图

（2）拓扑排序
举例：计算机系学生的课程计划
课程代号 C1 C2 C3 C4 课程名称 程序设计基础 离散数学 数据结构 汇编语言 先修课程 无 C1 C1, C2 C1
C5
C6 C7
语言的设计和分析
计算机原理 编译原理
C3, C4
C11 C5, C3
C8
C9 C10 C11 C12
操作系统
高等数学 线性代数 普通物理 数值分析
adjvex nextarc
1
3 4
2
1
2 1 1 1 ∧ 3 ∧
3 3 ∧ 2
4 ∧
2
3 5 4 5
5 ∧
1 3 4
2
1 2 3 4
2
3 ∧
∧
4 ∧ 1 ∧
3.图的遍历
（1）深度优先搜索（DFS）
① 从图G中选某个顶点V作为出发点，先访问V；
② 选择V的一个未被访问的邻接点W，从W出发继 续深度优先搜索，直至V的邻接点都被访问完为 止；
1 有向/无向图: A[ i ][ j ]＝ 0 反之 若 (Vi, Vj)或<Vi, Vj> 是边或弧
wij 若(Vi, Vj)或 <Vi, Vj> 是边或弧 有向/无向网: A[ i ][ j ]＝ 0 反之
1
3 4
2
5
0 1 1 1 0
1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
1.图的定义和术语 定义： 图是由顶点集合V和顶点之间的关系集合R组
成，记为G＝(V, R)。
其中，V是顶点的非空有限集 V={V1,V2,…,Vn}。
R是两点之间关系的集合，它是顶点的有序或无序 对。
当图中顶点之间的关系为无序对时称为无向图， (Vi,Vj)=(Vj,Vi)称为边。无向图记为G=(V,E)。 当图中顶点之间的关系为有序对时称为有向图。 <Vi,Vj>称为弧。有向图记为G=(V,A)。 网：图中边或弧附有一个对应的权值。
②从T中选取一个其距离值为最小的顶点w，加入S
③对T中顶点的距离值进行修改，若加进w作中间顶点 的距离小于当前的距离值，则修改此距离值。
经中转点到达： V0 … w Vj
已确定的最短路径
直达距离
重复②③步n-1次，若T中只剩下与距离为∞的顶点， 则跳出循环，说明不存在路径，结束。
const int MAX=10000; const int M=6; void shortpath(int as[][M], int k, int path[], int dist[], int n) { int i,j,u.wm; for(j=0;j<(n-1);j++) for(i=0;i<M;i++) int ins[M]; { wm=MAX; u=-1; { if(ins[i]==1) k=k-1; for(i=0;i<n;i++) { cout<<i+1; for(i=0;i<n;i++) { if((ins[i]==0)&& j=i; { dist[i]=as[k][i]; (dist[i]<wm)) while(j!=k) if(dist[i]<MAX) { u=i; wm=dist[i];} { cout<<“<-”<<path[j]; path[i]=k+1; } j=path[j]-1;} else if(u==-1) break; cout<<dist[i]<<endl; path[i]=0; else } } { ins[u]=1; else for(i=0;i<n;i++) for(i=0;i<n;i++) { cout<<“no path”;}}} { if(i==k) ins[i]=1; if((ins[i]==0)&& else ins[i]=0; (dist[u]=as[u][i]<dist[i])) } { dist[i]=dist[i]+as[u][i]; path[i]=u+1;}}}
术语：
（1）子图：设有两个图G＝(V, E)，G’=(V’, E’),
满足V’V 且 E’E，则称G’为G的子图。
V1
V2
V1
V2
V1
V2
G’
V3 V4
G’’
V4
V1
G
G’’’
（2）顶点的度： 无向图中，为每个顶点相连的边数。
有向图中，顶点的度分为入度和出度。
入度：以该顶点为终端点的弧的数目。
③ 回溯，直到回到起始点，且所有顶点都被访问为
止。
V3 V6 V2 V5 V8 V7
V1
V4 V9
DFS访问序列： V3 V2 V4 V9 V1 V6 V5 V8 V7
①以邻接矩阵作为图的存储结构
void dfs(int a[ ][M], int v, int n, int visited[ ]) { int j; cout<<v+1; visited[v]=1; for(j=0;j<n;j++) { if((a[v][j]==1)&&(visited[j]==0)) dfs(a,j,n,visited); } } void traver(int a[ ][M],int n) { int i; static int visited[M]; for(i=0;i<n;i++) visited[i]=0; } for(i=0;i<n;i++) { if(visited[i]==0) dfs(a,i,n,visited); }
出度：以该顶点为初始点的弧的数目。
V1 V2 V1 V2
V3
V4
V3
V4
（3）路径：
无向图中，从顶点Vp到Vq的路径是顶点序列
｛Vp ,Vi,1,Vi,2,...,Vi,k,Vq}且(Vp ,Vi,1),(Vi,1,Vi,2),…，
(Vi,k,Vq)均是E中的边。
有向图中，由顶点的弧组成的有向路径。 路径长度：路径上边或弧的数目。(网：权值之和) 简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。
V1
TD g[M] vexdata firarc
V1 V2 V4
adjvex nextarc 2 3 6 ∧ 3 8 ∧ 3 5 6 4 ∧ 6 ∧
V2
V3
V3
V4 V5 V6 V7
V5
V6
V7
V8
V8
1 2 3 4 5 6 7 8
7 ∧
5
8 ∧
7 ∧
∧
DFS访问序列：
V1 V2 V3 V6 V5 V8 V7 V4
V3 V6 V2 V5 V8 V7
V1
V4 V9
BFS访问序列： V3 V2 V1 V6 V4 V5 V9 V8 V7
以邻接表作为图的存储结构算法：
void bfs(TD g[],int v,int n, int visited[]) { int cq[M],front=n-1; rear=0; cq[rear]=v; JD* p; } cout<<v; p=p->nextarc; visited[v]=1; } cq[rear]=v; } while(rear!=front) } { front=(front+1)%n; v=cq[front]; void traver(TD g[],int n) p=g[v].firarc; { int i; static int visited[M]; while(p!=NULL) for(i=0;i<n;i++) { v=p->adjvex; visited[i]=0; if(visited[v]==0) for(i=0;i<n;i++) { cout<<v; { if(visited[i]==0) bfs(g,i,n,visited);} visited[v]=1; } rear=(rear+1)%n;
C3, C6
无 C9 C9 C9, C10, C1
顶点—课程，有向弧—先决条件，若i是j的先决条件，存在弧<i,j> 课程之间的先修关系可以用下面所示AOV网表示：
C4
C2 C1 C3 C12 C9 C10 C6 C11 C8 C7
C5
假定一次学习一门课。问题：按什么次序进行各门课的学 习, 能够保证在学习某门课程时该课程的先修课已经学过了？
verdata
firarc
adjvex
data
nextarc
头结点
边结点
typedef struct tnode { int vexdata; struct node* firarc; }TD;
TD ha[M];
typedef struct node { int adjvex,data; struct node* nextarc; }JD;
4.图的应用
（1）单源最短路径 问题提出：用带权的有向图表示一个城市的公路网， 图中顶点表示城市，弧表示公路段，弧上的权值代 表两城市间的距离。 问题：从源点出发到其它终点有无路径，其最短路 径是多少？
45 1 10 3 50 2 20 4 10 5 35 6
15 20 50
30
序号 源点 中转点 无 1 2 无 2 2
②以邻接表作为图的存储结构
void dfs(TD g[], int v, int visited[]) { JD*w; int i; cout<<v; visited[v]=1; w=g[v].firarc; while(w!=NULL) { i=w->adjvex; if(visited[i])==0) dfs(g,i,visited); w=w->nextarc; } }