n
§102 高斯定理
1
高斯（Carl Friedrich Gauss 1777-1855） 德国数学家和物理学家。 1777年4月30日生于德国布伦瑞克， 幼时家境贫困，聪敏异常，受一贵族 资助才进学校受教育。1795-1799年 在哥廷根大学学习，1799年获博士学 位。1833年和物理学家W.E.韦伯共同 建立地磁观测台，组织磁学学会以联 系全世界的地磁台站网。1855年2月 23日在哥廷根逝世。
EdS cos
球面上各点E大小相等， E//dS ,cos =1,
q
R
E n
e E dS E 4R 2
S
q q 2 4 R 2 4 0 R
右边
1
高斯面
0
q
0
q
0
左边=右边
5
2、当曲面是任意形状时，通 过球面的电力线也必然通过曲 面。即高斯面不是球面时 高 斯定理也成立。 3、当高斯面内包含的点电 荷不止一个时，利用场强的 叠加原理： 1 q
右边
q
0
wk.baidu.com0
由于闭合面内无电荷。
左边=右边
7
3.点电荷系：设有 1、2、···、k 个电荷在闭合面内， k+1、k+2、···、n 个电荷在闭合面外 由场叠加原理，高斯面上的场强为：
E E1 Ek Ek 1 En
面内电荷 面外电荷
E dS
i E r 3 i i 4 0 ri e E dS
q
R
E
S
Ei dS cos
i
i
E dS cos
i i
qi
0
6
4.点电荷位于闭合面外 穿入与穿出的电场线根数 相同，正负通量抵消。
E
左边
e E dS 0 S
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学 和大地测量学等领域的研究，著述丰富，成就甚多。他一 生中共发表323篇（种）著作，提出404项科学创见（发表 178项），在各领域的主要成就有：
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（1）物理学和地磁学中，关于静电学、温差电和摩擦电 的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非 力学量以及地磁分布的理论研究。 （2）利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像， 建立高斯光学。 （3）天文学和大地测量学中，如小行星轨道的计算，地球 大小和形状的理论研究等。 （4）结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理 论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。此外，在纯 数学方面，对数论、代数、几何学的若干基本定理作出严 格证明。 在CGS电磁系单位制（emu）中磁感应强度的单位定为 高斯（1932年以前曾经用高斯作为磁场强度单位），便是 3 为了纪念高斯在电磁学上的卓越贡献。
E // dS,
cos 1
q
E S dS
0
写成
q E 0 S dS
或高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方向垂直， 该部分的通量为0。
E dS, cos 0
13
例2：计算无限长均匀带电直线外一点P的电场强度 E ， 设P点到直线的距离为r,线电荷密度为 。 解：作半径为r高为h的闭 合圆柱面， P
S
S
E1 dS Ek dS
S
S
( E1 Ek Ek 1 En ) dS
S
Ek 1 dS En dS
S
0 0 i 1 0 0 0 q E dS 证毕 S 0
一、定理表述
静电场中通过任意的闭合曲面的电通量，等于曲面 内电荷的代数和除以 0 。
q e E dS
S
q是曲面S内所包含的电荷。
0
二、定理证明
1、先证明点电荷的情况成立。取点电荷位于坐标原 点高斯面是半径为R的闭合球面。
4
穿过球面的电通量
S
左边 e E dS