5_飞机薄壁结构稳定性

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小 球 的 平 衡—— ——平衡的稳定性的概念 红球: 红球 稳 定 平 衡
蓝球：不稳定平衡 蓝球：不稳定平衡
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(a) 刚球受到侧向干扰力而稍离其平衡 位置后，它仍能回复到原来的平衡位置， 位置后，它仍能回复到原来的平衡位置， 这种平衡是稳定的。 这种平衡是稳定的。 (b) 刚球如果有一微小侧向干扰力使其 偏离平衡位置， 偏离平衡位置，则刚球将继续沿着凸面 滚动，不能恢复到原来的平衡位置， 滚动，不能恢复到原来的平衡位置，这 种平衡是不稳定的。 种平衡是不稳定的。
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稳 定 性 ：
构件在外力作用下， 构件在外力作用下，保持其原有平衡 状态( 状态(configuration)的能力。 )的能力。
存在稳定问题的构件： 存在稳定问题的构件： ① ② ③ 杆、柱、梁、轴、环、拱 ； 薄板、薄壳； 薄板、薄壳； 开口截面薄壁梁. 开口截面薄壁梁.
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(2) 轴向压力 大于临界值 cr时，只要有任 轴向压力P大于临界值 大于临界值P 一微小的横向力使杆产生微小弯曲， 一微小的横向力使杆产生微小弯曲，那 即使在横向力消除后， 么，即使在横向力消除后，杆轴仍将继 续弯曲而平衡于某一弯曲位置。 续弯曲而平衡于某一弯曲位置。在这种 情况下， 情况下，杆轴原来直线形式的平衡是不 稳定的。 稳定的。
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轴向压力P等于临界值P (3) 轴向压力P等于临界值Pcr时，杆轴由 于微小横向力引起微小弯曲， 于微小横向力引起微小弯曲，不管横向 力是否消除， 力是否消除，杆轴仍能保持任一微小弯 曲状态，这种平衡称为随遇平衡。 曲状态，这种平衡称为随遇平衡。
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薄板稳定性
王晓军
航空科学与工程学院固体力学研究所 2011年5月12日星期四
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§7.1 稳定基本概念
本章主要研究薄板稳定问题的有关 理论和计算方法。 理论和计算方法。
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在刚体力学中， 在刚体力学中，一个处于平衡状态 的பைடு நூலகம்体， 的刚体，可以有三种性质不同的平衡状 态： 稳定平衡 不稳定平衡 随遇平衡
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简化为
∂ w ∂ w ∂ w D∇ w − N x 2 + 2 N xy + Ny 2 = q ∂x ∂x∂y ∂y
2 2 2 4
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求解过程： 求解过程：
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求出中面内力Nx，Ny和Nxy （2）根据已知横向载荷 和薄板弯曲问 ）根据已知横向载荷q和薄板弯曲问 题的边界条件，由微分方程式求解挠度w 题的边界条件，由微分方程式求解挠度 （3）求出薄板的弯曲内力，即弯矩、扭 ）求出薄板的弯曲内力，即弯矩、 矩和横向剪力。 矩和横向剪力。
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显然， 显然，上述刚球 的平衡稳定性是 决定于它所处位 置的几何形状。 置的几何形状。 弹性系统也有三 种平衡状态。 种平衡状态。现 以受轴向压力作 用的直杆为例， 用的直杆为例， 如图所示
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P
A
∆
l
B
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倾覆力偶： 倾覆力偶： P P
A A A
m( P , P ) = Py
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试考虑薄板任一微分体的平衡， 试考虑薄板任一微分体的平衡，如图所 示。将横向载荷及薄板横截面上的内力 用力矢和矩矢表示在中面上。 用力矢和矩矢表示在中面上。 首先，以通过微分体中心而平行于z 首先，以通过微分体中心而平行于z轴的 直线为矩轴，写出力矩的平衡方程， 直线为矩轴，写出力矩的平衡方程，得 出 Nxy＝Nyx
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当薄板同时受到横向载荷及上述纵向载 荷时，如果纵向载荷很小， 荷时，如果纵向载荷很小，因而中面内 力也很小， 力也很小，它对于薄板弯曲的影响可以 忽略不计。那么，就可以分别计算两种 忽略不计。那么， 载荷引起的应力，然后叠加。 载荷引起的应力，然后叠加。 但是，如果中面内力并非很小， 但是，如果中面内力并非很小，那就必 须考虑中面内力对弯曲的影响。 须考虑中面内力对弯曲的影响。下面来 导出薄板在这种情况下的弹性曲面微分 方程。 方程。
当薄板受有已知横向载荷q， 当薄板受有已知横向载荷 ，并在边界上受有 已知纵向载荷时 （1）首先按照平面应力问题由已知纵向载荷 ） 求出平面应力σ 求出平面应力 x，σy，τxy 由
N x = tσ x N y = tσ y N xy = tτ xy
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N yx = tτ yx
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注意 在分析薄板的压曲问题或求临界载荷时， 在分析薄板的压曲问题或求临界载荷时， 我们总是假定纵向载荷的分布规律是指 定的，而它的大小是未知的。 定的，而它的大小是未知的。 然后我们来考察为使薄板可能发生压曲， 然后我们来考察为使薄板可能发生压曲， 上述纵向载荷的最小数值是多大， 上述纵向载荷的最小数值是多大，而这 个最小值就是临界载荷的数值。 临界载荷的数值 个最小值就是临界载荷的数值。
只有x向载荷时， 只有 向载荷时，上式为 向载荷时
∂4w ∂4w ∂4w ∂2w D 4 + 2 2 2 + 4 = Nx 2 ∂ x∂ y ∂y ∂x ∂x
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mπ x nπ y w = Amn sin sin a b
式中m、 分布为薄板压曲以后沿 轴和y 分布为薄板压曲以后沿x轴和 式中 、n分布为薄板压曲以后沿 轴和 轴方向的正弦半波数
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（2） 如果纵向载荷所引起的中面内力在某处是 压力，则当这一纵向载荷达到临界载荷时， 压力，则当这一纵向载荷达到临界载荷时，薄 板的平面平衡状态将是不稳定的。 板的平面平衡状态将是不稳定的。 此时，薄板一受到干扰力， 此时，薄板一受到干扰力，就会发生弯 而且，即使这干扰力被除去， 曲，而且，即使这干扰力被除去，薄板也不再 恢复到原来的平面平衡状态， 恢复到原来的平面平衡状态，而将处于某一弯 曲平衡状态， 曲平衡状态，薄板在纵向载荷作用下而处于弯 曲平衡状态，这种现象称为失稳或压曲 失稳或压曲。 曲平衡状态，这种现象称为失稳或压曲。
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求临界载荷的问题： 求临界载荷的问题：为使压曲微分方程 具有满足边界条件的非零解， 具有满足边界条件的非零解，纵向载荷 的最小值是多大。 的最小值是多大。
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§7.3 四边简支轴压稳定性
Nx
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无横向载荷q， 无横向载荷 ，微分方程为
∂4w ∂4w ∂4w ∂2w ∂2w ∂2w D 4 + 2 2 2 + 4 = N x 2 + 2 N xy + Ny 2 ∂ x∂ y ∂y ∂x ∂x∂y ∂y ∂x
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(c) 刚球偏离原来的平衡位置，则它既不 刚球偏离原来的平衡位置， 回到原来的位置，又不继续离开， 回到原来的位置，又不继续离开，而是 能在任何一个新的位置处于平衡， 能在任何一个新的位置处于平衡，这种 平衡叫随遇平衡或中立平衡。 平衡叫随遇平衡或中立平衡。
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§7.2 薄板压曲的基本微分方程
在前面讨论中，假定薄板只受横向载荷， 在前面讨论中，假定薄板只受横向载荷， 而且假定薄板的挠度很小， 而且假定薄板的挠度很小，可以不计中面内各 点平行于中面的位移。这时， 点平行于中面的位移。这时，薄板的弹性曲面 是中性面，不发生正应变和剪应变。 是中性面，不发生正应变和剪应变。这是薄板 在横向载荷作用下的小挠度弯曲问题。 在横向载荷作用下的小挠度弯曲问题。 当薄板在边界上受有纵向载荷时， 当薄板在边界上受有纵向载荷时，由于板 很薄，可以假定只发生平行于中面的应力， 很薄，可以假定只发生平行于中面的应力，而 这些应力不沿薄板厚度而变化。 这些应力不沿薄板厚度而变化。
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求临界载荷的方法很多， 求临界载荷的方法很多，其中主要的 是静力法和能量法。 是静力法和能量法。 (1) 静力法是根据结构处于临界状态时的 静力特征而提出的方法。 静力特征而提出的方法。 (2)能量法是根据临界状态时结构的能量特 (2)能量法是根据临界状态时结构的能量特 征而提出的方法。 征而提出的方法。
恢复力偶： 恢复力偶： P M
Q
M = EIy′′
平衡状态： 平衡状态：M = m
压杆的临界力： P cr
B
Q l
x y
B B B
y
①稳 定 平 衡 —— P < Pcr ②不稳定平衡 —— P > Pcr ③临 界 状 态 ——
P 弹 性 杆 的 平衡
P
P = Pcr
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(1) 轴向压力 小于某一临界值 cr时，杆轴 轴向压力P小于某一临界值 小于某一临界值P 是挺直的， 是挺直的，倘若有一微小的横向干扰力 使杆轴产生微小的弯曲， 使杆轴产生微小的弯曲，而当横向力除 去后，杆轴仍能恢复到直线形状。 去后，杆轴仍能恢复到直线形状。在这 种情况下， 种情况下，杆在直线形式的平衡是稳定 的。
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这种问题的求解是比较繁难的。 这种问题的求解是比较繁难的。本节导 出的微分方程， 出的微分方程，主要的目的是将它应用 于求解薄板的稳定问题。 于求解薄板的稳定问题。
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